Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 101Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünün tepe noktasının apsisi rr olarak verilmiştir. Buna göre, y=f(x)y = f(x) parabolü ile y=rx+2y = rx + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

92(dokuzbo¨lu¨iki)\frac{9}{2} (dokuz bölü iki)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak hesaplanır. Buradan doğrunun denklemi y=3x+2y = 3x + 2 olur. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları ortak çözüm denkleminden x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak belirlenir. Bu aralıkta üstteki eğriden (parabolden) alttaki eğri (doğru) çıkarılarak [0,3][0, 3] aralığında alınan belirli integral, alan değerini 92\frac{9}{2} birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünde a=−1a = -1 ve b=6b = 6 olduğundan, tepe noktasının apsisi r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 olur.
Soruda tanımlanan doğrunun denklemi tepe noktasının apsisi rr değerine bağlıdır.
2
Elde edilen r=3r = 3 değerini yerine yazarak doğrunun denklemini bulunuz.
Doğrunun denklemi y=rx+2  ⟹  y=3x+2y = rx + 2 \implies y = 3x + 2 olarak bulunur.
İki eğrinin kesişim noktalarını belirleyebilmek için doğrunun tam denklemine ihtiyaç vardır.
3
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak bulunuz.
−x2+6x+2=3x+2  ⟹  −x2+3x=0  ⟹  x(3−x)=0-x^2 + 6x + 2 = 3x + 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(3-x) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=3x_2 = 3 olarak elde edilir.
İki eğri arasında kalan bölgenin integral sınırlarını belirlemek için kesişim noktaları bulunmalıdır.
4
Belirli integral yardımıyla sınırlandırılan bölgenin alanını hesaplayınız.
Alan A=∫03((−x2+6x+2)−(3x+2)) dx=∫03(3x−x2) dx=[3x22−x33]03=(272−9)−0=92A = \int_0^3 \left( (-x^2 + 6x + 2) - (3x + 2) \right) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare bulunur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak sınır değerler arasında alınan belirli integral ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 102Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫25f(x) dxA = \int_{2}^{5} f(x) \, dx
B=∫58f(x) dxB = \int_{5}^{8} f(x) \, dx
eşitlikleri veriliyor.
∫283f(x) dx=36\int_{2}^{8} 3f(x) \, dx = 36
ve A−B=4A - B = 4 olduğuna göre, AA değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Belirli integralin özelliklerini uygulayarak elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde A değeri 8 olarak bulunur.
Verilen integral ifadesi dışarıdaki sabit çarpan sadeleştirilerek 12 olarak bulunur. Sınır parçalama özelliği ile bu değer A ve B integrallerinin toplamına eşitlenir (A+B=12A + B = 12). Soruda verilen A−B=4A - B = 4 bilgisiyle ortak çözüm yapıldığında A değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫28f(x) dx=12\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 12
İntegral içindeki sabit çarpan integralin dışına alınabilir: ∫k⋅f(x) dx=k∫f(x) dx\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx.
2
İntegral sınırlarını parçalayarak A ve B cinsinden bir eşitlik kurmak.
A+B=12A + B = 12
[2,8][2, 8] aralığı 55 noktasından bölünerek ∫28f(x) dx=∫25f(x) dx+∫58f(x) dx\int_{2}^{8} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{8} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
3
Elde edilen A+B=12A + B = 12 ve soruda verilen A−B=4A - B = 4 denklemlerini ortak çözmek.
A=8A = 8
İki bilinmeyenli denklem sistemi taraf tarafa toplanarak B değişkeni yok edilir ve A bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde lineerlik (sabit çarpanı dışarı çıkarma) ve sınırların parçalanması özellikleri.
Soru 103Soru →
∫023x2(x3+1)2 dx\int_{0}^{2} 3x^2 (x^3 + 1)^2 \, dx belirli integralinde u=x3+1u = x^3 + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du

Cevap

∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du ifadesidir.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx olur. İntegralin sınırları ise alt sınır için x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=9x = 2 \implies u = 9 şeklinde güncellenir. Bu dönüşümler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü için du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir.
İntegral içindeki x'e bağlı ifadeleri ve diferansiyeli u cinsinden yazmak için.
2
İntegralin belirli sınırlarını yeni u değişkenine göre hesaplayıp güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=23+1=9x = 2 \implies u = 2^3 + 1 = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınır değerlerinin de yeni değişkene uygun hale getirilmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyel dönüşümünü integralde yerine yazarak yeni integrali oluşturunuz.
∫02(x3+1)2⋅(3x2 dx)=∫19u2 du\int_{0}^{2} (x^3 + 1)^2 \cdot (3x^2 \, dx) = \int_{1}^{9} u^2 \, du elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarını birleştirerek u değişkenine bağlı eşdeğer belirli integrali yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 104Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x4−1x2+1−2xf'(x) = \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} - 2x
eşitliği verilmiştir.
f(3)=2f(3) = 2 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−2x−1f'(x) = x^2 - 2x - 1 elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x33−x2−x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(3)=2f(3) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında −3+C=2-3 + C = 2 denkleminden C=5C = 5 bulunur. Fonksiyonda x=0x = 0 yazıldığında f(0)=Cf(0) = C olduğundan, doğru cevap 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştirmek amacıyla pay kısmındaki iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.
f′(x)=(x2−1)(x2+1)x2+1−2x=x2−2x−1f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 + 1} - 2x = x^2 - 2x - 1
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunu elde ederiz.
f(x)=∫(x2−2x−1) dx=x33−x2−x+Cf(x) = \int (x^2 - 2x - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(3)=2f(3) = 2 koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi hesaplarız.
f(3)=333−32−3+C=9−9−3+C=−3+C=2  ⟹  C=5f(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 + C = 9 - 9 - 3 + C = -3 + C = 2 \implies C = 5
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti belirlenir.
4
f(0)f(0) değerini bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazarız.
f(0)=033−02−0+5=5f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 0 + 5 = 5
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki değeri doğrudan integral sabiti olan CC'ye eşittir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 105Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve kolları sağa doğru açılan P1P_1 parabolü ile tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve kolları sola doğru açılan P2P_2 parabolü verilmiştir. Bu iki parabol, yy-eksenini aynı (0,2)(0, 2) ve (0,−2)(0, -2) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, P1P_1 ve P2P_2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Parabollerin denklemleri sırasıyla x=y2−4x = y^2 - 4 ve x=−2y2+8x = -2y^2 + 8 olarak bulunur. Kesim noktaları olan y=−2y = -2 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağdaki parabolden soldaki parabol çıkarılarak yy değişkenine göre alınan integral alanı 3232 birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
P1P_1 parabolünün denklemini bulma.
x=y2−4x = y^2 - 4
Tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve sağa açılan yatay parabol denklemi x=ay2−4x = ay^2 - 4 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4a−4  ⟹  a=10 = 4a - 4 \implies a = 1 olur.
2
P2P_2 parabolünün denklemini bulma.
x=−2y2+8x = -2y^2 + 8
Tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve sola açılan yatay parabol denklemi x=by2+8x = by^2 + 8 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4b+8  ⟹  b=−20 = 4b + 8 \implies b = -2 olur.
3
Kesim noktalarını belirleme.
y=−2y = -2 ve y=2y = 2
İki parabolün kesim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözeriz: y2−4=−2y2+8  ⟹  3y2=12  ⟹  y=±2y^2 - 4 = -2y^2 + 8 \implies 3y^2 = 12 \implies y = \pm 2.
4
Alan integralini kurma ve hesaplama.
32
[−2,2][-2, 2] aralığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır: ∫−22((−2y2+8)−(y2−4)) dy=∫−22(12−3y2) dy=[12y−y3]−22=32\int_{-2}^{2} ((-2y^2 + 8) - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (12 - 3y^2) \, dy = [12y - y^3]_{-2}^{2} = 32.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın, y değişkenine göre belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 106Soru →

f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapal�� aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 44 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Riemann alt toplamı 50 olarak bulunur.
Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda alınır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamı olan 50 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini hesaplama
Genişlik (\Delta x) = 1
[1, 5] aralığı 4 eşit parçaya bölündüğü için aralık genişliği \Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1 olur.
2
Alt aralıkları belirleme
Aralıklar: [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]
Başlangıç noktası 1 olup, her adımda aralık genişliği kadar (1 birim) ilerlenerek alt aralıklar oluşturulur.
3
Her alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerlerini bulma
f(1) = 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(4) = 24
f(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun türevi f'(x) = 2x + 2 olup, [1, 5] aralığında pozitiftir. Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda gerçekleşir.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Alt Toplam = 50
Her alt aralıktaki en küçük değer ile aralık genişliği ��arpılıp toplanır: Alt Toplam = 1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(2) + 1 \cdot f(3) + 1 \cdot f(4) = 3 + 8 + 15 + 24 = 50.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 107Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dx+∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegraller sırasıyla değişken değiştirme yöntemiyle sadeleştirildiğinde toplamın sonucu 8 olarak bulunur.
Verilen integralde yapılan değişken değiştirme ile temel integralin değeri 4 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki her iki integral de uygun trigonometrik ve logaritmik dönüşümler yardımıyla aynı sınırlara sahip integrallere indirgenir ve her birinin değeri 4 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk integralde değişken değiştirme uygulanması
∫1/21f(w) dw=4\int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8 ifadesinde w=x2w = \frac{x}{2} dönüşümü yapılırsa dw=dx2  ⟹  dx=2 dwdw = \frac{dx}{2} \implies dx = 2 \, dw olur. Sınırlar x=1  ⟹  w=1/2x = 1 \implies w = 1/2 ve x=2  ⟹  w=1x = 2 \implies w = 1 olur. Buradan 2∫1/21f(w) dw=8  ⟹  ∫1/21f(w) dw=42 \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 8 \implies \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4 elde edilir.
2
Sorulan ifadedeki trigonometrik integralin hesaplanması
∫1/21f(u) du=4\int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4
I1=∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dxI_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx integralinde u=11+cos⁡2x=(1+cos⁡2x)−1u = \frac{1}{1 + \cos^2 x} = (1 + \cos^2 x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında du=−(1+cos⁡2x)−2⋅2cos⁡x⋅(−sin⁡x) dx=sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2 dxdu = -(1 + \cos^2 x)^{-2} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} \, dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=1/2x = 0 \implies u = 1/2 ve x=π/2  ⟹  u=1x = \pi/2 \implies u = 1 olarak güncellenir. Böylece I1=∫1/21f(u) du=4I_1 = \int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4 bulunur.
3
Sorulan ifadedeki logaritmik integralin hesaplanması
∫1/21f(v) dv=4\int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4
I2=∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dxI_2 = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx integralinde v=1ln⁡x=(ln⁡x)−1v = \frac{1}{\ln x} = (\ln x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında dv=−(ln⁡x)−2⋅1x dx=−1xln⁡2x dx  ⟹  1xln⁡2x dx=−dvdv = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \implies \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -dv olur. Sınırlar x=e  ⟹  v=1x = e \implies v = 1 ve x=e2  ⟹  v=1/2x = e^2 \implies v = 1/2 olur. Buradan I2=∫11/2f(v) (−dv)=∫1/21f(v) dv=4I_2 = \int_{1}^{1/2} f(v) \, (-dv) = \int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4 elde edilir.
4
Elde edilen integral değerlerinin toplanması
I1+I2=4+4=8I_1 + I_2 = 4 + 4 = 8
Her iki integralin de değeri 4 olarak hesaplandığından, toplam ifadenin değeri 8 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel katsayılarının doğru güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 108Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve çift bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2 - x) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre,
∫210(x−2)f(x) dx+∫08xf(x+2) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx + \int_{0}^{8} x f(x + 2) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

İstenen toplamın değeri 192'dir.
Verilen çiftlik ve simetri özellikleri fonksiyonun periyodunun 2 olduğunu gösterir. Bu periyodiklik ve integralde sınır öteleme/değişken değiştirme özellikleri kullanılarak, istenen ifade 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx biçimine indirgenir. Bu integral de periyot uzunluğu olan 2 birimlik aralıklara bölünerek ve her aralıkta değişken değiştirme yapılarak hesaplandığında toplam alan 96 bulunur ve 2 katı alınarak 192 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun periyodikliğini belirleme
f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) eşitliği elde edilir, yani fonksiyonun periyodu 2'dir.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliğinde xx yerine −x-x yazılırsa f(2+x)=f(−x)f(2+x) = f(-x) elde edilir. ff çift fonksiyon olduğundan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olup, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) bulunur.
2
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx değerini hesaplama
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetrisinden dolayı [0,2][0, 2] aralığı x=1x=1 doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden ∫01f(x) dx=∫12f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 olur. Toplam integral değeri 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
3
Birinci integralde değişken değiştirme yapma
∫210(x−2)f(x) dx=∫08uf(u+2) du=∫08xf(x) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx = \int_{0}^{8} u f(u+2) \, du = \int_{0}^{8} x f(x) \, dx elde edilir.
u=x−2u = x - 2 dönüşümü yapılırsa dx=dudx = du olur. Alt sınır x=2x=2 için u=0u=0, üst sınır x=10x=10 için u=8u=8 olur. f(u+2)=f(u)f(u+2) = f(u) periyodikliği kullanılarak integral basitleştirilir.
4
İki integrali birleştirme
İstenen toplam 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx ifadesine eşit olur.
İkinci integral ∫08xf(x+2) dx\int_{0}^{8} x f(x+2) \, dx olup f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) olduğundan ∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx şeklindedir. İki integral aynı olduğundan katsayıları toplanır.
5
∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx integralini periyotlara bölme
∫08xf(x) dx=∑k=03(6+12k)\int_{0}^{8} x f(x) \, dx = \sum_{k=0}^{3} (6 + 12k) elde edilir.
[0,8][0, 8] aralığı [2k,2k+2][2k, 2k+2] şeklinde 4 periyoda bölünür. Her bir aralıkta x=t+2kx = t + 2k dönüşümü yapılırsa ∫2k2k+2xf(x) dx=∫02tf(t) dt+2k∫02f(t) dt\int_{2k}^{2k+2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} t f(t) \, dt + 2k \int_{0}^{2} f(t) \, dt elde edilir. ∫02tf(t) dt\int_{0}^{2} t f(t) \, dt integralinde t=2−wt = 2 - w dönüşümü ile bu integralin ∫02f(t) dt=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 değerine eşit olduğu görülür. Buradan her bir periyottaki integral 6+12k6 + 12k olur.
6
Toplamı hesaplama ve nihai sonucu bulma
Toplam integral değeri 96, nihai yanıt ise 192 olarak bulunur.
k=0,1,2,3k=0, 1, 2, 3 değerleri için toplam 6+18+30+42=966 + 18 + 30 + 42 = 96 olur. İstenen değer bu integralin 2 katı olduğundan 2×96=1922 \times 96 = 192 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin periyodiklik, simetri ve değişken değiştirme özellikleri
Soru 109Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=∫x⋅f′(x)−2f(x)x3 dxg(x) = \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx
eşitliği verilmiştir.
f(1)=4f(1) = 4, f(2)=12f(2) = 12 ve g(1)=6g(1) = 6 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Doğru cevap olan 5 değeri, integralin tanımından elde edilen g(x)=f(x)x2+Cg(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C fonksiyonunda başlangıç koşulları kullanılarak C=2C = 2 bulunması ve ardından x=2x = 2 yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu belirlemek için bölüm kuralını hatırlayalım.
ddx(f(x)x2)=x⋅f′(x)−2f(x)x3\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x^2}\right) = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} eşitliği elde edilir.
Verilen integralin integral alma kuralı gereğince sadeleştirilebilmesi için integrandin bir bölümün türevi olduğunu fark etmemiz gerekir.
2
Belirsiz integralin tanımını kullanarak integrali hesaplayalım.
g(x)=f(x)x2+Cg(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C (burada CC integral sabitidir) olarak bulunur.
Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.
3
Verilen sınır/ba��langıç değerlerini kullanarak CC integral sabitini bulalım.
g(1)=f(1)12+C  ⟹  6=4+C  ⟹  C=2g(1) = \frac{f(1)}{1^2} + C \implies 6 = 4 + C \implies C = 2 elde edilir.
Fonksiyonun tek bir belirsiz integral eğrisini belirlemek için başlangıç koşulunu kullanmamız gerekir.
4
Bulduğumuz g(x)g(x) fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak istenen değeri hesaplayalım.
g(2)=f(2)22+2=124+2=3+2=5g(2) = \frac{f(2)}{2^2} + 2 = \frac{12}{4} + 2 = 3 + 2 = 5 bulunur.
Soruda bizden istenen g(2)g(2) değerine ulaşmak için elde ettiğimiz genel kuralda değişken yerine 2 yazarız.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral sabitinin (C) bulunması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=1x = 1 olarak bulunur. [−1,1][-1, 1] aralığında doğru (y=3y = 3) parabolün (y=3x2y = 3x^2) üstünde kaldığından, aradaki alan ∫−11(3−3x2) dx\int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx integrali ile hesaplanır. Bu integralin değeri 44 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusunun kesişim noktalarını bulun.
3x2=3  ⟹  x2=1  ⟹  x=−13x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 ve x=1x = 1.
Kesişim noktaları integralin alt ve üst sınırlarını belirler.
2
Üstteki eğri olan y=3y = 3 doğrusundan alttaki eğri olan y=3x2y = 3x^2 parabolünü çıkararak alanı veren integral ifadesini yazın.
Alan=∫−11(3−3x2) dxAlan = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır.
3
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine yazın.
Alan=[3x−x3]−11=(3(1)−13)−(3(−1)−(−1)3)=2−(−2)=4Alan = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1} = (3(1) - 1^3) - (3(-1) - (-1)^3) = 2 - (-2) = 4.
Belirli integralin değerini hesaplayarak alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 111Soru →
∫0π/2cos⁡(x)⋅f(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx belirli integralinde u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi
Doğru seçenekte belirtilen integral, u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümüyle elde edilen sınırların (00 ve 11) ve diferansiyelin (du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx) doğru şekilde yerleştirilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) ise du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx olur.
İntegral içindeki dxdx terimini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu cinsinden güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Bulunan diferansiyel ve sınır değerlerini orijinal integralde yerine yazınız.
∫0π/2f(sin⁡(x))⋅cos⁡(x) dx=∫01f(u) du\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) \cdot \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken uu cinsinden ifade edilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak belirli integralin sınırlarının ve diferansiyelinin güncellenmesi.
Soru 112Soru →
Tanım kümesindeki her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu,
f(x)+f(8−x)=(x−4)2+mf(x) + f(8-x) = (x-4)^2 + m
eşitliğini sağlamaktadır.
∫17f(x) dx=24\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 24
olduğuna göre, mm sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İntegral özellikleri ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulandığında, aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinde her iki tarafın integrali alınıp sol tarafta değişken değiştirme (u=8−xu=8-x) yapıldığında sol kısım iki adet aynı integralin toplamına, yani 48'e eşit olur. Sağ taraftaki integraller hesaplandığında ise 18+6m18 + 6m elde edilir. Bu iki ifadenin eşitliğinden aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının 1'den 7'ye belirli integrali alınır.
∫17[f(x)+f(8−x)] dx=∫17[(x−4)2+m] dx\int_{1}^{7} [f(x) + f(8-x)] \, dx = \int_{1}^{7} \left[ (x-4)^2 + m \right] \, dx integralin lineerlik özelliği kullanılarak ∫17f(x) dx+∫17f(8−x) dx=∫17(x−4)2 dx+∫17m dx\int_{1}^{7} f(x) \, dx + \int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx + \int_{1}^{7} m \, dx şeklinde yazılır.
Eşitliğin her iki yanındaki fonksiyonların aynı sınırlar altındaki integral değerleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Sol taraftaki ikinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
u=8−x  ⟹  du=−dxu = 8-x \implies du = -dx dönüşümü yapılır. Sınırlar: x=1  ⟹  u=7x = 1 \implies u = 7 ve x=7  ⟹  u=1x = 7 \implies u = 1 olur. Buradan, ∫17f(8−x) dx=∫71f(u) (−du)=∫17f(u) du=∫17f(x) dx\int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{7}^{1} f(u) \, (-du) = \int_{1}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{7} f(x) \, dx elde edilir. Dolayısıyla sol taraf 2∫17f(x) dx=2×24=482 \int_{1}^{7} f(x) \, dx = 2 \times 24 = 48 olur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir ve bu sayede sol taraf bilinen integral türünden ifade edilir.
3
Sağ taraftaki integral terimleri ayrı ayrı hesaplanır.
∫17(x−4)2 dx\int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx integrali için t=x−4  ⟹  dt=dxt = x-4 \implies dt = dx dönüşümü yapılırsa sınırlar t=−3t = -3 ve t=3t = 3 olur. Buradan, ∫−33t2 dt=[t33]−33=9−(−9)=18\int_{-3}^{3} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-3}^{3} = 9 - (-9) = 18 bulunur. Sabit sayının integrali ise ∫17m dx=m⋅(7−1)=6m\int_{1}^{7} m \, dx = m \cdot (7 - 1) = 6m olur.
Sağ taraftaki fonksiyonların integralleri standart yöntemlerle ve sınır değerleri yerine yazılarak hesaplanır.
4
Elde edilen sonuçlar ana denklemde yerine yazılarak m sabit sayısı çözülür.
48=18+6m  ⟹  6m=30  ⟹  m=548 = 18 + 6m \implies 6m = 30 \implies m = 5
Sol ve sağ taraftan elde edilen sayısal ifadeler birbirine eşitlenerek bilinmeyen sabit değer yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Sınırların Güncellenmesi

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan simetri ekseni olan x=4x=4 noktasına göre kaydırarak da çözebiliriz. u=x−4u = x-4 dönüşümü yapıldığında integral sınırları [−3,3][-3, 3] aralığına taşınır. Bu durumda f(u+4)+f(4−u)=u2+mf(u+4) + f(4-u) = u^2 + m elde edilir. Bu eşitliği [−3,3][-3, 3] aralığında entegre ettiğimizde, tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla doğrudan çözüme ulaşabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 113Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I)
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II)
y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü ile y=x+2y = x + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bölge I için integral ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, Bölge II için integral ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx, Bölge III için integral ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx olmalıdır.
Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=2x  ⟹  x=0,2x^2 = 2x \implies x = 0, 2; x=x2  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1 ve 4−x2=x+2  ⟹  x=−2,14-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1 kesişim sınırları elde edilir.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.
Bölge I'de y=2xy = 2x üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge II'de y=xy = \sqrt{x} üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge III'de y=4−x2y = 4-x^2 üstte, y=x+2y = x+2 alttadır.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.
3
Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.
Bölge I alanı ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx; Bölge II alanı ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx; Bölge III alanı ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx integralleri ile eşleşir.
Belirli integral tanımı gereği ∫ab[f(x)−g(x)] dx\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ifadesi alanı verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 114Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫(3x2−6x) dxf(x) = \int (3x^2 - 6x) \, dx
eşitliği veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 55 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen integral ifadesinin kurallara uygun şekilde hesaplanmasıyla f(x)=x3−3x2+Cf(x) = x^3 - 3x^2 + C fonksiyonu elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan x=0x=0 ve x=2x=2 noktalarıdır. Bu noktalardaki değerler sırasıyla CC ve C−4C-4 olur. Bu değerlerin çarpımı olan C(C−4)=5C(C-4) = 5 denklemi çözüldüğünde C=5C = 5 veya C=−1C = -1 bulunur. f(0)=Cf(0) = C olduğundan, f(0)f(0) değeri 5 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak f(x) fonksiyonu genel biçimde yazılır.
f(x)=x3−3x2+Cf(x) = x^3 - 3x^2 + C (CC integral sabitidir.)
İntegral alma kuralları gereği, dereceler bir artırılarak katsayılara bölünür ve belirsiz integral sabiti eklenir.
2
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için türevinin sıfır olduğu noktalar belirlenir.
f′(x)=3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x=0f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 ve x=2x = 2 noktaları elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği noktalardır.
3
Yerel ekstremum değerleri elde edilir ve çarpımları 5'e eşitlenerek C sabiti hesaplanır.
f(0)=Cf(0) = C ve f(2)=23−3(22)+C=C−4f(2) = 2^3 - 3(2^2) + C = C - 4 olur. Bu değerlerin çarpımı: C(C−4)=5  ⟹  C2−4C−5=0  ⟹  (C−5)(C+1)=0C(C - 4) = 5 \implies C^2 - 4C - 5 = 0 \implies (C - 5)(C + 1) = 0 denkleminden C=5C = 5 veya C=−1C = -1 bulunur. f(0)=Cf(0) = C olduğundan f(0)f(0) değeri 5 olabilir.
Soruda yerel ekstremum değerlerinin çarpımının 5 olduğu belirtilmiştir. Bu durum C'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem oluşturur.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 115Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün tepe noktası TT ve bu parabolün yy-eksenini kestiği nokta AA olarak belirleniyor.

Buna göre, AA ve TT noktalarından geçen doğru ile f(x)f(x) parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

43\frac{4}{3} birimkare olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap 43\frac{4}{3} birimkaredir. Parabolün tepe noktası formülüyle T(2,−1)T(2, -1) ve yy-eksenini kestiği nokta A(0,3)A(0, 3) bulunur. Bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 olur. Doğru ile parabol x2−4x+3=−2x+3x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 ortak çözümüyle x=0x = 0 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişir. [0,2][0, 2] aralığında doğru parabolün üst kısmında kaldığı için alan integralimiz ∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=43\int_{0}^{2} [(-2x+3) - (x^2-4x+3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2+2x) \, dx = \frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını (TT) ve yy-eksenini kestiği noktayı (AA) bulalım.
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolü için tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 ve ordinatı k=f(2)=22−4(2)+3=−1k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 bulunur. Buradan T(2,−1)T(2, -1) elde edilir. yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazıldığında f(0)=3f(0) = 3 olup A(0,3)A(0, 3) noktası elde edilir.
Parabolün üzerindeki bu iki özel noktayı belirleyerek aralarından geçecek olan doğrunun denklemini yazmak için koordinatlara ihtiyaç duyarız.
2
A(0,3)A(0, 3) ve T(2,−1)T(2, -1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Doğrunun eğimi m=−1−32−0=−2m = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = -2 olarak bulunur. yy-eksenini kestiği nokta 33 olduğundan, doğru denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 şeklinde elde edilir.
Sınırlı bölgeyi üstten sınırlayan fonksiyonu analitik olarak tanımlamak için doğrunun denklemine ihtiyaç duyarız.
3
Doğru ile parabolün kesişim noktalarını (integral sınırlarını) ortak çözümle bulalım.
x2−4x+3=−2x+3  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesişim noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Alan hesabında kullanacağımız belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla ortak noktaları hesaplarız.
4
Belirli integrali kurarak sınırlı bölgenin alanını hesaplayalım.
[0,2][0, 2] aralığında y=−2x+3y = -2x + 3 doğrusu, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün üstünde yer alır. Alan S=∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=[−x33+x2]02=(−83+4)−0=43S = \int_{0}^{2} [(-2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{4}{3} birimkare olarak hesaplanır.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun sınırlar arasındaki belirli integraline eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının, kesişim noktaları yardımıyla belirli integral kullanılarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile onu iki farklı noktada kesen bir doğrunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı; kesim noktalarının apsisleri x1x_1 ve x2x_2 (x2>x1x_2 > x_1), parabolün başkatsayısı aa olmak üzere pratik olarak S=∣a∣6(x2−x1)3S = \frac{|a|}{6}(x_2 - x_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Bu soruda parabolün başkatsayısı a=1a = 1, kesim noktaları ise x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olduğundan alan S=∣1∣6(2−0)3=86=43S = \frac{|1|}{6}(2 - 0)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} birimkare olarak saniyeler içinde elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 116Soru →

f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 33 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile bu fonksiyonun [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki fark 8'dir.
Riemann üst toplamını bulmak için aralık genişliği 1 olarak hesaplanır. Artan fonksiyonun sağ uç değerleri olan f(2)=6, f(3)=11 ve f(4)=18 kullanılarak Riemann üst toplamı 35 elde edilir. Belirli integralin değeri ise 27 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark 35 - 27 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
[1,4][1, 4] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir alt aral��ğın genişliği b−an\frac{b-a}{n} formülüyle hesaplanır.
Genişlik Δx=4−13=1\Delta x = \frac{4 - 1}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] olarak belirlenir.
Riemann toplamını hesaplamak için aralık genişliğini ve alt aralıkları bulmamız gerekir.
2
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir. Bu sağ uç noktalardaki değerleri kullanarak Riemann üst toplamını (UU) hesaplayalım.
U=Δx⋅[f(2)+f(3)+f(4)]=1⋅[(22+2)+(32+2)+(42+2)]=1⋅[6+11+18]=35U = \Delta x \cdot [f(2) + f(3) + f(4)] = 1 \cdot [(2^2+2) + (3^2+2) + (4^2+2)] = 1 \cdot [6 + 11 + 18] = 35 olur.
Riemann üst toplamını bulmak için her alt aralıktaki maksimum değerler (sağ uç noktalar) kullanılır.
3
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralı��ındaki belirli integralini hesaplayalım.
∫14(x2+2) dx=[x33+2x]14=(643+8)−(13+2)=633+6=21+6=27\int_{1}^{4} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{4} = \left( \frac{64}{3} + 8 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{63}{3} + 6 = 21 + 6 = 27 olur.
Riemann üst toplamı ile karşılaştırılacak olan gerçek alanı bulmak için belirli integral hesaplanır.
4
Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki farkı bulalım.
U−∫14f(x) dx=35−27=8U - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 35 - 27 = 8 olur.
Soruda istenen farkı bulmak için üst toplamdan integralin değerini çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 117Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x+3)=f(x)+2f(x + 3) = f(x) + 2
eşitliği sağlanmaktadır.
∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5
olduğuna göre,
∫17f(2x−1) dx\int_{1}^{7} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Aranan belirli integralin değeri 32 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 32 değeri, 2x−1=u2x-1 = u değişken değiştirmesiyle integralin sınırlarının 1 ve 13 olarak güncellenmesi, ardından aralığın f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 kuralı uyarınca boyu 3 olan alt aralıklara bölünerek [1,4][1, 4] aralığına indirgenmesi ve nihayetinde ∫14f(x) dx=∫03f(x) dx+2=7\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + 2 = 7 eşitliğinin kullanılmasıyla elde edilen sonucun 12\frac{1}{2} ile çarpılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi uygulanır.
2x−1=u2x - 1 = u dönüşümü yapıldığında 2 dx=du  ⟹  dx=12 du2 \, dx = du \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
��ntegrali temel f(u)f(u) fonksiyonunun integral kuralları cinsinden ifade edebilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1 ve üst sınır için x=7  ⟹  u=2(7)−1=13x = 7 \implies u = 2(7) - 1 = 13 bulunur. Böylece integral 12∫113f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{13} f(u) \, du hâline gelir.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da o değişkene göre ayarlanması gerektiği için.
3
İntegral aralığı, fonksiyonun her 3 birimde bir kendini tekrarlayan yapısı göz önüne alınarak boyu 3 olan alt aralıklara bölünür.
∫113f(u) du=∫14f(u) du+∫47f(u) du+∫710f(u) du+∫1013f(u) du\int_{1}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(u) \, du + \int_{4}^{7} f(u) \, du + \int_{7}^{10} f(u) \, du + \int_{10}^{13} f(u) \, du yazılır.
Fonksiyonun f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 dikey öteleme özelliğini uygulayarak tüm aralıkları [1,4][1, 4] aralığına indirgemek için.
4
Her bir alt aralıktaki integral, f(t+3k)=f(t)+2kf(t+3k) = f(t) + 2k özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral cinsinden yazılır.
∫47f(u) du=∫14f(t) dt+6\int_{4}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 6,
∫710f(u) du=∫14f(t) dt+12\int_{7}^{10} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 12,
∫1013f(u) du=∫14f(t) dt+18\int_{10}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 18 elde edilir. Bu terimler toplandığında 4∫14f(u) du+364 \int_{1}^{4} f(u) \, du + 36 toplamına ulaşılır.
Her 3 birimlik kaydırmada fonksiyonun değerinin dikeyde 2 birim artması sebebiyle integral değerinin de 2×3=62 \times 3 = 6 birim artmasından dolayı.
5
∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du değeri, verilen ∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla hesaplanır.
∫14f(u) du=∫13f(u) du+∫34f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{3} f(u) \, du + \int_{3}^{4} f(u) \, du şeklinde yazılır. İkinci kısımda t=u−3t = u-3 dönüşümüyle ∫34f(u) du=∫01(f(t)+2) dt=∫01f(t) dt+2\int_{3}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{1} (f(t)+2) \, dt = \int_{0}^{1} f(t) \, dt + 2 bulunur. Dolayısıyla, ∫14f(u) du=∫03f(t) dt+2=5+2=7\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{3} f(t) \, dt + 2 = 5 + 2 = 7 elde edilir.
Kaydırma özelliğini parçalı integraller üzerinde uygulayarak bilinmeyen bölgeyi bilinen [0,3][0,3] aralığına tamamlamak için.
6
Hesaplanan tüm değerler yerine yazılarak nihai integral sonucu bulunur.
∫113f(u) du=4(7)+36=64\int_{1}^{13} f(u) \, du = 4(7) + 36 = 64 olur. Yarısı alındığında aranan integral değeri 642=32\frac{64}{2} = 32 olarak bulunur.
1. adımda elde edilen 12\frac{1}{2} çarpanı ile toplam alan değerini çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık kaydırma/öteleme özellikleri
Soru 118Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında;
- [0,2][0, 2] aralığında kalan bölgenin alanı 6 birimkare,
- [2,4][2, 4] aralığında kalan bölgenin alanı 8 birimkare
olarak verilmiştir.

∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2

olduğuna göre,

∫12f(4−2x) dx+∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

-5
Verilen alan değerlerinden integral değerlerinin mutlak değerleri elde edilir: [0,2][0, 2] aralığındaki integralin mutlak değeri 6, [2,4][2, 4] aralığındaki integralin mutlak değeri ise 8'dir. Bu iki integralin toplamı -2 olduğundan, birinci integral 6 ve ikinci integral -8 olmalıdır. Birinci integralde u=4−2xu = 4-2x ve ikinci integralde x≤0x \le 0 için ∣x∣=−x|x| = -x yazılarak v=2−xv = 2-x değişken değiştirmeleri yapıldığında, ifadelerin değerleri sırasıyla 3 ve -8 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alan ve integral arasındaki ilişkiyi kurarak alt aralıklardaki integral değerlerini belirlemek.
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 ve ∫24f(x) dx=−8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = -8
[0,2][0, 2] aralığındaki alan 66 ve [2,4][2, 4] aralığındaki alan 88 birimkaredir. Belirli integrallerin mutlak değerleri bu alanlara eşittir. Toplam integral ∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2 olduğuna göre, ∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=−2\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = -2 eşitliğini sağlayan tek durum birinci integralin pozitif (6), ikincisinin ise negatif (-8) olmasıdır.
2
Birinci integralde ∫12f(4−2x) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx için değişken değiştirme uygulamak.
∫12f(4−2x) dx=3\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx = 3
u=4−2xu = 4 - 2x dönüşümü yapılırsa du=−2 dxdu = -2 \, dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=0u=0 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫02f(u) du=12(6)=3\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du = \frac{1}{2} (6) = 3 haline gelir.
3
İkinci integralde ∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx ifadesinde mutlak değeri aralığa göre açıp değişken değiştirme uygulamak.
∫−20f(∣x∣+2) dx=−8\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx = -8
x∈[−2,0]x \in [-2, 0] aralığında olduğundan x≤0x \le 0 ve dolayısıyla ∣x∣=−x|x| = -x olur. İntegral ∫−20f(2−x) dx\int_{-2}^{0} f(2 - x) \, dx halini alır. v=2−xv = 2 - x dönüşümü yapılırsa dv=−dxdv = -dx olur. Sınırlar x=−2x=-2 için v=4v=4 ve x=0x=0 için v=2v=2 olur. İntegral ∫24f(v) dv=−8\int_{2}^{4} f(v) \, dv = -8 olarak hesaplanır.
4
Bulunan integral değerlerini toplamak.
3+(−8)=−53 + (-8) = -5
İstenen ifade iki integralin toplamı olduğundan elde edilen sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan arasındaki işaret ilişkisi ve belirli integralde değişken değiştirme yöntemi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 119Soru →

Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir g(x)g(x) polinom fonksiyonu (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan, [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.

gg fonksiyonunun alabileceği en küçük değer −3-3 olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=∫(x3⋅g′′(x)+3x2⋅g′(x))dxf(x) = \int \left( x^3 \cdot g''(x) + 3x^2 \cdot g'(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap olan 5 değeri; g(x)g(x) polinomunun tepe noktası özellikleri kullanılarak türevlerinin bulunması, integralin hesaplanarak f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C biçiminde yazılması, f(1)=3f(1) = 3 koşulu ile integral sabitinin C=5C = 5 olarak elde edilmesi ve son olarak f(2)f(2) değerinin yerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun denklemini ve türevlerini belirleme
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1, buradan g′(x)=2x−4g'(x) = 2x - 4 ve g′′(x)=2g''(x) = 2 bulunur.
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden g(x)g(x) fonksiyonunun (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan ve [2,∞)[2, \infty) aralığında artan olması, tepe noktasının apsisinin r=2r=2 olduğunu gösterir. En küçük değerinin −3-3 olması ise tepe noktasının ordinatının k=−3k=-3 olduğunu belirtir. Buradan g(x)=1⋅(x−2)2−3=x2−4x+1g(x) = 1 \cdot (x-2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1 denklemi elde edilir.
2
İntegrali hesaplayarak f(x)f(x) fonksiyonunu bulma
f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C elde edilir.
g′(x)g'(x) ve g′′(x)g''(x) ifadeleri integralde yerine yazılırsa: f(x)=∫(x3⋅2+3x2(2x−4)) dx=∫(8x3−12x2) dx=2x4−4x3+Cf(x) = \int (x^3 \cdot 2 + 3x^2(2x-4)) \, dx = \int (8x^3 - 12x^2) \, dx = 2x^4 - 4x^3 + C olur. (Alternatif olarak, integralin içi çarpımın türevi kuralından (x3⋅g′(x))′(x^3 \cdot g'(x))' ifadesine eşit olup doğrudan f(x)=x3⋅g′(x)+Cf(x) = x^3 \cdot g'(x) + C şeklinde de integre edilebilir.)
3
f(1)=3f(1) = 3 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) bulma
C=5C = 5 bulunur.
f(1)=2(1)4−4(1)3+C=3  ⟹  −2+C=3  ⟹  C=5f(1) = 2(1)^4 - 4(1)^3 + C = 3 \implies -2 + C = 3 \implies C = 5 elde edilir.
4
f(2)f(2) değerini hesaplama
f(2)=5f(2) = 5 bulunur.
f(x)=2x4−4x3+5f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 5 fonksiyonunda x=2x=2 yazıldığında f(2)=2(24)−4(23)+5=32−32+5=5f(2) = 2(2^4) - 4(2^3) + 5 = 32 - 32 + 5 = 5 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev ile integral ilişkisi ve polinom/parabol özelliklerinin birlikte uygulanması.
Soru 120Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=18\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18
∫15f(x) dx=24\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 24
∫810f(x) dx=10\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫810f(x2) dx+∫45f(9−x) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{4}^{5} f(9-x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Doğru seçenekte, her iki integralde de değişken değiştirme kuralları eksiksiz uygulanmıştır. İlk integralde u=x/2u = x/2 dönüşümüyle sınırlar [4, 5] aralığına güncellenmiş ve diferansiyelden gelen 2 çarpanı ile integral değeri 12 bulunmuştur. İkinci integralde v=9−xv = 9-x dönüşümüyle sınırlar [5, 4] olmuş, diferansiyeldeki eksi işareti sınırların sırasını düzelterek [4, 5] aralığında integral değeri olan 6'yı vermiştir. İki değerin toplamından 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral sınırlarını ilişkilendirmek için öncelikle verilen ilk iki integrali kullanarak [4, 5] aralığındaki integral değerini bulalım.
∫45f(x) dx=∫15f(x) dx−∫14f(x) dx=24−18=6\int_{4}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 24 - 18 = 6
Belirli integralin aralık ekleme özelliği kullanılarak [4, 5] aralığı elde edilmiştir.
2
Sorulan ifadedeki birinci integral olan ∫810f(x2) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx ifadesinde u=x2u = \frac{x}{2} değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=12dx  ⟹  dx=2 dudu = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 \, du
Sınırlar:
x=8  ⟹  u=4x = 8 \implies u = 4
x=10  ⟹  u=5x = 10 \implies u = 5
Yeni integral:
2∫45f(u) du=2⋅6=122 \int_{4}^{5} f(u) \, du = 2 \cdot 6 = 12
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak integral bilinen [4, 5] aralığına taşınmış ve diferansiyel ile sınırlar güncellenmiştir.
3
Sorulan ifadedeki ikinci integral olan ∫45f(9−x) dx\int_{4}^{5} f(9-x) \, dx ifadesinde v=9−xv = 9-x değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=−dx  ⟹  dx=−dvdv = -dx \implies dx = -dv
Sınırlar:
x=4  ⟹  v=5x = 4 \implies v = 5
x=5  ⟹  v=4x = 5 \implies v = 4
Yeni integral:
∫54f(v) (−dv)=∫45f(v) dv=6\int_{5}^{4} f(v) \, (-dv) = \int_{4}^{5} f(v) \, dv = 6
Eksi işareti integral sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltir ve yine bilinen [4, 5] aralığındaki integral elde edilir.
4
Bulunan iki integral değerini toplayalım.
12+6=1812 + 6 = 18
İki integralin değerlerinin toplamı sorulan ifadenin nihai sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyelin doğru şekilde güncellenmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral aralıklarını ve dönüşümleri grafiksel veya alan kaydırma (öteleme/genişletme) mantığıyla da düşünebilirsiniz. Örneğin f(9−x)f(9-x) ifadesi f(x)f(x) fonksiyonunun x=4.5x = 4.5 doğrusuna göre simetriğidir, dolayısıyla [4, 5] aralığındaki integral değeri f(x)f(x)'in [4, 5] aralığındaki integral değerine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin