İki Yönlü Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir üniversite hastanesinde yürütülen klinik araştırmada, 'İlaç Dozu' ( $A$ faktörü, 3 düzey) ve 'Yaş Grubu' ( $B$ faktörü, 4 düzey) değişkenlerinin hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisi incelenmektedir. Her bir $(A, B)$ faktör kombinasyonu (hücre) için eşit sayıda ( $n > 1$ ) hasta deneye dahil edilmiştir.

Bu araştırmada uygulanacak iki yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinin geçerli bir şekilde sonuç vermesi için temel varsayımlardan biri olan 'Varyansların Homojenliği' varsayımı, teknik olarak aşağıdakilerden hangisini ifade eder?

Her bir ilaç dozunun (ana etki) yarattığı varyasyonun, tüm yaş grupları için genel ortalamaya eşit olması.

Modeldeki her bir

(i, j)

hücresine ait hata terimlerinin varyanslarının birbirine eşit (

\sigma_{ij}^2 = \sigma^2

) olması.

Faktörlerin ana etkileri ile etkileşim etkisinin serbestlik derecelerinin homojen bir şekilde dağılması.

Hata kareler toplamının, muamele kareler toplamından her zaman daha küçük bir varyansa sahip olması.

Gözlemlerin birbirine bağımlı olduğu durumlarda varyansın zaman içinde sabit kalması.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modeldeki her bir $(i, j)$ hücresine ait hata terimlerinin varyanslarının birbirine eşit ( $\sigma_{ij}^2 = \sigma^2$ ) olması.

Cevap

Modeldeki her bir

(i, j)

hücresine ait hata terimlerinin varyanslarının birbirine eşit (

\sigma_{ij}^2 = \sigma^2

) olması.

İki yönlü varyans analizi modelinde, her bir

(i, j)

hücresi (yani Faktör

A

'nın

i

. düzeyi ile Faktör

B

'nin

j

. düzeyinin kesişimi) kendi içinde bir populasyonu temsil eder. Analizin geçerli olabilmesi için, bu populasyonların her birinden gelen hata terimlerinin varyanslarının birbirine eşit (

\sigma^2

) olması teknik bir zorunluluktur. Bu durum homoscedasticity (eşvaryanslılık) olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü ANOVA model denklemini tanımlama.

Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + e_{ijk}

Modelin bileşenlerini ve hata terimini (

e_{ijk}

) belirlemek için gereklidir.

2

Hata terimi üzerindeki varsayımları belirleme.

e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)

Parametrik testlerin geçerliliği için hataların normal dağılımlı ve sabit varyanslı olması gerekir.

3

Varyans homojenliğinin veri yapısındaki karşılığını analiz etme.

\sigma_{11}^2 = \sigma_{12}^2 = ... = \sigma_{ab}^2 = \sigma^2

İki yönlü ANOVA'da varyanslar faktör düzeylerinin her bir kombinasyonu (hücre) için eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da varyans homojenliği, sadece ana faktörlerin düzeyleri arasında değil, tüm faktör kombinasyonlarını temsil eden her bir hücre (cell) içinde geçerli olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Varyans homojenliği bozulduğunda iki yönlü ANOVA yerine hangi parametrik olmayan testlerin veya dönüşümlerin (transformaton) kullanılabileceğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 42Soru →

Bir kamu kurumunda personelin performans puanları üzerinde 'Çalışma Sistemi' ( $A$ faktörü: Esnek, Sabit) ve 'Hizmet Süresi' ( $B$ faktörü: $5$ yıl altı, $5$ yıl ve üzeri) faktörlerinin etkisini belirlemek amacıyla iki yönlü varyans analizi uygulanmıştır. Eşit gözlem sayılarına sahip hücrelerin performans ortalamaları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Çalışma Sistemi	Hizmet Süresi ( $5$ yıl altı)	Hizmet Süresi ( $5$ yıl ve üzeri)
Esnek	$85$	$75$
Sabit	$75$	$85$

Buna göre, elde edilen ortalamalar dikkate alındığında ana etkiler ve etkileşim etkisi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Faktörlerin marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkiler gözlenmezken, hücre ortalamalarındaki farklılık anlamlı bir etkileşim etkisine işaret etmektedir.

Esnek çalışma sisteminin ortalama performansı sabit sistemden daha yüksek olduğu için Çalışma Sistemi ana etkisi anlamlıdır.

Hizmet süresi arttıkça performansın her iki çalışma sisteminde de arttığı görülmektedir, bu durum Hizmet Süresi ana etkisinin anlamlı olduğunu kanıtlar.

Etkileşim etkisi anlamlı olsa dahi, marjinal ortalamalar üzerinden sadece Çalışma Sistemi'nin ana etkisi yorumlanmalıdır.

Faktörler arasında herhangi bir etkileşim bulunmadığından, performans puanları sadece hata terimine bağlı olarak değişmektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktörlerin marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkiler gözlenmezken, hücre ortalamalarındaki farklılık anlamlı bir etkileşim etkisine işaret etmektedir.

Cevap

Faktörlerin marjinal ortalamaları eşit olduğundan ana etkiler gözlenmezken, hücre ortalamalarındaki farklılık anlamlı bir etkileşim etkisine işaret etmektedir.

Doğru yanıt olan ifade, verilerdeki marjinal ortalamaların her iki faktör için de eşit (

80

puan) olduğunu ve dolayısıyla ana etkilerin gözlenmediğini doğru tespit etmiştir. Ancak, hücre ortalamalarına bakıldığında esnek sistemde kıdemsizlerin (

85

), sabit sistemde ise kıdemlilerin (

85

) daha başarılı olduğu görülmektedir. Bu zıt yönlü değişim, faktörlerin birbirine bağımlı olduğunu, yani istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim etkisinin varlığını göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Çalışma Sistemi (

A

faktörü) için marjinal ortalamaları hesaplayın.

Esnek:

(85+75)/2 = 80

; Sabit:

(75+85)/2 = 80

.

Ana etkinin varlığını belirlemek için faktör düzeylerinin genel ortalamalarını karşılaştırmak gerekir.

2

Hizmet Süresi (

B

faktörü) için marjinal ortalamaları hesaplayın.

5

yıl altı:

(85+75)/2 = 80

;

5

yıl ve üzeri:

(75+85)/2 = 80

.

İkinci faktörün ana etkisini kontrol etmek için marjinal ortalamalar hesaplanır.

3

Faktörler arasındaki etkileşim yapısını analiz edin.

Esnek sistemde hizmet süresi arttıkça puan

10

birim azalırken, sabit sistemde

10

birim artmaktadır.

Hücre ortalamalarındaki değişimlerin (eğimlerin) paralel olmaması etkileşim etkisinin varlığını gösterir.

4

Sonuçları birleştirerek genel yorumu yapın.

Ana etkiler sıfırdır (

80

vs

80

), ancak tam bir çapraz (disordinal) etkileşim mevcuttur.

Marjinal ortalamaların eşitliği ana etkinin yokluğunu, hücrelerdeki zıt yönlü değişimler ise etkileşimi kanıtlar.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da ana etkiler marjinal ortalamalar üzerinden değerlendirilirken; etkileşim etkisi, bir faktörün etkisinin diğer faktörün seviyesine göre değişip değişmediğini (paralellikten sapma) inceler.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 43Soru →

Bir tekstil kalite kontrol biriminde, $4$ farklı boya maddesinin ( $A$ faktörü) ve fabrikada kullanılan $3$ farklı kumaş türünün ( $B$ faktörü) renk kalıcılığı üzerindeki etkileri incelenmektedir. Her bir boya maddesi her kumaş türüne tam olarak bir kez (hücre başına tek gözlem) uygulanmıştır. Elde edilen veriler üzerinde yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda şu değerler hesaplanmıştır:

- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): $150$
- Boya Maddeleri Kareler Toplamı ( $SSA$ ): $60$
- Kumaş Türleri Kareler Toplamı ( $SSB$ ): $30$

Bu deneme düzeneğinde faktörler arasında etkileşim olmadığı varsayıldığına göre, "Hata" (Artık) kaynağına ait Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) değeri kaçtır?

5

6

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri 10'dur.

Verilen değerlere göre hata kareler toplamı

150 - 60 - 30 = 60

olarak bulunur. Boya maddesi sayısı (

r=4

) ve kumaş türü sayısı (

c=3

) kullanılarak hata serbestlik derecesi

(4-1) \times (3-1) = 6

olarak hesaplanır. Bu durumda hata kareler ortalaması

60 / 6 = 10

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamının (SSE) hesaplanması

SSE = SST - SSA - SSB = 150 - 60 - 30 = 60

İki yönlü etkileşimsiz modelde genel varyasyon; satır, sütun ve hata kaynaklarına ayrıştırılır.

2

Hata Serbestlik Derecesinin (dfE) hesaplanması

df_E = (r-1) \times (c-1) = (4-1) \times (3-1) = 3 \times 2 = 6

Hücre başına tek gözlemli tasarımlarda hata serbestlik derecesi, faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

3

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) hesaplanması

MSE = \frac{SSE}{df_E} = \frac{60}{6} = 10

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

İki yönlü varyans analizinde hücre başına tek gözlem (n=1) yapıldığında, etkileşim terimi hata terimi ile birleşir ve hata serbestlik derecesi

(r-1)(c-1)

formülü ile belirlenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 44Soru →

Bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir ekmek tarifinde $4$ farklı maya türünün (A faktörü) ve $5$ farklı fermantasyon süresinin (B faktörü) hamur hacmi üzerindeki etkilerini incelemek istemektedir. Zaman ve kaynak kısıtları nedeniyle, maya türü ve fermantasyon süresinin her bir kombinasyonu için yalnızca birer adet hamur örneği hazırlanabilmiş ve toplamda $20$ gözlem elde edilmiştir.

Buna göre, elde edilen verilerin iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmesi sürecine ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Hücre içi hata serbestlik derecesi sıfır olduğu için etkileşim etkisi standart yaklaşımla test edilemez; etkileşimin varlığı araştırılmak isteniyorsa Tukey Toplanabilirlik Testi gibi özel yöntemler kullanılmalıdır.

Modelin hata serbestlik derecesi

(4 \times 5) - 1 = 19

olarak hesaplanır ve bu değer faktörler arası etkileşimin standart F-testi ile test edilmesine olanak tanır.

Hücrelerde yalnızca tek bir gözlem bulunması, bu deney tasarımının istatistiksel analizinde etkileşim etkisinin her zaman ana etkilerden daha büyük olacağını garanti eder.

Toplam örneklem hacmi yeterince büyük olduğundan, veri yapısındaki yapısal eksiklikler göz ardı edilerek hücre başına çok gözlemli (etkileşimli) iki yönlü ANOVA doğrudan uygulanabilir.

Gözlem sayısının kısıtlı olması, araştırmacının analizde sabit etkili model yerine zorunlu olarak tesadüfi (şansa bağlı) etkili model varsayımını kullanmasını gerektirir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücre içi hata serbestlik derecesi sıfır olduğu için etkileşim etkisi standart yaklaşımla test edilemez; etkileşimin varlığı araştırılmak isteniyorsa Tukey Toplanabilirlik Testi gibi özel yöntemler kullanılmalıdır.

Cevap

Hücre içi hata serbestlik derecesi sıfır olduğu için etkileşim etkisi standart yaklaşımla test edilemez; etkileşimin varlığı araştırılmak isteniyorsa Tukey Toplanabilirlik Testi gibi özel yöntemler kullanılmalıdır.

İki yönlü varyans analizinde her hücrede sadece tek bir gözlem bulunduğunda (

n=1

), grup içi varyasyonu ölçecek yeterli veri olmadığı için saf hata serbestlik derecesi

a \times b \times (n-1) = 0

olur. Hata serbestlik derecesinin sıfır olması, standart varyans analizi prosedürleriyle faktörler arası etkileşimin doğrudan test edilmesini engeller. Bu nedenle araştırmacı, modelde etkileşim olmadığını (toplanabilirlik varsayımı) kabul ederek analizine devam eder ve standart hatayı etkileşim kareler toplamı üzerinden tahmin eder. Eğer gerçekten bir etkileşimden şüpheleniliyorsa, varsayımı sınamak için özel olarak geliştirilmiş

1

serbestlik dereceli 'Tukey Toplanabilirlik Testi' uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Deneyin genel özelliklerini ve yapısal boyutlarını belirle.

A faktörü düzeyi

a=4

, B faktörü düzeyi

b=5

, hücre başına gözlem sayısı

n=1

'dir. Toplam gözlem sayısı

N = 4 \times 5 \times 1 = 20

'dir.

Varyans analizi modelinin gereksinimlerini ve serbestlik derecelerini hesaplamak için temel parametrelere ihtiyaç vardır.

2

Modelin hata serbestlik derecesini (df) hesapla.

Saf hata serbestlik derecesi formülü:

a \times b \times (n - 1)

. Verileri yerine koyduğumuzda

4 \times 5 \times (1 - 1) = 0

bulunur.

Bir modelin standart F-testi ile istatistiksel olarak test edilebilmesi için pozitif bir hata serbestlik derecesine sahip olması gerekir.

3

Hata serbestlik derecesinin sıfır olmasının sonuçlarını yorumla.

Saf hata hesaplanamadığı için standart etkileşimli model test edilemez. Modelin 'etkileşimsiz' (toplanabilir) olduğu varsayılmak zorundadır.

F-testinde paydaya yazılacak olan Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) bulunamamaktadır.

4

Etkileşimsizlik (toplanabilirlik) varsayımının geçerliliğini sınamak için kullanılacak istatistiksel aracı belirle.

Bu özel durumda etkileşimin var olup olmadığını test etmek için Tukey Toplanabilirlik Testi (Tukey's Test for Non-additivity) kullanılmalıdır.

Tukey Toplanabilirlik Testi, kalan (residual) serbestlik derecesini toplanabilirlik dışı etkiler için

1

df ve yeni hata terimi için

(a-1)(b-1)-1

df olarak ikiye ayırır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Hücre Başına Tek Gözlemli Tasarım

Soru 45Soru →

Bir kamu kurumunda personelin verimlilik puanları üzerinde "Çalışma Modeli" ( $A$ faktörü, 3 düzey: Ofis, Uzaktan, Hibrit) ve "Hizmet İçi Eğitim Durumu" ( $B$ faktörü, 2 düzey: Sertifikalı, Sertifikasız) değişkenlerinin etkileri iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmek istenmektedir.

Bu araştırmada, faktörlerin hem ana etkilerinin hem de aralarındaki **etkileşim etkisinin ( $A \times B$ )** istatistiksel olarak test edilebilmesi için veri yapısına ilişkin sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Her bir

(i, j)

hücresinde birden fazla gözlem (

n > 1

) bulunmalıdır.

Faktör düzeylerinin her ikisinin de evrenden rastgele seçilmiş (Model II) olması zorunludur.

Gözlemlerin (hataların) birbirleriyle bağımlı veya ilişkili bir yapıda olması gerekir.

Hücre başına yalnızca bir gözlem (

n = 1

) bulunması, etkileşimi test etmek için yeterli hata serbestlik derecesi sağlar.

Bağımlı değişkenin varyanslarının her bir alt grupta (hücrede) heterojen bir yapı sergilemesi beklenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir $(i, j)$ hücresinde birden fazla gözlem ( $n > 1$ ) bulunmalıdır.

Cevap

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisinin test edilebilmesi için her bir hücrede en az iki gözlem (tekrarlama) bulunmalıdır.

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA), faktörlerin etkileşim etkisini (

A \times B

) istatistiksel olarak test edebilmek için "hata kareler toplamı"nın (SSE) "etkileşim kareler toplamı"ndan (SSAB) bağımsız olarak hesaplanabilmesi gerekir. Eğer her bir hücrede (faktör düzeylerinin kombinasyonunda) sadece bir gözlem (

n=1

) varsa, hücre içi varyasyon ölçülemez ve hata terimi etkileşim terimiyle karışmış olur. Bu nedenle etkileşim etkisinin testi için hücre başına en az iki gözlem (

n > 1

) yani tekrarlama (replication) yapılması zorunludur.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü ANOVA model denkleminin incelenmesi

y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}

Modeldeki

(\alpha\beta)_{ij}

terimi etkileşimi,

\epsilon_{ijk}

ise hatayı temsil eder.

2

Serbestlik derecesi analizi yapılması

Hata serbestlik derecesi:

ab(n-1)

Eğer

n=1

olursa, hata serbestlik derecesi

ab(1-1)=0

olur.

3

Etkileşim ve hata ayrımının değerlendirilmesi

Etkileşim testi için

F = \frac{MS_{AB}}{MS_{E}}

oranının hesaplanabilmesi

n=1

durumunda hata terimi (

MS_E

) hesaplanamaz, bu nedenle etkileşim anlamlılığı test edilemez.

Anahtar Kavram

Hücre Başına Çok Gözlemli Tasarım ve Tekrarlama (Replication)

Daha Fazla Pratik

Eğer hücre başına tek gözlem (

n=1

) varsa, etkileşim olup olmadığını anlamak için kullanılan 'Tukey Toplanabilirlik Testi'ni (Tukey's Test for Additivity) inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 46Soru →

Bir kamu kurumunda personelin mesleki gelişim puanlarını ölçmek amacıyla iki faktörlü bir deney tasarlanmıştır. "Eğitim Türü" ( $A$ ) ve "Kariyer Aşaması" ( $B$ ) faktörlerinin kullanıldığı bu araştırmada elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Kariyer Aşaması: Yeni ( $B_1$ )	Kariyer Aşaması: Uzman ( $B_2$ )
Eğitim 1: Teorik ( $A_1$ )	$65$	$85$
Eğitim 2: Pratik ( $A_2$ )	$85$	$65$

Buna göre, faktörlerin marjinal ortalamaları ve etkileşim durumu dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Faktörler arasında güçlü bir etkileşim etkisi bulunmaktadır ancak faktörlerin ana etkileri gözlenmemektedir.

Eğitim türünün mesleki gelişim puanları üzerinde anlamlı bir ana etkisi vardır.

Kariyer aşamasının mesleki gelişim puanları üzerinde anlamlı bir ana etkisi vardır.

Etkileşim etkisi anlamlı olduğu için her iki kariyer aşaması için de en verimli eğitim türü aynıdır.

Tablodaki verilerde eğitim türü ile kariyer aşaması arasında herhangi bir etkileşim bulunmamaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktörler arasında güçlü bir etkileşim etkisi bulunmaktadır ancak faktörlerin ana etkileri gözlenmemektedir.

Cevap

Faktörler arasında güçlü bir etkileşim etkisi bulunmaktadır ancak faktörlerin ana etkileri gözlenmemektedir.

Verilen tabloda Eğitim 1 ve Eğitim 2'nin marjinal ortalamaları

75

olarak hesaplanmaktadır. Aynı şekilde Yeni ve Uzman kariyer aşamalarının marjinal ortalamaları da

75

'dir. Marjinal ortalamalar arasında fark olmadığı için her iki faktörün de ana etkisi yoktur. Ancak, eğitim türünün mesleki gelişim üzerindeki etkisi kariyer aşamasına göre tam zıt yönde değişmektedir (birinde artırırken diğerinde azaltmaktadır). Bu durum, literatürde 'tam çapraz etkileşim' (crossover interaction) olarak adlandırılan güçlü bir etkileşim etkisinin varlığını kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Eğitim Türü (

A

) faktörü için marjinal ortalamaları hesaplayın.

Eğitim 1 için:

(65+85)/2 = 75

; Eğitim 2 için:

(85+65)/2 = 75

.

Ana etkileri belirlemek için her faktörün düzeyleri arasındaki ortalama farkına bakılmalıdır.

2

Kariyer Aşaması (

B

) faktörü için marjinal ortalamaları hesaplayın.

Yeni için:

(65+85)/2 = 75

; Uzman için:

(85+65)/2 = 75

.

İkinci faktörün ana etkisini kontrol etmek için genel düzey ortalamaları karşılaştırılmalıdır.

3

Etkileşim etkisini (hücre ortalamaları arasındaki farkı) analiz edin.

Yeni aşamasında Eğitim 2 daha iyiyken (

+20

puan), Uzman aşamasında Eğitim 1 daha iyidir (

+20

puan).

Bir faktörün etkisinin diğer faktörün düzeyine göre değişmesi etkileşim olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da etkileşim (interaction) etkisi, bir bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin diğer bağımsız değişkenin seviyelerine bağlı olarak değişmesi durumudur. Tam çapraz (crossover) etkileşimlerde ana etkiler sıfır çıkabilir.

Daha Fazla Pratik

Etkileşim grafiğinde çizgilerin paralel olması durumunda ne gibi sonuçlar doğacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Etkileşimi hızlıca kontrol etmek için satır veya sütun farklarına bakılabilir. İlk sütundaki fark (

85-65=20

), ikinci sütundaki farkın (

65-85=-20

) negatifi ise ana etkiler sıfır, etkileşim ise maksimumdur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 47Soru →

Bir kamu kurumunda personelin mesleki verimliliğini ölçmek amacıyla "Eğitim Modülü" ( $A$ faktörü, $3$ düzey) ve "Kıdem Derecesi" ( $B$ faktörü, $4$ düzey) değişkenlerinin etkisi incelenmektedir. Araştırmada her bir kombinasyon (hücre) için tesadüfi olarak seçilen $5$ personel üzerinde gözlem yapılmış ve etkileşimli iki yönlü varyans analizi modeli kurulmuştur. Analiz sonucunda etkileşim kareler toplamı ( $KT_{AB}$ ) $120$ , hata kareler toplamı ( $KT_{Hata}$ ) ise $480$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için kullanılacak olan $F$ istatistiği değeri kaçtır?

2,0

1,0

0,5

1,5

4,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,0$

Cevap

Etkileşim etkisi için hesaplanan F istatistiği değeri

2,0

olarak bulunur.

Etkileşim serbestlik derecesi

sd_{AB} = (3-1)(4-1) = 6

ve hata serbestlik derecesi

sd_{Hata} = 3 \times 4 \times (5-1) = 48

olarak hesaplanır. Bu değerler kullanılarak

KO_{AB} = 120/6 = 20

ve

KO_{Hata} = 480/48 = 10

bulunur. Nihai

F

değeri bu iki varyans tahmininin oranı olan

20/10 = 2,0

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Etkileşim serbestlik derecesini (

sd_{AB}

) hesaplayınız.

sd_{AB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6

İki yönlü varyans analizinde etkileşim teriminin serbestlik derecesi faktörlerin düzey sayılarının bir eksiğinin çarpımıdır.

2

Etkileşim kareler ortalamasını (

KO_{AB}

) hesaplayınız.

KO_{AB} = KT_{AB} / sd_{AB} = 120 / 6 = 20

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

Hata serbestlik derecesini (

sd_{Hata}

) hesaplayınız.

sd_{Hata} = ab(n-1) = 3 \times 4 \times (5-1) = 12 \times 4 = 48

Hücre başına çok gözlemli tasarımda hata serbestlik derecesi, toplam hücre sayısının hücre içi tekrar sayısının bir eksiği ile çarpımıdır.

4

Hata kareler ortalamasını (

KO_{Hata}

) hesaplayınız.

KO_{Hata} = KT_{Hata} / sd_{Hata} = 480 / 48 = 10

Hata varyansının tahmini için hata kareler toplamı hata serbestlik derecesine bölünür.

5

Etkileşim etkisi için F istatistiğini hesaplayınız.

F_{AB} = KO_{AB} / KO_{Hata} = 20 / 10 = 2,0

Etkileşim etkisinin anlamlılığı, etkileşim kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla test edilir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Etkileşimli Model F Testi

Daha Fazla Pratik

Elde edilen bu F değerinin kritik tablo değeri ile karşılaştırılarak etkileşimin anlamlı olup olmadığının yorumlanması üzerine çalışılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 48Soru →

Bir tekstil fabrikasında üretilen kumaşların dayanıklılık puanları üzerinde dokuma türünün ( $A$ faktörü, $3$ düzey) ve iplik kalitesinin ( $B$ faktörü, $4$ düzey) etkisi araştırılmaktadır. Her bir faktör kombinasyonu için $3$ adet gözlem yapılmış ve analiz sonucunda aşağıdaki kareler toplamı ( $KT$ ) değerleri hesaplanmıştır:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı ( $KT$ )
Dokuma Türü ( $A$ )	$420$
İplik Kalitesi ( $B$ )	$360$
Hata ( $E$ )	$580$
Genel Toplam ( $T$ )	$1500$

Buna göre, Dokuma Türü $\times$ İplik Kalitesi etkileşimine ( $AB$ ) ait kareler toplamı değeri kaçtır?

140

720

780

920

1360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $140$

Cevap

İki yönlü varyans analizinde etkileşim kareler toplamı (

SSAB

) değeri

140

olarak hesaplanır.

İki yönlü varyans analizinde toplam kareler toplamı (

SST

), ana etkiler (

SSA, SSB

), etkileşim etkisi (

SSAB

) ve hata kareler toplamının (

SSE

) toplamına eşittir. Verilen değerler yerine konulduğunda

1500 = 420 + 360 + SSAB + 580

eşitliği elde edilir. Buradan

SSAB = 1500 - 1360 = 140

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kareler toplamları arasındaki temel ilişkiyi kurma

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

İki yönlü varyans analizinde toplam varyans; ana etkiler, etkileşim etkisi ve hata terimi bileşenlerine ayrıştırılır.

2

Bilinen değerleri formülde yerine koyma

1500 = 420 + 360 + SSAB + 580

Soruda verilen Genel (

SST

), Dokuma Türü (

SSA

), İplik Kalitesi (

SSB

) ve Hata (

SSE

) değerleri yerleştirilir.

3

Eksik olan etkileşim (

SSAB

) değerini hesaplama

SSAB = 1500 - (420 + 360 + 580) = 1500 - 1360 = 140

Toplanabilirlik özelliği gereği toplam değerden diğer tüm bileşenlerin toplamı çıkarılarak bilinmeyen terim bulunur.

Anahtar Kavram

İki yönlü varyans analizinde toplam kareler toplamının bileşenlerine ayrıştırılması ve varyans kaynaklarının toplanabilirliği.

Daha Fazla Pratik

Etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için serbestlik derecelerini hesaplayarak F istatistiğini bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 49Soru →

İki yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinin varsayımları ve veri yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Hata terimlerinin (

\epsilon_{ijk}

) her bir hücrede sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı normal dağılım sergilediği varsayılır.

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması varsayımı, deneme birimlerinin faktör düzeylerine rastgele atanmasıyla (randomizasyon) sağlanmaya çalışılır.

Sabit etkili modelde (Model I), faktörlerin düzeyleri araştırmacı tarafından belirli kriterlere göre seçilir ve analizden elde edilen çıkarımlar sadece bu düzeyler için geçerlidir.

Her bir hücrede sadece bir gözlemin bulunduğu (

n=1

) veri yapısında, faktörler arası etkileşim (interaksiyon) etkisi hata teriminden bağımsız olarak her zaman test edilebilir.

İki faktörün ortak etkisini temsil eden etkileşim teriminin anlamlılığını test edebilmek için veri yapısında hücre başına birden fazla gözlem (

n > 1

) bulunması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir hücrede sadece bir gözlemin bulunduğu ( $n=1$ ) veri yapısında, faktörler arası etkileşim (interaksiyon) etkisi hata teriminden bağımsız olarak her zaman test edilebilir.

Cevap

Her bir hücrede sadece bir gözlemin bulunduğu (

n=1

) veri yapısında, etkileşim etkisinin hata teriminden bağımsız olarak test edilebileceğini öne süren ifade yanlıştır.

İki yönlü varyans analizinde, her bir hücrede sadece bir gözlem (

n=1

) varsa, etkileşim karesel toplamı ile hata karesel toplamı birbirine karışır. Bu durumda modelde etkileşim olmadığı (toplanabilirlik varsayımı) kabul edilerek sadece ana etkiler test edilebilir. Etkileşimi test etmek için mutlaka

n > 1

olması gerekir; çünkü hata terimi için serbestlik derecesi ancak bu durumda oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü ANOVA'da hata serbestlik derecesi formülünü hatırla.

sd_{hata} = a \times b \times (n - 1)

veya etkileşimli modelde

(a - 1)(b - 1)(n - 1)

Hata paydasının hesaplanabilir olması için serbestlik derecesinin en az 1 olması gerekir.

2

n = 1

durumunu formülde yerine koy.

sd_{hata} = (a - 1)(b - 1)(1 - 1) = 0

Hücre başına tek gözlem yapıldığında hata terimi için serbestlik derecesi kalmaz.

3

Etkileşim ve hata terimi arasındaki ilişkiyi analiz et.

Etkileşim etkisi hata terimi ile birbirine karışır (confounding).

Ayrı bir hata tahmini yapılamadığı için etkileşimin anlamlılığı F-testi ile sınanamaz.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da etkileşim etkisinin test edilebilmesi için hücre içi tekrarlara (

n > 1

) ihtiyaç duyulur; aksi halde etkileşim ve hata terimleri birbirinden ayrıştırılamaz.

Alternatif Yöntem

Eğer

n=1

ise ve yine de bir tür etkileşim testi yapılmak isteniyorsa, 'Tukey'in Toplanabilirlik Testi' (Tukey's Test for Additivity) kullanılarak etkileşimin belirli bir formunun (çarpımsal) varlığı araştırılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir kalite mühendisi, polimer bazlı bir malzemenin çekme mukavemetini optimize etmek istemektedir. Bu amaçla üretim sürecindeki 'Katalizör Tipi'ni ve 'Fırın Sıcaklığı'nı birer bağımsız değişken olarak ele aldığı iki faktörlü tamamen rastgele bir deney kurgulamıştır. Mühendis, deneyinde kullanacağı spesifik üç katalizör tipini ve belirli iki fırın sıcaklığını kendi uzmanlığına dayanarak özel olarak seçmiş ve elde ettiği ölçümleri iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile modellemiştir.

İki yönlü ANOVA modelinin temel kavramları ve kurulan bu yapısal model (sabit etkili model) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Bu sabit etkili modelde, her bir faktörün ana etkilerinin kendi düzeyleri üzerindeki toplamı sıfırdır ve faktörlerin etkileşim terimlerinin herhangi bir satır veya sütun üzerindeki toplamı da sıfıra eşittir.

Mühendis faktör düzeylerini bilinçli ve özel olarak seçtiği için, elde edilen analiz sonuçları bu faktörlerin deneyde kullanılmayan diğer tüm popülasyon seviyelerine doğrudan genellenebilir.

Katalizör tipi ile fırın sıcaklığı arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı çıkması, bu iki faktörün çekme mukavemeti üzerinde birbirinden tamamen bağımsız ve eklenebilir (additive) etkilere sahip olduğunu gösterir.

Kurgulanan bu deney tasarımında 'katalizör tipi' ve 'fırın sıcaklığı' deneyin düzeylerini temsil ederken; kullanılan spesifik üç katalizör ve iki farklı sıcaklık derecesi deneyin faktörlerini ifade eder.

Ölçüm yapılacak deneme birimlerinin katalizör ve sıcaklık kombinasyonlarına tarafsızca atanması olan rastgelelik ilkesi, deneysel hatayı ölçmek için yapılan hücre içi çoklu gözlem (tekrarlama) işlemi ile aynı amaca hizmet eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu sabit etkili modelde, her bir faktörün ana etkilerinin kendi düzeyleri üzerindeki toplamı sıfırdır ve faktörlerin etkileşim terimlerinin herhangi bir satır veya sütun üzerindeki toplamı da sıfıra eşittir.

Cevap

Sabit etkili iki yönlü ANOVA modelinde ana etkilerin ve etkileşim etkilerinin ilgili boyutlardaki (satır ve sütun) toplamlarının sıfır olması matematiksel bir gerekliliktir.

İki yönlü sabit etkili varyans analizi modelinde

y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}

denklemi kullanılır. Bu modelde parametrelerin benzersiz (unique) olarak tahmin edilebilmesi için belirli kısıtlar getirilmesi matematiksel bir zorunluluktur. Sabit etkili model varsayımı gereği, faktörlerin ana etkilerinin toplamı sıfırdır (

\sum_{i=1}^{a} \tau_i = 0

ve

\sum_{j=1}^{b} \beta_j = 0

). Aynı zamanda, faktörlerin ortaklaşa etkisini gösteren etkileşim terimlerinin (

\tau\beta_{ij}

) herhangi bir satır üzerinden toplamı ve herhangi bir sütun üzerinden toplamı sıfıra eşittir. Bu nedenle ana etkilerin ve etkileşim etkilerinin toplamlarının sıfır olduğunu belirten ifade teorik olarak tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın yapısını ve modelin niteliğini belirleme.

Araştırmacının düzeyleri özel olarak seçmesi sebebiyle model 'sabit etkili model' (fixed-effects model) olarak tanımlanır.

Varyans analizi modelleri, faktör düzeylerinin seçimine göre sabit veya tesadüfi olarak adlandırılır.

2

Sabit etkili modelin matematiksel kısıtlarını (parametre kısıtları) inceleme.

İki yönlü ANOVA denkleminde parametrelerin tahmin edilebilmesi için

\Sigma \tau_i = 0

,

\Sigma \beta_j = 0

ve etkileşim terimleri için

\Sigma_i (\tau\beta)_{ij} = 0

,

\Sigma_j (\tau\beta)_{ij} = 0

varsayımları geçerlidir.

Aşırı parametrelendirilmiş (overparameterized) modelin çözümünü benzersiz (unique) kılmak için kısıt konulması zorunludur.

3

Seçeneklerdeki kavramsal iddiaları temel istatistik teorisiyle kıyaslama.

Sabit modellerin genellenememesi, etkileşimin bağımlılık anlamı taşıması, faktör/düzey ayrımı ve tekrarlama/rastgelelik farkı gibi temel kavramlardan hareketle hatalı seçenekler elenir.

Çeldirici seçeneklerde istatistiksel terminolojinin ve model varsayımlarının bilinçli olarak yanlış kullanılmış olmasıdır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA Sabit Etkili Model Kısıtları ve Temel Kavramlar

Soru 51Soru →

Bir yapı denetim laboratuvarında, üç farklı beton bileşeni ( $A$ faktörü) ve iki farklı döküm tekniği ( $B$ faktörü) kullanılarak üretilen numunelerin dayanıklılık puanları test edilmektedir. Deney tasarımında her bir hücre (bileşen ve teknik kombinasyonu) için 4 adet bağımsız gözlem yapılmıştır. Elde edilen veriler üzerinde yapılan iki yönlü varyans analizi sonucunda, faktörlerin etkileşimine ait kareler toplamı ( $SS_{AB}$ ) $120$ ve hata kareler toplamı ( $SS_E$ ) $360$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, beton bileşeni ile döküm tekniği arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ istatistiği değeri kaçtır?

1,0

2,0

3,0

4,0

6,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,0

Cevap

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisi için hesaplanan F istatistiği değeri 3,0'dır.

Verilen bilgilere göre

a=3

,

b=2

ve

n=4

değerleri kullanılarak etkileşim serbestlik derecesi

(3-1)(2-1)=2

olarak bulunur. Hata serbestlik derecesi ise

3 \times 2 \times (4-1) = 18

olarak hesaplanır. Kareler ortalamaları sırasıyla

120/2=60

ve

360/18=20

olup, bunların oranı olan

60/20=3,0

değeri etkileşim etkisine ait

F

istatistiğini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirleyin

df_{AB} = 2

ve

df_E = 18

Etkileşim serbestlik derecesi

df_{AB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(2-1) = 2 \times 1 = 2

ve hata serbestlik derecesi

df_E = ab(n-1) = 3 \times 2 \times (4-1) = 6 \times 3 = 18

formülleriyle hesaplanır.

2

Kareler ortalamalarını hesaplayın

MS_{AB} = 60

ve

MS_E = 20

MS_{AB} = SS_{AB} / df_{AB} = 120 / 2 = 60

ve

MS_E = SS_E / df_E = 360 / 18 = 20

işlemlerinden bulunur.

3

F istatistiğini hesaplayın

F = 3,0

Etkileşim etkisi için

F = MS_{AB} / MS_E = 60 / 20 = 3,0

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hücre başına çok gözlemli (tekrarlı) iki yönlü ANOVA modelinde etkileşim terimi ve hata terimi için serbestlik derecelerinin doğru belirlenmesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

Bir araştırmacı tarafından yürütülen iki faktörlü bir deneyde, $A$ faktörünün düzeyleri belirli kriterlere göre araştırmacı tarafından seçilmiş (sabitlenmiş); $B$ faktörünün düzeyleri ise ilgili geniş bir ana kütleden tesadüfi örnekleme yoluyla belirlenmiştir. Bu deneysel yapıya dayalı olarak kurulan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) modeli ve bu modeldeki bileşenlerin istatistiksel doğası hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bu yapı bir karma modeldir (Model III) ve etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

bir tesadüfi değişken olarak kabul edilir.

Bu bir sabit etkili modeldir (Model I) ve etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

tahmin edilmesi gereken sabit bir parametredir.

Bu bir tesadüfi etkili modeldir (Model II) ve modeldeki tüm ana etkiler tesadüfi değişkenlerdir.

Bu bir karma modeldir (Model III) ve etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

sadece sabit etkili faktörün düzeylerine bağlı sabit bir parametredir.

Bu bir rastgele blok tasarımıdır ve blok etkileri ile ana etkiler arasında etkileşim olmadığı varsayılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu yapı bir karma modeldir (Model III) ve etkileşim terimi $(\alpha\beta)_{ij}$ bir tesadüfi değişken olarak kabul edilir.

Cevap

Denenen faktörlerden birinin düzeyleri sabit, diğerinin düzeyleri tesadüfi olarak seçildiğinde model 'Karma Model' (Model III) olarak adlandırılır ve bu modelde etkileşim terimi tesadüfi bir değişken olarak kabul edilir.

İstatistikte eğer bir deneyde düzeyleri araştırmacı tarafından özellikle belirlenen bir faktör ile düzeyleri bir popülasyondan rastgele çekilen bir diğer faktör aynı anda inceleniyorsa, bu yapı 'Karma Model' olarak tanımlanır. Bu modelde, tesadüfi faktörün varlığı nedeniyle faktörler arası etkileşim terimi de tesadüfi bir değişken (random variable) karakteri taşır.

Adım Adım Çözüm

1

Faktör türlerini belirle

A

faktörü sabit (fixed),

B

faktörü tesadüfi (random) etkili bir faktördür.

Modelin tipini tayin etmek için faktörlerin nasıl seçildiği incelenmelidir.

2

Model tipini sınıflandır

Bir sabit ve bir tesadüfi faktörün birleşimi 'Karma Model' (Mixed Model / Model III) yapısını oluşturur.

İstatistiksel literatürde karma model tanımı bu yapıya dayanır.

3

Etkileşim teriminin doğasını analiz et

Karma modellerde, etkileşim terimi

(\alpha\beta)_{ij}

en az bir tesadüfi bileşen içerdiği için bir tesadüfi değişken olarak varsayılır ve varyansı

\sigma_{\alpha\beta}^2

ile ifade edilir.

Tesadüfi bir faktörle etkileşime giren herhangi bir etki, sonuç varyansına tesadüfi bir katkı yapar.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA Model Tipleri (Sabit, Tesadüfi ve Karma Modeller)

Daha Fazla Pratik

Karma modellerde F test istatistiği hesaplanırken paydadaki kareler ortalamasının seçiminde Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) kurallarının nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 53Soru →

Bir kamu kurumunun verimlilik analizinde, iki farklı teknolojik altyapı ( $A$ faktörü, 2 düzey) ve üç farklı çalışma modelinin ( $B$ faktörü, 3 düzey) personel performans puanları üzerindeki etkileri incelenmektedir. Kısıtlı zaman nedeniyle her bir (altyapı, çalışma modeli) kombinasyonu için yalnızca birer personelden veri toplanabilmiş ve her hücrede tek gözlem ( $n=1$ ) içeren bir veri yapısı oluşturulmuştur.

Bu veri yapısına uygulanan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) modeli ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hücre başına tek gözlem yapıldığı durumlarda, faktörler arası etkileşim etkisi hata terimiyle karıştığı için etkileşim terimi istatistiksel olarak test edilemez.

Hücre başına tek gözlem yapılması, modelin hata serbestlik derecesini artırarak ana etkilerin test edilmesinde kullanılan F istatistiğinin gücünü yükseltir.

Bu veri yapısında etkileşim etkisini test edebilmek için varyansların homojenliği varsayımının ihlal edilmiş olması bir ön şarttır.

Her hücrede tek gözlem bulunması, bu modelin istatistiksel olarak mutlaka 'Tesadüfi Etkili Model' (Model II) olarak tanımlanmasını zorunlu kılar.

Tek gözlemli modellerde hataların normal dağılması varsayımı, gözlemlerin bağımsızlığı varsayımından daha az kritiktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücre başına tek gözlem yapıldığı durumlarda, faktörler arası etkileşim etkisi hata terimiyle karıştığı için etkileşim terimi istatistiksel olarak test edilemez.

Cevap

Hücre başına tek gözlem yapıldığı durumlarda, faktörler arası etkileşim etkisi hata terimiyle karıştığı için etkileşim terimi istatistiksel olarak test edilemez.

Doğru ifadeye göre, iki yönlü ANOVA modelinde her hücrede sadece bir gözlem (

n=1

) bulunduğunda, etkileşim kareler toplamı ile hata kareler toplamı birbirine karışır. Bu durumda hata terimi için serbestlik derecesi kalmadığından (

df=0

), etkileşim etkisinin anlamlılığı test edilemez. Ana etkileri test edebilmek için araştırmacının 'faktörler arasında etkileşim yoktur' (toplanabilirlik - additivity) varsayımını kabul etmesi ve etkileşim terimini hata terimi olarak kullanması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının serbestlik derecelerini analiz etme

Toplam gözlem sayısı

N = a \times b \times n = 2 \times 3 \times 1 = 6

olur.

Her hücrede tek gözlem olması (

n=1

), toplam veri miktarını belirler.

2

Hata serbestlik derecesini (

sd_{hata}

) hesaplama

sd_{hata} = ab(n-1) = (2 \times 3)(1-1) = 0

bulunur.

Etkileşimli bir modelde hata teriminin hesaplanabilmesi için her hücrede birden fazla gözlem (

n > 1

) gereklidir.

3

Modelin test edilebilirliğini değerlendirme

Hata serbestlik derecesi

0

olduğu için etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

) hata kareler toplamı (

SS_{E}

) ile 'karışmış' (confounded) durumdadır.

İstatistiksel olarak bir etkinin test edilebilmesi için o etkinin varyansının, hata varyansına oranlanması gerekir; ancak paydada kullanılacak bir hata terimi kalmamıştır.

Anahtar Kavram

İki yönlü ANOVA'da tekrarlama (replication) gerekliliği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 54Soru →

Bir yerel yönetim araştırmasında, sunulan belediye hizmetlerinin kalitesi üzerinde "Hizmet Türü" ( $A$ faktörü) ve "İlçe Grubu" ( $B$ faktörü) değişkenlerinin etkisi incelenmiştir. İki yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinin uygulandığı bu çalışmada, kareler toplamlarının ayrıştırılması sonucunda aşağıdaki tablo elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Hizmet Türü ( $A$ )	$150$
İlçe Grubu ( $B$ )	$200$
Etkileşim ( $A \times B$ )	$?$
Hata ( $E$ )	$180$
Genel Toplam	$600$

Buna göre, belediye hizmetlerinin kalitesine yönelik bu analizde "Hizmet Türü $\times$ İlçe Grubu" etkileşimine ait kareler toplamı ( $SS_{AB}$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

70

120

180

250

530

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Etkileşim kareler toplamı (

SS_{AB}

) değeri 70 olarak hesaplanır.

İki yönlü varyans analizinde kareler toplamının toplanabilirlik özelliği gereği, genel kareler toplamı (

SST

); ana etkiler (

SSA

ve

SSB

), etkileşim etkisi (

SS_{AB}

) ve hata terimi (

SSE

) kareler toplamlarının toplamına eşittir (

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

). Bu denklemden yararlanarak

SS_{AB} = 600 - (150 + 200 + 180) = 70

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü varyans analizinde kareler toplamının toplanabilirlik özelliğini belirten formülü yazınız.

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Genel kareler toplamının (SST), modeldeki tüm varyans kaynaklarına (ana etkiler, etkileşim ve hata) ait kareler toplamlarının toplamına eşit olması temel bir varsayımdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyunuz.

600 = 150 + 200 + SS_{AB} + 180

Problemde verilen genel toplam (

SST

),

A

faktörü (

SSA

),

B

faktörü (

SSB

) ve hata (

SSE

) değerlerini kullanarak bilinmeyen etkileşim terimini yalnız bırakmak gerekir.

3

Etkileşim kareler toplamını (

SS_{AB}

) hesaplayınız.

SS_{AB} = 600 - (150 + 200 + 180) = 600 - 530 = 70

Toplama ve çıkarma işlemleri sonucunda etkileşim kaynağına düşen varyans miktarı belirlenir.

Anahtar Kavram

Varyans Analizinde Kareler Toplamının Ayrıştırılması ve Toplanabilirlik İlkesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 55Soru →

Bir yazılım mühendisi, 6 farklı test yazılımı ( $A$ faktörü) ve 3 farklı donanım konfigürasyonunun ( $B$ faktörü) uygulama çalışma süreleri üzerindeki etkilerini incelemektedir. Deney kısıtları nedeniyle her bir yazılım-donanım kombinasyonu için sadece birer ölçüm yapılabilmiş ( $n=1$ ) ve faktörler arasında etkileşim olmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu) varsayılmıştır. Faktörlerin tüm düzeyleri araştırmacı tarafından özel olarak seçilmiş sabit etkilere sahiptir. Yapılan analiz sonucunda aşağıdaki kareler toplamı değerleri elde edilmiştir:

- Toplam Kareler Toplamı ( $SST$ ): 140
- Yazılımlar Kareler Toplamı ( $SSA$ ): 60
- Donanımlar Kareler Toplamı ( $SSB$ ): 30

Buna göre, bu deneye ait varyans analizi (ANOVA) tablosunda hesaplanacak olan Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) değeri kaçtır?

2,94

5

7,14

10

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri 5 olarak hesaplanır.

Verilen değerlere göre önce Hata Kareler Toplamı (

SSE = 140 - 60 - 30 = 50

) bulunur. Ardından 6 düzeyli A faktörü ve 3 düzeyli B faktörü için hata serbestlik derecesi

(6-1) \times (3-1) = 10

olarak hesaplanır. Sonuç olarak

MSE = 50 / 10 = 5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamı'nın (

SSE

) hesaplanması

SSE = 140 - 60 - 30 = 50

Etkileşimsiz iki yönlü ANOVA modelinde toplam değişkenlik; ana etkiler ve hata bileşenlerinin toplamına eşittir (

SST = SSA + SSB + SSE

).

2

Hata Serbestlik Derecesi'nin (

df_{Error}

) hesaplanması

df_{Error} = (6 - 1) \times (3 - 1) = 5 \times 2 = 10

Hücre başına tek gözlemli tasarımlarda hata serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

formülü ile bulunur.

3

Hata Kareler Ortalaması'nın (

MSE

) bulunması

MSE = 50 / 10 = 5

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Hücre başına tek gözlemli (n=1) tasarımlarda etkileşim terimi hata terimiyle karıştığı için etkileşimin olmadığı varsayılır ve hata serbestlik derecesi (r-1)(c-1) olarak alınır.

Daha Fazla Pratik

Etkileşimin olup olmadığını test etmek için kullanılan 'Tukey Toplanabilirlik Testi' (Tukey Additivity Test) kavramını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 56Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığına bağlı bir araştırma istasyonunda, iki farklı gübre tipi ( $A$ faktörü) ve üç farklı sulama yönteminin ( $B$ faktörü) mısır verimi üzerindeki etkileri iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmek istenmektedir. Araştırmacı, kısıtlı imkanlar nedeniyle her bir gübre-sulama kombinasyonu (hücre) için sadece birer ( $n=1$ ) ölçüm alabilmiştir. İki yönlü ANOVA modelinin varsayımları ve bu veri yapısı göz önüne alındığında, analiz süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hücre başına tek gözlem yapılması, faktörler arasındaki etkileşim (

A \times B

) etkisinin bağımsız bir hata terimi kullanılarak test edilmesine olanak sağlar.

Hataların varyanslarının homojenliği varsayımı, sadece hücre başına birden fazla gözlem (

n > 1

) yapıldığında sağlanması gereken bir koşuldur.

Hücre başına tek gözlem olması durumunda, etkileşim kareler toplamı ile hata kareler toplamı birbirine karıştığı için modelde etkilerin toplanabilir olduğu varsayılmalıdır.

Sabit etkili model (Model I) varsayımı altında, faktör düzeyleri mevcut tüm olasılıklar arasından rastgele seçildiği için sonuçlar tüm evrene genellenebilir.

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması varsayımı, veriler normal dağılım göstermediği durumlarda veri dönüşümü yapılarak göz ardı edilebilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hücre başına tek gözlem olması durumunda, etkileşim kareler toplamı ile hata kareler toplamı birbirine karıştığı için modelde etkilerin toplanabilir olduğu varsayılmalıdır.

Cevap

Hücre başına tek gözlem olması durumunda, etkileşim kareler toplamı ile hata kareler toplamı birbirine karıştığı için modelde etkilerin toplanabilir olduğu varsayılmalıdır.

İki yönlü varyans analizinde her bir hücre için sadece bir gözlem (

n=1

) alındığında, toplam serbestlik derecesi tümüyle ana etkilere ve etkileşime dağılır, hata için serbestlik derecesi kalmaz (

sd_{hata} = 0

). Bu durumda 'etkileşim' ve 'hata' terimleri birbirine karıştığı için ana etkileri test edebilmek amacıyla faktörler arasında etkileşim olmadığı (etkilerin toplanabilir olduğu) varsayılır ve etkileşim kareler toplamı hata terimi olarak kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısındaki serbestlik derecelerini analiz etme

Toplam gözlem sayısı

N = a \times b \times n = 2 \times 3 \times 1 = 6

. Genel serbestlik derecesi

N-1 = 5

.

Serbestlik dereceleri, hangi etkilerin test edilebileceğini belirler.

2

Hata serbestlik derecesini hesaplama

Hata serbestlik derecesi

sd_{hata} = ab(n-1) = 6(1-1) = 0

.

Hata terimi için serbestlik derecesi kalmadığında standart F testi uygulanamaz.

3

Etkileşim ve hata arasındaki ilişkiyi değerlendirme

Etkileşim serbestlik derecesi

(a-1)(b-1) = 1 \times 2 = 2

. Ancak

n=1

olduğunda bu terim hata terimi ile karışır (

confounding

).

İstatistiki olarak anlamlı sonuçlar elde edebilmek için etkileşimin olmadığı kabul edilmelidir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Toplanabilirlik Varsayımı (

n=1

durumu)

Soru 57Soru →

Bir kamu kurumu, personelin hizmet içi eğitim sonrasındaki sınav başarı puanlarını ( $Y$ ) incelemektedir. Araştırmada "Eğitim Yöntemi" ( $A$ faktörü) ve "Mesleki Kıdem" ( $B$ faktörü) olmak üzere iki bağımsız değişkenin sınav performansı üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Bu amaçla kurulan tam (etkileşimli) iki yönlü varyans analizi (ANOVA) yapısal model denklemi aşağıda verilmiştir:

Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}

Buna göre, denklemde yer alan $(\alpha\beta)_{ij}$ bileşeninin istatistiksel tanımı ve işlevi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A

ve

B

faktörlerinin sınav başarı puanı üzerindeki bağımsız ana etkilerine ek olarak, bu iki faktörün belirli düzeylerinin bir araya gelmesiyle ortaya çıkan ortaklaşa etkiyi ifade eder.

Eğitim yöntemi ve mesleki kıdem faktörlerinin sınav başarı puanı üzerinde birbirlerinden tamamen bağımsız olarak yarattıkları temel (ana) etkilerin toplamını gösterir.

Modeldeki faktör düzeylerinin araştırmacı tarafından özel olarak seçilmediğini, yığından tamamen tesadüfi olarak çekildiğini gösteren şansa bağlı varyans unsurudur.

Deneydeki bağımsız değişkenler olan faktörler ile bu faktörlerin sahip olduğu kategorik düzeylerin modelde birbirinin yerine kullanılmasından kaynaklanan sistematik sapma miktarıdır.

Deneysel hatayı hesaplayabilmek amacıyla, her bir eğitim yöntemi ve kıdem kombinasyonuna rastgele atanan tekrar (gözlem) sayısını ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ faktörlerinin sınav başarı puanı üzerindeki bağımsız ana etkilerine ek olarak, bu iki faktörün belirli düzeylerinin bir araya gelmesiyle ortaya çıkan ortaklaşa etkiyi ifade eder.

Cevap

Doğru yanıt, bileşenin

A

ve

B

faktörlerinin bağımsız ana etkilerine ek olarak ortaya çıkan ortaklaşa etkiyi (etkileşim) ifade ettiğini belirten seçenektir.

Model denklemindeki

(\alpha\beta)_{ij}

terimi, istatistiksel terminolojide 'etkileşim' (interaksiyon) etkisini temsil eder. İki yönlü varyans analizinde etkileşim, bir bağımsız değişkenin (örneğin eğitim yöntemi) bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer bağımsız değişkenin (mesleki kıdem) düzeylerine göre farklılık göstermesidir. Bu terim, faktörlerin kendi başlarına yarattıkları ana etkilerden (

\alpha_i

ve

\beta_j

) tamamen arındırılmış, hücreye özgü ortaklaşa etkiyi ölçer.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü varyans analizi (ANOVA) model denkleminin bileşenlerini analiz et.

Denklemdeki

\mu

genel ortalamayı,

\alpha_i

birinci faktörün (A) ana etkisini,

\beta_j

ikinci faktörün (B) ana etkisini,

(\alpha\beta)_{ij}

etkileşim etkisini ve

\epsilon_{ijk}

ise rastgele hata terimini gösterir.

Soruda özel olarak

(\alpha\beta)_{ij}

teriminin tanımı sorulmaktadır.

2

Etkileşim (interaksiyon) kavramının istatistiksel tanımını değerlendir.

Etkileşim, bir faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer faktörün düzeylerine bağlı olarak değişmesi durumudur. Bu, faktörlerin basitçe toplanabilir ana etkilerinden arta kalan, kombinasyonlarına özgü etkidir.

Doğru seçeneği belirlemek için etkileşim etkisinin faktörlerin ana etkilerinden ayrıştırılması gerekir.

3

Seçenekleri bu bilgi doğrultusunda ele.

Ana etkilerin toplamını, tesadüfi model yapısını, hata/tekrar sayısını veya faktör/düzey karmaşasını ifade eden seçenekler elenir. Ortaklaşa (kombine) etkiyi tanımlayan seçenek doğru kabul edilir.

Sadece bir seçenek etkileşim teriminin matematiksel ve mantıksal karşılığını tam olarak vermektedir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA Model Denklemi ve Etkileşim Etkisi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 58Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin hizmet içi eğitim puanları üzerinde "Eğitim Yöntemi" ( $A$ faktörü) ve "Kadro Unvanı" ( $B$ faktörü) değişkenlerinin etkisi iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmektedir. Yapılan hesaplamalar sonucunda elde edilen bazı kareler toplamı değerleri şöyledir:

- Faktör A için kareler toplamı ( $SSA$ ): $50$
- Faktör B için kareler toplamı ( $SSB$ ): $30$
- Etkileşim için kareler toplamı ( $SSAB$ ): $25$
- Genel kareler toplamı ( $SST$ ): $160$

Buna göre, hata kareler toplamı ( $SSE$ ) kaçtır?

55

80

105

130

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Hata kareler toplamı (SSE) 55'tir.

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA) kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralına göre

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

eşitliği sağlanmalıdır. Soru kökünde verilen

SSA = 50

,

SSB = 30

,

SSAB = 25

ve

SST = 160

değerleri bu formülde yerine yazıldığında

160 = 50 + 30 + 25 + SSE

elde edilir. Toplama işlemleri yapıldığında

160 = 105 + SSE

olur ve buradan

SSE = 160 - 105 = 55

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kareler toplamı değerlerini formüle hazırlayın.

SSA = 50, SSB = 30, SSAB = 25, SST = 160

Hesaplama için gerekli olan bileşenlerin doğru tanımlanması gerekir.

2

İki yönlü varyans analizinde toplam varyasyonun ayrıştırılması formülünü uygulayın.

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Genel kareler toplamının, ana etkiler, etkileşim ve hata bileşenlerinin toplamına eşit olması temel bir kuraldır.

3

Bilinmeyen hata kareler toplamını (SSE) bulmak için bilinen değerleri genel toplamdan çıkarın.

SSE = 160 - (50 + 30 + 25) = 160 - 105 = 55

Toplanabilirlik kuralı gereği hata payı, toplam varyasyondan açıklanan varyasyon çıkarılarak bulunur.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının Toplanabilirliği

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Bir ulaştırma uzmanı, iki farklı yol yüzey tipi ( $A$ faktörü) ve üç farklı trafik yoğunluğunun ( $B$ faktörü) asfalt aşınma miktarı üzerindeki etkilerini iki yönlü varyans analizi ile incelemektedir. Yapılan analiz sonucunda elde edilen kareler toplamı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Yol Yüzey Tipi ( $A$ )	$200$
Trafik Yoğunluğu ( $B$ )	$350$
Etkileşim ( $A \times B$ )	$?$
Hata ( $E$ )	$200$
Genel ( $T$ )	$850$

Buna göre, yol yüzey tipi ile trafik yoğunluğu arasındaki etkileşim kareler toplamı ( $SSAB$ ) kaçtır?

100

150

300

550

750

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $100$

Cevap

İki yönlü varyans analizinde genel kareler toplamı, tüm bileşenlerin toplamına eşittir. Bu bağıntıdan hareketle etkileşim kareler toplamı

100

olarak hesaplanır.

İki yönlü varyans analizinde toplam kareler toplamı (

SST

), ana etkiler (

SSA, SSB

), etkileşim (

SSAB

) ve hata (

SSE

) kareler toplamlarının toplamından oluşur. Verilen

SST=850

,

SSA=200

,

SSB=350

ve

SSE=200

değerleri toplandığında

750

etmekte,

850

değerine ulaşmak için gereken fark olan

100

ise etkileşim kareler toplamını vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü varyans analizinde kareler toplamı ayrıştırma formülünü yazınız.

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Genel değişkenliğin (SST), ana etkiler, etkileşim ve hata bileşenlerine nasıl dağıldığını belirlemek için.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyunuz.

850 = 200 + 350 + SSAB + 200

Bilinmeyen etkileşim kareler toplamını (

SSAB

) yalnız bırakmak için sayısal verileri yerleştirmek gerekir.

3

Eşitliği

SSAB

için çözünüz.

SSAB = 850 - 750 = 100

Genel toplamdan bilinen diğer üç bileşenin toplamı çıkarılarak aranan etkileşim etkisine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA) kareler toplamının toplanabilirlik (additivity) özelliği gereği, genel kareler toplamı (

SST

) her zaman alt bileşenlerinin (

SSA, SSB, SSAB, SSE

) toplamına eşittir.

Alternatif Yöntem

Tablo üzerinden ilerleyerek, tüm alt satırların toplamının en alttaki 'Genel' satırına eşit olması gerektiğini kontrol ederek hızlıca sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 60Soru →

Bir ziraat mühendisi, $4$ farklı mısır tohumu türü ile $3$ farklı sulama miktarının ürün verimi üzerindeki etkilerini incelemektedir. Arazi kısıtlılığı nedeniyle her bir tohum ve sulama kombinasyonu için yalnızca birer deneme parseli ayrılabilmiş ve veriler kaydedilmiştir.

Veri yapısı aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Tohum Türü	Sulama 1	Sulama 2	Sulama 3
Tohum A	$y_{11}$	$y_{12}$	$y_{13}$
Tohum B	$y_{21}$	$y_{22}$	$y_{23}$
Tohum C	$y_{31}$	$y_{32}$	$y_{33}$
Tohum D	$y_{41}$	$y_{42}$	$y_{43}$

Bu deney tasarımında, faktörler arasında etkileşim olmadığı varsayımı altında, hata (artık) terimine ait serbestlik derecesi kaçtır?

6

11

12

5

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Hata serbestlik derecesi 6'dır.

İki yönlü varyans analizinde her hücrede sadece bir gözlem (

n=1

) bulunması durumunda, hata serbestlik derecesi satır düzey sayısının bir eksiği ile sütun düzey sayısının bir eksiğinin çarpımına eşittir. Bu örnekte 4 tohum ve 3 sulama düzeyi bulunduğundan,

(4-1) \times (3-1) = 3 \times 2 = 6

sonucu doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Deneydeki faktörlerin düzey sayılarını (

r

ve

c

) belirleyin.

r = 4

(tohum türü) ve

c = 3

(sulama miktarı).

Varyans analizi tablosunda serbestlik derecelerini hesaplamak için her bir faktörün düzey sayısı bilinmelidir.

2

Hücre başına tek gözlemli (etkileşimsiz) iki yönlü ANOVA için hata serbestlik derecesi formülünü hatırlayın.

sd_{hata} = (r - 1) \times (c - 1)

Bu tasarımda etkileşim terimi tahmin edilemez ve etkileşim payı hata terimiyle birleştiği için bu formül kullanılır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

sd_{hata} = (4 - 1) \times (3 - 1) = 3 \times 2 = 6

Nihai hata serbestlik derecesini bulmak için çarpma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İki yönlü varyans analizinde hücre başına tek gözlem (n=1) yapıldığında, etkileşim etkisi hata terimine karışır ve hata serbestlik derecesi

(r-1)(c-1)

olur.

Daha Fazla Pratik

Etkileşim varsayımının kontrolü için kullanılan 'Tukey Toplanabilirlik Testi' konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam serbestlik derecesinden (

N-1=11

), satır serbestlik derecesini (

r-1=3

) ve sütun serbestlik derecesini (

c-1=2

) çıkararak da aynı sonuca ulaşılabilir:

11 - 3 - 2 = 6

.

Tahmini Süre:45s

İki Yönlü Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm