Parametre Tahmin Yöntemleri

Bir istatistiksel araştırmada, bilinmeyen bir $\theta > 0$ parametresinin tahmini için rassal bir örneklem üzerinden $T_n$ tahmin edicisi geliştirilmiştir. $T_n$ tahmin edicisinin olasılık dağılımının, örneklem hacmi $n$'ye bağlı olarak aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ($n \to \infty$) $T_n$ tahmin edicisinin asimptotik özellikleri (tutarlılık, yansızlık ve hata kareler ortalaması) hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İstatistiksel sonuç çıkarım sürecinde, standart analitik varsayımları (türevlenebilirlik, integral ve türev sırasının değiştirilebilmesi vb.) sağlayan bir $f(x;\alpha)$ dağılımından çekilen $n$ hacimli bağımsız bir örneklem üzerinden $\alpha$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi $T_n$ olarak bulunmuştur. $g(\alpha)$, $\alpha$'nın sürekli ve birinci türevi sıfırdan farklı bir fonksiyonu olmak üzere, $g(\alpha)$ için en çok olabilirlik tahmin edicisi $Y_n = g(T_n)$ şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre, $T_n$ ve $Y_n$ tahmin edicilerinin özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir ölçüm cihazından elde edilen bağımsız hata miktarları $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi ile modellenmektedir. Bu hataların olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Bir araştırmacı, dağılımın yayılımını yansıtan $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki $T$ istatistiğini önermiştir:

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta^2$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir endüstriyel süreçte üretilen parçaların ağırlıklarındaki sapmaların, ortalaması $0$ ve varyansı $\theta$ ($\theta > 0$) olan normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

Süreçten $n$ adet parça rastgele seçilmiş ve sapma değerleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür. Kalite kontrol uzmanı, sürecin standart sapmasını ifade eden $g(\theta) = \sqrt{\theta}$ değeri için yansız bir tahmin edici önermiştir.

Buna göre, $g(\theta)$ parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Bir sistemde belirli bir zaman aralığında gerçekleşen olay sayısı, parametresi $\theta$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. $\theta$ parametresinin önsel (prior) dağılımı, $\alpha, \beta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Gamma dağılımı olarak verilmiştir:

Bu sistemden $n$ birimlik rastgele bir örneklem alınmış ($X_1, X_2, \dots, X_n$) ve örneklem değerlerinin toplamı $\sum_{i=1}^n X_i = y$ olarak elde edilmiştir.

Tahmin edici $\delta$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için belirlenen kayıp fonksiyonu $L(\theta, \delta) = \theta (\theta - \delta)^2$ şeklindedir.

Buna göre, verilen kayıp fonksiyonu altında $\theta$ parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, gerçekleşme süreleri sürekli olan ve belirli bir $\theta > 0$ parametresine sahip üstel dağılım ile modellenen bağımsız bir $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini incelemektedir. İlgili kitleye ait gözlemlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

Araştırmacı, bu kitlede gerçekleşecek yeni bir gözlem değerinin 2'yi aşma olasılığını ($P(X > 2)$) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının ilgilendiği bu olasılık değeri için kullanması gereken en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir veri analitik modelleme sürecinde, bir dağılıma ait bilinmeyen bir $\lambda$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ birimlik bir rastgele örneklem üzerinden $T_n$ tahmin edicisi tanımlanmıştır. Yapılan matematiksel incelemeler sonucunda $T_n$ tahmin edicisinin beklenen değerinin $E(T_n) = \lambda \left(1 - \frac{2}{n}\right)$ ve varyansının $Var(T_n) = \frac{4\lambda^2}{n}$ olduğu bulunmuştur.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir istatistikçi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 = 16$ olan normal dağılıma sahip bir kitleden $n = 16$ hacimli bir rastgele örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_{16}$) almıştır.

İstatistikçi, $\mu$ parametresini tahmin etmek için yansız bir tahmin edici olan $T = X_1$ istatistiğini kullanmayı önermiştir. Ancak bu tahmin edicinin varyansının büyük olduğunu fark edince, Rao-Blackwell teoremini uygulayarak $T$ istatistiğini $\mu$ için yeterli bir istatistik olan $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$ üzerine koşullandırmış ve $T^* = E[T|S]$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde etmiştir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen $T^*$ tahmin edicisinin varyansı, ilk tahmin edici $T$'nin varyansına göre ne kadar azalmıştır?

$X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi, $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleden alınmıştır. $\theta > 0$ bilinmeyen parametresini tahmin etmek için aşağıdaki ölçeklenmiş hata kareler (scaled squared error) kayıp fonksiyonu kullanılmaktadır:

$\delta(X) = c X_{(n)}$ (burada $X_{(n)}$ örneklem maksimumu ve $c$ bir sabittir) biçimindeki tahmin ediciler sınıfı dikkate alındığında, bu sınıf içindeki minimax tahmin edici ve bu tahmin ediciye ait sabit risk değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir kamu kurumunun analiz biriminde, belirli bir hizmet noktasına gelen günlük başvuru sayıları $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uygun olarak modellenmektedir. Kurum uzmanları, $n$ günlük bağımsız gözlem sonuçlarının ortalaması olan $\bar{X}$ istatistiğini $\lambda$ parametresi için tahmin edici olarak kullanmaktadır.

Buna göre, uzmanların kullandığı $\bar{X}$ tahmin edicisinin risk fonksiyonu $R(\lambda, \bar{X})$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?