Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 21Soru →
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 2\cos(3x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π2\frac{3\pi}{2}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin sol tarafı toplam formülüyle basitleştirilip kosinüs cinsine çevrildikten sonra oluşan iki kök ailesinden belirtilen aralığa düşen üç adet kök elde edilir. Bu köklerin toplamı üç bölü iki pi değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafındaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmak için 3\sqrt{3} yerine tan⁡(π3)=sin⁡(π3)cos⁡(π3)\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} yazılır.
sin⁡(x)+sin⁡(π3)cos⁡(π3)cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\cos(x) = 2\cos(3x)
Toplama formülünü kullanarak sol tarafı tek bir sinüs fonksiyonuna dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Payda eşitlemesi yapılarak sol taraftaki pay kısmında sinüsün toplam formülü (sin⁡(a+b)\sin(a+b)) elde edilir.
sin⁡(x)cos⁡(π3)+cos⁡(x)sin⁡(π3)cos⁡(π3)=2cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡(x+π3)12=2cos⁡(3x)\frac{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = 2\cos(3x) \implies \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\cos(3x)
Trigonometrik toplam formüllerini uygulayarak denklemi basitleştirmek amaçlanır.
3
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki 12\frac{1}{2} ifadesi karşıya atılır ve her iki taraftaki katsayılar sadeleştirilir.
sin⁡(x+π3)=cos⁡(3x)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)
Denklemi çözülebilir temel trigonometrik formata getirmek için katsayılardan arındırma yapılır.
4
Sinüs ifadesi kosinüs cinsinden yazılır.
cos⁡(π2−(x+π3))=cos⁡(3x)  ⟹  cos⁡(π6−x)=cos⁡(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x) \implies \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos(3x)
cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos(a) = \cos(b) biçiminde bir denklem elde ederek standart çözüm kurallarını uygulayabilmek için iki taraf da kosinüs cinsine çevrilir.
5
Kosinüs denkleminin genel çözüm kuralları (cos⁡(α)=cos⁡(β)  ⟹  α=±β+2kπ\cos(\alpha) = \cos(\beta) \implies \alpha = \pm\beta + 2k\pi) kullanılarak iki farklı kök ailesi oluşturulur.
1. Durum: 3x=π6−x+2kπ  ⟹  4x=π6+2kπ  ⟹  x=π24+kπ23x = \frac{\pi}{6} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
2. Durum: 3x=−(π6−x)+2kπ  ⟹  2x=−π6+2kπ  ⟹  x=−π12+kπ3x = -\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi
Kosinüs fonksiyonunun periyodik yapısına ve simetrisine göre tüm olası çözümleri bulmak hedeflenir.
6
(0,π)(0, \pi) açık aralığında yer alan kökleri belirlemek için her iki durumda kk tam sayı değerleri yerine yazılır.
1. Durumdan: k=0  ⟹  x1=π24k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{24}, k=1  ⟹  x2=13π24k=1 \implies x_2 = \frac{13\pi}{24}
2. Durumdan: k=1  ⟹  x3=11π12k=1 \implies x_3 = \frac{11\pi}{12}
Sadece belirtilen tanım aralığındaki gerçel kökleri süzmek amaçlanır.
7
Bulunan üç farklı kök toplanır.
Toplam=π24+13π24+22π24=36π24=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{24} + \frac{13\pi}{24} + \frac{22\pi}{24} = \frac{36\pi}{24} = \frac{3\pi}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde toplam-fark formüllerinin kullanılması ve kosinüs denkleminin periyodik çözüm kümelerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = -3

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45\frac{4}{5}

Cevap

4/5 değeri
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−3\cot x = -3 elde edilir. İkinci bölgede cot⁡x=−3\cot x = -3 olduğu için dik üçgen yardımıyla cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} ve sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} değerleri bulunur. cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünde bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 4/5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak verilen rasyonel ifadeyi sadeleştirmek
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cot⁡x=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \cot x = -3
Rasyonel ifadeyi en sade haline getirerek açının kotanjant değerini belirlemek
2
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığını dikkate alarak sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x değerlerini bulmak
sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}
İkinci bölgede kosinüs değerinin negatif, sinüs değerinin pozitif olduğunu belirleyip dik üçgen yardımıyla oranları hesaplamak
3
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünü uygulamak
cos⁡(2x)=(−310)2−(110)2=910−110=45\cos(2x) = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{5}
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak istenen değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 23Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(x−60∘)=2sin⁡(x−30∘)\cos(x - 60^\circ) = 2\sin(x - 30^\circ)
denklemini sağlayan xx açısı kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemi sağlayan dar açı 60 derecedir.
Verilen denklemde kosinüs ve sinüs fark formülleri uygulanıp benzer terimler gruplandırıldığında tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan dar açı 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki terimi kosinüs fark formülü yardımıyla açmak.
cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Kosinüs fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡60∘=1/2\cos 60^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2) yerine yazılmıştır.
2
Sağ taraftaki terimi sinüs fark formülü yardımıyla açmak.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x
Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2) yerine yazılmıştır.
3
Elde edilen açılımları denklemde yerine koyup denklemi düzenlemek.
32cos⁡x=32sin⁡x\frac{3}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Açılımlar denklemde yerine yazılıp benzer terimler bir araya toplandığında denklem sadeleşir.
4
tan⁡x\tan x değerini hesaplamak.
tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yararlanarak sadeleşen denklemin her iki tarafı düzenlenir.
5
Dar açı tanımına uygun çözümü belirlemek.
x=60∘x = 60^\circ
0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →
cos⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)\frac{\cos(2x)}{\sin(x) - \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 1'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek için paydanın sıfırdan farklı olması gerektiği koşulunu yazın.
sin⁡(x)−cos⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\sin(x) - \cos(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1. Bu durumda (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında x≠π4x \neq \frac{\pi}{4} ve x≠5π4x \neq \frac{5\pi}{4} olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler denklemi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenleyin.
cos⁡(2x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))2  ⟹  cos⁡(2x)=sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)  ⟹  cos⁡(2x)=1−sin⁡(2x)\cos(2x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 \implies \cos(2x) = \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) \implies \cos(2x) = 1 - \sin(2x) elde edilir.
İfadeyi daha sade bir biçimde yazıp bilinen trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Elde edilen cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1\cos(2x) + \sin(2x) = 1 denklemini yarım açı formüllerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡2(x)−sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)  ⟹  2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)=0  ⟹  2sin⁡(x)(cos⁡(x)−sin⁡(x))=0\cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) \implies 2\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) = 0 \implies 2\sin(x)(\cos(x) - \sin(x)) = 0 bulunur. Buradan sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)−sin⁡(x)=0\cos(x) - \sin(x) = 0 elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle kök adaylarını belirlemek için.
4
Aday kökleri (0,2π)(0, 2\pi) aralığında bulun ve tanımsızlık koşuluna göre kontrol edin.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=π\sin(x) = 0 \implies x = \pi (geçerli kök). cos⁡(x)−sin⁡(x)=0  ⟹  x=π4\cos(x) - \sin(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4} veya x=5π4x = \frac{5\pi}{4} (paydayı sıfır yaptığından geçersiz). Toplamda sadece 1 adet gerçel kök (x=πx = \pi) vardır.
Bulunan aday köklerin başlangıçtaki denklemi tanımlı yapıp yapmadığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde sadeleştirme adımlarında ortaya çıkan yalancı köklerin payda kontrolü ile elenmesi.
Soru 25Soru →
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=−712\frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = -\frac{7}{12}
olduğuna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −55-\frac{\sqrt{5}}{5}

Cevap

Soru kökündeki ifadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 elde edilir. İkinci bölgede kosinüs negatif değer aldığından dik üçgen yardımıyla cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} olarak bulunur.
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretleri doğru belirlenip yarım açı formülleri ardışık olarak uygulandığında tanjant değeri tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, dik üçgen bağıntısından cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin sol tarafındaki pay kısmını iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirin.
cos⁡4θ−sin⁡4θ=(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos(2\theta)
Pay kısmını çarpanlarına ayırıp yarım açı formüllerini uygulayarak ifadeyi basitleştirmek için.
2
Bulunan sonucu denklemde yerine yazıp ifadeyi cot(2θ) ve tan(2θ) cinsinden düzenleyin.
cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)\frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = \cot(2\theta) - \tan(2\theta)
Yarım açı formüllerini daha kolay uygulamak için terimleri trigonometrik oranlar cinsinden yazmak.
3
cot(2θ) - tan(2θ) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazın.
cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡2(2θ)−sin⁡2(2θ)sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡(4θ)12sin⁡(4θ)=2cot⁡(4θ)\cot(2\theta) - \tan(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} = \frac{\cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta)}{\sin(2\theta)\cos(2\theta)} = \frac{\cos(4\theta)}{\frac{1}{2}\sin(4\theta)} = 2\cot(4\theta)
Denklemi tek bir açı cinsinden çözebilmek amacıyla yarım açı formülünü tersine uygulamak.
4
Elde edilen 2cot(4θ) ifadesini verilen değere eşitleyip tan(4θ) değerini bulun.
2cot⁡(4θ)=−712  ⟹  cot⁡(4θ)=−724  ⟹  tan⁡(4θ)=−2472\cot(4\theta) = -\frac{7}{12} \implies \cot(4\theta) = -\frac{7}{24} \implies \tan(4\theta) = -\frac{24}{7}
Bir sonraki adımda tan(2θ) değerini bulabilmek için tan(4θ) değerini elde etmek.
5
tan(2θ) değerini bulmak için tan(4θ) yarım açı formülünü kullanın ve verilen aralığa göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)  ⟹  2θ∈(5π4,3π2)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge). 3. bölgede tanjant pozitif olduğundan tan⁡(2θ)>0\tan(2\theta) > 0 olmalıdır. tan⁡(4θ)=2tan⁡(2θ)1−tan⁡2(2θ)  ⟹  −247=2t1−t2  ⟹  12t2−7t−12=0  ⟹  (3t−4)(4t+3)=0  ⟹  tan⁡(2θ)=43\tan(4\theta) = \frac{2\tan(2\theta)}{1 - \tan^2(2\theta)} \implies -\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 \implies (3t-4)(4t+3) = 0 \implies \tan(2\theta) = \frac{4}{3}
Açının bulunduğu bölgeyi analiz ederek doğru tan(2θ) değerini seçmek.
6
tan(2θ) değerinden yararlanarak tanθ değerini bulun ve θ açısının bölgesine göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) (2. bölge). 2. bölgede tanjant negatif olduğundan tan⁡θ<0\tan\theta < 0 olmalıdır. tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ  ⟹  43=2u1−u2  ⟹  2u2+3u−2=0  ⟹  (2u−1)(u+2)=0  ⟹  tan⁡θ=−2\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \implies \frac{4}{3} = \frac{2u}{1-u^2} \implies 2u^2 + 3u - 2 = 0 \implies (2u-1)(u+2) = 0 \implies \tan\theta = -2
θ açısının bölgesini dikkate alarak tanθ değerini doğru şekilde hesaplamak.
7
tanθ değerinden yola çıkarak dik üçgen yardımıyla cosθ değerini bulun.
tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 ve θ\theta 2. bölgede olduğundan cos⁡θ\cos\theta negatif değer alır. Kenarları 2 ve 1 olan dik üçgende hipotenüs 5\sqrt{5} birimdir. Buradan cos⁡θ=−15=−55\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} elde edilir.
Tanjant değerini kosinüs değerine dönüştürmek ve bölgeye göre doğru işareti atamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 26Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)sin⁡2xcos⁡2x=12\frac{\cos^2(2x) - \sin^2(2x)}{\sin^2 x \cos^2 x} = 12

olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

İfadenin doğru cevabı -0.28 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) biçimine dönüştürülür. cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) özdeşliği yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=1/5\sin^2(2x) = 1/5 ve cos⁡(4x)=3/5\cos(4x) = 3/5 elde edilir. Son olarak cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 formülünden doğru cevap -7/25 yani -0.28 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri yarım açı formülleri cinsinden yazın.
Pay: cos⁡(4x)\cos(4x), Payda: sin⁡2(2x)4\frac{\sin^2(2x)}{4}
İfadeyi tek bir açı türüne indirgemek ve sadeleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen denklemde yerine koyup düzenleyin.
4cos⁡(4x)sin⁡2(2x)=12  ⟹  cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\frac{4\cos(4x)}{\sin^2(2x)} = 12 \implies \cos(4x) = 3\sin^2(2x)
cos⁡(4x)\cos(4x) ve sin⁡2(2x)\sin^2(2x) arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) yerine kosinüsün yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(2x)1 - 2\sin^2(2x) yazarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini hesaplayın.
1−2sin⁡2(2x)=3sin⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)=151 - 2\sin^2(2x) = 3\sin^2(2x) \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{5}
İkinci dereceden denklemi çözerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini elde etmek için.
4
sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) değerini bulun.
cos⁡(4x)=1−2(15)=35\cos(4x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5}
Bir sonraki ad��mda cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplarken cos⁡(4x)\cos(4x) değerine ihtiyaç duyulduğu için.
5
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayın.
cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1=2(35)2−1=−725=−0.28\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} = -0.28
Soru kökündeki istenen değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının yarım açı formüllerinin uygulanması ve denklemlerin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) eşitliğinde sin⁡2(2x)=1−cos⁡2(2x)\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) yazılarak doğrudan cos⁡(2x)\cos(2x) veya cos⁡(4x)\cos(4x) üzerinden de çözüme gidilebilir: cos⁡(4x)=3(1−cos⁡2(2x))=3(1−1+cos⁡(4x)2)\cos(4x) = 3(1 - \cos^2(2x)) = 3\left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) denkleminden cos⁡(4x)=3−32−32cos⁡(4x)  ⟹  52cos⁡(4x)=32  ⟹  cos⁡(4x)=35\cos(4x) = 3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) \implies \frac{5}{2}\cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = \frac{3}{5} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →
α=arctan⁡(12)+arctan⁡(18)+arctan⁡(118)+arctan⁡(132)\alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{8}\right) + \arctan\left(\frac{1}{18}\right) + \arctan\left(\frac{1}{32}\right)

olduğuna göre, tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Doğru cevap 9 değerini veren seçenektir.
Teleskopik toplam yöntemiyle α=arctan⁡(9)−π4\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} olarak sadeleşir. Bu eşitlikten α+π4=arctan⁡(9)\alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) yazılır. Her iki tarafın tanjantı alındığında tan⁡(α+π4)=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir terimin genel biçimini belirlemek için terimleri analiz edelim.
Terimler n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 için arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) formundadır.
Toplamdaki terimlerin düzenini ve teleskopik (ardışık sadeleşen) bir yapıya dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini anlamak için.
2
arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) ifadesini toplam-fark formüllerini kullanabileceğimiz bir biçimde yeniden yazalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(24n2)=arctan⁡((2n+1)−(2n−1)1+(2n−1)(2n+1))\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan\left(\frac{2}{4n^2}\right) = \arctan\left(\frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n-1)(2n+1)}\right) elde edilir.
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} özdeşliğini ters trigonometrik fonksiyonlara uygulayabilmek için.
3
Elde ettiğimiz ifadeye arctan fark formülünü uygulayalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(2n+1)−arctan⁡(2n−1)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan(2n+1) - \arctan(2n-1) olur.
Toplamı teleskopik bir seriye dönüştürerek terimlerin birbirini götürmesini sağlamak için.
4
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerlerini yazarak terimleri toplayalım.
α=(arctan⁡(3)−arctan⁡(1))+(arctan⁡(5)−arctan⁡(3))+(arctan⁡(7)−arctan⁡(5))+(arctan⁡(9)−arctan⁡(7))=arctan⁡(9)−arctan⁡(1)\alpha = (\arctan(3) - \arctan(1)) + (\arctan(5) - \arctan(3)) + (\arctan(7) - \arctan(5)) + (\arctan(9) - \arctan(7)) = \arctan(9) - \arctan(1) elde edilir.
Teleskopik toplam sayesinde aradaki terimleri sadeleştirmek için.
5
arctan⁡(1)=π4\arctan(1) = \frac{\pi}{4} değerini yerine yazarak α\alpha açısını düzenleyelim ve tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) değerini bulalım.
α=arctan⁡(9)−π4  ⟹  α+π4=arctan⁡(9)\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} \implies \alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) olur. Buradan tan⁡(α+π4)=tan⁡(arctan⁡(9))=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \tan(\arctan(9)) = 9 bulunur.
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam ve fark formülleri yardımıyla ters tanjant (arctan) ifadelerinin fark biçiminde yazılması ve teleskopik toplam yöntemiyle sadeleştirilmesi.
Soru 28Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)−1−sin⁡(2x)=−65\sqrt{1 + \sin(2x)} - \sqrt{1 - \sin(2x)} = -\frac{6}{5}

olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −43-\frac{4}{3}

Cevap

−43-\frac{4}{3}
Verilen denklemde karekök içindeki ifadeler tam kare olarak yazılıp mutlak değer dışına çıkarıldığında, x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olduğu görülür. Buradan denklem 2cos⁡x=−652\cos x = -\frac{6}{5} haline gelir ve cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} bulunur. İkinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} olduğundan, tan⁡x=−43\tan x = -\frac{4}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içlerindeki ifadeleri tam kare biçiminde yazma
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarmak için.
2
İfadeleri karekök dışına mutlak değer ile çıkarma
(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
Karekök dışına çıkan çift dereceli köklü ifadelerin işaret kontrolünün yapılması gerektiği için.
3
Verilen açı aralığına göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında:

1. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

2. Bu aralıkta sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x+cos⁡x∣=sin⁡x+cos⁡x|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x olur.

3. sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olur.
Mutlak değerli ifadelerin işaretlerini doğru belirleyerek denklemi çözmek için.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak cos⁡x\cos x değerini bulma
(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)=−65(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = -\frac{6}{5}

2cos⁡x=−65  ⟹  cos⁡x=−352\cos x = -\frac{6}{5} \implies \cos x = -\frac{3}{5}
Denklemin sol tarafını sadeleştirip tek bir trigonometrik fonksiyona bağlı hale getirmek için.
5
sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerlerini hesaplama
sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=4/5−3/5=−43\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}
Tanjant değerini elde etmek için kosinüs değerinden yararlanıp sinüsü bulmak ve oranlamak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla tam kare ifadeler oluşturma ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleme.
Soru 29Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=1.2\frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.2

olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.44

Cevap

sin(4x) ifadesinin değeri 0,44 olarak bulunur.
Soruda pay kısmında verilen cos⁡(4x)\cos(4x) terimi kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) - \sin^2(2x) olarak yazılıp iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrıldığında paydadaki cos⁡(2x)−sin⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) terimiyle sadeleşir. Kalan cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2 denkleminin karesi alındığında elde edilen 1+sin⁡(4x)=1.441 + \sin(4x) = 1.44 denkleminden aranan değer 0.440.44 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan cos(4x) ifadesine yarım açı ve iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
cos⁡(4x)=(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(cos⁡(2x)+sin⁡(2x))\cos(4x) = (\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) + \sin(2x))
Payda ile ortak çarpanlar elde edip sadeleştirme yapabilmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
2
Elde edilen çarpanlar paydadaki terimle sadeleştirilir.
cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2
Pay ve paydadaki ortak olan (cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(\cos(2x) - \sin(2x)) terimleri sadeleşerek ifadeyi doğrusal bir forma getirir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınır.
cos⁡2(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡2(2x)=1.44\cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1.44
Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sin(4x) terimini açığa çıkarmak için iki tarafın da karesi alınmalıdır.
4
Temel trigonometrik özdeşlikler yerine yazılır ve bilinmeyen yalnız bırakılır.
1+sin⁡(4x)=1.44  ⟹  sin⁡(4x)=0.441 + \sin(4x) = 1.44 \implies \sin(4x) = 0.44
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 ve 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=sin⁡(4x)2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x) eşitlikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülü ile çarpanlara ayırma ve toplamın karesi özdeşliğinden sinüs yarım açı formülüne geçiş.
Soru 30Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)=13\frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Doğru cevap 0,6'dır.
Verilen denklemde pay cos⁡2x−sin⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x şeklinde, payda ise (cos⁡x+sin⁡x)2(\cos x + \sin x)^2 şeklinde yazılıp sadeleştirildiğinde tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 elde edilir. Bu değer cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 0,6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleri ve temel özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x+sin⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpanlar oluşturulur.
2
Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim ve tan⁡x\tan x değerini çekelim.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)2=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{3}
3cos⁡x−3sin⁡x=cos⁡x+sin⁡x  ⟹  2cos⁡x=4sin⁡x  ⟹  tan⁡x=123\cos x - 3\sin x = \cos x + \sin x \implies 2\cos x = 4\sin x \implies \tan x = \frac{1}{2}
İçler dışlar çarpımı yapılarak sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki oran bulunur ve bu oran tan⁡x\tan x değerini verir.
3
tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(1/2)21+(1/2)2=1−1/41+1/4=3/45/4=35=0,6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5} = 0,6
Kosinüs yarım açı formülü tanjant cinsinden yazılarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 31Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡x+sin⁡(3x)sin⁡x=3\frac{\cos(3x)}{\cos x} + \frac{\sin(3x)}{\sin x} = 3
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18\frac{1}{8}

Cevap

İfadenin doğru değeri 18\frac{1}{8}'dir.
Verilen denklemde payda eşitlendikten sonra pay kısmında sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(4x)\sin(4x) ve paydada sinüs yarım açı formülü yardımıyla 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. Bu ifadeler oranlandığında 4cos⁡(2x)=34\cos(2x) = 3 eşitliğinden cos⁡(2x)=34\cos(2x) = \frac{3}{4} bulunur. İstenen cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesi kosinüs yarım açı formülüyle açıldığında cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 olur. Burada cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 34\frac{3}{4} yazılarak 18\frac{1}{8} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=3\frac{\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = 3
İfadeleri tek bir paydada birleştirerek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü, payda kısmındaki ifadeyi ise sin��s yarım açı formülü kullanarak düzenleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡x=sin⁡(3x+x)=sin⁡(4x)\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x = \sin(3x + x) = \sin(4x)
sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)
Buradan,
sin⁡(4x)12sin⁡(2x)=3  ⟹  2sin⁡(4x)sin⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 3 \implies \frac{2\sin(4x)}{\sin(2x)} = 3
Trigonometrik ifadeleri daha sade bir forma dönüştürmek için.
3
Paydaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sadeleştirelim.
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)
2⋅2sin⁡(2x)cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3  ⟹  4cos⁡(2x)=3  ⟹  cos⁡(2x)=34\frac{2 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(2x)} = 3 \implies 4\cos(2x) = 3 \implies \cos(2x) = \frac{3}{4}
(Burada x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) olduğundan sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olur ve sadeleştirme geçerlidir.)
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini yalnız bırakmak için.
4
Bulduğumuz cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini kosinüs yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1
cos⁡(4x)=2(34)2−1=2(916)−1=98−1=18\cos(4x) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}
Bulunur.
Bizden istenen nihai trigonometrik değeri hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Soru 32Soru →
Tanımlı xx ve yy gerçel sayıları için,
cot⁡y−cot⁡x=3\cot y - \cot x = 3
tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2
olduğuna göre, tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri 22'dir.
Kotanjant farkından yola çıkılarak elde edilen tan⁡x−tan⁡y=3tan⁡xtan⁡y\tan x - \tan y = 3\tan x\tan y ifadesi, tan⁡(x−y)\tan(x-y) fark formülünde yerine konulduğunda aranan tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y terimine bağlı birinci dereceden bir denklem elde edilmektedir. Bu denklem çözüldüğünde çarpımın değeri doğrudan 22 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant terimlerini tanjant cinsinden ifade ederek payda eşitleme yapın.
tan⁡x−tan⁡y=3⋅tan⁡x⋅tan⁡y\tan x - \tan y = 3 \cdot \tan x \cdot \tan y bağıntısı elde edilir.
Toplam-fark formülü tanjant üzerinden tanımlı olduğu için tüm terimleri tanjant cinsine dönüştürmek kolaylık sağlar.
2
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2 eşitliğini yazın.
tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 eşitliği elde edilir.
Fark açısının tanjant değerini kullanmak amacıyla formül açılımı yapılır.
3
İlk adımdaki tan⁡x−tan⁡y\tan x - \tan y ifadesini fark formülündeki pay kısmına yerleştirin.
3⋅tan⁡x⋅tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3 \cdot \tan x \cdot \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişken grubu üzerinden işlem yapabilmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
4
Denklemde içler dışlar çarpımı yapıp tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını yalnız bırakın.
tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur.
Rasyonel denklemin çözülmesiyle doğrudan hedeflenen çarpım değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel sadeleştirmelerle birlikte kullanılması.
Soru 33Soru →
Analitik düzlemde,
d1:3x−4y+12=0d_1: 3x - 4y + 12 = 0
d2:5x+12y−20=0d_2: 5x + 12y - 20 = 0
doğruları veriliyor.

Buna göre, bu iki doğru arasında kalan dar açının kosinüsü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3365\frac{33}{65}

Cevap

Doğruların eğimlerinden tanjant fark formülü yardımıyla aralarındaki dar açının tanjantı 56/33 bulunur. Buradan dik üçgen çizilerek dar açının kosinüsü 33/65 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 33/65 değeri, doğruların eğimlerinden (3/4 ve -5/12) hareketle tanjant fark formülü kullanılarak aralarındaki dar açının tanjantının 56/33 olarak bulunması ve bu değerin bir dik üçgene aktarılarak kosinüsünün hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların denklemlerinden eğimlerini belirleyin.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=34m_1 = \frac{3}{4} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−512m_2 = -\frac{5}{12} olarak bulunur.
İki doğru arasındaki açıyı bulmak için bu doğruların eğimlerini kullanacağız.
2
İki doğru arasındaki dar açıyı θ\theta kabul ederek, eğimler yardımıyla tan⁡θ\tan\theta değerini hesaplayın.
tan⁡θ=∣m1−m21+m1⋅m2∣=∣34−(−512)1+34⋅(−512)∣=∣912+5121−1548∣=∣14123348∣=76⋅1611=5633\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{9}{12} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} \right| = \left| \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} \right| = \frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = \frac{56}{33} elde edilir.
İki doğru arasındaki açının tanjant formülü tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| şeklindedir.
3
Tanjant değeri bilinen dar açının kosinüs değerini dik üçgen çizerek hesaplayın.
Bir dik üçgende karşı dik kenar 5656, komşu dik kenar 3333 birim olarak alınırsa, hipotenüs uzunluğu: 332+562=1089+3136=4225=65\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65 birim olur. Buradan dar açının kosinüsü: cos⁡θ=Koms¸uHipotenu¨s=3365\cos\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{33}{65} olarak bulunur.
Tanjant değerinden kosinüs değerine geçiş yapmak için dik üçgen bağıntıları kullanılır.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve toplam-fark formülleri yardımıyla trigonometrik oranların hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 34Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
tan⁡(x+y)=3\tan(x+y) = 3
cot⁡(x−y)=2\cot(x-y) = 2
olduğuna göre, tan⁡(2y)\tan(2y) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Verilen cot(x-y) = 2 ifadesinden tan(x-y) = 1/2 elde edilir. 2y açısı (x+y) - (x-y) şeklinde yazılıp tanjant fark formülü uygulandığında sonucun 1 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kotanjant değerini tanjant değerine dönüştürün.
tan⁡(x−y)=12\tan(x-y) = \frac{1}{2}
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasında tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 ilişkisi vardır.
2
2y2y açısını, toplamı veya farkı 2y2y olan bilinen açılar cinsinden ifade edin.
2y=(x+y)−(x−y)2y = (x+y) - (x-y)
x+yx+y ve x−yx-y açılarının farkı alındığında xx değişkenleri birbirini götürür ve geriye 2y2y kalır.
3
Tanjant fark formülünü uygulayın.
tan⁡(2y)=tan⁡((x+y)−(x−y))=tan⁡(x+y)−tan⁡(x−y)1+tan⁡(x+y)⋅tan⁡(x−y)\tan(2y) = \tan((x+y) - (x-y)) = \frac{\tan(x+y) - \tan(x-y)}{1 + \tan(x+y) \cdot \tan(x-y)}
Tanjant fark formülü: tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} şeklindedir.
4
Bulunan değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayın.
tan⁡(2y)=3−1/21+3⋅1/2=5/25/2=1\tan(2y) = \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} = \frac{5/2}{5/2} = 1
Değerler yerine yazıldıktan sonra gerekli rasyonel işlemler ve sadeleştirmeler yapılır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve tanjant-kotanjant ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 35Soru →
Bir ABCABC üçgeninin iç açıları AA, BB ve CC olmak üzere,
tan⁡A=2\tan A = 2
tan⁡B=3\tan B = 3
olduğuna göre, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4545

Cevap

4545 derece
Üçgenin iç açılarının toplamı kuralına göre C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) olur. İndirgeme formülü kullanıldığında tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) elde edilir. Tanjant toplam formülünden tan⁡(A+B)=−1\tan(A+B) = -1 hesaplanır. Buradan tan⁡C=1\tan C = 1 bulunur ve üçgenin iç açısı olma koşulunu sağlayan tek değer 4545 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin iç açılarının toplamı bağıntısını yazın.
A+B+C=180∘  ⟹  C=180∘−(A+B)A + B + C = 180^\circ \implies C = 180^\circ - (A+B)
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180180 derecedir.
2
CC açısının tanjantını A+BA+B cinsinden ifade edin.
tan⁡C=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan C = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)
İkinci bölgedeki bir açının tanjantı negatif değer alır.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A+B) değerini hesaplayın.
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B=2+31−2⋅3=5−5=−1\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1
İki açının toplamının tanjantı, açıların tanjantları toplamının, çarpımlarının bir eksiğine bölümüdür.
4
tan⁡C\tan C değerini bulun ve CC açısını belirleyin.
tan⁡C=−(−1)=1  ⟹  C=45∘\tan C = -(-1) = 1 \implies C = 45^\circ
Üçgenin bir iç açısı olan CC açısı 0∘0^\circ ile 180∘180^\circ arasında olmalıdır. Bu aralıkta tanjantı 11 olan açı 4545 derecedir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı formülü ve üçgen içi açı ilişkileri
Soru 36Soru →

Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir.

Bu üçgenin aa kenar uzunluğu ile AA açısı arasında,
2R⋅cos⁡(90∘+A)+4a=302R \cdot \cos(90^\circ + A) + 4a = 30
eşitliği geçerli olduğuna göre, aa kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A olur. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −2Rsin⁡A+4a=30-2R\sin A + 4a = 30 elde edilir. Sinüs Teoremi gereğince bir üçgende 2Rsin⁡A=a2R\sin A = a bağıntısı mevcut olduğundan, denklem −a+4a=30-a + 4a = 30 şeklini alır. Buradan 3a=303a = 30 ve a=10a = 10 birim olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik indirgeme kuralı uygulanır.
cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A
Koordinat sisteminin ikinci bölgesinde kosinüs fonksiyonu negatif değer alır ve 90∘90^\circ açısı kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse dönüşür.
2
Elde edilen ifade verilen denklemde yerine yazılır.
−2R⋅sin⁡A+4a=30-2R \cdot \sin A + 4a = 30
Denklemi tek değişkenli hale getirmek için indirgenmiş trigonometrik ifade yerine konur.
3
Sinüs Teoremi bağıntısı denklemde yerine yazılır.
−a+4a=30-a + 4a = 30
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A eşitliği geçerlidir.
4
Denklem çözülerek kenar uzunluğu bulunur.
3a=30  ⟹  a=103a = 30 \implies a = 10
Benzer terimler toplanarak bilinmeyen kenar uzunluğu yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Soru 37Soru →
12x=π12x = \pi

olmak üzere,

sin⁡(17x)+cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(x)−tan⁡(8x)⋅cos⁡(7x)cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)\frac{\sin(17x) + \cos(5x)}{\cos(x) - \sin(x)} - \frac{\tan(8x) \cdot \cos(7x)}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

-2
İfadedeki açılar 12x=π12x = \pi eşitliği kullanılarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazılır. sin⁡(17x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olarak indirgendiğinde birinci kesrin değeri −1-1 olur. Benzer şekilde, tan⁡(8x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) olarak indirgendiğinde ikinci kesrin değeri 11 olur. Bu değerler yerine yazıldığında −1−1=−2-1 - 1 = -2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 12x=π12x = \pi eşitliğini kullanarak π2\frac{\pi}{2}, π\pi ve 3π2\frac{3\pi}{2} açılarına karşılık gelen xx değerlerini belirleriz.
6x=π26x = \frac{\pi}{2}, 12x=π12x = \pi ve 18x=3π218x = \frac{3\pi}{2} elde edilir.
Trigonometrik ifadelerdeki açıları indirgeme formüllerine uygun biçimde yazabilmek için bu referans açıları kullanılmalıdır.
2
Birinci kesrin payındaki sin⁡(17x)\sin(17x) ve cos⁡(5x)\cos(5x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
sin⁡(17x)=sin⁡(18x−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin(17x) = \sin(18x - x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(5x)=cos⁡(6x−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos(5x) = \cos(6x - x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) bulunur.
Açıları xx cinsinden ifade ederek sadeleştirme yapabilmek için bölgelerine göre işaret belirleme ve isim değiştirme kuralları uygulanır.
3
İkinci kesrin payındaki tan⁡(8x)\tan(8x) ve cos⁡(7x)\cos(7x) ifadelerini indirgeme formülleriyle sadeleştiririz.
tan⁡(8x)=tan⁡(6x+2x)=tan⁡(π2+2x)=−cot⁡(2x)\tan(8x) = \tan(6x + 2x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\cot(2x) ve cos⁡(7x)=cos⁡(12x−5x)=cos⁡(π−5x)=−cos⁡(5x)\cos(7x) = \cos(12x - 5x) = \cos(\pi - 5x) = -\cos(5x) bulunur.
İkinci kesri sadeleştirmek için açıları uygun bölgelere indirgemek gerekir.
4
Elde edilen indirgenmiş ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak sonucu hesaplarız.
Birinci kesir −cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=−1\frac{-\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} = -1 ve ikinci kesir (−cot⁡(2x))⋅(−cos⁡(5x))cot⁡(2x)⋅cos⁡(5x)=1\frac{(-\cot(2x)) \cdot (-\cos(5x))}{\cot(2x) \cdot \cos(5x)} = 1 olur. İfadenin tamamı ise −1−1=−2-1 - 1 = -2 olarak bulunur.
Tüm sadeleştirmeleri birleştirip nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların referans açılarına göre indirgenirken isim ve işaret değiştirme kuralları.
Soru 38Soru →

Bir xx dar açısı için tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

43\frac{4}{3}
Tanjant iki kat açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} ifadesinde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} değeri yazıldığında 43\frac{4}{3} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant yarım açı (iki kat açı) formülü yazılır.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}
tan⁡x\tan x değeri bilinen bir açının iki katının tanjantını hesaplamak için bu formül kullanılır.
2
Formülde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} değeri yerine yazılır.
tan⁡(2x)=2⋅121−(12)2\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}
Verilen sayısal değeri yerine koyarak işlem basitleştirilir.
3
İşlemler tamamlanarak sonuç bulunur.
tan⁡(2x)=11−14=134=43\tan(2x) = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}
Rasyonel sayılarda bölme işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 39Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4x+cos⁡4x=58\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

İfadenin doğru değeri -0.5'tir.
Verilen sin⁡4x+cos⁡4x=58\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8} eşitliği, temel özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü yardımıyla 1−12sin⁡2(2x)=581 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = \frac{5}{8} biçimine dönüştürülür. Buradan sin⁡2(2x)=34\sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. İstenen cos⁡(4x)\cos(4x) değeri ise kosinüsün yarım açı formülü olan cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde yerine yazılarak 1−2(34)=−0.51 - 2\left(\frac{3}{4}\right) = -0.5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesini özdeşlikler yardımıyla düzenlemek
1−2sin⁡2xcos⁡2x1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
Trigonometrik özdeşlikleri yarım açı formülleriyle ilişkilendirebilmek için dereceyi düşürmek
2
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülünü kullanarak ifadeyi tek değişkene indirgemek
1−12sin⁡2(2x)1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
Sinüsün yarım açı formülünü ifadeye dahil etmek
3
İfadeyi verilen sayısal değere eşitleyerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡2(2x)=34\sin^2(2x) = \frac{3}{4}
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yaparken kullanılacak olan sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini belirlemek
4
Kosinüs yarım açı formülünü kullanıp sonucu hesaplamak
−0.5-0.5
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazıp hesaplamayı tamamlamak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım/iki kat açı formüllerinin uygulanması ve temel özdeşliklerin kullanımı.
Soru 40Soru →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik değerlerini en kü��ükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralaması en küçükten en büyüğe y<z<x<wy < z < x < w şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup değerleri hesaplandığında y=−22≈−0.707y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707, z=−33≈−0.577z = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577, x=0.5x = 0.5 ve w=33≈0.577w = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 değerleri elde edilir. Negatif sayıların kendi arasındaki sıralamasından y<zy < z, pozitif sayıların kendi arasındaki sıralamasından ise x<wx < w elde edilir. Bu durumları birleştiren sıralama doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=cos⁡(31π3)x = \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
31π3\frac{31\pi}{3} açısının esas ölçüsü, 3131'in 66'ya (paydanın iki katına) bölümünden kalan 11 olduğundan π3\frac{\pi}{3} radyandır. Dolayısıyla x=cos⁡(π3)=12=0.5x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = 0.5 olur.
Açının 2π2\pi'den büyük olan kısmı elenerek esas ölçüsü bulunur.
2
y=sin⁡(−41π4)y = \sin\left(-\frac{41\pi}{4}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−41π4=−10π−π4-\frac{41\pi}{4} = -10\pi - \frac{\pi}{4} olup esas ölçü için üzerine 12π12\pi eklendiğinde 7π4\frac{7\pi}{4} elde edilir. Dördüncü bölgedeki bu açının sinüsü y=sin⁡(7π4)=−sin⁡(π4)=−22≈−0.707y = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 olur.
Negatif açılarda esas ölçü bulunup dördüncü bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olarak belirlenir.
3
z=tan⁡(23π6)z = \tan\left(\frac{23\pi}{6}\right) ifadesinin değerini bulmak.
23π6=4π−π6\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6} olup esas ölçüsü 11π6\frac{11\pi}{6} radyandır. Dördüncü bölgedeki bu açının tanjantı z=tan⁡(11π6)=−tan⁡(π6)=−33≈−0.577z = \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 olur.
Dördüncü bölgedeki tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
w=cot⁡(−17π3)w = \cot\left(-\frac{17\pi}{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−17π3=−6π+π3-\frac{17\pi}{3} = -6\pi + \frac{\pi}{3} olup esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyandır. Birinci bölgedeki bu açının kotanjantı w=cot⁡(π3)=33≈0.577w = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 olur.
Esas ölçü ekleme yoluyla bulunmuş olup birinci bölgedeki kotanjant değeri pozitiftir.
5
Hesaplanan değerleri sayı doğrusunda karşılaştırmak.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan daha küçük olduğundan −22<−33-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{3} yani y<zy < z olur. Pozitif sayılarda ise 12<33\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} yani x<wx < w olur. Tüm değerler birleştirildiğinde y<z<x<wy < z < x < w sıralaması elde edilir.
Elde edilen rasyonel ve köklü sayıların yaklaşık değerleri karşılaştırılarak doğru sıralama yapılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenerek değer sıralaması yapılması.
ÖncekiSayfa 2 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin