Tüm alıştırma soruları

Genel terimi

a_n = \begin{cases} 3n - k, & n \text{ tek ise} \\ n^2 - 12n + 32, & n \text{ çift ise} \end{cases}

olan bir

(a_n)

gerçel sayı dizisinin negatif terimlerinin sayısı

4

olduğuna göre,

k

tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

4

15

16

21

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Negatif terim sayısının 4 olmasını sağlayan en küçük

k

tam sayısı 16'dır.

Çift indisli terimler incelendiğinde sadece

a_6

teriminin negatif olduğu görülür. Toplam 4 negatif terim elde edebilmek amacıyla tek indisli terimlerden tam olarak 3 adet negatif terim gelmelidir.

a_n = 3n - k

dizisi artan olduğundan, negatif terimler sırasıyla en küçük tek indisli terimler olan

a_1, a_3

ve

a_5

olmalıdır. Bir sonraki tek indisli terim olan

a_7

ise negatif olmamalıdır. Buradan hareketle

a_5 < 0 \implies k > 15

ve

a_7 \ge 0 \implies k \le 21

eşitsizlikleri elde edilir. Bu aralıkta

k

'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin genel terimi tek ve çift indisler için parçalı olarak tanımlandığından, çift ve tek indisli durumları ayrı ayrı incelemek üzere planlama yapılır.

Çift indisli terimler için

a_n = n^2 - 12n + 32

ve tek indisli terimler için

a_n = 3n - k

ifadeleri kullanılacaktır.

Dizi indislerinin pozitif tam sayılar (

n \in \mathbb{Z}^+

) olması koşuluna uygun terimleri belirlemek.

2

Çift indisli terimlerin hangilerinin negatif olduğunu bulmak için

n^2 - 12n + 32 < 0

eşitsizliği çözülür.

(n-4)(n-8) < 0 \implies 4 < n < 8

bulunur. Bu aralıktaki tek çift pozitif tam sayı

n = 6

olduğundan, çift indisli terimlerden yalnızca

a_6

negatiftir.

Çift terimlerden gelen negatif terim sayısını tam olarak saptamak.

3

Toplam negatif terim sayısı 4 olarak verildiğinden ve bunlardan 1 tanesi çift indisli terimlerden geldiğinden, tek indisli terimlerden tam olarak 3 tanesinin negatif olması gerektiği çıkarımı yapılır.

Tek indisli terimlerden ilk üçü (

a_1, a_3, a_5

) negatif, dördüncü tek terim (

a_7

) ise sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.

a_n = 3n - k

ifadesi

n

arttıkça artan bir dizi oluşturduğundan, negatif terimler en küçük indisliler olmak zorundadır.

4

Tek indisli terimler için belirlenen koşullar eşitsizliğe dökülür.

a_5 < 0 \implies 3(5) - k < 0 \implies k > 15

ve

a_7 \ge 0 \implies 3(7) - k \ge 0 \implies k \le 21

elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirilerek

15 < k \le 21

bulunur.

k

parametresinin alabileceği değer aralığını belirlemek.

5

15 < k \le 21

aralığındaki en küçük

k

tam sayısı tespit edilir.

Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16'dır.

Soruda istenen en küçük

k

tam sayı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması, parçalı tanımlı dizilerde genel terim analizi ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.

Soru 82Soru →

1'den farklı $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için,

x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{3}{2}

olduğuna göre,

\log_x y + \log_y x

ifadesinin değeri kaçtır?

7

\frac{5}{2}

\frac{27}{4}

\frac{19}{4}

\frac{35}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{19}{4}$

Cevap

İfadenin değeri olan 19/4 sayısı doğru cevaptır.

İfadenin doğru değeri, taban değiştirme ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp elde edilen

u \cdot v = 3

ve

u + v = 9/2

değerlerinin,

\log_x y + \log_y x = \frac{u^2 + v^2}{uv}

ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 19/4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri sadeleştirmek.

x^{\log_2 y} = y^{\log_2 x}

olduğundan,

x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 2 \cdot y^{\log_2 x} = 16 \implies y^{\log_2 x} = 8

elde edilir.

Taban ile logaritmanın argümanının yer değiştirebilmesi özelliğinden yararlanarak iki terimi tek bir terim cinsinden yazmak.

2

Elde edilen

y^{\log_2 x} = 8

denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.

\log_2(y^{\log_2 x}) = \log_2 8 \implies \log_2 x \cdot \log_2 y = 3

bulunur.

Üstel ifadeyi logaritma çarpımı haline getirmek.

3

İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulamak.

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

ve

\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y}

olduğundan,

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Farklı tabanlardaki logaritmaları ortak bir tabana (2 tabanına) dönüştürmek.

4

Değişken değiştirme yaparak denklem sistemini çözmek.

u = \log_2 x

ve

v = \log_2 y

olsun.

u \cdot v = 3

ve

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{2} \implies \frac{u+v}{uv} = \frac{3}{2} \implies u+v = \frac{9}{2}

elde edilir.

Logaritmik ifadeleri sadeleştirip cebirsel bir sistem kurmak.

5

İstenen

\log_x y + \log_y x

ifadesini

u

ve

v

cinsinden yazıp hesaplamak.

\log_x y + \log_y x = \frac{v}{u} + \frac{u}{v} = \frac{u^2 + v^2}{uv} = \frac{(u+v)^2 - 2uv}{uv}

olur. Değerler yerine yazıldığında

\frac{(9/2)^2 - 2(3)}{3} = \frac{81/4 - 6}{3} = \frac{57/4}{3} = \frac{19}{4}

bulunur.

Cebirsel özdeşlikler ve taban değiştirme yardımıyla sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri ve Taban Değiştirme Kuralları

Soru 83Soru →

x > 0

olmak üzere,

\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3

denklemini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1; x = 1

Cevap

1

Verilen denklemde

\arctan(2x) = a

ve

\arctan(x) = b

dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde

2x^2 - x - 1 = 0

denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen

x = 1

değeri,

x > 0

koşulunu sağlayan tek köktür.

Adım Adım Çözüm

1

Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için

\arctan(2x) = a

ve

\arctan(x) = b

olarak adlandırın.

\tan(a) = 2x

ve

\tan(b) = x

eşitlikleri elde edilir.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği

\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u

ilişkisi kullanılır.

2

Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.

\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3

olur. Değerleri yerine koyduğumuzda

\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3

elde edilir.

Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan

\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}

ifadesinden yararlanılır.

3

Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.

\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0

olur.

İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.

Denklemin her iki tarafı da

3

ile bölünürse

2x^2 - x - 1 = 0

elde edilir. Bu ifade

(2x + 1)(x - 1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler

x = -\frac{1}{2}

ve

x = 1

olarak bulunur.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

5

x > 0

koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.

x = 1

olarak bulunur.

Soruda başlangıçta

x

değerinin pozitif olduğu (

x > 0

) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.

Soru 84Soru →

\log_x(10-x) - \log_{10-x}(x^3) = 2

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

2

7

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 12'dir.

Denklemin logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi sonucunda elde edilen reel kökler 2,

5-2\sqrt{6}

ve

5+2\sqrt{6}

değerleridir. Bu köklerin hepsi logaritmanın tanım kümesi şartlarını (tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın pozitif olması) sağlamaktadır. Bu üç kökün toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesini belirlemek.

Tanım kümesi

x \in (0, 10) \setminus \{1, 9\}

olarak bulunur.

Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Buradan

x > 0

,

x \neq 1

,

10-x > 0 \implies x < 10

ve

10-x \neq 1 \implies x \neq 9

elde edilir.

2

Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi düzenlemek.

\log_x(10-x) - 3\log_{10-x}(x) = 2

denklemi elde edilir.

\log_{10-x}(x^3) = 3\log_{10-x}(x)

özelliği kullanılarak denklem daha basit hale getirilir.

3

Değişken değiştirme uygulamak.

u^2 - 2u - 3 = 0

denklemi elde edilir.

\log_{10-x}(x) = \frac{1}{\log_x(10-x)}

olduğundan,

\log_x(10-x) = u

dönüşümü yapılarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur.

4

İkinci dereceden denklemi çözerek

u

değerlerini bulmak.

u = 3

ve

u = -1

değerleri bulunur.

u^2 - 2u - 3 = (u-3)(u+1) = 0

çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülür.

5

Her bir

u

değeri için

x

değerlerini bulmak ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.

x = 2

,

x = 5 + 2\sqrt{6}

ve

x = 5 - 2\sqrt{6}

kökleri bulunur.

u=3

için

x^3 = 10-x \implies (x-2)(x^2+2x+5)=0 \implies x=2

elde edilir.

u=-1

için

x^{-1} = 10-x \implies x^2-10x+1=0 \implies x=5 \pm 2\sqrt{6}

elde edilir. Bulunan tüm değerler tanım kümesindedir.

6

Tüm kökleri toplamak.

2 + (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 12

bulunur.

Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Değişken Değiştirme ve Taban Değiştirme Yöntemleriyle Çözülmesi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 85Soru →

Elemanları gerçel sayılar olan en geniş tanım kümesinde $f(-x) + f(x) = 0$ eşitliğini sağlayan bir $f$ fonksiyonunun grafiği; $x$ -ekseni boyunca sağa doğru 3 birim, $y$ -ekseni boyunca yukarı doğru 5 birim ötelenerek $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

$g$ fonksiyonunun grafiği $(k, m)$ noktasına göre simetrik olduğuna göre, $k \cdot m$ çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

g fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi (3, 5) noktası olup, k ve m değerlerinin çarpımı 15'tir.

f fonksiyonunun tek fonksiyon olmasından dolayı grafiği (0, 0) noktasına göre simetriktir. Yapılan ötelemeler simetri merkezini (3, 5) noktasına taşır. Bu durumda k = 3 ve m = 5 olup çarpımları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme

f fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu ve simetri merkezinin (0, 0) noktası olduğu tespit edilir.

Her x için f(-x) + f(x) = 0 olması, f(-x) = -f(x) özelliğini sağlar ve tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

2

Öteleme dönüşümü altında simetri merkezinin yeni koordinatlarını bulma

g fonksiyonunun simetri merkezinin (3, 5) noktası olduğu belirlenir.

Grafiğin sağa 3 birim ve yukarı 5 birim ötelenmesi, simetri merkezinin de x bileşeninin 3, y bileşeninin 5 artmasına neden olur.

3

k * m çarpımını hesaplama

k * m = 3 * 5 = 15 olarak bulunur.

Simetri merkezinin koordinatları k = 3 ve m = 5 olarak eşleştirilir ve bu değerler çarpılır.

Anahtar Kavram

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir ve öteleme dönüşümleri simetri merkezini aynı doğrultuda kaydırır.

Soru 86Soru →

\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{8}{3}

olduğuna göre,

\tan \theta

değeri kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

2

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

\frac{1}{3}

Verilen ifade iki kare farkı ve yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde

\tan(2\theta) = \frac{3}{4}

elde edilir. Tanjant yarım açı formülüyle kurulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve açının

\left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığında olduğu (yani tanjant değerinin pozitif olduğu) dikkate alındığında doğru değer

\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki

\cos^4 \theta - \sin^4 \theta

ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.

(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos(2\theta) \cdot 1 = \cos(2\theta)

Trigonometrik yarım açı ve temel özdeşlik kurallarını kullanarak ifadeyi basitleştirmek.

2

Paydadaki

\sin \theta \cos \theta

ifadesini sinüs yarım açı formülü yardımıyla düzenleyin.

\frac{1}{2}\sin(2\theta)

Payda kısmını tek bir açın��n (

2\theta

) trigonometrik oranı cinsinden yazmak.

3

Elde edilen sonuçları denklemde yerine yazarak

\tan(2\theta)

değerini bulun.

\frac{\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = \frac{8}{3} \implies 2\cot(2\theta) = \frac{8}{3} \implies \cot(2\theta) = \frac{4}{3} \implies \tan(2\theta) = \frac{3}{4}

Tanjant yarım açı formülünü uygulayabilmek için

\tan(2\theta)

değerine ulaşmak.

4

Tanjant yarım açı formülünü kullanarak

\tan\theta = t

değişkeni için bir denklem kurun ve bu denklemi çözün.

\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{3}{4} \implies 8t = 3 - 3t^2 \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0

Buradan

t = \frac{1}{3}

veya

t = -3

bulunur.

\tan(2\theta)

değerinden yarım açı formülüyle

\tan\theta

değerine geçiş yapmak.

5

Verilen

\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığını göz önünde bulundurarak doğru tanjant değerini seçin.

\theta

açısı birinci bölgede olduğundan

\tan\theta > 0

olmalıdır. Bu nedenle

t = \frac{1}{3}

değeri alınır.

Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonun işaretini belirlemek.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denklemler yardımıyla yarım açının trigonometrik değerinin bulunması.

Soru 87Soru →

$x$ ve $y$ birer dar açı olmak üzere,

3\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2

\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x - y$ farkı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla

\sin(x-y) = \frac{1}{2}

elde edilir.

x

ve

y

dar açılar olduğundan

x-y = 30^\circ

bulunur.

Verilen iki denklem

u = \sin x \cos y

ve

v = \cos x \sin y

değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür:

3u + v = 2

ve

u + 3v = 1

. Bu sistem çözüldüğünde

u = 5/8

ve

v = 1/8

bulunur. Sinüs fark formülü

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

olduğundan,

\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2

olur.

x

ve

y

dar açılar olduğu için

-90^\circ < x-y < 90^\circ

olup bu aralıkta sinüsü

1/2

olan tek açı

30^\circ

derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

u = \sin x \cos y

ve

v = \cos x \sin y

değişken tanımlamaları yapılır.

Sistem

3u + v = 2

ve

u + 3v = 1

biçimini alır.

Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.

2

Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

u = \frac{5}{8}

ve

v = \frac{1}{8}

bulunur.

Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.

3

Sinüsün fark formülü olan

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.

\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

elde edilir.

İstenen

x-y

açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.

4

x

ve

y

dar açılar olduğundan

-90^\circ < x-y < 90^\circ

aralığı göz önüne alınarak

x-y

değeri belirlenir.

x-y = 30^\circ

bulunur.

Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri

\frac{1}{2}

olan uygun açıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki açının farkının sinüs açılımı formülü:

\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

.

Soru 88Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \log_{\frac{x-2}{10-x}}(x^2 - 25)

fonksiyonunu tanımlı kılan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İlgili koşulların kesişimi alındığında fonksiyonu tanımlı yapan tam sayılar 7, 8 ve 9 olup bu sayıların toplamı 24'tür.

Fonksiyonun tanımlı olması için

x^2-25>0

,

\frac{x-2}{10-x}>0

ve

\frac{x-2}{10-x}\neq1

şartlarının kesişimi alınmalıdır. Bu kesişim

(5, 10) \setminus \{6\}

kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar 7, 8 ve 9 olup toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Argümanın pozitiflik şartını belirlemek

x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)

Logaritma tanımı gereği, logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır (

x^2 - 25 > 0

).

2

Tabanın pozitiflik şartını belirlemek

x \in (2, 10)

Logaritma tanımı gereği, logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır (

\frac{x-2}{10-x} > 0

).

3

Tabanın 1'den farklı olma şartını incelemek

x \neq 6

Logaritma tanımı gereği, taban 1 değerine eşit olamaz (

\frac{x-2}{10-x} \neq 1

).

4

Bulunan tüm koşulların kesişimini alıp tam sayı değerlerini toplamak

Tanım kümesi

(5, 10) \setminus \{6\}

ve toplam

7 + 8 + 9 = 24

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm şartların eş zamanlı olarak sağlanması gerekir. Bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, argümanın ise pozitif olması şartları birlikte incelenir.

Soru 89Soru →

\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök

7

olduğundan, kökler toplam��

7

dir.

Denklemin tek gerçel kökü olan

7

değeri tanım aralığı olan

x > 3

koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme

x > 3

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme

\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)

Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.

3

Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme

x = 7

veya

x = -2

x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0

olur.

4

Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme

x = 7

geçerli kök,

x = -2

geçersiz kök

x = -2

değeri

x > 3

tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.

Soru 90Soru →

$(a_n)$ bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi $2$ olduğuna göre, $k$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 175

Cevap

Dizinin en büyük terimi

n = 4

veya

n = 5

için elde edilir ve bu durumda

k

değeri 175 olarak bulunur.

Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek

Paydadaki

2n^2 - 18n + 47

ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.

Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.

2

Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak

r = 4,5

2x^2 - 18x + 47

parabolünün tepe noktası

x = -\frac{b}{2a}

formülüyle bulunur.

3

Dizi tanım kümesi sınırını (

n \in \mathbb{Z}^+

) uygulamak

n = 4

veya

n = 5

değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri:

2(4)^2 - 18(4) + 47 = 7

Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden

4,5

değerine en yakın tam sayılar olan

4

ve

5

incelenir.

4

Maksimum terim değerini kullanarak

k

değerini hesaplamak

k = 175

a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175

eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi (

n \in \mathbb{Z}^+

) ve genel terim özellikleri

Soru 91Soru →

Pozitif terimli bir

(a_n)

dizisinde her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n

bağıntısı sağlanmaktadır.

$a_1 = 12$ olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi olan $a_6$ kaçtır?

\frac{12}{5}

3

4

2

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin altıncı terimi 2'dir.

Verilen

a_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n

indirgeme bağıntısında

n

yerine sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yazılıp elde edilen eşitlikler taraf tarafa çarpıldığında, eşitliğin her iki tarafındaki

a_2, a_3, a_4, a_5

terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan

a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1

eşitliğinde

a_1 = 12

değeri yerine yazıldığında sonuç 2 olarak bulunur. Bu durum 2 değerinin yer aldığı seçeneği doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen indirgeme bağıntısını

n=1

değerinden başlayarak

n=5

değerine kadar yazalım.

n=1

için:

a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1

n=2

için:

a_3 = \frac{2}{3} \cdot a_2

n=3

için:

a_4 = \frac{3}{4} \cdot a_3

n=4

için:

a_5 = \frac{4}{5} \cdot a_4

n=5

için:

a_6 = \frac{5}{6} \cdot a_5

İstenen terim olan

a_6

'ya ulaşmak için ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmamız gerekir.

2

Elde edilen bu eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.

a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5)

Çarpımsal indirgemeli dizilerde terimleri sadeleştirmek için taraf tarafa çarpma yöntemi (teleskopik çarpım) kullanılır.

3

Eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri (

a_2, a_3, a_4, a_5

) ve rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki ortak çarpanları sadeleştirelim.

a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1

Sadeleştirmeler sonucunda dizinin altıncı terimi ile birinci terimi arasında doğrudan bir ilişki kalır.

4

a_1 = 12

değerini yerine yazarak

a_6

değerini hesaplayalım.

a_6 = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2

Başlangıç koşulu kullanılarak aranan terimin sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpımsal indirgemeli dizilerde teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemi kullanılarak genel terim veya belirli bir terim elde edilir.

Soru 92Soru →

Bir psikolog, yeni bir işe başlayan bireylerin uyum sürecindeki stres düzeylerini incelemektedir. Bu amaçla katılımcıların kalp atış hızlarını kaydetmiş, kaygı anındaki terleme oranlarını ölçmüş ve yüz ifadelerindeki değişimleri videoya almıştır. Araştırmacı, katılımcıların doğrudan erişilemeyen öznel iç dünyalarını tahmin etmek yerine, d��şarıdan izlenebilen ve kaydedilebilen somut tepkileri veri kabul etmiştir.

Bu araştırmacının yaklaşımı, psikolojinin bir bilim dalı olarak öncelikle hangi ölçütlerine dayanmaktadır?

Sezgisellik ve öznellik

Tümdengelim ve soyutlama

Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik

Tarihsellik ve bütünsel sorgulama

Spekülatiflik ve metafiziksel temellendirme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik

Cevap

Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik

Araştırmacının kalp atış hızı ve terleme oranı gibi fiziksel tepkileri kaydetmesi ölçülebilirlik; yüz ifadelerini videoya çekmesi ise gözlenebilirlik ölçütünü doğrudan örneklendirir. Psikoloji biliminin en temel konusu, gözlenebilen ve ölçülebilen bu tür ampirik davranışlardır.

Adım Adım Çözüm

1

Paragraftaki araştırmacının veri toplama yöntemlerini analiz edin.

Araştırmacının kalp atış hızı, terleme oranı ve yüz ifadesi gibi somut verileri kaydettiği görülmektedir.

Soruda araştırmacının hangi verilere yöneldiğini tespit etmek çözüme giden ilk adımdır.

2

Kaydedilen bu verilerin bilimsel ölçütler açısından niteliğini değerlendirin.

Bu veriler dışarıdan doğrudan izlenebilen (gözlenebilirlik) ve araçlarla kaydedilebilen (ölçülebilirlik) özellikler taşımaktadır.

Somut verilerin bilimsel araştırma ölçütlerindeki karşılığını belirlemek gerekir.

3

Ulaşılan özellikleri seçeneklerdeki kavramlarla eşleştirin.

Araştırmacının öznel iç dünyayı bir kenara bırakıp dışarıdan gözlenebilen ve ölçülebilen tepkileri veri kabul etmesi 'Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik' seçeneği ile doğrudan örtüşür.

Psikolojinin felsefeden ayrılarak pozitif bir bilim olmasını sağlayan temel ölçütler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Psikolojinin ölçütleri olan gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik, incelenen konunun ampirik yöntemlerle test edilebilmesini sağlar.

Tahmini Süre:50s

Soru 93Soru →

\frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3}}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{3}$

Cevap

\sqrt{3}

İfadeyi sadeleştirmek için

70^\circ - 10^\circ = 60^\circ

ilişkisi kullanılarak iki açının farkının tanjant formülü uygulanır.

\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ}

eşitliğinde

\tan 60^\circ = \sqrt{3}

yazılarak içler dışlar çarpımı yapıldığında

\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan 70^\circ \tan 10^\circ

elde edilir. Bu değer pay kısmındaki ifadenin yerine yazıldığında pay ve paydadaki

\tan 70^\circ \tan 10^\circ

terimleri sadeleşir ve sonuç karekök üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

70^\circ - 10^\circ = 60^\circ

eşitliğini fark ederek iki açının farkının tanjant formülünü yazmak.

\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ}

Verilen ifadedeki

\tan 70^\circ

ve

\tan 10^\circ

terimleri arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için fark formülü kullanılır.

2

\tan 60^\circ = \sqrt{3}

değerini formülde yerine koyup içler dışlar çarpımı yapmak.

\sqrt{3} + \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ = \tan 70^\circ - \tan 10^\circ

Bilinen bir açının tanjant değerini kullanarak denklem oluşturulur.

3

Elde edilen eşitliği düzenleyerek sorudaki pay kısmına benzetmek.

\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ

Pay kısmındaki ifadenin yerine

\tan 70^\circ \tan 10^\circ

cinsinden eşiti yazılmak istenir.

4

Bulunan bu eşiti orijinal kesirli ifadede pay kısmına yazıp sadeleştirme işlemini tamamlamak.

\frac{\sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} = \sqrt{3}

Ortak terimler sadeleştirilerek ifadenin en sade sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjant formülü:

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Soru 94Soru →

Genel terimi

a_n = \frac{n^2 - 9n + 14}{2n^2 - 11n + 20 - k}

olan

(a_n)

ifadesi bir gerçel sayı dizisi belirttiğine göre,

k

pozitif tam sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

12

10

6

9

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 değeri k için kullanılamaz çünkü bu değer dizinin ikinci terimini tanımsız yapmaktadır.

6 değeri k yerine yazıldığında payda ifadesinin köklerinden biri n = 2 pozitif tam sayısı olur. Bu durumda dizinin ikinci terimi olan a_2 tanımsız olacağından ifade bir gerçel sayı dizisi belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1

Dizi tanımından yola çıkarak genel terimin tanımsız olduğu durumları belirleme.

Bir

(a_n)

ifadesinin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her

n \in \mathbb{Z}^+

için tanımlı bir gerçel sayıya eşit olması gerekir. Rasyonel bir ifadenin tanımsız olması paydasının sıfır olmasına bağlıdır. Bu nedenle

2n^2 - 11n + 20 - k = 0

denkleminin pozitif tam sayılarda kökü olmamalıdır.

Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır.

2

Seçeneklerdeki değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını analiz etme.

6 değeri incelenir.

k = 6

için payda

2n^2 - 11n + 14

olur. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırırsak:

(2n - 7)(n - 2) = 0

elde edilir. Buradan kökler

n = 2

ve

n = \frac{7}{2}

bulunur.

Paydayı sıfır yapan

n

değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

3

Bulunan köklerin dizi terimi indisleriyle uyuşup uyuşmadığını ve belirsizlik durumunu kontrol etme.

n = 2

bir pozitif tam sayı olduğundan dizinin ikinci terimi olan

a_2

hesaplanırken payda sıfır olur. Pay ise

2^2 - 9(2) + 14 = 0

olur. Bu durumda

a_2 = \frac{0}{0}

belirsizliği oluşur. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyonun tanım kümesindeki

n = 2

değeri için başlangıçtaki kural tanımsızdır. Dolayısıyla

a_2

bir gerçel sayı belirtmez.

Sadeleştirilebilir belirsizlik durumları bile ifadenin o noktada tanımsız olmasını engellemez.

4

Diğer seçeneklerin neden dizi belirtmeyi engellemediğini doğrulama.

k = 7, 9, 10, 12

değerleri için

2n^2 - 11n + 20 - k = 0

denkleminin diskriminantı sırasıyla

\Delta = 17, 33, 41, 57

olur. Bu değerler tam kare olmadığından denklemlerin kökleri rasyonel sayı değildir ve dolayısıyla hiçbir pozitif tam sayı değeri paydayı sıfır yapamaz. Bu durumda dizi tanımlı kalır.

Paydanın kökleri pozitif tam sayı değilse dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisi için tanımlı olması gerekir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 95Soru →

Bir

x

gerçel sayısı için,

\frac{x^2 - 4}{x - 3} \le 0

\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 5x} \ge 0

eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Sistemi sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı -5'tir.

Her iki eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulup ortak çözüm kümesi incelendiğinde, ortak aralığın (-\infty, -2] olduğu görülür. Bu aralıktaki en büyük iki negatif tam sayı -2 ve -3 olduğundan toplamları -5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliğin köklerinin bulunması ve işaret incelemesinin yapılması.

Çözüm kümesi: (-\infty, -2] \cup [2, 3)

Sistemin ilk parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek amacıyla kökler bulunup tabloya yerleştirilir.

2

İkinci eşitsizliğin köklerinin bulunması, çift katlı kök ��zelliğine dikkat edilerek işaret incelemesinin yapılması.

Çözüm kümesi: (-\infty, 0) \cup (5, \infty)

Sistemin ikinci parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için payın çift katlı kökü (x = -1) ve paydanın tek katlı kökleri (x = 0, x = 5) incelenir.

3

Elde edilen iki ��özüm kümesinin kesişim kümesinin bulunması.

Ortak çözüm kümesi: (-\infty, -2]

Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.

4

Ortak çözüm kümesindeki en büyük iki negatif tam sayının belirlenip toplanması.

-5

Ortak çözüm kümesindeki negatif tam sayılar -2, -3, -4, ... şeklindedir. En büyük iki tanesi olan -2 ve -3'ün toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Soru 96Soru →

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

x^2 - 3x \le a(x - 3)

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre;
I. $a = 3$ ise eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. $a > 3$ ise eşitsizliği sağlayan en küçük $x$ tam sayısı 3'tür.
III. $a = 0$ ise eşitsizliği sağlayan 4 farklı $x$ tam sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.

Doğru cevap tüm öncüllerin doğru olduğu seçenektir. Çarpanlarına ayrılmış hali (x-3)(x-a) <= 0 olan eşitsizlikte: a=3 için çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır; a > 3 için çözüm aralığı [3, a] olup en küçük tam sayı 3'tür; a=0 için çözüm aralığı [0, 3] olup bu aralıkta 4 farklı tam sayı vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği standart form olan f(x) <= 0 biçimine getirmek için tüm terimleri sol tarafta toplayalım.

x^2 - 3x - a(x - 3) \le 0 \implies x(x-3) - a(x-3) \le 0 \implies (x-3)(x-a) \le 0

elde edilir.

İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesi yapılabilmesi için öncelikle çarpanlarına ayrılması ve köklerinin bulunması gerekir.

2

I. öncülü inceleyelim: a = 3 durumunu ele alalım.

(x-3)(x-3) \le 0 \implies (x-3)^2 \le 0

olur. Bir gerçel sayının karesi negatif olamayacağından, bu eşitsizliği sağlayan tek değer

x = 3

'tür. Çözüm kümesi {3} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Çift katlı köklerde ifadenin işareti kökten geçerken değişmez ve sıfıra eşitlik durumu tek noktada sağlanır.

3

II. öncülü inceleyelim: a > 3 durumunu ele alalım.

Eşitsizliğin kökleri 3 ve a olup, a > 3 olduğundan kökler tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [3, a] kapalı aralığı olur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 3'tür. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin kökleri arasında negatif değerler aldığı bilinmektedir.

4

III. öncülü inceleyelim: a = 0 durumunu ele alalım.

(x-3)(x-0) \le 0 \implies x(x-3) \le 0

olur. Kökler 0 ve 3 olup, çözüm kümesi [0, 3] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0, 1, 2, 3 olmak üzere 4 tanedir. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Kapalı aralıktaki tam sayıların adedi, sınır değerlerin dahil olduğu duruma göre sayılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerinin bulunması, parametreye göre işaret tablosunun oluşturulması ve çift katlı kök analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 97Soru →

Tanımlı olduğu her $x$ gerçek sayısı için,

\frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); \tan(x); tan x; \tan x; tanx; \tanx

Cevap

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.

Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı

\sqrt{3}\sin x

, payda kısmı ise

\sqrt{3}\cos x

olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise

\tan x

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.

\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x

ve

\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x

elde edilir.

Payı basitle��tirmek için

\sin(a-b)

ve

\cos(a-b)

fark formüllerini uygulamak gerekir.

2

Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.

\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x

bulunur.

-\frac{1}{2}\cos x

ve

\frac{1}{2}\cos x

terimleri birbirini sadeleştirir.

3

Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.

\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x

ve

\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x

elde edilir.

Paydayı basitleştirmek için

\cos(a-b)

ve

\sin(a-b)

fark formüllerini uygulamak gerekir.

4

Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.

\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x

bulunur.

Çıkarma işlemi dağıtıldığında

\frac{1}{2}\sin x

terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.

5

Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.

\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

elde edilir.

Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden

\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

bağıntısı kullanılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 98Soru →

Kenar uzunlukları $|AB| = 7\text{ birim}$ , $|AC| = 8\text{ birim}$ ve $|BC| = 5\text{ birim}$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası belirleniyor.

$|BD| = 2\text{ birim}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AD uzunluğu 7 birimdir.

Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük

ABC

üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile

C

açısının kosinüsü

\frac{1}{2}

olarak bulunur. Ardından

D

noktası

[BC]

kenarını

2

ve

3

birimlik iki parçaya ayırdığı için,

ACD

üçgeninde kenarlar

8

birim ve

3

birim, aralarındaki açının kosinüsü ise

\frac{1}{2}

olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak

|AD| = 7

birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

C

açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak

\cos(\widehat{C})

değeri hesaplanır.

|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})

7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})

49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})

80 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2}

(Buradan

m(\widehat{C}) = 60^\circ

bulunur.)

ACD

üçgeninde

|AD|

uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan

C

açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.

2

ACD

üçgeninde

[AD]

kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})

Burada

|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}

'dir.

|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}

|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49

|AD| = 7\text{ birim}

bulunur.

ACD

üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 99Soru →

x

,

y

ve

z

1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2 x + \log_4 (yz) = 2

\log_3 y + \log_9 (xz) = 2

\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, $\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.

Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma tabanlarını eşitleme

\log_2(x^2 y z) = 4

,

\log_3(y^2 x z) = 4

ve

\log_5(z^2 x y) = 4

\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b

ve

\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)

özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.

2

Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme

x^2 y z = 16

,

y^2 x z = 81

ve

z^2 x y = 625

\log_a b = c \iff a^c = b

tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.

3

Denklemleri taraf tarafa çarpma

(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30

Değişkenlerin çarpımını (

xyz

) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.

4

x

ve

y

değişkenlerini bulma

x = \frac{8}{15}

ve

y = \frac{27}{10}

x^2 y z = x(xyz) = 16

ve

y^2 x z = y(xyz) = 81

eşitliklerinde

xyz = 30

değerini yerine yazmak.

5

\frac{y}{x}

oranını ve logaritma değerini hesaplama

\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4

\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4

ve

1,5 = \frac{3}{2}

eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 100Soru →

Bir $(a_n)$ dizisinde her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + n + 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

$a_1 = 3$ olduğuna göre, $a_5$ teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan

a_5

değeri 21'dir.

Verilen indirgeme bağıntısında

n

yerine sırasıyla

1, 2, 3

ve

4

yazıldığında elde edilen denklemler taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir ve

a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6

bağıntısına ulaşılır.

a_1 = 3

olduğundan,

a_5 = 3 + 18 = 21

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İndirgeme bağıntısında

n

yerine sırasıyla

1, 2, 3

ve

4

yazılır.

a_2 = a_1 + 3

,

a_3 = a_2 + 4

,

a_4 = a_3 + 5

ve

a_5 = a_4 + 6

denklemleri elde edilir.

İlk terimden başlanarak ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmak amacıyla bu adımlar uygulanır.

2

Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanarak ortak terimler sadeleştirilir.

a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6

eşitliği elde edilir.

Teleskopik sadeleştirme yöntemiyle aradaki terimleri tek tek hesaplamadan doğrudan

a_5

terimine ulaşmak hedeflenir.

3

a_1 = 3

değeri denklemde yerine yazılır ve toplama işlemi tamamlanır.

a_5 = 3 + 18 = 21

bulunur.

a_5

teriminin nihai sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terimler arası geçiş ve teleskopik (zincirleme) toplama yöntemi.

Tahmini Süre:1m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram