Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir tarım araştırmacısı, buğday verimi üzerinde "Gübre Türü" (3 farklı tür) ve "Sulama Yöntemi" (4 farklı yöntem) olmak üzere iki faktörün etkilerini incelemek amacıyla tam faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Deney, her gözede (hücrede) 3 tekrar (tekerrür) olacak şekilde tamamen rastgele tasarıma göre yürütülmüştür.

Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Gübre Türü	300
Sulama Yöntemi	450
Etkileşim	?
Hata	480
Genel	1500

Buna göre, Gübre Türü ile Sulama Yöntemi arasındaki etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken F test istatistiği değeri kaçtır?

1,125

2,25

2,70

6,25

7,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,25

Cevap

Etkileşim etkisi için hesaplanması gereken F test istatistiği değeri 2,25'tir.

Doğru yanıt, eksik olan etkileşim kareler toplamının bulunup serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilen kareler ortalamasının (45), hata kareler ortalamasına (20) oranlanmasıyla hesaplanan 2,25 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (sd) hesaplama

Gübre (a=3) için sd = 2, Sulama (b=4) için sd = 3. Toplam gözlem (n=3x4x3=36) için Genel sd = 35. Etkileşim sd = 2x3=6. Hata sd = 35-2-3-6=24.

Kareler ortalamasını bulabilmek için her varyans kaynağının serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Etkileşim Kareler Toplamını (KT) bulma

Genel KT = A KT + B KT + AB KT + Hata KT formülünden, 1500 = 300 + 450 + AB KT + 480 işlemiyle AB KT = 270 bulunur.

Eksik olan etkileşim KT değeri ana eşitlikten çekilir.

3

Kareler Ortalamalarını (KO) hesaplama

Etkileşim KO = 270 / 6 = 45. Hata KO = 480 / 24 = 20.

F istatistiğinin pay ve paydası olan KO değerleri elde edilir.

4

F istatistiğini hesaplama

F = Etkileşim KO / Hata KO = 45 / 20 = 2,25.

Etkileşimin anlamlılığını test etmek için F oranı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Varyans Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir tarım il müdürlüğü, $4$ farklı gübre çeşidinin buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla rastgele seçilen toplam $36$ eşit büyüklükteki parselde deneme ekimi yapmıştır. Araştırmacı, verilerin normal dağıldığını ve varyansların homojen olduğunu tespit ettikten sonra aşağıdaki Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmını elde etmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması	F
Gruplar Arası (Gübre)	$150$
Gruplar İçi (Hata)	$640$
Genel (Toplam)	$790$

$\%5$ anlamlılık düzeyinde tablo kritik değeri $F_{(3, 32)} = 2,90$ olduğuna göre, eksik tablo değerlerinin hesaplanması ve hipotez testi sonucuna ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Gruplar arası kareler ortalaması

50

olarak hesaplanır; hesaplanan

F

değeri (

2,50

) kritik değerden küçük olduğu için gübre çeşitleri arasında verim açısından anlamlı bir fark yoktur.

Hata serbestlik derecesi

35

olarak bulunur; hesaplanan

F

değeri (

2,73

) kritik değerden küçük olduğu için gübre çeşitleri arasında anlamlı bir fark bulunamamıştır.

Gruplar arası serbestlik derecesi

4

olarak alınır; hesaplanan

F

değeri (

1,88

) kritik değerden küçük olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez.

Hata kareler ortalaması

17,78

olarak hesaplanır; hesaplanan

F

değeri (

2,81

) kritik değerden küçük olduğu için gübre çeşitlerinin etkileri farksızdır.

Gruplar arası kareler ortalaması

50

olarak hesaplanır; hesaplanan

F

değeri (

2,50

) elde edildiğinden,

H_0

hipotezi reddedilerek gübre çeşitleri arasında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gruplar arası kareler ortalaması $50$ olarak hesaplanır; hesaplanan $F$ değeri ( $2,50$ ) kritik değerden küçük olduğu için gübre çeşitleri arasında verim açısından anlamlı bir fark yoktur.

Cevap

Gruplar arası kareler ortalamasının

50

, hesaplanan

F

değerinin

2,50

olduğu ve bu değerin kritik değerden küçük olması sebebiyle anlamlı bir fark bulunmadığını ifade eden seçenek doğrudur.

Varyans analizi tablosunda eksik değerleri bulmak için sırasıyla serbestlik dereceleri ve kareler ortalamaları hesaplanmalıdır. Grup sayısı

k=4

olduğundan gruplar arası serbestlik derecesi

k-1=3

, toplam gözlem sayısı

n=36

olduğundan hata serbestlik derecesi

n-k=32

'dir. Gruplar arası kareler ortalaması

150 / 3 = 50

, hata kareler ortalaması ise

640 / 32 = 20

olarak bulunur. Test istatistiği bu iki ortalamanın oranlanmasıyla

F = 50 / 20 = 2,50

olarak hesaplanır. %5 önem düzeyinde kritik değer

2,90

olarak verildiği ve hesaplanan

F

değeri (

2,50

) kritik değerden küçük olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez. Yani gübre çeşitleri arasında verim bakımından anlamlı bir fark yoktur.

Adım Adım Çözüm

1

Gruplar arası (

sd_{GA}

) ve hata (

sd_{Hata}

) serbestlik derecelerini hesaplama

sd_{GA} = k - 1 = 4 - 1 = 3

ve

sd_{Hata} = n - k = 36 - 4 = 32

Varyans analizinde kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili kareler toplamlarının kendi serbestlik derecelerine bölünmesi gerekir.

2

Kareler ortalamalarını (

KO

) bulma

KO_{GA} = \frac{150}{3} = 50

ve

KO_{Hata} = \frac{640}{32} = 20

Grupların kendi içindeki ve gruplar arasındaki varyasyonu standardize etmek için kareler toplamları serbestlik derecelerine bölünür.

3

Test istatistiğini (

F

) hesaplama

F = \frac{KO_{GA}}{KO_{Hata}} = \frac{50}{20} = 2,50

Varyansların oranını (gruplar arası varyansın gruplar içi varyansa oranı) elde ederek F istatistiği bulunur.

4

Hesaplanan F değerini tablo kritik değeri ile karşılaştırma

2,50 < 2,90

olduğundan

H_0

reddedilemez.

Hesaplanan test istatistiği red bölgesine (kritik değerden büyük olan alana) düşmediği için gübre çeşitleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olmadığı sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) Tablosu ve Hipotez Testi Süreci

Soru 23Soru →

Bir tarım araştırmacısı, 5 farklı gübre türünün (ana faktör) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla $p \times p$ boyutlarında bir Grek-Latin karesi deney tasarımı kurmuştur. Deney sonucunda toplam 25 adet gözlem değeri elde edilmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımı ve Grek-Latin karesinin genel özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Deneyde, ana faktör dışındaki varyans kaynaklarını kontrol altına almak amacıyla üç yönlü kısıtlama kullanılmıştır.

Varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata kareler toplamının bölüneceği hata serbestlik derecesi 8'dir.

Tasarımda her bir Latin harfi, her bir Grek harfi ile tam olarak bir kez eşleşerek ortogonallik şartını sağlamıştır.

Grek-Latin karesi tasarımlarının kurulabilmesi için gereken

p \ge 3

minimum seviye şartı, bu tasarımda başarıyla sağlanmıştır.

Aynı boyutlardaki (

5 \times 5

) standart bir Latin karesi tasarımına kıyasla, bu modelin hata serbestlik derecesi 4 birim daha fazladır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aynı boyutlardaki ( $5 \times 5$ ) standart bir Latin karesi tasarımına kıyasla, bu modelin hata serbestlik derecesi 4 birim daha fazladır.

Cevap

Yanlış olan ifade, Grek-Latin karesinin Latin karesine göre hata serbestlik derecesinin daha fazla olduğunu iddia eden seçenektir. Gerçekte eklenen her blok faktörü hata serbestlik derecesini düşürür.

Soruda bizden yanlış olan ifadeyi bulmamız istenmiştir. Yanlış olan ifade, Grek-Latin karesinin hata serbestlik derecesinin Latin karesinden fazla olduğunu belirten seçenektir.

5 \times 5

boyutlarında bir Latin karesinde hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-2) = 12

iken, modele üçüncü bir kısıtlama yönü (Grek harfleri) eklenen Grek-Latin karesinde bu değer

(p-1)(p-3) = 8

'dir. Yani model karmaşıklaştıkça hata serbestlik derecesi 4 birim (p-1 kadar) azalmıştır, artmamıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısından seviye sayısını (

p

) belirle.

N = p^2 = 25

olduğundan

p = 5

bulunur.

Serbestlik derecelerini hesaplamak için seviye sayısına ihtiyaç vardır.

2

Grek-Latin karesi için hata serbestlik derecesini hesapla.

sd_{hata} = (p-1)(p-3) = (5-1)(5-3) = 4 \times 2 = 8

.

Modelin yapısı gereği varyans analizi için hata sd'si bu formülle bulunur.

3

Karşılaştırma yapmak için aynı boyuttaki Latin karesinin hata serbestlik derecesini hesapla.

sd_{hata(Latin)} = (p-1)(p-2) = (5-1)(5-2) = 4 \times 3 = 12

.

Seçenekteki '4 birim daha fazladır' iddiasını test etmek için referans değere ihtiyaç vardır.

4

İki değeri karşılaştırarak yanlış ifadeyi belirle.

8 - 12 = -4

. Grek-Latin karesinin hata serbestlik derecesi 4 birim daha azdır. Seçenekteki 'daha fazladır' ifadesi yanlıştır.

Modele dahil edilen 3. blok (Grek harfleri), toplam varyanstan

(p-1) = 4

serbestlik derecesi çekerek hatanın sd'sini azaltır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesinde Serbestlik Dereceleri ve Tasarım Özellikleri

Soru 24Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, çalışanlarının hizmet içi eğitim performanslarını incelemek amacıyla "Eğitim Yöntemi" (A faktörü: Çevrim içi, Yüz yüze) ve "Çalışılan Birim" (B faktörü: Sağlık, Fen İşleri, Mali Hizmetler) olmak üzere iki faktörün etkilerini araştırmak için bir faktöriyel deney tasarlamıştır. Her bir eğitim yöntemi ve birim kombinasyonu için rastgele $5$ çalışan seçilerek performans puanları kaydedilmiştir.

Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Değeri
Eğitim Yöntemi (A)	$1$	$150$	$150$
Çalışılan Birim (B)	$2$	$240$	$120$
A $\times$ B Etkileşimi	?	$100$	?	$F_{Etkileşim}$
Hata	?	$480$	?
Genel	$29$	$970$

Buna göre, Eğitim Yöntemi ile Çalışılan Birim arasındaki etkileşim etkisine (A $\times$ B) ait F test istatistiği ( $F_{Etkileşim}$ ) kaçtır?

1.00

2.50

5.00

6.00

7.50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.50

Cevap

2.50

Varyans analizi tablosunda eksik değerleri bulmak için öncelikle serbestlik dereceleri (SD) tamamlanmalıdır. Etkileşimin SD'si, A ve B faktörlerinin SD değerlerinin çarpımıdır (

1 \times 2 = 2

). Hata SD değeri ise Genel SD değerinden modeldeki diğer SD değerlerinin çıkarılmasıyla (

29 - 1 - 2 - 2 = 24

) bulunur. Kareler Ortalamaları (KO), Kareler Toplamının ilgili Serbestlik Derecesine bölünmesiyle hesaplanır. Etkileşim KO =

100 / 2 = 50

, Hata KO =

480 / 24 = 20

olur. F istatistiği ise Etkileşim KO'nun Hata KO'ya oranlanmasıyla (

50 / 20 = 2.50

) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A x B Etkileşim Serbestlik Derecesinin (SD) hesaplanması.

SD_{A\times B} = SD_A \times SD_B = 1 \times 2 = 2

Etkileşimin serbestlik derecesi, temel faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

2

Hata Serbestlik Derecesinin (SD) hesaplanması.

SD_{Hata} = SD_{Genel} - SD_A - SD_B - SD_{A\times B} = 29 - 1 - 2 - 2 = 24

Toplam serbestlik derecesinden, modele dâhil edilen faktörlerin ve etkileşimin serbestlik dereceleri çıkarılarak hata serbestlik derecesi bulunur.

3

Etkileşim ve Hata Kareler Ortalamalarının (KO) bulunması.

KO_{A\times B} = 100 / 2 = 50

ve

KO_{Hata} = 480 / 24 = 20

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

Etkileşim F test istatistiğinin hesaplanması.

F_{A\times B} = \frac{KO_{A\times B}}{KO_{Hata}} = \frac{50}{20} = 2.50

İki yönlü faktöriyel ANOVA'da etkileşim F değeri, etkileşim kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ANOVA Tablosunda Eksik Değerlerin Tamamlanması ve Etkileşim F İstatistiği

Soru 25Soru →

Bir tekstil fabrikasında 4 farklı dokuma tezgahı (A faktörü) ve 3 farklı iplik türünün (B faktörü) kumaş dayanıklılığı üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (faktöriyel tasarım) uygulanmıştır. Her bir tezgah ve iplik türü kombinasyonu için 3'er adet kumaş örneği (tekrar sayısı $n=3$ ) test edilmiştir. Analiz sonucunda oluşturulan kısmi varyans analizi tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Dokuma Tezgahı (A)	?	180	?	$F_A$
İplik Türü (B)	?	120	?	?
Etkileşim (A $\times$ B)	?	90	?	?
Hata	?	192	?
Genel	?	582

Buna göre, Dokuma Tezgahı (A faktörü) temel etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanan $F_A$ test istatistiği değeri kaçtır?

1,88

3,75

7,50

9,38

10,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,50

Cevap

Doğru değer 7,50'dir.

İki yönlü varyans analizinde (tekrarlı faktöriyel tasarım), A faktörü için serbestlik derecesi seviye sayısının bir eksiğidir (

a-1 = 4-1 = 3

). Buna göre A faktörünün kareler ortalaması (

KO_A = 180 / 3 = 60

) bulunur. Hata serbestlik derecesi ise toplam gözlem sayısından diğer tüm serbestlik derecelerinin çıkarılmasıyla veya doğrudan

a \times b \times (n-1)

formülüyle hesaplanır (

4 \times 3 \times 2 = 24

). Hata kareler ortalaması (

KO_{Hata} = 192 / 24 = 8

) olur. F test istatistiği, faktör ortalamasının hata ortalamasına oranıdır (

F_A = 60 / 8 = 7,50

).

Adım Adım Çözüm

1

A faktörü (Dokuma Tezgahı) için serbestlik derecesini ve kareler ortalamasını (

KO_A

) hesapla.

SD_A = a - 1 = 4 - 1 = 3

. Buradan

KO_A = KT_A / SD_A = 180 / 3 = 60

elde edilir.

Varyans analizinde temel etkinin varyansını (kareler ortalamasını) bulmak için, o faktöre ait kareler toplamı kendi serbestlik derecesine bölünmelidir.

2

Modeldeki Hata serbestlik derecesini (

SD_{Hata}

) hesapla.

Gözlem sayısı

N = a \times b \times n = 4 \times 3 \times 3 = 36

. Hata serbestlik derecesi

SD_{Hata} = a \times b \times (n - 1) = 4 \times 3 \times (3 - 1) = 24

olarak bulunur.

İki yönlü faktöriyel ANOVA'da hata varyansı, her bir hücre içindeki varyasyonların birleştirilmesiyle elde edilir ve serbestlik derecesi

ab(n-1)

formülüyle bulunur.

3

Hata kareler ortalamasını (

KO_{Hata}

) hesapla.

KO_{Hata} = KT_{Hata} / SD_{Hata} = 192 / 24 = 8

olarak bulunur.

F testinde kullanılacak olan payda (hata varyansı), hata kareler toplamının hata serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

A faktörü için

F

test istatistiğini (

F_A

) hesapla.

F_A = KO_A / KO_{Hata} = 60 / 8 = 7,50

olarak hesaplanır.

Faktörün ana etkisinin anlamlılığı, o faktörün kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla test edilir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Serbestlik Dereceleri ve F Testi

Soru 26Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından yürütülen bir klinik çalışmada, 4 farklı tedavi protokolünün (işlem) hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisi incelenmektedir. Hastaneler arası fiziksel ve demografik farklılıkların sonuçları etkileyebileceği düşünüldüğünden, çalışma 5 farklı bölge hastanesinde (blok) 'Rastgele Bloklar Deney Tasarımı' kullanılarak yürütülmüştür.

Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki kısmi bilgiler elde edilmiştir:

- Genel Kareler Toplamı ( $KT_{Genel}$ ) = 500
- Bloklar için Kareler Ortalaması ( $KO_{Blok}$ ) = 40
- Hata Kareler Toplamı ( $KT_{Hata}$ ) = 120

Buna göre, tedavi protokollerinin (işlemlerin) iyileşme süreleri üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık yaratıp yaratmadığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ test istatistiği ( $F_{hesap}$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4,00

5,50

7,33

9,78

12,67

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,33

Cevap

Doğru değer 7,33'tür.

Rastgele bloklar tasarımında KT_Genel = KT_İşlem + KT_Blok + KT_Hata eşitliği geçerlidir. Verilen

KO_{Blok} = 40

ve

SD_{Blok} = (5-1) = 4

kullanılarak

KT_{Blok} = 160

bulunur. Buradan

KT_{Islem} = 500 - 160 - 120 = 220

elde edilir. İşlemlerin serbestlik derecesi (4-1)=3 olduğundan

KO_{Islem} = 220/3 = 73,33

çıkar. Hata KO ise

120/12 = 10

'dur. İşlemler için F değeri 73,33 / 10 = 7,33 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin (SD) hesaplanması

İşlem SD =

k - 1 = 4 - 1 = 3

. Blok SD =

b - 1 = 5 - 1 = 4

. Hata SD =

(k - 1)(b - 1) = 3 \times 4 = 12

. Genel SD =

N - 1 = (4 \times 5) - 1 = 19

.

Varyans analizi tablosundaki kareler ortalamalarını bulabilmek için her varyans kaynağının serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Bloklar için Kareler Toplamının (

KT_{Blok}

) bulunması

KT_{Blok} = KO_{Blok} \times SD_{Blok} = 40 \times 4 = 160

Genel kareler toplamı bileşenlerine ayrılırken blokların katkısını hesaba katmak için blok kareler toplamı hesaplanmalıdır.

3

İşlemler için Kareler Toplamının (

KT_{Islem}

) bulunması

KT_{Islem} = KT_{Genel} - KT_{Blok} - KT_{Hata} = 500 - 160 - 120 = 220

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında genel değişkenlik; işlem, blok ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

4

İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarının (

KO_{Islem}

,

KO_{Hata}

) hesaplanması

KO_{Islem} = \frac{KT_{Islem}}{SD_{Islem}} = \frac{220}{3} \approx 73,33

ve

KO_{Hata} = \frac{KT_{Hata}}{SD_{Hata}} = \frac{120}{12} = 10

F test istatistiği, ortalama karelerin (KO) birbirine oranlanmasıyla elde edilir.

5

İşlemler için

F

test istatistiğinin hesaplanması

F_{hesap} = \frac{KO_{Islem}}{KO_{Hata}} = \frac{73,33}{10} = 7,33

Tedavi protokollerinin (işlemlerin) etkisinin anlamlılığını test eden F istatistiği, İşlem KO'nun Hata KO'ya bölümüdür.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve F Test İstatistiği

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 27Soru →

Bir üretim işletmesinde, $4$ farklı makine ayarının (işlem) üretilen parçaların kalitesi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla $5$ farklı operatör (blok) kullanılarak Rastgele Bloklar Deney Tasarımı uygulanmıştır. Elde edilen verilere ilişkin kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir bölümü aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	Kareler Toplamı
İşlemler (Makineler)
Bloklar (Operatörler)	200
Hata	120
Genel	500

Buna göre, makine ayarlarının parça kalitesi üzerindeki etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ test istatistiği değeri kaçtır?

3

4.5

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İşlem (makine) etkisinin anlamlılığını test etmek için gereken F istatistiği 6 değeridir.

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında işlemler (makineler) için F istatistiği, işlem kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir. Eksik olan İşlem Kareler Toplamı

500 - (200 + 120) = 180

olarak bulunur. İşlem sayısı

4

olduğundan serbestlik derecesi

3

; blok sayısı

5

olduğundan hata serbestlik derecesi

(4-1)(5-1) = 12

'dir. Buradan İşlem Kareler Ortalaması

180 / 3 = 60

ve Hata Kareler Ortalaması

120 / 12 = 10

olarak hesaplanır. Test istatistiği

F = 60 / 10 = 6

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Eksik olan İşlem Kareler Toplamını (

KT_{İşlem}

) hesaplama

KT_{İşlem} = 180

Varyans analizinde Genel Kareler Toplamı, tüm varyans kaynaklarının toplamına eşittir (

KT_{Genel} = KT_{İşlem} + KT_{Blok} + KT_{Hata}

). Bu nedenle

500 = KT_{İşlem} + 200 + 120

eşitliğinden

KT_{İşlem} = 500 - 320 = 180

bulunur.

2

İlgili serbestlik derecelerini belirleme

İşlem serbestlik derecesi

sd_{İşlem} = 3

ve Hata serbestlik derecesi

sd_{Hata} = 12

olarak elde edilir.

Deneyde

k=4

işlem (makine) ve

b=5

blok (operatör) kullanılmıştır. Rastgele Bloklar Tasarımında işlem serbestlik derecesi

k-1 = 4-1 = 3

, hata serbestlik derecesi ise

(k-1)(b-1) = 3 \times 4 = 12

'dir.

3

İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarını (

KO

) hesaplama

KO_{İşlem} = 60

ve

KO_{Hata} = 10

Her bir varyans kaynağının kareler toplamı, kendi serbestlik derecesine bölünür.

KO_{İşlem} = 180 / 3 = 60

ve

KO_{Hata} = 120 / 12 = 10

olur.

4

İşlem etkisine ait F test istatistiğini bulma

F = 6

İşlemlerin (makinelerin) etkisini test eden F istatistiği, İşlem Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına oranlanmasıyla bulunur (

F = KO_{İşlem} / KO_{Hata} = 60 / 10 = 6

).

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA Tablosu ve F İstatistiği Hesaplaması

Alternatif Yöntem

Tüm ANOVA tablosunu zihinsel olarak tamamlamak yerine doğrudan formül üzerinden ilerlenebilir:

F_{İşlem} = \frac{[KT_{Genel} - (KT_{Blok} + KT_{Hata})] / (k-1)}{KT_{Hata} / [(k-1)(b-1)]}

. Değerler yerine konduğunda doğrudan

\frac{180/3}{120/12} = \frac{60}{10} = 6

sonucuna varılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir zincir marketler grubu, mağazalarındaki günlük ortalama satış miktarları üzerinde $3$ farklı raf dizilimi planının (A faktörü) ve $4$ farklı mağaza büyüklüğünün (B faktörü) etkilerini incelemek üzere faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Her bir raf dizilimi ve mağaza büyüklüğü kombinasyonu için rastgele seçilen $5$ farklı mağazadan veri toplanmıştır.

Elde edilen verilere göre oluşturulan ancak bazı kısımları eksik bırakılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir bölümü aşağıda verilmiştir:

Değişkenlik Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )
Raf Dizilimi (A)	?	$180$
Mağaza Büyüklüğü (B)	?	$360$
Etkileşim (A $\times$ B)	?	$270$
Hata	?	$720$
Genel	?	$1530$

Buna göre, raf dizilimi ile mağaza büyüklüğü etkileşimine (A $\times$ B) ait $F$ test istatistiğinin değeri kaçtır?

0,38

1,50

3,00

3,75

6,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,00

Cevap

Raf dizilimi ve mağaza büyüklüğü etkileşimine ait F istatistiği 3,00'tür.

İki yönlü varyans analizinde (ANOVA), etkileşim etkisine ait F test istatistiği, etkileşim kareler ortalamasının (

KO_{AB}

) hata kareler ortalamasına (

KO_{Hata}

) bölünmesiyle elde edilir. A faktörü (Raf Dizilimi) düzeyi

a = 3

, B faktörü (Büyüklük) düzeyi

b = 4

ve tekrar sayısı

n = 5

'tir. Etkileşim serbestlik derecesi

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1) = 2 \times 3 = 6

ve hata serbestlik derecesi

sd_{Hata} = a \times b \times (n - 1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

'dir. Kareler ortalamaları hesaplandığında

KO_{AB} = 270 / 6 = 45

ve

KO_{Hata} = 720 / 48 = 15

bulunur. Sonuç olarak

F_{AB} = 45 / 15 = 3,00

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Faktör düzeyleri ve hücre tekrar sayısının belirlenmesi

A faktörü düzeyi

a=3

, B faktörü düzeyi

b=4

, her kombinasyondaki tekrar sayısı

n=5

Serbestlik derecelerini doğru formüllerle hesaplamak için tasarım parametreleri tanımlanmalıdır.

2

Etkileşim (A x B) serbestlik derecesinin hesaplanması

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6

Etkileşim kareler ortalamasını bulmak için etkileşim kareler toplamı bu değere bölünmelidir.

3

Hata serbestlik derecesinin hesaplanması

sd_{Hata} = a \times b \times (n - 1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

Hata kareler ortalamasını bulmak için hata kareler toplamı hata serbestlik derecesine bölünmelidir.

4

Kareler ortalamalarının (KO) hesaplanması

KO_{AB} = 270 / 6 = 45

ve

KO_{Hata} = 720 / 48 = 15

F istatistiği, ilgili kaynağın kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranıdır.

5

Etkileşim etkisine ait F test istatistiğinin hesaplanması

F_{AB} = KO_{AB} / KO_{Hata} = 45 / 15 = 3,00

Varyans analizinde etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için F değeri bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Etkileşim Etkisinin F Testi ile Sınanması ve Serbestlik Derecesi Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Bir yazılım şirketinde geliştiricilerin haftalık verimlilik skorları üzerinde, 3 farklı çalışma modelinin (Ofis, Hibrit, Uzaktan) ve 4 farklı yazılım dilinin (Python, Java, C#, Go) etkisi, iki yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmektedir. Deney, her gözede (çalışma modeli ve yazılım dili kombinasyonunda) rastgele seçilen 4 farklı geliştirici ile tam şansa bağlı olarak gerçekleştirilmiştir.

Elde edilen kısmi ANOVA tablosu değerleri aşağıda verilmiştir:

Varyasyon Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Çalışma Modeli (A)	240
Yazılım Dili (B)	360
Etkileşim (AxB)	Belirlenmemiş
Hata	720
Genel (Toplam)	1500

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyi için bazı kritik F değerleri şöyledir:
- $F_{(6, 36), 0.05} = 2,36$
- $F_{(2, 36), 0.05} = 3,26$
- $F_{(3, 36), 0.05} = 2,87$

Buna göre, çalışma modeli ile yazılım dili arasındaki etkileşim etkisine ait test istatistiği ( $F_{hesap}$ ) değeri ve bu etkinin doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

1,50

; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğu için (

1,50 < 2,36

) anlamlı bir etkileşim yoktur. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre değişmemektedir.

0,75

; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğu için (

0,75 < 2,36

) anlamlı bir etkileşim yoktur. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre değişmemektedir.

1,50

; Etkileşim faktörü varyansı modele katkı sağladığı için anlamlı bir etkileşim vardır. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre farklılık göstermektedir.

1,80

; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğu için (

1,80 < 2,36

) anlamlı bir etkileşim yoktur. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre değişmemektedir.

7,50

; Hesaplanan değer tablo değerinden büyük olduğu için (

7,50 > 2,36

) anlamlı bir etkileşim vardır. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre farklılık göstermektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1,50$ ; Hesaplanan değer tablo değerinden küçük olduğu için ( $1,50 < 2,36$ ) anlamlı bir etkileşim yoktur. Çalışma modelinin verimlilik üzerindeki etkisi yazılım diline göre değişmemektedir.

Cevap

Hesaplanan F değeri 1,50'dir. Bu değer kritik tablo değerinden (2,36) küçük olduğu için anlamlı bir etkileşim yoktur ve çalışma modelinin etkisi yazılım diline göre farklılık göstermemektedir.

Doğru seçenekte belirtildiği gibi, iki yönlü ANOVA'da etkileşim F değeri 1,50 olarak hesaplanır. Test kurallarına göre, hesaplanan istatistiksel değer (1,50) alfa=0,05 için verilen F kritik değerinden (2,36) küçüktür. Bu durumda yokluk hipotezi (H0: Faktörler arası etkileşim yoktur) reddedilemez. Analitik anlamda bunun karşılığı, bir faktörün (çalışma modeli) sonuç üzerindeki etkisinin, diğer faktörün (yazılım dili) düzeylerine bağlı olarak farklılık göstermemesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımındaki faktör düzeylerini, gözlem sayılarını ve bunlara ait serbestlik derecelerini (sd) belirleyin.

Çalışma Modeli (a) = 3 düzey, Yazılım Dili (b) = 4 düzey, Göze başına tekrar (n) = 4. Genel (Toplam) Gözlem Sayısı (N) = 3 * 4 * 4 = 48. Hata sd = a * b * (n-1) = 3 * 4 * 3 = 36. Etkileşim sd = (a-1) * (b-1) = 2 * 3 = 6.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir varyasyon kaynağının serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

ANOVA eşitliğini kullanarak eksik olan Etkileşim Kareler Toplamını (KT) hesaplayın.

Genel KT = A_KT + B_KT + Etkileşim_KT + Hata_KT eşitliğinden; 1500 = 240 + 360 + Etkileşim_KT + 720 => Etkileşim_KT = 1500 - 1320 = 180.

Test istatistiği olan F değerini bulmak için öncelikle etkileşim varyansının payını temsil eden kareler toplamı bulunmalıdır.

3

Etkileşim ve Hata için Kareler Ortalaması (KO) değerlerini hesaplayın.

Etkileşim KO = Etkileşim KT / Etkileşim sd = 180 / 6 = 30. Hata KO = Hata KT / Hata sd = 720 / 36 = 20.

F istatistiği, incelenen etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir.

4

Etkileşim etkisine ait F test istatistiğini (F_hesap) hesaplayın ve tablo değeriyle karşılaştırıp yorumlayın.

F_hesap = Etkileşim KO / Hata KO = 30 / 20 = 1,50. 1,50 değeri kritik F değeri olan 2,36'dan küçük olduğu için H0 reddedilemez.

Test istatistiği F_tablo değerini aşamadığında ilgili etkinin istatistiksel olarak anlamlı olmadığı sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Eksik Tablo Değerlerinin Hesaplanması ve Etkileşimin Yorumlanması

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 30Soru →

Bir araştırmacı, $p$ düzeyli bir ana faktörün etkisini incelemek amacıyla ortogonallik şartını sağlayan tekrarsız bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı kurmuştur. Tasarımda, modele hata teriminin dahil edilebilmesi (hata serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması) için kullanılabilecek en küçük $p$ tam sayı değeri seçilmiştir.

Deney sonucunda elde edilen Varyans Analizi (ANOVA) tablosundaki Kareler Toplamı (KT) değerleri şöyledir:
- Genel KT: $280$
- Ana faktör (Muamele) KT: $70$
- Kontrol altına alınan tüm blok (kısıt) faktörlerinin KT'leri toplamı: $150$

Buna göre, bu deney tasarımına ait hata serbestlik derecesi, Hata Kareler Ortalaması (HKO) ve tasarımın içerdiği kısıtlama yönü (blok faktörü) sayısı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

3 ; 20 ; 3

6 ; 10 ; 2

6 ; 10 ; 3

8 ; 7,5 ; 3

9 ; 6,67 ; 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3 ; 20 ; 3

Cevap

Hata serbestlik derecesi 3, Hata Kareler Ortalaması 20 ve kısıtlama yönü sayısı 3'tür.

Grek-Latin karesi tasarımı 3 yönlü kısıtlamaya sahiptir. Tasarımın hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülü ile hesaplanır ve bu değerin sıfırdan büyük olması için minimum

p=4

seçilmelidir. Bu durumda Hata SD =

(4-1)(4-3) = 3

olur. Hata KT ise Genel KT'den modeldeki diğer tüm KT'lerin çıkarılmasıyla (

280 - 70 - 150 = 60

) elde edilir. Son olarak HKO değeri

60 / 3 = 20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımın kısıtlama yönü sayısını belirleme.

Grek-Latin karesi deney tasarımı; satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere 3 farklı blok faktörünü kontrol eder. Yani 3 yönlü kısıtlama içerir.

Latin karesine üçüncü bir ortogonal kısıtın (Grek harfleri) eklenmesiyle Grek-Latin karesi elde edilir.

2

Minimum p düzey sayısını ve Hata Serbestlik Derecesini (SD) hesaplama.

Grek-Latin karesinde Hata SD =

(p-1)(p-3)

formülü ile bulunur.

p=3

için sonuç 0 olacağından, hata varyansının tahmin edilebileceği en küçük tam sayı

p=4

'tür. Buna göre Hata SD =

(4-1)(4-3) = 3 \times 1 = 3

olur.

Varyans analizi yapılabilmesi için Hata SD'nin sıfırdan büyük (

>0

) olması matematiksel bir zorunluluktur.

3

Hata Kareler Toplamını (HKT) bulma.

HKT = Genel KT - (Ana Faktör KT + Tüm Blokların KT Toplamı) formülünden; HKT =

280 - (70 + 150) = 280 - 220 = 60

olarak bulunur.

Varyans analizinde genel kareler toplamı, modeli oluşturan tüm faktörlerin ve hatanın kareler toplamlarının eklenmesiyle oluşur.

4

Hata Kareler Ortalamasını (HKO) hesaplama.

HKO = HKT / Hata SD eşitliğinden; HKO =

60 / 3 = 20

elde edilir.

Kareler ortalaması, her bir varyans kaynağının kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımında Serbestlik Derecesi ve Kareler Ortalaması Hesabı

Soru 31Soru →

Bir kamu araştırmacısı, 4 farklı bölgedeki devlet hastanelerinin hasta memnuniyet puanlarını karşılaştırmaktadır. Bölgelerdeki değerlendirmeye alınan hastane sayıları birbirinden farklıdır ( $n_1=10$ , $n_2=15$ , $n_3=12$ , $n_4=20$ ).

Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda test istatistiği $F = 5.84$ ve $p = 0.003$ bulunarak genel hipotez ( $H_0$ : Ortalamalar birbirine eşittir) $\alpha = 0.05$ anlamlılık düzeyinde reddedilmiştir. Araştırmacı, hangi bölgeler arasında istatistiksel olarak anlamlı fark olduğunu belirlemek amacıyla bir çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi uygulamaya karar verir.

Araştırmacının bu analiz süreci ve test seçimiyle ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Örneklem hacimleri eşit olmadığında ve aile boyu Tip I hata oranı kontrol edilmek istendiğinde, LSD ve klasik Tukey testlerine göre daha muhafazakar olan Scheffé testinin kullanılması uygundur.

Varyans analizi sonucunda F testi anlamsız (

p > 0.05

) çıksaydı bile, gruplar arasındaki farklılıkların kaynağını tespit edebilmek için Scheffé veya LSD gibi post-hoc testlerine başvurulmalıydı.

Bölgelerdeki hastane sayılarının eşit olmaması modelde ikinci bir kısıt (blok) anlamına geldiğinden, post-hoc testi yerine doğrudan Latin Karesi deney tasarımına geçilmelidir.

Varyans analizi tablosunda gruplararası serbestlik derecesi 4 olduğu için, kullanılacak çoklu karşılaştırma testinin kritik tablo değeri bu serbestlik derecesine göre hesaplanmalıdır.

Bölgeler arasındaki farkın asıl kaynağını bulabilmek için post-hoc testlerinden önce bölgeler ile hastane sayıları arasındaki etkileşim etkisi (interaction effect) yorumlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacimleri eşit olmadığında ve aile boyu Tip I hata oranı kontrol edilmek istendiğinde, LSD ve klasik Tukey testlerine göre daha muhafazakar olan Scheffé testinin kullanılması uygundur.

Cevap

Örneklem hacimleri eşit olmadığında ve Tip I hata oranı kontrol edilmek istendiğinde en uygun testin Scheffé olduğunu belirten ifadedir.

Senaryoda ANOVA sonucunda genel hipotez reddedilmiş ve post-hoc testine geçiş şartı sağlanmıştır. Grupların örneklem hacimleri (

10, 15, 12, 20

) birbirinden farklıdır. Örneklem hacimleri eşit olmadığında ve ikili/karmaşık karşılaştırmalarda aile boyu Tip I hata oranı (family-wise error rate) güvence altına alınmak istendiğinde en uygun istatistiksel araç Scheffé testidir. Alternatif testlerden LSD, Tip I hata oranını aşırı derecede artırma riskine sahipken; klasik Tukey testi eşit örneklem hacimleri varsayımına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans analizi (ANOVA) sonucunun değerlendirilmesi

p = 0.003 < 0.05

olduğu için genel hipotez reddedilmiş ve gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı fark bulunmuştur.

Post-hoc testlerinin uygulanabilmesi için öncelikle genel F testinin anlamlı çıkması (H0'ın reddedilmesi) gerekir.

2

Örneklem hacimlerinin incelenmesi

Gruplardaki gözlem sayılarının (10, 15, 12, 20) birbirinden farklı olduğu tespit edilmiştir.

Kullanılacak çoklu karşılaştırma (post-hoc) testinin seçimi büyük ölçüde örneklem hacimlerinin durumuna bağlıdır.

3

Uygun post-hoc testinin belirlenmesi

Eşit olmayan örneklem hacimlerinde ve Tip I hata oranının sıkı kontrolü istendiğinde Scheffé testinin en uygun seçenek olduğuna karar verilmiştir.

LSD testi aile boyu Tip I hatayı aşırı artırırken, klasik Tukey testi eşit örneklem büyüklüğü gerektirir.

Anahtar Kavram

Çoklu Karşılaştırma Testleri Seçim Kriterleri ve Hata Kontrolü

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Bir veri bilimci, geliştirdiği $p$ farklı optimizasyon algoritmasının (muamele) model eğitim süresi üzerindeki etkisini incelemektedir. Eğitim performansını etkileyebilecek olan veri seti boyutu (satır), donanım mimarisi (sütun) ve başlangıç ağırlık dağılımı (Grek harfleri) şeklindeki üç farklı dışsal faktörü kontrol altında tutmak amacıyla $p \times p$ boyutlu bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı kurgulamıştır.

Analiz sonrası elde edilen özet tabloda, deneyin Genel (Toplam) serbestlik derecesi 63 ve algoritmalar arası kareler toplamı 280 olarak hesaplanmıştır. Modelin hata kareler ortalaması (MSE) ise 5'tir.

Bu deney tasarımı ve analiz bulgularına göre;
I. Algoritmaların performans farklılığını test etmek amacıyla hesaplanan F-istatistiği değeri 7'dir.
II. Deneye ait hata serbestlik derecesi 35 olup bu değer, aynı gözlem sayısına sahip iki yönlü kısıtlamalı standart bir Latin Karesi tasarımının hata serbestlik derecesinden 7 eksiktir.
III. Kullanılan bu modelin temel şartı olan ortogonallik; Latin ve Grek sembollerinin birbirleriyle tam olarak birer kez eşleşmesini gerektirir ve hata serbestlik derecesinin sıfır çıkmaması için pratikte en az $p=4$ seviyesinde uygulanır.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?

Yalnız II

Yalnız III

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

Sadece II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

Soru öncüllerini sırasıyla inceleyelim:

I. İfade: Genel serbestlik derecesi

p^2 - 1 = 63

olarak verilmiştir. Buradan

p^2 = 64

ve

p = 8

bulunur. Algoritmaların (muamele) serbestlik derecesi

p - 1 = 8 - 1 = 7

'dir. Muamele kareler ortalaması (MS)

280 / 7 = 40

olur. F-istatistiği ise

MS / MSE = 40 / 5 = 8

'dir. İfadede F değerinin 7 olduğu iddia edildiği için bu öncül yanlıştır. (Eğer öğrenci serbestlik derecesini dikkatsizlikle 8 alırsa F=7 bulur, bu özel olarak kurgulanmış bir çeldiricidir).

II. İfade: Grek-Latin Karesi tasarımında hata serbestlik derecesi formülü

(p-1)(p-3)

'tür.

p=8

için

(8-1)(8-3) = 7 \times 5 = 35

bulunur. Standart bir Latin Karesi tasarımında ise bu formül

(p-1)(p-2)

olup

p=8

için

(8-1)(8-2) = 7 \times 6 = 42

çıkar. Aradaki fark

42 - 35 = 7

'dir. Bu nedenle öncül doğrudur.

III. İfade: Grek-Latin karesinin kurulabilmesi için her bir Latin sembolünün her bir Grek sembolü ile tam olarak bir kez eşleşmesi (ortogonallik) şarttır. Ayrıca hata serbestlik derecesi formülü gereği

p=3

için hata varyans hesabı

(3-1)(3-3) = 0

olur. İstatistikte sıfır serbestlik derecesi ile hata varyansı (MSE) hesaplanamayacağı için pratikte en az

p=4

kullanılmak zorundadır. Bu öncül doğrudur.

Aşağıdaki tabloda SD hesaplama farkları özetlenmiştir:

Varyans Kaynağı	Latin Karesi (SD)	Grek-Latin Karesi (SD)
Muamele	$p-1$	$p-1$
Satır Blok	$p-1$	$p-1$
Sütun Blok	$p-1$	$p-1$
Grek Harfi Blok	-	$p-1$
Hata	$(p-1)(p-2)$	$(p-1)(p-3)$
Genel (Toplam)	$p^2-1$	$p^2-1$

Sonuç olarak yalnız II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Genel serbestlik derecesi formülünü kullanarak p faktör seviyesi sayısını hesaplama

Genel (Toplam) SD =

p^2 - 1 = 63 \implies p^2 = 64 \implies p = 8

.

Varyans analizi tablosundaki tüm bileşenlerin serbestlik dereceleri p faktör seviye sayısına göre belirlenir.

2

I. ifadeyi değerlendirmek için muamele (algoritmalar) F-istatistiğini hesaplama

Muamele SD =

p - 1 = 8 - 1 = 7

.

MS_{Muamele} = 280 / 7 = 40

.

F = 40 / 5 = 8

. (I. ifade YANLIŞTIR).

F değeri, muamele kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir. Hatalı olarak Muamele SD=8 alınsaydı F=7 bulunurdu.

3

II. ifadeyi değerlendirmek için farklı tasarım modellerinin hata serbestlik derecelerini (SD) karşılaştırma

Grek-Latin Hata SD =

(p-1)(p-3) = 7 \times 5 = 35

. Latin Karesi Hata SD =

(p-1)(p-2) = 7 \times 6 = 42

. Fark =

42 - 35 = 7

. (II. ifade DOĞRUDUR).

Grek-Latin karesinde üç yönlü bloklama yapıldığı için artakalan hata serbestlik derecesi, iki yönlü Latin karesine kıyasla

(p-1)

kadar daha azdır.

4

III. ifadedeki tasarım şartlarını ve pratikteki minimum p limitini analiz etme

Tasarım iki ortogonal kareden oluşur (her Latin/Grek sembolü eşleşmesi bir kez).

p=3

için Hata SD =

(2)(0) = 0

olduğundan pratikte en az

p=4

gereklidir. (III. ifade DOĞRUDUR).

Hata varyansını tahmin edebilmek için serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması istatistiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Tasarımı Varyans Analizi Özellikleri

Soru 33Soru →

Bir yazılım şirketi, $5$ farklı veri sıkıştırma algoritmasının (işlem) performansını karşılaştırmak amacıyla Rastgele Bloklar Deney Tasarımı kullanmıştır. Algoritmaların performansı üzerindeki dosya türü etkisini kontrol altına almak için, deneyde $4$ farklı dosya formatı (blok) belirlenmiş ve her bir algoritma her bir dosya formatı üzerinde birer kez test edilmiştir.

Varyans Analizi (ANOVA) tablosu için hesaplanan Kareler Toplamı (SS) değerleri şöyledir:
- İşlemler Kareler Toplamı (SSTr) = $720$
- Bloklar Kareler Toplamı (SSB) = $360$
- Hata Kareler Toplamı (SSE) = $360$

Buna göre, veri sıkıştırma algoritmalarının (işlem) ve dosya formatlarının (blok) temel etkilerini test etmek için kullanılacak F-istatistiği değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

6.0

ve

4.0

4.0

ve

6.0

7.5

ve

5.0

4.8

ve

3.0

2.0

ve

1.0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6.0$ ve $4.0$

Cevap

6.0

ve

4.0

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında işlem serbestlik derecesi

k-1 = 4

, blok serbestlik derecesi

b-1 = 3

ve hata serbestlik derecesi

(k-1)(b-1) = 12

'dir. Verilen Kareler Toplamları bu derecelere bölünerek Kareler Ortalamaları bulunur:

MSTr = 720/4=180

,

MSB = 360/3=120

,

MSE = 360/12=30

. Son olarak F değerleri bulunur: İşlem etkisi için

F=180/30=6.0

, blok etkisi için

F=120/30=4.0

. Soruda sırasıyla işlem ve blok etkileri sorulduğundan doğru değerler

6.0

ve

4.0

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem, blok ve hata serbestlik derecelerini (sd) hesaplama

sd_{işlem} = 4

,

sd_{blok} = 3

,

sd_{hata} = 12

İşlem (Algoritma) sayısı

k = 5

olduğundan

sd_{işlem} = k - 1 = 4

olur. Blok (Dosya formatı) sayısı

b = 4

olduğundan

sd_{blok} = b - 1 = 3

olur. Hata serbestlik derecesi

sd_{hata} = (k-1)(b-1) = 4 \times 3 = 12

olarak bulunur.

2

Kareler Ortalamalarını (MS) hesaplama

MSTr = 180

,

MSB = 120

,

MSE = 30

Her bir varyans kaynağının Kareler Toplamı (SS) kendi serbestlik derecesine bölünür.

MSTr = 720 / 4 = 180

,

MSB = 360 / 3 = 120

ve

MSE = 360 / 12 = 30

elde edilir.

3

F-istatistiklerini hesaplama

F_{işlem} = 6.0

,

F_{blok} = 4.0

İşlem ve blok etkileri için test istatistikleri, ilgili kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle bulunur.

F_{işlem} = 180 / 30 = 6.0

ve

F_{blok} = 120 / 30 = 4.0

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında Varyans Analizi (ANOVA) ve F-testi Hesaplamaları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir kalite kontrol uzmanı, üç farklı tedarikçiden alınan hammaddelerin kopma mukavemetlerini karşılaştırmak amacıyla bir deney yürütmüştür. Klasik varyans analizi (ANOVA) öncesinde verilerin analiz ön şartlarına uygunluğunu değerlendiren uzman, şu istatistiksel bulgulara ulaşmıştır:

- Artık terimlerin normal dağılıma uygunluğunu sınayan test sonucunda $p = 0,12$ bulunmuştur.
- Tedarikçi gruplarının hata varyanslarının eşitliğini (homojenliğini) sınayan test sonucunda ise $p = 0,03$ bulunmuştur.

(Tüm sınamalarda anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ olarak alınacaktır.)

Bu bulgulara göre, kalite kontrol uzmanının analize yaklaşımı ve bunun gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Normal dağılım varsayımı ihlal edildiğinden, veriler üzerinde dönüşüm yapılmalı veya parametrik olmayan Kruskal-Wallis testine geçilmelidir.

Her iki varsayım testinin

p

değeri de pozitif olduğu için analiz ön şartları tam olarak sağlanmıştır; standart F testi güvenle uygulanabilir.

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, klasik F istatistiği yerine Welch testi gibi varyans eşitsizliğine dirençli bir yöntem kullanılmalıdır.

Grup varyanslarının eşitliği varsayımı sağlanmış ancak normallik ihlal edilmiştir; bu durum F testinin gücünü zayıflatacağından ihtiyatlı olunmalıdır.

Varsayım testlerinde elde edilen

p

değerleri, hata terimleri arasında güçlü bir otokorelasyon veya çoklu doğrusal bağlantı olduğuna işaret etmektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, klasik F istatistiği yerine Welch testi gibi varyans eşitsizliğine dirençli bir yöntem kullanılmalıdır.

Cevap

Varyansların eşitliği testinde p değeri 0,05'ten küçük olduğu için bu varsayım ihlal edilmiştir ve klasik ANOVA yerine Welch testi gibi düzeltilmiş yöntemler kullanılmalıdır.

Varyans analizinde normallik ve varyansların homojenliği temel varsayımlardır. Normallik testinde

p = 0,12 > 0,05

olması bu varsayımın sağlandığını gösterir. Ancak varyans homojenliği testinde

p = 0,03 < 0,05

olması, grup varyanslarının eşitliği hipotezinin reddedildiği ve varsayımın ihlal edildiği anlamına gelir. Varyansların homojen olmadığı durumlarda klasik F istatistiği yanıltıcı sonuçlar verebileceğinden, Welch testi gibi varyans farklılıklarını dikkate alan sağlam (robust) yöntemler tercih edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Normallik varsayımına ait test sonucunu değerlendirme

p = 0,12 > 0,05 olduğundan H0 (Veriler normal dağılmaktadır) hipotezi reddedilemez.

Varsayım testlerinde p değeri anlamlılık düzeyinden (0,05) büyükse varsayımın sağlandığı kabul edilir.

2

Varyansların homojenliği varsayımına ait test sonucunu değerlendirme

p = 0,03 < 0,05 olduğundan H0 (Grup varyansları eşittir) hipotezi reddedilir.

p değeri 0,05'ten küçük olduğu için varyansların eşit olmadığı sonucuna varılır; dolayısıyla varsayım ihlal edilmiştir.

3

Saptanan bulgulara göre uygun istatistiksel yöntemi belirleme

Klasik ANOVA yerine varyans eşitsizliğine dirençli (Welch veya Brown-Forsythe gibi) yöntemler seçilmelidir.

Varyansların homojen olmaması durumunda klasik F testi Tip 1 hata oranını koruyamaz, bu nedenle düzeltilmiş testler gereklidir.

Anahtar Kavram

ANOVA Varsayımları ve Varsayım İhlallerinin Sonuçları

Soru 35Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından yürütülen bir halk sağlığı araştırmasında, 4 farklı beslenme ve egzersiz programının bireylerin vücut kitle indeksi (VKİ) üzerindeki etkileri incelenmektedir. Çalışma sürecinde bazı katılımcıların ayrılması nedeniyle, programlardaki katılımcı sayıları sırasıyla $n_1=25$ , $n_2=22$ , $n_3=28$ ve $n_4=20$ olarak gerçekleşmiştir.

Veriler üzerinde yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda test istatistiği $F = 5.42$ ve anlamlılık değeri $p = 0.002$ olarak hesaplanmış ve temel hipotez ( $H_0$ ) reddedilmiştir. Araştırmacı, sadece ikili grup karşılaştırmalarını değil, aynı zamanda grupların birbiriyle olan tüm olası doğrusal kombinasyonlarını (kontrastlarını) da test etmek istemektedir. Ayrıca, yapılacak tüm bu çoklu karşılaştırmalarda deney başına Tip I hata (family-wise error rate) olasılığını en sıkı (muhafazakar) şekilde kontrol altında tutmayı amaçlamaktadır.

Buna göre, araştırmacının belirlediği bu kriterlere en uygun çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi aşağıdakilerden hangisidir?

Scheffé testi

Fisher'in En Küçük Önemli Fark (LSD) testi

Tukey HSD testi

Dunnett testi

Duncan'ın Çoklu Aralık testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Scheffé testi

Cevap

Bu analiz için en uygun yöntem Scheffé testidir.

Verilen senaryoda, örneklem sayılarının eşit olmadığı (

n_1 \neq n_2 \neq n_3 \neq n_4

) ve araştırmacının sadece ikili grupları değil grupların her türlü doğrusal kombinasyonunu (kontrastlarını) test etmek istediği belirtilmiştir. Üstelik Tip I hatanın (deney bazında) en muhafazakar şekilde kontrol edilmesi istenmektedir. Literatürde, olası tüm kontrastlar üzerinden deney başına Tip I hatayı kontrol etme konusunda en esnek ve aynı zamanda en sıkı (muhafazakar) test Scheffé testidir. Diğer testler ya sadece ikili karşılaştırmalarla sınırlıdır ya da Tip I hatayı bu düzeyde koruyamaz.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonuçlarını inceleyerek post-hoc testi gerekliliğini belirleme.

p = 0.002 < 0.05

olduğu için temel hipotez reddedilmiştir, gruplar arası anlamlı fark vardır ve post-hoc testi uygulanması uygundur.

Hangi gruplar arasında fark olduğunu bulmak için çoklu karşılaştırma testine geçiş koşulu sağlanmıştır.

2

Araştırmacının test seçimi için belirttiği koşulları listeleme.

Koşullar: 1) Örneklem hacimlerinin farklı olması (

n

'ler eşit değil), 2) Tüm olası doğrusal kombinasyonların (kontrastların) incelenmesi, 3) Tip I hatanın en muhafazakar şekilde kontrol edilmesi.

Post-hoc testleri varsayımlarına ve duyarlılık düzeylerine göre ayrışır, doğru testi seçmek için koşullar kritik öneme sahiptir.

3

Koşulları sağlayan testi belirleme.

LSD hatayı kontrol edemez. Tukey sadece ikili eşleşmeler içindir. Dunnett kontrol grubu şartı arar. Scheffé ise tüm kontrastlar için geliştirilmiş, Tip I hatayı en sıkı koruyan ve eşit olmayan

n

ile çalışabilen tek seçenektir.

Scheffé testi verilen tüm istatistiksel ve deneysel kısıtları aynı anda karşılayan en uygun yöntemdir.

Anahtar Kavram

Çoklu Karşılaştırma Testlerinde Tip I Hata Kontrolü ve Varsayımlar

Soru 36Soru →

Bir kâğıt üretim tesisinde, kâğıdın çekme mukavemetini etkileyen faktörleri incelemek amacıyla bir deney tasarlanmıştır. Üretim sürecinde değiştirilmesi zor ve maliyetli olan 'Hamur Hazırlama Yöntemi' ( $A$ ) ana parsel faktörü olarak, kolaylıkla değiştirilebilen 'Kaplama Türü' ( $B$ ) ise alt parsel faktörü olarak belirlenmiş ve Bölünmüş Parseller (Split-Plot) deney tasarımı uygulanmıştır.

Deney, rastgele seçilmiş $r = 3$ blok (farklı üretim günleri) halinde yürütülmüştür. $A$ faktörünün $a = 4$ farklı seviyesi ve $B$ faktörünün $b = 3$ farklı seviyesi bulunmaktadır.

Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda bazı kareler toplamı (KT) değerleri aşağıda verilmiştir:
- $A$ faktörüne ait kareler toplamı: $KT_A = 360$
- Ana parsel hatasına (Hata 1) ait kareler toplamı: $KT_{Hata1} = 180$
- Alt parsel hatasına (Hata 2) ait kareler toplamı: $KT_{Hata2} = 320$

Buna göre, 'Hamur Hazırlama Yöntemi' ( $A$ ) faktörünün ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ -istatistiğinin değeri ve bu testin serbestlik dereceleri $(sd_{pay}, sd_{payda})$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

4.00

ve

(3, 6)

6.00

ve

(3, 16)

4.00

ve

(3, 16)

4.50

ve

(4, 16)

4.00

ve

(4, 8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4.00$ ve $(3, 6)$

Cevap

Doğru F istatistiği değeri 4.00 ve serbestlik dereceleri (3, 6)'dır.

Bölünmüş parsel tasarımında, '

A

' ana parsel faktörünün temel etkisini test etmek için doğru F istatistiği

KO_A / KO_{Hata1}

formülüyle hesaplanır. Serbestlik dereceleri hesaplandığında; pay için

sd_A = 4 - 1 = 3

ve payda için

sd_{Hata1} = (3 - 1)(4 - 1) = 6

bulunur. Buna göre kareler ortalamaları

KO_A = 360 / 3 = 120

ve

KO_{Hata1} = 180 / 6 = 30

'dur.

F = 120 / 30 = 4.00

ve serbestlik dereceleri

(3, 6)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ana parsel faktörünün (

A

) serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_A = a - 1 = 4 - 1 = 3

Bir faktörün ana etkisinin serbestlik derecesi, seviye sayısının bir eksiğidir.

2

Ana parsel hatasının (Hata 1) serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_{Hata1} = (r - 1)(a - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6

Bölünmüş parsel tasarımında ana parsel hatasının serbestlik derecesi, blok ve A faktörü serbestlik derecelerinin çarpımıdır.

3

A

faktörü ve Hata 1 için Kareler Ortalamalarını (KO) hesaplayın.

KO_A = \frac{360}{3} = 120

ve

KO_{Hata1} = \frac{180}{6} = 30

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

A

faktörü için

F

-istatistiğini hesaplayıp testin serbestlik derecelerini belirleyin.

F_A = \frac{KO_A}{KO_{Hata1}} = \frac{120}{30} = 4.00

ve

(sd_{pay}, sd_{payda}) = (3, 6)

Ana parsel faktörü, yalnızca ana parsel hatası (Hata 1) üzerinden test edilmelidir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş parsel tasarımında, ana parsel (Whole-plot) faktörünün anlamlılığı daima ana parsel hatası (Hata A veya Hata 1) kullanılarak test edilir ve doğru serbestlik dereceleri kullanılmalıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Bir kamu kurumunda görevli bir araştırmacı, üç farklı mesleki eğitim yönteminin personelin dönem sonu başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, ilk aşamada uyguladığı tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) eğitim yöntemleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark tespit edememiştir. Daha sonra, personelin "eğitime başlamadan önceki temel bilgi düzeyi" puanlarını ortak değişken (kovaryant) olarak modele dâhil ederek Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulamış ve bu kez eğitim yöntemleri arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı bulunduğunu raporlamıştır.

Buna göre, standart ANOVA'da anlamsız çıkan sonucun ANCOVA uygulandığında anlamlı hâle gelmesinin temel istatistiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Ortak değişkenin bağımlı değişkendeki açıklanamayan değişimi (hata varyansını) azaltması sonucunda faktöre ait test istatistiğinin (F değerinin) büyümesi

Ortak değişkenin faktör düzeyleri arasındaki çoklu doğrusal bağlantı sorununu ortadan kaldırarak katsayı standart hatalarını küçültmesi

Modele yeni bir değişken eklenmesiyle hata serbestlik derecesinin artması ve buna bağlı olarak kritik tablo değerinin küçülmesi

Ortak değişken ile eğitim yöntemleri arasındaki etkileşim varyansının gruplar arası kareler toplamına eklenerek yapay bir artış sağlaması

Ortak değişkenin modelin bağımsız değişken sayısını artırarak standart belirleme katsayısını (

R^2

) tek başına maksimize etmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak değişkenin bağımlı değişkendeki açıklanamayan değişimi (hata varyansını) azaltması sonucunda faktöre ait test istatistiğinin (F değerinin) büyümesi

Cevap

Standart ANOVA'da anlamsız çıkan sonucun ANCOVA uygulandığında anlamlı hâle gelmesinin temel nedeni, ortak değişkenin hata varyansını küçülterek faktörün F değerini büyütmesidir.

Doğru seçenek, ANCOVA'nın temel işlevini tam ve eksiksiz olarak ifade etmektedir. ANOVA'da açıklanamayan ve rastgele dağıldığı varsayılan grup içi hata varyansı, bağımlı değişkeni etkileyen bir dışsal faktörden kaynaklanıyor olabilir. Bu dışsal faktör (bu senaryoda temel bilgi düzeyi) modele ortak değişken olarak dâhil edildiğinde, daha önce hataya atfedilen varyansın bir kısmı ortak değişken tarafından açıklanır. Hata kareler toplamı (

SS_{Hata}

) küçüldüğü için,

F = MS_{Faktör} / MS_{Hata}

formülünde payda küçülür. Matematiksel olarak bölünen küçüldüğünde bölüm (F değeri) büyür. Büyüyen F değeri, kritik tablo değerini aşarak ana etkinin istatistiksel olarak anlamlı bulunmasını sağlar. ANCOVA'nın birincil tercih edilme amacı, bu istatistiksel gücü artırmaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) modelinin bileşenlerini analiz etme

ANOVA'da toplam varyans, 'gruplar arası (faktör) varyans' ve 'grup içi (hata) varyans' olarak ikiye ayrılır.

Başlangıçtaki anlamsız test sonucunun matematiksel temelini (

F = MS_{Faktör} / MS_{Hata}

) belirlemek için.

2

Kovaryans Analizi (ANCOVA) modelindeki değişimi inceleme

ANCOVA'da, bağımlı değişkenle ilişkili bir ortak değişken modele eklenir. Bu değişken, daha önce ANOVA'da 'hata' olarak kabul edilen varyansın bir kısmını açıklar.

Ortak değişkenin sisteme dâhil edilmesinin hata kareler toplamı üzerindeki etkisini tespit etmek için.

3

Test istatistiği (

F

) üzerindeki matematiksel etkiyi değerlendirme

Hata varyansının (

MS_{Hata}

) küçülmesi, F istatistiğinin formülünde paydanın küçülmesi anlamına gelir. Bu da hesaplanan

F

değerini büyütür.

F değerinin büyümesinin, gruplar arası farkın istatistiksel olarak anlamlı çıkmasını (H0 hipotezinin reddedilmesini) nasıl sağladığını kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Hata Varyansının Küçültülmesi (Error Variance Reduction) ve F Testinin Gücü

Soru 38Soru →

Bir ziraat mühendisi, dört farklı gübre türünün buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir tarla deneyi yürütmektedir. Parsellerin başlangıçtaki toprak organik madde miktarının verim üzerinde etkili olabileceği bilindiğinden, bu değişken ortak değişken (kovaryant) olarak modele alınmış ve Kovaryans Analizi (ANCOVA) planlanmıştır.

Analize geçilmeden önce ANCOVA'nın temel varsayımları test edilmiş ve "gübre türü" faktörü ile "organik madde miktarı" ortak değişkeni arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu ( $p < 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, karşılaşılan durumun istatistiksel yorumu ve uygulanması gereken en uygun adım aşağıdakilerden hangisidir?

Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; standart ANCOVA yerine ortak değişken ile faktör etkileşimini dikkate alan alternatif modeller kullanılmalıdır.

Değişen varyans varsayımı ihlal edilmiştir; bu nedenle bağımlı değişkene logaritmik dönüşüm uygulandıktan sonra standart ANCOVA işlemi tekrarlanmalıdır.

Ortak değişken ile faktör arasındaki etkileşimin anlamlı olması ANCOVA'nın temel bir gereksinimidir; bu nedenle varsayımlar sağlanmış olup standart analiz sürecine devam edilmelidir.

Modelin açıklayıcılık gücü yetersizdir; bu durumu düzeltmek için analiz sonucunda elde edilecek standart belirleme katsayısı yerine düzeltilmiş belirleme katsayısı (

R^2

) yorumlanmalıdır.

Gruplar arasında farklılıklar olduğu kesinleşmiştir; bu aşamadan sonra ortak değişken modelden çıkarılarak faktör düzeyleri arasında doğrudan post-hoc çoklu karşılaştırma testleri yapılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; standart ANCOVA yerine ortak değişken ile faktör etkileşimini dikkate alan alternatif modeller kullanılmalıdır.

Cevap

Doğru yanıt, regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini ve alternatif etkileşimli modellerin kullanılması gerektiğini belirten seçenektir.

Kovaryans Analizinin (ANCOVA) en kritik varsayımlarından biri 'regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği' (homogeneity of regression slopes) varsayımıdır. Bu varsayım, ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin (doğrunun eğiminin) faktörün yer aldığı tüm gruplarda aynı olmasını gerektirir. Eğer faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşim istatistiksel olarak anlamlı çıkarsa (

p < 0,05

), bu durum gruplara ait regresyon doğrularının birbirine paralel olmadığını ve eğimlerin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini gösterir. Bu durumda standart ANCOVA kullanılamaz, modelde etkileşimi hesaba katan alternatif yöntemlerin (Johnson-Neyman vb.) tercih edilmesi istatistiksel bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

1

ANCOVA'nın ön koşulu olan varsayımları değerlendirmek.

Standart ANCOVA'da ortak değişken ile bağımsız değişken (faktör) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim olmaması gerekir. Bu koşula 'regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği' varsayımı denir.

Kovaryans analizi, ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin her grupta aynı (paralel doğrular) olduğu teorik kabulüne dayanır.

2

Senaryoda verilen analiz sonucunu yorumlamak.

Senaryoda gübre türü ile organik madde miktarı arasındaki etkileşim

p < 0,05

düzeyinde anlamlı bulunmuştur.

Etkileşimin anlamlı olması, başlangıç organik maddesinin buğday verimi üzerindeki etkisinin gübre türlerine göre farklılık gösterdiğini kanıtlar (doğrular paralel değildir).

3

Varsayım ihlali durumunda istatistiksel olarak alınacak doğru kararı belirlemek.

Eğimlerin homojenliği varsayımı ihlal edildiği için standart ANCOVA işleminden vazgeçilmeli ve etkileşimi de modelleyen (örneğin Johnson-Neyman tekniği) alternatif yöntemlere geçilmelidir.

Bu varsayım sağlanmadan hesaplanacak olan 'düzeltilmiş ortalamalar' tamamen hatalı ve yorumlanamaz olacaktır.

Anahtar Kavram

Regresyon Doğrularının Eğimlerinin Homojenliği Varsayımı

Soru 39Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, bir ülkedeki devlet hastanelerinde sunulan poliklinik hizmetlerinin kalitesini ölçmek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Ülkedeki yüzlerce hastane arasından basit seçkisiz yöntemle $8$ hastane belirlenmiş ve her bir hastaneden o ay içinde rastgele $15$ 'er hastanın memnuniyet puanları derlenmiştir.

Araştırmacı, hastaneler arası olası kalite farklılıklarını incelemek üzere tek yönlü varyans analizi (ANOVA) gerçekleştirecektir. Veri setinde yapılan ön incelemede, grup içi varyansların birbirinden farklı olduğu (heteroskedastisite) ve bazı hastanelerdeki memnuniyet puanlarının normal dağılımdan saptığı görülmüştür.

Bu araştırmanın deneysel tasarımı ve ANOVA'nın teorik yapısı göz önüne alındığında, aşağıdaki çıkarımlardan hangisi istatistiksel kuramlara en uygundur?

Modelin geçerliliğini test eden F-istatistiği hesaplanırken, pay kısmındaki gruplar arası serbestlik derecesi

8

, paydadaki hata serbestlik derecesi ise toplam gözlem sayısı üzerinden

119

olarak alınmalıdır.

Eğer hesaplanan F-istatistiği sonucunda

H_0

hipotezi reddedilemezse (

p > 0,05

), istatistiksel gücü artırmak ve gruplar arasındaki gizli farkları bulabilmek amacıyla varyans homojenliği gerektirmeyen post-hoc testlerine başvurulmalıdır.

Grup içi varyansların birbirinden farklı olması (heteroskedastisite), modeldeki grup ortalaması tahminlerinin yansızlık (unbiasedness) özelliğini bozacağından, parametrik ANOVA öncesi veri setine dönüşüm uygulamak teorik bir zorunluluktur.

Çalışmanın örnekleme yapısı gereği "Rastgele Etkiler Modeli (Model II)" geçerli olup, asıl sınanacak sıfır hipotezi, hastane popülasyonuna ait varyans bileşeninin sıfıra eşit olduğu (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) şeklindedir.

Hastanelerin bulundukları bölgelerin (tek bir kısıt faktörü) kalite üzerindeki etkisi kontrol altına alınmak istenirse, Rastgele Bloklar Deney Tasarımı yerine Grek-Latin Karesi tasarımı kullanılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çalışmanın örnekleme yapısı gereği "Rastgele Etkiler Modeli (Model II)" geçerli olup, asıl sınanacak sıfır hipotezi, hastane popülasyonuna ait varyans bileşeninin sıfıra eşit olduğu ( $H_0: \sigma^2_\tau = 0$ ) şeklindedir.

Cevap

Çalışmanın örnekleme yapısı gereği "Rastgele Etkiler Modeli (Model II)" geçerli olup, asıl sınanacak sıfır hipotezi, hastane popülasyonuna ait varyans bileşeninin sıfıra eşit olduğu şeklindedir.

Çalışmada ülkedeki yüzlerce hastane arasından rastgele 8 hastane seçildiği için, araştırmacının amacı sadece bu 8 hastaneyi kendi aralarında karşılaştırmak değil, hastaneler popülasyonundaki genel kalite değişkenliğini anlamaktır. Bu tasarım, faktör düzeylerinin şansa bağlı belirlendiği 'Rastgele Etkiler Modeli'ni (Model II) ifade eder. Bu modelde ilgilenilen parametre spesifik grup ortalamaları değil, popülasyon düzeyindeki varyans bileşenidir (

\sigma^2_\tau

) ve sıfır hipotezi

H_0: \sigma^2_\tau = 0

olarak kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Çalışmanın faktör yapısının (sabit vs. rastgele) belirlenmesi.

Araştırmada ilgilenilen faktör (hastaneler), tüm seviyeleriyle değil, geniş bir popülasyondan seçilen rastgele bir alt küme (8 hastane) ile temsil edilmektedir. Bu nedenle model "Rastgele Etkiler Modeli (Model II)" dir.

Faktör düzeyleri rastgele seçildiğinde araştırmanın amacı o spesifik düzeyleri değil, düzeylerin çekildiği genel popülasyonu analiz etmektir.

2

Model II için kurulan sıfır hipotezinin saptanması.

Sabit etkiler modelinde ortalamaların eşitliği (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

) test edilirken, rastgele etkiler modelinde popülasyona ait varyans bileşeninin sıfır olup olmadığı (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) test edilir.

Model II'de faktör etkileri (

\tau_i

) rastgele değişkenlerdir ve kendi varyansları (

\sigma^2_\tau

) üzerinden ifade edilirler.

3

Çeldiricilerdeki varsayım ihlalleri ve istatistiksel yanılgıların elenmesi.

Heteroskedastisitenin yansızlığı bozmadığı, anlamsız F sonucunda post-hoc uygulanamayacağı, serbestlik derecelerinin hatalı verildiği ve tek kısıt için Grek-Latin Karesinin kullanılamayacağı belirlenir.

Bu teorik hatalar ayıklandığında istatistiksel olarak geçerli olan tek ifadenin Rastgele Etkiler Modeli'nin hipotez tanımı olduğu kesinleşir.

Anahtar Kavram

Rastgele Etkiler Modeli (Model II) Hipotez Yapısı ve Varsayım İhlallerinin Teorik Sonuçları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 40Soru →

Büyükşehir Belediyesi Ulaşım Dairesi, $3$ farklı otobüs güzergahı (A faktörü) ile $4$ farklı sefer saati planının (B faktörü) otobüslerin ortalama gecikme süreleri (dakika) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Her bir güzergah ve saat planı kombinasyonu için rastgele $4$ gün ( $n=4$ ) gözlem yapılmıştır. Elde edilen analiz tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (df)	Kareler Toplamı (SS)	Kareler Ortalaması (MS)	F Hesap
Güzergah (A)	$240$
Saat Planı (B)	$360$
Etkileşim (AxB)	$450$
Hata	$720$
Genel	$1770$

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyi için bazı F dağılımı kritik değerleri şöyledir:
$F_{(5, 36)} = 2,48$
$F_{(6, 36)} = 2,36$
$F_{(6, 48)} = 2,29$
$F_{(12, 36)} = 2,05$

Buna göre, Etkileşim (AxB) faktörüne ait hesaplanan F istatistiği kaçtır ve $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde etkileşim etkisi hakkında ne söylenebilir?

1,88

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamsızdır.

5,00

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

3,75

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

3,75

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamsızdır.

4,50

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,75$ ; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

Cevap

3,75

; Etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

Verilen bilgilere göre faktör düzeyleri

a=3

,

b=4

ve her hücredeki gözlem sayısı

n=4

'tür. Etkileşim serbestlik derecesi

(3-1)(4-1) = 6

, hata serbestlik derecesi ise

3 \times 4 \times (4-1) = 36

'dır. Buradan etkileşimin kareler ortalaması

450 / 6 = 75

, hatanın kareler ortalaması

720 / 36 = 20

olarak bulunur. İki değer oranlandığında

F = 75 / 20 = 3,75

elde edilir. Hesaplanan bu F değeri (

3,75

), uygun serbestlik derecelerindeki tablo değeri olan

F_{(6, 36)} = 2,36

'dan büyük olduğu için etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

Etkileşim için

df_{AxB} = (3-1)(4-1) = 6

, Hata için

df_E = 3 \times 4 \times (4-1) = 36

bulunur.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili kareler toplamlarını bölmemiz gereken serbestlik dereceleri faktör düzeylerine ve gözlem sayısına bağlıdır.

2

Kareler ortalamalarının (MS) hesaplanması

Etkileşim kareler ortalaması

MS_{AxB} = 450 / 6 = 75

ve Hata kareler ortalaması

MS_E = 720 / 36 = 20

olarak hesaplanır.

Varyans analizi tablosunda her kaynağın kareler ortalaması, kendi kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

F istatistiğinin hesaplanması ve tablo değeriyle karşılaştırılması

F_{hesap} = MS_{AxB} / MS_E = 75 / 20 = 3,75

bulunur. Bulunan bu değer

F_{(6, 36)} = 2,36

tablo değerinden büyük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir.

F istatistiği kritik tablo değerini aşıyorsa, incelenen faktörün (veya etkileşimin) bağımlı değişken üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi olduğuna karar verilir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Serbestlik Dereceleri ve Etkileşim Etkisi Yorumu

Tahmini Süre:2m 0s

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm