İki Yönlü Varyans Analizi

Bir çevre mühendisi, bir nehirdeki kirlilik seviyesini düşürmek amacıyla $4$ farklı "Kimyasal Arıtıcı" (A faktörü) ile $5$ farklı "Filtreleme Sistemi"nin (B faktörü) etkinliğini inceleyen iki yönlü bir deney tasarlamıştır. Zaman ve maliyet kısıtları nedeniyle, her bir kimyasal arıtıcı ve filtreleme sistemi kombinasyonu için yalnızca bir ölçüm (hücre başına tek gözlem, $n=1$) yapılabilmiştir.

Mühendis, belirli kimyasal arıtıcıların sadece belirli filtreleme sistemleriyle birleştiğinde beklenenden çok daha yüksek bir arıtma performansı gösterdiğinden (faktörler arası güçlü bir etkileşim olduğundan) şüphelenmektedir. Ancak verileri analiz ederken mecburen etkileşimsiz (toplanabilir) iki yönlü ANOVA modeli kullanmıştır.

Bu tasarımda, şüphelenilen güçlü etkileşim etkisinin model üzerindeki istatistiksel sonucu ve mühendisin ana etki testlerine geçmeden önce bu durumu tespit edebilmek için kullanması gereken uygun istatistiksel yöntem aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bir tarım araştırmacısı, yeni geliştirilen bir tohum türünün verimi üzerinde "Gübre Çeşidi" (A faktörü, 3 düzey) ve "Sulama Sıklığı" (B faktörü, 4 düzey) faktörlerinin etkilerini incelemek istemektedir. Deney, her bir faktör kombinasyonunda (hücrede) rastgele seçilen 5 farklı tarım parselinde tam tekrarlı olarak yürütülmüştür.

İki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Gübre Çeşidi $\times$ Sulama Sıklığı etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu ($p < 0,05$) tespit edilmiştir.

Buna göre, analizdeki etkileşim kaynağının serbestlik derecesi ve araştırmacının bu aşamadan sonra ana etkiler için yapması gereken en uygun yorum aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Bir araştırmacı, sıcaklık ($A$ faktörü) ve basınç ($B$ faktörü) olmak üzere iki faktörün bir kimyasal reaksiyonun verimi üzerindeki etkisini incelemek üzere iki yönlü bir deney tasarlamıştır. Her faktörün üç farklı düzeyi belirlenmiş ve toplam 9 farklı düzey kombinasyonunun (hücrenin) her birinde yalnızca birer kez ($n=1$) ölçüm yapılarak deney tamamlanmıştır. Hata terimlerinin normal dağıldığı, birbirinden bağımsız olduğu ve varyansların homojen olduğu varsayımlarının karşılandığı bilinmektedir.

Buna göre, bu veri yapısıyla kurulacak iki yönlü varyans analizi (ANOVA) modeli için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

İki yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinde, A ve B faktörlerinin yanıt değişkeni üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla hücre başına çoklu gözlem ($n > 1$) içeren tam model ($Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$) kurulmuştur.

Bu modelde yer alan etkileşim terimi $(\alpha\beta)_{ij}$ ve bu terimin istatistiksel yorumlanmasına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

Bir ziraat mühendisi, buğday verimi (ton/hektar) üzerinde iki farklı "Gübre Çeşidi" (A faktörü) ile üç farklı "Sulama Yöntemi"nin (B faktörü) etkisini incelemek amacıyla hücre başına 4 tekrarlı (gözlemli) iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda, Gübre Çeşidi $\times$ Sulama Yöntemi etkileşim etkisinin (interaction effect) istatistiksel olarak anlamlı olduğu (%5 anlamlılık düzeyinde) tespit edilmiştir.

Bu deneyin sonuçlarıyla ilgili olarak iki yönlü varyans analizi modeli çerçevesinde aşağıdaki yorumlardan hangisi istatistiksel açıdan en doğrudur?

İki faktörlü (A ve B), hücre başına eşit gözlem sayısına ($n=3$) sahip tam şansa bağlı bir varyans analizi tasarımında; A faktörü 3 ($a=3$), B faktörü ise 4 ($b=4$) seviyelidir.

Araştırma sonucunda elde edilen verilere ait bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:
- Genel toplam: $T_{...} = 360$
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı: $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 \sum_{k=1}^3 Y_{ijk}^2 = 5000$
- A faktörü seviye toplamlarının kareleri toplamı: $\sum_{i=1}^3 T_{i..}^2 = 45600$
- B faktörü seviye toplamlarının kareleri toplamı: $\sum_{j=1}^4 T_{.j.}^2 = 35100$
- Hücre (alt grup) toplamlarının kareleri toplamı: $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 T_{ij.}^2 = 13500$

Buna göre, A ve B faktörleri arasındaki **etkileşim kareler toplamı ($KT_{AB}$)** aşağıdakilerden hangisidir?

Bir ziraat mühendisi, 4 farklı gübre türü (A faktörü) ve 3 farklı sulama yönteminin (B faktörü) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamıştır. Her bir gübre ve sulama kombinasyonu için tarlada rastgele seçilen 3 farklı parsele ekim yapılmıştır (hücre başına eşit gözlem).

Elde edilen verilere ilişkin bazı ara hesaplamalar aşağıda verilmiştir:
- Düzeltme terimi ($CF$) = $12000$
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı ($\sum\sum\sum Y_{ijk}^2$) = $14500$
- A faktörü düzey toplamlarının kareleri üzerinden hesaplanan düzeltilmemiş kareler toplamı ($\sum \frac{Y_{i..}^2}{bn}$) = $12800$
- B faktörü düzey toplamlarının kareleri üzerinden hesaplanan düzeltilmemiş kareler toplamı ($\sum \frac{Y_{.j.}^2}{an}$) = $12600$
- Gübre ve sulama kombinasyonlarına (hücrelere) ait alt toplamların kareleri üzerinden hesaplanan düzeltilmemiş kareler toplamı ($\sum\sum \frac{Y_{ij.}^2}{n}$) = $13800$

Buna göre, gübre ve sulama yönteminin ortaklaşa etkisini gösteren **etkileşim kareler toplamı ($SS_{AB}$) ile hata kareler toplamı ($SS_E$)** sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir endüstri mühendisi, üretilen bir polimerin dayanıklılığını optimize etmek amacıyla sıcaklık ($A$ faktörü, $3$ düzey) ve basınç ($B$ faktörü, $5$ düzey) değişkenlerini incelediği, iki yönlü (faktöriyel) tam şansa bağlı bir deney tasarlamıştır. Her bir sıcaklık ve basınç kombinasyonunda $2$ bağımsız ölçüm (tekrar) yapılmıştır.

Veri analizinden elde edilen bazı ara istatistikler aşağıda verilmiştir:
- Tüm gözlem değerlerinin genel toplamı: $Y_{...} = 120$
- Hücre toplamlarının kareleri toplamı: $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{5} Y_{ij.}^2 = 1600$
- Genel kareler toplamı: $SST = 450$
- $A$ faktörünün kareler ortalaması: $MS_A = 60$
- $B$ faktörünün kareler ortalaması: $MS_B = 25$
\Buna göre, bu deney tasarımına ait etkileşim kareler toplamı ($SS_{AB}$) ve hata kareler toplamı ($SSE$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, bir üretim sürecindeki bağımlı değişken üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki farklı faktörü (Faktör X ve Faktör Y) ele alan tam çaprazlanmış (fully crossed) bir deney tasarlamıştır. Faktör X'in $4$, Faktör Y'nin ise $3$ düzeyi bulunmaktadır. Maliyet ve zaman kısıtları nedeniyle araştırmacı, her bir faktör kombinasyonunda (hücrede) yalnızca bir adet gözlem değeri ($n=1$) elde edebilmiştir.

Buna göre, araştırmacının kuracağı iki yönlü varyans analizi (ANOVA) modeli ve analizin işleyişi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu yönetimi uzmanı, $3$ farklı hizmet içi eğitim programının ($A$ faktörü) ve $4$ farklı prim sisteminin ($B$ faktörü) memurların performans puanları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tasarlamıştır. Her bir eğitim-prim kombinasyonu için $5$ personelden ($n=5$) ölçüm alınmıştır.

Analiz sürecinde aşağıdaki istatistikler elde edilmiştir:
- Düzeltme terimi ($CF$) = $8000$
- Tüm gözlem değerlerinin kareleri toplamı ($\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}\sum\limits_{k=1}^{n} Y_{ijk}^2$) = $10500$
- Hücre (alt grup) toplamlarının kareleri üzerinden hesaplanan düzeltilmemiş toplam ($\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b} \frac{Y_{ij.}^2}{n}$) = $9600$
- Eğitim programı ana etkisi kareler toplamı ($SSA$) = $600$
- Prim sistemi ana etkisi kareler toplamı ($SSB$) = $700$

Buna göre, bu deney tasarımı için etkileşim kareler toplamı ($SSAB$) ve hata kareler toplamı ($SSE$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu, çalışanlarının performans puanları üzerinde "Çalışma Sistemi" ($A$ faktörü: Esnek, Hibrit, Sabit olmak üzere $3$ düzey) ve "Hizmet İçi Eğitim Süresi" ($B$ faktörü: Kısa, Orta, Uzun, Çok Uzun olmak üzere $4$ düzey) faktörlerinin etkisini incelemek amacıyla hücre başına çok gözlemli iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Her bir hücre (Çalışma Sistemi - Eğitim Süresi kombinasyonu) için rastgele seçilen $n=5$ çalışanın performans puanı kaydedilmiştir.

Yapılan analiz sonucunda etkileşim etkisine ($A \times B$) ait test istatistiği $F_{hesap} = 5.12$ bulunmuş ve bu etkinin $\alpha = 0.05$ düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna varılmıştır.

Buna göre, araştırmanın serbestlik dereceleri ve analiz sonucunun yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırmacı, iki farklı öğretim yönteminin (Yöntem A ve Yöntem B) ve öğrencilerin cinsiyetinin (Kız ve Erkek) istatistik dersindeki başarı puanları üzerindeki etkisini incelemek için iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bu araştırmanın sonuçları ve iki yönlü varyans analizi (ANOVA) kavramları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Bir araştırmacı, $a$ düzeyli $A$ faktörü ile $b$ düzeyli $B$ faktörünün bağımlı değişken üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla, her hücrede $n$ ($n>1$) adet tekrarın (replikasyon) bulunduğu tam çaprazlanmış iki yönlü sabit etkili bir varyans analizi (ANOVA) modeli kurmuştur.

Deneyin sonucunda, $A$ faktörünün $i$. düzeyi ile $B$ faktörünün $j$. düzeyinin bir araya geldiği alt popülasyonun (hücrenin) kitle ortalaması $\mu_{ij}$ olarak ifade edilmiştir.

Buna göre, yapısal modelde yer alan etkileşim etkisinin ($(\alpha\beta)_{ij}$) matematiksel hesaplanışı ve kavramsal tanımı aşağıdakilerin hangisinde en doğru şekilde verilmiştir?

İki yönlü varyans analizinde, her bir faktör düzeyi kombinasyonunda (hücrede) yalnızca bir gözlemin bulunduğu deney tasarımları "hücre başına tek gözlemli tasarım" (etkileşimsiz model) olarak adlandırılır.

Bu tasarım ve istatistiksel modeli ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir araştırmacı, iki faktörlü (A ve B) ve hücre başına eşit sayıda gözlem içeren tam şansa bağlı bir varyans analizi tasarımı yürütmüştür. Araştırmada elde edilen veriler üzerinden aşağıdaki hesaplamalar yapılmıştır:

- Düzeltme faktörü ($DF$) = $8000$
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı ($\sum \sum \sum y_{ijk}^2$) = $9500$
- A faktörü kareler toplamı ($SSA$) = $350$
- B faktörü kareler toplamı ($SSB$) = $250$
- Hücre toplamları karelerinin hücredeki gözlem sayısına bölümüyle elde edilen toplam ($\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \frac{Y_{ij.}^2}{n}$) = $9100$

Buna göre, bu tasarımda modelin **hata kareler toplamı ($SSE$)** aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu, personel performansını değerlendirmek amacıyla eğitim düzeyi (A faktörü, $2$ düzey) ve çalışma düzeni (B faktörü, $4$ düzey) dikkate alınarak, hücre başına $5$ gözlem içeren iki yönlü bir varyans analizi yürütmüştür.

Analiz sonucunda elde edilen bazı değerler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir: