Parametre Tahmin Yöntemleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bir kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem olsun. Bu kitlenin olasılık kütle fonksiyonu, $0 < \theta < 1$ olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

f(x; \theta) = \theta(1-\theta)^{x-1}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Buna göre, $\theta$ parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2(1-\theta)}{n}

\frac{1-\theta}{n\theta^2}

\frac{\theta(1-\theta)}{n}

\theta^2(1-\theta)

\frac{\theta^2}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta^2(1-\theta)}{n}$

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı

\frac{\theta^2(1-\theta)}{n}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan ifade, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevi üzerinden hesaplanan Fisher bilgisinin (

I(\theta) = 1/(\theta^2(1-\theta))

) tersinin örneklem büyüklüğüne bölünmesiyle elde edilen teorik alt sınırdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık kütle fonksiyonunun doğal logaritmasını alın.

\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (x-1)\ln(1-\theta)

Fisher bilgisi hesaplaması için log-olabilirlik fonksiyonu gereklidir.

2

Parametreye (

\theta

) göre birinci ve ikinci türevleri hesaplayın.

\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{1}{\theta} - \frac{x-1}{1-\theta}

ve

\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{1}{\theta^2} - \frac{x-1}{(1-\theta)^2}

Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin negatif beklenen değeridir.

3

İkinci türevin negatif beklenen değerini alarak Fisher bilgisini (

I(\theta)

) bulun.

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} + \frac{E(X-1)}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta^2} + \frac{(1-\theta)/\theta}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta^2(1-\theta)}

E(X) = 1/\theta

olduğu için

E(X-1) = (1-\theta)/\theta

olur.

4

Cramer-Rao alt sınır formülünü uygulayın.

CRLB = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n / [\theta^2(1-\theta)]} = \frac{\theta^2(1-\theta)}{n}

n

birimlik bir örneklem için varyansın alt sınırı

1/(n I(\theta))

formülü ile belirlenir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Fisher Bilgisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 122Soru →

Bir işletmede kullanılan 5 benzer makinenin yaşı ( $X$ , yıl) ile yıllık bakım maliyetleri ( $Y$ , bin TL) arasındaki ilişkiyi inceleyen bir mühendis, aşağıdaki verilere ulaşmıştır:

Makine No	Yaş ( $X$ )	Bakım Maliyeti ( $Y$ )
1	2	3
2	3	4,5
3	4	6
4	5	7,5
5	6	9

Bu verilere dayanarak $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ basit doğrusal regresyon modeli kurulmak istenmektedir. En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanıldığında, modelin eğim katsayısının tahmini ( $\hat{\beta}_1$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,0

0,75

1,0

1,5

2,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1,5$

Cevap

Eğim katsayısı tahmini 1,5'tir.

Verilen verilere göre aritmetik ortalamalar

\bar{X}=4

ve

\bar{Y}=6

olarak bulunur. Bu değerler kullanılarak kareler toplamı

S_{xx} = 10

ve çarpımlar toplamı

S_{xy} = 15

hesaplanır. Eğim katsayısı tahmini

\hat{\beta}_1 = S_{xy} / S_{xx} = 15 / 10 = 1,5

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin aritmetik ortalamalarını hesaplayın.

\bar{X} = \frac{20}{5} = 4

ve

\bar{Y} = \frac{30}{5} = 6

EKK formülünde değişkenlerin ortalamadan sapmalarını hesaplamak için bu değerlere ihtiyaç duyulur.

2

Açıklayıcı değişkenin kareler toplamını (

S_{xx}

) hesaplayın.

S_{xx} = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 90 - 5(4^2) = 90 - 80 = 10

Eğim katsayısı formülünün paydasını oluşturur.

3

Değişkenlerin çarpımlar toplamını (

S_{xy}

) hesaplayın.

S_{xy} = \sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y} = 135 - 5(4)(6) = 135 - 120 = 15

Eğim katsayısı formülünün payını oluşturur.

4

Eğim katsayısı (

\hat{\beta}_1

) tahmin edicisini bulun.

\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{15}{10} = 1,5

En Küçük Kareler yöntemiyle elde edilen standart tahmin edici formülüdür.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Parametre Tahmini

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 123Soru →

Kitle ortalaması

\theta

ve varyansı

\sigma^2 < \infty

olan bir ana kütleden

n

hacimli bir rastgele örneklem (

X_1, X_2, \dots, X_n

) çekilmiştir.

\theta

parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen

T_n = \left( \frac{n-1}{n} \right) \bar{X} + \frac{2}{n}

tahmin edicisi hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Hem yansız hem de tutarlı bir tahmin edicidir.

Yanlı bir tahmin edicidir ve tutarlı değildir.

Yansız bir tahmin edicidir ancak tutarlı değildir.

Yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlıdır.

Sadece

\theta = 2

olduğu durumda tutarlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlıdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlılık şartlarını sağladığı için tutarlıdır.

Verilen tahmin edicinin beklenen değeri

\theta

parametresine eşit değildir, bu nedenle yanlıdır. Ancak

n \rightarrow \infty

iken hem yan miktarı

(\frac{2-\theta}{n})

hem de varyans sıfıra gittiği için tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra ulaşır. Bu durum, tahmin edicinin tutarlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini (

E[T_n]

) hesaplamak.

E[T_n] = E\left[ \frac{n-1}{n} \bar{X} + \frac{2}{n} \right] = \frac{n-1}{n} \theta + \frac{2}{n}

Yansızlık kontrolü yapmak için beklenen değerin parametreye eşit olup olmadığı incelenir.

2

Yan (bias) miktarını belirlemek.

B(T_n) = E[T_n] - \theta = \frac{(n-1)\theta + 2 - n\theta}{n} = \frac{2 - \theta}{n}

Tahmin edici

n

sonsuza gitmediği sürece yanlıdır (

\theta = 2

durumu hariç genel olarak).

3

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak.

Var(T_n) = \left( \frac{n-1}{n} \right)^2 Var(\bar{X}) = \left( \frac{n-1}{n} \right)^2 \frac{\sigma^2}{n}

Tutarlılık için yeter koşul olan Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için varyans gereklidir.

4

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitini kontrol etmek.

\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} [Var(T_n) + B(T_n)^2] = \lim_{n \to \infty} [\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + (\frac{2-\theta}{n})^2] = 0

Bir tahmin edicinin MSE değeri

n

sonsuza giderken sıfıra yaklaşıyorsa, o tahmin edici tutarlıdır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

n \rightarrow \infty

iken sıfıra giden bir tahmin edici, ilgili parametre için tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir.

Soru 124Soru →

Bir kamu denetçisi, bir üretim tesisindeki hatalı parçaların sayısını ( $X$ ) incelemektedir. Yapılan teknik analizler sonucunda $X$ rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu varsayılmaktadır:

$x$	$P(X=x)$
$0$	$\theta^2$
$1$	$2\theta(1-\theta)$
$2$	$(1-\theta)^2$

Burada $\theta \in (0, 1)$ bilinmeyen bir parametredir. $n$ birimlik rastgele bir örneklemden elde edilen örneklem ortalaması $\bar{X}$ olduğuna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

1 - \frac{\bar{X}}{2}

2 - \bar{X}

\frac{\bar{X}}{2}

1 - \bar{X}

\sqrt{1 - \bar{X}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1 - \frac{\bar{X}}{2}$

Cevap

Momentler yöntemi ile elde edilen tahmin edici

1 - \frac{\bar{X}}{2}

ifadesidir.

Doğru tahmin ediciyi bulmak için önce kitle beklenen değeri hesaplanır.

E[X] = \sum x P(X=x)

formülünden

E[X] = 2 - 2\theta

elde edilir. Momentler yöntemi gereği

E[X] = \bar{X}

eşitliği kurulduğunda,

2 - 2\hat{\theta} = \bar{X}

denkleminden

\hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin ilk teorik momentini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot (2\theta - 2\theta^2) + 2 \cdot (1 - 2\theta + \theta^2) = 2 - 2\theta

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenti, her değerin kendi olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

2

Teorik momenti örneklem momentine (

m_1 = \bar{X}

) eşitleyiniz.

2 - 2\hat{\theta} = \bar{X}

Momentler yönteminin temel prensibi, kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemektir.

3

Eşitlikten bilinmeyen parametreyi (

\hat{\theta}

) çekiniz.

2\hat{\theta} = 2 - \bar{X} \Rightarrow \hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2}

Elde edilen denklemde parametre, gözlemlenebilir istatistik olan örneklem ortalaması cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini (

E[X^k]

) karşılık gelen örneklem momentlerine (

m_k = \frac{1}{n}\sum X_i^k

) eşitleyerek parametre tahmini yapar.

Alternatif Yöntem

Bu dağılımın

Y = 2 - X

dönüşümü yapıldığında

Y \sim \text{Binomial}(2, \theta)

olduğu görülebilir. Binom dağılımında

E[Y] = 2\theta

olduğundan,

E[2-X] = 2 - E[X] = 2\theta

eşitliği yazılarak daha hızlı sonuca gidilebilir.

Tahmini Süre:1m 45s

Soru 125Soru →

Bilinmeyen bir $\theta \in [0, 1]$ parametresine sahip Bernoulli dağılımından $n=1$ hacimli bir $X$ örneklemi çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $\delta(X) = \frac{2X + 1}{4}$ tahmin edicisi tanımlanmıştır. Karesel kayıp fonksiyonunun $L(\theta, \delta) = (\delta - \theta)^2$ olduğu bilindiğine göre, bu tahmin edicinin risk fonksiyonu $R(\theta, \delta)$ aşağıdakilerden hangisidir?

1/16

\theta(1-\theta)

\frac{\theta(1-\theta)}{4}

1/4

\theta^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/16

Cevap

Risk fonksiyonu, parametreden bağımsız olarak sabit 1/16 değerine eşittir.

Söz konusu tahmin edicinin riski hesaplandığında

\theta

parametresine bağlı tüm terimler birbirini sadeleştirmekte ve sonuç sabit 1/16 çıkmaktadır. Bu durum, tahmin edicinin 'sabit risk' özelliğine sahip olduğunu ve Bernoulli dağılımı için minimax tahmin edici adaylarından biri olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Risk fonksiyonu tanımını yazma

R(\theta, \delta) = E[(\delta - \theta)^2]

olarak tanımlanır.

Karesel kayıp fonksiyonu altında risk, Hata Kareler Ortalaması'na (MSE) eşittir.

2

Dağılım özelliklerini belirleme

X \sim Bernoulli(\theta)

olduğu için

E[X] = \theta

ve

E[X^2] = \theta

(çünkü

1^2\theta + 0^2(1-\theta) = \theta

) olur.

Risk hesaplamasındaki beklenen değer işlemleri için kitlenin momentleri gereklidir.

3

Tahmin ediciyi formülde yerine koyma ve genişletme

R(\theta, \delta) = E[\left(\frac{2X+1}{4} - \theta\right)^2] = \frac{1}{16} E[(2X + 1 - 4\theta)^2]

elde edilir.

Hesaplamayı kolaylaştırmak için paydadaki sabit dışarı karesi alınarak çıkarılır.

4

Karesel ifadeyi açma ve beklenen değeri uygulama

\frac{1}{16} E[4X^2 + 1 + 16\theta^2 + 4X - 16\theta X - 8\theta] = \frac{1}{16} [4\theta + 1 + 16\theta^2 + 4\theta - 16\theta^2 - 8\theta]

olur.

Beklenen değer operatörünün doğrusal özelliği kullanılarak her terimin beklenen değeri alınır.

5

Sadeleştirme ve nihai sonucu bulma

\frac{1}{16} [ (4\theta + 4\theta - 8\theta) + (16\theta^2 - 16\theta^2) + 1 ] = \frac{1}{16}

bulunur.

\theta

içeren tüm terimler birbirini yok eder ve risk fonksiyonu sabit bir değere dönüşür.

Anahtar Kavram

Risk fonksiyonu, bir tahmin edicinin kayıp fonksiyonu altındaki beklenen değeridir ve karesel kayıp durumunda

MSE(\delta) = Var(\delta) + [Bias(\delta)]^2

formülüyle de hesaplanabilir.

Soru 126Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bir kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem olsun. Söz konusu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}}, \quad x > 0

Buna göre, $\theta$ parametresinin yansız herhangi bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{n}

\frac{2\theta^2}{n}

\frac{\theta}{n}

\frac{\theta^2}{2n}

\frac{\theta^2}{n^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta^2}{n}$

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı

\frac{\theta^2}{n}

olarak hesaplanır.

Verilen Rayleigh dağılımı için Fisher bilgisi

1/\theta^2

olarak hesaplanır. n birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı örneklem durumunda, yansız bir tahmin edici için varyansın alt sınırı

1/(n \cdot I(\theta))

formülüyle bulunur. Bu durumda

\theta^2/n

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Log-olabilirlik fonksiyonunun oluşturulması

\ln f(x; \theta) = \ln x - \ln \theta - \frac{x^2}{2\theta}

Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun parametreye göre türevi gereklidir.

2

Parametreye göre birinci ve ikinci türevlerin alınması

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{2\theta^2}

ve

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}

Fisher bilgisi, ikinci türevin negatif beklenen değeridir.

3

Fisher bilgisinin (

I(\theta)

) hesaplanması

I(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = \frac{E[X^2]}{\theta^3} - \frac{1}{\theta^2} = \frac{2\theta}{\theta^3} - \frac{1}{\theta^2} = \frac{1}{\theta^2}

Rayleigh dağılımı için

E[X^2] = 2\theta

olduğu bilinmektedir.

4

n birimlik örneklem için Cramer-Rao alt sınırının bulunması

Var(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{n}

Yansız bir tahmin edicinin varyansı

1/(n \cdot I(\theta))

değerinden küçük olamaz.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı, Fisher Bilgi Miktarı kullanılarak yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği en küçük varyansı belirler.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 127Soru →

Bir kamu kurumunda personelin eğitim süresi ( $X$ , saat) ile performans puanı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 5 kişilik bir örneklem seçilmiştir. Araştırma sonucunda elde edilen verilere dayalı olarak aşağıdaki özet istatistikler hesaplanmıştır:

\sum_{i=1}^{5} X_i = 15, \quad \sum_{i=1}^{5} Y_i = 25, \quad \sum_{i=1}^{5} X_i^2 = 55, \quad \sum_{i=1}^{5} X_i Y_i = 89

Bu verilere göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{Y} = 0,8 + 1,4X

\hat{Y} = 1,4 + 0,8X

\hat{Y} = 5,0 + 1,4X

\hat{Y} = 0,8 + 1,2X

\hat{Y} = 1,2 + 1,4X

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \hat{Y} = 0,8 + 1,4X

Cevap

Tahmin edilen regresyon denklemi

\hat{Y} = 0,8 + 1,4X

şeklindedir.

Verilen özet istatistikler kullanılarak eğim katsayısı (

\beta_1

) 1,4 ve kesim noktası (

\beta_0

) 0,8 olarak hesaplanır. Bu değerlerin denklemde yerine konulmasıyla doğru model elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ortalamalarını hesaplayınız.

\bar{X} = 15/5 = 3

ve

\bar{Y} = 25/5 = 5

Regresyon katsayılarını hesaplamak için örneklem ortalamalarına ihtiyaç duyulur.

2

Kareler ve çarpımlar toplamını (Sxx ve Sxy) hesaplayınız.

S_{xx} = 55 - (15^2 / 5) = 10

ve

S_{xy} = 89 - (15 \times 25 / 5) = 14

Eğim katsayısı

\beta_1

, bu değerlerin birbirine oranıdır.

3

Eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) hesaplayınız.

\hat{\beta}_1 = S_{xy} / S_{xx} = 14 / 10 = 1,4

EKK yöntemine göre eğim tahmin edicisi bu oranla bulunur.

4

Kesim noktasını (

\hat{\beta}_0

) hesaplayınız.

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 5 - (1,4 \times 3) = 0,8

Regresyon doğrusu ortalamalar noktasından (

\bar{X}, \bar{Y}

) geçtiği için sabit terim bu formülle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyon Parametre Tahmini

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 128Soru →

Bir kalite kontrol sürecinde üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ ile gösterilmektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $n=3$ birimlik bağımsız bir örneklem ( $X_1, X_2, X_3$ ) için $1$ : 'Kusurlu' ve $0$ : 'Kusursuz' değerleri tanımlanmıştır. $p^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = X_1 X_2$ yansız tahmin edicisi kullanılmaktadır. $S = \sum_{i=1}^{3} X_i$ istatistiğinin $p$ için yeterli olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{S(S-1)}{6}

\frac{S^2}{9}

\frac{S(S-1)}{2}

\frac{S}{3}

\frac{S-1}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{S(S-1)}{6}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici

\frac{S(S-1)}{6}

ifadesidir.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edici olan

T=X_1 X_2

ifadesinin, yeterli istatistik

S

üzerindeki koşullu beklentisinin (

E[T|S]

) daha verimli (küçük varyanslı) bir yansız tahmin edici vereceğini belirtir.

n=3

birimlik Bernoulli örnekleminde, ilk iki birimin her ikisinin de 1 olma olasılığının toplam

S

başarısı içindeki payı kombinatorik olarak hesaplandığında

\frac{S(S-1)}{6}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Adım 1: Rao-Blackwell teoremi uyarınca iyileştirilmiş tahmin edicinin genel formunu belirlemek.

Sonuç: İyileştirilmiş tahmin edici

T^* = E[T|S]

olarak tanımlanır.

Neden: Teorem, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerindeki koşullu beklenen değerinin varyansı küçülteceğini ifade eder.

2

Adım 2: Verilen

T = X_1 X_2

ve

S = X_1 + X_2 + X_3

değerlerini koşullu beklenti ifadesinde yerine koymak.

Sonuç:

T^* = E[X_1 X_2 | S = s] = P(X_1=1, X_2=1 | S=s)

ifadesi elde edilir.

Neden: Bernoulli değişkenleri için

X_i^2 = X_i

olduğundan ve

T

bir çarpım olduğundan, beklenti olasılığa eşittir.

3

Adım 3: Koşullu olasılık tanımını kullanarak ifadeyi hesaplamak ve sadeleştirmek.

Sonuç:

E[X_1 X_2 | S=s] = \frac{P(X_1=1, X_2=1, X_3=s-2)}{P(S=s)} = \frac{p^2 \cdot \binom{3-2}{s-2} p^{s-2} (1-p)^{3-s}}{\binom{3}{s} p^s (1-p)^{3-s}} = \frac{\binom{1}{s-2}}{\binom{3}{s}}

hesaplanır. Bu oran

\frac{s(s-1)}{3 \cdot 2} = \frac{s(s-1)}{6}

sonucuna eşittir.

Neden:

X_i

değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) Bernoulli olduğu için toplamları Binom dağılımı verir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle

X \sim \text{Poisson}(\lambda)

dağılımı için

e^{-\lambda}

parametresinin Rao-Blackwell tahmin edicisini hesaplayarak karşılaştırma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 129Soru →

Bir belediyenin harita kadastro müdürlüğü tarafından yürütülen arazi ölçüm çalışmalarında, cihazlardan kaynaklanan ölçüm hataları ( $X$ ) ortalaması sıfır olan bir Laplace (çift üstel) dağılımı göstermektedir. Bu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

Buna göre, rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) temelinde $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} |X_i|

\sum_{i=1}^{n} X_i

\sum_{i=1}^{n} X_i^2

\prod_{i=1}^{n} X_i

\max(X_1, \dots, X_n)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{n} |X_i|$

Cevap

Verilen Laplace dağılımı için

\theta

parametresine ait yeterli istatistik, gözlemlerin mutlak değerlerinin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} |X_i|

ifadesidir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

g(T(\mathbf{x}), \theta) h(\mathbf{x})

şeklinde yazılabiliyorsa

T(\mathbf{x})

yeterli bir istatistiktir. Laplace dağılımının çarpım formunda, üstel terimler toplandığında

\sum |x_i|

ifadesi elde edilir ve bu ifade

\theta

ile birlikte

g

fonksiyonunu oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x_i|}{\theta}} \right) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i|}{\theta}}

Neyman teoremini uygulamak için önce tüm gözlemlerin ortak olasılık fonksiyonu oluşturulmalıdır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre parçalara ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazılırsa:

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{\sum |x_i|}{\theta}}

ve

h(\mathbf{x}) = \frac{1}{2^n}

olur.

Teorem gereği, veriye sadece bir istatistik (

T

) üzerinden bağlı olan kısım (

g

) ile parametreden bağımsız olan kısım (

h

) ayrıştırılmalıdır.

3

g

fonksiyonu içindeki istatistiği belirleyin.

T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} |X_i|

g

fonksiyonunun gözlemlere bağımlılığı sadece mutlak değerlerin toplamı üzerinden gerçekleşmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Laplace Dağılımı

Soru 130Soru →

Bir kamu bankasında kredi başvurusu yapan bireylerin başvurularının onaylanma durumu, onaylanma olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımına uygunluk göstermektedir. Banka müfettişleri tarafından rastgele seçilen $n$ adet bağımsız başvurunun incelenmesi sonucunda toplam $\sum_{i=1}^{n} X_i = k$ adet başvurunun onaylandığı tespit edilmiştir. En çok olabilirlik (MLE) yönteminin değişmezlik (invariance) özelliği dikkate alındığında, başvurunun onaylanmama olasılığının onaylanma olasılığına oranı olarak tanımlanan $\tau = \frac{1-p}{p}$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n-k}{k}

\frac{k}{n-k}

\frac{k}{n}

\frac{n-k}{n}

\frac{n}{k}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n-k}{k}$

Cevap

İstenen parametrenin en çok olabilirlik tahmin edicisi, gözlemlenen başarısızlık sayısının başarı sayısına oranı olan

\frac{n-k}{k}

ifadesidir.

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik özelliği uyarınca, bir parametrenin fonksiyonunun tahmin edicisi, o fonksiyonun içine parametrenin kendi MLE değerinin yazılmasıyla elde edilir. Bernoulli dağılımı için

p

parametresinin MLE değeri

k/n

olduğundan,

\frac{1-p}{p}

fonksiyonunda bu değer yerine yazıldığında sonuç

(n-k)/k

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ana parametre olan

p

için en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) belirle.

\hat{p} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{k}{n}

Bernoulli dağılımında en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasına eşittir.

2

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygula.

\hat{\tau} = g(\hat{p}) = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}}

Zehna Teoremi'ne göre, eğer

\hat{\theta}

,

\theta

için bir MLE ise,

g(\theta)

fonksiyonunun MLE'si

g(\hat{\theta})

olur.

3

Bulunan

\hat{p}

değerini fonksiyonel ifadede yerine koyarak sadeleştir.

\hat{\tau} = \frac{1 - k/n}{k/n} = \frac{(n-k)/n}{k/n} = \frac{n-k}{k}

Payda eşitleme ve bölme işlemi sonucunda örneklem çapı

n

ifadeleri sadeleşir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği

Soru 131Soru →

Bir kamu kurumunda işlem sırası bekleyen vatandaşların bekleme süreleri (dakika), beklenen değeri $E[X] = \theta$ olan bir üstel dağılıma uymaktadır. Bu kurumdan tesadüfi olarak seçilen 4 vatandaşın bekleme süreleri $10, 15, 20$ ve $15$ dakika olarak kaydedilmiştir. Momentler yöntemine göre $\theta$ parametresinin tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12

15

20

60

1/15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Momentler yöntemiyle elde edilen tahmini değer

15

dakikadır.

Verilen gözlem değerlerinin ortalaması

15

olarak hesaplanır ve bu değer kitle beklenen değeri olan

\theta

parametresine doğrudan eşitlendiğinde doğru tahmin değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem momentinin (birinci örneklem momenti veya örneklem ortalaması) hesaplanması

m_1 = \bar{x} = \frac{10 + 15 + 20 + 15}{4} = \frac{60}{4} = 15

Momentler yönteminde kitle momentleri örneklem momentlerine eşitlenir.

2

Birinci kitle momentinin (

E[X]

) birinci örneklem momentine (

m_1

) eşitlenmesi

E[X] = m_1 \Rightarrow \theta = 15

Soruda verilen dağılımın beklenen değeri doğrudan parametreye eşit olduğu için denklik kurulur.

3

Parametre tahmin edicisinin değerinin belirlenmesi

\hat{\theta} = 15

Elde edilen denklemin çözümü aranan tahmini değeri verir.

Anahtar Kavram

Momentler yönteminde, kitlenin teorik momentleri ile örneklemden elde edilen momentler birbirine eşitlenerek parametre tahminleri elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir dağılımda (örneğin Poisson) varyansın momentler yöntemiyle nasıl tahmin edileceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 132Soru →

Bir halk kütüphanesine saatlik gelen ziyaretçi sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Bu kütüphaneden rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, Lehmann-Scheffe Teoremi uyarınca $\lambda$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i

X_1

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{X_1 + X_n}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

Cevap

Poisson dağılımı için parametrenin yansız ve tam yeterli istatistiğe dayanan tahmin edicisi olan örneklem ortalaması UMVUE'dir.

Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre, eğer

T

bir tam yeterli istatistik ise ve

g(T)

bu istatistiğin bir fonksiyonu olup parametre için yansızsa, o zaman

g(T)

benzersiz bir UMVUE'dir. Poisson dağılımında

\sum X_i

tam yeterli bir istatistiktir ve bunun

n

'e bölümü olan örneklem ortalaması yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımının olabilirlik fonksiyonunu yazarak yeterli istatistiği belirlemek.

L(\lambda) = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!}

olduğundan, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre

T = \sum X_i

yeterli bir istatistiktir.

Yeterli istatistik, parametre hakkındaki tüm bilgiyi özetler.

2

Yeterli istatistiğin tamlığını (completeness) kontrol etmek.

Poisson dağılımı üstel aileye mensup olduğundan,

T = \sum X_i

istatistiği aynı zamanda tamdır.

Lehmann-Scheffe Teoremi'ni uygulamak için istatistiğin hem yeterli hem de tam olması gerekir.

3

Tam ve yeterli istatistiğin parametre için yansız bir fonksiyonunu bulmak.

E[\sum X_i] = n\lambda

olduğundan,

E[\frac{\sum X_i}{n}] = \lambda

olur. Yani

\bar{X}

,

T

'nin yansız bir fonksiyonudur.

Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre tam yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu benzersizdir ve UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Poisson Dağılımı için UMVUE

Daha Fazla Pratik

Bernoulli ve Normal dağılımları için de örneklem ortalamasının neden UMVUE olduğunu inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 133Soru →

Bir belediye, sunduğu temizlik hizmetlerinden vatandaşların memnuniyet oranını ( $\theta$ ) tahmin etmek istemektedir. $\theta$ parametresi için önsel (prior) dağılım $Beta(1, 1)$ olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen $n=8$ vatandaştan $x=3$ tanesinin hizmetlerden memnun olduğu gözlemlenmiştir. Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığına göre, $\theta$ parametresinin Bayes tahmin edicisi kaçtır?

0,30

0,375

0,40

0,50

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Bayes tahmin edicisi 0,40 olarak hesaplanır.

Verilen

Beta(1, 1)

önsel dağılımı ve

n=8, x=3

verisiyle sonsal dağılım

Beta(4, 6)

olarak elde edilir. Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisi bu dağılımın ortalaması olan

4 / (4+6) = 0,4

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunun belirlenmesi

Önsel:

\theta \sim Beta(\alpha=1, \beta=1)

, Veri:

n=8, x=3

.

Beta-Binom eşlenik önsel yapısını kullanabilmek için parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerinin hesaplanması

\alpha' = \alpha + x = 1 + 3 = 4

ve

\beta' = \beta + n - x = 1 + 8 - 3 = 6

.

Beta önsel ve Binom olabilirlik durumunda sonsal dağılım

Beta(\alpha+x, \beta+n-x)

olur.

3

Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisinin bulunması

\hat{\theta}_{Bayes} = E[\theta | x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = 0,40

.

Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir.

Anahtar Kavram

Beta-Binom eşlenik yapısında Bayes tahmini, önsel bilgi ile örneklem verisinin ağırlıklı ortalaması şeklinde hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Mutlak hata kayıp fonksiyonu (absolute error loss) kullanılsaydı Bayes tahmin edicisi olarak sonsal dağılımın medyanının hesaplanması gerektiğini unutmayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 134Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin işlem sürelerindeki sapmalar, $0$ ile $\theta$ arasında düzgün dağılım ( $X \sim U(0, \theta)$ ) göstermektedir. Bu kitleden alınan $n$ birimlik bağımsız ve özdeş dağılımlı bir örneklem için $\theta$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi $\hat{\theta} = X_{(n)}$ (örneklem maksimumu) olarak bulunmuştur. Buna göre, bu kitlenin beklenen değeri (ortalaması) olan $\mu = \frac{\theta}{2}$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{X_{(n)}}{2}

\bar{X}

X_{(n)}

\frac{\bar{X}}{2}

2 X_{(n)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{X_{(n)}}{2}$

Cevap

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik özelliği uyarınca,

\mu = \theta/2

parametresinin tahmin edicisi

\hat{\mu} = X_{(n)}/2

olarak elde edilir.

En çok olabilirlik yöntemiyle elde edilen tahmin ediciler değişmezlik özelliğine sahiptir. Bu özelliğe göre, bir

\theta

parametresi için en çok olabilirlik tahmin edicisi

\hat{\theta}

ise, bu parametrenin herhangi bir

\tau(\theta)

fonksiyonu için en çok olabilirlik tahmin edicisi

\tau(\hat{\theta})

olur. Soruda

\theta

için tahmin edici

X_{(n)}

olarak verildiğinden,

\theta/2

için tahmin edici de bu değerin yarısı olan ifade olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edilecek parametre ile bilinen parametre arasındaki ilişkiyi tanımlayın.

\mu = \tau(\theta) = \frac{\theta}{2}

Düzgün dağılımda kitle ortalaması üst ve alt sınırın aritmetik ortalamasıdır.

2

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin (MLE) değişmezlik (invariance) özelliğini uygulayın.

\hat{\mu} = \tau(\hat{\theta})

Eğer

\hat{\theta}

,

\theta

için bir MLE ise,

\tau(\theta)

fonksiyonu için de MLE

\tau(\hat{\theta})

olur.

3

Verilen MLE değerini fonksiyonda yerine koyun.

\hat{\mu} = \frac{X_{(n)}}{2}

\hat{\theta} = X_{(n)}

olduğu soruda verilmiştir, bu değeri

\theta/2

ifadesinde yerine yazarız.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği

Tahmini Süre:45s

Soru 135Soru →

İstatistiksel çıkarımda Rao-Blackwell teoremi, mevcut bir yansız tahmin edicinin varyansını iyileştirmek için kullanılan temel yöntemlerden biridir. Bir $\theta$ parametresi için $T$ yansız bir tahmin edici ve $S$ bir yeterli istatistik olmak üzere; Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisi hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

T^*

,

\theta

için yansız bir tahmin edicidir ve

Var(T^*) \leq Var(T)

eşitsizliğini sağlar.

T^*

,

\theta

için her zaman yanlı bir tahmin edicidir ve hata kareler ortalaması

T

'den daha büyüktür.

T^*

, bir istatistik değildir; çünkü hesaplanabilmesi için

\theta

parametresinin bilinmesi gerekir.

T^*

, sadece

S

istatistiği 'tam' (complete) olduğunda yansızlık özelliğini korur.

T^*

, her zaman

T

tahmin edicisinden daha yüksek bir varyansa sahiptir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T^*$ , $\theta$ için yansız bir tahmin edicidir ve $Var(T^*) \leq Var(T)$ eşitsizliğini sağlar.

Cevap

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen tahmin edici yansızdır ve varyansı orijinal tahmin edicinin varyansından küçük veya ona eşittir.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin (

T

) yeterli bir istatistik (

S

) üzerine koşullandırılmasıyla elde edilen

T^* = E[T|S]

tahmin edicisinin de yansız olduğunu ve varyansının orijinal tahmin ediciden hiçbir zaman daha büyük olamayacağını (

Var(T^*) \leq Var(T)

) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Yansızlık kontrolü yapılması

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = \theta

İç içe beklenen değerler kuralı (Law of Iterated Expectations) gereği, koşullu beklenen değerin beklenen değeri ana kitle beklenen değerine eşittir.

2

Varyans karşılaştırması yapılması

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)] \geq Var(T^*)

Varyans ayrıştırma formülü kullanıldığında,

E[Var(T|S)] \geq 0

olduğu için

Var(T)

her zaman

Var(T^*)

'dan büyük veya ona eşittir.

3

İstatistik olma durumunun değerlendirilmesi

T^* = E[T|S]

bir istatistiktir.

S

,

\theta

için yeterli bir istatistik olduğundan,

T

'nin

S

üzerindeki koşullu dağılımı parametreden bağımsızdır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi

Tahmini Süre:45s

Soru 136Soru →

Bir tekstil atölyesinde günlük çalışma süresi ( $X$ , saat) ile üretilen ürün miktarı ( $Y$ , adet) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 3 günlük bir gözlem yapılmış ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Gün	Çalışma Süresi ( $X$ )	Ürün Miktarı ( $Y$ )
1	1	4
2	3	10
3	5	16

Bu verilere göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilen $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ basit doğrusal regresyon modelindeki eğim katsayısının ( $\hat{\beta}_1$ ) değeri kaçtır?

1

2

3

4

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen veri seti üzerinden yapılan hesaplamalar sonucunda eğim katsayısı 3 olarak bulunur.

Verilen veri setinde, sapmalar cinsinden hesaplanan çarpımlar toplamının (

S_{xy} = 24

),

X

değerlerinin sapma kareler toplamına (

S_{xx} = 8

) bölünmesiyle eğim katsayısı 3 olarak bulunur. Bu değer, çalışma süresindeki her 1 saatlik artışın ürün miktarında 3 adetlik bir artışa yol açtığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ortalamalarını hesaplayın.

\bar{X} = (1+3+5)/3 = 3

ve

\bar{Y} = (4+10+16)/3 = 10

EKK tahmin edicileri için gerekli olan sapma kareler toplamlarını bulmak için ortalamalara ihtiyaç vardır.

2

X

değişkeni için kareler toplamını (

S_{xx}

) hesaplayın.

S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2 = 4 + 0 + 4 = 8

Eğim katsayısı formülünün paydasını oluşturur.

3

X

ve

Y

değişkenleri için çarpımlar toplamını (

S_{xy}

) hesaplayın.

S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (1-3)(4-10) + (3-3)(10-10) + (5-3)(16-10) = (-2)(-6) + 0 + (2)(6) = 12 + 12 = 24

Eğim katsayısı formülünün payını oluşturur.

4

Eğim katsayısı tahmin edicisini hesaplayın.

\hat{\beta}_1 = S_{xy} / S_{xx} = 24 / 8 = 3

En Küçük Kareler yöntemi ile elde edilen normal denklemlerin çözümünden elde edilen eğim katsayısı formülüdür.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler yöntemi, kalıntı kareler toplamını minimize ederek parametre tahminlerini elde eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 137Soru →

Bir devlet fidanlığında yeni yetiştirilen fidanların yıllık boy uzama miktarı $X$ (santimetre cinsinden) rassal değişkeni, $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta

Bu fidanlıktan rastgele seçilen bir fidanın boy uzama miktarı ( $x$ ) gözlemlenerek, maksimum uzama sınırı olan $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = X$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{12}

\frac{\theta^2}{4}

\frac{\theta^2}{3}

\frac{\theta^2}{6}

\frac{2\theta^2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta^2}{3}$

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{\theta^2}{3}

olarak hesaplanır.

Tahmin edici olan

T=X

değişkeninin beklenen değeri

\theta/2

olup

-\theta/2

miktarında bir yanlılığa sahiptir. Bu yan miktarının karesi (

\theta^2/4

) ile tahmin edicinin varyansı (

\theta^2/12

) toplandığında toplam hata kareler ortalaması

\theta^2/3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E[T] = E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \left[ \frac{x^2}{2\theta} \right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta}{2}

Yansızlık durumunu kontrol etmek ve yan (bias) miktarını bulmak için beklenen değer gereklidir.

2

Yan (bias) miktarını ve karesini hesapla.

Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{\theta}{2} - \theta = -\frac{\theta}{2}

ve

[Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{4}

MSE formülündeki yan bileşenini belirlemek için parametre ile beklenen değer arasındaki fark alınır.

3

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{\theta^2}{3}

buradan

V(T) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2}{12}

MSE hesaplamasının ikinci ana bileşeni olan varyansı bulmak için momentlerden yararlanılır.

4

MSE formülünü uygula.

MSE(T) = V(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{12} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2 + 3\theta^2}{12} = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}

Bir tahmin edicinin toplam hatası, varyansı ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin kalitesini ölçen ve

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

şeklinde tanımlanan temel bir istatistiksel ölçüttür.

Alternatif Yöntem

MSE değeri doğrudan tanım gereği

E[(T-\theta)^2]

integrali ile de hesaplanabilir:

\int_{0}^{\theta} (x-\theta)^2 \frac{1}{\theta} dx

işlemi yapılarak aynı sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 138Soru →

Bir araştırmacı, kitle oranı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem seçmiştir. $p$ parametresi için $T = X_1$ yansız tahmin edicisini ve $S = \sum_{i=1}^{n} X_i$ yeterli istatistiğini belirlemiştir. Rao-Blackwell teoremi gereğince oluşturulan $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisinin varyansı ( $Var(T^*)$ ) ile orijinal tahmin edici $T$ 'nin varyansı ( $Var(T)$ ) arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Var(T^*) \leq Var(T)

Var(T^*) > Var(T)

Var(T^*) = Var(T) + p(1-p)

Var(T^*) = n \cdot Var(T)

T^*

, bir istatistik olmadığı için varyansı hesaplanamaz

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(T^*) \leq Var(T)$

Cevap

İyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı, orijinal tahmin edicinin varyansından küçük veya eşittir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, eğer

T

bir parametre için yansız ve

S

yeterli bir istatistik ise,

T^* = E[T|S]

tahmin edicisi de yansızdır ve varyansı orijinal

T

tahmin edicisinden daha küçüktür veya ona eşittir (

Var(T^*) \leq Var(T)

).

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicilerin yansızlık durumunu kontrol etme

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = p

.

Yinelenen beklenen değerler kuralı gereği, koşullu beklenen değer orijinal tahmin edicinin beklenen değerine eşittir.

2

Varyans bileşenleri teoremini (Variance Decomposition) uygulama

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

.

Toplam varyans, koşullu beklenen değerin varyansı ile koşullu varyansın beklenen değerinin toplamıdır.

3

Varyans karşılaştırmasını yapma

Var(T) = Var(T^*) + E[Var(T|S)] \implies Var(T^*) \leq Var(T)

.

E[Var(T|S)]

terimi her zaman negatif olmayan bir değer olduğu için

Var(T^*)

değeri

Var(T)

değerinden büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi, bir parametre için yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik kullanılarak varyansının iyileştirilmesini sağlar.

Alternatif Yöntem

Varyans ayrıştırma formülünü (

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

) hatırlayarak,

E[Var(T|S)] \geq 0

olduğu için

Var(T) \geq Var(E[T|S])

sonucuna doğrudan ulaşılabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 139Soru →

Bir kamu kurumundaki personelin günlük dosya işleme sırasında yaptığı hata sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Bu kurumdan rastgele seçilen $n$ personelin hata sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterilmektedir. $T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $\lambda$ için tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu bilindiğine göre, Lehmann-Scheffe teoremi çerçevesinde $\lambda$ parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

X_1

n \cdot \sum_{i=1}^n X_i

\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

Cevap

Örneklem ortalaması olan

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

ifadesi,

\lambda

parametresinin UMVUE'sidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametre için tam ve yeterli olan bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Poisson dağılımında örneklem toplamı tam ve yeterlidir ve bu toplamın örneklem hacmine bölünmesiyle elde edilen örneklem ortalaması

\lambda

için yansızdır. Dolayısıyla örneklem ortalaması UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Yeterli ve tam istatistiği belirleyin.

T = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiği tam ve yeterlidir.

Soruda bu bilginin verildiği belirtilmiştir ve Poisson dağılımı üstel aileye ait olduğu için bu istatistik bu özellikleri sağlar.

2

Parametre için yansız bir tahmin edici bulun.

E[\bar{X}] = \lambda

olduğu için

\bar{X} = \frac{T}{n}

yansızdır.

Bir tahmin edicinin UMVUE olabilmesi için öncelikle yansız (unbiased) olması gerekir.

3

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayın.

\bar{X} = \frac{1}{n} T

fonksiyonu UMVUE'dir.

Teoreme göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi: Tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olan yansız tahmin edici, benzersiz bir şekilde UMVUE'dir.

İpuçları

1

Lehmann-Scheffe teoremi, yansızlık ile yeterli ve tam istatistik olma özelliklerini birleştirir.

2

Seçenekler arasında hangisinin beklenen değerinin tam olarak

\lambda

parametresine eşit olduğunu kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Varyans parametresi

\sigma^2

için Normal dağılımda UMVUE'nin ne olacağını araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 140Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu müfettişi, bir bölgedeki sigorta başvurularının eksik belgeli olma oranını ( $\theta$ ) Bayes yöntemiyle tahmin etmek istemektedir. $\theta$ parametresi için önsel (prior) dağılım $Beta(2, 2)$ olarak alınmıştır. Rastgele seçilen bir başvurunun ( $n=1$ ) incelenmesi sonucunda bu başvurunun eksik belgeli olduğu ( $x=1$ ) saptanmıştır.

Karesel hata kaybı (squared error loss) fonksiyonu kullanıldığına göre, $\theta$ parametresinin Bayes nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

0,4

0,5

0,6

2/3

1,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,6

Cevap

Bayes nokta tahmini 0,6 olarak hesaplanır.

Verilen problemde önsel dağılım

Beta(2, 2)

ve gözlem verisi

n=1, x=1

(başarı) şeklindedir. Beta ve Bernoulli dağılımları eşlenik olduğundan, sonsal dağılım yine bir Beta dağılımı olur ve parametreleri

\alpha' = \alpha + x = 3

ve

\beta' = \beta + n - x = 2

olarak güncellenir. Karesel hata kaybı fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın beklenen değeridir. Bu değer

\frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{3}{5} = 0,6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sonsal (posterior) dağılımın belirlenmesi

f(\theta|x) \sim Beta(\alpha + x, \beta + n - x)

Beta önsel dağılımı ve Bernoulli olabilirlik fonksiyonu birbirinin eşleniğidir (conjugate prior).

2

Sonsal dağılım parametrelerinin güncellenmesi

\alpha' = 2 + 1 = 3

ve

\beta' = 2 + 1 - 1 = 2

Verilen

\alpha=2, \beta=2, n=1, x=1

değerleri formülde yerine konur.

3

Bayes tahmin edicisinin hesaplanması

E[\theta|x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{3}{3 + 2} = 0,6

Karesel hata kaybı fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Beta-Bernoulli eşlenik dağılımları ve karesel hata kaybı altında Bayes tahmini.

Parametre Tahmin Yöntemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem