Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 201Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
cos⁡(3x)⋅cos⁡(2x)+sin⁡(3x)⋅sin⁡(2x)sin⁡(3x)⋅cos⁡(2x)−cos⁡(3x)⋅sin⁡(2x)\frac{\cos(3x) \cdot \cos(2x) + \sin(3x) \cdot \sin(2x)}{\sin(3x) \cdot \cos(2x) - \cos(3x) \cdot \sin(2x)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); cot x; \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı cos⁡(3x)cos⁡(2x)+sin⁡(3x)sin⁡(2x)\cos(3x)\cos(2x) + \sin(3x)\sin(2x) kosinüsün fark formülü açılımıdır ve cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x-2x) = \cos(x) değerine eşittir. Paydası ise sin⁡(3x)cos⁡(2x)−cos⁡(3x)sin⁡(2x)\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) sinüsün fark formülü açılımıdır ve sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x-2x) = \sin(x) değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} olup kotanjant tanımı gereği cot⁡(x)\cot(x) ifadesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeye kosinüs fark formülünü uygulayınız.
cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x - 2x) = \cos(x) elde edilir.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) toplam-fark özdeşliği kullanılır.
2
Payda kısmındaki ifadeye sinüs fark formülünü uygulayınız.
sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x - 2x) = \sin(x) elde edilir.
sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)=sin⁡(A−B)\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) = \sin(A-B) toplam-fark özdeşliği kullan��lır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini birbirine oranlayarak sadeleştiriniz.
cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun sinüs fonksiyonuna oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri
Soru 202Soru →
arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3)\arctan(x) + \arctan(x + 1) = \arctan(3)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı için 3x3x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 13\frac{1}{3} olup, bu değerin 33 katı 11'dir.
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıp toplam formülü uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Bu denklemin düzenlenmesiyle oluşan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde x = 1/3 ve x = -2 değerleri bulunur. Ancak arctan fonksiyonunun değer kümesi (-\pi/2, \pi/2) olduğundan, iki negatif terimin toplamı pozitif olan \arctan(3) değerine eşit olamaz. Bu sebeple x = -2 kökü elenir ve geriye yalnızca x = 1/3 kalır. Bu değerin 3 katı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanjantını almak
tan⁡(arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1))=tan⁡(arctan⁡(3))=3\tan(\arctan(x) + \arctan(x+1)) = \tan(\arctan(3)) = 3
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürmek amacıyla eşitliğin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanır.
2
Tanjant toplam formülünü uygulamak
x+(x+1)1−x(x+1)=3\frac{x + (x+1)}{1 - x(x+1)} = 3
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} toplam formülü ve tan⁡(arctan⁡(u))=u\tan(\arctan(u)) = u özdeşliği kullanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden denkleme dönüştürmek
3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak payda sıfırdan farklı kabulüyle cebirsel ifade sadeleştirilir.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak ve kökleri bulmak
(3x−1)(x+2)=0  ⟹  x=13 veya x=−2(3x-1)(x+2) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ veya } x = -2
Denklemin sıfır noktalarını (köklerini) belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan köklerin ters tanjant fonksiyonunun tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek
x=13x = \frac{1}{3} denklemi sağlar, x=−2x = -2 denklemi sağlamaz.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) olduğundan, x=−2x = -2 için sol taraftaki her iki terim de negatif açılar üretir ve toplamları negatif olur. Ancak sağ taraftaki arctan⁡(3)\arctan(3) değeri pozitiftir. Bu nedenle x=−2x = -2 kökü elenir.
6
İstenen 3x3x değerini hesaplamak
3x=13x = 1
Bulunan geçerli x=1/3x = 1/3 kökünün 33 katı alınır.

Anahtar Kavram

Ters tanjant fonksiyonunun değer kümeleri ile tanjant toplam formülünün uygulanması
Soru 203Soru →
θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Tanjant yarım açı formülü kullanılarak elde edilen değer 0,75'tir.
Verilen açının tanjant değeri yarım açı formülünde yerine yazıldığında, elde edilen rasyonel ifadenin sadeleştirilmesiyle sonuç 3/4 yani ondalık olarak 0,75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant yarım açı formülü yazılır.
tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
İki kat açının tanjant değerini tek kat açı cinsinden hesaplamak için bu formül gereklidir.
2
Verilen tanjant değeri formülde yerine konur.
tan⁡(2θ)=2⋅131−(13)2\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
Verilen bilginin sayısal karşılığını kullanarak sonuca ulaşmak hedeflenir.
3
Rasyonel sayılarda işlemler ve sadeleştirmeler tamamlanır.
tan⁡(2θ)=2389=0,75\tan(2\theta) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = 0,75
Pay ve payda kısımlarındaki işlemler yapılarak nihai oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunda yarım açı (iki kat açı) formülünün doğrudan uygulanması.
Soru 204Soru →
A=cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘A = \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ olduğuna göre, 64⋅A64 \cdot A ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen sonuç 4'tür.
Verilen ifade sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpılıp bölündüğünde ve cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ dönüşümü yapıldığında, sinüsün yarım açı formülü ardışık olarak uygulanarak pay kısmında 116sin⁡24∘\frac{1}{16}\sin 24^\circ elde edilir. Paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleşen ifade A=116A = \frac{1}{16} değerini verir. Buradan 64⋅A=464 \cdot A = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpıp bölerek yarım açı formülü uygulanabilir hale getirmek.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ}{\sin 24^\circ}
Zincirleme yarım açı formülü uygulaması için ilk terimi oluşturmak.
2
cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ özdeşliğini kullanarak açı dizilimini iki katı olacak şekilde tamamlamak.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡192∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 192^\circ}{\sin 24^\circ}
cos⁡192∘\cos 192^\circ ve cos⁡168∘\cos 168^\circ değerlerinin her ikisi de −cos⁡12∘-\cos 12^\circ değerine eşit olduğundan zinciri bozmadan iki katı kuralını sürdürmek.
3
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x yarım açı formülünü pay kısmına sırayla uygulamak.
sin⁡24∘cos⁡24∘=12sin⁡48∘\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{2}\sin 48^\circ
12sin⁡48∘cos⁡48∘=14sin⁡96∘\frac{1}{2}\sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{4}\sin 96^\circ
14sin⁡96∘cos⁡96∘=18sin⁡192∘\frac{1}{4}\sin 96^\circ \cos 96^\circ = \frac{1}{8}\sin 192^\circ
18sin⁡192∘cos⁡192∘=116sin⁡384∘\frac{1}{8}\sin 192^\circ \cos 192^\circ = \frac{1}{16}\sin 384^\circ
Pay kısmındaki kosinüs çarpımlarını tek bir sinüs terimine indirgemek.
4
sin⁡384∘\sin 384^\circ açısının esas ölçüsünü bularak paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleştirmek.
sin⁡384∘=sin⁡(360∘+24∘)=sin⁡24∘\sin 384^\circ = \sin(360^\circ + 24^\circ) = \sin 24^\circ
A=116sin⁡24∘sin⁡24∘=116A = \frac{\frac{1}{16}\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \frac{1}{16}
AA değerini rasyonel bir sayıya dönüştürmek.
5
64⋅A64 \cdot A ifadesini hesaplamak.
64⋅A=64⋅116=464 \cdot A = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4
Soruda istenen nihai çarpım değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs yarım açı formülünün (sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x) ardışık kosinüs çarpımlarında zincirleme kullanımı ve indirgeme formülleri.
Soru 205Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ifadesinde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazıldığında elde edilen 35\frac{3}{5} değeridir.
Doğru yanıt olan 35\frac{3}{5} ifadesi, cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x formülünde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazılarak 1−2(15)=351 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü belirleyin.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sinüs değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değerini formülde yerine yazın.
cos⁡(2x)=1−2(15)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2
İfadenin sayısal değerini hesaplamak için yerine koyma işlemi yapılır.
3
Gerekli aritmetik işlemleri tamamlayın.
cos⁡(2x)=1−2(15)=1−25=35\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bulun.

Anahtar Kavram

Kosinüsün sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü (1−2sin⁡2x1 - 2\sin^2 x) kullanarak açı küçültme ve hesaplama yapma.
Tahmini Süre:45s
Soru 206Soru →
arcsin⁡(x)−arccos⁡(x)=arcsin⁡(3x−2)\arcsin(x) - \arccos(x) = \arcsin(3x - 2) olduğuna göre, bu denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan gerçel sayı kökü 0.5'tir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen kökler x = 1 ve x = 0.5 olup, tam sayı olmayan kök 0.5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik özdeşliğin uygulanması
\arccos(x) yerine \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) yazılması
Denklemi tek bir ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek amacıyla \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} özdeşliği kullanılır.
2
Denklemin düzenlenmesi
2\arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = \arcsin(3x - 2)
Denklemi sadeleştirip her iki tarafın sinüsünü alabilmek için düzenleme yapılır.
3
Değişken dönüşümü ve sinüs fonksiyonunun uygulanması
−cos⁡(2α)=3x−2-\cos(2\alpha) = 3x - 2
\arcsin(x) = \alpha dönüşümüyle \sin(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2 elde edilir ve \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) indirgemesi uygulanır.
4
Yarım açı formülü ile cebirsel denklemin elde edilmesi
2x^2 - 3x + 1 = 0
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) = 1 - 2x^2 yarım açı formülü yerine yazılıp denklem düzenlenir.
5
Denkleminin çözülmesi ve uygun kökün seçilmesi
x = 0.5
İkinci dereceden denklemin kökleri x = 1 ve x = 0.5'tir. Soruda tam sayı olmayan gerçel kök istendiği için x = 0.5 alınır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ve Denklemleri
Soru 207Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(15π2+x)+cos⁡(1260∘−x)tan⁡(810∘+x)+cot⁡(7π−x)\frac{\sin\left(\frac{15\pi}{2} + x\right) + \cos(1260^\circ - x)}{\tan(810^\circ + x) + \cot(7\pi - x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin⁡x\sin x

Cevap

sin⁡x\sin x
Verilen ifadedeki tüm açıların esas ölçüleri bulunduğunda; 15π/215\pi/2 açısı 3π/23\pi/2 radyana, 1260∘1260^\circ açısı 180∘180^\circ ye, 810∘810^\circ açısı 90∘90^\circ ye ve 7π7\pi açısı π\pi radyana denk gelir. Bu açılara göre indirgeme yapıldığında paydaki terimler sırasıyla −cos⁡x-\cos x ve −cos⁡x-\cos x olarak sadeleşir ve toplamları −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki terimler ise sırasıyla −cot⁡x-\cot x ve −cot⁡x-\cot x olur ve toplamları −2cot⁡x-2\cot x yapar. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡x\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadelerdeki büyük açıların esas ölçülerini radyan ve derece cinsinden belirleme
15π2=6π+3π2≡3π2(mod2π)\frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}
1260∘=3⋅360∘+180∘≡180∘(mod360∘)1260^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 180^\circ \equiv 180^\circ \pmod{360^\circ}
810∘=2⋅360∘+90∘≡90∘(mod360∘)810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ \equiv 90^\circ \pmod{360^\circ}
7π=6π+π≡π(mod2π)7\pi = 6\pi + \pi \equiv \pi \pmod{2\pi}
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların 00 ile 2π2\pi (veya 0∘0^\circ ile 360∘360^\circ) aralığındaki esas öl��ülerini bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüleri yerlerine yazarak trigonometrik fonksiyonları bölgelerine göre indirgeme
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x
tan⁡(90∘+x)=−cot⁡x\tan(90^\circ + x) = -\cot x
cot⁡(π−x)=−cot⁡x\cot(\pi - x) = -\cot x
Her bir ifadenin yer aldığı bölgedeki işaretini belirlemek ve açı eksenine göre (x veya y ekseni) fonksiyon adının değişip değişmeyeceğine karar vermek gerekir.
3
Bulunan indirgenmiş değerleri ana kesir ifadesinde yerine koyarak sadeleştirme yapma
Pay: (−cos⁡x)+(−cos⁡x)=−2cos⁡x(-\cos x) + (-\cos x) = -2\cos x
Payda: (−cot⁡x)+(−cot⁡x)=−2cot⁡x(-\cot x) + (-\cot x) = -2\cot x
Kesir: −2cos⁡x−2cot⁡x=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡x\frac{-2\cos x}{-2\cot x} = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x
Elde edilen indirgenmiş terimleri toplayıp oranlayarak ifadenin en sade halini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenmesi (isim ve işaret değişimi kuralları)
Soru 208Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1−sin⁡(2x)=3\frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3

olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

Doğru cevap −0.28-0.28 (veya −725-\frac{7}{25}) olmalıdır.
Verilen rasyonel trigonometrik denklem sadeleştirildiğinde tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 eşitliği elde edilir. Bu değer yardımıyla iki kez yarım açı formülü uygulanarak sırasıyla cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 ve cos⁡(4x)=−0.28\cos(4x) = -0.28 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleriyle düzenleyin.
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) ve 1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Denklemi sadeleştirmek ve sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki ilişkiyi bulmak için bu özdeşliklerin kullanılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak sadeleştirin ve tan⁡x\tan x değerini bulun.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)2=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡x=3cos⁡x−3sin⁡x  ⟹  4sin⁡x=2cos⁡x  ⟹  tan⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} = 3 \implies \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = 3 \implies \cos x + \sin x = 3\cos x - 3\sin x \implies 4\sin x = 2\cos x \implies \tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında ve denklemin sonucu pozitif olduğundan cos⁡x−sin⁡x>0\cos x - \sin x > 0 olup sadeleştirme yapılması uygundur.
3
tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/41+1/4=35=0.6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3}{5} = 0.6 elde edilir.
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yapabilmek için öncelikle cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin bulunması gerekmektedir.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak kosinüsün yarım açı formülüyle cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayın.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(0.6)2−1=0.72−1=−0.28\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(0.6)^2 - 1 = 0.72 - 1 = -0.28 bulunur.
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 çift kat açı formülüyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formülleri ve özdeşliklerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 209Soru →
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x)

eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel sayı 1/2 (veya 0,5) değeridir.
Denklem düzenlenip her iki tarafın tanjantı alındığında 2x/(2−x2)=2x/(1+3x2)2x/(2-x^2) = 2x/(1+3x^2) eşitliği elde edilir. Buradan 2x=02x = 0 veya 2−x2=1+3x22-x^2 = 1+3x^2 olmalıdır. Pozitif kök arandığından x2=1/4x^2 = 1/4 eşitliğinden x=1/2x = 1/2 (veya 0,5) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri gruplandırma ve düzenleme
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)−arctan⁡(x)\arctan(x-1) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) - \arctan(x)
Tanjant toplam ve fark formüllerini her iki tarafa uygulayarak sade bir cebirsel denklem elde etmek hedeflenmiştir.
2
Tanjant toplam-fark formüllerini uygulama
(x−1)+(x+1)1−(x−1)(x+1)=3x−x1+3x2\frac{(x-1) + (x+1)}{1 - (x-1)(x+1)} = \frac{3x - x}{1 + 3x^2}
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınarak ters trigonometrik fonksiyonlardan cebirsel ifadelere geçiş yapılmıştır.
3
Cebirsel eşitliği sadeleştirme ve çözme
2x2−x2=2x1+3x2  ⟹  2x(1+3x2)=2x(2−x2)\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2} \implies 2x(1+3x^2) = 2x(2-x^2)
İçler dışlar çarpımı yapılarak denklemin tüm olası köklerini veren ortak çarpan parantezine alınabilir duruma getirilmiştir.
4
Kökleri bulma ve pozitiflik şartını kontrol etme
2x(4x2−1)=0  ⟹  x=0, x=−12, x=122x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0,\ x = -\frac{1}{2},\ x = \frac{1}{2}
Bulunan kökler arasından sadece pozitif olan gerçel sayı değeri seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyon denklemlerinin tanjant toplam-fark formülleri yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.
Soru 210Soru →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=cos⁡(2x)c = \cos(2x) elde edilir. Bu aralıkta sec⁡x>1\sec x > 1 olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi, cos⁡x\cos x ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi
a=tan⁡x⋅csc⁡2x=tan⁡x⋅∣csc⁡x∣a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x| elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında csc⁡x>0\csc x > 0 olduğundan ifade aynen çıkar: a=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x.
Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.
2
İkinci ifadenin sadeleştirilmesi
b=(cos⁡x−sin⁡x)2+sin⁡x=∣cos⁡x−sin⁡x∣+sin⁡xb = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar: b=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.
3
Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi
c=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡(2x)⋅1=cos⁡(2x)c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x) elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.
4
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) için sec⁡x>1\sec x > 1, cos⁡x<1\cos x < 1 ve cos⁡(2x)<1\cos(2x) < 1 olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan x<2x  ⟹  cos⁡(2x)<cos⁡xx < 2x \implies \cos(2x) < \cos x yazılır. Buradan c<b<ac < b < a sıralamasına ulaşılır.
Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 211Soru →
tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b sayıları,
3x2−5x+1=03x^2 - 5x + 1 = 0
denkleminin kökleridir.
Buna göre,
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1329-\frac{13}{29}

Cevap

İfadenin değeri −1329-\frac{13}{29} olarak bulunur.
Soruda verilen ikinci dereceden denklemden kökler toplamı tan⁡a+tan⁡b=5/3\tan a + \tan b = 5/3 ve kökler çarpımı tan⁡a⋅tan⁡b=1/3\tan a \cdot \tan b = 1/3 olarak elde edilir. Buradan toplam formülü kullanılarak tan⁡(a+b)=5/2\tan(a+b) = 5/2 bulunur. İstenen ikinci dereceden homojen ifade sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 özdeşliğine bölünerek tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden rasyonel bir fonksiyona dönüştürülür ve değer yerine yazıldığında −1329-\frac{13}{29} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini belirleme.
tan⁡a+tan⁡b=53\tan a + \tan b = \frac{5}{3} ve tan⁡a⋅tan⁡b=13\tan a \cdot \tan b = \frac{1}{3}
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a, kökler çarpımı ise c/ac/a formülü ile bulunur.
2
Toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplama.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=5/31−1/3=52\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{5/3}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}
İki açının toplamının tanjant formülü uygulanır.
3
İstenen ifadeyi tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden ifade etme.
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=tan⁡2(a+b)−5tan⁡(a+b)+3tan⁡2(a+b)+1\frac{\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)}{\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b)} = \frac{\tan^2(a+b) - 5\tan(a+b) + 3}{\tan^2(a+b) + 1}
İfadeyi sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 ile bölüp, pay ve paydayı cos⁡2(a+b)\cos^2(a+b) ile sadeleştirerek tanjant cinsinden yazabiliriz.
4
tan⁡(a+b)=52\tan(a+b) = \frac{5}{2} değerini yerine yazarak sonucu bulma.
(5/2)2−5(5/2)+3(5/2)2+1=−1329\frac{(5/2)^2 - 5(5/2) + 3}{(5/2)^2 + 1} = -\frac{13}{29}
Elde edilen rasyonel ifadedeki değişken yerine bulduğumuz tanjant değeri yazılır ve gerekli işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Toplam formülleri ile kök ve katsayı ilişkilerinin bir arada kullanılması ve homojen trigonometrik ifadelerin tanjant cinsinden yazılması.
Soru 212Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a\cos(bx) + c
fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının yy koordinatları sırasıyla 55 ve −1-1'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark π4\frac{\pi}{4} birim olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklemleri kurulur; buradan a=3a = 3 ve c=2c = 2 bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b} birimdir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden b=4b = 4 elde edilir. Sonuç olarak a+b+c=3+4+2=9a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak aa ve cc değerlerini bulunuz.
c=2c = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğundan, cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun maksimum değeri olan 11 için f(x)f(x) en büyük değerini (a+ca + c), minimum değeri olan −1-1 için ise en küçük değerini (−a+c-a + c) alır. a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.
2
Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak bb değerini bulunuz.
b=4b = 4 elde edilir.
cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun periyodu T=2πbT = \frac{2\pi}{b}'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b}'ye eşittir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} olduğundan b=4b = 4 bulunur.
3
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayınız.
3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 bulunur.
Bulunan a=3a = 3, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.
Soru 213Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

1−sin⁡(2x)+cos⁡x=45\sqrt{1 - \sin(2x)} + \cos x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2425\frac{24}{25}

Cevap

sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Verilen x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğu için 1−sin⁡(2x)\sqrt{1 - \sin(2x)} ifadesi sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olarak dışarı çıkar. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −cos⁡x-\cos x ile +cos⁡x+\cos x birbirini götürür ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} elde edilir. Birinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} ise cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} olur. Buradan yarım açı formülüyle sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla tam kare şeklinde yazma
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği elde edilir.
Karekök dışına çıkarabilmek için ifadenin tam kare biçimine getirilmesi gerekir.
2
İfadeyi karekök dışına çıkarma ve açı aralığına göre işaret analizi yapma
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğundan, (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar.
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeler mutlak değerli yazılmalı ve açının bulunduğu bölgedeki büyüklük ilişkisine göre mutlak değerden çıkarılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak sin⁡x\sin x değerini bulma
(sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x=45  ⟹  sin⁡x=45(\sin x - \cos x) + \cos x = \frac{4}{5} \implies \sin x = \frac{4}{5} bulunur.
Denklemin sadeleşmesi sonucunda doğrudan sinüs fonksiyonunun değeri elde edilir.
4
Kosinüs değerini hesaplama ve sinüs yarım açı formülünü uygulama
Birinci bölgede cos⁡x=1−sin⁡2x=1−1625=35\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5} olur. Buradan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerine ulaşmak için sinüsün iki kat açı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin sadeleştirilmesi ve değer hesabı
Soru 214Soru →
arcsin⁡(sin⁡(4π3))+arccos⁡(cos⁡(−π6))+arctan⁡(tan⁡(7π4))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) + \arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + \arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5π12-\frac{5\pi}{12}

Cevap

−5π12-\frac{5\pi}{12}
Doğru cevap, her bir fonksiyonun esas değer aralığındaki karşılıkları doğru hesaplandığında elde edilen değerdir. İlk terim olan arksinüs ifadesinin karşılığı üçüncü bölgedeki sinüsün negatifliği ve fonksiyonun değer aralığı gözetilerek −π3-\frac{\pi}{3} olarak bulunur. İkinci terim olan arkkosinüs ifadesi için kosinüsün çift fonksiyon olması ve arkkosinüsün değer aralığının pozitif olmasından dolayı π6\frac{\pi}{6} elde edilir. Üçüncü terim olan arctanjant ifadesi ise dördüncü bölgedeki negatiflik nedeniyle −π4-\frac{\pi}{4} değerini alır. Bu üç değerin toplamı −5π12-\frac{5\pi}{12} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan arcsin⁡(sin⁡(4π3))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π3-\frac{\pi}{3}
sin⁡(4π3)=−sin⁡(π3)=−32\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olur. arcsin⁡(y)\arcsin(y) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığı olduğundan, arcsin⁡(−32)=−π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} olarak bulunur.
2
İkinci terim olan arccos⁡(cos⁡(−π6))\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
π6\frac{\pi}{6}
cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} olur. arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı olduğundan, arccos⁡(32)=π6\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} olarak bulunur.
3
Üçüncü terim olan arctan⁡(tan⁡(7π4))\arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π4-\frac{\pi}{4}
tan⁡(7π4)=−tan⁡(π4)=−1\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 olur. arctan⁡(y)\arctan(y) fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığı olduğundan, arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} olarak bulunur.
4
Bulunan değerleri toplayarak sonucu bulunuz.
−5π12-\frac{5\pi}{12}
−π3+π6−π4=−4π+2π−3π12=−5π12-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi + 2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Sınırları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 215Soru →
tan⁡(55∘)−tan⁡(10∘)1+tan⁡(55∘)⋅tan⁡(10∘)\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11 değeri doğru cevaptır.
Verilen ifade tanjant fark formülünün açılımıdır. Formül uygulandığında tan⁡(55∘−10∘)=tan⁡(45∘)\tan(55^\circ - 10^\circ) = \tan(45^\circ) elde edilir. 4545 derecelik açının tanjantı 11 olduğundan doğru cevap 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant fark formülünü yazalım.
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α⋅tan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}
Soruda verilen ifadenin yapısı iki açının farkının tanjantı formülü ile aynıdır.
2
İfadede α=55∘\alpha = 55^\circ ve β=10∘\beta = 10^\circ değerlerini yerleştirelim.
tan⁡(55∘)−tan⁡(10∘)1+tan⁡(55∘)⋅tan⁡(10∘)=tan⁡(55∘−10∘)\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)} = \tan(55^\circ - 10^\circ)
Formülü sadeleştirilmiş biçimde yazarak işlemi kolaylaştırmak.
3
Açıların farkını alalım.
tan⁡(45∘)\tan(45^\circ)
55∘−10∘=45∘55^\circ - 10^\circ = 45^\circ olduğundan dolayı.
4
Trigonometrik değeri hesaplayalım.
11
45∘45^\circ açısının tanjant değeri 11 olduğu için.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 216Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x−cot⁡x=−4\tan x - \cot x = -4
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

0.8
Verilen denklemde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) ve payda kısmında sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} elde edilir. Buradan denklem −2cot⁡(2x)=−4-2\cot(2x) = -4 halini alır ve cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2 bulunur. Çarpmaya göre tersi alınarak tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5 değerine ulaşılır. Son adımda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} formülü uygulandığında sonuç 0.80.8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlenir.
sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=−4\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = -4
İfadeyi yarım açı formülleriyle sadeleştirebilmek için temel trigonometrik fonksiyonlara dönüşt��rmek gerekir.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri yerlerine yazılır.
cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2
Elde edilen kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik oran cinsinden yazıp sadeleştirmek hedeflenir.
3
Kotanjant oranından yararlanarak tanjant oranı belirlenir.
tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5
Sonraki adımda sinüs iki kat açı formülünü tanjant cinsinden daha hızlı uygulayabilmek için bu değer hesaplanır.
4
Tanjant değeri bilinen 2x2x açısının iki katı olan 4x4x açısının sinüs değeri formül yardımıyla bulunur.
sin⁡(4x)=0.8\sin(4x) = 0.8
İstenen sin⁡(4x)\sin(4x) değerine doğrudan ulaşmak için yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant farkının yarım açı formülleri ile sadeleştirilmesi ve iki kat açının sinüs değerinin bulunması.
Soru 217Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)−sin⁡(x)=35\sqrt{1 - \sin(2x)} - \sin(x) = \frac{3}{5}

olduğuna g��re, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2425-\frac{24}{25}

Cevap

−2425-\frac{24}{25}
İkinci bölgedeki işaret kurallarına uyularak karekök dışına çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri yarım açı formülünde yerine yazıldığında −2425-\frac{24}{25} değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ifadenin tam kare açılımı şeklinde yazılması
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği kullanılarak 1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kök içini tam kareye dönüştürürüz.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre mutlak değer işaretinin belirlenmesi
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x farkı pozitif bir değerdir. Bu nedenle ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak dışarı çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi açının bulunduğu bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerine bağlıdır.
3
Denklemin çözülerek cos⁡x\cos x değerinin bulunması
Bulunan ifade denklemde yerine yazıldığında, (sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=35⇒−cos⁡x=35⇒cos⁡x=−35(\sin x - \cos x) - \sin x = \frac{3}{5} \Rightarrow -\cos x = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{5} elde edilir.
Denklemdeki sinüs terimleri birbirini sadeleştirir ve kosinüsün değerine doğrudan ulaşmamızı sağlar.
4
sin⁡x\sin x değerinin hesaplanması
xx açısı ikinci bölgede olduğundan sin⁡x>0\sin x > 0 olmalıdır. sin⁡x=1−cos⁡2x=1−(−35)2=1625=45\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} bulunur.
Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamının 11 olması kuralı kullanılarak sinüs değeri elde edilir.
5
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünün uygulanması
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x formülünde elde edilen değerler yerine konulursa, sin⁡(2x)=2⋅45⋅(−35)=−2425\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının sinüs değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini kullanarak yarım açı formülleriyle sin(2x) değerinin bulunması

Alternatif Yöntem

cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri bulunduktan sonra sin⁡x−cos⁡x=75\sin x - \cos x = \frac{7}{5} olduğu görülür. Bu ifadenin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=4925⇒1−sin⁡(2x)=4925\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{49}{25} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{49}{25} olur. Buradan sin⁡(2x)=1−4925=−2425\sin(2x) = 1 - \frac{49}{25} = -\frac{24}{25} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 218Soru →

Bir ABCABC dar açılı üçgeninde tan⁡(A^)\tan(\widehat{A}), tan⁡(B^)\tan(\widehat{B}) ve tan⁡(C^)\tan(\widehat{C}) değerleri sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır. Buna göre, cot⁡(C^−A^)\cot(\widehat{C} - \widehat{A}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ardışık pozitif tam sayı tanjant değerlerine sahip dar açılı üçgenin açıları için tan⁡A=1\tan A = 1, tan⁡B=2\tan B = 2 ve tan⁡C=3\tan C = 3 bulunur. Buradan fark formülüyle hesaplanan tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 değerinin çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.
Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğundan tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C bağıntısı sağlanır. Bu bağıntıyı sağlayan ardışık pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olarak belirlenir. Buradan fark formülü yardımıyla tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 hesaplanır ve çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının tanjantları arasındaki bağıntıyı kurma
tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C
A+B+C=πA+B+C = \pi olduğundan tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A+B) = -\tan C eşitliği açıldığında bu temel özdeşlik elde edilir.
2
Ardışık pozitif tam sayı kabulüyle denklem oluşturma
3(x+1)=x(x+1)(x+2)3(x+1) = x(x+1)(x+2)
tan⁡A=x\tan A = x, tan⁡B=x+1\tan B = x+1 ve tan⁡C=x+2\tan C = x+2 değerleri toplam ve çarpım bağıntısında yerine yazılır.
3
Denklemi çözerek tanjant değerlerini belirleme
tan⁡A=1\tan A = 1 ve tan⁡C=3\tan C = 3
x+1x+1 terimleri sadeleştirildiğinde x2+2x−3=0x^2+2x-3=0 elde edilir; pozitif kök x=1x=1 olup sırasıyla tanjant değerleri 1,2,31, 2, 3 bulunur.
4
Tanjant fark formülünü uygulama
tan⁡(C−A)=12\tan(C-A) = \frac{1}{2}
tan⁡(C−A)=tan⁡C−tan⁡A1+tan⁡C⋅tan⁡A=3−11+3⋅1\tan(C-A) = \frac{\tan C - \tan A}{1 + \tan C \cdot \tan A} = \frac{3-1}{1+3 \cdot 1} formülüyle fark açısının tanjantı hesaplanır.
5
Kotanjant değerine geçiş yapma
cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2
cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ilişkisi kullanılarak tanjant değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Üçgenin iç açılarının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiler ve toplam-fark formülleri
Soru 219Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde birinci bölgede bir AA noktası ve ikinci bölgede bir BB noktası yer almaktadır. [OA][OA] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta ve [OB][OB] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı 90∘+θ90^\circ + \theta'dır. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) olmak üzere, AA ve BB noktalarının yy-eksenine olan uzaklıkları toplamı 75\frac{7}{5} birimdir. Buna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

0.6 (veya 3/5)
Birim çember üzerindeki A ve B noktalarının y-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla |cos θ| ve |-sin θ| değerleridir. Birinci ve ikinci bölgelerde bu değerler cos θ ve sin θ olup toplamları 7/5'tir. Bu toplamın karesi alınarak sin θ - cos θ farkı 1/5 bulunur ve buradan taraf tarafa işlemle cos θ = 0.6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktalarının koordinatlarını birim çember üzerindeki açılarına göre belirleme.
A(cos⁡θ,sin⁡θ)A(\cos\theta, \sin\theta) ve B(−sin⁡θ,cos⁡θ)B(-\sin\theta, \cos\theta)
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, orijinle birleştiren doğrunun pozitif x-ekseniyle yaptığı açının kosinüsü ve sinüsüdür. B noktası için cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta ve sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta dönüşümleri kullanılır.
2
Noktaların y-eksenine olan uzaklıklarını mutlak değer cinsinden yazma ve toplama.
dA+dB=cos⁡θ+sin⁡θ=75d_A + d_B = \cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı apsisinin mutlak değeridir. Birinci bölgede cos⁡θ>0\cos\theta > 0 ve θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) için ikinci bölgedeki apsis negatif (−sin⁡θ<0-\sin\theta < 0) olduğundan mutlak değeri sin⁡θ\sin\theta olur.
3
Toplam ifadesinin karesini alarak çarpım terimini elde etme.
2sin⁡θcos⁡θ=24252\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25}
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta özdeşliği kullanılır.
4
Fark ifadesinin karesini yazarak fark değerini bulma.
sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5}
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−2425=125(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} olur. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) aralığında sin⁡θ>cos⁡θ\sin\theta > \cos\theta olduğundan fark pozitiftir.
5
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kosinüs değerine ulaşma.
cos⁡θ=35=0.6\cos\theta = \frac{3}{5} = 0.6
sin⁡θ+cos⁡θ=75\sin\theta + \cos\theta = \frac{7}{5} ve sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5} denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında 2cos⁡θ=652\cos\theta = \frac{6}{5} elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve trigonometrik oranların indirgeme formülleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 220Soru →

sin⁡(2x)=cos⁡(x)\sin(2x) = \cos(x) denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kök sayısı 3'tür.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığında cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 eşitliğini sağlayan x=π2x = \frac{\pi}{2} olmak üzere 1 kökü ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} eşitliğini sağlayan x=π6x = \frac{\pi}{6} ile x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 2 kökü vardır. Bu köklerin hepsi birbirinden farklı olup toplam kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü uygulanır.
2sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)
Sinüs yarım açı özdeşliği olan sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) eşitliği kullanılarak denklem düzenlenir.
2
İfade çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0
Sadeleştirme nedeniyle kök kaybetmemek için tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak paranteze alınır.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek basit denklemler kurulur.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya 2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=122\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
[0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=12  ⟹  x=π6,5π6\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
Fonksiyonların [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri incelenerek uygun açı değerleri belirlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
ÖncekiSayfa 11 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 11 | Examkin