Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 341Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+sin⁡x=08\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin ondalık değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.28

Cevap

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.
Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−sin⁡(2x)1 - \sin(2x) ifadesini tam kare şeklinde yazalım.
1−sin⁡(2x)=cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.
2
Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.
x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan, (cos⁡x−sin⁡x)2=∣cos⁡x−sin⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x olur. Buradan, (cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡x=08(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8 bulunur.
Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülünden, cos⁡(2x)=2(08)2−1=2(064)−1=128−1=028\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28 bulunur.
Bulunan cos⁡x\cos x değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler
Soru 342Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=cot⁡x−csc⁡xc=tan⁡x−sec⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sinüs pozitif (sin⁡x>0\sin x > 0), kosinüs negatif (cos⁡x<0\cos x < 0), tanjant negatif (tan⁡x<0\tan x < 0), kotanjant negatif (cot⁡x<0\cot x < 0), sekant negatif (sec⁡x<0\sec x < 0) ve kosekant pozitiftir (csc⁡x>0\csc x > 0).
İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.
2
a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden a<0a < 0 olur.

b=cot⁡x−csc⁡x=cos⁡xsin⁡x−1sin⁡x=cos⁡x−1sin⁡xb = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x} ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan cos⁡x−1<0\cos x - 1 < 0'dır. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup b<0b < 0 olur.

c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=sin⁡x−1cos⁡xc = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x} ifadesinde; sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0'dır. Payda olan cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, negatifin negatife bölümünden c>0c > 0 olur.
İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.
3
Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.
c>0c > 0 olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:
a−b=(cos⁡x−sin⁡x)−cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡2x−cos⁡x+1sin⁡xa - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}
Pay kısmını düzenlersek:
sin⁡xcos⁡x+(1−sin⁡2x)−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−cos⁡x=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x−1)\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)
İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0'dır. Ayrıca sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan bunların toplamı olan sin⁡x+cos⁡x−1<0\sin x + \cos x - 1 < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b elde edilir.
Buna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 343Soru →
x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere,

tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

olduğuna göre, tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

İşlemler sonucunda tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri 1.51.5 (veya 32\frac{3}{2}) olarak bulunur.
Soruda verilen x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4} bağıntısı kullanılarak yy yerine 3π4−x\frac{3\pi}{4} - x yazılır. Ardından cot⁡y=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \frac{1}{\tan(\frac{3\pi}{4} - x)} ilişkisinden ve tanjant fark formülünden yararlanılarak cot⁡y\cot y ifadesi tan⁡x\tan x cinsinden tan⁡x−1tan⁡x+1\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} olarak elde edilir. Bu ifade verilen tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2} denklemine yazıldığında oluşan ikinci dereceden denklem çözülerek tan⁡x\tan x değerleri (33 ve −12-\frac{1}{2}) bulunur. Her iki değer için de tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımı hesaplandığında sonuç değişmeyip 1.51.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ilişkisini kullanarak yy açısını xx cinsinden yazmak ve trigonometrik dönüşüm yapmak.
cot⁡y=cot⁡(3π4−x)=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \cot\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}
yy açısını xx türünden ifade ederek denklemdeki bilinmeyen sayısını teke düşürmek.
2
Tanjant fark formülü yardımıyla tan⁡(3π4−x)\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) ifadesini açmak ve sadeleştirmek.
tan⁡(3π4−x)=tan⁡x+1tan⁡x−1  ⟹  cot⁡y=tan⁡x−1tan⁡x+1\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \implies \cot y = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}
Tanjant fark formülünü uygulayıp tan⁡3π4=−1\tan\frac{3\pi}{4} = -1 değerini yerine yazarak cot⁡y\cot y ifadesini tan⁡x\tan x cinsinden bulmak.
3
tan⁡x=u\tan x = u değişken değiştirmesi yaparak denklemi çözmek.
2u2−5u−3=0  ⟹  u=32u^2 - 5u - 3 = 0 \implies u = 3 veya u=−12u = -\frac{1}{2}
Rasyonel denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürüp tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
4
Bulunan tan⁡x\tan x değerleri için cot⁡y\cot y değerlerini hesaplamak ve çarpımlarını bulmak.
tan⁡x⋅cot⁡y=1.5\tan x \cdot \cot y = 1.5
Soruda istenen tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} ve kotanjant ile tanjant arasındaki cot⁡A=1tan⁡A\cot A = \frac{1}{\tan A} ilişkisi.
Soru 344Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,
c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab
sin⁡(A)⋅sin⁡(B)=38\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}
ve R=4R = 4 birimdir.

Buna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.
Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla CC açısı 30∘30^\circ olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) eşitliği elde edilir ve buradan a⋅b=24a \cdot b = 24 hesaplanır. Üçgenin alanı ise 12absin⁡(C)\frac{1}{2}ab\sin(C) formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.
C=30∘C = 30^\circ
c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) formülü ile verilen c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab bağıntısını karşılaştırarak cos⁡(C)=32\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde ederiz.
2
Sinüs Teoremi yardımıyla a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
a⋅b=24a \cdot b = 24
a=2Rsin⁡(A)a = 2R\sin(A) ve b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) eşitliklerini taraf tarafa çarparak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) bağıntısını kurar ve verilen RR ile çarpım değerlerini yerine yazarız.
3
Üçgenin alanını hesaplama.
Alan = 6
Sinüslü alan formülü olan Alan(ABC)=12absin⁡(C)\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C) bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 345Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde 4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten 4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0 denklemine ulaşılır. Buradan cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 veya cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 olmalıdır. cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 durumundan [0,π][0, \pi] aralığında x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} kökleri elde edilir ve bu kökler başlangıçtaki ifadenin paydalarını sıfır yapmaz. Ancak cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 durumundan elde edilen x=0x = 0 ve x=πx = \pi kökleri sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 yaparak paydayı sıfır yaptığından tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden aralıktaki farklı köklerin sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payları eşitleyerek sol tarafı tek bir kesir olarak yazın ve pay/payda kısımlarında trigonometrik özdeşlikleri uygulayın.
sin⁡(4x)sin⁡(2x)2=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = 4\cos^2(2x)
Sol taraftaki iki rasyonel ifadeyi tek bir terim haline getirmek ve sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini yarım açı formülüyle açarak sadeleştirme yapın.
4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) (Burada sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olmalıdır)
İfadeyi daha basit bir trigonometrik denklem formuna dönüştürmek için.
3
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0
Çarpanların her birini sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını bulmak için.
4
Bulunan kök adaylarının tanım kümesine uygunluğunu denetleyin ve [0,π][0, \pi] aralığındaki kök sayısını belirleyin.
x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} geçerli köklerdir. x=0x = 0 ve x=πx = \pi ise paydayı sıfır yaptığından elenir. Toplam kök sayısı 2'dir.
Rasyonel ifadeler içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan değerlerin kök olamayacağını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 346Soru →

Dik koordinat düzleminde, O(0,0)O(0,0) orijin noktası olmak üzere A(1,k)A(1, k) ve B(k,3)B(k, 3) noktaları veriliyor.

OAOA ve OBOB doğruları arasındaki dar açının ölçüsü 45∘45^\circ olduğuna göre, kk sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 272\sqrt{7}

Cevap

Pozitif kk değerlerinin toplamı 272\sqrt{7}'dir.
İki doğrunun eğimleri sırasıyla m1=km_1 = k ve m2=3/km_2 = 3/k olarak hesaplanır. Eğimler arasındaki farkın mutlak değeri ile iki doğrunun arasındaki dar açının tanjantı formülünden ∣k−3/k1+3∣=1\left| \frac{k - 3/k}{1 + 3} \right| = 1 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde pozitif kökler 2+72 + \sqrt{7} ve −2+7-2 + \sqrt{7} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı ise 272\sqrt{7}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
OAOA ve OBOB doğrularının eğimlerini belirleyin.
OAOA doğrusunun eğimi m1=k1=km_1 = \frac{k}{1} = k ve OBOB doğrusunun eğimi m2=3km_2 = \frac{3}{k} olur.
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki bir noktanın ordinatının apsisine oranına eşittir.
2
İki doğru arasındaki açının tanjant formülünü yazın ve uygulayın.
tan⁡45∘=∣m1−m21+m1⋅m2∣  ⟹  1=∣k−3k1+k⋅3k∣  ⟹  1=∣k2−34k∣\tan 45^\circ = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \implies 1 = \left| \frac{k - \frac{3}{k}}{1 + k \cdot \frac{3}{k}} \right| \implies 1 = \left| \frac{k^2 - 3}{4k} \right|
İki doğru arasındaki açıyı veren formül tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| şeklindedir.
3
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözün.
Birinci durum: k2−34k=1  ⟹  k2−4k−3=0\frac{k^2 - 3}{4k} = 1 \implies k^2 - 4k - 3 = 0. Buradan kökler k=2±7k = 2 \pm \sqrt{7} olur. Pozitif olan kök k1=2+7k_1 = 2 + \sqrt{7}'dir. İkinci durum: k2−34k=−1  ⟹  k2+4k−3=0\frac{k^2 - 3}{4k} = -1 \implies k^2 + 4k - 3 = 0. Buradan kökler k=−2±7k = -2 \pm \sqrt{7} olur. Pozitif olan kök k2=−2+7k_2 = -2 + \sqrt{7}'dir.
Mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya pozitif ya da negatif işaretli olarak çıkabilir.
4
Bulunan pozitif kk değerlerini toplayın.
k1+k2=(2+7)+(−2+7)=27k_1 + k_2 = (2 + \sqrt{7}) + (-2 + \sqrt{7}) = 2\sqrt{7}
Soru bizden alabileceği pozitif kk değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı, doğruların eğimleri yardımıyla iki açının farkının tanjantı formülü kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 347Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−tan⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c<a<bc < a < b
Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (c<0c < 0). a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinde tan⁡x<sin⁡x<0\tan x < \sin x < 0 olduğundan sonuç pozitiftir (a>0a > 0). b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinde ise cot⁡x<−1  ⟹  −cot⁡x>1\cot x < -1 \implies -\cot x > 1 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan b>1b > 1 olur. Bu durumda doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen xx açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır. Daha spesifik olarak −22<sin⁡x<0-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0, 22<cos⁡x<1\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, −1<tan⁡x<0-1 < \tan x < 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 aralıklarındadır.
Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.
2
c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini incelemek.
Negatif bir değer olan sin⁡x\sin x ifadesinden pozitif bir değer olan cos⁡x\cos x çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani c<0c < 0 elde edilir.
cc değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.
3
a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinin işaretini incelemek.
IV. bölgede 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 olduğundan tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadesi sin⁡x\sin x değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla sin⁡x−tan⁡x>0\sin x - \tan x > 0 olur. Yani aa pozitiftir (a>0a > 0).
aa değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan cc değerinden büyük olduğunu belirlemek.
4
b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını incelemek.
IV. bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 dir. Buradan −cot⁡x>1-\cot x > 1 olur. Pozitif olan cos⁡x\cos x ile 11'den büyük olan −cot⁡x-\cot x toplandığında b>1b > 1 elde edilir.
bb değerinin 11'den büyük olduğunu göstererek 0<a<10 < a < 1 aralığında kalan aa değerinden büyük olduğunu doğrulamak.
5
Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.
c<0c < 0, 0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan küçükten büyüğe sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Nihai sıralamayı oluşturmak.

Anahtar Kavram

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.
Soru 348Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Üç bölü beş
Doğru cevap olan üç bölü beş değeri, verilen aralıkta tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerinin seçilmesi ve bu değerin kosinüs yarım açı formülünde yerine yazılmasıyla elde edilir. 2x2x açısı birinci bölgede yer aldığından değer pozitif çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant toplamından faydalanarak tanjant değerini bulma.
tan⁡x+1tan⁡x=52⇒2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0⇒(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 \Rightarrow (2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 denkleminden tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} veya tan⁡x=2\tan x = 2 bulunur.
Verilen denklemde kotanjant yerine tanjant cinsinden ifadesi yazılarak tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
2
Açının aralığını kullanarak doğru tanjant kökünü seçme.
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x\tan x değeri 00 ile 11 arasında olmalıdır. Bu nedenle tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} seçilir.
Verilen açı aralığı üçüncü bölgenin ilk yarısı olup, bu bölgede tanjant değeri 1'den küçüktür.
3
Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} bulunur.
Tanjantı bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak için kosinüs yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant değerine bağlı olarak kosinüs yarım açı formülünün uygulanması ve açı aralığına göre işaret analizi.
Soru 349Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x−y)−cos⁡x⋅cos⁡ysin⁡x⋅cos⁡y\frac{\cos(x-y) - \cos x \cdot \cos y}{\sin x \cdot \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \tan(y); \tan y; tan(y); tan y

Cevap

tan⁡y\tan y
Kosinüs fark formülü kullanılarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesi cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y şeklinde açılır. Bu açılım pay kısmındaki −cos⁡x⋅cos⁡y-\cos x \cdot \cos y terimi ile işleme sokulduğunda payda sadece sin⁡x⋅sin⁡y\sin x \cdot \sin y terimi kalır. Elde edilen bu pay değeri, paydadaki sin⁡x⋅cos⁡y\sin x \cdot \cos y terimine bölündüğünde sin⁡x\sin x çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi ise tan⁡y\tan y fonksiyonuna eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs fark formülünü kullanarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesini açın.
cos⁡(x−y)=cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x-y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y
Pay kısmındaki fark terimini sadeleştirebilmek amacıyla kosinüs fark özdeşliği uygulanır.
2
Açılımı pay ifadesinde yerine koyarak sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
Pay = (cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)−cos⁡x⋅cos⁡y=sin⁡x⋅sin⁡y(\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) - \cos x \cdot \cos y = \sin x \cdot \sin y
cos⁡x⋅cos⁡y\cos x \cdot \cos y terimleri zıt işaretli oldukları için birbirini götürür.
3
Bulunan pay değerini paydaya bölerek nihai trigonometrik oranı bulun.
sin⁡x⋅sin⁡ysin⁡x⋅cos⁡y=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y\frac{\sin x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y
Pay ve paydadaki ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi tanjant tanımından tan⁡y\tan y değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam-fark formüllerinin uygulanması ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Soru 350Soru →
cos⁡(3x)−sin⁡(x)=3(sin⁡(3x)+cos⁡(x))\cos(3x) - \sin(x) = \sqrt{3}(\sin(3x) + \cos(x))

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13π6\frac{13\pi}{6}

Cevap

Verilen denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 13π6\frac{13\pi}{6} radyandır.
Denklemin her iki tarafı 2'ye bölünerek düzenlendiğinde kosinüs toplam ve fark formülleri elde edilir. Bu formüller yardımıyla denklem cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) biçimini alır. Kosinüsün genel çözüm formüllerinden [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri sırasıyla 3π4\frac{3\pi}{4}, 11π24\frac{11\pi}{24} ve 23π24\frac{23\pi}{24} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı da 13π6\frac{13\pi}{6} değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenlemek ve her iki tarafı 22'ye bölmek.
12cos⁡(3x)−32sin⁡(3x)=32cos⁡(x)+12sin⁡(x)\frac{1}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)
Katsayıları bilinen özel açıların trigonometrik değerleriyle eşleştirip toplam-fark formüllerini uygulayabilmek.
2
Toplam ve fark formüllerini uygulayarak her iki tarafı kosinüs cinsinden tek bir terim olarak ifade etmek.
cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)
Denklemi cos⁡(A)=cos⁡(B)\cos(A) = \cos(B) formuna getirerek standart çözüm adımlarına geçebilmek.
3
Kosinüs denkleminin genel çözüm formüllerini iki durum için yazmak.
Birinci durum: 3x+π3=x−π6+2kπ⇒x=−π4+kπ3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
İkinci durum: 3x+π3=−(x−π6)+2kπ⇒x=−π24+kπ23x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümünün θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi ve θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi olmasından dolayı.
4
Elde edilen genel çözümlerden [0,π][0, \pi] kapalı aralığında olan kökleri bulmak ve toplamak.
Birinci durumdan x=3π4x = \frac{3\pi}{4}.
İkinci durumdan x=11π24x = \frac{11\pi}{24} ve x=23π24x = \frac{23\pi}{24}.
Köklerin toplamı: 3π4+11π24+23π24=13π6\frac{3\pi}{4} + \frac{11\pi}{24} + \frac{23\pi}{24} = \frac{13\pi}{6}
Belirtilen aralık sınırlarına uyan tüm farklı kökleri tam ve doğru olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri toplam ve fark formülleri kullanarak sadeleştirme ve belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Soru 351Soru →
Dar açılı bir ABCABC üçgeninde,
sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
olduğuna göre, cos⁡C\cos C değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53\frac{\sqrt{5}}{3}

Cevap

Kök 5 bölü 3
Sinüs toplam formülüne göre sol taraf sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3} olur. Üçgen dar açılı olduğu için cos⁡C\cos C pozitif olmalıdır. Buradan cos⁡C=1−sin⁡2C=53\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \frac{\sqrt{5}}{3} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayarak sadeleştirin.
sin⁡(A+B)=sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
Toplam formüllerinden yararlanarak ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştirmek için.
2
Üçgenin iç açılar toplamı özelliğini kullanarak A+BA+B açısını CC açısı cinsinden ifade edin.
A+B+C=180∘⇒A+B=180∘−CA + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C
sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3}
��stenen cos⁡C\cos C değerine geçiş yapabilmek amacıyla açı indirgemesi uygulamak için.
3
Üçgenin dar açılı olması bilgisini kullanarak cos⁡C\cos C değerini hesaplayın.
sin⁡2C+cos⁡2C=1⇒cos⁡2C=1−(23)2=59\sin^2 C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \cos^2 C = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}
Üçgen dar açılı olduğundan C<90∘C < 90^\circ ve dolayısıyla cos⁡C>0\cos C > 0 olmalıdır.
cos⁡C=53\cos C = \frac{\sqrt{5}}{3}
Temel trigonometrik kimliği kullanarak açının bölgesine göre doğru işaretli kosinüs değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve üçgende açı indirgemesi
Soru 352Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, kenar uzunlukları a=53 birima = 5\sqrt{3}\text{ birim} ve b=13 birimb = 13\text{ birim} olarak verilmiştir.

sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} ve C^\widehat{C} açısı dar açı olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 77 birimdir.
Verilen aa ve bb kenarları ile aralarındaki CC açısının ölçüsü (30∘30^\circ) kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla cc kenarı 77 birim olarak hesaplanır. Ardından Sinüs teoremi formülü csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı 77 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} eşitliği ve C^\widehat{C} açısının dar açı olduğu bilgisi kullanılarak CC açısının ölçüsü belirlenir.
m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ
Dar açı olan ve sinüsü 12\frac{1}{2} olan tek açı 30∘30^\circ dir.
2
Kosinüs teoremi uygulanarak cc kenarının uzunluğu hesaplanır.
c2=a2+b2−2abcos⁡C  ⟹  c2=(53)2+132−2⋅53⋅13⋅cos⁡30∘=75+169−1303⋅32=244−195=49  ⟹  c=7c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = (5\sqrt{3})^2 + 13^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 13 \cdot \cos 30^\circ = 75 + 169 - 130\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 244 - 195 = 49 \implies c = 7 birim
cc kenarını bulmak için bilinen iki kenar ile aralarındaki açı kullanılarak Kosinüs teoremi uygulanır.
3
Sinüs teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı (RR) bulunur.
csin⁡C=2R  ⟹  7sin⁡30∘=2R  ⟹  71/2=2R  ⟹  14=2R  ⟹  R=7\frac{c}{\sin C} = 2R \implies \frac{7}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \frac{7}{1/2} = 2R \implies 14 = 2R \implies R = 7 birim
cc kenarı ve bu kenarın karşısındaki CC açısı bilindiğinden Sinüs teoremi ile çevrel çemberin yarıçapına geçiş yapılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ile Kosinüs Teoreminin birlikte uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 353Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡2x−cos⁡2xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin^2 x - \cos^2 x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
sayıları veriliyor.
Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < c < b

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sinüs değeri kosinüs değerinden, tanjant değeri ise kotanjant değerinden büyüktür. Bu durum a>0a > 0 ve b>0b > 0 olmasını sağlar. İfadeler sadeleştirildiğinde b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) ilişkisi elde edilir. Açı 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasında olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı 11'den büyüktür ve bu nedenle b>cb > c olur. Benzer şekilde, c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} bağıntısında payda 11'den küçük pozitif bir değer olduğu için c>ac > a sonucu çıkar. Bu iki durum birleştirildiğinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre fonksiyonların temel büyüklük ilişkilerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan 45∘<x<90∘45^\circ < x < 90^\circ aralığındadır. Bu bölgede sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin birbirlerine göre durumlarını tespit etmeliyiz.
2
Verilen ifadeleri birbirleri cinsinden yazarak karşılaştırma yapma.
a=sin⁡2x−cos⁡2x>0a = \sin^2 x - \cos^2 x > 0 ve b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} olur. Bu aralıkta sin⁡xcos⁡x<12\sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2'dir. Dolayısıyla b>2a>ab > 2a > a elde edilir.
Değişkenleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek ve aralarındaki katsayı ilişkisini bulmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Sekant ve kosekant farkı olan c değerini diğer ifadelerle ilişkilendirme.
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} olur. Buradan b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c(\sin x + \cos x) bağıntısı kurulur. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 ve c>0c > 0 olduğundan b>cb > c olmalıdır. Ayrıca c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} ifadesinde payda 11'den küçük olduğundan c>ac > a bulunur. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Cebirsel özdeşlikler kullanılarak tüm ifadelerin birbirine bağlı oranları incelenir ve kesin sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki değer aralıklarının belirlenmesi ve temel özdeşliklerin sadeleştirilerek sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak veya sınavda pratik çözüme ulaşmak için aralıkta bulunan özel bir açı değeri seçilebilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilirse; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}, cot⁡60∘=33\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2 ve csc⁡60∘=233\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Buradan a=0,75−0,25=0,5a = 0,75 - 0,25 = 0,5, b=3−33=233≈1,15b = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15 ve c=2−233≈0,85c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85 bulunur. Bu değerlerin sıralaması doğrudan a<c<ba < c < b sonucunu verir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 354Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, aa ve bb kenar uzunlukları sırasıyla 6 birim6\text{ birim} ve 3 birimdir.3\text{ birimdir.}

m(A^)−m(B^)=90∘m(\widehat{A}) - m(\widehat{B}) = 90^\circ

olduğuna göre, cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri 2 olarak bulunur.
Sinüs Teoremi uygulanarak 6sin⁡(90∘+B)=3sin⁡B\frac{6}{\sin(90^\circ + B)} = \frac{3}{\sin B} elde edilir. sin⁡(90∘+B)=cos⁡B\sin(90^\circ + B) = \cos B özdeşliği kullanıldığında 6cos⁡B=3sin⁡B\frac{6}{\cos B} = \frac{3}{\sin B} bağıntısı bulunur. Buradan oran-orantı kuralları ile cot⁡B=cos⁡Bsin⁡B=2\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = 2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgende Sinüs Teoremi bağıntısı yazılır.
asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})}
Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
a=6a = 6, b=3b = 3 ve m(A^)=90∘+m(B^)m(\widehat{A}) = 90^\circ + m(\widehat{B}) değerleri denklemde yerine yazılır.
6sin⁡(90∘+B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\sin(90^\circ + \widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})}
Verilen bağıntıyı kullanarak denklemi tek bir açı cinsinden ifade etmek için.
3
Trigonometrik indirgeme kullanılarak sin⁡(90∘+B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+B^)=cos⁡(B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) = \cos(\widehat{B}) olduğundan denklem 6cos⁡(B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\cos(\widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})} halini alır.
İkinci bölgedeki açının sinüs değerini birinci bölgedeki kosinüs cinsinden yazmak için.
4
Elde edilen denklem düzenlenerek cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) oranı hesaplanır.
cos⁡(B^)sin⁡(B^)=63=2\frac{\cos(\widehat{B})}{\sin(\widehat{B})} = \frac{6}{3} = 2 yani cot⁡(B^)=2\cot(\widehat{B}) = 2 bulunur.
Soruda bizden istenen oranı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Soru 355Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif iken tan⁡x>1\tan x > 1 ve 0<cot⁡x<10 < \cot x < 1 olmaktadır. Bu durumda cc ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür. aa ve bb değerleri negatif olup, a−ba - b farkının negatif çıkmasından ötürü a<ba < b sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.
Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu alt aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 ve 0<cot⁡x<1<tan⁡x0 < \cot x < 1 < \tan x koşulları sağlanır.
Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini incelemek.
a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (a<0a < 0). b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (b<0b < 0). c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (c>0c > 0).
Pozitif olan cc değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan aa ile bb değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.
3
aa ve bb negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için a−ba - b farkını incelemek.
a−b=sin⁡2xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡x=sin⁡3x−cos⁡3xsin⁡xcos⁡xa - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x} ifadesinde, sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan pay kısmı sin⁡3x−cos⁡3x<0\sin^3 x - \cos^3 x < 0 olur. Payda ise sin⁡xcos⁡x>0\sin x \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 yani a<ba < b elde edilir.
Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 356Soru →
α\alpha ve β\beta birer dar açı olmak üzere,
tan⁡α=2\tan \alpha = 2
cos⁡β=35\cos \beta = \frac{3}{5}
olduğuna göre, sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 255\frac{2\sqrt{5}}{5}

Cevap

255\frac{2\sqrt{5}}{5}
Sinüs toplam formülü olan sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta kullanıldığında, tan⁡α=2\tan \alpha = 2 ve cos⁡β=3/5\cos \beta = 3/5 değerlerinden elde edilen sin⁡α=2/5\sin \alpha = 2/\sqrt{5}, cos⁡α=1/5\cos \alpha = 1/\sqrt{5} ve sin⁡β=4/5\sin \beta = 4/5 değerleri yerine yazılarak 255\frac{2\sqrt{5}}{5} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik değerlerden yola çıkarak dar açıların diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
tan⁡α=2  ⟹  sin⁡α=25\tan \alpha = 2 \implies \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡α=15\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. cos⁡β=35  ⟹  sin⁡β=45\cos \beta = \frac{3}{5} \implies \sin \beta = \frac{4}{5} (3-4-5 dik üçgeninden) elde edilir.
Toplam formülünde kullanabilmek için her iki açının da sinüs ve kosinüs değerlerine ihtiyacımız vardır.
2
Sinüs toplam formülünü yazalım ve bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
sin⁡(α+β)=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta formülünde değerleri yerine yazarsak:
sin⁡(α+β)=(25)⋅(35)+(15)⋅(45)\sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) olur.
İki açının toplamının sinüsünü bulmak için toplam formülü uygulanmalıdır.
3
Rasyonel ifadelerde çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirelim.
sin⁡(α+β)=655+455=1055=25\sin(\alpha + \beta) = \frac{6}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir.
Ortak paydada toplama işlemi yapılarak ifade sadeleştirilir.
4
Elde edilen sonucu paydasını rasyonel yaparak düzenleyelim.
25=255\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Seçeneklerdeki köklü ifade formatına uymak için payda 5\sqrt{5} ile genişletilir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının sinüsü, bu açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin çarpımlarının toplamına eşittir: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.
Soru 357Soru →
3⋅cos⁡50∘+sin⁡50∘cos⁡20∘\frac{\sqrt{3} \cdot \cos 50^\circ + \sin 50^\circ}{\cos 20^\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin değeri 2'dir.
Verilen ifadede 3\sqrt{3} katsayısı yerine tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} yazılarak payda eşitlendiğinde pay kısmı sinüsün toplam formülü olan sin⁡(60∘+50∘)=sin⁡110∘\sin(60^\circ + 50^\circ) = \sin 110^\circ ifadesine dönüşür. Payda kısmındaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} değeri yukarı çarpım olarak geçer ve pay 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur. İkinci bölgede açılar dönüştürüldüğünde sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan payda yer alan cos⁡20∘\cos 20^\circ ile sadeleşir ve sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
3\sqrt{3} katsayısını tanjant cinsinden ifade etme
3=tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıyı trigonometrik orana çeviririz.
2
Pay kısmında payda eşitleme yapma
sin⁡60∘⋅cos⁡50∘+cos⁡60∘⋅sin⁡50∘cos⁡60∘\frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 50^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 50^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplama işlemini ortak paydada birleştirerek pay kısmında sinüs toplam formülünün yapısını oluştururuz.
3
Sinüs toplam formülünü uygulama ve cos⁡60∘\cos 60^\circ değerini yerine yazma
Pay sin⁡110∘\sin 110^\circ, paydadaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} yukarı çarpım olarak geçtiğinde pay ifadesi 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur.
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b özdeşliğini kullanırız.
4
Açı indirgemesi yapma ve sonucu bulma
sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan ifade 2cos⁡20∘cos⁡20∘=2\frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 olur.
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek için açıyı birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayacak şekilde dar açıya dönüştürürüz.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve 3=tan⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ dönüşümü yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 358Soru →
x+y=5π6x + y = \frac{5\pi}{6} olmak üzere,
(sin⁡x−cos⁡y)2+(cos⁡x−sin⁡y)2(\sin x - \cos y)^2 + (\cos x - \sin y)^2

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İfadenin doğru değeri 1'dir.
Parantez kareler açılıp sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 özdeşliği uygulandığında ifade 2−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) şekline gelir. Bu ifade, sinüs toplam formülüyle 2−2sin⁡(x+y)2 - 2\sin(x+y) olarak yazılabilir. x+y=150∘x+y = 150^\circ için sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 olduğundan doğru sonuç 2−2⋅(1/2)=12 - 2 \cdot (1/2) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parantez kare ifadelerini açarak toplayalım.
(sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡y+cos⁡2y)+(cos⁡2x−2cos⁡xsin⁡y+sin⁡2y)(\sin^2 x - 2\sin x \cos y + \cos^2 y) + (\cos^2 x - 2\cos x \sin y + \sin^2 y)
Trigonometrik özdeşlikleri ve toplam formüllerini uygulayabilmek için öncelikle parantezleri açmamız gerekir.
2
Terimleri gruplandırarak aynı açıya ait temel trigonometrik özdeşliği (sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1) uygulayalım.
(sin⁡2x+cos⁡2x)+(sin⁡2y+cos⁡2y)−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)=2−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = 2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y)
İfadeyi basitleştirmek için sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2y+cos⁡2y=1\sin^2 y + \cos^2 y = 1 eşitliklerini kullanırız.
3
Parantez içindeki ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayalım.
2−2sin⁡(x+y)2 - 2\sin(x+y)
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b toplam formülünü kullanarak terimleri tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştiririz.
4
Soruda verilen x+y=5π6x + y = \frac{5\pi}{6} değerini yerine yazıp sonucu hesaplayalım.
sin⁡(5π6)=sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} olduğundan, sonuç 2−2⋅12=2−1=12 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Bilinen açı değerini sadeleşmiş ifadede yerine koyarak sayısal sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci bölgedeki açıların indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 359Soru →
Bir ABCABC üçgeninde,
∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta
m(ACB^)=90∘+θm(\widehat{ACB}) = 90^\circ + \theta
olduğuna göre, cot⁡θ\cot\theta değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

32\frac{3}{2}
Sinüs Teoremi gereği 4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)} yazılır. İkinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur. Buradan 4sin⁡θ=6cos⁡θ\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} elde edilir ve içler dışlar çarpımıyla cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=32\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi bağıntısını yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)  ⟹  4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} \implies \frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır.
2
sin⁡(90∘+θ)\sin(90^\circ + \theta) ifadesine trigonometrik indirgeme uygulayın.
90∘+θ90^\circ + \theta açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve açı 90∘90^\circ cinsinden yazıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür: sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta
Eşitliği sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için.
3
Elde edilen denklemi çözerek cot⁡θ\cot\theta değerini bulun.
4sin⁡θ=6cos⁡θ  ⟹  4cos⁡θ=6sin⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ=64  ⟹  cot⁡θ=32\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} \implies 4\cos\theta = 6\sin\theta \implies \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{6}{4} \implies \cot\theta = \frac{3}{2}
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ABCABC üçgeninde CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirilerek de dik üçgen yardımıyla çözüm yapılabilir, ancak Sinüs Teoremi doğrudan ve en hızlı çözümü sunar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 360Soru →
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)−1\sin(2x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1 denkleminin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin verilen kapalı aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklemin yarım açı dönüşümü yapılıp çarpanlarına ayrılmasıyla sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} ve cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemlerine ulaşılır. Bu denklemlerin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki çözümleri x=0x = 0, x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)−2sin⁡(x)+1=02\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - 2\sin(x) + 1 = 0
Denklemi tek bir açı türüne indirgemek için yarım açı dönüşümü yapıl��r.
2
Denklemi çarpanlarına ayırın.
(2sin⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0
Gruplandırma yöntemi kullanılarak ortak terim olan (cos⁡(x)−1)(\cos(x) - 1) parantezine alınır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya cos⁡(x)=1\cos(x) = 1
Çarpımın sonucunun sıfır olması için her bir çarpanın sıfır olma durumları incelenir.
4
Belirlenen aralıktaki kökleri yazın.
x=0x = 0 ve x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
[0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki trigonometrik değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 18 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 18 | Examkin