Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 141Soru →

Bir kenar uzunluğu 32 cm32\text{ cm} olan kare biçimindeki bir kartonun kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karenin de kenar orta noktaları birleştirilerek bir sonraki kare elde ediliyor ve bu işlem benzer şekilde devam ettiriliyor.

Elde edilen nn. karenin çevresi CnC_n santimetre, alanı ise AnA_n santimetrekare ile gösterilmektedir.

Buna göre, Cn≥AnC_n \geq A_n koşulunu sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 7'dir.
Soruda istenen Cn≥AnC_n \geq A_n koşulu, geometrik dizinin kuralları uygulanıp genel terimler çıkarıldığında 215−n2≥211−n2^{\frac{15-n}{2}} \geq 2^{11-n} eşitsizliğine indirgenir. Bu üslü eşitsizlik çözüldüğünde n≥7n \geq 7 elde edilir ve en küçük pozitif tam sayı değeri olan 7 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel kenar uzunluğu dizisini oluşturma
sn=211−n2s_n = 2^{\frac{11-n}{2}}
Karenin orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen yeni karenin kenar uzunluğu her seferinde 22\frac{\sqrt{2}}{2} oranında azalır ve bu bir geometrik dizi belirtir.
2
CnC_n çevre dizisinin genel terimini bulma
Cn=215−n2C_n = 2^{\frac{15-n}{2}}
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.
3
AnA_n alan dizisinin genel terimini bulma
An=211−nA_n = 2^{11-n}
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
4
Cn≥AnC_n \geq A_n eşitsizliğini çözerek en küçük nn değerini bulma
n≥7n \geq 7 olduğundan en küçük n=7n = 7
Üslü eşitsizliğin tabanı 1'den büyük olduğu için üslerin eşitsizliği doğrudan çözülür.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerin genel terimlerinin gerçek hayat ve geometri problemlerinde modellenmesi ve üslü eşitsizlikler yardımıyla çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 142Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a7−a5a4−a2=8\frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8
a1+a3=30a_1 + a_3 = 30

eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin ilk terimi 6'dır.
Ortak çarpanı r=2r = 2 olan pozitif terimli geometrik dizide a1+a3=30a_1 + a_3 = 30 eşitliği a1+a1⋅22=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_1 \cdot 2^2 = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 sonucunu verir. Bu nedenle ilk terim 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ifadesini kullanarak verilen ilk eşitlikteki terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp sadeleştirelim.
a7=a1⋅r6a_7 = a_1 \cdot r^6, a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3 ve a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r yazılır. Buradan oran a1⋅r6−a1⋅r4a1⋅r3−a1⋅r=a1⋅r4(r2−1)a1⋅r(r2−1)=r3\frac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r} = \frac{a_1 \cdot r^4 (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r (r^2 - 1)} = r^3 olarak elde edilir.
Eşitlikteki terimleri ortak çarpan cinsinden sadeleştirerek ortak çarpan rr değerini bulmak için.
2
Bulunan r3=8r^3 = 8 eşitliğinden dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r3=8⇒r=2r^3 = 8 \Rightarrow r = 2 bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif bir gerçel sayıdır (r=2r = 2).
İkinci denklemde yerine yazarak ilk terimi bulabilmek için ortak çarpan değerine ihtiyacımız vardır.
3
İkinci denklemde a3a_3 terimini a1a_1 ve rr cinsinden yazıp, r=2r = 2 değerini yerine koyarak a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1+a3=30⇒a1+a1⋅r2=30⇒a1(1+r2)=30⇒a1(1+22)=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_3 = 30 \Rightarrow a_1 + a_1 \cdot r^2 = 30 \Rightarrow a_1(1 + r^2) = 30 \Rightarrow a_1(1 + 2^2) = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 elde edilir.
Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.
Soru 143Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a5+a9+a13=36a_5 + a_9 + a_{13} = 36

ve

a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin birinci terimi (a1a_1) 4 olarak bulunur.
Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve a3=6a_3 = 6, a15=18a_{15} = 18 olmalıdır. Buradan ortak fark r=1r = 1 ve birinci terim a1=4a_1 = 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak a9a_9 ve a3+a15a_3 + a_{15} değerlerini bulunuz.
a9=12a_9 = 12 ve a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24
Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan a5+a13=2a9a_5 + a_{13} = 2a_9 yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan a5+a9+a13=3a9=36  ⟹  a9=12a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12 olur. Benzer şekilde a3+a15=2a9=24a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24 elde edilir.
2
a3a_3 ve a15a_{15} terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.
a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18
a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 ve a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108 bağıntılar��nı sağlayan sayılar x2−24x+108=0x^2 - 24x + 108 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına (x−6)(x−18)=0(x-6)(x-18) = 0 olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18 olur.
3
Dizinin ortak farkını (rr) ve birinci terimini (a1a_1) hesaplayınız.
r=1r = 1 ve a1=4a_1 = 4
Terimler arasındaki farktan ortak fark a15−a3=12r  ⟹  18−6=12r  ⟹  r=1a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1 olarak bulunur. Birinci terim ise a3=a1+2r  ⟹  6=a1+2(1)  ⟹  a1=4a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4 şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri
Soru 144Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1⋅a9=64a_1 \cdot a_9 = 64
a3+a7=34a_3 + a_7 = 34

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu geometrik dizinin ortak çarpanının alabileceği değerlerden küçük olanı , büyük olanı ise dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpanın alabileceği değerlerden küçük olanı 1/2, büyük olanı ise 2'dir.
Ortak çarpanın alabileceği değerler 1/21/2 ve 22 olup, küçük olan değer 1/21/2 (veya 0.5), büyük olan değer ise 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımları arasında ilişki kurmak.
a3⋅a7=a1⋅a9=64a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = 64 olarak elde edilir.
Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=1+9=103 + 7 = 1 + 9 = 10).
2
Toplamları 34 ve çarpımları 64 olan a3a_3 ve a7a_7 terimlerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem oluşturmak.
t2−34t+64=0  ⟹  (t−2)(t−32)=0t^2 - 34t + 64 = 0 \implies (t-2)(t-32) = 0 denkleminin kökleri 22 ve 3232 olarak bulunur. Dolayısıyla {a3,a7}={2,32}\{a_3, a_7\} = \{2, 32\} kümesi elde edilir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan sayılar, t2−St+P=0t^2 - St + P = 0 denkleminin kökleridir.
3
Her iki durum için ortak çarpan rr değerlerini hesaplamak.
1. Durum: a3=2a_3 = 2 ve a7=32a_7 = 32 ise r4=32/2=16  ⟹  r=2r^4 = 32/2 = 16 \implies r = 2 bulunur. 2. Durum: a3=32a_3 = 32 ve a7=2a_7 = 2 ise r4=2/32=1/16  ⟹  r=1/2r^4 = 2/32 = 1/16 \implies r = 1/2 bulunur.
Dizinin ardışık olmayan terimleri arasında a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisi vardır. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan rr pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde indis toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliği ve terimler arası oran yardımıyla ortak çarpan bulma.
Soru 145Soru →

Aslı ve Banu, aynı gün birer birikim hesabı açarak para biriktirmeye başlamışlardır.

* Aslı, ilk ay hesabına 100 TL100\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktardan 20 TL20\text{ TL} daha fazla para yatırmıştır.
* Banu, ilk ay hesabına 10 TL10\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktarın 22 katı kadar para yatırmıştır.

Buna göre, her iki arkadaşın hesaplarında biriken toplam para miktarı göz önüne alındığında, kaçıncı ayın sonunda Banu'nun hesabındaki toplam para miktarı ilk kez Aslı'nınkinden fazla olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Banu'nun biriken parasının Aslı'nın biriken parasını ilk kez geçtiği ay 7. aydır.
Yapılan hesaplamalarda Aslı'nın biriken toplam parası 10n2+90n10n^2 + 90n, Banu'nun biriken toplam parası ise 10(2n−1)10(2^n - 1) olarak bulunmuştur. n=7n = 7 değeri için Banu'nun toplam parası (1270 TL1270\text{ TL}), Aslı'nın toplam parasından (1120 TL1120\text{ TL}) ilk kez daha fazla olmaktadır. Bu yüzden 7 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aslı'nın her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu aritmetik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SA(n)S_A(n) formülünü yazınız.
Aslı'nın ödemeleri ilk terimi a1=100a_1 = 100 ve ortak farkı d=20d = 20 olan bir aritmetik dizidir. nn. terim: an=100+(n−1)20=20n+80a_n = 100 + (n-1)20 = 20n + 80. İlk nn terim toplamı: SA(n)=n2(a1+an)=n2(100+20n+80)=10n2+90nS_A(n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(100 + 20n + 80) = 10n^2 + 90n.
Toplam birikimi bulabilmek için aritmetik dizi toplam formülünün oluşturulması gerekir.
2
Banu'nun her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu geometrik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SB(n)S_B(n) formülünü yazınız.
Banu'nun ödemeleri ilk terimi b1=10b_1 = 10 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan bir geometrik dizidir. İlk nn terim toplamı: SB(n)=b1rn−1r−1=102n−12−1=10(2n−1)S_B(n) = b_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} = 10 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 10(2^n - 1).
Banu'nun toplam birikimini ifade etmek için geometrik dizi toplam formülü kullanılmalıdır.
3
Banu'nun birikiminin Aslı'nın birikiminden fazla olmasını sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısını belirlemek için SB(n)>SA(n)S_B(n) > S_A(n) eşitsizliğini çözünüz.
10(2n−1)>10n2+90n  ⟹  2n−1>n2+9n10(2^n - 1) > 10n^2 + 90n \implies 2^n - 1 > n^2 + 9n. Değerleri denersek: n=6n = 6 için 26−1=632^6 - 1 = 63 ve 62+9(6)=906^2 + 9(6) = 90 olup 63>9063 > 90 sağlanmaz. n=7n = 7 için 27−1=1272^7 - 1 = 127 ve 72+9(7)=1127^2 + 9(7) = 112 olup 127>112127 > 112 sağlanır.
Eşitsizliğin her iki tarafı sadeleştirilerek deneme yöntemiyle en küçük nn tam sayısı tespit edilir.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formüllerinin uygulanması ve karşılaştırılması.
Soru 146Soru →

Ortak farkı rr olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk terimi a1a_1'dir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=r⋅x+a1f(x) = r \cdot x + a_1 doğrusal fonksiyonu için her nn pozitif tam sayısı adına

f(n)=an+4f(n) = a_n + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri arasında

a3+a9=30a_3 + a_9 = 30

bağıntısı olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri −5-5'tir.
Ortak fark r=4r = 4 olarak belirlendikten sonra, a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 denkleminde yerine yazıldığında 2a1+40=30  ⟹  2a1=−10  ⟹  a1=−52a_1 + 40 = 30 \implies 2a_1 = -10 \implies a_1 = -5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(n)f(n) fonksiyonu ile ana_n dizisi arasındaki ilişkiyi yazarak ortak fark rr'yi belirleme.
r=4r = 4
an=a1+(n−1)r=rn+a1−ra_n = a_1 + (n - 1)r = rn + a_1 - r genel terimi f(n)=rn+a1f(n) = rn + a_1 ifadesinde yerine yazıldığında, f(n)−an=rf(n) - a_n = r elde edilir. Soruda f(n)=an+4f(n) = a_n + 4 olarak verildiğinden r=4r = 4 bulunur.
2
a3+a9=30a_3 + a_9 = 30 indis özelliğini kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden bir denklem elde etme.
a1+5r=15a_1 + 5r = 15
Aritmetik dizide a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r ve a9=a1+8ra_9 = a_1 + 8r olduğundan, bu terimlerin toplamı a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 olur. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde a1+5r=15a_1 + 5r = 15 denklemi bulunur.
3
Bulunan r=4r = 4 değerini denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplama.
a1=−5a_1 = -5
a1+5(4)=15  ⟹  a1+20=15  ⟹  a1=−5a_1 + 5(4) = 15 \implies a_1 + 20 = 15 \implies a_1 = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Soru 147Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a7=a5+6a3a_7 = a_5 + 6a_3
a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

2\sqrt{2}
Dizinin terimleri an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} şeklinde yazıldığında, birinci denklemden r2=3r^2 = 3 elde edilir. İkinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi, geometrik dizi özelliği gereği a32=18a_3^2 = 18 eşitliğini verir. Buradan pozitif terimli dizi için a3=32a_3 = 3\sqrt{2} olur. Son olarak a1=a3/r2a_1 = a_3 / r^2 bağıntısından a1=2a_1 = \sqrt{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen eşitliği ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a7=a5+6a3  ⟹  a1r6=a1r4+6a1r2a_7 = a_5 + 6a_3 \implies a_1 r^6 = a_1 r^4 + 6 a_1 r^2
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulmak.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip rr değerini bulalım.
a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölebiliriz:
r4=r2+6  ⟹  r4−r2−6=0r^4 = r^2 + 6 \implies r^4 - r^2 - 6 = 0
Bu denklem (r2−3)(r2+2)=0(r^2 - 3)(r^2 + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan r2>0r^2 > 0 olmalıdır. Buradan r2=3r^2 = 3 bulunur.
Ortak çarpanın karesini (r2r^2) belirlemek.
3
İkinci eşitliği kullanarak üçüncü terimi (a3a_3) bulalım.
Geometrik dizide ardışık terimlerin özelliğinden a2⋅a4=a32a_2 \cdot a_4 = a_3^2 olur. Verilen a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 eşitliğinden:
a32=18  ⟹  a3=18=32a_3^2 = 18 \implies a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
(Dizinin terimleri pozitif olduğundan pozitif kök alınır.)
İkinci denklemden dizinin üçüncü terimini elde etmek.
4
İlk terimi (a1a_1) hesaplayalım.
a3=a1⋅r2  ⟹  32=a1⋅3  ⟹  a1=2a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 3\sqrt{2} = a_1 \cdot 3 \implies a_1 = \sqrt{2}
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak a1a_1 değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ikinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi doğrudan a1r⋅a1r3=a12r4=18a_1 r \cdot a_1 r^3 = a_1^2 r^4 = 18 şeklinde yazılabilir. İlk denklemden elde edilen r2=3r^2 = 3 değeri burada yerine konulursa: a12⋅32=18  ⟹  9a12=18  ⟹  a12=2a_1^2 \cdot 3^2 = 18 \implies 9 a_1^2 = 18 \implies a_1^2 = 2 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a1=2a_1 = \sqrt{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 148Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -36

Cevap

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.
Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim a6=8a_6 = 8 ve ortak farkın karesi r2=4r^2 = 4 olarak elde edilir. İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında a62−25r2a_6^2 - 25r^2 ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç −36-36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16 toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (a6a_6) belirlemek.
a6=8a_6 = 8
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. 2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan a2+a10=2a6a_2 + a_{10} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60 çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (r2r^2) bulmak.
r2=4r^2 = 4
a5=a6−ra_5 = a_6 - r ve a7=a6+ra_7 = a_6 + r olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur: (a6−r)(a6+r)=a62−r2(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2. Değerler yerine konduğunda 82−r2=60  ⟹  64−r2=608^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60 elde edilir.
3
İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesini a6a_6 ve rr cinsinden yazmak.
a1⋅a11=a62−25r2a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2
a1=a6−5ra_1 = a_6 - 5r ve a11=a6+5ra_{11} = a_6 + 5r ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği a62−(5r)2=a62−25r2a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2 sonucunu verir.
4
Elde edilen a6=8a_6 = 8 ve r2=4r^2 = 4 değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.
−36-36
a1⋅a11=82−25⋅4=64−100=−36a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Tüm terimleri birinci terim a1a_1 ve ortak fark rr cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 149Soru →

Bir teknoloji ��irketi, yeni piyasaya sürdüğü bir akıllı cihazın haftalık satış adetlerini incelemektedir. Cihazın satışa sunulduğu ilk hafta belirli sayıda satış yapılmış ve sonraki her hafta satılan cihaz sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir oranda artarak geometrik bir dizi oluşturmuştur. Bu cihazın ilk 4 haftada satılan toplam adedi, ilk 2 haftada satılan toplam adedinin 10 katıdır. Cihazın 5. haftadaki satış adedi, ilk haftadaki satış adedinden 2400 fazla olduğuna göre, bu cihaz ilk hafta kaç adet satılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Cihazın ilk hafta satılan adedi 30'dur.
Cihazın haftalık satışları geometrik bir dizi oluşturduğu için ilk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satışa oranı kullanılarak ortak çarpan r=3r = 3 olarak belirlenir. Daha sonra, 5. hafta ile 1. hafta arasındaki fark denkleminde ortak çarpan yerine yazıldığında ilk hafta satılan cihaz sayısı a1=30a_1 = 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim ve ilk nn terim toplamı formüllerini tanımlamak.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ve an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Problemi çözmek için haftalık toplam satışları ve belirli bir haftadaki satışı matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
İlk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satış��n 10 katı olduğu bilgisini denkleme dökmek.
a1⋅r4−1r−1=10⋅a1⋅r2−1r−1a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} = 10 \cdot a_1 \cdot \frac{r^2 - 1}{r - 1}
Ortak çarpan rr değerini belirleyebilmek için toplam terim formüllerini oranlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip iki kare farkı özdeşliği kullanarak ortak çarpanı çözmek.
r2+1=10⇒r2=9⇒r=3r^2 + 1 = 10 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3
a1a_1 ve r−1r-1 terimleri sadeleştirildikten sonra r4−1r^4-1 ifadesi (r2−1)(r2+1)(r^2-1)(r^2+1) şeklinde açılarak rr değeri kolayca bulunur.
4
5. hafta satışı ile 1. hafta satışı arasındaki farkı kullanarak ilk terimi veren denklemi kurmak.
a5−a1=2400⇒a1(r4−1)=2400a_5 - a_1 = 2400 \Rightarrow a_1(r^4 - 1) = 2400
İlk hafta satılan cihaz miktarını (a1a_1) bulmak için verilen fark bilgisinden yararlanılır.
5
r=3r = 3 değerini yerine yazarak ilk terimi hesaplamak.
80⋅a1=2400⇒a1=3080 \cdot a_1 = 2400 \Rightarrow a_1 = 30
Bulunan ortak çarpan denklemde yerine yazılarak bilinmeyen ilk terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi toplamı ve terimleri arasındaki ilişki ile gerçek hayat problemlerinin modellenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 150Soru →

Bir sanayi bölgesinde üretim yapan A ve B fabrikalarının yıllık üretim miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A fabrikasının yıllık üretim miktarı bir aritmetik dizinin, B fabrikasının yıllık üretim miktarı ise bir geometrik dizinin terimleriyle modellenmektedir.
* Her iki fabrikanın da 1. yıldaki üretim miktarları birbirine e��it ve 6464 bin adettir.
* A fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.
* A fabrikasının 5. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 3. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.

Buna göre, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı, A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarından kaç bin adet fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 704

Cevap

704
Doğru seçenekte belirtilen değer, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı (17281728 bin adet) ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı (10241024 bin adet) arasındaki net fark olan 704704 bin adeti ifade etmektedir. Kurulan aritmetik ve geometrik dizi denklemleri çözüldüğünde dizilerin parametreleri tek anlamlı şekilde r=3r=3 ve d=128d=128 olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri yazılır.
Aritmetik dizi için an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ve geometrik dizi için bn=b1⋅rn−1b_n = b_1 \cdot r^{n-1} formülleri kullanılır. Burada a1=b1=64a_1 = b_1 = 64 olarak verilmiştir.
Dizilerin sonraki terimlerini ilk terim cinsinden ifade edebilmek için.
2
Fabrikaların üretim miktarlarındaki eşitliklerden denklem sistemi kurulur.
a2=b2  ⟹  64+d=64r  ⟹  d=64(r−1)a_2 = b_2 \implies 64 + d = 64r \implies d = 64(r-1) ve a5=b3  ⟹  64+4d=64r2a_5 = b_3 \implies 64 + 4d = 64r^2 denklemleri elde edilir.
Soruda verilen ikinci ve üçüncü yıl eşitliklerini matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
3
Birinci denklemdeki dd değeri ikinci denklemde yerine yazılarak ortak çarpan rr çözülür.
64+4(64(r−1))=64r2  ⟹  1+4r−4=r2  ⟹  r2−4r+3=064 + 4(64(r-1)) = 64r^2 \implies 1 + 4r - 4 = r^2 \implies r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (r−3)(r−1)=0(r-3)(r-1) = 0 olup, diziler sabit olmadığından (r≠1r \neq 1) ortak çarpan r=3r = 3 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözmek için.
4
Dizinin ortak farkı dd hesaplanır.
d=64(3−1)=128d = 64(3-1) = 128 olarak bulunur.
Aritmetik dizinin terimlerini ve toplamını hesaplamak için gerekli olan ortak fark değerini bulmak amacıyla.
5
B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı hesaplanır.
B'nin 4. yıl üretimi: b4=64⋅33=1728b_4 = 64 \cdot 3^3 = 1728 bin adet. A'nın ilk 4 yıldaki toplam üretimi: S4=42[2(64)+3(128)]=2[128+384]=1024S_4 = \frac{4}{2}[2(64) + 3(128)] = 2[128 + 384] = 1024 bin adet.
İstenen farkı hesaplamak amacıyla her iki değerin büyüklüğünü belirlemek için.
6
Hesaplanan üretim değerleri arasındaki fark bulunur.
1728−1024=7041728 - 1024 = 704 bin adet olarak fark elde edilir.
Soruda istenen nihai fazlalık miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizi modellerinin kurulması, terim ilişkilerinin saptanması ve dizi toplam formüllerinin doğru uygulanması.

Alternatif Yöntem

Formül kullanmaksızın terimler tek tek yazılabilir. a1=64a_1 = 64 ve d=128d = 128 bulunduktan sonra A fabrikasının ilk 4 yıl üretimi sırasıyla 6464, 192192, 320320 ve 448448 olur. Bunların toplamı doğrudan 64+192+320+448=102464 + 192 + 320 + 448 = 1024 olarak toplanabilir. Benzer şekilde geometrik dizinin 4. terimi de adım adım b1=64  ⟹  b2=192  ⟹  b3=576  ⟹  b4=1728b_1 = 64 \implies b_2 = 192 \implies b_3 = 576 \implies b_4 = 1728 şeklinde ardışık olarak 3 ile çarpılarak bulunabilir. Buradan fark 1728−1024=7041728 - 1024 = 704 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 151Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a4⋅a8=1600a_4 \cdot a_8 = 1600
1a5+1a7=116\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.
Dizi terimlerinin indis ilişkisinden a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600 bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde a5+a7=100a_5 + a_7 = 100 elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olarak bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve üçüncü terim a3=5a_3 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis ilişkisini kullanarak a5⋅a7a_5 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600
Geometrik dizilerde i+j=k+li+j=k+l ise ai⋅aj=ak⋅ala_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l özelliğinden dolayı 4+8=5+7=124+8 = 5+7 = 12 olup a5⋅a7=a4⋅a8=1600a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600 olur.
2
Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.
a5+a7=100a_5 + a_7 = 100
Payda eşitleme yapıldığında a5+a7a5⋅a7=116\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16} elde edilir. Çarpım yerine 16001600 yazıldığında toplam 100100 olarak bulunur.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.
a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80
Kökleri a5a_5 ve a7a_7 olan denklem x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0 şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile (x−20)(x−80)=0(x-20)(x-80) = 0 elde edilir. Dizi artan olduğundan a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulma.
r=2r = 2
a7=a5⋅r2a_7 = a_5 \cdot r^2 eşitliğinden 80=20⋅r2  ⟹  r2=480 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 ve terimler pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur.
5
Dizinin üçüncü terimini (a3a_3) hesaplama.
a3=5a_3 = 5
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında 20=a3⋅4  ⟹  a3=520 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 152Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a7=16a_3 + a_7 = 16
a2+a10=22a_2 + a_{10} = 22
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplam�� olan a1+a15a_1 + a_{15} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplamı olan 34 değeri
Dizinin terimleri arasındaki indis özelliklerinden a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11 elde edilir. Buradan ortak fark r=a6−a5=3r = a_6 - a_5 = 3 bulunur. İlk terim a1=a5−4r=−4a_1 = a_5 - 4r = -4 ve 15. terim a15=a1+14r=38a_{15} = a_1 + 14r = 38 olup, bu iki terimin toplamı 34 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkilerini kullanarak a5a_5 ve a6a_6 terimlerini bulun.
a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (ap+aq=2a(p+q)/2a_p + a_q = 2a_{(p+q)/2}).
2
Ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplayarak dizinin ortak farkını (rr) bulun.
r=a6−a5=11−8=3r = a_6 - a_5 = 11 - 8 = 3
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve ortak farkı verir.
3
Dizinin ilk terimini (a1a_1) ve 15. terimini (a15a_{15}) hesaplayıp toplayın.
a1=a5−4r=8−12=−4a_1 = a_5 - 4r = 8 - 12 = -4 ve a15=a6+9r=11+27=38a_{15} = a_6 + 9r = 11 + 27 = 38. Buradan a1+a15=−4+38=34a_1 + a_{15} = -4 + 38 = 34 elde edilir.
Genel terim formülü an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kullanılarak dizinin istenen terimleri bulunur ve toplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark ve genel terim bağıntısı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 153Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, r>0r > 0 olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında
a2+a5+a8=24a_2 + a_5 + a_8 = 24
a1⋅a9=−80a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5 bağıntısından a5=8a_5 = 8 bulunur. Ardından a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r terimleri yerine yazıldığında, (8−4r)(8+4r)=−80(8-4r)(8+4r) = -80 eşitliğiyle r2=9r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3'tür. Son adımda a12=a5+7r=8+21=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulmak.
a5=8a_5 = 8
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5).
2
a1a_1 ve a9a_9 terimlerini a5a_5 ve rr cinsinden yazarak ortak fark rr değerini bulmak.
r=3r = 3
a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r ifadelerinin çarpımı 64−16r2=−8064 - 16r^2 = -80 denklemine yol açar. Buradan r2=9r^2 = 9 ve r>0r > 0 olduğu için r=3r = 3 elde edilir.
3
a12a_{12} terimini a5a_5 ve rr kullanarak hesaplamak.
a12=29a_{12} = 29
a12=a5+7ra_{12} = a_5 + 7r formülünde a5=8a_5 = 8 ve r=3r = 3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.
Soru 154Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a5+a15=20a_5 + a_{15} = 20
eşitliği verilmektedir.

f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 494

Cevap

İstenen toplamın değeri 494'tür.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan a1+a19=a5+a15=20a_1 + a_{19} = a_5 + a_{15} = 20 olur. Dizinin ilk 19 teriminin toplamı S19=192(a1+a19)=190S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19}) = 190 olarak bulunur. Fonksiyonel toplam 3⋅S19−19⋅43 \cdot S_{19} - 19 \cdot 4 şeklinde düzenlendiğinde 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
a1+a19a_1 + a_{19} toplamını bulmak için indis özelliğini uygulamak.
a1+a19=20a_1 + a_{19} = 20
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+19=5+15=201 + 19 = 5 + 15 = 20).
2
(an)(a_n) dizisinin ilk 19 teriminin toplamını (S19S_{19}) hesaplamak.
S19=190S_{19} = 190
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı form��lü Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) şeklindedir. Buradan S19=192⋅20=190S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 20 = 190 elde edilir.
3
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19}) toplamını düzenleyip hesaplamak.
494
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonunu her terim için yerine yazarak toplamı 3(a1+a2+⋯+a19)−19⋅43(a_1 + a_2 + \dots + a_{19}) - 19 \cdot 4 şeklinde yazarız. Bulunan değerler yerine koyulduğunda 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ilk n terim toplamı ve doğrusal dönüşümlerin toplam üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 155Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk üç terimi sırasıyla x−1x - 1, x+3x + 3 ve 3x+13x + 1 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

64
Ardışık üç terimi sırasıyla x−1x-1, x+3x+3 ve 3x+13x+1 olan geometrik dizide ortadaki terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşittir. Buradan (x+3)2=(x−1)(3x+1)(x+3)^2 = (x-1)(3x+1) denklemi çözüldüğünde x=5x=5 veya x=−1x=-1 bulunur. Seçeneklerde yer alan değerleri bulmak adına x=5x=5 durumu incelenirse; dizinin ilk terimi a1=4a_1=4, ikinci terimi a2=8a_2=8 ve ortak çarpanı r=2r=2 olur. Buradan dizinin 5. terimi a5=a1⋅r4=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 16 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizi tanımına göre ardışık üç terim arasındaki ilişkiyi kurma
(x+3)2=(x−1)(3x+1)(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir (a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3).
2
Elde edilen denklemi açıp düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturma
x2+6x+9=3x2−2x−1⇒2x2−8x−10=0⇒x2−4x−5=0x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 8x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0
Kökleri bulabilmek için tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirme yapmamız gerekir.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak x değerlerini bulma
(x−5)(x+1)=0⇒x=5(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=−1x = -1
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemi sağlayan x değerlerini elde ederiz.
4
x=5x = 5 değeri için dizinin ilk üç terimini ve ortak çarpanı hesaplama
a1=4a_1 = 4, a2=8a_2 = 8, a3=16a_3 = 16 ve ortak çarpan r=a2a1=2r = \frac{a_2}{a_1} = 2
Bulunan x değerini yerine yazarak dizinin terimlerine ve ortak çarpanına ulaşırız.
5
Genel terim formülüyle dizinin 5. terimini bulma
a5=a1⋅r4=4⋅24=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64
Geometrik dizilerde an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülü kullanılarak 5. terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim formülü (an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1})
Soru 156Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde a1⋅a9=256a_1 \cdot a_9 = 256 ve a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, aşağıdaki boşlukları uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi (a6a_6) olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpan 2 ve altıncı terim 32'dir.
Verilen geometrik dizide a1⋅a9=a52=256a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 256 eşitliğinden a5=16a_5 = 16 bulunur. a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitliğinden a3=4a_3 = 4 elde edilir. Buradan ortak çarpan r2=a5/a3=4r^2 = a_5 / a_3 = 4 olup pozitif terimli olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak altıncı terim a6=a5⋅r=16⋅2=32a_6 = a_5 \cdot r = 16 \cdot 2 = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulma.
a5=16a_5 = 16
Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Bu nedenle a1⋅a9=a5⋅a5=a52a_1 \cdot a_9 = a_5 \cdot a_5 = a_5^2 yazılabilir. a52=256a_5^2 = 256 olduğundan ve dizi pozitif terimli verildiğinden a5=16a_5 = 16 olur.
2
a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitliğini kullanarak a3a_3 terimini bulma.
a3=4a_3 = 4
a5=16a_5 = 16 değeri eşitlikte yerine yazıldığında a3⋅16=64a_3 \cdot 16 = 64 elde edilir, buradan a3=4a_3 = 4 bulunur.
3
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 bağınt��sını kullanarak ortak çarpanı (rr) bulma.
r=2r = 2
16=4⋅r216 = 4 \cdot r^2 eşitliğinden r2=4r^2 = 4 bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır, bu yüzden r=2r = 2 alınır.
4
a6=a5⋅ra_6 = a_5 \cdot r bağıntısıyla altıncı terimi bulma.
a6=32a_6 = 32
a5=16a_5 = 16 ve r=2r = 2 değerleri yerine yazılarak a6=16⋅2=32a_6 = 16 \cdot 2 = 32 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkileri ve genel terim özellikleri
Soru 157Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18
a7=5a_7 = 5

olduğuna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin 12. terimi 15'tir.
Verilen a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18 eşitliğinde indislerin aritmetik ortalaması olan 9. terim a9=9a_9 = 9 olarak bulunur. Daha sonra a7=5a_7 = 5 bilgisiyle ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir. Bu bilgiler doğrultusunda 12. terim a12=a9+3r=9+6=15a_{12} = a_9 + 3r = 9 + 6 = 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18 eşitliğinde indis özellikleri kullanılarak a9a_9 terimi bulunur.
a3+a15=2a9  ⟹  2a9=18  ⟹  a9=9a_3 + a_{15} = 2a_9 \implies 2a_9 = 18 \implies a_9 = 9
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı da eşittir (3+15=9+93 + 15 = 9 + 9).
2
a9=9a_9 = 9 ve verilen a7=5a_7 = 5 değerleri kullanılarak dizinin ortak farkı (rr) bulunur.
a9=a7+2r  ⟹  9=5+2r  ⟹  2r=4  ⟹  r=2a_9 = a_7 + 2r \implies 9 = 5 + 2r \implies 2r = 4 \implies r = 2
a9a_9 ve a7a_7 terimleri arasındaki indis farkı 2'dir.
3
a9=9a_9 = 9 terimi ve r=2r = 2 ortak farkı kullanılarak a12a_{12} terimi hesaplanır.
a12=a9+3r  ⟹  a12=9+3⋅2=9+6=15a_{12} = a_9 + 3r \implies a_{12} = 9 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15
a12a_{12} terimi, a9a_9 teriminden 3 adım (indis farkı 12−9=312 - 9 = 3) ileridedir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşitliği ve genel terim ilişkisi.
Soru 158Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamının, sonraki üç teriminin toplamına oranı 127\frac{1}{27}'dir.

Dizinin ikinci terimi a2=6a_2 = 6 olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı (S4S_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
İlk üç terimin toplamı S3S_3 ile sonraki üç terimin toplamı olan r3⋅S3r^3 \cdot S_3 oranlandığında ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi a1=a2r=63=2a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{3} = 2 bulunur. Bulunan bu değerler geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünde (Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}) yerine yazıldığında ilk 4 terimin toplamı 80 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk üç terimin toplamı ile sonraki üç terimin toplamı arasındaki oranı yazarak ortak çarpanı (rr) bulma.
İlk üç terimin toplamı S3=a1+a2+a3S_3 = a_1 + a_2 + a_3 şeklindedir. Sonraki üç terimin toplamı ise a4+a5+a6=a1r3+a2r3+a3r3=r3(a1+a2+a3)=r3⋅S3a_4 + a_5 + a_6 = a_1 r^3 + a_2 r^3 + a_3 r^3 = r^3(a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3 olur. Bu iki toplamın oranı S3r3⋅S3=1r3=127\frac{S_3}{r^3 \cdot S_3} = \frac{1}{r^3} = \frac{1}{27} olarak verildiğinden r3=27r^3 = 27 ve buradan ortak çarpan r=3r = 3 bulunur.
Geometrik dizinin terimlerinin artış oranını (ortak çarpanı) belirlemek için.
2
Dizinin verilen ikinci teriminden (a2=6a_2 = 6) yararlanarak ilk terimi (a1a_1) bulma.
Geometrik dizilerde genel terim ilişkisi gereği a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r yazılır. Buradan 6=a1⋅3⇒a1=26 = a_1 \cdot 3 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
Dizinin toplam formülünü uygulayabilmek için dizinin başlangıç terimini elde etmek gerekir.
3
İlk nn terim toplamı formülünü uygulayarak ilk 4 terimin toplamını (S4S_4) hesaplama.
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır. n=4n = 4 için S4=2⋅34−13−1=2⋅81−12=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80 elde edilir.
Soruda bizden istenen ilk 4 terimin toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin ortak çarpan parantezine alınması ve ilk n terim toplam formülü
Soru 159Soru →

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S4=9⋅(S4−S2)S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve S3=26S_3 = 26 olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.
Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir. S3=26S_3 = 26 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan S4=S3+a4=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme
S6−S4=a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r) ve S4−S2=a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)
İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.
2
Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma
r2=9r^2 = 9 ve pozitif terimli olduğu için r=3r = 3
a1r4(1+r)=9⋅a1r2(1+r)a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r) eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü a1(1+r)≠0a_1(1 + r) \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılarak r2=9r^2 = 9 bulunur.
3
S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma
a1=2a_1 = 2
S3=a1(1+r+r2)=a1(1+3+9)=13a1=26S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26 eşitliği çözülür.
4
İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama
S4=80S_4 = 80
S4=S3+a4=26+a1r3=26+2⋅33=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi
Soru 160Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)f(x) doğrusal fonksiyonu için (an)(a_n) aritmetik dizisi, her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) şeklinde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 ve
a6+a10=56a_6 + a_{10} = 56
olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dizinin ilk terimi 7'dir.
Dizinin ilk terimi 7'dir. Çünkü doğrusal fonksiyonun eğimi (ortalama değişim hızı olan 3) dizinin ortak farkı rr'ye eşittir. Buradan a6+a10=2a8=56  ⟹  a8=28a_6 + a_{10} = 2a_8 = 56 \implies a_8 = 28 olur. a1=a8−7r=28−7(3)=7a_1 = a_8 - 7r = 28 - 7(3) = 7 olarak doğru bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun ortalama değişim hızından dizinin ortak farkını belirleme.
Dizinin ortak farkı r=3r = 3 olarak bulunur.
Gerçel sayılarda tanımlı bir doğrusal fonksiyonun herhangi bir aralıktaki ortalama de��işim hızı, o fonksiyonun eğimine eşittir. an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığından, bu doğrusal fonksiyonun eğimi aynı zamanda (an)(a_n) aritmetik dizisinin ardışık terimleri arasındaki farkı, yani ortak farkını (rr) verir.
2
Verilen terimler toplamını kullanarak dizinin 8. terimini (a8a_8) bulma.
a8=28a_8 = 28 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir veya simetrik terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katıdır. a6+a10=2a8a_6 + a_{10} = 2a_8 olduğundan, 2a8=56  ⟹  a8=282a_8 = 56 \implies a_8 = 28 elde edilir.
3
Ortak fark ve 8. terim yardımıyla ilk terimi (a1a_1) hesaplama.
a1=7a_1 = 7 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide herhangi bir terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r formülüyle yazılabilir. Buna göre a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r eşitliğinde bilinenler yerine yazılırsa: 28=a1+7⋅3  ⟹  28=a1+21  ⟹  a1=728 = a_1 + 7 \cdot 3 \implies 28 = a_1 + 21 \implies a_1 = 7 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terimin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve indis özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 8 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 8 | Examkin