Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2441Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12xf(x) dx=5\int_1^2 x f(x) \, dx = 5
∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(2x3+3x2+x)f(x2+x) dx\int_1^2 (2x^3 + 3x^2 + x) f(x^2 + x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin değeri 16'dır.
İntegral içindeki 2x3+3x2+x2x^3 + 3x^2 + x ifadesi (x2+x)(2x+1)(x^2+x)(2x+1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur. İntegral sınırları x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Bu dönüşümler uygulandığında integral ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du haline gelir. Soruda verilen ∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16 bilgisi kullanılarak doğru sonuç 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadedeki (2x3+3x2+x)(2x^3 + 3x^2 + x) terimini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
2x3+3x2+x=x(2x2+3x+1)=x(x+1)(2x+1)=(x2+x)(2x+1)2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 3x + 1) = x(x+1)(2x+1) = (x^2+x)(2x+1) elde edilir.
Bu sayede integral içindeki ifade u=x2+xu = x^2 + x değişken değiştirmesine uygun hale getirilir.
2
u=x2+xu = x^2 + x dönüşümü uygulayarak diferansiyeli bulun.
du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur.
Değişken değiştirme yönteminde diferansiyellerin doğru eşleştirilmesi gerekir.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Dönüşümü integralde yerine yazın ve verilen eşitlikleri kullanarak sonucu hesaplayın.
∫12(x2+x)f(x2+x)⋅(2x+1) dx=∫26uf(u) du=16\int_1^2 (x^2+x) f(x^2+x) \cdot (2x+1) \, dx = \int_2^6 u f(u) \, du = 16 bulunur.
İntegral değişkeni yapay bir değişken olduğundan ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du değeri ile ∫26xf(x) dx\int_2^6 x f(x) \, dx değeri aynıdır ve 16'ya eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integrandın hem de sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2442Soru →

Bir metro istasyonunda durgun halden doğrusal bir ray boyunca harekete başlayan tren, 2 m/s22\text{ m/s}^2 büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanmaktadır. Buna göre, trenin harekete başladıktan sonraki ilk 6 s6\text{ s} içinde aldığı yol kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3636

Cevap

Trenin ilk 6 saniyede aldığı yol 36 metredir.
Durgun halden sabit ivmeyle harekete başlayan bir cismin aldığı yol x=12at2x = \frac{1}{2}at^2 formülü ile hesaplanır. İvme a=2 m/s2a = 2\text{ m/s}^2 ve süre t=6 st = 6\text{ s} değerleri yerine yazıldığında alınan yol 36 m36\text{ m} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trenin 6. saniyedeki son hızını hesaplayın.
vson=a⋅t=2 m/s2×6 s=12 m/sv_{son} = a \cdot t = 2\text{ m/s}^2 \times 6\text{ s} = 12\text{ m/s}
Sabit ivmeli harekette hız, ivme ile zamanın çarpımına eşittir.
2
Hız-zaman grafiğinin altında kalan alanı hesaplayarak alınan yolu bulun.
x=12⋅vson⋅t=12×12 m/s×6 s=36 mx = \frac{1}{2} \cdot v_{son} \cdot t = \frac{1}{2} \times 12\text{ m/s} \times 6\text{ s} = 36\text{ m}
Durgun halden başlayan sabit ivmeli harekette alınan yol, hız-zaman grafiğinin altında kalan üçgensel bölgenin alanına eşittir.

Anahtar Kavram

Durgun halden başlayan sabit ivmeli harekette alınan yol ve hız-zaman ilişkisi
Soru 2443Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x+2y = x + 2 doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Doğru ve parabolün kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur. Bu aralıkta doğru parabolün üzerinde kaldığı için alan ∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx belirli integraliyle hesaplanır. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 276=4,5\frac{27}{6} = 4,5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim Noktalarının Belirlenmesi
x=−1x = -1 ve x=2x = 2
İntegralin sınırlarını oluşturacak olan kesişim noktalarını bulmak için doğru ve parabol denklemleri ortak çözülür.
2
İntegral Sınırları İçinde Üstteki Eğrinin Belirlenmesi
[−1,2][-1, 2] aralığında y=x+2y = x + 2 doğrusu üstte yer alır.
Pozitif alan değerine ulaşmak amacıyla hangi fonksiyondan hangisinin çıkarılacağını tespit etmek gerekir.
3
Belirli İntegralin Hesaplanması
4,5 birimkare
Belirlenen sınırlar dahilinde fark fonksiyonunun integrali alınarak alan değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan, kesişim noktalarının apsisleri arasında, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integrale eşittir.
Soru 2444Soru →

Bir torbada 22 kırmızı ve 33 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakıldıktan sonra torbaya geri atılıyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen ilk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.24

Cevap

İlk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 0,24'tür.
İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı 2/5 (0,4) ve çekilen bilye torbaya geri atıldığı için ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 3/5 (0,6) olur. Olaylar bağımsız olduğundan bu iki olasılık çarpılarak doğru sonuç 0,24 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama
P(K_1) = 2/5 = 0,4
Torbada toplam 5 bilye olup bunlardan 2'si kırmızıdır.
2
İkinci çekilen bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(M_2) = 3/5 = 0,6
İlk çekilen bilye geri atıldığı için torbadaki bilye sayısı ve renk dağılımı değişmemiştir, bu yüzden olaylar bağımsızdır.
3
İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulma
P(K_1 ve M_2) = 0,4 * 0,6 = 0,24
Bağımsız olayların kesişim olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Çarpım Kuralı
Soru 2445Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli iken gg fonksiyonu yalnızca x=3x = 3 noktasında süreksizdir. Buna göre, (g∘f)(x)(g \circ f)(x) bileşke fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı en fazla 1'dir ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sürekli bir ff fonksiyonu için f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx gerçel sayısı bulunabilir. Bu durumda, dıştaki gg fonksiyonunun süreksizlik noktası olan 33 değeri, bileşke fonksiyonda birden fazla süreksizlik noktasına yol açar.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun süreksizlik adaylarını belirleme
(g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonunun süreksiz olabileceği noktalar, dıştaki gg fonksiyonunun süreksiz olduğu değerleri üreten içteki f(x)f(x) değerlerinde veya ff fonksiyonunun kendisinin süreksiz olduğu noktalarda aranır.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, içteki fonksiyon sürekli olsa bile görüntüsü dıştaki fonksiyonun süreksizlik noktasına eşit olduğunda bileşke fonksiyon süreksiz olabilir.
2
f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümlerini inceleme
ff fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan, f(x)=3f(x) = 3 eşitliğini sağlayan birden fazla xx değeri bulunabilir.
f(x)f(x) bire bir olmak zorunda değildir; dolayısıyla xx ekseni üzerindeki birden fazla nokta y=3y = 3 değerine gidebilir.
3
Karşıt örnek oluşturarak ifadenin doğruluğunu test etme
f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 sürekli fonksiyonunu ve g(x)={1,x≠30,x=3g(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 3 \\ 0, & x = 3 \end{cases} fonksiyonunu seçelim. Bu durumda (g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonu x=2x = 2 ve x=−2x = -2 noktalarında süreksiz olur.
f(2)=3f(2) = 3 ve f(−2)=3f(-2) = 3 olup, gg fonksiyonu 33 noktasında süreksiz olduğundan bileşke fonksiyon iki farklı noktada süreksiz olmuştur. Bu da ifadenin her zaman doğru olmadığını, yani yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi
Soru 2446Soru →
(x3−2x)8\left(x^3 - \frac{2}{x}\right)^8

ifadesi açılıp düzenlendiğinde x12x^{12}'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -448

Cevap

İfadenin açılımındaki x^12'li terimin katsayısı -448'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x'in üssü 12'ye eşitlendiğinde r = 3 bulunur. r = 3 için katsayı hesaplandığında -448 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazmak
Genelterim:(8r)(x3)8−r(−2x)rGenel terim: \binom{8}{r} (x^3)^{8-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r
Açılımdaki herhangi bir terimi belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Değişkenin üssünü düzenlemek
\binom{8}{r} (-2)^r x^{24-4r}
x'in kuvvetini tek bir üs olarak ifade etmek için üslü sayılar kuralları uygulanır.
3
x'in üssünü 12'ye eşitleyerek r değerini bulmak
24 - 4r = 12 \implies r = 3
İstenen terimin derecesi 12 olduğu için üs 12'ye eşitlenir.
4
Katsayıyı hesaplamak
\binom{8}{3} (-2)^3 = 56 \times (-8) = -448
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak katsayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.
Soru 2447Soru →
kk bir gerçel sayı olmak üzere,
(x3−kx2)5\left(x^3 - \frac{k}{x^2}\right)^5
ifadesinin açılımındaki sabit terim −80-80 olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k gerçel sayısının değeri 2'dir.
Genel terim formülü düzenlendiğinde sabit terim için x'in üssünü sıfır yapan r değeri 3 olarak elde edilir. r = 3 için sabit terim -10 * k^3 olur. Bu ifade -80'e eşitlendiğinde k^3 = 8 denklemi kurulur ve k değeri 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın genel terim formülü yazılır.
Tr+1=(5r)(x3)5−r(−kx2)rT_{r+1} = \binom{5}{r} (x^3)^{5-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r
Binom açılımındaki belirli bir terimi veya sabit terimi bulabilmek için genel terim formülünü oluşturmak gerekir.
2
Değişkenlerin ve katsayıların kuvvetleri düzenlenir.
T_{r+1} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-3r} x^{-2r} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-5r}
x değişkeninin net kuvvetini belirleyerek sabit terim koşulunu uygulayabilmek için üslü ifadeler düzenlenir.
3
Sabit terim için x'in kuvveti sıfıra eşitlenir.
15 - 5r = 0 \implies r = 3
Sabit terimde x değişkeni bulunmaz, bu nedenle x'in üssü 0 olmalıdır.
4
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak sabit terim katsayısı oluşturulur.
T_4 = \binom{5}{3} (-k)^3 = 10 \cdot (-k^3) = -10k^3
Sabit terimin sayısal değerini k cinsinden ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemleri tamamlanır.
5
Elde edilen katsayı verilen sabit terim değerine eşitlenerek denklem çözülür.
-10k^3 = -80 \implies k^3 = 8 \implies k = 2
Soruda verilen sabit terim değeri yardımıyla k bilinmeyeni elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim yazma ve sabit terimi bulma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2448Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(x) dx=4\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4
∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫02(4x+2)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
İntegral içerisinde u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında du=(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx elde edilir. İntegralin başındaki 4x+24x+2 ifadesi 2(2x+1)2(2x+1) olarak yazılabildiğinden integral 2f(u) du2 f(u) \, du şekline dönüşür. Belirli integral sınırları x=0x=0 için u=0u=0 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Böylece integral 2∫06f(u) du2 \int_{0}^{6} f(u) \, du halini alır. Soruda verilen ∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 eşitliği yerine yazıldığında doğru yanıt 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadeyi değişken değiştirme yöntemine uygun hale getirmek için düzenleyelim.
∫02(4x+2)f(x2+x) dx=∫022(2x+1)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx = \int_{0}^{2} 2(2x+1) f(x^2+x) \, dx
x2+xx^2+x ifadesinin türevi olan 2x+12x+1 terimini belirginleştirmek için ifadeyi 2 parantezine alırız.
2
u=x2+xu = x^2+x dönüşümü uygulayalım ve her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du=(2x+1) dx  ⟹  2 du=2(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx \implies 2 \, du = 2(2x+1) \, dx
İntegraldeki değişkenleri ve diferansiyel terimini yeni değişken olan uu cinsinden yazabilmek için.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyelim.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0=0x = 0 \implies u = 0^2 + 0 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
4
Elde ettiğimiz yeni sınırları ve diferansiyel ifadelerini integralde yerine yazalım.
∫062f(u) du=2∫06f(u) du\int_{0}^{6} 2 f(u) \, du = 2 \int_{0}^{6} f(u) \, du
İntegrali, değeri soruda verilen bilinen integral biçimine dönüştürmek için.
5
Soruda verilen bilinen integral değerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
∫06f(x) dx=15  ⟹  2×15=30\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 \implies 2 \times 15 = 30
İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin doğru kurulması gerekir.
Soru 2449Soru →

Rüzgarlı bir günde, rüzgar yere göre doğu yönünde vv büyüklüğünde sabit hızla esmektedir. Bu havada uçan bir helikopterin havaya göre hız vektörü güney yönünde vv büyüklüğündedir. Yerde doğu yönünde sabit hızla gitmekte olan bir motosikletin sürücüsü, helikopterin hareket yönünü güneybatı olarak algılamaktadır.

Buna göre, motosikletin yere göre hızının büyüklüğü kaç vv'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Motosikletin yere göre hızının büyüklüğü 2v'dir.
Motosiklet sürücüsüne göre helikopterin bağıl hızı v⃗hm=v⃗h−v⃗m\vec{v}_{hm} = \vec{v}_h - \vec{v}_m formülüyle bulunur. Helikopterin yere göre hızı, rüzgar hızı ile havaya göre hızının toplamı olan vi^−vj^v\hat{i} - v\hat{j} vektörüdür. Motosikletin hızı ise vmi^v_m\hat{i}'dir. Bu durumda bağıl hız (v−vm)i^−vj^(v - v_m)\hat{i} - v\hat{j} olur. Bu hızın güneybatı (yani batı ile güneyin tam ortası) yönünde olması için batı bileşeninin büyüklüğü ile güney bileşeninin büyüklüğü eşit olmalıdır. y bileşeni −v-v olduğundan, x bileşeninin de −v-v olması gerekir. Buradan v−vm=−v  ⟹  vm=2vv - v_m = -v \implies v_m = 2v elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Helikopterin yere göre hız vektörünü (v⃗h\vec{v}_h) rüzgar hızı ve havaya göre hızını toplayarak bulunuz.
v⃗h=vi^−vj^\vec{v}_h = v\hat{i} - v\hat{j}
Helikopterin yere göre hızı, havaya göre hızı ile rüzgar hızının vektörel toplamıdır.
2
Motosikletin yere göre hız vektörünü (v⃗m\vec{v}_m) tanımlayınız.
v⃗m=vmi^\vec{v}_m = v_m\hat{i}
Motosikletin doğu yönünde sabit hızla hareket ettiği belirtilmiştir.
3
Motosiklet sürücüsüne göre helikopterin bağıl hız vektörünü (v⃗hm\vec{v}_{hm}) yazınız.
v⃗hm=v⃗h−v⃗m=(v−vm)i^−vj^\vec{v}_{hm} = \vec{v}_h - \vec{v}_m = (v - v_m)\hat{i} - v\hat{j}
Bağıl hız, gözlenenin hızından gözlemcinin hızının çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Bağıl hızın güneybatı yönünde olması koşulunu uygulayarak motosikletin hızını (vmv_m) çekiniz.
vm=2vv_m = 2v
Bağıl hızın güneybatı yönünde olması için batı ve güney bileşenlerinin büyüklüklerinin eşit olması gerekir. y bileşeni −v-v olduğuna göre x bileşeni de −v-v olmalıdır: v−vm=−v  ⟹  vm=2vv - v_m = -v \implies v_m = 2v.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Vektörel Hız Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2450Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2
parabolünün x=ax = a apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu birbirine paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün teğet doğrusu ile eğrinin normal doğrusunun paralel olmasını sağlayan bilinmeyen apsis değeri 2'dir.
Verilen g(x)g(x) eğrisinin x=2x=2 noktasındaki teğetinin eğimi g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normalin eğimi −1-1 olur. f(x)f(x) parabolünün x=ax=a noktasındaki teğetinin eğimi ise f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 değerine eşittir. Bu iki doğrunun paralel olması, eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan 2a−5=−12a - 5 = -1 denklemi kurulur ve a=2a = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 fonksiyonunun türevi alınarak x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (mtm_t) hesaplanır.
g′(x)=3x2−6x+1g'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, x=2x = 2 için g′(2)=3(2)2−6(2)+1=1g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 1 bulunur.
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) eğrisinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi (mnm_n) hesaplanır.
mn=−1g′(2)=−11=−1m_n = -\frac{1}{g'(2)} = -\frac{1}{1} = -1 olur.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
3
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2 parabolünün türevi alınarak x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi yazılır.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olup, x=ax = a noktasındaki teğet eğimi f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 olur.
Parabolün teğetinin eğimi, parabol denkleminin o noktadaki türev değeridir.
4
Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği kullanılarak aa değeri hesaplanır.
f′(a)=mn  ⟹  2a−5=−1  ⟹  2a=4  ⟹  a=2f'(a) = m_n \implies 2a - 5 = -1 \implies 2a = 4 \implies a = 2 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğim ilişkileri ve paralel doğruların eğim eşitliği.
Soru 2451Soru →
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n

ifadesinin açılımında x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5}'li bir terim bulunduğuna göre, nn kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Aranan n sayısı 8'dir.
Verilen binom açılımının genel terimi yazıldığında y'nin üssünün -r olduğu görülür. Açılımdaki terimde y−5y^{-5} bulunduğundan r = 5 olmalıdır. x'in üssü ise 2n−2r=2n−102n-2r = 2n-10 olur. Terimdeki x6x^6 çarpanından ötürü 2n−10=62n-10 = 6 denklemi çözüldüğünde n = 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n ifadesinin açılımındaki genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(2y)r=(nr)2rx2n−2ry−rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{2}{y}\right)^r = \binom{n}{r} 2^r x^{2n-2r} y^{-r} şeklindedir.
Binom açılımında belirli bir terimin değişkenlerinin üslerini belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
y değişkeninin üssü eşitlenerek r değeri bulunur.
y−r=y−5  ⟹  r=5y^{-r} = y^{-5} \implies r = 5 olarak bulunur.
Açılımdaki terimin x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5} biçiminde olduğu belirtildiğinden, y'nin üssü -5 olmalıdır.
3
x değişkeninin üssü eşitlenerek n değeri bulunur.
x2n−2r=x6  ⟹  2n−2r=6x^{2n-2r} = x^6 \implies 2n - 2r = 6 elde edilir. Bulunan r=5r = 5 değeri yerine yazıldığında: 2n−2(5)=6  ⟹  2n−10=6  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 2(5) = 6 \implies 2n - 10 = 6 \implies 2n = 16 \implies n = 8 elde edilir.
Terimdeki x'in üssü 6 olduğundan, genel terimdeki x'in üssü 6'ya eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2452Soru →

İntegrallenebilir bir ff fonksiyonu için

∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İntegralin değeri −3-3 olmalıdır.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak ifade iki ayrı integrale bölünür. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 ve ikinci integralde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmeleri yapıldığında, diferansiyel terimlerinden gelen 12\frac{1}{2} katsayısı ve güncellenen sınırlar yardımıyla integral 12∫15f(u) du−12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u)\,du - \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v)\,dv haline gelir. Buradan 12(12)−12(18)=6−9=−3\frac{1}{2}(12) - \frac{1}{2}(18) = 6 - 9 = -3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazalım.
∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx=∫13f(2x−1) dx−∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx = \int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx - \int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
Belirli integralin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak her bir terimi ayrı ayrı analiz etmek işlemleri kolaylaştırır.
2
İlk integral olan ∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 değişken değiştirmesini yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1
- Üst sınır: x=3  ⟹  u=2(3)−1=5x = 3 \implies u = 2(3) - 1 = 5

Böylece integral:
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=12∫15f(u) du=12⋅12=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6
Belirli integralde de��işken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İkinci integral olan ∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx ifadesinde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  v=2(1)+1=3x = 1 \implies v = 2(1) + 1 = 3
- Üst sınır: x=3  ⟹  v=2(3)+1=7x = 3 \implies v = 2(3) + 1 = 7

Böylece integral:
∫13f(2x+1) dx=∫37f(v)dv2=12∫37f(v) dv=12⋅18=9\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(v) \frac{dv}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9
İkinci terim için de değişken değiştirme kurallarını ve sınır güncellemesini aynı şekilde uygularız.
4
Elde edilen integral değerlerini ana denklemde yerine yazarak çıkarma işlemini tamamlayalım.
6−9=−36 - 9 = -3
Ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin farkı, soruda istenen nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin lineerlik özelliği.
Soru 2453Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=1g'(3) = 1
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, f(x)=(x3+1)⋅g(x2−1)f(x) = (x^3 + 1) \cdot g(x^2 - 1) kuralı ile verilen ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60
Çarpım ve zincir kuralları doğru biçimde uygulanarak türev fonksiyonu f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+2x(x3+1)⋅g′(x2−1)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2-1) + 2x(x^3+1) \cdot g'(x^2-1) olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir. Bilinen değerler (g(3)=2g(3)=2 ve g′(3)=1g'(3)=1) yerleştirildiğinde 12⋅2+36⋅1=6012 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini almak için çarpım kuralını uygulayalım.
f′(x)=(x3+1)′⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅[g(x2−1)]′f'(x) = (x^3 + 1)' \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot [g(x^2 - 1)]' elde edilir.
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi için [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı geçerlidir.
2
Bileşke fonksiyonun türevini almak i��in zincir kuralını uygulayarak [g(x2−1)]′[g(x^2 - 1)]' ifadesini bulalım.
[g(x2−1)]′=g′(x2−1)⋅(x2−1)′=g′(x2−1)⋅2x[g(x^2 - 1)]' = g'(x^2 - 1) \cdot (x^2 - 1)' = g'(x^2 - 1) \cdot 2x olur.
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
3
Elde ettiğimiz türev ifadelerini birleştirerek f′(x)f'(x) fonksiyonunu yazalım ve x=2x = 2 değerini yerine koyalım.
f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅g′(x2−1)⋅2xf'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x olarak bulunur. x=2x = 2 için f′(2)=3(2)2⋅g(3)+(23+1)⋅g′(3)⋅2(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(3) + (2^3 + 1) \cdot g'(3) \cdot 2(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için türev fonksiyonunda o nokta yerine yazılır.
4
Verilen g(3)=2g(3) = 2 ve g′(3)=1g'(3) = 1 değerlerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
f′(2)=12⋅2+36⋅1=24+36=60f'(2) = 12 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 24 + 36 = 60 bulunur.
Soruda verilen fonksiyon ve türev değerleri aritmetik işleme dahil edilerek nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Zincir Kuralı)
Soru 2454Soru →

Bir okulun yıl sonu gösterisinde sunum yapacak olan 3 öğretmen (Aylin, Bülent, Ceyda) ve 4 öğrenci (Deniz, Elif, Fatih, Gizem) sahnedeki yan yana dizilmiş 7 sandalyeye oturacaklardır.

Oturma düzeniyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her bir öğretmenin hem sağındaki hem de solundaki sandalyede birer öğrenci oturacaktır.
- Aylin Öğretmen ile Deniz isimli öğrenci yan yana oturmayacaktır.

Buna göre, bu öğretmen ve öğrenciler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

72 farklı şekilde oturabilirler.
Doğru cevap 72'dir. Öğretmenlerin her birinin sağında ve solunda birer öğrenci olması koşuluyla oturma düzeni yalnızca Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen) biçiminde olabilir. Bu durumda 4 öğrenci 4! = 24, 3 öğretmen 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir ve toplam 144 durum oluşur. Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumlar incelendiğinde; Aylin Öğretmen'in oturabileceği 3 koltuk (2, 4, 6) vardır ve her biri için Deniz'in oturabileceği 2 yan koltuk bulunur. Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6, kalan 2 öğretmen kendi arasında 2! = 2 şekilde sıralanır. Böylece yan yana oturdukları durum sayısı 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur. Tüm durumlardan bu değer çıkarıldığında istenen durum sayısı 144 - 72 = 72 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Öğretmen ve öğrencilerin oturabileceği koltuk düzenini belirlemek.
Öğretmenler sadece 2, 4 ve 6. koltuklara; öğrenciler ise 1, 3, 5 ve 7. koltuklara oturabilir. Bu durum Ö-G-Ö-G-Ö-G-Ö şeklinde tek bir şablon oluşturur (Ö: Öğrenci, G: Öğretmen).
Her öğretmenin sağında ve solunda birer öğrenci bulunması gerektiğinden, hiçbir öğretmen uçlardaki (1 ve 7) koltuklara oturamaz ve hiçbir iki öğretmen yan yana gelemez.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın öğretmen ve öğrencilerin kendi aralarındaki tüm dizilim sayılarını hesaplamak.
4 öğrenci kendi arasında 4! = 24 farklı şekilde, 3 öğretmen kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı: 24 * 6 = 144 olur.
Kişiler farklı olduğu için belirlenen koltuk tiplerine göre kendi aralarında permütasyon yapılır.
3
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturduğu durumların sayısını hesaplamak.
Aylin Öğretmen 2, 4 veya 6. koltuklara oturabilir (3 durum). Aylin Öğretmen hangi öğretmen koltuğuna oturursa otursun, hemen sağında ve solunda olmak üzere yan yana gelebileceği 2 öğrenci koltuğu vardır. Deniz bu 2 koltuktan birine oturur (2 durum). Geriye kalan 3 öğrenci boşta kalan 3 öğrenci koltuğuna 3! = 6 şekilde, geriye kalan 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde yerleşir. Aylin ile Deniz'in yan yana olduğu toplam durum sayısı: 3 * 2 * 6 * 2 = 72 olur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkararak istenen sonucu bulmak (tümleyen yöntemi) daha kolaydır.
4
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan yan yana olunan durumları çıkarmak.
144 - 72 = 72 durum elde edilir.
Aylin Öğretmen ile Deniz'in yan yana oturmadığı durum sayısı, toplam dizilim sayısından yan yana oturdukları durum sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve tümleyen yöntemi kullanarak istenmeyen durumların elenmesi.

Alternatif Yöntem

Aylin Öğretmen'in 2, 4 ve 6 numaralı koltuklara oturduğu durumlar ayrı ayrı incelenerek doğrudan çözüme ulaşılabilir. Aylin Öğretmen 2 veya 6 numaralı koltuğa oturduğunda (2 durum), Deniz bu koltukların yanındaki tek öğrenci koltuğuna oturamaz, dolayısıyla Deniz için kalan 3 öğrenci koltuğundan biri seçilir (3 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 2 * 3 * 6 * 2 = 72 durum gelir. Aylin Öğretmen 4 numaralı koltuğa oturduğunda (1 durum), Deniz bu koltuğun her iki yanındaki (3 ve 5 numaralı) koltuklara oturamaz. Dolayısıyla Deniz için uçlardaki 1 ve 7 numaralı koltuklar kalır (2 durum). Kalan 3 öğrenci kendi arasında 3! = 6 şekilde, diğer 2 öğretmen ise 2! = 2 şekilde sıralanır. Buradan 1 * 2 * 6 * 2 = 24 durum gelir. Toplam istenen durum sayısı ise 48 + 24 = 72 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2455Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir ff fonksiyonu
f(x)=x2+ax−1f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
f′(2)=−3f'(2) = -3 olduğuna göre, aa ger��el sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a sayıs�� 3'tür.
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2} olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=−af'(2) = -a elde edilir. Soruda f′(2)=−3f'(2) = -3 verildiğinden −a=−3-a = -3 eşitliğinden a=3a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=2x(x−1)−(x2+a)(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + a)}{(x - 1)^2}
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştiriniz.
f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2}
Hesaplamaları kolaylaştırmak için türev ifadesini düzenlemek yararlıdır.
3
x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak verilen değere eşitleyiniz.
−a=−3  ⟹  a=3-a = -3 \implies a = 3
Verilen f′(2)=−3f'(2) = -3 bilgisi kullanılarak bilinmeyen aa parametresi bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin hesaplanması.
Soru 2456Soru →
f(x)+f(−x)=3x2+4f(x) + f(-x) = 3x^2 + 4 eşitliğini sağlayan sürekli bir ff fonksiyonu için ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Belirli integralin değeri 16'dır.
Verilen eşitliğin integralini alıp sol tarafta değişken değiştirme kullanarak her iki terimin de aynı integral değerini verdiğini gösteririz. Bu da bizi doğru cevap olan 16 değerine ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [−2,2][-2, 2] aralığında belirli integralini alırız.
∫−22(f(x)+f(−x)) dx=∫−22(3x2+4) dx\int_{-2}^{2} (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx
Eşit iki ifadenin aynı sınırlar altındaki belirli integralleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki belirli integrali hesaplarız.
∫−22(3x2+4) dx=[x3+4x]−22=(8+8)−(−8−8)=16−(−16)=32\int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} = (8 + 8) - (-8 - 8) = 16 - (-16) = 32
Belirli integralin temel teoremini kullanarak sınır değerlerini fonksiyonda yerine yazarız.
3
∫−22f(−x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx integralinde u=−xu = -x değişken değiştirmesi uygularız.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar için; x=−2x = -2 iken u=2u = 2 ve x=2x = 2 iken u=−2u = -2 olur. Buradan ∫−22f(−x) dx=∫2−2f(u) (−du)=∫−22f(u) du=∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = \int_{2}^{-2} f(u) \, (-du) = \int_{-2}^{2} f(u) \, du = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini uu cinsinden yazıp integralin yönünü değiştirerek eksiyi yok ederiz.
4
Eşitliğin sol tarafındaki iki integralin birbirine eşit olduğunu kullanarak sonucu buluruz.
∫−22f(x) dx+∫−22f(−x) dx=2∫−22f(x) dx=32  ⟹  ∫−22f(x) dx=16\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = 2 \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 32 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 16
Elde edilen sonuçları birleştirerek aranan integralin değerini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri
Soru 2457Soru →

Yatay düzlemde hareket etmekte olan KK, LL ve MM araçlarının hız vektörleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* KK aracının LL aracına göre hız vektörü Kuzey yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗KL=vj^\vec{v}_{KL} = v\hat{j}).
* LL aracının MM aracına göre hız vektörü Doğu yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗LM=vi^\vec{v}_{LM} = v\hat{i}).
* MM aracının yere göre hız vektörü Güney yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗M=−vj^\vec{v}_{M} = -v\hat{j}).

Buna göre, sol sütunda verilen bağıl ve yere göre hız durumlarını sağ sütundaki doğru büyüklük ve yön ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

MM aracındaki gözlemciye göre KK aracının hız vektörü
KK aracındaki gözlemciye göre LL aracının hız vektörü
LL aracının yere göre hız vektörü
Yere göre Kuzey yönünde vv hızıyla uçan bir kuşun KK aracındaki gözlemciye göre hız vektörü

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

M aracındaki gözlemciye göre K aracının hız vektörü Kuzeydoğu yönünde v2v\sqrt{2}'dir; K aracındaki gözlemciye göre L aracının hız vektörü Güney yönünde vv'dir; L aracının yere göre hız vektörü Güneydoğu yönünde v2v\sqrt{2}'dir; Yere göre Kuzey yönünde vv hızıyla uçan kuşun K aracındaki gözlemciye göre hız vektörü Kuzeybatı yönünde v2v\sqrt{2}'dir.
Verilen bağıl hız bağıntılarından yararlanılarak tüm araçların yere göre hız vektörleri doğru bir şekilde tanımlanmıştır. Bağıl hız formülü olan v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci} vektörel işlemi uygulandığında bağıl hız vektörlerinin yönleri ve büyüklükleri hatasız olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğu yönünü +x+x ekseni (i^\hat{i}), Kuzey yönünü +y+y ekseni (j^\hat{j}) olarak tanımlayarak araçların bağıl hız denklemlerini yazmak.
MM aracının yere göre hızı: v⃗M=−vj^\vec{v}_M = -v\hat{j} (Güney yönü)
LL aracının MM aracına göre hızı: v⃗LM=v⃗L−v⃗M=vi^\vec{v}_{LM} = \vec{v}_L - \vec{v}_M = v\hat{i} (Doğu yön��)
KK aracının LL aracına göre hızı: v⃗KL=v⃗K−v⃗L=vj^\vec{v}_{KL} = \vec{v}_K - \vec{v}_L = v\hat{j} (Kuzey yönü)
Hız büyüklükleri ve yönleri arasındaki ilişkileri vektörel olarak çözebilmek için ortak bir koordinat sistemi kurmak gerekir.
2
LL aracının yere göre hız vektörünü hesaplamak.
v⃗L=v⃗M+v⃗LM=−vj^+vi^=vi^−vj^\vec{v}_L = \vec{v}_M + \vec{v}_{LM} = -v\hat{j} + v\hat{i} = v\hat{i} - v\hat{j}
Bu vektörün yönü Güneydoğu, büyüklüğü ise v2+(−v)2=v2\sqrt{v^2 + (-v)^2} = v\sqrt{2}'dir.
LL aracının diğer gözlemcilere göre bağıl hızını ve kendi yere göre hızını bulmak için öncelikle bu vektörün elde edilmesi gerekir.
3
KK aracının yere göre hız vektörünü hesaplamak.
v⃗K=v⃗L+v⃗KL=(vi^−vj^)+vj^=vi^\vec{v}_K = \vec{v}_L + \vec{v}_{KL} = (v\hat{i} - v\hat{j}) + v\hat{j} = v\hat{i}
Bu vektörün yönü Doğu, büyüklüğü ise vv'dir.
KK aracındaki gözlemcinin diğer hareketlileri hangi hızla gördüğünü bulmak için KK'nin yere göre hızının bilinmesi gerekir.
4
Eşleştirilmesi istenen bağıl hız durumlarını tek tek hesaplamak.
1. durum: v⃗KM=v⃗K−v⃗M=vi^−(−vj^)=vi^+vj^\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M = v\hat{i} - (-v\hat{j}) = v\hat{i} + v\hat{j} (Kuzeydoğu, v2v\sqrt{2})
2. durum: v⃗LK=v⃗L−v⃗K=(vi^−vj^)−vi^=−vj^\vec{v}_{LK} = \vec{v}_L - \vec{v}_K = (v\hat{i} - v\hat{j}) - v\hat{i} = -v\hat{j} (Güney, vv)
3. durum: v⃗L=vi^−vj^\vec{v}_L = v\hat{i} - v\hat{j} (Güneydoğu, v2v\sqrt{2})
4. durum: v⃗kus\c,K=v⃗kus\c−v⃗K=vj^−vi^\vec{v}_{kuş, K} = \vec{v}_{kuş} - \vec{v}_K = v\hat{j} - v\hat{i} (Kuzeybatı, v2v\sqrt{2})
Her bir gözlemci ve gözlenen çifti için v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci} formülü uygulanarak doğru eşleşmeler elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Vektörel Hız Analizi

Alternatif Yöntem

Bağıl hız vektörlerini bulurken çıkarma işlemi yerine vektör ekleme yöntemi kullanılabilir. Bağıl hız v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen+(−v⃗go¨zlemci)\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} + (-\vec{v}_{gözlemci}) şeklinde yazılabilir. Bu yöntemde gözlemcinin hız vektörü ters çevrilip gözlenenin hız vektörünün başlangıç noktasına eklenir ve başlangıçtan bitişe çizilen vektör bağıl hızı verir. Örneğin, M gözlemcisinin hızı Güney yönünde vv olduğundan tersi Kuzey yönünde vv'dir. Bu vektör, K'nin Doğu yönündeki vv hız vektörü ile uca eklenerek toplandığında doğrudan Kuzeydoğu yönünde v2v\sqrt{2} büyüklüğü elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2458Soru →

Sürtünme katsayısının k=0,3k = 0,3 olduğu yatay bir düzlemde durmakta olan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir kutuya, yola paralel ve 10 N10\text{ N} büyüklüğünde sabit bir FF kuvveti uygulanıyor. Buna göre, kutunun harekete başlamasından 4 s4\text{ s} sonra, FF kuvvetinin kutuya aktardığı anlık güç kaç watt\text{watt} olur? (Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Uygulanan kuvvetin anlık gücü 80 watt olur.
Kutunun ivmesi 2 m/s22\text{ m/s}^2 olup 4 s4\text{ s} sonunda hızı 8 m/s8\text{ m/s}'ye ulaşır. FF kuvvetinin bu andaki gücü, kuvvet ile hızın çarpımı olan 80 W80\text{ W} değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuya etki eden sürtünme kuvvetini hesaplayın.
fs=k⋅m⋅g=0,3⋅2⋅10=6 Nf_s = k \cdot m \cdot g = 0,3 \cdot 2 \cdot 10 = 6\text{ N}
Sürtünmeli yüzeyde hareket eden cisimlerin ivmesini bulabilmek için sürtünme kuvveti büyüklüğü gereklidir.
2
Net kuvveti ve kutunun ivmesini bulun.
Fnet=F−fs=10−6=4 NF_{net} = F - f_s = 10 - 6 = 4\text{ N} ve a=Fnetm=42=2 m/s2a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{4}{2} = 2\text{ m/s}^2
Newton'ın ikinci hareket yasası uyarınca net kuvvet, kutunun ivmesini belirler.
3
Kutunun 4 s4\text{ s} sonraki anlık hızını hesaplayın.
v=a⋅t=2⋅4=8 m/sv = a \cdot t = 2 \cdot 4 = 8\text{ m/s}
Durgun halden sabit ivmeyle hızlanan cismin anlık hızı, ivme ile zamanın çarpımına eşittir.
4
FF kuvvetinin anlık gücünü hesaplayın.
P=F⋅v=10⋅8=80 WP = F \cdot v = 10 \cdot 8 = 80\text{ W}
Bir kuvvetin herhangi bir andaki gücü, o kuvvet ile cismin o andaki hızının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir kuvvetin yaptığı anlık güç, o kuvvet ile cismin o andaki hızının çarpımı ile bulunur (P=F⋅vP = F \cdot v). Net kuvvet ise ivmeyi belirler ve hızın zamanla değişimine sebep olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2459Soru →

Sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmakta olan bir kutuya, aynı doğrultuda fakat zıt yönlerde F1=12 NF_1 = 12\text{ N} ve F2=4 NF_2 = 4\text{ N} büyüklüğünde iki yatay kuvvet uygulanmaktadır. Kutu, bu kuvvetlerin etkisinde F1F_1 kuvveti yönünde 5 m5\text{ m} yer değiştirmektedir. Buna göre, bu süreçte kutu üzerinde yapılan net iş kaç joule'dür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Yapılan net iş 40 joule'dür.
Kutuya zıt yönlerde etki eden 12 N ve 4 N büyüklüğündeki kuvvetlerin oluşturduğu net kuvvet 8 N büyüklüğündedir. Kutunun 5 m yer değiştirmesi sürecinde yapılan net iş ise net kuvvet ile yolun çarpımından 40 J olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuya etki eden net kuvvetin büyüklüğü hesaplanır.
Fnet=F1−F2=12 N−4 N=8 NF_{\text{net}} = F_1 - F_2 = 12\text{ N} - 4\text{ N} = 8\text{ N}
Kuvvetler zıt yönlü olduğundan net kuvvet, büyük kuvvetten küçük kuvvet çıkarılarak bulunur.
2
Net kuvvetin yaptığı iş, net kuvvet ile yer değiştirmenin çarpımıyla hesaplanır.
Wnet=Fnet×Δx=8 N×5 m=40 JW_{\text{net}} = F_{\text{net}} \times \Delta x = 8\text{ N} \times 5\text{ m} = 40\text{ J}
Bir cisim üzerinde yapılan net iş, cismin maruz kaldığı net kuvvet ile yer değiştirme miktarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Net iş, net kuvvet ile yer değiştirme miktarının çarpımına eşittir (Wnet=Fnet⋅ΔxW_{\text{net}} = F_{\text{net}} \cdot \Delta x).
Tahmini Süre:45s
Soru 2460Soru →

Doğrusal bir yolda durgun halden sabit 4 m/s24\text{ m/s}^2 büyüklüğündeki ivmeyle hızlanmaya başlayan bir aracın, hareketinin ilk 3 s3\text{ s} saniyesinde aldığı yol kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Aracın hareketinin ilk 3 saniyesinde aldığı yol 18 metredir.
Durgun halden başlayan ve sabit ivmeyle hızlanan bir cismin aldığı yol x=12at2x = \frac{1}{2}at^2 formülü ile bulunur. İvme değeri 4 m/s24\text{ m/s}^2 ve süre 3 s3\text{ s} olarak formüle yerleştirildiğinde 18 m18\text{ m} sonucuna ulaşılır. Alternatif olarak, hız-zaman grafiğinin altındaki alan hesaplandığında da aynı sonuç elde edilir. Aracın 3 s3\text{ s} sonundaki hızı v=a⋅t=12 m/sv = a \cdot t = 12\text{ m/s} olup, hız-zaman grafiğinin altında kalan üçgenin alanı 12⋅32=18 m\frac{12 \cdot 3}{2} = 18\text{ m} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit ivmeli doğrusal hareket için konum bağıntısını yazmak.
x=12at2x = \frac{1}{2}at^2 formülü kullanılır.
Durgun halden başlayan sabit ivmeli harekette konum zamanla karesel olarak değişir.
2
Verilen ivme ve zaman değerlerini formülde yerine koymak.
x=12⋅4⋅32=2⋅9=18 mx = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\text{ m}
Soruda verilen ivme a=4 m/s2a = 4\text{ m/s}^2 ve süre t=3 st = 3\text{ s} değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sabit ivmeli doğrusal harekette konum-zaman ilişkisi

Alternatif Yöntem

Aracın hız-zaman grafiğini çizerek altındaki alanı hesaplayabilirsiniz. Durgun halden başlayan aracın 3 s3\text{ s} sonundaki hızı v=a⋅t=4⋅3=12 m/sv = a \cdot t = 4 \cdot 3 = 12\text{ m/s} olur. Grafikteki üçgenin alanı Alan=12⋅32=18 m\text{Alan} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\text{ m} olarak bulunur.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 123 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin