Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 61Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonunun türevi her x≠1x \neq 1 için,
f′(x)={3x2−2x,x>12x+a,x<1f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x, & x > 1 \\ 2x + a, & x < 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

f(2)=6f(2) = 6 ve f(0)=−2f(0) = -2 olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İntegral sabitleri ve fonksiyonun süreklilik şartı doğru uygulandığında elde edilen değer −4-4 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle her iki aralıkta ayrı ayrı belirsiz integral alınarak integral sabitleri belirlenir. x>1x > 1 aralığında f(2)=6f(2) = 6 kullanılarak birinci integral sabiti 22 olarak bulunur. x<1x < 1 aralığında f(0)=−2f(0) = -2 kullanılarak ikinci integral sabiti −2-2 olarak bulunur. Fonksiyon gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden a=3a = 3 değeri elde edilir. Buradan x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 kuralına ulaşılır. Bu kuralda x=−1x = -1 yazılarak doğru yanıt olan −4-4 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x>1x > 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=3x2−2x⇒f(x)=x3−x2+C1f'(x) = 3x^2 - 2x \Rightarrow f(x) = x^3 - x^2 + C_1 elde edilir. f(2)=6f(2) = 6 verildiğinden, 23−22+C1=6⇒4+C1=6⇒C1=22^3 - 2^2 + C_1 = 6 \Rightarrow 4 + C_1 = 6 \Rightarrow C_1 = 2 bulunur. Dolayısıyla x>1x > 1 için f(x)=x3−x2+2f(x) = x^3 - x^2 + 2 olur.
Fonksiyonun x>1x > 1 bölgesindeki kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitini bulmamız gerekir.
2
x<1x < 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=2x+a⇒f(x)=x2+ax+C2f'(x) = 2x + a \Rightarrow f(x) = x^2 + ax + C_2 elde edilir. f(0)=−2f(0) = -2 verildiğinden, 02+a(0)+C2=−2⇒C2=−20^2 + a(0) + C_2 = -2 \Rightarrow C_2 = -2 bulunur. Dolayısıyla x<1x < 1 için f(x)=x2+ax−2f(x) = x^2 + ax - 2 olur.
Fonksiyonun x<1x < 1 bölgesindeki kuralını integral sabitiyle birlikte oluşturmak için bu adım gereklidir.
3
Süreklilik şartını kullanarak aa bilinmeyenini bulunuz.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasında da süreklidir. Bu durumda sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır: lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)⇒13−12+2=12+a(1)−2⇒2=a−1⇒a=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \Rightarrow 1^3 - 1^2 + 2 = 1^2 + a(1) - 2 \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Parçalı tanımlı fonksiyonların sınır noktasındaki sürekliliği, farklı bölgelerdeki kuralların birbirine bağlanmasını sağlar.
4
Belirlenen kuralda x=−1x = -1 yazarak sonucu hesaplayınız.
x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 olduğundan, f(−1)=(−1)2+3(−1)−2=1−3−2=−4f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 bulunur.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için kuralı belirlenmiş olan parçalı fonksiyonda uygun aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirsiz integrali alınırken her bölge için ayrı bir integral sabiti yazılmalı ve bu sabitler fonksiyonun süreklilik şartı kullanılarak belirlenmelidir.
Soru 62Soru →

Tepe noktası yy ekseni üzerinde olan y=5−x2y = 5 - x^2 parabolü ile y=1y = 1 doğrusunun sınırlandırdığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 323\frac{32}{3} değeri, y=5−x2y = 5 - x^2 parabolünün y=1y = 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmının [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral farkı hesaplanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
5−x2=1  ⟹  x2=4  ⟹  x=−25 - x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 ve x=2x = 2 bulunur.
Eğriler arasında kalan bölgenin sınırlarını belirleyecek olan integral limitlerini bulmak amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.
2
[−2,2][-2, 2] aralığında üstte kalan eğriden altta kalan doğruyu çıkararak alan integralini kurun.
A=∫−22((5−x2)−1) dx=∫−22(4−x2) dxA = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx elde edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın belirli integralidir.
3
İntegrali simetriden yararlanarak veya doğrudan hesaplayın.
A=2∫02(4−x2) dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=2(163)=323A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} birimkare bulunur.
Belirli integralin değerini sınırları yerine koyarak hesaplayıp sınırlandırılmış bölgenin alanını buluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama.
Soru 63Soru →
∫24f(x−3) dx\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du
Verilen integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Alt sınır olan x=2x = 2 için u=−1u = -1, üst sınır olan x=4x = 4 için u=1u = 1 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi sınırları −1-1 ve 11 olacak şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x−3u = x - 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=dxdu = dx elde edilir.
İntegraldeki dxdx terimini dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=2  ⟹  u=2−3=−1x = 2 \implies u = 2 - 3 = -1 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=4−3=1x = 4 \implies u = 4 - 3 = 1 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazma
∫24f(x−3) dx=∫−11f(u) du\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx = \int_{-1}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Yeni değişken uu, diferansiyel dudu ve yeni sınırlar yerleştirilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin kurulması.
Soru 64Soru →

Pozitif bir aa gerçel sayısı için [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı AA birimkaredir. [0,2][0, 2] aralığı 22 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonu için bir Riemann üst toplamı UU hesaplanıyor. U−A=7U - A = 7 birimkare olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Pozitif aa değeri için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] kapalı aralığında artandır. Riemann üst toplamı, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile hesaplanır: U=1⋅(f(1)+f(2))=5a+2U = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = 5a + 2. Eğrinin altında kalan alan ise belirli integral ile hesaplandığında A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2 bulunur. İki değerin farkı U−A=7a3=7U - A = \frac{7a}{3} = 7 eşitliğinden a=3a = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin ve alt aralıkların belirlenmesi
Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2]
[0,2][0, 2] aralığı 22 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=2−02=1\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1 olur. Bu durumda bölüntü noktaları x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1 ve x2=2x_2 = 2 şeklindedir.
2
Riemann üst toplamının (UU) aa cinsinden hesaplanması
U=5a+2U = 5a + 2
a>0a > 0 olduğu için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her bir alt aralıktaki maksimum değer sağ uç noktalarda alınır. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅(f(1)+f(2))=1⋅((a⋅12+1)+(a⋅22+1))=5a+2U = \Delta x \cdot (f(1) + f(2)) = 1 \cdot ((a \cdot 1^2 + 1) + (a \cdot 2^2 + 1)) = 5a + 2 olur.
3
Eğri altında kalan alanın (AA) belirli integral ile aa cinsinden hesaplanması
A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2
Eğri ile xx ekseni arasında kalan alan, fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir: A=∫02(ax2+1) dx=[ax33+x]02=(a⋅233+2)−0=8a3+2A = \int_0^2 (ax^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{a \cdot 2^3}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8a}{3} + 2 olur.
4
U−A=7U - A = 7 denkleminin çözülerek aa değerinin bulunması
a=3a = 3
Verilen U−A=7U - A = 7 eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım: (5a+2)−(8a3+2)=7  ⟹  5a−8a3=7  ⟹  15a−8a3=7  ⟹  7a3=7  ⟹  a=3(5a + 2) - \left( \frac{8a}{3} + 2 \right) = 7 \implies 5a - \frac{8a}{3} = 7 \implies \frac{15a - 8a}{3} = 7 \implies \frac{7a}{3} = 7 \implies a = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı ile belirli integralin temsil ettiği alan ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 65Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx
g(x)=∫(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))dxg(x) = \int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.

f(1)=3f(1) = 3 ve g(0)=2g(0) = 2 olduğuna göre, g(−1)g(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen değer, integral alma kuralları ve çarpım türevi özellikleri kullanılarak adım adım yapılan çözüme uygundur. İlk fonksiyondan f(−1)=−1f(-1) = -1 ve ikinci integralden g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2 bağıntısı elde edilir. Buradan g(−1)=1g(-1) = 1 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunu bulmak için integral alma kuralı uygulanır.
f(x)=2x3−2x2+C1f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1
Belirsiz integral alma kuralları gereğince, dereceler bir artırılıp yeni dereceye bölünerek integral hesaplanır.
2
f(1) = 3 sınır şartı kullanılarak C_1 integral sabiti hesaplanır.
C1=3C_1 = 3 ve f(x)=2x3−2x2+3f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3
f(1)=2(1)3−2(1)2+C1=3f(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 3 eşitliğinden C1=3C_1 = 3 bulunur.
3
Bir sonraki adımda kullanılmak üzere f(-1) değeri hesaplanır.
f(−1)=−1f(-1) = -1
f(−1)=2(−1)3−2(−1)2+3=−2−2+3=−1f(-1) = 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3 = -2 - 2 + 3 = -1 elde edilir.
4
g(x) fonksiyonunun integralindeki ifade, çarpımın türevi kuralı kullanılarak sadeleştirilir.
g(x)=x2⋅f(x)+C2g(x) = x^2 \cdot f(x) + C_2
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi, x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Dolayısıyla bu ifadenin integrali kendisini verir.
5
g(0) = 2 sınır şartı kullanılarak C_2 integral sabiti hesaplanır.
C2=2C_2 = 2 ve g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2
g(0)=02⋅f(0)+C2=2g(0) = 0^2 \cdot f(0) + C_2 = 2 eşitliğinden C2=2C_2 = 2 bulunur.
6
g(-1) değeri hesaplanır.
g(−1)=1g(-1) = 1
g(−1)=(−1)2⋅f(−1)+2=1⋅(−1)+2=1g(-1) = (-1)^2 \cdot f(-1) + 2 = 1 \cdot (-1) + 2 = 1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpımın türevi yardımıyla integral hesabı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 66Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,

∫14f(x) dx=6\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6
∫25f(x) dx=8\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8
∫36f(x) dx=10\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,
∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru yanıt olan integral değeri 6'dır.
İntegral değişkeni u=x−1u = x - 1 olarak seçildiğinde diferansiyel du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır 2−1=12 - 1 = 1, üst sınır ise 5−1=45 - 1 = 4 olur. Böylece integral ∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du şekline dönüşür. Bu integralin değeri soruda verilen ilk eşitlikte 6 olarak tanımlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlama
u=x−1u = x - 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=dxdu = dx elde edilir.
İntegral içindeki ifadeyi bilinen fonksiyon biçimine getirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için: x=2  ⟹  u=2−1=1x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1. Üst sınır için: x=5  ⟹  u=5−1=4x = 5 \implies u = 5 - 1 = 4.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişken cinsinden hesaplanması gerekir.
3
Yeni integrali hesaplama
∫25f(x−1) dx=∫14f(u) du\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen bilgiye göre bu integralin değeri 6 olarak bulunur.
Belirli integralde değişken adının değişmesi integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 67Soru →
Tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olan türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫f′(x)x dx=3x2−4x+C\int \frac{f'(x)}{x} \, dx = 3x^2 - 4x + C
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında f′(x)x=6x−4\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4 elde edilir. Buradan f′(x)=6x2−4xf'(x) = 6x^2 - 4x olur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=2x3−2x2+C1f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1 bulunur. f(1)=2f(1) = 2 koşulu kullanıldığında 2(1)3−2(1)2+C1=2  ⟹  C1=22(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 2 \implies C_1 = 2 elde edilir. Sonuç olarak, f(x)=2x3−2x2+2f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında f(2)=2(8)−2(4)+2=16−8+2=10f(2) = 2(8) - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
f′(x)x=6x−4\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4
İntegral işaretini kaldırmak ve içerideki ifadeyi elde etmek için türev alma kuralı uygulanır.
2
f′(x)f'(x) ifadesi yalnız bırakılarak fonksiyonun türevi bulunur.
f′(x)=6x2−4xf'(x) = 6x^2 - 4x
Paydadaki xx değişkeni karşı tarafa çarpım olarak gönderilir.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için elde edilen türevin belirsiz integrali alınır.
f(x)=2x3−2x2+C1f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1
Polinom fonksiyonların integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.
4
f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti bulunur ve f(2)f(2) değeri hesaplanır.
C1=2C_1 = 2 ve buradan f(2)=10f(2) = 10 bulunur.
Başlangıç değeriyle fonksiyonun tek bir fonksiyon olarak belirlenmesi sağlanır ve istenen değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve polinom fonksiyonların integral alma kuralları
Soru 68Soru →
∫ee2ln⁡(x)⋅ln⁡(ln⁡(x))+1xln⁡(x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ln⁡(8)−1\ln(8) - 1

Cevap

ln⁡(8)−1\ln(8) - 1
Doğru yanıt olan değer, u=ln⁡(x)u = \ln(x) dönüşümüyle elde edilen ∫12(ln⁡(u)+1/u) du\int_{1}^{2} (\ln(u) + 1/u) \, du integralinin adım adım çözülmesi ve sınırların 11 ve 22 olarak doğru uygulanması sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali sadeleştirmek için u=ln⁡(x)u = \ln(x) değişken değiştirmesini uygulayın.
u=ln⁡(x)u = \ln(x) ise diferansiyel alırsak du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur.
İntegral içindeki ln⁡(x)\ln(x) ve 1x\frac{1}{x} ifadeleri arasındaki türev ilişkisini kullanarak integrali daha basit bir forma dönüştürmek.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır: x=e⇒u=ln⁡(e)=1x = e \Rightarrow u = \ln(e) = 1. Üst sınır: x=e2⇒u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \Rightarrow u = \ln(e^2) = 2.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni integrali uu cinsinden yazın ve sadeleştirin.
∫12u⋅ln⁡(u)+1u du=∫12(ln⁡(u)+1u) du\int_{1}^{2} \frac{u \cdot \ln(u) + 1}{u} \, du = \int_{1}^{2} \left(\ln(u) + \frac{1}{u}\right) \, du
Payı paydaya bölerek integrali alınabilir iki basit terimin toplamı şeklinde yazmak.
4
Her bir terimin integralini alarak antiderivatifini bulun.
∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u ve ∫1u du=ln⁡(u)\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u). Birleştirildiğinde: F(u)=uln⁡(u)−u+ln⁡(u)F(u) = u \ln(u) - u + \ln(u) olur.
Temel integral alma kurallarını uygulayarak integralin belirsiz formunu bulmak.
5
Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin sonucunu hesaplayın.
F(2)−F(1)=(2ln⁡(2)−2+ln⁡(2))−(1ln⁡(1)−1+ln⁡(1))=(3ln⁡(2)−2)−(−1)=3ln⁡(2)−1=ln⁡(8)−1F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 2 + \ln(2)) - (1 \ln(1) - 1 + \ln(1)) = (3 \ln(2) - 2) - (-1) = 3 \ln(2) - 1 = \ln(8) - 1
Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralin sayısal değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir. Ayrıca ∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u+C\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u + C temel integral formülü kullanılır.
Soru 69Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4
eşitliklerini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre, ∫07f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen fonksiyonun simetri özelliğinden dolayı [0,2][0,2] aralığındaki integral değeri 6'dır. f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 ilişkisi entegre edilerek [2,4][2,4] aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur. Fonksiyonun 4 periyotlu olduğu belirlendikten sonra [0,7][0,7] aralığındaki integral, [0,4][0,4] ve [4,7][4,7] (yani [0,3][0,3]) aralıklarına bölünür. [2,3][2,3] aralığındaki integral değeri öteleme ve fonksiyon ilişkisi kullanılarak 1 olarak hesaplanır. Tüm bu değerlerin toplamından doğru sonuca (15) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliğini kullanarak [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulma
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği, fonksiyon grafiğinin x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğunu gösterir. Buradan, ∫12f(x) dx=∫01f(x) dx=3\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3 olur. Dolayısıyla, ∫02f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx=3+3=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 + 3 = 6 elde edilir.
2
Öteleme özelliğini kullanarak [2,4][2, 4] aralığındaki integral değerini bulma
∫24f(x) dx=2\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 eşitliğini [0,2][0, 2] aralığında entegre edersek: ∫02f(x) dx+∫02f(x+2) dx=∫024 dx=8\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x+2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 olur. İkinci integralde u=x+2u = x+2 dönüşümü yapılırsa, s��nırların 22 ve 44 olduğu görülür ve ∫24f(u) du\int_{2}^{4} f(u) \, du elde edilir. Buradan 6+∫24f(x) dx=8  ⟹  ∫24f(x) dx=26 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2 bulunur.
3
Fonksiyonun periyodunu belirleme ve [0,4][0, 4] aralığındaki toplam integral değerini bulma
ff fonksiyonu 44 periyotludur ve ∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
f(x+2)=4−f(x)f(x+2) = 4 - f(x) olduğundan, f(x+4)=4−f(x+2)=4−(4−f(x))=f(x)f(x+4) = 4 - f(x+2) = 4 - (4 - f(x)) = f(x) olur. Bu durumda fonksiyon 44 periyotludur. [0,4][0, 4] aralığındaki integral ise ∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=6+2=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 + 2 = 8 olur.
4
[0,7][0, 7] aralığındaki integrali periyoda göre parçalama
∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx
Periyodiklikten dolayı ∫07f(x) dx=∫04f(x) dx+∫47f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{7} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir. f(x)f(x) fonksiyonu 44 periyotlu olduğundan ∫47f(x) dx=∫03f(x) dx\int_{4}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx olur. Buradan ∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx elde edilir.
5
[2,3][2, 3] aralığındaki integral değerini bulma
∫23f(x) dx=1\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 1
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx integralinde u=x−2u = x-2 dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(u+2) du\int_{0}^{1} f(u+2) \, du şekline dönüşür. f(u+2)=4−f(u)f(u+2) = 4 - f(u) eşitliği kullanılarak, ∫01(4−f(u)) du=∫014 du−∫01f(u) du=4−3=1\int_{0}^{1} (4 - f(u)) \, du = \int_{0}^{1} 4 \, du - \int_{0}^{1} f(u) \, du = 4 - 3 = 1 bulunur.
6
Sonucu hesaplama
∫07f(x) dx=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 15
∫03f(x) dx=∫02f(x) dx+∫23f(x) dx=6+1=7\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 6 + 1 = 7 olur. Bu değer yerine yazıldığında, istenen integral ∫07f(x) dx=8+7=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + 7 = 15 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde simetri, periyodiklik ve değişken değiştirme (öteleme) özelliklerinin birlikte kullanılması.
Soru 70Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı b��lgenin alanı 9 birimkaredir.
Kesişim sınırları olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktaları arasında, üstteki f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 parabolünden alttaki g(x)=x2g(x) = x^2 parabolünün çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integralin hesaplanması sonucu alan 9 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Sınırları belirlemek için parabollerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
İntegrali kurma
A=∫03(6x−2x2) dxA = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx
Üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak alan integrali kurulur.
3
İntegrali hesaplama
9
Belirli integral sınır değerleri yerine yazılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral ile hesabı

Alternatif Yöntem

İki parabolün sınırladığı bölgenin alanı için S=∣a1−a2∣6(x2−x1)3S = \frac{|a_1 - a_2|}{6} (x_2 - x_1)^3 pratik formülü kullanılabilir. Burada a1=−1a_1 = -1, a2=1a_2 = 1 ve kesişim noktaları x1=0x_1 = 0, x2=3x_2 = 3 olduğundan S=∣−1−1∣6(3−0)3=26⋅27=9S = \frac{|-1 - 1|}{6} (3 - 0)^3 = \frac{2}{6} \cdot 27 = 9 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 71Soru →

Bir ff fonksiyonu için

∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

belirli integrali veriliyor. Bu integralde u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Cevap

12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Doğrulanan dönüşümde, u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında sınırlar x=1x = 1 için u=2u = 2 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Ayrıca x dxx \, dx ifadesi 12 du\frac{1}{2} \, du haline gelir. Bu iki durum birleştirildiğinde integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x dxx \, dx terimini yeni değişken cinsinden yazabilmek için her iki tarafın diferansiyeli hesaplanır.
2
Belirli integral sınırlarını yeni değişkene göre güncelleme
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2; üst sınır için x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazıp yeni integral ifadesini elde etme
∫12f(x2+1)⋅(x dx)=∫25f(u)⋅du2=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} f(x^2 + 1) \cdot (x \, dx) = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Elde edilen yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yerleştirilerek sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel (dudu) katsayısının doğru hesaplanması.
Soru 72Soru →
Bir ff çift fonksiyonu için
∫−44f(x) dx=16\int_{-4}^{4} f(x) \, dx = 16
olduğuna göre,
∫045f(x) dx\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Verilen ff fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan, [−4,4][-4, 4] aralığındaki integralin değeri [0,4][0, 4] aralığındaki integralin iki katıdır. Buradan [0,4][0, 4] aralığındaki integralin değeri 8 olarak elde edilir. İstenen ifadede katsayı olan 5 integralin dışına çıkarıldığında 5⋅85 \cdot 8 çarpımından doğru cevap 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından kaynaklanan simetri özelliğini kullanmak.
∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
Çift fonksiyonlar y-eksenine göre simetrik olduğundan, simetrik sın��rlar altındaki integralin değeri pozitif bölgedeki integralin değerinin iki katına eşittir: ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
2
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫045f(x) dx=5⋅8=40\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx = 5 \cdot 8 = 40
Belirli integralde içerideki sabit sayı integral dışına çarpım olarak alınabilir: ∫abc⋅f(x) dx=c⋅∫abf(x) dx\int_{a}^{b} c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Anahtar Kavram

Belirli integralde çift fonksiyon simetrisi ve lineerlik özellikleri
Soru 73Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫24f(x−1) dx\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Değeri 6 olan seçenek doğrudur.
İntegral içindeki ifadeye u=x−1u = x-1 dönüşümü uygulandığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=4x=4 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du haline gelir. Bu integral soruda verilen ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ifadesine eşit olduğundan cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
u=x−1u = x - 1 değişken değiştirmesi yapılır.
du=dxdu = dx elde edilir.
İntegral içindeki f(x−1)f(x-1) ifadesini f(u)f(u) biçimine getirip sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=2⇒u=2−1=1x = 2 \Rightarrow u = 2 - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4−1=3x = 4 \Rightarrow u = 4 - 1 = 3 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması zorunludur.
3
İntegral yeni sınırlar ve değişken cinsinden tekrar yazılarak hesaplanır.
∫24f(x−1) dx=∫13f(u) du\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{3} f(u) \, du elde edilir. Soruda ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 olarak verildiğinden, bu integralin değeri 6'dır.
Belirli integralde değişkenin adının değiştirilmesi (uu yerine xx yazılması) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Tahmini Süre:50s
Soru 74Soru →

Aşağıdaki sol sütunda dik koordinat düzleminde sınırları belirtilen kapalı bölgelerin alanları, sağ sütunda ise bu alanları hesaplamak için kullanılabilecek belirli integral ifadeleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir alanı sağ sütundaki uygun integral ifadesiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde y=x2y = x^2 parabolü, y=2xy = 2x doğrusu ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x3−xy = x^3 - x eğrisi, y=3xy = 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=6−xy = 6 - x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Her iki sütundaki sınır tanımları ve integral alma yönleri eşleştirilerek; birinci alan birinci integral ifadesiyle, ikinci alan ikinci integral ifadesiyle, üçüncü alan üçüncü integral ifadesiyle ve dördüncü alan dördüncü integral ifadesiyle eşleşmektedir.
Verilen her kapalı bölgenin sınırları geometrik olarak incelendiğinde ve kesişim noktaları cebirsel olarak çözüldüğünde; integral sınırlarının ve integrali alınan fonksiyonların farklarının eşleşen integral ifadeleri ile tam olarak örtüştüğü görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin sınırlarını belirlemek ve kesişim noktalarını hesaplamak.
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 eğrilerinin kesişim noktası x=4x = 4 (y=2y = 2) olarak bulunur. yy-ekseni ile olan sınırlar göz önüne alındığında, bölge yy-eksenine göre integre edilerek ∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak ifade edilir.
Bölgeyi xx-eksenine göre integre etmek yerine yy-eksenine göre integre etmek iki ayrı fonksiyonun sınırlarını daha kolay tanımlamayı sağlar.
2
İkinci bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=2xy = 2x ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrularının kesişim noktası x=3/4x = 3/4 olarak bulunur. Parabol ile bu doğruların kesişimleri ise [0,1][0, 1] aralığındadır. Bölge [0,3/4][0, 3/4] ve [3/4,1][3/4, 1] aralıklarında ikiye bölünerek ∫03/4(2x−x2) dx+∫3/41(3−2x−x2) dx\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
Kesişim noktasında üstteki fonksiyon değiştiği için integralin sınırlarını iki parçaya ayırmak gerekir.
3
Üçüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x3−xy = x^3 - x eğrisi ile y=3xy = 3x doğrusunun kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 (pozitif tarafta) olarak bulunur. Birinci bölgede xx-ekseni de sınır olduğundan [0,1][0, 1] aralığında y=3xy = 3x ile y=0y=0 arası, [1,2][1, 2] aralığında ise y=3xy=3x ile y=x3−xy=x^3-x arası taranır. Bu durum ∫013x dx+∫12(4x−x3) dx\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx toplamı ile gösterilir.
Eğrinin negatif değer aldığı aralıkta alanın birinci bölgede kalması için alt sınır olarak xx-ekseni (y=0y=0) kullanılmalıdır.
4
Dördüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x2y = x^2 parabolü ile y=6−xy = 6 - x doğrusunun kesişim noktası x=2x = 2 olarak bulunur. Doğrunun xx-eksenini kestiği nokta ise x=6x = 6'dır. [0,2][0, 2] aralığında üst sınır y=x2y = x^2, [2,6][2, 6] aralığında ise üst sınır y=6−xy = 6-x olup alan ∫02x2 dx+∫26(6−x) dx\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx integraline karşılık gelir.
Alan xx-eksenine göre iki ayrı geometrik/eğrisel bölgenin toplamı olarak yazılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 75Soru →
f(x)=x3−6x2+9x+2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 12'dir.
Fonksiyonun türevi incelendiğinde [0,1][0, 1] ve [3,4][3, 4] aralıklarında artan, [1,3][1, 3] aralığında ise azalan olduğu görülür. Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerler bulunarak hesaplanan Riemann üst toplamı 22 ve Riemann alt toplamı 10 olur. Bu iki değer arasındaki fark 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev analizi ile artan/azalan aralıkları belirleme
f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3) elde edilir. [0,1][0, 1] aralığında f′>0f' > 0 (artan), [1,3][1, 3] aralığında f′<0f' < 0 (azalan), [3,4][3, 4] aralığında f′>0f' > 0 (artan) olur.
Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerin hangi uç noktalarda gerçekleştiğini doğru tespit etmek.
2
Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(0)=2f(0) = 2, f(1)=6f(1) = 6, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=2f(3) = 2, f(4)=6f(4) = 6 olarak bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak yükseklikleri elde etmek.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
L=1⋅[min⁡(f([0,1]))+min⁡(f([1,2]))+min⁡(f([2,3]))+min⁡(f([3,4]))]=1⋅(2+4+2+2)=10L = 1 \cdot [\min(f([0,1])) + \min(f([1,2])) + \min(f([2,3])) + \min(f([3,4]))] = 1 \cdot (2 + 4 + 2 + 2) = 10
Alt toplam�� oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
4
Riemann üst toplamını hesaplama
U=1⋅[max⁡(f([0,1]))+max⁡(f([1,2]))+max⁡(f([2,3]))+max⁡(f([3,4]))]=1⋅(6+6+4+6)=22U = 1 \cdot [\max(f([0,1])) + \max(f([1,2])) + \max(f([2,3])) + \max(f([3,4]))] = 1 \cdot (6 + 6 + 4 + 6) = 22
Üst toplamı oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
5
İki toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−10=12U - L = 22 - 10 = 12
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması
Soru 76Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı 1/6 birimkare ile, ikinci bölge tanımı 1/4 birimkare ile, üçüncü bölge tanımı ise 4/3 birimkare ile eşleşir.
Verilen her üç bölgenin alan hesabı, eğrilerin kesişim noktaları sınır kabul edilerek yapılan integral hesaplamalarıyla tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri için x2=x  ⟹  x(x−1)=0x^2 = x \implies x(x-1) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olarak belirlenir. Belirli integral ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları integralin sınırlarını tanımlar; üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak alan bulunur.
2
İkinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri için x3=x  ⟹  x(x−1)(x+1)=0x^3 = x \implies x(x-1)(x+1) = 0 denklemi kurulur. Birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olur. Belirli integral ∫01(x−x3) dx=[x22−x44]01=12−14=14\int_0^1 (x - x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} birimkaredir.
Pozitif bölgedeki alan sınırları belirlendikten sonra integrasyon kuralları uygulanarak alan değeri hesaplanır.
3
Üçüncü bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=2xy = 2x eğrileri için x2=2x  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olur. Belirli integral ∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02=4−83=43\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkaredir.
Doğru ve parabol sınırları belirlendikten sonra integral alma kuralları kullanılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları sınır olmak üzere, üstteki fonksiyonun grafiğinden alttaki fonksiyonun grafiğinin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
Soru 77Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2−4xy = x^2 - 4x parabolü ile y=2x−x2y = 2x - x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusunun sınırladığı alan ∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx integrali ile; y=x2−4xy = x^2 - 4x ve y=2x−x2y = 2x - x^2 parabollerinin sınırladığı alan ∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx integrali ile; y=x3y = x^3 eğrisi ve y=4xy = 4x doğrusunun sınırladığı alan ise 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her üç sınırlı bölge için kesişim noktaları doğru şekilde bulunmuş ve ilgili aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğu tespit edilerek doğru belirli integral formülleriyle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
2−x2=−x  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=−12 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=2x = 2
İntegral sınırlarını tespit etmek için eğrilerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
Birinci bölgenin alan integralini yazma
[−1,2][-1, 2] aralığında üstteki eğri y=2−x2y = 2 - x^2, alttaki eğri y=−xy = -x olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(2−x2−(−x)) dx=∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 - x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx olur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyonun denklemi ile alttaki fonksiyonun denkleminin farkının sınır değerleri arasında entegre edilmesiyle bulunur.
3
İkinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3
İkinci alanın sınır değerlerini bulmak için iki parabolün kesişim noktaları hesaplanır.
4
İkinci bölgenin alan integralini yazma
[0,3][0, 3] aralığında üstteki parabol y=2x−x2y = 2x - x^2, alttaki parabol y=x2−4xy = x^2 - 4x olduğundan alan integral ifadesi ∫03((2x−x2)−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx olur.
Üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak integral kurulur.
5
Üçüncü bölge için kesişim noktalarını belirleme
x3=4x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0  ⟹  x=−2x^3 = 4x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2
Eğri ve doğrunun kesiştiği tüm noktalar bulunarak sınır değerler tespit edilir.
6
Üçüncü bölgenin simetri özelliğini kullanarak alan integralini yazma
[−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar simetriden dolayı eşittir. [0,2][0, 2] aralığında üstteki doğru y=4xy = 4x ve alttaki eğri y=x3y = x^3 olduğundan toplam alan integral ifadesi 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Tek fonksiyonların simetrik sınırlardaki mutlak alanları eşit olduğundan, toplam alan tek bir bölgenin alanının iki katı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın hesabı, eğrilerin kesişim noktaları belirlendikten sonra, üstte kalan eğrinin denkleminden altta kalan eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin bu kesişim noktaları sınırlarında integralinin alınmasıyla yapılır.
Soru 78Soru →
∫13f(2x+3) dx\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du

Cevap

12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du
Dönüşüm kuralları gereği, u=2x+3u = 2x + 3 seçildiğinde diferansiyel dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise alt sınır için 2(1)+3=52(1)+3=5, üst sınır için 2(3)+3=92(3)+3=9 olarak güncellenir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin eş değer hali 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=2x+3u = 2x + 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
x=1x = 1 alt sınırı için u=2(1)+3=5u = 2(1) + 3 = 5 ve x=3x = 3 üst sınırı için u=2(3)+3=9u = 2(3) + 3 = 9 olur.
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫13f(2x+3) dx=∫59f(u)⋅du2=12∫59f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx = \int_{5}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayıp integralin yeni halini yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 79Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol ile y=x−3y = x - 3 doğrusu TT ve AA noktalarında kesişmektedir.

Buna göre, parabol ile TATA doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Sınırlandırılmıs\cbo¨lgeninalanı16birimkaredir.Sınırlandırılmış bölgenin alanı \frac{1}{6} birimkaredir.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki doğru (y=x−3y = x - 3) ile alttaki parabol (y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9) arasındaki farkın kesim noktaları olan x=3x=3 ve x=4x=4 sınırları boyunca integralinin alınmasıyla 16\frac{1}{6} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak.
y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolü için a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 değerleri kullanılarak tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62(1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 bulunur. Ordinatı ise k=32−6(3)+9=0k = 3^2 - 6(3) + 9 = 0 olup tepe noktası T(3,0)T(3, 0) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasını belirlemek, doğrunun kesim noktalarından birini tespit etmek için gereklidir.
2
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak.
x2−6x+9=x−3  ⟹  x2−7x+12=0  ⟹  (x−3)(x−4)=0x^2 - 6x + 9 = x - 3 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x-3)(x-4) = 0 denklemi çözüldüğünde kesim noktalarının apsisleri x=3x = 3 ve x=4x = 4 bulunur. Buradan kesim noktaları T(3,0)T(3, 0) ve A(4,1)A(4, 1) olarak belirlenir.
Entegrasyon sınırlarını ve alanı sınırlayan eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için bu adım uygulanır.
3
Belirli integral yardımıyla alanı hesaplamak.
[3,4][3, 4] aralığında y=x−3y = x - 3 doğrusu parabolün üzerinde olduğundan, alan S=∫34(x−3−(x2−6x+9))dx=∫34(−x2+7x−12)dxS = \int_3^4 (x - 3 - (x^2 - 6x + 9)) dx = \int_3^4 (-x^2 + 7x - 12) dx integrali ile hesaplanır. u=x−3  ⟹  du=dxu = x-3 \implies du = dx dönüşümü yapıldığında sınırlar x=3  ⟹  u=0x=3 \implies u=0 ve x=4  ⟹  u=1x=4 \implies u=1 olur. İntegral ∫01(u−u2)du=[u22−u33]01=12−13=16\int_0^1 (u - u^2) du = \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Pratik Parabol-Doğru Alan Formülü: Bir doğru ile bir parabolün kesişmesiyle oluşan sınırlı bölgenin alanı, kesim noktalarının apsisleri farkı Δx\Delta x ve parabolün başkatsayısı aa olmak üzere, S=∣a∣⋅(Δx)36S = \frac{|a| \cdot (\Delta x)^3}{6} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Burada a=1a = 1 ve Δx=4−3=1\Delta x = 4 - 3 = 1 olduğundan, S=1⋅136=16S = \frac{1 \cdot 1^3}{6} = \frac{1}{6} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 80Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her x≠2x \neq 2 için
f′(x)=x3−8x−2−2xf'(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.

f(3)=10f(3) = 10 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

-11
Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde f′(x)=x2+4f'(x) = x^2 + 4 elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x33+4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(3)=10f(3) = 10 bilgisiyle 21+C=10  ⟹  C=−1121 + C = 10 \implies C = -11 olarak hesaplanır. f(0)=Cf(0) = C olduğundan doğru yanıt −11-11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonundaki rasyonel ifadeyi sadeleştirme
f′(x)=x2+4f'(x) = x^2 + 4 (her xx gerçel sayısı için)
x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) özdeşliği kullanılarak pay ve paydadaki (x−2)(x-2) ifadeleri sadeleştirilir: x3−8x−2−2x=(x2+2x+4)−2x=x2+4\frac{x^3-8}{x-2} - 2x = (x^2+2x+4) - 2x = x^2+4 bulunur. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan türevi her yerde süreklidir.
2
Belirsiz integral alma kurallarını kullanarak fonksiyonu bulma
f(x)=x33+4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır: ∫f′(x) dx=∫(x2+4) dx=x33+4x+C\int f'(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplama
C=−11C = -11
f(3)=10f(3) = 10 eşitliği fonksiyonda yerine yazılır: f(3)=333+4(3)+C=9+12+C=21+C=10f(3) = \frac{3^3}{3} + 4(3) + C = 9 + 12 + C = 21 + C = 10 denkleminden C=−11C = -11 bulunur.
4
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(0)=−11f(0) = -11
Fonksiyonda x=0x = 0 yazıldığında f(0)=033+4(0)+C=Cf(0) = \frac{0^3}{3} + 4(0) + C = C olduğundan, f(0)=−11f(0) = -11 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması
ÖncekiSayfa 4 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin