İki Yönlü Varyans Analizi

72 soru

Bir Sağlık Bakanlığı araştırmacısı, obezite tedavisinde uygulanan $3$ farklı egzersiz programının ( $A$ faktörü) ve $4$ farklı diyet türünün ( $B$ faktörü) hastaların kilo kaybı üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi tasarımı kurgulamıştır. Araştırmacı, her bir egzersiz ve diyet kombinasyonu (hücre) için rastgele seçilen $5$ hastanın verisini kaydetmiştir.

Yapılan ön analiz sonucunda bazı ANOVA bileşenleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Değer
Genel Kareler Toplamı ( $SST$ )	$2800$
Egzersiz Programı Kareler Toplamı ( $SSA$ )	$450$
Diyet Türü Kareler Ortalaması ( $MSB$ )	$250$
Etkileşim Kareler Ortalaması ( $MSAB$ )	$60$

Buna göre, bu araştırmaya ait Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

630

1240

1300

1600

2040

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1240$

Cevap

Doğru yanıt, serbestlik derecelerinin doğru hesaplanıp kareler toplamlarına dönüştürülmesiyle elde edilen

1240

değeridir.

Doğru değer olan

1240

'ı bulmak için kareler ortalamalarının (

MS

) serbestlik dereceleri ile çarpılarak kareler toplamlarına (

SS

) dönüştürülmesi şarttır. Egzersiz düzeyi

a=3

, diyet düzeyi

b=4

'tür.

B

faktörünün serbestlik derecesi

df_B = 4 - 1 = 3

olduğundan

SSB = 250 \times 3 = 750

hesaplanır. Etkileşim serbestlik derecesi

df_{AB} = (3-1)(4-1) = 6

olduğundan

SSAB = 60 \times 6 = 360

'tır. İki yönlü varyans analizinin temel bileşen eşitliği

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

şeklindedir. Tüm değerler yerine konulduğunda

2800 = 450 + 750 + 360 + SSE

denklemi kurulur ve Hata Kareler Toplamı (

SSE

)

1240

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Ana etkiler ve etkileşim için serbestlik derecelerini hesaplayın.

Diyet faktörü (

B

) için

df_B = b - 1 = 4 - 1 = 3

. Etkileşim (

AB

) için

df_{AB} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 6

Tabloda verilen kareler ortalaması (

MS

) değerlerini kareler toplamına (

SS

) çevirebilmek için faktörlerin serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

Diyet ve Etkileşim etkilerine ait Kareler Toplamlarını (

SSB

SSAB

) bulun.

SSB = MSB \times df_B = 250 \times 3 = 750

SSAB = MSAB \times df_{AB} = 60 \times 6 = 360

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralını uygulayabilmek için formüldeki tüm bileşenlerin 'Kareler Toplamı' cinsinden olması zorunludur.

Toplanabilirlik kuralını kullanarak Hata Kareler Toplamını (

SSE

) elde edin.

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE \Rightarrow 2800 = 450 + 750 + 360 + SSE \Rightarrow 2800 = 1560 + SSE \Rightarrow SSE = 1240

Genel değişim (

SST

); ana etkilerin, etkileşimin ve tanımlanamayan varyansın (

SSE

) toplamından meydana gelir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve Serbestlik Dereceleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim sürecinde $3$ farklı makine modelinin (A faktörü) ve $4$ farklı vardiyanın (B faktörü) üretilen hatalı parça sayısı üzerindeki etkilerini incelemektedir. Maliyet ve zaman kısıtları nedeniyle, her bir makine modeli ve vardiya kombinasyonu için yalnızca birer ölçüm (gözlem) yapılabilmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımı ve yapılacak varyans analiziyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Deneyin hata serbestlik derecesi

11

olup, varyans analizi tablosunda hem ana etkiler hem de etkileşim etkisi ayrı ayrı sınanabilir.

Genel kareler toplamı yalnızca makine ve vardiya kareler toplamlarına ayrıştırılır; modelde hata varyansını tahmin edecek bir bileşen kalmadığından hipotez testleri uygulanamaz.

Hücrelerde tek gözlem bulunduğundan faktörler arası etkileşim etkisi test edilemez; modelin toplanabilir olduğu varsayılarak etkileşim kareler ortalaması, hata kareler ortalaması olarak kullanılır.

Analiz sonucunda makine ve vardiya arasındaki etkileşim anlamlı bulunursa, bu faktörlerin ana etkilerini yorumlamak istatistiksel açıdan hatalı olur.

Modele dahil edilen makine ve vardiya faktörlerinin sabit veya tesadüfi model özelliğine sahip olması, bu deney tasarımında etkileşim etkisinin hesaplanabilmesini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücrelerde tek gözlem bulunduğundan faktörler arası etkileşim etkisi test edilemez; modelin toplanabilir olduğu varsayılarak etkileşim kareler ortalaması, hata kareler ortalaması olarak kullanılır.

Cevap

İki yönlü varyans analizinde her faktör kombinasyonunda (hücrede) tek bir gözlem (

n=1

) olduğunda, hücre içi varyans (saf hata) hesaplanamaz çünkü

(n-1) = 0

'dır. Bu durumda standart etkileşimli model çalıştırılamaz. İstatistiksel analiz yapılabilmesi için faktörler arasında etkileşim olmadığı varsayılır (toplanabilir model) ve normalde etkileşime ait olan kareler toplamı (

SS_{AB}

) ile serbestlik derecesi, hata terimi olarak kullanılır. Doğru seçenek bu teorik zorunluluğu tam ve eksiksiz olarak ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

Deney tasarımının temel özelliklerini ve serbestlik derecelerini belirleme.

İki faktör vardır:

a = 3

(makine),

b = 4

(vardiya). Her hücredeki gözlem sayısı

n = 1

'dir. Toplam gözlem sayısı

N = 3 \times 4 \times 1 = 12

'dir.

Varyans analizi (ANOVA) bileşenlerini ve hesaplanabilirliğini görmek için gözlem yapısını bilmek gerekir.

Gruplar içi (saf hata) serbestlik derecesini hesaplama.

Hata (Gruplar içi) Serbestlik Derecesi =

ab(n-1) = 3 \times 4 \times (1-1) = 0

'dır.

Hata varyansının tahmin edilebilmesi için hücreler içinde varyasyon (birden fazla gözlem) olmalıdır.

n=1

olduğunda hücre içi varyans hesaplanamaz.

Hata teriminin bulunamaması durumunda ANOVA çözümlemesini belirleme.

Saf hata varyansı yoksa, etkileşimin olmadığı (toplanabilir model) varsayılır. Bu durumda etkileşim serbestlik derecesi olan

(a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6

, hata serbestlik derecesi olarak kabul edilir ve

MS_{Etkileşim}

MS_{Hata}

yerine kullanılır.

Ana etkilerin (makine ve vardiya) F istatistiklerini hesaplayabilmek için bir hata karesel ortalamasına (

MS

) ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da etkileşim ve hata serbestlik derecesi

Soru 23Soru →

Bir kimya mühendisi, yeni sentezlenen bir polimerin dayanıklılığı üzerinde sıcaklık ( $A$ faktörü) ve basınç ( $B$ faktörü) değişkenlerinin etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Elde edilen analiz sonucunda, hem sıcaklık hem de basınç faktörlerinin ana etkileri istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş ( $p < 0,05$ ), aynı zamanda sıcaklık ile basınç arasındaki etkileşim etkisinin de istatistiksel olarak yüksek düzeyde anlamlı olduğu ( $p < 0,001$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, araştırmacının bu analiz sonuçlarını yorumlarken izlemesi gereken en uygun istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerden hangisidir?

Etkileşim etkisi anlamlı olduğu için faktörlerin ana etkilerini birbirinden bağımsız olarak genelleyip yorumlamak yanıltıcıdır; öncelikle sıcaklığın etkisinin farklı basınç düzeylerinde nasıl değiştiği incelenmelidir.

Ana etkiler de anlamlı bulunduğundan etkileşim etkisi göz ardı edilmeli ve sadece sıcaklık ile basıncın polimer dayanıklılığı üzerindeki genel ortalama etkileri doğrudan raporlanmalıdır.

Etkileşim etkisi, sıcaklık ve basıncın bağımsız ana etkilerinin doğrudan matematiksel toplamından ibaret kabul edildiğinden, etkileşim için ayrıca bir değerlendirme yapılmasına gerek yoktur.

İki yönlü varyans analizinde genel kareler toplamının yalnızca ana etkiler ve hata kareler toplamından oluşması gerektiği varsayılarak, modeldeki etkileşim terimi çıkarılmalı ve analiz tekrarlanmalıdır.

Etkileşim teriminin serbestlik derecesi, iki faktörün serbestlik derecelerinin toplamına eşit olduğundan, anlamlılık testi yalnızca faktörlerin toplam etkisi üzerinden yorumlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim etkisi anlamlı olduğu için faktörlerin ana etkilerini birbirinden bağımsız olarak genelleyip yorumlamak yanıltıcıdır; öncelikle sıcaklığın etkisinin farklı basınç düzeylerinde nasıl değiştiği incelenmelidir.

Cevap

İki faktör arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim bulunduğunda, araştırmacı ana etkileri genellemek yerine öncelikle faktörlerden birinin diğerinin düzeylerindeki etkisini, yani basit ana etkileri yorumlamalıdır.

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olması, birinci faktörün (sıcaklık) yanıt değişkeni (dayanıklılık) üzerindeki etkisinin, ikinci faktörün (basınç) hangi düzeyinde bulunulduğuna bağlı olarak değiştiğini gösterir. Bu durumda, faktörlerin marjinal ortalamalarına bakarak genel bir 'sıcaklık dayanıklılığı artırır/azaltır' yorumu yapmak yanlış yönlendirici olabilir. Doğru yaklaşım, etkileşimi çözümlemek adına sıcaklığın her bir spesifik basınç seviyesindeki etkisini (basit ana etkiler) detaylı olarak incelemektir.

Adım Adım Çözüm

Varyans analizi sonuçlarındaki anlamlılık testlerinin hiyerarşisini değerlendir.

Öncelikle en üst düzey etki olan etkileşim etkisinin (

p < 0,001

) anlamlılık durumu kontrol edilir.

Etkileşimin anlamlı olması, faktörlerin birbirine bağımlı (birlikte) çalıştığını ve ortaklaşa bir etki yarattığını gösterir.

Ana etkilerin genellenebilirlik durumunu incele.

Etkileşim anlamlı olduğu için

A

faktörünün (sıcaklık) etkisi,

B

faktörünün (basınç) hangi düzeyinde ölçüldüğüne bağlı olarak değişmektedir.

Faktörlerin etkileri homojen olmadığı için, sadece ana etkilere bakarak genel bir yorum yapmak verinin yapısını yanlış yansıtır.

Doğru istatistiksel yaklaşımı belirle.

Araştırmacı basit ana etkiler analizini (simple main effects analysis) uygulamalı veya etkileşim grafiği çizerek detayları incelemelidir.

Etkileşim mevcutken faktörlerin her bir düzey kombinasyonundaki spesifik etkileri raporlanmadan analiz sonuçlandırılamaz.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Etkileşim Varken Ana Etkilerin Yorumlanması

Soru 24Soru →

İki yönlü sabit etkili bir varyans analizi (ANOVA) tasarımında, $a$ düzeyli $A$ faktörü ile $b$ düzeyli $B$ faktörünün bağımlı değişken üzerindeki etkileri genel olarak aşağıdaki doğrusal yapısal model ile ifade edilmektedir:

Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}

Burada $i = 1, 2, ..., a$ ; $j = 1, 2, ..., b$ ve $k = 1, 2, ..., n$ olarak tanımlanmıştır.

Bu modelin teorik altyapısı, etkileşim teriminin $(\alpha\beta)_{ij}$ tanımlanışı ve aşırı parametrelendirilmiş (overparameterized) model parametrelerine uygulanan matematiksel kısıtlar (constraints) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Etkileşim terimi, herhangi bir hücre ortalamasının faktörlerin toplanabilir (bağımsız) marjinal etkileri kullanılarak tahmin edilen değerinden ne kadar saptığını ölçer ve modelin tekil (identifiable) bir çözüme sahip olması için

\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0

ile

\sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0

kısıtlarına tabidir.

Sabit etkili bu modelde etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

, yığından rastgele seçilen faktör kombinasyonlarının varyansını temsil eder ve beklenen değeri sıfır olan, bağımsız normal dağılımlı bir şansa bağlı değişken olarak kısıtlanır.

Modelde etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı çıkması, uygulanan toplanabilirlik kısıtları sayesinde

A

B

faktörlerinin ana etkilerinin (main effects) düzeyler arası farklılıklarını doğrudan ve koşulsuz olarak yorumlayabilmemizi sağlar.

Etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

A

B

faktörlerinin bağımlı değişken üzerinde yarattıkları bireysel ana etkilerin matematiksel toplamını ifade eder ve her deneme biriminde bu toplamın varyansının sabit kaldığı varsayılır.

Yapısal modeldeki kısıtlar, deneyde kullanılan faktörlerin birbirine olan bağımlılığını düzeyler üzerinden modellediği için, etkileşim terimi ancak faktör düzey sayısının genel ortalamadan büyük olduğu dengesiz tasarımlarda sıfırdan farklı bir değer alabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim terimi, herhangi bir hücre ortalamasının faktörlerin toplanabilir (bağımsız) marjinal etkileri kullanılarak tahmin edilen değerinden ne kadar saptığını ölçer ve modelin tekil (identifiable) bir çözüme sahip olması için $\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0$ ile $\sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0$ kısıtlarına tabidir.

Cevap

Doğru yanıt, etkileşim teriminin toplanabilirlikten sapmayı ölçtüğünü ve modelin çözülebilir olması için satır ve sütun toplamlarının sıfır olması kısıtlarına tabi olduğunu belirten ifadedir.

İki yönlü sabit etkili ANOVA modelinde parametrelerin en küçük kareler tahmin edicilerinin tek bir çözüme sahip olabilmesi (estimability) için kısıtlara ihtiyaç vardır.

(\alpha\beta)_{ij}

etkileşim terimi, gözlemlenen bir hücre ortalamasının

(\mu_{ij})

, sadece genel ortalama ve ana etkiler kullanılarak oluşturulan bağımsız (toplanabilir) teorik ortalamasından ne kadar farklılaştığını gösterir. Doğru kısıtlar, her bir satır ve her bir sütun için etkileşim terimlerinin toplamının sıfır olmasıdır (

\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0

\sum_{j=1}^b (\alpha\beta)_{ij} = 0

Adım Adım Çözüm

Doğrusal yapısal modeldeki terimlerin anlamlarını tanımla.

Modeldeki

\mu

genel ortalamayı,

\alpha_i

A

faktörünün ana etkisini,

\beta_j

B

faktörünün ana etkisini ve

(\alpha\beta)_{ij}

ise etkileşim etkisini ifade eder.

Her bir parametrenin rolünü bilmek, modelin davranışını ve kısıtlarını anlamanın temelidir.

Aşırı parametrelendirme (overparameterization) sorununu belirle.

Hücre sayısı

a \times b

kadardır ancak tahmin edilmesi gereken parametre sayısı

1 (\mu) + a (\alpha) + b (\beta) + ab (\alpha\beta)

'dir. Denklem sistemi tekil (identifiable) değildir.

Bu fazla parametre sorunu, model parametreleri üzerine uygun matematiksel kısıtlar (constraints) konulmasını zorunlu kılar.

Sabit etkili model kısıtlarını uygula.

Ana etkiler için

\sum \alpha_i = 0

\sum \beta_j = 0

kısıtları konurken; etkileşim terimi için her bir faktör üzerinden toplamların sıfır olması, yani her

j

için

\sum_i (\alpha\beta)_{ij} = 0

ve her

i

için

\sum_j (\alpha\beta)_{ij} = 0

olması zorunludur.

Bu kısıtlar, etkileşim etkisinin tam olarak ana etkilerin toplamından arta kalan 'toplanabilirlikten sapma' miktarını temsil etmesini sağlar ve modeli matematiksel olarak çözülebilir hale getirir.

Anahtar Kavram

Sabit Etkili İki Yönlü ANOVA Modelinin Parametrik Kısıtları ve Etkileşimin Tanımı

Soru 25Soru →

Bir tarım il müdürlüğü, üç farklı gübre çeşidinin ve iki farklı sulama rejiminin buğday rekoltesi üzerindeki etkilerini araştırmak üzere faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Elde edilen verilerle yapılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, gübre ve sulama faktörlerinin ortaklaşa (birlikte) oluşturdukları etkinin istatistiksel açıdan önemli olduğu tespit edilmiştir. İki bağımsız değişkenin modele tek başlarına yaptıkları katkılar incelendiğinde ise, her ikisine ait hesaplanan $F$ istatistik değerlerinin de kritik tablo değerlerinden büyük olduğu görülmüştür.

Buna göre, analiz sonuçlarını değerlendiren bir uzmanın çıkaracağı en doğru istatistiksel sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Faktörlerin ortaklaşa etkisi istatistiksel olarak önemli bulunduğundan, gübre çeşitlerinin rekolte üzerindeki etkisi genel olarak değil; her bir sulama rejimi altında ayrı ayrı değerlendirilmelidir.

Her iki bağımsız değişken de tek başına önemli bulunduğundan, ortaklaşa etki sonucu göz ardı edilebilir ve en yüksek rekolteyi veren gübre tüm sulama şartları için doğrudan önerilebilir.

Ortaklaşa etkinin önemli çıkması, gübre ve sulama faktörlerinin rekolte üzerinde birbirlerinden tamamen bağımsız ve izole bir şekilde ana etki yarattıklarını kesin olarak gösterir.

Gübre faktörüne ait hesaplanan F değeri kritik değeri aştığı için, deneye dâhil edilen her bir gübre çeşidinin rekolte ortalaması diğerlerinden kesinlikle farklıdır.

Genel kareler toplamı, sadece gübrenin kareler toplamı, sulamanın kareler toplamı ve hata kareler toplamının birleşiminden ibarettir; ortaklaşa etkinin modele ek bir varyans katkısı yoktur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktörlerin ortaklaşa etkisi istatistiksel olarak önemli bulunduğundan, gübre çeşitlerinin rekolte üzerindeki etkisi genel olarak değil; her bir sulama rejimi altında ayrı ayrı değerlendirilmelidir.

Cevap

İki yönlü varyans analizinde faktörler arası etkileşim (ortaklaşa etki) istatistiksel olarak anlamlı bulunduğunda, bir faktörün bağımlı değişken (rekolte) üzerindeki etkisi, diğer faktörün düzeylerine (sulama rejimlerine) göre belirgin bir değişiklik gösteriyor demektir. Bu durumda ana etkilerin tek başlarına, genellenebilir bir kural gibi yorumlanması büyük bir istatistiksel hatadır. Doğru yaklaşım, etkileşimin varlığını kabul ederek 'basit ana etkiler'in incelenmesi, yani gübre performansının her bir spesifik sulama rejimi için özel olarak ayrı ayrı analiz edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

Varyans analizi tablosundaki temel bulguları tespit etme

Hem gübre (A faktörü) hem sulama (B faktörü) hem de Gübre x Sulama etkileşimi istatistiksel olarak anlamlı (

p < 0,05

) bulunmuştur.

Yorumlama sürecinin hangi parametrelere dayandırılacağını belirlemek için tablo bulguları özetlenmelidir.

Anlamlı etkileşim etkisinin (interaction effect) istatistiksel karşılığını tanımlama

Etkileşimin anlamlı olması, gübre çeşitlerinin performansının uygulanan sulama rejimine göre değiştiğini (veya tam tersini) ifade eder.

Etkileşim terimi, faktörlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin toplanabilir (additive) olmadığını kanıtlar.

Ana etkilerin (main effects) yorumlanabilirliğini değerlendirme

Etkileşim anlamlı iken genel ana etkilerin doğrudan yorumlanması hatalı olacağından, 'basit ana etkiler'in (simple main effects) incelenmesine karar verilir.

Bir faktörün etkisi diğerine bağlıyken genel bir ortalama üzerinden tavsiye vermek araştırmanın geçerliliğini ve uygulamadaki başarıyı düşürür.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Etkileşim Etkisi ve Basit Ana Etkiler

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 26Soru →

Bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir bisküvinin raf ömrü üzerinde fırınlama sıcaklığının ( $A$ faktörü, $3$ düzey) ve formülasyon tipinin ( $B$ faktörü, $4$ düzey) etkilerini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Deney, her bir sıcaklık ve formülasyon kombinasyonunda $3$ bağımsız gözlem (tekrar) olacak şekilde tam şansa bağlı olarak gerçekleştirilmiştir.

Araştırma sonucunda elde edilen verilere göre aşağıdaki istatistikler hesaplanmıştır:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): $1350$
- $A$ Faktörü Kareler Ortalaması ( $MSA$ ): $150$
- $B$ Faktörü Kareler Toplamı ( $SSB$ ): $450$
- Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ): $15$

Buna göre, fırınlama sıcaklığı ile formülasyon tipi arasındaki etkileşim kareler toplamı ( $SS_{AB}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

90

150

240

390

600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $240$

Cevap

Fırınlama sıcaklığı ile formülasyon tipi arasındaki etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

)

240

'tır.

İki yönlü varyans analizinde genel kareler toplamı; ana etkilerin, etkileşimin ve hatanın kareler toplamlarından oluşur (

SST = SSA + SSB + SS_{AB} + SSE

). İstenen etkileşim değerine ulaşmak için önce verilen kareler ortalamalarından

A

faktörü ve hata kaynaklarının kareler toplamları bulunmalıdır.

A

faktörünün serbestlik derecesi

3 - 1 = 2

olduğundan

SSA = 150 \times 2 = 300

'dür. Hata serbestlik derecesi

a \cdot b \cdot (n-1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24

olduğundan

SSE = 15 \times 24 = 360

'tır.

B

faktörünün kareler toplamı soruda doğrudan

450

olarak verilmiştir. Bu değerler toplanabilirlik eşitliğinde yerine konduğunda

1350 = 300 + 450 + SS_{AB} + 360

denklemi elde edilir ve buradan etkileşim kareler toplamı

SS_{AB} = 240

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

A

faktörünün serbestlik derecesi ve kareler toplamı hesaplanır.

df_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

. Buradan

SSA = MSA \times df_A = 150 \times 2 = 300

bulunur.

Varyans analizinde toplanabilirlik özelliği kareler ortalamaları için değil, kareler toplamları için geçerlidir; bu nedenle

MSA

değeri serbestlik derecesi ile çarpılarak

SSA

'ya dönüştürülmelidir.

Hata serbestlik derecesi ve hata kareler toplamı hesaplanır.

df_E = a \times b \times (n - 1) = 3 \times 4 \times (3 - 1) = 24

. Buradan

SSE = MSE \times df_E = 15 \times 24 = 360

bulunur.

Etkileşimli iki yönlü ANOVA modelinde hata serbestlik derecesi, hücre sayısı (

a \times b

) ile hücre içi serbestlik derecesinin (

n-1

) çarpımına eşittir.

Toplanabilirlik kuralı kullanılarak etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

) denklemden çekilir.

SST = SSA + SSB + SS_{AB} + SSE \implies 1350 = 300 + 450 + SS_{AB} + 360 \implies 1350 = 1110 + SS_{AB} \implies SS_{AB} = 240

bulunur.

İki yönlü varyans analizinde genel varyasyon (SST);

A

faktörü,

B

faktörü, etkileşim (

AB

) ve hatanın (

E

) varyasyonlarının (kareler toplamlarının) toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve Toplanabilirliği

Soru 27Soru →

Bir kamu yönetimi uzmanı, vatandaşların dilekçe işlem sürelerini incelemek amacıyla bir araştırma tasarlamıştır. Bu araştırmada $4$ farklı dilekçe türü (A faktörü) ve $5$ farklı bölge müdürlüğü (B faktörü) dikkate alınmıştır. Uzman, her bir dilekçe türü ve bölge müdürlüğü kombinasyonu için yalnızca $1$ adet rastgele seçilmiş işlem süresi verisi elde edebilmiştir.

Bu deney tasarımı ve varyans analizi (ANOVA) süreciyle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tasarımda toplam

20

gözlem bulunduğundan hata serbestlik derecesi

20 - 2 = 18

olarak hesaplanır ve bu sayede etkileşim etkisi standart bir

F

testi ile sınanabilir.

A ve B faktörleri arasındaki etkileşim etkisi hatadan bağımsız olarak tahmin edilemez; bu nedenle analiz, modelin toplanabilir olduğu varsayımı altında

12

hata serbestlik derecesi ile gerçekleştirilir.

Hücrelerde tekrarlı gözlem bulunmaması, grup içi varyansın hesaplanmasını engellediğinden hem ana etkilerin hem de etkileşim etkisinin varyans analizi ile incelenmesi imkansızdır.

Faktörlerin ortaklaşa etkisini ölçebilmek için analizde, her iki faktörün de araştırmacı tarafından sabit değil, yığından rastgele seçildiği tesadüfi model (Model II) yaklaşımı kullanılmalıdır.

Genel kareler toplamı yalnızca A ve B faktörlerinin kareler toplamlarına ayrıştırılır; modelde geriye kalan bir hata terimi oluşmayacağı için doğrudan toplanabilirlik varsayımı reddedilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A ve B faktörleri arasındaki etkileşim etkisi hatadan bağımsız olarak tahmin edilemez; bu nedenle analiz, modelin toplanabilir olduğu varsayımı altında $12$ hata serbestlik derecesi ile gerçekleştirilir.

Cevap

Hücre başına tek gözlemli tasarımlarda etkileşim etkisi tahmin edilemez; bu sebeple etkileşim teriminin hata terimi olarak kullanıldığı, toplanabilir model varsayımı altında analizin

12

hata serbestlik derecesiyle yapıldığı seçenek doğrudur.

Hücre başına yalnızca bir gözlemin bulunduğu iki yönlü varyans analizi tasarımlarında, grup içi varyansı (hatayı) tahmin etmek için yeterli veri yoktur. Bu durumda araştırmacı, faktörler arasında teorik olarak bir etkileşim olmadığını (toplanabilirlik varsayımı) kabul eder. Böylece analizde hesaplanan etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

), modelin genel hata kareler toplamı olarak değerlendirilir ve F testi hesaplamalarında payda görevi görür. Aynı şekilde etkileşim serbestlik derecesi olan

(a-1)(b-1)

, analizde hata serbestlik derecesi olur. Soru kökünde A faktörü

4

düzeyli, B faktörü ise

5

düzeylidir. Bu formüle göre hata serbestlik derecesi

(4-1) \times (5-1) = 3 \times 4 = 12

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Tasarım türünü ve genel serbestlik derecesini belirleme.

Tasarım

4 \times 5

boyutlarında iki yönlü ve hücre başına tek gözlemli (

n=1

) bir ANOVA modelidir. Toplam

N = 4 \times 5 = 20

gözlem ve

(20 - 1) = 19

genel serbestlik derecesi vardır.

Varyans analizinde serbestlik dereceleri ve analiz yöntemi, hücre içi gözlem sayısına (replikasyon) göre belirlenir.

Faktörler ve etkileşim için serbestlik derecelerini hesaplama.

A faktörü sd =

(4-1) = 3

, B faktörü sd =

(5-1) = 4

. İki faktörün etkileşimi için sd =

3 \times 4 = 12

olarak hesaplanır.

Her bir ana etkinin ve hata teriminin varyansını (kareler ortalaması) bulmak için serbestlik dereceleri kullanılır.

Tek gözlem durumunda hata varyansının nasıl elde edileceğini analiz etme.

Hücre içi tekrar (replikasyon) olmadığı için grup içi salt hata (pure error) hesaplanamaz. Modele toplanabilirlik varsayımı eklenir ve etkileşim kareler toplamı, hata kareler toplamı olarak kabul edilir.

Ana etkilerin anlamlılığını

F

testi ile sınayabilmek için modele ait bir hata varyansına (payda) ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Toplanabilir Model (Etkileşimsiz Model)

Alternatif Yöntem

Toplanabilirlik varsayımının istatistiksel olarak geçerli olup olmadığı, hücre içi varyans olmadığı durumlarda 'Tukey Toplanabilirlik Testi (Tukey's Test for Non-additivity)' kullanılarak test edilebilir. Bu test etkileşimin sadece çarpımsal yönünü 1 serbestlik derecesi ile incelemeye imkan tanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir Ulaştırma Bakanlığı uzmanı, karayollarındaki aşınma oranlarını incelemek amacıyla 'Asfalt Türü' ( $A$ faktörü, $4$ düzey) ve 'Trafik Yoğunluğu' ( $B$ faktörü, $3$ düzey) değişkenlerini kullanarak hücre başına eşit sayıda gözlem içeren iki yönlü varyans analizi planlamıştır. Deneyde her bir faktör kombinasyonuna (hücreye) rastgele atanmış $4$ farklı test yolundan ölçüm alınmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi kareler toplamları aşağıda verilmiştir:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): $900$
- $A$ Faktörü Kareler Toplamı ( $SSA$ ): $150$
- $B$ Faktörü Kareler Toplamı ( $SSB$ ): $210$
- Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ): $360$

Varyans analizi sonucunda, $A \times B$ etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu ( $p < 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, etkileşim etkisine ait serbestlik derecesi ( $sd_{AB}$ ), etkileşim kareler ortalaması ( $MS_{AB}$ ) ve analizin sonucuna yönelik yapılması gereken istatistiksel çıkarım aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla ve doğru olarak verilmiştir?

6 \quad ; \quad 30 \quad ; \quad

Etkileşim anlamlı olduğu için ana etkiler tek başına genelleyici olarak yorumlanamaz, bunun yerine düzeyler arası basit ana etkilere bakılmalıdır.

6 \quad ; \quad 30 \quad ; \quad

Etkileşim anlamlı olsa bile ana etkiler her zaman etkileşimden bağımsız olarak incelenmeli ve temel kararlar doğrudan ana etkilere göre verilmelidir.

5 \quad ; \quad 36 \quad ; \quad

Etkileşim anlamlı olduğu için ana etkiler tek başına genelleyici olarak yorumlanamaz, bunun yerine düzeyler arası basit ana etkilere bakılmalıdır.

6 \quad ; \quad 90 \quad ; \quad

Etkileşim anlamlı bulunduğundan, modeldeki faktörlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin tamamen toplamsal (additive) model varsayımını sağladığı sonucuna varılır.

12 \quad ; \quad 15 \quad ; \quad

Etkileşim anlamlı çıktığı için, faktörlerin birbirlerinden bağımsız çalıştığı anlaşılır ve doğrudan faktör düzeylerinin kendi içindeki ana etkileri yorumlanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \quad ; \quad 30 \quad ; \quad$ Etkileşim anlamlı olduğu için ana etkiler tek başına genelleyici olarak yorumlanamaz, bunun yerine düzeyler arası basit ana etkilere bakılmalıdır.

Cevap

Etkileşim serbestlik derecesi

6

, kareler ortalaması

30

'dur ve etkileşim anlamlı bulunduğundan ana etkiler tek başına yorumlanmayıp basit ana etkilere bakılmalıdır.

Soruda etkileşim serbestlik derecesi

(4-1)\times(3-1)=6

olarak bulunur. Etkileşim kareler toplamı, genel kareler toplamından diğer tüm varyans kaynaklarının çıkarılmasıyla

900-(150+210+360)=180

olarak hesaplanır. Etkileşim kareler ortalaması ise

180/6=30

'dur. Teorik olarak, iki yönlü ANOVA'da etkileşim anlamlıysa, faktörlerin bağımlı değişken üzerindeki etkileri birbirine bağlıdır. Bu durumda ana etkileri genelleyici bir şekilde yorumlamak hatalı olur; araştırmacı basit ana etkilere (simple main effects) odaklanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Verilen düzey ve gözlem sayılarını kullanarak serbestlik derecelerini hesaplama.

A

faktörü için

sd_A = 4-1=3

B

faktörü için

sd_B = 3-1=2

. Etkileşim için

sd_{AB} = 3 \times 2 = 6

. Genel serbestlik derecesi ise

48-1=47

'dir.

Varyans analizi tablosunu tamamlamak ve kareler ortalamasını bulmak için her bir kaynağın serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

Etkileşim kareler toplamını (

SS_{AB}

) bulma.

SS_{AB} = SST - (SSA + SSB + SSE) = 900 - (150 + 210 + 360) = 180

Genel kareler toplamı, modeli oluşturan tüm varyans kaynaklarının (A, B, AB ve Hata) toplamına eşittir (Toplanabilirlik ilkesi).

Etkileşim kareler ortalamasını (

MS_{AB}

) hesaplama.

MS_{AB} = SS_{AB} / sd_{AB} = 180 / 6 = 30

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anlamlı etkileşim durumunda istatistiksel çıkarım yapma.

Etkileşim anlamlı olduğu için, asfalt türünün etkisi trafik yoğunluğuna göre değişmektedir. Bu nedenle ana etkiler genellenemez; basit ana etkilere (simple main effects) bakılır.

İki yönlü ANOVA'da etkileşim terimi anlamlıysa, faktörler bağımsız hareket etmiyor demektir ve genel ana etki yorumları yanıltıcı olur.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Etkileşim Etkisi Hesaplamaları ve Ana Etkilerin Yorumlanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı bünyesinde yapılan bir araştırmada, vergi müfettişlerinin denetim performans puanları üzerinde 'Denetim Yazılımı Türü' ( $A$ faktörü: Mevcut Yazılım, Yeni Yapay Zeka Destekli Yazılım) ve 'Müfettiş Kıdemi' ( $B$ faktörü: 5 yıldan az, 5 yıl ve üzeri) değişkenlerinin etkileri iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmiştir.

Analiz sonucunda aşağıdaki $p$ değerleri elde edilmiştir:
- Yazılım Türü ( $A$ faktörü) ana etkisi: $p = 0,024$
- Müfettiş Kıdemi ( $B$ faktörü) ana etkisi: $p = 0,011$
- $A \times B$ etkileşim etkisi: $p = 0,002$

Ayrıca, analiz sonrasında oluşturulan etkileşim grafiğinde (profil grafiği), faktör düzeylerine ait doğruların birbirini belirgin bir şekilde kestiği (çapraz / ordinal olmayan etkileşim) gözlemlenmiştir. (Testlerde anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınmıştır.)

Bu araştırma sonuçlarına göre, yapılacak en uygun istatistiksel değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Etkileşim etkisi anlamlı ve çapraz yapıda olduğundan genel ana etkileri yorumlamak yanıltıcıdır; bunun yerine her bir kıdem düzeyi için yazılım türünün basit ana etkileri (simple main effects) incelenmelidir.

Hem yazılım türü hem de müfettiş kıdemi ana etkileri istatistiksel olarak anlamlı bulunduğundan, yeni yazılımın tüm müfettişler için denetim performansını kesin olarak artırdığı genel bir sonuç olarak raporlanmalıdır.

Etkileşim etkisinin anlamlı bulunması, bağımsız değişkenlerin performans üzerindeki kendi başlarına (bağımsız) yarattıkları ana etkilerin istatistiksel olarak bir öneminin kalmadığını gösterir.

Yazılım türünün performans üzerindeki net etkisini bulmak amacıyla, etkileşim durumu göz ardı edilerek doğrudan yazılım türü faktörünün marjinal ortalamalarına Tukey çoklu karşılaştırma testi uygulanmalıdır.

Etkileşim hipotezinin reddedilmesi, tüm alt grup (hücre) ortalamalarının birbirinden tamamen farklı olduğunu matematiksel olarak kanıtladığından, ana etki testlerinin sonuçları geçersiz sayılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim etkisi anlamlı ve çapraz yapıda olduğundan genel ana etkileri yorumlamak yanıltıcıdır; bunun yerine her bir kıdem düzeyi için yazılım türünün basit ana etkileri (simple main effects) incelenmelidir.

Cevap

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA)

A \times B

etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlı bulunduğunda ve etkileşim grafiğinde çizgiler kesişiyorsa (ordinal olmayan/çapraz etkileşim), faktörlerin etkilerinin birbirine bağımlı olduğu kanıtlanmış olur. Bu senaryoda, yeni yazılımın etkisi müfettişin kıdemine göre değişiklik göstermektedir (örneğin az kıdemlilerde performansı artırırken, çok kıdemlilerde performansı düşürüyor olabilir). Marjinal ortalamalara dayalı ana etkileri doğrudan yorumlamak ortalama bir etki vereceğinden gerçeği yansıtmaz. En doğru istatistiksel yol, faktörlerden birinin, diğer faktörün her bir düzeyindeki etkisini ayrı ayrı inceleyen 'basit ana etkiler' (simple main effects) analizini gerçekleştirmektir.

Adım Adım Çözüm

ANOVA sonuçlarındaki p değerlerini anlamlılık düzeyi (\alpha = 0,05) ile karşılaştırarak hangi etkilerin istatistiksel olarak anlamlı olduğunu belirle.

Yazılım Türü (

p=0,024 < 0,05

), Kıdem (

p=0,011 < 0,05

) ve Etkileşim (

p=0,002 < 0,05

) etkilerinin tümü anlamlı bulunmuştur.

Varyans analizinde hipotezlerin reddedilip edilemeyeceğini görmek için p değerleri kontrol edilmelidir.

Etkileşim etkisinin yapısını (ordinal olup olmadığını) soru metnindeki grafik bilgisinden yorumla.

Doğruların birbirini kestiği (çapraz / ordinal olmayan etkileşim) belirtilmiştir.

Etkileşimin tipi, ana etkilerin nasıl yorumlanması gerektiğini doğrudan belirler.

Çapraz etkileşim durumu altındaki doğru istatistiksel prosedürü belirle.

Etkileşim anlamlı ve çapraz olduğunda marjinal ortalamalar (genel ana etkiler) yanıltıcı olacağından, her bir faktör düzeyinde diğer faktörün etkisinin incelendiği 'basit ana etkiler' (simple main effects) testi yapılmalıdır.

Çapraz etkileşimde bir faktörün etkisi diğerinin düzeyine göre tersine dönmüş olabilir; bu durumu genellemek veri kaybına ve hatalı kararlara yol açar.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Anlamlı Etkileşim Durumunda Ana Etkilerin Yorumlanması

Soru 30Soru →

Bir pazar araştırmacısı, $a$ düzeyli 'Ambalaj Tasarımı' faktörü ile $b$ düzeyli 'Reklam Sloganı' faktörünün yeni bir ürünün satış miktarı üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, maliyet kısıtları nedeniyle her bir ambalaj ve slogan kombinasyonunu (hücreyi) yalnızca bir pilot mağazada test edebilmiştir (hücre başına tek gözlemli tasarım).

Bu tasarımın iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile değerlendirilmesi aşamasında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Etkileşim etkisinin serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

olarak kabul edilir ve genel model içinde standart F testi ile istatistiksel anlamlılığı sınanır.

Hücrelerde tekrarlı gözlem (replikasyon) bulunmadığından, modeldeki faktörlerin ana etkileri hiçbir şekilde test edilemez ve analiz yapılamaz.

Etkileşim etkisi standart ANOVA ile doğrudan test edilemez; çünkü bağımsız bir hata tahmini için serbestlik derecesi kalmamıştır ve etkileşim, deneysel hata ile iç içe geçmiştir.

Hata kareler toplamı (SSE) sıfıra eşit çıkacağı için varyans analizi tablosu oluşturulamaz ve verilerin dönüşüme tabi tutulması zorunlu hale gelir.

Beklenen kareler ortalamalarının hesaplanabilmesi için ambalaj veya slogan faktörlerinden en az birinin şansa bağlı (tesadüfi) model olarak varsayılması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim etkisi standart ANOVA ile doğrudan test edilemez; çünkü bağımsız bir hata tahmini için serbestlik derecesi kalmamıştır ve etkileşim, deneysel hata ile iç içe geçmiştir.

Cevap

Etkileşim etkisinin standart ANOVA ile doğrudan test edilemeyeceği; çünkü bağımsız bir hata tahmini için serbestlik derecesinin kalmadığı ve etkileşimin deneysel hata ile iç içe geçtiği (confounded) ifadesidir.

Doğru cevap, hücre başına tek gözlemli (

n=1

) iki yönlü ANOVA tasarımlarında etkileşim etkisinin bağımsız olarak test edilemeyeceğini belirten ifadedir. Modelde hata (error) için kullanılabilecek serbestlik derecesi

ab(n-1)

formülü ile bulunur.

n=1

olduğunda bu değer

0

'dır. Dolayısıyla etkileşim terimi ile deneysel hata birbiriyle karışmış (confounded) durumdadır. Standart F testi yapılamaz; etkileşim olduğu şüphesi varsa 'Tukey Toplanabilirlik Testi' gibi özel yöntemler kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Tasarımın yapısal özelliklerini belirleme

Tasarımda her hücrede sadece bir gözlem (

n=1

) bulunmaktadır.

Varyans analizi tablosunda serbestlik derecelerini ve kareler toplamlarını hesaplayabilmek için hücredeki gözlem sayısının bilinmesi gerekir.

Modelin hata serbestlik derecesini hesaplama

Hata serbestlik derecesi genel formülü

ab(n-1)

'dir. Burada

n=1

olduğu için

ab(1-1) = 0

sonucuna ulaşılır.

F testinde kullanılacak olan Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin hesaplanabilmesi için hata serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

Etkileşim etkisinin test edilebilirliğini değerlendirme

Bağımsız bir hata varyansı tahmin edilemediği için, faktörler arası etkileşim kareler toplamı deneysel hata kareler toplamı ile karışır (confounded).

Etkileşimi test etmek için gereken hata varyansı kalmadığından, model etkileşimsiz (toplanabilir) olarak varsayılmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Hücre başına tek gözlemli iki yönlü ANOVA tasarımlarında etkileşim ve toplanabilirlik varsayımı

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 31Soru →

Bir araştırmacı, $r$ düzeyli A faktörü ve $c$ düzeyli B faktörünün (her ikisi de sabit etkili) incelendiği iki yönlü bir varyans analizi kurgulamıştır. Deneyin zorlukları ve maliyet kısıtları nedeniyle, her bir hücrede (faktör düzey kombinasyonunda) yalnızca bir gözlem ( $n=1$ ) bulunmaktadır. Araştırmacı, faktörler arasında etkileşim olmadığını varsayarak (etkileşimsiz/toplanabilir model) verileri analiz etmiş ve ana etkiler için standart $F$ testlerini gerçekleştirmiştir.

Ancak, deneyin yapıldığı popülasyonda gerçekte A ve B faktörleri arasında sıfırdan farklı, anlamlı bir etkileşim etkisi ( $(\alpha\beta)_{ij} \neq 0$ ) bulunduğu bilinmektedir.

Buna göre, araştırmacının kurduğu analitik yapı ve ortaya çıkacak istatistiksel sonuçlarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Hesaplanan hata kareler ortalamasının beklenen değeri (

E(HKO)

), gerçek hata varyansını (

\sigma^2

) aşar ve bu durum ana etkilere ait

F

testlerinin gücünü düşürerek II. Tip hata riskini artırır.

Hata serbestlik derecesi kalmayacağı için (

sd=0

), ana etkilere ait

F

testleri matematiksel olarak hesaplanamaz ve analiz ancak uygun bir veri dönüşümü yapıldıktan sonra tamamlanabilir.

Hata varyansına karışan etkileşim etkisi, denge prensibi gereği ana etki kareler ortalamalarını da aynı oranda şişireceğinden,

F

testinin I. Tip hata oranı nominal anlamlılık düzeyinde sabit kalır.

Modele dahil edilmeyen etkileşim etkisi doğrudan genel kareler toplamına (SST) yansır, ancak işlem ve hata kareler toplamlarının ayrışımını bozmayacağı için ana etki testleri geçerliliğini korur.

Sabit etkili model varsayımı altında etkileşim terimleri toplamsal olarak sıfıra eşitleneceğinden

\sum (\alpha\beta)_{ij} = 0

, ihmal edilen etkileşim hata varyansının beklenen değerini (

E(HKO)

) istatistiksel olarak etkilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan hata kareler ortalamasının beklenen değeri ( $E(HKO)$ ), gerçek hata varyansını ( $\sigma^2$ ) aşar ve bu durum ana etkilere ait $F$ testlerinin gücünü düşürerek II. Tip hata riskini artırır.

Cevap

Doğru seçenek, hata kareler ortalamasının beklenen değerinin gerçek hata varyansını aşması nedeniyle F testlerinin gücünün düşeceğini ve II. Tip hata riskinin artacağını belirten ifadedir.

Doğru yanıt,

E(HKO)

değerinin gerçek hata varyansını (

\sigma^2

) aşması durumudur. Hücre başına tek gözlem olan tasarımlarda, model toplanabilir (etkileşimsiz) kabul edildiğinde etkileşime ayrılması gereken serbestlik derecesi ve kareler toplamı hata terimine aktarılır. Eğer gerçekte bir etkileşim mevcutsa, bu etkileşimin yarattığı değişkenlik (varyans) doğrudan hata kareler ortalamasını (HKO) şişirir. Formülsel olarak

E(HKO) = \sigma^2 + \sum\sum(\alpha\beta)_{ij}^2 / [(r-1)(c-1)]

olur. Ana etki F testlerinin paydası olan HKO gereğinden büyük tahmin edildiğinden,

F

hesap değerleri bastırılır. Bu durum testin hassasiyetini (istatistiksel gücünü) düşürür ve gerçekte anlamlı olan ana etkilerin anlamsız bulunmasına, yani II. Tip hata (yanlış sıfır hipotezini reddedememe) riskinin artmasına yol açar.

Adım Adım Çözüm

Hücre başına tek gözlemli (

n=1

) tasarımda hata varyansının nasıl tahmin edildiğini belirlemek.

Hücre içi tekrarlı gözlem (saf hata) olmadığı için, etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

) zorunlu olarak hata kareler toplamı (

SS_{Hata}

) olarak kullanılır.

Varyans analizinde bir terimin test edilebilmesi için serbestlik derecesi sıfırdan büyük bir hata varyansına ihtiyaç vardır.

n=1

iken etkileşim hesaplanırsa hata serbestlik derecesi kalmaz.

Gerçekte popülasyonda etkileşim mevcutken (

(\alpha\beta)_{ij} \neq 0

), modelin Hata Kareler Ortalaması beklentisini (

E(HKO)

) hesaplamak.

Normalde toplanabilir modelde

E(HKO) = \sigma^2

'dir. Ancak etkileşim gerçeği yansıtıyorsa ve hata terimine havuzlanmışsa

E(HKO) = \sigma^2 + \frac{\sum\sum(\alpha\beta)_{ij}^2}{(r-1)(c-1)}

formülüne ulaşılır.

İhmal edilen ancak gerçekte var olan etkileşim varyansının tamamı hata varyansı tahminine dahil olur (şişme yaratır).

Hata kareler ortalamasındaki şişmenin, ana etki hipotez testleri üzerindeki asimptotik ve pratik etkisini değerlendirmek.

Ana etkilere ait

F

istatistiği hesaplanırken payda (HKO) olması gerekenden büyük çıkar. Bu durum hesaplanan

F

değerini küçültür.

F = MKO / HKO

formülünde paydanın yapay olarak büyümesi,

H_0

'ı reddetmemizi zorlaştırır (Testin gücü düşer, II. Tip hata yani 'yanlış kabul' ihtimali artar).

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Beklenen Kareler Ortalamaları (EMS) ve Toplanabilirlik Varsayımı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 32Soru →

Bir klinik psikolog, uygulanan $3$ farklı "Terapi Yöntemi" (Faktör I) ile hastaların bulunduğu $4$ farklı "Klinik Ortamı" (Faktör II) faktörlerinin anksiyete skorları üzerindeki etkilerini inceleyen bir deney tasarlamıştır. Araştırma kısıtlamaları nedeniyle, her bir terapi yöntemi ve klinik ortamı kombinasyonu (hücre) için yalnızca $1$ hastadan veri toplanabilmiştir ( $n=1$ ).

Araştırmacı, elde ettiği bu verileri kullanarak terapi yöntemi ile klinik ortamı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim olup olmadığını sınamak istemektedir.

Bu iki yönlü ve hücre başına tek gözlemli varyans analizi (ANOVA) tasarımında, araştırmacının etkileşim etkisini test edebilmesi için aşağıdakilerden hangisini uygulaması istatistiksel olarak en uygundur?

Etkileşim için ayrılan serbestlik derecesinin

1

'ini toplanabilirlikten sapma için kullanarak Tukey'in toplanabilirlik testini uygulamak.

Etkileşim kareler ortalamasını hesaplayıp, bunu bağımsız olarak hesaplanacak hata kareler ortalamasına bölerek standart

F

testini gerçekleştirmek.

Hata serbestlik derecesini

N - a - b

formülü ile hesaplayıp, geriye kalan serbestlik derecelerini doğrudan etkileşim etkisine atamak.

Analizdeki her iki faktörü rastgele seçilmiş kabul ederek, modeli sabit yerine şansa bağlı (tesadüfi) model olarak kurmak.

Faktöriyel yapıyı göz ardı edip, tüm hücreleri tek yönlü varyans analizinin düzeyleri gibi birleştirerek genel kareler toplamını ayrıştırmak.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim için ayrılan serbestlik derecesinin $1$ 'ini toplanabilirlikten sapma için kullanarak Tukey'in toplanabilirlik testini uygulamak.

Cevap

Etkileşim için ayrılan serbestlik derecesinin

1

'ini toplanabilirlikten sapma için kullanarak Tukey'in toplanabilirlik testini uygulamak.

Hücre başına tek gözlem içeren iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tasarımlarında, tekrarlı gözlem (replikasyon) olmadığı için saf bir deneysel hata varyansı (

MSE

) hesaplanamaz. Model zorunlu olarak 'toplanabilir' (etkileşimsiz) kabul edilir ve etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

), hata kareler toplamı (

SSE

) olarak kullanılır. Araştırmacı etkileşimin varlığını gerçekten sınamak istiyorsa, genel hesaplamada hata olarak kabul edilen

(a-1)(b-1)

serbestlik dereceli kısmın içinden

1

serbestlik derecesini ayırıp toplanabilirlikten sapma etkisini test eden Tukey'in toplanabilirlik testini uygulamalıdır.

Adım Adım Çözüm

Tasarımın özelliklerini belirleme

Tasarım iki yönlüdür (Terapi Yöntemi ve Klinik Ortamı) ve hücre başına tek gözlem (

n=1

) bulunmaktadır.

Varyans analizi modelinde hangi etkilerin test edilebileceğini anlamak için yapısal model ve gözlem sayısının bilinmesi gerekir.

Serbestlik derecesi ve hata terimi analizi

Toplam gözlem sayısı

N = 3 \times 4 = 12

'dir. Ana etkiler için

sd_A = 2

sd_B = 3

'tür. Etkileşim ve hata için ortak kalan serbestlik derecesi

(3-1)(4-1) = 6

'dır.

Hücre içi tekrarlı gözlem (replikasyon) olmadığı için saf bir hata kareler toplamı (SSE) elde edilemez. Etkileşim (

SS_{AB}

), hata (

SSE

) teriminin yerine geçer.

Etkileşimin test edilme olasılığını değerlendirme

Bağımsız bir hata varyansı olmadığı için

MS_{AB} / MSE

şeklindeki standart

F

testi uygulanamaz.

Etkileşimi test edecek bir payda (hata terimi) yoktur.

Alternatif istatistiksel yaklaşımı seçme

Tukey'in toplanabilirlik (non-additivity) testi seçilir.

Tukey testi, etkileşim etkisinin matematiksel olarak çarpımsal bir formda olduğunu varsayarak, mevcut

6

serbestlik dereceli hata kareler toplamından

1

serbestlik derecesini "toplanabilirlikten sapma" olarak ayırır ve kalan

5

serbestlik derecesi üzerinden etkileşimi sınama imkanı sunar.

Anahtar Kavram

Hücre Başına Tek Gözlemli İki Yönlü ANOVA ve Tukey Toplanabilirlik Testi

Soru 33Soru →

Bir ziraat mühendisi, serada yetiştirilen domateslerin verimi üzerinde $4$ farklı gübre tipinin ( $A$ faktörü) ve $3$ farklı sulama rejiminin ( $B$ faktörü) etkileşimli etkisini incelemek üzere hücre başına $5$ tekrar içeren, tamamen rastgele tasarıma dayalı iki yönlü bir varyans analizi modeli kurmuştur.

Elde edilen analiz sonuçlarına göre:
- Genel kareler toplamı ( $SST$ ) = $1800$
- Gübre tipine ait kareler toplamı ( $SSA$ ) = $450$
- Sulama rejimine ait kareler toplamı ( $SSB$ ) = $620$
- Hata kareler ortalaması ( $MSE$ ) = $12$
olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, gübre tipi ve sulama rejimi etkileşimine ait kareler toplamı ( $SSAB$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

22

154

82

658

730

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $154$

Cevap

Etkileşim kareler toplamı (

SSAB

)

154

olarak bulunmuştur.

İki yönlü etkileşimli varyans analizinde genel kareler toplamı; ana etkiler, etkileşim etkisi ve hata kareler toplamından oluşur (

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

). Öncelikle hata serbestlik derecesi

df_E = a \cdot b \cdot (n-1) = 4 \cdot 3 \cdot (5-1) = 48

olarak bulunur. Hata kareler ortalaması bilindiği için hata kareler toplamı

SSE = MSE \cdot df_E = 12 \cdot 48 = 576

şeklinde hesaplanır. Daha sonra toplanabilirlik kuralı kullanılarak etkileşim kareler toplamı çekilir:

SSAB = SST - (SSA + SSB + SSE) = 1800 - (450 + 620 + 576) = 154

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Toplam gözlem sayısı (

N

) ve hata serbestlik derecesini (

df_E

) hesaplamak.

N = 4 \times 3 \times 5 = 60

df_E = a \times b \times (n-1) = 4 \times 3 \times 4 = 48

elde edilir.

Hata kareler toplamına geçiş yapabilmek için modele ait hata serbestlik derecesinin bilinmesi gerekir.

Hata kareler ortalamasından (

MSE

) faydalanarak hata kareler toplamını (

SSE

) hesaplamak.

SSE = MSE \times df_E = 12 \times 48 = 576

bulunur.

Kareler toplamlarının ayrıştırılması formülünde tüm bileşenlerin 'kareler toplamı' cinsinden ifade edilmesi zorunludur.

Kareler toplamı toplanabilirlik eşitliğini kullanarak etkileşim kareler toplamını (

SSAB

) bulmak.

1800 = 450 + 620 + SSAB + 576 \implies SSAB = 1800 - 1646 = 154

olarak hesaplanır.

İki yönlü etkileşimli modelde genel kareler toplamı; ana etkilerin, etkileşim etkisinin ve hatanın kareler toplamlarının bütünüdür (

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Kareler Toplamlarının Parçalanması ve Serbestlik Dereceleri

Soru 34Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı Tarımsal Araştırmalar Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, geliştirilen yeni tohum çeşitlerinin ( $A$ faktörü, 3 düzey) ve farklı toprak işleme tekniklerinin ( $B$ faktörü, 4 düzey) buğday verimi üzerindeki etkilerini incelemek üzere iki yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamaktadır. Bütçe ve arazi kısıtları sebebiyle, uzman her bir tohum çeşidi ve toprak işleme tekniği kombinasyonu (hücresi) için yalnızca bir adet deneme parseli ayırabilmiştir.

Buna göre, uzmanın bu veri yapısını kullanarak iki faktörün ana etkilerini istatistiksel olarak test edebilmesi için aşağıdaki varsayımlardan hangisini analize başlamadan önce peşinen kabul etmesi teorik olarak zorunludur?

Tohum çeşitleri ile toprak işleme teknikleri arasında herhangi bir istatistiksel etkileşim bulunmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu)

Deneme parsellerine rastgele atama yapıldığı için, tekrarlama (replikasyon) olmasa dahi genel deneysel hatanın doğrudan tahmin edilebileceği

Gözlem sayısının yetersizliği sebebiyle her iki faktörün de sabit model (Model I) yerine tesadüfi model (Model II) yapısında tanımlanması gerektiği

Hücre içi varyansların hesaplanamadığı bu durumda, normallik ve varyans homojenliği varsayımlarının göz ardı edilerek parametrik testlerin her halükarda uygulanabileceği

Deneydeki faktörlerin, kendi içindeki düzey sayıları kadar yeni bağımsız değişken olarak modele dâhil edilerek hücre içi hatanın ayrıştırılabileceği

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tohum çeşitleri ile toprak işleme teknikleri arasında herhangi bir istatistiksel etkileşim bulunmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu)

Cevap

Doğru yanıt, tohum çeşitleri ile toprak işleme teknikleri arasında istatistiksel bir etkileşim bulunmadığının (toplanabilirlik) varsayılması gerektiğini belirten ifadedir.

İki yönlü varyans analizinde her hücrede yalnızca bir gözlem (

n=1

) bulunduğunda, hücre içindeki değişimi (varyansı) hesaplayacak yeterli veri kalmaz ve hata serbestlik derecesi 0 olur. Ana etkilerin (Tohum Çeşidi ve Toprak İşleme) F testini yapabilmek için deneme hatasını temsil edecek bir değere ihtiyaç vardır. Bu durumda tek çıkar yol, modelde Faktör A ve Faktör B arasında hiçbir etkileşim olmadığını peşinen kabul etmektir (Toplanabilirlik Varsayımı - Tukey'in Toplanabilirlik Testi ile sınanabilir). Etkileşim olmadığı varsayıldığında, etkileşime ait kareler ortalaması (

MS_{AB}

), hata kareler ortalaması (

MS_E

) olarak atanır ve ana etkiler bu değer üzerinden test edilir.

Adım Adım Çözüm

Veri yapısının parametrelerini ve serbestlik derecelerini belirleme.

Deneyde

A

faktörü

a=3

B

faktörü

b=4

düzeylidir. Her hücrede

n=1

gözlem vardır. Toplam gözlem sayısı

N = 3 \times 4 \times 1 = 12

'dir.

Varyans analizinde serbestlik derecelerinin kaynağını doğru paylaştırmak için tasarımın yapısal sınırlarını bilmek gerekir.

Genel ve faktörlere ait ana etki serbestlik derecelerini (SD) hesaplama.

Genel SD

= N - 1 = 11

, Faktör

A

= a - 1 = 2

, Faktör

B

= b - 1 = 3

Kareler ortalamalarını bulabilmek için temel kaynakların bağımsız bilgi parçası sayısını tespit etmek.

Etkileşim ve hücre içi hata serbestlik derecelerini değerlendirme.

Etkileşim SD

= (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6

. Tam modelde beklenen Hata SD

= N - a \times b = 12 - 12 = 0

'dır.

Hata serbestlik derecesinin 0 olması, hücre içi varyansın (deneysel hatanın) hesaplanamayacağını matematiksel olarak kanıtlar.

İstatistiksel testin yapılabilmesi için gereken teorik varsayımı tespit etme.

Hata kareler ortalaması hesaplanamadığından, testin gerçekleşebilmesi için tek çözüm etkileşim kareler toplamının hata kareler toplamı olarak kullanılmasıdır. Bu da faktörler arasında etkileşim olmadığı (toplanabilirlik) varsayımı ile mümkündür.

F testinde paydada yer alacak güvenilir bir hata varyansı tahminleyicisi olmadan ana etkilerin anlamlılığı test edilemez.

Anahtar Kavram

Hücre Başına Tek Gözlemli (n=1) İki Yönlü ANOVA'da Toplanabilirlik Varsayımı

Soru 35Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, personelin görev performans puanları üzerinde $4$ farklı "mesleki eğitim programı" ve $3$ farklı "çalışma düzeni" (tam zamanlı, esnek, uzaktan) faktörlerinin etkilerini incelemek amacıyla iki yönlü bir araştırma kurgulamıştır. Kurumdaki imkân kısıtları sebebiyle, her bir eğitim programı ve çalışma düzeni kombinasyonu (hücre) için yalnızca bir personelin performansı ölçülebilmiş ve elde edilen verilerle iki yönlü varyans analizi (ANOVA) yapılmıştır.

Bu araştırma tasarımı ve kullanılacak istatistiksel model ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Araştırmacı, her hücrede sadece bir gözlem olmasına rağmen, iki faktör arasındaki etkileşim (ortaklaşa) etkisini standart ANOVA prosedürüyle bağımsız bir bileşen olarak doğrudan test edebilir.

Bu tasarımda modelin hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından her iki faktörün düzey sayılarının toplamının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Faktörler arasında etkileşim bulunmadığı (toplanabilirlik) varsayılarak, modele ait etkileşim kareler toplamı doğrudan hata kareler toplamı olarak kullanılıp ana etkiler test edilir.

Deneyde hücre içi tekrarlama (replikasyon) yapılamadığı için, genel kareler toplamı bileşenlerine ayrıştırılamaz ve kareler toplamlarının toplanabilirlik özelliği kaybolur.

Bu tasarım modeli, yalnızca faktör düzeylerinin ilgili yığından rastgele seçildiği tesadüfi etkili modeller için uygundur, sabit etkili modellerde kullanılamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktörler arasında etkileşim bulunmadığı (toplanabilirlik) varsayılarak, modele ait etkileşim kareler toplamı doğrudan hata kareler toplamı olarak kullanılıp ana etkiler test edilir.

Cevap

Faktörler arasında etkileşim bulunmadığı varsayılarak, modele ait etkileşim kareler toplamının doğrudan hata kareler toplamı olarak kullanılması gerektiğini belirten ifade doğrudur.

Hücre başına tek gözlem içeren iki yönlü ANOVA tasarımlarında, her deney biriminden yalnızca bir veri elde edildiği için hücre içi saf deneysel hata hesaplanamaz. Ana etkilerin test edilebilmesi için istatistiksel modelin 'toplanabilir' (additive) olduğu, yani faktörler arasında bir etkileşim bulunmadığı varsayılır. Bu varsayım altında, standart etkileşim kareler toplamı, rastgele hata kareler toplamı olarak ele alınır ve F testi istatistiğinin hesaplanmasında payda olarak kullanılır.

Adım Adım Çözüm

İki yönlü varyans analizinde hücre başına tek gözlem yapıldığında veri yapısını analiz et.

Her hücrede sadece 1 gözlem olduğu için hücre içi varyans (saf deneysel hata) hesaplanamaz.

Varyans hesaplamak ve grup içi dağılımı görmek için aynı deneme şartlarında en az 2 gözlem (tekrar) yapılması gerekir.

Etkileşim etkisinin test edilebilirliğini değerlendir.

Saf hata hesaplanamadığından, modelde hem iki faktörün etkileşimini (A x B) hem de kalıntı hatasını aynı anda ayırmak imkânsızdır.

Toplam serbestlik derecesi, ana etkiler ve etkileşim bileşenlerini aynı anda karşılamaya yetmez.

Analizin yapılabilmesi için model varsayımını belirle.

Modele etkileşim terimi dâhil edilmez ve faktörlerin etkilerinin 'toplanabilir' olduğu (etkileşimin sıfır olduğu) varsayılır.

Toplanabilirlik varsayımı altında, faktörlerin etkileşiminden gelmesi beklenen kareler toplamı, modeli test etmek için gereken rastgele hata kareler toplamı (MSE) olarak kabul edilir ve F testinde kullanılır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Hücre Başına Tek Gözlemli Tasarım (Toplanabilirlik Varsayımı)

Soru 36Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından yürütülen geniş çaplı bir klinik araştırmada, yeni bir tedavi protokolünün ( $A$ faktörü: Tedavi A ve Standart Tedavi) hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisi, hastaların yaş grubuna ( $B$ faktörü: Genç ve Yaşlı) göre iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmektedir. Her hücrede rastgele atanmış eşit sayıda ( $n=15$ ) hastanın bulunduğu bu tam şansa bağlı tasarımda, alt grup (hücre) iyileşme süresi ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yaş Grubu ( $B$ )	Tedavi A ( $A_1$ )	Standart Tedavi ( $A_2$ )
Genç ( $B_1$ )	$\bar{Y}_{11} = 12$ gün	$\bar{Y}_{12} = 24$ gün
Yaşlı ( $B_2$ )	$\bar{Y}_{21} = 24$ gün	$\bar{Y}_{22} = 12$ gün

Bu verilere dayalı olarak gerçekleştirilecek istatistiksel analiz ve etkilerin yorumlanmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Her iki faktörün de marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkilere ait

F

test istatistikleri sıfır çıkacaktır; tam bir çapraz (disordinal) etkileşim bulunduğu için faktörlerin ana etkilerinden söz etmek istatistiksel olarak anlamsızdır.

Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlı bulunsa dahi, araştırmacı tedavi protokolünün genel etkinliğini değerlendirebilmek için

A

faktörünün ana etkisini doğrudan yorumlamalıdır.

Ana etkilerin kareler toplamı sıfır çıkacağı için, modeldeki gruplar arası değişim hata terimine (

SSE

) yüklenecek ve

A \times B

etkileşim etkisi de zorunlu olarak anlamsız bulunacaktır.

Hücre ortalamaları arasındaki farklar simetrik olduğundan, genel kareler toplamı (

SST

) yalnızca

A

B

faktörlerinin ana etki kareler toplamından oluşur; etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

) sıfırdır.

Ana etkilerin anlamsız çıkması durumunda, modele etkileşim terimi dahil edilse bile varyans analizi sonuçlarına güvenilemez; doğrudan marjinal ortalamalar üzerinden post-hoc testlerine geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her iki faktörün de marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkilere ait $F$ test istatistikleri sıfır çıkacaktır; tam bir çapraz (disordinal) etkileşim bulunduğu için faktörlerin ana etkilerinden söz etmek istatistiksel olarak anlamsızdır.

Cevap

Her iki faktörün de marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkilere ait

F

test istatistikleri sıfır çıkacaktır; tam bir çapraz (disordinal) etkileşim bulunduğu için faktörlerin ana etkilerinden söz etmek istatistiksel olarak anlamsızdır.

Verilen tabloda marjinal ortalamalar hesaplandığında; her iki tedavi protokolünün (A faktörü) genel ortalamasının 18 gün, her iki yaş grubunun (B faktörü) genel ortalamasının da 18 gün olduğu açıkça görülmektedir. Marjinal düzeyler arasında hiçbir fark olmadığı için, ana etkilere ait Kareler Toplamları (

SSA

SSB

) sıfıra eşit çıkacaktır; bu da her iki ana etki

F

değerinin sıfır olmasını gerektirir. Ancak hücre içlerine bakıldığında, Tedavi A'nın gençlerde iyileşme süresini kısalttığı (12 gün), yaşlılarda ise uzattığı (24 gün) görülür. Faktörlerin etkisinin yön değiştirdiği bu duruma 'çapraz (disordinal) etkileşim' denir. İstatistiksel teoride, güçlü bir disordinal etkileşim mevcut olduğunda, alt gruplardaki yön değiştiren asıl etkiyi gizlediği için ana etkilerden söz etmek geçersiz ve yanıltıcıdır.

Adım Adım Çözüm

A

faktörü (Tedavi) için marjinal ortalamaları hesapla.

Tedavi A ortalaması:

(12 + 24) / 2 = 18

gün. Standart Tedavi ortalaması:

(24 + 12) / 2 = 18

gün.

Bir faktörün ana etkisinin olup olmadığını belirlemek için o faktörün tüm seviyelerindeki genel (marjinal) ortalamalara bakılır.

B

faktörü (Yaş Grubu) için marjinal ortalamaları hesapla.

Genç hastaların ortalaması:

(12 + 24) / 2 = 18

gün. Yaşlı hastaların ortalaması:

(24 + 12) / 2 = 18

gün.

İkinci faktörün kendi içindeki genel değişimi görmek için gereklidir.

Ana etkilere ait Kareler Toplamı (SS) ve

F

istatistiğini değerlendir.

Her iki faktör için de marjinal ortalamalar birbirine (18'e) eşit olduğu için, genel ortalamadan sapma yoktur. Bu nedenle

SSA = 0

SSB = 0

'dır. Dolayısıyla

F_A = 0

F_B = 0

olur.

Ana etki Kareler Toplamları formülü gereği, düzey ortalamaları genel ortalamaya eşitse sonuç sıfır çıkar.

Hücre ortalamalarındaki değişimi analiz ederek etkileşimi türünü belirle.

Gençlerde Tedavi A (12) Standart Tedaviden (24) daha iyiyken; Yaşlılarda Standart Tedavi (12) Tedavi A'dan (24) daha iyidir. Tedavinin yönü yaşa göre tamamen tersine dönmüştür.

Faktörlerden birinin etkisi, diğerinin seviyelerine göre sadece derece olarak değil, yön olarak da değişiyorsa buna tam çapraz (disordinal) etkileşim denir.

İstatistiksel yorumlama kuralını uygula.

Disordinal (çapraz) etkileşimin anlamlı olduğu tasarımlarda, ana etkilerin yorumlanması araştırmacıyı yanıltır ve istatistiksel olarak geçersiz kabul edilir.

Ana etkiler sadece ortalamayı yansıtır ve alt gruplardaki zıt yönlü güçlü etkileri maskeler (burada 0 çıkararak maskelemiştir).

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Çapraz (Disordinal) Etkileşim ve Marjinal Ortalamalar

Soru 37Soru →

Devlet Malzeme Ofisi'nde (DMO) kalite kontrol uzmanı olarak çalışan bir istatistikçi, tedarik edilen bir ofis malzemesinin dayanıklılığını test etmektedir. Uzman, üretici firmanın (Faktör A) ve kullanılan hammadde türünün (Faktör B) malzemenin dayanıklılık süresi (yanıt değişkeni) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) kurgulamıştır. Uzmanın amacı, hem faktörlerin ana etkilerini hem de bu iki faktörün dayanıklılık üzerindeki ortaklaşa (etkileşim) etkisini istatistiksel olarak test etmektir.

İki yönlü ANOVA'nın veri yapısı ve temel varsayımları dikkate alındığında, analistin modeldeki etkileşim etkisini hata varyansından ayrıştırarak test edebilmesi için aşağıdakilerden hangisini sağlaması istatistiksel bir zorunluluktur?

Her bir üretici firma ve hammadde türü kombinasyonunda (hücrede) birden fazla bağımsız test yapılmış (tekrarlama) olmalıdır.

Malzemelerin deney gruplarına tarafsızca atanması (rastgelelik) tek başına yeterli olup, her hücrede yalnızca bir gözlem bulunması etkileşim testini engellemez.

Faktörlerin ana etkilerinin ve etkileşiminin anlamlı çıkabilmesi için, analize dahil edilen her iki faktörün de düzeylerinin yığından rastgele (tesadüfi model) seçilmiş olması gerekir.

Modelin serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olabilmesi için, araştırmadaki faktör sayısının, bağımlı değişkenin aldığı düzey sayısına eşit veya daha büyük olması sağlanmalıdır.

Hücre içi varyansların homojen olmaması durumunda dahi, ana etkiler istatistiksel olarak anlamlıysa veri dönüşümü yapılmaksızın etkileşim etkisinin yorumlanmasına doğrudan geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir üretici firma ve hammadde türü kombinasyonunda (hücrede) birden fazla bağımsız test yapılmış (tekrarlama) olmalıdır.

Cevap

Her bir üretici firma ve hammadde türü kombinasyonunda (hücrede) birden fazla bağımsız test yapılmış (tekrarlama) olmalıdır.

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA), iki faktörün ortaklaşa yarattığı etkileşim etkisinin (interaction effect) istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test edebilmek için F istatistiği hesaplanır. Bu hesaplamada paydada hücre içi hata kareler ortalaması (

MS_E

) yer alır.

MS_E

'nin hesaplanabilmesi ve sıfırdan büyük bir serbestlik derecesine sahip olabilmesi için, modeldeki her bir faktör düzeyi kombinasyonunda (hücrede) birden fazla gözlem (

n>1

) bulunması zorunludur. Aksi halde (hücre başına tek gözlem içeren tasarımlarda), etkileşim etkisi ile deneysel hata birbirine karışır ve etkileşim ayrı bir yapı olarak test edilemez.

Adım Adım Çözüm

İki yönlü ANOVA modelinde etkileşim etkisinin kavramsal koşullarını incelemek.

Etkileşim etkisinin istatistiksel olarak test edilebilmesi için, etkileşim kareler ortalamasının (

MS_{AB}

), modelin hata kareler ortalamasına (

MS_E

) oranlanması (F istatistiği) gerekir.

Varyans analizinde herhangi bir etkinin anlamlılığı, o etkiye ait varyansın deneysel hata varyansından ne kadar büyük olduğuna bakılarak sınanır.

Hata kareler ortalamasının (

MS_E

) ve serbestlik derecesinin nasıl hesaplandığını belirlemek.

İki yönlü tasarımda hata serbestlik derecesi

a \times b \times (n-1)

formülü ile bulunur. Burada

a

b

faktör düzey sayıları,

n

ise hücre başına düşen gözlem sayısıdır.

Hatanın hesaplanabilir olması için serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması gerektiğini saptamak.

Hücre başına düşen gözlem sayısı (

n

) ile tekrarlama kavramını ilişkilendirmek.

Eğer her hücrede sadece 1 gözlem (

n=1

) olursa, hata serbestlik derecesi sıfır olur ve

MS_E

hesaplanamaz. Bu durumda etkileşim etkisi deneysel hataya karışır (confounded). Dolayısıyla

n > 1

(tekrarlama) olmak zorundadır.

Etkileşim terimini ayırmak için tekrarlamanın matematiksel ve istatistiksel bir zorunluluk olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Etkileşim Etkisi ve Tekrarlama Gereksinimi

Soru 38Soru →

Bir endüstri mühendisi, üretilen bir çelik parçasının kopma mukavemeti üzerinde "Isıl İşlem Türü" (3 düzey) ve "Karbon Oranı" (4 düzey) faktörlerinin etkilerini incelemek üzere iki yönlü varyans analizi planlamaktadır. Mühendis, hem faktörlerin ana etkilerini hem de bu iki faktörün ortaklaşa oluşturabileceği etkileşim (interaksiyon) etkisini istatistiksel olarak test etmeyi amaçlamaktadır.

Bu araştırmanın veri yapısı ve iki yönlü varyans analizinin temel varsayımları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Toplanan verilerin analizi öncesinde hata terimlerinin normal dağılım göstermediği saptanırsa, varyans analizinin parametrik yapısı gereği bu ihlal göz ardı edilmeli ve test orijinal veriler üzerinden tamamlanmalıdır.

Araştırmacı analizde kullanılacak ısıl işlem türlerini ve karbon oranlarını tesadüfi olarak değil, bilinçli olarak kendi belirleyip sabitlediği için analizin yapısal modeli "şansa bağlı (tesadüfi) model" olarak kurulmalıdır.

Etkileşim etkisinin geçerli bir istatistiksel test ile sınanabilmesi için, her bir ısıl işlem türü ve karbon oranı kombinasyonunu içeren hücrelerde mutlaka birden fazla bağımsız gözlem (tekrarlama) yapılması gerekir.

Hücre içi varyansların homojen olmadığı istatistiksel olarak kanıtlanmış olmasına rağmen, gruplar arasındaki farklılıkların kaynağını belirlemek amacıyla varyansların homojenliğini varsayan Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Deneme birimlerinin her bir faktör kombinasyonuna araştırmacının kişisel yargısından bağımsız ve şansa bağlı olarak atanması işlemine istatistiksel literatürde rastgelelik değil, tekrarlama (replikasyon) adı verilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Etkileşim etkisinin geçerli bir istatistiksel test ile sınanabilmesi için, her bir ısıl işlem türü ve karbon oranı kombinasyonunu içeren hücrelerde mutlaka birden fazla bağımsız gözlem (tekrarlama) yapılması gerekir.

Cevap

İki yönlü varyans analizinde, faktörlerin ortak etkileşiminin sınanabilmesi için modelin hata varyansına ihtiyaç vardır. Hata varyansı, hücre içerisindeki gözlemlerin hücre ortalamasından sapmalarına dayanır. Bu sebeple, her hücrede en az iki gözlem (tekrarlama) bulunmalıdır ki hücre içi değişim hesaplanabilsin ve serbestlik derecesi sıfırdan büyük olsun. Gözlem sayısı

n=1

olursa etkileşim etkisi deneysel hata ile karışır (confounding).

Adım Adım Çözüm

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisinin hesaplanabilmesi için gerekli veri yapısını ve serbestlik derecesi gereksinimlerini incelemek.

Etkileşim etkisinin (F istatistiğinin) test edilebilmesi için hücre içi (hata) kareler ortalamasının bilinmesi gerektiği anlaşılır.

Varyans analizinde her etkinin istatistiksel anlamlılığı, ilgili etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle (F testi) bulunur.

Hücre başına düşen gözlem sayısı (

n

) ile hata varyansının tahmin edilebilirliği arasındaki ilişkiyi değerlendirmek.

Eğer her hücrede yalnızca bir gözlem (

n=1

) varsa, hücre içi sapma hesaplanamayacağından hata serbestlik derecesi sıfır olur ve etkileşim etkisi ayrı olarak hesaplanamaz.

Hata serbestlik derecesi faktöriyel tasarımlarda

ab(n-1)

formülü ile bulunur.

n=1

olduğunda bu değer

0

olur.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Veri Yapısı ve Etkileşim Etkisi İçin Tekrarlamanın Gerekliliği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Bir endüstri mühendisi, havacılık sektöründe kullanılacak yeni bir titanyum alaşımının çekme mukavemetini (tensile strength) optimize etmek amacıyla bir deney tasarlamıştır. Deneyde, $r$ düzeyli "Fırınlama Sıcaklığı" ve $c$ düzeyli "Soğutma Ortamı" faktörleri ele alınmıştır. Yüksek test maliyetleri sebebiyle, fırınlama sıcaklığı ve soğutma ortamının oluşturduğu her bir kombinasyona (deney hücresine) yalnızca bir adet alaşım numunesi atanabilmiştir.

Analiz aşamasında araştırmacı, bu iki faktörün mukavemet üzerindeki ortaklaşa etkisini (etkileşimini) standart bir iki yönlü ANOVA modeliyle doğrudan test etmek istemiş, ancak bunun matematiksel olarak mümkün olmadığını görmüştür.

Buna göre, bu deney tasarımında etkileşim etkisinin (A $\times$ B) doğrudan test edilememesinin temel istatistiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Deneydeki faktörlerin her ikisinin de sabit etkili (Model I) kabul edilmesi nedeniyle, beklenen kareler ortalamasında etkileşim bileşeninin dışlanması.

Modelin hata serbestlik derecesinin

r+c-2

formülü ile hesaplanıp yetersiz kalması sebebiyle F testinin uygulanamaması.

Hücre içi tekrar (replikasyon) bulunmadığından deneysel hatayı ölçecek serbestlik derecesinin kalmaması ve etkileşim teriminin hata terimiyle karışması.

İki yönlü varyans analizinde genel kareler toplamının teorik olarak yalnızca ana etkilere ayrılarak tam toplanabilir bir yapı sergilemek zorunda olması.

Ana etkiler arasındaki bağımsızlık ilişkisi sebebiyle, etkileşim varyansının doğrudan ana etki varyansları içine gömülmesi ve maskelenmesi.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücre içi tekrar (replikasyon) bulunmadığından deneysel hatayı ölçecek serbestlik derecesinin kalmaması ve etkileşim teriminin hata terimiyle karışması.

Cevap

Hücre içi tekrar (replikasyon) bulunmadığından deneysel hatayı ölçecek serbestlik derecesinin kalmaması ve etkileşim teriminin hata terimiyle karışması seçeneği doğru cevaptır.

Varyans analizinde (ANOVA) herhangi bir faktörün veya etkileşimin anlamlılığını F testi ile ölçebilmek için, söz konusu etkinin varyansının (kareler ortalaması) sistemin kendi doğal varyansına (hata kareler ortalamasına) bölünmesi gerekir. Hata varyansının (saf hatanın) hesaplanabilmesi için her hücrede en az iki gözlem (

n \geq 2

) olması, yani tekrar (replikasyon) yapılması şarttır. Hücre başına tek gözlem yapıldığında, grup içindeki varyasyonu ölçecek veri olmadığından hata serbestlik derecesi sıfır olur. Bu durumda etkileşim etkisi, deneysel hatadan matematiksel olarak ayırt edilemez hale gelir (confounding) ve model etkileşimsiz varsayılmak zorunda kalır.

Adım Adım Çözüm

Etkileşimli tam iki yönlü ANOVA modelinin hata serbestlik derecesi (sd) formülünü belirlemek.

Hata serbestlik derecesi formülü:

sd_{Hata} = r \times c \times (n - 1)

olarak yazılır. (Burada n, hücre başına düşen gözlem sayısıdır).

Varyans analizi testlerinin yapılabilmesi için F istatistiğinin paydasını oluşturacak hata varyansının hesaplanabilirliğini kontrol etmek.

Deney tasarımındaki

n=1

kısıtını formülde yerine koymak.

sd_{Hata} = r \times c \times (1 - 1) = 0

bulunur. Hata serbestlik derecesi sıfır kalır.

Hücre başına sadece tek numune (tekrar yok) uygulandığında modelin matematiksel kısıtlarını görmek.

Serbestlik derecesi sıfır olduğunda istatistiksel sonuçları yorumlamak.

Hata kareler ortalaması (

MSE = SSE / 0

) hesaplanamaz. Bu nedenle etkileşim karesi bağımsız bir hatadan ayrılamaz ve analiz mecburen etkileşimsiz model varsayımı (Toplanabilirlik Modeli) üzerinden yürütülür.

Etkileşimin doğrudan neden test edilemediğinin teorik arka planını ifade etmek.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Tek Gözlemli Durumda Serbestlik Derecesi ve Karışma (Confounding)

Soru 40Soru →

Türkiye İlaç ve Tıbbi Cihaz Kurumu (TİTCK) laboratuvarlarında, biyolojik bir ürünün etken madde bozunma düzeyi üzerine iki yönlü varyans analizi (ANOVA) kurgulanmaktadır. Tasarımda birinci faktör olan "Üretim Serisi", yığından rastgele seçilen 5 farklı seriyi (şansa bağlı/tesadüfi faktör); ikinci faktör olan "Saklama Sıcaklığı" ise laboratuvarda standart olarak belirlenen 3 spesifik dereceyi (sabit faktör) temsil etmektedir. Test maliyetlerinin yüksek olması sebebiyle araştırma uzmanı, her bir seri ve sıcaklık kombinasyonu (hücre) için yalnızca bir adet ölçüm ( $n=1$ ) yapılmasını önermiştir. Uzman, elde edilecek bu veri yapısı üzerinden hem faktörlerin ana etkilerini hem de seri-sıcaklık etkileşimini standart $F$ istatistiği ile test etmeyi; ayrıca modelin geçerliliği için hataların normal dağılımı ve varyansların homojenliği varsayımlarını değerlendirmeyi planlamaktadır.

İki yönlü varyans analizi veri yapısı ve kuramsal varsayımları dikkate alındığında, bu uzmanın analiz planındaki en temel istatistiksel hata aşağıdakilerden hangisidir?

Hücre başına yalnızca bir gözlem (

n=1

) bulunması nedeniyle hata varyansı ile etkileşim varyansının birbirine karışması ve toplanabilirlik varsayımı yapılmadıkça etkileşim teriminin test edilemeyecek olması

Faktörlerden birinin sabit, diğerinin şansa bağlı (karma model) olarak kurgulanmış olmasının, iki yönlü ANOVA'nın varyansların homojenliği varsayımını baştan geçersiz kılması

Deneme birimlerinin saklama sıcaklıklarına atanmasında rastgelelik ilkesi ihlal edildiği için deneysel hatanın hiçbir koşulda tahmin edilemeyeceğinin düşünülmemesi

Hataların normal dağılımı varsayımının, hücre bazında hesaplanan artıklar yerine, faktörlerin bağımsız genel ortalamaları üzerinden test edilmesi gerektiğinin göz ardı edilmesi

Faktörlerin ana etkileri istatistiksel olarak anlamlı bulunduğunda, üretim serisi ile saklama sıcaklığı arasındaki etkileşimin de doğal olarak anlamlı kabul edileceği kuralının atlanması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücre başına yalnızca bir gözlem ( $n=1$ ) bulunması nedeniyle hata varyansı ile etkileşim varyansının birbirine karışması ve toplanabilirlik varsayımı yapılmadıkça etkileşim teriminin test edilemeyecek olması

Cevap

Hücre başına yalnızca bir gözlem (

n=1

) bulunması nedeniyle hata varyansı ile etkileşim varyansının birbirine karışması ve toplanabilirlik varsayımı yapılmadıkça etkileşim teriminin test edilemeyecek olması

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA), etkileşim etkisini (

AB

) ve rastgele hatayı (

\epsilon

) istatistiksel olarak birbirinden ayırmak için her bir işlem kombinasyonunda (hücrede) en az iki gözleme (

n > 1

) ihtiyaç vardır. Hücre başına tek gözlem (

n=1

) olduğunda, hesaplanan artık varyans bütünüyle etkileşim varyansı ile hatanın toplamından oluşur. Bu duruma 'etkilerin karışması (confounding)' denir. Standart bir modelde etkileşimi test etmek için gereken bağımsız 'Hata Kareler Ortalaması' (MSE) hesaplanamaz (serbestlik derecesi sıfır olur). Bu yapıdaki veriler ancak faktörlerin toplanabilir olduğu (etkileşimin olmadığı) peşinen varsayılırsa veya Tukey'in toplanabilirlik testi kullanılarak analiz edilebilir. Uzmanın hem

n=1

alıp hem de standart

F

testi ile etkileşimi test etmeyi planlaması temel teorik hatadır.

Adım Adım Çözüm

Araştırmanın veri yapısını (tasarımını) incelemek

Araştırmada 2 faktör (Seri ve Sıcaklık) ve her hücrede sadece 1 gözlem (

n=1

) planlanmıştır.

Varyans analizinde serbestlik derecelerinin ve varyans unsurlarının nasıl ayrıştırılacağı gözlem sayısına bağlıdır.

n=1

durumunda hata varyansının nasıl hesaplandığını değerlendirmek

Genel serbestlik derecesi

ab-1

'dir. Ana etkiler

(a-1)

(b-1)

kadar serbestlik derecesi alır. Geriye kalan serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

olup, bu hem etkileşimi hem de rastgele hatayı temsil eder.

Hücre içinde tekrarlı ölçüm (replikasyon) olmadığında, grup içi varyans (saf hata) doğrudan hesaplanamaz.

Etkileşim testinin yapılıp yapılamayacağına karar vermek

Etkileşim etkisi ile deneysel hata birbirine (confound) karıştığı için, hataların etkileşimsiz ve toplanabilir olduğu (Tukey toplanabilirlik testi) varsayılmadıkça standart iki yönlü ANOVA ile etkileşim sınanamaz.

F

istatistiğinin hesaplanabilmesi için etkileşim kareler ortalamasının bölünebileceği bağımsız bir hata kareler ortalamasına (MSE) ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da hücre başına tek gözlem (n=1) veri yapısı ve toplanabilirlik varsayımı

ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki

İki Yönlü Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm