Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 1Soru →
log⁡14(2x−1)≥−1\log_{\frac{1}{4}}(2x - 1) \geq -1

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (12,52]\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]

Cevap

Açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki aralığı
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır koşulundan x>12x > \frac{1}{2} elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirerek 2x−1≤42x - 1 \leq 4 haline gelir ve buradan x≤52x \leq \frac{5}{2} bulunur. Bu iki aralığın kesişimi doğru olan açık aralık bir bölü iki ile kapalı aralık beş bölü iki kümesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kontrolü yapılır.
2x−1>0⇒2x>1⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür.
2x−1≤(14)−1⇒2x−1≤4⇒2x≤5⇒x≤522x - 1 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \Rightarrow 2x - 1 \leq 4 \Rightarrow 2x \leq 5 \Rightarrow x \leq \frac{5}{2}
Logaritmanın tabanı basit kesir (0<14<10 < \frac{1}{4} < 1) olduğu için eşitsizlik yön değiştirir.
3
Elde edilen iki eşitsizlik kesiştirilir.
12<x≤52\frac{1}{2} < x \leq \frac{5}{2} yani (12,52]\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]
Çözüm kümesinin hem tanım kümesini hem de eşitsizlik şartını aynı anda sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümünde eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve tanım kümesi sınırlarının kesiştirilmesi.
Soru 2Soru →
log⁡2(4x−8)=x+1\log_2(4^x - 8) = x + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 2'dir.
Denklem logaritma tanımı kullanılarak 4x−8=2x+14^x - 8 = 2^{x+1} şekline dönüştürülür. Burada 2x=t2^x = t değişken değiştirmesi yapıldığında t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (t−4)(t+2)=0(t-4)(t+2) = 0 olup, 2x2^x ifadesi negatif olamayacağından tek geçerli kök t=4t = 4 yani x=2x = 2 olur. x=2x=2 değeri logaritmanın içini pozitif yaptığı için denklemin gerçel köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanımı gereği denklemin tanımlı olması için gerekli olan koşulu belirleyin.
4x−8>0  ⟹  4x>8  ⟹  22x>23  ⟹  x>324^x - 8 > 0 \implies 4^x > 8 \implies 2^{2x} > 2^3 \implies x > \frac{3}{2} olmalıdır.
Logaritması alınan ifade her zaman sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın tanımını kullanarak denklemi üstel formda yazın.
4x−8=2x+14^x - 8 = 2^{x+1}
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c kuralı uygulanır.
3
2x=t2^x = t değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden denklem haline getirin.
t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 (burada t>0t > 0 olmalıdır).
4x=(2x)2=t24^x = (2^x)^2 = t^2 ve 2x+1=2⋅2x=2t2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t yazabiliriz.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak tt değerlerini bulun.
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4(t - 4)(t + 2) = 0 \implies t = 4 veya t=−2t = -2 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
tt değerlerini yerine yazarak xx değerlerini bulun ve tanım kümesini kontrol edin.
2x=4  ⟹  x=22^x = 4 \implies x = 2. t=−2t = -2 için 2x=−22^x = -2 denkleminin gerçel kökü yoktur. x=2x = 2 değeri x>32x > \frac{3}{2} şartını sağladığı için tek çözümdür.
Üstel fonksiyonlar daima pozitif değerler alır ve bulunan kök tanım kümesi şartını sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümü için logaritma tanımı, değişken değiştirme yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Soru 3Soru →
log⁡13(2x−1)>log⁡13(x+3)\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen eşitsizlikte taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğu için fonksiyon azalandır ve logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirerek 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 olur. Logaritmanın tanım kümesinden gelen 2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} koşulu ile bu durum birleştirildiğinde çözüm kümesi 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek
x>12x > \frac{1}{2}
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için 2x−1>02x - 1 > 0 ve x+3>0x + 3 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliklerin ortak çözümü x>12x > \frac{1}{2} aralığını verir.
2
Eşitsizliği çözmek için tabanın durumunu incelemek
x<4x < 4
Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğundan logaritma fonksiyonu azalandır. Bu nedenle logaritmalar kaldırılırken büyüktür işareti küçüktür işaretine dönüşür: 2x−1<x+3⇒x<42x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4 elde edilir.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı değerlerini bulup toplamak
1+2+3=61 + 2 + 3 = 6
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünün kesişimi olan 12<x<4\frac{1}{2} < x < 4 aralığındaki tam sayılar 11, 22 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 66 yapar.

Anahtar Kavram

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Ayrıca logaritmanın tanım kümesi sınırlamaları her zaman çözüm kümesine dahil edilmelidir.
Soru 4Soru →
Bir bakteri türünün başlangıçtaki sayısı N0N_0 ve tt saat sonraki sayısı N(t)N(t) olmak üzere, bu bakterinin çoğalma modeli
N(t)=N0⋅20.5tN(t) = N_0 \cdot 2^{0.5t}
formülü ile verilmektedir.
Buna göre, başlangıçta 10001000 adet bakteri bulunan bu popülasyondaki bakteri sayısı kaç saat sonra 80008000 olur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bakteri sayısının 80008000 olması için geçmesi gereken süre 66 saattir.
Bakteri büyüme modelinde N(t)=8000N(t) = 8000 ve N0=1000N_0 = 1000 yazıldığında 8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} eşitliği elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında 8=20.5t8 = 2^{0.5t} olur. 88 sayısı 232^3 şeklinde yazıldığında tabanlar eşit olduğu için üsler eşitlenir ve 3=0.5t3 = 0.5t denklemi kurulur. Buradan geçmesi gereken süre t=6t = 6 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen başlangıç değeri N0=1000N_0 = 1000 ve hedef bakteri sayısı N(t)=8000N(t) = 8000 değerlerini formülde yerine yazmak.
8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} denklemi kurulur.
Soruda belirtilen hedefe ulaşmak için model formülündeki bilinen büyüklükler yerleştirilmelidir.
2
Eşitliğin her iki tarafını 10001000 ile bölerek sadeleştirme yapmak.
8=20.5t8 = 2^{0.5t} elde edilir.
Üslü terimi yalnız bırakarak çözümü kolaylaştırmak hedeflenir.
3
88 sayısını 22 tabanında üslü biçimde yazarak üsleri eşitlemek.
23=20.5t  ⟹  3=0.5t2^3 = 2^{0.5t} \implies 3 = 0.5t elde edilir.
Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üsleri de birbirine eşit olmalıdır.
4
3=0.5t3 = 0.5t denklemini çözmek.
t=6t = 6 bulunur.
tt değişkenini bulmak için her iki taraf 22 ile çarpılır veya 0.50.5 ile bölünür.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde denklem kurma ve çözme
Soru 5Soru →
log⁡x−2(x2−4x+3)=log⁡x−2(x−3)+2\log_{x-2}(x^2 - 4x + 3) = \log_{x-2}(x-3) + 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök (5 + kök 5) / 2 olduğundan, kökler toplamı bu değerdir.
Denklemin tanım kümesi x>3x > 3 aralığıdır. Cebirsel çözüm aşamalarında elde edilen aday köklerden x=3x = 3 (tabanı 1, argümanları 0 yapar) ve x=5−52≈1,38x = \frac{5-\sqrt{5}}{2} \approx 1,38 (argümanları ve tabanı negatif yapar) değerleri tanım kümesi dışında kalır. Koşulları sağlayan tek gerçel kök 5+52\frac{5+\sqrt{5}}{2} olduğundan, gerçel köklerin toplamı da bu değere eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için taban ve argüman koşullarını yazarız.
Taban için x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1  ⟹  x>2x-2 \neq 1 \implies x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Birinci argüman için x2−4x+3>0  ⟹  (x−1)(x−3)>0  ⟹  x<1x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0 \implies x < 1 veya x>3x > 3 olmalıdır. İkinci argüman için x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Tüm bu koşulların kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>3x > 3 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanlarının ise pozitif olması gerekir.
2
Denklemin sağ tarafındaki sabit terimi logaritma tabanına uygun olarak yazıp ifadeleri tek bir logaritma altında birleştiririz.
2=log⁡x−2((x−2)2)2 = \log_{x-2}((x-2)^2) yazılır. Sağ taraf: log⁡x−2(x−3)+log⁡x−2((x−2)2)=log⁡x−2((x−3)(x−2)2)\log_{x-2}(x-3) + \log_{x-2}((x-2)^2) = \log_{x-2}((x-3)(x-2)^2) haline gelir.
Logaritma toplama özelliğini (aynı tabandaki toplamları çarpım biçimine dönüştürme) uygulayabilmek için sabit terimi logaritmik biçimde yazarız.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerinin tabanları aynı olduğundan argümanları birbirine eşitleriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−2)2  ⟹  (x−1)(x−3)=(x−3)(x−2)2x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-2)^2 \implies (x-1)(x-3) = (x-3)(x-2)^2 elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun bire bir olma özelliğini kullanarak argümanları eşitleriz.
4
Elde edilen cebirsel denklemi çarpanlarına ayırarak çözeriz.
(x−3)⋅[(x−1)−(x−2)2]=0  ⟹  (x−3)⋅[x−1−(x2−4x+4)]=0  ⟹  (x−3)(x2−5x+5)=0(x-3) \cdot [(x-1) - (x-2)^2] = 0 \implies (x-3) \cdot [x-1 - (x^2 - 4x + 4)] = 0 \implies (x-3)(x^2 - 5x + 5) = 0 bulunur. Buradan x=3x=3 veya x2−5x+5=0x^2 - 5x + 5 = 0 elde edilir. İkinci dereceden denklemin kökleri diskriminant yöntemiyle x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} olarak bulunur.
Denklemin tüm olası kök adaylarını belirlemek için ortak çarpan parantezine alma yöntemini uygularız.
5
Bulunan aday köklerin tanım kümesine (x>3x > 3) uygunluğunu kontrol ederiz.
x=3x = 3 değeri tanım kümesinde değildir. Köklerden x=5−52≈1,38<3x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1,38 < 3 olduğundan tanım kümesini sağlamaz. Diğer kök x=5+52≈3,62>3x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3,62 > 3 olduğundan tanım kümesini sağlar. Denklemi sağlayan tek gerçel kök x=5+52x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}'dir.
Logaritmik denklemlerde bulunan köklerin başlangıçtaki tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban ve argüman tanım kümelerinin belirlenmesi ve yalancı köklerin elenmesi.
Soru 6Soru →
log⁡x(2x+3)=2\log_x(2x + 3) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur, yani tek elemanlıdır.
Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği belirlenir. İkinci dereceden denklem çözümünden elde edilen köklerden x=−1x = -1 bu şartı ihlal ettiğinden elenir ve sadece x=3x = 3 kökü kalır. Bu durum çözüm kümesinin tek elemanlı olduğunu doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için gerekli şartları belirleyin.
Taban için x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır. Argüman için 2x+3>0  ⟹  x>−1,52x + 3 > 0 \implies x > -1,5 olmalıdır. Ortak tanım aralığı x∈(0,1)∪(1,∞)x \in (0, 1) \cup (1, \infty) şeklindedir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçime dönüştürün ve kökleri bulun.
x2=2x+3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 Buradan x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
log⁡g(f(x))=b  ⟺  gb=f(x)\log_g(f(x)) = b \iff g^b = f(x) dönüşüm kuralı uygulanmıştır.
3
Bulunan kökleri tanım kümesi sınırlarıyla karşılaştırın.
x=3x = 3 değeri tanım kümesindedir. x=−1x = -1 değeri ise taban şartını (x>0x > 0) sağlamadığı için elenir. Çözüm kümesi C\c={3}Ç = \{3\} olarak bulunur.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta bulunması şarttır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemlerde Taban Tanım Kümesi ve Yalancı Kök Kontrolü
Soru 7Soru →
log⁡34⋅log⁡454−log⁡32\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 - \log_{3} 2

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Logaritma taban değiştirme kuralı kullanılarak çarpım durumundaki ifade \log_{3} 54 olarak sadeleştirilir. Ardından logaritma çıkarma özelliği ile ifade \log_{3}(54/2) = \log_{3} 27 şekline dönüştürülür. 27 = 3^3 olduğundan işleminin sonucu 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını (\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c) kullanarak çarpım durumundaki birinci terimi sadeleştirin.
log⁡34⋅log⁡454=log⁡354\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 = \log_{3} 54
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri çarpmak için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.
2
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak logaritma çıkarma özelliğini (\log_a x - \log_a y = \log_a(x/y)) uygulayın.
log⁡354−log⁡32=log⁡3(542)=log⁡327\log_{3} 54 - \log_{3} 2 = \log_{3}\left(\frac{54}{2}\right) = \log_{3} 27
Aynı tabana sahip iki logaritmanın farkı, argümanlarının bölümün��n logaritmasına eşittir.
3
Elde edilen ifadenin değerini hesaplayın.
log⁡327=log⁡3(33)=3\log_{3} 27 = \log_{3}(3^3) = 3
27 sayısı 3'ün üçüncü kuvveti olduğundan logaritma tanımı gereği sonuç 3 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 8Soru →
log⁡x(6xlog⁡5x−5)=2log⁡5x\log_x(6x^{\log_5 x} - 5) = 2\log_5 x

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5.2

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli xx gerçel sayılarının toplamı 5,25,2 (veya 265\frac{26}{5}) olarak bulunur.
Denklemin çözümünden elde edilen geçerli kökler x=5x = 5 ve x=1/5x = 1/5 değerleridir. Bu iki kökün toplamı 5+1/5=5,25 + 1/5 = 5,2 olur. x=1x = 1 değeri ise logaritmanın tabanını 1 yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi analizi yapmak
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Denklemi üstel forma dönüştürmek
6xlog⁡5x−5=x2log⁡5x6x^{\log_5 x} - 5 = x^{2\log_5 x}
log⁡b(a)=c  ⟺  a=bc\log_b(a) = c \iff a = b^c temel tanımını uygulamak.
3
Değişken değiştirme ve üstel ifadeleri düzenlemek
y=5t2y = 5^{t^2} dönüşümüyle 6y−5=y26y - 5 = y^2 elde edilmesi
log⁡5x=t  ⟹  x=5t\log_5 x = t \implies x = 5^t yazarak xlog⁡5x=5t2x^{\log_5 x} = 5^{t^2} ve x2log⁡5x=(5t2)2x^{2\log_5 x} = (5^{t^2})^2 ilişkisini kurmak.
4
İkinci dereceden denklemi çözmek
y=5y = 5 veya y=1y = 1
y2−6y+5=0  ⟹  (y−5)(y−1)=0y^2 - 6y + 5 = 0 \implies (y-5)(y-1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle çözüme ulaşmak.
5
Kökleri kontrol etmek ve tanım kümesine uygunluğunu sorgulamak
x=5x = 5 ve x=1/5x = 1/5 geçerli köklerdir; x=1x = 1 elenir.
x=1x=1 kökü logaritmanın tabanını 1 yapacağı için logaritma tanımına aykırıdır.
6
Köklerin toplamını bulmak
5+1/5=5,25 + 1/5 = 5,2
Soruda istenen gerçel sayı köklerinin toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma ve Üstel Denklemlerde Değişken Değiştirme ve Taban Tanım Kümesi Kısıtlamaları
Soru 9Soru →
log⁡12(x−2)>−2\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > -2

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2,6)(2, 6)

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığ��dır.
Logaritma ifadesinin tanımlı olması için x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan büyüktür sembolü küçüktür sembolüne dönüşür ve x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6 elde edilir. Bu iki sonucun kesişim kümesi olan (2,6)(2, 6) açık aralığı doğru çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayın.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği tabanın durumuna göre çözün.
x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6
Logaritmanın tabanı 12\frac{1}{2} bir basit kesir (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Tanım kümesinden ve eşitsizlik çözümünden elde edilen iki aralığı kesiştirin.
x>2x > 2 ve x<6x < 6 koşullarının ortak kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesindeki elemanların hem eşitsizliği sağlaması hem de logaritma tanımını bozmaması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesinin eşitsizlik çözümüne dahil edilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
9log⁡35−2log⁡279^{\log_{3} 5} - 2^{\log_{2} 7}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İşlemin sonucu 18'dir.
Verilen ifade logaritmanın üslü özellikleri kullanılarak 25−7=1825 - 7 = 18 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
9log⁡359^{\log_{3} 5} ifadesini basitleştirmek için taban ile logaritmanın argümanını yer değiştirme kuralı olan alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini uygulayalım.
9log⁡35=5log⁡399^{\log_{3} 5} = 5^{\log_{3} 9} elde edilir.
Taban ve argüman yer değiştirilerek ifade bilinen bir tabana indirgenir.
2
log⁡39\log_{3} 9 ifadesinin değerini bulup yerine yazalım.
5log⁡39=52=255^{\log_{3} 9} = 5^2 = 25 elde edilir.
9=329 = 3^2 olduğundan log⁡39=2\log_3 9 = 2 olur.
3
2log⁡272^{\log_{2} 7} ifadesinde taban ve logaritma tabanı aynı olduğundan alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini uygulayalım.
2log⁡27=72^{\log_{2} 7} = 7 elde edilir.
Logaritma tabanı ile üslü ifadenin tabanı aynı olduğunda ifade argümanın kendisine eşit olur.
4
Bulunan değerlerin farkını hesaplayalım.
25−7=1825 - 7 = 18 bulunur.
Soruda verilen çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinden alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} ve alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralları
Soru 11Soru →
aa, bb ve cc 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=6\log_a b + \log_b c + \log_c a = 6
1log⁡ab+1log⁡bc+1log⁡ca=132\frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡a3b+log⁡b3c+log⁡c3a\log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a
ifadesinin değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 102

Cevap

İstenen ifadenin değeri 102'dir.
Logaritmik ifadeler xx, yy, zz değişkenleri ile temsil edildiğinde taban değiştirme kuralından ötürü çarpımları 1 olur. Verilen eşitlikler kullanılarak ikişerli çarpımların toplamı 13/213/2 olarak elde edilir. Üçlü terimlerin küpleri toplamı özdeşliği kullanıldığında doğru sonuç 102 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma değişken dönüşümlerinin belirlenmesi ve çarpımlarının bulunması
x=log⁡abx = \log_a b, y=log⁡bcy = \log_b c, z=log⁡caz = \log_c a olsun. Taban değiştirme zincir kuralı gereği x⋅y⋅z=1x \cdot y \cdot z = 1 olur.
Denklemleri cebirsel değişkenlere indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
2
İkinci denklem yardımıyla ikişerli çarpımların toplamının bulunması
1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=132  ⟹  xy+yz+zx=132\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{13}{2} \implies xy + yz + zx = \frac{13}{2} elde edilir.
Cebirsel özdeşliklerde kullanılacak olan ikişerli çarpım toplamını elde etmek.
3
Küpler toplamı özdeşliğinin kurulması
x3+y3+z3=(x+y+z)3−3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyzx^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz özdeşliği kurulur.
İstenen ifade olan x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 toplamını bilinen değerler cinsinden ifade etmek.
4
Değerlerin yerine yazılarak sonucun hesaplanması
63−3⋅6⋅132+3⋅1=216−117+3=1026^3 - 3 \cdot 6 \cdot \frac{13}{2} + 3 \cdot 1 = 216 - 117 + 3 = 102 bulunur.
Dört işlem hesaplaması ile nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özellikleri ve cebirsel özdeşliklerin ortak kullanımı
Soru 12Soru →
f(x)=log⁡(x−3)2(x2−16)+log⁡10−x(x−2x−5)f(x) = \log_{(x-3)^2}(x^2 - 16) + \log_{10-x}\left(\frac{x-2}{x-5}\right)
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 21'dir.
Logaritma tanım kuralları eksiksiz uygulandığında en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar 6, 7 ve 8 olarak belirlenir ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimin taban ve arg��man koşullarını belirleme
Taban için x∉{2,3,4}x \notin \{2, 3, 4\}; argüman için x∈(−∞,−4)∪(4,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifade ise pozitif olmalıdır.
2
İkinci terimin taban koşulunu belirleme
x<10x < 10 ve x≠9x \neq 9
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
3
İkinci terimin rasyonel argüman koşulunu belirleme
x<2x < 2 veya x>5x > 5
Rasyonel ifadenin işareti incelenerek pozitif olduğu aralıklar bulunur.
4
Koşulların kesişimini alma ve pozitif tam sayıları bulma
Pozitif tam sayılar: 6,7,86, 7, 8
Tüm aralıkların kesişim kümesindeki pozitif tam sayılar tespit edilir.
5
Toplamı hesaplama
21
Bulunan tam sayıların toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritma tanım kuralları (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) ile rasyonel/eşitsizlik sistemlerinin çözümü bir arada uygulanır.
Soru 13Soru →
xlog⁡2x=8x2x^{\log_2 x} = 8x^2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 4'tür.
Verilen denklemde her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x eşitliğine ulaşılır. Burada log⁡2x=t\log_2 x = t değişken değiştirmesi yapıldığında t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=3t = 3 ve t=−1t = -1 olarak bulunur. Köklerin orijinal denklemdeki karşılıkları x=23=8x = 2^3 = 8 ve x=2−1=1/2x = 2^{-1} = 1/2 değerleridir. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi koşullarını sağladığından denklemin kökleridir. Bu değerlerin çarpımı ise 8⋅(1/2)=48 \cdot (1/2) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(xlog⁡2x)=log⁡2(8x2)\log_2\left(x^{\log_2 x}\right) = \log_2(8x^2)
Taban ve üs kısımlarında değişken bulunması nedeniyle, logaritmanın özelliklerini kullanarak üssü başa indirebilmek için her iki tarafın logaritması alınır.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirin.
(log⁡2x)⋅(log⁡2x)=log⁡28+log⁡2(x2)  ⟹  (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2 8 + \log_2(x^2) \implies (\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x
log⁡a(bc)=c⋅log⁡ab\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b ve log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c kuralları uygulanarak üsler çarpan olarak başa alınır ve çarpım biçimindeki argümanlar toplama dönüştürülür.
3
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklem elde edin.
t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0
Ortak terim olan log⁡2x\log_2 x ifadesi yerine tt yazılarak denklem bilinen ikinci dereceden denklem formuna getirilir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak tt değerlerini bulun.
(t−3)(t+1)=0  ⟹  t1=3 ve t2=−1(t - 3)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 3 \text{ ve } t_2 = -1
Çarpımları -3 ve toplamları -2 olan sayılar -3 ve 1 olduğundan denklem çarpanlarına ayrılarak kökler hesaplanır.
5
tt değerlerini yerine koyarak xx değerlerini ve bunların çarpımını hesaplayın.
log⁡2x1=3  ⟹  x1=23=8\log_2 x_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8
log⁡2x2=−1  ⟹  x2=2−1=12\log_2 x_2 = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}
x1⋅x2=8⋅12=4x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4
Bulunan tt değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak (x>0x > 0 koşulunu her iki değer de sağlar) xx değerlerine dönüştürülür ve kökler çarpımı bulunur.

Anahtar Kavram

Üslü logaritmik denklemlerde her iki tarafın uygun tabanda logaritmasını alma ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla ikinci dereceden denklem çözümü yapma.
Soru 14Soru →
f(x)=log⁡15−x(x2−6x−16)f(x) = \log_{15 - x}(x^2 - 6x - 16)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Doğru cevap 55'tir. Bu değer, tanım kümesini oluşturan pozitif tam sayıların (9, 10, 11, 12, 13) toplamıdır.
Logaritma tanımı gereği, taban 15−x>015 - x > 0 ve 15−x≠115 - x \neq 1 koşullarını sağlarken, argüman da x2−6x−16>0x^2 - 6x - 16 > 0 koşulunu sağlamalıdır. Bu koşulları sağlayan pozitif tam sayılar 9,10,11,12,139, 10, 11, 12, 13 olup, toplamları 55 değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın içinin pozitif olma koşulunu belirleyelim.
x2−6x−16>0x^2 - 6x - 16 > 0 eşitsizliğinden (x−8)(x+2)>0(x - 8)(x + 2) > 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=8x = 8'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−∞,−2)∪(8,∞)(-\infty, -2) \cup (8, \infty) bulunur.
Bir logaritma ifadesinde logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın taban koşullarını belirleyelim.
Taban 15−x>0  ⟹  x<1515 - x > 0 \implies x < 15 olmalıdır. Ayrıca taban 1'den farklı olmalıdır: 15−x≠1  ⟹  x≠1415 - x \neq 1 \implies x \neq 14.
Logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır.
3
Elde edilen koşulların kesişimini alıp pozitif tam sayıları bulalım.
Kesişim kümesi: ((8,∞)∩(−∞,15))∖{14}=(8,15)∖{14}((8, \infty) \cap (-\infty, 15)) \setminus \{14\} = (8, 15) \setminus \{14\} aralığıdır. (Pozitif tam sayılar istendiğinden (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı elenir). Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 9,10,11,12,139, 10, 11, 12, 13'tür.
En geniş tanım kümesindeki elemanlar tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.
4
Belirlenen pozitif tam sayıların toplamını hesaplayalım.
9+10+11+12+13=559 + 10 + 11 + 12 + 13 = 55
Soru kökünde en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif (f(x)>0f(x) > 0), tabanın pozitif ve 1'den farklı (g(x)>0g(x) > 0, g(x)≠1g(x) \neq 1) olması koşullarının kesişimi alınmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →
log⁡x−1(x2−5x+6)+log⁡x−1(x+2)=log⁡x−1(2x2−8x+8)\log_{x-1}(x^2 - 5x + 6) + \log_{x-1}(x + 2) = \log_{x-1}(2x^2 - 8x + 8)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}

Cevap

Denklemin tek geçerli kökünü içeren seçenektir.
Verilen denklemin çözümünde logaritma tanım kümesi kuralları (taban pozitif ve 1'den farklı, logaritma içi pozitif) uygulandığında çözüm aralığı (1,2)∪(3,∞)(1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur. Logaritma toplama özelliği yardımıyla elde edilen x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 denkleminin köklerinden sadece 3+172\frac{3+\sqrt{17}}{2} değeri bu aralıkta yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve (x−2)(x−3)>0(x-2)(x-3) > 0 koşullarından ortak tanım kümesi D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanları ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirin ve argümanları eşitleyin.
(x2−5x+6)(x+2)=2x2−8x+8(x^2 - 5x + 6)(x + 2) = 2x^2 - 8x + 8 denklemi elde edilir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak (x−2)(x−3)(x+2)=2(x−2)2(x-2)(x-3)(x+2) = 2(x-2)^2 olur.
log⁡b(A)+log⁡b(B)=log⁡b(A⋅B)\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B) kuralı uygulanır.
3
Denklemi sadeleştirip ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin.
x≠2x \neq 2 olduğundan her iki taraf (x−2)(x-2) ile sadeleştirilebilir. Buradan (x−3)(x+2)=2(x−2)  ⟹  x2−3x−2=0(x-3)(x+2) = 2(x-2) \implies x^2 - 3x - 2 = 0 elde edilir.
x=2x = 2 değeri tanım kümesinde olmadığından sadeleştirme işlemi kök kaybına yol açmaz.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yardımıyla bulun.
x1=3−172x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} ve x2=3+172x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} kökleri bulunur.
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} formülü ile hesaplanır.
5
Bulunan köklerin tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edin.
x1≈−0.56∉Dx_1 \approx -0.56 \notin D olduğundan elenir. x2≈3.56∈Dx_2 \approx 3.56 \in D olduğundan denklemin tek köküdür. Çözüm kümesi {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\} olur.
Aday köklerin başlangıçta belirlenen D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) tanım kümesine ait olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde tanım kümesi kontrolü ve logaritma özelliklerinin uygulanması.
Soru 16Soru →

1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,

xlog⁡2y+ylog⁡2x=16x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16
log⁡x2+log⁡y2=32\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{3}{2}
olduğuna göre, log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 194\frac{19}{4}

Cevap

İfadenin değeri olan 19/4 sayısı doğru cevaptır.
İfadenin doğru değeri, taban değiştirme ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp elde edilen u⋅v=3u \cdot v = 3 ve u+v=9/2u + v = 9/2 değerlerinin, log⁡xy+log⁡yx=u2+v2uv\log_x y + \log_y x = \frac{u^2 + v^2}{uv} ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 19/4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri sadeleştirmek.
xlog⁡2y=ylog⁡2xx^{\log_2 y} = y^{\log_2 x} olduğundan, xlog⁡2y+ylog⁡2x=2⋅ylog⁡2x=16  ⟹  ylog⁡2x=8x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 2 \cdot y^{\log_2 x} = 16 \implies y^{\log_2 x} = 8 elde edilir.
Taban ile logaritmanın argümanının yer değiştirebilmesi özelliğinden yararlanarak iki terimi tek bir terim cinsinden yazmak.
2
Elde edilen ylog⁡2x=8y^{\log_2 x} = 8 denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(ylog⁡2x)=log⁡28  ⟹  log⁡2x⋅log⁡2y=3\log_2(y^{\log_2 x}) = \log_2 8 \implies \log_2 x \cdot \log_2 y = 3 bulunur.
Üstel ifadeyi logaritma çarpımı haline getirmek.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulamak.
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡y2=1log⁡2y\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y} olduğundan, 1log⁡2x+1log⁡2y=32\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{3}{2} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmaları ortak bir tabana (2 tabanına) dönüştürmek.
4
Değişken değiştirme yaparak denklem sistemini çözmek.
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡2yv = \log_2 y olsun. u⋅v=3u \cdot v = 3 ve 1u+1v=32  ⟹  u+vuv=32  ⟹  u+v=92\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{2} \implies \frac{u+v}{uv} = \frac{3}{2} \implies u+v = \frac{9}{2} elde edilir.
Logaritmik ifadeleri sadeleştirip cebirsel bir sistem kurmak.
5
İstenen log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesini uu ve vv cinsinden yazıp hesaplamak.
log⁡xy+log⁡yx=vu+uv=u2+v2uv=(u+v)2−2uvuv\log_x y + \log_y x = \frac{v}{u} + \frac{u}{v} = \frac{u^2 + v^2}{uv} = \frac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} olur. Değerler yerine yazıldığında (9/2)2−2(3)3=81/4−63=57/43=194\frac{(9/2)^2 - 2(3)}{3} = \frac{81/4 - 6}{3} = \frac{57/4}{3} = \frac{19}{4} bulunur.
Cebirsel özdeşlikler ve taban değiştirme yardımıyla sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri ve Taban Değiştirme Kuralları
Soru 17Soru →
log⁡x(10−x)−log⁡10−x(x3)=2\log_x(10-x) - \log_{10-x}(x^3) = 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 12'dir.
Denklemin logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi sonucunda elde edilen reel kökler 2, 5−265-2\sqrt{6} ve 5+265+2\sqrt{6} değerleridir. Bu köklerin hepsi logaritmanın tanım kümesi şartlarını (tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın pozitif olması) sağlamaktadır. Bu üç kökün toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek.
Tanım kümesi x∈(0,10)∖{1,9}x \in (0, 10) \setminus \{1, 9\} olarak bulunur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Buradan x>0x > 0, x≠1x \neq 1, 10−x>0  ⟹  x<1010-x > 0 \implies x < 10 ve 10−x≠1  ⟹  x≠910-x \neq 1 \implies x \neq 9 elde edilir.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi düzenlemek.
log⁡x(10−x)−3log⁡10−x(x)=2\log_x(10-x) - 3\log_{10-x}(x) = 2 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x3)=3log⁡10−x(x)\log_{10-x}(x^3) = 3\log_{10-x}(x) özelliği kullanılarak denklem daha basit hale getirilir.
3
Değişken değiştirme uygulamak.
u2−2u−3=0u^2 - 2u - 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x)=1log⁡x(10−x)\log_{10-x}(x) = \frac{1}{\log_x(10-x)} olduğundan, log⁡x(10−x)=u\log_x(10-x) = u dönüşümü yapılarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek uu değerlerini bulmak.
u=3u = 3 ve u=−1u = -1 değerleri bulunur.
u2−2u−3=(u−3)(u+1)=0u^2 - 2u - 3 = (u-3)(u+1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülür.
5
Her bir uu değeri için xx değerlerini bulmak ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=2x = 2, x=5+26x = 5 + 2\sqrt{6} ve x=5−26x = 5 - 2\sqrt{6} kökleri bulunur.
u=3u=3 için x3=10−x  ⟹  (x−2)(x2+2x+5)=0  ⟹  x=2x^3 = 10-x \implies (x-2)(x^2+2x+5)=0 \implies x=2 elde edilir. u=−1u=-1 için x−1=10−x  ⟹  x2−10x+1=0  ⟹  x=5±26x^{-1} = 10-x \implies x^2-10x+1=0 \implies x=5 \pm 2\sqrt{6} elde edilir. Bulunan tüm değerler tanım kümesindedir.
6
Tüm kökleri toplamak.
2+(5+26)+(5−26)=122 + (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 12 bulunur.
Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Değişken Değiştirme ve Taban Değiştirme Yöntemleriyle Çözülmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡x−210−x(x2−25)f(x) = \log_{\frac{x-2}{10-x}}(x^2 - 25)
fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İlgili koşulların kesişimi alındığında fonksiyonu tanımlı yapan tam sayılar 7, 8 ve 9 olup bu sayıların toplamı 24'tür.
Fonksiyonun tanımlı olması için x2−25>0x^2-25>0, x−210−x>0\frac{x-2}{10-x}>0 ve x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x}\neq1 şartlarının kesişimi alınmalıdır. Bu kesişim (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar 7, 8 ve 9 olup toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Argümanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(−∞,−5)∪(5,∞)x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)
Logaritma tanımı gereği, logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−25>0x^2 - 25 > 0).
2
Tabanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(2,10)x \in (2, 10)
Logaritma tanımı gereği, logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır (x−210−x>0\frac{x-2}{10-x} > 0).
3
Tabanın 1'den farklı olma şartını incelemek
x≠6x \neq 6
Logaritma tanımı gereği, taban 1 değerine eşit olamaz (x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x} \neq 1).
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alıp tam sayı değerlerini toplamak
Tanım kümesi (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} ve toplam 7+8+9=247 + 8 + 9 = 24
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm şartların eş zamanlı olarak sağlanması gerekir. Bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, argümanın ise pozitif olması şartları birlikte incelenir.
Soru 19Soru →
log⁡3(x−1)+log⁡3(x−3)=log⁡3(x+17)\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök 77 olduğundan, kökler toplam�� 77 dir.
Denklemin tek gerçel kökü olan 77 değeri tanım aralığı olan x>3x > 3 koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme
x>3x > 3
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme
log⁡3(x2−4x+3)=log⁡3(x+17)\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)
Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.
3
Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme
x=7x = 7 veya x=−2x = -2
x2−4x+3=x+17  ⟹  x2−5x−14=0  ⟹  (x−7)(x+2)=0x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0 olur.
4
Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme
x=7x = 7 geçerli kök, x=−2x = -2 geçersiz kök
x=−2x = -2 değeri x>3x > 3 tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.
Soru 20Soru →
xx, yy ve zz 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡2x+log⁡4(yz)=2\log_2 x + \log_4 (yz) = 2
log⁡3y+log⁡9(xz)=2\log_3 y + \log_9 (xz) = 2
log⁡5z+log⁡25(xy)=2\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2
denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, log⁡1,5(yx)\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanlarını eşitleme
log⁡2(x2yz)=4\log_2(x^2 y z) = 4, log⁡3(y2xz)=4\log_3(y^2 x z) = 4 ve log⁡5(z2xy)=4\log_5(z^2 x y) = 4
log⁡a2b=12log⁡ab\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b ve log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc) özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.
2
Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme
x2yz=16x^2 y z = 16, y2xz=81y^2 x z = 81 ve z2xy=625z^2 x y = 625
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.
3
Denklemleri taraf tarafa çarpma
(xyz)4=304  ⟹  xyz=30(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30
Değişkenlerin çarpımını (xyzxyz) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.
4
xx ve yy değişkenlerini bulma
x=815x = \frac{8}{15} ve y=2710y = \frac{27}{10}
x2yz=x(xyz)=16x^2 y z = x(xyz) = 16 ve y2xz=y(xyz)=81y^2 x z = y(xyz) = 81 eşitliklerinde xyz=30xyz = 30 değerini yerine yazmak.
5
yx\frac{y}{x} oranını ve logaritma değerini hesaplama
log⁡1,5(yx)=4\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4
yx=8116=(32)4\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 ve 1,5=321,5 = \frac{3}{2} eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Sayfa 1 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin