Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 101Soru →

Bir kültür merkezinde gerçekleştirilecek sergi için, birbirinden farklı 3 yağlı boya tablo ve birbirinden farklı 4 kara kalem çalışması bir duvar boyunca yan yana sıralanacaktır.

Yağlı boya tabloların tamamının bir arada olması koşuluyla, bu eserler kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Eserler 720 farklı şekilde sergilenebilir.
Soruda 'bir arada olması' istenen 3 yağlı boya tablo birbirine bağlanarak tek bir eleman gibi düşünülür. Bu durumda elimizde 1 bağlı grup ve 4 kara kalem çalışması olmak üzere toplam 5 eleman varmış gibi hareket edilir. Bu 5 eleman kendi arasında 5!5! farklı şekilde sıralanır. Ayrıca, bağlı grup içindeki 3 farklı tablo da kendi arasında 3!3! farklı şekilde yer değiştirebilir. Sayma kuralları gereği bu iki durum çarpılır: 5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu sağlayan grubu tek bir nesne olarak kabul etme
3 yağlı boya tabloyu tek bir 'paket' (1 nesne) olarak düşünürüz.
Bir arada olması istenen elemanlar, sıralama problemlerinde ayrılmaz bir bütün olarak ele alınır.
2
Toplam sıralanacak nesne sayısını belirleme ve sıralama
1 paket (yağlı boyalar) + 4 kara kalem = 5 nesne. Bu 5 nesne kendi aralarında 5!5! şeklinde sıralanır.
Paket, diğer bağımsız elemanlarla birlikte yer değiştirebilir.
3
Grup içi sıralamayı hesaplama
Paket içindeki 3 farklı yağlı boya tablo kendi aralarında 3!3! şeklinde sıralanır.
Bağlanan elemanlar birbirinden farklı olduğu için kendi içlerindeki yer değişimleri de sonucu değiştirir.
4
Genel çarpma kuralını uygulama
5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720
Ana sıralama ve grup içi sıralama birbirine bağlı olaylar olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bağlama (Bloklama) Yöntemi
Soru 102Soru →

(3x+y)n(3x + y)^n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 10241024 olduğuna göre, bu açılımda toplam kaç terim bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Binom açılımında katsayılar toplamı yardımıyla bulunan üs değerine 1 eklenerek ulaşılan 6 cevabı doğrudur.
Verilen ifadede değişkenler yerine 1 yazıldığında elde edilen 4n4^n değeri 10241024 sayısına eşitlenir. Buradan n=5n=5 olarak bulunur. Binom açılımı kuralına göre terim sayısı kuvvetin bir fazlası (n+1n+1) olduğu için sonuç 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.
(3⋅1+1)n=4n=1024(3 \cdot 1 + 1)^n = 4^n = 1024
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere (x ve y) 1 değeri verilir.
2
4n=10244^n = 1024 denklemini çözerek nn değerini belirleyin.
45=10244^5 = 1024 olduğu için n=5n = 5 bulunur.
1024 sayısı, 4'ün 5. kuvvetine (4×4×4×4×44 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4) eşittir.
3
Terim sayısı formülünü uygulayarak sonucu bulun.
n+1=5+1=6n + 1 = 5 + 1 = 6
(ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir binom açılımında toplam terim sayısı, üssün bir fazlası olan n+1n+1 kadardır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir ve terim sayısı n+1 formülü ile bulunur.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki xx ve yy yerine 1 yazarak işleme başlayın.
2
Bulduğunuz 4n=10244^n = 1024 eşitliğinden nn sayısını çekin. Unutmayın, 10241024 sayısı 4'ün bir kuvvetidir.
3
Bulduğunuz nn değeri kuvveti temsil eder. Binom açılımında terim sayısı her zaman bu kuvvetin 1 fazlasıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (2x−y)n(2x - y)^n ifadesinde terim sayısı 8 ise katsayılar toplamını bulmaya çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 103Soru →

Bir hastanede görev yapan 4 doktor, 3 hemşire ve 2 hasta bakıcıdan oluşan bir gruptan rastgele 3 kişilik bir sağlık ekibi seçilecektir.

Seçilen bu ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire bulunma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 914\frac{9}{14}

Cevap

914\frac{9}{14}
İstenen durum, ekipte hem doktor hem de hemşire bulunmasıdır. Bu koşul üç farklı senaryoda gerçekleşir: (1D, 1H, 1B), (2D, 1H) veya (1D, 2H). Bu durumların kombinasyonları toplamı 54'tür. Tüm durumlar 84 olduğundan olasılık 54/84 = 9/14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını hesapla.
Toplam kişi sayısı: 4+3+2=94 + 3 + 2 = 9. Seçilecek kişi sayısı: 3.
n(S)=C(9,3)=9⋅8⋅73⋅2⋅1=3⋅4⋅7=84n(S) = C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84.
Olasılık hesabında paydaya yazılacak toplam durum sayısını bulmak için.
2
İstenen durumu sağlayan (En az 1 Doktor ve En az 1 Hemşire) alt durumları belirle ve hesapla.
Durum 1 (1 Doktor, 1 Hemşire, 1 Hasta Bakıcı): C(4,1)⋅C(3,1)⋅C(2,1)=4⋅3⋅2=24C(4,1) \cdot C(3,1) \cdot C(2,1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24
Durum 2 (2 Doktor, 1 Hemşire): C(4,2)⋅C(3,1)=6⋅3=18C(4,2) \cdot C(3,1) = 6 \cdot 3 = 18
Durum 3 (1 Doktor, 2 Hemşire): C(4,1)⋅C(3,2)=4⋅3=12C(4,1) \cdot C(3,2) = 4 \cdot 3 = 12
Toplam İstenen Durum: 24+18+12=5424 + 18 + 12 = 54.
Şartı sağlayan tüm ayrık senaryoları toplayarak istenen durum sayısını (payı) bulmak için.
3
Alternatif Yöntem (Tümleyen) ile kontrol et.
İstenmeyen Durumlar: Hiç doktor olmaması (sadece hemşire ve bakıcılar) VEYA Hiç hemşire olmaması (sadece doktor ve bakıcılar).
Hiç Doktor Yok (3H+2B=5 kişiden 3): C(5,3)=10C(5,3) = 10.
Hiç Hemşire Yok (4D+2B=6 kişiden 3): C(6,3)=20C(6,3) = 20.
İstenmeyen Toplam: 10+20=3010 + 20 = 30.
İstenen Durum: 84−30=5484 - 30 = 54.
Hesaplamayı doğrulamak için.
4
Olasılığı hesapla ve sadeleştir.
P(A)=5484=914P(A) = \frac{54}{84} = \frac{9}{14}
Sonucu en sade haliyle bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyonlu Olasılık ve Tümleyen Olay

İpuçları

1
Önce toplam durumu (örnek uzayı) hesaplayın: 9 kişiden 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?
2
'En az bir doktor ve en az bir hemşire' şartını sağlayan durumları ayrı ayrı düşünün: (1 Dr, 1 Hem, 1 Diğer), (2 Dr, 1 Hem), (1 Dr, 2 Hem).
3
Alternatif olarak, tüm durumlardan 'hiç doktor olmayanları' ve 'hiç hemşire olmayanları' çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir doktor VEYA en az bir hemşire' bağlacıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: İstenmeyen durumlar = {Doktor olmayan ekipler} U {Hemşire olmayan ekipler}. Doktor olmayanlar (3 Hemşire + 2 Bakıcı = 5 kişiden 3 seçim) = 10. Hemşire olmayanlar (4 Doktor + 2 Bakıcı = 6 kişiden 3 seçim) = 20. Kesişim (Ne doktor ne hemşire = Sadece bakıcılar) = C(2,3) = 0 (imkansız). Toplam istenmeyen = 10+20=30. Olasılık = 1 - 30/84.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 104Soru →

(x3−2x2)n\left(x^3 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin açılımındaki terimler xx'in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında, baştan 4. terim A⋅x6A \cdot x^6 olmaktadır.

Buna göre, AA gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -280

Cevap

-280
Soruda verilen (x3−2x2)n(x^3 - \frac{2}{x^2})^n ifadesinin genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r şeklindedir. Baştan 4. terim dendiği için r=3r=3 alınır. Bu durumda terim (n3)x3n−9(−8)x−6\binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} haline gelir. Kuvvetlerin düzenlenmesiyle x3n−15x^{3n-15} elde edilir. Soruda bu terimin x6x^6 içerdiği belirtildiğinden 3n−15=63n-15=6 eşitliğinden n=7n=7 bulunur. Son olarak katsayı hesaplandığında A=(73)⋅(−8)=35⋅(−8)=−280A = \binom{7}{3} \cdot (-8) = 35 \cdot (-8) = -280 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü ve verilenleri belirle.
Genel terim: (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r. Baştan 4. terim istendiği için r=4−1=3r = 4 - 1 = 3 alınmalıdır.
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n için genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir ve baştan (r+1)(r+1). terim hesaplanır.
2
Genel terim ifadesini düzenle ve x'in kuvvetini bul.
(n3)(x3)n−3(−2x−2)3=(n3)x3n−9(−8)x−6=−8(n3)x3n−15\binom{n}{3} (x^3)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} = -8 \binom{n}{3} x^{3n-15}
Katsayıları ve değişkenlerin üslerini ayrıştırarak xx'in net kuvvetini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x6x^6 ile eşitleyerek n değerini bul.
3n−15=6⇒3n=21⇒n=73n - 15 = 6 \Rightarrow 3n = 21 \Rightarrow n = 7
Soruda terimin A⋅x6A \cdot x^6 olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan n değerini yerine yazarak A katsayısını hesapla.
A=−8⋅(73)=−8⋅7⋅6⋅53⋅2⋅1=−8⋅35=−280A = -8 \cdot \binom{7}{3} = -8 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = -8 \cdot 35 = -280
İstenen A değeri, terimin önündeki tüm sayısal çarpanların çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak bilinmeyen n sayısının ve katsayının bulunması.

İpuçları

1
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n ifadesinin genel terimi (nr)⋅an−r⋅br\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur.
2
Baştan 4. terimi bulmak için genel terim formülünde rr yerine 3 yazmalısınız (Çünkü saymaya r=0r=0'dan başlanır).
3
Terimi düzenledikten sonra xx'in kuvvetini 3n−153n - 15 olarak bulacaksınız. Bunu 6'ya eşitleyerek önce nn'yi bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 105Soru →

Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 4 hemşire ile 3 doktor, yan yana sıralanarak bir hatıra fotoğrafı çektireceklerdir. Ayşe ile Fatma'nın yan yana olması ve herhangi iki doktorun yan yana gelmemesi şartıyla bu grup kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Verilen koşullara göre grup 288 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki koşul aynı anda istenmektedir: Ayşe ve Fatma'nın bir arada olması (Bağlama Yöntemi) ve doktorların ayrık olması (Boşluk Yöntemi). Önce Ayşe ve Fatma bir paket yapılır (X). Diğer 2 hemşire ile birlikte 3 nesne 3! şeklinde sıralanır. Ayşe ve Fatma kendi içinde 2! yer değiştirir (Toplam 12). Bu 3 nesne 4 boşluk yaratır (_ N _ N _ N _). 3 doktor bu 4 boşluğa P(4,3)=24 şekilde oturur. Sonuç 12 x 24 = 288'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ayşe ve Fatma'nın yan yana olma şartını sağlamak için 'Bağlama Yöntemi' kullan
Ayşe ve Fatma'yı tek bir eleman (X) gibi düşünürsek; elimizde X, H3, H4 olmak üzere sıralanacak 3 birim oluşur.
Yan yana olması istenen elemanlar paketlenerek tek bir nesne gibi işleme dahil edilir.
2
Hemşire grubunun (paket dahil) kendi içindeki sıralamasını hesapla
3 birim kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır. Ayrıca Ayşe ve Fatma kendi içinde 2! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Toplam Hemşire dizilimi: 6 x 2 = 12.
Paket içindeki elemanların yer değiştirmesi (iç permütasyon) unutulmamalıdır.
3
Doktorların yan yana gelmemesi için 'Ayıraç/Boşluk Yöntemi' uygula
Sıralanmış 3 birim hemşire grubu (X, H3, H4) arasında ve uçlarında doktorların yerleşebileceği boşlukları belirle: _ B1 _ B2 _ B3 _. Toplam 4 boşluk vardır.
İki doktorun yan yana gelmemesi için doktorlar, hemşirelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmelidir.
4
3 doktoru 4 boşluğa yerleştir (Permütasyon)
P(4,3) = 4 x 3 x 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilebilir.
4 uygun boşluğa 3 kişi sıralı olarak yerleştirilecektir.
5
Tüm durumları çarparak sonucu bul
12 (Hemşire dizilimi) x 24 (Doktor yerleşimi) = 288.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, 'Bağlama Yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'Ayıraç Yöntemi'nin (yan yana olmama şartı) birlikte kullanıldığı ileri düzey bir permütasyon problemidir.

İpuçları

1
Önce 'yan yana olması gereken' kişileri tek bir kişi gibi düşünerek hemşireleri sıralayın.
2
Hemşireleri yerleştirdikten sonra oluşan boşlukları sayın. Doktorları bu boşluklara yerleştirmeniz gerekecek.
3
Ayşe ve Fatma'yı bağlayınca 3 birim hemşire grubu oluşur (3! x 2!). Bu 3 birim, doktorlar için 4 adet boşluk yaratır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'rakamların yan yana gelmemesi' kuralıyla, örneğin çift rakamlar yan yana gelmeyecek şekilde sayı oluşturma üzerinden çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 106Soru →

Bir kamu kurumunun yönetim kurulu toplantısında; 11 genel müdür, 11 genel müdür yardımcısı ve 44 daire başkanı yan yana dizilmiş altı koltuğa oturacaktır. Genel müdür ve genel müdür yardımcısının sıranın en başında veya en sonunda oturmaması şartıyla, bu 66 kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Genel müdür ve yardımcısının uçlarda oturmadığı toplam 288288 farklı sıralama mevcuttur.
Doğru cevap olan 288288 seçeneği, genel müdür ve yardımcısının içteki 44 koltuğa P(4,2)P(4,2) kadar farklı şekilde yerleşmesi ve kalan 44 daire başkanının boş yerlere 4!4! şeklinde dizilmesinin çarpımıdır (12×24=28812 \times 24 = 288).

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlı olan kişilerin yerleşebileceği koltukları belirle.
Toplam 66 koltuktan uçlardaki 22 koltuk hariç, iç kısımda 44 koltuk kalır.
Genel müdür ve genel müdür yardımcısının en başta veya en sonda oturmaması istendiği için sadece içteki 44 koltuğa oturabilirler.
2
Genel müdür ve genel müdür yardımcısını bu iç koltuklara yerleştir.
P(4,2)=4×3=12P(4, 2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde oturabilirler.
44 koltuk arasından 22 tanesi seçilip bu kişiler kendi aralarında sıralanır.
3
Kalan kişileri boş koltuklara yerleştir.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 farklı şekilde oturabilirler.
Geriye kalan 44 daire başkanı, boş kalan 44 koltuğa kısıtlama olmaksızın dizilir.
4
Toplam sıralama sayısını hesapla.
12×24=28812 \times 24 = 288 bulunur.
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre farklı aşamalardaki durum sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı permütasyon problemlerinde önce kısıtlı olan elemanlar uygun yerlere yerleştirilir, ardından kalan elemanlar dizilir.

İpuçları

1
Önce kısıtlı olan kişilerin (genel müdür ve yardımcısı) oturabileceği koltuk sayısını belirleyin.
2
Altı koltuğun uçlarındaki koltukları kapattığınızda geriye kaç koltuk kalır? Bu iki kişiyi o koltuklara yerleştirin.
3
İçteki koltuklar için P(4,2)P(4, 2) hesaplamasını yaptıktan sonra, kalan 44 kişiyi boş yerlere 4!4! ile dağıtıp sonuçları çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'Belirli iki kişinin yan yana gelmesi' şartını ekleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan (6!=7206! = 720), en az birinin uçta olduğu durumları çıkarabilirsiniz. Birinin uçta olduğu durumlar 2×2×5!=4802 \times 2 \times 5! = 480 gibi görünse de kesişim durumlarını (4848) çıkarmak gerekir: 720−(240+240−48)=288720 - (240 + 240 - 48) = 288.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 107Soru →

Bir kamu kurumu, dijital arşivleme sisteminde dosyaları sınıflandırmak amacıyla üç karakterden oluşan bir "Dosya Erişim Kodu" belirleyecektir. Bu kodun yapısı ve kısıtlamaları şu şekildedir:

* 1. karakter: {A,B,C,D}\{A, B, C, D\} kümesinden bir harf olmalıdır.
* 2. karakter: {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} kümesinden bir rakam olmalıdır.
* 3. karakter: {A,B,C,D}\{A, B, C, D\} kümesinden, 1. karakterden farklı bir harf olmalıdır.

Özel Güvenlik Kısıtlaması: Eğer kodun 1. karakteri 'A' harfi ise, 2. karakteri '1' rakamı olamaz.

Buna göre, bu sistemde oluşturulabilecek toplam farklı "Dosya Erişim Kodu" sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4545

Cevap

Sistemde oluşturulabilecek toplam farklı kod sayısı 4545'tir.
Doğru yanıt olan kırk beş seçeneğine ulaşmak için problem iki ayrı vakada incelenmelidir. İlk durumda birinci karakter 'A' olarak sabitlendiğinde, güvenlik kuralı gereği ikinci karakter için üç rakam seçeneği kalır. Üçüncü karakterin birinci karakterden farklı olması şartıyla da üç harf seçeneği mevcuttur (1×3×3=91 \times 3 \times 3 = 9). İkinci durumda birinci karakter 'B', 'C' veya 'D'den biri seçildiğinde (33 seçenek), ikinci karakter için kısıtlama kalmaz (44 seçenek) ve üçüncü karakter için yine birinci karakterden farklı üç harf seçeneği bulunur (3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36). Bu iki ayrık durumun toplamı kırk beşi vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci karakterin 'A' olduğu durumları hesapla
1×3×3=91 \times 3 \times 3 = 9
Birinci karakter 'A' (1 seçenek) ise, güvenlik kısıtlaması nedeniyle ikinci karakter {2,3,4}\{2, 3, 4\} (3 seçenek) olabilir. Üçüncü karakter ise birinci karakterden farklı olacağı için {B,C,D}\{B, C, D\} (3 seçenek) olabilir.
2
Birinci karakterin {B,C,D}\{B, C, D\} olduğu durumları hesapla
3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36
Birinci karakter için 3 seçenek vardır. Bu durumda güvenlik kısıtlaması geçerli olmadığından ikinci karakter için tüm rakamlar (4 seçenek) kullanılabilir. Üçüncü karakter yine birinci karakterden farklı olacağı için kalan 3 harften biri seçilir.
3
Farklı durumları toplayarak toplam sonucu bul
9+36=459 + 36 = 45
Birbirinden bağımsız olan bu iki durumun toplamı, yazılabilecek tüm geçerli kodların sayısını verir.

Anahtar Kavram

Sayma kurallarında toplama ve çarpma prensiplerinin koşullu durumlara uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 108Soru →

Ticaret Bakanlığı bünyesinde oluşturulacak 55 kişilik bir "Fuar Denetim Heyeti" için, kurumda görevli 44 Dış Ticaret Uzmanı ve 66 Gümrük Denetmeni aday olarak belirlenmiştir.

Heyetin oluşturulmasında;
* Her iki unvandan da (Uzman ve Denetmen) en az 22'şer kişinin bulunması,
* Dış Ticaret Uzmanları arasından, evli olan Kemal ve Lale'nin çıkar çatışması nedeniyle aynı heyette birlikte yer almaması

şartları aranmaktadır.

Buna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

Heyet 130 farklı şekilde seçilebilir.
Toplam 5 kişilik heyet için 'en az 2 Uzman ve en az 2 Denetmen' şartı, heyetin ya (2 Uzman, 3 Denetmen) ya da (3 Uzman, 2 Denetmen) şeklinde olmasını gerektirir. Bu iki durumun toplam olasılığı 180'dir. Ancak Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu durumlar yasaklanmıştır. Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu alt durumlar hesaplandığında (20 + 30 = 50) bulunur. Tüm durumlardan bu sayı çıkarıldığında 130 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm geçerli gruplandırmaları belirle (Kemal ve Lale kısıtı olmadan).
5 kişilik heyet için 'En az 2 Uzman, En az 2 Denetmen' şartını sağlayan iki durum vardır: (2 Uzman, 3 Denetmen) veya (3 Uzman, 2 Denetmen).
Toplam kişi sayısı 5 olduğu için ve her gruptan en az 2 kişi istendiği için dağılım sadece 2+3 veya 3+2 şeklinde olabilir.
2
Her bir durumun kombinasyon sayısını hesapla ve topla.
Durum 1 (2U, 3D): C(4,2)×C(6,3)=6×20=120C(4,2) \times C(6,3) = 6 \times 20 = 120. Durum 2 (3U, 2D): C(4,3)×C(6,2)=4×15=60C(4,3) \times C(6,2) = 4 \times 15 = 60. Toplam (Kısıtsız): 120+60=180120 + 60 = 180.
Olası tüm heyet seçimlerinin sayısı (evlilik kısıtı gözetilmeksizin) 180'dir.
3
İstenmeyen durumu (Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu) hesapla.
Kemal ve Lale heyetteyse, geriye 3 koltuk kalır. Bu koltuklar, ana şartı (en az 2U, 2D) bozmayacak şekilde doldurulmalıdır.
1. Durum (2U, 3D idiyse): K ve L zaten 2 Uzman kotasını doldurur. Geriye 0 Uzman, 3 Denetmen seçilmelidir: C(2,0)×C(6,3)=1×20=20C(2,0) \times C(6,3) = 1 \times 20 = 20.
2. Durum (3U, 2D idiyse): K ve L alındı, 1 Uzman daha lazım. Geriye 1 Uzman, 2 Denetmen seçilmelidir: C(2,1)×C(6,2)=2×15=30C(2,1) \times C(6,2) = 2 \times 15 = 30.
Toplam İstenmeyen: 20+30=5020 + 30 = 50.
Bu 50 durumda Kemal ve Lale birlikte bulunmaktadır, bu yüzden toplamdan çıkarılmalıdır.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
180−50=130180 - 50 = 130.
Toplam geçerli olasılık - Kısıtlı olasılık = Sonuç.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' Yöntemi

İpuçları

1
Önce Kemal ve Lale kısıtlamasını görmezden gelerek, 'En az 2 Uzman, En az 2 Denetmen' şartını sağlayan tüm heyetlerin sayısını bulun.
2
Heyet ya (2 Uzman + 3 Denetmen) ya da (3 Uzman + 2 Denetmen) şeklinde oluşabilir. Bu iki durumun toplam sayısını hesaplayın.
3
Toplam sayıdan (180), Kemal ve Lale'nin 'birlikte' bulunduğu ve şartları sağlayan istenmeyen durumları (50) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az 1'i bulunsun' şartıyla veya 'birbirine küs 3 kişi' senaryosuyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Direkt yöntem: Kemal ve Lale'nin olmadığı, sadece Kemal'in olduğu, sadece Lale'nin olduğu tüm durumları ayrı ayrı toplayabilirsiniz. (K yok L yok) + (K var L yok) + (L var K yok).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 109Soru →

Bir düzlemde bulunan birbirinden farklı 4 çember ile 3 doğrunun birbirleriyle oluşturabileceği kesişim noktası sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

En çok 39 kesişim noktası oluşur.
En çok kesişim noktası için üç durum incelenir: 1) Doğruların kendi aralarında kesişimi: 3 doğru C(3,2)=3 noktada kesişir. 2) Çemberlerin kendi aralarında kesişimi: 4 çember C(4,2)=6 çift oluşturur, her çift 2 noktada kesiştiğinden 6x2=12 nokta oluşur. 3) Doğrularla çemberlerin kesişimi: Her bir doğru (3 tane) her bir çemberi (4 tane) 2 noktada kestiğinden 3x4x2=24 nokta oluşur. Toplam: 3+12+24 = 39 noktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim türlerini belirle: Doğru-Doğru, Çember-Çember, Doğru-Çember.
3 farklı etkileşim türü hesaplanmalıdır.
Maksimum kesişim sayısı için her şekil grubunun kendi içinde ve diğer grupla kesişimleri ayrı ayrı toplanır.
2
Doğruların kendi aralarındaki kesişim sayısını hesapla (3 doğru).
C(3, 2) = 3 nokta.
Herhangi iki doğru en çok 1 noktada kesişir.
3
Çemberlerin kendi aralarındaki kesişim sayısını hesapla (4 çember).
C(4, 2) × 2 = 6 × 2 = 12 nokta.
Herhangi iki çember en çok 2 noktada kesişir.
4
Doğrular ile çemberlerin kesişim sayısını hesapla (3 doğru, 4 çember).
3 × 4 × 2 = 24 nokta.
Bir doğru bir çemberi en çok 2 noktada keser.
5
Tüm kesişim noktalarını topla.
3 + 12 + 24 = 39.
Toplam maksimum nokta sayısı.

Anahtar Kavram

Farklı geometrik şekillerin (doğru, çember) maksimum kesişim noktaları hesaplanirken her çiftin kesişme kuralı (1 nokta veya 2 nokta) ayrı ayrı uygulanır.

İpuçları

1
Şekilleri gruplara ayırın: Doğru-Doğru, Çember-Çember ve Doğru-Çember kesişimlerini ayrı ayrı düşünün.

Daha Fazla Pratik

5 doğru ve 3 üçgenin en çok kaç noktada kesişebileceğini soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 110Soru →

Bir İl Kültür ve Turizm Müdürlüğü tarafından düzenlenen karma resim sergisinde; 33 farklı yağlı boya, 22 farklı kara kalem ve 22 farklı sulu boya çalışması sergi duvarında yan yana sıralanacaktır.

Yağlı boya çalışmalarının tamamının bir arada olması ve sulu boya çalışmalarının hiçbirinin yan yana gelmemesi koşuluyla, bu eserler kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 432

Cevap

432 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki temel kısıtlama vardır: Bir grubun bir arada olması ve diğer bir grubun ayrık olması. 'Bir arada' olma koşulu için yağlı boyalar (Y) tek bir paket gibi düşünülür. Kalan kara kalemlerle (K) birlikte önce bu paket ve K'lar sıralanır (3!3!). Yağlı boyalar kendi içinde yer değiştirir (3!3!). Son olarak, yan yana gelmemesi gereken sulu boyalar (S), oluşturulan bu dizilimin aralarındaki boşluklara yerleştirilir. 3 nesne 4 boşluk yaratır, 2 sulu boya bu boşluklara P(4,2)P(4,2) şeklinde dağıtılır. Sonuç: 6×6×12=4326 \times 6 \times 12 = 432.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları analiz et.
Koşul 1: 3 Yağlı Boya (Y) bir arada olacak. Bunları tek bir nesne (X) gibi düşünelim. Koşul 2: 2 Sulu Boya (S) yan yana gelmeyecek. 2 Kara Kalem (K) ise serbest.
Bloklama ve ayraç yöntemlerini belirlemek için.
2
Bloklanan grubu ve kısıtlamasız diğer elemanları sırala.
Elimizdeki elemanlar: (Y1,Y2,Y3) bloğu ve K1, K2. Toplam 3 eleman varmış gibi sıralanır: 3! = 6 farklı durum.
Sulu boyaları yerleştireceğimiz 'iskelet' yapıyı oluşturmak için.
3
Yağlı boyaların kendi içindeki sıralanışını hesapla.
3 farklı yağlı boya kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Blok içindeki yer değişimleri de farklı birer sıralama oluşturur.
4
Sulu boyaları boşluklara yerleştir (Ayraç Yöntemi).
Mevcut 3 elemanın (Blok Y, K1, K2) oluşturduğu 4 boşluk vardır: _ X _ K _ K _. Bu 4 boşluktan 2 tanesine sulu boyalar P(4,2) şeklinde yerleşir: 4 × 3 = 12.
Sulu boyaların yan yana gelmemesi için aralarında en az bir başka eser olmalıdır.
5
Tüm sonuçları çarp.
3! (İskelet) × 3! (Yağlı boya iç) × P(4,2) (Sulu boya yerleşimi) = 6 × 6 × 12 = 432.
Saymanın çarpma kuralı gereği.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Bloklama ve Ayraç Yöntemi

İpuçları

1
Önce 'bir arada olması gerekenleri' tek bir nesne gibi paketleyin (Bağlama Yöntemi).
2
Paketlediğiniz grup ve kısıtlaması olmayan diğer eserleri (kara kalemleri) sıralayın. Oluşan boşlukları sayın.
3
Yan yana gelmemesi gereken sulu boyaları, diğer eserlerin aralarında oluşan boşluklara tek tek yerleştirin (Ayraç Yöntemi).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen 'yuvarlak masa etrafında oturma' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi: Önce sadece yağlı boyaların bir arada olduğu tüm durumları hesaplayın (5!×3!=7205! \times 3! = 720). Sonra bundan, sulu boyaların da yan yana geldiği (istenmeyen) durumu (4!×3!×2!=2884! \times 3! \times 2! = 288) çıkarın. 720−288=432720 - 288 = 432.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 111Soru →

Bir mülki idare amiri, denetleme programı kapsamında AA ilçesinden CC ilçesine gidecektir. Bu iki ilçe arasındaki ulaşım imkânları şu şekildedir:

- AA ilçesinden BB ilçesine giden 44 farklı kara yolu,
- BB ilçesinden CC ilçesine giden 55 farklı kara yolu,
- AA ilçesinden CC ilçesine doğrudan giden (B ilçesine uğramayan) 33 farklı demir yolu hattı bulunmaktadır.

Buna göre, bu amir BB ilçesine uğrayarak veya doğrudan gitmek suretiyle AA ilçesinden CC ilçesine toplam kaç farklı yoldan gidebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Mülki idare amiri A ilçesinden C ilçesine toplam 23 farklı yoldan gidebilir.
Doğru cevap 23'tür. Bu tür sorularda 've' bağlacı mantığıyla birbirini takip eden işlemler için çarpma kuralı uygulanır. A'dan B'ye 4 yol VE B'den C'ye 5 yol olduğu için 4×5=204 \times 5 = 20 farklı güzergah oluşur. 'Veya' bağlacı mantığıyla bu güzergahlara alternatif olan doğrudan 3 demir yolu hattı ise toplama kuralı gereği bu sayıya eklenir: 20+3=2320 + 3 = 23.

Adım Adım Çözüm

1
B ilçesine uğrayarak gidilen yolların sayısını hesapla.
4×5=204 \times 5 = 20
A'dan B'ye 4, B'den C'ye 5 yol olduğu için çarpma kuralı uygulanır.
2
Doğrudan gidilen yolları bu sayıya ekle.
20+3=2320 + 3 = 23
B üzerinden gitmek veya doğrudan gitmek ayrık olaylar olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları: Çarpma ve Toplama

İpuçları

1
Önce B üzerinden kaç farklı şekilde C'ye ulaşılabileceğini düşünün.
2
A'dan B'ye gidip oradan C'ye devam etmek bir bütündür, bu yüzden yolları çarpmanız gerekir.
3
4×54 \times 5 işlemini yaptıktan sonra, bu sonuca doğrudan giden 3 yolu eklemelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer B'den C'ye dönüş yolları da sorulsaydı ve 'kullanılan yolun aynısı dönülmemek şartıyla' denilseydi nasıl bir işlem yapılırdı?

Alternatif Yöntem

Durumları gruplayarak sayma: 1. Durum (B'ye uğrayanlar): 4 seçenek ×\times 5 seçenek = 20. 2. Durum (B'ye uğramayanlar): 3 seçenek. Toplam: 20+3=2320 + 3 = 23.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 112Soru →

Kombinasyon (seçme), bir küme içerisinden elemanların sıralamasına bakılmaksızın belirli bir grup oluşturma işlemidir. Bir belediyenin fen işleri daire başkanlığında görevli birbirinden farklı 77 mimar arasından, bir restorasyon projesinde görevlendirilmek üzere 22 kişilik bir çalışma ekibi seçilecektir. Buna göre, bu çalışma ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Verilen 7 mimar arasından 2 kişilik bir grubun seçilmesi işlemi 21 farklı şekilde yapılabilir.
Soruda birbirinden farklı 77 mimar arasından 22 kişilik bir çalışma grubunun seçilmesi istenmektedir. Gruptaki kişilerin kendi aralarındaki sıralaması (örneğin Ali ve Ayşe'nin seçilmesi ile Ayşe ve Ali'nin seçilmesi) sonucu değiştirmediği için kombinasyon işlemi yapılır. C(7,2)C(7, 2) işlemi sonucunda 2121 farklı grup oluşturulabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Kombinasyon formülünü belirle
C(n,r)=n!r!⋅(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}
Sıralamanın önemli olmadığı seçme işlemlerinde kombinasyon formülü kullanılır.
2
Değerleri formülde yerine yaz
C(7,2)=7!2!⋅(7−2)!=7!2!⋅5!C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}
Toplam mimar sayısı n=7n=7 ve seçilecek kişi sayısı r=2r=2 olarak belirlenmiştir.
3
Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek hesapla
C(7,2)=7×6×5!2×1×5!=7×62×1=422=21C(7, 2) = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21
İşlemi kolaylaştırmak için 7!7! ifadesi 5!5! ifadesine kadar açılır ve paydadaki 5!5! ile sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1
Bu soruda kişilerin seçilme sırası önemli midir yoksa sadece hangi iki kişinin grupta olduğu mu önemlidir?
2
Bir kümeden eleman seçmek için kombinasyon (C(n,r)C(n, r)) formülü kullanılır. Burada n=7n=7 ve r=2r=2 değerlerini kullanmalısın.
3
İşlemi hızlandırmak için C(7,2)C(7, 2) ifadesini 7×62×1\frac{7 \times 6}{2 \times 1} şeklinde pratik olarak hesaplayabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Kombinasyonun temelini kavradıktan sonra, belirli kişilerin mutlaka grupta bulunması gereken veya bulunmaması gereken durumları içeren soruları çözmeyi deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun özelliklerinden biri C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) olmasıdır. Yani 77 kişiden 22 kişiyi seçmek, dışarıda kalacak olan 55 kişiyi seçmekle aynı sayıda durum (C(7,5)C(7, 5)) oluşturur.
Tahmini Süre:45s
Soru 113Soru →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=132⋅y! x! = 132 \cdot y!
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Eşitliği sağlayan x değerleri 132 ve 12 olduğundan, bu değerlerin toplamı 144'tür.
Verilen eşitlik x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde yazıldığında, bu oranın ardışık sayıların çarpımı olması gerekir. 132 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir: Birincisi sayının kendisi yani 132 (bu durumda x=132,y=131x=132, y=131), ikincisi ise 12⋅1112 \cdot 11 (bu durumda x=12,y=10x=12, y=10). Bu iki durumdan elde edilen xx değerlerinin toplamı 132+12=144132 + 12 = 144 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak oran şeklinde düzenle.
x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132
Bu ifade, xx sayısından geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 132 olduğunu gösterir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı (132) ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edebilecek durumları incele.
Durum 1: Tek terimli çarpım (132132). Durum 2: İki terimli çarpım (12⋅1112 \cdot 11).
Faktöriyel sadeleştirmelerinde x!y!=x⋅(x−1)⋯(y+1)\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdots (y+1) olduğu için 132 sayısı ardışık çarpanlara ayrılmalıdır.
3
Durum 1 için (tek terimli çarpım) x değerini bul.
x!y!=132  ⟹  x=132\frac{x!}{y!} = 132 \implies x = 132 ve y=131y = 131. Bu durumda x1=132x_1 = 132 olur.
Her nn doğal sayısı için n!(n−1)!=n\frac{n!}{(n-1)!} = n eşitliği daima sağlanır.
4
Durum 2 için (ardışık iki terimli çarpım) x değerini bul.
132=12⋅11132 = 12 \cdot 11 olduğundan, x!y!=12⋅11  ⟹  x=12\frac{x!}{y!} = 12 \cdot 11 \implies x = 12 ve y=10y = 10. Bu durumda x2=12x_2 = 12 olur.
132 sayısı 12⋅1112 \cdot 11 şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılabilir.
5
Başka ardışık çarpım durumu olup olmadığını kontrol et ve bulunan x değerlerini topla.
Ardışık üç sayının çarpımı 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 ve 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan başka çözüm yoktur. Toplam: 132+12=144132 + 12 = 144.
132 sayısını veren başka ardışık sayı dizisi bulunmamaktadır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren eşitliklerde, ifade x!y!\frac{x!}{y!} formuna getirilerek ardışık sayıların çarpımı olarak analiz edilmelidir.

İpuçları

1
Verilen eşitliği x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde düzenleyerek düşünmeye başlayın.
2
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına eşittir. 132 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
Bir sayı her zaman kendisi olarak (tek terimli ardışık dizi) yazılabilir (x=132x=132). Ayrıca 132 sayısını A⋅(A−1)A \cdot (A-1) şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazıp yazamayacağınızı kontrol edin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yerine 132 sayısının asal çarpanlarını (22⋅3⋅112^2 \cdot 3 \cdot 11) inceleyerek ardışık gruplar oluşturulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 114Soru →

Bir uluslararası sempozyumda sunulmak üzere, içerikleri birbirinden farklı olan 33 tarih, 22 ekonomi ve 11 sanat konulu bildiri seçilmiştir. Oturum planlaması yapılırken, konu bütünlüğünün sağlanması amacıyla aynı alandaki bildirilerin art arda sunulması kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu 66 bildiri kaç farklı sıra ile sunulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Bildiriler, verilen koşullar altında 72 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda verilen 'aynı alandaki bildirilerin art arda olması' koşulu, bloklama (paketleme) yöntemini gerektirir. Önce Tarih, Ekonomi ve Sanat grupları kendi aralarında birer bütün olarak sıralanır (3!=63! = 6). Daha sonra, her grubun içindeki farklı bildirilerin kendi aralarındaki yer değişimleri hesaplanır (Tarih: 3!=63! = 6, Ekonomi: 2!=22! = 2, Sanat: 1!=11! = 1). Çarpma kuralı ile 6×6×2×1=726 \times 6 \times 2 \times 1 = 72 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Grupları belirle
Tarih bildirileri (T), Ekonomi bildirileri (E) ve Sanat bildirisi (S) olmak üzere 3 ana grup oluşur. Aynı branştaki bildiriler ayrılmayacağı için her branş bir 'blok' olarak düşünülür.
Koşulda aynı alandaki bildirilerin art arda (yan yana) olması istenmiştir.
2
Grupların kendi arasındaki sıralanışını hesapla
3 farklı grup (Tarih Bloğu, Ekonomi Bloğu, Sanat Bloğu) kendi arasında P(3,3) = 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Blokların birbirine göre konumu değişebilir.
3
Grup içi sıralamaları hesapla
3 farklı Tarih bildirisi kendi içinde 3! = 6; 2 farklı Ekonomi bildirisi kendi içinde 2! = 2; 1 Sanat bildirisi kendi içinde 1! = 1 farklı şekilde sıralanır.
Bildirilerin hepsi birbirinden farklıdır, bu yüzden grup içinde yer değiştirebilirler.
4
Tüm olasılıkları çarp
Toplam Sıralama = (Grup Sıralaması) × (Tarih İçi) × (Ekonomi İçi) × (Sanat İçi) = 6 × 6 × 2 × 1 = 72.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız durumların sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Bloklama Yöntemi
Soru 115Soru →

Bir sporcu, 88 basamaklı bir merdiveni her bir adımda 11 basamak veya 22 basamak çıkarak tırmanmaktadır. Buna göre bu sporcu, merdivenin en üstüne toplam 66 adım atarak kaç farklı şekilde çıkabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1515

Cevap

Sporcu merdiveni 15 farklı şekilde çıkabilir.
Toplamda 8 basamağı 6 adımda çıkabilmek için sporcunun 2 adet '2 basamaklı' ve 4 adet '1 basamaklı' adım atması gerekir (2+2+1+1+1+1=8). Bu adımların kendi içindeki farklı dizilişleri, tekrarlı permütasyon formülü olan 6!2!×4!\frac{6!}{2! \times 4!} ile hesaplanır ve sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Atılan adım türlerinin sayılarını belirlemek için değişkenler tanımlanır.
xx: 22 basamaklı adım sayısı, yy: 11 basamaklı adım sayısı olsun.
Toplam adım ve toplam basamak sayılarını veren bir denklem sistemi kurmak için gereklidir.
2
Verilen bilgilere göre denklem sistemi kurulur ve çözülür.
x+y=6x + y = 6 (Toplam adım) ve 2x+y=82x + y = 8 (Toplam basamak). Bu sistem çözüldüğünde x=2x = 2 ve y=4y = 4 bulunur.
Sporcunun kaç adet 1'lik ve kaç adet 2'lik adım attığını belirlemek için.
3
Belirlenen adım türlerinin sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
{2,2,1,1,1,1}\{2, 2, 1, 1, 1, 1\} kümesinin sıralanış sayısı: 6!2!×4!=7202×24=15\frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15.
Adımların hangi sırada atıldığı her bir farklı çıkış yolunu temsil eder.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Sporcunun kaç adet 1 basamaklı, kaç adet 2 basamaklı adım attığını bularak işe başlayın.
2
Toplam adım sayısı 6 ve toplam basamak sayısı 8 ise; iki bilinmeyenli bir denklem kurabilirsiniz.
3
İki adet 2'lik ve dört adet 1'lik adımın sıralanışı için tekrarlı permütasyon formülünü (n!n1!×n2!\frac{n!}{n_1! \times n_2!}) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, adım sayısı kısıtlaması olmadan tüm olasılıkları soran (Fibonacci dizisi mantığı) bir soruyla karşılaştırarak çözün.

Alternatif Yöntem

Olası durumları listeleyerek de kontrol edebilirsiniz: (2,2,1,1,1,1) dizilişinde 2'lerin yerlerini seçmek C(6,2) = 15 farklı durum verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 116Soru →

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

7!+6!6!×5!−4!4!+0!\frac{7! + 6!}{6!} \times \frac{5! - 4!}{4!} + 0!
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

İşlemin sonucu 33 olarak bulunur.
Verilen işlemde her iki kesirli ifade de pay kısımları ortak faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilmiştir. Birinci kısımdan 8, ikinci kısımdan 4 değeri elde edilmiş; bu iki değer çarpılıp üzerine 0!0! (yani 1) eklendiğinde sonuç 33 olmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesirli ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirelim.
7!+6!6!=6!⋅(7+1)6!=8\frac{7! + 6!}{6!} = \frac{6! \cdot (7 + 1)}{6!} = 8
Büyük olan faktöriyeli (7!7!), küçük olan (6!6!) cinsinden yazarak sadeleştirme yapabiliriz.
2
İkinci kesirli ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirelim.
5!−4!4!=4!⋅(5−1)4!=4\frac{5! - 4!}{4!} = \frac{4! \cdot (5 - 1)}{4!} = 4
Aynı mantıkla 5!5! ifadesini 5⋅4!5 \cdot 4! şeklinde açarak pay kısmını 4!4! parantezine alırız.
3
Bulduğumuz sonuçları ana işlemde yerine koyalım ve 0!0! değerini ekleyelim.
8×4+1=32+1=338 \times 4 + 1 = 32 + 1 = 33
Matematikte özel bir kural olarak 0!=10! = 1 kabul edilir. İşlem önceliğine göre önce çarpma, sonra toplama yapılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerinde sadeleştirme yaparken büyük sayıyı küçük sayıya benzeterek ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma varsa, her zaman en küçük faktöriyele göre paranteze almayı dene.
2
7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! eşitliklerini kullanarak pay kısımlarını sadeleştir.
3
Unutma: 0!0! her zaman 11 değerine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Ardışık faktöriyellerin farkı veya toplamı içeren daha karmaşık sadeleştirme sorularını inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Kesirleri parçalayarak da çözebilirsin: 7!6!+6!6!\frac{7!}{6!} + \frac{6!}{6!} ifadesi 7+1=87 + 1 = 8 olur. Aynı şekilde 5!4!−4!4!\frac{5!}{4!} - \frac{4!}{4!} ifadesi 5−1=45 - 1 = 4 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 117Soru →

1,1,2,2,2,31, 1, 2, 2, 2, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı tek doğal sayı oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
Verilen {1,1,2,2,2,3}\{1, 1, 2, 2, 2, 3\} kümesi ile 6 basamaklı tek sayılar yazılabilmesi için son basamağın tek rakam (1 veya 3) olması gerekir. İki durum incelenir: Son basamağın 1 olduğu durumlar için kalan rakamlar {1,2,2,2,3}\{1, 2, 2, 2, 3\} olup 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı sayı yazılır. Son basamağın 3 olduğu durumlar için kalan rakamlar {1,1,2,2,2}\{1, 1, 2, 2, 2\} olup 5!2!3!=10\frac{5!}{2!3!} = 10 farklı sayı yazılır. Toplamda 20+10=3020 + 10 = 30 farklı sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu belirle
Sayının tek olması için birler basamağına kümedeki tek rakamlar gelmelidir: {1,3}\{1, 3\}.
Tek doğal sayılar 1, 3, 5, 7, 9 ile biter.
2
1. Durum: Birler basamağının 1 olması
Geriye kalan rakamlar: {1,2,2,2,3}\{1, 2, 2, 2, 3\}. Tekrarlı permütasyon: 5!3!1!1!=1206=20\frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20.
Birler basamağına bir tane 1 sabitlenir, kalan 5 rakam (üç tane 2, bir tane 1, bir tane 3) sıralanır.
3
2. Durum: Birler basamağının 3 olması
Geriye kalan rakamlar: {1,1,2,2,2}\{1, 1, 2, 2, 2\}. Tekrarlı permütasyon: 5!2!3!=1202×6=10\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10.
Birler basamağına 3 sabitlenir, kalan 5 rakam (iki tane 1, üç tane 2) sıralanır.
4
Toplamı hesapla
20+10=3020 + 10 = 30
Farklı durumlar toplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Durum Analizi
Soru 118Soru →

Bir kamu kurumu tarafından personelin mesleki gelişimi için 88 farklı uzmanlık eğitimi açılmıştır. Bir memurun bu eğitimlerden herhangi 22 tanesini seçerek bir eğitim paketi oluşturması istenmektedir. Buna göre, bu memur kaç farklı eğitim paketi oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2828

Cevap

Memur, 88 farklı eğitim arasından 22 tanesini 2828 farklı şekilde seçerek eğitim paketi oluşturabilir.
Doğru cevap olan 2828 seçeneği, 88 farklı nesne arasından 22 tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren C(8,2)C(8, 2) işleminin sonucudur. Matematiksel olarak 8×72×1\frac{8 \times 7}{2 \times 1} işlemi bizi bu sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin türünü belirle.
Kombinasyon (Seçme)
Soruda eğitimlerin seçilme sırası önemli değil, sadece hangi eğitimlerin bir araya getirildiği (grup oluşturma) önemli olduğu için kombinasyon kullanılır.
2
Kombinasyon formülünü uygula.
C(8,2)=8!(8−2)!⋅2!C(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)! \cdot 2!}
nn elemanlı bir kümeden rr eleman seçme formülü C(n,r)=n!(n−r)!⋅r!C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!} şeklindedir.
3
İşlemi sadeleştirerek sonucu bul.
8⋅72⋅1=28\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28
Faktöriyel açılımı yapıldığında pay kısmındaki 8⋅78 \cdot 7 ifadesi, paydadaki 22 ile sadeleşerek sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.

İpuçları

1
Bu soruda eğitimlerin hangi sırayla seçildiği değil, hangi eğitimlerin seçildiği önemlidir. Bu durum bizi kombinasyona yönlendirir.
2
88 elemanlı bir kümenin 22 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmalısınız. C(8,2)C(8, 2) formülünü hatırlayın.
3
C(8,2)=8⋅72⋅1C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} işlemini yaparak sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Seçilen eğitim sayısı 33 olsaydı sonucun nasıl değişeceğini hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonu pratik yoldan hesaplamak için nn sayısını rr kadar geriye doğru açıp (8⋅78 \cdot 7), rr faktöriyele (2⋅12 \cdot 1) bölebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 119Soru →

Matematik dersinde binom açılımı konusunu işleyen bir öğrenci, bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 11 yazılması gerektiğini öğrenmiştir.

Buna göre, (2x−3y)4(2x - 3y)^4 ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İfadenin katsayılar toplamı 11 olarak bulunur.
Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan xx ve yy değişkenlerine 11 değeri verilir. Bu durumda ifade (2−3)4(2-3)^4 halini alır. Parantez içindeki işlemin sonucu −1-1 olur. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğu için (−1)4=1(-1)^4 = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı kuralını uygulama
x=1x = 1 ve y=1y = 1 yazılır.
Bir binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 11 yazılmalıdır.
2
Değerleri yerine yerleştirme
(2⋅1−3⋅1)4(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)^4
Verilen ifadede xx ve yy gördüğümüz yerlere 11 koyarak işlem önceliğine göre kuruyoruz.
3
Parantez içi işlemi yapma
(2−3)4=(−1)4(2 - 3)^4 = (-1)^4
Önce parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri tamamlanır.
4
Kuvvet alma işlemini tamamlama
(−1)4=1(-1)^4 = 1
Negatif bir sayının çift sayıdaki kuvveti her zaman pozitiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı değişkenlere 11 verilerek bulunur.

İpuçları

1
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin (x ve y) yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini hatırlayın.
2
İfadedeki xx ve yy yerine 11 yazarak parantez içindeki işlemin sonucunu bulun.
3
Parantez içi −1-1 çıkacaktır. (−1)4(-1)^4 işlemini yaparken kuvvetin çift olduğuna dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine 0 yazmanız gerektiğini unutmayın.

Alternatif Yöntem

İfadeyi tam olarak açmak (binom açılımı formülüyle) her terimin katsayısını tek tek görmenizi sağlar, ancak katsayılar toplamı için x=1,y=1x=1, y=1 yazmak çok daha hızlı ve hatasız bir yöntemdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 120Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
45!24x=y \frac{45!}{24^x} = y
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
45! sayısı 24x24^x sayısına tam bölünüyorsa, 45! içinde kaç adet 24 çarpanı olduğu bulunmalıdır. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğu için, 45! içindeki 2 çarpanlarının sayısı 3'e bölünerek, 3 çarpanlarının sayısı ise 1'e bölünerek karşılaştırılır. 2 çarpanından 41 adet vardır, 41/341/3 işleminden tam sayı olarak 13 adet 232^3 elde edilir. 3 çarpanından 21 adet vardır. 13 sayısı 21'den küçük olduğu için sınırlayıcıdır ve cevap 13 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölen sayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Faktöriyelli sayının içindeki çarpanları bulmak için tabanın asal olması gerekir.
2
45! içindeki 2 çarpanlarının sayısını bul (Legendré Formülü).
45/2→2245/2 \rightarrow 22, 22/2→1122/2 \rightarrow 11, 11/2→511/2 \rightarrow 5, 5/2→25/2 \rightarrow 2, 2/2→12/2 \rightarrow 1. Toplam: 22+11+5+2+1=4122+11+5+2+1 = 41 tane 2 çarpanı vardır.
Sürekli bölme işlemi ile faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı bulunur.
3
Tabandaki 232^3 ifadesi için kaç grup oluşturulabileceğini hesapla.
41/3=1341 / 3 = 13 (kalan 2). Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 2424 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
4
45! içindeki 3 çarpanlarının sayısını bul.
45/3→1545/3 \rightarrow 15, 15/3→515/3 \rightarrow 5, 5/3→15/3 \rightarrow 1. Toplam: 15+5+1=2115+5+1 = 21 tane 3 çarpanı vardır.
Diğer asal çarpanın sınır koyup koymadığı kontrol edilmelidir.
5
İki sonuçtan küçük olanı (sınırlayıcı olanı) seç.
2 çarpanı için limit 13, 3 çarpanı için limit 21'dir. Küçük olan 13 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının oluşturulabilmesi için tüm bileşen çarpanlarının yeterli sayıda olması gerekir. Az olan bileşen üretim sayısını belirler.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını bulma (Legendré Formülü) ve bileşik sayıların kuvvetlerini hesaplama.

İpuçları

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırarak işe başlayın: 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3.
2
45! içinde kaç tane 2 çarpanı ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın.
3
Bulduğunuz 2 çarpanı sayısını, 232^3 elde etmek için 3'e bölmeyi unutmayın (tamsayı bölümü). Sonra 3 çarpanı sayısı ile karşılaştırıp küçük olanı seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 60!/18x60! / 18^x sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 15Sonraki