Faktöriyel Tasarımlar Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir araştırma projesinde iki faktörlü ( $A$ ve $B$ ) tam faktöriyel bir deney tasarlanmıştır. $A$ faktörü araştırmacı tarafından belirlenen 3 farklı uygulama yönteminden (sabit etkili) oluşurken, $B$ faktörü evrenden tesadüfi olarak seçilen 4 farklı materyal grubunu (tesadüfi etkili) temsil etmektedir. Her bir işlem kombinasyonunda 5 tekrarlı ( $n=5$ ) ölçüm yapılmıştır.

Kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımları altında, $A$ faktörünün ana etkisinin anlamlılığını test etmek için oluşturulacak $F$ istatistiği ve bu istatistiğin payda serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve payda serbestlik derecesi 6

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve payda serbestlik derecesi 48

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve payda serbestlik derecesi 12

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve payda serbestlik derecesi 3

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

ve payda serbestlik derecesi 48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve payda serbestlik derecesi 6

Cevap

A faktörünün ana etkisini test etmek için kullanılan istatistik

F = KO_A / KO_{AB}

ve payda serbestlik derecesi 6'dır.

Karma modellerde (bir faktör sabit, diğeri tesadüfi), sabit etkili faktörün beklenen kareler ortalaması (

E(KO_A)

), hem hata varyansını hem de etkileşim varyans bileşenini içerir. Bu nedenle, sıfır hipotezi altında pay ve paydanın beklenen değerlerinin eşitlenebilmesi için F oranının paydasında etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılmalıdır.

A

faktörünün 3 düzeyi,

B

faktörünün 4 düzeyi olduğu durumda etkileşim serbestlik derecesi

(3-1) \times (4-1) = 6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini ve faktör etkilerini belirleme

A (Sabit), B (Tesadüfi) -> Karma Model (Mixed Model)

F testi için kullanılacak payda (error term), beklenen kareler ortalaması (E(KO)) kurallarına göre model tipine bağlıdır.

2

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) ifadelerini yazma (Kısıtlı Model)

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

ve

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2

A sabit ve B tesadüfi olduğunda, A'nın beklenen kareler ortalaması etkileşim varyansını (

n\sigma_{\alpha\beta}^2

) içerir.

3

F istatistiğini oluşturma

F_A = KO_A / KO_{AB}

F testinde paydanın beklenen değeri, payın beklenen değerinden sadece test edilmek istenen etki (A ana etkisi) kadar eksik olmalıdır.

4

Payda serbestlik derecesini hesaplama

sd_{AB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6

Test istatistiğinde payda olarak

KO_{AB}

kullanıldığı için, payda serbestlik derecesi de etkileşim terimine ait serbestlik derecesidir.

Anahtar Kavram

Karma Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması ve F-Testi Kuralları

Daha Fazla Pratik

Aynı senaryoda B faktörünün (tesadüfi etkili) ana etkisini test etmek için hangi paydanın kullanılması gerektiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer model kısıtsız (unrestricted) olsaydı, tesadüfi etkili olan B faktörü için de test istatistiği değişebilirdi; ancak kısıtlı modelde tesadüfi faktörün testi doğrudan hata terimine bölünerek yapılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

Bir devlet basımevinde, basılan materyallerin kalite puanı üzerinde Kağıt Türü ( $A$ : $A_1$ =Mat, $A_2$ =Parlak) ve Baskı Tekniği ( $B$ : $B_1$ =Ofset, $B_2$ =Dijital) faktörlerinin etkileri $2 \times 2$ faktöriyel düzenleme ile incelenmektedir. Yapılan deney sonucunda elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$B_1$ (Ofset)	$B_2$ (Dijital)
$A_1$ (Mat)	$85$	$65$
$A_2$ (Parlak)	$55$	$75$

Buna göre, faktörlerin ana etkileri ve etkileşimi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Kağıt türü ana etkisi ve etkileşim etkisi mevcuttur; ancak baskı tekniği ana etkisi gözlenmemiştir.

Her iki faktörün de ana etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır ancak etkileşim etkisi yoktur.

Sadece baskı tekniği ana etkisi mevcuttur; kağıt türü ve etkileşim etkileri anlamsızdır.

Etkileşim etkisi anlamlı olduğu için ana etkiler her durumda doğrudan ve bağımsız olarak yorumlanmalıdır.

Faktöriyel tasarımın doğası gereği, bu deneydeki toplam serbestlik derecesi her zaman

3

'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kağıt türü ana etkisi ve etkileşim etkisi mevcuttur; ancak baskı tekniği ana etkisi gözlenmemiştir.

Cevap

Kağıt türü ana etkisinin ve etkileşim etkisinin mevcut olduğu, ancak baskı tekniği ana etkisinin gözlenmediği seçenek doğrudur.

Verilen hücre ortalamaları tablosunda, Kağıt Türü (

A

) düzeyleri arasındaki ortalama farkı (

75-65=10

) bir ana etki olduğunu gösterirken, Baskı Tekniği (

B

) düzeyleri arasındaki ortalama farkı (

70-70=0

) bir ana etki olmadığını gösterir. Ayrıca,

A_1

düzeyindeki

B

etkisi (

+20

) ile

A_2

düzeyindeki

B

etkisi (

-20

) farklı yönlerde ve büyüklükte olduğu için (çapraz etkileşim), istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1

Ana etkileri belirlemek için satır ve sütun ortalamalarını hesaplayın.

Kağıt Türü (

A

) için satır ortalamaları:

A_1 = (85+65)/2 = 75

,

A_2 = (55+75)/2 = 65

. Baskı Tekniği (

B

) için sütun ortalamaları:

B_1 = (85+55)/2 = 70

,

B_2 = (65+75)/2 = 70

.

Ana etki, diğer faktörlerin düzeyleri üzerinden alınan ortalamaların farkına dayanır.

2

Etkileşim etkisini belirlemek için hücreler arası farkları karşılaştırın.

A_1

düzeyinde

B_1 - B_2 = 85 - 65 = 20

.

A_2

düzeyinde

B_1 - B_2 = 55 - 75 = -20

. Farklar (

20

ve

-20

) birbirine eşit olmadığı için etkileşim vardır.

Etkileşim, bir faktörün etkisinin diğer faktörün seviyesine göre değişip değişmediğini gösterir.

3

Bulguları sentezleyin.

A

ortalamaları farklı (

75 \neq 65

)

\rightarrow

Ana etki

A

var.

B

ortalamaları aynı (

70 = 70

)

\rightarrow

Ana etki

B

yok. Farklar farklı (

20 \neq -20

)

\rightarrow

Etkileşim var.

Seçenekler arasında bu kombinasyonu sağlayan tek ifadeyi belirlemek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Ana Etki ve Etkileşimin Hücre Ortalamaları Üzerinden Yorumlanması

İpuçları

1

Satır ve sütun ortalamalarını hesaplayarak başlayın; eğer ortalamalar farklıysa ana etki olma ihtimali yüksektir.

2

Bir satırdaki değerlerin farkı ile diğer satırdaki değerlerin farkını karşılaştırın. Eğer bu farklar eşit değilse etkileşim vardır.

3

B1-B2 farkı üst satırda

+20

, alt satırda

-20

'dir. Farkların yönünün değişmesi güçlü bir etkileşime işaret eder.

Daha Fazla Pratik

Etkileşim grafiklerinde çizgilerin birbirine paralel olması durumunda etkileşim etkisinin neden sıfır olduğunu inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Bir kalite mühendisi, 3B yazıcı ile üretilen prototiplerin yüzey pürüzlülüğünü incelemek amacıyla $3^3$ faktöriyel tasarım kullanarak bir deney planlamıştır. Deneydeki bağımsız değişkenler; Nozul Sıcaklığı ( $A$ ), Baskı Hızı ( $B$ ) ve Katman Kalınlığı ( $C$ ) olup, her bir faktör eşit aralıklı üç nicel seviyede test edilmektedir. Mühendis, varyans analizi (ANOVA) sonuçlarını daha detaylı incelemek için ana etkileri ve etkileşimleri ortogonal (dik) polinomlar yardımıyla bileşenlerine ayırmayı hedeflemektedir.

Bu deney tasarımı dikkate alındığında, $A$ faktörünün ana etkisi ile $A$ ve $B$ faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşime ( $A \times B$ ) ait serbestlik dereceleri ve bunların alt bileşenleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A

faktörünün 1 serbestlik derecesi vardır ve sadece doğrusal bileşen incelenebilir;

A \times B

etkileşiminin ise 1 serbestlik derecesi bulunur.

A

faktörünün 2 serbestlik derecesi vardır ancak

A \times B

etkileşiminin de 2 serbestlik derecesi bulunur ve yalnızca iki alt bileşene ayrıştırılabilir.

A

faktörünün 2 serbestlik derecesi vardır ve birer serbestlik dereceli doğrusal (

A_L

) ile karesel (

A_Q

) bileşenlere ayrılır;

A \times B

etkileşiminin ise 4 serbestlik derecesi bulunur.

Tasarımda her faktör üç seviyeli olduğu için

A

faktörünün 3,

A \times B

etkileşiminin ise 9 serbestlik derecesi vardır.

A

faktörünün 2 serbestlik derecesi vardır ve bu serbestlik dereceleri bileşenlere ayrılamaz;

A \times B

etkileşiminin 6 serbestlik derecesi doğrudan hata varyansına eklenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ faktörünün 2 serbestlik derecesi vardır ve birer serbestlik dereceli doğrusal ( $A_L$ ) ile karesel ( $A_Q$ ) bileşenlere ayrılır; $A \times B$ etkileşiminin ise 4 serbestlik derecesi bulunur.

Cevap

A

faktörünün 2 serbestlik derecesi vardır ve birer serbestlik dereceli doğrusal (

A_L

) ile karesel (

A_Q

) bileşenlere ayrılır;

A \times B

etkileşiminin ise 4 serbestlik derecesi bulunur.

Doğru yanıt,

3^k

faktöriyel tasarımların temel teoremine dayanmaktadır. Tasarımda incelenen her faktör 3 seviyeli olduğundan, ana etkilerin serbestlik derecesi

(3-1) = 2

'dir. Faktör seviyeleri nicel (örneğin eşit artan sıcaklık değerleri) olduğunda, bu 2 serbestlik derecesi anlamlı yapısal yorumlar yapabilmek adına her biri

1

serbestlik dereceli doğrusal (Lineer) ve karesel (Kuadratik) etkilere ortogonal olarak ayrılabilir. İki yönlü

A \times B

etkileşiminin serbestlik derecesi ise etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımı ile

(2 \times 2 = 4)

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

3^k

faktöriyel tasarımda bir faktörün ana etkisinin serbestlik derecesini belirleme.

A

faktörünün seviye sayısı

a = 3

'tür. Serbestlik derecesi

(a-1) = 3 - 1 = 2

'dir.

Varyans analizinde herhangi bir faktörün ana etkisine ait serbestlik derecesi, o faktörün seviye sayısının bir eksiğine eşittir.

2

Ana etki serbestlik derecesini ortogonal bileşenlerine ayırma.

Nicel faktörler için bu

2

serbestlik derecesi, her biri

1

serbestlik derecesine sahip olan Doğrusal (Lineer,

A_L

) ve Karesel (Kuadratik,

A_Q

) olmak üzere iki ortogonal bileşene tam olarak ayrıştırılır.

Etkilerin doğasını (sadece artış/azalış mı yoksa eğrisellik mi var) test edebilmek için

3

seviyeli faktörlerde 2 serbestlik derecesi

L

ve

Q

bileşenlerine bölünür.

3

İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesini hesaplama.

A

ve

B

faktörlerinin her ikisi de 3 seviyeli olduğundan, etkileşim serbestlik derecesi

(a-1) \times (b-1) = 2 \times 2 = 4

'tür.

Varyans analizinde iki ana etkinin etkileşiminin serbestlik derecesi, bu faktörlerin bağımsız serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

3^k

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi ve Ortogonal Polinomlar

Soru 64Soru →

Bir kamu yönetimi uzmanı, farklı eğitim tekniklerinin (Faktör $A$ : Sabit, 3 düzey) personel verimliliği üzerindeki etkisini, tesadüfi olarak seçilen 5 farklı hizmet biriminde (Faktör $B$ : Tesadüfi) incelemektedir. Her bir hizmet biriminde, her bir eğitim tekniği için 4 personel görevlendirilmiştir. Karma model (kısıtlı model varsayımı altında) analizi yapıldığında, eğitim tekniklerinin ( $A$ faktörü) verimlilik üzerindeki etkisinin anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ istatistiği ve bu istatistiğin payda serbestlik derecesi ( $sd_{payda}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

sd_{payda} = 8

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve

sd_{payda} = 45

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve

sd_{payda} = 4

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

sd_{payda} = 12

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

ve

sd_{payda} = 8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve $sd_{payda} = 8$

Cevap

Eğitim tekniklerinin (

A

faktörü) etkisini test etmek için

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

istatistiği kullanılmalıdır ve payda serbestlik derecesi 8'dir.

İki faktörlü karma modelde (A sabit, B tesadüfi), kısıtlı model varsayımı altında sabit faktör olan A'nın Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO_A)

), hem tesadüfi hata varyansını (

\sigma^2

) hem de etkileşim varyans bileşenini (

n\sigma^2_{AB}

) içerir. Bu nedenle, A faktörünün etkisini izole ederek test etmek için payda terimi olarak sadece

\sigma^2

ve

n\sigma^2_{AB}

bileşenlerini içeren Etkileşim Kareler Ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi ise faktör düzey sayılarından hareketle

(3-1) \times (5-1) = 8

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deney modelini ve faktör yapılarını belirle

İki faktörlü karma model: Faktör

A

sabit (

a=3

), Faktör

B

tesadüfi (

b=5

), hücre içi gözlem sayısı

n=4

.

Doğru

F

testini belirlemek için modelin sabit, tesadüfi veya karma olduğunu bilmek gerekir.

2

Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO)

) ifadelerini yaz (Kısıtlı Model)

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

ve

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

.

F

testi için pay ve payda terimleri, payda teriminin beklentisi pay terimindeki test edilen bileşen dışındaki tüm bileşenleri içerecek şekilde seçilmelidir.

3

F

istatistiğini oluştur ve serbestlik derecesini hesapla

F_A = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

sd_{AB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(5-1) = 2 \times 4 = 8

.

E(KO_A)

içindeki test edilecek bileşen (sabit etkiler) sıfır olduğunda pay ve payda aynı beklentiye sahip olur (

F \approx 1

).

Anahtar Kavram

Karma modelde sabit faktörün ana etkisini test etmek için payda terimi olarak etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılır.

Soru 65Soru →

Bir gıda araştırma laboratuvarında, yeni bir ekmek formülünün hacmi üzerindeki etkileri incelemek amacıyla Maya Miktarı ( $A$ ), Mayalanma Süresi ( $B$ ) ve Pişirme Sıcaklığı ( $C$ ) faktörleri kullanılmıştır. Her bir faktör 3 farklı düzeyde ele alınmış ve deney $3^3$ faktöriyel tasarım düzeninde, her işlem kombinasyonu birer kez uygulanarak (tekerrürsüz) gerçekleştirilmiştir. Buna göre, "Mayalanma Süresi ( $B$ )" ana etkisinin doğrusal ( $B_L$ ) ve kuadratik ( $B_Q$ ) bileşenlerine ayrılması ile $AB$ etkileşiminin serbestlik dereceleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

B

ana etkisinin her bir bileşeni (

B_L

ve

B_Q

) 2 serbestlik derecesine sahiptir;

AB

etkileşimi ise 2 serbestlik derecesine sahiptir.

B

ana etkisinin doğrusal ve kuadratik bileşenlerinin her biri 1 serbestlik derecesine sahiptir;

AB

etkileşimi ise toplam 4 serbestlik derecesine sahiptir.

B

ana etkisi toplamda 1 serbestlik derecesine sahiptir;

AB

etkileşimi de 1 serbestlik derecesine sahiptir.

B_L

bileşeni 1 serbestlik derecesine sahipken

B_Q

bileşeni 2 serbestlik derecesine sahiptir;

AB

etkileşimi 6 serbestlik derecesine sahiptir.

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 3'tür;

AB

etkileşiminin serbestlik derecesi ise 9'dur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$ ana etkisinin doğrusal ve kuadratik bileşenlerinin her biri 1 serbestlik derecesine sahiptir; $AB$ etkileşimi ise toplam 4 serbestlik derecesine sahiptir.

Cevap

Mayalanma Süresi (

B

) ana etkisinin doğrusal ve kuadratik bileşenlerinin her biri 1 serbestlik derecesine,

AB

etkileşimi ise 4 serbestlik derecesine sahiptir.

Doğru seçenek,

3^k

tasarımın temel kuralı olan

(L-1)

prensibini yansıtmaktadır. 3 düzeyli bir faktörün (Mayalanma Süresi

B

) toplam 2 serbestlik derecesi vardır ve bu derece, faktör düzeyleri arasındaki doğrusal değişimi temsil eden doğrusal bileşen (

B_L

) ile eğrisel değişimi temsil eden kuadratik bileşen (

B_Q

) arasında 1'er derece olarak bölüştürülür. Ayrıca, iki ana etkinin (

A

ve

B

) etkileşimi, her iki faktörün serbestlik derecelerinin çarpımı olan

2 \times 2 = 4

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Ana etkinin serbestlik derecesini hesapla.

sd_B = 3 - 1 = 2

3 düzeyli bir faktörün serbestlik derecesi düzey sayısının bir eksiğidir.

2

Serbestlik derecesini doğrusal ve kuadratik bileşenlere paylaştır.

sd_{B_L} = 1

ve

sd_{B_Q} = 1

Ana etkinin sahip olduğu 2 serbestlik derecesi, ortogonal polinomlar kullanılarak 1 serbestlik dereceli doğrusal ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşene ayrıştırılır.

3

İki faktörlü etkileşimin serbestlik derecesini hesapla.

sd_{AB} = (3-1) \times (3-1) = 4

3^k

tasarımda her ana etki 2 serbestlik derecesine sahip olduğundan, bunların etkileşimi bu derecelerin çarpımı olan 4'e eşittir.

Anahtar Kavram

3^k

faktöriyel tasarımlarda serbestlik derecesi ve ana etkilerin doğrusal/kuadratik bileşenlerine ayrıştırılması.

Daha Fazla Pratik

3^k

tasarımlarda etkileşimlerin

AB

ve

AB^2

gibi bileşenlere ayrılmasını ve bloklama durumunda bu bileşenlerin nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 66Soru →

Bir belediye su idaresinde, içme suyundaki arıtma verimliliğini (yüzde cinsinden) artırmak amacıyla iki farklı faktör (A: Filtreleme Tekniği, B: Ozonlama Dozu) her biri iki düzeyde olacak şekilde $2^2$ tam faktöriyel deney tasarımı ile incelenmektedir. Deneyin her bir kombinasyonu için elde edilen toplam verim değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Deneme Kombinasyonu	Toplam Verim
(1)	15
a	25
b	10
ab	30

Buna göre, Yates algoritması adımları izlendiğinde, A faktörünün ana etki (main effect) tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

15

30

7,5

5

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

A faktörünün ana etki tahmini 15'tir.

Yates algoritması uygulandığında, A faktörü için elde edilen kontrast değeri 30'dur.

2^2

tam faktöriyel tasarımda her bir ana etkiyi bulmak için kontrast değeri

2^{k-1}

(burada

2^{2-1}=2

) değerine bölünmelidir.

30 / 2 = 15

işlemi ile A ana etkisinin tahmini elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yates algoritması için standart sıralamayı ve verileri düzenle.

(1)=15, a=25, b=10, ab=30

Yates algoritmasının doğru çalışması için deneme kombinasyonlarının standart geometrik düzende yazılması gerekir.

2

Birinci sütun (Sütun 1) değerlerini hesapla (Ardışık toplamlar ve farklar).

15+25=40; 10+30=40; 25-15=10; 30-10=20

Yates algoritmasının ilk aşamasında veriler ikili gruplar halinde toplanır ve çıkarılır.

3

İkinci sütun (Sütun 2 - Kontrastlar) değerlerini hesapla.

40+40=80 (Toplam); 10+20=30 (Kontrast A); 40-40=0 (Kontrast B); 20-10=10 (Kontrast AB)

2^2

tasarımı olduğu için ikinci sütun bize faktörlerin kontrast değerlerini verir.

4

A ana etkisini hesaplamak için Kontrast A değerini bölen değerine böl.

Etki A =

30 / (1 \cdot 2^{2-1}) = 30 / 2 = 15

Ana etki, kontrastın

n \cdot 2^{k-1}

oranına bölünmesiyle elde edilen ortalama değişim miktarıdır.

Anahtar Kavram

2^k faktöriyel tasarımlarda etkilerin Yates algoritması kullanılarak sistematik hesaplanması.

Soru 67Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), hanehalkı anketlerindeki yanıt oranlarını artırmak amacıyla bir metodolojik araştırma yürütmektedir. Araştırmacılar; Anket Uzunluğu ( $A$ ), Teşvik Miktarı ( $B$ ) ve İletişim Kanalı ( $C$ ) olmak üzere üç faktörün etkisini incelemektedir. Nicel yapıdaki Anket Uzunluğu ve Teşvik Miktarı faktörleri ile nitel yapıdaki İletişim Kanalı faktörünün her biri 3 düzeyli olarak belirlenmiş ve $3^3$ faktöriyel tasarım kullanılarak bir deney planlanmıştır.

Bu tasarıma göre, nicel bir değişken olan Teşvik Miktarı ( $B$ ) faktörünün ana etkisinin serbestlik derecesi ve bu etkinin ortogonal (dik) polinomlar yardımıyla bileşenlerine ayrıştırılmasına ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 2'dir ve faktör düzeyleri eşit aralıklı olduğunda bu etki, her biri 1 serbestlik derecesine sahip bağımsız doğrusal ve kuadratik bileşenlere tam olarak ayrıştırılabilir.

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 1'dir; faktöriyel tasarımlarda ana etkiler genel olarak tek bir serbestlik derecesi ile ifade edildiğinden yalnızca doğrusal bileşen hesaplanabilir.

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 3'tür; faktörün sahip olduğu üç farklı düzeyin her biri modelde bağımsız bir varyans kaynağı olarak doğrudan yer alır.

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 2'dir ancak bileşenlere ayrıştırma işlemi ana etkiler için değil, yalnızca faktörlerin birbirine bağlılığını gösteren etkileşim terimleri için uygulanabilir.

B

ana etkisinin serbestlik derecesi 2'dir ve bu etki ayrıştırıldığında elde edilen doğrusal ve kuadratik kareler toplamlarının toplamı, genel modeldeki hata kareler toplamına eşit olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$ ana etkisinin serbestlik derecesi 2'dir ve faktör düzeyleri eşit aralıklı olduğunda bu etki, her biri 1 serbestlik derecesine sahip bağımsız doğrusal ve kuadratik bileşenlere tam olarak ayrıştırılabilir.

Cevap

Doğru seçenek,

B

ana etkisinin 2 serbestlik derecesine sahip olduğunu ve eşit aralıklı düzeylerde 1 sd'lik doğrusal ile 1 sd'lik kuadratik bileşenlere ayrıştırılabileceğini belirten ifadedir.

3^k

faktöriyel tasarımlarda her bir faktör 3 düzeye sahip olduğundan, ana etkilerin serbestlik derecesi

3-1 = 2

'dir. Eğer faktör nicel ve düzeyleri eşit aralıklıysa (örneğin teşvik miktarının 0, 50, 100 TL olarak belirlenmesi gibi), bu 2 serbestlik derecesi ortogonal polinomlar kullanılarak iki bağımsız bileşene tam olarak ayrıştırılabilir: 1 serbestlik dereceli doğrusal (lineer) bileşen ve 1 serbestlik dereceli kuadratik (ikinci dereceden) bileşen. Bu işlem, faktör düzeylerindeki artışın yanıt değişkeni üzerindeki eğilimini matematiksel olarak detaylıca analiz etmeyi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Faktörün ana etkisine ait serbestlik derecesinin hesaplanması.

Tasarım

3^3

olduğundan her faktör 3 düzeylidir. Bir ana etkinin serbestlik derecesi düzey sayısının bir eksiği olan

3-1 = 2

olarak bulunur.

Varyans analizinde herhangi bir faktörün ana etkisinin serbestlik derecesi

(k-1)

formülü ile hesaplanır.

2

Serbestlik derecelerinin eğilim (trend) bileşenlerine ayrıştırılmasının değerlendirilmesi.

Teşvik Miktarı (

B

) nicel bir değişken olduğundan, 2 serbestlik dereceli bu ana etki, ortogonal polinomlar yardımıyla 1 serbestlik dereceli doğrusal (lineer) ve 1 serbestlik dereceli kuadratik (ikinci dereceden) bileşenlere ayrıştırılır.

Nicel faktörlerin düzeylerindeki değişimin (artış/azalış) yanıt değişkeni üzerindeki yönünü ve eğriselliğini tespit edebilmek için kareler toplamı ve serbestlik dereceleri toplanabilir bileşenlere bölünür.

3

Seçeneklerdeki istatistiksel varsayımların ve kural hatalarının elenmesi.

Serbestlik derecesini 1 veya 3 olarak belirten ifadeler hesaplama hatası içerir; ayrıştırmanın yapılamayacağını veya hata kareler toplamına eşit olacağını belirten ifadeler ise kavramsal olarak yanlıştır. Bu yargılar elenerek doğru sonuca ulaşılır.

Model yapısının ve kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralının teyit edilmesi.

Anahtar Kavram

3^k

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi Ayrıştırması

Soru 68Soru →

Bir araştırmacı, bir üretim sürecinde verimliliği etkileyen iki faktörü (A ve B) incelemek üzere $2^2$ faktöriyel tasarım kullanmıştır. Deney sonucunda standart sıralamaya göre elde edilen toplam verim değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Deneme Kombinasyonu	Toplam Verim
$(1)$	15
$a$	25
$b$	20
$ab$	40

Bu verilere Yates algoritması uygulandığında, algoritmanın birinci sütunundaki ( $Sütun_1$ ) üçüncü satır değeri aşağıdakilerden hangisidir?

10

20

40

60

-10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Yates algoritmasının birinci sütunundaki üçüncü satır değeri 10'dur.

Yates algoritmasında her sütun, bir önceki sütunun (veya başlangıç verilerinin) ardışık eleman çiftleri üzerinde işlem yapılarak oluşturulur.

2^2

tasarımı için 4 veri bulunur. Sütunun ilk yarısı (

4/2 = 2

satır) çiftlerin toplamından, ikinci yarısı ise çiftlerin farkından (

alttaki - üstteki

) oluşur. Üçüncü satır, ilk fark satırıdır ve

a - (1)

işlemine karşılık gelir. Verilen değerlere göre

25 - 15 = 10

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri standart sıralamaya göre dizin.

(1)=15, a=25, b=20, ab=40

Yates algoritması standart sıralı veriler üzerinde uygulanır.

2

Birinci sütunun ilk iki satırı için ardışık çiftleri toplayın.

Satır 1:

15 + 25 = 40

; Satır 2:

20 + 40 = 60

Algoritmanın ilk yarısı toplamları içerir.

3

Birinci sütunun son iki satırı için ardışık çiftlerin farkını alın (ikinci - birinci).

Satır 3:

25 - 15 = 10

; Satır 4:

40 - 20 = 20

Algoritmanın ikinci yarısı farkları içerir. Üçüncü satır değeri istenen sonuçtur.

Anahtar Kavram

Yates algoritması,

2^k

tasarımlarında etkilerin hesaplanması için verileri toplama ve çıkarma çiftleri halinde işleyen sistematik bir yöntemdir.

İpuçları

1

Yates algoritmasında birinci sütunun ilk yarısı toplamları, ikinci yarısı farkları temsil eder.

2

Dört satırlı bir tabloda üçüncü satır, farkların başladığı ilk satırdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 69Soru →

Bir ziraat mühendisi, üç farklı "Tohum Türü" ( $T_1$ , $T_2$ ve $T_3$ ) ile bu tohumların ekildiği "Bölge" faktörlerinin ürün verimi üzerindeki etkisini araştırmaktadır. Mühendis, tohum türlerini bizzat belirlemiş; bölgeleri ise ülkedeki geniş bir tarım havzasından rastgele seçmiştir.

Bu deneyde tohum türleri sabit, bölgeler ise şansa bağlı birer faktör olarak ele alındığına göre; kullanılan istatistiksel model türü aşağıdakilerden hangisidir?

Karma etkili model

Sabit etkili model

Şansa bağlı model

Latin karesi modeli

Tamamen tesadüfi model

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karma etkili model

Cevap

Karma etkili model

Doğru cevap olan karma etkili model seçeneği, deneydeki tohum türlerinin sabit etkili (araştırmacı seçimi) ve bölgelerin şansa bağlı etkili (rastgele seçim) olması durumunu tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Tohum Türü faktörünün yapısını belirle

Sabit Etkili Faktör

Araştırmacı belirli düzeyleri (

T_1, T_2, T_3

) bizzat seçmiştir ve sonuçlar sadece bu düzeyler için geçerlidir.

2

Bölge faktörünün yapısını belirle

Şansa Bağlı Faktör

Düzeyler (bölgeler) geniş bir popülasyondan rastgele seçilmiştir ve sonuçlar tüm popülasyona genellenmek istenir.

3

Faktör yapılarını birleştirerek model adını koy

Karma Etkili Model

Aynı deney tasarımında hem sabit hem de şansa bağlı etkili faktörlerin bir arada bulunması 'Karma' (Mixed) model yapısını oluşturur.

Anahtar Kavram

Deney tasarımında en az bir faktörün düzeyleri araştırmacı tarafından sabitlenmiş, en az bir faktörün düzeyleri ise rastgele seçilmişse bu yapıya karma etkili model denir.

İpuçları

1

Faktör düzeylerinin nasıl seçildiğine odaklanın: Bizzat mı belirlenmiş yoksa rastgele mi?

Daha Fazla Pratik

Karma modellerde F testlerinin payda kısımlarının (hata terimlerinin) nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 70Soru →

Bir araştırmacı tarafından yürütülen iki faktörlü faktöriyel bir deneyde; $A$ faktörünün düzeyleri belirli muamelelerden oluşacak şekilde araştırmacı tarafından sabitlenmiş, $B$ faktörünün düzeyleri ise geniş bir popülasyondan rastgele örnekleme yoluyla seçilmiştir. Kısıtlı model (restricted model) varsayımı altında, $A$ faktörüne ait ana etkinin anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $KO$ = Kareler Ortalaması, $KO_{A}$ = $A$ faktörü kareler ortalaması, $KO_{B}$ = $B$ faktörü kareler ortalaması, $KO_{AB}$ = Etkileşim kareler ortalaması, $KO_{H}$ = Hata kareler ortalaması)

F = \frac{KO_A}{KO_H}

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

F = \frac{KO_B}{KO_H}

F = \frac{KO_A}{KO_B}

F = \frac{KO_{AB}}{KO_H}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Cevap

A

faktörünün kareler ortalamasının etkileşim kareler ortalamasına oranlandığı

\frac{KO_A}{KO_{AB}}

ifadesi doğrudur.

İki faktörlü karma modellerde (faktörlerden biri sabit diğeri şansa bağlı olduğunda), kısıtlı model varsayımı altında sabit faktörün Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO_A)

), hem deneysel hatayı hem de etkileşim varyansını içerir. Bu nedenle, sabit faktöre ait ana etkinin anlamlılığını test etmek için paydada sadece hata varyansını içeren

KO_H

yerine, etkileşim varyansını da içeren

KO_{AB}

kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Faktörlerin türlerini belirleyin.

A

faktörü araştırmacı tarafından seçildiği için sabit (fixed),

B

faktörü rastgele seçildiği için şansa bağlı (random) etkilidir.

Modelin karma (mixed) model olduğunu ve hangi test kurallarının uygulanacağını belirlemek için gereklidir.

2

Beklenen kareler ortalamalarını (

E(KO)

) kısıtlı model varsayımına göre hatırlayın.

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \frac{nb \sum \alpha_i^2}{a-1}

ve

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

olarak tanımlanır.

F

testinde paydadaki terimin seçimi, payın beklenen değerindeki hata ve etkileşim terimlerini içeren en yakın kareler ortalaması olmalıdır.

3

F

oranını kurun.

F_A = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

Sıfır hipotezi (

H_0: \alpha_i = 0

) altında pay ve paydanın beklenen değerleri eşitlenerek merkezi

F

dağılımı elde edilir.

Anahtar Kavram

Karma modellerde sabit etkili faktörlerin anlamlılık testi için uygun hata teriminin (paydanın) seçilmesi.

Daha Fazla Pratik

Kısıtsız (unrestricted) karma model varsayımı altında şansa bağlı faktörün (B) hata teriminin ne olacağını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 71Soru →

$2^k$ faktöriyel deney tasarımlarında, deneme birimlerinin homojenliği sağlamak amacıyla bloklara ayrılması sonucunda, belirli bir etkileşim etkisinin blok etkisi ile aynı istatistiksel bileşende yer alması ve bu iki etkinin birbirinden ayırt edilemez hale gelmesi durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Karışma (Confounding)

Etkileşim (Interaction)

Kovaryans (Covariance)

Deneysel Hata (Experimental Error)

Rastgeleleştirme (Randomization)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karışma (Confounding)

Cevap

Bloklama sürecinde etkilerin ayırt edilemez hale gelmesi durumunu ifade eden terim Karışma (Confounding) kavramıdır.

Karışma (Confounding) terimi,

2^k

gibi faktöriyel tasarımlarda bir etkileşimin blok etkisiyle istatistiksel olarak çakışmasını ve bu nedenle ayrı bir etki olarak tahmin edilememesini ifade eder. Genellikle blok boyutunu küçültmek amacıyla en az bilgi içeren yüksek dereceli etkileşimler (örneğin

ABC

gibi) bloklarla karıştırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Deneysel yapıyı tanımlayın.

Faktöriyel bir deneyde tüm denemelerin aynı blokta yapılamaması durumunda bloklama gerekir.

Bloklama, deneysel hatayı azaltmak ve yerel kontrolü sağlamak için yapılır.

2

Bloklama ve etkileşim ilişkisini inceleyin.

Blok sayısı arttıkça veya blok boyutu küçüldükçe, bazı etkileşimler blok etkileriyle aynı sütunda (veya hesaplama bileşeninde) yer alır.

İstatistiksel olarak iki etkinin toplamı birbirinden ayrıştırılamaz hale gelir.

3

Doğru terminolojiyi belirleyin.

Bu durum istatistik literatüründe 'karışma' veya 'confounding' olarak adlandırılır.

Karışan etkiler tek bir serbestlik derecesine sahip olur ve etkileşim etkisi blok etkisinden arındırılamaz.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Karışma (Confounding)

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığına bağlı bir araştırma istasyonunda, yeni bir mısır varyetesinin boy uzama hızı üzerinde azotlu gübrenin etkisi incelenmektedir. Deneyde azot miktarı; $20\text{ kg/da}$ , $40\text{ kg/da}$ ve $60\text{ kg/da}$ olmak üzere üç farklı düzeyde uygulanmıştır.

Varyans analizi (ANOVA) kapsamında, bu faktöre ait toplam $2$ serbestlik derecesinin doğrusal (linear) ve kuadratik (quadratic) trend bileşenlerine ayrıştırılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Doğrusal bileşen

1

serbestlik derecesine, kuadratik bileşen ise

1

serbestlik derecesine sahiptir.

Doğrusal bileşen

2

serbestlik derecesine sahiptir, kuadratik bileşen ise hesaplanmaz.

Doğrusal bileşen

1

serbestlik derecesine, kuadratik bileşen ise

2

serbestlik derecesine sahiptir.

Doğrusal ve kuadratik bileşenlerin her biri toplamda

2

'şer serbestlik derecesine sahiptir.

Kuadratik bileşen

2

serbestlik derecesine sahipken, doğrusal bileşen

0

serbestlik derecesine sahiptir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal bileşen $1$ serbestlik derecesine, kuadratik bileşen ise $1$ serbestlik derecesine sahiptir.

Cevap

Doğrusal bileşenin 1 serbestlik derecesine, kuadratik bileşenin ise 1 serbestlik derecesine sahip olduğunu belirten ifade doğrudur.

Varyans analizinde 3 düzeyli (

3^k

yapısındaki bir faktör gibi) bir ana faktörün toplam

2

serbestlik derecesi (

3-1

) bulunur. Bu serbestlik dereceleri, verideki trendi incelemek amacıyla ortogonal polinomlar kullanılarak parçalandığında; doğrusal (linear) bileşen verideki düz çizgisel eğilimi temsil eder ve

1

serbestlik derecesine sahiptir, kuadratik (quadratic) bileşen ise verideki eğrisel (parabolik) eğilimi temsil eder ve o da

1

serbestlik derecesine sahiptir. Toplamda

1 + 1 = 2

serbestlik derecesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Faktör düzey sayısını belirle.

Düzey sayısı

a = 3

(azot miktarları: 20, 40, 60).

Serbestlik derecesi hesaplaması düzey sayısına bağlıdır.

2

Ana faktörün toplam serbestlik derecesini hesapla.

sd_{faktör} = a - 1 = 3 - 1 = 2

.

Bir faktörün toplam serbestlik derecesi, düzey sayısının bir eksiğidir.

3

Serbestlik derecesini bileşenlerine ayır.

Doğrusal (

1

sd) + Kuadratik (

1

sd) = Toplam (

2

sd).

3 düzeyli tasarımlarda ana etki, her biri 1 serbestlik derecesine sahip iki ortogonal polinoma (doğrusal ve kuadratik) ayrıştırılır.

Anahtar Kavram

3^k Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi Ayrıştırması

Daha Fazla Pratik

Faktör düzey sayısı 4 olduğunda (4^k gibi), serbestlik derecelerinin doğrusal, kuadratik ve kübik bileşenlere nasıl ayrılacağını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 73Soru →

Bir endüstriyel üretim sürecinde, 'Makine Tipi' ( $A$ faktörü: Sabit) ve 'Operatör' ( $B$ faktörü: Tesadüfi) değişkenlerinin verimlilik üzerindeki etkisi iki yönlü varyans analizi ile incelenmektedir. Karma model (mixed model) varsayımı altında, sabit etkili olan $A$ faktörünün (Makine Tipi) ana etkisini test etmek amacıyla kullanılacak $F$ istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_A}{KO_B}

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Cevap

Karma modelde sabit etkili faktörün testi için kullanılan

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

oranıdır.

İki yönlü karma modelde (kısıtlı model varsayımı altında), sabit etkili faktörün beklenen kareler ortalaması (

E(KO_A)

), hata varyansına (

\sigma^2

) ek olarak etkileşim varyans bileşenini (

n\sigma^2_{AB}

) de içerir. Bu durumda, sabit etkili faktörün (

A

) anlamlılığını test etmek için oluşturulan

F

oranının paydasında, beklenen değeri sadece hata ve etkileşim bileşenlerini içeren etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) yer almalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini belirleme

Karma Model (Mixed Model)

A faktörü sabit, B faktörü tesadüfi olarak tanımlanmıştır.

2

Beklenen Kareler Ortalamalarını (E(KO)) inceleme

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \Phi(A)

ve

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

Sıfır hipotezi (

H_0: \Phi(A) = 0

) altında pay ve paydanın beklenen değerlerinin eşit olması gerekir.

3

Uygun F oranını oluşturma

F = KO_A / KO_{AB}

A faktörünün etkisini izole etmek için etkileşim terimini (

KO_{AB}

) içeren kareler ortalaması payda olarak seçilir.

Anahtar Kavram

Karma Modellerde F Testi ve E(KO) Kuralları

Daha Fazla Pratik

Faktörlerin her ikisinin de tesadüfi olduğu (Model II) durumu için F oranlarını inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 74Soru →

İki faktörlü tam faktöriyel bir deney düzeneğinde, $A$ faktörü sabit (fixed) ve $B$ faktörü tesadüfi (random) etkili olarak modele dahil edilmiştir. Bu karma (mixed) modelde, kısıtlı (restricted) model varsayımı altında $A$ faktörünün ana etkisini test etmek için kullanılması gereken $F$ istatistiği ve bu istatistiğin payda serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve payda serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve payda serbestlik derecesi

ab(n-1)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve payda serbestlik derecesi

ab(n-1)

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve payda serbestlik derecesi

(b-1)

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

ve payda serbestlik derecesi

ab(n-1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve payda serbestlik derecesi $(a-1)(b-1)$

Cevap

Sabit etkili

A

faktörünün testi için etkileşim kareler ortalamasının (

KO_{AB}

) kullanıldığı ve payda serbestlik derecesinin

(a-1)(b-1)

olduğu seçenek doğrudur.

Karma modellerde, kısıtlı varsayım altında sabit bir faktörün (

A

) Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO_A)

), hata varyansına ek olarak etkileşim varyans bileşenini de içerir. Bu nedenle,

H_0

hipotezi altında pay ve paydanın birbirine eşit olması için payda olarak etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) seçilmelidir. Bu terimin serbestlik derecesi ise etkileşim terimine ait olan

(a-1)(b-1)

formülüyle hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin yapısını belirle.

Karma Model (

A

: Sabit,

B

: Tesadüfi).

Model tipine göre Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) ifadeleri değişir.

2

Kısıtlı model için E(KO) değerlerini yaz.

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + bn\phi_A

,

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

.

Sıfır hipotezi (

H_0: \phi_A = 0

) altında pay ve payda E(KO) değerleri birbirine eşit olmalıdır.

3

F

istatistiğini oluştur.

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

.

Beklenen değerler karşılaştırıldığında, paydada etkileşim terimi olduğunda sadece test edilmek istenen bileşenin fark yarattığı görülür.

4

Serbestlik derecelerini belirle.

Pay

sd = a-1

, Payda

sd = (a-1)(b-1)

.

F

dağılımı, pay ve payda terimlerinin serbestlik dereceleriyle tanımlanır.

Anahtar Kavram

Karma modellerde sabit faktörlerin ana etkileri, etkileşim kareler ortalamasına bölünerek test edilir.

Daha Fazla Pratik

Tesadüfi etkili

B

faktörünün ana etkisini test etmek için hangi paydanın kullanılması gerektiğini düşününüz.

Tahmini Süre:45s

Soru 75Soru →

Bir klinik araştırmada, 3 farklı tedavi yönteminin (Yöntem 1, 2 ve 3) iyileşme süresi üzerindeki etkisi incelenmektedir. Tedavi yöntemleri araştırmacı tarafından spesifik olarak belirlenmiş ve çalışmaya dahil edilmiştir. Ancak bu tedavilerin uygulandığı 6 farklı hastane, ülkedeki tüm kamu hastaneleri arasından rastgele örnekleme yoluyla seçilmiştir. Tedavi yöntemi "sabit", hastane ise "şansa bağlı" bir faktör olarak ele alındığında, bu deneme için uygun olan istatistiksel model aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit etkili model (Model I)

Şansa bağlı etkili model (Model II)

Karma etkili model (Model III)

Latince karesi modeli

Kovaryans analizi (ANCOVA) modeli

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karma etkili model (Model III)

Cevap

İncelenen faktörlerden birinin sabit (tedavi yöntemi), diğerinin ise şansa bağlı (hastane) olması nedeniyle bu düzenek bir Karma Etkili Model (Model III) örneğidir.

Verilen senaryoda 'Tedavi Yöntemi' faktörünün düzeyleri araştırmacı tarafından bilhassa seçildiği için sabit etkili, 'Hastane' faktörünün düzeyleri ise daha büyük bir hastane yığınını temsil etmek üzere rastgele seçildiği için şansa bağlı etkilidir. İstatistik literatüründe bu iki farklı yapının bir arada kullanıldığı modeller Karma Etkili Model (Model III) olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Faktörlerin yapısını belirle

Tedavi yöntemleri spesifik seçildiği için 'Sabit Faktör', hastaneler yığından rastgele seçildiği için 'Şansa Bağlı Faktör'dür.

Model tipini belirlemek için faktör düzeylerinin nasıl seçildiğini anlamak gerekir.

2

Faktör kombinasyonuna göre model tipini sınıflandır

Sabit + Şansa Bağlı = Karma Etkili Model.

Varyans analizinde modeller; faktörlerin tamamı sabitse Model I, tamamı şansa bağlıysa Model II, her ikisinden de varsa Model III olarak sınıflandırılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel modellerde sabit ve şansa bağlı etkilerin bir arada bulunması karma modeli oluşturur.

Tahmini Süre:45s

Soru 76Soru →

Bir tıp araştırmasında, iki farklı ilaç dozunun ( $A$ faktörü: Düşük, Yüksek) ve iki farklı yaş grubunun ( $B$ faktörü: Genç, Yaşlı) hastaların iyileşme süresi üzerindeki etkileri $2^2$ faktöriyel tasarım ile incelenmiştir. Her bir grupta eşit sayıda denek kullanılmış ve analiz sonucunda aşağıdaki kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	$SD$	$KT$	$KO$	$F$
Doz ( $A$ )	$1$	$80$	?	?
Yaş ( $B$ )	$1$	$45$	$45$	$9$
Doz $\times$ Yaş	$1$	$20$	$20$	$4$
Hata	$36$	$180$	$5$
Genel	$39$	$325$

Buna göre, tablodaki veriler dikkate alındığında, $A$ faktörüne (Doz) ait $F$ hesap değeri kaçtır?

16

80

9

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doz faktörüne ait

F

hesap değeri 16'dır.

Varyans analizi tablosunda bir faktörün anlamlılığını test etmek için kullanılan

F

hesap değeri, o faktöre ait Kareler Ortalamasının (

KO

) Hata Kareler Ortalamasına (

KO_{Hata}

) bölünmesiyle elde edilir. Bu soruda Doz (

A

) faktörü için

KO_A = 80/1 = 80

ve Hata Kareler Ortalaması

KO_{Hata} = 5

olarak verildiğinden,

F_A = 80 / 5 = 16

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A

faktörüne (Doz) ait Kareler Ortalamasını (

KO_A

) hesaplayın.

KO_A = KT_A / SD_A = 80 / 1 = 80

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

2

Hata Kareler Ortalamasını (

KO_{Hata}

) tablodan belirleyin.

KO_{Hata} = 5

F testi hesaplamasında paydadaki hata terimi olarak Hata Kareler Ortalaması kullanılır.

3

A

faktörü için

F

hesap değerini bulun.

F_A = KO_A / KO_{Hata} = 80 / 5 = 16

F istatistiği, faktör etkisinin hata varyansına oranıdır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunda F İstatistiği Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda serbestlik derecelerinden yola çıkarak toplam denek sayısını (

N

) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tabloda Genel KT (325) ve diğer KT değerleri verildiği için, Hata KT'sinin doğruluğu

325 - (80 + 45 + 20) = 180

olarak teyit edilebilir. Ardından

KO_{Hata} = 180 / 36 = 5

hesaplanarak işleme devam edilebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 77Soru →

$2^k$ faktöriyel deney tasarımlarında, deneme birimlerinin tüm muamele kombinasyonlarını tek bir homojen blokta barındıramayacak kadar sınırlı olduğu durumlarda; blok büyüklüğünü küçültmek amacıyla belirli bir etkileşim etkisinin blok etkisiyle birleştirilmesi ve bu iki etkinin birbirinden ayırt edilemez hale getirilmesi durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Karışma (Confounding)

Etkileşim (Interaction)

Kovaryans (Covariance)

Yerel Kontrol (Local Control)

Tekrarlama (Replication)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karışma (Confounding)

Cevap

Blok büyüklüğünü küçültmek için etkilerin blok etkisiyle birleştirilerek ayırt edilemez hale gelmesine 'Karışma' (Confounding) adı verilir.

Karışma (Confounding), blok büyüklüğünü küçültmek amacıyla bir veya daha fazla etkinin blok farklarıyla kasıtlı olarak birleştirilmesidir. Bu durumda, örneğin

ABC

etkileşimi ile blok etkisi aynı kareler toplamına sahip olur ve birbirinden bağımsız olarak hesaplanamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Deneysel kısıtı belirleme

Tüm kombinasyonların tek bir blokta toplanamayacağı (blok kapasitesinin yetersizliği) tespit edilir.

Bloklama ihtiyacının ve blok boyutunu küçültme gerekliliğinin nedenini anlamak için.

2

Yöntemi analiz etme

Yüksek dereceli bir etkileşim etkisi (örneğin

ABC

), bloklar arasındaki farka atanır.

Blok etkisinin hangi faktöriyel etki ile eşleştirileceğini belirlemek için.

3

Terimi tanımlama

Etkileşim etkisi ile blok etkisinin istatistiksel olarak özdeşleşmesi 'Karışma' olarak adlandırılır.

İstatistiksel terminolojide bu özel durumun karşılığını bulmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Karışma (Confounding)

Tahmini Süre:45s

Soru 78Soru →

Bir beyaz eşya fabrikasında montaj hattındaki hata sayıları üzerine bir araştırma yapılmaktadır. Araştırmacı, "Montaj Hattı" faktörü için fabrikada bulunan $3$ farklı hattın her birini özellikle deneye dahil etmiş; "Vardiya" faktörü için ise yıl içindeki tüm vardiyalar arasından $4$ farklı vardiyayı rastgele seçmiştir. Bu iki faktörün hata sayıları üzerindeki etkisinin birlikte incelendiği deneyde kullanılan istatistiksel model aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit Etkili Model (Model I)

Şansa Bağlı Etkili Model (Model II)

Karma Etkili Model (Model III)

Latin Karesi Tasarımı

Tek Yönlü Varyans Analizi Modeli

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karma Etkili Model (Model III)

Cevap

Faktörlerden birinin düzeylerinin sabit olarak belirlendiği, diğerinin ise rastgele seçildiği durumlar için kullanılan Karma Etkili Model (Model III) doğru cevaptır.

Deney tasarımında düzeyleri araştırmacı tarafından belirlenen faktörler sabit etkili, bir yığından tesadüfi olarak seçilen faktörler ise şansa bağlı (rastgele) etkili olarak tanımlanır. Soruda montaj hatları özellikle seçildiği için sabit, vardiyalar ise rastgele seçildiği için şansa bağlı etkidir. Bu iki türün aynı modelde yer alması, modelin Karma Etkili Model (Model III) olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Faktörlerin düzey seçim yöntemlerini analiz edin.

Montaj Hattı faktörü için düzeyler araştırmacı tarafından özellikle seçilmiştir (Sabit Etki). Vardiya faktörü için düzeyler büyük bir kümeden rastgele çekilmiştir (Rastgele/Şansa Bağlı Etki).

İstatistiksel modelin türü, faktör düzeylerinin genel bir popülasyonu temsil edip etmediğine veya sadece seçilen düzeylerle sınırlı olup olmadığına göre belirlenir.

2

Elde edilen bilgilere göre model tipini sınıflandırın.

Bir sabit ve bir rastgele faktörün bir arada bulunduğu model 'Karma Etkili Model' olarak adlandırılır.

Varyans analizinde Model I sabit, Model II rastgele ve Model III karma etkileri temsil eder.

Anahtar Kavram

Varyans analizinde (ANOVA) kullanılan modeller; faktör düzeylerinin seçiliş biçimine göre Sabit (Fixed), Şansa Bağlı (Random) veya Karma (Mixed) olarak sınıflandırılır.

İpuçları

1

Faktörlerin düzeylerinin nasıl seçildiğine dikkat edin: Spesifik bir seçim mi var yoksa büyük bir gruptan kura ile mi belirlenmiş?

Daha Fazla Pratik

Karma modellerde F istatistiği hesaplanırken Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) kurallarının nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 79Soru →

Bir kamu araştırma merkezinde, üretim verimliliğini etkileyen iki farklı faktörün ( $A$ ve $B$ ) etkilerini incelemek amacıyla $2^2$ tam faktöriyel deney tasarımı uygulanmıştır. Deney sonucunda standart sıralamaya göre elde edilen toplam yanıt değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Deneme Kombinasyonu	Toplam Yanıt
$(1)$	$12$
$a$	$18$
$b$	$25$
$ab$	$35$

Yates algoritması kullanılarak ana etkiler ve etkileşim etkileri hesaplanırken, oluşturulan birinci sütunun ( $Sütun\ 1$ ) üçüncü satırında yer alacak değer aşağıdakilerden hangisidir?

6

10

30

60

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Yates algoritmasının birinci sütun üçüncü satırındaki değer 6'dır.

Yates algoritmasında

2^2

tasarımı için birinci sütun oluşturulurken; ilk iki satıra ardışık çiftlerin toplamları (

12+18

ve

25+35

), son iki satıra ise bu çiftlerin farkları (

18-12

ve

35-25

) yazılır. Üçüncü satır, ilk çiftin farkı olan

18 - 12 = 6

değerini temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri standart Yates sıralamasına göre dizin.

Sıralama: (1)=12, a=18, b=25, ab=35.

Yates algoritması verilerin belirli bir düzende (standart sıra) olmasını gerektirir.

2

Birinci sütun (Sütun 1) için toplama işlemlerini yapın.

1. satır: 12 + 18 = 30; 2. satır: 25 + 35 = 60.

Yates algoritmasında sütunun üst yarısı ardışık çiftlerin toplamından oluşur.

3

Birinci sütun (Sütun 1) için fark işlemlerini (alt yarı) yapın.

3. satır: 18 - 12 = 6; 4. satır: 35 - 25 = 10.

Yates algoritmasında sütunun alt yarısı ardışık çiftlerin farkından (ikinci - birinci) oluşur.

Anahtar Kavram

2^k Faktöriyel Tasarımlarda Yates Algoritması İşlem Adımları

Daha Fazla Pratik

Yates algoritmasının ikinci sütunundaki değerleri hesaplayarak A, B ve AB etkilerine ait kontrast değerlerini bulmaya çalışın.

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, iki farklı öğretim yönteminin ( $A$ faktörü) ve iki farklı sınıf ortamının ( $B$ faktörü) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı $2^2$ faktöriyel tasarım kullanmış ve her bir işlem kombinasyonu (hücre) için 5 öğrenci ile çalışmıştır. Deneye ait varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )
Faktör A	1
Faktör B	1
Etkileşim ( $A \times B$ )	1
Hata	?
Genel	19

Buna göre, tablodaki soru işareti ile gösterilen hata serbestlik derecesi değeri kaçtır?

16

19

4

3

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Hata serbestlik derecesi 16'dır.

Varyans analizi tablosunda serbestlik dereceleri (sd) toplanabilir bir yapıya sahiptir.

2^2

faktöriyel tasarımda iki faktörün de 2 düzeyi olduğu için Faktör A'nın sd değeri

2-1=1

, Faktör B'nin sd değeri

2-1=1

ve Etkileşim (AxB) etkisinin sd değeri

1 \times 1 = 1

olur. Toplam (Genel) serbestlik derecesi 19 olarak verildiğine göre;

19 = 1 + 1 + 1 + sd_{Hata}

eşitliğinden

sd_{Hata} = 16

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısının belirlenmesi

N = 2 \times 2 \times 5 = 20

Deney

2^2

faktöriyel tasarım olduğundan 4 hücre vardır ve her hücrede 5 tekerrür yapılmıştır.

2

Genel serbestlik derecesinin kontrol edilmesi

sd_{Genel} = N - 1 = 19

Varyans analizi tablosunda genel serbestlik derecesi toplam gözlem sayısının bir eksiğidir.

3

Hata serbestlik derecesinin hesaplanması

sd_{Hata} = 19 - (1 + 1 + 1) = 16

Serbestlik dereceleri toplanabilirdir:

sd_{Genel} = sd_A + sd_B + sd_{AB} + sd_{Hata}

.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tasarımlarda serbestlik derecelerinin ayrıştırılması ve toplanabilirliği.

Daha Fazla Pratik

Farklı tekerrür sayıları (n) için hata serbestlik derecesinin nasıl değiştiğini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Faktöriyel Tasarımlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap