Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 161Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S4−S2=12S_4 - S_2 = 12
S2=3S_2 = 3

olduğuna göre, ortak çarpanı pozitif olan bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Dizinin ilk terimi 1'dir.
Dizinin ilk dört terim toplamının ilk iki terim toplamına oranı r2+1r^2 + 1 bağıntısına eşittir. Verilen değerlerden S4=15S_4 = 15 ve S2=3S_2 = 3 olduğundan bu oran 55'e eşit olur. r2+1=5⇒r=2r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r = 2 bulunur. S2=a1(1+r)=3S_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinde ortak çarpan yerine yazıldığında a1=1a_1 = 1 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp S4S_4 ve S2S_2 ifadelerini oranlayalım.
S4S2=r2+1\frac{S_4}{S_2} = r^2 + 1 bağıntıs�� elde edilir.
Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} formülünden S4=a1⋅1−r41−rS_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} ve S2=a1⋅1−r21−rS_2 = a_1 \cdot \frac{1 - r^2}{1 - r} yazılırsa, bu iki ifade oranlandığında 1−r41−r2=r2+1\frac{1 - r^4}{1 - r^2} = r^2 + 1 bulunur.
2
Verilen S4−S2=12S_4 - S_2 = 12 ve S2=3S_2 = 3 değerlerini kullanarak S4S_4 toplamını ve S4S2\frac{S_4}{S_2} oranını hesaplayalım.
S4=15S_4 = 15 ve r2+1=5r^2 + 1 = 5 eşitliğinden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur.
S4=(S4−S2)+S2=12+3=15S_4 = (S_4 - S_2) + S_2 = 12 + 3 = 15 olur. Buradan oran S4S2=153=5\frac{S_4}{S_2} = \frac{15}{3} = 5 olarak elde edilir. r2+1=5⇒r2=4r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r^2 = 4 olur. Ortak çarpan pozitif olduğundan r=2r = 2 bulunur.
3
Bulunan ortak çarpan r=2r = 2 ve S2=3S_2 = 3 değerini kullanarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayalım.
a1=1a_1 = 1 bulunur.
S2=a1+a2=a1(1+r)S_2 = a_1 + a_2 = a_1(1 + r) şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak 3=a1(1+2)⇒3=3a1⇒a1=13 = a_1(1 + 2) \Rightarrow 3 = 3a_1 \Rightarrow a_1 = 1 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 162Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a12=28a_4 + a_{12} = 28
a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ortak farkı 2'dir.
Dizinin ortak farkının 2 olmasının nedeni; a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24 eşitliğinden a1+a9=2a5a_1 + a_9 = 2a_5 simetri kuralı kullanılarak a5=8a_5 = 8 değerine ulaşılması ve bu değerin a4+a12=2a5+6r=28a_4 + a_{12} = 2a_5 + 6r = 28 denklemine yazılmasıyla 6r=12  ⟹  r=26r = 12 \implies r = 2 sonucunun elde edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

1
a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24 eşitliğinde aritmetik ortalama özelliğini kullanarak a5a_5 teriminin değerini belirlemek
a1+a9=2a5  ⟹  3a5=24  ⟹  a5=8a_1 + a_9 = 2a_5 \implies 3a_5 = 24 \implies a_5 = 8
Bir aritmetik dizide belirli bir terime eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı, ortadaki terimin iki katına eşittir.
2
a4+a12=28a_4 + a_{12} = 28 eşitliğindeki terimleri a5a_5 ve ortak fark olan rr cinsinden ifade etmek
a4=a5−ra_4 = a_5 - r ve a12=a5+7r  ⟹  (a5−r)+(a5+7r)=2a5+6r=28a_{12} = a_5 + 7r \implies (a_5 - r) + (a_5 + 7r) = 2a_5 + 6r = 28
Tüm bilinmeyen terimleri tek bir terim (a5a_5) ve ortak fark (rr) cinsinden yazarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
3
a5=8a_5 = 8 değerini denklemde yerine yazarak rr ortak farkını bulmak
2(8)+6r=28  ⟹  16+6r=28  ⟹  6r=12  ⟹  r=22(8) + 6r = 28 \implies 16 + 6r = 28 \implies 6r = 12 \implies r = 2
Bilinmeyen a5a_5 değerini yerleştirip birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemi çözmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, terimler arası aritmetik ortalama ilişkisi ve genel terim yazımı
Soru 163Soru →
Terimleri tam sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a16=a7+aka_3 + a_{16} = a_7 + a_k
a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin ortak farkı r=2r = 2 olduğuna g��re, aka_k terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

23
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a3+a16=a7+aka_3 + a_{16} = a_7 + a_k eşitliğinden 3+16=7+k  ⟹  k=123 + 16 = 7 + k \implies k = 12 bulunur. Dolayısıyla aranan terim a12a_{12}'dir. a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 eşitliğinde a12=a4+8ra_{12} = a_4 + 8r bağıntısı ve r=2r = 2 değeri yerine yazıldığında a12=a4+16a_{12} = a_4 + 16 elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde a4=7a_4 = 7 ve a12=23a_{12} = 23 bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 23'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde indislerin toplamı eşit olan terimlerin toplamının da eşit olduğu (ap+aq=as+at  ⟺  p+q=s+ta_p + a_q = a_s + a_t \iff p + q = s + t) özelliğini kullanarak kk değerini bulmak.
3+16=7+k  ⟹  19=7+k  ⟹  k=123 + 16 = 7 + k \implies 19 = 7 + k \implies k = 12 elde edilir.
Soru kökündeki birinci eşitlikte verilmeyen terimin indisi olan kk değerini belirlemek için.
2
İkinci eşitlik olan a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 ifadesinde a12a_{12} terimini a4a_4 ve ortak fark r=2r = 2 cinsinden yazmak.
a12=a4+(12−4)r  ⟹  a12=a4+8(2)  ⟹  a12=a4+16a_{12} = a_4 + (12 - 4)r \implies a_{12} = a_4 + 8(2) \implies a_{12} = a_4 + 16 bulunur.
İki bilinmeyenli eşitliği tek bilinmeyene indirgemek için.
3
Elde edilen a12=a4+16a_{12} = a_4 + 16 ifadesini a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 denkleminde yerine yazarak a4a_4 terimini bulmak ve ardından a12a_{12} değerini hesaplamak.
a4+(a4+16)=30  ⟹  2a4=14  ⟹  a4=7a_4 + (a_4 + 16) = 30 \implies 2a_4 = 14 \implies a_4 = 7 olur. Buradan a12=7+16=23a_{12} = 7 + 16 = 23 bulunur. k=12k = 12 olduğundan ak=a12=23a_k = a_{12} = 23 elde edilir.
İstenen aka_k (yani a12a_{12}) teriminin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı.
Soru 164Soru →

İlk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S4=15⋅a1S_4 = 15 \cdot a_1

ve bu dizinin ortak çarpanı ilk terimine eşit (r=a1r = a_1) olduğuna göre, dizinin ilk 3 teriminin toplamı (S3S_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk 3 teriminin toplamı 14'tür.
Formülün doğru uygulanması, elde edilen üçüncü dereceden denklemin kökünün doğru bulunması ve r=a1=2r = a_1 = 2 eşitliği kullanılarak S3S_3 toplamının doğru hesaplanması sonucunda 14 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak S4S_4 ifadesini a1a_1 ve rr cinsinden yazmak.
S4=a1(r3+r2+r+1)S_4 = a_1(r^3 + r^2 + r + 1)
S4S_4 toplamını ortak çarpan ve ilk terim cinsinden ifade etmek için.
2
Soruda verilen S4=15⋅a1S_4 = 15 \cdot a_1 eşitliğini yerine koyup sadeleştirmek.
r3+r2+r−14=0r^3 + r^2 + r - 14 = 0 denklemi elde edilir.
rr ortak çarpanını bulmak amacıyla bir denklem oluşturmak için.
3
Denklemin pozitif gerçel kökünü bulmak.
r=2r = 2
Dizinin ortak çarpanını belirlemek için.
4
r=a1=2r = a_1 = 2 değerlerini kullanarak S3S_3 toplamını hesaplamak.
S3=14S_3 = 14
Soruda istenen ilk 3 terim toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler.
Soru 165Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Bu dizinin ortak çarpanı r=3r = 3 ve

S5−S2=234S_5 - S_2 = 234

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bu dizinin ilk terimi 2'dir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} kullanıldığında S5=121a1S_5 = 121a_1 ve S2=4a1S_2 = 4a_1 elde edilir. Bu iki toplamın farkı olan 117a1117a_1 değeri 234'e eşitlendiğinde ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülü kullanılarak S5S_5 ve S2S_2 ifadeleri belirlenir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle bulunur. r=3r = 3 için:
S5=a135−13−1=a12422=121a1S_5 = a_1 \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{242}{2} = 121 a_1
S2=a132−13−1=a182=4a1S_2 = a_1 \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{8}{2} = 4 a_1 elde edilir.
Verilen terimlerin toplam farkını ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için.
2
Bu iki ifadenin farkı alınarak verilen sayısal değere eşitlenir.
S5−S2=121a1−4a1=117a1S_5 - S_2 = 121 a_1 - 4 a_1 = 117 a_1 olur.
117a1=234117 a_1 = 234 denklemi kurulur.
Dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmamızı sağlayacak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi elde etmek için.
3
Elde edilen denklem çözülerek a1a_1 bulunur.
a1=234117=2a_1 = \frac{234}{117} = 2 bulunur.
Dizinin ilk terimini netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı formülü Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklindedir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 166Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a82−a42=96a_8^2 - a_4^2 = 96
a2+a10=12a_2 + a_{10} = 12
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 5. terimi (a5a_5) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu aritmetik dizinin 5. terimi (a5a_5) 4 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerin indis özellikleri kullanıldığında, a2+a10=2a6=12a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 eşitliğinden a6=6a_6 = 6 bulunur. Ardından a8a_8 ve a4a_4 terimleri a6a_6 ve ortak fark rr cinsinden a8=6+2ra_8 = 6+2r, a4=6−2ra_4 = 6-2r olarak yazılıp kareler farkı denkleminde yerine koyulduğunda, (6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2(6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 elde edilir. İstenen 5. terim ise a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması özelliğini kullanarak a6a_6 terimini hesaplamak.
a2+a10=2a6=12  ⟹  a6=6a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 \implies a_6 = 6 elde edilir.
2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan indislerin ortalaması bize ortadaki terimi verir.
2
a8a_8 ve a4a_4 terimlerini a6a_6 ve ortak fark rr türünden ifade etmek.
a8=a6+2r=6+2ra_8 = a_6 + 2r = 6 + 2r ve a4=a6−2r=6−2ra_4 = a_6 - 2r = 6 - 2r şeklinde yazılır.
Aritmetik dizide her terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kuralı ile ba��ka bir terim cinsinden yazılabilir.
3
Elde edilen ifadeleri kareler farkı denkleminde yerine yazıp ortak fark olan rr değerini bulmak.
a82−a42=(6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2a_8^2 - a_4^2 = (6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 bulunur.
Tam kare ifadeler açılıp farkı alındığında sadeleşerek 48r48r ifadesine eşit olur.
4
Bulunan a6a_6 ve rr değerlerini kullanarak istenen a5a_5 terimini hesaplamak.
a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 elde edilir.
Dizinin 5. terimi, 6. teriminden bir ortak fark (rr) eksiktir.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizilerde Terim Özellikleri ve İndis İlişkileri
Soru 167Soru →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a4+a16=40a_4 + a_{16} = 40
a7⋅a13=364a_7 \cdot a_{13} = 364
eşitlikleri verilmektedir.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)f(x) doğrusal fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için f(n)=anf(n) = a_n eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(8)f(8) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doğrusal fonksiyonun 8 noktasındaki değeri olan 16'dır.
Soruda verilen aritmetik dizi özelliklerinden yararlanılarak a10=20a_{10} = 20 bulunur. Ardından a7a_7 ve a13a_{13} terimleri a10a_{10} cinsinden yazılarak ortak farkın karesi r2=4r^2 = 4 elde edilir. Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r=2r = 2 olarak seçilir. Dizinin genel terimi an=2na_n = 2n olarak bulunur. Her nn pozitif tam sayısı için f(n)=anf(n) = a_n sağlandığından doğrusal fonksiyon f(x)=2xf(x) = 2x olur. Buradan f(8)=16f(8) = 16 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi bulunuz.
a4+a16=2⋅a10=40  ⟹  a10=20a_4 + a_{16} = 2 \cdot a_{10} = 40 \implies a_{10} = 20
Aritmetik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (4+16=2⋅104 + 16 = 2 \cdot 10).
2
a7a_7 ve a13a_{13} terimlerini a10a_{10} ve ortak fark rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a7=20−3ra_7 = 20 - 3r ve a13=20+3ra_{13} = 20 + 3r yazılır. Çarpımları: (20−3r)(20+3r)=400−9r2=364  ⟹  9r2=36  ⟹  r2=4(20 - 3r)(20 + 3r) = 400 - 9r^2 = 364 \implies 9r^2 = 36 \implies r^2 = 4. Dizi artan olduğu için r>0  ⟹  r=2r > 0 \implies r = 2 bulunur.
a7a_7 ve a13a_{13} terimleri a10a_{10} terimine göre simetrik konumdadır (10−7=13−10=310 - 7 = 13 - 10 = 3). Aritmetik dizinin artan olması ortak farkın pozitif olmasını gerektirir.
3
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon ilişkisini kurarak istenen değeri hesaplayınız.
an=a10+(n−10)r  ⟹  an=20+2(n−10)=2na_n = a_{10} + (n - 10)r \implies a_n = 20 + 2(n - 10) = 2n olur. f(n)=anf(n) = a_n olduğundan f(x)=2xf(x) = 2x doğrusal fonksiyonu elde edilir. Buradan f(8)=2⋅8=16f(8) = 2 \cdot 8 = 16 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi, derecesi 1 olan (doğrusal) bir fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve doğrusal fonksiyon ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 168Soru →

Ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 66 teriminin toplamı, ilk 33 teriminin toplamından 112112 fazladır. Buna göre, bu dizinin ikinci terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 olduğundan, ilk 6 teriminin toplamı S6=a1⋅(26−1)=63a1S_6 = a_1 \cdot (2^6 - 1) = 63a_1 ve ilk 3 teriminin toplamı S3=a1⋅(23−1)=7a1S_3 = a_1 \cdot (2^3 - 1) = 7a_1 olur. İki toplam arasındaki fark S6−S3=56a1=112S_6 - S_3 = 56a_1 = 112 olarak verildiğinden ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan ikinci terim a2=a1⋅r=2⋅2=4a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü tanımlama
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
İlk 6 ve ilk 3 terim toplamların�� ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için genel formül kurulur.
2
Ortak çarpan r=2r=2 değerini kullanarak S6S_6 ve S3S_3 toplamlarını a1a_1 cinsinden hesaplama
S6=63a1S_6 = 63a_1 ve S3=7a1S_3 = 7a_1
Verilen toplamları tek bir bilinmeyen olan a1a_1 parametresine indirgemek amacıyla r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılır.
3
Verilen fark ilişkisini kullanarak ilk terim olan a1a_1 değerini bulma
56a1=112  ⟹  a1=256a_1 = 112 \implies a_1 = 2
Dizinin diğer terimlerini hesaplayabilmek için öncelikle birinci terim (a1a_1) bulunur.
4
Dizinin ikinci terimi olan a2a_2 değerini hesaplama
a2=2⋅2=4a_2 = 2 \cdot 2 = 4
Geometrik dizinin tanımı gereği ikinci terim, ilk terimin ortak çarpan ile çarpılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arası geçiş
Soru 169Soru →

Bir laboratuvar ortamında bulunan bir bakteri türünün sayısı her bir saatin sonunda 33 katına çıkmaktadır. Başlangıçta (00. saatte) ortamda 22 adet bakteri bulunmaktadır.

Buna göre, 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar (11. ve 66. saatler dahil) her saatin sonunda ortamda bulunan bakteri sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2184

Cevap

2184
Bakteri sayısı her saat sonunda 33 katına çıktığı için bu durum ortak çarpanı r=3r = 3 olan geometrik bir dizi belirtir. 11. saatin sonundaki bakteri sayısı dizinin ilk terimi olup a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 değerine eşittir. 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeridir. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} olduğundan, S6=6⋅36−13−1=3⋅(729−1)=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot (729 - 1) = 2184 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimini ve ortak çarpanını belirlemek
Dizinin ilk terimi a1=6a_1 = 6 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak belirlenir.
Başlangıçta (00. saatte) 22 bakteri varken 11. saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıkarak a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 olur. Her saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıktığı için ortak çarpan r=3r = 3 olan bir geometrik dizi oluşur.
2
İstenen terimlerin toplamını formüle dökmek
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1⋅r6−1r−1S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 \cdot \frac{r^6 - 1}{r - 1} toplamı hesaplanmalıdır.
11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamına (S6S_6) karşılık gelir.
3
Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplamak
S6=6⋅36−13−1=6⋅729−12=3⋅728=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 6 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 3 \cdot 728 = 2184 bulunur.
a1=6a_1 = 6 ve r=3r = 3 değerleri geometrik dizi toplam formülünde yerine yazılarak aritmetik işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 170Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=36a_4 + a_{10} + a_{16} = 36
a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce a10=12a_{10} = 12 bulunur, ardından ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir ve a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r formülüyle 3232 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma
a_{10} = 12
Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir. 4+16=2⋅104 + 16 = 2 \cdot 10 olduğundan a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında 3a10=36  ⟹  a10=123a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12 bulunur.
2
Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma
r = 2
a5=a10−5r=12−5ra_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r, a7=a10−3r=12−3ra_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r ve a9=a10−r=12−ra_9 = a_{10} - r = 12 - r eşitlikleri a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14 denklemine yazılır. Buradan 24−4r=26−5r  ⟹  r=224 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2 elde edilir.
3
a_{20} terimini hesaplama
a_{20} = 32
a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r bağıntısı kullanılarak a20=12+10⋅2=32a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Soru 171Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=mx+df(x) = mx + d doğrusal fonksiyonu veriliyor. Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri için her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) eşitliği sağlanmaktadır.

f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16

olduğuna göre, a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

29
Ortak farkı pozitif olan aritmetik dizinin ortak farkı r=3r = 3 ve beşinci terimi a5=8a_5 = 8 olarak hesaplandığında, on ikinci terim a5+7r=8+21=29a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyon ile aritmetik dizi arasındaki ilişkiyi kurma.
f(x)=mx+df(x) = mx + d fonksiyonu için an=f(n)=mn+da_n = f(n) = mn + d olduğundan, dizinin ortak farkı r=mr = m olur.
Doğrusal fonksiyonun n değişkenine göre değişim oranı sabittir ve bu oran aritmetik dizinin ortak farkına eşittir.
2
f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18 eşitliğini kullanarak ortak farkı (rr) bulma.
f(a3)−f(a1)=m(a3−a1)=r(2r)=2r2=18  ⟹  r2=9f(a_3) - f(a_1) = m(a_3 - a_1) = r(2r) = 2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3 bulunur.
Aritmetik dizide terimler arasındaki fark indisler farkının ortak fark ile çarpımına eşittir (a3−a1=2ra_3 - a_1 = 2r).
3
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16 eşitliğinden yararlanarak beşinci terimi bulma.
a2+a8=2a5=16  ⟹  a5=8a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 bulunur.
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
4
Bulunan değerler yardımıyla a12a_{12} terimini hesaplama.
a12=a5+7r=8+7(3)=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 7(3) = 29 bulunur.
Bir terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim özelliği kullanılarak istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde doğrusal fonksiyon ilişkisi, ortak fark ve indis özellikleri.
Soru 172Soru →

Ortak çarpanı pozitif bir gerçel sayı olan (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S3=7⋅a4S_6 - S_3 = 7 \cdot a_4

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
İlk 6 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5+a6a_4 + a_5 + a_6 kalır. Bu ifade a4a_4 cinsinden yazıldığında a4(1+r+r2)a_4(1 + r + r^2) olur. Soruda bu farkın 7a47a_4 değerine eşit olduğu belirtilmiştir. a4a_4 terimleri sadeleştirildiğinde 1+r+r2=71 + r + r^2 = 7 denklemi, buradan da r2+r−6=0r^2 + r - 6 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler r=2r = 2 ve r=−3r = -3 olarak bulunur. Ortak çarpanın pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtildiğinden doğru değer 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 6 terim toplamı ile ilk 3 terim toplamı arasındaki farkı dizi terimleri cinsinden ifade edin.
S6−S3=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)−(a1+a2+a3)=a4+a5+a6S_6 - S_3 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (a_1 + a_2 + a_3) = a_4 + a_5 + a_6
İlk nn terim toplamının tanımına göre, ilk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimler kalır.
2
Elde edilen terimleri geometrik dizinin ortak çarpanı olan rr türünden a4a_4 ortak parantezinde yazın.
a5=a4⋅ra_5 = a_4 \cdot r ve a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 olduğundan S6−S3=a4+a4⋅r+a4⋅r2=a4(1+r+r2)S_6 - S_3 = a_4 + a_4 \cdot r + a_4 \cdot r^2 = a_4(1 + r + r^2) olur.
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltarak ortak çarpanı yalnız bırakabilmek için terimleri ortak bir çarpan parantezine almak gerekir.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazarak ortak çarpanı bulun.
a4(1+r+r2)=7⋅a4a_4(1 + r + r^2) = 7 \cdot a_4 eşitliğinde terimleri pozitif olan dizide a4≠0a_4 \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılırsa 1+r+r2=7  ⟹  r2+r−6=01 + r + r^2 = 7 \implies r^2 + r - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (r+3)(r−2)=0(r+3)(r-2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpan pozitif bir gerçel sayı olduğundan r=2r = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çözüp sorudaki pozitiflik şartını sağlayan ortak çarpan değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı ile ardışık terimler arasındaki ilişkiyi kurma.
Soru 173Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi 1212 olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin ilk terimi 3'tür.
Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen r8−1=17(r4−1)r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) denkleminden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. Üçüncü terim a3=a1⋅r2=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 olduğundan a1⋅4=12  ⟹  a1=3a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S8S_8 ve S4S_4 için yazmak
S8=a1⋅r8−1r−1S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} ve S4=a1⋅r4−1r−1S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}
Verilen S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğinde ortak çarpan rr değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.
2
S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğini çözerek ortak çarpan rr'yi bulmak
a1⋅r8−1r−1=17⋅a1⋅r4−1r−1  ⟹  r8−1=17(r4−1)  ⟹  (r4−1)(r4+1)=17(r4−1)a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1). r≠1r \neq 1 ve terimler pozitif olduğundan, r4+1=17  ⟹  r4=16  ⟹  r=2r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 elde edilir.
Ortak çarpan rr belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.
3
Dizinin üçüncü terimi a3=12a_3 = 12 bilgisini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulmak
a3=a1⋅r2  ⟹  12=a1⋅22  ⟹  12=4a1  ⟹  a1=3a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan rr elde edilebilir.
Soru 174Soru →
Ortak farkı sıfırdan farklı ve terimleri sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
Verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 denkleminde her terim a1a_1 ve rr cinsinden yazıldığında, denklemin sol tarafı a12+5a1r+6r2a_1^2 + 5a_1r + 6r^2, sağ tarafı ise a12+7a1ra_1^2 + 7a_1r olur. Buradan a12a_1^2 terimleri sadeleşir ve 6r2=2a1r6r^2 = 2a_1r kalır. Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için bu eşitlikten a1=3ra_1 = 3r bulunur. İstenen a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı ise a1+5ra1+r\frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} şeklindedir. Burada a1a_1 yerine 3r3r yazılırsa oran 8r4r=2\frac{8r}{4r} = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin terimlerini birinci terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden yazın.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r ve a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r olarak ifade edilir.
Tüm bilinmeyen terimleri aynı iki temel değişken cinsinden ifade ederek ortak bir denklem çözümü elde etmek.
2
Bu terimleri verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 eşitliğinde yerine yazın ve denklemi sadeleştirin.
(a1+2r)(a1+3r)=a1(a1+7r)⇒a12+5a1r+6r2=a12+7a1r⇒6r2=2a1r(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = a_1(a_1 + 7r) \Rightarrow a_1^2 + 5a_1r + 6r^2 = a_1^2 + 7a_1r \Rightarrow 6r^2 = 2a_1r elde edilir.
Terimlerin çarpımını dağıtarak benzer terimleri sadeleştirmek ve sade bir bağıntıya ulaşmak.
3
Ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu kullanarak birinci terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulun.
a1=3ra_1 = 3r olarak bulunur.
r≠0r \neq 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafını 2r2r ile bölmekte bir sakınca yoktur.
4
Bulunan a1=3ra_1 = 3r eşitliğini kullanarak a6a2\frac{a_6}{a_2} oranını hesaplayın.
a6a2=a1+5ra1+r=3r+5r3r+r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} = \frac{3r + 5r}{3r + r} = 2 bulunur.
İstenen oranı tek bir değişken cinsinden yazıp sadeleştirerek sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimlerinin genel terim formülü kullanılarak cebirsel olarak ifade edilmesi ve çözülmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm terimleri a2a_2 ve rr cinsinden yazabiliriz. a1=a2−ra_1 = a_2 - r, a3=a2+ra_3 = a_2 + r, a4=a2+2ra_4 = a_2 + 2r ve a8=a2+6ra_8 = a_2 + 6r ifadeleri denklemde yerine yazıldığında (a2+r)(a2+2r)=(a2−r)(a2+6r)⇒a22+3a2r+2r2=a22+5a2r−6r2⇒8r2=2a2r(a_2+r)(a_2+2r) = (a_2-r)(a_2+6r) \Rightarrow a_2^2 + 3a_2r + 2r^2 = a_2^2 + 5a_2r - 6r^2 \Rightarrow 8r^2 = 2a_2r olur. r≠0r \neq 0 olduğundan a2=4ra_2 = 4r bulunur. Bu durumda a6=a2+4r=8ra_6 = a_2 + 4r = 8r olacağından a6a2=8r4r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{8r}{4r} = 2 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 175Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S3=26S_3 = 26
S6=728S_6 = 728

olduğuna göre, bu dizinin ilk 44 teriminin toplamı (S4S_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Verilen geometrik dizide ilk 6 terimin toplamının ilk 3 terimin toplamına oranı, ortak çarpanın küpünün 1 fazlasını vermektedir. Bu orandan ortak çarpan 3, dizinin ilk terimi ise 2 olarak hesaplanır. İlk 4 terimin toplam formülü olan S_4 uygulanarak 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 6 terim toplamının ilk 3 terim toplamına oranını yazarak ortak çarpan ile ilişkisini kurmak.
S_6 / S_3 = r^3 + 1
Geometrik dizi toplam formülü oranlandığında a_1 ve r - 1 çarpanları sadeleşir, geriye iki kare farkından r^3 + 1 kalır.
2
Oran değerini eşitleyerek dizinin ortak çarpanını hesaplamak.
r = 3
728 / 26 = 28 olduğundan r^3 + 1 = 28 eşitliği elde edilir, bu da r^3 = 27 ve r = 3 sonucunu verir.
3
İlk 3 terimin toplamını kullanarak dizinin ilk terimini bulmak.
a_1 = 2
S_3 = a_1 * (3^3 - 1) / (3 - 1) = 13 * a_1 = 26 denkleminden ilk terim bulunur.
4
Bulunan ilk terim ve ortak çarpanı toplam formülünde yerine koyarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 80
S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 80 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası oran bağıntıları.
Soru 176Soru →
Terimleri pozitif tam sayılardan oluşan ve ortak farkı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15
aa1=7a_{a_1} = 7
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21
Dizinin ilk üç teriminin toplamından ortanca terim olan a2=5a_2 = 5 elde edilir. Ortak fark rr alındığında ilk terim a1=5−ra_1 = 5-r olur. İndis bağıntısı aa1=7a_{a_1} = 7 yerine yazıldığında (5−r)+(4−r)r=7(5-r) + (4-r)r = 7 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde r=1r=1 veya r=2r=2 bulunur. Ortak farkı 1'den büyük olduğu koşulundan dolayı r=2r=2 seçilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9r=3+18=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 18 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde ardışık terimlerin toplamı özelliğini kullanarak ikinci terimi belirleme.
a1+a2+a3=3a2=15  ⟹  a2=5a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 = 15 \implies a_2 = 5 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir (a1+a3=2a2a_1 + a_3 = 2a_2).
2
Dizinin ortak farkını rr kabul edip ilk terimi rr cinsinden yazma ve indis bağıntısını kullanarak denklem kurma.
a1=a2−r=5−ra_1 = a_2 - r = 5 - r olur. Genel terim formülü olan an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r ifadesinde n=a1n = a_1 yazılarak aa1=a1+(a1−1)r=7  ⟹  (5−r)+(5−r−1)r=7a_{a_1} = a_1 + (a_1 - 1)r = 7 \implies (5-r) + (5-r-1)r = 7 denklemi elde edilir.
Verilen aa1=7a_{a_1} = 7 eşitliğinde terimlerin değerlerini tek bir değişkene bağlı olarak ifade etmek.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleyip çözerek ortak farkı ve ilk terimi belirleme.
5−r+(4−r)r=7  ⟹  −r2+3r+5=7  ⟹  r2−3r+2=0  ⟹  (r−1)(r−2)=05 - r + (4-r)r = 7 \implies -r^2 + 3r + 5 = 7 \implies r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2) = 0 olur. Buradan r=1r = 1 veya r=2r = 2 bulunur. Soruda ortak farkın 1'den büyük olduğu belirtildiği için r=2r = 2 alınır. İlk terim ise a1=5−2=3a_1 = 5 - 2 = 3 olarak bulunur.
Soru kökündeki kısıtlamaları uygulayarak dizinin parametrelerini netleştirmek.
4
Dizinin 10. terimini hesaplama.
a10=a1+9r=3+9(2)=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9(2) = 21 olarak hesaplanır.
Genel terim formülü kullanılarak hedef terime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimlerin ilişkisi, genel terim formülü ve indis özellikleri
Soru 177Soru →

Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisi veriliyor.

x2−(a4+9)x+a2⋅a5=0x^2 - (a_4 + 9)x + a_2 \cdot a_5 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri bu dizinin a2a_2 ve a5a_5 terimleridir.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Sekizinci terim (a8a_8) 24'tür.
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı kuralından köklerin toplamı olan a2+a5a_2 + a_5 ifadesi, a4+9a_4 + 9'a eşit olur. Dizinin ilk terimi ortak farkına eşit olduğundan (a1=ra_1 = r), terimler a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r ve a5=5ra_5 = 5r şeklinde yazılır. Buradan 2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3 elde edilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olup, sekizinci terim a8=a1+7r=3+21=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 21 = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimlerini ortak fark rr cinsinden ifade edin.
a1=ra_1 = r, a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r, a5=5ra_5 = 5r
İlk terimin ortak farka eşit olduğu (a1=ra_1 = r) belirtilmiştir.
2
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı bağıntısını yazın.
a2+a5=a4+9a_2 + a_5 = a_4 + 9
x2−Bx+C=0x^2 - Bx + C = 0 biçimindeki bir denklemde kökler toplamı BB katsayısına eşittir.
3
Elde edilen denklemde terimlerin rr cinsinden değerlerini yerine yazarak ortak farkı hesaplayın.
2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3
Ortak farkı bulmak, dizinin tüm terimlerini belirlememizi sağlar.
4
Bulunan değerler yardımıyla dizinin sekizinci terimini hesaplayın.
a8=a1+7r=3+7⋅3=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 7 \cdot 3 = 24
Bir aritmetik dizide genel terim formülü an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r şeklindedir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin temel terim özellikleri ve ikinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (Vieta) ilişkisinin birlikte kullanımı.
Soru 178Soru →

Bir su kuyusu açma firması, kuyunun ilk 11 metresini kazmak için 1200 TL1200\text{ TL} ücret almaktadır. Sonraki her 11 metrelik kazı işlemi için alınan ücret, bir önceki metrenin ücretine göre sabit bir miktar artmaktadır.

Bu kuyunun sadece 10.10\text{.} metresini kazmanın ücreti 2100 TL2100\text{ TL} olduğuna göre, toplam 1515 metre derinliğinde bir kuyu açtırmak isteyen bir kişinin ödeyeceği toplam tutar kaç TL\text{TL}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2850028500

Cevap

Toplam ödenecek tutar 28500 TL28500\text{ TL}'dir.
Ortak farkı d=100d = 100 olan aritmetik dizinin ilk 15 teriminin toplamı S15=28500S_{15} = 28500 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyu kazma işleminde her metreye ait ücretlerin oluşturduğu diziyi tanımlamak.
a1=1200a_1 = 1200 ve a10=2100a_{10} = 2100 olan bir aritmetik dizi elde edilir.
Ücret artışı her metre için sabit olduğundan bu kurgu bir aritmetik dizi belirtir.
2
Dizinin genel terim formülünü kullanarak ortak farkı (dd) hesaplamak.
a10=a1+9d  ⟹  2100=1200+9d  ⟹  9d=900  ⟹  d=100 TLa_{10} = a_1 + 9d \implies 2100 = 1200 + 9d \implies 9d = 900 \implies d = 100\text{ TL} olarak bulunur.
Aritmetik dizide terimler arasındaki geçişi sağlayan ortak farkı bulmak için.
3
İlk 15 terimin toplamı olan S15S_{15} değerini hesaplamak.
S15=152⋅[2a1+14d]=15⋅a1+15⋅7d=15⋅1200+15⋅700=18000+10500=28500 TLS_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2a_1 + 14d] = 15 \cdot a_1 + 15 \cdot 7d = 15 \cdot 1200 + 15 \cdot 700 = 18000 + 10500 = 28500\text{ TL} bulunur.
15 metre derinliğindeki kuyu için ödenecek toplam tutarı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Soru 179Soru →

Bir dijital içerik üreticisi, kanalında her hafta bir önceki haftadan daha fazla video yayınlamayı planlamaktadır. İlk hafta 44 video yayınlayan bu üretici, takip eden her hafta yayınladığı video sayısını bir önceki haftaya göre sabit bir sayıda artırmıştır.

Bu üreticinin ilk 66 haftada yayınladığı toplam video sayısı, ilk 33 haftada yayınladığı toplam video sayısının 33 katından 1212 fazladır.

Buna göre, üreticinin 1010. haftada yayınladığı video sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Üreticinin 10. haftada yayınladığı video sayısı 40'tır.
Dizinin ilk terimi a1=4a_1 = 4 ve ortak farkı dd olarak alındığında, ilk 66 ve ilk 33 haftadaki toplam video sayıları sırasıyla S6=24+15dS_6 = 24 + 15d ve S3=12+3dS_3 = 12 + 3d olur. S6=3S3+12S_6 = 3S_3 + 12 eşitliğinden d=4d = 4 bulunur. Buradan 10. haftadaki video sayısı a10=4+9(4)=40a_{10} = 4 + 9(4) = 40 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Adım 1: Haftalık yayınlanan video sayısının bir aritmetik dizi oluşturduğunu belirleme.
Sonuç: İlk terim a1=4a_1 = 4 ve ortak fark dd olarak alınır. Genel terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ve ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] şeklindedir.
Neden: Her hafta yayınlanan video sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir miktarda artmaktadır.
2
Adım 2: İlk 66 ve ilk 33 haftadaki toplam video sayılarını ortak fark dd cinsinden yazma.
Sonuç: S6=3(8+5d)=24+15dS_6 = 3(8 + 5d) = 24 + 15d ve S3=32(8+2d)=12+3dS_3 = \frac{3}{2}(8 + 2d) = 12 + 3d elde edilir.
Neden: Soruda verilen toplam video sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak dd bilinmeyenini bulmak hedeflenmektedir.
3
Adım 3: Verilen bağıntıyı kullanarak dd ortak farkını bulma.
Sonuç: 24+15d=3(12+3d)+12  ⟹  24+15d=48+9d  ⟹  6d=24  ⟹  d=424 + 15d = 3(12 + 3d) + 12 \implies 24 + 15d = 48 + 9d \implies 6d = 24 \implies d = 4 bulunur.
Neden: İlk 66 haftalık toplamın, ilk 33 haftalık toplamın 33 katından 1212 fazla olduğu bilgisi eşitlik olarak kurulur.
4
Adım 4: 10. haftada yayınlanan video sayısını (a10a_{10}) hesaplama.
Sonuç: a10=a1+9d=4+9(4)=40a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9(4) = 40 olarak elde edilir.
Neden: Üreticinin sadece 10. haftada yayınladığı video sayısı dizinin 10. terimi olan a10a_{10}'a eşittir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerinde uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 180Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında,
a5+a15=34a_5 + a_{15} = 34
a4+a8=18a_4 + a_8 = 18
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a10=17a_{10} = 17 ve a6=9a_6 = 9 değerleri bulunur. Buradan dizinin ortak farkı r=2r = 2 olarak elde edilir. Son adımda a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r eşitliğinden 12. terim 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
a5+a15=34a_5 + a_{15} = 34 eşitliğini kullanarak dizinin 10. terimini bulunuz.
a10=17a_{10} = 17
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı eşittir. Dolayısıyla a5+a15=2a10a_5 + a_{15} = 2a_{10} yazılabilir.
2
a4+a8=18a_4 + a_8 = 18 eşitliğini kullanarak dizinin 6. terimini bulunuz.
a6=9a_6 = 9
Benzer şekilde indisler toplamı kuralından a4+a8=2a6a_4 + a_8 = 2a_6 yazılabilir.
3
Dizinin ortak farkı rr'yi bulunuz.
r=2r = 2
a10=a6+4ra_{10} = a_6 + 4r ilişkisinden 17=9+4r  ⟹  4r=8  ⟹  r=217 = 9 + 4r \implies 4r = 8 \implies r = 2 elde edilir.
4
Dizinin 12. terimini bulunuz.
a12=21a_{12} = 21
a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda a12=17+2(2)=21a_{12} = 17 + 2(2) = 21 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimler arası ilişkiler, indis özellikleri ve ortak fark hesabı
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 9 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin