Tüm alıştırma soruları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a, & x \le 1 \\ -x^2 + bx + 3, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

12

14

19

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı 20'dir.

Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir olması, x = 1 noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olmasını gerektirir. Bu koşullardan b = 8 ve a = 5 elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olup işaret değiştirdiği x = -2 (yerel minimum) ve x = 4 (yerel maksimum) noktalarıdır. Bu noktaların ordinatları sırasıyla f(-2) = 1 ve f(4) = 19 olup, toplamları 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Türevlenebilir her fonksiyon sürekli olmak zorunda olduğundan, fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşitliğini yazarız.

5 + a = b + 2 \implies b - a = 3

x = 1 noktasında limitlerin ve fonksiyon değerinin eşit olması süreklilik şartıdır.

2

Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerinin eşitliğini kurarız.

2(1) + 4 = -2(1) + b \implies 6 = -2 + b \implies b = 8

Kritik noktada türevin var olması için sağ ve sol türevler eşit olmalıdır.

3

Elde edilen b değerini birinci adımdaki denklemde yerine yazarak a değerini buluruz.

8 - a = 3 \implies a = 5

Süreklilikten elde edilen bağıntıda b yerine 8 yazılır.

4

Fonksiyonun parçalı tanımlı kısımları için türev fonksiyonunu oluşturup türevin köklerini (kritik noktaları) buluruz.

x < 1

için

f'(x) = 2x + 4 = 0 \implies x = -2

ve

x > 1

için

f'(x) = -2x + 8 = 0 \implies x = 4

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bulunan kökler kendi tanımlı oldukları aralıklara uygundur.

5

Kritik noktaların ordinatlarını (y değerlerini) hesaplarız.

f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1

(yerel minimum ordinatı) ve

f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 3 = 19

(yerel maksimum ordinatı)

Bulunan apsis değerleri ilgili fonksiyon parçalarında yerine yazılır.

6

Ordinat değerlerini toplarız.

1 + 19 = 20

Soru bizden ekstremum noktalarının ordinatları toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik, türevlenebilirlik ve yerel ekstremum noktalarının bulunması

Soru 2462Soru →

Akıntı hızının büyüklüğünün her yerde sabit ve kıyıya paralel olduğu bir nehirde, suya göre sabit sırasıyla $\vec{v}_K$ ve $\vec{v}_L$ hızlarıyla hareket eden iki yüzücünün birbirine göre bağıl hız vektörü, akıntı hızının büyüklüğünün veya yönünün değişmesinden etkilenmez.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Akıntı hızı her iki yüzücünün yere göre hız vektörüne aynı şekilde eklendiğinden, birbirlerine göre bağıl hızları hesaplanırken yapılan vektörel çıkarma işleminde akıntı hızı vektörleri birbirini götürür ve bağıl hız sadece suya göre hız vektörlerinin farkına eşit kalır.

Ortak referans sistemine ait olan akıntı hızının, yüzücülerin birbirine göre bağıl hızları hesaplanırken yapılan vektörel çıkarma işleminde sadeleşmesi.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzücülerin yere göre hız vektörlerini akıntı hızı cinsinden ifade etme

\vec{v}_{K,\text{yer}} = \vec{v}_K + \vec{v}_a

ve

\vec{v}_{L,\text{yer}} = \vec{v}_L + \vec{v}_a

Yere göre hız, hareketlinin kendi hızı (suya göre hızı) ile içinde bulunduğu ortamın hızının (akıntı hızı) vektörel toplamıdır.

2

Bağıl hız bağıntısını yazarak yere göre hız ifadelerini yerine koyma

\vec{v}_{KL} = \vec{v}_{K,\text{yer}} - \vec{v}_{L,\text{yer}} = (\vec{v}_K + \vec{v}_a) - (\vec{v}_L + \vec{v}_a)

Bağıl hız, gözlenenin yere göre hız vektöründen gözlemcinin yere göre hız vektörünün çıkarılmasıyla bulunur.

3

Vektörel çıkarma işlemini gerçekleştirerek ifadeyi sadeleştirme

\vec{v}_{KL} = \vec{v}_K - \vec{v}_L

Parantezler açıldığında

\vec{v}_a

terimleri birbirini sadeleştirir.

4

Sadeleşen ifadeden fiziksel yorum çıkarma

Bağıl hız vektörü sadece yüzücülerin suya göre hızlarına bağlıdır; akıntı hızından bağımsızdır.

Elde edilen son bağıntıda akıntı hızına (

\vec{v}_a

) dair hiçbir değişken kalmamıştır.

Anahtar Kavram

Bağıl hızın vektörel çıkarma işlemiyle tanımlanması ve ortak referans sistemi hızının bağıl hıza etkisinin olmaması.

Soru 2463Soru →

Bir torbada $1$ 'den $6$ 'ya kadar numaralandırılmış $6$ top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele ve geri bırakılmaksızın art arda $3$ top çekiliyor. Çekilen birinci, ikinci ve üçüncü topların üzerindeki sayılar sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ olarak kaydediliyor. Buna göre, $(a+b) \cdot c$ çarpımının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.7

Cevap

Çekilen topların üzerindeki sayılarla oluşturulan

(a+b) \cdot c

ifadesinin çift sayı olma olasılığı 0,7'dir.

Çarpımın tek sayı olma olasılığı hesaplanıp 1'den çıkarıldığında,

(a+b)c

çarpımının çift sayı olma olasılığı 0,7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların sayısını hesaplama

Tüm olası durumların sayısı

P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120

'dir.

Torbada 6 top olduğundan ve geri bırakılmaksızın sırasıyla 3 top çekildiğinden sıralı üçlü sayısı bulunmalıdır.

2

Çarpımın tek sayı olması (tümleyen durum) koşulunu belirleme

(a+b) \cdot c

çarpımının tek olması için hem

a+b

toplamının hem de

c

sayısının tek sayı olması gerekir.

İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması zorunludur.

3

c

sayısının tek olduğu durumları belirleme

c \in \{1, 3, 5\}

olmak üzere 3 farklı seçim yapılabilir.

Torbadaki tek sayılar 1, 3 ve 5'tir.

4

a+b

toplamının tek olması için uygun

(a, b)

çiftlerini sayma

c

seçildikten sonra kalan 5 sayıdan 1 tek ve 1 çift sayı sırasıyla

2 \times 3 \times 2! = 12

farklı şekilde seçilebilir.

İki sayının toplamının tek olması için biri tek, diğeri çift olmalıdır. Başlangıçta 3 tek ve 3 çift sayı varken

c

tek seçildiği için geriye 2 tek ve 3 çift sayı kalmıştır.

5

Tümleyen olayın olasılığını hesaplama

Çarpımın tek sayı olma olasılığı

\frac{3 \times 12}{120} = \frac{36}{120} = 0,3

'tür.

İstenmeyen durum sayısı olan 36, toplam durum sayısı olan 120'ye bölünür.

6

İstenen olayın (çarpımın çift sayı olması) olasılığını bulma

Çarpımın çift sayı olma olasılığı

1 - 0,3 = 0,7

'dir.

Bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Tümleyen Olayın Olasılığı

Soru 2464Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}

eğrisine eğimi

3

olan teğet doğruları çiziliyor.
Buna göre, bu teğet doğrularının

y

eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı 10'dur.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}

olarak hesaplanır. Türev fonksiyonu 3'e eşitlendiğinde teğet noktalarının apsisleri

x = 0

ve

x = -2

bulunur. Bu apsis değerlerine karşılık gelen teğet noktaları sırasıyla

(0, -1)

ve

(-2, 5)

olur. Bu noktalardan çizilen ve eğimleri 3 olan teğet doğrularının denklemleri

y = 3x - 1

ve

y = 3x + 11

olarak elde edilir. Bu doğruların y eksenini kestiği noktaların ordinatları

-1

ve

11

olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı kullanılarak hesaplanır.

f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}

Bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonu, verilen teğet eğimi olan 3'e eşitlenerek teğet noktalarının apsisleri (

x

değerleri) bulunur.

\frac{3}{(x+1)^2} = 3 \Rightarrow (x+1)^2 = 1 \Rightarrow x+1 = 1

veya

x+1 = -1

olup buradan

x_1 = 0

ve

x_2 = -2

elde edilir.

Teğet doğrusunun eğiminin 3 olduğu noktaları tespit etmek için.

3

Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak teğet noktalarının ordinatları bulunur.

y_1 = f(0) = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1

ve

y_2 = f(-2) = \frac{2(-2)-1}{-2+1} = 5

. Böylece teğet noktaları

(0, -1)

ve

(-2, 5)

olarak bulunur.

Teğet doğrularının denklemlerini yazabilmek için temas noktalarının koordinatlarına ihtiyaç duyulur.

4

Eğimi 3 olan ve teğet noktalarından geçen doğruların denklemleri yazılır.

Birinci teğet doğrusu:

y - (-1) = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x - 1

. İkinci teğet doğrusu:

y - 5 = 3(x - (-2)) \Rightarrow y = 3x + 11

.

Doğruların y eksenini kestiği noktaları belirlemek için.

5

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları belirlenir ve toplanır.

y = 3x - 1

doğrusu y eksenini

-1

noktasında,

y = 3x + 11

doğrusu ise

11

noktasında keser. Toplamları:

-1 + 11 = 10

.

Soruda teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereği, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Eğim ve teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemi

y - y_0 = m(x - x_0)

formülüyle yazılır.

Soru 2465Soru →

Bir teknoloji firması, A ve B markaları altında eşit miktarda mikroçip üretmektedir. A marka çiplerin $\%2,5$ 'i, B marka çiplerin ise $\%10$ 'u üretim hatasından dolayı arızalıdır.

Üretilen tüm çipler, birbirlerinden bağımsız olarak çalışan iki farklı kalite kontrol testinden geçirilmektedir. Her iki test için de geçerli olan teknik özellikler şu şekildedir:
- Arızalı bir çip, test edildiğinde $\%90$ olasılıkla 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.
- Sağlam bir çip, test edildiğinde $\%10$ olasılıkla hatalı bir şekilde 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.

Depodan rastgele seçilen bir çip bu iki teste tabi tutulmuş ve her iki testten de 'arızalı' raporu almıştır.

Buna göre, bu çipin A marka bir çip olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.25

Cevap

Çipin A marka olma olasılığı 1/4'tür (veya ondalık olarak 0,25).

Çipin iki testten de arızalı raporu alması olayının toplam olasılığı hesaplandığında bu olasılık 0,06 bulunurken, bu çipin hem A marka olup hem de bu raporları alma olasılığı 0,015 olarak bulunur. Koşullu olasılık formülüyle bu iki değer birbirine oranlandığında sonuç 0,25 yani 1/4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlayalım ve temel olasılıkları belirleyelim.

A ve B markalarının seçilme olasılıkları:

P(A) = 0,5

ve

P(B) = 0,5

.
Çiplerin arızalı olma (

D

) ve sağlam olma (

D'

) olasılıkları:
- A markası için:

P(D|A) = 0,025

ve

P(D'|A) = 0,975

- B markası için:

P(D|B) = 0,10

ve

P(D'|B) = 0,90

Koşullu olasılıkları hesaplamak için önce örnek uzaydaki tüm alt grupların olasılıklarını belirlemeliyiz.

2

Çipin her iki testten de 'arızalı' raporu alması (

R

) durumunun, çipin gerçekte arızalı (

D

) ya da sağlam (

D'

) olması durumuna göre koşullu olasılıklarını hesaplayalım.

Testler bağımsız olduğundan:
- Arızalı çip için çift 'arızalı' raporu olasılığı:

P(R|D) = 0,90 \times 0,90 = 0,81

- Sağlam çip için çift 'arızalı' raporu olasıl��ğı:

P(R|D') = 0,10 \times 0,10 = 0,01

Test sonuçları çipin gerçek durumuna bağlı olarak bağımsız olduğundan çarpım kuralı uygulanır.

3

Seçilen çipin A marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (

P(A \cap R)

) hesaplayalım.

P(A \cap R) = P(A \cap D \cap R) + P(A \cap D' \cap R)

= P(A) \cdot P(D|A) \cdot P(R|D) + P(A) \cdot P(D'|A) \cdot P(R|D')

= 0,5 \cdot 0,025 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,975 \cdot 0,01

= 0,010125 + 0,004875 = 0,0150

A markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.

4

Seçilen çipin B marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (

P(B \cap R)

) hesaplayalım.

P(B \cap R) = P(B \cap D \cap R) + P(B \cap D' \cap R)

= P(B) \cdot P(D|B) \cdot P(R|D) + P(B) \cdot P(D'|B) \cdot P(R|D')

= 0,5 \cdot 0,10 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,90 \cdot 0,01

= 0,0405 + 0,0045 = 0,0450

B markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.

5

Toplam olasılık formülünü kullanarak herhangi bir çipin çift 'arızalı' raporu alması olasılığını (

P(R)

) ve ardından Bayes Teoremi ile istenen koşullu olasılığı (

P(A|R)

) hesaplayalım.

P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) = 0,0150 + 0,0450 = 0,0600

P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{0,0150}{0,0600} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25

Koşullu olasılık tanımı gereği, istenen durumun olasılığı, kısıtlanmış örnek uzayın (tüm çift arızalı raporu alanların) olasılığına bölünür.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

Soru 2466Soru →

Aynı yatay düzlemde sabit hızlarla hareket eden $K$ , $L$ ve $M$ araçlarının yere göre hız vektörleri Kartezyen koordinat sisteminde $\vec{v}_K = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ , $\vec{v}_L = -\vec{i} + 2\vec{j}$ ve $\vec{v}_M = 3\vec{i} - \vec{j}$ olarak verilmektedir. Buna göre, sol sütunda belirtilen araçlardaki gözlemcilerin diğer araçları hangi bağıl hız vektörleriyle gördüğünü belirleyerek doğru eşleştirmeleri yapınız.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci öncül

-3\vec{i} - \vec{j}

vektörü ile, ikinci öncül

4\vec{i} - 3\vec{j}

vektörü ile, üçüncü öncül ise

-\vec{i} + 4\vec{j}

vektörü ile eşleşir.

Bağıl hız, gözlenen cismin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörü çıkarılarak bulunur.

K

'ye göre

L

'nin hızı

\vec{v}_L - \vec{v}_K

,

L

'ye göre

M

'nin hızı

\vec{v}_M - \vec{v}_L

,

M

'ye göre

K

'nin hızı ise

\vec{v}_K - \vec{v}_M

formülleriyle hesaplanıp doğru vektörlerle eşleştirilir.

Adım Adım Çözüm

1

K

aracındaki gözlemciye göre

L

aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.

\vec{v}_{LK} = \vec{v}_L - \vec{v}_K = (-\vec{i} + 2\vec{j}) - (2\vec{i} + 3\vec{j}) = -3\vec{i} - \vec{j}

Bağıl hız, gözlenenin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörünün çıkarılmasıyla bulunur. Burada gözlemci

K

aracıdır.

2

L

aracındaki gözlemciye göre

M

aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.

\vec{v}_{ML} = \vec{v}_M - \vec{v}_L = (3\vec{i} - \vec{j}) - (-\vec{i} + 2\vec{j}) = 4\vec{i} - 3\vec{j}

Bu durumda gözlemci

L

aracı, gözlenen

M

aracıdır.

\vec{v}_{ML} = \vec{v}_M - \vec{v}_L

işlemi yapılır.

3

M

aracındaki gözlemciye göre

K

aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.

\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M = (2\vec{i} + 3\vec{j}) - (3\vec{i} - \vec{j}) = -\vec{i} + 4\vec{j}

Bu durumda gözlemci

M

aracı, gözlenen

K

aracıdır.

\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M

işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki boyutta bağıl hareket ve vektörel fark işlemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2467Soru →

Düşey doğrultuda duran ideal ve kütlesi önemsiz bir yayın üst ucunun tavana sabitlendiği bir sistemde, yayın alt ucuna $m$ kütleli bir cisim bağlanarak serbest bırakılıyor. Cisim, yer çekimi etkisiyle düşey doğrultuda aşağı doğru hareket ederek yayı en fazla $x$ kadar uzatıyor ve bu noktada anlık olarak duruyor.

Buna göre, cismin serbest bırakıldığı andan yayı en fazla uzattığı ana kadar geçen süreçle ilgili;

I. Kinetik enerjisinin en büyük olduğu anda yaydaki uzama miktarı $\frac{x}{2}$ kadardır.
II. Cismin hareketi boyunca cismin mekanik enerjisi korunmuştur.
III. Cisim maksimum uzama noktasına ulaştığında, yer çekimi kuvvetinin cisim üzerinde yaptığı iş, yay kuvvetinin yaptığı işe büyüklükçe eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur? (Sürtünmeler ve havanın direnci önemsizdir.)

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüllerin doğru, ikinci öncülün ise yanlış olduğunu belirten seçenek doğru cevaptır.

Cisim net kuvvetin sıfır olduğu denge konumunda maksimum hıza ve dolayısıyla maksimum kinetik enerjiye ulaşır. Denge konumundaki uzama miktarı

y = \frac{mg}{k}

olup maksimum uzama miktarı olan

x = \frac{2mg}{k}

değerinin yarısına eşittir. Cismin ilk ve son hızları sıfır olduğundan net kuvvetin yaptığı iş sıfırdır, bu da yer çekimi kuvvetinin yaptığı iş ile yay kuvvetinin yaptığı işin büyüklükçe eşit olduğunu gösterir. Yay kuvveti cisim üzerinde negatif iş yaptığından cismin mekanik enerjisi azalır ve korunmaz. Bu nedenle birinci ve üçüncü ifadelerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Cismin maksimum uzama miktarı ile sistem parametreleri arasındaki ilişkiyi enerji korunumuyla bulmak.

Cisim serbest bırakılıp maksimum

x

kadar uzad��ğında kinetik enerjisi yine sıfır olur. Bu süreçte yer çekimi potansiyel enerjisindeki azalma, yay potansiyel enerjisindeki artışa eşit olur:

mgx = \frac{1}{2}kx^2 \implies x = \frac{2mg}{k}

elde edilir.

Maksimum uzama noktasındaki sistem durumunu analiz etmek.

2

Cismin hızının ve kinetik enerjisinin en büyük olduğu konumu belirlemek.

Cismin kinetik enerjisinin en büyük olması, hızının maksimum olması demektir. Hızın maksimum olduğu anda ivme sıfırdır, yani net kuvvet sıfırdır:

F_{\text{net}} = mg - ky = 0 \implies y = \frac{mg}{k}

. Maksimum uzama

x = \frac{2mg}{k}

olduğundan, bu konum

y = \frac{x}{2}

olarak bulunur. Birinci öncül doğrudur.

Net kuvvetin sıfır olduğu denge konumunun kinetik enerjinin maksimum olduğu anı temsil ettiğini göstermek.

3

Maksimum uzama noktasına kadar yer çekimi kuvveti ve yay kuvvetinin yaptığı işleri iş-enerji teoremiyle karşılaştırmak.

Cisim serbest bırakıldığı anda durmaktadır ve maksimum uzama noktasında da anlık olarak durur. Başlangıç ve son kinetik enerjiler sıfır olduğundan net iş sıfırdır:

W_{\text{net}} = W_g + W_s = 0 \implies W_g = -W_s

. Buradan yer çekimi kuvvetinin yaptığı işin (

mgx

) yay kuvvetinin yaptığı işe (

-\frac{1}{2}kx^2

) büyüklükçe eşit olduğu görülür. Üçüncü öncül doğrudur.

İş-enerji teoreminden yararlanarak yapılan işleri ilişkilendirmek.

4

Cismin tek başına mekanik enerjisinin korunup korunmadığını analiz etmek.

Mekanik enerji, cismin kinetik enerjisi ile yer çekimi potansiyel enerjisinin toplamıdır. Yay kuvveti cisme dışarıdan uygulanan bir kuvvet olarak davranır ve cismin hareketi yönüne ters yönde etki ederek negatif iş (

W_s < 0

) yapar. Dış kuvvetlerin iş yaptığı durumlarda cismin mekanik enerjisi korunmaz, azalır. İkinci öncül yanlıştır.

Cismin mekanik enerjisinin neden korunmadığını açıklamak.

Anahtar Kavram

Düşey yay-sarkaç sistemlerinde iş-enerji ilişkisi, kuvvet dengesi ve mekanik enerjinin korunumu

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2468Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1}

eşitliğini sağlamaktadır.

f(0) = 1

olduğuna göre,

f(3)

değeri kaçtır?

\frac{23}{2}

\frac{33}{2}

22

\frac{35}{2}

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{35}{2}$

Cevap

\frac{35}{2}

Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 + x + 1

elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

bulunur.

f(0) = 1

koşuluyla integral sabiti

C = 1

olarak belirlenir. Fonksiyonda

x = 3

yazıldığında

f(3) = \frac{35}{2}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f'(x)

ifadesini sadeleştirmek için pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırırız.

f'(x) = x^2 + x + 1

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)

özdeşliği kullanılarak payda ile sadeleştirme yapılır.

2

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak genel

f(x)

fonksiyonunu elde ederiz.

f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

İntegral alma kuralları (

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

) uygulanır.

3

f(0) = 1

başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini (

C

) buluruz.

C = 1

f(0)

değeri fonksiyon ifadesinde yerine yazılarak

C

yalnız bırakılır.

4

Elde edilen

f(x)

fonksiyonunda

x = 3

yazarak

f(3)

değerini hesaplarız.

f(3) = \frac{35}{2}

f(3) = 9 + \frac{9}{2} + 3 + 1

işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve cebirsel sadeleştirme yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.

Soru 2469Soru →

Dik koordinat düzleminde, $x = y^2 - 2y$ parabolü ile $x = 2y$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{32}{3}

9

\frac{16}{3}

\frac{64}{3}

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{32}{3}$

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{32}{3} birimkaredir.

İki eğrinin kesişim noktaları olan

y = 0

ve

y = 4

ordinat değerleri arasında, sağda kalan

x = 2y

doğrusundan solda kalan

x = y^2 - 2y

parabolü çıkarılarak yapılan integral hesabı sonucunda alan \frac{32}{3} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleyin.

y^2 - 2y = 2y \implies y^2 - 4y = 0 \implies y(y-4) = 0

denkleminin kökleri

y = 0

ve

y = 4

olarak bulunur.

İntegralin sınırlarını belirlemek için kesim noktalarının ordinatları hesaplanmalıdır.

2

Belirlenen sınırlar dahilinde hangi eğrinin daha sağda (büyük değerde) olduğunu tespit ederek integral ifadesini kurun.

y \in [0, 4]

aralığında

x = 2y

doğrusu daha sağda olduğundan integral

\int_{0}^{4} (2y - (y^2 - 2y)) dy = \int_{0}^{4} (4y - y^2) dy

olarak kurulur.

Alan hesabının pozitif çıkması için sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.

3

Belirli integrali hesaplayarak alan değerine ulaşın.

\left[ 2y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^4 = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}

birimkare bulunur.

Eğriler arasında kalan bölgenin alanını veren integralin sayısal değeri hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesabı, kesişim noktaları bulunarak belirli integral yardımıyla yapılır. Yatay dilimleme yapıldığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak y değişkenine göre integral alınır.

Alternatif Yöntem

Pratik yol olarak, bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki alan formülü olan

S = \frac{|a|}{6}(y_2 - y_1)^3

kullanılabilir. Burada

y^2 - 4y = 0

denkleminin kökleri

y_1 = 0

ve

y_2 = 4

'tür.

a = -1

olduğundan, Alan = \frac{1}{6}(4 - 0)^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ birimkare bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2470Soru →

Sürtünmelerin ihmal edildiği bir ortamda, yerde durmakta olan $3\text{ kg}$ kütleli bir cisme düşey doğrultuda yukarı doğru $40\text{ N}$ büyüklüğünde sabit bir kuvvet şekildeki gibi uygulanmaktadır. Cisim bu kuvvetin etkisinde $2\text{ m}$ yükseltildiğinde, net kuvvetin cisim üzerinde yaptığı iş kaç joule olur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ )

140

80

20

60

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Net kuvvetin yaptığı iş 20 joule'dür.

Net kuvvetin yaptığı iş, net kuvvet ile yer değiştirmenin skaler çarpımıdır. Yukarı yönlü uygulanan kuvvet 40 N, aşağı yönlü ağırlık 30 N olduğundan net kuvvet yukarı yönlü 10 N büyüklüğündedir. 2 m yükseklik değişimi boyunca yapılan net iş 20 J olur.

Adım Adım Çözüm

1

Cisme etki eden yer çekimi kuvvetinin (ağırlığının) bulunması

G = m \cdot g = 3 \cdot 10 = 30\text{ N}

Net kuvveti hesaplamak için cisme etki eden tüm kuvvetleri belirlememiz gerekir. Cismin ağırlığı düşey doğrultuda ve aşağı yönlüdür.

2

Cisme etki eden net kuvvetin bulunması

F_{\text{net}} = F - G = 40 - 30 = 10\text{ N}

(yukarı yönlü)

Uygulanan kuvvet yukarı doğru, ağırlık ise aşağı doğru olduğundan net kuvvet bu iki kuvvetin farkıdır.

3

Net kuvvetin yaptığı işin hesaplanması

W_{\text{net}} = F_{\text{net}} \cdot h = 10 \cdot 2 = 20\text{ J}

Net kuvvetin yaptığı iş, net kuvvet ile yer değiştirme miktarının çarpımı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Net kuvvetin yaptığı iş, cismin mekanik enerjisindeki (bu durumda kinetik enerjisindeki) değişime eşittir ve net kuvvet ile yer değiştirmenin çarpımıyla hesaplanır.

Soru 2471Soru →

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}, & x > 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $a + b$ toplam�� kaçtır?

4

5

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 6 sayısıdır.

Süreklilik tanımı gereği fonksiyonun

x=3

noktasındaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Soldan limitin varlığı için

a=4

ve limit değeri 2 bulunur. Sağdan limit de sadeleştirmeler yapıldığında 2 olarak elde edilir. Dolayısıyla

b=2

olmalıdır. Bu durumda toplam 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Süreklilik koşulunu belirleme

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = b

Bir fonksiyonun bir noktada s��rekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.

2

Soldan limit yardımıyla

a

değerini bulma

a = 4

ve

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2

\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}

limitinin bir gerçel sayı belirtmesi için

x=3

yazıldığında payın 0 olması gerekir (

3^2 - 3a + 3 = 0 \implies a = 4

). Değer yerine yazılıp limit alındığında

\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x-1)}{x-3} = 2

bulunur.

3

Sağdan limiti hesaplama

\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2

\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}

ifadesinde

0/0

belirsizliği giderilirse

\lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x+3}{x} = \frac{6}{3} = 2

elde edilir.

4

b

değerini ve toplamı bulma

b = 2

ve

a + b = 6

Sağ ve sol limitlerin değeri 2 olduğundan süreklilik gereği

f(3) = b = 2

olmalıdır. Buradan

a + b = 4 + 2 = 6

bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde limit hesaplanırken belirsizlik durumları sadeleştirme yoluyla giderilir.

Soru 2472Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k

fonksiyonunun yerel minimum değeri, yerel maksimum değerinin yarısına eşittir.

Buna göre, $k$ gerçel sayısı kaçtır?

59

54

41

27

-37

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

59 değeri

Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kökler

x = -1

(yerel maksimum noktası) ve

x = 3

(yerel minimum noktası) olur. Bu apsis değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum değeri

k+5

, yerel minimum değeri ise

k-27

olarak bulunur. Yerel minimum değerinin, yerel maksimum değerinin yarısına eşitlendiği denklem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyiniz.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde türevinin sıfır olduğu noktalardır.

2

Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.

3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0

denkleminden kökler

x = 3

ve

x = -1

olarak bulunur.

Türevi sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.

3

Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını belirleyiniz.

x < -1

için

f'(x) > 0

(artan),

-1 < x < 3

için

f'(x) < 0

(azalan) ve

x > 3

için

f'(x) > 0

(artan) olur. Dolayısıyla,

x = -1

yerel maksimum noktası ve

x = 3

yerel minimum noktasıdır.

Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yer yerel maksimum, eksiden artıya geçtiği yer ise yerel minimum noktasıdır.

4

Fonksiyonda yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini yazarak aralarındaki ilişkiyi kurup

k

değerini çözünüz.

Yerel maksimum değeri:

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + k = k + 5

Yerel minimum değeri:

f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + k = k - 27

Verilen kurala göre:

f(3) = \frac{f(-1)}{2} \implies k - 27 = \frac{k + 5}{2} \implies 2k - 54 = k + 5 \implies k = 59

bulunur.

Yerel minimum değerinin yerel maksimum değerinin yarısı olduğu bilgisi kullanılarak cebirsel eşitlik çözülür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının koordinatlarının belirlenmesi ve fonksiyon değerleri arasındaki ilişkilerin çözülmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2473Soru →

Bir eğitim kurumunda bir günde yapılacak 7 ders saatlik bir seminer programında; 3 farklı kişisel gelişim semineri ve 4 farklı mesleki gelişim semineri verilecektir. Bu seminerlerin programlanmasıyla ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

- Her ders saatinde yalnızca bir seminer verilecektir.
- Kişisel gelişim seminerlerinin herhangi ikisi ardışık ders saatlerinde verilmeyecektir.
- Mesleki gelişim seminerleri, 1'den 4'e kadar numaralandırılmış olup bu seminerler numaralarına göre küçükten büyüğe doğru kronolojik sırada (yani 1. seminer 2.'den önce, 2. seminer 3.'den önce, 3. seminer de 4.'den önce olacak şekilde) verilecektir (aralarda kişisel gelişim seminerleri bulunabilir).

Buna göre, bu seminer programı kaç farklı şekilde hazırlanabilir?

10

210

60

240

1440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Seminer programı 60 farklı şekilde hazırlanabilir.

Mesleki gelişim seminerlerinin sırası numaralarına göre sabit olduğundan sıralamaya bir etkisi yoktur. Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için, mesleki gelişim seminerlerinin oluşturduğu 5 boşluktan 3'ü seçilir ve bu 3 seminer seçilen boşluklara sıralanır. Bu işlem

\binom{5}{3} \times 3! = 60

farklı durum oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Mesleki gelişim seminerlerinin kendi aralarındaki sıralamasının sabit olduğunu belirleme.

4 mesleki gelişim seminerinin kendi içindeki sırası tektir (

M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow M_4

).

Soruda bu seminerlerin numaralarına göre artan sırada (kronolojik olarak) verilmesi gerektiği belirtilmiştir.

2

Kişisel gelişim seminerlerinin ardışık olmaması için yerleştirilebileceği boşlukları tespit etme.

4 mesleki gelişim seminerinin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur:

\_ \, M_1 \, \_ \, M_2 \, \_ \, M_3 \, \_ \, M_4 \, \_

.

Herhangi iki kişisel gelişim seminerinin yan yana gelmemesi için bu seminerlerin farklı boşluklara yerleştirilmesi gerekir.

3

Kişisel gelişim seminerleri için boşlukları seçme ve seminerleri sıralama.

5 boşluktan 3 tanesi

\binom{5}{3} = 10

farklı şekilde seçilir ve 3 farklı kişisel gelişim semineri buralara

3! = 6

farklı şekilde sıralanır.

Kişisel gelişim seminerleri birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara dizilim sıraları önemlidir.

4

Toplam dizilim sayısını hesaplama.

10 \times 6 \times 1 = 60

farklı dizilim elde edilir.

Yapılan bağımsız seçim ve sıralama işlemlerinin çarpım kuralı gereğince çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin belirli bir sıraya göre dizilimi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2474Soru →

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \cdot (\sin^2 x + 1)^3 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

\frac{15}{4}

\frac{15}{8}

\frac{1}{4}

\frac{15}{2}

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{15}{4}$

Cevap

İntegralin değeri 15/4 olarak bulunur.

Doğru seçenekteki değer,

u = \sin^2 x + 1

dönüşümü ile sınırların

[1, 2]

aralığına güncellenmesi ve

\int_{1}^{2} u^3 \, du

integralinin integral kuralları çerçevesinde hesaplanmasıyla elde edilen

\frac{15}{4}

ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken değiştirme ba��ıntısını ve diferansiyelini belirleme

u = \sin^2 x + 1

dönüşümü yapılırsa, diferansiyel

du = 2\sin x \cos x \, dx

olur. Yarım açı formülünden

2\sin x \cos x = \sin(2x)

olduğu için

du = \sin(2x) \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki bileşke fonksiyonu basitleştirmek ve diferansiyel terimi u cinsinden ifade etmek için.

2

Belirli integralin sınırlarını u değişkenine göre güncelleme

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = \sin^2(0) + 1 = 1

olur. Üst sınır için:

x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2

olur.

Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.

3

Yeni sınırları ve u değişkenini integralde yerine yazıp hesaplama

\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

olarak hesaplanır.

Elde edilen u cinsinden basit integrali temel integral alma kuralları yardımıyla nihai sonuca ulaştırmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve diferansiyel hesabında zincir kuralına dikkat edilmesi.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yapıldıktan sonra belirsiz integral

F(u) = \frac{u^4}{4} + C

olarak bulunur. Burada u yerine

\sin^2 x + 1

yazılarak ifade orijinal x değişkenine dönüştürülür:

F(x) = \frac{(\sin^2 x + 1)^4}{4} + C

. Daha sonra bu fonksiyona orijinal sınırlar olan 0 ve

\frac{\pi}{2}

değerleri yazılarak

\left[\frac{(\sin^2(\pi/2) + 1)^4}{4}\right] - \left[\frac{(\sin^2(0) + 1)^4}{4}\right] = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

sonucu elde edilebilir. Ancak bu yol trigonometric terimlerin üslerini hesaplarken daha fazla işlem yükü ve hata riski barındırır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2475Soru →

Kuzey yönünde $3v$ büyüklüğünde sabit hızla hareket eden bir trenin içerisinde, trene göre doğu yönünde $4v$ büyüklüğünde sabit hızla yürüyen bir yolcu bulunmaktadır. Bu yolcu, trenin dışındaki yatay düzlemde sabit hızla hareket eden bir bisikletlinin hızını güney yönünde $6v$ büyüklüğünde ölçmektedir. Buna göre, bisikletlinin yere göre hızının büyüklüğü kaç $v$ ’dir?

3

5

7

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bisikletlinin yere göre hızının büyüklüğü 5v'dir.

Bisikletlinin yere göre hızı, yolcunun yere göre hız vektörü ile bağıl hız vektörünün toplanmasıyla elde edilir. Yolcunun yere göre hızı doğu yönünde 4v ve kuzey yönünde 3v bileşenlerine sahiptir. Bağıl hız ise güney yönünde 6v'dir. Bu iki vektör toplandığında bisikletlinin yere göre hızı doğu yönünde 4v ve güney yönünde 3v bileşenlerine sahip olur. Bu vektörün büyüklüğü 3-4-5 dik üçgeni bağıntısından 5v olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolcunun yere göre hız vektörünü bulmak.

Tren kuzey yönünde

3v

hızıyla (

\vec{v}_T = 3v\hat{j}

), yolcu ise trene göre doğu yönünde

4v

hızıyla (

\vec{v}_{Y/T} = 4v\hat{i}

) hareket ettiğinden, yolcunun yere göre hız vektörü

\vec{v}_Y = 4v\hat{i} + 3v\hat{j}

olur.

Yolcunun yere göre hızı, trenin yere göre hızı ile yolcunun trene göre hızının vektörel toplamıdır.

2

Bisikletlinin yolcuya göre bağıl hızını tanımlamak.

Yolcu, bisikletliyi güney yönünde

6v

hızıyla gördüğü için bağıl hız vektörü

\vec{v}_{bağıl} = -6v\hat{j}

olur.

Bağıl hız, gözlenenin (bisikletli) yere göre hızından gözlemcinin (yolcu) yere göre hızının çıkarılmasıyla bulunur.

3

Bisikletlinin yere göre hız vektörünü hesaplamak.

\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_B - \vec{v}_Y \implies \vec{v}_B = \vec{v}_{bağıl} + \vec{v}_Y = -6v\hat{j} + (4v\hat{i} + 3v\hat{j}) = 4v\hat{i} - 3v\hat{j}

elde edilir.

Bağıl hız tanımından bisikletlinin yere göre hızı yalnız bırakılarak hesaplanır.

4

Bisikletlinin yere göre hızının büyüklüğünü bulmak.

v_B = \sqrt{(4v)^2 + (-3v)^2} = \sqrt{16v^2 + 9v^2} = 5v

bulunur.

Elde edilen hız vektörünün büyüklüğü Pisagor bağıntısı kullanılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bağıl hareket ve iki boyutta vektörel hız işlemleri.

Alternatif Yöntem

Bileşenlerine ayırma yöntemi yerine bir koordinat düzlemi çizilerek yolcunun hız vektörü başlangıç noktasına yerleştirilir. Bağıl hız vektörünün bitiş noktası yolcunun hız vektörünün bitiş noktasına gelecek şekilde yerleştirilerek bisikletlinin yere göre hız vektörü doğrudan çizilebilir ve Pisagor teoremiyle büyüklüğü hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2476Soru →

Hava direncinin önemsiz olduğu bir ortamda, bir cisim yerden düşey yukarı doğru $30\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızla fırlatılıyor. Buna göre, cismin fırlatıldıktan $4\text{ s}$ sonra yer değiştirme vektörünün büyüklüğü kaç $\text{m}$ 'dir? (Yer çekimi ivmesi $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

30

40

50

80

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü 40 metredir.

Cismin hareket denklemi

\Delta y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

bağıntısı ile verilir.

t = 4\text{ s}

değeri yerine yazıldığında yer değiştirme vektörünün büyüklüğü

30 \cdot 4 - 5 \cdot 16 = 40\text{ m}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Cismin tepe noktasına ulaşma süresini ve maksimum yüksekliğini bulun.

t_{\text{tepe}} = 3\text{ s}

ve

h_{\text{maks}} = 45\text{ m}

Düşey yukarı fırlatılan cisim yer çekimi ivmesi nedeniyle her saniye hızını

10\text{ m/s}

azaltır.

30\text{ m/s}

hızla atılan cisim

t = \frac{v_0}{g} = 3\text{ s}

sonra anlık olarak durur ve maksimum yüksekliğe (

h_{\text{maks}} = \frac{v_0^2}{2g} = 45\text{ m}

) ulaşır.

2

Cismin

t = 4\text{ s}

anındaki konumunu tek bir hareket denklemiyle hesaplayın.

y(4) = 40\text{ m}

Yer değiştirme formülü olan

y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

bağıntısı kullanılarak cismin ilk konumuna göre yüksekliği

y = 30 \cdot 4 - 5 \cdot 4^2 = 120 - 80 = 40\text{ m}

olarak bulunur.

3

Yer değiştirme vektörünün büyüklüğünü belirleyin.

|\vec{\Delta y}| = 40\text{ m}

Yer değiştirme vektörü ilk konumdan son konuma çizilen yönlü doğrudur. Başlangıçta yerde olan (

y_0 = 0

) cismin

4\text{ s}

sonraki yüksekliği

40\text{ m}

olduğu için yer değiştirme vektörünün büyüklüğü de doğrudan

40\text{ m}

olur.

Anahtar Kavram

Düşey atış hareketinde yer değiştirme vektörünün bulunması

Soru 2477Soru →

Düşey kesiti verilen şekildeki sistemde, $m_1 = 2\text{ kg}$ kütleli K cismi, $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli L cisminin üzerine konulmuştur. K cismi bir iple düşey duvara sabitlenmiş sürtünmesiz makaradan geçirilerek L cismine bağlanmıştır. K ile L cisimleri arasındaki sürtünme katsayısı $\mu_1 = 0,4$ ; L cismi ile yatay zemin arasındaki sürtünme katsayısı ise $\mu_2 = 0,1$ 'dir. L cismi yatay $F$ kuvvetiyle sağa doğru çekilmektedir.

Buna göre,
I. L cismini harekete geçirebilecek en küçük yatay $F$ kuvvetinin büyüklüğü $21\text{ N}$ 'dur.
II. L cismine $F = 26\text{ N}$ büyüklüğünde yatay kuvvet uygulandığında L cisminin ivmesi $1\text{ m/s}^2$ olur.
III. L cismine $F = 31\text{ N}$ büyüklüğünde yatay kuvvet uygulandığında ipteki gerilme kuvvetinin büyüklüğü $12\text{ N}$ olur.

yargılarından hangileri doğrudur?
(Yer çekimi ivmesi $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; ipin ve makaranın kütlesini ihmal ediniz.)

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.

Dengede olan sistemde, K cisminin dengesi için ip gerilmesinin aralarındaki maksimum statik sürtünmeye eşit olması gerekir (

T = f_{s1} = 8\text{ N}

). L cisminin dengesi için ise uygulanan en küçük dış kuvvetin

F = T + f_{s1} + f_{s2} = 2f_{s1} + f_{s2} = 21\text{ N}

olması gerekir. Bu değer aşıldığında sistem ivmelenir.

F = 26\text{ N}

için sistemin ivmesi

1\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

F = 31\text{ N}

uygulandığında ise ivme

2\text{ m/s}^2

olup K cisminin hareket denkleminden ip gerilmesi

12\text{ N}

bulunur. Bu durumda her üç öncül de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Cisimler arasındaki ve zemin ile cisim arasındaki maksimum statik sürtünme kuvvetlerini hesaplayın.

K ile L arasındaki maksimum sürtünme kuvveti

f_{s1} = \mu_1 \cdot m_1 \cdot g = 0,4 \cdot 2 \cdot 10 = 8\text{ N}

olarak bulunur. L ile zemin arasındaki maksimum sürtünme kuvveti ise

f_{s2} = \mu_2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot g = 0,1 \cdot (2 + 3) \cdot 10 = 5\text{ N}

olarak hesaplanır.

Sistemin harekete geçme sınırını ve hareket esnasındaki sürtünme kuvvetlerini belirlemek amacıyla bu hesaplama yapılır.

2

L cismini harekete geçirebilecek en küçük

F

kuvvetini bulmak için sınır durumundaki statik denge şartlarını yazın.

K cisminin dengesi için ip gerilmesi sürtünme kuvvetine eşit olmalıdır (

T = f_{s1} = 8\text{ N}

). L cisminin dengesi için ise

F = T + f_{s1} + f_{s2} = 8 + 8 + 5 = 21\text{ N}

bulunur.

K cismi sola, L cismi sağa hareket etme eğiliminde olduğundan sürtünme kuvvetleri hareket eğilimlerine zıt yönde etki eder ve L cismini çeken ip gerilmesi ile sürtünme kuvvetleri dengelenir.

3

F = 26\text{ N}

kuvvet uygulandığında sistemin ivmesini hesaplamak için Newton'ın ikinci yasasını uygulayın.

K cismi için

T - f_1 = m_1 \cdot a \Rightarrow T - 8 = 2a

ve L cismi için

F - T - f_1 - f_2 = m_2 \cdot a \Rightarrow 26 - T - 8 - 5 = 3a

denklemleri yazılır. Taraf tarafa toplandığında

26 - 16 - 5 = (2 + 3)a \Rightarrow 5 = 5a \Rightarrow a = 1\text{ m/s}^2

bulunur.

Sistem hareket halindeyken kinetik sürtünme kuvvetleri etki eder ve ivmeli hareket denklemleri çözülerek ivme elde edilir.

4

F = 31\text{ N}

kuvvet uygulandığında ipteki gerilme kuvvetini bulmak için K cisminin hareket denklemini kullanın.

Sistemin ivmesi

F - 2f_1 - f_2 = (m_1 + m_2)a \Rightarrow 31 - 16 - 5 = 5a \Rightarrow a = 2\text{ m/s}^2

olur. K cismi için hareket denklemi

T - f_1 = m_1 \cdot a \Rightarrow T - 8 = 2 \cdot 2 \Rightarrow T = 12\text{ N}

olarak bulunur.

İp gerilmesini bulmak için sisteme ait ivme değeri, K cisminin net kuvvet denkleminde yerine konulur.

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları, Sürtünmeli Yüzeylerde Dinamik Analiz ve Bağlı Cisimlerin Hareketi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2478Soru →

\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5

ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki $x^2$ 'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İfadenin açılımındaki

x^2

'li terimin katsayısı 40'tır.

İfadenin genel terimi

T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{5-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r = \binom{5}{r} (-2)^r x^{5 - \frac{3r}{2}}

şeklindedir.

x^2

'li terim için

5 - \frac{3r}{2} = 2

denkleminden

r=2

bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında katsayı

\binom{5}{2} (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terim formülü oluşturulur.

T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot x^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r

Binom açılımındaki terimlerin katsayı ve derecelerini belirlemek için genel formül kullanılır.

2

x

değişkeninin kuvvetleri sadeleştirilir.

T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5 - \frac{3r}{2}}

\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}

olduğundan, tabanları aynı olan üslü ifadelerin üsleri toplanır.

3

x

'in kuvveti aranan terimin kuvveti olan 2'ye eşitlenerek

r

bulunur.

5 - \frac{3r}{2} = 2 \implies 3 = \frac{3r}{2} \implies r = 2

x^2

'li terimi elde etmek için genel terimdeki

x

'in üssü 2 olmalıdır.

4

r = 2

değeri katsayı formülünde yerine yazılır.

Katsayı =

\binom{5}{2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40

Genel terimdeki katsayı kısmı olan

\binom{5}{r} \cdot (-2)^r

ifadesinde

r

yerine 2 yazılıp hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir kuvvete sahip terimin katsayısını genel terim formülü kullanarak hesaplama.

Soru 2479Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x < 3 \\ 2x + b, & 3 \le x < 6 \\ \frac{2x + 12}{x - c}, & x \ge 6 \end{cases}

fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.

Fonksiyonun her noktada sürekli olması için x = 3 ve x = 6 sınır noktalarında sağ ve sol limitlerin fonksiyonun o noktalardaki değerlerine eşit olması gerekir. x = 3 noktasındaki sol limitin varlığı için a = 9 olmalıdır. Buradan sol limit 6 çıkar ve süreklilik için f(3) = 6 olmalıdır, bu da b = 0 sonucunu verir. x = 6 noktasında ise sol limit 12'dir ve sağ limitin de 12 olması için c = 4 olmalıdır. c = 4 değeri x >= 6 aralığı dışında kaldığı için başka bir süreksizlik noktası oluşturmaz. Bu nedenle a + b + c = 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1

x = 3 noktasında sol limitin varlığ��nı inceleyerek a parametresini bulunuz.

a = 9

Sol limit olan lim_{x -> 3^-} (x^2 - a)/(x - 3) ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayı çıkması için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla 3^2 - a = 0 olmalıdır.

2

a = 9 değerini yerine koyarak x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayınız ve sürekli olması için b parametresini bulunuz.

b = 0

lim_{x -> 3^-} (x^2 - 9)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x + 3) = 6 olur. x = 3 noktasında süreklilik için sağ limit ve fonksiyon değeri de 6 olmalıdır. f(3) = 2(3) + b = 6 bağıntısından b = 0 elde edilir.

3

x = 6 sınır noktasındaki sürekliliği inceleyerek c parametresini bulunuz ve fonksiyonun diğer aralıklarda da sürekli olduğunu doğrulayınız.

c = 4

x = 6 noktasındaki sol limit lim_{x -> 6^-} (2x) = 12'dir. Sağ limit ise f(6) = (2(6) + 12)/(6 - c) = 24/(6 - c) olur. 24/(6 - c) = 12 eşitliğinden c = 4 bulunur. c = 4 değeri x >= 6 aralığının dışında kaldığından bu aralıkta herhangi bir tanımsızlık veya süreksizlik oluşturmaz.

4

Bulunan a, b ve c değerlerini toplayınız.

a + b + c = 9 + 0 + 4 = 13

İstenen a + b + c toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda (sınır değerlerinde) sağdan limit, soldan limit ve o noktadaki fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerin paydayı sıfır yapan köklerinin, ilgili tanım aralığının dışında kalması veya sadeleşerek limiti bozmaması gerekir.

Soru 2480Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

g

fonksiyonu için

\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 2 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(x) = (ax - 2) \cdot g(x^2 - x)

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türevi

f'(2) = 20

olduğuna göre,

a

gerçel sayısı kaçtır?

-1

2

3

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a gerçel sayısı 2'dir.

Çarpım türevi ve bileşke fonksiyon türev kuralları sırasıyla uygulandığında

f'(2) = 16a - 12

olarak elde edilir. Soruda bu değer 20 olarak verildiğinden

16a - 12 = 20

denklemi kurulur ve buradan a değeri 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun türevini bulmak için çarpım türevi kuralını uygulayalım.

f'(x) = [ax - 2]' \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]'

elde edilir. Buradan

f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]'

olur.

Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci kuralı ile bulunur.

2

g(x^2 - x)

bileşke ifadesinin türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.

[g(x^2 - x)]' = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

olur. Bu ifadeyi genel türev formülünde yerine koyduğumuzda

f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

3

f'(x)

türev fonksiyonunda

x = 2

değerini yerine yazarak verilen eşitlikleri kullanalım.

f'(2) = a \cdot g(2) + (2a - 2) \cdot g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1)

olur.

g(2) = 4

ve

g'(2) = 2

değerlerini yerine yazarsak:

f'(2) = a \cdot 4 + (2a - 2) \cdot 2 \cdot 3 \implies f'(2) = 4a + 12a - 12 \implies f'(2) = 16a - 12

elde edilir.

x = 2

için hem içteki fonksiyon

x^2 - x = 2

değerini alır hem de iç türev terimi

2x - 1 = 3

olur.

4

f'(2) = 20

eşitliğinden yararlanarak

a

değerini hesaplayalım.

16a - 12 = 20 \implies 16a = 32 \implies a = 2

bulunur.

Elde edilen türev bağıntısını verilen sayısal türev değerine eşitleyerek bilinmeyen parametreyi çözeriz.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları çerçevesinde çarpım kuralı ve zincir (bileşke) kuralının birlikte uygulanması.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar