Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 181Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 88 birimkaredir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(2, 0), B(m, 0) ve C(0, 2m) olarak bulunur. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı |m^2 - 2m| formülü ile hesaplanır. Alanın 8 birimkare olması koşulunu sağlayan pozitif m değeri 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
y = 0 için x-eksenini kestiği noktalar x^2 - (m+2)x + 2m = 0 denkleminden (x-2)(x-m) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan x-eksenini kestiği noktalar A(2, 0) ve B(m, 0) olarak bulunur. x = 0 için y-eksenini kestiği nokta C(0, 2m) olarak bulunur.
Eksenleri kesen noktalar üçgenin köşelerini oluşturmaktadır.
2
Oluşan üçgenin alan formülünü kurmak.
Taban uzunluğu |AB| = |m - 2| ve bu tabana ait yükseklik h = |2m|'dir. Üçgenin alanı = (|m - 2| * |2m|) / 2 = |m(m - 2)| = |m^2 - 2m| olarak bulunur.
Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
3
Alanı 8 birimkareye eşitleyip pozitif m değerini çözmek.
|m^2 - 2m| = 8 eşitliğinden m^2 - 2m = 8 veya m^2 - 2m = -8 elde edilir. m^2 - 2m - 8 = 0 denkleminin kökleri m = 4 ve m = -2'dir. m^2 - 2m + 8 = 0 denkleminin diskriminantı negatif olduğundan reel kökü yoktur. Pozitif değer m = 4'tür.
Soruda m gerçel sayısının pozitif değeri sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen değerler sırasıyla m yerine yazılarak denenebilir. Örneğin m = 4 için f(x) = x^2 - 6x + 8 parabolü elde edilir. Eksenleri kestiği noktalar (2,0), (4,0) ve (0,8) olur. Bu noktaların belirttiği üçgenin alanı (2 * 8) / 2 = 8 birimkare olarak doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 182Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu noktaları köşe kabul eden ABCABC üçgeninin CC köşesindeki açısının ölçüsü 90∘90^\circ'dir.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile ilgili;
I. xx-eksenini daima farklı iki noktada keser.
II. yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı ile parabolün başkatsayısının çarpımı −1-1'dir.
III. a>0a > 0 ve b>0b > 0 ise, parabolün tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III ifadesinin yer aldığı seçenektir.
Soruda verilen diklik koşulu analitik düzlemde Öklid bağıntısı ile birleştirildiğinde başkatsayı aa ile y-kesim noktası cc arasında ac=−1ac = -1 ilişkisini verir. Bu ilişkiden yola çıkarak Δ=b2+4>0\Delta = b^2 + 4 > 0 olduğu için x-ekseni daima iki farklı noktada kesilir. Ayrıca a>0a > 0 ve b>0b > 0 durumunda tepe noktası koordinatları r<0r < 0 ve k<0k < 0 olacağından üçüncü bölgede yer alır. Bu nedenle tüm öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kestiği noktaları tanımlama
C(0,c)C(0, c) noktası y-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) noktaları ise x-eksenini kestiği noktalardır (x1x_1 ve x2x_2 denklemin kökleridir).
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve aralarındaki geometrik ilişkiyi kurmak için bu adım gereklidir.
2
Dik üçgen özelliğini ve Öklid bağıntısını uygulama
OC⊥ABOC \perp AB olduğundan Öklid bağıntısı gereği ∣OC∣2=∣OA∣⋅∣OB∣|OC|^2 = |OA| \cdot |OB| elde edilir. Koordinatları yerine yazarsak c2=∣x1⋅x2∣c^2 = |x_1 \cdot x_2| olur. Dik üçgen oluşabilmesi için AA ve BB noktaları orijinin farklı taraflarında olmalıdır, yani x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 olmalıdır. Vieta formülünden x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} olduğundan c2=−cac^2 = -\frac{c}{a} yazılır. c≠0c \neq 0 olduğundan ac=−1ac = -1 bulunur.
CC köşesindeki 90∘90^\circ diklik şartını cebirsel olarak ifade etmek için Öklid bağıntısı kullanılır.
3
Diskriminant analizi ile x-eksenini kestiği noktaları inceleme
Diskriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplanır. ac=−1ac = -1 yazıldığında Δ=b2+4\Delta = b^2 + 4 elde edilir. Her bb gerçel sayısı için b2≥0b^2 \geq 0 olduğundan Δ≥4>0\Delta \geq 4 > 0 olur. Bu durumda parabol x-eksenini daima farklı iki noktada keser (I. öncül doğrudur).
Parabolün x-eksenini kesip kesmediğini belirlemek için diskriminantın işaretini kontrol etmek gerekir.
4
Tepe noktasının koordinatlarını ve bölgesini inceleme
a>0a > 0 ve b>0b > 0 iken tepe noktasının apsisi r=−b2a<0r = -\frac{b}{2a} < 0 olur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(r)=−b24a+ck = f(r) = -\frac{b^2}{4a} + c şeklindedir. ac=−1ac = -1 ve a>0a > 0 olduğundan c=−1a<0c = -\frac{1}{a} < 0 olur. Dolayısıyla k=−b24a−1ak = -\frac{b^2}{4a} - \frac{1}{a} ifadesinin her iki terimi de negatif olup k<0k < 0 bulunur. Apsis ve ordinat negatif (r<0,k<0r < 0, k < 0) olduğundan tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir (III. öncül doğrudur).
Verilen işaret koşulları altında tepe noktasının apsis ve ordinatının işaretlerini belirleyerek hangi bölgede yer aldığını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 183Soru →

Tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olan f(x)=x2−mx+nf(x) = x^2 - mx + n parabolü, y-eksenini (0,−8)(0, -8) noktasında kesmektedir. Bu parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede yer aldığından tepe noktasının apsisi pozitif olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve kökler arasındaki uzaklığı 6 birim yapan m değeri 2 olarak bulunur.
Parabolün y-eksenini kestiği koordinattan n = -8 değeri saptanır. Kökler arasındaki uzaklık bağıntısından m^2 = 4 denklemine ulaşılır. Tepe noktasının dördüncü bölgede bulunması koşulu tepe noktasının apsisi olan r = m/2 değerinin pozitif olmasını gerektirdiğinden m sayısının pozitif değeri olan 2 alınmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kesti��i nokta yardımıyla n değerini bulun.
n=−8n = -8
Grafiğin y-eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır. Bu durumda f(0)=−8f(0) = -8 olmalıdır. Fonksiyonda x=0x = 0 yazılırsa 02−m(0)+n=−80^2 - m(0) + n = -8 eşitliğinden n=−8n = -8 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m^2 de��erini bulun.
m2=4m^2 = 4
Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Bu noktalar x2−mx−8=0x^2 - mx - 8 = 0 denkleminin kökleridir. İki kök arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=m2−4(1)(−8)=m2+32|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{m^2 - 4(1)(-8)} = \sqrt{m^2 + 32} şeklinde ifade edilir. Bu uzaklık 6 birim olarak verildiğinden m2+32=6⇒m2+32=36⇒m2=4\sqrt{m^2 + 32} = 6 \Rightarrow m^2 + 32 = 36 \Rightarrow m^2 = 4 bulunur.
3
Tepe noktasının koordinat bölgesini inceleyerek m değerini netleştirin.
m=2m = 2
m2=4m^2 = 4 eşitliğinden m=2m = 2 veya m=−2m = -2 değerleri elde edilir. Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m2r = -\frac{b}{2a} = \frac{m}{2} formülü ile hesaplanır. Tepe noktasının dördüncü bölgede olması için apsisinin pozitif (r>0r > 0) olması gerekir. Buradan m2>0⇒m>0\frac{m}{2} > 0 \Rightarrow m > 0 olmalıdır. Dolayısıyla m=2m = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik hesabı ve tepe noktası özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 184Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+kx+pf(x) = -x^2 + kx + p fonksiyonunun grafiği olan parabol koordinat eksenlerini A(0,3)A(0, 3), B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarında kesmektedir.

x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve ∣OB∣=3∣OC∣|OB| = 3|OC| olduğuna göre, k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalardan hareketle, y-eksenini kestiği nokta olan A(0, 3) değeri denklemde yerine yazıldığında p = 3 bulunur. x-eksenini kestiği noktaların orijine olan uzaklık oranlarından x_1 = -3x_2 ilişkisi kurulur. Kökler çarpımı formülünden x_1 * x_2 = -3 olduğu bilinir. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde pozitif kök 1, negatif kök ise -3 olarak bulunur. Kökler toplamı k = x_1 + x_2 = -2 olduğundan, k + p = -2 + 3 = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı kullanarak p parametresini bulunuz.
p=3p = 3
Parabol y-eksenini A(0,3)A(0, 3) noktasında kestiği için f(0)=3f(0) = 3 olmalıdır. Denklemde x=0x = 0 yazıldığında f(0)=p  ⟹  p=3f(0) = p \implies p = 3 elde edilir.
2
Köklerin geometrik uzaklık ilişkisinden yararlanarak kökler arasındaki bağıntıyı kurunuz.
x1=−3x2x_1 = -3x_2
B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla ∣OB∣=−x1|OB| = -x_1 (çünkü x1<0x_1 < 0) ve ∣OC∣=x2|OC| = x_2 (çünkü x2>0x_2 > 0) şeklindedir. ∣OB∣=3∣OC∣  ⟹  −x1=3x2  ⟹  x1=−3x2|OB| = 3|OC| \implies -x_1 = 3x_2 \implies x_1 = -3x_2 olur.
3
Kökler çarpımı formülünü kullanarak köklerin değerlerini hesaplayınız.
x2=1x_2 = 1 ve x1=−3x_1 = -3
İkinci dereceden denklemde kökler çarpımı x1⋅x2=p−1=−p=−3x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{-1} = -p = -3 olur. x1=−3x2x_1 = -3x_2 bağıntısı yerine yazılırsa: −3x22=−3  ⟹  x22=1-3x_2^2 = -3 \implies x_2^2 = 1 elde edilir. x2>0x_2 > 0 olduğundan x2=1x_2 = 1 ve dolayısıyla x1=−3x_1 = -3 bulunur.
4
Kökler toplamı formülünü kullanarak k değerini hesaplayınız ve ardından k+p toplamını bulunuz.
k=−2k = -2 ve k+p=1k + p = 1
Kökler toplamı x1+x2=−k−1=kx_1 + x_2 = \frac{-k}{-1} = k formülü ile bulunur. Buradan k=−3+1=−2k = -3 + 1 = -2 elde edilir. Sonuç olarak k+p=−2+3=1k + p = -2 + 3 = 1 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, ikinci dereceden denklemin kökleri ile y-keseni arasındaki ilişkiyi belirler. x-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan köklerdir ve kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (toplam ve çarpım) bu noktaların analitik özelliklerini çözmekte kullanılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 185Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat eksenlerini kestikleri noktalarla ilgili bazı geometrik ve cebirsel özellikleri verilen paraboller, sağ sütunda ise bu parabollerdeki bilinmeyen parametrelerin değerleri yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki ifadeler ile sağ sütundaki doğru değerleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−(m−2)x−2mf(x) = x^2 - (m-2)x - 2m parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 24 br224\text{ br}^2 olduğuna göre, mm parametresinin alabileceği pozitif değer
g(x)=2x2−8x+ng(x) = 2x^2 - 8x + n parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0)'dır. 1x1+1x2=43\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{4}{3} olduğuna göre, nn sabitinin değeri
h(x)=x2+(k2−4k−5)x−2k+3h(x) = x^2 + (k^2 - 4k - 5)x - 2k + 3 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar orijine göre simetrik olduğuna g��re, kk parametresinin değeri

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci ifade 44 değeriyle, ikinci ifade 66 değeriyle, üçüncü ifade ise 55 değeriyle eşleşir.
Verilen geometrik ve cebirsel koşullar çözüldüğünde; f(x)f(x) parabolünün alan koşulunu sağlayan pozitif mm değeri 44, g(x)g(x) parabolünün kök ilişkisini sağlayan nn değeri 66, ve h(x)h(x) parabolünün simetrik reel kök şartını sağlayan kk değeri 55 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları bulup alanı 24 br224\text{ br}^2 olan üçgenin alan bağıntısını oluşturalım.
f(x)=(x−m)(x+2)f(x) = (x-m)(x+2) parabolü xx-eksenini mm ve −2-2 noktalarında keser. yy-eksenini ise (0,−2m)(0, -2m) noktasında keser. Üçgenin alanı 12⋅(m+2)⋅2m=24  ⟹  m(m+2)=24\frac{1}{2} \cdot (m+2) \cdot 2m = 24 \implies m(m+2) = 24 olur. Buradan pozitif mm değeri 44 bulunur.
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı xx-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣m−(−2)∣|m - (-2)|, yüksekliği ise yy-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣−2m∣|-2m|'dir.
2
İkinci parabol için kökler toplamı ve çarpımını bulup verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=n2x_1 x_2 = \frac{n}{2} değerleri x1+x2x1x2=4n/2=8n\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4}{n/2} = \frac{8}{n} olarak bulunur. 8n=43  ⟹  n=6\frac{8}{n} = \frac{4}{3} \implies n = 6 elde edilir.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı, kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.
3
Üçüncü parabolün xx-eksenini kestiği noktaların simetriklik ve gerçeklik şartlarını inceleyelim.
Kökler toplamı sıfır olacağından k2−4k−5=0  ⟹  k=5k^2 - 4k - 5 = 0 \implies k = 5 veya k=−1k = -1 elde edilir. Kökler çarpımı −2k+3<0  ⟹  k>1.5-2k+3 < 0 \implies k > 1.5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek değer k=5k = 5'tir.
Köklerin orijine göre simetrik olabilmesi için kökler toplamı sıfır ve kökler çarpımı negatif olmalıdır (aksi takdirde kökler reel olmaz).

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların cebirsel ve geometrik yorumu ile kök özellikleri
Soru 186Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=−x2+(m−3)x+2m+3f(x) = -x^2 + (m-3)x + 2m + 3
parabolünün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı, xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşittir.

Buna göre, bu parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 353\sqrt{5}

Cevap

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 3\sqrt{5} birimdir.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta x = 0 için y = 2m + 3 olarak bulunur. Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı ise kökler toplamı formülünden x_1 + x_2 = m - 3 olur. Bu iki değer birbirine eşitlendiğinde m = -6 olarak elde edilir. Buradan parabol denklemi f(x) = -x^2 - 9x - 9 şeklinde bulunur. x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık, f(x) = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark olup \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır. Diskriminant \Delta = 81 - 36 = 45 olduğundan uzaklık \sqrt{45} = 3\sqrt{5} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyin.
y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2m + 3 olur.
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 yazılarak bulunur.
2
x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamını kökler toplamı formülüyle ifade edin.
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{m-3}{-1} = m-3 olur.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin kökleridir.
3
Ordinat değerini kökler toplamına eşitleyerek m parametresini bulun.
2m + 3 = m - 3 \implies m = -6 bulunur.
Soruda y-eksenini kestiği noktanın ordinatının, x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşit olduğu verilmiştir.
4
m değerini parabol denkleminde yerine yazın.
f(x) = -x^2 - 9x - 9 elde edilir.
Uzaklık hesabı yapabilmek için parabolün cebirsel ifadesi netleştirilmelidir.
5
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı kökler farkı formülüyle hesaplayın.
\Delta = (-9)^2 - 4(-1)(-9) = 81 - 36 = 45 olur. Noktalar arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{45}}{|-1|} = 3\sqrt{5} birimdir.
İkinci dereceden denklemlerde kökler arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik ve cebirsel ilişkisi

Alternatif Yöntem

f(x) = 0 denklemini çarpanlarına ayırmak yerine doğrudan tam kareye tamamlama yöntemi kullanılabilir. f(x) = -(x + 9/2)^2 + 45/4 yazıldığında, y = 0 için (x + 9/2)^2 = 45/4 bulunur. Buradan x + 9/2 = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2} elde edilir. İki kök arasındaki fark ise doğrudan 3\sqrt{5} olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 187Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a

fonksiyonunun grafiği olan parabol, koordinat eksenlerini üç farklı noktada kesmektedir.

Parabolün eksenleri kestiği bu üç noktadan geçen çemberin yarıçapı 55 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7
Çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) olarak belirlendikten sonra, çemberin yarıçapı ile kiriş özellikleri ve C(0,a)C(0,a) noktasının merkeze olan uzaklığı kullanılarak iki adet denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden elde edilen a=−7a = -7 değeri, parabolün eksenleri üç farklı noktada kesmesi şartını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
Parabol y-eksenini C(0,a)C(0, a) noktasında keser. x-eksenini ise A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) noktalarında keser.
Çemberin geçtiği üç noktanın koordinatlarını parabolün katsayıları cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Çemberin merkezinin apsisini bulmak.
Çemberin merkezi M(x0,y0)M(x_0, y_0) olsun. [AB][AB] kirişi x-ekseni üzerinde olduğundan, çemberin merkezi [AB][AB] kirişinin orta dikmesi üzerindedir. [AB][AB]'nin orta noktasının apsisi, parabolün tepe noktasın��n apsisiyle aynı olup x0=x1+x22=−−62=3x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{-6}{2} = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) noktasındadır.
Kirişin orta dikmesinin merkezden geçmesi kuralını kullanarak merkezin konumunu sadeleştirmek gerekir.
3
Kiriş uzunluğu ve Pisagor bağıntısı ile bir denklem elde etmek.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ=36−4a=29−a|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = \sqrt{36 - 4a} = 2\sqrt{9-a} birimdir. [AB][AB] kirişinin yarısı AH=9−aAH = \sqrt{9-a} olur. [AB][AB]'nin orta noktası H(3,0)H(3,0) ve çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) olmak üzere, AHMAHM dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa: AH2+MH2=R2  ⟹  (9−a)+y02=25  ⟹  y02−a=16AH^2 + MH^2 = R^2 \implies (9-a) + y_0^2 = 25 \implies y_0^2 - a = 16 elde edilir.
Çemberin yarıçapı ile x-ekseni üzerindeki kirişin uzunluğu arasında bir ilişki kurmak amacıyla Pisagor teoremi uygulanır.
4
C(0,a)C(0,a) noktasının merkeze uzaklığı ile ikinci bir denklem elde etmek.
MC2=R2  ⟹  (3−0)2+(y0−a)2=25  ⟹  (y0−a)2=16  ⟹  y0−a=4MC^2 = R^2 \implies (3 - 0)^2 + (y_0 - a)^2 = 25 \implies (y_0 - a)^2 = 16 \implies y_0 - a = 4 veya y0−a=−4y_0 - a = -4 bulunur.
C(0,a)C(0,a) noktası çember üzerinde olduğundan merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemlerini çözmek ve sınır koşullarını denetlemek.
1. Durum: y0=a+4  ⟹  (a+4)2−a=16  ⟹  a2+7a=0y_0 = a + 4 \implies (a+4)^2 - a = 16 \implies a^2 + 7a = 0. a≠0a \neq 0 olmalıdır (aksi halde parabol eksenleri sadece 2 noktada keser), buradan a=−7a = -7 bulunur.
2. Durum: y0=a−4  ⟹  (a−4)2−a=16  ⟹  a2−9a=0y_0 = a - 4 \implies (a-4)^2 - a = 16 \implies a^2 - 9a = 0. a≠0a \neq 0 olduğundan a=9a = 9 bulunur. Ancak a=9a = 9 için f(x)=(x−3)2f(x) = (x-3)^2 olur ve parabol x-eksenine teğet olacağından eksenleri sadece 2 farklı noktada kesebilir. Bu durum soruda verilen 'üç farklı noktada kesmektedir' koşuluna aykırıdır.
Parabolün eksenleri kestiği nokta sayısını belirleyen diskriminant ve tanım koşullarını kontrol ederek geçerli parametre değerini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile analitik düzlemde çemberin kiriş özelliklerinin ortak uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili olan özellikleri doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 fonksiyonu koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı −1-1 olan parabol ile, g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonu xx-eksenini kestiği tek nokta tepe noktası olan ve yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı −9-9 olan parabol ile, h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3 fonksiyonu ise xx-eksenini kesmeyen ve koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı 33 olan parabol ile eşleşir.
Sol sütundaki fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar incelendiğinde; ilk fonksiyon eksenleri (0,−5)(0, -5), (5,0)(5, 0) ve (−1,0)(-1, 0) noktalarında keserek koordinatlar toplamını −1-1 yapar. İkinci fonksiyon xx-eksenine (3,0)(3, 0) tepe noktasında teğettir ve yy-eksenini (0,−9)(0, -9) noktasında keser. Üçüncü fonksiyon ise diskriminantı negatif olduğundan xx-eksenini kesmez ve yy-eksenini (0,3)(0, 3) noktasında keserek koordinatlar toplamını 33 yapar. Bu eşleştirmeler doğru ve tektir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
yy-eksenini kestiği nokta: x=0x = 0 için f(0)=−5f(0) = -5 olup (0,−5)(0, -5) noktasıdır. xx-eksenini kestiği noktalar: f(x)=0f(x) = 0 için x2−4x−5=0  ⟹  (x−5)(x+1)=0x^2 - 4x - 5 = 0 \implies (x - 5)(x + 1) = 0 buradan x=5x = 5 ve x=−1x = -1 bulunur. Noktalar (5,0)(5, 0) ve (−1,0)(-1, 0) olur. Eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı: 0+(−5)+5+0+(−1)+0=−10 + (-5) + 5 + 0 + (-1) + 0 = -1 olur. Bu durumda birinci fonksiyon birinci özellik ile eşleşir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve bunların toplamını hesaplamak için.
2
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 parabolünün eksenleri kestiği noktaları ve tepe noktasını inceleyelim.
yy-eksenini kestiği nokta: x=0x = 0 için g(0)=−9g(0) = -9 olup (0,−9)(0, -9) noktasıdır. xx-eksenini kestiği noktalar: g(x)=0g(x) = 0 için −x2+6x−9=0  ⟹  −(x−3)2=0-x^2 + 6x - 9 = 0 \implies -(x - 3)^2 = 0 buradan x=3x = 3 çift katlı kökü bulunur. Yani parabol xx-eksenine (3,0)(3, 0) noktasında teğettir. Bu nokta aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır. Bu durumda ikinci fonksiyon ikinci özellik ile eşleşir.
Parabolün xx-eksenine teğet olup olmadığını ve yy-eksenini kestiği noktayı belirlemek için.
3
h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3 parabolünün eksenleri kestiği noktaları inceleyelim.
yy-eksenini kestiği nokta: x=0x = 0 için h(0)=3h(0) = 3 olup (0,3)(0, 3) noktasıdır. xx-eksenini kestiği noktalar: h(x)=0h(x) = 0 için 2x2+4x+3=02x^2 + 4x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı incelenirse Δ=42−4(2)(3)=16−24=−8<0\Delta = 4^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0 olur. Reel kök olmadığından parabol xx-eksenini kesmez. Eksenleri kestiği tek nokta (0,3)(0, 3) olup koordinatları toplamı 0+3=30 + 3 = 3'tür. Bu durumda üçüncü fonksiyon üçüncü özellik ile eşleşir.
Parabolün xx-eksenini kesip kesmediğini belirlemek ve koordinatlar toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması (x=0x = 0 için yy-eksenini kestiği nokta, y=0y = 0 için xx-eksenini kestiği noktalar) ve tepe noktasıyla ilişkisi.
Soru 189Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a
parabolü ile tepe noktası SS olan
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3
parabolü veriliyor.

Bu iki parabolün simetri eksenleri aynı doğru üzerindedir.

TT ve SS noktaları arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 22'dir.
Parabollerin simetri eksenleri olan x=rfx = r_f ve x=rgx = r_g doğrularının çakışık olmasından yola çıkılarak rf=2r_f = 2 ve buradan b=4b = 4 bulunmuştur. Ardından tepe noktalarının ordinatları sırasıyla a−4a - 4 ve 77 olarak hesaplanmış, aralarındaki uzaklığın 66 birim olmasından ∣a−11∣=6|a - 11| = 6 eşitliğine ulaşılmıştır. Bu eşitlikten aa değerleri 1717 ve 55 bulunmuş, toplamları ise 2222 olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri eksenini bulunuz.
x=2x = 2 doğrusudur.
Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisidir ve r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır. Burada r=−−42⋅1=2r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 olur.
2
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3 parabolünün simetri eksenini f(x)f(x) parabolünün simetri ekseni ile eşitleyerek bb katsayısını bulunuz.
b=4b = 4 bulunur.
Her iki parabolün simetri eksenleri aynı olduğundan, g(x)g(x) parabolünün simetri ekseni de x=2x = 2 doğrusudur. Buna göre, r=−b2⋅(−1)=2  ⟹  b=4r = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = 2 \implies b = 4 elde edilir.
3
Her iki parabolün tepe noktalarının koordinatlarını hesaplayınız.
T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları elde edilir.
f(2)=22−4(2)+a=a−4f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 olduğundan f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(2,a−4)T(2, a - 4) olur. g(2)=−22+4(2)+3=7g(2) = -2^2 + 4(2) + 3 = 7 olduğundan g(x)g(x) parabolünün tepe noktası S(2,7)S(2, 7) olur.
4
Tepe noktaları arasındaki 66 birimlik uzaklık bilgisini kullanarak aa değerlerini belirleyiniz.
a=17a = 17 veya a=5a = 5 bulunur.
Apsisleri aynı olan T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları arasındaki uzaklık, ordinatları farkının mutlak değeridir: ∣(a−4)−7∣=6  ⟹  ∣a−11∣=6|(a - 4) - 7| = 6 \implies |a - 11| = 6 denkleminden a−11=6  ⟹  a=17a - 11 = 6 \implies a = 17 ve a−11=−6  ⟹  a=5a - 11 = -6 \implies a = 5 bulunur.
5
aa değerlerinin toplamını bulunuz.
17+5=2217 + 5 = 22 bulunur.
aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 17+5=2217 + 5 = 22 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseninin tepe noktasının apsisi olması (x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a}) ve aynı apsise sahip iki nokta arasındaki uzaklığın ordinatların mutlak farkı şeklinde ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 190Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 olarak verilmektedir.
Buna göre, T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5\sqrt{5}

Cevap

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru olarak T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) ve T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle d2=(a−1)2+(2a+3)2=5a2+10a+10d^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 = 5a^2 + 10a + 10 fonksiyonu elde edilir. Baş katsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında, yani a=−1a = -1 apsisinde alır. Bu değer yerine yazıldığında d2=5d^2 = 5 olur. Buradan minimum uzaklık 5\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını hesaplayınız.
T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) koordinatları bulunur.
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1 parabolünde tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a+1=−a+1k_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a + 1 = -a+1 olur.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplayınız.
T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) koordinatları bulunur.
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3 parabolünde tepe noktasının apsisi r2=−4a−22(−1)=2a−1r_2 = -\frac{4a-2}{2(-1)} = 2a-1 ve ordinatı k2=g(2a−1)=−(2a−1)2+(4a−2)(2a−1)−4a2+5a+3=a+4k_2 = g(2a-1) = -(2a-1)^2 + (4a-2)(2a-1) - 4a^2 + 5a + 3 = a+4 olur.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın karesini (d2d^2) bulunuz.
d2=5a2+10a+10d^2 = 5a^2 + 10a + 10 ifadesi elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden d2=(r2−r1)2+(k2−k1)2=(2a−1−a)2+(a+4−(−a+1))2=(a−1)2+(2a+3)2d^2 = (r_2 - r_1)^2 + (k_2 - k_1)^2 = (2a - 1 - a)^2 + (a + 4 - (-a + 1))^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 olur.
4
d2d^2 ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasını bularak en küçük değerini bulunuz.
d2d^2 ifadesinin en küçük değeri 55 olarak bulunur.
5a2+10a+105a^2 + 10a + 10 ifadesinin simetri ekseni a=−102⋅5=−1a = -\frac{10}{2 \cdot 5} = -1 olup, bu değer yerine yazıldığında en küçük değer 5(−1)2+10(−1)+10=55(-1)^2 + 10(-1) + 10 = 5 olur.
5
Karekök alarak T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki minimum uzaklığı hesaplayınız.
En küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Uzaklığın karesinin en küçük değeri 55 olduğundan, uzaklığın en küçük değeri 5\sqrt{5} olur.

Anahtar Kavram

Parabollerin tepe noktalarının genel koordinatlarının bulunması, iki nokta arasındaki uzaklığın parametrik olarak ifade edilmesi ve bu uzaklığın minimum değerinin ikinci dereceden fonksiyonların tepe noktası özellikleri kullanılarak bulunması.
Soru 191Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor. AA noktası xx-ekseninin negatif kısmında, BB noktası ise xx-ekseninin pozitif kısmında yer almaktadır. AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla 22 birim ve 66 birimdir. Parabolün yy-eksenini kestiği CC noktasının koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre, parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -16'dır.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar A(-2, 0) ve B(6, 0), y-eksenini kestiği nokta C(0, -12) olarak belirlendikten sonra denklem f(x) = (x+2)(x-6) olarak elde edilir. Bu denklemin tepe noktasının apsisi r = 2 olup, fonksiyonda yerine yazıldığında ordinat değeri k = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktalarının koordinatlarını belirleme
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(6,0)B(6, 0)
AA noktası negatif, BB noktası pozitif xx-ekseninde yer almakta ve orijine uzaklıkları sırasıyla 22 ve 66 birim olarak verilmiştir.
2
C noktasının koordinatlarını belirleme
C(0,−12)C(0, -12)
CC noktası yy-ekseni üzerinde olduğundan apsisi sıfırdır. Koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre ordinatı −12-12 olmalıdır.
3
Parabolün genel denklemini yazma ve başkatsayıyı bulma
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12
Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün genel denklemi f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) şeklindedir. x1=−2x_1 = -2 ve x2=6x_2 = 6 değerleri için f(x)=a(x+2)(x−6)f(x) = a(x+2)(x-6) elde edilir. C(0,−12)C(0, -12) noktasından geçtiği için f(0)=a(2)(−6)=−12⇒a=1f(0) = a(2)(-6) = -12 ⇒ a = 1 olur.
4
Tepe noktasının koordinatlarını hesaplama
Tepe noktasının ordinatı k=−16k = -16
Parabolün tepe noktasının apsisi köklerin ortalama değeridir: r=−2+62=2r = \frac{-2 + 6}{2} = 2. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)−12=−16k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 12 = -16 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün eksenleri kestiği noktalardan yararlanılarak denkleminin yazılması ve tepe noktasının bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 192Soru →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenleriyle olan kesişim özelliklerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x)=2x2−8x+6h(x) = 2x^2 - 8x + 6

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) parabolü x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birim olan ifadeyle, g(x) parabolü x-eksenine teğet ve y-eksenini (0, -9) noktasında kesen ifadeyle, h(x) parabolü ise eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 6 birimkare olan ifadeyle e��leşir.
f(x) fonksiyonunun kökleri -1 ve 5 olup aralarındaki uzaklık 6 birimdir. g(x) fonksiyonu tam kare ifadesi olduğundan x-eksenine teğettir ve y-eksenini -9 ordinatlı noktada keser. h(x) fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 2 birim, yüksekliği 6 birim olup alanı 6 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) = x^2 - 4x - 5 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: x^2 - 4x - 5 = 0 => (x - 5)(x + 1) = 0 buradan x_1 = -1 ve x_2 = 5 elde edilir. Bu noktalar arasındaki uzaklık |5 - (-1)| = 6 birimdir.
Fonksiyonun x-eksenini kesti��i noktalar arasındaki uzaklığı belirlemek için.
2
g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktalarını bulunuz.
x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: -x^2 + 6x - 9 = 0 => -(x - 3)^2 = 0 buradan çift katlı kök x = 3 elde edilir. Bu durum grafiğin x-eksenine x = 3 noktasında teğet olduğunu gösterir. y-eksenini kestiği nokta için x = 0 yazılırsa g(0) = -9 bulunur.
Fonksiyonun x-eksenine teğet olup olmadığını ve y-eksenini kestiği noktayı belirlemek için.
3
h(x) = 2x^2 - 8x + 6 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz.
x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: 2x^2 - 8x + 6 = 0 => 2(x^2 - 4x + 3) = 0 => 2(x - 1)(x - 3) = 0 buradan x_1 = 1 ve x_2 = 3 elde edilir. Eksenleri kestiği noktalar (1, 0) ve (3, 0) olup aralarındaki uzaklık (üçgenin tabanı) |3 - 1| = 2 birimdir. y-eksenini kestiği nokta için x = 0 yazılırsa h(0) = 6 elde edilir, yani (0, 6) noktasıdır (üçgenin yüksekliği 6 birimdir). Üçgenin alanı = (Taban * Yükseklik) / 2 = (2 * 6) / 2 = 6 birimkare bulunur.
Eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgenin alanını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.
Soru 193Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde tepe noktası SS olan g(x)g(x) parabolü elde edilmektedir.

TT ve SS noktaları y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer almaktadır.

g(x)g(x) parabolünün yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 2020 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Öteleme miktarlarının toplamı 3'tür.
Parabolün tepe noktası olan T(3, 2) noktasının a birim sağa ve b birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen S(3+a, 2+b) noktası y = 2x - 4 doğrusu üzerindedir. Doğru denklemi sağlandığında b = 2a ilişkisine ulaşılır. Yeni parabolün denklemi g(x) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a şeklinde yazılıp x = 0 için y-keseni 20'ye eşitlendiğinde a = 1 (a > 0) ve dolayısıyla b = 2 bulunur. Buradan a + b = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır veya tepe noktası formülü kullanılır.
f(x)=(x−3)2+2f(x) = (x-3)^2 + 2 biçiminde yazılır. Buradan tepe noktası T(3,2)T(3, 2) olarak bulunur.
Öteleme işlemlerini gerçekleştirmek için başlangıç parabolünün tepe noktası koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
2
T(3, 2) noktasının y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer aldığı kontrol edilir ve öteleme sonrası yeni tepe noktası olan S koordinatları yazılır.
2=2(3)−4  ⟹  2=22 = 2(3) - 4 \implies 2 = 2 sağlandığı görülür. Parabol aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinden yeni tepe noktası S(3+a,2+b)S(3+a, 2+b) olur.
Öteleme işlemi tepe noktasının koordinatlarını doğrudan etkiler.
3
S(3+a, 2+b) noktası da y = 2x - 4 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatlar denklemde yerine yazılarak a ve b arasındaki ilişki elde edilir.
2+b=2(3+a)−4  ⟹  2+b=6+2a−4  ⟹  b=2a2+b = 2(3+a) - 4 \implies 2+b = 6+2a-4 \implies b = 2a elde edilir.
İki bilinmeyenli öteleme parametrelerini tek bir değişkene indirgemek için doğrusal ilişki kullanılır.
4
g(x) parabolünün denklemi oluşturulur. Başkatsayı öteleme ile değişmeyeceğinden yine 1'dir. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı kullanılarak a değeri çözülür.
g(x)=(x−(3+a))2+(2+b)=(x−a−3)2+2+2ag(x) = (x - (3+a))^2 + (2+b) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a olur. g(0)=20  ⟹  (−(a+3))2+2+2a=20  ⟹  a2+8a+11=20  ⟹  a2+8a−9=0  ⟹  (a+9)(a−1)=0g(0) = 20 \implies (-(a+3))^2 + 2 + 2a = 20 \implies a^2 + 8a + 11 = 20 \implies a^2 + 8a - 9 = 0 \implies (a+9)(a-1) = 0 bulunur. a>0a > 0 olması gerektiğinden a=1a = 1'dir.
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 için fonksiyon değeridir.
5
Bulunan a değeri kullanılarak b değeri ve ardından a + b toplamı hesaplanır.
b=2a  ⟹  b=2(1)=2b = 2a \implies b = 2(1) = 2 bulunur. Buradan a+b=1+2=3a + b = 1 + 2 = 3 elde edilir.
İstenen öteleme miktarlarının toplamına ulaşılması amaçlanır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün ötelenmesiyle elde edilen yeni parabolün tepe noktası, orijinal parabolün tepe noktasının aynı miktarlarda ötelenmesiyle bulunur. Bir noktanın bir doğru üzerinde yer alması, noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.
Soru 194Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.

Parabol, xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri TT, AA ve BB noktaları olan TABTAB üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Parabolün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı −1-1 olduğuna göre, f(−2)f(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -13

Cevap

Parabolün x = -2 noktasındaki değeri -13't��r.
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r=2 olur. TABTAB eşkenar üçgeninin yüksekliği k=d3k = d\sqrt{3} bağıntısıyla ifade edilir. Köklerin simetri eksenine uzaklığı dd olduğundan f(2−d)=0f(2-d)=0 eşitliği k=−ad2k = -ad^2 sonucunu verir. Bu iki bağıntıdan d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a} elde edilir. f(0)=−1f(0) = -1 bilgisi kullanılarak 4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=04a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2+a-3=0 denklemi kurulur. Tepe noktası birinci bölgede olduğundan k>0k > 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olmalıdır. Bu şartı sağlayan a=−1a = -1 değeri kullanılarak parabol denklemi f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 olarak bulunur. Burada x=−2x = -2 yazıldığında sonuç −13-13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni kullanılarak tepe noktasının koordinatları belirlenir.
r=2r = 2 ve T(2,k)T(2, k) (k>0k > 0)
Simetri ekseni x=rx = r doğrusudur ve tepe noktası birinci bölgededir.
2
Eşkenar üçgen geometrisi ile tepe noktasının ordinatı ve köklerin simetri eksenine olan uzaklığı ilişkilendirilir.
k=d3k = d\sqrt{3}
Eşkenar üçgende yükseklik, tabanın yarısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
Parabolün tepe noktası formundan yararlanılarak katsayılar arasındaki ilişki kurulur.
d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a}
f(2−d)=0  ⟹  a⋅d2+k=0f(2-d) = 0 \implies a \cdot d^2 + k = 0 denkleminden elde edilir.
4
y-eksenini kestiği nokta kullanılarak başkatsayı aa değeri bulunur.
a=−1a = -1
f(0)=4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=0  ⟹  a=−1f(0) = 4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2 + a - 3 = 0 \implies a = -1 (kollar aşağı doğru olmalı ve tepe noktası birinci bölgede bulunmalıdır).
5
Parabol denklemi oluşturulur ve istenen değer hesaplanır.
f(−2)=−13f(-2) = -13
f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 fonksiyonunda x=−2x = -2 yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni, tepe noktası ve köklerin simetrisi arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler.
Soru 195Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a
parabolü veriliyor. Bu parabolün tepe noktasının orijine olan uzaklığı, parabolün simetri ekseni ile y=3x−2y = 3x - 2 doğrusunun kesişim noktasının orijine olan uzaklığına eşittir.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasının orijine olan uzaklıklarının eşitlenmesiyle elde edilen denklemin tam sayı kökü olan 2'dir.
Parabolün tepe noktası T(a,−2a)T(a, -2a) ve simetri ekseni x=ax = a doğrusudur. Kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2)'dir. Bu iki noktanın apsisleri aynı olduğundan, orijine olan uzaklıklarının eşit olması ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| eşitliği kurulur. Bu denklemin çözümlerinden elde edilen tam sayı kök 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleme
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olsun. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a2−2a=−2ak = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a = -2a olduğundan T(a,−2a)T(a, -2a) elde edilir.
Tepe noktasının koordinatları (r,f(r))(r, f(r)) formülü ile bulunur.
2
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama
∣OT∣2=a2+(−2a)2=5a2|OT|^2 = a^2 + (-2a)^2 = 5a^2
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanmıştır.
3
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasını bulma
Parabolün simetri ekseni x=r  ⟹  x=ax = r \implies x = a doğrusudur. Bu doğrunun y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuyla kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2) olur.
Kesişim noktasının apsisi simetri ekseni üzerinde olduğu için aa'dır; ordinatı ise doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.
4
Kesişim noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama ve uzaklıkları eşitleme
∣OP∣2=a2+(3a−2)2|OP|^2 = a^2 + (3a-2)^2. Uzaklıkların eşitliğinden ∣OT∣2=∣OP∣2  ⟹  5a2=a2+(3a−2)2  ⟹  5a2=10a2−12a+4  ⟹  5a2−12a+4=0|OT|^2 = |OP|^2 \implies 5a^2 = a^2 + (3a-2)^2 \implies 5a^2 = 10a^2 - 12a + 4 \implies 5a^2 - 12a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda her iki noktanın da orijine olan uzaklıklarının eşit olduğu belirtilmiştir.
5
İkinci dereceden denklemi çözüp tam sayı olan kökü seçme
5a2−12a+4=0  ⟹  (5a−2)(a−2)=05a^2 - 12a + 4 = 0 \implies (5a - 2)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=25a = \frac{2}{5} veya a=2a = 2 bulunur. Tam sayı değeri istendiği için a=2a = 2 olarak elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemin kökleri bulunmuş ve tam sayı olan kök seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) ve simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Parabol üzerindeki noktaların veya simetri ekseniyle ilişkili geometrik yapıların analitik incelenmesinde uzaklık formülü kullanılır.

Alternatif Yöntem

Tepe noktasının ve kesişim noktasının apsisleri aynı (x=ax = a) olduğundan, bu noktaların orijine olan uzaklıklarının eşit olması ancak ve ancak ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasıyla mümkündür. Yani ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| denklemi kurulabilir. Buradan −2a=−(3a−2)  ⟹  a=2-2a = -(3a - 2) \implies a = 2 veya −2a=3a−2  ⟹  a=2/5-2a = 3a - 2 \implies a = 2/5 hızlıca bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 196Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolü koordinat eksenlerini A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) noktalarında kesmektedir.

x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olmak üzere, AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları toplamı, CC noktasının orijine olan uzaklığının 34\frac{3}{4}’üne eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

-8 değeri
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı aa’dır. Köklerden biri negatif, diğeri pozitif olduğu için kökler çarpımı olan aa değeri negatiftir. Buradan CC noktasının orijine uzaklığı −a-a olur. x-eksenini kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise −x1+x2-x_1 + x_2’dir. İlgili oran kullanılarak (x2−x1)=−34a(x_2-x_1) = -\frac{3}{4}a yazılır. Kökler toplamının 2 olduğu bilgisiyle birlikte iki kare farkı ve tam kare ilişkilerinden yararlanılarak a=−8a = -8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kesim noktalarını cebirsel olarak ifade etmek
y-eksenini kestiği nokta C(0,a)C(0, a) ve x-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ile B(x2,0)B(x_2, 0)’dir.
Eksenleri kestiği noktaların apsis ve ordinatlarını parabol denkleminden belirlemek amacıyla.
2
Köklerin işaretlerini ve uzaklık ilişkisini belirlemek
x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğundan kökler çarpımı x1x2=a<0x_1 x_2 = a < 0’dır. Bu durumda C(0,a)C(0, a) noktasının orijine uzaklığı ∣a∣=−a|a| = -a birimdir. AA ve BB noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise ∣x1∣+∣x2∣=−x1+x2|x_1| + |x_2| = -x_1 + x_2 birimdir.
Uzaklıkların mutlak değerce pozitif olması gerektiğini uygulayarak cebirsel ifadeyi doğru kurmak için.
3
Verilen oranı kullanarak köklerin farkını aa cinsinden yazmak
x2−x1=−34ax_2 - x_1 = -\frac{3}{4}a denklemi elde edilir.
Kökler farkı ile parabolün y-eksenini kestiği nokta arasındaki doğrusal bağıntıyı kurmak için.
4
Kökler toplamı ve çarpımı ilişkisini kullanarak ikinci dereceden denklem oluşturmak
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1x2=ax_1 x_2 = a olduğundan, (x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 özdeşliğinden (−34a)2=22−4a⇒916a2+4a−4=0\left(-\frac{3}{4}a\right)^2 = 2^2 - 4a \Rightarrow \frac{9}{16}a^2 + 4a - 4 = 0 elde edilir.
Köklerin farkı ile toplamı ve çarpımı arasındaki özdeşlik yardımıyla aa parametresine bağlı tek değişkenli denkleme ulaşmak için.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bulmak
9a2+64a−64=0⇒(9a−8)(a+8)=09a^2 + 64a - 64 = 0 \Rightarrow (9a - 8)(a + 8) = 0 elde edilir. Buradan a=89a = \frac{8}{9} veya a=−8a = -8 bulunur. a<0a < 0 olması gerektiğinden a=−8a = -8’dir.
Denklemin köklerinden parabolün varlık koşuluna ve köklerin işaret durumuna uygun olan negatif değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis değerlerinin kök katsayı ilişkileriyle analitik olarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 197Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+4x+cf(x) = -x^2 + 4x + c fonksiyonunun grafiği olan parabol y-eksenini AA noktasında, x-eksenini ise farklı BB ve CC noktalarında kesmektedir. AA noktasının BB ve CC noktalarına olan uzaklıklarının kareleri toplamı 4040 birim olduğuna göre, cc kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

c sayısının değeri 3'tür.
Doğru olan seçenekteki değer (33), parabolün y-eksenini kestiği noktanın A(0,c)A(0, c) koordinatlarını ve x-eksenini kestiği noktaların kök-katsayı ilişkilerini (x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−cx_1 x_2 = -c) kullanarak ∣AB∣2+∣AC∣2=x12+x22+2c2=40|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40 eşitliğini sağlar. Buradan elde edilen c2+c−12=0c^2 + c - 12 = 0 denkleminin kökleri 33 ve −4-4 olup, parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için diskriminantın sıfırdan büyük olması (c>−4c > -4) gerektiğinden c=3c = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kesim noktasını bulun.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta A(0,c)A(0, c) olarak bulunur.
y-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır, dolayısıyla x=0x = 0 için f(0)=cf(0) = c olur.
2
x-eksenini kesim noktaları için kök-katsayı ilişkilerini yazın.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−cx_1 x_2 = -c elde edilir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) ise, x1x_1 ve x2x_2 değerleri −x2+4x+c=0-x^2 + 4x + c = 0 denkleminin kökleridir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklıkların karelerini ifade edin.
∣AB∣2=x12+c2|AB|^2 = x_1^2 + c^2 ve ∣AC∣2=x22+c2|AC|^2 = x_2^2 + c^2 olur.
A(0,c)A(0, c) noktasının B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarına olan uzaklıklarının kareleri Pythagoras teoremi ile hesaplanır.
4
Verilen toplamı kökler cinsinden yazıp cc değerine bağlı ikinci dereceden denklemi elde edin.
2c2+2c−24=0  ⟹  c2+c−12=02c^2 + 2c - 24 = 0 \implies c^2 + c - 12 = 0 denklemi bulunur.
∣AB∣2+∣AC∣2=x12+x22+2c2=40|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40 eşitliğinde x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16+2cx_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 16 + 2c özdeşliği yerine yazılır.
5
Elde edilen denklemi çözüp farklı iki kesim noktası şartını kontrol edin.
c=3c = 3 olarak bulunur.
c2+c−12=0  ⟹  (c+4)(c−3)=0c^2 + c - 12 = 0 \implies (c+4)(c-3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve −4-4'tür. Parabolün x-eksenini farklı iki noktada kesmesi için diskriminant Δ=16+4c>0  ⟹  c>−4\Delta = 16 + 4c > 0 \implies c > -4 olmalıdır. Dolayısıyla c=3c = 3 seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkileri

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=2r = -\frac{b}{2a} = 2 olduğundan parabol x=2x = 2 simetri eksenine göre simetriktir. Kökler simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğundan x1=2−kx_1 = 2 - k ve x2=2+kx_2 = 2 + k (k>0k > 0) olarak yazılabilir. Bu durumda x12+x22=(2−k)2+(2+k)2=8+2k2x_1^2 + x_2^2 = (2-k)^2 + (2+k)^2 = 8 + 2k^2 olur. Diğer yandan kökler çarpımı x1x2=4−k2=−c  ⟹  k2=c+4x_1 x_2 = 4 - k^2 = -c \implies k^2 = c + 4 elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında x12+x22=8+2(c+4)=2c+16x_1^2 + x_2^2 = 8 + 2(c+4) = 2c + 16 bulunur. Buradan da ∣AB∣2+∣AC∣2=2c+16+2c2=40  ⟹  c2+c−12=0|AB|^2 + |AC|^2 = 2c + 16 + 2c^2 = 40 \implies c^2 + c - 12 = 0 denklemine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 198Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, tahtaya dört farklı ikinci dereceden fonksiyon tanımlamış ve öğrencilerinden bu fonksiyonların grafiklerinin koordinat eksenleriyle olan kesişim durumlarını incelemelerini istemiştir.

Buna göre, sol sütunda verilen parabol fonksiyonları ile sağ sütundaki eksenleri kesme özelliklerini doğru olacak şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6
k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) fonksiyonu x-eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında, y-eksenini ise (0, 3) noktasında keser. g(x) fonksiyonu x-eksenine x = 3 apsisli noktada teğettir ve y-eksenini (0, -9) noktasında keser. h(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar aras��ndaki uzaklık 4 birimdir ve y-eksenini (0, -6) noktasında keser. k(x) fonksiyonu koordinat eksenlerini sadece bir noktada keser ve bu kesim noktası (0, 5)'tir.
Verilen fonksiyonların her biri için x=0x=0 yazıldığında y-eksenini kestiği koordinatlar; y=0y=0 yazılıp çarpanlara ayrıldığında ise x-eksenini kestiği noktalar (veya teğetlik durumları) belirlenir. Hesaplamalar sonucunda: f(x) fonksiyonu eksenleri (0,3), (1,0) ve (3,0) noktalarında keser; g(x) fonksiyonu x-eksenine x=3'te teğet olup y-eksenini (0,-9)'da keser; h(x) fonksiyonu x-eksenini -3 ve 1 apsisli noktalarda (aralarındaki uzaklık 4 birim) ve y-eksenini (0,-6)'da keser; k(x) fonksiyonu ise reel kökü olmadığı için x-eksenini kesmeyip koordinat eksenlerini sadece (0,5) noktasında keser.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için f(0)=3f(0) = 3 yani (0,3)(0,3)'tür. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2-4x+3=0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1 ve x=3x=3 yani (1,0)(1,0) ile (3,0)(3,0)'dır.
Eksen kesişimleri x=0x=0 ve y=0y=0 yazılarak belirlenir.
2
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için g(0)=−9g(0) = -9 yani (0,−9)(0,-9)'dur. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için −(x−3)2=0  ⟹  x=3-(x-3)^2=0 \implies x=3 çift katlı köküdür. Bu, parabolün (3,0)(3,0) noktasında x-eksenine teğet olduğunu gösterir.
Çift katlı kök varlığı teğet olma durumunu ifade eder.
3
h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve kesişim noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için h(0)=−6h(0) = -6 yani (0,−6)(0,-6)'dır. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için 2(x2+2x−3)=0  ⟹  2(x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−32(x^2+2x-3)=0 \implies 2(x+3)(x-1)=0 \implies x=-3 ve x=1x=1'dir. Kesişim noktaları arasındaki uzaklık ∣1−(−3)∣=4|1 - (-3)| = 4 birimdir.
x-eksenini kestiği iki nokta arasındaki uzaklık, kökler farkının mutlak değeridir.
4
k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için k(0)=5k(0) = 5 yani (0,5)(0,5)'tir. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−2x+5=0x^2-2x+5=0 denkleminin diskriminantı Δ=(−2)2−4(1)(5)=−16<0\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0 olduğundan reel kökü yoktur. Grafik x-eksenini kesmez.
Negatif diskriminant reel kök olmadığını ve dolayısıyla x-ekseninin kesilmediğini gösterir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) y-eksenini kestiği noktanın (0,f(0))(0, f(0)) olması, x-eksenini kestiği noktaların ise fonksiyonun reel kökleri (veya teğetlik durumu) ve diskriminant ilişkisi ile bulunması.
Soru 199Soru →
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2mx+m2−2m+4f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4
parabollerinin tepe noktalarının oluşturduğu geometrik yer doğrusu dd doğrusudur.

Bu parabollerden, tepe noktası dd doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasında olan parabolün tepe noktası TT ve yy eksenini kestiği nokta CC olarak belirleniyor.

Buna göre, köşeleri orijin (OO), TT ve CC noktaları olan OTCOTC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

Köşeleri orijin, parabolün tepe noktası ve y eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı 3/2 birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının geometrik yerinin doğru şekilde belirlenmesi, orta noktanın doğru hesaplanması (m=1m = 1), bu mm değerine karşılık gelen parabolün yy eksenini kestiği noktanın C(0,3)C(0, 3) olarak bulunması ve köşeleri O(0,0)O(0,0), T(1,2)T(1,2), C(0,3)C(0,3) olan üçgenin alanının 3×12=32\frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} birimkare olarak elde edilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm parametresi cinsinden bulun.
T(m,−2m+4)T(m, -2m+4)
Tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)=−(−2m)/2=mr = -b/(2a) = -(-2m)/2 = m ve ordinatı ise k=f(r)=f(m)=m2−2m2+m2−2m+4=−2m+4k = f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m^2 - 2m + 4 = -2m+4 olarak hesaplanır.
2
Tepe noktasının oluşturduğu geometrik yer doğrusunun denklemini elde edin ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin.
Doğru denklemi d:y=−2x+4d: y = -2x + 4 olup eksenleri kestiği noktalar A(2,0)A(2, 0) ve B(0,4)B(0, 4)'tür.
x=mx = m ve y=−2m+4y = -2m+4 eşitliklerinden mm yok edilerek y=−2x+4y = -2x+4 doğrusu elde edilir. Eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
3
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasını hesaplayın ve bu noktayı tepe noktası yapan mm değerini bulun.
Orta nokta M(1,2)M(1, 2) ve bu durumda m=1m = 1 olur.
Orta nokta koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır: M=((2+0)/2,(0+4)/2)=(1,2)M = ((2+0)/2, (0+4)/2) = (1, 2). Parabolün tepe noktası bu orta nokta olduğundan T(m,−2m+4)=(1,2)  ⟹  m=1T(m, -2m+4) = (1, 2) \implies m = 1 elde edilir.
4
m=1m=1 için parabolün denklemini yazıp yy eksenini kestiği CC noktasını bulun.
Parabol denklemi f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 ve C(0,3)C(0, 3) olur.
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, bu yüzden f(0)=02−2(0)+3=3f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 değeri hesaplanır.
5
Köşeleri O(0,0)O(0, 0), T(1,2)T(1, 2) ve C(0,3)C(0, 3) olan OTCOTC üçgeninin alanını hesaplayın.
Alan = 3/23/2 birimkare
Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [OC][OC] doğru parçası olup uzunluğu 33 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise T(1,2)T(1, 2) noktasının yy eksenine olan uzaklığı, yani apsisinin mutlak değeri olan 11 birimdir. Alan formülünden Alan=3×12=32\text{Alan} = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 200Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x2−2ax+a2−3a+2f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 2

parabolünün tepe noktası olan TT noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

Bu parabolün simetri ekseni ile y=xy = x doğrusunun kesişim noktası PP olmak üzere, TT ve PP noktaları arasındaki uzaklık 66 birimdir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a = 2
Tepe noktası T(a,−3a+2)T(a, -3a+2) dördüncü bölgede olduğu için a>2/3a > 2/3 olmalıdır. Simetri ekseni olan x=ax = a doğrusu ile y=xy = x doğrusunun kesişim noktası P(a,a)P(a, a) olur. İki nokta arasındaki uzaklık ∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6 denklemini verir. Buradan a=2a = 2 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T(a,−3a+2)T(a, -3a + 2)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2acoeff=−−2a2=ar = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{-2a}{2} = a formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(a)=a2−2a2+a2−3a+2=−3a+2k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 3a + 2 = -3a + 2 olarak elde edilir.
2
Simetri eksenini belirlemek ve kesişim noktasını bulmak.
P(a,a)P(a, a)
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusudur, yani x=ax = a doğrusudur. Bu doğrunun y=xy = x doğrusuyla kesişim noktası P(a,a)P(a, a) olur.
3
T ve P noktaları arasındaki uzaklık denklemini yazmak.
∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6
Apsisleri aynı olan iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir: ∣a−(−3a+2)∣=∣4a−2∣=6|a - (-3a + 2)| = |4a - 2| = 6.
4
Dördüncü bölge koşulunu uygulayarak a değerini belirlemek.
a=2a = 2
T(a,−3a+2)T(a, -3a + 2) dördüncü bölgede olduğundan apsisi pozitif (a>0a > 0), ordinatı negatif (−3a+2<0  ⟹  a>2/3-3a + 2 < 0 \implies a > 2/3) olmalıdır. ∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6 denkleminin çözümlerinden a=2a = 2 bu koşulu sağlar, a=−1a = -1 ise sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ilişkisi
ÖncekiSayfa 10 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin