Examkin

Limit ve Süreklilik

122 soru

Tüm türler122Çoktan seçmeli78Doğru / Yanlış23Sayısal21
Soru 21Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−4x+3∣x−3+2x+k,x<3x2−2x+1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3} + 2x + k, & x < 3 \\ x^2 - 2x + 1, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için k=0k = 0 olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sağ limiti 44 ve sol limiti 4+k4+k olup, limitin var olabilmesi için bu iki değerin eşit olması (k=0k = 0) gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(x2−2x+1)=32−2(3)+1=4\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 2x + 1) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4
x→3+x \to 3^+ iken x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun alt dalı kullanılır.
2
x→3−x \to 3^- için mutlak değerli terimin işaretini belirleyin ve sadeleştirin.
x<3x < 3 ve xx değeri 33'e yeterince yakınken (örneğin 1<x<31 < x < 3 aralığında) x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) çarpımında (x−3)<0(x-3) < 0 ve (x−1)>0(x-1) > 0 olduğundan ifade negatif değerler alır. Bu nedenle ∣x2−4x+3∣=−(x2−4x+3)=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-3)(x-1) olarak dışarı çıkar. Buradan rasyonel ifade −(x−3)(x−1)x−3=−(x−1)=1−x\frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = -(x-1) = 1-x şeklinde sadeleşir.
0/00/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için mutlak değer dışına ç��karma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(1−x+2x+k)=lim⁡x→3−(x+1+k)=3+1+k=4+k\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1 - x + 2x + k) = \lim_{x \to 3^-} (x + 1 + k) = 3 + 1 + k = 4 + k
Sadeleşmiş fonksiyon ifadesinde limit değeri yerine yazılarak sol limit hesaplanır.
4
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek kk değerini bulun.
4+k=4  ⟹  k=04 + k = 4 \implies k = 0
Kritik noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitini hesaplarken kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer içeren ifadelerde limit noktasına yaklaşırken ifadenin işareti belirlenerek mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 22Soru →

lim⁡x→2x2−4x2−2x\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} limitinin değeri 00'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Verilen limitin doğru değeri 2'dir.
Verilen limit ifadesinde pay ve payda x=2x = 2 için sıfır değerini aldığından 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak olan x−2x-2 terimleri sadeleştirildiğinde limitin değeri 2 olarak bulunur. Bu sebeple limitin değerinin sıfır olduğunu belirten ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunu kontrol etme
x=2x = 2 için pay 22−4=02^2 - 4 = 0 ve payda 22−2(2)=02^2 - 2(2) = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limitte doğrudan yerine koyma yöntemi uygulandığında belirsizlik durumunun oluşup oluşmadığı belirlenir.
2
Pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapma
x2−4x2−2x=(x−2)(x+2)x(x−2)=x+2x\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x} (x≠2x \neq 2 için)
Belirsizliğe yol açan sıfır çarpanlarını (x−2x-2) sadeleştirerek ifadeyi sade bir biçime getirmek gerekir.
3
Sadeleşmiş ifadenin limitini hesaplama
lim⁡x→2x+2x=2+22=2\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x} = \frac{2+2}{2} = 2
Belirsizlik giderildikten sonra sadeleşmiş ifadede limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limit hesaplamalarında 00\frac{0}{0} belirsizliği ile karşılaşıldığında, pay ve payda çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir ve ardından limit değeri hesaplanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Pozitif bir aa gerçel sayısı için ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−a2∣x−a+b,x<ax2−2x+3,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + b, & x < a \\ x^2 - 2x + 3, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, bb değerinin aa cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+3a^2 + 3

Cevap

b=a2+3b = a^2 + 3 ifadesidir.
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması için bu noktadaki sağ ve sol limitleri eşit olmalıdır. Pozitif aa değeri için sol limitte mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit −2a+b-2a + b olur. Sağ limit ise doğrudan yerine yazılarak a2−2a+3a^2 - 2a + 3 bulunur. Bu iki değer eşitlendiğinde b=a2+3b = a^2 + 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x→a−x \to a^- için sol limit incelenir.
x<ax < a ve a>0a > 0 olduğundan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar.
2
Sol limit ifadesindeki belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+b)=lim⁡x→a−(−(x+a)+b)=−2a+b\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x - a} + b \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + b) = -2a + b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için x−ax-a ortak çarpanları sadeleştirilir.
3
x→a+x \to a^+ için sağ limit hesaplanır.
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−2x+3)=a2−2a+3\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 2x + 3) = a^2 - 2a + 3 bulunur.
x≥ax \ge a aralığında fonksiyonun kuralı x2−2x+3x^2 - 2x + 3 olarak verilmiştir.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitler birbirine eşitlenir.
−2a+b=a2−2a+3  ⟹  b=a2+3-2a + b = a^2 - 2a + 3 \implies b = a^2 + 3 bulunur.
Bir noktada limitin olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanıp birbirine eşitlenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x≠1x \neq 1 için
f(x)=∣x3−1∣−3∣x−1∣(x−1)∣x−1∣f(x) = \frac{|x^3 - 1| - 3|x - 1|}{(x - 1)|x - 1|}
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki limitinin varlığı ve değeri ile ilgili verilen 'lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3' ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen limit ifadesi doğrudur. Fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri eşit olup 33'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri hesaplandığında, mutlak değerli terimlerin işaretleri doğru analiz edilip sadeleştirmeler yapıldığında her iki yönden limit değeri 33 olarak bulunur. Dolayısıyla verilen limit ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x→1+x \to 1^+ için limit incelenir.
x>1x > 1 olduğundan ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 ve ∣x3−1∣=x3−1|x^3 - 1| = x^3 - 1 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=(x3−1)−3(x−1)(x−1)2f(x) = \frac{(x^3 - 1) - 3(x - 1)}{(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmındaki ifade x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan f(x)=(x−1)2(x+2)(x−1)2=x+2f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1+f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Sağdan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
2
x→1−x \to 1^- için limit incelenir.
x<1x < 1 olduğundan ∣x−1∣=−(x−1)|x - 1| = -(x - 1) ve ∣x3−1∣=−(x3−1)|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=−(x3−1)−3(−(x−1))−(x−1)2f(x) = \frac{-(x^3 - 1) - 3(-(x - 1))}{-(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmı düzenlendiğinde −(x3−3x+2)=−(x−1)2(x+2)-(x^3 - 3x + 2) = -(x - 1)^2(x + 2) elde edilir. Buradan f(x)=−(x−1)2(x+2)−(x−1)2=x+2f(x) = \frac{-(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1−f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Soldan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
3
Sağ ve sol limitler karşılaştırılarak sonuç belirlenir.
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti vardır ve lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3'tür.
Bir noktadaki sağ ve sol limitler birbirine eşit ise o noktada limit vardır ve bu ortak değere eşittir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren rasyonel ifadelerde sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 25Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu

f(x)={x2−9∣x−3∣+a,x<32x−5,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x - 5, & x \geq 3 \end{cases}

kuralı ile veriliyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasında limiti var olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Fonksiyonun 3 noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olmasına bağlıdır. Sol limit hesaplanırken x değeri 3'ten küçük olduğundan mutlak değer içindeki x - 3 ifadesi önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit -6 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 2x - 5 ifadesinde x yerine 3 yazılarak 1 bulunur. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle a değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sol limitini bulmak için x'in 3'e soldan yaklaştığı durumu inceleyelim.
x < 3 için x - 3 < 0 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Buradan sol limit: lim (x -> 3^-) ( (x^2 - 9) / -(x - 3) + a ) = lim (x -> 3^-) ( -(x + 3) + a ) = -6 + a bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşım yönüne göre ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.
2
Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sağ limitini bulmak için x'in 3'e sağdan yaklaştığı durumu inceleyelim.
x > 3 için f(x) = 2x - 5 kuralı geçerlidir. Buradan sağ limit: lim (x -> 3^+) (2x - 5) = 2(3) - 5 = 1 bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktadaki sağ limiti bulmak için o noktanın sağındaki aralıkta tanımlı olan kural kullanılır.
3
Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerektiğini kullanalım.
-6 + a = 1 denkleminden a = 7 olarak elde edilir.
Bir noktada limitin varlığı, o noktadaki sağ ve sol limitlerin var ve birbirine eşit olması koşuluna bağlıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)={∣x2−a2∣x−a+5x,x<ax+8,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 5x, & x < a \\ x + 8, & x \ge a \end{cases}
fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması, bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olmasını gerektirir. Soldan yaklaşıldığında x<ax < a olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme sonrası soldan limit 3a3a olarak bulunur. Sağdan limit ise doğrudan a+8a+8 değerini alır. Bu iki değer eşitlendiğinde 3a=a+83a = a + 8 denklemi çözülerek a=4a = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x→a−x \to a^- için soldan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a−f(x)=3a\lim_{x \to a^-} f(x) = 3a
x→a−x \to a^- yaklaşımında x<ax < a ve a>0a > 0 olduğu için x2<a2x^2 < a^2 olur. Buradan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 elde edilir. Dolayısıyla mutlak değerli terim ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar. İfade sadeleştirildiğinde:
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+5x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+5x)=−2a+5a=3a\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x-a} + 5x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + 5x) = -2a + 5a = 3a olur.
2
x→a+x \to a^+ için sağdan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a+f(x)=a+8\lim_{x \to a^+} f(x) = a + 8
x→a+x \to a^+ yaklaşımında x≥ax \ge a kuralı geçerlidir. Fonksiyonun bu aralıktaki tanımı f(x)=x+8f(x) = x + 8 olduğundan limit değeri doğrudan a+8a + 8 olur.
3
Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyerek aa parametresini bulalım.
a=4a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerinin eşit olması gerekir. Buradan:
3a=a+8  ⟹  2a=8  ⟹  a=43a = a + 8 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit incelenirken sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilir. Mutlak değerli ifadelerin sınır değerdeki işareti belirlenerek çarpanlara ayırma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−a2∣x−a+2b,x<ax2−(b+2)x+2b∣x−2∣,x>af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 2b & , \quad x < a \\ \frac{x^2 - (b+2)x + 2b}{|x - 2|} & , \quad x > a \end{cases}

fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre,

I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise a=ba = b dir.
II. a<0a < 0 ise lim⁡x→af(x)=43b\lim_{x \to a} f(x) = \frac{4}{3}b dir.
III. b>0b > 0 dır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Verilen öncüllerin üçü de daima doğrudur. Bu nedenle doğru cevap birinci, ikinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.
Limit varlığı koşulu gereği x=ax=a noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden yola çıkılarak parametreler incelenmiştir. Yapılan analiz sonucunda a>0a > 0 için a=ba = b eşitliği ve a<0a < 0 için b=−3ab = -3a bağıntısı elde edilmiştir. Bu bağıntılar kapsamında, aa ve bb aynı işaretli ise a=ba = b olmak zorundadır, çünkü zıt işaretli oldukları tek durum a<0a < 0 durumudur. Dolayısıyla birinci ifade doğrudur. a<0a < 0 durumunda limit değeri b−a=−3a−a=−4ab - a = -3a - a = -4a olup a=−b/3a = -b/3 yazılırsa limit değeri 4b/34b/3 olarak bulunur. Dolayısıyla ikinci ifade doğrudur. Her iki durumda da bb parametresi daima pozitif değerler almaktadır, bu sebeple üçüncü ifade de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limitin (x→a−x \to a^-) belirlenmesi.
a>0a > 0 ise sol limit −2a+2b-2a + 2b; a<0a < 0 ise sol limit 2a+2b2a + 2b olur.
x→a−x \to a^- için x<ax < a dır. a>0a > 0 ise xx pozitif değerlerden yaklaşacağından x+a>0x+a > 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2-a^2| = -(x^2-a^2) olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit −2a+2b-2a+2b olur. a<0a < 0 ise xx negatif değerlerden yaklaşacağından x+a<0x+a < 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2-a^2| = x^2-a^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit 2a+2b2a+2b olur.
2
Sağ limitin (x→a+x \to a^+) belirlenmesi.
a>2a > 2 ise sağ limit a−ba - b; a<2a < 2 ise sağ limit b−ab - a olur.
x→a+x \to a^+ için x>ax > a dır. Paydaki ifade (x−2)(x−b)(x-2)(x-b) şeklinde çarpanlarına ayrılır. a>2a > 2 ise x>2x > 2 olacağından ∣x−2∣=x−2|x-2| = x-2 olur ve sadeleşme ile limit a−ba-b bulunur. a<2a < 2 ise x<2x < 2 olacağından ∣x−2∣=−(x−2)=2−x|x-2| = -(x-2) = 2-x olur ve sadeleşme ile limit −(a−b)=b−a-(a-b) = b-a bulunur.
3
Limit varlığı koşuluna göre durumların analiz edilmesi.
a>0a > 0 ise a=ba = b; a<0a < 0 ise b=−3ab = -3a bağıntıları elde edilir.
x=ax = a noktasında limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. a>2a > 2 ise a−b=−2a+2b  ⟹  a=ba-b = -2a+2b \implies a=b bulunur. 0<a≤20 < a \le 2 ise b−a=−2a+2b  ⟹  a=bb-a = -2a+2b \implies a=b bulunur. Dolayısıyla a>0a > 0 için her durumda a=ba = b dir. a<0a < 0 ise b−a=2a+2b  ⟹  b=−3ab-a = 2a+2b \implies b = -3a bulunur.
4
Elde edilen bağıntılara göre öncüllerin doğruluğunun test edilmesi.
I, II ve III numaralı öncüllerin her birinin doğru olduğu doğrulanır.
I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise aa ile bb aynı işaretlidir. a<0a < 0 durumunda b=−3a>0b = -3a > 0 olup zıt işaretli olduklarından bu durum gerçekleşmez. O halde a>0a > 0 olmalıdır, bu durumda da a=ba = b dir (Doğru). II. a<0a < 0 ise b=−3a  ⟹  a=−b/3b = -3a \implies a = -b/3 tür. Bu durumda limit değeri sağ limit olan b−a=b−(−b/3)=4b/3b - a = b - (-b/3) = 4b/3 olur (Doğru). III. a>0a > 0 ise b=a>0b = a > 0 dır. a<0a < 0 ise b=−3a>0b = -3a > 0 dır. Her iki durumda da b>0b > 0 sağlanır (Doğru).

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemelerinde, yaklaşım yönüne göre mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti doğru belirlenmeli ve sağ-sol limitler birbirine eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →

Her xx gerçel sayısı için tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−a2∣x−a∣+2x,x<ax2−5x+6,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{|x - a|} + 2x, & x < a \\ x^2 - 5x + 6, & x \geq a \end{cases}

biçiminde verilmiştir.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti var olduğuna göre, aa parametresinin alabilece��i farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 5'tir.
Fonksiyonun soldan limiti hesaplanırken x<ax < a koşulu altında ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) eşitliği kullanılır. Paydaki x2−a2x^2 - a^2 ifadesi (x−a)(x+a)(x-a)(x+a) şeklinde çarpanlarına ayrılarak sadeleştirildiğinde sol limit lim⁡x→a−(x−a)=0\lim_{x \to a^-} (x - a) = 0 olarak bulunur. Fonksiyonun sağdan limiti ise lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6 olur. Limit varlığı için sağ ve sol limitlerin eşit olması gerektiğinden a2−5a+6=0a^2 - 5a + 6 = 0 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri olan 2 ve 3 sayılarının toplamı 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limit durumunda mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x→a−x \to a^- için x<ax < a olduğundan x−a<0x - a < 0 olur. Dolayısıyla ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) olarak mutlak değer dışına çıkar.
Sol limit hesaplanırken değişkenin limit noktasına soldan yaklaşması, yani o değerden küçük olması durumunda mutlak değerin içinin işareti belirlenmelidir.
2
Sol limit değerini hesaplama
lim⁡x→a−(x2−a2−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−((x−a)(x+a)−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+2x)=lim⁡x→a−(x−a)=a−a=0\lim_{x \to a^-} \left( \frac{x^2 - a^2}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} \left( \frac{(x - a)(x + a)}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x + a) + 2x) = \lim_{x \to a^-} (x - a) = a - a = 0
0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma yapılıp sadeleştirme uygulanır ve limit değeri bulunur.
3
Sağ limit değerini hesaplama
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6
x→a+x \to a^+ için limit hesaplanırken fonksiyonun x≥ax \geq a kuralı kullanılır.
4
Limit varl��ğı koşuluyla denklemi çözme
a2−5a+6=0  ⟹  (a−2)(a−3)=0  ⟹  a=2 veya a=3a^2 - 5a + 6 = 0 \implies (a - 2)(a - 3) = 0 \implies a = 2 \text{ veya } a = 3
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
5
a değerlerinin toplamını hesaplama
2+3=52 + 3 = 5
Soru kökünde aa parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için elde edilen değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde, kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer fonksiyonlarında limit noktasına yaklaşım yönü, mutlak değerin içinin işaretini belirler ve ifadenin sadeleştirilmesinde kritik rol oynar.
Soru 29Soru →

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<1bx2+1,1≤x<2ax−b,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 1 \\ b x^2 + 1, & 1 \le x < 2 \\ a x - b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlan��yor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3−f(x−1)+lim⁡x→1+f(f(x))=10\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) + \lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 10

eşitliğini sağlayan a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Limit varlık ve yönlü yaklaşım kuralları uygulandığında a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı olan 2 doğru cevaptır.
Doğru cevap 2'dir. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki limit varlığından b - a = 1 elde edilir. Verilen limit toplamından ise yönlü yaklaşım kuralları kullanılarak 4b + ab = 10 eşitliğine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde pozitif gerçel sayı olan a = 1 ve b = 2 değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 noktasındaki limit varlığını incelemek.
b - a = 1 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit: 2(1) + a = a + 2, Sağ limit: b(1)^2 + 1 = b + 1. Buradan a + 2 = b + 1 ve dolayısıyla b = a + 1 bulunur.
2
Birinci limit terimini (x -> 3'e soldan yaklaşırken f(x - 1)) hesaplamak.
4b + 1
u = x - 1 dönüşümü yapıl��r. x -> 3^- iken x < 3 olduğundan u -> 2^- olur. f(u) fonksiyonunun u -> 2'ye soldan limiti için ortadaki parça kullanılır: b(2)^2 + 1 = 4b + 1.
3
İkinci limit terimini (x -> 1'e sağdan yaklaşırken f(f(x))) hesaplamak.
ab - 1
Önce içteki f(x) limiti incelenir. x -> 1^+ iken 1 < x < 2 olduğundan f(x) = b x^2 + 1 olur. x > 1 ise x^2 > 1 ve b > 0 olduğundan b x^2 + 1 > b + 1 olur. Dolayısıyla f(x) değeri b + 1 değerine sağdan (büyük değerlerle) yaklaşır. Dış limit için v = f(x) dersek, v -> (b + 1)^+ olur. a > 0 olduğundan b = a + 1 > 1 ve b + 1 > 2'dir. Dolayısıyla v > 2 olur ve en alttaki parça kullanılır: a(b + 1) - b = ab + a - b. İlk adımdan a - b = -1 olduğundan bu ifade ab - 1 değerine eşit olur.
4
Limitlerin toplamını verilen değere eşitleyip a ve b değerlerini bulmak.
a = 1 ve b = 2
(4b + 1) + (ab - 1) = 10 => 4b + ab = 10 elde edilir. b = a + 1 yazılırsa: 4(a + 1) + a(a + 1) = 10 => a^2 + 5a - 6 = 0 olur. Bu denklem (a + 6)(a - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a pozitif gerçel sayı olduğundan a = 1'dir. Buradan b = 2 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpımını hesaplamak.
a * b = 2
İstenen a * b çarpımı 1 * 2 = 2 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun kritik noktalarında limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği incelenir. Ötelenmiş ve bileşke fonksiyonların limitlerinde ise yaklaşım yönü (sağdan/soldan) titizlikle takip edilmelidir.
Soru 30Soru →
Gerçek sayılar kümesinde x≠2x \neq 2 için tanımlanan
f(x)=x2+x−6x−2f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x) limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Limit değeri 5'tir.
x→2x \to 2 için limit hesaplanırken pay ve paydada sıfır elde edilir. Bu durum 00\frac{0}{0} belirsizliğidir. Paydaki ifade (x−2)(x+3)(x-2)(x+3) şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki (x−2)(x-2) ile sadeleştirildiğinde belirsizlik ortadan kalkar ve limit değeri 2+3=52+3=5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinde x yerine 2 yazarak belirsizlik durumunu belirlemek.
Pay ve payda sıfır çıktığı için 0/0 belirsizliği elde edilir.
Limitte hangi yöntemin uygulanacağını belirlemek için öncelikle belirsizlik türünü saptamamız gerekir.
2
Payda bulunan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak.
x2+x−6=(x−2)(x+3)x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) elde edilir.
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanını (x−2x-2) sadeleştirebilmek için payı çarpanlarına ayırmalıyız.
3
Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı sadeleştirmek ve limiti hesaplamak.
lim⁡x→2(x+3)=2+3=5\lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5 bulunur.
x→2x \to 2 iken x≠2x \neq 2 olduğundan pay ve paydadaki (x−2)(x-2) terimleri sadeleşebilir ve belirsizlik ortadan kalkar.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 31Soru →
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği (1,−4)(1, -4) noktasından geçmektedir.
lim⁡x→3f(x)x+1−2=16\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{\sqrt{x+1} - 2} = 16
olduğuna göre,
lim⁡x→−1f(x2−2)x3+2x2+2x+1\lim_{x \to -1} \frac{f(x^2 - 2)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Limit değeri 8 olarak bulunur.
Verilen ilk limit denkleminden f(3)=0f(3) = 0 olduğu tespit edilip limitin eşlenik yardımıyla çözülmesiyle 3a+b=43a+b=4 denklemine ulaşılır. Parabolün geçtiği nokta kullanılarak a+b=2a+b=2 bulunur ve f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) fonksiyonu elde edilir. İkinci limit ifadesinde pay ve payda çarpanlarına ayrılıp belirsizlik oluşturan x+1x+1 terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini kontrol ederek f(3)f(3) değerini belirlemek.
lim⁡x→3(x+1−2)=0\lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} - 2) = 0 olduğundan, limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için payın limiti de sıfır olmalıdır, yani f(3)=0f(3) = 0 bulunur. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonu f(x)=(x−3)(ax+b)f(x) = (x-3)(ax+b) formunda yazılabilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayı çıkması ancak payın da sıfıra yaklaşarak 0/00/0 belirsizliği oluşturması ile mümkündür.
2
Limit ifadesinde f(x)f(x) yerine yazılıp belirsizlik giderilerek ilk denklemi elde etmek.
lim⁡x→3(x−3)(ax+b)x+1−2=lim⁡x→3(x−3)(ax+b)(x+1+2)x−3=lim⁡x→3(ax+b)(x+1+2)=4(3a+b)\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)}{\sqrt{x+1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)(\sqrt{x+1} + 2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (ax+b)(\sqrt{x+1} + 2) = 4(3a+b) olur. Buradan 4(3a+b)=16  ⟹  3a+b=44(3a+b) = 16 \implies 3a+b = 4 elde edilir.
Paydadaki köklü ifadenin eşleniğiyle pay ve paydayı çarparak belirsizliğe neden olan x−3x-3 çarpanını sadeleştirmek gerekir.
3
f(x)f(x) parabolünün (1,−4)(1, -4) noktasından geçmesi özelliğini kullanarak ikinci denklemi oluşturmak.
f(1)=(1−3)(a+b)=−4  ⟹  −2(a+b)=−4  ⟹  a+b=2f(1) = (1-3)(a+b) = -4 \implies -2(a+b) = -4 \implies a+b = 2 elde edilir.
Fonksiyonun geçtiği nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
3a+b=43a+b = 4 ve a+b=2a+b = 2 denklemleri ortak çözüldüğünde a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) olarak elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak bilinmeyen katsayıları hesaplamak mümkündür.
5
f(x2−2)f(x^2 - 2) ifadesini ve limit paydasını çarpanlarına ayırmak.
f(x2−2)=(x2−2−3)(x2−2+1)=(x2−5)(x2−1)=(x2−5)(x−1)(x+1)f(x^2 - 2) = (x^2 - 2 - 3)(x^2 - 2 + 1) = (x^2 - 5)(x^2 - 1) = (x^2 - 5)(x-1)(x+1) elde edilir. Payda ise x3+2x2+2x+1=(x3+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2−x+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2+x+1)x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
x→−1x \to -1 iken limit ifadesinde oluşan 0/00/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve payda ortak çarpanlarına ayrılır.
6
Ortak çarpanları sadeleştirerek limiti hesaplamak.
lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)(x+1)(x+1)(x2+x+1)=lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)x2+x+1=((−1)2−5)(−1−1)(−1)2+(−1)+1=(−4)(−2)1=8\lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)}{x^2 + x + 1} = \frac{((-1)^2 - 5)(-1-1)}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{(-4)(-2)}{1} = 8 bulunur.
Pay ve paydadaki sıfır yapan x+1x+1 terimleri sadeleşince belirsizlik giderilir ve doğrudan limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x−2∣x−2+a,x<22x−5,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 2x - 5, & x \ge 2 \end{cases}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 00 olmalıdır ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Sağ limit −1-1 ve sol limit −1+a-1 + a olduğundan a=0a = 0 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 kritik noktasındaki sağ limiti −1-1 ve soldan limiti mutlak değer işaret analiziyle −1+a-1 + a olarak bulunur. Limitin varlığı için bu iki değer eşitlenmelidir: −1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0 bulunur. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki sağdan limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−5)=2(2)−5=−1\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 5) = 2(2) - 5 = -1
x>2x > 2 için fonksiyon f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 kuralıyla tanımlıdır.
2
x=2x = 2 noktasındaki soldan limiti hesaplayın.
x<2x < 2 için x−2<0x - 2 < 0 olduğundan ∣x−2∣=−(x−2)|x - 2| = -(x - 2) olur. Buradan lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)x−2+a)=−1+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-(x - 2)}{x - 2} + a\right) = -1 + a elde edilir.
x<2x < 2 için fonksiyon f(x)=∣x−2∣x−2+af(x) = \frac{|x - 2|}{x - 2} + a kuralıyla tanımlıdır ve mutlak değerin içi negatiftir.
3
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek aa değerini bulun.
−1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların sınır noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
Soru 33Soru →
aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→0a−cos⁡4(x)−bx2=12\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \frac{1}{2}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7 olan seçenektir.
Doğru seçenekte belirtilen 7 değeri doğrudur. Paydanın limiti sıfır olduğundan limitin gerçek sayı belirtmesi için pay sıfıra yaklaşmalı ve a−1=b\sqrt{a-1}=b olmalıdır. Buradan a=b2+1a = b^2+1 bulunur. Eşlenikle çarpım ve 1−cos⁡4(x)=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = \sin^2(x)(1+\cos^2(x)) özdeşliği kullanıldığında limit 1b\frac{1}{b} olarak bulunur. Bu limit 12\frac{1}{2}'ye eşitlendiğinde b=2b=2 ve a=5a=5 elde edilir, toplamları ise 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik durumunu tespit etme.
x→0x \to 0 iken payda sıfıra gitmektedir (x2→0x^2 \to 0). Limit değeri bir gerçek sayıya eşit olduğundan, payın limiti de sıfır olmalıdır: lim⁡x→0(a−cos⁡4(x)−b)=0\lim_{x \to 0} (\sqrt{a - \cos^4(x)} - b) = 0.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkması ancak 0/00/0 belirsizliğinin oluşmasıyla mümkündür.
2
Payın limitini alarak aa ve bb parametreleri arasındaki ilişkiyi bulma.
x→0x \to 0 için cos⁡(x)→1\cos(x) \to 1 olduğundan, a−1−b=0  ⟹  a−1=b  ⟹  a−1=b2  ⟹  a=b2+1\sqrt{a - 1} - b = 0 \implies \sqrt{a - 1} = b \implies a - 1 = b^2 \implies a = b^2 + 1 (aa ve bb pozitif olduğundan).
Belirsizlik koşulundan yararlanarak parametreler arasında cebirsel bir ilişki kurmak.
3
Bulunan ilişkiyi limitte yerine yazarak payı eşleniğiyle çarpma.
lim⁡x→0b2+1−cos⁡4(x)−bx2=lim⁡x→0(b2+1−cos⁡4(x))−b2x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)=lim⁡x→01−cos⁡4(x)x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(b^2 + 1 - \cos^4(x)) - b^2}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^4(x)}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} olur.
Pay kısmındaki kareköklü ifadeyi rasyonalize ederek belirsizliği çözebilecek çarpanı ortaya çıkarmak.
4
Paydaki trigonometrik ifadeyi sadeleştirme.
1−cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))(1+cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + \cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + \cos^2(x)) olarak yazılır. Limit ifadesi: lim⁡x→0(sin⁡(x)x)2⋅1+cos⁡2(x)b2+1−cos⁡4(x)+b\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \cdot \frac{1 + \cos^2(x)}{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b} şeklini alır.
İki kare farkı özdeşliği ve temel trigonometrik özdeşlik yardımıyla belirsizlik çarpanını ayrıştırmak.
5
Limiti hesaplayıp bb değerini bulma.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 olduğu için limit: 12⋅1+1b2+b=22b=1b1^2 \cdot \frac{1 + 1}{\sqrt{b^2} + b} = \frac{2}{2b} = \frac{1}{b} (b>0b>0 olduğundan b2=b\sqrt{b^2}=b olur). Limitin değeri 12\frac{1}{2} olduğundan 1b=12  ⟹  b=2\frac{1}{b} = \frac{1}{2} \implies b = 2 bulunur.
Sadeleştirmeler sonrası belirsizlik giderildiği için xx yerine 0 yazıp limit değerini bb türünden bulmak.
6
aa parametresini ve istenen toplamı hesaplama.
a=b2+1=22+1=5a = b^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 olur. Buradan a+b=5+2=7a + b = 5 + 2 = 7 elde edilir.
bb değerini yerine koyarak aa değerine ulaşmak ve toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda eşlenik yardımıyla ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı.
Soru 34Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={bx2+3,x≤−2∣x2−4∣x+2+ax−1,x>−2f(x) = \begin{cases} bx^2 + 3, & x \le -2 \\ \frac{|x^2 - 4|}{x + 2} + ax - 1, & x > -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasında limiti vardır. Ayrıca ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasındaki limiti, x=1x = 1 noktasındaki limitinden 99 fazladır.

Buna göre, b−ab - a farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri eşitlenerek a ile b arasında a + 2b = 0 ilişkisi kurulur. İkinci koşuldan yola çıkarak a = -2 ve b = 1 değerlerine ulaşılır. Buradan istenen fark 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x=−2x = -2 noktasındaki sağ ve sol limitler belirlenir.
Sol limit lim⁡x→−2−f(x)=4b+3\lim_{x \to -2^-} f(x) = 4b + 3 ve sağ limit lim⁡x→−2+f(x)=3−2a\lim_{x \to -2^+} f(x) = 3 - 2a olarak bulunur.
Fonksiyonun bu noktada limitinin olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
2
Sağ ve sol limitler birbirine eşitlenerek aa ve bb arasındaki ilk denklem elde edilir.
4b+3=3−2a  ⟹  a+2b=04b + 3 = 3 - 2a \implies a + 2b = 0 denklemi bulunur.
Limit varlığı için sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır. Sağ limit hesaplanırken x→−2+x \to -2^+ için x>−2x > -2 olduğundan x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur ve mutlak değer dışına işaret değiştirerek çıkar.
3
x=1x = 1 noktasındaki limit değeri hesaplanır.
1>−21 > -2 olduğundan ikinci parça kullanılır ve lim⁡x→1f(x)=a\lim_{x \to 1} f(x) = a elde edilir.
İstenen limit noktası olan 1 değeri kritik nokta değildir ve ikinci parçanın tanım kümesindedir.
4
İkinci koşul kullanılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3−2a=a+9  ⟹  a=−23 - 2a = a + 9 \implies a = -2 ve a+2b=0  ⟹  b=1a + 2b = 0 \implies b = 1 elde edilir.
Soruda verilen −2-2 noktasındaki limitin 11 noktasındaki limitten 99 fazla olduğu bilgisi denklemleştirilerek çözülür.
5
b−ab - a farkı hesaplanır.
b−a=1−(−2)=3b - a = 1 - (-2) = 3 olarak bulunur.
Bizden istenen ifade b−ab - a farkıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Soru 35Soru →
lim⁡x→−1x2−x−2x2−1\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

Limit değeri 32\frac{3}{2}'dir.
İfadedeki belirsizlik giderildikten sonra elde edilen x−2x−1\frac{x-2}{x-1} kesrinde limit noktasının yerine yazılmasıyla 32\frac{3}{2} değeri elde edilir. Bu nedenle doğru değer 32\frac{3}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=−1x = -1 değeri fonksiyonda doğrudan yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
Pay için (−1)2−(−1)−2=1+1−2=0(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 ve payda için (−1)2−1=1−1=0(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 elde edilir. Bu durum 00\frac{0}{0} belirsizliğidir.
Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan değer yazarak belirsizlik olup olmadığı tespit edilmelidir.
2
Pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan ortak çarpan belirlenir.
Pay ifadesi x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) ve payda ifadesi x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı sıfır yapan ortak terimleri saptamak gerekir.
3
Sıfır değerini üreten ortak (x+1)(x + 1) çarpanları sadeleştirilir ve kalan ifadenin limiti hesaplanır.
lim⁡x→−1(x−2)(x+1)(x−1)(x+1)=lim⁡x→−1x−2x−1=−1−2−1−1=−3−2=32\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{-1 - 2}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} olarak bulunur.
Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale gelir ve limit doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeler çarpanlarına ayrılır, belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir ve kalan ifadeden limit değeri hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
lim⁡x→3x2−2x−3x2−9\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9} ifadesinin değeri 23\frac{2}{3}'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Belirsizlik giderildikten sonra limitin değeri 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen limit işleminde oluşan 0/00/0 belirsizliği, pay ve payda çarpanlarına ayrılıp (x−3)(x-3) ifadeleri sadeleştirilerek giderildiğinde limit değeri 23\frac{2}{3} bulunur. Bu nedenle ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=3x = 3 değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.
32−2(3)−332−9=9−6−39−9=00\frac{3^2 - 2(3) - 3}{3^2 - 9} = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 9} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Doğrudan yerine koyma yöntemi uygulandığında pay ve payda sıfır olduğu için limitin 0/00/0 belirsizliği durumunda olduğu tespit edilir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanı belirleyin.
Pay: x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) ve Payda: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olarak çarpanlarına ayrılır.
x→3x \to 3 için hem payı hem de paydayı sıfır yapan çarpan (x−3)(x - 3) ifadesidir. Bu çarpanı sadeleştirmek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Pay ve paydadaki ortak (x−3)(x - 3) çarpanlarını sadeleştirin ve sadeleşmiş ifadeyi yazın.
(x−3)(x+1)(x−3)(x+3)=x+1x+3\frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}
Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştirilerek limitin hesaplanabilir bir forma getirilmesi amaçlanır.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine 33 yazarak limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→3x+1x+3=3+13+3=46=23\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Belirsizlik ortadan kalktığı için artık doğrudan yerine koyma yöntemiyle limit değeri bulunabilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 37Soru →
Bir ff fonksiyonu, aa ve bb gerçel sayıları için
f(x)={x2−x−6∣x−3∣+a,x<32x+b,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Limitin var olması için x=3x = 3 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken x<3x < 3 olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve ifade eksi ile çarpılarak çıkarılır; sadeleştirme sonucunda sol limit −5+a-5 + a bulunur. Sağ limit ise doğrudan 6+b6 + b olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitliğinden a−b=11a - b = 11 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplamak için x<3x < 3 aralığındaki kural seçilir.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(x2−x−6∣x−3∣+a)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \left( \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a \right)
Kritik noktalarda limit varlığını incelemek için sağdan ve soldan limitlere ayrı ayrı bakılmalıdır.
2
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan ∣x−3∣=−(x−3)|x - 3| = -(x - 3) olarak çıkarılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
lim⁡x→3−((x−3)(x+2)−(x−3)+a)=lim⁡x→3−(−(x+2)+a)=−(3+2)+a=−5+a\lim_{x \to 3^-} \left( \frac{(x - 3)(x + 2)}{-(x - 3)} + a \right) = \lim_{x \to 3^-} (-(x + 2) + a) = -(3 + 2) + a = -5 + a
0/00/0 belirsizliğini gidermek için mutlak değerin işareti belirlenir ve sadeleştirme yapılır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplamak için x≥3x \ge 3 aralığındaki kural seçilir ve x=3x = 3 de��eri yerine yazılır.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(2x+b)=2(3)+b=6+b\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 2(3) + b = 6 + b
Sağdan yaklaşırken ilgili fonksiyon parçası doğrudan değerlendirilir.
4
x=3x = 3 noktasında limitin mevcut olması için sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenir.
−5+a=6+b⇒a−b=6−(−5)=11-5 + a = 6 + b \Rightarrow a - b = 6 - (-5) = 11
Bir noktada limitin var olabilmesi için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin kritik noktalarda eşit olması kuralı ve mutlak değerin işaret analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 38Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x2−5x+4∣x−1+2a,x<1ax2−7,x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 5x + 4|}{x - 1} + 2a, & x < 1 \\ ax^2 - 7, & x \ge 1 \end{cases}
fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen a gerçel sayısı -4'tür.
Fonksiyonun x=1x=1 noktasında limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan x2−5x+4x^2 - 5x + 4 ifadesi pozitif değerler alır ve mutlak değer dışına aynen çıkar. Sadeleşme sonrasında sol limit 2a−32a - 3 bulunur. Sağdan limit ise a−7a - 7 olarak elde edilir. Eşitlik kurulduğunda 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit varlığı için sağdan ve soldan limit eşitliği koşulunun belirlenmesi.
x→1−x \to 1^- ve x→1+x \to 1^+ limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında elde edilen limit değerlerinin eşit olması şarttır.
2
Soldan limitin hesaplanması ve mutlak değer için işaret analizi yapılması.
lim⁡x→1−f(x)=2a−3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2a - 3
x→1−x \to 1^- yaklaşımında x<1x < 1 olur. Bu durumda x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) ifadesinin her iki çarpanı da negatif olacağından çarpım pozitif olur. Dolayısıyla ifade mutlak değer dışına aynen çıkar: ∣x2−5x+4∣=(x−1)(x−4)|x^2 - 5x + 4| = (x-1)(x-4). Pay ve paydadaki (x−1)(x-1) terimleri sadeleştiğinde limit lim⁡x→1−(x−4+2a)=2a−3\lim_{x \to 1^-} (x - 4 + 2a) = 2a - 3 olarak bulunur.
3
Sağdan limitin hesaplanması.
lim⁡x→1+f(x)=a−7\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - 7
x→1+x \to 1^+ yaklaşımında x≥1x \ge 1 olduğundan f(x)=ax2−7f(x) = ax^2 - 7 kuralı geçerlidir. Polinom fonksiyonlarında limit doğrudan yerine koyarak bulunur: a(1)2−7=a−7a(1)^2 - 7 = a - 7.
4
Elde edilen limit değerlerinin birbirine eşitlenerek a parametresinin çözülmesi.
a=−4a = -4
Limitin var olması için sol limit (2a−32a - 3) ile sağ limit (a−7a - 7) birbirine eşit olmalıdır. Buradan 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değerli ifadelerde limit noktasına yaklaşılan yöne göre iç kısmın işareti belirlenip mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır.
Soru 39Soru →
f(x)={x2−ax−3,x≠3b,x=3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x \neq 3 \\ b, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Fonksiyonun sürekli olması için a = 9 ve b = 6 olmalıdır, dolayısıyla toplam 15 bulunur.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x→3x \to 3 için payda sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayı çıkabilmesi için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9 elde edilir. İfade sadeleştirilip limit alındığında lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} (x+3) = 6 bulunur. Süreklilik gereği bu limit değeri f(3)=bf(3) = b değerine eşit olmalıdır. Dolayısıyla b=6b = 6 ve a+b=9+6=15a+b = 9+6=15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Payın sıfır olma durumunu incelemek
32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9
x=3x = 3 noktasında limitin var olabilmesi ve bir gerçel sayıya eşit olması için paydası sıfır olan ifadede payın da sıfır olması (yani 0/00/0 belirsizliği oluşması) gerekir.
2
Limiti hesaplamak ve belirsizliği gidermek
lim⁡x→3x2−9x−3=lim⁡x→3(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6
Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki limiti mevcut olmalıdır. Ortak çarpanlar sadeleştirilerek limit değeri bulunur.
3
Süreklilik şartını uygulamak ve toplamı bulmak
b=6  ⟹  a+b=9+6=15b = 6 \implies a + b = 9 + 6 = 15
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sürekli olması için lim⁡x→3f(x)=f(3)\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) olmalıdır. Buradan b=6b = 6 elde edilir ve toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olduğu bir noktada limitin var olması için payın da sıfır olması gerekir.
Soru 40Soru →

Her aa gerçel sayısı için, f(x)=∣x2−a2∣x−af(x) = \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} kuralı ile tanımlı f:R∖{a}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{a\} \to \mathbb{R} fonksiyonunun x=ax = a noktasında limitinin olmadığını iddia eden bir önerme doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Önerme yanlıştır, çünkü a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x=0x = 0 noktasında limiti vardır ve bu limitin değeri 00'dır.
İddia yanlıştır çünkü a=0a = 0 durumunda f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} olur. x≠0x \neq 0 için x2x^2 daima pozitif olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleştirme yapıldığında f(x)=xf(x) = x fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyonun x→0x \to 0 iken limiti 00'dır. Yani limit mevcuttur. Bu karşıt örnek önermenin genel doğruluğunu bozar.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik nokta olan x=ax = a için sağdan ve soldan limit durumlarını incelemek üzere mutlak değerin işaret analizini yapalım.
x−ax - a ifadesinin işaretine bağlı olarak mutlak değerin dışına çıkma kuralları belirlenir.
Mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
2
a≠0a \neq 0 olduğunu varsayarak sağdan ve soldan limitleri hesaplayalım.
lim⁡x→a+f(x)=∣2a∣\lim_{x \to a^+} f(x) = |2a| ve lim⁡x→a−f(x)=−∣2a∣\lim_{x \to a^-} f(x) = -|2a| elde edilir. a≠0a \neq 0 olduğundan bu limitler eşit değildir ve limit yoktur.
x→a+x \to a^+ için x−a>0x-a > 0 olduğundan ∣x−a∣=x−a|x-a| = x-a olur. x→a−x \to a^- için x−a<0x-a < 0 olduğundan ∣x−a∣=−(x−a)|x-a| = -(x-a) olur.
3
a=0a = 0 özel durumunu fonksiyonda yerine yazarak inceleyelim.
f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} fonksiyonu elde edilir. Tüm gerçel sayılar için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olur. Buradan x≠0x \neq 0 için f(x)=x2x=xf(x) = \frac{x^2}{x} = x bulunur.
a=0a = 0 durumunda mutlak değerin içindeki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden büyük olduğu için işaret değişimi sadeleşme sonrası limiti yok etmez.
4
a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x→0x \to 0 iken limitini hesaplayalım.
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0 olur. Limit değeri mevcut ve 00'a eşittir. Bu durum genel önermeyi çürütür.
En az bir aa gerçel sayısı (a=0a=0) için limit mevcut olduğundan, önermedeki 'her aa gerçel sayısı için limit yoktur' ifadesi yanlış olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren rasyonel fonksiyonlarda limitin varlığı ve sıfır bölü sıfır belirsizliğinde mutlak değer analizi
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 7Sonraki
Limit ve Süreklilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin