Marjinal İkame Oranı (MRS) Alıştırma Soruları — KPSS İktisat

Soru 1Soru →

Bir bireyin $X$ ve $Y$ mallarından oluşan sepetine yönelik toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X(Y+2)^2$ olarak verilmiştir. Bu bireyin tüketim sepetinde $2$ birim $X$ ve $8$ birim $Y$ malı bulunduğu varsayıldığında, bu tüketim noktasındaki marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

0,4

2,5

4

5

0,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,5$

Cevap

Tüketicinin bulunduğu tüketim sepetindeki marjinal ikame oranı

2,5

olarak hesaplanmıştır.

Tüketicinin toplam fayda fonksiyonundan hareketle

MU_X = (Y+2)^2

ve

MU_Y = 2X(Y+2)

türevleri elde edilir. Bu iki değerin birbirine oranı olan

(Y+2) / 2X

ifadesinde sepet değerleri yerleştirildiğinde

10/4 = 2,5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) bulmak için toplam fayda fonksiyonunun

X

değişkenine göre kısmi türevi alınır.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = (Y+2)^2

Marjinal ikame oranı, marjinal faydaların birbirine oranına dayanır.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) bulmak için toplam fayda fonksiyonunun

Y

değişkenine göre kısmi türevi alınır.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2X(Y+2)

Bileşik fonksiyon türev kuralı (zincir kuralı) uygulanarak

Y

malının faydaya katkısı belirlenir.

3

Marjinal ikame oranı formülü (

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

) oluşturulur.

MRS_{XY} = \frac{(Y+2)^2}{2X(Y+2)} = \frac{Y+2}{2X}

MRS, tüketicinin bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu oranı temsil eder.

4

Tüketim sepetindeki değerler (

X = 2, Y = 8

) formülde yerine yazılır.

\frac{8+2}{2 \times 2} = \frac{10}{4} = 2,5

Belirli bir tüketim noktasındaki ikame oranını bulmak için miktar değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalmak şartıyla bir maldan bir birim daha fazla alabilmek için diğer maldan vazgeçtiği miktardır ve farksızlık eğrisinin eğimine eşittir.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranını bulmak için öncelikle

X

ve

Y

mallarının marjinal faydalarını hesaplamalısınız.

2

U = X(Y+2)^2

fonksiyonunun türevini alırken

Y

malı için zincir kuralını uygulamayı unutmayın.

3

Formülünüzü

(Y+2) / 2X

şeklinde sadeleştirdikten sonra

X=2

ve

Y=8

değerlerini yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonu tam ikame (doğrusal) veya tam tamamlayıcı (L tipi) olsaydı marjinal ikame oranının nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fayda fonksiyonu

U = X(Y+2)^2

şeklinde verildiğinde, farksızlık eğrisi denklemi

X = U / (Y+2)^2

olarak yazılabilir. Bu denklemin

Y

eksenine göre türevinin tersi alınarak veya doğrudan eğim analizi yapılarak da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketiminden elde ettiği fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 2X^2 Y$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin mevcut tüketim sepetinde 2 birim $X$ malı ve 4 birim $Y$ malı bulunmaktadır. Buna göre, tüketicinin bu sepet noktasındaki marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

4

0,25

2

0,5

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tüketicinin bu sepet noktasındaki marjinal ikame oranı 4'tür.

Marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmesi için

X

malından bir birim daha fazla tükettiğinde vazgeçmeye razı olduğu

Y

malı miktarını ifade eder. Bu değer

MU_X / MU_Y

formülü ile hesaplanır.

U = 2X^2 Y

fonksiyonunda

MU_X = 4XY

ve

MU_Y = 2X^2

olduğundan,

MRS = 2Y/X

olur.

X=2

ve

Y=4

değerleri yerine konulduğunda sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) bulmak için fayda fonksiyonunun

X

'e göre kısmi türevi alınır.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 4XY

Marjinal fayda, ilgili malın tüketimindeki bir birimlik artışın toplam faydada yarattığı değişimdir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) bulmak için fayda fonksiyonunun

Y

'ye göre kısmi türevi alınır.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2X^2

Marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

),

MU_X / MU_Y

oranına eşittir.

3

Marjinal faydalar birbirine oranlanarak genel MRS formülü elde edilir.

MRS_{XY} = \frac{4XY}{2X^2} = \frac{2Y}{X}

MRS, farksızlık eğrisinin herhangi bir noktadaki eğiminin mutlak değeridir.

4

Sepetteki miktarlar (

X=2, Y=4

) elde edilen formülde yerine yazılır.

MRS_{XY} = \frac{2(4)}{2} = 4

Tüketicinin mevcut tüketim noktasındaki öznel ikame değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin eğimini temsil eder ve malların marjinal faydalarının oranına eşittir.

Alternatif Yöntem

Cobb-Douglas tipi fayda fonksiyonlarında

U = X^a Y^b

için

MRS_{XY} = (a/b) \cdot (Y/X)

pratik formülü kullanılabilir. Burada

a=2, b=1

olduğu için

MRS = (2/1) \cdot (4/2) = 4

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 3Soru →

Fayda fonksiyonu $U(x, y) = 2\sqrt{x} + y$ şeklinde tanımlanan bir tüketici, $X$ malından 1 birim ve $Y$ malından 10 birim tüketmektedir. Bu tüketicinin aynı farksızlık eğrisi üzerinde kalarak $X$ malı tüketimini 4 birime çıkardığı yeni noktada, marjinal ikame oranının ( $MRS_{xy}$ ) değeri kaçtır?

0,5

1,0

2,0

4,0

0,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,5

Cevap

Tüketicinin

X

malı tüketimini 4 birime çıkardığı noktada marjinal ikame oranı 0,5 olarak hesaplanır.

Verilen fayda fonksiyonu için marjinal faydalar

MU_x = 1/\sqrt{x}

ve

MU_y = 1

olarak bulunur. Marjinal ikame oranı ise

MU_x / MU_y

formülünden

1/\sqrt{x}

şeklinde elde edilir. Tüketicinin ulaştığı yeni tüketim düzeyi olan

x=4

değeri bu denklemde yerine yazıldığında

1/\sqrt{4} = 0,5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

mallarının marjinal fayda fonksiyonlarını (

MU_x

ve

MU_y

) türev alarak belirleyin.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = 2 \cdot 0,5 \cdot x^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{x}}

ve

MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = 1

Marjinal ikame oranı, malların marjinal faydalarının birbirine oranına eşittir.

2

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

) formülünü oluşturun.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{1/\sqrt{x}}{1} = \frac{1}{\sqrt{x}}

MRS, farksızlık eğrisinin herhangi bir noktadaki eğiminin mutlak değeridir.

3

Soruda istenen yeni tüketim miktarını (

x=4

) formülde yerine koyun.

MRS_{xy} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5

Yarı-doğrusal (quasi-linear) fayda fonksiyonlarında MRS değeri sadece bir malın miktarına bağlı olabilir; bu durumda sadece

x

miktarı sonucu belirler.

Anahtar Kavram

Yarı-doğrusal fayda fonksiyonlarında marjinal ikame oranının hesaplanması ve yorumlanması.

İpuçları

1

MRS

değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun

X

ve

Y

değişkenlerine göre türevlerini alarak marjinal faydaları belirleyin.

2

Fayda fonksiyonu

U(x, y) = 2x^{0,5} + y

olduğundan,

MU_x = x^{-0,5}

sonucuna ulaşırsınız.

Y

'nin marjinal faydasının sabit olduğunu fark edin.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonunun yapısı gereği farksızlık eğrilerinin neden birbirine paralel olduğunu ve gelir değişimlerinin MRS'yi neden etkilemediğini araştırın.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^{0,4} Y^{0,6}$ olarak tanımlanmıştır. Tüketicinin mevcut tüketim sepetinde 10 birim $X$ malı ve 20 birim $Y$ malı bulunduğu varsayıldığında, farksızlık eğrisi üzerindeki bu noktada tüketicinin Marjinal İkame Oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

4/3

3/4

2/3

3/2

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4/3$

Cevap

Tüketicinin mevcut sepetindeki Marjinal İkame Oranı 4/3'tür.

Verilen Cobb-Douglas fayda fonksiyonunun

X

ve

Y

değişkenlerine göre kısmi türevleri alındığında marjinal faydalar elde edilir. Bu marjinal faydaların birbirine oranı olan

MRS = (2/3) \cdot (Y/X)

formülünde

X=10

ve

Y=20

değerleri yerine yazıldığında

4/3

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

malları için marjinal fayda fonksiyonlarını türev yardımıyla hesaplayın.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = 0,4 X^{-0,6} Y^{0,6}

ve

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 0,6 X^{0,4} Y^{-0,4}

Marjinal İkame Oranı, marjinal faydaların birbirine oranıdır.

2

Marjinal İkame Oranı (

MRS_{XY}

) formülünü oluşturun.

MRS_{XY} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{0,4 X^{-0,6} Y^{0,6}}{0,6 X^{0,4} Y^{-0,4}} = \frac{0,4}{0,6} \cdot \frac{Y}{X} = \frac{2}{3} \cdot \frac{Y}{X}

Üslü ifadelerin sadeleştirilmesi sonucunda Cobb-Douglas tipi fonksiyonlar için genel MRS formülü elde edilir.

3

Mevcut tüketim miktarlarını (

X=10, Y=20

) formülde yerine koyun.

MRS_{XY} = \frac{2}{3} \cdot \frac{20}{10} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}

Belirli bir tüketim noktasındaki ikame oranını bulmak için o noktadaki miktarlar kullanılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmek için bir maldan bir birim daha fazla tükettiğinde diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktardır ve farksızlık eğrisinin eğimine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonu tam ikame (doğrusal) olduğunda MRS'nin mal miktarlarından bağımsız olarak sabit kalacağını unutmayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 4 X^{0,5} Y^{1,5}$ şeklinde tanımlanmıştır. Söz konusu tüketici $X$ malından 2 birim ve $Y$ malından 12 birim tükettiği bir mal sepetine sahipse, bu sepet noktasındaki marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

2

0,5

6

18

1,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen fayda fonksiyonu ve tüketim sepeti değerlerine göre marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) 2 olarak hesaplanır.

Tüketicinin fayda fonksiyonunun

X

ve

Y

değişkenlerine göre kısmi türevleri alındığında;

MU_X = 2 X^{-0,5} Y^{1,5}

ve

MU_Y = 6 X^{0,5} Y^{0,5}

elde edilir. Marjinal ikame oranı

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

formülünden

\frac{1}{3} \cdot (Y/X)

olarak sadeleşir.

X=2

ve

Y=12

değerleri yerine yazıldığında

MRS_{XY} = (1/3) \cdot (12/2) = 2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) hesaplayınız.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 4 \cdot 0,5 \cdot X^{-0,5} \cdot Y^{1,5} = 2 \cdot \frac{Y^{1,5}}{X^{0,5}}

Marjinal ikame oranının payını oluşturacak olan

X

malına ait marjinal faydayı bulmak için kısmi türev alınır.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) hesaplayınız.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 4 \cdot 1,5 \cdot X^{0,5} \cdot Y^{0,5} = 6 \cdot X^{0,5} \cdot Y^{0,5}

Marjinal ikame oranının paydasını oluşturacak olan

Y

malına ait marjinal faydayı bulmak için kısmi türev alınır.

3

Marjinal ikame oranı formülünü (

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

) oluşturunuz.

MRS_{XY} = \frac{2 \cdot Y^{1,5} / X^{0,5}}{6 \cdot X^{0,5} \cdot Y^{0,5}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{Y}{X}

MRS, bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçilmeye razı olunan oranı ifade eder ve marjinal faydaların birbirine oranına eşittir.

4

Verilen sepet değerlerini (

X=2, Y=12

) formülde yerine koyunuz.

MRS_{XY} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{2} = \frac{6}{3} = 2

Belirli bir tüketim noktasındaki (sepetindeki) ikame oranını bulmak için miktarlar fonksiyonize edilmiş MRS değerine yazılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisi üzerindeki bir noktada, tüketicinin aynı fayda düzeyini korumak şartıyla mallar arasındaki değişim oranını gösterir.

Soru 6Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ mallarından oluşan tüketim sepetinde, $X$ malının marjinal faydası ( $MU_x$ ) 15 birim, $Y$ malının marjinal faydası ( $MU_y$ ) ise 5 birim olarak belirlenmiştir. Buna göre, tüketicinin bu tüketim düzeyindeki marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) kaçtır?

0,33

3

5

10

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

Marjinal ikame oranının (

MRS_{xy}

) 3 birim olduğu seçenektir.

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

), bir tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmesi için

X

malından bir birim daha tükettiğinde vazgeçmesi gereken

Y

malı miktarını ifade eder. Bu oran, malların marjinal faydalarının birbirine bölünmesiyle (

MU_x / MU_y

) bulunur. Soruda verilen 15 birimlik

X

marjinal faydası, 5 birimlik

Y

marjinal faydasına bölündüğünde sonuç 3 olarak bulunur. Bu durum, tüketicinin 1 birim

X

için 3 birim

Y

malından vazgeçmeye razı olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının

Y

malı ile marjinal ikame oranı formülünü belirleyin.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y}

Marjinal ikame oranı, tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalarak bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu oranı gösterir.

2

Verilen marjinal fayda değerlerini formülde yerine koyun.

MRS_{xy} = \frac{15}{5}

Soruda

MU_x = 15

ve

MU_y = 5

olarak verilmiştir.

3

Bölme işlemini gerçekleştirerek marjinal ikame oranını hesaplayın.

MRS_{xy} = 3

15 birimlik marjinal faydanın 5 birimlik marjinal faydaya oranı 3'tür.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin herhangi bir noktadaki eğiminin mutlak değerine eşittir ve marjinal faydaların oranına (

MU_x / MU_y

) karşılık gelir.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

), marjinal faydaların oranıdır.

2

Formül

MRS_{xy} = MU_x / MU_y

şeklindedir; burada

X

malının faydası payda,

Y

malınınki paydada yer alır.

Daha Fazla Pratik

Marjinal ikame oranının farksızlık eğrisi üzerindeki azalan seyri ve bunun farksızlık eğrisinin şekliyle (orijine göre dışbükeylik) ilişkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = (X + 1)(Y + 2)$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin tüketim sepetinde $1$ birim $X$ malı ve $10$ birim $Y$ malı bulunduğu bir noktada, $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) kaçtır?

1/6

2

6

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tüketicinin mevcut sepetindeki marjinal ikame oranı 6'dır.

Toplam fayda fonksiyonunun

X

ve

Y

mallarına göre kısmi türevleri alındığında

MU_x = Y + 2

ve

MU_y = X + 1

değerlerine ulaşılır. Verilen tüketim sepetindeki miktarlar yerleştirildiğinde

MU_x = 12

ve

MU_y = 2

olur. Marjinal ikame oranı bu iki değerin birbirine oranı (

12 / 2 = 6

) olarak hesaplanır. Bu durum, tüketicinin 1 birim daha

X

malı tüketebilmek için 6 birim

Y

malından vazgeçmeye razı olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_x

) hesapla

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = Y + 2

Marjinal ikame oranını bulmak için öncelikle her iki malın marjinal faydaları bilinmelidir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_y

) hesapla

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X + 1

Marjinal ikame oranı, malların marjinal faydalarının birbirine oranıdır.

3

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

) formülünü oluştur

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{Y + 2}{X + 1}

MRS, tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalarak bir maldan bir birim daha alabilmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu oranı gösterir.

4

Verilen miktarları (

X = 1, Y = 10

) formülde yerine koy

MRS_{xy} = \frac{10 + 2}{1 + 1} = \frac{12}{2} = 6

Fonksiyonun belirli bir noktadaki (tüketim sepetindeki) eğimini bulmak için o noktadaki değerler kullanılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin herhangi bir noktadaki eğiminin mutlak değerine eşittir ve marjinal faydaların birbirine oranlanmasıyla (

MU_x / MU_y

) hesaplanır.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranı, her iki malın marjinal faydalarının birbirine oranıdır.

2

Fayda fonksiyonu

U = (X+1)(Y+2)

olduğuna göre,

X

ve

Y

için marjinal faydaları ayrı ayrı bulmayı deneyin.

3

MRS_{xy} = (Y+2) / (X+1)

formülünü kullanarak

X=1

ve

Y=10

değerlerini yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Farklı fonksiyon türlerinde (örneğin tam tamamlayıcı mallar için) marjinal ikame oranının nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Farksızlık eğrisinin fonksiyonu olan

Y = [U / (X + 1)] - 2

üzerinden türev alarak (

dY/dX

) eğimi bulabilir ve mutlak değerini alarak marjinal ikame oranına ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir bireyin sahip olduğu $X$ ve $Y$ mallarından elde ettiği toplam tatmin düzeyi $U(X, Y) = \sqrt{X} \cdot Y^2$ fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Bu bireyin 1 birim $X$ ve 8 birim $Y$ malına sahip olduğu varsayıldığında, mevcut tüketim sepetinde $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) kaçtır?

2

0,5

8

0,125

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Mevcut tüketim sepetinde marjinal ikame oranı 2'dir.

Doğru cevap olan 2 değeri, fayda fonksiyonunun

X

ve

Y

değişkenlerine göre kısmi türevlerinin alınmasıyla elde edilen marjinal faydaların (

MU_x

ve

MU_y

) oranlanması ve sepet değerlerinin yerine yazılmasıyla elde edilir. Hesaplamada

MRS = Y / 4X

formülü ortaya çıkar ve 1 birim

X

ile 8 birim

Y

için bu oran 2'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

mallarının marjinal faydalarını (

MU

) hesaplayın.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = 0,5 X^{-0,5} Y^2

ve

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2 X^{0,5} Y^1

Marjinal ikame oranı, her bir malın tüketimindeki küçük bir değişimin toplam faydada yarattığı değişimin oranına dayanır.

2

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

) formülünü oluşturun.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{0,5 X^{-0,5} Y^2}{2 X^{0,5} Y} = \frac{0,5 Y}{2 X} = \frac{Y}{4X}

MRS, farksızlık eğrisinin eğiminin mutlak değeridir ve malların marjinal faydalarının birbirine oranına eşittir.

3

Verilen tüketim miktarlarını (

X=1, Y=8

) formülde yerine koyun.

MRS_{xy} = \frac{8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2

Belirli bir tüketim sepetindeki ikame oranını bulmak için o noktadaki miktar değerleri türetilen MRS fonksiyonuna yazılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalmak şartıyla bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktardır.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonunun

U(X, Y) = 2X + 5Y

şeklinde olduğu tam ikame durumunda MRS'nin nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Cobb-Douglas fonksiyonları (

U = X^a Y^b

) için pratik

MRS_{xy}

formülü

\frac{a \cdot Y}{b \cdot X}

şeklindedir. Burada

a=0,5

ve

b=2

olduğundan;

MRS = \frac{0,5 \cdot Y}{2 \cdot X} = \frac{Y}{4X}

pratik yoluyla da sonuca hızlıca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 4\sqrt{X} + Y$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin $X$ malından 16 birim, $Y$ malından 5 birim tükettiği bir tüketim sepetinde, $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) kaçtır?

0,5

2

0,25

1

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,5

Cevap

Tüketicinin mevcut sepetindeki marjinal ikame oranı 0,5'tir.

Verilen yarı doğrusal (quasi-linear) fayda fonksiyonunda

X

malının marjinal faydası

MU_x = 2/\sqrt{X}

olarak bulunur.

Y

malının marjinal faydası ise sabit olup

MU_y = 1

'dir. Tüketim sepetinde

X=16

olduğu belirtildiğine göre,

MU_x = 2/\sqrt{16} = 0,5

olur. Buradan

MRS_{xy} = MU_x / MU_y = 0,5 / 1 = 0,5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_x

) hesapla.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{X}} = \frac{2}{\sqrt{X}}

MRS hesaplaması için öncelikle malların marjinal faydalarının bulunması gerekir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_y

) hesapla.

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 1

MRS formülündeki payda değerini belirlemek için

Y

malına göre türev alınır.

3

Marjinal ikame oranı formülünü uygula ve değerleri yerine koy.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{2/\sqrt{X}}{1} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0,5

Tüketicinin belirli bir noktadaki ikame isteği, o noktadaki marjinal faydaların oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalmak şartıyla bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktardır ve farksızlık eğrisinin eğiminin negatif değerine eşittir.

Soru 10Soru →

Bir tüketicinin fındık ( $X$ ) ve kuru üzüm ( $Y$ ) tüketiminden elde ettiği toplam fayda $U(X, Y) = X \cdot Y$ fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Tüketici başlangıçta 2 birim fındık ve 18 birim kuru üzüm tüketmektedir. Tüketicinin fındık tüketimini 3 birime çıkarması durumunda, aynı fayda düzeyini koruyabilmesi için ulaştığı yeni tüketim bileşiminde fındığın kuru üzüm ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) değeri kaçtır?

4

6

1/4

9

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Yeni tüketim bileşimindeki marjinal ikame oranı 4'tür.

Tüketici başlangıçta

U=36

fayda elde etmektedir. Fındık tüketimi 3 birime çıktığında faydanın değişmemesi için kuru üzüm tüketimi 12 birime düşmelidir. Bu noktada marjinal faydaların oranı

MRS = Y/X = 12/3 = 4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki toplam fayda düzeyini hesaplayın.

U = 2 \times 18 = 36

Tüketicinin aynı farksızlık eğrisi üzerinde kalabilmesi için toplam faydasının sabit kalması gerekir.

2

Yeni fındık miktarı (

X=3

) için gereken kuru üzüm (

Y

) miktarını bulun.

3 \cdot Y = 36 \Rightarrow Y = 12

Toplam fayda 36 birimde sabit tutulmalıdır.

3

Malların marjinal fayda fonksiyonlarını türetin.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = Y

ve

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X

Marjinal ikame oranı, marjinal faydaların oranına eşittir.

4

Yeni noktada (

X=3, Y=12

) marjinal ikame oranını hesaplayın.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{Y}{X} = \frac{12}{3} = 4

Tanım gereği marjinal ikame oranı o noktadaki farksızlık eğrisinin eğiminin negatif değeridir.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmesi için bir maldan bir birim daha fazla tüketmesi karşılığında diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktardır ve farksızlık eğrisinin eğimini ifade eder.

İpuçları

1

Öncelikle tüketicinin sabit tutmak istediği toplam fayda değerini bulun.

2

X=3

olduğunda toplam faydanın aynı kalması için

Y

miktarının kaç olması gerektiğini hesaplayın.

3

Cobb-Douglas fayda fonksiyonlarında (

U=X \cdot Y

) marjinal ikame oranının

Y/X

formülüyle hesaplandığını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonunun tam tamamlayıcı malları (

U=\min(X, Y)

) temsil ettiği durumda marjinal ikame oranının nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Fayda fonksiyonu

U = X^a Y^b

şeklinde ise

MRS = \frac{a}{b} \cdot \frac{Y}{X}

formülü kullanılabilir. Burada

a=1

ve

b=1

olduğundan

MRS = Y/X

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X \cdot Y$ olan bir tüketicinin sepetinde 2 birim $X$ malı ve 10 birim $Y$ malı bulunmaktadır. Buna göre, tüketicinin bulunduğu bu noktada $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

0,2

2

5

10

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Tüketicinin bu noktadaki marjinal ikame oranı 5'tir.

Fayda fonksiyonu

U=XY

olduğunda,

X

'in marjinal faydası

Y

'ye,

Y

'nin marjinal faydası ise

X

'e eşittir. Verilen

(2, 10)

noktasında

MU_X = 10

ve

MU_Y = 2

olur.

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

formülünden

10 / 2 = 5

sonucu elde edilir. Bu durum, tüketicinin faydasını değiştirmeden bir birim daha

X

alabilmek için 5 birim

Y

'den vazgeçmeye razı olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) hesaplayın.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = Y = 10

Marjinal fayda, toplam fayda fonksiyonunun ilgili mala göre türevidir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) hesaplayın.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X = 2

MRS hesaplamasında paydadaki değer için diğer malın marjinal faydası gerekir.

3

MRS_{XY}

formülünü uygulayın.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{10}{2} = 5

Marjinal ikame oranı, bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçilen miktarı gösteren marjinal faydalar oranıdır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin herhangi bir noktadaki eğiminin mutlak değeridir ve malların marjinal faydalarının oranına (

MU_X / MU_Y

) eşittir.

İpuçları

1

MRS, bir malın marjinal faydasının diğer malın marjinal faydasına oranıdır.

2

U(X, Y) = X \cdot Y

fonksiyonu için

MU_X = Y

ve

MU_Y = X

olduğunu hatırlayın.

3

Nokta sepetindeki değerleri (

X=2, Y=10

) formülde yerlerine koyun:

10 / 2

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Aynı fayda fonksiyonu için

(5, 4)

noktasındaki MRS değerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketiminden elde ettiği toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^{0,4} Y^{0,6}$ şeklindedir. Tüketicinin mevcut tüketim sepetinde 10 birim $X$ ve 30 birim $Y$ malı bulunmaktadır. Bu tüketicinin toplam fayda düzeyini değiştirmeden $X$ malı tüketimini 1 birim artırabilmesi için $Y$ malı tüketiminden kaç birim vazgeçmesi gerekir?

0,5

1,5

2

3

0,66

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalarak X tüketimini 1 birim artırmak için vazgeçmesi gereken Y miktarı 2 birimdir.

Marjinal ikame oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmesi için bir maldan bir birim fazla tüketmesi karşılığında diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktardır.

U(X, Y) = X^{\alpha} Y^{\beta}

şeklindeki bir Cobb-Douglas fonksiyonu için

MRS = (\alpha / \beta) \cdot (Y / X)

formülü uygulanır. Verilen fonksiyon için

\alpha = 0,4

ve

\beta = 0,6

olduğundan oran

2/3

olur. Sepetteki

X=10

ve

Y=30

değerleri yerine konulduğunda

(2/3) \cdot (30/10) = 2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Malların marjinal faydalarını (

MU_X

ve

MU_Y

) hesaplayın.

MU_X = 0,4 X^{-0,6} Y^{0,6}

ve

MU_Y = 0,6 X^{0,4} Y^{-0,4}

Marjinal ikame oranı, malların marjinal faydalarının birbirine oranına dayanır.

2

Marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) formülünü kurun.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{0,4 \cdot X^{-0,6} \cdot Y^{0,6}}{0,6 \cdot X^{0,4} \cdot Y^{-0,4}} = \frac{0,4}{0,6} \cdot \frac{Y}{X}

Cobb-Douglas fayda fonksiyonlarında MRS, katsayıların oranı ile miktarların ters oranının çarpımıdır.

3

Verilen tüketim miktarlarını (

X=10, Y=30

) formülde yerine koyun.

MRS_{XY} = \frac{2}{3} \cdot \frac{30}{10} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2

Tüketicinin 1 birim X için vazgeçmeye razı olduğu Y miktarı, bu noktadaki MRS değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS)

Daha Fazla Pratik

Farklı fonksiyon tiplerinde (örneğin tam ikame veya tam tamamlayıcı mallar) MRS'nin nasıl değiştiğini incelemek konuyu pekiştirecektir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X + 2\sqrt{Y}$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin tüketim sepetinde 10 birim $X$ malı ve 16 birim $Y$ malı bulunduğu varsayıldığında, bu sepet için marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) kaçtır?

0,25

1

2

4

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen tüketim sepeti için marjinal ikame oranı 4'tür.

Doğru yanıt olan değer, marjinal faydaların birbirine oranlanmasıyla elde edilir.

U(X, Y) = X + 2\sqrt{Y}

fonksiyonunda

MU_x = 1

ve

MU_y = 1/\sqrt{Y}

'dir.

Y=16

noktası için

MU_y = 1/4

olur. Bu durumda

MRS_{xy} = 1 / (1/4) = 4

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_x

) hesaplayınız.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = 1

MRS hesaplamasında pay kısmında yer alacak olan

X

malının marjinal faydası, fonksiyonun

X

'e göre kısmi türevidir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_y

) hesaplayınız.

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{Y}} = \frac{1}{\sqrt{Y}}

Payda kısmında yer alacak olan

Y

malının marjinal faydası, fonksiyonun

Y

'ye göre kısmi türevidir.

3

Marjinal ikame oranı (

MRS_{xy}

) formülünü kurunuz.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{1}{1/\sqrt{Y}} = \sqrt{Y}

MRS, bir maldan bir birim daha tüketmek için diğer maldan vazgeçilmesi gereken miktarı ifade eder ve marjinal faydaların birbirine oranına eşittir.

4

Tüketim sepetindeki değerleri yerine koyarak sonucu bulunuz.

MRS_{xy} = \sqrt{16} = 4

Sepetteki

Y=16

değeri fonksiyonel ilişkide yerine yazılarak spesifik noktadaki ikame oranı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin üzerindeki bir noktadaki eğimine eşittir ve tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalmak kaydıyla bir malı diğeriyle hangi oranda değiştirmeye razı olduğunu gösterir.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranını bulmak için öncelikle her iki malın marjinal faydalarını (

MU_x

ve

MU_y

) hesaplamanız gerekir.

2

MRS_{xy} = MU_x / MU_y

formülünü kullanın. Kareköklü bir ifadenin türevinin

\frac{1}{2\sqrt{Y}}

olduğunu hatırlayın.

3

Fonksiyonda

X

'in katsayısı 1 olduğu için

MU_x = 1

'dir.

Y

miktarını yerine koyduğunuzda paydadaki değerin ne olacağına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Bütçe doğrusu eğimi verildiğinde bu MRS değeri ile tüketici dengesi noktasına nasıl ulaşılacağını analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fayda fonksiyonunu

X

için yalnız bırakıp (

X = U - 2\sqrt{Y}

) fonksiyonun

Y

'ye göre türevini alarak

dX/dY

oranını (MRS_yx) bulabilir ve bunun çarpmaya göre tersini alabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Tüketim sepetinde $X$ ve $Y$ malları bulunan bir tüketicinin toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X \cdot Y^2$ olarak verilmiştir. Bu tüketicinin 4 birim $X$ malı ve 2 birim $Y$ malı tükettiği bir bileşimde, $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

0,25

0,50

2,00

4,00

16,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,25

Cevap

Tüketicinin belirtilen sepet için marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) 0,25'tir.

Verilen

U(X, Y) = X \cdot Y^2

fonksiyonunda,

X

malının marjinal faydası

MU_X = Y^2

ve

Y

malının marjinal faydası

MU_Y = 2XY

olarak türetilir.

(4, 2)

sepeti için değerler yerine konulduğunda

MU_X = 4

ve

MU_Y = 16

bulunur.

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

formülünden

4 / 16 = 0,25

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) hesapla.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = Y^2

. Verilen noktada (

X=4, Y=2

):

MU_X = 2^2 = 4

.

Marjinal ikame oranı formülünün pay kısmını bulmak için.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) hesapla.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2XY

. Verilen noktada (

X=4, Y=2

):

MU_Y = 2 \times 4 \times 2 = 16

.

Marjinal ikame oranı formülünün payda kısmını bulmak için.

3

MRS_{XY}

formülünü uygula.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{4}{16} = 0,25

.

Tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmek için bir birim daha fazla

X

elde etmek adına vazgeçtiği

Y

miktarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisi üzerindeki bir noktada eğrinin eğimine eşittir ve malların marjinal faydalarının oranlanmasıyla bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin toplam fayda fonksiyonu $U(x, y) = x^2 + y^2$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, söz konusu tüketici için farksızlık eğrilerinin geometrik yapısı ve Marjinal İkame Oranı ( $MRS_{xy}$ ) değerinin seyri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Farksızlık eğrileri orijine göre dışbükeydir (konveks) ve marjinal ikame oranı azalandır.

Farksızlık eğrileri orijine göre içbükeydir (konkav) ve marjinal ikame oranı artandır.

Farksızlık eğrileri negatif eğimli birer doğrudur ve marjinal ikame oranı sabittir.

Farksızlık eğrileri orijine göre içbükeydir (konkav) ancak marjinal ikame oranı azalandır.

Farksızlık eğrileri L şeklindedir ve marjinal ikame oranı köşe noktalarında tanımsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Farksızlık eğrileri orijine göre içbükeydir (konkav) ve marjinal ikame oranı artandır.

Cevap

Farksızlık eğrilerinin orijine göre içbükey (konkav) olması ve marjinal ikame oranının artan olmasıdır.

Verilen

U(x, y) = x^2 + y^2

fonksiyonunda,

X

malının marjinal faydası

2x

,

Y

malının marjinal faydası ise

2y

'dir. Marjinal İkame Oranı (

MRS_{xy}

) bu iki değerin birbirine oranı olan

x/y

şeklinde bulunur. Farksızlık eğrisi üzerinde sağa doğru gidildikçe (X miktarı artıp Y miktarı azaldıkça), pay büyürken payda küçüldüğü için

MRS

değeri sürekli artar. Marjinal ikame oranının artması, geometrik olarak farksızlık eğrisinin orijine göre içbükey (konkav) bir yapıda olduğunu ispatlar.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal faydaların hesaplanması

MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = 2x

ve

MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = 2y

MRS'yi bulmak için malların marjinal faydalarının bilinmesi gerekir.

2

Marjinal İkame Oranı (

MRS_{xy}

) formülünün oluşturulması

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{2x}{2y} = \frac{x}{y}

MRS, bir maldan bir birim daha tüketmek için diğer maldan vazgeçilmesi gereken miktarı temsil eder ve marjinal faydaların oranına eşittir.

3

Farksızlık eğrisi üzerinde hareketin analiz edilmesi

Tüketici farksızlık eğrisi üzerinde aşağı doğru hareket ettiğinde (

X

artıp

Y

azaldığında),

x/y

oranı sürekli artacaktır.

Payın büyümesi ve paydanın küçülmesi rasyonel olarak sonucun (MRS) artmasına neden olur.

4

Geometrik yorumun yapılması

Artan MRS, farksızlık eğrisinin orijine göre içbükey (konkav) bir yapıya sahip olduğunu gösterir.

Standart dışbükey (konveks) farksızlık eğrilerinde MRS azalan iken, burada tam tersi bir durum söz konusudur.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS) ve Farksızlık Eğrisi Geometrisi

Daha Fazla Pratik

İçbükey farksızlık eğrilerine sahip bir tüketicinin bütçe kısıtı altında fayda maksimizasyonu yaparken neden köşe çözümüne yöneldiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyonun Hessian matrisinin determinantına veya farksızlık eğrisi denklemini

y = \sqrt{U - x^2}

şeklinde çekip ikinci türevin işaretine bakarak da içbükeylik/dışbükeylik analizi yapılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 16Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^2 Y^3$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin tüketim sepetinde 4 birim $X$ malı ve 3 birim $Y$ malı bulunduğu bir durumda, $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

1/2

2/3

3/4

4/3

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/2

Cevap

X malının Y malı ile marjinal ikame oranı 1/2'dir.

Marjinal ikame oranı, tüketicinin vazgeçmeye razı olduğu miktarı temsil eder ve matematiksel olarak marjinal faydaların oranına eşittir. Verilen

U = X^2 Y^3

fonksiyonu için türevler alındığında

MRS = 2Y / 3X

elde edilir. Belirtilen sepet değerleri (

X=4, Y=3

) yerine yazıldığında sonuç

6/12

, yani 1/2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X malının marjinal faydasını (

MU_X

) hesaplayınız.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 2XY^3

Marjinal fayda, toplam fayda fonksiyonunun ilgili mala göre kısmi türevidir.

2

Y malının marjinal faydasını (

MU_Y

) hesaplayınız.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 3X^2Y^2

Y malındaki bir birimlik artışın toplam faydada yarattığı değişimi bulmak gerekir.

3

Marjinal İkame Oranı (

MRS_{XY}

) formülünü oluşturunuz.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{2XY^3}{3X^2Y^2} = \frac{2Y}{3X}

MRS, tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalmak kaydıyla bir maldan bir birim daha fazla tüketmek için diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktarı gösterir.

4

Sepetteki değerleri (

X=4, Y=3

) formülde yerine koyunuz.

MRS_{XY} = \frac{2(3)}{3(4)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Spesifik bir tüketim noktasındaki ikame oranını bulmak için o noktadaki miktar değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisi üzerindeki bir noktada eğrinin eğimine eşittir ve marjinal faydaların birbirine oranına (

MU_X / MU_Y

) karşılık gelir.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranını bulmak için önce her iki malın marjinal faydasını türev yoluyla hesaplamayı deneyin.

2

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

formülünü kullanarak türev sonuçlarını birbirine oranlayın.

3

Oranlama sonucunda elde ettiğiniz cebirsel ifadede

X

yerine 4,

Y

yerine 3 yazarak sayısal sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Bütçe doğrusu eğimi ile MRS arasındaki ilişkiyi inceleyen tüketici dengesi sorularına göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketiminden elde ettiği toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^2 Y + 4X$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin mevcut tüketim sepetinde 2 birim $X$ malı ve 3 birim $Y$ malı bulunduğu varsayıldığında, tüketicinin bu sepet bileşimindeki marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

0,25

1,5

3

4

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Hesaplanan marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) 4 değerine eşittir.

Doğru yanıt olan 4 değeri,

X

malının marjinal faydasının (

16

) ve

Y

malının marjinal faydasının (

4

) doğru bir şekilde hesaplanıp birbirine oranlanmasıyla elde edilmiştir. Bu değer, tüketicinin sepetine 1 birim daha

X

eklediğinde aynı fayda düzeyinde kalabilmek için 4 birim

Y

malından vazgeçebileceğini ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

X

malının marjinal faydasını (

MU_X

) hesaplayınız.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 2XY + 4

Marjinal ikame oranı formülünde pay kısmında yer alan

X

malının ek faydasını bulmak gerekir.

2

Y

malının marjinal faydasını (

MU_Y

) hesaplayınız.

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X^2

Marjinal ikame oranı formülünde payda kısmında yer alan

Y

malının ek faydasını bulmak gerekir.

3

Verilen tüketim miktarlarını (

X=2, Y=3

) marjinal fayda fonksiyonlarında yerine koyunuz.

MU_X = 2(2)(3) + 4 = 16

ve

MU_Y = 2^2 = 4

Belirli bir tüketim noktasındaki (sepetindeki) marjinal değerleri belirlemek için miktar verileri kullanılır.

4

Marjinal faydaları birbirine oranlayarak

MRS_{XY}

değerini bulunuz.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{16}{4} = 4

Marjinal ikame oranı, iki malın marjinal faydalarının oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmek için bir maldan bir birim daha fazla tüketmek istediğinde diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktarı gösteren orandır.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranı,

X

ve

Y

mallarının marjinal faydalarının birbirine oranı (

MU_X / MU_Y

) olarak hesaplanır.

2

Marjinal faydaları bulmak için fayda fonksiyonunun her bir mal için ayrı ayrı kısmi türevini almalısınız.

3

MU_X

için türev alırken

2XY + 4

ifadesini,

MU_Y

için ise

X^2

ifadesini elde edip belirtilen

X=2

ve

Y=3

değerlerini yerlerine koyunuz.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir tüketim noktasında (örneğin

X=4, Y=1

) marjinal ikame oranının nasıl değiştiğini hesaplayarak azalan marjinal ikame oranı kuralını test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fayda fonksiyonu

U = X(XY + 4)

şeklinde çarpanlarına ayrılarak da türev alınabilir ancak doğrudan kısmi türev yöntemi hata riskini azaltır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = \sqrt{X} + \sqrt{Y}$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin mevcut tüketim sepeti 4 birim $X$ ve 9 birim $Y$ malından oluşmaktadır. Buna göre, bu tüketim sepetinde tüketicinin $X$ malı için marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1,5

0,67

2,25

1,0

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

Tüketicinin marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) değeri 1,5'tir.

Marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

), tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalarak bir malı diğeriyle değiştirme isteğini ölçer ve

MU_X / MU_Y

formülüyle hesaplanır.

U(X, Y) = X^{1/2} + Y^{1/2}

fonksiyonunda

MU_X = 0,5X^{-0,5}

ve

MU_Y = 0,5Y^{-0,5}

'tir. Bu oran

\sqrt{Y}/\sqrt{X}

haline gelir.

X=4

ve

Y=9

için

\sqrt{9}/\sqrt{4} = 3/2 = 1,5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Malların marjinal fayda (

MU

) değerlerini hesaplayınız.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = \frac{1}{2\sqrt{X}}

ve

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = \frac{1}{2\sqrt{Y}}

Marjinal ikame oranı hesaplamak için öncelikle her bir malın tüketimindeki marjinal değişimin faydaya etkisini bilmemiz gerekir.

2

Marjinal ikame oranı (

MRS_{XY}

) formülünü kurunuz.

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{1/(2\sqrt{X})}{1/(2\sqrt{Y})} = \frac{\sqrt{Y}}{\sqrt{X}}

MRS, aynı fayda düzeyinde kalmak kaydıyla bir maldan bir birim artırmak için diğer maldan ne kadar vazgeçileceğini gösteren marjinal fayda oranıdır.

3

Verilen tüketim miktarlarını (

X=4, Y=9

) formülde yerine koyunuz.

MRS_{XY} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1,5

Tüketicinin mevcut sepetindeki spesifik oran, o noktadaki farksızlık eğrisinin eğimini (MRS) belirler.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (MRS), farksızlık eğrisinin herhangi bir noktasındaki eğimine eşittir ve matematiksel olarak marjinal faydaların birbirine oranı (

MU_X / MU_Y

) ile hesaplanır.

İpuçları

1

Marjinal ikame oranını bulmak için öncelikle X ve Y mallarının marjinal faydalarını türev yardımıyla hesaplamanız gerekir.

2

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y

formülünü kullanın. Karekök fonksiyonunun (

X^{0,5}

) türevinin

0,5X^{-0,5}

olduğunu hatırlayın.

3

Formülde sadeleştirme yaptığınızda MRS'nin

\sqrt{Y}/\sqrt{X}

olduğunu göreceksiniz. Şimdi

X=4

ve

Y=9

değerlerini yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Cobb-Douglas fayda fonksiyonlarında MRS hesaplaması ile bu sorudaki toplamsal (additive) fayda fonksiyonu arasındaki yapısal farkları inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Tüketici Arzu'nun $X$ malı tüketiminden sağladığı marjinal fayda $MU_X = 100/X$ ve $Y$ malı tüketiminden sağladığı marjinal fayda $MU_Y = 10$ olarak tahmin edilmiştir. Arzu'nun mevcut durumda $5$ birim $X$ malı ve $20$ birim $Y$ malı tükettiği bilindiğine göre, Arzu'nun bulunduğu bu noktadaki marjinal ikame oranı ( $MRS_{XY}$ ) kaçtır?

0,5

2

4

10

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Arzu'nun bulunduğu bu noktadaki marjinal ikame oranı

2

olarak hesaplanır.

Verilen noktada

X

malının marjinal faydası

100/5 = 20

,

Y

malının marjinal faydası ise

10

birimdir.

MRS_{XY}

formülü olan

MU_X / MU_Y

uygulandığında

20/10 = 2

sonucu elde edilir. Bu, tüketicinin farksızlık eğrisi üzerindeki bu noktada

1

birim daha

X

tüketmek için

2

birim

Y

malından vazgeçmeye hazır olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

X

malı için verilen marjinal fayda fonksiyonunda mevcut tüketim miktarını yerine koyun.

MU_X = 100 / 5 = 20

.

Marjinal ikame oranı hesaplanırken tüketicinin bulunduğu noktadaki marjinal fayda değerlerine ihtiyaç duyulur.

2

Y

malı için marjinal fayda değerini belirleyin.

MU_Y = 10

(sabit).

Y

malının marjinal faydası fonksiyonel olarak sabit verildiği için her noktada aynıdır.

3

Marjinal ikame oranı formülünü uygulayın.

MRS_{XY} = MU_X / MU_Y = 20 / 10 = 2

.

MRS, tüketicinin aynı fayda düzeyinde kalabilmek için bir maldan bir birim daha alırken diğer maldan vazgeçmeye razı olduğu miktarı gösteren marjinal faydalar oranıdır.

Anahtar Kavram

Marjinal İkame Oranı (

MRS_{XY}

), farksızlık eğrisi üzerindeki bir noktada

X

malı için vazgeçilen

Y

malı miktarını ifade eder ve marjinal faydaların oranına (

MU_X / MU_Y

) eşittir.

Alternatif Yöntem

Fayda fonksiyonu

U(X, Y) = 100 \ln(X) + 10Y

olarak düşünülürse, farksızlık eğrisinin eğimi olan

dY/dX

hesaplanarak mutlak değeri alınabilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Marjinal İkame Oranı (MRS)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar