Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 81Soru →

Her noktada sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için

f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre,

∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğinden ötürü integral [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarına bölünür ve [1,3][1, 3] aralığındaki parça, yapılan değişken değiştirme ile [−1,1][-1, 1] aralığına taşınarak baştaki integral ile özdeş kılınır. Böylece tüm integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ifadesine eşit olur. f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinden yararlanılarak bu integralin değeri kolayca 1212 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğini kullanarak ∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx integralini x=1x=1 noktasından iki parçaya ayıralım.
∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği fonksiyonun grafiğinin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğunu belirtir, bu nedenle integrali bu simetri ekseninde parçalamak işlemleri kolaylaştırır.
2
İkinci integral olan ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesinde u=2−xu = 2-x dönüşümü uygulayalım ve integral sınırlarını güncelleyelim.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=3  ⟹  u=−1x=3 \implies u=-1 olur. Buradan ∫13f(x) dx=∫−11f(2−u) du\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(2-u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarını [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak ve birinci integral ile ilişkilendirmek için değişken değiştirme uygulanır.
3
f(2−u)=f(u)f(2-u) = f(u) eşitliğini kullanarak integral ifadesini sadeleştirelim.
∫13f(x) dx=∫−11f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx olur. Dolayısıyla, aradı��ımız integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx haline gelir.
Simetri özelliği sayesinde iki farklı aralıktaki integrallerin birbirine eşit olduğu gösterilmiş olur.
4
f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinin her iki yanının [−1,1][-1, 1] aralığında integralini alalım.
∫−11f(x) dx+∫−11f(−x) dx=∫−11(6x2+4) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(-x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx
Fonksiyonun tek-çift simetri özelliklerinden faydalanarak doğrudan ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin değerine ulaşmak hedeflenir.
5
∫−11f(−x) dx\int_{-1}^{1} f(-x) \, dx integralinde t=−xt = -x dönüşümü yaparak sadeleştirme sağlayalım.
2∫−11f(x) dx=∫−11(6x2+4) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx eşitliği elde edilir.
−x-x dönüşümü sınırları tersine çevirse de diferansiyeldeki eksi işareti ile sınırlar eski haline döner ve integralin değeri değişmez.
6
Sağ taraftaki belirli integrali hesaplayarak nihai sonucu bulalım.
[2x3+4x]−11=(2+4)−(−2−4)=6−(−6)=12\left[ 2x^3 + 4x \right]_{-1}^{1} = (2 + 4) - (-2 - 4) = 6 - (-6) = 12 bulunur.
Temel analiz teoremi (Newton-Leibniz) kullanılarak polinomun belirli integrali hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır değiştirme, değişken değiştirme ve fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla integral hesabı.
Soru 82Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=7 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 7
olduğuna göre,
∫15(f(x)+k) dx=19 \int_{1}^{5} (f(x) + k) \, dx = 19
eşitliğini sağlayan kk gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sayısı 3'tür.
Verilen belirli integral, integralin lineerlik özelliğinden yararlanılarak iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazılır. Sabit kk fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integrali 4k4k olarak bulunur. Bilinen değer yerine yazılarak 7+4k=197 + 4k = 19 denklemi elde edilir ve buradan k=3k = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplamsal lineerlik özelliğiyle iki ayrı integral olarak yazmak
∫15f(x) dx+∫15k dx=19\int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{1}^{5} k \, dx = 19
Toplama işleminin belirli integral üzerindeki dağılma özelliğini kullanmak
2
Bilinen integral değerini yerine yazmak ve sabit terimin integralini almak
7+4k=197 + 4k = 19
∫abk dx=k(b−a)\int_{a}^{b} k \, dx = k(b-a) kuralını uygulamak ve verilen integral değerini yerine yerleştirmek
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözmek
k=3k = 3
7+4k=197 + 4k = 19 denkleminde bilinmeyeni yalnız bırakarak çözüme ulaşmak

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik Özelliği ve Sabit Fonksiyon İntegrali
Soru 83Soru →
∫01(3x+1)4 dx\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx

belirli integralinde u=3x+1u = 3x + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du

Cevap

13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du
Doğru seçenekte integral sınırları alt sınır için 3(0)+1=13(0)+1=1 ve üst sınır için 3(1)+1=43(1)+1=4 olarak güncellenmiş ve diferansiyel ifadesi dx=du3dx = \frac{du}{3} şeklinde doğru yazılarak integralin dışına 13\frac{1}{3} çarpanı getirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılır.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden ifade etmek için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2
İntegral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=3(0)+1=1x = 0 \implies u = 3(0) + 1 = 1 ve üst sınır için x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır.
∫01(3x+1)4 dx=∫14u4⋅du3=13∫14u4 du\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du elde edilir.
Tüm terimler yeni uu değişkenine göre düzenlenerek integral yeniden yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) yeni değişken cinsinden yazılmalı hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 84Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanmış olan bazı kapalı bölgelerin sözel ifadeleri soldaki sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral gösterimleri ise sağdaki sütunda verilmiştir. Buna göre, sol sütunda verilen her bir bölgeyi sağ sütundaki doğru integral gösterimiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

I. bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=8−x2y = 8 - x^2 parabolü ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
I. bölgede y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile y=x−2y = x - 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2y = 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki bölgelerin doğru belirli integral gösterimleriyle eşleşmesi şu şekildedir: Birinci bölge integral gösterimlerinin üçüncüsüyle, ikinci bölge birincisiyle, üçüncü bölge ikincisiyle ve dördüncü bölge dördüncüsüyle eşleşir.
Her bir sınırlı bölgenin sınırları ortak çözüm yöntemiyle bulunmuş, üstteki (veya sağdaki) fonksiyondan alttaki (veya soldaki) fonksiyon çıkarılarak elde edilen integrandlar doğru integral sınırları ile eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x2=8−x2  ⟹  2x2=8  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = 2 (I. bölge için x≥0x \ge 0 alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Üstteki eğri y=8−x2y = 8 - x^2, alttaki eğri y=x2y = x^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur.
Eğrilerin kesim noktaları integralin sınırlarını, üstte ve altta kalma durumları ise integrandı belirler.
2
İkinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x3=4x  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x=2x^3 = 4x \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 2 (I. bölge için pozitif kök alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Bu aralıkta y=4xy = 4x doğrusu y=x3y = x^3 eğrisinin üstünde yer aldığından alan integral ifadesi ∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Kesişim noktaları ve fonksiyonların birbirine göre konumları belirlenerek alan integral ifadesi oluşturulur.
3
Üçüncü bölge için y değişkenine göre kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y + 2 denklemlerinin ortak çözümünden y2−y−2=0  ⟹  y=−1y^2 - y - 2 = 0 \implies y = -1 ve y=2y = 2 sınırları bulunur. Sağdaki doğru x=y+2x = y + 2, soldaki parabol ise x=y2x = y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olur.
Eğrilerin y eksenine göre konumları analiz edilerek integral değişkeni y olarak seçilmiştir.
4
Dördüncü bölge için y değişkenine göre sınırları belirleyip integral ifadesini yazma
y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 parabolü, y ekseni (x=0x=0) ve y=2y=2 doğrusu ile sınırlanan bölgenin y sınırları 00 ile 22 arasındadır. Sağdaki sınır x=y2x=y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy olur.
y ekseni boyunca dilimleme yapılarak alan doğrudan y cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla x veya y değişkenine göre hesaplanması.
Soru 85Soru →

(2,∞)(\sqrt{2}, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(x)=∫x5−x3−2xx2−2 dxf(x) = \int \frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} \, dx

ve f(2)=7f(2) = 7 eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73

Cevap

73
Rasyonel ifadenin pay kısmı çarpanlarına ayrılıp payda ile sadeleştirildiğinde integrand x3+xx^3 + x olarak bulunur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x44+x22+Cf(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C kuralı elde edilir. f(2)=7f(2) = 7 koşulu yerine yazılarak integral sabiti C=1C = 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında ise doğru değer olan 73 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x5−x3−2xx2−2=x(x4−x2−2)x2−2=x(x2−2)(x2+1)x2−2=x(x2+1)=x3+x\frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} = \frac{x(x^4 - x^2 - 2)}{x^2 - 2} = \frac{x(x^2 - 2)(x^2 + 1)}{x^2 - 2} = x(x^2 + 1) = x^3 + x
İntegral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi polinom biçimine getirmek gerekir.
2
Elde edilen ifadenin belirsiz integralini integral alma kurallarını kullanarak hesaplayın.
f(x)=∫(x3+x) dx=x44+x22+Cf(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C
Belirsiz integral kuralları gereği her terimin derecesi 1 artırılır, yeni dereceye bölünür ve ifadeye bir integral sabiti eklenir.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan sabiti hesaplayın.
f(2)=244+222+C=7  ⟹  4+2+C=7  ⟹  C=1f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 7 \implies 4 + 2 + C = 7 \implies C = 1
Fonksiyonun tek bir kuralını belirlemek amacıyla verilen nokta yardımıyla integral sabiti bulunur.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değeri yerine yazarak hesaplayın.
f(x)=x44+x22+1  ⟹  f(4)=444+422+1=64+8+1=73f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 1 \implies f(4) = \frac{4^4}{4} + \frac{4^2}{2} + 1 = 64 + 8 + 1 = 73
Fonksiyonun kuralı tam olarak bilindiğinden xx yerine 4 yazılarak hedef sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 86Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için gg ve hh fonksiyonları
g(x)=∫(x2−4)⋅f′(x) dxg(x) = \int (x^2 - 4) \cdot f'(x) \, dx
h(x)=∫2x⋅f(x) dxh(x) = \int 2x \cdot f(x) \, dx
biçiminde tanımlanıyor.

f(3)=3f(3) = 3, f(1)=5f(1) = 5 ve g(3)+h(3)=22g(3) + h(3) = 22
olduğuna göre, g(1)+h(1)g(1) + h(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

-8
Doğru cevap -8 olmalıdır. g(x) ve h(x) integrallerinin toplamı alındığında, integralin içi çarpımın türevi kuralı gereğince (x^2 - 4)f(x) ifadesinin türevi olur. Belirsiz integral alındığında bir integral sabiti C eklenir. Verilen f(3) = 3 ve g(3) + h(3) = 22 değerleri kullanılarak C = 7 bulunur. Son olarak x = 1 için f(1) = 5 değeri yerine yazıldığında toplam -8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının toplamını tek bir integral altında birleştirin.
g(x) + h(x) = \int [ (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ] \, dx
Belirsiz integrallerin toplama özelliği kullanılarak iki ayrı integral tek bir çatı altında toplanır.
2
İntegralin içindeki ifadenin türevin çarpım kuralı açılımı olduğunu fark edin.
\frac{d}{dx} [ (x^2 - 4) \cdot f(x) ] = (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x)
Çarpımın türevi kuralına göre, ifadenin (x^2 - 4)f(x) fonksiyonunun türevi olduğu görülür.
3
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integralini integral sabiti C ekleyerek yazın.
g(x) + h(x) = (x^2 - 4) \cdot f(x) + C
Bir fonksiyonun türevinin belirsiz integrali, fonksiyonun kendisine bir sabit eklenerek elde edilir.
4
x = 3 değerini yerleştirerek integral sabiti C'yi hesaplayın.
22 = (3^2 - 4) \cdot f(3) + C \implies 22 = 5 \cdot 3 + C \implies C = 7
Soruda verilen g(3) + h(3) = 22 ve f(3) = 3 değerlerini denklemde yerine koyarak C sabiti bulunur.
5
x = 1 değerini ve C = 7 sabitini kullanarak g(1) + h(1) değerini bulun.
g(1) + h(1) = (1^2 - 4) \cdot f(1) + 7 = -3 \cdot 5 + 7 = -8
İstenen g(1) + h(1) değerini elde etmek için formülde x = 1 ve f(1) = 5 değerleri yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral tanımı ve integral alma kuralları ile türevin çarpım kuralının tersinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integralin içindeki ifadelerin toplamının türevin çarpım kuralı açılımı olduğu doğrudan fark edilip d[(x^2 - 4)f(x)] = (x^2 - 4)f'(x)dx + 2xf(x)dx şeklinde yazılabilir ve her iki tarafın integrali alınarak sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 87Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve iki kez türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiği [2,8][2, 8] aralığında azalan ve konveks (yukarı bükülmüş) bir yapıya sahiptir.

Bu aralık, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre;
I. Riemann alt toplamı AA,
II. Riemann üst toplamı U¨Ü,
III. Riemann orta toplamı OO

değerleri hesaplanıyor.

Buna göre; AA, U¨Ü ve OO değerleri ile I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx belirli integralinin değeri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A<O<I<U¨A < O < I < Ü

Cevap

A<O<I<U¨A < O < I < Ü sıralaması doğrudur.
Fonksiyonun azalan olması (f′(x)<0f'(x) < 0) nedeniyle Riemann alt toplamı integralden küçük, Riemann üst toplamı ise integralden büyüktür. Fonksiyonun konveks (f′′(x)>0f''(x) > 0) olması nedeniyle, her alt aralıkta orta noktadan çizilen teğetlerin altında kalan alan (orta toplam) integral alanından küçüktür. Son olarak, fonksiyon azalan olduğundan orta noktadaki yükseklik sağ uçtaki yükseklikten büyük olup, orta toplam alt toplamdan büyüktür. Bu üç bilgi birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu inceleyerek alt ve üst Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi kuralım.
A<I<U¨A < I < Ü
f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonda her alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada (alt toplamı üretir), maksimum değer ise sol uç noktada (üst toplamı üretir) alınır. Dolayısıyla alt toplam integralden küçük, üst toplam ise integralden büyüktür.
2
Fonksiyonun konvekslik durumunu inceleyerek Riemann orta toplamı ile integral arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
O<IO < I
f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan fonksiyon konvekstir (yukarı bükülmüştür). Konveks eğrilerde, alt aralıkların orta noktalarından çizilen teğet doğruları daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Orta toplam, bu teğet doğrularının altında kalan alanların toplamına eşit olduğundan, eğri altında kalan net alandan (integral) küçüktür.
3
Riemann alt toplamı ile Riemann orta toplamı arasındaki ilişkiyi karşılaştıralım.
A<OA < O
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında, orta nokta mim_i değeri sağ uç nokta xix_i değerinden küçüktür (mi<xim_i < x_i). Fonksiyon azalan olduğundan f(mi)>f(xi)f(m_i) > f(x_i) olur. Bu durum, orta toplamı oluşturan dikdörtgenlerin yüksekliklerinin, alt toplamı oluşturan dikdörtgenlerin y��ksekliklerinden daha büyük olmasını sağlar.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek kesin sıralamayı elde edelim.
A<O<I<U¨A < O < I < Ü
A<OA < O, O<IO < I ve I<U¨I < Ü eşitsizlikleri birleştirildiğinde istenen sıralama doğrudan elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin işaretleri sırasıyla onun artanlık/azalanlık ve konvekslik/konkavlık durumunu belirler; bu durumlar ise Riemann alt, üst ve orta toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini tayin eder.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 88Soru →

Bir [a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali, bu aralığın herhangi bir eş bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann sol toplamından her zaman büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve artan bir fonksiyon için [a,b][a, b] aralığındaki belirli integral, Riemann sol toplamından (alt toplamdan) her zaman büyüktür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sürekli ve artan bir fonksiyon için sol uç noktalar fonksiyonun minimum değerlerini verir. Dolayısıyla Riemann sol toplamı bir alt toplam belirtir ve bu alt toplam integral değerinden kesinlikle küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyonun alt aralıklardaki uç değerlerini belirleme
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında f(x)f(x) artan olduğu için en küçük değer sol uçta yani f(xi−1)f(x_{i-1}) noktasında, en büyük değer ise sağ uçta yani f(xi)f(x_i) noktasında alınır.
Artan fonksiyon tanımı gereği, aralıktaki daha k��çük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann sol toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki ilişkiyi kurma
Sol uç noktalar kullanılarak hesaplanan Riemann sol toplamı \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir ve bu değer doğrudan Riemann alt toplamına eşittir.
Her alt aralıkta fonksiyonun minimum değeri sol uçta gerçekleştiği için sol toplam alt toplamı verir.
3
Alt toplam ile belirli integral değerini kıyaslama
Sürekli ve artan bir fonksiyon için, integral altındaki alan (belirli integral) ile Riemann alt toplamı arasında \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x < \int_a^b f(x) dx ilişkisi vardır.
Grafiksel olarak alt toplamı oluşturan dikdörtgenler tamamen eğrinin altında kalır ve eğri altındaki toplam alandan daha küçük bir alan kaplar.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki eşitsizlik ilişkisi
Soru 89Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2) dx+∫12f(5−2x) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{1}^{2} f(5 - 2x) \, dx = 10
ve
∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Doğru cevap 83\frac{8}{3} değeridir.
Doğru değer olan 83\frac{8}{3}, her bir integral terimine sırasıyla uygun değişken değiştirmeleri uygulanıp sınırlar güncellendikten ve elde edilen doğrusal denklem sistemi çözüldükten sonra elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral teriminde u=x2u = x^2 dönüşümü yapılır.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 olur. Bu durumda terim 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali daha basit bir formda ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
İkinci integral teriminde v=5−2xv = 5 - 2x dönüşümü yapılır.
dv=−2 dx  ⟹  dx=−dv2dv = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  v=3x = 1 \implies v = 3 ve x=2  ⟹  v=1x = 2 \implies v = 1 olur. Bu durumda terim ∫31f(v)(−dv2)=12∫13f(v) dv\int_{3}^{1} f(v) \left(-\frac{dv}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(v) \, dv haline gelir.
İkinci terimi de tek değişkenli integral biçiminde ifade edebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Dönüşümler ilk denklemde yerine yazılır ve denklem düzenlenir.
12∫14f(x) dx+12∫13f(x) dx=10  ⟹  ∫14f(x) dx+∫13f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 elde edilir.
Denklemdeki katsayıları sadeleştirerek integraller arasındaki doğrusal bağıntı bulunur.
4
Belirli integralin parçalama özelliği ve verilen ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bilgisi kullanılarak denklem sistemi çözülür.
∫14f(x) dx=∫13f(x) dx+∫34f(x) dx=∫13f(x) dx+4\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 yazılır. Bu ifade ortak denklemde yerine yazıldığında: (∫13f(x) dx+4)+∫13f(x) dx=20  ⟹  2∫13f(x) dx=16  ⟹  ∫13f(x) dx=8\left(\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4\right) + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \implies 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 16 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyen integral değerleri belirlenir.
5
Sorulan ∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx integralinde w=x3+2w = x^3 + 2 dönüşümü yapılır.
dw=3x2 dx  ⟹  x2 dx=dw3dw = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{dw}{3} olur. Sınırlar: x=−1  ⟹  w=1x = -1 \implies w = 1 ve x=1  ⟹  w=3x = 1 \implies w = 3 olur. İntegral 13∫13f(w) dw=13⋅8=83\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(w) \, dw = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} olarak hesaplanır.
Hedef integral ifadesi değişken değiştirme ile hesaplanabilir hale getirilir.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, dönüşüm formüllerini açıkça yazmak yerine diferansiyel terimlerini doğrudan içeriye taşıyarak (x dx=12d(x2)x \, dx = \frac{1}{2} d(x^2) ve dx=−12d(5−2x)dx = -\frac{1}{2} d(5-2x) vb.) integral doğrudan diferansiyel formunda da düzenlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 90Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(2−x)=4f(x) + f(2-x) = 4
eşitliğini sağlamaktadır.
g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt
olmak üzere,
g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10
olduğunu göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak doğru değer 2 olarak bulunur.
Doğru değer olan 2, belirli integralin sınır değiştirme ve değişken değiştirme kurallarının [2,4][2, 4] aralığına uygulanıp, u=2−tu = 2-t dönüşümü yapıldıktan sonra elde edilen ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 eşitliği ve g(−2)=−∫−20f(t) dtg(-2) = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt tanımı birleştirilerek bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(2)g(2) integral değerini hesaplamak için verilen fonksiyonel denklem [0,2][0, 2] aralığında entegre edilir.
g(2)=4g(2) = 4
f(x)+f(2−x)=4  ⟹  ∫02(f(x)+f(2−x)) dx=∫024 dx=8f(x) + f(2-x) = 4 \implies \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 elde edilir. Sol taraftaki ikinci integralde u=2−xu = 2-x değişken değiştirmesi yapılırsa ∫02f(2−x) dx=∫02f(u) du\int_{0}^{2} f(2-x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \, du olur. Böylece 2∫02f(x) dx=8  ⟹  g(2)=42 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8 \implies g(2) = 4 bulunur.
2
Verilen g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10 bilgisi kullanılarak [2,4][2, 4] aralığındaki belirli integral değeri tespit edilir.
∫24f(t) dt=10\int_{2}^{4} f(t) \, dt = 10
g(4)−g(2)=∫04f(t) dt−∫02f(t) dt=∫24f(t) dtg(4) - g(2) = \int_{0}^{4} f(t) \, dt - \int_{0}^{2} f(t) \, dt = \int_{2}^{4} f(t) \, dt olduğundan bu değer doğrudan 1010 olarak bulunur.
3
∫24f(t) dt\int_{2}^{4} f(t) \, dt integralinde u=2−tu = 2-t değişken değiştirmesi yapılarak sınırların [−2,0][-2, 0] aralığına taşınması sağlanır.
∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2
u=2−t  ⟹  dt=−duu = 2-t \implies dt = -du olur. Sınırlar için: t=2  ⟹  u=0t = 2 \implies u = 0 ve t=4  ⟹  u=−2t = 4 \implies u = -2 olur. Buradan,
∫24f(t) dt=∫0−2f(2−u)(−du)=∫−20f(2−u) du\int_{2}^{4} f(t) \, dt = \int_{0}^{-2} f(2-u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(2-u) \, du
elde edilir. f(2−u)=4−f(u)f(2-u) = 4 - f(u) eşitliği yerine yazıldığında:
∫−20(4−f(u)) du=10  ⟹  [4u]−20−∫−20f(u) du=10  ⟹  8−∫−20f(u) du=10  ⟹  ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} (4 - f(u)) \, du = 10 \implies \left[ 4u \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies 8 - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies \int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 bulunur.
4
g(−2)g(-2) değeri, integral sınırlarının yönü dikkate alınarak hesaplanır.
g(−2)=2g(-2) = 2
g(−2)=∫0−2f(t) dt=−∫−20f(t) dtg(-2) = \int_{0}^{-2} f(t) \, dt = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt olduğundan, bir önceki adımda bulunan −2-2 değeri yerine yazıldığında g(−2)=−(−2)=2g(-2) = -(-2) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve fonksiyon simetrilerinin belirli integral üzerindeki etkileri.
Soru 91Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak belirlendikten sonra, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar ayrı ayrı integral ile hesaplanır. Fonksiyonların simetrik yapısından dolayı her iki bölgenin alanı da 4 birimkaredir. Dolayısıyla toplam alan 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerinin hesaplanması gerekir.
2
Kesişim noktaları arasındaki aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğunu analiz edin.
[−2,0][-2, 0] aralığında x3−3x≥xx^3 - 3x \geq x iken [0,2][0, 2] aralığında x≥x3−3xx \geq x^3 - 3x olur.
İntegral ile alan hesabı yapılırken üst sınırda yer alan fonksiyondan alt sınırda yer alan fonksiyon çıkarılır.
3
Belirlenen aralıklarda integral alarak alanları ayrı ayrı hesaplayın.
[0,2][0, 2] aralığındaki alan ∫02(4x−x3) dx=[2x2−x44]02=4\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 birimkare bulunur. Simetriden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan da 4 birimkaredir.
Her bir sınırlı bölgenin alanı, eğrilerin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı bulun.
Toplam Alan = 4+4=84 + 4 = 8 birimkaredir.
Eğriler arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için ayrı ayrı hesaplanan alanlar toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali alınarak hesaplanır.
Soru 92Soru →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 818\frac{81}{8}

Cevap

İntegralin doğru değeri 81/8'dir.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=1x = 1 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=3u = 3 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫03u3 du\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 \, du haline gelir ve hesaplandığında 818\frac{81}{8} sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için dönüşüm tanımlanır ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=x2−1u = x^2 - 1 ve du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x(x2−1)3 dxx(x^2 - 1)^3 \, dx ifadesini uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0, üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3
İntegral değişkeni xx'ten uu'ya geçtiği için sınırların da uu değişkeninin aldığı değerlerle değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3du2=12[u44]03=12(814−0)=818\int_{0}^{3} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 0 \right) = \frac{81}{8}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integralin içi hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 93Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫53f(x) dx=−4\int_{5}^{3} f(x) \, dx = -4

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13(f(x)+2) dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen belirli integrallerin sınır bölme özelliği kullanılarak ∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 olarak elde edilir. İstenen integralde yer alan sabit 2 sayısının [1,3][1, 3] aralığındaki belirli integrali ise 2×(3−1)=42 \times (3 - 1) = 4 olur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç olan 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin sınır bölme özelliğini uygulayarak ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx integralini bulunuz.
∫13f(x) dx=∫15f(x) dx+∫53f(x) dx=12+(−4)=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{3} f(x) \, dx = 12 + (-4) = 8
Belirli integralin sınır özellikleri gereği, herhangi bir sürekli fonksiyon için ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx eşitliği geçerlidir.
2
Sorulan integral ifadesini doğrusal (lineer) özelliklerini kullanarak iki ayrı integral olarak yazınız.
∫13(f(x)+2) dx=∫13f(x) dx+∫132 dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 2 \, dx
İntegral işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
3
Sabit terimin belirli integralini hesaplayıp toplam değeri bulunuz.
∫132 dx=2⋅(3−1)=4\int_{1}^{3} 2 \, dx = 2 \cdot (3 - 1) = 4
∫13(f(x)+2) dx=8+4=12\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = 8 + 4 = 12
Bir sabit cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali c(b−a)c(b - a) formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır bölme özelliği ve doğrusal (lineer) özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 94Soru →

(2,∞)(2, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(x)=∫x3+3x2−4x−12x2−4 dxf(x) = \int \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 - 4} \, dx

eşitliği veriliyor.

f(4)=24f(4) = 24 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Doğru cevap 40'tır.
İntegral içerisindeki rasyonel ifadenin payı gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında (x2−4)(x+3)(x^2 - 4)(x + 3) elde edilir. Paydadaki terim ile sadeleştiğinde geriye kalan x+3x + 3 ifadesinin belirsiz integrali alındığında f(x)=x22+3x+Cf(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C fonksiyonuna ulaşılır. Verilen sınır koşulundan integral sabiti C=4C = 4 olarak hesaplanır. Tanımlanan fonksiyonda değer yerine yazılarak doğru sonuç olan 40 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x3+3x2−4x−12=x2(x+3)−4(x+3)=(x2−4)(x+3)x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x^2 - 4)(x + 3) olduğundan, rasyonel ifade (x2−4)(x+3)x2−4=x+3\frac{(x^2 - 4)(x + 3)}{x^2 - 4} = x + 3 şeklinde sadeleşir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek gerekir.
2
Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplayarak fonksiyon kuralını oluşturun.
f(x)=∫(x+3) dx=x22+3x+Cf(x) = \int (x + 3) \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C elde edilir.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı ve integral sabiti belirlenir.
3
Verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplayın.
f(4)=422+3(4)+C=20+C=24f(4) = \frac{4^2}{2} + 3(4) + C = 20 + C = 24 eşitliğinden C=4C = 4 bulunur.
Fonksiyonun kuralını tam olarak elde etmek için integral sabitinin bulunması gerekir.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında istenen x değerini yerine yazarak sonucu hesaplayın.
f(6)=622+3(6)+4=18+18+4=40f(6) = \frac{6^2}{2} + 3(6) + 4 = 18 + 18 + 4 = 40 bulunur.
Soruda bizden istenen hedef değeri elde etmek için fonksiyon kuralı kullanılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Soru 95Soru →

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan bir ff fonksiyonu,

f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫14f(x) dx\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.
Verilen f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 fonksiyonel eşitliğinin [0,3][0, 3] aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak ∫03f(x) dx+∫14f(x) dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 eşitliğine ulaşılır. Burada ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [0,3][0, 3] aralığında belirli integralini alın.
∫03f(x) dx+∫03f(4−x) dx=∫036 dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18
Verilen belirli integral sınırları [0,3][0, 3] olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.
2
Sol taraftaki ikinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=−dxdu = -dx ve yeni sınırlar: x=0  ⟹  u=4x = 0 \implies u = 4, x=3  ⟹  u=1x = 3 \implies u = 1 olur.
İntegral sınırlarını hedeflediğimiz [1,4][1, 4] aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.
3
Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.
∫03f(4−x) dx=∫41f(u)(−du)=∫14f(u) du=∫14f(x) dx\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.
4
Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.
10+∫14f(x) dx=18  ⟹  ∫14f(x) dx=810 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
Verilen ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →
(1,∞)(1, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫x7/2−x1/2x3/2−x1/2 dxf(x) = \int \frac{x^{7/2} - x^{1/2}}{x^{3/2} - x^{1/2}} \, dx
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=6f(2) = 6 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 956\frac{95}{6}

Cevap

956\frac{95}{6}
İntegral içerisindeki ifade x1/2x^{1/2} ve (x−1)(x-1) çarpanlarına göre sadeleştirildiğinde x2+x+1x^2+x+1 polinomuna dönüşür. Bu ifadenin integral kurallarına göre entegre edilmesiyle elde edilen genel kuralda, f(2)=6f(2)=6 koşulu uygulanarak integral sabiti C=−23C = -\frac{2}{3} olarak bulunur. Bu aşamadan sonra fonksiyonda x=3x=3 yazıldığında rasyonel işlemler sonucu doğru yanıt olan 956\frac{95}{6} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
x2+x+1x^2 + x + 1
İfadeyi temel integral alma kurallarına uygun hale getirmek için payı x1/2(x3−1)x^{1/2}(x^3 - 1) ve paydayı x1/2(x−1)x^{1/2}(x - 1) olarak yazıp sadeleştiririz. x>1x > 1 olduğundan iki küp farkı açılımıyla (x3−1)/(x−1)=x2+x+1(x^3 - 1) / (x - 1) = x^2 + x + 1 elde edilir.
2
Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini alın.
f(x)=x33+x22+x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C
Polinom fonksiyonların integral alma kuralı olan üssü 1 artırıp yeni üsse bölme kuralını her bir terim için ayrı ayrı uygularız.
3
f(2)=6f(2) = 6 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) bulun.
C=−23C = -\frac{2}{3}
Genel fonksiyon kuralında x=2x = 2 yazıp ifadeyi 6'ya eşitleyerek CC sabitinin değerini netleştiririz: 83+2+2+C=6  ⟹  203+C=6  ⟹  C=−23\frac{8}{3} + 2 + 2 + C = 6 \implies \frac{20}{3} + C = 6 \implies C = -\frac{2}{3}.
4
Bulunan fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazarak istenen değeri hesaplayın.
f(3)=956f(3) = \frac{95}{6}
Soruda istenen f(3)f(3) değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 3 yazarız: f(3)=273+92+3−23=12+92−23=956f(3) = \frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 3 - \frac{2}{3} = 12 + \frac{9}{2} - \frac{2}{3} = \frac{95}{6}.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, cebirsel sadeleştirme ve integral sabiti bulma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 97Soru →

[0,3][0, 3] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 33 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı, Riemann alt toplamından kaç birimkare fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 99 birimkaredir.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır. Genişliği 11 birim olan 33 eş alt aralık için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak 2222 birimkare, Riemann alt toplamı ise sağ uç noktalar kullanılarak 1313 birimkare olarak elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark 99 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığı ve alt aralıkları belirleme
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde her bir alt aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 birim olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamını hesaplamak için öncelikle bölüntü noktalarını ve aralık genişliğini bulmamız gerekir.
2
Fonksiyon değerlerini uç noktalarda hesaplama
f(0)=9−02=9f(0) = 9 - 0^2 = 9, f(1)=9−12=8f(1) = 9 - 1^2 = 8, f(2)=9−22=5f(2) = 9 - 2^2 = 5 ve f(3)=9−32=0f(3) = 9 - 3^2 = 0 bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak olan fonksiyon yüksekliklerini belirlemek için uç noktalardaki değerleri hesaplamalıyız.
3
Riemann üst toplamını hesaplama
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında azalan olduğu için her bir alt aralıktaki maksimum değer sol uç noktada gerçekleşir. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅[9+8+5]=22U = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot [9 + 8 + 5] = 22 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Azalan fonksiyonda her bir alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada gerçekleşir. Riemann alt toplamı: L=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(3)]=1⋅[8+5+0]=13L = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [8 + 5 + 0] = 13 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı sağ uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
5
Üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−13=9U - L = 22 - 13 = 9 birimkare bulunur.
Riemann üst toplamının alt toplamdan kaç birimkare fazla olduğunu bulmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının monoton (azalan) fonksiyonlarda uç noktalar yardımıyla hesaplanması ve aralarındaki farkın bulunması.
Soru 98Soru →

Aşağıda sınırları verilen sınırlı bölgelerin alanlarını, bu alanları veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=x2−2xy = x^2 - 2x ve y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında x≥0x \geq 0 için kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde x=y2−1x = y^2 - 1 parabolü ile x=y+1x = y + 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge integral olan 8x - 2x^2 fonksiyonunun 0'dan 4'e integraliyle; ikinci bölge 4x - x^3 fonksiyonunun 0'dan 2'ye integraliyle; üçüncü bölge ise 2 + y - y^2 fonksiyonunun -1'den 2'ye y'ye göre integraliyle eşleşir.
Verilen her üç durumda da integral sınırları, eğrilerin kesişim noktalarının çözülmesiyle doğru bir şekilde elde edilmiştir. x eksenine göre integral alınan ilk iki durumda üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılmış; y eksenine göre integral alınan üçüncü durumda ise sağdaki doğrudan soldaki parabol çıkarılarak doğru integraller eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşleşme için parabollerin kesim noktalarını bulmak üzere denklemleri eşitleyin.
x2−2x=6x−x2⇒2x2−8x=0⇒x(2x−8)=0x^2 - 2x = 6x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(2x - 8) = 0 denkleminden sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
İlk aralıkta hangi parabolün üstte olduğunu belirleyip alan integralini kurun.
[0,4][0, 4] aralığında y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolü üstte, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü alttadır. Buradan alan ∫04((6x−x2)−(x2−2x)) dx=∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} ((6x - x^2) - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın sınır değerleri arasındaki integraline eşittir.
3
İkinci eşle��me için x≥0x \geq 0 koşulunda kübik eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulun ve integralini oluşturun.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 denkleminden x≥0x \geq 0 için sınırlar x=0x = 0 ve x=2x = 2 bulunur. Bu aralıkta y=xy = x doğrusu üstte olduğundan alan ∫02(x−(x3−3x)) dx=∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Bölgenin sağlandığı aralıkta üstteki doğrunun denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak alan integrali kurulur.
4
Üçüncü eşleşme için y değişkenine göre entegrasyon yapmak üzere kesim noktalarının ordinatlarını bulun.
y2−1=y+1⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 1 = y + 1 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0 denkleminden sınırlar y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunur. Aralıkta sağdaki doğru (x=y+1x = y + 1), soldaki parabolden (x=y2−1x = y^2 - 1) büyük olduğundan alan ∫−12((y+1)−(y2−1)) dy=∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} ((y + 1) - (y^2 - 1)) \, dy = \int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy şeklinde yazılır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları kesim noktalarının ordinatlarıdır ve sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla x veya y değişkenlerine göre ifade etme.
Soru 99Soru →
Sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin değeri 3'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde belirli integralin sınır değiştirme özelliği kullanıldığında integral değeri değişmez. Taraf tarafa toplama yapılarak tek bir integral altında birleştirilen ifadenin değeri hesaplanır ve ikiye bölünerek aranan değer olan 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integral sınırlarını ve değişkeni dönüştürmek.
∫24f(x) dx=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir.
x=6−ux = 6-u değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=2x=2 için u=4u=4 ve x=4x=4 için u=2u=2 olur. Böylece ∫24f(x) dx=∫42f(6−u)(−du)=∫24f(6−u) du=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{4}^{2} f(6-u) (-du) = \int_{2}^{4} f(6-u) \, du = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx bulunur.
2
İki integral ifadesini taraf tarafa toplamak.
2∫24f(x) dx=∫24(f(x)+f(6−x)) dx2 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (f(x) + f(6-x)) \, dx elde edilir.
Soru kökündeki denklemi kullanabilmek amacıyla integralin doğrusal (lineer) özelliğinden faydalanarak iki özdeş integrali toplarız.
3
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29 ifadesini yerine yazarak integral değerini hesaplamak.
2∫24f(x) dx=62 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 ve buradan ∫24f(x) dx=3\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 bulunur.
Polinom integral alma kuralı uygulanarak [x3−9x2+29x]24=(64−144+116)−(8−36+58)=36−30=6[x^3 - 9x^2 + 29x]_2^4 = (64 - 144 + 116) - (8 - 36 + 58) = 36 - 30 = 6 hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların yansıması (değişken değiştirme) ve doğrusal toplama özellikleri.
Soru 100Soru →
∫12(3x−2)2 dx\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Belirli integralin değeri 7'dir.
Doğru seçenekte verilen değer, u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılarak sınırların u=1u=1 ve u=4u=4 olarak güncellenmesi ve dx=du3dx = \frac{du}{3} diferansiyeli kullanılarak integralin 13∫14u2 du=7\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^2 \, du = 7 olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılır.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx ve buradan dx=du3dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplanabilir bir değişkene dönüştürmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=3(1)−2=1x = 1 \implies u = 3(1) - 2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=3(2)−2=4x = 2 \implies u = 3(2) - 2 = 4 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Yeni değişken ve sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12(3x−2)2 dx=∫14u2⋅du3=13[u33]14=19(43−13)=639=7\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{1}^{4} u^2 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{9} (4^3 - 1^3) = \frac{63}{9} = 7 elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru yazılması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 5 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin