Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir kamu hastanesinin acil servisinde görevli bir doktor için bir haftalık (7 gün) çalışma çizelgesi hazırlanacaktır. Çizelgede içerikleri bakımından özdeş olan; 3 gün 'Poliklinik', 2 gün 'Nöbet' ve 2 gün 'İzin' görevi yer alacaktır.

İzin günlerinin ardışık (peş peşe) gelmemesi koşuluyla, bu bir haftalık çalışma çizelgesi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

60

90

120

150

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Çizelge 150 farklı şekilde oluşturulabilir.

Soruda özdeş elemanların sıralanması (tekrarlı permütasyon) ve 'yan yana gelmeme' koşulu vardır. Bu tür sorularda en pratik yöntem, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumunu çıkarmaktır.

1. Tüm Durumlar: 3 Poliklinik (P), 2 Nöbet (N), 2 İzin (İ) olmak üzere toplam 7 eleman vardır.

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210

2. İstenmeyen Durum (İzinler Yan Yana): İki izin gününü tek bir paket (İİ) gibi düşünürsek; elimizde P, P, P, N, N, (İİ) şeklinde 6 nesne olur. Bu nesnelerin sıralanışı:

\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60

3. Sonuç:

210 - 60 = 150

farklı şekilde oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların sayısını hesapla

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210

Herhangi bir koşul olmadan 7 günün sıralanması tekrarlı permütasyon formülü ile bulunur.

2

İstenmeyen durumların (İzin günlerinin yan yana olduğu) sayısını hesapla

İki izin gününü tek bir blok (

XX

) gibi düşünürsek; elimizde

P, P, P, N, N, (XX)

olmak üzere 6 nesne olur.

\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = \frac{720}{12} = 60

'Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar' yöntemi kullanılacağı için, izinlerin bitişik olduğu durumlar hesaplanır.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar

210 - 60 = 150

İzin günlerinin yan yana gelmemesi şartını sağlayan durum sayısı bu fark ile bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyeni Çıkarma Yöntemi

Soru 82Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde bulunan $8$ farklı klasörden $4$ tanesi, dijitalleştirme işlemi için seçilecektir. Bu klasörlerden $2$ tanesi "Çok Gizli" ibaresine sahip olup, yapılacak seçimde bu iki klasörden en çok bir tanesinin yer alması istenmektedir. Buna göre, bu dijitalleştirme işlemi için yapılacak seçim kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?

15

40

50

55

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Arşiv birimindeki seçim işlemi, kısıtlamaya uygun olarak 55 farklı şekilde gerçekleştirilebilir.

En çok bir klasör seçilmesi şartı, 'hiç gizli klasör seçilmemesi' veya 'sadece bir gizli klasör seçilmesi' durumlarının toplamını ifade eder. 6 normal klasör arasından 4 normal klasörün seçilmesi

\binom{6}{4}=15

farklı şekilde; 2 gizli klasörden 1'i ve 6 normal klasörden 3'ünün seçilmesi ise

\binom{2}{1} \times \binom{6}{3} = 2 \times 20 = 40

farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki durumun toplamı 55 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Grupları ve seçim kısıtlamasını belirleme

Toplam

8

klasör;

2

adet Çok Gizli,

6

adet Normal klasör bulunmaktadır.

4

klasör seçilecektir ve Çok Gizli klasör sayısı

\leq 1

olmalıdır.

Problemi çözmek için uygun olan durumları kategorize etmek gerekir.

2

Hiç Çok Gizli klasörün seçilmediği durumu hesaplama

\binom{2}{0} \times \binom{6}{4} = 1 \times 15 = 15

"En çok bir" kısıtlaması, 0 adet gizli klasör seçilmesini kapsar.

3

Tam olarak bir adet Çok Gizli klasörün seçildiği durumu hesaplama

\binom{2}{1} \times \binom{6}{3} = 2 \times 20 = 40

"En çok bir" kısıtlaması, 1 adet gizli klasör seçilmesini kapsar.

4

Elde edilen durum sayılarını toplama

15 + 40 = 55

Birbirinden ayrık olan bu iki durumun toplamı, istenen kısıtlamaya uygun tüm seçimleri verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kısıtlı Durum Analizi

İpuçları

1

"En çok bir" ifadesi, 0 veya 1 adet gizli klasör seçilebileceği anlamına gelir.

2

Klasörleri 'Gizli' ve 'Normal' olarak iki gruba ayırıp, her durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalısın.

3

Toplam seçim sayısından (

C(8,4)

), her iki gizli klasörün de seçildiği (

C(2,2) \times C(6,2)

) durumları çıkararak da sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir' kısıtlamasıyla çözerek arasındaki mantık farkını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumların sayısından istenmeyen durumların (her iki gizli klasörün de seçildiği durumlar) çıkarılması:

\binom{8}{4} - \binom{2}{2} \times \binom{6}{2} = 70 - (1 \times 15) = 55

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 83Soru →

Bir kamu kurumunun belge yönetim biriminde, gelen evraklar 'Fiziksel' veya 'Elektronik' olmak üzere iki farklı yöntemden yalnızca biri seçilerek kayıt altına alınmaktadır.

Fiziksel kayıt yönteminde; kurum stoğunda bulunan 4 farklı renkteki dosya türünden biri ve 5 farklı boyuttaki etiket türünden biri seçilerek eşleştirme yapılmaktadır.

Elektronik kayıt yönteminde ise; sisteme tanımlı 6 farklı güvenlik kodundan biri seçilerek işlem tamamlanmaktadır.

Buna göre, bu birime gelen bir evrak kaç farklı şekilde kayıt altına alınabilir?

15

26

34

54

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Evrak toplam 26 farklı şekilde kayıt altına alınabilir.

Soru, saymanın temel ilkeleri olan çarpma ve toplama kurallarının birlikte kullanımını gerektirir. Fiziksel kayıt işlemi kendi içinde birbirine bağlı iki aşamadan (dosya ve etiket seçimi) oluştuğu için çarpma kuralı uygulanır:

4 \times 5 = 20

seçenek. Elektronik kayıt ise fiziksel kayıttan bağımsız, alternatif bir durumdur. Bu nedenle 'veya' mantığıyla toplama kuralı devreye girer:

20 + 6 = 26

farklı yol vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Fiziksel kayıt seçeneklerini hesapla

4 renk x 5 etiket = 20 farklı seçenek

Fiziksel kayıtta hem dosya rengi HEM DE etiket seçildiği için 've' bağlacı mantığıyla çarpma kuralı uygulanır.

2

Elektronik kayıt seçeneklerini belirle

6 farklı seçenek

Elektronik kayıtta tek bir seçim (güvenlik kodu) yapılmaktadır.

3

Toplam durumu hesapla

20 + 6 = 26

Kayıt işlemi fiziksel VEYA elektronik yöntemden sadece biriyle yapıldığı için, iki durumun sonuçları toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Ayrık olaylarda toplama, birbirine bağlı sıralı olaylarda çarpma kuralı uygulanır.

Soru 84Soru →

Bir kalkınma ajansına sunulan projeler değerlendirme sonucuna göre; "Onaylandı", "Revizyon Gerekiyor" ve "Reddedildi" olmak üzere üç ayrık kategoriye ayrılmaktadır. Bu üç kategori, örnek uzayı oluşturan ayrık olaylardır.

Rastgele seçilen bir projenin;
- "Onaylandı" veya "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı $\frac{7}{10}$ ,
- "Revizyon Gerekiyor" veya "Reddedildi" kategorisinde olma olasılığı $\frac{4}{5}$

olduğuna göre, bu projenin "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{3}{10}

\frac{1}{2}

\frac{7}{10}

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Projenin "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı

\frac{1}{2}

'dir.

Örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı

1

olmalıdır. Verilen iki birleşim olasılığı sayesinde tekil olayların olasılıkları

P(A) + P(B) + P(C) = 1

eşitliğinden çekilebilir. "Onaylandı" (

A

), "Revizyon" (

B

) ve "Reddedildi" (

C

) olayları için;

P(A)+P(B)=7/10

ise

P(C)=3/10

;

P(B)+P(C)=8/10

ise

P(A)=2/10

bulunur. Bu durumda

P(B) = 1 - (3/10 + 2/10) = 5/10 = 1/2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonu kurallarını kullanarak denklem sistemini kur

P(\text{Onaylandı}) + P(\text{Revizyon}) + P(\text{Red}) = 1

Örnek uzayı oluşturan tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı her zaman 1'e eşittir.

2

"Reddedildi" kategorisinin olasılığını bul

P(\text{Red}) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}

"Onaylandı" veya "Revizyon" olasılığı bilindiğine göre, tüm durumdan bu toplam çıkarılarak üçüncü durumun olasılığı bulunur.

3

"Onaylandı" kategorisinin olasılığını bul

P(\text{Onaylandı}) = 1 - \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

"Revizyon" veya "Reddedildi" olasılığı bilindiğine göre, tüm durumdan bu toplam çıkarılarak birinci durumun olasılığı bulunur.

4

İstenen "Revizyon Gerekiyor" kategorisinin olasılığını hesapla

P(\text{Revizyon}) = 1 - (\frac{3}{10} + \frac{2}{10}) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Toplam olasılıktan (1), diğer iki ayrık kategorinin olasılıkları çıkarılarak hedeflenene ulaşılır.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonu özellikleri ve ayrık olayların birleşim olasılığı

İpuçları

1

Örnek uzaydaki tüm olasılıkların toplamının her zaman 1 olması gerektiğini hatırlayın.

2

Üç olay da ayrık olduğu için birleşim olasılıklarını

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

şeklinde yazabilirsiniz.

3

P(\text{Onay}) + P(\text{Revizyon}) = 7/10

ise, toplamdan bunu çıkararak

P(\text{Red})

olasılığını bulabilirsiniz. Benzerini diğer bilgi için yapıp sonuca gidin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, olasılık değerlerinden birinin bilinmeyen bir 'k' değişkenine bağlı olduğu (örneğin

P(A)=2k, P(B)=3k

) durumlar için çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayın:

[P(O) + P(Rv)] + [P(Rv) + P(Rd)] = 7/10 + 4/5

. Sol tarafta

P(O) + P(Rv) + P(Rd)

ifadesinin 1 olduğunu bildiğimiz için;

1 + P(Rv) = 7/10 + 8/10

olur. Buradan

P(Rv) = 15/10 - 1 = 5/10 = 1/2

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 85Soru →

$(ax + y)^5$ ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı $243$ olduğuna göre, bu açılımdaki $x^3y^2$ li terimin katsayısı kaçtır?

10

20

40

80

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Verilen ifadedeki katsayılar toplamından yararlanarak

a=2

bulunur ve binom açılımı genel terim formülüyle

x^3y^2

teriminin katsayısı 80 olarak elde edilir.

Katsayılar toplamı için

x=1, y=1

yazıldığında

(a+1)^5 = 243

eşitliğinden

a=2

bulunur. İfade

(2x+y)^5

halini alır. Bu açılımda

x^3y^2

terimi, formüldeki

r=2

durumuna karşılık gelir:

\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3y^2 = 80x^3y^2

. Bu nedenle katsayı 80'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.

(a\cdot 1 + 1)^5 = 243 \implies (a+1)^5 = 3^5

Bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 verilerek bulunur.

2

Elde edilen üslü denklemi çözerek

a

değerini belirle.

a+1 = 3 \implies a = 2

Üsler eşit olduğunda tabanlar da eşit olmalıdır.

3

İfadeyi

(2x + y)^5

olarak yaz ve genel terim formülünü uygula.

Genel terim:

\binom{5}{r} \cdot (2x)^{5-r} \cdot y^r

Binom açılımında

(x+y)^n

için genel terim

\binom{n}{r} x^{n-r} y^r

formülüyle hesaplanır.

4

x^3y^2

terimini elde etmek için

r

değerini belirle ve katsayıyı hesapla.

r = 2

için;

\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80x^3y^2

y

'nin kuvveti 2 olduğundan

r=2

alınır.

x

'in kuvveti ise

5-2=3

olur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.

İpuçları

1

Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 yazarak başlayın.

2

Elde ettiğiniz

a

değerini yerine yazarak

(2x+y)^5

ifadesine ulaşın.

3

Binom genel terim formülü olan

\binom{n}{r} A^{n-r} B^r

ifadesinde

n=5

ve

r=2

değerlerini kullanarak katsayıyı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ifadeyi

(x-2y)^6

şeklinde alarak sabit terimi bulmaya çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Bir kamu kurumuna gelen evrakların %60'ı A biriminde, %40'ı ise B biriminde incelenmektedir. Geçmiş veriler analiz edildiğinde, A biriminde incelenen evrakların %2'sinde, B biriminde incelenen evrakların ise %5'inde işlem hatası yapıldığı tespit edilmiştir.

Rastgele seçilen bir evrağın işlem hatası içerdiği bilindiğine göre, bu evrağın B biriminde incelenmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{50}

\frac{4}{125}

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{5}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{8}$

Cevap

Seçilen hatalı evrağın B biriminden gelme olasılığı

\frac{5}{8}

'dir.

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi koşullu olasılık kullanılacağını gösterir. İstenen durum, evrağın B biriminden gelmiş ve hatalı olmasıdır (

0,40 \times 0,05 = 0,020

). Tüm durumlar ise evrağın A'dan veya B'den gelip hatalı olmasıdır (

0,012 + 0,020 = 0,032

). Bu iki değerin oranı

\frac{20}{32} = \frac{5}{8}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımla ve verilen olasılıkları yaz.

P(A) = 0,60

,

P(B) = 0,40

. Hata yapma olasılıkları:

P(E|A) = 0,02

,

P(E|B) = 0,05

.

Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

Her iki durum için 'Birim ve Hata' kesişim olasılıklarını hesapla.

A ve Hata:

0,60 \times 0,02 = 0,012

. B ve Hata:

0,40 \times 0,05 = 0,020

.

Koşullu olasılık formülünde pay ve paydayı oluşturmak için kesişim kümelerinin değerlerine ihtiyaç vardır.

3

Toplam hata olasılığını (örnek uzayı) bul.

P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = 0,012 + 0,020 = 0,032

.

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' dendiği için, yeni örnek uzayımız tüm hatalı evraklardır.

4

Koşullu olasılık formülünü uygula: İstenen Durum / Tüm Durumlar.

P(B|E) = \frac{0,020}{0,032} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}

.

Bayes teoremi veya koşullu olasılık tanımı gereği, B'den gelen hatalıların tüm hatalılara oranı aranmaktadır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Yaklaşımı)

İpuçları

1

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanız gereken paydanın 'toplam hatalı evrak olasılığı' olduğunu işaret eder.

2

Önce A biriminden gelen hatalı evrak oranını (

0,60 \times 0,02

) ve B biriminden gelen hatalı evrak oranını (

0,40 \times 0,05

) ayrı ayrı hesaplayın.

3

İstenen durum (B ve Hatalı) 0,020'dir. Tüm durumlar (Toplam Hatalı) 0,032'dir. Bu iki sayıyı birbirine oranlayın.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek çözüm: Toplam 1000 evrak olduğunu varsayalım. A birimine 600, B birimine 400 evrak gider. A'daki hatalı sayısı

600 \times 0,02 = 12

. B'deki hatalı sayısı

400 \times 0,05 = 20

. Toplam hatalı evrak sayısı

12 + 20 = 32

. Bunların 20 tanesi B'den geldiği için olasılık

20/32 = 5/8

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 87Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel 6 yatay doğru ile birbirine paralel 5 düşey doğru verilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu ızgarada, kenarları belirtilen doğrular üzerinde olan bir birim kare boyalı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, şekildeki dikdörtgenlerden kaç tanesi boyalı bölgeyi kapsar?

36

48

54

60

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Boyalı bölgeyi kapsayan 54 farklı dikdörtgen vardır.

İstenen koşulu sağlayan dikdörtgen sayısı hesaplanırken, boyalı karenin konumuna göre seçim yapılır. Şekilde boyalı kare, yukarıdan aşağıya 3. ve 4. yatay doğrular ile soldan sağa 2. ve 3. düşey doğrular arasında yer almaktadır. Bu kareyi kapsayan bir dikdörtgen oluşturmak için:

1. Üst Kenar Seçimi: Boyalı karenin üst sınırını oluşturan doğru (

d_3

) veya daha yukarısındaki doğrular (

d_1, d_2

) seçilebilir. (3 seçenek)
2. Alt Kenar Seçimi: Boyalı karenin alt sınırını oluşturan doğru (

d_4

) veya daha aşağısındaki doğrular (

d_5, d_6

) seçilebilir. (3 seçenek)
3. Sol Kenar Seçimi: Boyalı karenin sol sınırını oluşturan doğru (

k_2

) veya daha solundaki doğru (

k_1

) seçilebilir. (2 seçenek)
4. Sağ Kenar Seçimi: Boyalı karenin sağ sınırını oluşturan doğru (

k_3

) veya daha sağındaki doğrular (

k_4, k_5

) seçilebilir. (3 seçenek)

Çarpma kuralı gereği toplam dikdörtgen sayısı:

3 \times 3 \times 2 \times 3 = 54

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin boyalı kareyi kapsaması için gerekli kenar seçim koşullarını belirle.

Dikdörtgenin üst kenarı boyalı karenin üstünde veya hizasında, alt kenarı altında veya hizasında, sol kenarı solunda veya hizasında, sağ kenarı ise sağında veya hizasında olmalıdır.

Bir dikdörtgenin belirli bir bölgeyi içine alabilmesi için sınırlarının o bölgeyi çevrelemesi gerekir.

2

Yatay doğrular arasından üst ve alt kenar için kaç farklı seçim yapılabileceğini hesapla.

Üst kenar için

d_1, d_2, d_3

olmak üzere 3 seçenek; alt kenar için

d_4, d_5, d_6

olmak üzere 3 seçenek vardır. Toplam yatay kombinasyon:

3 \times 3 = 9

.

Boyalı kare 3. ve 4. yatay doğrular arasındadır.

3

Düşey doğrular arasından sol ve sağ kenar için kaç farklı seçim yapılabileceğini hesapla.

Sol kenar için

k_1, k_2

olmak üzere 2 seçenek; sağ kenar için

k_3, k_4, k_5

olmak üzere 3 seçenek vardır. Toplam düşey kombinasyon:

2 \times 3 = 6

.

Boyalı kare 2. ve 3. düşey doğrular arasındadır.

4

Bulunan seçenek sayılarını çarpma kuralına göre birleştir.

9 \times 6 = 54

.

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dikdörtgenin belirli bir hücreyi kapsaması için, dikdörtgeni oluşturan doğruların o hücrenin sınırlarına göre (üst, alt, sol, sağ) seçilmesi gerekir.

İpuçları

1

Bir dikdörtgenin boyalı kareyi içine alabilmesi için, dikdörtgenin sınır çizgilerinin boyalı karenin dışında veya sınırında kalması gerekir.

2

Dikdörtgenin üst kenarını seçmek için boyalı karenin üstündeki çizgileri (kendisi dahil), alt kenarını seçmek için altındaki çizgileri sayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'Şekildeki dikdörtgenlerden kaç tanesi boyalı kareyi kapsamaz?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm dikdörtgenleri hesaplayıp, boyalı kareyi İÇERMEYEN dikdörtgenleri çıkarmak da mümkündür ancak bu soruda o yöntem çok daha uzun sürer.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 88Soru →

\left( 2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6

ifadesinin $x$ değişkeninin azalan kuvvetlerine göre yapılan binom açılımında $x^6$ lı terimin katsayısı kaçtır?

60

160

192

240

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin açılımındaki

x^6

lı terimin katsayısı 240 olarak bulunur.

Genel terim formülü kullanılarak

x

değişkeninin üssü 6'ya eşitlendiğinde

r=2

bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında

\binom{6}{2} \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terim formülünü belirleme

T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r

Binom açılımında belirli bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.

2

Verilenleri formülde yerine yazma

T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot (2x^2)^{6-r} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^r

n=6

,

a=2x^2

ve

b=x^{-1}

değerleri formüle yerleştirilir.

3

x

değişkeninin üslerini düzenleme

T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-2r} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-3r}

Değişkenin kuvvetini belirlemek için üslü sayı özellikleri uygulanır.

4

x^6

lı terim için

r

değerini bulma

12 - 3r = 6 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r = 2

İstenen terimin kuvveti 6 olduğu için

x

in üssü 6'ya eşitlenir.

5

Katsayıyı hesaplama

\text{Katsayı} = \binom{6}{2} \cdot 2^{6-2} = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240

Bulunan

r=2

değeri katsayı kısmında yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü

T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

şeklindedir.

İpuçları

1

Genel terim formülünü (

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

) hatırlayın.

2

x

değişkeninin kuvvetlerini birleştirerek

12-3r

ifadesini elde edin.

3

x^6

lı terimi bulmak için

12-3r = 6

denklemini çözüp

r

değerini katsayıda yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ifadenin sabit terimini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayıları (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) kullanarak terimleri tek tek yazabilir ve

x^6

lı olanın katsayısını belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 89Soru →

$(3x - y)^5$ ifadesinin $x$ ve $y$ değişkenlerine göre açılımında kaç terim bulunur?

4

5

6

10

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen ifadenin açılımında 6 terim bulunur.

Binom açılımında

(ax + by)^n

ifadesinin terim sayısı, parantez dışındaki kuvvetin (

n

) bir fazlası olan

n+1

formülü ile bulunur. Bu soruda kuvvet

5

olduğu için terim sayısı

5 + 1 = 6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İfadenin kuvvetini (

n

değeri) belirle.

(3x - y)^5

ifadesinde kuvvet

n = 5

'dir.

Binom açılımı kurallarını uygulamak için öncelikle ifadenin hangi dereceden açılacağını bilmemiz gerekir.

2

Terim sayısı formülünü uygula.

Terim sayısı =

n + 1 = 5 + 1 = 6

Binom teoremi gereği,

(a+b)^n

açılımında her zaman

n+1

tane terim oluşur.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Terim Sayısı

İpuçları

1

Binom açılımında terim sayısı ile parantez kuvveti arasında sabit bir ilişki vardır.

2

(a+b)^n

ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulmak için

n

değerine kaç eklememiz gerektiğini hatırla.

3

Örneğin

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

açılımında kuvvet 2 iken terim sayısı 3'tür. Bu mantığı

(3x-y)^5

ifadesine uygula.

Daha Fazla Pratik

Terim sayısını öğrendikten sonra, ifadenin katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazmayı deneyebilirsin.

Tahmini Süre:30s

Soru 90Soru →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, $320$ 'den büyük ve çift olan üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

20

24

26

27

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Toplam 26 farklı sayı yazılabilir.

Doğru cevap 26'dır. Çözüm üç aşamada yapılmalıdır: Yüzler basamağı 5 olanlar (12 tane), yüzler basamağı 4 olanlar (8 tane) ve yüzler basamağı 3 olup 320'den büyük olanlar (6 tane). Özellikle 300'lü sayılarda 320'nin dahil edilmemesi (büyüktür şartı) ve 400'lü sayılarda 4 rakamının birler basamağında tekrar kullanılamaması (rakamları farklı şartı) kritik noktalardır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi yüzler basamağındaki rakamın durumuna göre üç ana parçaya ayırın: Yüzler basamağı 5 olanlar, 4 olanlar ve 3 olanlar.

Durum 1 (5xx), Durum 2 (4xx), Durum 3 (3xx)

Sıfırın ve çift sayı kuralının basamaklara etkisi değiştiği için durumlar ayrı incelenmelidir.

2

Yüzler basamağı 5 (tek) olan durumları hesaplayın.

Yüzler: {5} (1 seçenek) × Birler: {0,2,4} (3 seçenek) × Onlar: Kalan 4 rakam = 1 × 3 × 4 = 12 sayı.

Yüzler basamağı tek olduğu için birler basamağına tüm çift rakamlar gelebilir.

3

Yüzler basamağı 4 (çift) olan durumları hesaplayın.

Yüzler: {4} (1 seçenek) × Birler: {0,2} (2 seçenek, çünkü 4 kullanıldı) × Onlar: Kalan 4 rakam = 1 × 2 × 4 = 8 sayı.

Yüzler basamağında çift rakam kullanıldığı için birler basamağı seçeneği azalır.

4

Yüzler basamağı 3 olan ve 320'den büyük sayıları detaylı inceleyin.

32_: {324} (1 sayı, 320 dahil değil). 34_: {340, 342} (2 sayı). 35_: {350, 352, 354} (3 sayı). Toplam 1 + 2 + 3 = 6 sayı.

320'den büyük olma şartı onlar ve birler basamağını kısıtlar.

5

Tüm durumları toplayın.

12 + 8 + 6 = 26

Ayrık durumların toplamı sonuç verir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları ve Kısıtlamalı Permütasyon

İpuçları

1

Soruyu üç farklı durumda incelemelisiniz: Yüzler basamağı 5 olanlar, 4 olanlar ve 3 olanlar.

2

Yüzler basamağı çift (4) olduğunda, birler basamağına koyabileceğiniz çift sayı adedi azalır. Rakamların farklı olması kuralını unutmayın.

3

300'lü sayılar için: 320'den büyük olması istendiği için 320 sayısını dahil etmeyin. Sadece 324, 340, 342, 350, 352 ve 354 sayılarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayının 5 ile tam bölünebileceğini soran bir alıştırma çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm 320'den büyük sayıları bulup bunlardan tek olanları çıkarmak da bir yöntemdir ancak bu soruda çift olma şartı daha kısıtlayıcı olduğu için doğrudan saymak daha güvenlidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 91Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv düzenlemesi sırasında; içerikleri ve özellikleri bakımından özdeş olan 3 adet kırmızı, 2 adet mavi ve 2 adet sarı dosya, tek bir raf üzerine yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi şartıyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

60

120

180

210

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dosyalar 60 farklı şekilde dizilebilir.

Soruda verilen 'kırmızı dosyaların yan yana gelmemesi' şartı, tekrarlı permütasyon içinde 'boşluk yöntemi' (gap method) kullanılmasını gerektirir. Önce kısıtlama olmayan Mavi (2 adet) ve Sarı (2 adet) dosyalar dizilir. Bu 4 dosya

\frac{4!}{2!2!} = 6

farklı şekilde sıralanır. Bu dosyaların arasında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur (_ D _ D _ D _ D _). Özdeş olan 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluktan herhangi 3'üne yerleştirilmelidir. Kırmızı dosyalar özdeş olduğundan sıra önemli değildir, sadece yer seçimi yapılır:

\binom{5}{3} = 10

. Sonuç çarpım kuralıyla

6 \times 10 = 60

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlamasız olan diğer dosyaların (mavi ve sarı) kendi aralarındaki sıralanışını hesapla.

Mavi (2) ve Sarı (2) dosyalar için:

\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6

farklı dizilim.

Yan yana gelmemesi istenen nesneler haricindekiler önce dizilerek boşluklar oluşturulur.

2

Oluşan boşluk sayısını belirle ve kırmızı dosyaların yerleşebileceği yerleri seç.

4 dosya 5 boşluk oluşturur: _ D _ D _ D _ D _. 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluğa

\binom{5}{3}

şeklinde yerleşir.

Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için yerleştirme işleminde sıralama (permütasyon) değil, seçme (kombinasyon) kullanılır.

3

Boşluk seçimi kombinasyonunu hesapla.

\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10

.

Matematiksel işlem.

4

Bulunan iki değeri çarpım kuralına göre çarp.

6 \times 10 = 60

.

Olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpım kuralı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana gelmeme' şartı varsa, önce diğer nesneler dizilir, sonra oluşan boşluklara kısıtlı nesneler yerleştirilir (Ayraç/Boşluk Yöntemi).

İpuçları

1

Önce kısıtlama olmayan mavi ve sarı dosyaları dizerek başlayın.

2

Mavi ve sarı dosyalar dizildikten sonra, kırmızı dosyaları bunların arasında oluşan boşluklara yerleştirmeniz gerekir.

3

4 dosya dizildiğinde 5 boşluk oluşur. Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için, bu 5 boşluktan 3 tanesini seçmeniz (kombinasyon) yeterlidir.

Alternatif Yöntem

Toplam dizilim sayısı (210) üzerinden gitmek bu soruda çok zordur çünkü '2 kırmızı yan yana, 1 ayrı' durumlarını tek tek hesaplayıp çıkarmak gerekir. Ayraç yöntemi (boşluklara yerleştirme) her zaman daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 92Soru →

Bir il nüfus müdürlüğünde yeni düzenlenen bir hizmet alanında; doğum, ölüm, evlenme, kimlik kartı ve adres kayıt işlemleri için 5 farklı banko yan yana dizilecektir. Kimlik kartı ve adres kayıt bankolarının teknik altyapı gereği yan yana olması istenmemektedir. Buna göre, bu 5 banko kaç farklı şekilde sıralanabilir?

72

120

48

96

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Kimlik kartı ve adres kayıt bankolarının yan yana gelmediği 72 farklı sıralama mevcuttur.

Doğru yanıt olan 72 değeri, toplam 120 olan tüm dizilişlerden, yan yana oldukları 48 durumun çıkarılmasıyla matematiksel olarak tutarlı bir şekilde elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası diziliş sayısını hesapla

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Herhangi bir kısıtlama olmaksızın 5 farklı banko 5! kadar farklı şekilde sıralanabilir.

2

Kimlik kartı ve adres bankolarının yan yana olduğu durum sayısını hesapla

4! x 2! = 24 x 2 = 48

Yan yana gelmesi istenen iki banka tek bir blok kabul edilirse (ID+AD), toplam 4 birim olur. Bu 4 birim 4! şeklinde sıralanır; blok içindeki iki banka da kendi arasında 2! kadar yer değiştirir.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar

120 - 48 = 72

Kısıtlamasız tüm sıralamalardan, yan yana oldukları durumlar çıkarıldığında, yan yana olmadıkları durumlar bulunur.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Tüm durumlardan istenmeyen durumun çıkarılması yöntemi.

İpuçları

1

Soruyu çözerken tüm durumlardan istenmeyen durumları (iki bankanın yan yana olduğu) çıkarmayı dene.

2

Yan yana gelmesi istenmeyen iki bankayı tek bir nesne gibi paketleyip önce toplam nesne sayısını, sonra paketin içindeki yer değişimini hesapla.

3

Tüm durumlar 5! (120), yan yana oldukları durumlar ise (ID, AD paketlendiğinde) 4! x 2! (48) olur. Farkını al.

Daha Fazla Pratik

Yan yana gelme ve gelmeme sorularında 'bloklama' ve 'ayraç' yöntemlerini tekrar etmen faydalı olacaktır.

Alternatif Yöntem

Ayraç yöntemi de kullanılabilir: Diğer 3 banka (Doğum, Ölüm, Evlenme) önce yerleştirilir (3! = 6 durum). Bu 3 bankanın yarattığı 4 boşluğa ( _ B _ B _ B _ ) Kimlik ve Adres bankaları sırayla yerleştirilir: P(4, 2) = 12 durum. Toplam: 6 x 12 = 72.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 93Soru →

x

ve

y

birer doğal sayı olmak üzere,

\frac{x!}{y!} = 720

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(x, y)

sıralı ikilisi vardır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı

(x, y)

ikilisi vardır.

Verilen eşitlikte

x!/y!

,

x

'ten

y+1

'e kadar olan ardışık sayıların çarpımıdır. 720 sayısını veren ardışık çarpımlar incelendiğinde; tek terim olarak

720

(yani

720!/719!

), üç terim olarak

10 \cdot 9 \cdot 8

(yani

10!/7!

) ve tam faktöriyel olarak

6!

(yani

6!/1!

ve

6!/0!

) bulunur. Toplamda 4 farklı ikili elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin yapısını analiz et.

\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720

. Bu ifade,

y+1

'den

x

'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının

720

olduğunu gösterir.

Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapılır.

2

Tek terimli (aşikar) durumu incele.

Tek bir sayı ise

x = 720

. Bu durumda

y = 719

olur. Çözüm 1:

(720, 719)

.

Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.

3

Çok terimli ardışık çarpım durumlarını araştır.

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

. Buradan

x=10

, en küçük çarpan

y+1=8

ise

y=7

. Çözüm 2:

(10, 7)

.

720 sayısının ardışık çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağı kontrol edilir.

4

Faktöriyel eşitliği durumunu incele (

n! = 720

).

6! = 720

'dir. Yani çarpım

1

'e kadar inebilir. Bu durumda

x=6

. Payda

1

olmalıdır.

y! = 1

olması için

y=1

veya

y=0

olabilir. Çözüm 3:

(6, 1)

ve Çözüm 4:

(6, 0)

.

y! = 1

denkleminin doğal sayılarda iki çözümü vardır:

1!

ve

0!

.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmesi, ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Ayrıca

0! = 1

kuralı unutulmamalıdır.

İpuçları

1

İfadeyi sadeleştirerek

\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720

olduğunu düşünün.

2

720 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabileceğinizi araştırın. Örneğin:

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

.

3

6! = 720

'dir. Paydanın 1 olması için

y

hangi değerleri alabilir?

0!

kuralını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

x! / y! = 120

eşitliğini sağlayan kaç farklı ikili olduğunu bulunuz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 94Soru →

Bir kamu kurumunun yürüteceği disiplinler arası bir çalışma için A Bakanlığından $4$ , B Bakanlığından $5$ ve C Bakanlığından $3$ uzman belirlenmiştir. Çalışma grubu oluşturulurken şu iki alternatiften birinin uygulanmasına karar verilmiştir:

* I. Alternatif: Her biri farklı bir bakanlıktan seçilmek üzere toplam $2$ uzman görevlendirilecektir.
* II. Alternatif: Her bir bakanlıktan birer uzman olmak üzere toplam $3$ uzman görevlendirilecektir.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

47

60

107

12

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $107$

Cevap

Çalışma grubunun oluşturulabileceği tüm alternatif durumların toplamı olan

107

sayısı doğrudur.

Çözümde I. Alternatif için A-B, A-C ve B-C bakanlıkları arasındaki uzman seçimleri çarpılıp toplanarak

47

sonucuna ulaşılır. II. Alternatif için her üç bakanlıktan birer kişi seçimi

60

farklı durum oluşturur. Bu iki ayrık alternatifin toplamı olan

107

, tüm olası senaryoları kapsar.

Adım Adım Çözüm

1

I. Alternatif kapsamında iki farklı bakanlıktan seçilecek uzman ikilileri için tüm durumları (AB, AC, BC) hesapla.

(4 \times 5) + (4 \times 3) + (5 \times 3) = 20 + 12 + 15 = 47

Çarpma yoluyla sayma kuralına göre her bir ikili grup için uzman sayıları çarpılır ve bu farklı durumlar toplanır.

2

II. Alternatif kapsamında her bakanlıktan birer uzman seçilecek durumu (ABC) hesapla.

4 \times 5 \times 3 = 60

Üç farklı olay birlikte gerçekleştiği için uzman sayıları çarpma kuralı uyarınca çarpılır.

3

Her iki alternatif birbirinden bağımsız ve ayrık durumlar olduğu için sonuçları topla.

47 + 60 = 107

Toplama yoluyla sayma kuralına göre ayrık alternatiflerin sonuçları birleştirilir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Ayrık durumların toplamı ve bağımlı olayların çarpımı (Toplama ve Çarpma İlkeleri)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 95Soru →

Düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• Doğrulardan 4 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
• Doğrulardan 3 tanesi birbirine paraleldir.
• Geriye kalan 1 doğru ise diğer doğruların tamamını farklı noktalarda kesmektedir ve A noktasından geçmemektedir.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

32

36

40

45

51

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Verilen şartlar altında toplam 36 farklı üçgen oluşturulabilir.

Doğru cevap 36'dır çünkü toplam

C(8,3)=56

ihtimalden üçgen oluşturmayan durumlar (A noktasında kesişenler, 3'ü paralel olanlar ve 2'si paralel olanlar) çıkarıldığında geriye 36 kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm doğruların herhangi bir kısıtlama olmadan oluşturabileceği toplam üçgen sayısını hesapla.

C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

üçgen.

8 doğrudan rastgele seçilen 3 doğrunun bir üçgen oluşturduğu varsayılır.

2

Tek bir noktada (A noktası) kesişen 4 doğrunun oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.

C(4, 3) = 4

durum çıkarılmalı.

Aynı noktadan geçen 3 doğru bir üçgen değil, bir nokta oluşturur.

3

Birbirine paralel olan 3 doğrunun kendi aralarında oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.

C(3, 3) = 1

durum çıkarılmalı.

3 paralel doğru asla kesişmez ve üçgen oluşturmaz.

4

2 tanesi paralel gruptan, 1 tanesi diğer doğrulardan seçilen geçersiz durumları çıkar.

C(3, 2) \times C(5, 1) = 3 \times 5 = 15

durum çıkarılmalı.

2 paralel doğru birbiriyle kesişmeyeceği için, üçüncü bir doğru bunları kesse bile kapalı bir bölge (üçgen) oluşmaz.

5

Tüm sonuçları birleştirerek net üçgen sayısını bul.

56 - 4 - 1 - 15 = 36

üçgen.

Toplam kombinasyon sayısından üçgen oluşturmayan tüm durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Tüm Durumlar - Oluşmayan Durumlar)

İpuçları

1

Toplam üçgen sayısını bulmak için önce tüm doğruların oluşturabileceği üçlü kombinasyon sayısını hesaplayın (

C(8,3)

).

2

Üçgen oluşmasını engelleyen durumları toplamdan çıkarın: 3 doğrunun tek noktada kesişmesi veya doğruların paralel olması üçgen oluşumunu engeller.

3

Unutmayın: Seçilen 3 doğrudan sadece 2 tanesi bile birbirine paralelse, bu doğrular kesişmeyeceği için üçgen oluşamaz. Bu yüzden

C(3,2) \times \text{diğerleri}

durumunu da çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için '5'i bir çember üzerinde, 3'ü bir doğru üzerinde olan noktalarla kaç üçgen çizilebilir?' sorusunu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yapıcı Yöntem: Üçgen oluşturacak grupları belirleyip toplayabilirsiniz. 1) Hiç paralel seçilmeyenler (A grubundan ve 'diğer' doğrudan seçimler), 2) Sadece 1 paralel seçilenler. Ancak 'Çıkarma Yöntemi' bu soruda daha pratiktir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 96Soru →

Bir belediyenin İmar ve Şehircilik Müdürlüğü, yapı ruhsatı başvurularını sınıflandırmak amacıyla üç haneli bir kodlama sistemi geliştirmiştir. Bu kodlama sistemi sırasıyla Birim, Kat Sayısı ve Bölge verilerinden oluşmaktadır.

Kullanılabilecek veri setleri şunlardır:
* Birim Kodu: {K, L, M, N, P} (5 farklı birim)
* Kat Sayısı: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 farklı kat seçeneği)
* Bölge Kodu: {A, B, C} (3 farklı bölge)

Kodlama kuralları şu şekildedir:
1. K ve L birimleri; tüm kat sayıları için işlem yapabilmekte ancak 'C' bölgesine ait dosyalara bakmamaktadır.
2. M birimi; yalnızca 4'ten büyük kat sayıları için işlem yapmakta olup tüm bölgelere hizmet verebilmektedir.
3. N ve P birimleri; yalnızca 1 veya 2 katlı yapılar için işlem yapmakta olup sadece 'A' veya 'C' bölgelerine hizmet vermektedir.

Buna göre, bu kurallara tamamen uygun kaç farklı dosya kodu oluşturulabilir?

38

41

42

50

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Verilen kısıtlamalara göre toplam 38 farklı kod oluşturulabilir.

Bu soru, sayma kurallarının kısıtlamalı durumlara uygulanmasını ölçmektedir. Birim kodları farklı kurallara tabi olduğundan, problem üç ayrı duruma bölünerek incelenmelidir. Birinci durumda (K, L) 2 birim, 6 kat ve 2 bölge (C hariç) olduğundan 2x6x2=24 kod üretilir. İkinci durumda (M) 1 birim, 2 kat (4'ten büyük: 5,6) ve 3 bölge olduğundan 1x2x3=6 kod üretilir. Üçüncü durumda (N, P) 2 birim, 2 kat (1,2) ve 2 bölge (A, C) olduğundan 2x2x2=8 kod üretilir. Toplama kuralı gereği bu ayrık durumlar toplanır: 24 + 6 + 8 = 38.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi, 'Birim Kodu'nun kısıtlamalarına göre üç ayrık duruma ayır.

Durum 1: K ve L birimleri, Durum 2: M birimi, Durum 3: N ve P birimleri.

Toplama yoluyla sayma kuralını uygulayabilmek için olayları kesişim kümesi olmayan (ayrık) durumlara bölmek gerekir.

2

Durum 1 (K ve L Birimleri) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {K, L} (2 seçenek) x Kat: {1..6} (6 seçenek) x Bölge: {A, B} (C hariç, 2 seçenek) = 2 x 6 x 2 = 24 kod.

Çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

3

Durum 2 (M Birimi) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {M} (1 seçenek) x Kat: {5, 6} (4'ten büyük, 2 seçenek) x Bölge: {A, B, C} (3 seçenek) = 1 x 2 x 3 = 6 kod.

Kat sayısı kısıtlaması (x > 4) sadece 5 ve 6'yı içerir.

4

Durum 3 (N ve P Birimleri) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {N, P} (2 seçenek) x Kat: {1, 2} (2 seçenek) x Bölge: {A, C} (Sadece A veya C, 2 seçenek) = 2 x 2 x 2 = 8 kod.

Birim ve bölge kısıtlamaları uygulanır.

5

Tüm durumlardan elde edilen sonuçları topla.

24 + 6 + 8 = 38.

Ayrık durumların toplamı, genel toplamı verir (Toplama Kuralı).

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Ayrık Durumları Toplama ve Durum İçi Çarpma)

Soru 97Soru →

Bir üniversitenin proje geliştirme biriminde 5 matematikçi ve 4 fizikçi görev yapmaktadır. Bu 9 kişilik ekipten 3 kişilik bir komisyon kurulacaktır.

Kurulacak komisyonda;
I. En az bir fizikçi bulunması,
II. Matematikçi Ahmet ile Fizikçi Burak'ın aynı anda bulunmaması
istenmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

63

67

70

74

77

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Komisyon 67 farklı şekilde seçilebilir.

Problemi çözmek için 'Tümleyen Yöntemi' en pratik yoldur. Toplam seçim sayısından istenmeyen durumlar çıkarılır.

1. Tüm Durumlar: 9 kişiden 3 kişi seçimi:

C(9,3) = 84

.
2. İstenmeyen Durum 1 (Hiç Fizikçi Yok): Sadece 5 matematikçiden 3 kişi seçilirse fizikçi olmaz.

C(5,3) = 10

.
3. İstenmeyen Durum 2 (Ahmet ve Burak Birlikte): Ahmet ve Burak seçilirse, yanlarına 1 kişi daha gerekir (Kalan 7 kişiden).

C(7,1) = 7

.

Bu iki istenmeyen küme birbirinden bağımsızdır (ayrıktır). Çünkü 'Hiç fizikçi olmayan' grupta fizikçi Burak bulunamaz. Bu yüzden kesişim yoktur.

Sonuç:

84 - 10 - 7 = 67

.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası durumların sayısını hesapla (hiçbir koşul yokmuş gibi).

C(9,3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

Toplam 5 matematikçi + 4 fizikçi = 9 kişi vardır. Bunlardan 3 kişi seçilecektir.

2

Birinci koşula uymayan (hiç fizikçi olmayan) durumları hesapla.

C(5,3) = 10

En az bir fizikçi olması istendiğine göre, grubun tamamının matematikçilerden oluştuğu durumlar çıkarılmalıdır. 5 matematikçiden 3'ü seçilir.

3

İkinci koşula uymayan (Ahmet ve Burak'ın birlikte olduğu) durumları hesapla.

C(7,1) = 7

Ahmet (Mat) ve Burak (Fiz) grupta ise, kalan 1 kişi diğer 7 kişiden seçilir. Not: Bu durumlarda zaten bir fizikçi (Burak) bulunduğu için, bu durumlar 'sadece matematikçi' kümesiyle kesişmez.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

84 - 10 - 7 = 67

İstenmeyen iki durum birbirinden ayrıktır (birinde hiç fizikçi yok, diğerinde Burak var). Bu yüzden her ikisi de toplamdan doğrudan çıkarılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Tümleyen Yöntemi

İpuçları

1

Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen iki durum var: 1) Grupta hiç fizikçi olmaması, 2) Ahmet ve Burak'ın birlikte olması.

3

'Hiç fizikçi olmayan grup' (sadece matematikçiler) ile 'Ahmet ve Burak'ın olduğu grup' (Burak fizikçidir) birbirinden tamamen farklı durumlardır. Bu iki sayıyı toplam durumdan ayrı ayrı çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalara sahip, ancak 'veya' bağlacı içeren olasılık soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Durumları tek tek toplayarak çözüm:
1) 1 Fizikçi, 2 Matematikçi:
- Fizikçi Burak ise (Ahmet olamaz): 1 seçim * C(4,2) = 6 durum
- Fizikçi Burak değilse (3 aday): C(3,1) * C(5,2) = 3 * 10 = 30 durum
Toplam: 36
2) 2 Fizikçi, 1 Matematikçi:
- Fizikçilerden biri Burak ise (Ahmet olamaz): C(3,1) * C(4,1) = 12 durum
- Fizikçilerden biri Burak değilse: C(3,2) * C(5,1) = 15 durum
Toplam: 27
3) 3 Fizikçi, 0 Matematikçi: C(4,3) = 4 durum

Genel Toplam: 36 + 27 + 4 = 67

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 98Soru →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 5 ile tam bölünebilen ve 340'tan büyük üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

12

14

15

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14 farklı sayı yazılabilir.

Verilen küme ile 340'tan büyük ve 5'e bölünebilen sayıları bulmak için problem iki ana duruma ayrılır: birler basamağı 0 olanlar ve 5 olanlar. Birler basamağı 0 iken 9 sayı (350, 410, 420, 430, 450, 510, 520, 530, 540) ve birler basamağı 5 iken 5 sayı (345, 405, 415, 425, 435) bulunur. Toplamda 14 sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulları Belirleme

Sayılar 3 basamaklı, rakamları farklı, 5 ile bölünebilir (sonu 0 veya 5) ve 340'tan büyük olmalıdır.

Sayma problemini çözülebilir alt durumlara ayırmak gerekir.

2

1. Durum: Sonu 0 olan sayıları inceleme (XX0)

Yüzler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Eğer yüzler basamağı 3 ise sayı 3b0 olur; 340'tan büyük olması için b=5 olmalıdır (350) -> 1 adet. Eğer yüzler basamağı 4 ise (4b0), b kalan {1,2,3,5} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Eğer yüzler basamağı 5 ise (5b0), b kalan {1,2,3,4} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Toplam: 1 + 4 + 4 = 9 sayı.

Son basamak 0 olduğunda rakamları farklı kuralı diğer basamakları daha az kısıtlar.

3

2. Durum: Sonu 5 olan sayıları inceleme (XX5)

Yüzler basamağı {3, 4} olabilir (5 sonda kullanıldı). Eğer yüzler basamağı 3 ise (3b5), 340'tan büyük olması için b=4 olmalıdır (345) -> 1 adet. Eğer yüzler basamağı 4 ise (4b5), b kalan {0,1,2,3} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Toplam: 1 + 4 = 5 sayı.

Son basamak 5 olduğunda, yüzler basamağında 5 rakamı kullanılamaz.

4

Toplamı Hesaplama

9 (sonu 0) + 5 (sonu 5) = 14 farklı sayı.

Toplama kuralı gereği ayrık durumların sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma) - Kısıtlı Permütasyon

İpuçları

1

5 ile bölünebilme kuralı gereği sayının son basamağı (birler basamağı) 0 veya 5 olmalıdır.

2

Problemi iki ayrı durumda inceleyin: 'Son basamağı 0 olanlar' ve 'Son basamağı 5 olanlar'. Rakamları farklı olduğu için bu durumlar kalan rakamları etkileyecektir.

3

340'tan büyük olma şartını her iki durum için ayrı ayrı kontrol edin. Örneğin 3 ile başlayan sayılar için onlar basamağına dikkat etmeniz gerekir.

Alternatif Yöntem

Tüm permütasyonları hesaplayıp şartı sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartı sağlayanları 'kutu yöntemi' ile (Yüzler - Onlar - Birler) çizerek ve basamaklara gelebilecek aday sayılarını yazarak hesaplamak daha güvenlidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 99Soru →

x

bir doğal sayı olmak üzere,

A = (44! + 43!) \cdot (19! - 18!)

sayısı veriliyor.

$\frac{A}{15^x}$ ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

11

12

13

14

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.

İstenen

x

değeri,

A

sayısının içindeki 5 çarpanlarının toplam sayısıdır. İlk adımda ifade

(43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18)

şeklinde düzenlenir. 43! içinde 9 adet, 45 sayısında 1 adet, 18! içinde 3 adet 5 çarpanı vardır. Toplamda

9+1+3=13

adet 5 çarpanı bulunduğu için

x

en çok 13 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1

A sayısını oluşturan iki parantezli ifadeyi, en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.

A = [43!(44 + 1)] \cdot [18!(19 - 1)] = (43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18)

Faktöriyelli toplama ve çıkarma işlemlerinde işlem yapabilmek için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.

2

A sayısının 15'e tam bölünebilmesi için içindeki 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını incele. 15 = 3 x 5 olduğundan, az olan çarpan (genellikle 5) belirleyicidir.

5 çarpanının sayısını bulmak yeterlidir.

Bir sayının

15^x

'e bölünebilmesi için içinde en az

x

tane 3 ve

x

tane 5 çarpanı bulunmalıdır. Büyük asal çarpan (5) daha az sayıda bulunacağından

x

değerini sınırlar.

3

43! içindeki 5 çarpanı sayısını bul (Legendre formülü: sürekli bölme).

43 \div 5 = 8

,

8 \div 5 = 1

. Toplam:

8 + 1 = 9

adet.

Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı, sayının o asala sürekli bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır.

4

18! içindeki 5 çarpanı sayısını bul.

18 \div 5 = 3

. Toplam: 3 adet.

18! içinde 5, 10, 15 sayılarından gelen 3 adet 5 çarpanı vardır.

5

Katsayılar (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını ekle.

45 = 9 \cdot 5

(1 adet 5 var).

18 = 2 \cdot 9

(5 çarpanı yok).

Sadece faktöriyeller değil, parantez dışına alınan sayılar da asal çarpan içerebilir.

6

Tüm 5 çarpanlarını toplayarak x'in maksimum değerini bul.

Toplam = 9 (43!'den) + 1 (45'ten) + 3 (18!'den) + 0 (18'den) = 13.

Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren toplam/fark işlemlerinde ifade ortak paranteze alınarak çarpım durumuna getirilmeli, ardından asal çarpan sayısı (Legendre Yöntemi) hesaplanırken katsayılar da ihmal edilmemelidir.

İpuçları

1

Faktöriyelleri toplamak veya çıkarmak yerine, en küçük faktöriyel parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.

2

15^x = 3^x \cdot 5^x

olduğundan,

x

'in en büyük değeri için ifadede kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmanız gerekir.

3

A = 43!(44+1) \cdot 18!(19-1)

şeklinde düzenleyin. Hem faktöriyellerin içindeki hem de parantez dışındaki sayıların (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını saymayı unutmayın.

Alternatif Yöntem

Sadece 5 çarpanlarına odaklanmak yeterlidir. 44!+43! = 43!*45. 45 sayısı 5'e bölünür (1 tane). 43! ise Legendre formülü ile (8+1=9 tane). 19!-18! = 18!*18. 18'de 5 yok. 18! ise (3 tane). Toplam: 1+9+3 = 13.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 100Soru →

Bir Tapu ve Kadastro Müdürlüğü'nün arşiv biriminde görevli 6 memur arasından, yıl sonu dosya sayım işlemlerini yürütmek üzere 2 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Bu komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

8

12

15

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Komisyon 15 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda verilen 6 memur arasından 2 kişinin seçilmesi istenmektedir. Komisyon oluşturulurken seçilen kişilerin sıralaması önemli değildir (Ali ile Veli'nin seçilmesi, Veli ile Ali'nin seçilmesi aynı durumu ifade eder). Bu nedenle işlem bir kombinasyon (seçme) işlemidir. 6'nın 2'li kombinasyonu C(6,2) = (6.5)/(2.1) = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle

Sıralama önemli olmadığı için kombinasyon işlemi kullanılmalıdır.

Komisyon üyelerinin seçilme sırası (örneğin Ali-Ayşe veya Ayşe-Ali) sonucu değiştirmez, bu bir seçme (kombinasyon) problemidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula

C(6, 2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15

6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için C(n,r) = n! / [r!(n-r)!] formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

Sayma ve Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları