Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 221Soru →
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
x2−(tan⁡θ−cot⁡θ)x−1=0x^2 - (\tan\theta - \cot\theta)x - 1 = 0

denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

x12+x22=6x_1^2 + x_2^2 = 6
olduğuna göre, cos⁡(θ+π8)\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

İstenen ifadenin doğru değeri negatif kök iki bölü iki olup, ikinci bölgedeki kosinüs değerinin negatif olmasından kaynaklanır.
Köklerin kareleri toplamı özdeşliği ve kök-katsayı bağıntıları kullanılarak (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4(\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4 bulunur. θ\theta açısının verilen aralığında tan⁡θ<cot⁡θ\tan\theta < \cot\theta olduğundan farkları −2-2 olmalıdır. tan⁡θ−cot⁡θ=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = -2\cot(2\theta) yarım açı özdeşliğiyle cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 elde edilir. 2θ∈(π,3π/2)2\theta \in (\pi, 3\pi/2) olduğundan 2θ=5π/42\theta = 5\pi/4 ve θ=5π/8\theta = 5\pi/8 bulunur. Buradan istenen ifade cos⁡(3π/4)=−2/2\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kök-katsayı (Vieta) bağıntılarını yazma
x1+x2=tan⁡θ−cot⁡θx_1 + x_2 = \tan\theta - \cot\theta ve x1x2=−1x_1 x_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için
2
Köklerin kareleri toplamı bilgisini kullanma
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2  ⟹  6=(tan⁡θ−cot⁡θ)2−2(−1)  ⟹  (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \implies 6 = (\tan\theta - \cot\theta)^2 - 2(-1) \implies (\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4
Verilen köklerin kareleri toplamı değerini denklem katsayıları cinsinden ifade etmek için
3
Açının bulunduğu bölgeye göre işaret analizi yapma
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡θ<−1\tan\theta < -1 ve −1<cot⁡θ<0-1 < \cot\theta < 0 olduğundan, tan⁡θ<cot⁡θ  ⟹  tan⁡θ−cot⁡θ<0\tan\theta < \cot\theta \implies \tan\theta - \cot\theta < 0 olur. Buradan tan⁡θ−cot⁡θ=−2\tan\theta - \cot\theta = -2 elde edilir.
Karesi 4 olan ifadenin pozitif veya negatif değerlerinden hangisine eşit olduğunu belirlemek için
4
Yarım açı özdeşliğini kullanma
tan⁡θ−cot⁡θ=sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ=sin⁡2θ−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=−cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{-\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = -2\cot(2\theta)

−2cot⁡(2θ)=−2  ⟹  cot⁡(2θ)=1-2\cot(2\theta) = -2 \implies \cot(2\theta) = 1
İfadeyi yarım açı formülleriyle basitleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için
5
Açının değerini bulma
θ∈(π2,3π4)  ⟹  2θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığındadır. Bu bölgede cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 denklemini sağlayan açı 2θ=5π4  ⟹  θ=5π82\theta = \frac{5\pi}{4} \implies \theta = \frac{5\pi}{8} olur.
Sınırlandırılmış tanım kümesine uygun olan kökü bulmak için
6
İstenen ifadeyi hesaplama
cos⁡(θ+π8)=cos⁡(5π8+π8)=cos⁡(3π4)=−22\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Bulunan θ\theta açısını yerine yazarak hedef trigonometrik değeri bulmak için

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı (iki kat açı) formüllerinin uygun bölgelerdeki işaret kurallarına dikkat edilerek uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki tan⁡θ−cot⁡θ\tan\theta - \cot\theta ifadesini doğrudan sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta cinsinden yazıp payda eşitleyerek −2cot⁡(2θ)-2\cot(2\theta) değerine ulaşmak, doğrudan yarım açı formüllerini hatırlamakta zorlanan öğrenciler için alternatif bir çözüm yoludur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 222Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sec⁡x⋅csc⁡xsec⁡x+csc⁡xa = \frac{\sec x \cdot \csc x}{\sec x + \csc x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - 2\sin x
c=tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡xc = \frac{\tan x - \sin x}{\sin x \cdot \tan x}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b<c<ab < c < a sıralaması doğrudur.
b<c<ab < c < a sıralamasını içeren seçenek doğrudur. Çünkü verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri 11'den büyüktür. aa ve cc ifadelerinin farkı incelendiğinde a>ca > c olduğu kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığını incelemek ve temel işaretleri belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde ikinci bölgededir. Bu bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0 olur. Ayrıca x<3π4x < \frac{3\pi}{4} olduğundan ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olup sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1\sin x + \cos x < 1 eşitsizlikleri geçerlidir.
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve sadeleştirme adımlarında mutlak değerden çıkarma işlemlerini doğru yapabilmek için bölge analizi şarttır.
2
aa ifadesini sadeleştirmek.
a=1cos⁡x⋅1sin⁡x1cos⁡x+1sin⁡x=1sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡x+cos⁡xa = \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{\sin x + \cos x} olarak bulunur. 0<sin⁡x+cos⁡x<10 < \sin x + \cos x < 1 olduğundan a>1a > 1 olur.
Sekant ve kosekant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi basitleştirmek gerekir.
3
bb ifadesini sadeleştirmek.
b=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−2sin⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)2−2sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−2sin⁡xb = \sqrt{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} - 2\sin x = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - 2\sin x = |\sin x + \cos x| - 2\sin x olur. İkinci adımda bulduğumuz üzere sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar: b=sin⁡x+cos⁡x−2sin⁡x=cos⁡x−sin⁡xb = \sin x + \cos x - 2\sin x = \cos x - \sin x. Bu aralıkta cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b<0b < 0 olur.
Karekök içindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazarak mutlak değer yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
cc ifadesini sadeleştirmek.
c=tan⁡xsin⁡x⋅tan⁡x−sin⁡xsin⁡x⋅tan⁡x=1sin⁡x−1tan⁡x=csc⁡x−cot⁡x=1−cos⁡xsin⁡xc = \frac{\tan x}{\sin x \cdot \tan x} - \frac{\sin x}{\sin x \cdot \tan x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x} elde edilir. cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>11 - \cos x > 1 ve 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan c>1c > 1 olur.
Rasyonel ifadeyi paydalarına ayırıp sadeleştirerek karşılaştırılabilir bir biçime getirmek gerekir.
5
aa ve cc değerlerini karşılaştırmak.
a−c=1sin⁡x+cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡x=−cos⁡x(1−sin⁡x−cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)a - c = \frac{1}{\sin x + \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{-\cos x(1 - \sin x - \cos x)}{\sin x(\sin x + \cos x)} elde edilir. Paydadaki tüm terimler pozitiftir. Pay kısmında ise −cos⁡x>0-\cos x > 0 ve sin⁡x+cos⁡x<1  ⟹  1−sin⁡x−cos⁡x>0\sin x + \cos x < 1 \implies 1 - \sin x - \cos x > 0 olduğundan pay da pozitiftir. Dolayısıyla a−c>0  ⟹  a>ca - c > 0 \implies a > c olur. Sonuç olarak b<0b < 0 ve a,c>1a, c > 1 olduğundan sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
İki pozitif değer arasındaki büyüklük ilişkisini fark yöntemiyle belirlemek sıralamayı tamamlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 223Soru →

2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı 4'tür.
Verilen denklem sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler [0,π][0, \pi] kapalı aralığında x=0x = 0 ve x=πx = \pi olarak bulunur. 2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=122\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler ise aynı aralıkta x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu durumda denklemin belirtilen aralıkta 4 farklı kökü vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0
Çarpım durumuna getirilen ifadelerde kök bulmak için her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.
2
İlk çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi
Sinüs fonksiyonunu sıfır yapan ve [0,π][0, \pi] kapalı aralığında yer alan açılar belirlenir.
3
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.
2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=12  ⟹  x=π62\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
Sinüs değeri 12\frac{1}{2} olan ve [0,π][0, \pi] kapalı aralığına (birinci ve ikinci bölgeye) düşen açılar belirlenir.
4
Bulunan tüm kökleri birleştirerek toplam kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π6,5π6,π}\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\} olup eleman sayısı 4'tür.
Tüm kökler birbirinden farklı ve verilen aralıkta yer aldığı için toplam kök sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 224Soru →

Şekildeki konveks ABCDABCD dörtgeninde;
∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim},
∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim},
∣CD∣=3 birim|CD| = 3\text{ birim},
∣DA∣=8 birim|DA| = 8\text{ birim} ve
m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ dir.

Buna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Kosinüs teoremi ardışık olarak iki kez uygulanıp ∣AC∣=7|AC| = 7 ve cos⁡(ADC^)=1/2\cos(\widehat{ADC}) = 1/2 elde edildikten sonra, karşılıklı açılar toplamı 180∘180^\circ olan bu kirişler dörtgeninde köşegenlerin çarpımı karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğundan ∣BD∣|BD| uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde ∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)
∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−12)|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AC∣2=9+25+15=49  ⟹  ∣AC∣=7 birim|AC|^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ birim}
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen ABCABC üçgeninin üçüncü kenar uzunluğunu hesaplamak.
2
ADCADC üçgeninde ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(ADC^)7^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(\widehat{ADC})
49=64+9−48cos⁡(ADC^)49 = 64 + 9 - 48 \cos(\widehat{ADC})
49=73−48cos⁡(ADC^)  ⟹  48cos⁡(ADC^)=24  ⟹  cos⁡(ADC^)=1249 = 73 - 48 \cos(\widehat{ADC}) \implies 48 \cos(\widehat{ADC}) = 24 \implies \cos(\widehat{ADC}) = \frac{1}{2}
Buradan m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ bulunur.
Üç kenar uzunluğu bilinen ADCADC üçgeninin tepe açısını belirlemek.
3
ABCDABCD dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı incelenerek kirişler dörtgeni olup olmadığı kontrol edilir.
m(ABC^)+m(ADC^)=120∘+60∘=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ
Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğu için ABCDABCD dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olmalıdır.
4
Kirişler dörtgeninde köşegen uzunluğu bağıntısı (Ptolemy teoremi) uygulanarak ∣BD∣|BD| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣⋅∣BD∣=∣AB∣⋅∣CD∣+∣BC∣⋅∣AD∣|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|
7⋅∣BD∣=3⋅3+5⋅87 \cdot |BD| = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 8
7⋅∣BD∣=9+40=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim7 \cdot |BD| = 9 + 40 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim}

(Alternatif olarak: Kirişler dörtgeninde cos⁡(DAB^)=cos⁡(BAC^+CAD^)=12  ⟹  m(DAB^)=60∘\cos(\widehat{DAB}) = \cos(\widehat{BAC} + \widehat{CAD}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{DAB}) = 60^\circ bulunur. Ardından ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi ile:
∣BD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅cos⁡(60∘)=9+64−24=49  ⟹  ∣BD∣=7 birim|BD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 64 - 24 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim} elde edilir.)
Kirişler dörtgeni kuralları veya trigonometrik toplam formülleriyle bilinmeyen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs teoremi yardımıyla bir üçgende kenar ve açılar arasındaki ilişkiler belirlenebilir. Karşılıklı açılarının toplamı 180∘180^\circ olan dörtgenler kirişler dörtgenidir ve bu dörtgenlerde köşegenler ile kenarlar arasında Ptolemy (Batlamyus) bağıntısı geçerlidir.
Soru 225Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir P(−513,1213)P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) noktası verilmiştir.

Başlangıç kenarı xx-ekseninin pozitif yönü, bitiş kenarı ise [OP[OP yarıdoğrusu olan yönlü açının ölçüsü α\alpha olduğuna göre,

13⋅sin⁡(3π2−α)+12⋅cot⁡(π−α)13 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + 12 \cdot \cot\left(\pi - \alpha\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin doğru değeri 10'dur.
İndirgeme kuralları uygulandığında, sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha ve cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha eşitlikleri elde edilir. Birim çemberdeki PP noktasının koordinatları kullanılarak cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ve cot⁡α=−512\cot\alpha = -\frac{5}{12} değerleri yerine yazıldığında, ifadenin değeri 13⋅(−(−513))+12⋅(−(−512))=5+5=1013 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{13}\right)\right) + 12 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{12}\right)\right) = 5 + 5 = 10 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru değer 10 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki P(−513,1213)P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) noktası yardımıyla α\alpha açısının trigonometrik oranlarını belirleyin.
cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13}, sin⁡α=1213\sin\alpha = \frac{12}{13} ve cot⁡α=−512\cot\alpha = -\frac{5}{12} elde edilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüs değerini, ordinatı ise sinüs değerini verir.
2
Verilen ifadelerdeki indirgeme formüllerini uygulayın.
sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha ve cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha bulunur.
Düşey eksene (3pi/2) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirir ve üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatiftir. Yatay eksene (pi) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirmez ve ikinci bölgede kotanjant fonksiyonu negatiftir.
3
Bulunan değerleri ifadede yerine yazıp toplamı hesaplayın.
13⋅(−cos⁡α)+12⋅(−cot⁡α)=13⋅(513)+12⋅(512)=5+5=1013 \cdot (-\cos\alpha) + 12 \cdot (-\cot\alpha) = 13 \cdot \left(\frac{5}{13}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5}{12}\right) = 5 + 5 = 10 bulunur.
Elde edilen trigonometrik oranlar indirgenmiş ifadede yerine yazılarak cebirsel işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 226Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣BC∣=12 birim|BC| = 12\text{ birim} ve ∣AC∣=14 birim|AC| = 14\text{ birim} olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=7 birim|CD| = 7\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerinde ∣CE∣=10 birim|CE| = 10\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası işaretleniyor. Buna göre, DD ve EE noktaları arasındaki uzaklık (∣DE∣|DE|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi yardımıyla cos⁡C=57\cos C = \frac{5}{7} olarak elde edilir. Ardından CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57=49|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7} = 49 bulunur. Buradan karekök alınarak ∣DE∣=7 birim|DE| = 7\text{ birim} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C
102=142+122−2⋅14⋅12⋅cos⁡C10^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos C
100=196+144−336⋅cos⁡C100 = 196 + 144 - 336 \cdot \cos C
336⋅cos⁡C=240  ⟹  cos⁡C=240336=57336 \cdot \cos C = 240 \implies \cos C = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanabilmek için ortak olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣|DE| hesaplanır.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡C|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos C
∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7}
∣DE∣2=49+100−100|DE|^2 = 49 + 100 - 100
∣DE∣2=49  ⟹  ∣DE∣=7 birim|DE|^2 = 49 \implies |DE| = 7\text{ birim}
CDCD ve CECE kenar uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüs değeri bilindiği için doğrudan karşılarındaki DEDE kenar uzunluğu bulunabilir.

Anahtar Kavram

İki farklı üçgende ortak açıyı kullanarak Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 227Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\cos(x+y) + \cos(x-y)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x; tanx

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan⁡x\tan x şeklindedir.
İfadeyi basitleştirmek için pay ve paydadaki toplam ve fark formülleri açılır. Pay kısmında sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x\cos y elde edilir. Payda kısmında ise cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x\cos y elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında, 22 ve cos⁡y\cos y terimleri sadeleşir ve geriye sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
Pay kısmındaki terimleri sadeleştirmek amacıyla toplam ve fark açılımlarını kullanmamız gerekir.
2
Paydaki ifadeleri toplayarak sadeleştirin.
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x \cos y
Toplama işlemi yapıldığında cos⁡xsin⁡y\cos x \sin y ve −cos⁡xsin⁡y-\cos x \sin y terimleri birbirini götürür.
3
Paydada yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın ve toplayın.
cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y
Kosinüs toplam ve fark açılımları yazılıp toplandığında, sinüslü terimler birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen pay ve payda sonuçlarını birbirine oranlayarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡y2cos⁡xcos⁡y=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \cos y} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
22 ve cos⁡y\cos y ortak çarpanları sadeleşir, geriye kalan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} oranı ise tan⁡x\tan x ifadesine eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 228Soru →
cos⁡(70∘)⋅cos⁡(50∘)−sin⁡(70∘)⋅sin⁡(50∘)\cos(70^\circ) \cdot \cos(50^\circ) - \sin(70^\circ) \cdot \sin(50^\circ)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

İfadenin doğru değeri −12-\frac{1}{2}'dir.
Verilen ifade kosinüs toplam formülünün birebir açılımıdır. Açıların toplamı 120∘120^\circ yapar. İkinci bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan cos⁡(120∘)\cos(120^\circ) ifadesi −cos⁡(60∘)-\cos(60^\circ) değerine, o da −12-\frac{1}{2} değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs toplam formülünü hatırlama ve uygulama
cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)=cos⁡(a+b)\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a+b) formülü kullanılır. Soruda verilen ifadede a=70∘a = 70^\circ ve b=50∘b = 50^\circ alındığında ifade cos⁡(70∘+50∘)\cos(70^\circ + 50^\circ) şekline dönüşür.
Verilen ifadenin kosinüs toplam formülünün açılımı olduğunu tespit etmek.
2
Açıların toplamını hesaplama
cos⁡(70∘+50∘)=cos⁡(120∘)\cos(70^\circ + 50^\circ) = \cos(120^\circ) elde edilir.
Formüldeki açıları toplayarak tek bir trigonometrik fonksiyon altında yazmak.
3
İkinci bölgedeki açıyı dar açı cinsinden ifade etme (indirgeme)
cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) olur.
Geniş açının değerini hesaplamak için ikinci bölgedeki kosinüsün negatif işaretini dikkate alarak indirgeme kuralını uygulamak.
4
Bilinen trigonometrik değeri yerine yazma
−cos⁡(60∘)=−12-\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak nihai sonucu bulmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam formülü ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi

Alternatif Yöntem

İkinci bölgedeki indirgemeyi yapmak için 120∘=90∘+30∘120^\circ = 90^\circ + 30^\circ yazılabilir: cos⁡(90∘+30∘)=−sin⁡(30∘)=−12\cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} şeklinde de sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 229Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=4\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} + \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 4
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −35-\frac{3}{5}

Cevap

Eksi üç bölü beş
Verilen denklem yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde iki tanjant x eşittir dört, buradan da tanjant x eşittir iki elde edilir. Tanjant değeri iki olan bir açı için kosinüs iki x değeri yarım açı formülüyle hesaplandığında eksi üç bölü beş bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak rasyonel ifadelerin pay ve payda kısımlarını sadeleştirmek
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x, 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazarak denklem 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x+2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=4\frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 4 hâline getirilir.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen rasyonel ifadeleri sadeleştirip tan⁡x\tan x değerini bulmak
sin⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x=4⇒2tan⁡x=4⇒tan⁡x=2\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow 2\tan x = 4 \Rightarrow \tan x = 2 olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarından birini belirleyerek diğer yarım açı değerlerine geçiş yapabilmek.
3
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplamak
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−221+22=−35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = -\frac{3}{5} bulunur.
Tanjant değeri bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Tanjant x değeri iki bulunduktan sonra, dik kenarları iki ve bir olan bir dik üçgen çizilerek hipotenüs kök beş bulunur. Açının üçüncü bölgede olduğu göz önüne alınarak sinüs x eşittir eksi iki bölü kök beş, kosinüs x eşittir eksi bir bölü kök beş olarak belirlenir. Kosinüs iki x eşittir iki kosinüs kare x eksi bir formülünden de sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 230Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)f(x) = \sin^2(3x) - \cos(6x) fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3}'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü fonksiyon düzenlendiğinde esas periyodunun π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)\sin^2(3x) - \cos(6x) ifadesi kosinüsün yarım açı formülüyle sadeleştirildiğinde 12−32cos⁡(6x)\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) biçimine dönüşür ve bu fonksiyonun periyodu T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak sin⁡2(3x)\sin^2(3x) terimini yarım açı formülü (kosinüs çift kat açı formülü) yardımıyla dönüştürün.
sin⁡2(3x)=1−cos⁡(6x)2\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} eşitliği elde edilir.
Fonksiyonun periyodunu belirlemek için farklı açılara sahip trigonometrik ifadeleri ortak bir açı değerinde birleştirmek gerekir.
2
Elde edilen bu ifadeyi fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirin.
f(x)=1−cos⁡(6x)2−cos⁡(6x)=12−32cos⁡(6x)f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \cos(6x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) elde edilir.
Fonksiyonun tek bir kosinüs terimine indirgenmesi, esas periyot hesaplama kuralının doğrudan uygulanmasını sağlar.
3
g(x)=k⋅cos⁡n(ax+b)+cg(x) = k \cdot \cos^n(ax + b) + c formundaki fonksiyonlarda nn tek sayı iken periyodun T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} olduğunu hatırlayarak periyodu hesaplayın.
a=6a = 6 ve n=1n = 1 (tek) olduğundan, T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} bulunur.
Buradaki kosinüs teriminin üssü 11 (tek) ve xx değişkeninin katsayısı 66 olduğundan standart periyot formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun esas periyodunu bulmak için trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeyi sadeleştirip standart periyot formüllerini uygulamak gerekir.
Soru 231Soru →
sin⁡3(x)cos⁡(3x)+cos⁡3(x)sin⁡(3x)=38\sin^3(x)\cos(3x) + \cos^3(x)\sin(3x) = \frac{3}{8} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel köklerinin toplamı en sade biçimde aπb\frac{a\pi}{b} radyan olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki köklerinin toplamı olan en sade rasyonel çarpanlı ifade 3π2\frac{3\pi}{2} olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+ba + b değeri 5'tir.
Verilen denklem, cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) açılımları yerine yazılarak düzenlendiğinde sin⁡(4x)=1/2\sin(4x) = 1/2 denklemine indirgenir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] kısıtlaması altında 4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında bu denklemi sağlayan 4 farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. En sade biçimde yazıldığında a=3a=3 ve b=2b=2 olup toplamları 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kat açı formüllerini kullanarak cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) terimlerini açmak
Denklemin sol tarafı: sin⁡3(x)(4cos⁡3(x)−3cos⁡(x))+cos⁡3(x)(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))\sin^3(x)(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + \cos^3(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için temel açı ilişkilerini kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmek
3sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))3\sin(x)\cos(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))
Parantezler dağıtıldığında 4sin⁡3(x)cos⁡3(x)4\sin^3(x)\cos^3(x) terimleri birbirini götürür.
3
Yarım açı formülleriyle ifadeyi sin⁡(4x)\sin(4x) cinsinden yazmak
Sol taraf 34sin⁡(4x)\frac{3}{4}\sin(4x) ifadesine eşitlenir.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) bağıntıları ile ifade basitleştirilir.
4
34sin⁡(4x)=38\frac{3}{4}\sin(4x) = \frac{3}{8} temel trigonometrik denklemini çözmek
sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2}
Denklemin her iki tarafı 43\frac{4}{3} ile çarpılarak basit trigonometrik denklem elde edilir.
5
x∈[0,π]x \in [0, \pi] tanım aralığı için 4x4x açısının sınırlarını belirleyip kökleri bulmak
4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında kökler x1=π24x_1 = \frac{\pi}{24}, x2=5π24x_2 = \frac{5\pi}{24}, x3=13π24x_3 = \frac{13\pi}{24}, x4=17π24x_4 = \frac{17\pi}{24} olarak bulunur.
Tanım aralığına uygun tüm köklerin eksiksiz belirlenmesi şarttır.
6
Bulunan tüm kökleri toplayıp aπb\frac{a\pi}{b} formuna getirmek ve a+ba+b değerini hesaplamak
Kökler toplamı =3π2  ⟹  a=3,b=2  ⟹  a+b=5= \frac{3\pi}{2} \implies a=3, b=2 \implies a+b=5
Toplamın en sade rasyonel biçimi elde edilerek istenen katsayılar toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üç kat açı, yarım açı özdeşlikleri ve değişken değiştirme yöntemleriyle trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki köklerinin analizi.
Soru 232Soru →

θ\theta gerçel sayısı için 2π3<θ<3π4\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4} eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan cc ifadesi kesinlikle negatiftir. a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta) yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla 0.50.5 olabilir. bb ifadesi sadeleştirildiğinde −tan⁡θ-\tan \theta değerine eşit olup, bu aralıkta 11'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.
θ∈(2π3,3π4)\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) aralığı derece cinsinden (120∘,135∘)(120^\circ, 135^\circ) aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede sin⁡θ>0\sin \theta > 0, cos⁡θ<0\cos \theta < 0, tan⁡θ<0\tan \theta < 0 ve cot⁡θ<0\cot \theta < 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.
2
cc ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.
c=sin⁡θcos⁡θc = \sin \theta \cos \theta ifadesinde sin⁡θ>0\sin \theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos \theta < 0 olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle c=sin⁡(2θ)2c = \frac{\sin(2\theta)}{2} yazılır. 2θ∈(4π3,3π2)2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}) yani (240∘,270∘)(240^\circ, 270^\circ) aralığındadır. Bu aralıkta sin⁡(2θ)∈(−1,−32)\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) olduğundan, c∈(−0.5,−34)c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4}) olur.
cc teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.
3
aa ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.
a=sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=−cos⁡(2θ)a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta) olur. 2θ∈(240∘,270∘)2\theta \in (240^\circ, 270^\circ) aralığında kosinüs negatiftir ve cos⁡(2θ)∈(−0.5,0)\cos(2\theta) \in (-0.5, 0) aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte a=−cos⁡(2θ)∈(0,0.5)a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5) olur.
aa ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının 0.50.5 olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.
4
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.
b=1−tan⁡θ1−1tan⁡θ=1−tan⁡θtan⁡θ−1tan⁡θ=−tan⁡θb = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta elde edilir. θ∈(120∘,135∘)\theta \in (120^\circ, 135^\circ) aralığında tan⁡θ∈(−3,−1)\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1) olduğundan, b=−tan⁡θ∈(1,3)b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3}) aralığındadır.
bb ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.
5
Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.
c<0c < 0, 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>1b > 1 aralıkları birleştirildiğinde c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 233Soru →

cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamının 2π2\pi radyan olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri 2π3\frac{2\pi}{3} ve 4π3\frac{4\pi}{3} radyandır. Bu değerlerin toplamı 2π2\pi radyan yaptığı için önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıların birim çember üzerinde hangi bölgelerde yer aldığını belirleme.
Kosinüs fonksiyonunun değeri birim çember üzerindeki noktaların xx-koordinatına karşılık gelir. xx-koordinatının negatif olduğu bölgeler ikinci ve üçüncü bölgelerdir.
Kosinüsün negatif olduğu açı aralıklarını doğru tespit edebilmek için bu adım gereklidir.
2
Kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan birinci bölgedeki referans açıyı bulma.
Birinci bölgede cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} olduğundan referans açısı θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} radyandır.
Diğer bölgelerdeki açı değerlerini referans a��ı yardımıyla hesaplamak için bu adım gereklidir.
3
İkinci ve üçüncü bölgelerdeki kökleri hesaplama.
İkinci bölgedeki kök: x1=π−π3=2π3x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} radyandır. Üçüncü bölgedeki kök: x2=π+π3=4π3x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} radyandır.
Belirtilen aralıktaki tüm gerçel kökleri bulmak için bu adım gereklidir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplama.
Köklerin toplamı: x1+x2=2π3+4π3=6π3=2πx_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi radyandır. Dolayısıyla ifade doğrudur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu test etmek için köklerin toplamı hesaplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs fonksiyonunun belirli bir aralıktaki köklerinin bulunması ve toplanması.

Alternatif Yöntem

Birim çember üzerinde x=−12x = -\frac{1}{2} dikey doğrusu çizilerek çemberi kestiği noktalar incelenebilir. İkinci ve üçüncü bölgedeki bu kesim noktalarının xx-eksenine göre simetrik olması nedeniyle, bu noktaları temsil eden açıların toplamının geometrik olarak 2π2\pi radyan olacağı doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 234Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası dördüncü bölgededir.

Bu noktanın koordinatları arasında
3a+4b=03a + 4b = 0
bağıntısı olduğuna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

P noktasının ordinat değeri -0,6'dır.
Birim çember üzerindeki her P(a,b)P(a, b) noktası için a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği geçerlidir. Soruda verilen 3a+4b=03a + 4b = 0 bağıntısından a=−4b3a = -\frac{4b}{3} çekilerek çember denklemine yerleştirildiğinde 25b29=1\frac{25b^2}{9} = 1 ve buradan b2=925b^2 = \frac{9}{25} bulunur. Noktanın dördüncü bölgede olduğu belirtildiğinden ordinatı temsil eden bb değeri negatif olmalıdır. Bu sebeple doğru sonuç −0,6-0,6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinat ilişkisini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Koordinat düzleminde birim çember üzerindeki her noktanın orijine olan uzaklığının karesi 1'e eşittir.
2
Verilen doğrusal bağıntıdan bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme
a=−4b3a = -\frac{4b}{3}
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek amacıyla a değişkeni b cinsinden yazılır.
3
İfadeyi birim çember denkleminde yerine yazarak b değerini bulma
b2=925b^2 = \frac{9}{25}
Kareler toplamı denkleminde yerine koyma yapılarak b'nin mutlak değerce büyüklüğü belirlenir.
4
Bölge bilgisine göre ordinatın işaretini belirleme
b=−0,6b = -0,6
Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Bu nedenle b değerinin negatif olan kökü seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat denklemi ve koordinat düzlemindeki bölgelere göre işaret tayini
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 235Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=52\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.875

Cevap

Doğru cevap 0.8750.875 (veya 78\frac{7}{8}) olarak bulunur.
Verilen ifadenin her iki tarafının karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1.251 + \sin(2x) = 1.25 eşitliğinden sin⁡(2x)=0.25\sin(2x) = 0.25 elde edilir. Bu değer, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 0.8750.875 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alınız.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(52)2  ⟹  sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=54(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{5}{4}
İfadedeki sinüs ve kosinüs toplamını yarım açı formüllerine dönüştürmek için her iki tarafın karesi alınır.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) yarım açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.
1+sin⁡(2x)=54  ⟹  sin⁡(2x)=141 + \sin(2x) = \frac{5}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{4}
Elde edilen ifadedeki temel trigonometrik bileşenler sadeleştirilerek sin⁡(2x)\sin(2x) yalnız bırakılır.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden yazınız ve değeri hesaplayınız.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(14)2=1−216=78=0.875\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8} = 0.875
Kosinüsün yarım açı formülü cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) bağıntısı a=2xa = 2x için uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerinin cebirsel ifadelerin çözümünde kullanılması.

Alternatif Yöntem

sin⁡(2x)=14\sin(2x) = \frac{1}{4} değeri bulunduktan sonra, 2x2x açısına ait dik üçgen çizilerek komşu kenar 15\sqrt{15} birim bulunur. Buradan cos⁡(2x)=154\cos(2x) = \frac{\sqrt{15}}{4} elde edilir. cos⁡(4x)=cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(4x)=1516−116=1416=78=0.875\cos(4x) = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} = 0.875 olarak hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 236Soru →
f(x)=cos⁡(arcsin⁡(x)+arccos⁡(x2))f(x) = \cos\left(\arcsin(x) + \arccos(x^2)\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)=0f(x) = 0 denklemini sağlayan xx ger��el sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Denklemi sağlayan xx değerlerinin toplamı 00 olur.
Denklemin tüm gerçel kökleri −1-1, 00 ve 11 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 00 olduğundan, sıfır değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme ve cos⁡\cos fonksiyonunun sıfır olduğu genel şartı yazma.
xx değişkeni [−1,1][-1, 1] aralığında olmalıdır. f(x)=0f(x) = 0 olması için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)\arccos(x^2) + \arcsin(x) ifadesi cos⁡\cos fonksiyonunu sıfır yapan bir açıya eşit olmalıdır.
arcsin⁡(x)\arcsin(x) ve arccos⁡(x2)\arccos(x^2) fonksiyonlarının tanımlı olması için xx ve x2x^2 değerleri [−1,1][-1, 1] aralığında yer almalıdır.
2
Açının alabileceği değer aralığını belirleme.
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x) \le \frac{\pi}{2} ve 0≤arccos⁡(x2)≤π0 \le \arccos(x^2) \le \pi olduğundan, bu iki ifadenin toplamı olan θ\theta açısı [−π2,3π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır. Bu aralıkta cos⁡(θ)=0\cos(\theta) = 0 şartını sağlayan θ\theta değerleri −π2-\frac{\pi}{2}, π2\frac{\pi}{2} ve 3π2\frac{3\pi}{2} olur.
Ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerinin sınırları kullanılarak toplamın alabileceği tüm olası a��ılar bulunur.
3
Belirlenen açı değerleri için xx denklemlerini çözme.
θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2} için x=−1x = -1 bulunur (çünkü arcsin⁡(−1)=−π2\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} ve arccos⁡(1)=0\arccos(1) = 0). θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} için gerçel kök yoktur. θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)=π2\arccos(x^2) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} denkleminden arccos⁡(x2)=arccos⁡(x)\arccos(x^2) = \arccos(x) elde edilir. Buradan x2=xx^2 = x denklemi çözülerek x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri ve özdeşlikleri (arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}) kullanılarak gerçel kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm gerçel kökleri toplayarak sonucu bulma.
Gerçel kökler −1-1, 00 ve 11 olup, toplamları (−1)+0+1=0(-1) + 0 + 1 = 0 bulunur.
Soruda istenen xx gerçel sayılarının toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile trigonometrik denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 237Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(x−30∘)−sin⁡(x−60∘)sin⁡(x−30∘)+cos⁡(x−60∘)=2−3\frac{\cos(x - 30^\circ) - \sin(x - 60^\circ)}{\sin(x - 30^\circ) + \cos(x - 60^\circ)} = 2 - \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan xx açısının derece cinsinden ölçüsü kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75; 75°; 75 derece

Cevap

Eşitliği sağlayan x açısının derece cinsinden ölçüsü 75'tir.
Verilen karmaşık kesirli ifade, pay ve paydada bulunan terimlerin toplam ve fark formülleriyle açılıp sadeleştirilmesi sonucunda cot⁡x\cot x ifadesine eşit olmaktadır. cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan x∈(0,90∘)x \in (0, 90^\circ) dar açısı ise x=75∘x = 75^\circ olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında bulunan cos⁡(x−30∘)\cos(x - 30^\circ) ve sin⁡(x−60∘)\sin(x - 60^\circ) ifadelerini fark formülleri kullanarak açalım.
cos⁡(x−30∘)=cos⁡xcos⁡30∘+sin⁡xsin⁡30∘\cos(x - 30^\circ) = \cos x \cos 30^\circ + \sin x \sin 30^\circ ve sin⁡(x−60∘)=sin⁡xcos⁡60∘−cos⁡xsin⁡60∘\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ elde edilir.
Trigonometrik ifadeleri daha sade biçimde yazabilmek için toplam ve fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
30∘30^\circ ve 60∘60^\circ açılarının bilinen trigonometrik değerlerini yerlerine yerleştirelim.
cos⁡(x−30∘)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−60∘)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x olur.
Sayısal değerleri yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapabilmek için.
3
Paydaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek pay ifadesinin en sade halini bulalım.
Pay =(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemiyle benzer terimleri sadeleştirmek için.
4
Payda kısmında yer alan sin⁡(x−30∘)\sin(x - 30^\circ) ve cos⁡(x−60∘)\cos(x - 60^\circ) ifadelerini fark ve toplam formülleriyle açıp bilinen değerleri yerine yazalım.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x olur.
Paydadaki ifadeleri sadeleştirmek üzere fark ve toplam formüllerini uygulamak için.
5
Paydadaki toplama işlemini gerçekleştirerek payda ifadesinin en sade halini bulalım.
Payda =(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
Toplama işlemiyle zıt işaretli terimleri sadeleştirmek için.
6
Elde ettiğimiz pay ve payda sadeleşmiş hallerini oranlayarak ana denklemi yazalım.
3cos⁡x3sin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sqrt{3}\sin x} = \cot x elde edilir. Buradan denklemin yeni hali cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} olur.
Karmaşık kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için.
7
cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan xx dar açısını bulalım.
cot⁡x=2−3  ⟹  tan⁡x=12−3=2+3\cot x = 2 - \sqrt{3} \implies \tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} olur. tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘=2+3\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = 2 + \sqrt{3} olduğunu bildiğimizden x=75∘x = 75^\circ olarak bulunur.
Elde edilen basit trigonometrik denklemi çözerek açı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve trigonometrik denklemlerin çözümü.
Soru 238Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
bb ifadesisinin değeri negatif, cc ifadesinin değeri 11 ve aa ifadesinin değeri 22'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.
a=2tan⁡xa = 2\tan x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olduğundan a>2a > 2 bulunur.
Üçüncü bölgede sin⁡x∈(−1,0)\sin x \in (-1, 0) olduğundan 1−sin⁡x>01 - \sin x > 0 ve 1+sin⁡x>01 + \sin x > 0 olur. Ayrıca cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.
2
bb ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.
b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan b<0b < 0 bulunur.
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için pay (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.
3
cc ifadesindeki fonksiyonları temel sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x cinsinden yazarak sadeleştirme.
c=1c = 1 elde edilir.
Paydaki tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} ve paydadaki sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit 11 değerini verir.
4
Elde edilen a>2a > 2, b<0b < 0 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralama.
b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Negatif bir değer (bb) her zaman 11'den (cc) ve 22'den büyük bir değerden (aa) küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 239Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=a⋅sin⁡(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = a \cdot \sin(2x)
denkleminin gerçel sayılar kümesinde en az bir kökünün bulunmasını sağlayan en küçük aa değerinin 12\frac{1}{2} olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

En küçük pozitif gerçel a parametresinin 1/2 olduğu ifadesi doğrudur.
Denklem ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürüldüğünde, sinüs fonksiyonunun değer aralığı kısıtlaması göz önüne alınarak yapılan kök analizi sonucunda, denklemin en az bir gerçel kökünün bulunması için pozitif a parametresinin alabileceği en küçük değerin 1/2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)\sin^4(x) + \cos^4(x) ifadesini sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden ifade ediniz.
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))2−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1−12sin⁡2(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözülebilir cebirsel bir yapıya dönüştürmek.
2
u=sin⁡(2x)u = \sin(2x) dönüşümü yaparak denklemi uu değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düzenleyiniz ve uu için sınırları belirleyiniz.
1−12u2=au  ⟹  u2+2au−2=01 - \frac{1}{2}u^2 = a u \implies u^2 + 2au - 2 = 0 ve x∈Rx \in \mathbb{R} olduğundan −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır.
Trigonometrik denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek ve tanım kümesi kısıtlamas��nı belirlemek.
3
u2+2au−2=0u^2 + 2au - 2 = 0 denkleminin köklerinin çarpımını ve işaretlerini inceleyiniz.
Kökler çarpımı u1⋅u2=−2u_1 \cdot u_2 = -2'dir. Bu durum köklerin zıt işaretli olduğunu ve mutlak değerce çarpımlarının 22 olduğunu gösterir. Dolayısıyla, köklerin ikisi birden [−1,1][-1, 1] aralığında yer alamaz. Denklemin gerçel kökünün olması için köklerden sadece birinin bu aralıkta olması yeterlidir.
Zıt işaretli köklerin hangi koşullarda [−1,1][-1, 1] aralığına düşebileceğini analiz etmek.
4
Pozitif kök olan u2=−a+a2+2u_2 = -a + \sqrt{a^2 + 2} değerinin 0<u2≤10 < u_2 \le 1 aralığında olması koşulunu çözünüz.
−a+a2+2≤1  ⟹  a2+2≤a+1-a + \sqrt{a^2 + 2} \le 1 \implies \sqrt{a^2 + 2} \le a + 1. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤a2+2a+1  ⟹  2a≥1  ⟹  a≥12a^2 + 2 \le a^2 + 2a + 1 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge \frac{1}{2} bulunur.
Pozitif kökün sinüs sınır değerini aşmaması için gereken parametre aralığını belirlemek.
5
Negatif kök olan u1=−a−a2+2u_1 = -a - \sqrt{a^2 + 2} değerinin −1≤u1<0-1 \le u_1 < 0 aralığında olması koşulunu çözünüz ve sonuçları birleştiriniz.
−1≤−a−a2+2  ⟹  a2+2≤1−a-1 \le -a - \sqrt{a^2 + 2} \implies \sqrt{a^2 + 2} \le 1 - a. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤1−2a+a2  ⟹  2a≤−1  ⟹  a≤−12a^2 + 2 \le 1 - 2a + a^2 \implies 2a \le -1 \implies a \le -\frac{1}{2} bulunur. Soruda aa pozitif gerçel sayı olarak verildiğinden a≥12a \ge \frac{1}{2} koşulu geçerlidir. Dolayısıyla en küçük aa değeri 12\frac{1}{2}'dir.
Tüm olası çözümleri birleştirerek pozitif aa parametresi için en küçük değeri kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülmesi ve köklerin tanım kümesi sınırlarına göre analiz edilmesi
Soru 240Soru →
x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)
w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan xx, yy, zz ve ww değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) negatif; w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan yy en küçük olup y<xy < x elde edilir. Pozitif değerlerde ise tan⁡(72∘)>1\tan(72^\circ) > 1 iken tan⁡(18∘)<1\tan(18^\circ) < 1 olduğundan w<zw < z olur. Bu durumda artan sırada dizilim y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ)
17π5\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsü 17π5−2π=7π5\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle: cos⁡(180∘+72∘)=−cos⁡(72∘)=−sin⁡(18∘)\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ) elde edilir.
2
yy ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ)
−23π10-\frac{23\pi}{10} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 17π10\frac{17\pi}{10} (306∘306^\circ) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle: sin⁡(360∘−54∘)=−sin⁡(54∘)\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ) elde edilir.
3
zz ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme
z=tan⁡(72∘)>1z = \tan(72^\circ) > 1
32π5\frac{32\pi}{5} açısının esas ölçüsü 32π5−6π=2π5\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5} (72∘72^\circ) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir. 72∘>45∘72^\circ > 45^\circ olduğundan tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
ww ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme
w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) (0<w<10 < w < 1)
−13π5-\frac{13\pi}{5} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 7π5\frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle: cot⁡(180∘+72∘)=cot⁡(72∘)=tan⁡(18∘)\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ) elde edilir. 0∘<18∘<45∘0^\circ < 18^\circ < 45^\circ olduğundan 0<tan⁡(18∘)<10 < \tan(18^\circ) < 1 olur.
5
Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma
y<x<w<zy < x < w < z
Negatif sayılardan y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) kıyaslandığında; sin⁡(54∘)>sin⁡(18∘)\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ) olduğundan −sin⁡(54∘)<−sin⁡(18∘)-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ), yani y<xy < x bulunur. Pozitif sayılardan w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) kıyaslandığında; w<1<zw < 1 < z olduğu için w<zw < z olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
ÖncekiSayfa 12 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin