Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 61Soru →
log⁡x−2(x2−4x+3)=log⁡x−2(x−3)+2\log_{x-2}(x^2 - 4x + 3) = \log_{x-2}(x-3) + 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök (5 + kök 5) / 2 olduğundan, kökler toplamı bu değerdir.
Denklemin tanım kümesi x>3x > 3 aralığıdır. Cebirsel çözüm aşamalarında elde edilen aday köklerden x=3x = 3 (tabanı 1, argümanları 0 yapar) ve x=5−52≈1,38x = \frac{5-\sqrt{5}}{2} \approx 1,38 (argümanları ve tabanı negatif yapar) değerleri tanım kümesi dışında kalır. Koşulları sağlayan tek gerçel kök 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2} olduğundan, gerçel köklerin toplamı da bu değere eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için taban ve argüman koşullarını yazarız.
Taban için x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1  ⟹  x>2x-2 \neq 1 \implies x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Birinci argüman için x2−4x+3>0  ⟹  (x−1)(x−3)>0  ⟹  x<1x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0 \implies x < 1 veya x>3x > 3 olmalıdır. İkinci argüman için x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Tüm bu koşulların kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>3x > 3 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanlarının ise pozitif olması gerekir.
2
Denklemin sağ tarafındaki sabit terimi logaritma tabanına uygun olarak yazıp ifadeleri tek bir logaritma altında birleştiririz.
2=log⁡x−2((x−2)2)2 = \log_{x-2}((x-2)^2) yazılır. Sağ taraf: log⁡x−2(x−3)+log⁡x−2((x−2)2)=log⁡x−2((x−3)(x−2)2)\log_{x-2}(x-3) + \log_{x-2}((x-2)^2) = \log_{x-2}((x-3)(x-2)^2) haline gelir.
Logaritma toplama özelliğini (aynı tabandaki toplamları çarpım biçimine dönüştürme) uygulayabilmek için sabit terimi logaritmik biçimde yazarız.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerinin tabanları aynı olduğundan argümanları birbirine eşitleriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−2)2  ⟹  (x−1)(x−3)=(x−3)(x−2)2x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-2)^2 \implies (x-1)(x-3) = (x-3)(x-2)^2 elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun bire bir olma özelliğini kullanarak argümanları eşitleriz.
4
Elde edilen cebirsel denklemi çarpanlarına ayırarak çözeriz.
(x−3)⋅[(x−1)−(x−2)2]=0  ⟹  (x−3)⋅[x−1−(x2−4x+4)]=0  ⟹  (x−3)(x2−5x+5)=0(x-3) \cdot [(x-1) - (x-2)^2] = 0 \implies (x-3) \cdot [x-1 - (x^2 - 4x + 4)] = 0 \implies (x-3)(x^2 - 5x + 5) = 0 bulunur. Buradan x=3x=3 veya x2−5x+5=0x^2 - 5x + 5 = 0 elde edilir. İkinci dereceden denklemin kökleri diskriminant yöntemiyle x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} olarak bulunur.
Denklemin tüm olası kök adaylarını belirlemek için ortak çarpan parantezine alma yöntemini uygularız.
5
Bulunan aday köklerin tanım kümesine (x>3x > 3) uygunluğunu kontrol ederiz.
x=3x = 3 değeri tanım kümesinde değildir. Köklerden x=5−52≈1,38<3x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1,38 < 3 olduğundan tanım kümesini sağlamaz. Diğer kök x=5+52≈3,62>3x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3,62 > 3 olduğundan tanım kümesini sağlar. Denklemi sağlayan tek gerçel kök x=5+52x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}'dir.
Logaritmik denklemlerde bulunan köklerin başlangıçtaki tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban ve argüman tanım kümelerinin belirlenmesi ve yalancı köklerin elenmesi.
Soru 62Soru →
log⁡x(2x+3)=2\log_x(2x + 3) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur, yani tek elemanlıdır.
Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği belirlenir. İkinci dereceden denklem çözümünden elde edilen köklerden x=−1x = -1 bu şartı ihlal ettiğinden elenir ve sadece x=3x = 3 kökü kalır. Bu durum çözüm kümesinin tek elemanlı olduğunu doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için gerekli şartları belirleyin.
Taban için x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır. Argüman için 2x+3>0  ⟹  x>−1,52x + 3 > 0 \implies x > -1,5 olmalıdır. Ortak tanım aralığı x∈(0,1)∪(1,∞)x \in (0, 1) \cup (1, \infty) şeklindedir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçime dönüştürün ve kökleri bulun.
x2=2x+3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 Buradan x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
log⁡g(f(x))=b  ⟺  gb=f(x)\log_g(f(x)) = b \iff g^b = f(x) dönüşüm kuralı uygulanmıştır.
3
Bulunan kökleri tanım kümesi sınırlarıyla karşılaştırın.
x=3x = 3 değeri tanım kümesindedir. x=−1x = -1 değeri ise taban şartını (x>0x > 0) sağlamadığı için elenir. Çözüm kümesi C\c={3}Ç = \{3\} olarak bulunur.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta bulunması şarttır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemlerde Taban Tanım Kümesi ve Yalancı Kök Kontrolü
Soru 63Soru →
Bir ABCDABCD dikdörtgeninde,
∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}
∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}
olmak üzere, EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için ∣DF∣=2 birim|DF| = 2\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(EBF^)\tan(\widehat{EBF}) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 511\frac{5}{11}

Cevap

İstenen tanjant değeri beş bölü on bir olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dikdörtgen üzerindeki dik üçgenlerden elde edilen tanjant değerlerinin fark formülüne doğru biçimde uygulanmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
EAB dik üçgenini inceleyelim.
EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktası olduğundan ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olur. EABEAB dik üçgeninde EBA^\widehat{EBA} açısının tanjantı tan⁡(EBA^)=∣AE∣∣AB∣=38\tan(\widehat{EBA}) = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{3}{8} olarak bulunur.
Tanjant fark formülünü uygulamak için gerekli olan ilk açının tanjantını bulmak.
2
F noktasından AB doğrusuna dikme indirerek FHB dik üçgenini oluşturalım.
Dikme ayağı HH olsun. Bu durumda ∣FH∣=∣BC∣=6 birim|FH| = |BC| = 6\text{ birim} ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DF∣=8−2=6 birim|HB| = |AB| - |DF| = 8 - 2 = 6\text{ birim} olur. Buradan tan⁡(FBA^)=∣FH∣∣HB∣=66=1\tan(\widehat{FBA}) = \frac{|FH|}{|HB|} = \frac{6}{6} = 1 bulunur.
Tanjant fark formülü için gerekli olan ikinci açının tanjantını bulmak.
3
Tanjant fark formülünü uygulayalım.
α=EBF^=FBA^−EBA^\alpha = \widehat{EBF} = \widehat{FBA} - \widehat{EBA} olduğundan, tan⁡(α)=tan⁡(FBA^)−tan⁡(EBA^)1+tan⁡(FBA^)⋅tan⁡(EBA^)=1−381+1⋅38=58118=511\tan(\alpha) = \frac{\tan(\widehat{FBA}) - \tan(\widehat{EBA})}{1 + \tan(\widehat{FBA}) \cdot \tan(\widehat{EBA})} = \frac{1 - \frac{3}{8}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{11}{8}} = \frac{5}{11} bulunur.
İki açının farkının tanjantını bularak hedef açının tanjant değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(x−y)=tan⁡(x)−tan⁡(y)1+tan⁡(x)tan⁡(y)\tan(x - y) = \frac{\tan(x) - \tan(y)}{1 + \tan(x)\tan(y)}
Soru 64Soru →
log⁡34⋅log⁡454−log⁡32\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 - \log_{3} 2

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Logaritma taban değiştirme kuralı kullanılarak çarpım durumundaki ifade \log_{3} 54 olarak sadeleştirilir. Ardından logaritma çıkarma özelliği ile ifade \log_{3}(54/2) = \log_{3} 27 şekline dönüştürülür. 27 = 3^3 olduğundan işleminin sonucu 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını (\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c) kullanarak çarpım durumundaki birinci terimi sadeleştirin.
log⁡34⋅log⁡454=log⁡354\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 = \log_{3} 54
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri çarpmak için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.
2
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak logaritma çıkarma özelliğini (\log_a x - \log_a y = \log_a(x/y)) uygulayın.
log⁡354−log⁡32=log⁡3(542)=log⁡327\log_{3} 54 - \log_{3} 2 = \log_{3}\left(\frac{54}{2}\right) = \log_{3} 27
Aynı tabana sahip iki logaritmanın farkı, argümanlarının bölümün��n logaritmasına eşittir.
3
Elde edilen ifadenin değerini hesaplayın.
log⁡327=log⁡3(33)=3\log_{3} 27 = \log_{3}(3^3) = 3
27 sayısı 3'ün üçüncü kuvveti olduğundan logaritma tanımı gereği sonuç 3 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 65Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3
olduğuna göre, 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstenen ifadenin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen denklem cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=3\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = 3 şeklinde yarım açı formülüne dönüştürüldüğünde tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 elde edilir. İlgili dik üçgenden ve bölge analizinden yararlanılarak sin⁡(2x)=2/13\sin(2x) = 2/\sqrt{13} ve cos⁡(2x)=3/13\cos(2x) = 3/\sqrt{13} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=12/13\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 12/13 değeri hesaplanır ve bu değer 26 ile çarpılarak 24 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3 eşitliğini yarım açı formülleri yardımıyla tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesine dönüştürmek.
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen ifadeyi yarım açı ilişkisini kullanabileceğimiz daha sade bir trigonometrik fonksiyona indirgemek.
2
2x2x açısının bölgesini belirleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini hesaplamak.
sin⁡(2x)=213\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡(2x)=313\cos(2x) = \frac{3}{\sqrt{13}} olarak elde edilir.
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini açtığımızda karşımıza çıkacak olan sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini elde etmek.
3
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülünü uygulamak ve 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) değerini hesaplamak.
26⋅sin⁡(4x)=2426 \cdot \sin(4x) = 24 olarak bulunur.
Soruda sorulan ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde yarım açı formüllerinin (sinüs ve kosinüs çift kat açı formülleri) uygulanması ve bölge analizine göre işaret tayini.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 66Soru →
log⁡x(6xlog⁡5x−5)=2log⁡5x\log_x(6x^{\log_5 x} - 5) = 2\log_5 x

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5.2

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli xx gerçel sayılarının toplamı 5,25,2 (veya 265\frac{26}{5}) olarak bulunur.
Denklemin çözümünden elde edilen geçerli kökler x=5x = 5 ve x=1/5x = 1/5 değerleridir. Bu iki kökün toplamı 5+1/5=5,25 + 1/5 = 5,2 olur. x=1x = 1 değeri ise logaritmanın tabanını 1 yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi analizi yapmak
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Denklemi üstel forma dönüştürmek
6xlog⁡5x−5=x2log⁡5x6x^{\log_5 x} - 5 = x^{2\log_5 x}
log⁡b(a)=c  ⟺  a=bc\log_b(a) = c \iff a = b^c temel tanımını uygulamak.
3
Değişken değiştirme ve üstel ifadeleri düzenlemek
y=5t2y = 5^{t^2} dönüşümüyle 6y−5=y26y - 5 = y^2 elde edilmesi
log⁡5x=t  ⟹  x=5t\log_5 x = t \implies x = 5^t yazarak xlog⁡5x=5t2x^{\log_5 x} = 5^{t^2} ve x2log⁡5x=(5t2)2x^{2\log_5 x} = (5^{t^2})^2 ilişkisini kurmak.
4
İkinci dereceden denklemi çözmek
y=5y = 5 veya y=1y = 1
y2−6y+5=0  ⟹  (y−5)(y−1)=0y^2 - 6y + 5 = 0 \implies (y-5)(y-1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle çözüme ulaşmak.
5
Kökleri kontrol etmek ve tanım kümesine uygunluğunu sorgulamak
x=5x = 5 ve x=1/5x = 1/5 geçerli köklerdir; x=1x = 1 elenir.
x=1x=1 kökü logaritmanın tabanını 1 yapacağı için logaritma tanımına aykırıdır.
6
Köklerin toplamını bulmak
5+1/5=5,25 + 1/5 = 5,2
Soruda istenen gerçel sayı köklerinin toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma ve Üstel Denklemlerde Değişken Değiştirme ve Taban Tanım Kümesi Kısıtlamaları
Soru 67Soru →
cos⁡(2x)1−tan⁡(x)=0\frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)} = 0 denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralı��ında 4 farklı gerçel kökü vardır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydadaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesini sıfır yaparak denklemi tanımsız kılar. Bu nedenle bu değerler kök olamaz ve denklemin verilen aralıktaki kök sayısı 4 değil, 2'dir.
İfade yanlıştır çünkü payı sıfır yapan x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydayı sıfır yaparak denklemi tanımsız hale getirir. Bu nedenle denklemin (0,2π)(0, 2\pi) aralığında 4 değil, sadece 2 kökü vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olma şartlarını belirleyin.
Denklemin tanımlı olabilmesi için tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonunun tanımlı olması (x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi) ve paydanın sıfırdan farklı olması (1−tan⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1  ⟹  x≠π4+kπ1 - \tan(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi) gerekir.
Bir rasyonel ifadenin sıfıra eşit olması için payının sıfır olması gerekirken, paydasının sıfır olmaması ve tüm alt fonksiyonların tanımlı olması şarttır.
2
Payı sıfır yapan kök adaylarını bulun.
cos⁡(2x)=0  ⟹  2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} elde edilir. Bu genel çözümden (0,2π)(0, 2\pi) aralığına düşen kök adayları x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4}, x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin değerinin sıfır olması, pay kısmının sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
3
Kök adaylarını tanım kümesi ve payda şartına göre kontrol edin.
x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4} ve x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} değerleri için tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 olduğundan payda 1−1=01 - 1 = 0 olur ve ifade tanımsız kalır. Diğer kök adayları x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} için tan⁡(x)=−1\tan(x) = -1 olduğundan payda sıfırdan farklı (1−(−1)=2≠01 - (-1) = 2 \neq 0) olur. Dolayısıyla gerçel kökler yalnızca bu iki değerdir.
Bulunan kök adaylarının orijinal denklemde tanımsızlık yaratıp yaratmadığı denetlenmelidir.

Anahtar Kavram

Rasyonel trigonometrik denklemlerde payı sıfır yapan köklerin paydanın tanım kümesini ve sıfırdan farklı olma şartını bozup bozmadığının kontrol edilmesi.
Soru 68Soru →
log⁡12(x−2)>−2\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > -2

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2,6)(2, 6)

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığ��dır.
Logaritma ifadesinin tanımlı olması için x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan büyüktür sembolü küçüktür sembolüne dönüşür ve x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6 elde edilir. Bu iki sonucun kesişim kümesi olan (2,6)(2, 6) açık aralığı doğru çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayın.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği tabanın durumuna göre çözün.
x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6
Logaritmanın tabanı 12\frac{1}{2} bir basit kesir (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Tanım kümesinden ve eşitsizlik çözümünden elde edilen iki aralığı kesiştirin.
x>2x > 2 ve x<6x < 6 koşullarının ortak kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesindeki elemanların hem eşitsizliği sağlaması hem de logaritma tanımını bozmaması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesinin eşitsizlik çözümüne dahil edilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 69Soru →
an=n2−12n+32n2−16n+63a_n = \sqrt{\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63}}

ifadesi en çok kaç terimli bir sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu gerçel sayı dizisi oluşturulabilir.
Dizinin genel teriminin tanımlı olduğu pozitif tam sayılar incelendiğinde, 1'den başlayan ve ardışık olarak devam eden en geniş küme {1, 2, 3, 4} kümesidir. 5 değeri genel terimi tanımsız yaptığından bu dizinin 5. terimi bulunamaz ve dolayısıyla sonlu dizi en fazla 4 terimli olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir (an)(a_n) genel terimli ifadesinin sonlu gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için, dizinin tanım kümesi olan Ak={1,2,…,k}A_k = \{1, 2, \dots, k\} kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için ana_n değerinin bir gerçel sayı olması gerekir.
Bu durumda, kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir: n2−12n+32n2−16n+63≥0\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63} \ge 0 ve n2−16n+63≠0n^2 - 16n + 63 \neq 0
Kareköklü ifadelerin gerçel sayı belirtme şartı kök içinin negatif olmamasıdır, rasyonel ifadelerde ise payda sıfır olamaz.
2
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için pay ve paydanın kökleri bulunur.
Payın kökleri: n2−12n+32=0  ⟹  (n−4)(n−8)=0  ⟹  n=4n^2 - 12n + 32 = 0 \implies (n-4)(n-8) = 0 \implies n = 4 ve n=8n = 8.
Paydanın kökleri: n2−16n+63=0  ⟹  (n−7)(n−9)=0  ⟹  n=7n^2 - 16n + 63 = 0 \implies (n-7)(n-9) = 0 \implies n = 7 ve n=9n = 9.
İşaret değişim noktalarını belirlemek ve tablo sınırlarını çizmek için köklerin bulunması gerekir.
3
Kökler küçükten büyüğe (4,7,8,94, 7, 8, 9) sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları pozitif olduğu için tablo sağdan (+) ile başlar:
- n>9n > 9 için (+)
- 8<n<98 < n < 9 için (-)
- 7<n≤87 < n \le 8 için (+)
- 4≤n<74 \le n < 7 için (-)
- n<4n < 4 için (+)
Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: (−∞,4]∪(7,8]∪(9,∞)(-\infty, 4] \cup (7, 8] \cup (9, \infty) aralıklarının birleşimidir (payda kökleri olan 7 ve 9 dahil değildir).
Çözüm kümesini veren aralıkları tam olarak belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) belirlenir.
- (−∞,4](-\infty, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar: 1,2,3,41, 2, 3, 4
- (7,8](7, 8] aralığındaki pozitif tam sayı: 88
- (9,∞)(9, \infty) aralığındaki pozitif tam sayılar: 10,11,12,…10, 11, 12, \dots
Tanımlı indisler kümesi: S={1,2,3,4,8}∪{10,11,12,… }S = \{1, 2, 3, 4, 8\} \cup \{10, 11, 12, \dots\} olarak bulunur.
Dizi terimlerinin indisleri yalnızca pozitif tam sayılardan oluşabilir.
5
Sonlu dizi tanım kümesi olan {1,2,…,k}\{1, 2, \dots, k\} kümesinin SS kümesinin alt kümesi olmasını sağlayan en büyük kk değeri tespit edilir.
k=4k=4 için {1,2,3,4}⊆S\{1, 2, 3, 4\} \subseteq S sağlanır. Ancak 5∉S5 \notin S olduğundan, k=5k=5 için {1,2,3,4,5}⊈S\{1, 2, 3, 4, 5\} \not\subseteq S olur. Dolayısıyla bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu dizi oluşturulabilir.
Dizi tanım kümesinin 1'den başlayan ardışık pozitif tam sayılardan oluşması şartı aranır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim olarak dizi belirtmesi için tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması gerekir. Sonlu bir dizinin tanım kümesi ise ardışık pozitif tam sayıların bir alt kümesi olan A_k = {1, 2, ..., k} biçiminde olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 70Soru →
9log⁡35−2log⁡279^{\log_{3} 5} - 2^{\log_{2} 7}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İşlemin sonucu 18'dir.
Verilen ifade logaritmanın üslü özellikleri kullanılarak 25−7=1825 - 7 = 18 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
9log⁡359^{\log_{3} 5} ifadesini basitleştirmek için taban ile logaritmanın argümanını yer değiştirme kuralı olan alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini uygulayalım.
9log⁡35=5log⁡399^{\log_{3} 5} = 5^{\log_{3} 9} elde edilir.
Taban ve argüman yer değiştirilerek ifade bilinen bir tabana indirgenir.
2
log⁡39\log_{3} 9 ifadesinin değerini bulup yerine yazalım.
5log⁡39=52=255^{\log_{3} 9} = 5^2 = 25 elde edilir.
9=329 = 3^2 olduğundan log⁡39=2\log_3 9 = 2 olur.
3
2log⁡272^{\log_{2} 7} ifadesinde taban ve logaritma tabanı aynı olduğundan alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini uygulayalım.
2log⁡27=72^{\log_{2} 7} = 7 elde edilir.
Logaritma tabanı ile üslü ifadenin tabanı aynı olduğunda ifade argümanın kendisine eşit olur.
4
Bulunan değerlerin farkını hesaplayalım.
25−7=1825 - 7 = 18 bulunur.
Soruda verilen çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinden alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} ve alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralları
Soru 71Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

a < c < b
Verilen aralıkta sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan a>0a > 0 olur. bb ve cc ifadeleri düzenlendiğinde c=asin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{\sin x \cos x} ve b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) elde edilir. 0<sin⁡xcos⁡x<1/20 < \sin x \cos x < 1/2 olduğundan c>2a>ac > 2a > a olur. Ayrıca sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan b>cb > c bulunur. Buradan a<c<ba < c < b elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini ve işaretlerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında (birinci bölgenin ikinci yarısında), sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 elde edilir.
Sıralama yapabilmek i��in öncelikle terimlerin işaretlerini ve birbirleriyle olan temel büyüklük ilişkilerini belirlemeliyiz.
2
bb ve cc ifadelerini ortak paydada yazarak sadeleştirme ve aa türünden ifade etme.
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = \frac{a(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} ve c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} elde edilir.
İfadeleri karşılaştırılabilir hale getirmek için hepsini ortak bir çarpan olan aa cinsinden yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırma.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında 0<sin⁡xcos⁡x<120 < \sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2 olur. Buradan c=asin⁡xcos⁡x>2a>ac = \frac{a}{\sin x \cos x} > 2a > a bulunur. Ayrıca aynı aralıkta 1<sin⁡x+cos⁡x<21 < \sin x + \cos x < \sqrt{2} olduğundan b=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)>cb = c \cdot (\sin x + \cos x) > c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Elde edilen oranları ve trigonometrik değerlerin aralıktaki sınırlarını kullanarak nihai sıralamayı belirleriz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bir aralıkta fonksiyon değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 72Soru →
aa, bb ve cc 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=6\log_a b + \log_b c + \log_c a = 6
1log⁡ab+1log⁡bc+1log⁡ca=132\frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡a3b+log⁡b3c+log⁡c3a\log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a
ifadesinin değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 102

Cevap

İstenen ifadenin değeri 102'dir.
Logaritmik ifadeler xx, yy, zz değişkenleri ile temsil edildiğinde taban değiştirme kuralından ötürü çarpımları 1 olur. Verilen eşitlikler kullanılarak ikişerli çarpımların toplamı 13/213/2 olarak elde edilir. Üçlü terimlerin küpleri toplamı özdeşliği kullanıldığında doğru sonuç 102 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma değişken dönüşümlerinin belirlenmesi ve çarpımlarının bulunması
x=log⁡abx = \log_a b, y=log⁡bcy = \log_b c, z=log⁡caz = \log_c a olsun. Taban değiştirme zincir kuralı gereği x⋅y⋅z=1x \cdot y \cdot z = 1 olur.
Denklemleri cebirsel değişkenlere indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
2
İkinci denklem yardımıyla ikişerli çarpımların toplamının bulunması
1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=132  ⟹  xy+yz+zx=132\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{13}{2} \implies xy + yz + zx = \frac{13}{2} elde edilir.
Cebirsel özdeşliklerde kullanılacak olan ikişerli çarpım toplamını elde etmek.
3
Küpler toplamı özdeşliğinin kurulması
x3+y3+z3=(x+y+z)3−3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyzx^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz özdeşliği kurulur.
İstenen ifade olan x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 toplamını bilinen değerler cinsinden ifade etmek.
4
Değerlerin yerine yazılarak sonucun hesaplanması
63−3⋅6⋅132+3⋅1=216−117+3=1026^3 - 3 \cdot 6 \cdot \frac{13}{2} + 3 \cdot 1 = 216 - 117 + 3 = 102 bulunur.
Dört işlem hesaplaması ile nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özellikleri ve cebirsel özdeşliklerin ortak kullanımı
Soru 73Soru →
x2−2xy=3xx^2 - 2xy = 3x
2x−3y=32x - 3y = 3
denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Elde edilen farklı x+yx + y değerlerinin toplamı −7-7 olur.
Denklem sistemindeki birinci denklem çarpanlarına ayrıldığında x(x−2y−3)=0x(x - 2y - 3) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin sağlanması için x=0x = 0 veya x=2y+3x = 2y + 3 olmalıdır. x=0x = 0 için ikinci denklemden y=−1y = -1 bulunur ve bu durumda x+y=−1x + y = -1 olur. x=2y+3x = 2y + 3 için ikinci denklemden y=−3y = -3 ve x=−3x = -3 bulunur ve bu durumda x+y=−6x + y = -6 olur. Farklı x+yx + y değerlerinin toplamı ise (−1)+(−6)=−7(-1) + (-6) = -7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklem tüm terimler sol tarafta toplanarak ortak paranteze alınır.
x2−2xy−3x=0  ⟹  x(x−2y−3)=0x^2 - 2xy - 3x = 0 \implies x(x - 2y - 3) = 0
İki bilinmeyenli denklem sistemini daha basit doğrusal çarpanlara ayırmak için.
2
Birinci çarpan olan x=0x = 0 durumu ikinci denklemde yerine yazılır.
2(0)−3y=3  ⟹  −3y=3  ⟹  y=−12(0) - 3y = 3 \implies -3y = 3 \implies y = -1 bulunur. Buradan birinci çözüm (0,−1)(0, -1) olur.
Birinci çarpanın sıfır olma durumuna karşılık gelen y değerini bulmak için.
3
İkinci çarpan olan x−2y−3=0  ⟹  x=2y+3x - 2y - 3 = 0 \implies x = 2y + 3 ifadesi ikinci denklemde yerine yazılır.
2(2y+3)−3y=3  ⟹  4y+6−3y=3  ⟹  y=−32(2y + 3) - 3y = 3 \implies 4y + 6 - 3y = 3 \implies y = -3 bulunur. Buradan x=2(−3)+3=−3x = 2(-3) + 3 = -3 elde edilerek ikinci çözüm (−3,−3)(-3, -3) olur.
İkinci çarpanın sıfır olma durumuna karşılık gelen ortak çözümü bulmak için.
4
Elde edilen çözüm ikilileri için x+yx + y değerleri hesaplanır ve toplanır.
(0,−1)(0, -1) için x+y=−1x + y = -1 ve (−3,−3)(-3, -3) için x+y=−6x + y = -6 olur. Bu değerlerin toplamı (−1)+(−6)=−7(-1) + (-6) = -7 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen farklı x+yx+y değerlerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle ortak çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 74Soru →
f(x)=log⁡(x−3)2(x2−16)+log⁡10−x(x−2x−5)f(x) = \log_{(x-3)^2}(x^2 - 16) + \log_{10-x}\left(\frac{x-2}{x-5}\right)
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 21'dir.
Logaritma tanım kuralları eksiksiz uygulandığında en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar 6, 7 ve 8 olarak belirlenir ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimin taban ve arg��man koşullarını belirleme
Taban için x∉{2,3,4}x \notin \{2, 3, 4\}; argüman için x∈(−∞,−4)∪(4,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifade ise pozitif olmalıdır.
2
İkinci terimin taban koşulunu belirleme
x<10x < 10 ve x≠9x \neq 9
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
3
İkinci terimin rasyonel argüman koşulunu belirleme
x<2x < 2 veya x>5x > 5
Rasyonel ifadenin işareti incelenerek pozitif olduğu aralıklar bulunur.
4
Koşulların kesişimini alma ve pozitif tam sayıları bulma
Pozitif tam sayılar: 6,7,86, 7, 8
Tüm aralıkların kesişim kümesindeki pozitif tam sayılar tespit edilir.
5
Toplamı hesaplama
21
Bulunan tam sayıların toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritma tanım kuralları (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) ile rasyonel/eşitsizlik sistemlerinin çözümü bir arada uygulanır.
Soru 75Soru →
xlog⁡2x=8x2x^{\log_2 x} = 8x^2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 4'tür.
Verilen denklemde her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x eşitliğine ulaşılır. Burada log⁡2x=t\log_2 x = t değişken değiştirmesi yapıldığında t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=3t = 3 ve t=−1t = -1 olarak bulunur. Köklerin orijinal denklemdeki karşılıkları x=23=8x = 2^3 = 8 ve x=2−1=1/2x = 2^{-1} = 1/2 değerleridir. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi koşullarını sağladığından denklemin kökleridir. Bu değerlerin çarpımı ise 8⋅(1/2)=48 \cdot (1/2) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(xlog⁡2x)=log⁡2(8x2)\log_2\left(x^{\log_2 x}\right) = \log_2(8x^2)
Taban ve üs kısımlarında değişken bulunması nedeniyle, logaritmanın özelliklerini kullanarak üssü başa indirebilmek için her iki tarafın logaritması alınır.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirin.
(log⁡2x)⋅(log⁡2x)=log⁡28+log⁡2(x2)  ⟹  (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2 8 + \log_2(x^2) \implies (\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x
log⁡a(bc)=c⋅log⁡ab\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b ve log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c kuralları uygulanarak üsler çarpan olarak başa alınır ve çarpım biçimindeki argümanlar toplama dönüştürülür.
3
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklem elde edin.
t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0
Ortak terim olan log⁡2x\log_2 x ifadesi yerine tt yazılarak denklem bilinen ikinci dereceden denklem formuna getirilir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak tt değerlerini bulun.
(t−3)(t+1)=0  ⟹  t1=3 ve t2=−1(t - 3)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 3 \text{ ve } t_2 = -1
Çarpımları -3 ve toplamları -2 olan sayılar -3 ve 1 olduğundan denklem çarpanlarına ayrılarak kökler hesaplanır.
5
tt değerlerini yerine koyarak xx değerlerini ve bunların çarpımını hesaplayın.
log⁡2x1=3  ⟹  x1=23=8\log_2 x_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8
log⁡2x2=−1  ⟹  x2=2−1=12\log_2 x_2 = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}
x1⋅x2=8⋅12=4x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4
Bulunan tt değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak (x>0x > 0 koşulunu her iki değer de sağlar) xx değerlerine dönüştürülür ve kökler çarpımı bulunur.

Anahtar Kavram

Üslü logaritmik denklemlerde her iki tarafın uygun tabanda logaritmasını alma ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla ikinci dereceden denklem çözümü yapma.
Soru 76Soru →
f(x)=log⁡15−x(x2−6x−16)f(x) = \log_{15 - x}(x^2 - 6x - 16)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Doğru cevap 55'tir. Bu değer, tanım kümesini oluşturan pozitif tam sayıların (9, 10, 11, 12, 13) toplamıdır.
Logaritma tanımı gereği, taban 15−x>015 - x > 0 ve 15−x≠115 - x \neq 1 koşullarını sağlarken, argüman da x2−6x−16>0x^2 - 6x - 16 > 0 koşulunu sağlamalıdır. Bu koşulları sağlayan pozitif tam sayılar 9,10,11,12,139, 10, 11, 12, 13 olup, toplamları 55 değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın içinin pozitif olma koşulunu belirleyelim.
x2−6x−16>0x^2 - 6x - 16 > 0 eşitsizliğinden (x−8)(x+2)>0(x - 8)(x + 2) > 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=8x = 8'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−∞,−2)∪(8,∞)(-\infty, -2) \cup (8, \infty) bulunur.
Bir logaritma ifadesinde logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın taban koşullarını belirleyelim.
Taban 15−x>0  ⟹  x<1515 - x > 0 \implies x < 15 olmalıdır. Ayrıca taban 1'den farklı olmalıdır: 15−x≠1  ⟹  x≠1415 - x \neq 1 \implies x \neq 14.
Logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır.
3
Elde edilen koşulların kesişimini alıp pozitif tam sayıları bulalım.
Kesişim kümesi: ((8,∞)∩(−∞,15))∖{14}=(8,15)∖{14}((8, \infty) \cap (-\infty, 15)) \setminus \{14\} = (8, 15) \setminus \{14\} aralığıdır. (Pozitif tam sayılar istendiğinden (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı elenir). Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 9,10,11,12,139, 10, 11, 12, 13'tür.
En geniş tanım kümesindeki elemanlar tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.
4
Belirlenen pozitif tam sayıların toplamını hesaplayalım.
9+10+11+12+13=559 + 10 + 11 + 12 + 13 = 55
Soru kökünde en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif (f(x)>0f(x) > 0), tabanın pozitif ve 1'den farklı (g(x)>0g(x) > 0, g(x)≠1g(x) \neq 1) olması koşullarının kesişimi alınmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 77Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
g(x)=f(x−2)+kg(x) = f(x - 2) + k
olarak tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği x=ax = a doğrusuna göre simetriktir.

f(−2)=5f(-2) = 5 ve g(4)=8g(4) = 8 olduğuna göre, a+ka + k toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Doğru cevap olan 5 değeri, f fonksiyonunun çift fonksiyon özelliğinden f(2) = f(-2) = 5 eşitliği ve g(x) = f(x-2) + k dönüşümünde simetri ekseninin x = 2 doğrusuna ötelenmesiyle (a = 2) bulunur. Buradan g(4) = f(2) + k = 5 + k = 8 eşitliğinden k = 3 elde edilir ve a + k = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine (y-eksenine) göre simetrik olduğundan ff bir çift fonksiyondur ve her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Buradan f(2)=f(−2)=5f(2) = f(-2) = 5 elde edilir.
Verilen f(−2)=5f(-2) = 5 değerini f(2)f(2) değerine dönüştürmek için çift fonksiyon özelliği kullanılır.
2
gg fonksiyonunun simetri eksenini bulma.
f(x)f(x) fonksiyonunun simetri ekseni x=0x = 0 doğrusudur. g(x)=f(x−2)+kg(x) = f(x-2) + k fonksiyonu, ff fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ve kk birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemezken, 2 birim sağa öteleme simetri eksenini x=2x = 2 doğrusuna taşır. Buradan a=2a = 2 bulunur.
gg fonksiyonunun simetri ekseni olan x=ax = a doğrusundaki aa değerini belirlemek için yatay öteleme kuralı uygulanır.
3
kk sabitini ve a+ka + k toplamını hesaplama.
g(4)=f(4−2)+k  ⟹  g(4)=f(2)+kg(4) = f(4-2) + k \implies g(4) = f(2) + k yazılır. g(4)=8g(4) = 8 ve f(2)=5f(2) = 5 değerleri yerine konulduğunda 8=5+k  ⟹  k=38 = 5 + k \implies k = 3 bulunur. Buradan a+k=2+3=5a + k = 2 + 3 = 5 elde edilir.
g(4)g(4) bilgisi kullanılarak kk sabiti çözülür ve istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki davranışları.

Alternatif Yöntem

Öteleme kurallarını doğrudan grafik üzerinde canlandırarak da sonuca ulaşılabilir. y = f(x) çift fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre simetriktir. Bu grafiğin her bir noktasını 2 birim sağa kaydırdığımızda, simetri ekseni de 2 birim sağa kayarak x = 2 doğrusu olur. Grafiği yukarı veya aşağı kaydırmak simetri ekseninin yerini değiştirmediğinden a = 2 doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 78Soru →
log⁡x−1(x2−5x+6)+log⁡x−1(x+2)=log⁡x−1(2x2−8x+8)\log_{x-1}(x^2 - 5x + 6) + \log_{x-1}(x + 2) = \log_{x-1}(2x^2 - 8x + 8)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}

Cevap

Denklemin tek geçerli kökünü içeren seçenektir.
Verilen denklemin çözümünde logaritma tanım kümesi kuralları (taban pozitif ve 1'den farklı, logaritma içi pozitif) uygulandığında çözüm aralığı (1,2)∪(3,∞)(1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur. Logaritma toplama özelliği yardımıyla elde edilen x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 denkleminin köklerinden sadece 3+172\frac{3+\sqrt{17}}{2} değeri bu aralıkta yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve (x−2)(x−3)>0(x-2)(x-3) > 0 koşullarından ortak tanım kümesi D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanları ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirin ve argümanları eşitleyin.
(x2−5x+6)(x+2)=2x2−8x+8(x^2 - 5x + 6)(x + 2) = 2x^2 - 8x + 8 denklemi elde edilir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak (x−2)(x−3)(x+2)=2(x−2)2(x-2)(x-3)(x+2) = 2(x-2)^2 olur.
log⁡b(A)+log⁡b(B)=log⁡b(A⋅B)\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B) kuralı uygulanır.
3
Denklemi sadeleştirip ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin.
x≠2x \neq 2 olduğundan her iki taraf (x−2)(x-2) ile sadeleştirilebilir. Buradan (x−3)(x+2)=2(x−2)  ⟹  x2−3x−2=0(x-3)(x+2) = 2(x-2) \implies x^2 - 3x - 2 = 0 elde edilir.
x=2x = 2 değeri tanım kümesinde olmadığından sadeleştirme işlemi kök kaybına yol açmaz.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yardımıyla bulun.
x1=3−172x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} ve x2=3+172x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} kökleri bulunur.
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} formülü ile hesaplanır.
5
Bulunan köklerin tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edin.
x1≈−0.56∉Dx_1 \approx -0.56 \notin D olduğundan elenir. x2≈3.56∈Dx_2 \approx 3.56 \in D olduğundan denklemin tek köküdür. Çözüm kümesi {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\} olur.
Aday köklerin başlangıçta belirlenen D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) tanım kümesine ait olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde tanım kümesi kontrolü ve logaritma özelliklerinin uygulanması.
Soru 79Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 4)^2(x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−3x−10≤0x^2 - 3x - 10 \le 0
eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

E��itsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sisteminin her iki bileşeni ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} aralığı, ikinci eşitsizlikten ise [−2,5][-2, 5] aralığı elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar olan -1, 0, 1 ve 4 değerlerinin toplamı 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosuna göre çözüm aralığını belirleme.
Çözüm aralığı [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeleri saptamak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırıp köklerini saptama ve çözüm aralığını bulma.
Çözüm aralığı [−2,5][-2, 5] olarak bulunur.
İkinci ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeyi saptamak.
3
Bulunan iki çözüm kümesinin kesişimini alma.
Ortak çözüm kümesi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} şeklinde belirlenir.
Sistemdeki her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerleri bulmak.
4
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
Toplama işlemi: (−1)+0+1+4=4(-1) + 0 + 1 + 4 = 4 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin çift katlı kök analizi, payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 80Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AD∣=4 birim|AD| = 4\text{ birim}
∣BD∣=∣DC∣=5 birim|BD| = |DC| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 152\frac{15}{2}

Cevap

15/2 birim
Doğru olan 15/2 değeri, birinci üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak elde edilen kosinüs değerinin, ikinci üçgende bütünler açı kuralı (−cos⁡(α)-\cos(\alpha)) ile yerine yazılması ve Kosinüs Teoremi'nin ikinci kez doğru bir şekilde uygulanmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde m(ADB^)=αm(\widehat{ADB}) = \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\alpha)
62=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(α)6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)
36=16+25−40cos⁡(α)36 = 16 + 25 - 40\cos(\alpha)
40cos⁡(α)=5  ⟹  cos⁡(α)=1840\cos(\alpha) = 5 \implies \cos(\alpha) = \frac{1}{8}
Bilinmeyen ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak için komşu BDCBDC üçgeninde kullanılacak açının kosinüs değerini elde etmek.
2
AA, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡(α)=−18\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\frac{1}{8}
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olması kuralını uygulamak.
3
BCDBCD üçgeninde m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣BC∣=x|BC| = x uzunluğu hesaplanır.
x2=∣BD∣2+∣CD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(180∘−α)x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(180^\circ - \alpha)
x2=52+52−2⋅5⋅5⋅(−18)x^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)
x2=25+25+508=50+254=2254x^2 = 25 + 25 + \frac{50}{8} = 50 + \frac{25}{4} = \frac{225}{4}
x=2254=152x = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}
BCDBCD üçgeninin iki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinden Kosinüs Teoremi ile üçüncü kenarı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir. Ayrıca doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüs değerleri birbirinin zıt işaretlisidir.

Alternatif Yöntem

Bu soru Stewart Teoremi kullanılarak da çözülebilir. Stewart Teoremi formülü:

∣BD∣2=∣AB∣2⋅∣DC∣+∣BC∣2⋅∣AD∣∣AC∣−∣AD∣⋅∣DC∣|BD|^2 = \frac{|AB|^2 \cdot |DC| + |BC|^2 \cdot |AD|}{|AC|} - |AD| \cdot |DC|

Değerler formülde yerine yazılırsa:

52=62⋅5+x2⋅49−4⋅55^2 = \frac{6^2 \cdot 5 + x^2 \cdot 4}{9} - 4 \cdot 5
25=180+4x29−2025 = \frac{180 + 4x^2}{9} - 20
45=180+4x2945 = \frac{180 + 4x^2}{9}
405=180+4x2  ⟹  4x2=225  ⟹  x=152405 = 180 + 4x^2 \implies 4x^2 = 225 \implies x = \frac{15}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 4 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin