Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 10

Soru 181Soru →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

a = \sin x \cdot \cos x

b = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x

c = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanış�� aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

c < a < b

b < c < a

b < a < c

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < b < a$

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.

Sıralamada a değeri iki negatif değerin çarpımı olduğu için kesinlikle pozitif olup en büyüktür. b değeri sadeleştirildiğinde kosinüs değerine eşit olup negatiftir. c değeri ise sinüs ile kosinüsün iki katının toplamına eşit olup yine negatiftir. İki negatif değer karşılaştırıldığında, sinüs ve kosinüsün toplamı negatif olduğundan c değeri b değerinden daha küçüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel trigonometrik işaretleri belirleme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede hem sinüs hem de kosinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir:

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

. Ayrıca bu aralıkta açının büyüklüğünden dolayı

\sin x < \cos x < 0

eşitsizliği geçerlidir.

İfadelerin sadeleştirilmesinde mutlak değerlerin dışarıya nasıl çıkacağını ve işaretlerini belirlemek için bölge analizi şarttır.

2

a ifadesinin işaretini belirleme

a = \sin x \cdot \cos x

ifadesinde iki negatif değerin çarpımı pozitif bir sonuç verir. Dolayısıyla

a > 0

olur.

Çarpım durumundaki ifadelerin işaret kuralını uygulayarak a değerinin pozitif olduğunu buluruz.

3

b ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

özdeşliği kullanılır.
Kök dışına çıkarma işlemi yapılırsa:

\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = | \sin x - \cos x |

Üçüncü bölgedeki bu aralıkta

\sin x < \cos x

olduğundan, mutlak değerin içi negatiftir. Dışarıya işaret değiştirerek çıkar:

| \sin x - \cos x | = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x

İfade yerine yazıldığında:

b = (\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x

elde edilir.
Kosinüs üçüncü bölgede negatif olduğundan

b < 0

olur.

Karekök içerisindeki tam kare ifadeyi mutlak değer dışına bölge kurallarına uygun olarak çıkarıp b değerini sadeleştirmek gerekir.

4

c ifadesini iki küp toplamı açılımı ile sadeleştirme

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

özdeşliği pay kısmına uygulanır.
Buna göre c ifadesi:

c = \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

Pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilirse:

c = \sin x + \cos x + \cos x = \sin x + 2\cos x

elde edilir.
Her iki terim de negatif olduğundan

c < 0

olur.

Küp açılımını kullanarak c ifadesini rasyonel formdan kurtarıp en sade haline getirmek gerekir.

5

Elde edilen a, b ve c değerlerini karşılaştırarak sıralama

a > 0

,

b < 0

ve

c < 0

olduğundan a en büyük değerdir.
Negatif olan b ve c değerlerini kıyaslamak için farklarına bakalım:

c - b = (\sin x + 2\cos x) - \cos x = \sin x + \cos x

Her iki değer de negatif olduğundan toplamları da negatiftir:

c - b < 0 \implies c < b

olur.
Bu durumda sıralama

c < b < a

şeklinde gerçekleşir.

Pozitif ve negatif olan değerleri kendi aralarında kıyaslayarak kesin sıralamayı elde ederiz.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgede trigonometrik fonksiyonların işaret ve büyüklük sıralaması ile temel özdeşliklerin (tam kare ve iki küp toplamı) uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 182Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)

olmak üzere,

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\cos(2x)} = 3\tan(2x)

olduğuna göre,

13\sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12 olarak bulunur.

Verilen aralıkta kosinüs değerleri pozitif olduğundan, kareköklü ifadeler mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sadeleştirmeler sonucunda

\tan(2x) = 2/3

bulunur. Sinüsün yarım açı formülü kullanılarak

\sin(4x) = 12/13

elde edilir ve buradan

13\sin(4x) = 12

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

En içteki kareköklü ifadeyi yarım açı formülü kullanarak basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(8x)} = 2\cos(4x)

1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta

özdeşliği ve

x \in (0, \pi/8)

için

4x \in (0, \pi/2)

olduğundan

\cos(4x) > 0

olması.

2

Dıştaki kareköklü ifadeyi basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(4x)} = 2\cos(2x)

1 + \cos(4x) = 2\cos^2(2x)

özdeşliği ve

2x \in (0, \pi/4)

aralığında

\cos(2x) > 0

olması.

3

Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazarak

\tan(2x)

değerini bulma

\tan(2x) = \frac{2}{3}

\cos(2x) \neq 0

olduğundan pay ve paydadaki

\cos(2x)

terimlerinin sadeleşmesi.

4

\sin(4x)

değerini yarım açı formülüyle

\tan(2x)

cinsinden hesaplama

\sin(4x) = \frac{12}{13}

\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}

formülünde

\theta = 2x

yazılması.

5

13\sin(4x)

değerini hesaplama

12

13 \cdot \frac{12}{13} = 12

işleminin yapılması.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri ile kareköklü ifadelerin sadeleştirilmesi ve sinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.

Soru 183Soru →

Tanımlı olduğu

x

değerleri için,

\frac{2\left(\sin(3x)\cos^3 x + \cos(3x)\sin^3 x\right)}{3\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin(2x); \sin(2x); sin2x; \sin2x; sin(2*x); \sin(2*x)

Cevap

\sin(2x)

Verilen ifade toplam-fark ve iki kat açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde pay kısmı

3\sin(2x)\cos(2x)

değerine, payda kısmı ise iki kare farkı açılımından

3\cos(2x)

değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise

\sin(2x)

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki ifadeyi düzenlemek için

\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x

ve

\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x

özdeşliklerini yazalım.

Pay:

2\left(\sin(3x)\cos x \cdot \cos^2 x + \cos(3x)\sin x \cdot \sin^2 x\right)

İfadeyi toplam-fark ve yarım açı formüllerini uygulayabileceğimiz bir formata dönüştürmek.

2

\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}

ve

\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}

yarım açı formüllerini paydaki ifadede yerine yazalım.

Pay:

2\left(\sin(3x)\cos x \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) + \cos(3x)\sin x \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)\right)

Dereceleri düşürerek toplam-fark formüllerini uygulayacak terimler elde etmek.

3

Dışarıdaki

2

katsayısını dağıtarak paydadaki

2

değerlerini sadeleştirelim ve ifadeyi açalım.

Pay:

\left(\sin(3x)\cos x + \cos(3x)\sin x\right) + \cos(2x)\left(\sin(3x)\cos x - \cos(3x)\sin x\right)

İfadeyi gruplandırarak toplam ve fark formüllerine uygun hale getirmek.

4

Sinüs toplam ve fark formüllerini (

\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

) uygulayalım.

Pay:

\sin(3x+x) + \cos(2x)\sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)\cos(2x)

Trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanarak açıları sadeleştirmek.

5

\sin(4x)

ifadesine iki kat açı formülünü (

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

) uygulayalım ve payı toplayalım.

Pay:

2\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\sin(2x)\cos(2x)

Pay kısmını tek bir çarpım ifadesi halinde yazmak.

6

Paydadaki

3(\cos^4 x - \sin^4 x)

ifadesini iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.

Payda:

3(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)

Paydadaki yüksek dereceli terimleri sadeleştirmek.

7

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

ve

\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

iki kat açı özdeşliklerini paydada yerine yazalım.

Payda:

3\cos(2x)

Paydayı en sade biçimine getirmek.

8

Bulduğumuz pay ifadesini payda ifadesine oranlayarak sadeleştirmeyi tamamlayalım.

Oran:

\frac{3\sin(2x)\cos(2x)}{3\cos(2x)} = \sin(2x)

En sade sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Toplam-fark formülleri, iki kat açı formülleri ve çarpanlara ayırma özdeşliklerinin bir arada kullanılarak karmaşık trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, pay kısmında yer alan

\sin(3x)

ve

\cos(3x)

ifadeleri için sırasıyla

\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x

ve

\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x

üç kat açı açılımları doğrudan yerine yazılabilir. Bu durumda pay:

2\left((3\sin x - 4\sin^3 x)\cos^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\sin^3 x\right)

= 2\left(3\sin x\cos^3 x - 4\sin^3 x\cos^3 x + 4\cos^3 x\sin^3 x - 3\sin^3 x\cos x\right)

= 6\sin x\cos^3 x - 6\sin^3 x\cos x

= 6\sin x\cos x(\cos^2 x - \sin^2 x)

= 3\sin(2x)\cos(2x)

olarak çok daha hızlı bir şekilde sadeleşir. Payda ise

3\cos(2x)

olduğundan oran doğrudan

\sin(2x)

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 184Soru →

$x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

\cos(2x) = \frac{7}{25}

olduğuna göre, $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-3

-\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

3

-\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İstenen değer -3 olarak bulunur.

Verilen aralıkta kosinüsün yarım açı formülü kullanılarak

\cos x = -\frac{4}{5}

ve buna bağlı olarak

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

formülü uygulandığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığına göre,

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

yarım açı formülünü kullanarak

\cos x

değerini bulmak.

\frac{7}{25} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{32}{25} \implies \cos^2 x = \frac{16}{25}

elde edilir.

x

açısı 3. bölgede olduğundan

\cos x

değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla

\cos x = -\frac{4}{5}

olur.

x

açısının trigonometrik oranlarını bularak yarım açı formülüne hazırlık yapmak.

2

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliğini kullanarak

\sin x

değerini hesaplamak.

\sin^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

olur.

x

açısı 3. bölgede olduğundan

\sin x

değeri de negatif olmalıdır. Buradan

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

değerini veren formülde kullanmak üzere sinüs değerini elde etmek.

3

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = -3

bulunur.

Yarım açı formülü ile doğrudan sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının yarım açı formülleri ile açıların bölgelerine göre işaret tayini.

Alternatif Yöntem

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}

bulunur.

\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1 - \tan^2(x/2)}

formülünde

\tan(x/2) = t

denirse,

\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4} \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t-1)(t+3) = 0

denkleminden

t = \frac{1}{3}

veya

t = -3

elde edilir.

\frac{x}{2}

açısı ikinci bölgede olduğundan tanjant negatif olmalıdır, bu nedenle

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 185Soru →

f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)

olmak üzere,

\tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(20)\big)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

20

\frac{10}{11}

-\frac{11}{10}

\frac{19}{21}

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{10}{11}$

Cevap

Doğru cevap olan 10/11 değeri, teleskopik toplam ve tanjant fark formülünün doğru uygulanması ile elde edilir.

Doğru cevap olan 10/11 değeri, genel terimin fark biçiminde yazılmasıyla elde edilen teleskopik toplamın sonucuna tanjant fark formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terimin paydasındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyin.

\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1) - x}{1 + x(x+1)}

Ters tanjant fark formülüne benzetmek amacıyla ifadeyi bu şekilde düzenliyoruz.

2

\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) = \arctan(a) - \arctan(b)

özdeşliğini genel terime uygulayın.

f(x) = \arctan(x+1) - \arctan(x)

Fonksiyonu ardışık iki terimin farkı biçiminde yazarak teleskopik toplam elde etmek hedeflenmiştir.

3

x = 1

'den

x = 20

'ye kadar olan terimleri yazarak toplayın.

T = f(1) + f(2) + \dots + f(20) = \arctan(21) - \arctan(1)

Ara terimlerin birbirini sadeleştirmesi sayesinde toplamın sade hali bulunur.

4

\tan(T) = \tan(\arctan(21) - \arctan(1))

ifadesini hesaplamak için tanjant fark formülünü uygulayın.

\tan(T) = \frac{21 - 1}{1 + 21 \cdot 1} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}

\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

formülü kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 186Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir $P(a, b)$ noktası koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. $P$ noktasının $y$ -eksenine olan uzaklığı, $x$ -eksenine olan uzaklığının $3$ katı olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.3

Cevap

İkinci bölgedeki noktanın eksenlere olan uzaklıkları oranından elde edilen koordinat ilişkisi ve birim çember denklemi kullanılarak koordinatların çarpımı -0.3 olarak bulunur.

P(a, b) noktası ikinci bölgede olduğundan a < 0 ve b > 0'dır. Y-eksenine olan uzaklık |a| = -a ve x-eksenine olan uzaklık |b| = b olup aralarındaki ilişki -a = 3b şeklindedir. Birim çember denklemi olan a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde a yerine -3b yazıldığında 10b^2 = 1 ve b^2 = 0.1 bulunur. Buradan a.b = -3b^2 = -0.3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Noktanın işaretlerini belirleme

a < 0

ve

b > 0

P(a, b)

noktası ikinci bölgede yer aldığı için apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.

2

Eksenlere olan uzaklık ilişkisini kurma

a = -3b

Y-eksenine uzaklık

|a|

, x-eksenine uzaklık

|b|

olup

|a| = 3|b|

eşitliğinden

-a = 3b

elde edilir.

3

Birim çember denklemini kullanarak değişkenlerin değerini bulma

b^2 = 0.1

Nokta birim çember üzerinde olduğundan

a^2 + b^2 = 1

eşitliği sağlanmalıdır.

4

Koordinatlar çarpımını hesaplama

a \cdot b = -0.3

a \cdot b = -3b^2

ifadesinde

b^2 = 0.1

yazılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve eksenlere olan uzaklıkları

Soru 187Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(4x) + \sin(4x)}{1 + \cos(4x) + \sin(4x)} = -\frac{24}{7}

olduğuna göre,

\tan x

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

-\frac{3}{4}

-\frac{4}{3}

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3}$

Cevap

Dört bölü ü�� (4/3)

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

\tan 2x = -\frac{24}{7}

bulunur. Tanjant iki kat açı formülü kullanılarak elde edilen

12t^2 - 7t - 12 = 0

denkleminin kökleri

\frac{4}{3}

ve

-\frac{3}{4}

'tür.

x \in (\pi/4, \pi/2)

aralığında

\tan x > 1

olması gerektiğinden doğru değer

\frac{4}{3}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirin.

1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x

ve

1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x

eşitlikleri ile

\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x

özdeşliği yerine yazıldığında pay ifadesi

2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x)

ve payda ifadesi

2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x)

olur. Buradan ifade

\tan 2x

olarak sadeleşir.

Trigonometrik denklemi daha basit bir formda çözebilmek için yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapılması gerekir.

2

Elde edilen

\tan 2x = -\frac{24}{7}

eşitliğini tanjant yarım aç�� formülünde yerine koyun.

\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

formülünde

\tan x = t

yazılarak

\frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{24}{7}

denklemi kurulur.

\tan 2x

değerinden

\tan x

değerine geçiş yapabilmek için tanjantın yarım açı (iki kat açı) formülü kullanılır.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve çözün.

\frac{t}{1 - t^2} = -\frac{12}{7} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına

(4t + 3)(3t - 4) = 0

şeklinde ayrılır. Kökler

t_1 = \frac{4}{3}

ve

t_2 = -\frac{3}{4}

olarak bulunur.

Rasyonel denklemi çözülebilir kılmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem standart formuna getirilir.

4

Açının tanım kümesini kontrol ederek doğru

\tan x

değerini belirleyin.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında tanjant fonksiyonu pozitif değerler alır ve

\tan x > 1

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan kök

t = \frac{4}{3}

'tür.

Trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunurken açının ait olduğu bölge (kadran) işaret ve büyüklük sınırlarını belirler.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin yarım açı formülleriyle sadeleştirilmesi

Soru 188Soru →

Dik koordinat düzleminde,

a > 0

,

b > 0

ve

c \in [0, \pi)

olmak üzere,

f(x) = a \cos(bx + c) + d

fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

3

'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer

5

, en küçük değer ise

-1

'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu

\pi

radyandır.

Buna göre, $f\left(\frac{\pi}{12}\right)$ değeri kaçtır?

\frac{4 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}$

Cevap

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

Fonksiyonun en büyük değeri

a + d = 5

ve en küçük değeri

-a + d = -1

denklemlerinden

a = 3

ve

d = 2

bulunur. Periyodun

\pi

olmasından

b = 2

elde edilir. Grafiğin

y

eksenini kestiği nokta olan

(0, 3)

değeri fonksiyonda yerine yazıldığında

3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3

bulunur.

c \in [0, \pi)

olduğundan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

olur.

f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2

ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (

a

ve

d

) belirleme

a + d = 5

ve

-a + d = -1

denklem sisteminden

d = 2

ve

a = 3

bulunur.

a > 0

olduğu için

\cos(bx+c)

ifadesinin maksimum değeri

1

, minimum değeri

-1

olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.

2

Periyot katsayısını (

b

) belirleme

\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2

bulunur.

Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır ve soruda periyot

\pi

olarak verilmiştir (

b > 0

).

3

Yatay öteleme açısını (

c

) belirleme

f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3}

bulunur. Buradan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

elde edilir.

Grafik

y

eksenini

(0, 3)

noktasında kesmektedir.

c \in [0, \pi)

aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.

4

f(\pi/12)

değerini hesaplama

f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

bulunur.

Kosinüs toplam formülü

\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

kullanılarak

\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.

Soru 189Soru →

Bir $x$ dar açısı için,

\frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) - \sin(7\pi + x)}{\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) + \cos(5\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

\tan(x)

-\cot(x)

-\tan(x)

\cot(x)

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\tan(x)$

Cevap

İfadenin en sade biçimi

-\tan(x)

olarak bulunur.

Verilen ifadede pay kısmındaki

\cos(13\pi/2 - x) = \sin(x)

ve

\sin(7\pi + x) = -\sin(x)

olarak sadeleşir. Buradan pay

\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x)

bulunur. Paydada ise

\sin(x - 9\pi/2) = \sin(3\pi/2 + x) = -\cos(x)

ve

\cos(5\pi - x) = -\cos(x)

olur. Buradan payda

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı olan

\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)}

ifadesi sadeleştiğinde

-\tan(x)

değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1

Paydaki ilk terim olan

\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right)

ifadesini indirgeyelim.

\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

\frac{13\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

radyandır. Birinci bölgede kosinüs pozitif değer alır ve açı

\frac{\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.

2

Paydaki ikinci terim olan

\sin(7\pi + x)

ifadesini indirgeyelim.

\sin(7\pi + x) = -\sin(x)

7\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır. Üçüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı

\pi

cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.

3

Paydadaki ilk terim olan

\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right)

ifadesini indirgeyelim.

\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) = -\cos(x)

Açıya

6\pi

eklenerek esas ölçü bulunur:

x - \frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + x

. Dördüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı

\frac{3\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.

4

Paydadaki ikinci terim olan

\cos(5\pi - x)

ifadesini indirgeyelim.

\cos(5\pi - x) = -\cos(x)

5\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır ve açı

\pi

cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.

5

Elde edilen sonuçları ana kesirde yerine koyup sadeleştirelim.

\frac{\sin(x) - (-\sin(x))}{-\cos(x) + (-\cos(x))} = \frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\tan(x)

Pay kısmında

\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x)

ve paydada

-\cos(x) - \cos(x) = -2\cos(x)

işlemleri yapılır. Sadeleştirme sonucunda oran

-\tan(x)

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri, bölgelere göre işaretleri ve eksen dönüşüm kuralları.

Soru 190Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olup, bu fonksiyonun grafiği $y$ -eksenini $(0, 1)$ noktasında keser.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade doğrudur çünkü

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunun esas periyodu formül gereği

\frac{2\pi}{3}

olup,

x=0

yazıldığında elde edilen

y

-kesim noktası

(0, 1)

koordinatlarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun esas periyodunun hesaplanması

Esas periyot

T = \frac{2\pi}{3}

olarak bulunur.

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunda sinüsün kuvveti

1

(tek) ve

x

'in katsayısı

b=3

'tür. Tek kuvvetli sinüs fonksiyonlarında periyot

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Buradan

T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}

elde edilir.

2

Fonksiyonun

y

-eksenini kestiği noktanın hesaplanması

Grafiğin

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 1)

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun grafiğinin

y

-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda

x = 0

yazılır.

f(0) = 4\sin\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1

olur.

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri yerine yazıldığında

f(0) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1

elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyodu ve grafiğin eksenleri kestiği noktalar.

Soru 191Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x

c = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

c, b, a

şeklindedir.

Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde

a

ifadesinin pozitif,

b

ve

c

ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan

b

ve

c

değerleri karşılaştırıldığında

b > c

olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla

c

,

b

ve

a

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.

a = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x

Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

eşitliği kullanılmıştır.

2

b

ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.

b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x

İkinci bölgenin ikinci yarısında yani

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında

\sin x < -\cos x

olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:

b = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x

Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.

3

c

ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x

olduğundan

c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|}

olur. İkinci bölgede

\cos x < 0

olduğundan

\sec x < 0

dır. Dolayısıyla

|\sec x| = -\sec x

olur:

c = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x

Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.

4

Elde edilen sadeleşmiş

a, b

ve

c

ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında:
-

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan

a = \sin x - \cos x > 0

dır. Hatta

a \in (1, \sqrt{2})

aralığındadır.
-

b

ve

c

ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:

b - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x

Bu aralıkta

\sin x + \cos x < 0

olduğundan,

-\sin x - \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

b - c > 0 \implies b > c

elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama

c < b < a

şeklindedir.

İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi

Soru 192Soru →

\theta = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)

olduğuna göre,

13 \cdot \cos\theta

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.

Ters sinüsün tanımından

\sin\theta = -5/13

elde edilir. Değer aralığı

[-\pi/2, \pi/2]

olduğundan açı dördüncü bölgededir. Dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan

\cos\theta = 12/13

olur. Dolayısıyla

13 \cdot \cos\theta = 12

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters trigonometrik fonksiyon tanımından açının sinüs değerini bulma

\sin\theta = -\frac{5}{13}

ve

\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x

tanımı gereği.

2

Açının değer aralığına göre bölgesini ve kosinüsün işaretini belirleme

\theta

açısı dördüncü bölgededir, dolayısıyla

\cos\theta > 0

olur.

Sinüs değeri negatif ve

\theta \in [-\pi/2, \pi/2]

olduğundan açı dördüncü bölgededir.

3

Kosinüs de��erini hesaplama

\cos\theta = \frac{12}{13}

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

temel trigonometrik özdeşliğinden.

4

Nihai değeri hesaplama

13 \cdot \cos\theta = 12

Bulunan kosinüs değerinin 13 ile çarpılması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla değer hesaplama.

Alternatif Yöntem

Dik kenarları 5 ve 12, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen yardımıyla da doğrudan oran bulunabilir, bölge analiziyle işaret teyit edilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 193Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3

olduğuna göre,

\tan x

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

\cos(2x) = \frac{3}{5}

denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta

\tan x

değeri

0.5

olarak bulunur.

Verilen denklemde pay

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

şeklinde açılıp payda

\sin(2x)

parantezine alındığında,

\sin(2x)

terimleri sadeleşerek

\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

\cos(2x) = 0.6

bulunur.

x \in (0, \pi/4)

aralığı için

\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}

özdeşliği kullanılarak

\tan x = 0.5

değeri tek olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Payda bulunan

\sin(4x)

ifadesine yarım açı formülünü uygulamak

2\sin(2x)\cos(2x)

Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.

2

Paydayı ortak çarpan parantezine almak

\sin(2x)(1 - \cos(2x))

Payda kısmındaki ortak

\sin(2x)

terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.

3

İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak

\cos(2x) = \frac{3}{5}

Pay ve paydadaki

\sin(2x)

terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.

4

Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak

\tan x = 0.5

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

formülü uygulanıp

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.

Soru 194Soru →

Aşağıdaki şekilde $ABCD$ kirişler dörtgeni ve bu dörtgenin bazı kenar uzunlukları verilmiştir.

Buna g��re, $AC$ köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{19}

7

\sqrt{34}

8

\sqrt{129}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AC köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı

180^\circ

olduğundan

\cos(\widehat{ADC}) = -\cos(\widehat{ABC})

olur. Her iki üçgende de Kosinüs Teoremi uygulanıp ortak

AC^2

ifadesi eşitlendiğinde

\cos(\widehat{ABC}) = -1/2

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında

AC^2 = 49

ve

AC = 7

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamının

180^\circ

olduğu özelliğini kullanarak a��ılar arasında ilişki kurma.

m(\widehat{ABC}) = \theta

ise

m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta

olur. Dolayısıyla

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)

eşitliği elde edilir.

Kosinüs teoremini iki farklı üçgende ortak olan

AC

kenarı için uygulayabilmek.

2

ABC

ve

ADC

üçgenlerinde

AC

kenarı için Kosinüs Teoremi formüllerini yazma.

ABC

üçgeninde:

AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta) = 34 - 30\cos(\theta)

ADC

üçgeninde:

AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 89 + 80\cos(\theta)

AC^2

ifadesini iki farklı şekilde ifade ederek

\cos(\theta)

değerini bulmak.

3

Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek

\cos(\theta)

değerini hesaplama.

34 - 30\cos(\theta) = 89 + 80\cos(\theta) \implies 110\cos(\theta) = -55 \implies \cos(\theta) = -1/2

AC^2

değerini bulmak için gerekli olan trigonometrik oranı elde etmek.

4

Bulunan

\cos(\theta) = -1/2

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak

AC

uzunluğunu hesaplama.

AC^2 = 34 - 30 \cdot (-1/2) = 34 + 15 = 49 \implies AC = 7

birim.

İstenen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler (

180^\circ

a tamamlayan) olması ve Kosinüs Teoremi ile indirgeme formüllerinin uygulanması.

Soru 195Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\sin x - \cos x = 0,6

olduğuna göre,

\sin(2x)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.64

Cevap

0,64

\sin x - \cos x = 0,6

eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36

elde edilir.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

ve

2\sin x\cos x = \sin(2x)

özdeşlikleri kullanılarak denklem

1 - \sin(2x) = 0,36

şekline dönüştürülür. Buradan

\sin(2x) = 0,64

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının karesini alma

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36

\sin x \cos x

çarpım terimini ortaya çıkarmak için karesini alma işlemi uygulanır.

2

Temel trigonometrik özdeşliği yerine koyma

1 - 2\sin x\cos x = 0,36

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliği kullanılır.

3

Yarım açı formülünü kullanarak

\sin(2x)

değerini hesaplama

\sin(2x) = 0,64

2\sin x\cos x = \sin(2x)

yarım açı formülü yerine yazılır ve

1 - \sin(2x) = 0,36

denkleminden

\sin(2x) = 0,64

elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü

Soru 196Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = -\frac{3}{4}

olduğuna göre,

\tan(2x)

ifadesinin değeri kaçtır?

-\frac{12}{7}

-\frac{24}{25}

-\frac{24}{7}

\frac{24}{7}

\frac{12}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{24}{7}$

Cevap

-\frac{24}{7}

Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\tan x = -\frac{3}{4}

elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü olan

\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

ifadesinde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç

-\frac{24}{7}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen rasyonel ifadedeki yarım açı formüllerini uygulayarak sadeleştirme yapınız.

1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x

ve

1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x

özdeşliklerini kullanalım. Ayrıca

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

olduğunu biliyoruz. Bu durumda pay:

2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)

olur. Payda ise:

2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)

olur.

İfadeyi daha sade ve çözülebilir bir biçime getirmek için yarım açı formülleriyle terimleri ortak çarpan parantezine almak gerekir.

2

Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirerek

\tan x

değerini bulunuz.

İfade

\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

olarak sadeleşir. Bize bu ifadenin

-\frac{3}{4}

olduğu verildiğinden

\tan x = -\frac{3}{4}

elde edilir.

Pay ve paydadaki

(\sin x + \cos x)

ve

2

terimleri sadeleştiğinde geriye kalan oran tanjant fonksiyonunun tanımını verir.

3

Tanjant fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak

\tan(2x)

değerini hesaplayınız.

\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

formülünde

\tan x = -\frac{3}{4}

değerini yerine yazalım:

\tan(2x) = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7}

bulunur.

\tan x

değeri bilindiğinde, iki kat açı formülüyle doğrudan

\tan(2x)

değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve iki kat açının trigonometrik değerlerinin hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 197Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

olduğuna göre,

\sin(2x)

değeri kaçtır?

\frac{3}{5}

\frac{3}{10}

\frac{3}{20}

-\frac{3}{5}

\frac{9}{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{5}$

Cevap

İfadenin değeri üç bölü beş olarak bulunur.

Sinüs yarım açı özdeşliği olan

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

formülünde, soruda verilen

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

değeri yerine yazıldığında

2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs yarım açı formülünü yazınız.

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

\sin(2x)

ifadesini verilen

\sin x \cdot \cos x

çarpımı cinsinden açmak için bu özdeşlik kullanılır.

2

Verilen

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

değerini formülde yerine koyunuz.

\sin(2x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)

Bilinmeyen ifadeyi sayısal değere dönüştürmek için verilen eşitlik yerleştirilir.

3

Çarpma işlemini tamamlayıp kesri sadeleştiriniz.

\sin(2x) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

En sade rasyonel sonuca ulaşmak için pay ve payda sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Özdeşliği

Tahmini Süre:45s

Soru 198Soru →

Gerçel sayılar kümesinin bir $A$ alt kümesinde tanımlı

f(x) = \sqrt{\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi olan $A$ aşağıdakilerden hangisidir?

[-1, 2]

[2, 3]

[1, 2]

[-1, 3]

[2, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-1, 2]$

Cevap

[-1, 2]

kapalı aralığı

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için ilk olarak arccos fonksiyonunun içinin

[-1, 1]

aralığında kalması gerekir, bu da bize

x \in [-1, 3]

koşulunu verir. İkinci olarak karekökün içinin negatif olmaması gerekliliğinden

\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3}

elde edilir. arccos fonksiyonunun değer aralığı

[0, \pi]

olduğundan bu ifade

\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi

biçiminde yazılır. Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta azalan olduğundan, eşitsizlik yön değiştirerek

\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le \cos(\pi/3)

haline gelir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x \in [-1, 2]

elde edilir. Her iki koşulun kesişimi ise

[-1, 2]

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

arccos fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek

-1 \le \frac{x-1}{2} \le 1 \implies -2 \le x-1 \le 2 \implies -1 \le x \le 3

arccos(u) ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için u ifadesinin

[-1, 1]

aralığında olması gerekir.

2

Karekökün tanımlılık şartını uygulamak

\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3} \ge 0 \implies \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3}

Gerçel sayılarda çift dereceli köklü bir ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

3

Eşitsizliği arccos fonksiyonunun değer aralığına göre düzenlemek

\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi

arccos fonksiyonunun değer kümesi

[0, \pi]

aralığıd��r.

4

Kosinüs fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak x değerlerini bulmak

\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le υ\cos(\pi/3) \implies -1 \le \frac{x-1}{2} \le \frac{1}{2} \implies -2 \le x-1 \le 1 \implies -1 \le x \le 2

Kosinüs fonksiyonu

[0, \pi]

aralığında azalan bir fonksiyon oldu��undan, eşitsizliğe kosinüs uygulandığında eşitsizlik yön değiştirir.

5

Elde edilen iki aralığın kesişimini almak

[-1, 3] \cap [-1, 2] = [-1, 2]

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için bulunan aralıkların kesişim kümesi alınır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arccos fonksiyonunun tanım kümesinin

[-1, 1]

, değer kümesinin

[0, \pi]

olması ve bu aralıkta azalan bir karakter sergilemesi.

Soru 199Soru →

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 + \sin(2x)} - \cos x

b = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x

c = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < c < b

a < b < c

b < a < c

c < a < b

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < c < b$

Cevap

En küçük değer

a

, ortanca değer

c

ve en büyük değer

b

olacak şekilde

a < c < b

sıralamas�� doğrudur.

Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin x

,

b = \cos x

ve

c = \sin x + \cos x

elde edilir. Dördüncü bölgenin son çeyreğinde

\sin x

negatif,

\cos x

pozitif değerler alır ve kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Bu durumda

a

negatif,

b

ve

c

pozitif olur.

c

ifadesi pozitif olan kosinüs değerine negatif bir sinüs değeri eklendiği için

b

değerinden küçük, negatif olan sinüs değerine pozitif bir kosinüs eklendiği için de

a

değerinden büyüktür. Bu gerekçelerle en küçük değer

a

, ortanca değer

c

ve en büyük değer

b

olur.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazalım.

1 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

olduğundan,

\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

elde edilir.

Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerli olarak çıkarılması gerektiğini uygulamak.

2

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

aralığına göre mutlak değerin işaretini belirleyelim ve

a

değerini bulalım.

Dördüncü bölgenin son çeyreğinde

\cos x > 0

ve

\sin x < 0

olup, bu aralıktaki açılar için

\cos x > |\sin x|

şartı sağlanır. Dolayısıyla,

\sin x + \cos x > 0

olur. Bu durumda mutlak değer içi pozitif olduğundan dışarıya aynen çıkar:

a = (\sin x + \cos x) - \cos x = \sin x

bulunur.

Belirtilen bölgedeki trigonometrik değerlerin büyüklük ilişkisini analiz etmek.

3

b

ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde yazarak mutlak değer işaretini belirleyelim.

1 - \sin(2x) = (\sin x - \cos x)^2

olduğundan,

\sqrt{1 - \sin(2x)} = |\sin x - \cos x|

olur.

\sin x < 0

ve

\cos x > 0

olduğundan

\sin x - \cos x < 0

olur. Mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:

b = -(\sin x - \cos x) + \sin x = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x

bulunur.

Negatif olan mutlak değer içinin dışarıya işaret değiştirerek çıkarılmasını sağlamak.

4

c

ifadesinin pay kısmındaki iki küp toplamını çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim.

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

yazılır. Paydadaki terimle sadeleştiğinde:

c = \sin x + \cos x

elde edilir.

Cebirsel özdeşlikler yardımıyla rasyonel trigonometrik ifadeyi en yalın haline getirmek.

5

Elde edilen

a = \sin x

,

b = \cos x

ve

c = \sin x + \cos x

değerlerini dördüncü bölge özelliklerine göre sıralayalım.

\sin x < 0

olduğundan

a

negatiftir.

\cos x > 0

olduğundan

b

pozitiftir.

\cos x > |\sin x|

olduğundan

c = \sin x + \cos x > 0

olup pozitiftir.

\sin x

negatif bir değer olduğundan,

\sin x + \cos x < \cos x

yani

c < b

olur. Benzer şekilde

\cos x > 0

olduğundan,

\sin x + \cos x > \sin x

yani

c > a

olur. Bu durumda doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Elde edilen sadeleşmiş trigonometrik ifadeleri bölge işaretleri ve büyüklüklerine göre nihai olarak sıralamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirme yapılması ve dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik değerlerinin işaret ve büyüklük analiziyle sıralanması.

Soru 200Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde dördüncü bölgede bulunan bir $P$ noktasının $x$ -eksenine olan uzaklığı, $y$ -eksenine olan uzaklığının $3$ katıdır.

$OP$ doğru parçasının $x$ -ekseninin pozitif yönüyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü $\theta$ olduğuna göre, $\tan\theta$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Tanjant değeri -3 olarak bulunur.

Birim çember üzerindeki bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları koordinatların mutlak değerleridir. Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Buradan

x

-eksenine uzaklık

-y_0

,

y

-eksenine uzaklık

x_0

olur. Soruda verilen bilgiye göre

-y_0 = 3x_0

eşitliği kurulur. Birim çember tanımı gereği

\tan\theta = \frac{y_0}{x_0}

olduğundan, bu oran

-3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dördüncü bölgedeki noktanın koordinat işaretlerini belirleme.

x_0 > 0

ve

y_0 < 0

Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat ise negatiftir.

2

Noktanın eksenlere olan uzaklıklarını ifade etme.

x

-eksenine uzaklık:

-y_0

,

y

-eksenine uzaklık:

x_0

Uzaklık her zaman pozitif veya sıfır olmalıdır, bu nedenle koordinatların mutlak değerleri alınır.

3

Verilen uzaklık ilişkisini denklem haline getirme.

-y_0 = 3x_0

x

-eksenine uzaklığın,

y

-eksenine uzaklığın 3 katı olduğu belirtilmiştir.

4

Trigonometrik fonksiyon tanımları ile koordinatları ilişkilendirme.

\cos\theta = x_0

ve

\sin\theta = y_0

Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.

5

Tanjant değerini hesaplama.

\tan\theta = -3

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y_0}{x_0}

oranında

y_0

yerine

-3x_0

yazılarak sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.

Tahmini Süre:1m 30s

Trigonometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar