Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir üretim işletmesinde, ürün kalitesini etkileyen 4 farklı faktörün (A, B, C ve D) incelenmesi planlanmaktadır. Tüm olası kombinasyonların denendiği $2^4$ tam faktöriyel tasarım maliyetli ve zaman alıcı olacağından, deneme sayısının yarıya düşürüldüğü $2^{4-1}$ kesirli (kısmi) faktöriyel tasarım uygulanmıştır.

Bu tasarım değişikliğinin bir sonucu olarak ortaya çıkan "karıştırma (confounding / aliasing)" durumu, istatistiksel analizde aşağıdakilerden hangisine yol açar?

Belirli temel etkilerin veya düşük dereceli etkileşimlerin, diğer etkileşimlerle örtüşmesi nedeniyle istatistiksel olarak birbirinden bağımsız şekilde tahmin edilememesine

Faktörlerin yalnızca temel etkilerinin yorumlanabilmesine ve etkileşim etkilerinin varlığının tamamen göz ardı edilmesine

Bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı sorunu oluşmasına ve buna bağlı olarak parametre tahminlerinin varyanslarının şişmesine

Kontrol altına alınması gereken kısıt sayısının artmasıyla tasarımın Latin karesi tasarımına dönüştürülme zorunluluğunun ortaya çıkmasına

Azalan deneme sayısı nedeniyle genel serbestlik derecesinin sıfıra düşmesine ve varyans analizi tablosunun oluşturulamamasına

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirli temel etkilerin veya düşük dereceli etkileşimlerin, diğer etkileşimlerle örtüşmesi nedeniyle istatistiksel olarak birbirinden bağımsız şekilde tahmin edilememesine

Cevap

Belirli temel etkilerin veya düşük dereceli etkileşimlerin, diğer etkileşimlerle örtüşmesi nedeniyle istatistiksel olarak birbirinden bağımsız şekilde tahmin edilememesine yol açar.

Doğru yanıt, karıştırma (aliasing) olgusunun tam tanımını vermektedir. Kesirli faktöriyel tasarımlarda (

2^{k-p}

), tüm kombinasyonlar kullanılmadığı için tasarımın tanımlayıcı bağıntısına (defining relation) bağlı olarak bazı etkiler birbiriyle örtüşür. İstatistiksel analizde elde edilen bir etki değeri, aslında o etki ile onun karıştığı diğer etkileşimlerin toplamıdır. Bu nedenle bu etkiler birbirinden bağımsız olarak ayrı ayrı tahmin edilemez.

Adım Adım Çözüm

1

Kesirli (kısmi) faktöriyel tasarımın amacının ve yapısının değerlendirilmesi.

Tam faktöriyel tasarımdaki deneme sayısının çok yüksek olduğu durumlarda, deneme sayısını azaltmak için kullanılır (

2^{k-p}

formunda).

Soruda verilen problemin temel çıkış noktasını anlamak için.

2

Karıştırma (confounding / aliasing) kavramının istatistiksel tanımının hatırlanması.

Karıştırma, deneme sayısının azaltılması sonucunda tasarım matrisinde bazı sütunların birbirinin aynısı (veya eksi işaretlisi) olması durumudur.

Kavramın doğrudan tanımı üzerinden analiz yapmak için.

3

Karıştırma durumunun analiz üzerindeki etkisinin belirlenmesi.

Aynı sütun yapısına sahip etkiler (örneğin ana etki ile üçlü etkileşim) analiz sonucunda aynı etki değerini üretir ve hangisinin gerçek etki olduğu birbirinden bağımsız olarak istatistiksel yolla tahmin edilemez.

Doğru seçeneği belirlemek için.

Anahtar Kavram

Kesirli Faktöriyel Tasarımlarda Karıştırma (Confounding / Aliasing) Yapısı

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, 3 faktörün (A, B ve C) incelendiği $2^3$ tam faktöriyel tasarım kullanarak 3 tam tekerrürlü (replicate) bir deney gerçekleştirmiştir. Elde edilen verilerle oluşturulan kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir bölümü aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
A	45
B	30
C	15
AB	60
AC	10
BC	8
ABC	12
Hata	80
Genel	260

Araştırmacı hipotez testlerini $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde gerçekleştirecektir. Bilinen bazı kritik F tablo değerleri şunlardır: $F_{0,05}(1, 16) = 4,49$ , $F_{0,05}(3, 16) = 3,24$ , $F_{0,05}(1, 23) = 4,28$ , $F_{0,05}(7, 16) = 2,66$ .

Buna göre, analiz sonuçları ve faktör etkilerinin yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

AB etkileşimi için hesaplanan test istatistiği

F = 12

olup istatistiksel olarak anlamlıdır; bu nedenle A ve B faktörlerinin temel etkileri birbirlerinden bağımsız olarak yorumlanmamalıdır.

A ve B faktörleri için hesaplanan F değerleri (sırasıyla 9 ve 6) kritik değerden büyük olduğu için, A ve B faktörlerinin tepki değişkeni üzerindeki etkileri birbirlerinden tamamen bağımsız olarak yorumlanır.

Deneydeki hata serbestlik derecesi 23 olarak alınmalı ve hata kareler ortalaması yaklaşık 3,48 olarak hesaplanmalıdır; bu hesaba göre C faktörünün temel etkisi istatistiksel olarak anlamlı bulunur.

ABC üçlü etkileşimine ait serbestlik derecesi 3 olduğundan, hesaplanan F değeri 4'tür ve istatistiksel karara varılırken tablo değeri olarak

F_{0,05}(3, 16)

kullanılmalıdır.

AB etkileşiminin istatistiksel olarak anlamlı çıkması modelin kuramsal olarak hatalı kurgulandığını gösterir; bu nedenle analiz, AB etkileşimi modelden çıkarılarak temel etkilerle tekrarlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AB etkileşimi için hesaplanan test istatistiği $F = 12$ olup istatistiksel olarak anlamlıdır; bu nedenle A ve B faktörlerinin temel etkileri birbirlerinden bağımsız olarak yorumlanmamalıdır.

Cevap

Doğru ifade, AB etkileşimi için hesaplanan test istatistiğinin F = 12 olduğu ve bu terim anlamlı olduğu için A ve B faktörlerinin temel etkilerinin bağımsız yorumlanamayacağını belirten seçenektir.

Verilen tabloda Hata Kareler Ortalaması 80 / 16 = 5 olarak bulunur. AB etkileşiminin F değeri 60 / 5 = 12'dir.

12 > 4,49

olduğu için AB etkileşimi %5 anlamlılık düzeyinde önemlidir. Faktöriyel tasarımın en temel yorumlama kuralı gereğince; eğer iki faktör arasındaki etkileşim istatistiksel olarak anlamlıysa, bu faktörlerin (A ve B) etkileri birbirlerinden izole edilerek bağımsız biçimde yorumlanamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (SD) hesaplama

Gözlem sayısı N = 2^3 × 3 = 24. Genel SD = 24 - 1 = 23. 2^3 tasarımda her bir ana etkinin ve etkileşimin SD değeri 1'dir (Toplam model SD = 7). Hata SD = 23 - 7 = 16.

Hata kareler ortalamasını bulmak için öncelikle varyans analizindeki serbestlik derecelerinin doğru dağıtılması gerekir.

2

Hata Kareler Ortalamasını (KO) elde etme

Hata KO = Hata KT / Hata SD = 80 / 16 = 5.

Tüm faktör ve etkileşimler için hesaplanacak F istatistiklerinin paydasını oluşturur.

3

F istatistiklerini hesaplama ve tablo değeriyle karşılaştırma

A için F = 45 / 5 = 9. B için F = 30 / 5 = 6. AB etkileşimi için F = 60 / 5 = 12. Bu değerlerin tümü kritik tablo değeri olan 4,49'dan büyüktür.

Bir etkinin istatistiksel olarak anlamlı kabul edilebilmesi için hesaplanan F değerinin kritik tablo değerini aşması zorunludur.

4

Etkileşim kuralına göre yorumlama yapma

AB etkileşimi istatistiksel olarak anlamlı bulunduğundan (12 > 4,49), A ve B faktörlerinin düzeylerindeki değişimin diğer faktöre bağlı olduğu sonucuna varılır.

Faktöriyel tasarım teorisine göre, anlamlı bir etkileşim mevcutken bu etkileşimi oluşturan ana faktörlerin etkileri birbirinden bağımsız olarak analiz edilemez.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Varyans Analizi ve Etkileşimin Yorumlanması

Soru 3Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, 4 farklı buğday çeşidinin (işlem) verim üzerindeki etkisini incelemek amacıyla Rastgele Bloklar Deney Tasarımı kullanılmıştır. Deney tarlasındaki toprak verimliliği gradyanını kontrol etmek için 5 blok oluşturulmuştur.

Elde edilen verilere ilişkin kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Değeri
Çeşit (İşlem)	?	150	?	?
Blok	?	230	?	?
Hata	?	?	?
Genel Toplam	?	500

Buna göre, bu deneyin Rastgele Bloklar Deney Tasarımı yerine Tamamen Rastgele Tasarım (TRT) ile yürütülmesi durumunda elde edilecek olan göreli etkinlik (relative efficiency) değeri kaçtır?

0.50

2.00

2.19

5.00

5.75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.00

Cevap

Doğru cevap 2.00 değeridir.

Göreli etkinlik (GE), bloklama yapılmasaydı elde edilecek tahmini hata varyansının (

KO_{Hata(TRT)}

), bloklama yapılarak elde edilen hata varyansına (

KO_{Hata(RBD)}

) oranıdır. Cochran standart tahmini formülüne göre

KO_{Hata(TRT)} = 20

olarak bulunur. Hata KO ise tablodan 10 olarak hesaplanır. Oranlandığında

20 / 10 = 2.00

sonucuna ulaşılır. Bu da Rastgele Bloklar tasarımının, Tamamen Rastgele Tasarıma göre %100 daha etkin olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (SD) hesaplayınız.

SD_{Genel} = (4 \times 5) - 1 = 19

.

SD_{\text{Çeşit}} = 4 - 1 = 3

.

SD_{Blok} = 5 - 1 = 4

.

SD_{Hata} = 19 - 3 - 4 = 12

.

Varyans analizinde kareler ortalamalarını bulabilmek için öncelikle doğru serbestlik derecelerinin belirlenmesi gerekir.

2

Hata kareler toplamını (KT) ve gerekli kareler ortalamalarını (KO) hesaplayınız.

KT_{Hata} = 500 - 150 - 230 = 120

.

KO_{Hata} = 120 / 12 = 10

.

KO_{Blok} = 230 / 4 = 57.5

.

Göreli etkinlik formülünde Rastgele Bloklar tasarımındaki blok ve hata varyanslarına ihtiyaç vardır.

3

Deneyin Tamamen Rastgele Tasarım (TRT) ile yapılması durumundaki tahmini Hata Kareler Ortalamasını (

KO_{Hata(TRT)}

) hesaplayınız.

KO_{Hata(TRT)} = \frac{(SD_{Blok} \times KO_{Blok}) + ((SD_{\text{Çeşit}} + SD_{Hata}) \times KO_{Hata})}{SD_{Genel}} = \frac{(4 \times 57.5) + ((3 + 12) \times 10)}{19} = \frac{230 + 150}{19} = \frac{380}{19} = 20

.

Blok tasarımından elde edilen veriler kullanılarak, bloklamanın yapılmadığı bir tasarımın hata varyansı Cochran formülü ile tahmin edilir.

4

Göreli etkinlik (Relative Efficiency - GE) değerini hesaplayınız.

GE = \frac{KO_{Hata(TRT)}}{KO_{Hata(RBD)}} = \frac{20}{10} = 2.00

.

Göreli etkinlik, kontrolsüz tasarımın hata varyansının, bloklanmış tasarımın hata varyansına oranıdır.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Tasarımında Göreli Etkinlik Hesaplaması

Alternatif Yöntem

Hesaplamada doğrudan asimptotik göreli etkinlik formülü olan

GE = \frac{(b-1)KO_{Blok} + b(t-1)KO_{Hata}}{(bt-1)KO_{Hata}}

kullanılarak ara adımlar olmadan da 2.00 sonucuna varılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 4Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı diyet programının katılımcıların kilo kaybı üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir deney tasarlamıştır. Araştırmacı, katılımcıların "başlangıç ağırlıklarını" ortak değişken (covariate) olarak modele dahil ederek Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulamaktadır. Verilerin analizi öncesinde yapılan varsayım testinde, "diyet programı" (faktör) ile "başlangıç ağırlığı" (ortak değişken) arasındaki etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, araştırmacının ulaşması gereken doğru sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir, bu nedenle standart ANCOVA yaklaşımının kullanılması uygun değildir.

Etkileşim anlamlı çıktığı için ortak değişkenin etkisi göz ardı edilerek doğrudan faktörün ana etkileri yorumlanmalıdır.

Ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisi kanıtlanmış olup, grup içi hata varyansı başarılı bir şekilde minimize edilmiştir.

Modele eklenen ortak değişkenin açıklayıcılık gücü arttığından, değerlendirmede standart belirleme katsayısı yerine düzeltilmiş

R^2

dikkate alınmalıdır.

Bu durum yalnızca modele yeni bir parametre eklendiğini gösterir, analiz tablosundaki serbestlik dereceleri yeniden hesaplanarak standart analize devam edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir, bu nedenle standart ANCOVA yaklaşımının kullanılması uygun değildir.

Cevap

Doğru sonuç, faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimin anlamlı olmasının 'regresyon eğimlerinin homojenliği' varsayımının ihlali anlamına geldiğini ve standart ANCOVA'nın kullanılamayacağını belirten seçenektir.

Kovaryans Analizinin (ANCOVA) uygulanabilmesi için sağlanması gereken en kritik varsayımlardan biri 'regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği' varsayımıdır. Bu varsayım, ortak değişken (covariate) ile bağımlı değişken arasındaki ilişkinin yönünün ve şiddetinin, bağımsız değişkenin (faktörün) tüm gruplarında aynı olmasını gerektirir. Faktör ile ortak değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim bulunması, eğimlerin gruplar arasında farklılaştığını (paralel olmadığını) kanıtlar. Bu durumda standart ANCOVA modeli geçerliliğini yitirir ve alternatif yöntemlerin (örneğin Johnson-Neyman tekniği) kullanılması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

ANCOVA'nın varsayımlarını ve ortak değişken (covariate) mantığını hatırlamak.

ANCOVA'da ortak değişken, grup içi hata varyansını düşürmek için kullanılır. Ancak bunun geçerli olması için regresyon doğrularının paralel olması gerekir.

Soruda verilen analiz yönteminin temel çalışma mekanizmasını anlamak.

2

Soruda verilen etkileşim teriminin anlamlılığı bilgisini değerlendirmek.

Faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimin anlamlı olması, ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin faktörün düzeylerine göre farklılık gösterdiğini kanıtlar.

Etkileşimin istatistiksel sonucunu yorumlamak.

3

Etkileşimin varsayımlar üzerindeki sonucunu belirlemek.

Farklı etki düzeyleri, regresyon doğrularının paralel olmadığı (eğimlerin homojen olmadığı) anlamına gelir. Bu durumda standart ANCOVA varsayımı çöker.

Varsayım ihlalini tespit edip uygun metodolojik kararı vermek.

Anahtar Kavram

ANCOVA'da Regresyon Doğrularının Eğimlerinin Homojenliği Varsayımı

Soru 5Soru →

Bir tarım araştırmacısı, 5 farklı gübre çeşidinin (A, B, C, D, E) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Tarladaki toprak verimliliğinin hem kuzey-güney hem de doğu-batı yönünde sistematik olarak değiştiği bilinmektedir. Araştırmacı, bu iki dışsal varyans kaynağını kontrol altına almak amacıyla $5 \times 5$ 'lik bir Latin Karesi deney tasarımı (Latin Square Design) kurgulamıştır.

Bu deney tasarımı için oluşturulan doğrusal model aşağıdaki gibidir:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

Buna göre, varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata kareler toplamına ait serbestlik derecesi kaçtır ve modeldeki $\tau_k$ parametresi genel olarak neyi ifade etmektedir?

16 ; Gübre çeşitlerinin (muamelelerin) ana etkisi

4 ; Satır ve sütun faktörleri arasındaki etkileşim etkisi

12 ; Doğu-batı yönündeki toprak verimliliğinin (sütun) etkisi

12 ; Gübre çeşitlerinin (muamelelerin) ana etkisi

24 ; Deneydeki genel ortalama verim

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12 ; Gübre çeşitlerinin (muamelelerin) ana etkisi

Cevap

Doğru seçenek 12 ; Gübre çeşitlerinin (muamelelerin) ana etkisi değerlerini içeren seçenektir.

Latin Karesi deney tasarımında n adet muamele, n satır ve n sütun bulunur. Bu nedenle hata serbestlik derecesi (n-1)(n-2) formülüyle elde edilir. n=5 için bu değer (4)(3) = 12'dir. Verilen doğrusal modelde standart notasyon olan τ_k (tau), k. muamelenin (bu senaryoda gübre çeşidinin) ana etkisini temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Latin Karesi tasarımının özelliklerini ve boyutunu (n) belirleme.

5 farklı gübre, 5 satır (kuzey-güney) ve 5 sütun (doğu-batı) olduğu için deney tasarımı n=5 boyutundadır.

Serbestlik derecelerini hesaplamak için işlem yapılacak n değerinin bilinmesi gerekir.

2

Hata kareler toplamına ait serbestlik derecesini hesaplama.

Latin karesinde hata serbestlik derecesi (n-1)(n-2) formülü ile hesaplanır. (5-1) × (5-2) = 4 × 3 = 12 olarak bulunur.

Varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata varyansını bulmak için doğru serbestlik derecesi kullanılmalıdır.

3

Doğrusal modeldeki parametrelerin istatistiksel anlamlarını eşleştirme.

Modeldeki μ genel ortalamayı, ρ_i satır etkisini, γ_j sütun etkisini ve τ_k muamele (gübre çeşidi) etkisini ifade eder.

Model parametrelerinin neyi temsil ettiğini bilmek, doğru faktörün yorumlanmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımı Doğrusal Modeli ve ANOVA Varsayımları

Soru 6Soru →

Bir tarımsal araştırmada, $3$ farklı sulama yönteminin (ana parsel) ve $5$ farklı gübre çeşidinin (alt parsel) verim üzerindeki etkisi Rastgele Bloklar Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Deney Tasarımı kullanılarak incelenmek istenmektedir. Deney $4$ blokta yürütülmüştür.

Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki Kareler Toplamı (KT) değerleri elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Sulama Yöntemi (Ana Faktör)	150
Ana Parsel Hatası (Hata A)	120
Gübre Çeşidi (Alt Faktör)	200
Alt Parsel Hatası (Hata B)	360

Buna göre, sulama yönteminin temel etkisinin istatistiksel olarak anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken F test istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

1,25

3,75

5,00

7,50

25,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,75

Cevap

Hesaplanması gereken F test istatistiği 3,75'tir.

Doğru yanıt olan 3,75 değeri; Ana Faktör Kareler Ortalamasının (75), Ana Parsel Hatası Kareler Ortalamasına (20) bölünmesiyle elde edilmiştir. Bölünmüş parseller deney tasarımında rastgele bloklar kullanıldığında, ana faktörün serbestlik derecesi

(a-1) = (3-1) = 2

'dir. Ana parsel hatasının (Hata A) serbestlik derecesi ise blok ve ana faktör serbestlik derecelerinin çarpımı olan

(r-1)(a-1) = (4-1)(3-1) = 6

'dır. Kareler ortalamaları hesaplanıp birbirine oranlandığında (

75 / 20

) sonuç 3,75 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Ana faktör (Sulama Yöntemi) ve Ana Parsel Hatası (Hata A) için serbestlik derecelerini (sd) hesaplayın.

Ana Faktör

sd = a - 1 = 3 - 1 = 2

. Hata A

sd = (r - 1)(a - 1) = (4 - 1)(3 - 1) = 3 \times 2 = 6

.

Varyans analizinde Kareler Ortalamasını (KO) bulmak için Kareler Toplamının (KT) ilgili serbestlik derecesine bölünmesi gerekir. Burada

a

ana faktör seviyesi,

r

ise blok sayısıdır.

2

Ana faktör ve Hata A için Kareler Ortalamalarını (KO) hesaplayın.

Ana Faktör

KO = 150 / 2 = 75

. Hata A

KO = 120 / 6 = 20

.

Test istatistiği hesaplanırken KT değerleri doğrudan kullanılamaz, serbestlik dereceleri ile düzeltilmiş KO değerleri kullanılmalıdır.

3

Ana faktör için F test istatistiğini hesaplayın.

F = 75 / 20 = 3,75

.

Bölünmüş parseller tasarımında ana faktörün (bütünsel parsel) etkisi, kendi hatası olan Ana Parsel Hatası (Hata A) üzerinden test edilir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Deney Tasarımında Serbestlik Derecesi ve F Testi

Soru 7Soru →

Bir pazar araştırmacısı, üç farklı dijital reklam stratejisinin tüketicilerin ürün satın alma eğilimi puanları (0-100) üzerindeki etkisini incelemektedir. Tüketicilerin markaya karşı önceden sahip oldukları sadakat puanları, araştırmada ortak değişken (covariate) olarak modele dahil edilmiş ve Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda, reklam stratejilerine ait 'gözlenen (ham) ortalamalar' ile ortak değişkenin etkisinden arındırılarak hesaplanan 'düzeltilmiş ortalamalar' arasında önemli düzeyde farklılıklar saptanmıştır.

Bu analizde hesaplanan 'düzeltilmiş ortalamalar'ın istatistiksel anlamı aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde tanımlanmıştır?

Bütün tüketicilerin marka sadakat puanlarının (ortak değişken) eşit ve genel ortalamaya denk olduğu varsayıldığında, reklam stratejilerinin sağlayacağı teorik satın alma eğilimi ortalamalarıdır.

Modele yeni bir değişken eklenmesi nedeniyle belirlilik katsayısındaki yapay artışı dengeleyerek modelin genel açıklama gücünü yansıtan doğruluk oranlarıdır.

Reklam stratejileri arasında anlamlı bir fark bulunduğunda, bu farkın hangi spesifik stratejilerden kaynaklandığını saptamak için kullanılan çoklu karşılaştırma (post-hoc) değerleridir.

Reklam stratejisi ile marka sadakati değişkenleri arasındaki ortak etkinin tespit edilmesiyle, modele ait bağımsız değişkenlerin sadece ana etkilerini temsil eden ölçütlerdir.

Modelde karşılaşılabilecek olan değişen varyans (heteroskedastisite) sorununu gidermek amacıyla bağımlı değişkene dönüşüm uygulanarak elde edilen yeni hata terimi ortalamalarıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bütün tüketicilerin marka sadakat puanlarının (ortak değişken) eşit ve genel ortalamaya denk olduğu varsayıldığında, reklam stratejilerinin sağlayacağı teorik satın alma eğilimi ortalamalarıdır.

Cevap

Bütün tüketicilerin marka sadakat puanlarının (ortak değişken) eşit ve genel ortalamaya denk olduğu varsayıldığında, reklam stratejilerinin sağlayacağı teorik satın alma eğilimi ortalamalarıdır.

Kovaryans analizinde (ANCOVA) temel amaç, ortak değişkenin (covariate) bağımlı değişken üzerindeki etkisini matematiksel olarak arındırarak gruplar arasındaki gerçek (saf) farkı görebilmektir. Araştırmalarda gruplardaki birimler ortak değişken açısından eşit düzeyde başlamayabilir. Düzeltilmiş ortalamalar, regresyon katsayıları kullanılarak her bir gruptaki katılımcıların ortak değişkene (soruda marka sadakat puanı) ait değerlerinin genel ortalamaya eşit olduğu varsayılarak yeniden hesaplanan bağımlı değişken ortalamalarıdır. Bu işlem, grupları ortak değişken açısından eşitler ve reklam stratejilerinin gerçek etkisinin adil bir biçimde karşılaştırılmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

ANCOVA'nın temel amacının ve 'düzeltilmiş ortalama' kavramının tanımlanması.

ANCOVA, bağımlı değişken üzerindeki ortak değişken (covariate) etkisini istatistiksel olarak kontrol altına alarak, gruplar arasındaki gerçek farklılığı (saf faktör etkisini) ortaya çıkarmayı amaçlar.

Böylece grupların başlangıçtaki eşitsizlikleri (sorudaki farklı sadakat puanları) giderilmiş olur.

2

Düzeltilmiş ortalamaların matematiksel mantığının hatırlanması.

Düzeltilmiş ortalama, analizdeki tüm gözlem birimlerinin ortak değişken değerlerinin eşitlendiği (genellikle ortak değişkenin genel ortalamasına çekildiği) varsayılarak hesaplanan yeni bağımlı değişken değeridir.

Bu düzeltme işlemi, grupları ortak değişken açısından aynı hizada başlatarak son derece adil ve yansız bir karşılaştırma zemini sağlar.

3

Seçeneklerin analiz edilip doğru tanımın bulunması.

Düzeltilmiş ortalamaların, marka sadakatinin (ortak değişken) genel ortalamaya eşitlendiği senaryodaki satın alma eğilimi değerleri olduğunu ifade eden seçenek doğru yanıttır.

ANCOVA'nın regresyon denklemine dayalı matematiksel düzeltme prensibi tam olarak bu şekilde işler.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) Düzeltilmiş Ortalamalar (Adjusted Means)

Soru 8Soru →

Bir üretim tesisinde reaksiyon verimini artırmak amacıyla, sıcaklık (ana parsel) ve katalizör tipi (alt parsel) faktörlerinin etkisini incelemek için rastgele bloklar tasarımına dayalı bir bölünmüş parseller (split-plot) deneyi tasarlanmıştır. Deneyde $5$ farklı blok, $4$ farklı sıcaklık seviyesi ve $3$ farklı katalizör tipi kullanılmıştır.

Yapılan varyans analizi sonucunda elde edilen bazı kareler toplamı (KT) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Sıcaklık	180
Ana Parsel Hatası (Hata A)	240
Katalizör	150
Alt Parsel Hatası (Hata B)	480

Buna göre, sıcaklık faktörünün ve katalizör tipinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken F-testi istatistikleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

F_{\text{Sıcaklık}} = 4.00

ve

F_{\text{Katalizör}} = 5.00

F_{\text{Sıcaklık}} = 3.00

ve

F_{\text{Katalizör}} = 3.75

F_{\text{Sıcaklık}} = 3.00

ve

F_{\text{Katalizör}} = 5.00

F_{\text{Sıcaklık}} = 3.67

ve

F_{\text{Katalizör}} = 4.58

F_{\text{Sıcaklık}} = 0.75

ve

F_{\text{Katalizör}} = 0.31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F_{\text{Sıcaklık}} = 3.00$ ve $F_{\text{Katalizör}} = 5.00$

Cevap

Doğru seçenek

F_{\text{Sıcaklık}} = 3.00

ve

F_{\text{Katalizör}} = 5.00

değerlerini veren seçenektir.

Bölünmüş parseller deney tasarımında iki ayrı hata varyansı bulunur. Ana parsel faktörü (Sıcaklık) testi için Hata A, alt parsel faktörü (Katalizör) testi için Hata B kullanılmalıdır. Verilen

r=5

,

a=4

ve

b=3

seviyeleri kullanıldığında; Ana parsel hata serbestlik derecesi

(r-1)(a-1) = 12

, alt parsel hata serbestlik derecesi

a(r-1)(b-1) = 32

olarak bulunur. İlgili Kareler Toplamları bu serbestlik derecelerine bölünerek Kareler Ortalamaları sırasıyla

KO_{\text{Sıcaklık}}=60

,

KO_{\text{Hata A}}=20

,

KO_{\text{Katalizör}}=75

ve

KO_{\text{Hata B}}=15

elde edilir. Sonuç olarak

F_{\text{Sıcaklık}} = 60/20 = 3.00

ve

F_{\text{Katalizör}} = 75/15 = 5.00

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım bileşenlerinden serbestlik derecelerini (sd) hesapla.

Blok (

r

) = 5, Sıcaklık (

a

) = 4, Katalizör (

b

) = 3.

sd_{\text{Sıcaklık}} = a - 1 = 3

sd_{\text{Hata A}} = (r - 1)(a - 1) = 4 \times 3 = 12

sd_{\text{Katalizör}} = b - 1 = 2

sd_{\text{Hata B}} = a(r - 1)(b - 1) = 4 \times 4 \times 2 = 32

Varyans analizinde anlamlılığı test edebilmek için Kareler Ortalamalarına ihtiyaç vardır ve bu değerler Kareler Toplamlarının (KT) ilgili serbestlik derecelerine bölünmesiyle bulunur.

2

Her bir varyans kaynağı için Kareler Ortalaması (KO) değerlerini hesapla.

KO_{\text{Sıcaklık}} = 180 / 3 = 60

KO_{\text{Hata A}} = 240 / 12 = 20

KO_{\text{Katalizör}} = 150 / 2 = 75

KO_{\text{Hata B}} = 480 / 32 = 15

İstatistiksel anlamlılığı gösteren F değerinin pay ve paydasında Kareler Ortalamaları (KO) kullanılır.

3

Ana parsel (Sıcaklık) ve alt parsel (Katalizör) için F-testi istatistiklerini hesapla.

F_{\text{Sıcaklık}} = KO_{\text{Sıcaklık}} / KO_{\text{Hata A}} = 60 / 20 = 3.00

F_{\text{Katalizör}} = KO_{\text{Katalizör}} / KO_{\text{Hata B}} = 75 / 15 = 5.00

Bölünmüş parseller tasarımında ana parsel faktörünün varyansı Ana Parsel Hatasına (Hata A), alt parsel faktörünün varyansı ise Alt Parsel Hatasına (Hata B) bölünerek F değeri hesaplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parseller Tasarımında Serbestlik Dereceleri ve F-Testi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

Bir tekstil fabrikasında kumaşların renk haslığını etkileyen faktörler araştırılmaktadır. Uygulanması zor olan 'Boyama Sıcaklığı' ( $A$ ) faktörü ana parsel, uygulanması kolay olan 'Kimyasal Katkı Maddesi' ( $B$ ) faktörü ise alt parsel olarak belirlenmiş ve Rastgele Bloklar Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Deney Tasarımı kullanılmıştır.

Deneyde $4$ farklı blok (kumaş partisi), $3$ farklı boyama sıcaklığı ( $A$ faktörü) ve $4$ farklı kimyasal katkı maddesi ( $B$ faktörü) kullanılmıştır. Elde edilen verilere uygulanan varyans analizi (ANOVA) sonucunda bazı kareler toplamı (KT) değerleri şu şekilde hesaplanmıştır:
- $A$ faktörüne ait kareler toplamı: $KT_A = 400$
- Ana parsel hatasına (Hata A) ait kareler toplamı: $KT_{Hata A} = 120$
- Alt parsel hatasına (Hata B) ait kareler toplamı: $KT_{Hata B} = 810$

Buna göre, 'Boyama Sıcaklığı' ( $A$ ) faktörünün temel etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken F-istatistiği değeri ve bu testin pay ve payda serbestlik dereceleri $(sd_1, sd_2)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

10.00

ve

(2, 6)

6.67

ve

(2, 27)

3.33

ve

(2, 6)

13.33

ve

(3, 12)

10.00

ve

(2, 27)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10.00$ ve $(2, 6)$

Cevap

Hesaplanması gereken F-istatistiği değeri

10.00

ve testin serbestlik dereceleri

(2, 6)

'dır.

Bölünmüş parsel (Split-Plot) deney tasarımında, ana parsel faktörünün (A faktörü) istatistiksel anlamlılığı test edilirken, paydada genel hata yerine 'Ana Parsel Hatası' (Hata A) kullanılmalıdır. Öncelikle serbestlik dereceleri (sd) hesaplanır: A faktörü için

sd_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

, Hata A için ise

sd_{Hata A} = (r - 1)(a - 1) = (4 - 1)(3 - 1) = 6

'dır. Ardından kareler ortalamaları (KO) bulunur:

KO_A = KT_A / sd_A = 400 / 2 = 200

ve

KO_{Hata A} = KT_{Hata A} / sd_{Hata A} = 120 / 6 = 20

. Son olarak F-istatistiği,

F_A = KO_A / KO_{Hata A} = 200 / 20 = 10.00

olarak elde edilir. Bu testin serbestlik dereceleri pay ve payda için sırasıyla

(2, 6)

olur.

Adım Adım Çözüm

1

A faktörü (Ana parsel) ve Hata A için serbestlik derecelerini (sd) hesapla.

sd_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

ve

sd_{Hata A} = (r - 1)(a - 1) = (4 - 1)(3 - 1) = 6

Kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili varyans kaynaklarının serbestlik derecelerine (a: A faktörü seviye sayısı, r: blok sayısı) ihtiyaç vardır.

2

A faktörü ve Hata A için kareler ortalamalarını (KO) hesapla.

KO_A = 400 / 2 = 200

ve

KO_{Hata A} = 120 / 6 = 20

Varyans analizinde F-istatistiği, kareler toplamlarının doğrudan değil, serbestlik derecelerine bölünmesiyle elde edilen kareler ortalamalarının oranlanmasıyla bulunur.

3

A faktörünün temel etkisi için F-istatistiğini hesapla ve testin serbestlik derecelerini belirle.

F_A = KO_A / KO_{Hata A} = 200 / 20 = 10.00

ve serbestlik dereceleri

(sd_A, sd_{Hata A}) = (2, 6)

Bölünmüş parsel tasarımında ana parselin etkisi kendi özel hatası olan Hata A (Ana Parsel Hatası) ile test edilir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parsellerde Ana Parsel Testi ve Serbestlik Dereceleri

Soru 10Soru →

Bir havacılık şirketi, yeni bir titanyum alaşımının çekme mukavemetini optimize etmek amacıyla Bölünmüş Parseller (Split-Plot) deney tasarımı kullanmıştır. Uygulanması ve değiştirilmesi zor olan 'Döküm Sıcaklığı' ( $A$ ) faktörü ana parsel, 'Soğutma Hızı' ( $B$ ) faktörü ise alt parsel olarak belirlenmiştir. Deney, Rastgele Bloklar tasarımına dayalı olarak $5$ blokta yürütülmüştür.

Bu çalışmada Döküm Sıcaklığı $4$ farklı seviyede, Soğutma Hızı ise $3$ farklı seviyede incelendiğine göre; varyans analizi (ANOVA) tablosunda Döküm Sıcaklığı faktörünü test etmek için kullanılacak Ana Parsel Hatasının (Hata A) ve Soğutma Hızı faktörünü test etmek için kullanılacak Alt Parsel Hatasının (Hata B) serbestlik dereceleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

32

ve

12

12

ve

8

12

ve

32

12

ve

44

6

ve

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12$ ve $32$

Cevap

Ana parsel hatasının serbestlik derecesi

12

, alt parsel hatasının serbestlik derecesi ise

32

'dir.

Rastgele bloklar tasarımına dayalı bölünmüş parseller deneyinde, Ana Parsel Hatası (Hata A) serbestlik derecesi

(r-1)(a-1)

formülüyle, Alt Parsel Hatası (Hata B) serbestlik derecesi ise

a(r-1)(b-1)

formülüyle hesaplanır. Verilen

r=5

,

a=4

ve

b=3

değerleri yerine konulduğunda

12

ve

32

değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen temel deney parametrelerini belirle.

Blok sayısı

r = 5

, Ana parsel faktörü (Döküm Sıcaklığı) seviye sayısı

a = 4

, Alt parsel faktörü (Soğutma Hızı) seviye sayısı

b = 3

.

Varyans analizi tablosundaki tüm serbestlik dereceleri bu üç parametre kullanılarak hesaplanır.

2

Ana Parsel Hatası (Hata A) serbestlik derecesini hesapla.

sd_{Hata A} = (r - 1)(a - 1) = (5 - 1)(4 - 1) = 4 \times 3 = 12

Rastgele bloklara dayalı bölünmüş parseller tasarımında ana parsel hatası, bloklar ile ana parsel faktörünün etkileşimini ifade eder.

3

Alt Parsel Hatası (Hata B) serbestlik derecesini hesapla.

sd_{Hata B} = a(r - 1)(b - 1) = 4 \times (5 - 1) \times (3 - 1) = 4 \times 4 \times 2 = 32

Alt parsel hatası, her bir ana parselin içindeki blok ve alt parsel faktörü etkileşimlerinin toplamından oluşur.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Tasarımında Serbestlik Dereceleri

Alternatif Yöntem

Serbestlik derecelerinin toplanabilirlik özelliğini kullanarak Alt Parsel Hatası (Hata B) bulunabilir. Toplam serbestlik derecesi

N-1 = (5 \times 4 \times 3) - 1 = 59

'dur. Hata B dışındaki diğer kaynakların (Blok, A faktörü, Hata A, B faktörü,

A \times B

etkileşimi) serbestlik dereceleri toplamı sırasıyla

4 + 3 + 12 + 2 + 6 = 27

'dir. Buradan Hata B serbestlik derecesi

59 - 27 = 32

olarak da elde edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir araştırmacı, 3 faktörün (A, B ve C) etkilerini incelemek amacıyla $2^3$ tam faktöriyel tasarım kullanarak bir deney yürütmüştür. Deneydeki tüm kombinasyonlar eşit sayıda tekrarlanmıştır (tam tekerrür). Toplam gözlem sayısı 40'tır.

Deney sonucunda elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Temel Etkiler (A, B, C)	*	420	*	*
İkili Etkileşimler (AB, AC, BC)	*	*	*	*
Üçlü Etkileşim (ABC)	*	*	*	4
Hata	*	*	15
Genel (Düzeltilmiş)	*	1500

*Not: Tablodaki 'Temel Etkiler' satırı A, B ve C faktörlerinin Kareler Toplamlarının toplamını; 'İkili Etkileşimler' satırı ise AB, AC ve BC etkileşimlerinin Kareler Toplamlarının toplamını temsil etmektedir.*

Ayrıca, üç ikili etkileşimin (AB, AC ve BC) Kareler Toplamlarının birbirine eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, AB etkileşimi için hesaplanan F test istatistiği değeri kaçtır?

4

9,67

12

36

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12$

Cevap

12

Tasarım

2^3

olduğundan toplam 8 işlem (kombinasyon) vardır ve N=40 olduğu için 5 tam tekerrür söz konusudur. Serbestlik dereceleri Genel için 39, İşlemler için 7, Hata için 32'dir. Hata Kareler Toplamı

15 \times 32 = 480

'dir. İşlem Kareler Toplamı ise

1500 - 480 = 1020

'dir.

F_{ABC}=4

olduğundan

KT_{ABC} = 4 \times 15 = 60

'tır. İşlem Kareler Toplamı =

KT_{\text{Temel}} + KT_{\text{İkili}} + KT_{ABC}

eşitliğinden

1020 = 420 + KT_{\text{İkili}} + 60

işlemi yapılır ve

KT_{\text{İkili}} = 540

bulunur. İkili etkileşimler eşit olduğundan

KT_{AB} = 540 / 3 = 180

'dir. Son olarak

F_{AB} = 180 / 15 = 12

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım özelliklerini ve serbestlik derecelerini (sd) belirleme

sd_{Genel} = 39

,

sd_{Hata} = 32

,

sd_{AB} = 1

,

sd_{ABC} = 1

2^3

tasarımında 8 farklı işlem (kombinasyon) vardır.

N=40

olduğundan her işlem 5 kez tekrarlanmıştır.

sd_{Genel} = N - 1 = 39

. Hata serbestlik derecesi:

sd_{Hata} = 39 - (8 - 1) = 32

olarak bulunur.

2^k

tasarımlarında tüm temel ve etkileşim etkilerinin serbestlik derecesi 1'dir.

2

Hata ve İşlem Kareler Toplamlarını (KT) hesaplama

HKT = 480

ve

İşlemKT = 1020

Hata Kareler Toplamı,

HKO \times sd_{Hata} = 15 \times 32 = 480

'dir. İşlem (Uygulama) Kareler Toplamı ise

GKT - HKT = 1500 - 480 = 1020

eşitliğinden elde edilir.

3

ABC etkileşiminin Kareler Toplamını bulma

KT_{ABC} = 60

F test istatistiği

F_{ABC} = \frac{KT_{ABC} / sd_{ABC}}{HKO}

formülüyle bulunur.

4 = \frac{KT_{ABC} / 1}{15}

denkleminden

KT_{ABC} = 60

sonucuna ulaşılır.

4

İkili etkileşimlerin toplam Kareler Toplamını bulma

KT_{\text{İkili Etkileşimler}} = 540

Tüm faktöriyel etkilerin toplamı İşlemKT'yi verir.

1020 = 420 (Temel) + KT_{\text{İkili}} + 60 (ABC)

denkleminden

KT_{\text{İkili}} = 540

bulunur.

5

AB etkileşimi için F test istatistiğini hesaplama

F_{AB} = 12

Üç ikili etkileşimin (AB, AC, BC) Kareler Toplamları eşit olduğundan

KT_{AB} = 540 / 3 = 180

'dir. F istatistiği ise

F_{AB} = \frac{KT_{AB} / sd_{AB}}{HKO} = \frac{180 / 1}{15} = 12

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Deney Tasarımlarında Varyans Analizi (ANOVA) ve Serbestlik Derecesi Parçalanması

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumu, 4 farklı hizmet içi eğitim programının personel verimliliği üzerindeki etkilerini karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yürütmüştür. Araştırmaya toplam 40 personel katılmış ve her bir eğitim programına eşit sayıda personel rastgele atanmıştır. Kısmi olarak doldurulmuş Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	Kareler Toplamı	Kareler Ortalaması
Gruplararası	-	-	120
Gruplariçi	-	-	-
Toplam	-	900

Analiz öncesinde varyansların homojenliğini test etmek amacıyla uygulanan Bartlett testinin p-değeri 0,012 olarak hesaplanmıştır ( $\alpha = 0,05$ ).

Verilen bilgilere göre, hesaplanan F istatistiği ve analizin geçerliliğine ilişkin en uygun istatistiksel değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir? ( $F_{(3; 36; 0,05)} = 2,86$ )

F = 8,00

; Varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden (

p < 0,05

), klasik F-testi yerine Welch veya Brown-Forsythe gibi dayanıklı (robust) testler kullanılmalıdır.

F = 8,67

; Hesaplanan test istatistiği tablo değerinden büyük olduğundan

H_0

hipotezi reddedilir, varyans heterojenliği durumu büyük örneklemlerde F-testinin geçerliliğini etkilemez.

F = 8,00

; Hesaplanan değer tablo değerinden büyük olduğundan

H_0

reddedilir ve varyans homojenliği sağlanamadığı durumlarda farkın kaynağını bulmak için doğrudan Tukey HSD testine geçilir.

F = 4,80

; Bartlett testi sonucuna göre p-değeri 0,05'ten küçük olduğundan varyansların homojen olduğu kabul edilir ve klasik ANOVA ile

H_0

hipotezi reddedilir.

F = 1,85

; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğundan

H_0

reddedilemez. Ancak varyansların heterojenliği nedeniyle gizli farkları saptamak için Games-Howell post-hoc testine geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 8,00$ ; Varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden ( $p < 0,05$ ), klasik F-testi yerine Welch veya Brown-Forsythe gibi dayanıklı (robust) testler kullanılmalıdır.

Cevap

Doğru seçenek F istatistiğini 8,00 olarak hesaplayan ve varyansların heterojen olması nedeniyle Welch veya Brown-Forsythe testlerinin uygulanması gerektiğini belirten seçenektir.

Verilen bilgiler ışığında gruplararası kareler toplamı

SS_{GA} = 120 \times 3 = 360

, gruplariçi kareler toplamı

SS_{GI} = 900 - 360 = 540

ve gruplariçi kareler ortalaması

MS_{GI} = 540 / 36 = 15

olarak hesaplanır. Buradan F değeri

120 / 15 = 8,00

çıkar. Ancak Bartlett testine göre p-değeri 0,05'ten küçük olduğu için varyanslar heterojendir. Bu durumda klasik ANOVA F-testi yanıltıcı olabileceğinden Welch veya Brown-Forsythe yöntemleri tercih edilmelidir. Doğru seçenek tüm bu metodolojik adımları tam olarak sağlayan ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerden gruplararası serbestlik derecesi (

df_{GA}

) ve kareler toplamını (

SS_{GA}

) hesaplama.

k = 4

olduğundan

df_{GA} = 4 - 1 = 3

. Gruplararası Kareler Ortalaması

MS_{GA} = 120

olarak verildiğinden;

SS_{GA} = 120 \times 3 = 360

bulunur.

Gruplariçi (hata) değerlerine ulaşabilmek için öncelikle gruplararası etkinin kareler toplamı bulunmalıdır.

2

Gruplariçi serbestlik derecesi (

df_{GI}

), kareler toplamı (

SS_{GI}

) ve kareler ortalamasını (

MS_{GI}

) hesaplama.

Gözlem sayısı

n = 40

olduğundan

df_{GI} = 40 - 4 = 36

'dır.

SS_{GI} = SS_{Genel} - SS_{GA} = 900 - 360 = 540

olur. Kareler ortalaması ise

MS_{GI} = 540 / 36 = 15

olarak hesaplanır.

F istatistiği, gruplararası varyansın gruplariçi varyansa oranıdır; bu nedenle hata varyansı (

MS_{GI}

) elde edilmelidir.

3

F test istatistiğini hesaplama.

F = MS_{GA} / MS_{GI} = 120 / 15 = 8,00

olarak elde edilir.

Gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını test eden değer F oranıdır.

4

Varyans homojenliği varsayımını değerlendirme ve yönteme karar verme.

Bartlett testinin p-değeri (

0,012

)

\alpha = 0,05

'ten küçük olduğu için varyansların homojenliği varsayımı sağlanamamıştır (

H_0

reddedilir).

ANOVA varyans homojenliği varsaydığından, heteroskedastisite durumunda klasik F testi yerine Welch veya Brown-Forsythe gibi dayanıklı testler kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Varyans Analizinde (ANOVA) kareler toplamı ilişkileri ve varsayım ihlallerinin analize etkisi.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 13Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim sürecindeki ana faktörün (muamele) verim üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Mühendis, deney ortamında varyansa sebep olabilecek üç farklı dışsal kısıt (blok) faktörünü de kontrol altına almak amacıyla tüm faktörlerin eşit sayıda ( $p$ ) seviyeye sahip olduğu bir Grek-Latin karesi deney tasarımı kurgulamıştır.

Deney tamamlandıktan sonra elde edilen Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda, Genel (Toplam) Kareler Toplamı'nın serbestlik derecesi $24$ olarak verilmiştir.

Buna göre, kurulan deney tasarımı ve sonuçların analizi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Deneyde üç yönlü kısıtlama (satır, sütun ve Grek harfleri) kontrol altına alınmış olup, deneydeki toplam gözlem sayısı

p^2

formülünden

25

olarak bulunur.

Grek-Latin karesi modelinde hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülüyle hesaplanır ve bu deney için Hata Kareler Toplamı'nın serbestlik derecesi

8

'dir.

Bu tasarımın kurulabilmesi için iki Latin karesinin birbirine ortogonal (dik) olması şarttır ve istisnai olarak

p=2

ile

p=6

seviyelerinde matematiksel olarak oluşturulamaz.

Araştırmacı aynı deneyde sadece iki kısıt faktörünü (satır ve sütun) kontrol etmek isteyip aynı gözlem sayısıyla bir Latin Karesi tasarımı kursaydı, modelin hata serbestlik derecesi değişmeyerek yine

8

olurdu.

Varyans analizi tablosunda temel muamele faktörünün ve kontrol edilen her bir blok faktörünün serbestlik derecesi

4

'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Araştırmacı aynı deneyde sadece iki kısıt faktörünü (satır ve sütun) kontrol etmek isteyip aynı gözlem sayısıyla bir Latin Karesi tasarımı kursaydı, modelin hata serbestlik derecesi değişmeyerek yine $8$ olurdu.

Cevap

Latin karesi tasarımı kullanıldığında hata serbestlik derecesinin değişmeyeceğini iddia eden ifade yanlıştır.

Yanlış olan ifade, Latin karesi tasarımında hata serbestlik derecesinin değişmeyeceğini iddia eden seçenektir. Grek-Latin karesi tasarımında

p=5

iken hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3) = 4 \times 2 = 8

'dir. Eğer tasarım üç kısıt yerine iki kısıt içeren bir Latin Karesi olarak kurgulansaydı, Grek harflerine ayrılan

p-1 = 4

'lük serbestlik derecesi modele açıklanamayan varyans olarak dönecek ve hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-2) = 4 \times 3 = 12

olacaktı. Dolayısıyla hata serbestlik derecesi

8

olarak kalamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Genel kareler toplamının serbestlik derecesi (SD) formülü olan

p^2 - 1

kullanılarak, deneydeki seviye sayısını (

p

) bulma.

p^2 - 1 = 24 \implies p^2 = 25 \implies p = 5

olarak hesaplanır. Toplam

25

gözlem vardır.

Varyans analizi tablosunda genel serbestlik derecesi toplam gözlem sayısının bir eksiğidir.

2

Grek-Latin karesi tasarımı için modeldeki faktörlerin ve hatanın serbestlik derecelerini hesaplama.

Muamele, Satır, Sütun ve Grek harfleri blokları için SD

= p - 1 = 4

'tür. Hata SD

= (p-1)(p-3) = 4 \times 2 = 8

'dir.

Grek-Latin karesi üç yönlü kısıtlama içerir ve her faktör eşit

p

seviyesine sahiptir.

3

Grek-Latin karesinin teorik varsayımlarını değerlendirme.

İki ortogonal Latin karesinin birleşimiyle oluşur ve

p=2

ile

p=6

seviyelerinde matematiksel olarak kurulamaz.

Tasarımın geçerliliği ve varyansın dik olarak ayrıştırılabilmesi için bu ortogonallik şarttır.

4

Aynı deneyin Latin Karesi tasarımı (iki yönlü kısıtlama) ile yapılması durumunda hata serbestlik derecesini hesaplama.

Latin karesinde Hata SD

= (p-1)(p-2) = 4 \times 3 = 12

'dir.

Grek harfi faktörü modele dahil edilmediğinde, bu kısıta ait serbestlik derecesi (

p-1=4

) hata terimine katılır (

8 + 4 = 12

). Hata SD

8

olarak kalmaz.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Özellikleri ve Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Bir ziraat mühendisi, 4 farklı gübre türünün (A, B, C ve D) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) gerçekleştirmiştir. Deney sürecinde bazı parsellerde veri kaybı yaşandığı için gruplardaki gözlem sayıları birbirinden farklıdır. Analiz sonucunda test istatistiği $F = 4.85$ ve olasılık değeri $p = 0.012$ bulunmuştur (Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0.05$ ).

Bu araştırmada gruplar arası farklılıkların inceleneceği çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Scheffe testi, eşit olmayan örneklem hacimlerinde güvenilir sonuçlar vermesi ve ikili karşılaştırmaların yanı sıra karmaşık karşılaştırmalara da imkân tanıması nedeniyle bu araştırma için uygun bir yaklaşımdır.

ANOVA sonucunda temel hipotez reddedilemeseydi (

p > 0.05

) dahi, araştırmacının olası gizli farkları gözden kaçırmamak amacıyla post-hoc testlerinden birini mutlaka uygulaması gerekirdi.

Tüm olası ikili karşılaştırmalarda aile bazında Tip I hata oranını (experiment-wise error rate) şişirmeyi en iyi önleyen ve en muhafazakâr olan yöntem Fisher'in En Küçük Önemli Fark (LSD) testidir.

Herhangi bir post-hoc testinde kullanılacak kritik tablo değeri belirlenirken, varyans analizi tablosundaki gruplariçi (hata) serbestlik derecesi yerine modelin genel serbestlik derecesinin temel alınması zorunludur.

Standart Tukey HSD testi, gözlem sayılarının eşit olmadığı dengesiz tasarımlarda ikiden fazla grubun ortalamasının birleştirilerek karşılaştırıldığı (karmaşık) durumlar için geliştirilmiş en güçlü testtir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Scheffe testi, eşit olmayan örneklem hacimlerinde güvenilir sonuçlar vermesi ve ikili karşılaştırmaların yanı sıra karmaşık karşılaştırmalara da imkân tanıması nedeniyle bu araştırma için uygun bir yaklaşımdır.

Cevap

Doğru seçenek, Scheffe testinin eşit olmayan örneklem hacimlerinde ve karmaşık karşılaştırmalarda uygun olduğunu belirten ifadedir.

Verilen senaryoda grupların gözlem sayılarının eşit olmadığı vurgulanmıştır. Scheffe testi, eşit olmayan örneklem hacimlerinde (dengesiz tasarımlarda) oldukça güvenilir sonuçlar üretir. Ayrıca yalnızca iki grubu (örneğin A ile B) değil, ikiden fazla grubun birleştirilerek karşılaştırıldığı karmaşık kontrastları (örneğin A ile B+C+D ortalamasını) da test edebilir. Bu esnekliği ve aile bazında Tip I hata oranını kontrol etmede en katı (muhafazakâr) yöntem olması nedeniyle en uygun yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonuçlarının değerlendirilmesi

p = 0.012 < 0.05

olduğu için temel hipotez reddedilmiştir ve grup farklılıklarını tespit için post-hoc testi uygulanması istatistiksel açıdan gereklidir.

Post-hoc testlerine geçmeden önce genel grup farklılığının (F testinin anlamlılığının) teyit edilmesi.

2

Örneklem hacimleri ve veri setinin yapısının incelenmesi

Araştırmada gruplardaki gözlem sayıları birbirinden farklıdır (dengesiz tasarım). Bu yapısal durum, standart Tukey gibi eşit

n

varsayan testlerin doğrudan kullanımını sınırlar.

Uygulanacak testin, eldeki veri setinin varsayımlarına (örneğin eşit veya farklı örneklem hacmi) uygunluğunu denetlemek.

3

Test özelliklerinin analiz senaryosuna göre kıyaslanması

LSD Tip I hatayı iyi kontrol edemez; Standart Tukey karmaşık karşılaştırmalar yapamaz ve eşit

n

bekler. Scheffe ise hem karmaşık karşılaştırmalara izin verir, hem dengesiz tasarımlara uyumludur, hem de Tip I hatayı korumada en güçlü yöntemdir.

Güç ve Tip I hata dengesi gözetilerek mevcut problemin ihtiyaçlarına (dengesiz tasarım ve olası karmaşık kombinasyonlar) en uygun istatistiksel kararı vermek.

Anahtar Kavram

Varyans analizinde (ANOVA) gruplararası farklılıkların saptanması amacıyla kullanılan post-hoc testlerinin özellikleri, eşit olmayan örneklem hacmi durumundaki kullanımları ve karmaşık karşılaştırma esneklikleri.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Optik lens üretiminde yüzey pürüzlülüğünü minimize etmek amacıyla yürütülen bir kalite iyileştirme çalışmasında, sıcaklık ( $X_1$ ), basınç ( $X_2$ ) ve soğuma süresi ( $X_3$ ) parametrelerinin etkileri araştırılmaktadır. Bu amaçla her parametrenin iki seviyeli olduğu bir faktöriyel tasarım ( $2^3$ ) planlanmıştır.

Üretim fırınının kapasite kısıtı sebebiyle denemeler, her biri 4 işlemden oluşan 2 kısımlı (bloklu) vardiyalara bölünmüş ve tasarım kurgulanırken üçlü etkileşim ( $X_1X_2X_3$ ) vardiya bloklarıyla karıştırılmıştır (confounded). Tüm bu deneysel süreç, farklı haftalarda toplam 3 kez tam olarak tekrarlanmış (replicate) ve her tekrarda yine aynı üçlü etkileşim karıştırılmıştır.

Sürecin sonunda elde edilen verilere uygulanan varyans analizi (ANOVA) tablosunda şu kısmi sonuçlara ulaşılmıştır:
- Düzeltilmiş Genel Kareler Toplamı: $880$
- Vardiyalar (Bloklar) Arası Kareler Toplamı: $120$ (Tüm tekrarlardaki toplam 6 vardiya için)
- Ana etkilerin kareler toplamları: $KT_{X_1} = 80$ , $KT_{X_2} = 60$ , $KT_{X_3} = 40$
- İkili etkileşimlerin kareler toplamları: $KT_{X_1X_2} = 50$ , $KT_{X_1X_3} = 30$ , $KT_{X_2X_3} = 20$

Buna göre, tasarımın istatistiksel geçerliliğini test etmek için kullanılacak Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

20

30

32

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Hata Kareler Ortalaması değeri 40'tır.

Doğru değer 40'tır. Sorudaki tasarım 3 tekerrürlü, her tekerrürü 2 bloklu bir kurgudur. Toplam gözlem N=24, Genel sd=23'tür. 6 blok bulunduğu için Blok sd=5'tir. Üçlü etkileşim karıştırıldığı için ana ve ikili etkileşimlerin (toplam 6 etkinin) sd'si 6'dır. Hata sd = 23 - 5 - 6 = 12 olarak bulunur. Hata KT = 880 - 120 - 280 = 480 olarak elde edilir. Buradan Hata Kareler Ortalaması = 480 / 12 = 40 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Deneydeki toplam gözlem sayısını ve Genel Serbestlik Derecesini (sd) hesaplama.

N = 2^3 \times 3 \text{ (tekrar)} = 24

. Genel sd =

24 - 1 = 23

.

Tüm varyans analizlerinde toplam varyasyon, gözlem sayısının bir eksiği kadar serbestlik derecesine sahiptir.

2

Modeldeki blokların ve karışmamış (bağımsız) etkilerin serbestlik derecelerini belirleme.

Toplam 6 vardiya (blok) olduğu için Blok sd =

6 - 1 = 5

. Ana etkiler (

X_1, X_2, X_3

) için 3 sd. İkili etkileşimler (

X_1X_2, X_1X_3, X_2X_3

) için 3 sd. Açıklanan toplam sd =

5 + 6 = 11

.

Üçlü etkileşim (

X_1X_2X_3

) bloklarla karıştırıldığı (confounded) için modele ayrıca eklenmez, etkisi blok varyansının içindedir.

3

Hata Serbestlik Derecesini hesaplama.

Hata sd = Genel sd - Blok sd - Karışmamış Etkiler sd =

23 - 5 - 6 = 12

.

Hata varyansı, model tarafından açıklanamayan geriye kalan serbestlik derecelerinden elde edilir.

4

Hata Kareler Toplamını (Hata KT) hesaplama.

İşleme (Ana + İkili Etkileşim) KT =

80 + 60 + 40 + 50 + 30 + 20 = 280

. Hata KT = Genel KT - Blok KT - İşleme KT =

880 - 120 - 280 = 480

.

Hata KT'yi bulmak için, blokların ve işleme etkilerinin kareler toplamları, düzeltilmiş genel kareler toplamından çıkarılır.

5

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplama.

Hata KO = Hata KT / Hata sd =

480 / 12 = 40

.

Varyans analizi temel kuralına göre Kareler Ortalaması, Kareler Toplamının ait olduğu serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Karıştırma (Confounding) ve Parçalı Varyans Analizi (ANOVA)

Soru 16Soru →

Bir ziraat mühendisi, 5 farklı buğday tohumu çeşidinin dönüm başına verimlerini karşılaştırmak amacıyla rastgele seçilen toplam 35 parsele ekim yapmıştır. Elde edilen verilerle yapılan ön analizlerde, Shapiro-Wilk testi sonucunda normallik varsayımının sağlandığı ( $p = 0,450$ ), ancak Levene testi sonucunda varyansların homojenliği varsayımının sağlanmadığı ( $p = 0,011$ ) tespit edilmiştir.

Analize ilişkin eksik bırakılan Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)
Gruplar Arası
Gruplar İçi (Hata)	15
Genel (Toplam)	850

Buna göre, standart ANOVA tablosundaki eksik değerler hesaplandığında elde edilecek hesaplanan $F$ değeri ve bu analizin geçerliliğine ilişkin yapılması gereken en uygun istatistiksel değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir? (Not: $\alpha = 0,05$ için $F_{(4, 30)}$ kritik tablo değeri yaklaşık $2,69$ 'dur.)

F = 6,67

; Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden elde edilen standart

F

istatistiği güvenilir değildir, alternatif olarak Welch

F

testi veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

F = 6,67

; Hesaplanan

F

değeri

2,69

'dan büyük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir, normallik sağlandığı sürece varyans homojenliğinin ihlali standart

F

testini geçersiz kılmaz.

F = 6,67

; Levene testinin anlamlı çıkması normallik varsayımının sağlanamadığını gösterdiğinden, analiz parametrik olmayan Kruskal-Wallis testi ile tekrarlanmalıdır.

F = 5,33

; Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden elde edilen standart

F

istatistiği güvenilir değildir, alternatif olarak Welch

F

testi veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

F = 5,33

; Hesaplanan

F

değeri

2,69

'dan büyük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir ve tohum çeşitlerinin verimleri arasında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 6,67$ ; Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden elde edilen standart $F$ istatistiği güvenilir değildir, alternatif olarak Welch $F$ testi veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

Cevap

Hesaplanan F değeri 6,67'dir ve varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiği için standart F testi yerine Welch veya Brown-Forsythe testleri tercih edilmelidir.

Varyans analizi tablosunda eksik değerleri bulmak için ilk olarak serbestlik dereceleri hesaplanır: sd(Grup) = 5-1 = 4, sd(Hata) = 35-5 = 30. Verilen KO(Hata)=15 bilgisiyle KT(Hata) = 15*30 = 450 bulunur. KT(Grup) = 850 - 450 = 400 ve KO(Grup) = 400/4 = 100 olarak elde edilir. F istatistiği 100/15 = 6,67 çıkar. İstatistiksel geçerlilik açısından, Levene testinin p < 0,05 vermesi varyans homojenliğinin sağlanamadığını kanıtlar. Bu durumda standart F testi istatistiksel gücünü ve güvenilirliğini kaybedeceği için Welch ANOVA veya Brown-Forsythe alternatiflerine geçilmesi bilimsel bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini hesaplama

Grup sayısı (k) = 5, Toplam gözlem (n) = 35. sd_{Gruplar Arası} = 5 - 1 = 4. sd_{Genel} = 35 - 1 = 34. sd_{Hata} = 34 - 4 = 30.

Kareler Toplamı değerlerine geçebilmek için her bir kaynağın serbestlik derecesini bilmek gerekir.

2

Hata Kareler Toplamını (KT_{Hata}) bulma

KT_{Hata} = KO_{Hata} * sd_{Hata} = 15 * 30 = 450

Tabloda Hata Kareler Ortalaması 15 olarak verilmiştir.

3

Gruplar Arası Kareler Toplamını (KT_{Gruplar Arası}) ve Kareler Ortalamasını (KO_{Gruplar Arası}) hesaplama

KT_{Gruplar Arası} = KT_{Genel} - KT_{Hata} = 850 - 450 = 400. KO_{Gruplar Arası} = 400 / 4 = 100.

Genel Kareler Toplamı, gruplar arası ve hata kareler toplamlarının bileşimidir.

4

F İstatistiğini hesaplama

F = KO_{Gruplar Arası} / KO_{Hata} = 100 / 15 = 6,67

F test istatistiği, gruplar arası varyansın grup içi varyansa oranıdır.

5

Varsayımları değerlendirip istatistiksel çıkarım yapma

Levene testi p = 0,011 < 0,05 olduğundan varyanslar homojen değildir. Standart F değeri (6,67) güvenilirliğini yitirir, Welch F testine başvurulmalıdır.

Varyans homojenliğinin ihlali Tip I hata oranını bozar, standart ANOVA'nın yorumlanmasını geçersiz kılar.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu Hesaplamaları ve Varsayım İhlalleri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

Varyans analizinde (ANOVA) kullanılan model türleri (sabit, rastgele ve karışık etkiler) ve testin dayandığı temel varsayımlar (normallik, varyansların homojenliği ve bağımsızlık) deney tasarımının güvenirliği açısından kritik öneme sahiptir. Varsayımların ihlali durumunda test istatistiğinin davranışı ve hipotezlerin yapısı, kullanılan model türüne göre değişiklik gösterebilir.

Buna göre, varyans analizinin temel ilkeleri ve varsayımları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Levene testine ait p-değerinin anlamlılık düzeyinden küçük çıkması (varyansların heterojenliği) durumunda, örneklem hacimleri birbirinden farklı olsa dahi F-testi her zaman Tip I hata olasılığını artıracak (liberal) yönde sapma gösterir.

Gözlemlerin birbirinden bağımsızlığı varsayımının ihlal edilmesi durumunda grup ortalamalarının tahmincileri yanlı (biased) hale gelir, ancak varyans analizi sonucunda hesaplanan F-istatistiği bu durumdan etkilenmez.

Sabit etkiler modelinde (Model I) sıfır hipotezi belirli faktör düzeylerinin etkilerinin sıfır olduğu (

H_0: \tau_i = 0

) şeklinde kurulurken, rastgele etkiler modelinde (Model II) tedavilerin kitle varyans bileşeninin sıfır olduğu (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) şeklinde tanımlanır.

Varyans analizi tablosunda hesaplanan F-testi p-değerinin çok küçük olması (örneğin

p < 0,001

), incelenen faktörün bağımlı değişken üzerindeki etki büyüklüğünün (effect size) pratik anlamda çok yüksek olduğunu ve varsayımların eksiksiz sağlandığını kanıtlar.

Karışık etkiler modelinde (Model III) analiz gerçekleştirilirken, sadece sabit faktörün hata terimlerinin normal dağıldığı varsayılır; rastgele faktörün kitleye ait varyans bileşeninin ise herhangi bir dağılımdan bağımsız (non-parametrik) olduğu kabul edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit etkiler modelinde (Model I) sıfır hipotezi belirli faktör düzeylerinin etkilerinin sıfır olduğu ( $H_0: \tau_i = 0$ ) şeklinde kurulurken, rastgele etkiler modelinde (Model II) tedavilerin kitle varyans bileşeninin sıfır olduğu ( $H_0: \sigma_\tau^2 = 0$ ) şeklinde tanımlanır.

Cevap

Doğru yanıt, sabit etkiler modelinde sıfır hipotezinin etki düzeylerinin sıfıra eşitliği (

H_0: \tau_i = 0

), rastgele etkiler modelinde ise kitle varyans bileşeninin sıfıra eşitliği (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) üzerinden kurulduğunu belirten ifadedir.

Doğru yanıt olan seçenekte, ANOVA modellerinin teorik yapısı kusursuz özetlenmiştir. Sabit etkiler modelinde analiz edilen gruplar kasten seçilir ve bu belirli gruplar arasında fark olup olmadığı (

H_0: \tau_i = 0

) araştırılır. Rastgele etkiler modelinde ise faktör düzeyleri daha büyük bir kitle içinden rastgele seçilir; bu nedenle araştırmacı spesifik düzeylerin etkileriyle değil, kitledeki faktörün oluşturduğu toplam varyans bileşeniyle (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) ilgilenir.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit Etkiler (Model I) ve Rastgele Etkiler (Model II) modellerinin temel hipotez yapılarını karşılaştır.

Model I'de araştırmacının belirlediği spesifik faktör düzeyleri karşılaştırılır ve etki büyüklüklerinin sıfır olup olmadığı (

H_0: \tau_i = 0

) test edilir. Model II'de ise düzeyler büyük bir kitleden rastgele seçilir ve bu kitlenin varyans bileşeninin sıfır olup olmadığı (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) incelenir.

Varyans analizinin model yapısını anlamak için beklenen kareler ortalaması (EMS) ve hipotez kurallarının bilinmesi gerekir.

2

Varyansların homojenliği (Levene) varsayımının ihlali durumunda F-testinin davranışını analiz et.

Varyanslar heterojen olduğunda ve örneklem hacimleri eşit olmadığında, büyük varyans büyük örneklemde ise test muhafazakarlaşır (Tip I hata düşer); büyük varyans küçük örneklemde ise test liberallaşır (Tip I hata artar). Her zaman liberal sapma olmaz.

Varyans analizi varsayımlarının ihlalinin sonuçlarını doğru değerlendirmek için gereklidir.

3

Bağımsızlık varsayımının ihlalinin istatistiksel sonuçlarını değerlendir.

Bağımsızlık ihlali F-istatistiğini (ve Tip I hatayı) aşırı derecede etkiler ve genellikle yapay olarak şişirir. Ancak grup ortalaması tahmincileri yansız (unbiased) kalmaya devam eder.

Test istatistiği ile nokta tahmin ediciler arasındaki farkı ayırt etmek için gereklidir.

4

ANOVA'da p-değerinin kavramsal yorumunu yap.

p-değerinin küçüklüğü etkinin istatistiksel olarak anlamlı olduğunu gösterir, ancak etki büyüklüğü (

\eta^2

) yüksek anlamına gelmez. Ayrıca varsayımların sağlandığını asla garanti etmez.

Yaygın istatistiksel p-değeri yanılgılarını (misconceptions) elemek içindir.

5

Elde edilen sonuçlara göre kesinlikle doğru olan ifadeyi belirle.

Hipotez tanımlamalarının yapıldığı ifade (Model I için

\tau_i = 0

, Model II için

\sigma^2_\tau = 0

) varyans analizinin temel ilkelerine uygun tek doğru ifadedir.

Soru kökündeki 'kesinlikle doğrudur' şartını sağlamak için tüm çeldiriciler elenmiştir.

Anahtar Kavram

Sabit, Rastgele ve Karışık Etkiler Modellerinde Hipotez Yapıları ve ANOVA Varsayımlarının İhlal Sonuçları

Soru 18Soru →

Bir ziraat mühendisi, 3 farklı gübre türünün (A faktörü) ve 4 farklı sulama yönteminin (B faktörü) buğday verimi üzerindeki etkisini tam şansa bağlı deneme desenine göre kurduğu iki yönlü varyans analizi ile incelemektedir. Her bir gübre ve sulama kombinasyonunda 5 adet gözlem (tekerrür) yapılmıştır.

Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Gübre Türü (A)	?	150
Sulama Yöntemi (B)	?	300
Etkileşim (AxB)	?	180
Hata	?	?
Genel	?	1830

Buna göre, gübre türü ve sulama yöntemi etkileşimine (AxB) ait F test istatistiği değeri kaçtır?

0,60

0,75

1,20

1,35

1,44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,20

Cevap

İki yönlü varyans analizinde etkileşime (AxB) ait F test istatistiği değeri 1,20'dir.

Doğru değer 1,20'dir. İki yönlü ANOVA tablosunda etkileşime (AxB) ait F istatistiğini bulmak için sırasıyla serbestlik dereceleri ve Hata Kareler Toplamı hesaplanmalıdır. Gözlem sayısı

N=60

(3x4x5)'tir. Etkileşim serbestlik derecesi

(3-1)(4-1)=6

, Hata serbestlik derecesi ise

3 \times 4 \times (5-1)=48

'dir. Eksik olan Hata Kareler Toplamı

1830 - (150+300+180) = 1200

olarak bulunur. Etkileşim Kareler Ortalaması

180/6 = 30

, Hata Kareler Ortalaması

1200/48 = 25

olur. F istatistiği ise

30/25 = 1,20

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen deney desenindeki parametrelerin belirlenmesi.

a = 3

(Gübre türü),

b = 4

(Sulama yöntemi) ve

n = 5

(Tekerrür sayısı). Toplam gözlem sayısı

N = 3 \times 4 \times 5 = 60

.

Varyans analizi tablosundaki serbestlik derecelerinin (sd) hesaplanabilmesi için temel parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Serbestlik derecelerinin hesaplanması.

Etkileşim (AxB) serbestlik derecesi:

sd_{AxB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6

. Hata serbestlik derecesi:

sd_{Hata} = ab(n-1) = 3 \times 4 \times (5-1) = 12 \times 4 = 48

.

F test istatistiği, Kareler Ortalamalarının birbirine oranlanması ile bulunur ve Kareler Ortalaması, Kareler Toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

Hata Kareler Toplamının (KT) bulunması.

Genel KT = A'nın KT + B'nin KT + AxB'nin KT + Hata KT denkleminden;

1830 = 150 + 300 + 180 + Hata KT

\rightarrow

Hata KT = 1830 - 630 = 1200

.

Hata Kareler Ortalamasını hesaplayabilmek için tabloda eksik verilen Hata Kareler Toplamının bulunması şarttır.

4

Kareler Ortalamalarının (KO) hesaplanması.

Etkileşim KO:

KO_{AxB} = 180 / 6 = 30

. Hata KO:

KO_{Hata} = 1200 / 48 = 25

.

F test istatistiği formülünün pay ve paydasındaki varyans tahminlerinin (KO) elde edilmesi gerekir.

5

F test istatistiğinin hesaplanması.

F_{AxB} = \frac{KO_{AxB}}{KO_{Hata}} = \frac{30}{25} = 1,20

.

Etkileşim etkisinin istatistiksel anlamlılığını sınayan test istatistiğinin formülüdür.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamı ve Serbestlik Derecesi Parçalanması

Soru 19Soru →

Endüstriyel bir üretim tesisinde kalite kontrol birimi, üretilen polimerik malzemenin çekme mukavemetinin kullanılan $4$ farklı soğutma sıvısına göre değişip değişmediğini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen toplam $40$ numune üzerinde tek yönlü varyans analizi (ANOVA) gerçekleştirilmiştir.

Elde edilen kısmi analiz sonuçlarına göre:
- Gruplar arası (soğutma sıvıları) kareler ortalaması $120$ olarak hesaplanmıştır.
- Genel (toplam) kareler toplamı $1080$ 'dir.
- Varyansların homojenliğini test etmek amacıyla uygulanan Bartlett testi sonucunda $p$ -değeri $0,012$ bulunmuştur.

$(\alpha = 0,05$ ve $F_{(3; 36; 0,05)} = 2,87)$

Elde edilen bu bulgulara göre, hesaplanan $F$ test istatistiği ve analizin devamı için verilmesi gereken istatistiksel karar aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak ifade edilmiştir?

F = 6,00

; Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden standart ANOVA yerine Welch veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

F = 6,50

; Test istatistiği tablo değerinden büyük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir ve gruplar arası anlamlı fark vardır.

F = 6,00

; Varyans homojenliği sağlandığı için standart

F

testi geçerlidir ve

H_0

hipotezi reddedilir.

F = 0,50

; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilemez.

F = 6,00

;

H_0

hipotezi reddedildiği için gruplar arası farkın kaynağını bulmak amacıyla standart Tukey testi uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 6,00$ ; Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden standart ANOVA yerine Welch veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

Cevap

Doğru karar,

F = 6,00

değerinin bulunması ve varyans homojenliği sağlanamadığı için standart ANOVA yerine Welch (veya Brown-Forsythe) testine geçilmesi gerektiğini belirten ifadedir.

Verilen değerlerle tek yönlü varyans analizi tablosu geriye dönük olarak tamamlandığında:

df_{grup} = 3

ve

df_{hata} = 36

olarak bulunur. Gruplar arası kareler toplamı

120 \times 3 = 360

'tır. Hata kareler toplamı ise

1080 - 360 = 720

olarak kalır. Buradan hata kareler ortalaması (

MS_{hata}

)

720 / 36 = 20

olur. Hesaplanan

F

değeri

120 / 20 = 6,00

'dır. Ancak Bartlett testine ait

p=0,012

değeri

\alpha=0,05

'ten küçük olduğu için varyansların eşitliği varsayımı sağlanamamıştır. Bu durumda standart F testi I. tip hata yapma riskini artıracağından, doğrudan reddetme kararı vermek yerine Welch ANOVA sonuçlarına bakılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenlerden serbestlik derecelerini hesapla.

df_{grup} = k - 1 = 4 - 1 = 3

.

df_{hata} = n - k = 40 - 4 = 36

.

df_{genel} = n - 1 = 40 - 1 = 39

.

ANOVA tablosundaki eksik bileşenleri bulmak için modelin serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Gruplar arası kareler toplamını (

SS_{grup}

) bul.

SS_{grup} = MS_{grup} \times df_{grup} = 120 \times 3 = 360

.

Genel kareler toplamından (SST) hata kareler toplamını (SSE) ayrıştırabilmek için gruplar arası kareler toplamı hesaplanmalıdır.

3

Hata kareler ortalamasını (

MS_{hata}

) bul.

SS_{hata} = SS_{genel} - SS_{grup} = 1080 - 360 = 720

.

MS_{hata} = SS_{hata} / df_{hata} = 720 / 36 = 20

.

F test istatistiği, gruplar arası varyansın grup içi (hata) varyansa oranıdır.

4

Hesaplanan

F

değerini bul.

F = MS_{grup} / MS_{hata} = 120 / 20 = 6,00

.

Gruplar arası ortalamaların anlamlılığını test etmek için istatistiksel orana ulaşılır.

5

Bartlett testi sonucunu yorumla ve analizin yönünü belirle.

p = 0,012 < 0,05

olduğundan varyans homojenliği varsayımı (

H_0

: Varyanslar eşittir) reddedilir.

Standart F testinin geçerli olabilmesi için varyansların homojen olması gerekir. Varyanslar heterojen ise Welch ANOVA gibi dirençli bir alternatif kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve Varyans Homojenliği Varsayımı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 20Soru →

Bir araştırmacı, dört farklı öğretim yönteminin öğrencilerin sınav başarı puanları üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamak istemektedir. Araştırmacı analiz öncesinde verilerin varsayımları sağlayıp sağlamadığını kontrol etmiş ve varyansların homojenliğini sınamak için uyguladığı Levene testinde p-değerini $0,012$ olarak hesaplamıştır. (Anlamlılık düzeyi $\alpha=0,05$ olarak alınacaktır.)

Buna göre, mevcut durum ve araştırmacının izlemesi gereken yol ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle standart ANOVA yerine Welch testi gibi varyans eşitsizliğine dirençli bir yöntem kullanılmalıdır.

Varyansların homojenliği varsayımı sağlanmıştır; araştırmacı herhangi bir düzeltme yapmadan standart ANOVA işlemine devam edebilir.

Öğretim yöntemleri arasında anlamlı bir farklılık olduğu kanıtlanmıştır; araştırmacı farklılığın kaynağını bulmak için doğrudan Post-Hoc testleri uygulamalıdır.

Verilerin normal dağılımdan geldiği varsayımı reddedilmiştir; bu nedenle analize parametrik olmayan Kruskal-Wallis testi ile devam edilmelidir.

Gruplar içi varyansın çok yüksek olduğu görülmüştür; hatayı azaltmak için analize bir blok değişkeni eklenerek Rastgele Bloklar tasarımına geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle standart ANOVA yerine Welch testi gibi varyans eşitsizliğine dirençli bir yöntem kullanılmalıdır.

Cevap

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle standart ANOVA yerine Welch testi gibi varyans eşitsizliğine dirençli bir yöntem kullanılmalıdır.

Varyans analizinde ön şartlardan biri varyansların homojen olmasıdır. Bu durum Levene testi ile sınanır ve

H_0

: 'Varyanslar eşittir' şeklindedir. Soru metninde verilen

p = 0,012

değeri

0,05

'ten küçük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir, yani varyanslar homojen değildir. Varyansların heterojen olduğu bu durumda, I. Tip hatayı kontrol altında tutabilmek için klasik ANOVA F testi yerine Welch veya Brown-Forsythe gibi sağlam (robust) alternatif istatistiksel testler kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Levene testinin amacını ve hipotezlerini belirleme.

Levene testi varyansların homojenliğini sınar. Sıfır hipotezi (

H_0

), grupların varyanslarının eşit (homojen) olduğudur.

İstatistikte p-değerini doğru yorumlamak için öncelikle testin neyi sınadığını bilmek gerekir.

2

Hesaplanan p-değerini anlamlılık düzeyi ile karşılaştırma.

p = 0,012 < \alpha = 0,05

olduğundan

H_0

reddedilir.

p-değeri

\alpha

'dan küçükse sıfır hipotezi reddedilir, yani varyansların homojenliği varsayımı sağlanmamıştır.

3

Varsayım ihlali durumunda atılacak doğru adımı belirleme.

Varyanslar homojen olmadığında standart ANOVA işleminin üreteceği F istatistiği yanıltıcı (I. Tip hata riskini artıran) sonuçlar verir. Bu nedenle varyans eşitsizliğine dirençli olan Welch testi tercih edilmelidir.

Standart ANOVA'nın güvenilir sonuçlar üretebilmesi için varyans homojenliği şarttır.

Anahtar Kavram

Varyans Analizi Varsayımları ve Levene Testi

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap