Tek Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir devlet hastanesinin acil servisinde hastaların triyaj değerlendirmesine alınma süresinin medyanının $12$ dakika olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı incelemek üzere rastgele seçilen $65$ hastanın kayıtları incelenmiştir. Yapılan incelemede;
- $10$ hastanın tam $12$ dakikada,
- $35$ hastanın $12$ dakikadan daha uzun sürede,
- $20$ hastanın ise $12$ dakikadan daha kısa sürede
triyaja alındığı tespit edilmiştir.

Büyük örneklem yaklaşımı ve süreklilik düzeltmesi (continuity correction) dikkate alınarak bir işaret testi yapılmak istenmektedir.

Buna göre, analize dahil edilecek geçerli örneklem hacmi ( $n'$ ) ve hesaplanan standart normal test istatistiğinin mutlak değeri ( $|Z_{hes}|$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

n' = 55

ve

|Z_{hes}| = \frac{8}{\sqrt{13,75}}

n' = 65

ve

|Z_{hes}| = \frac{2}{\sqrt{16,25}}

n' = 55

ve

|Z_{hes}| = \frac{7}{\sqrt{13,75}}

n' = 65

ve

|Z_{hes}| = \frac{12}{\sqrt{16,25}}

n' = 55

ve

|Z_{hes}| = \frac{7,5}{\sqrt{13,75}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n' = 55$ ve $|Z_{hes}| = \frac{7}{\sqrt{13,75}}$

Cevap

Geçerli örneklem hacminin

55

olduğu ve test istatistiğinin mutlak değerinin

\frac{7}{\sqrt{13,75}}

olarak hesaplandığı seçenektir.

Doğru seçenekte, hipotez testinin temel kuralı olan 'sıfır farklarının atılması' işlemi başarıyla gerçekleştirilmiş ve geçerli örneklem hacmi

55

olarak bulunmuştur. Ardından büyük örneklem normal yaklaşıma geçerken hesaplanan

\mu = 27,5

ortalama değeri baz alınarak süreklilik düzeltmesi doğru şekilde uygulanmış (

|35 - 0,5 - 27,5| = 7

) ve test istatistiği

\frac{7}{\sqrt{13,75}}

olarak hatasız formüle edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemlerin iddia edilen medyan değerinden (

12

) farkları alınarak işaretleri belirlenir.

Araştırmada

35

pozitif (

+

),

20

negatif (

-

) ve

10

adet sıfır (

0

) fark bulunmuştur.

İşaret testinin temel mantığı verilerin medyan etrafındaki yönelimini değerlendirmektir.

2

Medyana eşit olan (sıfır fark veren) gözlemler örneklemden çıkarılarak geçerli örneklem hacmi (

n'

) hesaplanır.

n' = 65 - 10 = 55

olarak belirlenir.

Medyana tam olarak eşit olan gözlemler herhangi bir yön (+ veya -) belirtmediklerinden analize bir bilgi sağlamazlar ve işaret testinde dışarıda bırakılırlar.

3

Büyük örneklem yaklaşımı kapsamında, binom dağılımının beklenen değeri (ortalama) ve standart sapması hesaplanır.

Ortalama

\mu = \frac{n'}{2} = \frac{55}{2} = 27,5

ve Standart Sapma

\sigma = \sqrt{\frac{n'}{4}} = \sqrt{\frac{55}{4}} = \sqrt{13,75}

bulunur.

Geçerli örneklem sayısı

25

'ten büyük olduğu için test istatistiği normal dağılıma yakınsar.

4

Pozitif veya negatif işaret sayısından biri seçilerek (örneğin pozitif işaret sayısı

X = 35

) süreklilik düzeltmesi uygulanır ve standart normal

Z

istatistiği elde edilir.

X = 35

kullanıldığında,

X > \mu

olduğu için süreklilik düzeltmesi gereği

0,5

çıkarılır.

Z_{hes} = \frac{35 - 0,5 - 27,5}{\sqrt{13,75}} = \frac{7}{\sqrt{13,75}}

bulunur. Sonucun mutlak değeri alınır.

Kesikli bir olasılık dağılımı olan binom dağılımı, sürekli bir dağılım olan normal dağılıma yaklaştırılırken hatayı azaltmak amacıyla

\pm 0,5

süreklilik düzeltmesi yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem İşaret Testinde Büyük Örneklem Yaklaşımı ve Süreklilik Düzeltmesi

Soru 102Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, nadir görülen bir metabolik rahatsızlığı bulunan $15$ hastanın kanındaki belirli bir enzimin konsantrasyon (mg/dL) düzeylerini ölçmüştür. Elde edilen verilerin dağılımının normal olup olmadığını belirlemek ve uygun istatistiksel analiz yöntemini seçmek amacıyla $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde normallik testleri uygulanmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen bulgular şöyledir:
- Shapiro-Wilk test istatistiği: $W = 0,865$ , $p\text{-değeri} = 0,024$
- Kolmogorov-Smirnov test istatistiği: $D = 0,198$ , $p\text{-değeri} = 0,115$

Bu bulgulara göre, araştırmacının istatistiksel yaklaşımı ve bunun arkasındaki teorik gerekçe aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Örneklem hacmi

30

'un altında kaldığı için yalnızca Kolmogorov-Smirnov testinin sonucu esas alınmalıdır;

p > 0,05

olduğundan

H_0

hipotezi reddedilemez ve verilerin normal dağıldığı kabul edilerek parametrik testler kullanılmalıdır.

Shapiro-Wilk testinde

p < 0,05

bulunması, evren dağılımının normal olduğunu ifade eden

H_0

hipotezini desteklediğinden, verilerin normallik varsayımını sağladığı kabul edilip parametrik testler tercih edilmelidir.

Kolmogorov-Smirnov testi normallik ölçümünde daha evrensel olduğu için çelişkili durumlarda tercih edilmelidir; testin

p > 0,05

sonucuna dayanılarak verilerin normal dağılmadığı yönündeki

H_0

hipotezi reddedilmeli ve parametrik olmayan testlere geçilmelidir.

Örneklem hacmi küçük (

n = 15

) olduğundan test gücü daha yüksek olan Shapiro-Wilk testinin sonucu dikkate alınmalıdır;

p < 0,05

olduğu için verilerin normal dağıldığını savunan

H_0

hipotezi reddedilmeli ve parametrik olmayan testler kullanılmalıdır.

Shapiro-Wilk testi yalnızca

n > 50

olan büyük örneklemlerde normallikten sapmayı tespit etmek için kullanıldığından test geçersiz sayılmalı ve dağılım hakkında karar vermeden doğrudan parametrik testler uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacmi küçük ( $n = 15$ ) olduğundan test gücü daha yüksek olan Shapiro-Wilk testinin sonucu dikkate alınmalıdır; $p < 0,05$ olduğu için verilerin normal dağıldığını savunan $H_0$ hipotezi reddedilmeli ve parametrik olmayan testler kullanılmalıdır.

Cevap

Örneklem hacmi küçük olduğundan test gücü daha yüksek olan Shapiro-Wilk testinin sonucu dikkate alınmalıdır;

p < 0,05

olduğu için verilerin normal dağıldığını savunan

H_0

hipotezi reddedilmeli ve parametrik olmayan testler kullanılmalıdır.

Normallik analizlerinde

H_0

hipotezi daima 'Örneklem, normal dağılıma sahip bir evrenden çekilmiştir' şeklinde kurulur. Araştırmadaki örneklem hacmi oldukça küçüktür (

n = 15

). Kolmogorov-Smirnov testinin istatistiksel gücü küçük örneklemlerde düşüktür; bu tür durumlarda özellikle normallik varsayımı için geliştirilmiş olan Shapiro-Wilk testinin tercih edilmesi istatistiksel açıdan zorunludur. Soruda verilen S-W testinin

p

-değeri (

0,024

), belirlenen hata payından (

\alpha = 0,05

) küçüktür. Bu matematiksel sonuç,

H_0

hipotezinin reddedilmesini gerektirir. Dolayısıyla, verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna ulaşılır. Normallik varsayımı ihlal edildiği için, araştırmacının uygulayacağı istatistiksel analizlerde (örneğin iki grup karşılaştırması yapılacaksa Bağımsız Örneklemler T-testi yerine Mann-Whitney U testi gibi) parametrik olmayan testleri kullanması gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem büyüklüğüne bakılarak hangi normallik testinin dikkate alınması gerektiğinin belirlenmesi.

Örneklem hacmi küçük (

n = 15

) olduğundan Shapiro-Wilk testinin seçilmesi.

Küçük örneklemlerde (

n < 50

) Shapiro-Wilk testinin istatistiksel gücü Kolmogorov-Smirnov testine göre çok daha yüksektir.

2

Normallik testi için kurulan hipotezlerin (

H_0

ve

H_1

) tanımlanması.

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir.

H_1

: Veriler normal dağılım göstermemektedir.

Normallik testleri, verilerin normal dağılıma sahip bir evrenden geldiğini varsayarak (yokluk hipotezi) işleme başlar.

3

Seçilen testin

p

-değerinin anlamlılık düzeyi (

\alpha = 0,05

) ile karşılaştırılıp yorumlanması.

Shapiro-Wilk testi için

p = 0,024 < 0,05

olduğundan

H_0

hipotezinin reddedilmesi.

Elde edilen olasılık değeri alfa hata payından küçük olduğunda, yokluk hipotezi reddedilir.

4

Hipotez testinin sonucuna göre verilecek nihai istatistiksel analizin belirlenmesi.

Parametrik olmayan testlerin kullanılmasına karar verilmesi.

Verilerin normal dağılmadığı kanıtlandığı için, parametrik testlerin varsayımları sağlanmamıştır; bu nedenle parametrik olmayan alternatiflere geçilmelidir.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk Testi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 103Soru →

Bir vergi dairesi müdürlüğü, belirli bir vergi iadesi türü için işlem süresinin medyan değerinin $14$ gün olduğunu öne sürmektedir. Bu iddiayı test etmek isteyen bir araştırmacı, rastgele seçilen $8$ adet dosyanın işlem sürelerini (gün olarak) aşağıdaki gibi kaydetmiştir:

12, \quad 18, \quad 15, \quad 14, \quad 9, \quad 20, \quad 11, \quad 16

Araştırmacı, bu veriler üzerinden tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testini uygulamak istemektedir.

Buna göre, bu testin uygulanabilmesi için verilerin çekildiği popülasyon dağılımına ilişkin sağlanması gereken temel varsayım ve hesaplanan test istatistiği ( $T$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru birlikte verilmiştir?

*(Not: Test istatistiği $T$ , pozitif ve negatif farklara ait sıra toplamlarından küçük olanı olarak alınacaktır.)*

Dağılımın simetrik olması;

T = 12,5

Dağılımın normal olması;

T = 12,5

Dağılımın simetrik olması;

T = 15,5

Dağılımın simetrik olması;

T = 6

Dağılımın normal olması;

T = 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dağılımın simetrik olması; $T = 12,5$

Cevap

Doğru seçenek popülasyon dağılımının simetrik olması gerektiğini ve hesaplanan test istatistiğinin T = 12,5 olduğunu belirten seçenektir.

Verilerin çekildiği popülasyon dağılımının simetrik olması tek örneklem Wilcoxon testinin varsayımıdır. İşlem sonucunda hesaplanan negatif farkların sıra toplamı

T^- = 12,5

ve pozitif farkların sıra toplamı

T^+ = 15,5

'tir. Test istatistiği bu iki değerin minimumu olduğu için doğru değer

T = 12,5

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Testin temel varsayımını belirleme.

Verilerin çekildiği popülasyon dağılımının simetrik olması gerektiği tespit edilir.

Tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi non-parametrik bir testtir. Dağılımın normal olmasını gerektirmez ancak medyan etrafında simetrik olduğunu varsayar.

2

Gözlem değerlerinin iddia edilen medyandan farklarını (

D_i

) hesaplama.

D_i = \{-2, 4, 1, 0, -5, 6, -3, 2\}

değerleri elde edilir.

Sıralama işlemine geçebilmek için her bir gözlemin test edilen medyan (

14

) değerinden uzaklığı (farkı) bulunmalıdır.

3

Sıfır farkını çıkarıp kalan farkların mutlak değerlerini sıralama.

Farkı sıfır olan gözlem çıkarılır (

n=7

). Mutlak değerler küçükten büyüğe sıralanır:

1, 2, 2, 3, 4, 5, 6

.

Wilcoxon testinde farkı sıfır olan gözlemler analize dahil edilmez. Sıralama işlemi büyüklüklerin (mutlak değerlerin) kendi içindeki sırasını görmek için yapılır.

4

Sıralanmış mutlak değerlere sıra numarası atama.

Sıra numaraları:

1 \rightarrow 1

,

2 \rightarrow 2,5

,

2 \rightarrow 2,5

,

3 \rightarrow 4

,

4 \rightarrow 5

,

5 \rightarrow 6

,

6 \rightarrow 7

.

Aynı mutlak değere sahip gözlemlere (burada iki adet

2

değeri

2.

ve

3.

sıraları paylaşır) alacakları ardışık sıra numaralarının aritmetik ortalaması (

(2+3)/2 = 2,5

) verilir.

5

İşaretli sıra toplamlarını hesaplama ve T istatistiğini bulma.

Negatif farkların toplamı

T^- = 12,5

; Pozitif farkların toplamı

T^+ = 15,5

bulunur. Küçük olan alınarak

T = 12,5

sonucuna ulaşılır.

Negatif farklar (

-2, -3, -5

) için sıra numaraları (

2,5 + 4 + 6 = 12,5

). Pozitif farklar (

1, 2, 4, 6

) için (

1 + 2,5 + 5 + 7 = 15,5

). Test istatistiği bu iki toplamdan küçük olanıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi Varsayımları ve Hesaplaması

Soru 104Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım koordinasyon merkezi, belirli bir güzergâhtaki toplu taşıma araçlarının durak harici yolcu indirme kural ihlali oranının, alınan yeni önlemlerle birlikte %20'nin altına düştüğünü iddia etmektedir. Bu iddiayı istatistiksel olarak test etmek amacıyla rastgele seçilen 14 otobüs seferi incelenmiş ve sadece 1 seferde söz konusu kural ihlalinin yapıldığı gözlenmiştir.

Araştırmacı, $\alpha = 0,05$ önem seviyesinde bu iddiayı test etmek istemektedir.

Buna göre, veri yapısına uygun olan testin seçimi ve karar kuralına temel oluşturacak p-değerinin (olasılık) elde edilişiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Dikotom veri yapısında her bir denemenin diğerini etkilemediği dikkate alındığında, beklenen frekans (

14 \cdot 0,20 = 2,8

) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımdan kaçınılmalı; kesin Binom testi kullanılarak p-değeri

P(X \leq 1)

biçiminde hesaplanmalıdır.

Örneklem hacmi parametrik olmayan testler için yeterli büyüklükte varsayılarak oranlar için Z testi (normal yaklaşım) uygulanmalı ve standart normal dağılım eğrisi altında z-değerine karşılık gelen sol kuyruk olasılığı bulunmalıdır.

Dikotom veri yapısı nedeniyle kesin Binom testi uygulanmalı, ancak I. tip hata riskini dengelemek amacıyla hipotez iki yönlü kurularak kümülatif olasılık

2 \cdot P(X \leq 1)

şeklinde elde edilmelidir.

Denemelerin aynı olasılığa sahip olduğu varsayımıyla kesin Binom testi tercih edilmeli, fakat iddiayı sınamak için kümülatif olasılık yerine yalnızca

P(X = 1)

eşitliğini sağlayan nokta olasılığı p-değeri olarak alınmalıdır.

Beklenen frekans değerleri hesaplanarak iki kategorili veriler için tek örneklem Ki-kare uyum iyiliği testi kullanılmalı ve elde edilen test istatistiği Ki-kare tablo değeri ile kıyaslanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dikotom veri yapısında her bir denemenin diğerini etkilemediği dikkate alındığında, beklenen frekans ( $14 \cdot 0,20 = 2,8$ ) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımdan kaçınılmalı; kesin Binom testi kullanılarak p-değeri $P(X \leq 1)$ biçiminde hesaplanmalıdır.

Cevap

Doğru seçenek, beklenen frekansın 5'ten küçük olması sebebiyle normal yaklaşımın reddedildiği ve sol kuyruk testi gereği kümülatif olasılığın (P(X ≤ 1)) alındığını belirten ifadedir.

Veriler iki kategorili (ihlal var/yok) olduğu için bir oran testi yapılması gerekmektedir. Bir oranın testinde normal yaklaşımın (Z testi) kullanılabilmesi için

n \cdot p_0 \geq 5

ve

n(1-p_0) \geq 5

şartları sağlanmalıdır. Örneklem hacmi

n=14

ve iddia edilen oran

p_0=0,20

olduğunda beklenen başarı sayısı

14 \cdot 0,20 = 2,8

olur. Bu değer 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşım kullanılamaz ve doğrudan Kesin Binom Testi'ne başvurulmalıdır. İddia '%20'nin altında' şeklinde olduğundan sol kuyruk (tek yönlü) testi yapılır; dolayısıyla p-değeri, gözlenen değere (1) eşit veya ondan daha küçük olan durumların kümülatif olasılık toplamı olan

P(X \leq 1)

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma probleminin veri yapısını ve hipotez yönünü belirleme.

Veriler dikotomdur (ihlal var/yok). İddia oranların '%20'nin altında' (

H_1: p < 0,20

) olmasıdır, dolayısıyla sol kuyruk testi yapılacaktır.

Test istatistiğinin formülünü ve olasılığın hesaplanma yönünü tayin etmek için.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme.

n = 14

ve

p_0 = 0,20

için beklenen frekans

n \cdot p_0 = 14 \cdot 0,20 = 2,8

bulunur. Bu değer 5'ten küçüktür.

Büyük örneklem teorisine dayalı parametrik yaklaşımın kullanılıp kullanılamayacağına karar vermek için.

3

Uygun test yöntemini ve p-değeri hesaplama formülünü oluşturma.

Varsayım ihlali (

2,8 < 5

) nedeniyle Kesin Binom Testi seçilir. Gözlenen ihlal sayısı 1 olduğundan ve sol kuyruk arandığından, p-değeri

P(X \leq 1)

olarak yazılır.

Karar kuralına temel teşkil edecek olan doğru olasılık uzayını matematiksel olarak ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Binom Testi Varsayımları ve Yönlü Hipotezlerde Kesin Olasılık Hesabı

Soru 105Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehir içi otobüslerin periyodik bakım süresinin medyan değerinin $75$ dakika olduğunu öngörmektedir. Bu öngörüyü test etmek amacıyla rastgele seçilen $8$ otobüsün bakım süreleri (dakika) aşağıda kaydedilmiştir:

$82, 75, 65, 89, 71, 84, 78, 62$

Bu öngörünün test edilmesinde "Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi" kullanılacaktır.

Buna göre, analizde hesaplanan test istatistiği değeri ( $T$ ) ve bu testin geçerli olabilmesi için ana kütle dağılımına ilişkin sağlanması gereken temel varsayım aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

13

; Ana kütle dağılımının simetrik olması

13

; Ana kütle dağılımının normal olması

6

; Ana kütle dağılımının simetrik olması

16

; Ana kütle dağılımının simetrik olması

15

; Ana kütle dağılımının normal olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13$ ; Ana kütle dağılımının simetrik olması

Cevap

Hesaplanan test istatistiği

T = 13

olmalı ve testin varsayımı olarak ana kütle dağılımının simetrik olması gerekmektedir.

Gözlemlerin

75

'ten sapmaları hesaplanır.

0

değeri veren ikinci gözlem dışlandıktan sonra kalanlar mutlak değerce küçükten büyüğe sıralanır:

|-13|, |-10|, |-4|, |3|, |7|, |9|, |14| \rightarrow 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14

. Bu mutlak değerlere

1

'den

7

'ye kadar sıra atanır. Orijinal işareti negatif olanlar (

4, 10, 13

) sırasıyla

2, 5, 6

numaralı sıraları alır; bunların toplamı

T^- = 13

yapar. İşareti pozitif olanların sıraları (

1, 3, 4, 7

) olup toplamları

T^+ = 15

'tir. Test istatistiği olarak bu iki değerin küçüğü alınır:

T = \min(15, 13) = 13

. Ayrıca, Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi farkların sadece yönünü değil büyüklüğünü de dikkate aldığı için dağılımın medyana göre simetrik olmasını varsayar.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem değerleri (

x_i

) ile test edilecek medyan (

M_0 = 75

) arasındaki farkları (

d_i = x_i - 75

) hesaplayınız.

82-75 = 7

,

75-75 = 0

,

65-75 = -10

,

89-75 = 14

,

71-75 = -4

,

84-75 = 9

,

78-75 = 3

,

62-75 = -13

.

Wilcoxon testinde ilk adım, verilerin test edilecek referans değerinden sapmalarını belirlemektir.

2

Farkı sıfır olan gözlemleri analizden çıkarınız ve yeni örneklem hacmini belirleyiniz.

İkinci gözlemin farkı

0

'dır. Bu değer çıkarıldığında analize dahil edilecek gözlem sayısı

n = 7

olarak kalır.

Test, medyana tam eşit olan değerleri değerlendirmeye almaz; analiz yalnızca sıfırdan farklı değerler üzerinden yürütülür.

3

Kalan farkların mutlak değerlerini (

|d_i|

) alıp, küçükten büyüğe doğru sıralayarak sıra numaraları atayınız.

Mutlak değerler:

3, 4, 7, 9, 10, 13, 14

. Bunlara karşılık gelen sıra numaraları sırasıyla:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

.

İşaretli sıra sayıları testinin istatistiksel gücü, sapmaların büyüklüklerine göre sıralanmasına dayanır.

4

Orijinal farkların işaretlerini (pozitif/negatif) bulduğunuz sıra numaralarına geri vererek, işaretli sıra toplamlarını (

T^+

ve

T^-

) ayrı ayrı hesaplayınız.

T^+ = 1 (3'ten) + 3 (7'den) + 4 (9'dan) + 7 (14'ten) = 15

.

T^- = 2 (4'ten) + 5 (10'dan) + 6 (13'ten) = 13

.

Hangi yöndeki sapmaların daha baskın olduğunu tespit etmek için pozitif ve negatif farkların sıraları ayrı gruplar halinde toplanır.

5

Test istatistiğini (

T

) belirleyiniz ve testin temel varsayımını kontrol ediniz.

T = \min(15, 13) = 13

. Testin varsayımı: Ana kütle dağılımının medyana göre simetrik olması.

İki yönlü test durumunda en küçük olan sıra toplamı test istatistiği olarak alınır. Wilcoxon testi, İşaret Testinden farklı olarak sapmaların büyüklüğünü dikkate aldığından ana kütlenin simetrik bir dağılıma sahip olmasını varsayar.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi Hesaplaması ve Teorik Varsayımları

Soru 106Soru →

Ulaştırma Bakanlığına bağlı bir otoyol kontrol merkezinde çalışan bir veri analisti, gişelerden geçen araçlar arasındaki zaman aralıklarının (sürekli bir rassal değişken), parametresi önceden $\lambda = 0.5$ olarak kesin biçimde bilinen bir üstel dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Analist, elindeki $n=40$ hacimli örneklemin ampirik (gözlenen) birikimli dağılım fonksiyonu $S_n(x)$ ile $\lambda = 0.5$ olan teorik birikimli dağılım fonksiyonu $F_0(x)$ 'i karşılaştırmak için Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini uygulamayı tercih eder.

Buna göre, analistin uyguladığı bu testin sıfır hipotezi ( $H_0$ ) ve hesaplayacağı $D$ test istatistiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

H_0

hipotezi "Örneklemin çekildiği kitle dağılımı,

\lambda=0.5

parametreli teorik üstel dağılım ile tamamen aynıdır" şeklinde kurulur ve

D

istatistiği,

S_n(x)

ile

F_0(x)

fonksiyonları arasındaki mutlak farkların maksimumunu (supremum) ifade eder.

H_0

hipotezi "Gözlenen verilerin dağılımı ile teorik dağılım arasında anlamlı bir fark yoktur" biçiminde ifade edilir ve

D

istatistiği,

S_n(x)

ile

F_0(x)

eğrileri arasındaki tüm mutlak farkların aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır.

H_0

hipotezi, sürekli veriler sınıflara ayrılarak her sınıf için elde edilen ampirik frekansların teorik beklenen frekanslara eşit olduğunu ileri sürer ve

D

istatistiği bu frekans farklarına dayanır.

K-S testi parametrik olmayan yapısı gereği yalnızca normallik sınamalarında kullanılabildiğinden, üstel dağılım senaryosu için

H_0

hipotezi test edilemez ve doğrudan Ki-kare testi tercih edilmelidir.

H_0

hipotezi kitlenin genel bir üstel dağılıma uyduğunu varsayar ve

\lambda

parametresi teorik olarak bilinmek yerine örneklem verilerinden tahmin edilerek

F_0(x)

fonksiyonuna yazılsa bile testin standart tablo değerleri aynı kalır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ hipotezi "Örneklemin çekildiği kitle dağılımı, $\lambda=0.5$ parametreli teorik üstel dağılım ile tamamen aynıdır" şeklinde kurulur ve $D$ istatistiği, $S_n(x)$ ile $F_0(x)$ fonksiyonları arasındaki mutlak farkların maksimumunu (supremum) ifade eder.

Cevap

H_0

hipotezinin, kitlenin belirli bir parametreye sahip teorik dağılımla aynı olduğunu ifade ettiği ve

D

istatistiğinin gözlenen ile teorik birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki maksimum mutlak farkı (supremum) ölçtüğünü belirten seçenektir.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, sürekli bir rassal değişkenin tam olarak belirtilmiş (parametreleri bilinen) teorik bir dağılıma (normal, üstel, düzgün vb.) uyumunu sınamak için geliştirilmiştir. Bu test, gözlenen (ampirik) birikimli dağılım fonksiyonu olan

S_n(x)

ile beklenen teorik birikimli dağılım fonksiyonu olan

F_0(x)

'i karşılaştırır. Sıfır hipotezi (

H_0

), örneklemin geldiği kitle dağılımının söz konusu teorik dağılımla aynı olduğunu ifade eder.

D

test istatistiği ise, bu iki kümülatif eğri arasındaki dikey uzaklıkların mutlak değerce en büyüğüdür (supremum). Eğer bu maksimum sapma, seçilen anlamlılık düzeyindeki kritik K-S tablo değerinden büyükse

H_0

reddedilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin uygulama koşullarını ve amacını belirleme.

K-S testi, sürekli bir rassal değişkenin tamamen tanımlanmış (parametreleri bilinen) bir teorik dağılıma uyup uymadığını sınar.

Senaryoda

\lambda=0.5

parametresi kesin olarak bilinen sürekli bir veri (zaman aralıkları) yapısı bulunduğundan K-S testinin kullanım varsayımları sağlanmaktadır.

2

H_0

hipotezinin matematiksel tanımını doğrulama.

H_0

hipotezi, kitle dağılım fonksiyonunun

F(x)

, test edilen teorik dağılım fonksiyonuna

F_0(x)

her

x

değeri için eşit olduğunu öne sürer.

Tüm uyum iyiliği testlerinde sıfır hipotezi her zaman "veri seti belirlenen teorik dağılımdan gelmektedir" şeklinde kurulur.

3

D

test istatistiğinin teorik hesaplanma mantığını tanımlama.

D

istatistiği,

S_n(x)

ile

F_0(x)

arasındaki dikey sapmaların supremum (maksimum mutlak fark) değeridir (

D = \max |S_n(x) - F_0(x)|

).

K-S testi, ortalama veya kümülatif sapmalara değil, teorik ve ampirik birikimli dağılımlar arasındaki en uç (en büyük) dikey uzaklığın kritik değeri aşıp aşmadığına odaklanır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testinin Varsayımları ve

D

İstatistiğinin Yorumlanması

Alternatif Yöntem

Veri setinin büyüklüğüne göre (örneğin

n>30

) asimptotik yaklaşımlar sergilenebilir. Ancak test istatistiğinin hesaplanma felsefesi (

D

istatistiğinin supremum olması) örneklem büyüklüğünden bağımsız olarak aynı kalır.

D = \max |S_n(x) - F_0(x)|

formülasyonu testin kalbidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 107Soru →

Bir Tarım ve Orman İl Müdürlüğü, çiftçilere hibe olarak dağıtılan gübre çuvallarının ağırlıklarının medyanının $50 \text{ kg}$ olduğu iddiasını test etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $12$ çuvalın ağırlıkları (kg cinsinden) aşağıda verilmiştir:

$48, 51, 49, 50, 47, 52, 50, 46, 53, 49, 48, 45$

Çuvalların ağırlıklarının medyanının $50 \text{ kg}$ 'dan farklı olup olmadığı tek örneklem işaret testi kullanılarak araştırılacaktır.

Buna göre, analize dâhil edilecek geçerli örneklem hacmi ( $n'$ ) ve test istatistiği değeri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

n' = 10

ve Test İstatistiği

= 3

n' = 12

ve Test İstatistiği

= 3

n' = 10

ve Test İstatistiği

= 7

n' = 12

ve Test İstatistiği

= 7

n' = 10

ve Test İstatistiği

= 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n' = 10$ ve Test İstatistiği $= 3$

Cevap

Geçerli örneklem hacmi

n' = 10

ve Test İstatistiği

= 3

değerlerini içeren seçenek doğrudur.

Verilen

12

gözlem incelendiğinde, iddia edilen

50

medyan değerine eşit olan tam

2

adet veri (

50, 50

) bulunmaktadır. İşaret testinde medyana eşit değerler analize dâhil edilmediğinden geçerli örneklem hacmi

n' = 12 - 2 = 10

olmalıdır. Kalan

10

gözlemden

3

tanesi

50

'den büyük (+ işaretli),

7

tanesi ise

50

'den küçüktür (- işaretli). Test istatistiği, artı ve eksi işaretlerinden sayıca daha az olanıdır. Bu nedenle test istatistiği

\min(3, 7) = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir gözlem değerinden iddia edilen medyan (

50

) değerini çıkararak farkların yönünü (işaretlerini) belirleme.

Elde edilen işaretler sırasıyla: (

-

), (

+

), (

-

), (

0

), (

-

), (

+

), (

0

), (

-

), (

+

), (

-

), (

-

), (

-

) şeklinde bulunur.

Tek örneklem işaret testinde verilerin mutlak büyüklüğünden ziyade, iddia edilen referans medyana göre hangi yönde saptıkları (+, - veya 0) temel alınır.

2

Elde edilen işaretlerin frekanslarını (sayılarını) sayma ve farkı sıfır olan gözlemleri saptama.

Pozitif (+) işaret sayısı

= 3

, Negatif (-) işaret sayısı

= 7

, Sıfır (0) sayısı

= 2

olarak belirlenir.

Test istatistiği ve analize dâhil edilecek nihai örneklem hacmi bu frekanslar üzerinden kurgulanacaktır.

3

Farkı sıfır olan gözlemleri başlangıçtaki örneklemden çıkararak geçerli örneklem hacmini (

n'

) hesaplama.

n' = 12 - 2 = 10

bulunur.

Medyana tam olarak eşit olan değerler herhangi bir yön belirtmediği için istatistiksel testte bilgi taşımazlar ve analiz dışında tutulurlar.

4

Test istatistiğini belirleme.

Test istatistiği, pozitif ve negatif işaret sayılarından küçük olanıdır:

\min(3, 7) = 3

.

İşaret testinde standart karar kuralları ve istatistiksel tablolar, en az gözlenen işaretin frekansı dikkate alınarak oluşturulmuştur.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem İşaret Testi ve Geçerli Örneklem Hacmi Hesaplaması

Soru 108Soru →

Bir araştırmacı, bir üretim hattından rastgele seçtiği $15$ ürünün ağırlıklarını (gram) sırasıyla ölçmüş ve verilerin rastgele bir dizilim gösterip göstermediğini analiz etmek istemiştir.

Ölçüm sırasına göre veriler şu şekildedir:
$24, 15, 20, 10, 27, 18, 22, 20, 12, 25, 14, 28, 16, 20, 30$

Araştırmacı, verilerin rastgeleliğini test etmek için serinin medyan (ortanca) değerini temel alan Dizi (Rastgelelik) Testi'ni uygulayacaktır.

Buna göre, analizde kullanılması gereken gözlenen dizi sayısı ( $r$ ) ve normal yaklaşım varsayımı altında beklenen dizi sayısı ( $\mu_r$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

r = 11,\ \mu_r = 7,0

r = 11,\ \mu_r = 8,2

r = 13,\ \mu_r = 8,2

r = 11,\ \mu_r = 5,8

r = 11,\ \mu_r = 6,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $r = 11,\ \mu_r = 7,0$

Cevap

Gözlenen dizi sayısının (r) 11 ve beklenen dizi sayısının (\mu_r) 7,0 olduğu seçenektir.

Dizi testinde analiz medyana göre yapıldığında, ilk adım verilerin medyanını bulmaktır. 15 verilik bu seride sıralama yapıldığında ortadaki değer (8. değer) 20'dir. Testin temel kuralı gereği referans değere (medyana) tam eşit olan gözlemler (üç adet 20 değeri) seriden ve örneklem çapından (

n

) tamamen çıkarılır. Geriye 12 geçerli veri kalır (

n_1=6

tane 20'den küçük,

n_2=6

tane 20'den büyük). Bu değerlerin orijinal ölçüm sırasındaki dizilimleri sırasıyla (B, A-A, B, A, B, A, B, A, B, A, B) şeklinde incelendiğinde ardışık grupların (dizilerin) sayısı

r=11

bulunur. Normal yaklaşımda beklenen dizi sayısı formülü

\mu_r = \frac{2n_1 n_2}{n_1+n_2} + 1

kullanılarak

\frac{72}{12} + 1 = 7,0

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilerin sıralanması ve medyanın tespit edilmesi.

Sıralı veri: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 20, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30. Veri sayısı tek (n=15) olduğu için ortadaki 8. değer medyandır. Medyan = 20.

Dizi testinde kategorizasyon yapabilmek için referans alınacak medyan değerinin doğru bulunması zorunludur.

2

Medyana eşit olan değerlerin analizden çıkarılması.

Ölçüm sırasındaki 20 değerleri atıldığında kalan orijinal sıra: 24, 15, 10, 27, 18, 22, 12, 25, 14, 28, 16, 30. Yeni geçerli örneklem hacmi

n = 12

olmuştur.

Dizi testinin kuralı gereği, referans değere tam eşit olan gözlemler yön (alt/üst) belirtmedikleri için analizden ve formüllerdeki toplamdan dışlanmalıdır.

3

Kalan verilerin medyanla karşılaştırılarak dizilerin sayılması (

r

).

Medyandan büyükler (B), küçükler (A) olarak işaretlendiğinde: B, A-A, B, A, B, A, B, A, B, A, B şeklinde bir sıra elde edilir. Sayıldığında gözlenen dizi sayısı

r = 11

bulunur.

Birbirini takip eden aynı işaretli ardışık veri gruplarının her birisi bir dizi (run) kabul edilir.

4

Normal yaklaşım varsayımı için beklenen dizi sayısının (

\mu_r

) hesaplanması.

Medyandan büyük

n_2=6

değer, medyandan küçük

n_1=6

değer vardır. Formül:

\mu_r = \frac{2n_1n_2}{n_1+n_2} + 1 = \frac{2(6)(6)}{12} + 1 = 6 + 1 = 7,0

.

Z test istatistiğine geçiş yapabilmek için teorik beklenen dizilim sayısına ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

Dizi (Rastgelelik) Testinde medyan kullanımı ve bağlı (eşit) değerlerin düzeltilmesi

Soru 109Soru →

Bir siber güvenlik merkezinde (SGM), ağdaki şüpheli aktivitelere ilk müdahale süresinin medyanının $15$ dakika olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $14$ farklı şüpheli aktivite vakasına ait müdahale süreleri (dakika cinsinden) aşağıda verilmiştir:

$12, 18, 15, 14, 11, 15, 20, 13, 10, 15, 17, 12, 14, 16$

Buna göre, iddiayı tek örneklem işaret testi ile sınamak isteyen bir uzmanın kullanması gereken geçerli (efektif) örneklem hacmi ( $n'$ ) ve test istatistiği ( $S$ ) değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir? (Test istatistiği hesaplanırken frekansı az olan işaretin sayısı dikkate alınacaktır.)

n' = 11

ve

S = 4

n' = 14

ve

S = 4

n' = 11

ve

S = 7

n' = 14

ve

S = 7

n' = 11

ve

S = 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n' = 11$ ve $S = 4$

Cevap

Geçerli örneklem hacmi

n' = 11

ve test istatistiği

S = 4

olmalıdır.

Tek örneklem işaret testinde, gözlem değerleri ile sınanan medyan değeri (

15

) arasındaki farkların işaretleri bulunur. Verilen dizide

15

'ten büyük

4

değer (+), küçük

7

değer (-) ve tam

15

olan

3

değer (0) bulunmaktadır. Farkı sıfır olan gözlemler örneklemden çıkarılarak geçerli örneklem hacmi

n' = 14 - 3 = 11

olarak hesaplanır. Test istatistiği (

S

) ise frekansı daha az olan işaretin sayısıdır; yani

S = \min(4, 7) = 4

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen her bir gözlem değerinden iddia edilen medyan değeri (

15

) çıkarılarak farkların işaretleri belirlenir.

4

adet pozitif (+),

7

adet negatif (-) ve

3

adet sıfır (0) fark bulunur.

İşaret testinin temel prensibi, gözlemlerin iddia edilen medyana göre yönünü (işaretini) belirlemektir.

2

Farkı sıfır olan gözlemler toplam örneklem hacminden çıkarılarak geçerli örneklem hacmi (

n'

) hesaplanır.

n' = 14 - 3 = 11

olarak elde edilir.

Medyana tam eşit olan değerler yön (işaret) belirtmediği için işaret testinde analize dahil edilmez.

3

Elde edilen pozitif ve negatif işaretlerin frekansları karşılaştırılarak, küçük olan frekans değeri test istatistiği (

S

) olarak seçilir.

S = \min(4, 7) = 4

olarak bulunur.

İşaret testinde test istatistiği standart olarak frekansı az olan işaretin sayısıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem İşaret Testinde Sıfır Farklarının Düzeltilmesi ve Test İstatistiğinin Belirlenmesi

Soru 110Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'na bağlı bir araştırma enstitüsünde görevli bir ziraat mühendisi, zararlılarla mücadelede kullanılan standart bir biyolojik ajanın başarı oranının $\%20$ olduğunu bilmektedir. Geliştirilen yeni bir biyolojik ajanın bu başarı oranını anlamlı düzeyde artırıp artırmadığını tespit etmek amacıyla, rastgele seçilen $14$ farklı sera alanında pilot bir uygulama gerçekleştirilmiştir. Araştırmacı, seraların birbirinden bağımsız olduğunu ve her serada başarı olasılığının sabit kaldığını varsaymaktadır. Uygulama sonucunda $6$ serada zararlılarla mücadelede tam başarı sağlandığı, diğerlerinde ise başarısız olunduğu (başarılı/başarısız şeklinde dikotom veri) kaydedilmiştir.

Buna göre, araştırmacının kurduğu hipotezleri test etme süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel açıdan en uygundur?

Beklenen başarı frekansı 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi yerine kesin Binom testi kullanılmalı ve p-değeri

P(X \geq 6)

şeklinde tek yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Denemelerin bağımsızlığı sağlandığından, dikotom veri yapısına uygun olan normal yaklaşımlı Z testi tercih edilmeli ve test istatistiği standart normal dağılım üzerinden değerlendirilmelidir.

Dikotom veri için kesin Binom testi uygun olmakla birlikte, istatistiksel testlerde kural gereği iki yönlü farklılık arandığı için p-değeri

2 \times P(X \geq 6)

şeklinde hesaplanmalıdır.

Beklenen frekans 5'ten küçük olduğu için kesin Binom testi kullanılmalı; ancak başarı oranının artışını göstermek adına p-değeri sol kuyruk olasılığı olan

P(X \leq 6)

dikkate alınarak bulunmalıdır.

Gözlem değerleri kategorik (başarılı/başarısız) olduğu için tek örneklem Ki-kare uyum iyiliği testi kullanılmalı ve analiz bu testin gerektirdiği serbestlik derecesine göre yapılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen başarı frekansı 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi yerine kesin Binom testi kullanılmalı ve p-değeri $P(X \geq 6)$ şeklinde tek yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Cevap

Beklenen başarı sayısının 5'ten küçük olması sebebiyle kesin Binom testi tercih edilmeli ve yeni ajanın başarıyı artırdığına dair iddiayı test etmek için p-değeri sağ kuyruk olasılığı olarak hesaplanmalıdır.

Araştırmada veri yapısı 'başarılı/başarısız' şeklinde dikotom (iki kategorili) olup, denemeler bağımsız ve başarı olasılığı sabittir. Tek örneklem oran testinde, beklenen frekanslardan biri olan

np_0 = 14 \times 0,20 = 2,8

değeri 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi kullanılamaz. Bu durumda küçük örneklemler için geçerli olan kesin Binom testi kullanılmalıdır. Araştırmacının iddiası başarı oranının artması (

H_1: p > 0,20

) yönünde olduğundan test tek yönlü (sağ kuyruk) olmalıdır ve p-değeri, gözlemlenen değer (6) ile daha aşırı değerlerin olasılıkları toplamı olan

P(X \geq 6)

şeklinde hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma verisinin yapısını ve varsayımlarını belirleme

Veri yapısı başarılı/başarısız şeklinde iki kategorilidir (dikotom). Denemeler bağımsızdır ve başlangıç başarı olasılığı (

p_0 = 0,20

) sabittir.

Uygulanacak testin kategorik veri testleri arasından hangisi olacağına karar vermek için verinin özellikleri saptanmalıdır.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme

Beklenen başarı sayısı

np_0 = 14 \times 0,20 = 2,8

olarak hesaplanır. Bu değer 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşım koşulu sağlanmamaktadır.

Örneklem hacminin Merkezi Limit Teoremi'ne göre yeterli olup olmadığını doğrulamak ve parametrik yaklaşımın uygunluğunu denetlemek gereklidir.

3

Uygun testi seçme ve alternatif hipoteze göre p-değeri yönünü belirleme

Küçük örneklem ve dikotom veri koşullarında kesin Binom testi seçilir. İddia 'başarı oranının artması' (

H_1: p > 0,20

) olduğundan, 6 ve daha aşırı başarıların olasılığı olan sağ kuyruk olasılığı (

P(X \geq 6)

) hesaplanır.

Normal yaklaşımın sağlanmadığı durumlarda tek örneklem testleri için en uygun yöntem Binom testidir ve araştırma sorusundaki yön ifadesi testin kuyruk türünü belirler.

Anahtar Kavram

Binom Testinde Normal Yaklaşım Varsayımı ve Tek Yönlü Hipotez Kurulumu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 111Soru →

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünde görev yapan bir uzman, transit geçiş yapan ağır vasıtaların sınır kapısındaki bekleme sürelerini analiz etmektedir. İleri düzey istatistiksel modellemelere geçmeden önce, rastgele seçilmiş $14$ araca ait bekleme süresi ölçümlerinin (saat) dağılım özelliklerini incelemiştir. Uzman, gözlem sayısının azlığını dikkate alarak I. tip hata oranını korurken normallikten sapmaları yakalama gücü en yüksek olan uyum iyiliği testini seçmiş ve uygulanan test sonucunda $p$ -değerini $0,072$ olarak elde etmiştir.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyi temel alındığında, uzmanın tercih ettiği normallik testi ve bu testin sonucuna bağlı olarak izlemesi gereken istatistiksel yaklaşım hangi seçenekte doğru olarak ifade edilmiştir?

Test olarak Shapiro-Wilk seçilmelidir; p-değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için (

0,072 > 0,05

) verilerin normal dağıldığını ileri süren yokluk hipotezi reddedilemez ve analize parametrik testlerle devam edilmelidir.

Test olarak Lilliefors düzeltmeli Kolmogorov-Smirnov seçilmelidir; p-değerinin

0,05

'ten büyük çıkması normallik varsayımının kesin olarak sağlandığını kanıtlar, bu sebeple doğrudan parametrik analizlere geçilmelidir.

Test olarak Shapiro-Wilk seçilmelidir; p-değeri

0,05

'ten büyük olduğu için verilerin normal dağılım göstermediği yönündeki yokluk hipotezi reddedilemez ve parametrik olmayan testlere başvurulmalıdır.

Test olarak Kolmogorov-Smirnov seçilmelidir; p-değeri anlamlılık düzeyinden büyük bulunduğundan, normallikten sapmanın istatistiksel olarak anlamlı olduğuna karar verilip medyan temelli testler kullanılmalıdır.

Test olarak Shapiro-Wilk seçilmelidir; p-değeri anlamlılık düzeyine çok yakın (marjinal) bir sınırda olduğu için, Tip II hata riskini azaltmak amacıyla yokluk hipotezi reddedilmeli ve parametrik olmayan testler tercih edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test olarak Shapiro-Wilk seçilmelidir; p-değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için ( $0,072 > 0,05$ ) verilerin normal dağıldığını ileri süren yokluk hipotezi reddedilemez ve analize parametrik testlerle devam edilmelidir.

Cevap

Test olarak Shapiro-Wilk seçilmeli ve p-değeri 0,05'ten büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilmeyerek parametrik testlere devam edilmelidir.

Küçük örneklem hacimlerinde (

n < 30

) normallik sınaması için en yüksek istatistiksel güce sahip olan yöntem Shapiro-Wilk testidir. Normallik testlerinde yokluk hipotezi (

H_0

) her zaman 'Veriler normal dağılıma uygundur' şeklinde kurulur. Araştırmada elde edilen

p

-değeri (

0,072

), belirlenen anlamlılık düzeyinden (

\alpha = 0,05

) büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez. Bu istatistiksel durum, verilerin normal dağılım varsayımından anlamlı bir düzeyde sapmadığını gösterir. Normallik varsayımı sağlandığı için analizlere parametrik testlerle devam edilmesi en doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem sayısını (n=14) değerlendirerek uygun normallik testini belirleme

Gözlem sayısı küçük olduğu için istatistiksel gücü en yüksek olan Shapiro-Wilk testi seçilmelidir.

Kolmogorov-Smirnov testi büyük örneklemlerde kullanılırken, küçük örneklem hacimlerinde (n < 30) Shapiro-Wilk testi normallikten sapmaları yakalamada çok daha başarılıdır.

2

Normallik testi için yokluk hipotezini (H0) tanımlama

H0: Veriler normal dağılım göstermektedir.

Tüm uyum iyiliği testlerinde olduğu gibi normallik sınamalarında da yokluk hipotezi her zaman verilerin ilgili teorik dağılıma uyduğu yönünde kurulur.

3

Hesaplanan p-değerini anlamlılık düzeyi ile karşılaştırma

p = 0,072 > 0,05 olduğundan yokluk hipotezi (H0) reddedilemez.

Bir hipotez testinde elde edilen olasılık değeri (p-değeri) alfa anlamlılık düzeyinden büyükse, H0'ı reddetmek için yeterli istatistiksel kanıt yok demektir.

4

İstatistiksel sonuç üzerinden analiz sürecine karar verme

Verilerin normal dağılım varsayımını sağladığı kabul edilerek ortalama temelli parametrik testlere geçilir.

Parametrik testlerin en temel varsayımı olan normallik ihlal edilmediği için, daha güvenilir ve güçlü olan parametrik analizlere devam edilebilir.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk Testi Seçimi ve Normallik Hipotezlerinin Yorumlanması

Soru 112Soru →

Bir üretim tesisinde üretilen çelik halatların kopma mukavemetinin medyan değerinin $450$ kg olduğu iddia edilmektedir. Kopma mukavemeti dağılımının simetrik olduğu bilinmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $6$ çelik halatın kopma mukavemetleri (kg) sırasıyla aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Halat No	Kopma Mukavemeti (kg)
1	445
2	458
3	435
4	462
5	440
6	448

Buna göre, belirtilen iddiayı test etmek için uygulanacak Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi'nin pozitif işaretli sıralar toplamı ( $T^+$ ) ve negatif işaretli sıralar toplamı ( $T^-$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

T^+ = 8, \quad T^- = 13

T^+ = 11, \quad T^- = 10

T^+ = 13, \quad T^- = 8

T^+ = 20, \quad T^- = 32

T^+ = 6, \quad T^- = 15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T^+ = 8, \quad T^- = 13$

Cevap

Hesaplamalar sonucunda pozitif işaretli sıralar toplamı

T^+ = 8

ve negatif işaretli sıralar toplamı

T^- = 13

olarak bulunur.

Tek Örneklem Wilcoxon testinde öncelikle gözlemlerin medyandan farkları (

x_i - M_0

) bulunur. Bu farklar mutlak değerce küçükten büyüğe sıralanır ve sıra numarası verilir. Daha sonra orijinal farkın işareti pozitif olanların sıra numaraları toplanarak

T^+

, negatif olanların sıra numaraları toplanarak

T^-

elde edilir. Hesaplamalarımızda pozitif farklar +8 (3. sıra) ve +12 (5. sıra) olduğundan

T^+ = 3+5 = 8

olur. Negatif farkların sıra numaraları toplamı ise

T^- = 1+2+4+6 = 13

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir gözlem değerinden iddia edilen medyan (

450

) çıkarılarak farklar (

d_i

) hesaplanır.

Farklar sırasıyla: -5, +8, -15, +12, -10, -2 olarak bulunur.

Gözlemlerin medyan etrafındaki sapmalarının yönünü ve miktarını belirlemek için.

2

Farkların mutlak değerleri (

|d_i|

) alınarak küçükten büyüğe doğru sıralanır ve sıra numaraları verilir.

Mutlak farklar: 5, 8, 15, 12, 10, 2.
Sıralanmış hali: 2 (1. sıra), 5 (2. sıra), 8 (3. sıra), 10 (4. sıra), 12 (5. sıra), 15 (6. sıra).

Wilcoxon testinde sapmaların büyüklükleri işaretlerinden bağımsız olarak sıralanmalıdır.

3

Başlangıçtaki farkların işaretleri dikkate alınarak pozitif ve negatif sıra numaraları ayrı ayrı toplanır.

Pozitif farkların sıraları (8 ve 12 için): 3 + 5 = 8 (

T^+ = 8

).
Negatif farkların sıraları (-2, -5, -10, -15 için): 1 + 2 + 4 + 6 = 13 (

T^- = 13

).

Test istatistiğini elde edebilmek için işaret gruplarının sıra toplamlarına ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi Hesaplama Adımları

Soru 113Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan ardışık 15 yetkisiz erişim girişiminin tespit edilme sürelerini (saniye cinsinden) olay sırasına göre aşağıdaki gibi kaydetmiştir:

42,\ 45,\ 38,\ 40,\ 42,\ 48,\ 50,\ 42,\ 36,\ 39,\ 42,\ 46,\ 44,\ 41,\ 42

Uzman, bu tespit sürelerinin ardışık olarak rastgele bir dağılım gösterip göstermediğini ortancaya (medyana) göre dizi (rastgelelik) testi ile incelemek istemektedir.

Buna göre, bu test için hesaplanması gereken gözlenen dizi sayısı ( $r$ ), beklenen dizi sayısı ( $\mu_r$ ) ve dizi sayısının varyansı ( $\sigma_r^2$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

r = 6

,

\mu_r = 6

,

\sigma_r^2 = \frac{20}{9}

r = 7

,

\mu_r = \frac{23}{3}

,

\sigma_r^2 = \frac{170}{63}

r = 6

,

\mu_r = 5

,

\sigma_r^2 = 2

r = 7

,

\mu_r = \frac{29}{3}

,

\sigma_r^2 = \frac{211}{90}

r = 5

,

\mu_r = 6

,

\sigma_r^2 = \frac{20}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $r = 6$ , $\mu_r = 6$ , $\sigma_r^2 = \frac{20}{9}$

Cevap

Doğru seçenek gözlenen dizi sayısının 6, beklenen dizi sayısının 6 ve varyansın 20/9 olduğu seçenektir.

Veriler medyandan (42) büyük ve küçük olma durumlarına göre ayrıldığında, medyana eşit olan 5 adet değer (42) analiz dışı kalır. Kalan 10 gözlem için işaret dizisi: (+), (-,-), (+,+), (-,-), (+,+), (-) şeklindedir. Buradan

n_1=5

,

n_2=5

ve

r=6

bulunur. Formüller yerine konduğunda beklenen dizi sayısı

\mu_r = 6

ve varyans

\sigma_r^2 = \frac{20}{9}

olarak kusursuz bir şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri setinin ortancasını (medyanını) hesapla.

Sıralı veri: 36, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 44, 45, 46, 48, 50. Toplam

N=15

veri olduğundan, 8. değer medyandır. Medyan = 42 bulunur.

Dizi (rastgelelik) testinde, verilerin iki kategoriye (+ ve -) ayrılması için öncelikle referans noktası olan medyanın bulunması gerekir.

2

Orijinal veri sırasını koruyarak, değerleri medyan ile karşılaştır ve medyana eşit olanları analiz dışı bırak.

42 değerleri atılır. Kalan değerler: 45(+), 38(-), 40(-), 48(+), 50(+), 36(-), 39(-), 46(+), 44(+), 41(-).

Medyana göre dizi testinin en kritik varsayımı, medyana tam olarak eşit olan gözlemlerin (ties) dizi serisine dahil edilmemesidir. Bu işlem

N

hacmini küçültür.

3

İşaret dizisini oluşturarak

n_1

(artı sayısı),

n_2

(eksi sayısı) ve

r

(dizi sayısı) değerlerini belirle.

İşaret dizisi: +, -, -, +, +, -, -, +, +, -

n_1=5

ve

n_2=5

elde edilir (

n=10

).
Diziler: (+), (-,-), (+,+), (-,-), (+,+), (-) olmak üzere toplam

r = 6

adet dizi vardır.

Beklenen değer ve varyansın hesaplanabilmesi için her iki kategorideki gözlem sayılarına ve mevcut dizi sayısına ihtiyaç vardır.

4

Beklenen dizi sayısını (

\mu_r

) ve varyansı (

\sigma_r^2

) formülleri ile hesapla.

\mu_r = \frac{2n_1n_2}{n_1+n_2} + 1 = \frac{2(5)(5)}{10} + 1 = \frac{50}{10} + 1 = 6

.

\sigma_r^2 = \frac{2n_1n_2(2n_1n_2 - n_1 - n_2)}{(n_1+n_2)^2(n_1+n_2-1)} = \frac{50(50 - 10)}{100(9)} = \frac{2000}{900} = \frac{20}{9}

.

Analizin geçerliliği ve test istatistiğinin bulunması için popülasyon parametrelerinin tahminleyicileri olan beklenen değer ve varyans formülleri uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Medyana Göre Dizi (Rastgelelik) Testinde Medyana Eşit Değerlerin Atılması

Soru 114Soru →

Bir Çalışma ve İş Kurumu (İŞKUR) il müdürlüğünde, işsizlik ödeneği başvurularının onaylanma süresinin medyanının $15$ gün olduğu ifade edilmektedir. Kurum içi denetçiler, son dönemdeki yoğunluk sebebiyle işlemlerin yavaşladığını ve medyan onaylanma süresinin $15$ günden daha uzun olduğunu iddia etmektedir.

Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $36$ başvuru incelenmiştir. İnceleme sonucunda; $11$ başvurunun tam $15$ günde, $18$ başvurunun $15$ günden daha uzun sürede ve $7$ başvurunun ise $15$ günden daha kısa sürede onaylandığı belirlenmiştir.

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde yapılacak olan tek örneklem işaret testi için, büyük örneklem yaklaşımı ve süreklilik düzeltmesi kullanılarak hesaplanan test istatistiği ( $Z$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1,00

2,20

3,50

2,00

2,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,00$

Cevap

Hesaplanan süreklilik düzeltmeli test istatistiği değeri 2,00'dır.

Tek örneklem işaret testinde ilk adım, medyan değerine tam eşit olan gözlemleri çıkararak etkili örneklem hacmini (n') bulmaktır. Toplam 36 başvurudan 11'i tam 15 gün olduğundan, n' = 25 olarak bulunur. Alternatif hipotez M > 15 yönünde olduğu için 15 günden uzun sürenlerin sayısı (X = 18) dikkate alınır. Normal yaklaşımla beklenen değer μ = n'/2 = 12,5 ve standart sapma σ = √(n'/4) = 2,5'tir. Kesikli bir değerden sürekli bir dağılıma geçişte süreklilik düzeltmesi gereği X değeri ortalamaya yaklaştırılarak 0,5 küçültülür (17,5). Formülde yerine konduğunda: Z = (17,5 - 12,5) / 2,5 = 2,00 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması ve medyana eşit olan değerlerin tespit edilmesi.

H0: M = 15, H1: M > 15. Farkı sıfır olan (tam 15 gün süren) 11 gözlem analiz dışı bırakılır.

İşaret testinde medyan iddiasına tam eşit olan gözlemler teste bir yön belirtmediği için etkili örneklem hacminden (n') düşülür.

2

Etkili örneklem hacmi (n') ve işaret frekanslarının belirlenmesi.

n' = 36 - 11 = 25. Medyandan büyük olanların sayısı (artı işaretleri) S+ = 18'dir.

H1 hipotezi (M > 15) sağ kuyruk testi gerektirdiğinden, 15 günden daha uzun süren başvuruların sayısı test istatistiğinin temelini oluşturur.

3

Beklenen değer (μ) ve standart sapmanın (σ) hesaplanması.

μ = 25 / 2 = 12,5. σ = √(25 / 4) = 5 / 2 = 2,5.

Büyük örneklemlerde işaret testi binom dağılımından normal dağılıma yaklaşır.

4

Süreklilik düzeltmesi uygulanarak Z test istatistiğinin hesaplanması.

Z = (18 - 0,5 - 12,5) / 2,5 = 5 / 2,5 = 2,00.

Kesikli bir dağılımdan sürekli bir dağılıma geçiş yapıldığı için, 18 değeri ortalamaya (12,5) yaklaştırılacak şekilde 0,5 oranında küçültülür.

Anahtar Kavram

İşaret Testinde Büyük Örneklem Yaklaşımı ve Süreklilik Düzeltmesi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 115Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığında görevli bir ziraat mühendisi, belirli bir mikrohavzadaki yeraltı sularının nitrat kirlilik seviyelerini incelemektedir. Maliyet kısıtları nedeniyle bölgeden rastgele seçilen $12$ farklı kuyudan su numunesi alınmıştır. Mühendis, verilerin analizinde parametrik bir test kullanmak istemekte, bu nedenle öncelikle normallik varsayımını kontrol etmektedir. Aynı veri seti için $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde iki farklı normallik testi uygulanmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir:

* Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors düzeltmeli) Testi: $p = 0,082$
* Shapiro-Wilk Testi: $p = 0,034$

Bu sonuçlara göre, mühendisin veri setinin dağılımı ile ilgili alması gereken istatistiksel açıdan en uygun karar ve bu kararın teorik gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Örneklem hacmi küçük olduğu için Shapiro-Wilk testinin istatistiksel gücü daha yüksektir; bu nedenle

p < 0,05

sonucuna dayanılarak yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilmeli ve verilerin normal dağılmadığı sonucuna varılmalıdır.

Kolmogorov-Smirnov testi Lilliefors düzeltmesi ile birlikte uygulandığından küçük örneklemlerde her zaman Shapiro-Wilk testinden daha güvenilirdir; bu nedenle

p > 0,05

sonucuna dayanılarak verilerin normal dağıldığı kabul edilmelidir.

Shapiro-Wilk testinde p-değerinin

0,05

'ten küçük çıkması, verilerin normal dağılıma mükemmel uyum sağladığını gösterir; dolayısıyla

H_0

hipotezi kabul edilerek parametrik analizlere güvenle devam edilmelidir.

İki farklı normallik testinin çelişen p-değerleri üretmesi durumunda, Tip I hatayı minimize etmek amacıyla her zaman daha büyük p-değeri veren test tercih edilmeli ve normallik varsayımının sağlandığı varsayılmalıdır.

Örneklem hacmi

30

'dan küçük olduğunda normallik testleri güvenilir sonuç vermeyeceği için p-değerleri dikkate alınmaksızın Merkezi Limit Teoremi gereği verilerin normal dağıldığı varsayılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacmi küçük olduğu için Shapiro-Wilk testinin istatistiksel gücü daha yüksektir; bu nedenle $p < 0,05$ sonucuna dayanılarak yokluk hipotezi ( $H_0$ ) reddedilmeli ve verilerin normal dağılmadığı sonucuna varılmalıdır.

Cevap

Doğru karar, örneklem hacminin küçük olması sebebiyle istatistiksel gücü daha yüksek olan Shapiro-Wilk testinin dikkate alınması ve p < 0,05 olduğu için H0 hipotezinin reddedilerek verilerin normal dağılmadığı sonucuna varılmasıdır.

İstatistiksel analizlerde

n < 30

(veya bazen

n < 50

) olan küçük örneklemlerde normalliğin sınanması için istatistiksel gücü en yüksek olan test Shapiro-Wilk testidir. Kolmogorov-Smirnov testi (Lilliefors düzeltmesi yapılsa dahi) küçük örneklemlerde verilerin normalden sapmalarını yakalamada Shapiro-Wilk kadar hassas değildir ve sıklıkla Tip II hata yaparak

H_0

'ı reddedemez. Sorudaki senaryoda araştırmacı, testin gücü prensibine dayanarak Shapiro-Wilk sonucunu dikkate almalıdır. S-W testinde

p = 0,034

değeri

\alpha = 0,05

'ten küçük olduğu için 'Veriler normal dağılmaktadır' şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilmeli ve verilerin normal dağılmadığı sonucuna varılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Normallik testlerinin yokluk hipotezini (

H_0

) belirle.

H_0

: Örneklemin çekildiği yığın normal dağılıma sahiptir.

Tüm uyum iyiliği ve normallik testlerinde varsayılan durum (fark yoktur/uyum vardır)

H_0

olarak kurulur.

2

Örneklem büyüklüğünü (

n

) değerlendirerek uygun testi seç.

n=12

(küçük örneklem). Küçük örneklemlerde Shapiro-Wilk testinin istatistiksel gücü (1-

\beta

) Kolmogorov-Smirnov testine göre daha yüksektir.

Testin gücü, yanlış olan bir

H_0

hipotezini doğru bir şekilde reddetme yeteneğidir. K-S testi küçük örneklemlerde genellikle zayıftır ve

H_0

'ı reddetmekte başarısız olabilir (yüksek Tip II hata).

3

Seçilen testin p-değerini anlamlılık düzeyi (

\alpha

) ile karşılaştırarak karara var.

Shapiro-Wilk testi için

p = 0,034 < 0,05

olduğundan

H_0

reddedilir.

p-değeri anlamlılık düzeyinden küçük olduğunda, verilerin normal dağılımdan gelme olasılığı çok düşüktür; dolayısıyla normallik varsayımı sağlanmamıştır.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk Testinin Gücü ve Hipotez Yorumu

Soru 116Soru →

Bir Karayolları Bölge Müdürlüğü, sorumluluk alanındaki belirli bir güzergahta seyreden araç tiplerinin dağılımını incelemektedir. Geçmiş yıllara dayanan verilere göre araç tiplerinin aşağıdaki oranlarda dağıldığı iddia edilmektedir.

Belirli bir günde bu güzergahtan geçen rastgele seçilmiş $100$ aracın tipi kaydedilmiş ve aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Araç Tipi	İddia Edilen Dağılım (%)	Gözlenen Frekans ( $O$ )
Otomobil	$\%50$	$45$
Hafif Ticari Araç	$\%40$	$45$
Ağır Vasıta	$\%6$	$8$
Motosiklet	$\%4$	$2$

Araştırmacı, gözlenen frekansların iddia edilen dağılıma uygunluğunu Ki-kare Uyum İyiliği Testi ile analiz etmek istemektedir.

Buna göre, testin varsayımları dikkate alınarak hesaplanması gereken Ki-kare test istatistiğinin değeri ve serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

Test İstatistiği:

1,125

; Serbestlik Derecesi:

2

Test İstatistiği:

2,79

; Serbestlik Derecesi:

3

Test İstatistiği:

1,125

; Serbestlik Derecesi:

3

Test İstatistiği:

1,11

; Serbestlik Derecesi:

2

Test İstatistiği:

64,72

; Serbestlik Derecesi:

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test İstatistiği: $1,125$ ; Serbestlik Derecesi: $2$

Cevap

Doğru seçenek test istatistiğinin 1,125 ve serbestlik derecesinin 2 olduğu seçenektir.

Ki-kare uyum iyiliği testinde ilk adım beklenen frekansların (

E

) hesaplanmasıdır. Otomobil için

50

, Hafif Ticari için

40

, Ağır Vasıta için

6

ve Motosiklet için

4

değeri bulunur. Ki-kare testinin temel varsayımlarından biri, beklenen frekansların

5

'ten küçük olmamasıdır. Motosiklet kategorisinin beklenen frekansı (

4 < 5

) olduğundan, en yakın/benzer kategori olan Ağır Vasıta ile birleştirilmelidir. Birleştirme sonrası yeni kategorinin gözlenen frekansı

8+2=10

ve beklenen frekansı

6+4=10

olur. Test istatistiği formülü uygulanarak:

\chi^2 = \frac{(45-50)^2}{50} + \frac{(45-40)^2}{40} + \frac{(10-10)^2}{10} = 0,5 + 0,625 + 0 = 1,125

bulunur. Başlangıçta 4 olan kategori sayısı birleştirme işlemi sonucu 3'e düşmüştür. Bu nedenle serbestlik derecesi

sd = 3 - 1 = 2

olarak hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansları (

E

) iddia edilen oranlara göre hesaplamak.

Otomobil:

100 \times 0,50 = 50

, Hafif Ticari:

100 \times 0,40 = 40

, Ağır Vasıta:

100 \times 0,06 = 6

, Motosiklet:

100 \times 0,04 = 4

.

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerler (

O

) ile teorik beklentiler (

E

) karşılaştırılır.

2

Ki-kare varsayımını kontrol ederek gerekli kategori birleştirmesini yapmak.

Motosiklet sınıfının beklenen frekansı

4 < 5

olduğu için Ağır Vasıta kategorisi ile birleştirilir. Yeni kategori (Ağır Vasıta + Motosiklet) için

O = 8+2=10

ve

E = 6+4=10

olur.

Testin geçerliliği için beklenen frekansların 5'ten küçük olmaması kuralı sağlanmalıdır.

3

Birleştirilmiş verilerle test istatistiğini (

\chi^2

) hesaplamak.

\chi^2 = \frac{(45-50)^2}{50} + \frac{(45-40)^2}{40} + \frac{(10-10)^2}{10} = 0,5 + 0,625 + 0 = 1,125

.

Ki-kare değeri, gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki farkın karesinin beklenen frekansa bölümünün toplamıdır.

4

Yeni durum için serbestlik derecesini (

sd

) hesaplamak.

sd = k - 1 = 3 - 1 = 2

.

Birleştirme sonrası kategori sayısı

k=3

olmuştur ve dışarıdan bir parametre tahmini yapılmamıştır (

m=0

).

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testinde Varsayım Kontrolü ve Kategori Birleştirme

Soru 117Soru →

Türkiye Halk Sağlığı Kurumu'nda görevli bir epidemiyolog, yeni tanımlanan bir virüs varyantının kuluçka süresinin (gün cinsinden hesaplanan sürekli veri) parametreleri ( $\mu$ ve $\sigma^2$ ) önceden tam olarak bilinen teorik bir normal dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Araştırmacı, rastgele seçilen $n=20$ hastadan oluşan bu küçük örneklem üzerinde normallik varsayımını sınamak için Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini uygulamaya karar vermiştir.

Buna göre, araştırmacının kullanacağı testin hipotezleri, hesaplayacağı test istatistiği ( $D$ ) veya testin seçim koşullarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Testin

H_0

hipotezi "Örneklemin çekildiği yığın dağılımı ile belirtilen teorik normal dağılım arasında fark yoktur" şeklindedir ve hesaplanacak

D

istatistiği, gözlenen birikimli dağılım ile teorik birikimli dağılım arasındaki mutlak farkların en büyüğüdür.

Hesaplanacak

D

test istatistiği, her bir gözlem değeri için elde edilen teorik ve gözlenen birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki farkların mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını ifade eder.

Örneklem hacmi küçük (

n=20

) ve veriler sürekli olduğu için, Kolmogorov-Smirnov testi yerine verilerin gruplandırılarak Ki-Kare uyum iyiliği testinin (beklenen frekanslar üzerinden) kullanılması istatistiksel açıdan daha güçlü sonuç verir.

Uyum iyiliğini araştıran bu testin

H_0

hipotezi, "Gözlenen verilerin birikimli dağılımı ile teorik normal dağılım arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark vardır" biçiminde kurulmalıdır.

Eğer normal dağılımın kitle parametreleri (

\mu

ve

\sigma^2

) önceden bilinmeyip bu

20

kişilik örneklem verisinden tahmin edilseydi bile, standart Kolmogorov-Smirnov test istatistiği sınır değerleri geçerliliğini korurdu.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Testin $H_0$ hipotezi "Örneklemin çekildiği yığın dağılımı ile belirtilen teorik normal dağılım arasında fark yoktur" şeklindedir ve hesaplanacak $D$ istatistiği, gözlenen birikimli dağılım ile teorik birikimli dağılım arasındaki mutlak farkların en büyüğüdür.

Cevap

Testin

H_0

hipotezinin "fark yoktur" şeklinde kurulduğunu ve

D

istatistiğinin gözlenen ile teorik birikimli dağılımlar arasındaki en büyük mutlak farkı temsil ettiğini belirten ifadedir.

Doğru seçenek, Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin temel iki kuralını eksiksiz tanımlar: (1)

H_0

hipotezi her zaman ampirik dağılımın belirtilen teorik dağılıma uyduğu (fark olmadığı) üzerine kurulur. (2) Karar vermek için hesaplanan

D

test istatistiği, gözlenen (ampirik) birikimli dağılım fonksiyonu ile iddia edilen teorik birikimli dağılım fonksiyonu grafikleri arasındaki dikey uzaklıkların (mutlak farkların) en büyüğünü (supremum) ölçer.

Adım Adım Çözüm

1

Kolmogorov-Smirnov (K-S) testinin hipotez yapısını analiz et.

H_0

: Gözlenen dağılım ile teorik dağılım aynıdır (Fark yoktur).

H_1

: İki dağılım birbirinden farklıdır.

Tüm uyum iyiliği testlerinde temel amaç, verinin iddia edilen dağılımdan gelip gelmediğini (uyumlu olup olmadığını) test etmektir.

2

D

test istatistiğinin matematiksel tanımını değerlendir.

D = \sup_x |S_n(x) - F_0(x)|

formülü geçerlidir. Yani

D

, gözlenen birikimli fonksiyon (

S_n

) ile teorik birikimli fonksiyon (

F_0

) arasındaki farkların ortalaması değil, maksimum (en büyük) dikey sapmasıdır.

Test, veri setindeki en ekstrem sapmayı baz alarak teorik dağılımdan ne kadar uzaklaşıldığını ölçer.

3

Küçük örneklem ve sürekli veri koşullarında test seçimini değerlendir.

Veriler sürekli ve

n=20

olduğundan K-S testi, verileri sınıflamaya zorlayarak bilgi kaybı yaratan Ki-Kare testinden daha etkindir.

Ki-Kare testi kategorik veriler veya büyük örneklemlerde gruplandırılmış sürekli veriler için uygundur ve beklenen frekans

\ge 5

kuralını gerektirir.

4

Parametrelerin bilinmesi varsayımını (Lilliefors koşulunu) kontrol et.

Parametreler örneklemden tahmin edilirse klasik K-S tablosu geçersiz olur, Lilliefors düzeltmesi gerekir. Soruda parametrelerin önceden "tam olarak bilindiği" belirtildiği için klasik K-S testi kullanıma uygundur.

Parametre tahmini,

D

istatistiğinin dağılımını etkileyerek standart kritik değerlerin testin Tip 1 hata oranını bozmasına yol açar.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testinin Tanımı ve İstatistiği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 118Soru →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK) bünyesinde çalışan bir araştırmacı, Türkiye genelindeki rüzgâr enerjisi santrallerinin günlük kapasite faktörü sapmalarının (sürekli bir değişken), parametreleri üretici standartlarına göre önceden kesin olarak bilinen spesifik bir teorik normal dağılıma uyup uymadığını analiz etmektedir. Araştırmacı, bu uyum iyiliğini değerlendirmek için gözlenen ampirik birikimli dağılım fonksiyonu ( $S_n(x)$ ) ile kuramsal birikimli dağılım fonksiyonunu ( $F_0(x)$ ) karşılaştıran Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini kullanmaya karar vermiştir.

Bu analizin metodolojik çerçevesi ve K-S testinin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Kapasite faktörü sapmaları sürekli bir değişken olduğu için K-S testinin kullanılması varsayım ihlalidir; test yalnızca kesikli dağılımlara uyumun incelenmesinde geçerlidir.

D

test istatistiği, veri setindeki her bir gözlem için hesaplanan

S_n(x)

ile

F_0(x)

arasındaki mutlak farkların aritmetik ortalamasını temel alarak hesaplanır.

Testin sıfır hipotezi (

H_0

) "Örneklemin çekildiği evren dağılımı ile belirtilen teorik dağılım aynıdır" şeklinde kurulur ve test istatistiği (

D

),

S_n(x)

ile

F_0(x)

arasındaki maksimum mutlak farktır.

Teorik dağılıma ait parametreler dışsal olarak bilinmeyip doğrudan örneklem verisinden tahmin edilseydi, klasik K-S testinin istatistiksel gücü ve kesinliği artardı.

Araştırmacı K-S testi yerine Ki-kare uyum iyiliği testini uygulasaydı, istatistiksel geçerlilik için beklenen frekansların 5'ten küçük olmasını sağlamalıydı.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Testin sıfır hipotezi ( $H_0$ ) "Örneklemin çekildiği evren dağılımı ile belirtilen teorik dağılım aynıdır" şeklinde kurulur ve test istatistiği ( $D$ ), $S_n(x)$ ile $F_0(x)$ arasındaki maksimum mutlak farktır.

Cevap

Doğru ifade, testin sıfır hipotezinin evren ve teorik dağılımın aynılığı üzerine kurulduğunu ve test istatistiğinin gözlenen ile kuramsal birikimli dağılımlar arasındaki maksimum mutlak fark olduğunu belirten seçenektir.

Kolmogorov-Smirnov (K-S) testinde sıfır hipotezi, örneklemin çekildiği evrenin dağılım fonksiyonunun (

F(x)

), parametreleri önceden bilinen spesifik bir teorik dağılım fonksiyonuna (

F_0(x)

) eşit olduğunu öne sürer. Bu uyumu sınamak için kullanılan

D

test istatistiği, ampirik birikimli dağılım fonksiyonu (

S_n(x)

) ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki farkların mutlak değerlerinin supremumunu (en büyük sapmayı) hesaplayarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kolmogorov-Smirnov testinin sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlama.

H_0: F(x) = F_0(x)

formunda kurulur. Yani yığının dağılımı, belirlenen teorik dağılım ile aynıdır.

Uyum iyiliği testleri genel olarak gözlenen yapının belirli bir kuramsal yapıya (örneğin normal dağılım) uyduğu varsayımıyla yola çıkar.

2

Test istatistiği (

D

) hesaplama formülasyonunu inceleme.

D = \sup_x |S_n(x) - F_0(x)|

formülü geçerlidir. Bu, iki fonksiyon arasındaki ortalamayı değil, en büyük mutlak farkı ifade eder.

Test, en kötü uyum noktasındaki sapmanın şans eseri olup olamayacağını değerlendirerek karar verir.

3

K-S testinin temel varsayımlarını (veri tipi ve parametre bilinci) değerlendirme.

K-S testi sürekli veriler için optimize edilmiştir. Ayrıca,

F_0(x)

'in varyans ve ortalama gibi parametrelerinin önceden kesin olarak bilinmesini gerektirir; tahmin edilirse klasik formül aşırı tutucu sonuç verir.

Parametreler örneklem verisiyle tahmin edildiğinde, teorik dağılım veriye yapay olarak yaklaştırılmış olur. Bu sorunu aşmak için Lilliefors düzeltmesine başvurulmalıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinin hipotez yapısı, D istatistiğinin matematiksel tanımı ve parametre tahmini durumunda testin kısıtları.

Soru 119Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) Kalite Kontrol Daire Başkanlığı, tedarik edilen özel donanımlı dizüstü bilgisayarların bataryalarının zorlu saha koşullarında dayanıklılığını incelemektedir. İlgili şartnameye göre, bu bataryaların söz konusu koşullarda arıza verme oranının en fazla %5 ( $\pi \leq 0.05$ ) olması zorunludur. Seçilen her bir bataryanın durumu diğerlerinden bağımsızdır ve arıza gözlenme olasılığının tüm bataryalar için aynı olduğu kabul edilmektedir.

Teslim alınan partiden rastgele seçilen $15$ batarya laboratuvar testine tabi tutulmuş ve $2$ bataryanın test sırasında arıza verdiği tespit edilmiştir. Uzmanlar, partinin şartnameye uygunluğunu reddetmek için arıza oranının %5'ten istatistiksel olarak anlamlı derecede yüksek olup olmadığını sınamak istemektedir.

Bu sürece ilişkin yapılacak hipotez testi ve yöntemi hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve arıza ihtimalinin sabitliği varsayımları altında iki kategorili veriler değerlendirilirken, beklenen frekans (

np = 0.75

) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşıma dayalı Z oran testi uygulanamaz; testin

p

-değeri sağ kuyruk olasılığını (

P(X \geq 2)

) temel alan Binom testi ile hesaplanmalıdır.

Gözlem sayısı küçük (

n = 15

) olduğu için öncelikle dağılımın normalliği Kolmogorov-Smirnov testi ile sınanmalı, normallik varsayımı ihlal ediliyorsa oransal analizler yerine sürekli veriler için geliştirilmiş non-parametrik alternatifler kullanılmalıdır.

İncelenen değişkenin yalnızca iki farklı sonuç üretebilmesi sebebiyle, beklenen frekansların yeterli büyüklükte olup olmadığına bakılmaksızın doğrudan Ki-kare uyum iyiliği testine başvurulmalı ve analiz bu yöntemle sonuçlandırılmalıdır.

İddia tek yönlü (

H_1: \pi > 0.05

) olarak kurulmuş olsa da, test istatistiğinin anlamlılığı hesaplanırken hata payını minimize etmek amacıyla yönsüz bir analiz yapılıyormuş gibi çift kuyruk olasılığı (

2 \times P(X \geq 2)

) dikkate alınmalıdır.

Test edilen partideki arızalı ve arızasız bataryalar birbiriyle bağımlı iki ölçüm grubu gibi ele alınmalı ve aralarındaki farkın istatistiksel açıdan anlamlılığı Wilcoxon işaretli sıralar testi kullanılarak değerlendirilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve arıza ihtimalinin sabitliği varsayımları altında iki kategorili veriler değerlendirilirken, beklenen frekans ( $np = 0.75$ ) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşıma dayalı Z oran testi uygulanamaz; testin $p$ -değeri sağ kuyruk olasılığını ( $P(X \geq 2)$ ) temel alan Binom testi ile hesaplanmalıdır.

Cevap

Doğru yanıt, verilerin iki kategorili doğası gereği Binom testinin kullanılması gerektiğini, beklenen frekans düşük olduğu için normal yaklaşımın uygulanamayacağını ve tek yönlü hipotez sebebiyle sağ kuyruk olasılığının (

P(X \geq 2)

) hesaplanması gerektiğini ifade eden seçenektir.

Senaryoda verilen durum, başarılı/başarısız (arızasız/arızalı) şeklinde sadece iki sonuç barındıran ve denemelerin birbirinden bağımsız olduğu bir yapıya sahiptir. Bu durumda ilgilenilen oran için uygun analiz yöntemi Binom testidir. Ayrıca,

n=15

ve

p=0.05

için beklenen arızalı ürün sayısı

15 \times 0.05 = 0.75

olup, bu değer 5'ten küçüktür. Beklenen frekans 5'ten küçük olduğunda normal dağılım yaklaşımı (Z oran testi) güvenilir sonuç vermez ve kesin (exact) Binom olasılıkları hesaplanmalıdır. Araştırma hipotezi arıza oranının %5'ten büyük olup olmadığını (

H_1: \pi > 0.05

) sınadığı için test tek yönlüdür ve elde edilen gözlemden (

X=2

) daha aşırı durumların olasılıkları toplanarak, yani sağ kuyruk olasılığı olan

P(X \geq 2)

hesaplanarak testin p-değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve hipotezleri tanımlama

Değişken iki kategorilidir (arızalı/arızasız). Boş hipotez

H_0: \pi \leq 0.05

iken, alternatif hipotez

H_1: \pi > 0.05

(sağ kuyruk) olarak belirlenir.

Test edilecek iddianın 'oranın %5'ten anlamlı derecede yüksek olması' koşuluna dayanması.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme

Örneklem hacmi

n=15

ve test edilen oran

p=0.05

için beklenen arızalı sayısı

np = 15 \times 0.05 = 0.75

olarak bulunur.

Z oran testinin kullanılabilmesi için hem

np \geq 5

hem de

n(1-p) \geq 5

koşullarının sağlanması zorunludur.

3

Uygun test yöntemini ve p-değeri hesaplama mantığını seçme

Beklenen frekans koşulu sağlanmadığı (

0.75 < 5

) için Z testi yerine kesin (exact) Binom testi seçilir. Hipotez sağ kuyruk olduğundan,

X=2

ve daha aşırı sonuçların olasılığı olan

P(X \geq 2)

hesaplanır.

Küçük örneklemlerde oran testi için Binom dağılımının kendi olasılık formülü üzerinden kesin hesaplama yapılması teorik bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Binom Testi ve Normal Yaklaşım Varsayımları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 120Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğü, erken emeklilik başvurularını başvuru sahiplerinin prim gün sayısına göre dört farklı kategoriye ayırmaktadır. Geçmiş yıllara ait kurumsal verilere göre, başvuruların bu dört kategoriye dağılım oranları belirlenmiştir.

Müdürlük, son dönemde rastgele seçilen $100$ başvurunun söz konusu tarihsel dağılıma uyum gösterip göstermediğini Ki-Kare uyum iyiliği testi ile incelemek istemektedir. Gözlenen başvuru sayıları ve geçmişe dayalı beklenen oranlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kategori (Prim Gün Sayısı)	Beklenen Oran	Gözlenen Frekans ( $O$ )
1. Kategori (5000-5999 gün)	$\%40$	$35$
2. Kategori (6000-6999 gün)	$\%40$	$45$
3. Kategori (7000-7999 gün)	$\%16$	$18$
4. Kategori (8000 gün ve üzeri)	$\%4$	$2$

Bu veriler kullanılarak Ki-Kare uyum iyiliği testi gerçekleştirilecektir. Testin istatistiksel varsayımları eksiksiz biçimde dikkate alındığında, hesaplanması gereken test istatistiği değeri ve testin serbestlik derecesi (sd) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Test İstatistiği:

1,25

; Serbestlik Derecesi:

2

Test İstatistiği:

2,50

; Serbestlik Derecesi:

3

Test İstatistiği:

1,25

; Serbestlik Derecesi:

3

Test İstatistiği:

2,50

; Serbestlik Derecesi:

4

Test İstatistiği:

1,27

; Serbestlik Derecesi:

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test İstatistiği: $1,25$ ; Serbestlik Derecesi: $2$

Cevap

Testin kurallarına uygun biçimde son iki kategorinin birleştirilmesi sonucu Test İstatistiği 1,25 ve Serbestlik Derecesi 2 olarak bulunur.

Beklenen frekanslar hesaplandığında son hücrenin beklenen değeri 4 çıkmaktadır. Bu değer 5'ten küçük olduğu için bir önceki hücreyle birleştirilir. Gözlenen değerler 35, 45, 20 ve beklenen değerler 40, 40, 20 olacak şekilde analiz edildiğinde test istatistiği 1,25 elde edilir. Kategori sayısı 3'e düştüğü için serbestlik derecesi de 3 - 1 = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir kategori için beklenen frekansları (

E = n \times p

) hesaplayınız.

E_1 = 100 \times 0,40 = 40

E_2 = 100 \times 0,40 = 40

E_3 = 100 \times 0,16 = 16

E_4 = 100 \times 0,04 = 4

Ki-Kare uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin beklenen değerlerden ne kadar saptığını ölçmek için öncelikle her sınıfın beklenen frekansı bulunmalıdır.

2

Beklenen frekansların 5'ten küçük olup olmadığını kontrol ediniz ve gerekiyorsa kategorileri birleştiriniz.

4. kategorinin beklenen frekansı (

E_4 = 4

) 5'ten küçük olduğu için, 3. kategori ile birleştirilmelidir.
Yeni 3. Kategori (3 ve 4. sınıfların birleşimi):

O_{yeni} = 18 + 2 = 20

E_{yeni} = 16 + 4 = 20

Ki-Kare testinin temel varsayımına göre, hiçbir hücrenin beklenen frekansı 5'ten küçük olmamalıdır. Küçük olması durumunda komşu hücrelerle birleştirme işlemi yapılmalıdır.

3

Birleştirilmiş veriler üzerinden Ki-Kare test istatistiğini (

\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}

) hesaplayınız.

\chi^2 = \frac{(35-40)^2}{40} + \frac{(45-40)^2}{40} + \frac{(20-20)^2}{20}

\chi^2 = \frac{25}{40} + \frac{25}{40} + \frac{0}{20} = 0,625 + 0,625 + 0 = 1,25

Test istatistiği, birleştirme sonrasında oluşan yeni hücreler üzerinden klasik formül kullanılarak elde edilir.

4

Yeni kategori sayısını (k') temel alarak serbestlik derecesini (sd) hesaplayınız.

Birleştirme işleminden sonra toplam kategori sayısı

k' = 3

olmuştur.
Serbestlik derecesi:

sd = k' - 1 = 3 - 1 = 2

.

Serbestlik derecesi hesaplanırken orijinal kategori sayısı değil, birleştirme sonrası geriye kalan kategori sayısı (

k'

) dikkate alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Ki-Kare uyum iyiliği testinde beklenen frekansı 5'ten küçük olan hücrelerin birleştirilmesi varsayımı ve serbestlik derecesinin ayarlanması.

Tek Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm