Aralık Tahmini Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Et ve Süt Kurumu (ESK) tarafından paketlenmiş kıyma ürünlerinin ağırlıklarındaki değişkenliği denetlemek amacıyla rastgele $11$ paket seçilmiştir. Yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı $s^2 = 8 \text{ gr}^2$ olarak hesaplanmıştır. Ağırlıkların normal dağılım gösterdiği varsayımı altında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

İstatistik / Kritik Değer	Değer
Örneklem Hacmi ( $n$ )	$11$
Örneklem Varyansı ( $s^2$ )	$8$
$\chi^2_{0,025; \ 10}$	$20,48$
$\chi^2_{0,975; \ 10}$	$3,25$

[3,91 \ ; \ 24,62]

house

[24,62 \ ; \ 3,91]

house

[4,30 \ ; \ 27,08]

house

[3,12 \ ; \ 19,70]

house

[3,91 \ ; \ 8,00]

house

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[3,91 \ ; \ 24,62]$ house

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı

[3,91 \ ; \ 24,62]

olarak bulunur.

Kitle varyansı için güven aralığı hesaplanırken serbestlik derecesi

n-1 = 10

olarak alınır. Formülde alt sınır için büyük Ki-kare değeri (

20,48

), üst sınır için ise küçük Ki-kare değeri (

3,25

) paydaya yerleştirilir.

\frac{80}{20,48} = 3,906

ve

\frac{80}{3,25} = 24,615

değerleri yuvarlandığında

[3,91 \ ; \ 24,62]

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini hesapla

sd = n - 1 = 11 - 1 = 10

Varyans için Ki-kare dağılımı

n-1

serbestlik derecesi ile tanımlanır.

2

Güven aralığı formülünü belirle

\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}

Varyansın güven aralığı, Ki-kare temelli pivot fonksiyonu kullanılarak oluşturulur.

3

Verilen değerleri formülde yerine koy

Alt Sınır:

\frac{10 \times 8}{20,48} \approx 3,91

; Üst Sınır:

\frac{10 \times 8}{3,25} \approx 24,62

Tablo değerleri ve örneklem istatistikleri kullanılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

dağılımı kullanılır.

Soru 82Soru →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, yeni tamamlanan bir otoyol projesinde araçların ortalama seyahat süresini ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Bu kapsamda rastgele seçilen $64$ aracın seyahat süreleri ölçülmüş ve örneklem ortalaması $\bar{x} = 80$ dakika olarak hesaplanmıştır. Otoyolun teknik özellikleri gereği seyahat sürelerinin normal dağıldığı ve kitle standart sapmasının $\sigma = 16$ dakika olduğu bilinmektedir. Buna göre, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(76,08; 83,92)

(48,64; 111,36)

(76,71; 83,29)

(79,51; 80,49)

(78,04; 81,96)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(76,08; 83,92)$

Cevap

Hesaplanan %95 güven aralığı

(76,08; 83,92)

dakikadır.

Verilen bilgilere göre

\bar{x} = 80

,

\sigma = 16

,

n = 64

ve

\%95

güven düzeyi için

Z_{0,025} = 1,96

değerleri formülde yerine konulduğunda

80 \pm 1,96(16/\sqrt{64}) = 80 \pm 3,92

işlemi sonucunda

(76,08; 83,92)

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Standart hatanın (

S_{\bar{x}}

) hesaplanması

S_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2

Örneklem ortalamasının yayılımını belirlemek için kitle standart sapması örneklem çapının kareköküne bölünmelidir.

2

Hata payının (Margin of Error) hesaplanması

Hata Payı = Z_{0,025} \times S_{\bar{x}} = 1,96 \times 2 = 3,92

Verilen güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hata çarpılarak ortalamadan sapma miktarı bulunur.

3

Güven aralığı sınırlarının belirlenmesi

Alt Sınır:

80 - 3,92 = 76,08

; Üst Sınır:

80 + 3,92 = 83,92

Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak güven aralığı oluşturulur.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı (

σ^2

) biliniyorsa veya örneklem çapı yeterince büyükse (

n \ge 30

), kitle ortalaması için güven aralığı

Z

dağılımı kullanılarak

\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

formülü ile hesaplanır.

Soru 83Soru →

Sivil Havacılık Genel Müdürlüğü (SHGM) tarafından bir havalimanındaki uçuş gecikme sürelerinin değişkenliğini incelemek amacıyla rastgele $11$ uçuş seçilmiştir. Yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı $S^2 = 10$ dakika $^2$ olarak hesaplanmıştır. Gecikme sürelerinin normal dağıldığı varsayımı altında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Serbestlik derecesi $10$ için $\chi^2_{0,05} = 18,31$ ve $\chi^2_{0,95} = 3,94$ olarak alınacaktır.)

[5,46 \ ; \ 25,38]

units

[25,38 \ ; \ 5,46]

units

[6,01 \ ; \ 27,92]

units

[0,55 \ ; \ 2,54]

units

[3,94 \ ; \ 18,31]

units

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[5,46 \ ; \ 25,38]$ units

Cevap

Gecikme sürelerinin kitle varyansı için %90 güven aralığı

[5,46 \ ; \ 25,38]

olarak bulunur.

Verilen

n=11

ve

S^2=10

değerleri ile

10

serbestlik derecesindeki Ki-kare kritik değerleri (

18,31

ve

3,94

) kullanıldığında; alt sınır

100/18,31 \approx 5,46

ve üst sınır

100/3,94 \approx 25,38

olarak hesaplanır. Bu sonuç doğru aralığı temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini belirle.

df = n - 1 = 11 - 1 = 10

Varyans için Ki-kare dağılımı

n-1

serbestlik derecesi ile kullanılır.

2

Güven aralığı formülünün pay kısmını hesapla.

(n - 1)S^2 = 10 \times 10 = 100

Ki-kare pivot değişkeninin payı

(n-1)S^2

ifadesidir.

3

Kritik değerleri formülde yerine koyarak sınırları hesapla.

Alt Sınır:

100 / 18,31 \approx 5,46

Üst Sınır:

100 / 3,94 \approx 25,38

Büyük kritik değer paydaya geldiğinde alt sınırı, küçük değer paydaya geldiğinde üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı,

(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}

dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Daha Fazla Pratik

Güven düzeyinin %90'dan %95'e çıkarılması durumunda güven aralığının genişliğinin nasıl değişeceğini yorumlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 84Soru →

Bir devlet kütüphanesinde, hafta içi günlerde saat başına ödünç alınan ortalama kitap sayısını ( $\lambda$ ) tahmin etmek amacıyla $n=100$ saatlik rastgele bir gözlem yapılmıştır. Yapılan bu gözlemler sonucunda saatlik ortalama kitap sayısı $\bar{x}=25$ olarak hesaplanmıştır. Büyük örneklem teorisine göre, kitle ortalaması (Poisson parametresi $\lambda$ ) için %95 düzeyinde asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

[24,02 \ ; \ 25,98]

[24,01 \ ; \ 25,99]

[24,51 \ ; \ 25,49]

[15,20 \ ; \ 34,80]

[24,18 \ ; \ 25,82]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [24,02 \ ; \ 25,98]

Cevap

Kitap sayısının kitle ortalaması için %95 asimptotik güven aralığı

[24,02 \ ; \ 25,98]

olarak hesaplanır.

Verilen

n=100

değeri büyük örneklem şartını sağladığı için asimptotik güven aralığı normal dağılım yaklaşımıyla hesaplanır. Standart hata

\sqrt{25/100}=0,5

ve

z=1,96

kullanıldığında hata payı

0,98

olur. Bu değerin ortalamadan çıkarılmasıyla

24,02

, eklenmesiyle

25,98

sınırlarına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı için asimptotik güven aralığı formülünü belirleyin.

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{x}}{n}}

Büyük örneklemlerde Poisson parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi

(\bar{X})

, Merkezi Limit Teoremi gereği asimptotik olarak normal dağılım gösterir.

2

Verilen değerleri standart hata formülünde yerine koyun.

SE = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{0,25} = 0,5

Poisson dağılımında varyans parametreye eşit olduğu için standart hata

\sqrt{\lambda/n}

formülüyle tahmin edilir.

3

%95 güven düzeyi için hata payını (ME) hesaplayın.

ME = 1,96 \times 0,5 = 0,98

z_{0,025} = 1,96

kritik değeri ile standart hatanın çarpımı hata payını verir.

4

Alt ve üst güven sınırlarını hesaplayın.

25 \pm 0,98 \Rightarrow [24,02 \ ; \ 25,98]

Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak parametrenin bulunduğu aralık tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde (

n \geq 30

) Poisson parametresi olan

\lambda

için asimptotik güven aralığı, Merkezi Limit Teoremi uyarınca standart normal dağılım (

Z

) kullanılarak oluşturulur.

Soru 85Soru →

Bir kamu kurumunda personelin "e-tebligat" sistemine yönelik memnuniyetini ölçmek amacıyla rastgele seçilen bir grup üzerinde anket yapılmıştır. Elde edilen veriler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Parametre	Gözlem Değeri
Örneklem hacmi ( $n$ )	$100$
Memnun olduğunu belirten personel sayısı ( $x$ )	$64$

Buna göre, ilgili kurumdaki tüm personelin e-tebligat sisteminden memnuniyet oranı ( $p$ ) için oluşturulacak $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

[0,5459; \ 0,7341]

output text

[0,5610; \ 0,7190]

output text

[0,4832; \ 0,7968]

output text

[0,5920; \ 0,6880]

output text

[0,6355; \ 0,6445]

output text

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,5459; \ 0,7341]$ output text

Cevap

[0,5459; \ 0,7341]

aralığı kurumdaki personelin gerçek memnuniyet oranını

\%95

güvenle kapsayan aralıktır.

Doğru yanıt olan

[0,5459; \ 0,7341]

aralığı, örneklemden elde edilen

0,64

oranının, standart hata (

0,048

) ve

\%95

güven düzeyini temsil eden

1,96

katsayısının çarpımıyla elde edilen hata payı kadar genişletilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplayınız.

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{64}{100} = 0,64

Güven aralığı oluşturmak için öncelikle kitle oranının nokta tahmin edicisi olan örneklem oranı bulunur.

2

Tahminin standart hatasını (

S_{\hat{p}}

) hesaplayınız.

S_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,64 \times 0,36}{100}} = \sqrt{0,002304} = 0,048

Oran tahmininin değişkenliğini ölçmek için standart hata hesaplanır.

3

Hata payını (E) ve güven sınırlarını belirleyiniz.

E = Z_{\alpha/2} \times S_{\hat{p}} = 1,96 \times 0,048 = 0,09408

Alt Sınır:

0,64 - 0,09408 = 0,54592

Üst Sınır:

0,64 + 0,09408 = 0,73408

Belirlenen güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hata çarpılarak örneklem oranına eklenip çıkarılır.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde (

n \geq 30

) kitle oranı için güven aralığı, normal dağılım yaklaşımı kullanılarak

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1

Öncelikle personelin memnuniyet oranını (

\%64

) ondalıklı sayı olarak ifade edin.

2

Standart hatayı hesaplarken

\sqrt{\frac{0,64 \times 0,36}{100}}

işlemini yapmanız gerektiğini unutmayın.

3

Bulduğunuz standart hatayı

1,96

ile çarparak elde ettiğiniz değeri

\hat{p}

değerinden çıkarıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Örneklem büyüklüğü

4

katına çıksaydı (n=400), aynı örneklem oranı için güven aralığının genişliği nasıl değişirdi?

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Türkiye Şeker Fabrikaları A.Ş. (TÜRKŞEKER) tarafından bir bölgedeki şeker pancarlarının şeker oranlarındaki değişkenliği incelemek amacıyla rastgele $11$ pancar numunesi seçilmiştir. Yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı $s^2 = 5,12$ olarak hesaplanmıştır. Şeker oranlarının normal dağıldığı varsayımı altında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Tablo değerleri: $\chi^2_{0,025; 10} = 20,48$ ve $\chi^2_{0,975; 10} = 3,25$ )

[2,50 \ ; \ 15,75]

[15,75 \ ; \ 20,48]

[2,75 \ ; \ 17,33]

[3,25 \ ; \ 20,48]

[5,12 \ ; \ 10,00]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,50 \ ; \ 15,75]$

Cevap

[2,50 \ ; \ 15,75]

aralığı şeker pancarlarının kitle varyansı için

\%95

güven aralığını temsil eder.

Verilen

n=11

için serbestlik derecesi

10

olarak bulunur.

\%95

güven düzeyi için tablo değerleri

20,48

ve

3,25

kullanılarak

[(10 \times 5,12) / 20,48 ; (10 \times 5,12) / 3,25]

hesaplaması sonucunda

[2,50 ; 15,75]

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini belirleyin.

df = n - 1 = 11 - 1 = 10

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi

n-1

olarak alınır.

2

Güven aralığı formülünü uygulayın.

\left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} \ ; \ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

Varyans için güven aralığı sınırları, örneklem varyansının Ki-kare kritik değerlerine bölünmesiyle elde edilir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapın.

Alt sınır:

10 \times 5,12 / 20,48 = 51,2 / 20,48 = 2,50

. Üst sınır:

10 \times 5,12 / 3,25 = 51,2 / 3,25 = 15,753... \approx 15,75

.

Kitle varyansının en küçük ve en büyük tahmin sınırlarını bulmak için gerekli aritmetik işlemler gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken kullanılan Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı ve serbestlik derecesi kavramı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 87Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen bir projede, A ve B bölgelerinden rastgele seçilen 625'er işletme incelenmiştir. Yapılan inceleme sonucunda A bölgesindeki işletmelerin %20'sinin, B bölgesindeki işletmelerin ise %10'unun organik tarım sertifikasına sahip olduğu saptanmıştır. Buna göre, A ve B bölgelerindeki sertifikalı işletme oranları arasındaki fark ( $p_A - p_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,0608 \,;\, 0,1392)

(0,0500 \,;\, 0,1500)

(0,0671 \,;\, 0,1329)

(0,0804 \,;\, 0,1196)

(0,0571 \,;\, 0,1429)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,0608 \,;\, 0,1392)$

Cevap

İki kitle oranları farkı için %95 güven aralığı

(0,0608 \,;\, 0,1392)

olarak hesaplanır.

İki kitle oranı farkı için güven aralığı formülü

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot S_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}

şeklindedir. Verilen değerlerle yapılan hesaplamada nokta tahmini

0,10

ve standart hata

0,02

olarak bulunur. Bu değerler kritik değer olan

1,96

ile çarpıldığında hata payı

0,0392

elde edilir ve doğru aralığa ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını ve farkını belirleyiniz.

\hat{p}_A = 0,20

,

\hat{p}_B = 0,10

ve fark

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,10

.

Güven aralığının merkezini (nokta tahminini) oluşturmak için oranların farkı gereklidir.

2

Oranlar farkının standart hatasını hesaplayınız.

S_{\hat{p}_A - \hat{p}_B} = \sqrt{\frac{0,20 \times 0,80}{625} + \frac{0,10 \times 0,90}{625}} = \sqrt{\frac{0,16 + 0,09}{625}} = \sqrt{\frac{0,25}{625}} = \frac{0,5}{25} = 0,02

.

Güven aralığının genişliğini belirlemek için tahmin edicinin standart hatası hesaplanmalıdır.

3

Hata payını (

ME

) hesaplayarak güven sınırlarını oluşturunuz.

ME = 1,96 \times 0,02 = 0,0392

. Alt sınır:

0,10 - 0,0392 = 0,0608

; Üst sınır:

0,10 + 0,0392 = 0,1392

.

Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak aralık tahmini elde edilir.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle oranının farkı için normal dağılım yaklaşımıyla büyük örneklem güven aralığı oluşturulması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 88Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı tarafından bir sanayi bölgesindeki hava kalitesini denetlemek amacıyla havadaki partikül madde ( $PM_{10}$ ) miktarının değişkenliği incelenmektedir. Normal dağılım gösteren bir kitleden rastgele seçilen $26$ günlük ölçüm sonucunda örneklem varyansı $S^2 = 4$ olarak hesaplanmıştır. Kitlenin varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven aralığını oluşturmak üzere kullanılacak serbestlik derecesi ve Ki-kare ( $\chi^2$ ) tablo değerleri sırasıyla $sd = 25$ , $\chi^2_{0,025; 25} = 40,646$ ve $\chi^2_{0,975; 25} = 13,120$ olarak verilmiştir.

Buna göre, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[2,46 \ ; \ 7,62]

[7,62 \ ; \ 2,46]

[2,56 \ ; \ 7,93]

[2,36 \ ; \ 7,31]

[4,00 \ ; \ 7,62]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,46 \ ; \ 7,62]$

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı

[2,46 \ ; \ 7,62]

olarak bulunur.

Verilen bilgilere göre

n=26

ve

S^2=4

değerleri kullanılarak pay değeri

(26-1) \times 4 = 100

olarak bulunur. Formül gereği bu pay değeri, büyük Ki-kare değerine (

40,646

) bölünerek alt sınır olan

2,46

elde edilir. Aynı pay değeri küçük Ki-kare değerine (

13,120

) bölünerek üst sınır olan

7,62

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini belirle

sd = n - 1 = 26 - 1 = 25

Varyans için kullanılan Ki-kare pivot değişkeni

n-1

serbestlik derecesine sahiptir.

2

Güven aralığı formülünü uygula

Güven Aralığı =

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

Varyansın güven aralığı, Ki-kare dağılımının kritik değerlerinin paydada yer aldığı bu formülle hesaplanır.

3

Değerleri yerine koyarak sınırları hesapla

Alt Sınır:

100 / 40,646 \approx 2,46

; Üst Sınır:

100 / 13,120 \approx 7,62

Pay kısmında

(25 \times 4) = 100

değeri kullanılır; büyük Ki-kare değeri alt sınırı, küçük olan ise üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı hesaplanırken

(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}

pivot değişkeni kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi (

n

) arttığında güven aralığının genişliğinin nasıl değişeceğini yorumlayınız.

Tahmini Süre:50s

Soru 89Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı müfettişleri, bir ildeki küçük işletmelerin günlük ortalama gelirini ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla rastgele $100$ işletmeyi incelemiş ve örneklem ortalamasını $\bar{x} = 800$ TL olarak hesaplamıştır. Geçmiş verilerden hareketle kitle standart sapmasının $\sigma = 120$ TL olduğu bilinmektedir.

Buna göre, işletmelerin günlük ortalama geliri ( $\mu$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(776,48; 823,52)

(780,26; 819,74)

(769,04; 830,96)

(564,80; 1035,20)

(797,65; 802,35)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(776,48; 823,52)$

Cevap

İşletmelerin günlük ortalama geliri için %95 güven aralığı

(776,48; 823,52)

olarak hesaplanır.

Kitle standart sapması (

\sigma

) bilindiği ve örneklem hacmi büyük (

n \geq 30

) olduğu için

Z

tablosu değerleri kullanılır. Standart hata

12

TL olarak hesaplanır.

\%95

güven düzeyi için

1,96

kritik değeri ile bu standart hatanın çarpımı

23,52

TL hata payını verir. Örneklem ortalaması olan

800

TL değerine bu payın uygulanmasıyla elde edilen

(776,48; 823,52)

aralığı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin belirlenmesi

\bar{x} = 800

,

\sigma = 120

,

n = 100

,

1-\alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\alpha/2} = 1,96

Güven aralığı formülü için gerekli bileşenleri tanımlamak gerekir.

2

Standart hatanın hesaplanması

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{120}{\sqrt{100}} = \frac{120}{10} = 12

Kitle ortalaması için güven aralığı oluşturulurken örneklem ortalamasının değişkenliğini ölçmek için standart hata kullanılır.

3

Hata payının (marjın) hesaplanması

Hata P.\ = Z_{\alpha/2} \times \sigma_{\bar{x}} = 1,96 \times 12 = 23,52

Güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hatanın çarpımı, tahminin ne kadar sapabileceğini belirler.

4

Güven aralığı sınırlarının bulunması

Alt Sınır:

800 - 23,52 = 776,48

; Üst Sınır:

800 + 23,52 = 823,52

Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak parametrenin içinde kalması beklenen aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek kitle ortalaması için güven aralığı, kitle varyansı bilindiğinde ve örneklem yeterince büyük olduğunda standart normal dağılım (Z) kullanılarak oluşturulur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 90Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgedeki vatandaşların yeni bir dijital hizmetten memnuniyet oranlarını karşılaştırmaktadır. Yapılan bir araştırmada; A bölgesinde görüşülen $400$ kişiden $240$ 'ının, B bölgesinde görüşülen $400$ kişiden ise $160$ 'ının hizmetten memnun olduğu belirlenmiştir. Oranlar farkının ( $\hat{p}_A - \hat{p}_B$ ) tahmini standart hatası $0,035$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iki bölge arasındaki memnuniyet oranları farkı ( $\pi_A - \pi_B$ ) için % $95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 2$ alınız.)

(0,165 \,;\, 0,235)

(0,130 \,;\, 0,270)

(0,030 \,;\, 0,170)

(0,095 \,;\, 0,305)

(0,060 \,;\, 0,340)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,130 \,;\, 0,270)$

Cevap

Memnuniyet oranları farkı için %95 güven aralığı

(0,130 \,;\, 0,270)

şeklindedir.

Doğru cevap, örneklem oranları farkı olan

0,20

değerine, kritik değer (

z=2

) ile standart hatanın (

0,035

) çarpımı olan

0,07

hata payının eklenip çıkarılmasıyla elde edilen

(0,13 \,;\, 0,27)

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını hesaplayınız.

\hat{p}_A = \frac{240}{400} = 0,60

ve

\hat{p}_B = \frac{160}{400} = 0,40

Güven aralığının merkezini ve farkı belirlemek için örneklem oranlarına ihtiyaç vardır.

2

Oranlar farkını bulunuz.

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,60 - 0,40 = 0,20

Güven aralığının nokta tahmini iki oran arasındaki farktır.

3

Hata payını (Margin of Error) hesaplayınız.

Hata \, Payı = z_{\alpha/2} \times Standart \, Hata = 2 \times 0,035 = 0,070

Güven sınırlarını belirlemek için kritik değer ile standart hata çarpılır.

4

Güven sınırlarını oluşturunuz.

Alt Sınır:

0,20 - 0,07 = 0,13

; Üst Sınır:

0,20 + 0,07 = 0,27

Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle oranı arasındaki farkın güven aralığı, büyük örneklemler için normal dağılım yaklaşımı (

z

dağılımı) kullanılarak hesaplanır.

İpuçları

1

Önce A ve B grupları için memnuniyet oranlarını (başarı sayıları / toplam sayı) hesaplayarak başlayın.

2

Güven aralığı formülü:

(\hat{p}_A - \hat{p}_B) \pm (z \times Standart \, Hata)

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Standart hatanın verilmediği durumlarda, varyansların toplamının karekökü formülünü kullanarak standart hatayı kendiniz hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 91Soru →

Bir kamu kurumunda iki farklı departmanda ( $A$ ve $B$ ) görev yapan personelin günlük ortalama dosya sonuçlandırma sayıları karşılaştırılmaktadır. Yapılan incelemeler sonucunda, her iki popülasyonun varyansları bilinmekte olup elde edilen veriler aşağıda sunulmuştur:

Parametre	$A$ Departmanı	$B$ Departmanı
Örneklem Hacmi ( $n$ )	$100$	$100$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}$ )	$55$	$50$
Kitle Varyansı ( $\sigma^2$ )	$40$	$60$

Buna göre, iki departmanın günlük ortalama dosya sonuçlandırma sayıları arasındaki fark ( $\mu_A - \mu_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

[3,04; 6,96]

[3,35; 6,65]

[-14,60; 24,60]

[103,04; 106,96]

[4,04; 5,96]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[3,04; 6,96]$

Cevap

İki departman arasındaki ortalama farkı için %95 güven aralığı

[3,04; 6,96]

olarak bulunur.

Ortalamalar farkı

5

ve standart hata

\sqrt{40/100 + 60/100} = 1

olarak hesaplanır. %95 güven düzeyi için hata payı

1,96 \times 1 = 1,96

olduğundan, aralık

[5 - 1,96; 5 + 1,96]

yani

[3,04; 6,96]

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta tahminini (ortalamalar farkını) hesaplayınız.

\bar{x}_A - \bar{x}_B = 55 - 50 = 5

Güven aralığının merkezini belirlemek için iki örneklem ortalamasının farkı alınır.

2

Standart hatayı hesaplayınız.

\\sigma_{\\bar{x}_A - \\bar{x}_B} = \\sqrt{\\frac{\\sigma_A^2}{n_A} + \\frac{\\sigma_B^2}{n_B}} = \\sqrt{\\frac{40}{100} + \\frac{60}{100}} = \\sqrt{1} = 1

İki kitle ortalaması farkının dağılım varyansı, kitle varyanslarının örneklem hacimlerine oranlarının toplamıdır.

3

Hata payını (Margin of Error) hesaplayınız.

E = z_{\\alpha/2} \\times \\text{Standart Hata} = 1,96 \\times 1 = 1,96

%95 güven düzeyi için kritik

z

değeri ile standart hata çarpılır.

4

Güven aralığı sınırlarını belirleyiniz.

5 \\pm 1,96 \\Rightarrow [3,04; 6,96]

Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak aralık oluşturulur.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle ortalaması farkı için güven aralığı, kitle varyansları bilindiğinde standart normal dağılım (

z

) kullanılarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 92Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğünde (NVİ) yeni nesil kimlik kartı basım sürelerinin değişkenliğini ölçmek amacıyla yürütülen bir çalışmada, rastgele 16 işlem seçilmiştir. Bu işlemlerin tamamlanma sürelerine ilişkin örneklem varyansı $S^2 = 25$ dakika kare olarak hesaplanmıştır. İşlem sürelerinin normal dağılım gösterdiği varsayımı altında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için %90 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,05; \ 15} = 25,0$ ve $\chi^2_{0,95; \ 15} = 7,3$ olarak alınız.)

[15,0 \ ; \ 51,4]

Snippet

[16,0 \ ; \ 54,8]

[51,4 \ ; \ 15,0]

[7,3 \ ; \ 25,0]

[1,0 \ ; \ 3,4]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[15,0 \ ; \ 51,4]$ Snippet

Cevap

Kitle varyansı için %90 güven aralığı

[15,0 \ ; \ 51,4]

olarak hesaplanır.

Doğru cevap, kitle varyansı güven aralığı formülünde

(n-1)=15

serbestlik derecesinin ve örneklem varyansı

S^2=25

değerinin doğru Ki-kare kritik değerlerine bölünmesiyle elde edilen

[15,0 \ ; \ 51,4]

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin belirlenmesi

sd = n - 1 = 16 - 1 = 15

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken kullanılan Ki-kare dağılımının parametresi

n-1

serbestlik derecesidir.

2

Güven aralığı formülünün kurulması

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; \ n-1}} \ ; \ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; \ n-1}} \right]

%90 güven düzeyi için

\alpha = 0,10

olup, kuyruk olasılıkları

\alpha/2 = 0,05

ve

1-\alpha/2 = 0,95

olarak belirlenir.

3

Değerlerin yerine konulması ve hesaplama

Alt Sınır:

15 \times 25 / 25,0 = 15,0

; Üst Sınır:

15 \times 25 / 7,3 \approx 51,37

Pay kısmındaki

(n-1)S^2 = 15 \times 25 = 375

değeri, verilen tablo değerlerine bölünerek aralık sınırlarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Normal dağılım gösteren bir kitleden çekilen örneklem için kitle varyansının aralık tahmini,

(n-1)S^2 / \sigma^2

istatistiğinin

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı göstermesi esasına dayanır.

Daha Fazla Pratik

İki kitle varyansının oranına ilişkin güven aralıklarını (F dağılımı kullanarak) çalışarak karşılaştırma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 93Soru →

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma sahip bir kitleden $n$ birimlik bir rastgele örneklem seçmiştir. Kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) değerinin kesin olarak bilindiği varsayılırsa; kitle ortalaması $\mu$ için güven aralığı oluşturulurken başvurulan temel pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\bar{X}}{\mu}

\frac{\bar{X} + \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Cevap

Kitle varyansı bilindiğinde kitle ortalaması için kullanılan pivot fonksiyonu

(\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})

ifadesidir.

Ortalaması

\mu

ve varyansı

\sigma^2

olan normal dağılımdan alınan bir örneklem için, örneklem ortalamasından kitlenin beklenen değerinin çıkarılıp standart hataya (bilinen varyans üzerinden) bölündüğü ifade

N(0, 1)

dağılımına sahiptir. Bu dağılım bilinmeyen

\mu

parametresine bağlı olmadığı için bu ifade geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Pivot fonksiyonu tanımını gözden geçir.

Bir

Q(X, \theta)

fonksiyonunun dağılımı, bilinmeyen

\theta

parametresinden bağımsız ise bu fonksiyona pivot (eksen) fonksiyonu denir.

Pivot yönteminin temel gerekliliğini doğrulamak için.

2

Normal dağılımın özelliklerini ve bilinenleri analiz et.

Kitlenin

N(\mu, \sigma^2)

olduğu ve

\sigma^2

'nin bilindiği belirtilmiştir. Bu durumda örneklem ortalamasının dağılımı

\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)

olur.

Uygun istatistiksel dönüşümü belirlemek için.

3

Standartlaştırma işlemini uygula.

Z = (\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})

dönüşümü yapıldığında

Z \sim N(0, 1)

elde edilir.

Parametreden bağımsız bir dağılım elde etmek için.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonunun dağılımı parametreden bağımsız olmalıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 94Soru →

Kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma sahip bir ana kütleden $n$ hacimli bir rastgele örneklem çekilmiştir. Kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) bilindiği varsayımı altında, $\mu$ parametresine ilişkin güven aralığı hesaplanırken temel alınan ve dağılımı parametreden bağımsız olan pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X}}{\sigma / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Cevap

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

ifadesi doğru pivot fonksiyonudur.

Kitle varyansı bilindiğinde, örneklem ortalamasının standartlaştırılmasıyla elde edilen

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

ifadesi, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan bir standart normal dağılım izler. Bu dağılım

\mu

parametresine bağlı olmadığı için tanım gereği geçerli bir pivot fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamasının dağılımını belirle.

\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})

Normal dağılıma sahip bir kitleden alınan örneklemin ortalaması da normal dağılım gösterir.

2

Örneklem ortalamasını standartlaştır.

Z = \frac{\bar{X} - E(\bar{X})}{\sqrt{V(\bar{X})}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Bir normal değişkenin ortalamasını çıkarıp standart sapmasına bölmek, değişkeni standart normal dağılıma dönüştürür.

3

Sonucun parametreden bağımsızlığını kontrol et.

Z \sim N(0, 1)

Oluşturulan fonksiyon hem bilinmeyen parametreyi (

\mu

) içermekte hem de dağılımı bu parametreden bağımsız (0 ve 1 sabitlerine bağlı) olmaktadır.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonu, örneklem değerlerini ve tahmin edilmek istenen parametreyi içeren ancak olasılık dağılımı bu parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.

Soru 95Soru →

Bir kamu araştırma merkezinde, iki farklı sulama yönteminin (Yöntem $X$ ve Yöntem $Y$ ) buğday verimi üzerindeki etkileri incelenmektedir. Deney sonuçlarına ait veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Parametre	Yöntem $X$	Yöntem $Y$
Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	$100$	$100$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}$ )	$85$ kg	$80$ kg
Kitle Varyansı ( $\sigma^2$ )	$64$	$36$

Kitle varyanslarının bilindiği bu durumda, iki yöntem arasındaki ortalama verim farkı ( $\mu_X - \mu_Y$ ) için %99 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,005} = 2,58$ )

[2,42; 7,58]

[3,04; 6,96]

[-20,80; 30,80]

[4,00; 6,00]

[1,42; 8,58]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,42; 7,58]$

Cevap

İki kitle ortalaması farkı için %99 güven aralığı

[2,42; 7,58]

olarak bulunur.

İki örneklem ortalaması arasındaki fark

5

birimdir. Kitle varyansları bilindiği ve örneklem büyüklükleri

100

olduğu için standart hata

1

olarak hesaplanır. %99 güven düzeyi için verilen

z = 2,58

değeri ile hata payı

2,58 \times 1 = 2,58

olur. Bu durumda güven aralığı

[5 - 2,58; 5 + 2,58] = [2,42; 7,58]

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamaları farkını hesaplayın.

\bar{x}_X - \bar{x}_Y = 85 - 80 = 5

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için nokta tahmin edici kullanılır.

2

Kitle varyansları bilindiği için standart hatayı (

SE

) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} = \sqrt{\frac{64}{100} + \frac{36}{100}} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1

İki bağımsız kitle ortalaması farkının standart hatasını bulmak için kitle varyansları örneklem büyüklüklerine oranlanarak toplanır.

3

Güven aralığı sınırlarını %99 güven düzeyi için hesaplayın.

(\bar{x}_X - \bar{x}_Y) \pm z_{0,005} \times SE = 5 \pm 2,58 \times 1

Alt ve üst sınırları belirlemek için hata payı (margin of error) nokta tahminine eklenir ve çıkarılır.

4

Alt ve üst sınır değerlerini sonuçlandırın.

Alt Sınır:

5 - 2,58 = 2,42

; Üst Sınır:

5 + 2,58 = 7,58

Nihai aralık tahmini bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız iki kitle ortalaması farkı için kitle varyansları bilindiğinde Z-dağılımı kullanılarak güven aralığı oluşturulur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 96Soru →

Bir sigorta şirketinde, poliçe sahiplerinin ilk hasar talebinde bulunana kadar geçen ay sayısının, başarı olasılığı $\theta$ ( $0 < \theta < 1$ ) olan Geometrik dağılıma uyduğu modellenmektedir. Büyük bir $n$ hacimli rastgele örneklem için gözlem değerleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak elde edilmiştir.

Kitle olasılık fonksiyonu $P(X=x) = \theta(1-\theta)^{x-1}, \quad x=1,2,\dots$ olarak verildiğine göre; en çok olabilirlik (MLE) yöntemi ve Fisher bilgi miktarı kullanılarak $\theta$ parametresi için oluşturulacak $100(1-\alpha)\%$ asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $Z_{\alpha/2}$ ve $t_{n-1, \alpha/2}$ sırasıyla standart normal ve $n-1$ serbestlik dereceli Student-t dağılımının üst $\alpha/2$ kritik değerleridir.)

\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

\frac{1}{\bar{X}} \pm t_{n-1, \alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \left( \frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3} \right)

\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^2}}

\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\theta^2(1-\theta)}{n}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}$

Cevap

Doğru güven aralığı

\frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

ifadesini veren seçenektir.

Geometrik dağılımda

\theta

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE)

\hat{\theta} = 1/\bar{X}

'tir. Fisher bilgi miktarı yardımıyla MLE'nin asimptotik varyansı

Var(\hat{\theta}) = \frac{\theta^2(1-\theta)}{n}

olarak bulunur. Güven aralığı hesaplanırken varyans formülündeki

\theta

yerine

\hat{\theta}

konularak standart hata

\sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

şeklinde elde edilir. Büyük örneklem özelliği kullanıldığı için,

100(1-\alpha)\%

güven aralığı

\hat{\theta} \pm Z_{\alpha/2} \times SE(\hat{\theta})

formülü ile doğru şekilde kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yazarak

\theta

'nın en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) hesaplamak.

\ln L(\theta) = n \ln \theta + (n\bar{X} - n) \ln(1-\theta)

ifadesinin türevi sıfıra eşitlendiğinde

\hat{\theta} = \frac{1}{\bar{X}}

elde edilir.

Asimptotik güven aralığı MLE üzerine kurulur ve aralığın merkezinde

\hat{\theta}

yer almalıdır.

2

Tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını

I(\theta)

hesaplamak.

I(\theta) = -E\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln P(X=x)\right] = \frac{1}{\theta^2(1-\theta)}

olarak bulunur.

MLE'nin asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına, yani

\frac{1}{n I(\theta)}

değerine eşittir.

3

Asimptotik varyansı bularak, formüldeki bilinmeyen

\theta

yerine tutarlı tahmin edicisi

\hat{\theta}

'yı yazıp standart hatayı (SE) elde etmek.

Var(\hat{\theta}) \approx \frac{\theta^2(1-\theta)}{n}

. İfadede

\theta = 1/\bar{X}

yazıldığında

SE(\hat{\theta}) = \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

elde edilir.

Güven aralığı sınırları hesaplanırken bilinmeyen parametre yerine, Slutsky Teoremi gereği onun tahmin edicisi kullanılır.

4

Büyük örneklem asimptotik normallik özelliğini kullanarak güven aralığını son haline getirmek.

\hat{\theta} \pm Z_{\alpha/2} SE(\hat{\theta}) \implies \frac{1}{\bar{X}} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}-1}{n\bar{X}^3}}

sonucuna ulaşılır.

En çok olabilirlik tahmin edicileri büyük örneklemlerde asimptotik olarak normal dağılıma yakınsar, bu yüzden Z kritik değeri kullanılır.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Normalliği ve Güven Aralıkları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 97Soru →

Bir Tarım Bakanlığı uzmanı, belirli bir bölgedeki tarım arazilerinin hektar başına ortalama buğday verimini ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Arazilerin verim değerlerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır. Uzman, rastgele seçilen 16 farklı araziden elde ettiği verilerle örneklem ortalamasını $\bar{X} = 420\text{ kg}$ , örneklem standart sapmasını ise $S = 40\text{ kg}$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için oluşturulacak aralık tahmini süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

(Not: Standart normal dağılım için $Z_{0.025} = 1.96$ ve Student-t dağılımı için $t_{15, 0.025} = 2.131$ alınacaktır.)

Kitle varyansı bilinmediği için güven sınırları hesaplanırken kritik değer olarak standart normal dağılım tablosundan

Z_{0.025} = 1.96

değeri kullanılmalıdır.

Hesaplanan belirli (sayısal) aralığın, gerçek kitle ortalamasını (

\mu

) içerme olasılığı kesinlikle %95'tir.

%95 güven düzeyinde kitle ortalaması için hesaplanan güven aralığının hata payı (hata marjı)

21,31\text{ kg}

olarak bulunur.

Aralık tahmini için kullanılan

\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}

pivot fonksiyonunun dağılımı, kitle varyansına (

\sigma^2

) doğrudan bağlıdır.

Güven düzeyi %95'ten %90'a düşürüldüğünde, elde edilecek yeni güven aralığı daha geniş olacaktır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %95 güven düzeyinde kitle ortalaması için hesaplanan güven aralığının hata payı (hata marjı) $21,31\text{ kg}$ olarak bulunur.

Cevap

Doğru ifade, %95 güven düzeyinde hesaplanan aralığın hata payının 21,31 kg olduğunu belirten ifadedir.

Soruda kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmemektedir ve örneklem hacmi

n=16

'dır. Bu durumda

\mu

tahmini için Student-t dağılımı kullanılır. Hata payı formülü

t_{n-1, \alpha/2} \times \frac{S}{\sqrt{n}}

şeklindedir. Verilen değerler yerine konduğunda hata payı

2.131 \times \frac{40}{\sqrt{16}} = 2.131 \times 10 = 21,31\text{ kg}

olarak bulunur. Hesaplama işlemi kusursuz uygulandığı için bu ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle varyansının durumunu ve uygun istatistiksel dağılımı belirle.

Kitle varyansı bilinmiyor (

S=40

verilmiş) ve veriler normal dağılıyor. Bu nedenle standart normal dağılım (Z) değil,

(n-1)

serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır.

Kullanılacak doğru pivot fonksiyonunu ve kritik değeri (

t_{15, 0.025} = 2.131

) seçmek için.

2

Örneklem ortalamasının standart hatasını (SE) hesapla.

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = \frac{40}{4} = 10\text{ kg}

Hata payını (marjı) hesaplamak için standart hataya ihtiyaç vardır.

3

Güven aralığı için hata payını (ME) hesapla.

ME = t_{15, 0.025} \times SE = 2.131 \times 10 = 21,31\text{ kg}

Doğru olan seçeneğin hesaplamasının sağlamasını yapmak için.

Anahtar Kavram

Tek kitle ortalaması için varyans bilinmediğinde T dağılımı kullanılarak güven aralığı ve hata payı hesaplanması ile aralığın teorik yorumlanması.

Soru 98Soru →

Savunma Sanayii Başkanlığı'nda (SSB) görevli bir kalite kontrol mühendisi, zorlu hava koşullarında kullanılmak üzere yeni geliştirilen bir batarya tipinin ortalama çalışma süresini ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansının bilinmediği bu durumda, bataryalardan rastgele $16$ adet seçilmiş ve laboratuvar ortamında test edilmiştir. Test sonucunda, örneklem ortalaması $\bar{x} = 450$ saat ve örneklem standart sapması $S = 40$ saat olarak hesaplanmıştır. Batarya çalışma sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, kitle ortalaması için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini ve bu aralığın doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

(Not: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ olarak alınız.)

Güven aralığı

[430.40, 469.60]

olarak hesaplanır ve bu durum, aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının

\%95

'inin gerçek kitle ortalamasını kapsayacağı anlamına gelir.

Güven aralığı

[428.69, 471.31]

olarak hesaplanır ve bu durum, gerçek kitle ortalamasının tam olarak

\%95

olasılıkla bu aralığın içinde yer aldığı anlamına gelir.

Güven aralığı

[430.40, 469.60]

olarak hesaplanır ve bu durum, gerçek kitle ortalamasının tam olarak

\%95

olasılıkla bu aralığın içinde yer aldığı anlamına gelir.

Güven aralığı

[428.69, 471.31]

olarak hesaplanır ve bu durum, aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının

\%95

'inin gerçek kitle ortalamasını kapsayacağı anlamına gelir.

Güven aralığı

[364.76, 535.24]

olarak hesaplanır ve bu durum, kitledeki bataryaların

\%95

'inin çalışma sürelerinin bu aralıkta bulunacağı anlamına gelir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Güven aralığı $[428.69, 471.31]$ olarak hesaplanır ve bu durum, aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının $\%95$ 'inin gerçek kitle ortalamasını kapsayacağı anlamına gelir.

Cevap

Doğru seçenek, güven aralığının

[428.69, 471.31]

olarak hesaplandığı ve istatistiksel yorumun 'aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının %95'inin gerçek ortalamayı kapsayacağı' şeklinde yapıldığı seçenektir.

Doğru seçenekte belirtildiği üzere, kitle varyansının bilinmediği ve örneklem çapının 30'dan küçük (

n=16

) olduğu durumlarda kitle ortalaması için güven aralığı

t

-dağılımı kullanılarak hesaplanmalıdır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

'tir ve kritik değer

2.131

'dir. Standart hata

S/\sqrt{n} = 10

olduğundan, aralık sınırları

450 \pm 21.31

işlemi ile elde edilir. Ayrıca, güven aralığının yorumu teorik açıdan kusursuz verilmiştir; güven düzeyi belirli bir aralığın

\mu

'yü içerme olasılığı değil, aralık oluşturma yönteminin tekrarlı örneklemlerdeki kapsama oranıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tespit edilmesi.

n = 16

,

\bar{x} = 450

,

S = 40

ve

\alpha = 0.05

.

Güven aralığı formülünde kullanılacak girdileri belirlemek.

2

Uygun test istatistiğinin (dağılımın) seçilmesi.

Kitle varyansı bilinmediği ve

n=16 < 30

olduğu için Student's t-dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi:

v = n - 1 = 15

.

Bilinmeyen varyans durumunda küçük örneklemler için Z dağılımı kullanılamaz.

3

Kritik t-değerinin belirlenmesi ve standart hatanın (SE) hesaplanması.

Kritik değer

t_{15, 0.025} = 2.131

'dir. Standart hata:

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = \frac{40}{4} = 10

.

Hata payını (margin of error) bulmak için kritik değer ile standart hatanın çarpılması gerekir.

4

Hata payının ve aralık sınırlarının hesaplanması.

Hata payı =

2.131 \times 10 = 21.31

. Alt sınır:

450 - 21.31 = 428.69

. Üst sınır:

450 + 21.31 = 471.31

. Güven aralığı:

[428.69, 471.31]

.

Nokta tahmininden (

\bar{x}

) hata payı çıkarılarak ve eklenerek sınırlar elde edilir.

5

Sonucun istatistiksel olarak yorumlanması.

Bu aralık, 'aynı koşullarda sürekli tekrarlanan örneklemleme sonucunda elde edilecek tüm güven aralıklarının %95'inin kitle ortalamasını içereceği' anlamına gelir.

Klasik istatistikte

\mu

sabit bir parametredir. Güven düzeyi, tahmin yönteminin uzun vadedeki başarısını ifade eder.

Anahtar Kavram

Kitle Varyansı Bilinmiyorken Ortalama İçin Güven Aralığı ve Frekansçı Yorum

Soru 99Soru →

Bir fabrikada üretilen elektronik parçaların kalite kontrol sürecinde, rastgele seçilen $400$ parçalık bir örneklem incelenmiş ve bu parçalardan $80$ 'inin kusurlu olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, fabrikada üretilen tüm elektronik parçaların kusurlu olma oranı ( $p$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
$(Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.05} = 1.645$ olarak alınız. $)$

[0.1608, \ 0.2392]

[0.1671, \ 0.2329]

[0.1562, \ 0.2438]

[0.1843, \ 0.2157]

[0.1992, \ 0.2008]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0.1608, \ 0.2392]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[0.1608, \ 0.2392]

olarak hesaplanan seçenektir.

Doğru seçenekte; örneklem oranı

\hat{p} = 0.20

hesaplanmış,

\%95

güven düzeyi için uygun kritik değer

Z_{0.025} = 1.96

alınmış ve standart hata formülü doğru bir şekilde

\sqrt{(0.20 \times 0.80)/400} = 0.02

bulunmuştur. Nokta tahmini olan

0.20

'ye hesaplanan

0.0392

'lik hata payı eklendiğinde ve çıkarıldığında elde edilen güven sınırları formüle tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kusurlu parçaların örneklem oranını (nokta tahmini) hesapla.

\hat{p} = \frac{80}{400} = 0.20

Güven aralığının merkezini belirlemek için kitle oranının nokta tahmini gereklidir.

2

Güven düzeyine uygun Z kritik değerini belirle.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

ve

\alpha/2 = 0.025

olup,

Z_{0.025} = 1.96

kullanılır.

Asimptotik oran güven aralığı çift yönlü olduğu için anlamlılık düzeyi ikiye bölünmelidir.

3

Örneklem oranının standart hatasını (SE) hesapla.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{400}} = \sqrt{\frac{0.16}{400}} = \sqrt{0.0004} = 0.02

Örneklem çapı yeterince büyük olduğundan (

np>5

,

n(1-p)>5

) kitle varyansı tahmini üzerinden standart hata bulunur.

4

Hata payını (ME) bularak aralık sınırlarını belirle.

ME = 1.96 \times 0.02 = 0.0392

. Sınırlar:

0.20 \pm 0.0392 \implies [0.1608, \ 0.2392]

Nokta tahmininden hata payının çıkarılması alt sınırı, eklenmesi üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Oranı Asimptotik Güven Aralığı

Soru 100Soru →

Bir biyolog, iki farklı göldeki belirli bir balık türünün ağırlıklarındaki değişkenliği incelemektedir. A gölünden rastgele yakalanan 13 balığın ağırlıklarının örneklem varyansı $S_A^2 = 25\text{ g}^2$ , B gölünden rastgele yakalanan 16 balığın ağırlıklarının örneklem varyansı ise $S_B^2 = 15\text{ g}^2$ olarak hesaplanmıştır.

Balık ağırlıklarının her iki gölde de bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu bilindiğine göre, A gölündeki balıkların ağırlık varyansının B gölündeki balıkların ağırlık varyansına oranı $\left( \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} \right)$ için hesaplanacak \%90'lık güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 12, 15}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 15, 12} \right]

\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 13, 16}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 16, 13} \right]

\left[ \frac{15}{25} \frac{1}{F_{0.05; 15, 12}} , \frac{15}{25} F_{0.05; 12, 15} \right]

\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 15, 12}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 12, 15} \right]

\left[ \frac{25}{15} - z_{0.05} \sqrt{ \frac{25}{13} + \frac{15}{16} } , \frac{25}{15} + z_{0.05} \sqrt{ \frac{25}{13} + \frac{15}{16} } \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 12, 15}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 15, 12} \right]$

Cevap

İki varyans oranı için doğru güven aralığı, serbestlik dereceleri 12 ve 15 olan F dağılımına ait kritik değerlerin kullanıldığı formüldür.

Doğru cevap, iki kitle varyansının oranı için güven aralığı hesaplanırken F dağılımının kullanıldığı ve örneklem hacimlerinin 1 eksiği olan serbestlik derecelerinin (12 ve 15) doğru formülde yerine konulduğu seçenektir. Formül gereği alt sınır

\frac{S_A^2}{S_B^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; n_A-1, n_B-1}}

ve üst sınır

\frac{S_A^2}{S_B^2} F_{\alpha/2; n_B-1, n_A-1}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen örneklem istatistiklerini ve güven düzeyini belirleme

n_A = 13

,

S_A^2 = 25

,

n_B = 16

,

S_B^2 = 15

ve güven düzeyi

1 - \alpha = 0.90

(buradan

\alpha = 0.10

ve

\alpha/2 = 0.05

bulunur).

Güven aralığı formülünde kullanılacak parametreleri açıkça ortaya koymak için.

2

F dağılımı için serbestlik derecelerini hesaplama

Pay serbestlik derecesi

\nu_1 = n_A - 1 = 12

, payda serbestlik derecesi

\nu_2 = n_B - 1 = 15

.

Varyansların oranına ait güven aralığında F dağılımının serbestlik dereceleri örneklem hacimlerinin bir eksiğidir.

3

İki kitle varyans oranı için güven aralığı formülünü yazma

Alt sınır:

\frac{S_A^2}{S_B^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}}

, Üst sınır:

\frac{S_A^2}{S_B^2} F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1}

Kitle varyansları oranını tahmin etmek için örneklem varyansları oranı ve F kritik değerleri kullanılır.

4

Değerleri formülde yerine koyarak aralığı oluşturma

\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 12, 15}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 15, 12} \right]

aralığı elde edilir.

Hesaplanan tüm değerler formülde yerlerine yerleştirildiğinde \%90'lık güven aralığı bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

İki kitle varyansları oranı güven aralığı

Aralık Tahmini

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar