Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 101Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

İfadenin değeri 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenip düzenlendiğinde sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x bağıntısının karesi kullanılarak sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4} değerine ulaşılır. Kosinüs yarım açı formülü cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında sonuç 0.5 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda eşitleme ve temel özdeşliği uygulama
sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}
Rasyonel ifadeleri birleştirmek ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanmak için paydalar eşitlenmiştir.
2
Sinüs yarım açı formülünü uygulama
sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4}
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, ifadenin karesi alınarak sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 x \cos^2 x ifadesi sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazılmıştır.
3
Kosinüs yarım a��ı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(4x)=0.5\cos(4x) = 0.5
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde bulunan değer yerine yazılarak sonuç hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formüllerinin Uygulanması
Soru 102Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x2−3x)+2log⁡2(x−1)−2≤0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2}{\log_2(x-1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 10'dur.
Eşitsizliğin tanım kümesi x>3x > 3 olup, payın kökü x=4x = 4 ve paydanın tanımsızlık noktası x=5x = 5'tir. Bu sınırlar doğrultusunda yapılan işaret tablosunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu en geniş küme (3,4]∪(5,∞)(3, 4] \cup (5, \infty) şeklinde elde edilir. Bu kümede yer alan en küçük iki pozitif tam sayı 4 ve 6'dır. Toplamları ise 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım Kümesinin Belirlenmesi
x2−3x>0⇒x<0x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x < 0 veya x>3x > 3
x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

Her iki şartın kesişimi olan en geniş tanım kümesi: x>3x > 3 aralığıdır.
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Payın Köklerinin Bulunması
log⁡12(x2−3x)+2=0⇒log⁡12(x2−3x)=−2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) = -2
x2−3x=(12)−2=4x^2 - 3x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4
x2−3x−4=0⇒(x−4)(x+1)=0x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) = 0
Buradan kökler x=4x = 4 ve x=−1x = -1 olarak bulunur. Tanım kümemiz x>3x > 3 olduğundan yalnızca x=4x = 4 geçerli bir köktür.
Payın sıfır olduğu noktalar, eşitsizlik ifadesinin işaret değiştirebileceği ve eşitlik durumunda çözüm kümesine dahil edilebilecek kritik noktalardır.
3
Paydanın Köklerinin Bulunması
log⁡2(x−1)−2=0⇒log⁡2(x−1)=2\log_2(x-1) - 2 = 0 \Rightarrow \log_2(x-1) = 2
x−1=22=4⇒x=5x-1 = 2^2 = 4 \Rightarrow x = 5
x=5x = 5 değeri paydayı sıfır yaptığı için ifadeyi tanımsız kılar ve çözüm kümesine dahil edilemez.
Paydanın sıfır olduğu noktalar tanımsızlık noktalarıdır ve işaret tablosunda çift çizgi ile gösterilip çözüm kümesine asla dahil edilmezler.
4
İşaret Tablosunun Oluşturulması ve Çözüm Kümesinin Belirlenmesi
x>3x > 3 tanım aralığında kritik noktalarımız x=4x = 4 ve x=5x = 5'tir.

- 3<x<43 < x < 4 için: Pay pozitif, payda negatif olduğundan bölüm negatiftir (−-).
- x=4x = 4 için: Pay sıfır, payda negatif olduğundan bölüm sıfırdır (00).
- 4<x<54 < x < 5 için: Pay negatif, payda negatif olduğundan bölüm pozitiftir (++).
- x=5x = 5 için: Payda sıfır olduğundan ifade tanımsızdır.
- x>5x > 5 için: Pay negatif, payda pozitif olduğundan bölüm negatiftir (−-).

Bizden ifadenin ≤0\leq 0 olması istendiği için en geniş çözüm kümesi: (3,4]∪(5,∞)(3, 4] \cup (5, \infty) olarak bulunur.
İşaret tablosu yardımıyla rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaretleri analiz edilerek eşitsizliğin sağlandığı bölgeler tespit edilir.
5
En Küçük İki Pozitif Tam Sayının Bulunması ve Toplanması
(3,4](3, 4] aralığındaki tek tam sayı çözümümüz x=4x = 4'tür.
(5,∞)(5, \infty) aralığındaki en küçük tam sayı çözümümüz ise x=6x = 6'dır (x=5x = 5 tanımsızlık nedeniyle dahil değildir).

En küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı: 4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Bulunan en geniş çözüm kümesi üzerindeki en küçük iki pozitif tam sayı tespit edilerek soruda istenen toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 103Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < b < c

Cevap

Doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Üçüncü bölgede sin x ve cos x negatif, tan x ve cot x ise pozitiftir. Buradan a = sin x * tan x (negatif), b = cos x * cot x (negatif) ve c = sin x * cos x (pozitif) olur. Pozitif olan c en büyüktür. Negatif olan a ve b için verilen aralıkta |sin x| > |cos x| olduğundan |a| > |b| olur. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçük olduğundan a < b elde edilir. Böylece doğru sıralama a < b < c olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel fonksiyonların işaretlerini belirleme
x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sin x < 0, cos x < 0, tan x > 0 ve cot x > 0 değerlerini alır.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini doğru analiz etmek için.
2
Verilen a, b ve c ifadelerinin işaretlerini hesaplama
a = sin x * tan x çarpım�� (-) * (+) = (-) olur. b = cos x * cot x çarpımı (-) * (+) = (-) olur. c = sin x * cos x çarpımı (-) * (-) = (+) olur. Dolayısıyla c en büyük değerdir.
Pozitif olan c değerinin negatif olan a ve b değerlerinden daha büyük olduğunu tespit etmek için.
3
Negatif olan a ve b değerlerini kendi içinde kar��ılaştırma
a = sin^2(x)/cos(x) ve b = cos^2(x)/sin(x) şeklinde yazılabilir. Üçüncü bölgede 5pi/4 < x < 3pi/2 aralığı için |sin x| > |cos x| > 0 ve sin^2(x) > cos^2(x) olur. Ayrıca 1/|cos x| > 1/|sin x| olduğundan |a| > |b| elde edilir. İkisi de negatif olduğundan a < b olur.
a ve b sayılarının negatif olduğunu göz önünde bulundurarak mutlak değerleri üzerinden büyüklük ilişkisi kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sıralaması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 104Soru →
Genel terimi
an=log⁡n+2(n+3)a_n = \log_{n+2}(n+3)
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ilk kk teriminin çarpımı olan
a1⋅a2⋅a3⋯ak=3a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_k = 3
eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısı 24 olarak bulunur.
Dizinin terimleri genel terim formülü kullanılarak yazıldığında elde edilen logaritma çarpımı, logaritmadaki zincir kuralıyla sadeleşerek tabanı 3 ve argümanı k+3 olan tek bir logaritma ifadesine dönüşür. Bu ifadenin 3'e eşitlenmesiyle k+3 = 27 denklemi elde edilir ve k = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini yazalım.
a1=log⁡34a_1 = \log_3 4, a2=log⁡45a_2 = \log_4 5, a3=log⁡56a_3 = \log_5 6, ..., ak=log⁡k+2(k+3)a_k = \log_{k+2} (k+3)
Genel terim formülünde n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., k yazarak terimleri elde ederiz.
2
Bu terimlerin çarpımını yazıp sadeleştirelim.
a1⋅a2⋯ak=log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡k+2(k+3)=log⁡3(k+3)a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{k+2} (k+3) = \log_3 (k+3)
Logaritmadaki zincir kuralı (taban değiştirme özelliği) gereğince ardışık terimlerin taban ve argümanları birbirini sadeleştirir.
3
Çarpımın sonucunu 3'e eşitleyip k değerini bulalım.
log⁡3(k+3)=3  ⟹  k+3=33  ⟹  k+3=27  ⟹  k=24\log_3 (k+3) = 3 \implies k+3 = 3^3 \implies k+3 = 27 \implies k = 24
Logaritma tanımını kullanarak üslü ifadeye çeviririz ve bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik dizilerde terimlerin çarpımı ve logaritma zincir kuralı
Soru 105Soru →
tan⁡(2x)−cot⁡(x)=0\tan(2x) - \cot(x) = 0

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı SS radyandır.

Buna göre, Sπ\frac{S}{\pi} oranı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Köklerin toplamının π\pi radyana oranı 1,5'tir.
Denklemin kökleri sinüs ve kosinüs dönüşümleriyle tam olarak incelendiğinde, (0,π)(0, \pi) aralığında π6\frac{\pi}{6}, π2\frac{\pi}{2} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 farklı gerçel kök bulunur. Bu köklerin toplamı 1,5π1,5\pi radyandır. Dolayısıyla bu toplamın π\pi değerine oranı 1,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs oranları olarak yazın.
sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için temel fonksiyonlara dönüştürüyoruz.
2
Paydaları eşitleyerek ortak paydada yazın.
sin⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(2x)cos⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Rasyonel ifadenin sıfıra eşitliğini incelemek için pay ve paydayı belirlemek gerekir.
3
Pay kısmını eksi parantezine alıp kosinüsün toplam formülünü uygulayın.
−cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(2x)sin⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0  ⟹  −cos⁡(3x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0-\frac{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0 \implies -\frac{\cos(3x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Trigonometrik toplam formülü sayesinde payı tek bir kosinüs fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.
4
İfadenin sıfır olması için payı sıfır yapan kökleri bulun.
cos⁡(3x)=0  ⟹  3x=π2+kπ  ⟹  x=π6+kπ3\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}
Bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir.
5
(0,π)(0, \pi) aralığındaki kk tamsayı değerleri için kökleri listeleyin ve tanımlılık kontrolü yapın.
k=0  ⟹  x1=π6k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{6}
k=1  ⟹  x2=π2k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2}
k=2  ⟹  x3=5π6k=2 \implies x_3 = \frac{5\pi}{6}
Bu değerlerin hiçbiri paydayı (yani cos⁡(2x)sin⁡(x)\cos(2x)\sin(x)) sıfır yapmaz, dolayısıyla tanımlıdır.
Bulunan aday köklerin orijinal denklemdeki fonksiyonları tanımsız yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.
6
Bulunan köklerin toplamını hesaplayıp π\pi değerine oranlayın.
S=π6+π2+5π6=9π6=1,5π  ⟹  Sπ=1,5S = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = 1,5\pi \implies \frac{S}{\pi} = 1,5
Soru kökündeki toplam oranını bulmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulma ve tanımlılık kontrolü yapma.
Soru 106Soru →
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡4x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡4x+log⁡4x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_4 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_2 x denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {1,24}\{1, 24\} olmak üzere iki elemanlıdır.
Verilen ifade yanlıştır. Çünkü denklemin x=1x = 1 ve x=24x = 24 olmak üzere iki farklı gerçel kökü vardır; dolayısıyla çözüm kümesi tek elemanlı değil, iki elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanım kümesini belirlemek için logaritma fonksiyonlarının argümanlarını kontrol edin.
x>0x > 0 olmalıdır. Bu durumda x=1x = 1 ve x=24x = 24 gibi pozitif değerler tanım kümesine dahildir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Denklemdeki logaritma terimlerini ortak bir tabana (örneğin doğal logaritma tabanı olan ee'ye) dönüştürün.
ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4=ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3+ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4+ln⁡xln⁡4⋅ln⁡xln⁡2\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} = \frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} + \frac{\ln x}{\ln 4} \cdot \frac{\ln x}{\ln 2}
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Eşitliğin her iki tarafını (ln⁡x)2(\ln x)^2 ortak parantezine alarak kökleri inceleyin.
(ln⁡x)2⋅[ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4−(1ln⁡2⋅ln⁡3+1ln⁡3⋅ln⁡4+1ln⁡4⋅ln⁡2)]=0(\ln x)^2 \cdot \left[ \frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} - \left( \frac{1}{\ln 2 \cdot \ln 3} + \frac{1}{\ln 3 \cdot \ln 4} + \frac{1}{\ln 4 \cdot \ln 2} \right) \right] = 0
Ortak çarpan parantezine alarak denklemi sıfıra eşitleyen kökleri belirlemek.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
İlk çarpan için: (ln⁡x)2=0  ⟹  ln⁡x=0  ⟹  x1=1(\ln x)^2 = 0 \implies \ln x = 0 \implies x_1 = 1. İkinci çarpan için parantez içi sıfıra eşitlendiğinde: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4=ln⁡4+ln⁡2+ln⁡3ln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4  ⟹  ln⁡x=ln⁡(4⋅2⋅3)=ln⁡24  ⟹  x2=24\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} = \frac{\ln 4 + \ln 2 + \ln 3}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} \implies \ln x = \ln(4 \cdot 2 \cdot 3) = \ln 24 \implies x_2 = 24
Çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapılırken kök kaybını önlemek için tanım kümesi kontrolü.
Soru 107Soru →
Bir çözeltinin asitlik derecesini belirten pH değeri ile çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/litre) arasındaki ilişki
pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]
formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, pH değeri 33 olan portakal suyunun hidrojen iyonu derişimi, pH değeri 55 olan sade kahvenin hidrojen iyonu derişiminin kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Portakal suyunun hidrojen iyonu derişimi, sade kahvenin hidrojen iyonu derişiminin 100 katıdır.
Portakal suyunun pH değeri 3 olduğundan hidrojen iyonu derişimi 10−310^{-3} mol/litre olur. Sade kahvenin pH değeri 5 olduğundan hidrojen iyonu derişimi 10−510^{-5} mol/litre olur. Bu değerler oranlandığında portakal suyunun hidrojen iyonu derişiminin sade kahveninkinin 100 katı olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
pH formülü kullanılarak portakal suyu ve sade kahvenin hidrojen iyonu derişimleri [H+][H^+] hesaplanır.
Portakal suyu için 3=−log⁡[H+]P⇒[H+]P=10−33 = -\log[H^+]_P \Rightarrow [H^+]_P = 10^{-3} mol/litre. Sade kahve için 5=−log⁡[H+]K⇒[H+]K=10−55 = -\log[H^+]_K \Rightarrow [H^+]_K = 10^{-5} mol/litre.
Derişimler arası karşılaştırma yapabilmek için öncelikle her iki maddenin derişim değerleri bulunmalıdır.
2
Bulunan derişim değerleri birbirine oranlanır.
10−310−5=10−3−(−5)=102=100\frac{10^{-3}}{10^{-5}} = 10^{-3 - (-5)} = 10^2 = 100 bulunur.
Portakal suyunun derişiminin sade kahvenin derişiminin kaç katı olduğunu bulmak için oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Logaritmik pH formülü üzerinden çözeltilerin hidrojen iyonu derişimlerinin hesaplanması ve karşılaştırılması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 108Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kestiğine göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247\frac{24}{7}

Cevap

24 bölü 7
İç açıortay teoremi uyarınca köşeden çizilen açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranı olan 6/8 = 3/4 oranında böler. Açıortay açıyı 60 derecelik iki eş açıya böldüğünden, oluşan iki alt üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ortak bilinmeyenler sadeleşerek doğru uzunluk 24 bölü 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını yazma
|BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 6/8 = 3/4. Buradan |BD| = 3k ve |CD| = 4k belirlenir.
Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.
2
Kosinüs Teoremini ABD ve ACD üçgenlerinde AD = x için uygulama
ABD üçgeninde: 9k^2 = 36 + x^2 - 6x. ACD üçgeninde: 16k^2 = 64 + x^2 - 8x.
Açıortay açıyı iki eşit 60 derecelik açıya böldüğü için her iki üçgende de cos(60) = 1/2 kullanılarak bağıntılar yazılır.
3
Denklemleri ortak çözerek x değerini yalnız bırakma
16(36 + x^2 - 6x) = 9(64 + x^2 - 8x) ise 7x^2 = 24x ve x = 24/7 bulunur.
k^2 terimini yok etmek için denklemler uygun katsayılarla çarpılıp eşitlenir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoreminin birlikte uygulanması
Soru 109Soru →
log⁡13(x2−2x)+1log⁡2(x−1)−2≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) + 1}{\log_2(x - 1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 16'dır.
Eşitsizliğin tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) olup, payın kökü 33 (dahil) ve paydanın kökü 55 (hariç) noktalarıdır. İşaret tablosu yapıldığında negatif bölgeler (2,3](2, 3] ve (5,∞)(5, \infty) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki en küçük üç pozitif tam sayı 3,6,73, 6, 7 olup toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
Tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması gerekir. x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 koşullarının kesişimi alınır.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın tanımlı kökü x=3x = 3, paydanın kökü ise x=5x = 5 olarak elde edilir.
Payın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡1/3(x2−2x)=−1  ⟹  x2−2x=3  ⟹  x=3\log_{1/3}(x^2 - 2x) = -1 \implies x^2 - 2x = 3 \implies x = 3 (diğer kök −1-1 tanım kümesi dışındadır). Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡2(x−1)=2  ⟹  x−1=4  ⟹  x=5\log_2(x - 1) = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5 elde edilir.
3
İşaret tablosu oluşturma
İşaretler sırasıyla (2,3](2, 3] aralığında negatif, (3,5)(3, 5) aralığında pozitif, (5,∞)(5, \infty) aralığında negatif olur.
Tanım kümesi olan (2,∞)(2, \infty) üzerinde kökler 33 ve 55 noktalarına göre işaret inceleir. Eşitsizliğin ≤0\leq 0 olması istendiğinden çözüm kümesi S=(2,3]∪(5,∞)S = (2, 3] \cup (5, \infty) olarak belirlenir.
4
Koşulu sağlayan tam sayıları belirleme ve toplama
Toplam 3+6+7=163 + 6 + 7 = 16 bulunur.
Çözüm kümesindeki en küçük üç pozitif tam sayı 33 (dahil), 66 (açık aralıktan sonraki ilk tam sayı) ve 77 sayılarıdır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi sınırlamaları ve işaret tablosu yöntemi
Soru 110Soru →
log⁡2(x−3)+log⁡2(x−1)=log⁡2(x2−9)−1\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(x^2 - 9) - 1

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{5\}

Cevap

Sadece 5 elemanını barındıran çözüm kümesidir.
Verilen logaritmik denklemin tanım aralığı x>3x > 3 gerçel sayılarıdır. Logaritma özellikleri kullanılarak sadeleştirilen denklemden x2−8x+15=0x^2 - 8x + 15 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri 33 ve 55 olup, logaritmayı tanımlı kılan tek değer 55 olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemandan oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanım kümesini belirlemek amacıyla logaritma fonksiyonlarının içindeki ifadelerin pozitif olması koşulunu yazarız.
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3, x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 bulunur. Bu koşulların kesişimi alındığında denklemin geçerli olduğu tanım kümesi x>3x > 3 olarak belirlenir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak denklemin sol ve sağ tarafını tek bir logaritma altında düzenleriz.
log⁡2((x−3)(x−1))=log⁡2(x2−9)−log⁡22  ⟹  log⁡2((x−3)(x−1))=log⁡2(x2−92)\log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2(x^2 - 9) - \log_2 2 \implies \log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2\left(\frac{x^2 - 9}{2}\right) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğunda toplama işlemi argümanların çarpımına, çıkarma işlemi ise argümanların bölümüne eşittir.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerini kaldırarak argümanları birbirine eşitleriz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözeriz.
(x−3)(x−1)=x2−92  ⟹  2(x2−4x+3)=x2−9  ⟹  2x2−8x+6=x2−9  ⟹  x2−8x+15=0(x - 3)(x - 1) = \frac{x^2 - 9}{2} \implies 2(x^2 - 4x + 3) = x^2 - 9 \implies 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 9 \implies x^2 - 8x + 15 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−3)(x−5)=0(x - 3)(x - 5) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kök adayları x=3x = 3 veya x=5x = 5 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun bire bir olmasından dolayı, tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin iç kısımları da birbirine eşit olmalıdır.
4
Bulunan aday köklerin başta elde edilen tanım kümesi (x>3x > 3) koşuluna uygunluğunu denetleriz.
x=3x = 3 değeri logaritma argümanlarını sıfır yaptığı için tanımsızlık oluşturur ve elenir. x=5x = 5 değeri ise 5>35 > 3 koşulunu sağladığı için geçerli köktür. Bu durumda denklemin çözüm kümesi {5}\{5\} olur.
Bir denklemin kökünün çözüm kümesine alınabilmesi için orijinal denklemdeki tüm fonksiyonları tanımlı kılması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemler ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 111Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=tan⁡xsin⁡xb=cot⁡xcos⁡xc=tan⁡x⋅cot⁡x\begin{aligned} a &= \frac{\tan x}{\sin x} \\ b &= \frac{\cot x}{\cos x} \\ c &= \tan x \cdot \cot x \end{aligned}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < c < b
İkinci bölgenin ikinci yarısında kosinüs negatif ve sinüs pozitif değerler alır. İfadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x negatif, b=csc⁡xb = \csc x ise 2\sqrt{2}'den büyük pozitif bir değer alır. c=1c = 1 sabit sayısı da pozitif olduğundan, negatif olan aa en küçük, 11'den büyük olan bb ise en büyük olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri özdeşlikler yardımıyla en sade biçimlerine dönüştürelim.
a=sin⁡x/cos⁡xsin⁡x=1cos⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x,
b=cos⁡x/sin⁡xcos⁡x=1sin⁡x=csc⁡xb = \frac{\cos x / \sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x} = \csc x,
c=tan⁡x⋅cot⁡x=1c = \tan x \cdot \cot x = 1 elde edilir.
Sıralama yapabilmek için ifadelerin en yalın hallerini bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığına göre elde edilen fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyelim.
Bu aralıkta (ikinci bölgenin ikinci yarısı) cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sec⁡x<0a = \sec x < 0 olur.
sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b=csc⁡x>0b = \csc x > 0 olur.
c=1c = 1 ise pozitif bir sabit değerdir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri sıralamada öncelikli kriterdir. Negatif olan aa değerinin en küçük olduğu bu aşamada belirlenir.
3
Pozitif olan bb ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştıralım.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında 0<sin⁡x<220 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} aralığındadır. Bu durumda b=1sin⁡x>2>1b = \frac{1}{\sin x} > \sqrt{2} > 1 olur.
c=1c = 1 olduğundan, c<bc < b ilişkisi kurulur.
Aynı işaretli değerlerin büyüklük ilişkisini belirlemek için fonksiyonların bu aralıktaki sınır değerleri incelenir.
4
Elde edilen tüm bilgileri birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
a<0a < 0, c=1c = 1 ve b>2b > \sqrt{2} olduğundan doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Negatif değer en küçük, değeri en büyük olan pozitif terim ise en büyük olacak şekilde sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 112Soru →
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 2\cos(3x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π2\frac{3\pi}{2}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin sol tarafı toplam formülüyle basitleştirilip kosinüs cinsine çevrildikten sonra oluşan iki kök ailesinden belirtilen aralığa düşen üç adet kök elde edilir. Bu köklerin toplamı üç bölü iki pi değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafındaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmak için 3\sqrt{3} yerine tan⁡(π3)=sin⁡(π3)cos⁡(π3)\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} yazılır.
sin⁡(x)+sin⁡(π3)cos⁡(π3)cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\cos(x) = 2\cos(3x)
Toplama formülünü kullanarak sol tarafı tek bir sinüs fonksiyonuna dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Payda eşitlemesi yapılarak sol taraftaki pay kısmında sinüsün toplam formülü (sin⁡(a+b)\sin(a+b)) elde edilir.
sin⁡(x)cos⁡(π3)+cos⁡(x)sin⁡(π3)cos⁡(π3)=2cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡(x+π3)12=2cos⁡(3x)\frac{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = 2\cos(3x) \implies \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\cos(3x)
Trigonometrik toplam formüllerini uygulayarak denklemi basitleştirmek amaçlanır.
3
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki 12\frac{1}{2} ifadesi karşıya atılır ve her iki taraftaki katsayılar sadeleştirilir.
sin⁡(x+π3)=cos⁡(3x)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)
Denklemi çözülebilir temel trigonometrik formata getirmek için katsayılardan arındırma yapılır.
4
Sinüs ifadesi kosinüs cinsinden yazılır.
cos⁡(π2−(x+π3))=cos⁡(3x)  ⟹  cos⁡(π6−x)=cos⁡(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x) \implies \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos(3x)
cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos(a) = \cos(b) biçiminde bir denklem elde ederek standart çözüm kurallarını uygulayabilmek için iki taraf da kosinüs cinsine çevrilir.
5
Kosinüs denkleminin genel çözüm kuralları (cos⁡(α)=cos⁡(β)  ⟹  α=±β+2kπ\cos(\alpha) = \cos(\beta) \implies \alpha = \pm\beta + 2k\pi) kullanılarak iki farklı kök ailesi oluşturulur.
1. Durum: 3x=π6−x+2kπ  ⟹  4x=π6+2kπ  ⟹  x=π24+kπ23x = \frac{\pi}{6} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
2. Durum: 3x=−(π6−x)+2kπ  ⟹  2x=−π6+2kπ  ⟹  x=−π12+kπ3x = -\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi
Kosinüs fonksiyonunun periyodik yapısına ve simetrisine göre tüm olası çözümleri bulmak hedeflenir.
6
(0,π)(0, \pi) açık aralığında yer alan kökleri belirlemek için her iki durumda kk tam sayı değerleri yerine yazılır.
1. Durumdan: k=0  ⟹  x1=π24k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{24}, k=1  ⟹  x2=13π24k=1 \implies x_2 = \frac{13\pi}{24}
2. Durumdan: k=1  ⟹  x3=11π12k=1 \implies x_3 = \frac{11\pi}{12}
Sadece belirtilen tanım aralığındaki gerçel kökleri süzmek amaçlanır.
7
Bulunan üç farklı kök toplanır.
Toplam=π24+13π24+22π24=36π24=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{24} + \frac{13\pi}{24} + \frac{22\pi}{24} = \frac{36\pi}{24} = \frac{3\pi}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde toplam-fark formüllerinin kullanılması ve kosinüs denkleminin periyodik çözüm kümelerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 113Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere,

an=k⋅n2−20n+16a_n = \sqrt{k \cdot n^2 - 20n + 16}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizi genel teriminin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin her pozitif tam sayı değeri için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} eşitsizliği elde edilir. Bu ifadenin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.
Genel terimin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılarda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu şart k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} biçiminde yazıldığında, sağdaki ifadenin alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini ve gerçel sayı dizisi olma şartını belirleme.
k⋅n2−20n+16≥0(her n∈Z+ ic¸in)k \cdot n^2 - 20n + 16 \geq 0 \quad (\text{her } n \in \mathbb{Z}^+ \text{ için})
Bir genel terimin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması, yani kareköklü ifadenin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
kk parametresini yalnız bırakarak nn değişkenine bağlı bir eşitsizlik elde etme.
k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0 dır. Eşitsizliğin her iki tarafı n2n^2 ile bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez.
3
bn=20n−16n2b_n = \frac{20n - 16}{n^2} dizisinin en büyük terimini bulma.
b1=4b_1 = 4, b2=6b_2 = 6, b3=449≈4,89b_3 = \frac{44}{9} \approx 4,89, b4=4b_4 = 4 ve n≥2n \geq 2 için terimler azalan yöndedir. En büyük terim b2=6b_2 = 6 dır.
kk sayısının her nn pozitif tam sayısı için bu eşitsizliği sağlaması gerektiğinden, kk değeri bu ifadenin alabileceği en büyük değerden büyük veya eşit olmalıdır.
4
kk gerçel sayısının alabileceği en küçük değeri belirleme.
k≥6k \geq 6 olduğundan en küçük kk değeri 6'dır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için eşitsizliğin sağlanabilmesi için kk'nin alabileceği en küçük değer, dizinin en büyük terimi olan 6'ya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesindeki tüm elemanlar (pozitif tam sayılar) için tanımlı olması şartı aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 114Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

I. f(x−3)+1f(x - 3) + 1 fonksiyonunun grafiği x=3x = 3 doğrusuna göre simetriktir.
II. f(x+2)−3f(x + 2) - 3 fonksiyonunun grafiği x=2x = 2 doğrusuna göre simetriktir.
III. f(−x)f(-x) fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller her zaman doğrudur.
Birinci öncüldeki sağa öteleme işlemi simetri eksenini x = 3 doğrusuna taşır. Üçüncü öncülde ise y-eksenine göre simetrik bir grafiğin y-eksenine göre yansıması kendisini vereceğinden simetrisi korunur. Bu iki öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiğin ordinat eksenine göre simetriklik özelliğini tanımlama
Fonksiyonun simetri ekseni başlangıçta x = 0 (y-ekseni) doğrusudur.
Soruda f fonksiyonunun grafiğinin ordinat eksenine göre simetrik olduğu belirtilmiştir. Bu durum f fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu, yani her x için f(-x) = f(x) eşitliğini sağladığını gösterir.
2
Birinci öncül için dönüşümün simetri eksenine etkisini inceleme
f(x - 3) + 1 fonksiyonunun simetri ekseni x = 3 doğrusudur.
f(x - 3) dönüşümü grafiği x-ekseni boyunca 3 birim sağa öteler. Dikey öteleme (+1) simetri eksenini etkilemez. Dolayısıyla başlangıçtaki x = 0 simetri ekseni 3 birim sağa kayarak x = 3 do��rusu haline gelir. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.
3
İkinci öncül için dönüşümün simetri eksenine etkisini inceleme
f(x + 2) - 3 fonksiyonunun simetri ekseni x = -2 doğrusudur.
f(x + 2) dönüşümü grafiği x-ekseni boyunca 2 birim sola öteler. Dolayısıyla yeni simetri ekseni x = 0 - 2 = -2 doğrusu olur. Öncülde belirtilen x = 2 doğrusu ifadesi yanlıştır.
4
Üçüncü öncül için f(-x) fonksiyonunun simetrisini inceleme
f(-x) fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.
f fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan her x için f(-x) = f(x) olur. Fonksiyonun kurallarında veya grafiğinde bir değişiklik gerçekleşmediği için ordinat eksenine göre simetri durumu korunur. Bu nedenle üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Ordinat eksenine göre simetrik (çift) fonksiyonların yatay ve dikey öteleme dönüşümleri altındaki simetri ekseni değişimleri.
Soru 115Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−3x−10x−1)f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1
Doğru cevap −1-1'dir. Taban koşullarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Argümanın pozitiflik şartından ise (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi (−2,1)∪(5,6)(-2, 1) \cup (5, 6) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar yalnızca −1-1 ve 00'dır. Bu sayıların toplamı da −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban şartını belirlemek.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Argüman şartını belirlemek ve çarpanlara ayırmak.
x2−3x−10x−1>0  ⟹  (x−5)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1} > 0 \implies \frac{(x-5)(x+2)}{x-1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. İşaret tablosu yapmak için ifade çarpanlarına ayrılır.
3
Eşitsizlik köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak.
Kökler x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=5x = 5'tir. İşaret tablosunda en sağ bölge pozitif (+)(+) ile başlar ve köklerde işaret değiştirilerek aralıklar (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeleri saptamak için k��kler bulunup işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman şartlarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirlemek.
x∈(−2,1)∪(5,6)x \in (-2, 1) \cup (5, 6) elde edilir.
Fonksiyonun her iki şartı da aynı anda sağlaması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplamak.
Tanım kümesindeki tam sayılar −1-1 ve 00'dır. Toplamları: (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1.
Belirlenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar rasyonel eşitsizlik çözümüyle kesiştirilir.
Soru 116Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = -3

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45\frac{4}{5}

Cevap

4/5 değeri
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−3\cot x = -3 elde edilir. İkinci bölgede cot⁡x=−3\cot x = -3 olduğu için dik üçgen yardımıyla cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} ve sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} değerleri bulunur. cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünde bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 4/5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak verilen rasyonel ifadeyi sadeleştirmek
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cot⁡x=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \cot x = -3
Rasyonel ifadeyi en sade haline getirerek açının kotanjant değerini belirlemek
2
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığını dikkate alarak sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x değerlerini bulmak
sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}
İkinci bölgede kosinüs değerinin negatif, sinüs değerinin pozitif olduğunu belirleyip dik üçgen yardımıyla oranları hesaplamak
3
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünü uygulamak
cos⁡(2x)=(−310)2−(110)2=910−110=45\cos(2x) = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{5}
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak istenen değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 117Soru →
1'den farklı xx, yy ve zz pozitif gerçel sayıları için
log⁡x(y2z)=3\log_x(y^2 z) = 3
log⁡y(xz2)=4\log_y(x z^2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve doğrusal sistemin çözülmesiyle elde edilen değer 3'tür.
Verilen eşitlikler taban değiştirme kuralı ile çözüldüğünde değişkenlerin logaritmaları arasında a=87ba = \frac{8}{7}b ve c=107bc = \frac{10}{7}b ilişkisi bulunur. İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinde bu oranlar yerine yazıldığında sonuç 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritmik ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla yazalım.
log⁡x(y2z)=2log⁡y+log⁡zlog⁡x=3\log_x(y^2 z) = \frac{2\log y + \log z}{\log x} = 3
log⁡y(xz2)=log⁡x+2log⁡zlog⁡y=4\log_y(x z^2) = \frac{\log x + 2\log z}{\log y} = 4
Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak ifadeler ortak bir tabana aktarılır.
2
Kolaylık sağlaması amacıyla log⁡x=a\log x = a, log⁡y=b\log y = b ve log⁡z=c\log z = c değişken değiştirmelerini yapalım ve denklemleri düzenleyelim.
2b+c=3a  ⟹  3a−2b−c=02b + c = 3a \implies 3a - 2b - c = 0
a+2c=4b  ⟹  a−4b+2c=0a + 2c = 4b \implies a - 4b + 2c = 0
Logaritmik ifadeleri doğrusal denklem sistemine dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.
3
Birinci denklemden cc değişkenini aa ve bb cinsinden çekip ikinci denklemde yerine yazalım.
c=3a−2bc = 3a - 2b
a+2(3a−2b)=4b  ⟹  7a=8b  ⟹  a=87ba + 2(3a - 2b) = 4b \implies 7a = 8b \implies a = \frac{8}{7}b
Değişkenleri birbirleri cinsinden ifade ederek tek bir değişkene indirgemek.
4
Bulduğumuz a=87ba = \frac{8}{7}b değerini c=3a−2bc = 3a - 2b eşitliğinde yerine yazarak cc değerini de bb cinsinden bulalım.
c=3(87b)−2b=107bc = 3\left(\frac{8}{7}b\right) - 2b = \frac{10}{7}b
Tüm değişkenleri tek bir parametreye (bb) bağlı hale getirmek.
5
İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile a,b,ca, b, c cinsinden yazıp bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
log⁡z(x2y2)=2log⁡x+2log⁡ylog⁡z=2a+2bc\log_z(x^2 y^2) = \frac{2\log x + 2\log y}{\log z} = \frac{2a + 2b}{c}
2(87b)+2b107b=307b107b=3\frac{2\left(\frac{8}{7}b\right) + 2b}{\frac{10}{7}b} = \frac{\frac{30}{7}b}{\frac{10}{7}b} = 3
İstenen ifadeyi ortak tabandaki değişkenler cinsinden hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Verilen eşitlikler üstel fonksiyona dönüştürülerek de çözülebilir: log⁡x(y2z)=3  ⟹  y2z=x3\log_x(y^2 z) = 3 \implies y^2 z = x^3 ve log⁡y(xz2)=4  ⟹  xz2=y4\log_y(x z^2) = 4 \implies x z^2 = y^4 olur. İlk eşitlikten z=x3y2z = \frac{x^3}{y^2} çekilip ikinci eşitlikte yerine yazılırsa x⋅(x3y2)2=y4  ⟹  x7=y8  ⟹  x=y8/7x \cdot \left(\frac{x^3}{y^2}\right)^2 = y^4 \implies x^7 = y^8 \implies x = y^{8/7} elde edilir. Buradan z=y10/7z = y^{10/7} bulunur. İstenen ifade log⁡z(x2y2)=log⁡y10/7(y16/7⋅y2)=log⁡y10/7(y30/7)=30/710/7=3\log_z(x^2 y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{16/7} \cdot y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{30/7}) = \frac{30/7}{10/7} = 3 şeklinde hesaplanır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 118Soru →

(an)(a_n) terimleri gerçel sayılardan oluşan bir dizidir.

an=x⋅n2−16n+12n2+3a_n = \sqrt{\frac{x \cdot n^2 - 16n + 12}{n^2 + 3}}

olduğuna göre, xx gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Dizinin her teriminin tanımlı olması için karekökün içerisi negatif olmamalıdır. Payda daima pozitif olduğundan, pay kısmının da daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2} eşitsizliğinde sağ taraftaki ifadenin pozitif tam sayılardaki en büyük değeri n=2n = 2 için 5'tir. Bu yüzden xx en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme.
x⋅n2−16n+12≥0x \cdot n^2 - 16n + 12 \ge 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimlerinin gerçel sayı olması için karekökün içerisi negatif olamaz ve payda sıfır olamaz (n2+3>0n^2 + 3 > 0 olduğundan payda sıfır olamaz).
2
xx parametresini nn cinsinden yalnız bırakma.
x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0'dır, bu sayede eşitsizlik yön değiştirmeden her iki taraf n2n^2 ile bölünebilir.
3
f(n)=16n−12n2f(n) = \frac{16n - 12}{n^2} fonksiyonunun pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulma.
Maksimum değer n=2n = 2 için f(2)=5f(2) = 5 olur.
Dizi terimlerinin indisleri pozitif tam sayı olmak zorundadır. n=1n=1 için 4, n=2n=2 için 5, n=3n=3 için 4 değerleri elde edilir ve sonraki terimler azalarak devam eder.
4
xx için sınır değerini belirleme ve en küçük tam sayıyı bulma.
x≥5x \ge 5 şartından en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için sağlanması, xx'in bu kümedeki en büyük değerden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesi olan pozitif tam sayılar kümesindeki her eleman için reel sayı değerleri üretmesi gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
Soru 119Soru →

Bir nörolog karar verme anındaki beyin aktivitelerini incelerken 'Beyin karar anında hangi nörotransmiterleri salgılar?' sorusuna yanıt arar. Bir hukukçu ise 'Mevcut yasalar çerçevesinde hak kaybı nasıl önlenir?' sorusuyla ilgilenir. Oysa bir filozof, bu somut durumların ve pratik kaygıların ötesine geçerek 'Özgür irade nedir?' veya 'Adaletin temeli nedir?' tarzında soruları gündeme getirir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi felsefi soruların, bilimsel ve pratik sorulardan ayrılan temel niteliğini en iyi açıklar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Olgusal sınırları aşarak kavramların anlam çerçevesini kendi üzerine dönük bir yaklaşımla sorgulaması

Cevap

Felsefi soruların olgusal sınırları aşarak kavramların anlam çerçevesini kendi üzerine dönük (refleksif) bir yaklaşımla sorgulaması
Doğru cevap felsefi soruların olgusal gerçekliğin ötesine geçerek kavramsal boyutta kendi üzerine dönük (refleksif) bir sorgulama yapmasıdır. Paragrafta verilen nörolog ve hukukçu örnekleri olgusal ve pratik düzeye hitap ederken, filozofun 'Özgür irade nedir?' veya 'Adaletin temeli nedir?' soruları doğrudan kavramların anlamını ve yapısını sorgulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Paragraftaki durumları ve soru tiplerini analiz etmek.
Nöroloji ve hukukun olgusal/pratik çözümler aradığı, felsefenin ise kavramsal tanım ve öz sorguladığı belirlenmiştir.
Bilimsel ve pratik sorular ile felsefi sorular arasındaki ayrım noktasını tespit etmek.
2
Felsefi soruların temel niteliğini (refleksiflik ve kavramsal çözümleme) seçeneklerle karşılaştırmak.
Olgusal sınırları aşarak kavramları sorgulayan seçeneğin doğru cevap olduğu saptanmıştır.
Doğru felsefi niteliği içeren seçeneği belirlemek.

Anahtar Kavram

Felsefi Soruların Refleksif ve Kavramsal Olma Özelliği
Soru 120Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(x−60∘)=2sin⁡(x−30∘)\cos(x - 60^\circ) = 2\sin(x - 30^\circ)
denklemini sağlayan xx açısı kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemi sağlayan dar açı 60 derecedir.
Verilen denklemde kosinüs ve sinüs fark formülleri uygulanıp benzer terimler gruplandırıldığında tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan dar açı 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki terimi kosinüs fark formülü yardımıyla açmak.
cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Kosinüs fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡60∘=1/2\cos 60^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2) yerine yazılmıştır.
2
Sağ taraftaki terimi sinüs fark formülü yardımıyla açmak.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x
Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2) yerine yazılmıştır.
3
Elde edilen açılımları denklemde yerine koyup denklemi düzenlemek.
32cos⁡x=32sin⁡x\frac{3}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Açılımlar denklemde yerine yazılıp benzer terimler bir araya toplandığında denklem sadeleşir.
4
tan⁡x\tan x değerini hesaplamak.
tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yararlanarak sadeleşen denklemin her iki tarafı düzenlenir.
5
Dar açı tanımına uygun çözümü belirlemek.
x=60∘x = 60^\circ
0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 6 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin