Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 41Soru →

Orta Asya’da yaşayan Türk boyları; iklimin sertleşmesi, kuraklık, nüfus artışı ve otlakların yetersiz kalması gibi ekonomik nedenlerin yanı sıra Çin ve Moğol baskısı, boylar arası iktidar mücadeleleri ve yeni yurtlar edinme (cihan hâkimiyeti) düşüncesi gibi siyasi nedenlerle MÖ XVI. yüzyıldan itibaren çevre bölgelere göç etmeye başlamı��lardır. Bu göçler sonucunda Türk kültürü çok geniş bir coğrafyaya yayılmıştır.

Buna göre, Türk göçlerinin nedenleri, yönleri ve sonuçları dikkate alındığında aşa��ıdaki değerlendirmelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Orta Asya'dan güneybatı yönüne hareket eden Türk grupları, milattan önceki dönemlerde Mezopotamya ve Mısır gibi verimli havzalara yerleşerek buralarda ilk yerleşik Türk devletlerini kurmuş ve çivi yazısını Orta Asya'ya taşımışlardır.

Cevap

Türk göçlerinin güneybatı yönünde milattan önceki dönemlerde Mezopotamya ve Mısır'da ilk yerleşik Türk devletlerini kurduğu ve çivi yazısını taşıdığı ifadesi yanlıştır.
Doğru cevap, Türk gruplarının milattan önceki dönemlerde Mezopotamya ve Mısır gibi verimli havzalara yerleşerek buralarda ilk yerleşik Türk devletlerini kurduğu ve çivi yazısını taşıdığı yönündeki ifadedir. Erken dönem Türk göçleri sonucunda Mezopotamya ve Mısır gibi bölgelerde milattan önceki dönemlerde kurulmuş herhangi bir Türk devleti bulunmamaktadır. Mısır ve Mezopotamya'daki ilk Türk-İslam devletleri ancak milattan sonraki yüzyıllarda (9. yüzyıl ve sonrası) ortaya çıkmıştır. Ayrıca Türk devletleri çivi yazısını Orta Asya'ya taşımamış, kendi özgün alfabelerini (Orhun alfabesi gibi) kullanmışlardır. Dolayısıyla bu ifade tarihi gerçeklerle bağdaşmamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türk göçlerinin neden ve sonuçlarını analiz etmek.
Göçlerin bağımsızlık (siyasi), kuraklık ve nüfus artışı (ekonomik) gibi faktörlerle gerçekleştiği ve kültürel etkileşime yol açtığı saptanır.
Seçeneklerde verilen genel bilgilerin doğruluğunu sınamak için ilk analiz basamağıdır.
2
Göç edilen coğrafyalar ile kurulan devletlerin kronolojisini kontrol etmek.
Mezopotamya ve Mısır'da milattan önceki dönemlerde kurulmuş bir Türk devleti olmadığı, buralardaki ilk Türk devletlerinin milattan sonraki yüzyıllarda (Tolunoğulları, Akşitler vb.) kurulduğu belirlenir. Ayrıca Türklerin çivi yazısını kullanmadığı tespit edilir.
Coğrafi ve kronolojik hataları belirleyerek yanlış olan seçeneği saptamak.

Anahtar Kavram

Orta Asya Türk Göçlerinin Coğrafi Dağılımı, Nedenleri ve Kronolojik Sonuçları
Soru 42Soru →

İlk ve Orta Çağlarda Avrasya bozkırlarında yaşamını sürdüren Türk topluluklarının gerçekleştirdiği göç hareketlerinin nedenleri ile bu nedenlerin doğrudan ortaya çıkardığı sonuçlar veya yansımaları bulunmaktadır. Buna göre, sol sütunda yer alan göç nedenlerini sağ sütundaki uygun sonuç veya yansımalarıyla eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Sert karasal iklim koşullarının yaşanması, kuraklık ve hızlı nüfus artışı
Boylar arasında yaşanan iç siyasi anlaşmazlıklar ve hâkimiyet mücadeleleri
Çin ve Kitan gibi güçlü dış güçlerin askeri ve siyasi baskılar uygulaması
Türk cihan hâkimiyeti mefkûresi ve yeni yurtlar edinme arzusu

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sert karasal iklim koşullarının yaşanması, kuraklık ve hızlı nüfus artışı -> Otlak yetersizliği yaşanması ve temel geçim kaynağı olan hayvancılığın sürdürülemez hâle gelmesi; Boylar arasında yaşanan iç siyasi anlaşmazlıklar ve hâkimiyet mücadeleleri -> Mağlup olan veya bağımsızlığını kaybetmek istemeyen boyların başka bölgelere göç etmesi; Çin ve Kitan gibi güçlü dış güçlerin askeri ve siyasi baskılar uygulaması -> Toplulukların başka milletlerin boyunduruğu altına girmeyi reddederek bağımsız yaşama iradesini koruması; Türk cihan hâkimiyeti mefkûresi ve yeni yurtlar edinme arzusu -> Göç edilen yeni coğrafyalarda askeri ve teşkilatçı yapıların aktarılmasıyla yeni devletlerin kurulması.
Türk göçlerinin nedenleri ve sonuçları arasındaki eşleşme, bozkır kültürünün ekonomik, siyasi, dışsal ve ideolojik dinamikleriyle tam uyumludur. İklim ve nüfus artışı otlak darlığına (ekonomik), boylar arası mücadele yenilen boyun göç etmesine (iç siyasi), dış baskılar bağımsızlık arzusuna (dış siyasi) ve cihan hâkimiyeti ülküsü ise yeni devletlerin kurulmasına (ideolojik/teşkilatçı) yol açmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Coğrafi ve ekonomik etkenler analiz edilir.
İklim sertleşmesi, kuraklık ve nüfus artışının hayvancılıkla geçinen bozkır topluluklarında doğrudan otlak darlığına sebep olduğu belirlenir.
Türk göçlerinin temelinde yatan ekonomik ve coğrafi zorunlulukları tespit etmek.
2
İç siyasi etkenler değerlendirilir.
Boylar arası mücadelelerde yenilenlerin, kazanan boyun idaresini kabul etmeyip göç yoluna başvurduğu anlaşılır.
Boylar arası rekabetin siyasi sonuçlarını çözümlemek.
3
Dış siyasi baskılar ve bağımsızlık duygusu incelenir.
Çin ve Kitan gibi dış güçlerin baskılarından kaçmanın, Türklerdeki bağımsız yaşama (istiklal) arzusunun bir sonucu olduğu saptanır.
Dış tehditlerin göçe ve egemenlik anlayışına yansımasını bulmak.
4
İdeolojik ve teşkilatçı yapı analizi yapılır.
Cihan hâkimiyeti ülküsü ve yeni yurt kurma hedefinin, göç edilen yerlerde kurulan yeni devletler ve yayılan teşkilatçı kültür ile doğrudan ilişkili olduğu görülür.
Göçlerin kurumsal ve siyasi örgütlenmeye katkısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Orta Asya Türk göçlerinin nedenleri ve sonuçları arasındaki neden-sonuç ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 43Soru →

Balamir yönetimindeki Hunların batıya doğru hareketiyle başlayan Kavimler Göçü, önlerindeki barbar kavimleri sürükleyerek Avrupa'da büyük bir kaos ortamı yaratmıştır. Bu süreçte can güvenliği kalmayan halk, kendilerini koruyabilecek askeri güce sahip yerel toprak sahiplerine sığınmış; bu durum Avrupa'da merkezi krallıklerin gücünü yitirmesine zemin hazırlamıştır.

Bu bilgilere göre, Kavimler Göçü'nün ardından Avrupa'da ortaya çıkan aşağıdaki siyasi gelişmelerden hangisi, merkezi otoritenin zayıfladığının ve gücün yerelleştiğinin doğrudan bir kanıtıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Feodalite (derebeylik) sisteminin kurumsallaşarak yerel yönetimlerin güçlenmesi

Cevap

Feodalite (derebeylik) sisteminin kurumsallaşarak yerel yönetimlerin güçlenmesi
Kavimler Göçü sonucunda yaşanan kaos ve güvenlik kaygıları, Avrupa'daki merkezi krallıkların gücünü kaybetmesine ve halkın yerel senyörlerin koruması altına girmesine yol açmıştır. Bu durum, siyasi gücün tek merkezden yönetilmediği ve yerel derebeyler arasında paylaşıldığı feodalite sistemini ortaya çıkarmıştır. Dolayısıyla bu sistemin kurumsallaşması merkezi otoritenin zayıfladığının ve gücün yerelleştiğinin doğrudan göstergesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Kavimler Gö��ü'nün yarattığı güvenlik zafiyetinin toplumsal sonuçlarını analiz etmek.
Merkezi devletlerin halkı koruyamaması üzerine insanların yerel güç odaklarına s��ğındığı görülür.
Toplumsal arayışların yeni bir siyasi yapıyı nasıl tetiklediğini belirlemek.
2
Bu sığınma ilişkisinin ortaya çıkardığı yönetim biçimini saptamak.
Yerel toprak sahiplerinin kendi şatoları etrafında bağımsız askeri ve siyasi güçler haline gelerek feodalite sistemini oluşturduğu saptanır.
Merkeziyetçiliğin zayıflaması ile gücün yerelleşmesi arasındaki doğrudan ilişkiyi kurmak.

Anahtar Kavram

Kavimler Göçü'nün siyasi sonuçları ve feodalizmin ortaya çıkışı
Soru 44Soru →

I. Köktürk Devleti döneminde Bumin Kağan ülkenin doğu bölgesini yönetirken, kardeşi İstemi Yabgu'ya batı bölgesinin idaresini vermiştir. İstemi Yabgu, bat�� bölgesinde dış politikada bağımsız hareket ederek İpek Yolu kontrolü için Sasaniler ve Bizans İmparatorluğu ile diplomatik ilişkiler kurmuş ve anlaşmalar imzalamıştır. Ancak iç işlerinde ve genel yönetimde doğudaki büyük kağanın üstünlüğünü kabul etmiştir.

Bu bilgilere göre, I. Köktürk Devleti'nin yönetim özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İkili teşkilat modeliyle ülke yönetilmiş, batı kanadı iç işlerinde serbest bir yapıya sahip olurken genel yönetimde merkeze bağlı kalmışt��r.

Cevap

İkili teşkilat modeliyle ülke yönetilmiş, batı kanadı iç işlerinde serbest bir yapıya sahip olurken genel yönetimde merkeze bağlı kalmıştır.
Bumin Kağan'ın ülkenin doğusunu yönetmesi ve kardeşi İstemi Yabgu'yu batının idaresiyle görevlendirmesi, Türk devlet yönetimindeki 'ikili teşkilat' sistemini gösterir. İstemi Yabgu'nun dış politikada bağımsız hareket edebilmesi iç işlerinde serbest (özerk) olduğunu, ancak genel yönetimde doğudaki büyük kağanın üstünlüğünü kabul etmesi ise merkezi otoritenin üstünlüğünü ve federatif devlet yapısını ortaya koyar. Dolayısıyla ikili teşkilat modelinin vurgulandığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Paragraftaki bilgileri analiz etme
Bumin Kağan'ın doğuyu, kardeşi İstemi Yabgu'nun batıyı yönettiği, İstemi Yabgu'nun dış politikada bağımsız anlaşmalar yapabildiği ancak genel yönetimde doğudaki kağana bağlı kaldığı belirlenmiştir.
Soruda verilen tarihsel durumun yönetim yapısı açısından ne ifade ettiğini anlamak için paragraftaki ipuçları incelenmelidir.
2
Tarihsel kavramlar ile eşleştirme yapma
Doğu-batı şeklinde yönetim bölümü 'İkili Teşkilat' kavramıyla, iç işlerinde serbest dış işlerinde merkeze bağlı olma durumu ise 'federatif yapı' kavramıyla uyuşmaktadır.
Türk devlet teşkilatlanmasındaki temel kavramları belirleyerek doğru sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.
3
Seçenekleri değerlendirme ve çeldiricileri eleme
Köktürklerde kut inancının taht kavgalarını önlemediği, yerleşik yaşama henüz geçilmediği, teokratik bir yapının olmadığı ve feodal parçalanmışlığın bulunmadığı görülerek ikili teşkilatın vurgulandığı seçenek doğru kabul edilmiştir.
Köktürk Devleti'nin genel tarihi özellikleri ile çelişen yargıları elenerek doğru seçenek doğrulanmıştır.

Anahtar Kavram

İkili Devlet Teşkilatı ve Federatif Yönetim
Soru 45Soru →

Aşağıda Millî Edebiyat Dönemi bağımsız sanatçılarına ait bazı yapıtlar sol sütunda, bu yapıtların içerik ve üslup özellikleri ise sağ sütunda verilmiştir. Sol sütundaki yapıtları sağ sütundaki uygun açıklamalarla doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Süleymaniye Kürsüsünde
Eski Şiirin Rüzgârıyla
Asım
Kendi Gök Kubbemiz

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Süleymaniye Kürsüsünde yapıtı vaiz diliyle İslam coğrafyasının sorunlarını ele alan açıklamayla; Eski Şiirin Rüzgârıyla yapıtı divan şiiri geleneğini eski biçimlerle canlandıran açıklamayla; Asım yapıtı ideal gençlik portresini diyaloglar üzerinden sunan açıklamayla; Kendi Gök Kubbemiz yapıtı ise modern Türkçe ve İstanbul sevgisini işleyen lirik şiir açıklamasıyla eşleşir.
Yapılan eşleştirmede Süleymaniye Kürsüsünde eseri İslam coğrafyasındaki sosyal sorunları vaiz diliyle aktaran açıklamayla; Eski Şiirin Rüzgârıyla eseri eski divan şiiri estetiğini yaşatan açıklamayla; Asım eseri ideal gençlik portresi çizen diyaloglu anlatımla; Kendi Gök Kubbemiz ise modern Türkçe ile yazılmış İstanbul ve tarih sevgisini işleyen lirik şiir açıklamasıyla birebir örtüşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mehmet Âkif Ersoy'a ait yapıtların belirlenmesi
Süleymaniye Kürsüsünde ve Asım yapıtlarının Mehmet Âkif Ersoy'a ait olduğu ve Safahat külliyatında yer aldığı tespit edilir.
Yazar-eser eşleştirmesinde ilk doğru adımları atmak.
2
Mehmet Âkif Ersoy'un yapıtlarının içeriksel eşleştirilmesi
Süleymaniye Kürsüsünde eseri İslam coğrafyası ve vaiz anlatımı içeren açıklamayla; Asım eseri ise ideal Türk gençliği ve karşılıklı konuşma üslubu içeren açıklamayla eşleştirilir.
Yazarın sosyal gerçekçi ve didaktik anlayışını eser özelinde doğrulamak.
3
Yahya Kemal Beyatlı'ya ait yapıtların belirlenmesi ve eşleştirilmesi
Eski Şiirin Rüzgârıyla eseri eski şiir geleneğini ve divan tarzını yansıtan açıklamayla; Kendi Gök Kubbemiz eseri ise modern Türkçe ve İstanbul/tarih sevgisini işleyen lirik şiir açıklamasıyla eşleştirilir.
Yahya Kemal'in neo-klasik yönelimi ile modern Türkçe şiir anlayışı arasındaki ayrımı netleştirmek.

Anahtar Kavram

Milli Edebiyat Dönemi bağımsız sanatçılarının (Mehmet Akif Ersoy, Yahya Kemal Beyatlı) yapıtlarının estetik ve tematik özellikleri
Soru 46Soru →

Millî Edebiyat Dönemi'nin bağımsız sanatçıları Mehmet Âkif Ersoy ile Yahya Kemal Beyatlı, kendilerine has şiir anlayışları ve estetik duruşlarıyla Türk edebiyatında derin izler bırakmışlardır. Bu iki şairin edebî çizgilerini ve üslup özelliklerini yansıtan yapıtlar ile bu yapıtların açıklamaları aşağıda verilmiştir.

Buna göre, soldaki yapıtları sağdaki doğru açıklamalarla eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Süleymaniye Kürsüsünde
Kendi Gök Kubbemiz
Âsım
Eski Şiirin Rüzgârıyla

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Süleymaniye Kürsüsünde eseri seyyahın gözlem ve vaazlarıyla İslam dünyasını anlatan açıklamayla; Kendi Gök Kubbemiz eseri İstanbul ve vatan sevgisini işleyen neoklasik açıklamayla; Âsım eseri ideal gençlik modelini diyaloglarla sunan açıklamayla; Eski Şiirin Rüzgârıyla eseri ise divan şiiri nazım şekillerini yaşatan şiirlerin toplandığı açıklamayla eşleşir.
Süleymaniye Kürsüsünde eseri realist-didaktik vaaz kurgusuyla; Kendi Gök Kubbemiz eseri İstanbul ve vatan sevgisini işleyen neoklasik tarzıyla; Âsım eseri ideal gençlik arayışı ve diyaloglu manzum yapısıyla; Eski Şiirin Rüzgârıyla eseri ise divan edebiyatı şekillerini modern Türkçe ile buluşturan yapısıyla doğru biçimde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mehmet Âkif Ersoy'un 'Süleymaniye Kürsüsünde' adlı eserinin üslup ve içerik özelliklerini belirleme.
Bu eserin Safahat'ın ikinci kitabı olduğu, Süleymaniye Camisi'ne giden bir seyyahın gözlemleri ve vaazı üzerinden didaktik-realist bir çizgide toplumsal sorunları işlediği tespit edilir.
Eserin realist ve dinî-toplumsal odaklı yapısıyla en uygun açıklamayı bulmak için.
2
Yahya Kemal Beyatlı'nın 'Kendi Gök Kubbemiz' adlı şiir kitabının niteliklerini analiz etme.
Eserin, şairin hayattayken basılmadığı, modern dille neoklasik tarzda vatan, tarih ve İstanbul sevgisini yansıttığı belirlenir.
Yahya Kemal'in neoklasik şair kimliği ve meşhur şiir kitabının ayırt edici özelliklerini eşleştirmek için.
3
Mehmet Âkif Ersoy'un 'Âsım' adlı eserini inceleme.
Bu eserin karşılıklı konuşmalardan (diyalog) oluştuğu, savaş dönemi yıkımlarına karşı çözüm olarak ahlaklı ve idealist bir Türk gençliğini (Âsım) öne sürdüğü görülür.
Âsım karakterinin ve diyalog yapısının ait olduğu doğru tanımı seçebilmek için.
4
Yahya Kemal Beyatlı'nın 'Eski Şiirin Rüzgârıyla' eserini değerlendirme.
Bu eserde divan şiiri nazım şekillerinin (gazel, şarkı vb.) modern bir duyarlılık ve aruzla birleştirilerek geçmişin estetiğinin canlandırıldığı anlaşılır.
Geleneksel divan edebiyatı biçimlerini yaşatma çabasını bu şiir kitabıyla bağdaştırmak için.

Anahtar Kavram

Millî Edebiyat Dönemi Bağımsız Sanatçılarının (Mehmet Âkif Ersoy, Yahya Kemal Beyatlı) Eser ve Sanat Anlayışı Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →

1402 yılında yapılan Ankara Savaşı'nda, Yıldırım Bayezid'in ordusunda yardımcı kuvvet olarak bulunan Anadolu beyliklerine mensup askerlerin bir kısmı, karşı safa geçerek Timur'un ordusunda kendi beylerinin bayrakları altında savaşa katılmıştır.

Bu gelişme, Osmanlı Devleti'nin bu dönemdeki siyasi ve toplumsal yapısıyla ilgili aşağıdakilerden hangisinin göstergesidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Anadolu'da merkezi otoriteye ve Osmanlı hanedanına bağlılığın henüz tam anlamıyla yerleşmediğinin

Cevap

Anadolu'da merkezi otoriteye ve Osmanlı hanedanına bağlılığın henüz tam anlamıyla yerleşmediğinin
Ankara Savaşı'nda Osmanlı ordusunda yardımcı kuvvet olarak yer alan Anadolu beyliklerine ait askerlerin, Timur ordusundaki kendi eski beylerini görünce saf değiştirerek karşı tarafa geçmesi, bu toplulukların Osmanlı merkezi otoritesini henüz tam olarak benimsemediklerini ve geleneksel beylik sadakatlerini sürdürdüklerini gösterir. Bu durum, Osmanlı Devleti'nin Anadolu'da sağlamaya çalıştığı siyasi birliğin ve merkeziyetçi yapının henüz olgunlaşmadığını kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Ankara Savaşı sırasında saf değiştiren birliklerin yapısını analiz etmek.
Saf değiştiren askerlerin yakın zamanda Osmanlı topraklarına katılan Anadolu Türk beyliklerine ait olduğu belirlenir.
Askerlerin aidiyet duygusunun Osmanlı Devleti'ne mi yoksa kendi eski beyliklerine mi bağlı olduğunu tespit etmek amacıyla bu inceleme yapılır.
2
Taraf değiştirme davranışının Osmanlı merkezi otoritesi üzerindeki etkisini yorumlamak.
Geleneksel beylik bağlılığının Osmanlı merkezi idaresinden daha baskın olduğu ve siyasi bütünleşmenin henüz kökleşmediği sonucuna ulaşılır.
Anadolu'da sağlanan siyasi birliğin henüz kalıcı ve derin bağlarla kurulmadığını ortaya koymak.

Anahtar Kavram

Anadolu Türk siyasi birliğini sağlama faaliyetlerinin niteliği ve merkezi otoritenin sınırları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →

XVI. yüzyılın başlarında Safevi propagandası ile hareketlenen Doğu Anadolu sınırlarını güvence altına almak, Anadolu Türk birliğini kesinleştirmek ve doğu ticaret yollarını kontrol altına almak amacıyla gerçekleştirilen askeri harekatlar, Osmanlı Devleti’nin sınırlarını genişletirken aynı zamanda devletin uluslararası statüsünü de derinden etkilemiştir.

Bu askeri harekatların ardından Osmanlı Devleti’nde meydana gelen gelişmelerle ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Osmanlı Devleti'nin ilk kez teokratik (dine dayalı) bir yönetim yapısına kavuşması

Cevap

Osmanlı Devleti'nin ilk kez teokratik (dine dayalı) bir yönetim yapısına kavuşması
Osmanlı Devleti'nin ilk kez teokratik (dine dayalı) bir yönetim yapısına kavuştuğu yönündeki ifade söylenemez. Osmanlı Devleti, kuruluş döneminden itibaren şer'i hukuk kurallarını uygulayan teokratik nitelikte bir imparatorluktur. Mısır Seferi ile halifeliğin devralınması bu yapıyı güçlendirmiş ancak ilk kez ortaya çıkarmamıştır.

Adım Adım Çözüm

1
I. Selim Dönemi'nde doğu yönünde gerçekleştirilen seferlerin (Çaldıran, Turnadağ, Mercidabık ve Ridaniye) genel sonuçlarını analiz etmek.
Bu seferler ile Safevi tehdidi azaltılmış, Dulkadiroğulları Beyliği Osmanlı'ya bağlanmış ve Memlük Devleti ortadan kaldırılarak halifelik ile kutsal topraklar Osmanlı kontrolüne geçmiştir.
Seferlerin siyasi, ekonomik ve dini kazanımlarını ayırt etmek.
2
Seçeneklerde sunulan yargıların tarihsel doğruluk derecesini kontrol etmek.
İslam dünyasında dini liderliğin el değiştirmesi, Anadolu Türk birliğinin sağlanması, Baharat Yolu'nun kontrolü ve mukaddes emanetlerin taşınması doğru bilgilerdir.
Ulaşılabilecek sonuçları eleyerek hatalı olan yargıyı tespit etmek.
3
Osmanlı Devleti'nin teokratik yapısının tarihsel kökenini değerlendirmek.
Osmanlı Devleti kuruluşundan itibaren şer'i hukuk ilkelerini uyguladığından teokratik karakteri başlangıçtan beri mevcuttu; halifelik bu niteliği sadece pekiştirmiştir.
Teokratik devlet yapısının başlangıç tarihi ile ilgili kavramsal yanılgıyı belirlemek.

Anahtar Kavram

Osmanlı Devleti'nin İslam Dünyası Liderliği ve Doğu Siyaseti (I. Selim Dönemi)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 49Soru →
log⁡14(2x−1)≥−1\log_{\frac{1}{4}}(2x - 1) \geq -1

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (12,52]\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]

Cevap

Açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki aralığı
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır koşulundan x>12x > \frac{1}{2} elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirerek 2x−1≤42x - 1 \leq 4 haline gelir ve buradan x≤52x \leq \frac{5}{2} bulunur. Bu iki aralığın kesişimi doğru olan açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki kümesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kontrolü yapılır.
2x−1>0⇒2x>1⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür.
2x−1≤(14)−1⇒2x−1≤4⇒2x≤5⇒x≤522x - 1 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \Rightarrow 2x - 1 \leq 4 \Rightarrow 2x \leq 5 \Rightarrow x \leq \frac{5}{2}
Logaritmanın tabanı basit kesir (0<14<10 < \frac{1}{4} < 1) olduğu için eşitsizlik yön değiştirir.
3
Elde edilen iki eşitsizlik kesiştirilir.
12<x≤52\frac{1}{2} < x \leq \frac{5}{2} yani (12,52]\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]
Çözüm kümesinin hem tanım kümesini hem de eşitsizlik şartını aynı anda sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümünde eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve tanım kümesi sınırlarının kesiştirilmesi.
Soru 50Soru →
log⁡2(4x−8)=x+1\log_2(4^x - 8) = x + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 2'dir.
Denklem logaritma tanımı kullanılarak 4x−8=2x+14^x - 8 = 2^{x+1} şekline dönüştürülür. Burada 2x=t2^x = t değişken değiştirmesi yapıldığında t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (t−4)(t+2)=0(t-4)(t+2) = 0 olup, 2x2^x ifadesi negatif olamayacağından tek geçerli kök t=4t = 4 yani x=2x = 2 olur. x=2x=2 değeri logaritmanın içini pozitif yaptığı için denklemin gerçel köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanımı gereği denklemin tanımlı olması için gerekli olan koşulu belirleyin.
4x−8>0  ⟹  4x>8  ⟹  22x>23  ⟹  x>324^x - 8 > 0 \implies 4^x > 8 \implies 2^{2x} > 2^3 \implies x > \frac{3}{2} olmalıdır.
Logaritması alınan ifade her zaman sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın tanımını kullanarak denklemi üstel formda yazın.
4x−8=2x+14^x - 8 = 2^{x+1}
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c kuralı uygulanır.
3
2x=t2^x = t değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden denklem haline getirin.
t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 (burada t>0t > 0 olmalıdır).
4x=(2x)2=t24^x = (2^x)^2 = t^2 ve 2x+1=2⋅2x=2t2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t yazabiliriz.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak tt değerlerini bulun.
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4(t - 4)(t + 2) = 0 \implies t = 4 veya t=−2t = -2 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
tt değerlerini yerine yazarak xx değerlerini bulun ve tanım kümesini kontrol edin.
2x=4  ⟹  x=22^x = 4 \implies x = 2. t=−2t = -2 için 2x=−22^x = -2 denkleminin gerçel kökü yoktur. x=2x = 2 değeri x>32x > \frac{3}{2} şartını sağladığı için tek çözümdür.
Üstel fonksiyonlar daima pozitif değerler alır ve bulunan kök tanım kümesi şartını sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümü için logaritma tanımı, değişken değiştirme yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Soru 51Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir. İkinci bölgenin ilk yarısında yer alan xx açısı için sinüs değeri pozitif olup kosinüsün mutlak değerinden büyüktür, bu sebeple a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 olur. c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi zıt işaretli sayıların çarpımı olarak negatiftir ve (−0.5,0)(-0.5, 0) aralığındadır. b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesi ise bu negatif çarpımın çarpmaya göre tersi olduğundan −2-2 veya daha küçük değerler alır. Bu durum b<c<ab < c < a sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında yani ikinci bölgenin ilk yarısında sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olur. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
aa ifadesinin işaretini belirlemek için.
2
cc ifadesinin işaretini ve alabileceği değer aralığını bulmak.
c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x olup zıt işaretli iki ifadenin çarpımı olduğundan negatiftir. İfadeyi yarım açı formülüyle c=sin⁡(2x)2c = \frac{\sin(2x)}{2} olarak yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) yani üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatif olduğundan c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında yer alır.
cc ifadesinin sınırlarını belirlemek için.
3
bb ifadesini sadeleştirip sınırlarını bulmak ve tüm ifadeleri sıralamak.
b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=1cb = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{c} olur. c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında olduğundan, b=1c≤−2b = \frac{1}{c} \leq -2 olur. Dolayısıyla b≤−2b \leq -2, c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) ve a>0a > 0 olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a olarak bulunur.
bb ifadesinin sınırlarını belirleyerek nihai sıralamayı yapmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve İkinci Bölgede Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{3}{4}

Cevap

doğru cevap olan 34\frac{3}{4}
İfade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildikten sonra cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 1−sin⁡(2x)=141 - \sin(2x) = \frac{1}{4} denklemi kurulur ve buradan doğru cevap olan 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine iki kare farkı biçimindeki yarım açı açılımı uygulanır.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği çarpanlarına ayrılır.
2
Pay ve paydadaki ortak (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) terimleri sadeleştirilir.
cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2}
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı sıfırdan büyük olduğu için sadeleştirme işlemi güvenle yapılabilir.
3
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesi alınarak düzenlenir.
cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=14⇒1−sin⁡(2x)=14\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{1}{4}
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
4
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesi yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
sin⁡(2x)=1−14=34\sin(2x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulmak için basit bir cebirsel düzenleme yapılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri
Soru 53Soru →

Bir ABCDABCD konveks dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}, m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ ve m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur. ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ise x2−5x−24=0x^2 - 5x - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü 88 olduğundan ∣CD∣|CD| uzunluğu 8 birim8\text{ birim} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AC∣|AC| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(120^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında ∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 elde edilir.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
x=8 birimx = 8\text{ birim}
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2∣AD∣∣CD∣cos⁡(60∘)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2|AD||CD|\cos(60^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında 72=52+x2−2⋅5⋅x⋅(1/2)  ⟹  49=25+x2−5x  ⟹  x2−5x−24=07^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (1/2) \implies 49 = 25 + x^2 - 5x \implies x^2 - 5x - 24 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−8)(x+3)=0(x-8)(x+3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağından x=8x = 8 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi'nin ardışık iki üçgende uygulanması ve elde edilen denklemin çözülmesi

Alternatif Yöntem

ADCADC üçgeninde CC köşesinden [AD][AD] kenarına dikme indirilerek 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla da ∣CD∣|CD| uzunluğu hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 54Soru →
log⁡13(2x−1)>log⁡13(x+3)\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen eşitsizlikte taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğu için fonksiyon azalandır ve logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirerek 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 olur. Logaritmanın tanım kümesinden gelen 2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} koşulu ile bu durum birleştirildiğinde çözüm kümesi 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek
x>12x > \frac{1}{2}
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için 2x−1>02x - 1 > 0 ve x+3>0x + 3 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliklerin ortak çözümü x>12x > \frac{1}{2} aralığını verir.
2
Eşitsizliği çözmek için tabanın durumunu incelemek
x<4x < 4
Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğundan logaritma fonksiyonu azalandır. Bu nedenle logaritmalar kaldırılırken büyüktür işareti küçüktür işaretine dönüşür: 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 elde edilir.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı değerlerini bulup toplamak
1+2+3=61 + 2 + 3 = 6
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünün kesişimi olan 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 aralığındaki tam sayılar 11, 22 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 66 yapar.

Anahtar Kavram

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Ayrıca logaritmanın tanım kümesi sınırlamaları her zaman çözüm kümesine dahil edilmelidir.
Soru 55Soru →

Bir ff fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre, bir gg fonksiyonunun grafiği ise ordinat eksenine (yy-eksenine) göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
(x2+1)⋅f(−x)+g(−x)=x3+2x2+x−3(x^2 + 1) \cdot f(-x) + g(-x) = x^3 + 2x^2 + x - 3

eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Verilen fonksiyonların simetri kurallarına göre f tek, g çift fonksiyondur. Denklemde sırasıyla x = 2 ve x = -2 yazılarak elde edilen -5*f(2) + g(2) = 15 ve 5*f(2) + g(2) = -5 denklemlerinin ortak çözümünden g(2) = 5 ve f(2) = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerini kullanarak fonksiyonların tek/çift olma durumlarını belirleme
f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri tanımlanır.
Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyon, ordinat eksenine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyondur.
2
Cebirsel eşitlikte x = 2 yazarak ilk denklemi elde etme
-5 * f(2) + g(2) = 15 denklemi bulunur.
İstenen f(2) ve g(2) değerlerine ulaşmak için değişken yerine 2 yazılarak simetri özellikleri uygulanır.
3
Cebirsel eşitlikte x = -2 yazarak ikinci denklemi elde etme
5 * f(2) + g(2) = -5 denklemi bulunur.
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak amacıyla x = -2 değeri yerine koyulur.
4
Elde edilen denklem sistemini ortak çözüm yöntemiyle çözme
g(2) = 5 ve f(2) = -2 değerleri bulunur.
Taraf tarafa toplama işlemiyle bilinmeyenlerden biri yok edilerek her iki değer ayrı ayrı hesaplanır.
5
Bulunan fonksiyon değerlerinin toplamını hesaplama
f(2) + g(2) = 3 olarak hesaplanır.
Soruda istenen toplam ifadesinin sonucuna ulaşılması amaçlanmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı, grafiksel simetrileri ve cebirsel özellikleri
Soru 56Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=5n−32n2−11n+ka_n = \frac{5n - 3}{2n^2 - 11n + k}
ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Dizinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı 55'tir.
Dizinin genel teriminde payda sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfır yapan 2n2−11n+k=02n^2 - 11n + k = 0 denkleminden k=11n−2n2k = 11n - 2n^2 elde edilir. kk pozitif tam sayısı için 11n−2n2>011n - 2n^2 > 0 olmalıdır, bu da 0<n<5,50 < n < 5,5 aralığındaki nn pozitif tam sayıları (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) için geçerlidir. Bu nn değerleri için kk değerleri sırasıyla 9,14,15,12,59, 14, 15, 12, 5 bulunur ve bu değerlerin toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi özelliğini kullanarak paydayı sıfır yapan denklemi kurmak
2n2−11n+k=0  ⟹  k=11n−2n22n^2 - 11n + k = 0 \implies k = 11n - 2n^2
Diziler pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu durumlarda ifade tanımsız olacağından, dizinin tanımlı olmasını engelleyen kk değerleri paydanın sıfır olduğu durumlardan elde edilir.
2
kk pozitif tam sayı şartına göre nn indisinin alabileceği değer aralığını belirlemek
n∈{1,2,3,4,5}n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
k>0  ⟹  11n−2n2>0  ⟹  n(11−2n)>0k > 0 \implies 11n - 2n^2 > 0 \implies n(11 - 2n) > 0. Buradan 0<n<5,50 < n < 5,5 elde edilir. nn ifadesi bir indis olduğundan pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Her bir nn değeri için kk değerlerini hesaplamak
k∈{5,9,12,14,15}k \in \{5, 9, 12, 14, 15\}
n=1  ⟹  k=9n = 1 \implies k = 9, n=2  ⟹  k=14n = 2 \implies k = 14, n=3  ⟹  k=15n = 3 \implies k = 15, n=4  ⟹  k=12n = 4 \implies k = 12, n=5  ⟹  k=5n = 5 \implies k = 5 olarak bulunur.
4
Elde edilen kk değerlerini toplamak
5+9+12+14+15=555 + 9 + 12 + 14 + 15 = 55
Soruda dizinin belirtilmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerleri dizinin tanımlı olmasını engeller.
Soru 57Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri 15'tir.
Verilen an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n bağıntısında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu kullanılarak sırasıyla n=1,n=2n=1, n=2 ve n=3n=3 yazılır. n=1n=1 için a2=a1+2=5a_2 = a_1 + 2 = 5 olur. n=2n=2 için a3=a2+4=9a_3 = a_2 + 4 = 9 olur. Son olarak n=3n=3 için a4=a3+6=15a_4 = a_3 + 6 = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için a2a_2 terimini hesaplayın.
a2=5a_2 = 5
Dizinin ikinci terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=1n = 1 yazılır: a2=a1+2(1)=3+2=5a_2 = a_1 + 2(1) = 3 + 2 = 5 elde edilir.
2
n=2n = 2 için a3a_3 terimini hesaplayın.
a3=9a_3 = 9
Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=2n = 2 yazılır ve bir önceki adımda bulunan a2a_2 değeri yerine konur: a3=a2+2(2)=5+4=9a_3 = a_2 + 2(2) = 5 + 4 = 9 elde edilir.
3
n=3n = 3 için a4a_4 terimini hesaplayın.
a4=15a_4 = 15
Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=3n = 3 yazılır ve bir ��nceki adımda bulunan a3a_3 değeri yerine konur: a4=a3+2(3)=9+6=15a_4 = a_3 + 2(3) = 9 + 6 = 15 elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç terimi ve ardı��ık terimler arasındaki bağıntıyı kullanarak sırayla sonraki terimleri hesaplama.
Soru 58Soru →
cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=sin⁡(2x)+1\frac{\cos(2x)}{\cos(x) - \sin(x)} = \sin(2x) + 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) aç��k aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π3\pi

Cevap

3π3\pi
Verilen denklemde pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) yarım açı formülüyle (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılıp payda ile sadeleştirildiğinde denklem cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 durumuna gelir. Buradan elde edilen sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin(x) + \cos(x) = 0 denkleminden x=3π4x = \frac{3\pi}{4} ve x=7π4x = \frac{7\pi}{4} kökleri, sin⁡(x)+cos⁡(x)=1\sin(x) + \cos(x) = 1 denkleminden ise (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü gelir. Köklerin tamamı paydayı sıfır yapmadığından geçerlidir ve toplamları 3π3\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamasını bulunuz.
cos⁡(x)−sin⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\cos(x) - \sin(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1
Rasyonel bir ifadede payda sıfıra eşit olamaz.
2
Pay kısmındaki yarım açı ifadesini açarak sadeleştirme yapınız.
(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\cos(x) - \sin(x)} = \cos(x) + \sin(x)((\tan(x)
eq 1kısıtlamasıaltında) kısıtlaması altında)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılır.
3
Denklemin sağ tarafını çarpanlarına ayrılabilir forma getirerek denklemi yeniden yazınız.
cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2
sin⁡(2x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\sin(2x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 özdeşliği geçerlidir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözümleri iki gruba ayırınız.
(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x)−1)=0(\sin(x) + \cos(x))( \sin(x) + \cos(x) - 1 ) = 0
Tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alınır.
5
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0  ⟹  tan⁡(x)=−1  ⟹  x1=3π4, x2=7π4\sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies x_1 = \frac{3\pi}{4}, \ x_2 = \frac{7\pi}{4}
(0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında tanjantı −1-1 olan açılar belirlenir. Bu açılar tanım kümesi kısıtlamasını (tan⁡(x)≠1\tan(x) \neq 1) sağlar.
6
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=1  ⟹  sin⁡(x+π4)=22  ⟹  x3=π2\sin(x) + \cos(x) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x_3 = \frac{\pi}{2}
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) aralığı için x=0x=0 ve x=2πx=2\pi sınır değerleri açık aralığa dahil olmadığından sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü alınır.
7
Bulunan tüm geçerli köklerin toplamını hesaplayınız.
π2+3π4+7π4=3π\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 3\pi
Denklemi sağlayan tüm farklı köklerin toplamı istenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler

Alternatif Yöntem

Denklem sadeleştirildikten sonra sin⁡(x)+cos⁡(x)=t\sin(x) + \cos(x) = t dönüşümü yapılarak t=t2t = t^2 ikinci dereceden denklemi elde edilebilir. Buradan t=0t=0 veya t=1t=1 değerleri için ayrı ayrı çözüme gidilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 59Soru →
Bir bakteri türünün başlangıçtaki sayısı N0N_0 ve tt saat sonraki sayısı N(t)N(t) olmak üzere, bu bakterinin çoğalma modeli
N(t)=N0⋅20.5tN(t) = N_0 \cdot 2^{0.5t}
formülü ile verilmektedir.
Buna göre, başlangıçta 10001000 adet bakteri bulunan bu popülasyondaki bakteri sayısı kaç saat sonra 80008000 olur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bakteri sayısının 80008000 olması için geçmesi gereken süre 66 saattir.
Bakteri büyüme modelinde N(t)=8000N(t) = 8000 ve N0=1000N_0 = 1000 yazıldığında 8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} eşitliği elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında 8=20.5t8 = 2^{0.5t} olur. 88 sayısı 232^3 şeklinde yazıldığında tabanlar eşit olduğu için üsler eşitlenir ve 3=0.5t3 = 0.5t denklemi kurulur. Buradan geçmesi gereken süre t=6t = 6 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen başlangıç değeri N0=1000N_0 = 1000 ve hedef bakteri sayısı N(t)=8000N(t) = 8000 değerlerini formülde yerine yazmak.
8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} denklemi kurulur.
Soruda belirtilen hedefe ulaşmak için model formülündeki bilinen büyüklükler yerleştirilmelidir.
2
Eşitliğin her iki tarafını 10001000 ile bölerek sadeleştirme yapmak.
8=20.5t8 = 2^{0.5t} elde edilir.
Üslü terimi yalnız bırakarak çözümü kolaylaştırmak hedeflenir.
3
88 sayısını 22 tabanında üslü biçimde yazarak üsleri eşitlemek.
23=20.5t  ⟹  3=0.5t2^3 = 2^{0.5t} \implies 3 = 0.5t elde edilir.
Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üsleri de birbirine eşit olmalıdır.
4
3=0.5t3 = 0.5t denklemini çözmek.
t=6t = 6 bulunur.
tt değişkenini bulmak için her iki taraf 22 ile çarpılır veya 0.50.5 ile bölünür.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde denklem kurma ve çözme
Soru 60Soru →
x2+y2=xy+7x^2 + y^2 = xy + 7
x+y=xy+1x + y = xy + 1

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen denklem sistemi x+y=Sx+y=S ve xy=Pxy=P dönüşümleriyle çözüldüğünde, sistemin gerçel sayılardaki çözümlerinden elde edilen x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği değerler sırasıyla 10 ve 5 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sistemin basitleştirilmesi
x2+y2=S2−2Px^2 + y^2 = S^2 - 2P yazarak denklem sistemi şu şekle dönüştürülür:
1) S2−3P=7S^2 - 3P = 7
2) S−P=1S - P = 1
Sistemdeki simetrik ifadeleri S=x+yS = x+y ve P=xyP = xy cinsinden yazarak çözüm derecesini düşürmek.
2
Tek değişkene bağlı ikinci dereceden denklemin oluşturulması ve çözülmesi
P=S−1P = S - 1 ifadesi birinci denklemde yerine yazıldığında S2−3(S−1)=7  ⟹  S2−3S−4=0S^2 - 3(S - 1) = 7 \implies S^2 - 3S - 4 = 0 elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (S−4)(S+1)=0(S-4)(S+1) = 0 olup S=4S = 4 veya S=−1S = -1 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem biçimine getirip kökleri bulmak.
3
Her bir durum için gerçel çözümlerin varlığının kontrol edilmesi ve istenen toplamın hesaplanması
S=4S = 4 için P=3P = 3 olur. t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=16−6=10x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 16 - 6 = 10 değerini verir.
S=−1S = -1 için P=−2P = -2 olur. t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=1−2(−2)=5x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 1 - 2(-2) = 5 değerini verir.
Farklı değerlerin toplamı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak hesaplanır.
Köklerin gerçel sayı olup olmadığını kontrol etmek ve x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerleri toplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme yöntemiyle simetrik toplam ve çarpım değerlerinin bulunması.
ÖncekiSayfa 3 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin