Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 41Soru →

tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} ve cot⁡y=3\cot y = 3 olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen cot⁡y=3\cot y = 3 değerinden tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3} elde edilir. Tanjant toplam formülü olan tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} ifadesinde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} ve tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3} değerleri yerine yazıldığında pay 56\frac{5}{6}, payda ise 1−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} olur. Bu iki değerin birbirine oranı 1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡y=3\cot y = 3 eşitliğini kullanarak tan⁡y\tan y değerini bulunuz.
tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3}
Aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
2
Tanjant toplam formülünü uygulayarak tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplayınız.
tan⁡(x+y)=1\tan(x+y) = 1
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} formülünde bilinen değerler yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı, bu açıların tanjantları cinsinden tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} formülüyle hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Açılar için dik koordinat sisteminde veya dik üçgende uygun kenar uzunlukları seçilerek geometrik modelleme yapılabilir, ancak formül kullanımı en hızlı ve güvenli yoldur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 42Soru →

a=sin⁡(140∘)a = \sin(140^\circ)
b=cos⁡(290∘)b = \cos(290^\circ)
c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)

olduğuna göre, bu trigonometrik değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen açıların hepsi birinci bölgedeki dar açılara indirgendiğinde a=sin⁡(40∘)a = \sin(40^\circ), b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerleri bulunur. Birinci bölgede sinüs artan bir fonksiyon olduğu için sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) yani b<ab < a olur. Aynı dar açı için tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğundan tan⁡(40∘)>sin⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) yani c>ac > a olur. Bu durumda doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek
a=sin⁡(40∘)a = \sin(40^\circ), b=cos⁡(70∘)b = \cos(70^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) olarak bulunur.
Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini kolayca karşılaştırabilmek için tüm değerleri birinci bölgeye taşımalıyız.
2
Kosinüs değerini sinüs değerine dönüştürmek
b=cos⁡(70∘)=sin⁡(20∘)b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ) eşitliği elde edilir.
Sinüs ve kosinüs değerlerini birbiriyle kıyaslayabilmek için aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmalıyız.
3
Sinüs değerlerini kendi arasında karşılaştırmak
sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) olduğundan b<ab < a olur.
Birinci bölgede dar açıların ölçüsü büyüdükçe sinüs değerleri de artar.
4
Sinüs ve tanjant değerlerini karşılaştırmak
tan⁡(40∘)>sin⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) olduğundan c>ac > a olur.
Birinci bölgedeki aynı dar açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.
5
Eşitsizlikleri birleştirmek
b<a<cb < a < c sıralaması elde edilir.
b<ab < a ve a<ca < c eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Birinci Bölgeye İndirgenmesi ve Karşılaştırılması
Soru 43Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri sırasıyla 230∘230^\circ, 7π6\frac{7\pi}{6} ve 5π4\frac{5\pi}{4} olarak bulunur. Her üç açı da koordinat düzleminin üçüncü bölgesindedir. Üçüncü bölgede sinüs ve kosinüs negatif, tanjant ise pozitif değerler alır. Bu durumda pozitif olan tanjant değeri en büyüktür. Negatif değerler karşılaştırıldığında ise −sin⁡(50∘)-\sin(50^\circ) değeri −sin⁡(60∘)-\sin(60^\circ) değerinden büyük olduğundan, sıralama küçükten büyüğe b<a<cb < a < c şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
a=sin⁡(1670∘)a = \sin(1670^\circ) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
1670∘1670^\circ açısının 360∘360^\circ'ye bölümünden kalan 230∘230^\circ olur. Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan a=sin⁡(230∘)=sin⁡(180∘+50∘)=−sin⁡(50∘)≈−0,766a = \sin(230^\circ) = \sin(180^\circ + 50^\circ) = -\sin(50^\circ) \approx -0,766 elde edilir.
Büyük dereceli a��ıların trigonometrik oranlarını karşılaştırabilmek için öncelikle esas ölçüleri bulunmalıdır.
2
b=cos⁡(31π6)b = \cos\left(\frac{31\pi}{6}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
31π6\frac{31\pi}{6} açısının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan b=cos⁡(7π6)=cos⁡(π+π6)=−cos⁡(π6)=−32≈−0,866b = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866 elde edilir.
Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçüsü payın paydanın iki katına bölünmesiyle elde edilen kalan yardımıyla hesaplanır.
3
c=tan⁡(−11π4)c = \tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.
−11π4-\frac{11\pi}{4} açısına 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} radyan olarak bulunur. Üçüncü bölgede tanjant pozitif olduğundan c=tan⁡(5π4)=tan⁡(π+π4)=tan⁡(π4)=1c = \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 elde edilir.
Negatif yönlü açıların esas ölçüsü, açı pozitif olana kadar üzerine 2π2\pi katları eklenerek bulunur.
4
Elde edilen a≈−0,766a \approx -0,766, b≈−0,866b \approx -0,866 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralayınız.
−0,866<−0,766<1-0,866 < -0,766 < 1 olduğundan sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Bulunan sayısal değerlerin büyüklük sıralaması nihai sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Açıların esas ölçülerini bulma, bölgelere göre indirgeme formülleriyle trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleme ve birinci bölgedeki değerlerine göre sıralama yapma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−tan⁡xc=sin⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \tan x \\ c &= \sin x - \cot x \end{aligned}
ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif, tan⁡x\tan x ve cot⁡x\cot x ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesi pozitif bir sayıdır. bb ve cc ifadelerinde ise negatif değerlerden pozitif değerler çıkarıldığı için sonuçlar negatiftir. c=sin⁡x−cot⁡xc = \sin x - \cot x ifadesinde cot⁡x>1\cot x > 1 olduğundan sonuç −1-1'den küçüktür. b=cos⁡x−tan⁡xb = \cos x - \tan x ise cc'den daha büyüktür. Bu nedenle sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı 3. bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ve cot⁡x>1>tan⁡x>0\cot x > 1 > \tan x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
3. bölgede birim çember üzerindeki koordinatlar negatiftir ve açının π\pi ile 5π4\frac{5\pi}{4} arasında olması, cos⁡x\cos x değerinin mutlak değerce sin⁡x\sin x değerinden büyük olmasını gerektirir.
2
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini belirlemek.
sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan, a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 olur (pozitiftir).
Daha büyük bir negatif sayıdan daha küçük bir negatif sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.
3
b=cos⁡x−tan⁡xb = \cos x - \tan x ve c=sin⁡x−cot⁡xc = \sin x - \cot x ifadelerinin değer aralıklarını karşılaştırmak.
bb ifadesinde negatif bir değerden pozitif bir değer çıkarıldığı için b<0b < 0 olur. cc ifadesinde de negatif bir değerden 11'den büyük pozitif bir değer çıkarıldığı için c<−1c < -1 olur. Bu iki negatif terim karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu görülür.
b−c=(cos⁡x−tan⁡x)−(sin⁡x−cot⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(cot⁡x−tan⁡x)b - c = (\cos x - \tan x) - (\sin x - \cot x) = (\cos x - \sin x) + (\cot x - \tan x) ifadesinde cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x farkı pozitif ve mutlak değerce çok daha baskın olduğundan sonuç pozitif çıkar, bu da b>cb > c olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

3. bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri, değer aralıkları ve sıralama kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 45Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(3π2+x)+sin⁡(π−x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin(\pi - x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2sin⁡x2\sin x

Cevap

İfadenin en sade hali 2sin⁡x2\sin x olarak bulunur.
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesi 4. bölgede kosinüsün işareti pozitif olduğu ve düşey eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesi ise 2. bölgede sinüsün işareti pozitif olduğu ve yatay eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x
3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgededir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Düşey eksen (3π2\frac{3\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyonun ismi kosinüsten sinüse dönüşür.
2
İkinci terim olan sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Bulunan değerleri toplayarak ifadenin sonucunu elde edelim.
sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x
Her iki terimin indirgenmiş halleri toplandığında ifadenin en sade haline ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesinde bölge işareti tespiti ve kullanılan eksene göre isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:45s
Soru 46Soru →

Tanımlı olduğu xx değerleri için,

sin⁡(17π2−x)−cos⁡(11π+x)tan⁡(7π2+x)\frac{\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) - \cos(11\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2sin⁡x-2\sin x

Cevap

−2sin⁡x-2\sin x
İfadedeki tüm terimlerin esas ölçüleri belirlenip bölgelerine göre indirgemeleri yapıldığında pay kısmı 2cos⁡x2\cos x ve payda kısmı −cot⁡x-\cot x olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı olan 2cos⁡x−cot⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} işlemi sadeleştirildiğinde −2sin⁡x-2\sin x ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡(17π2−x)\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
sin⁡(17π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x
17π2\frac{17\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup, açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
2
cos⁡(11π+x)\cos(11\pi + x) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(11π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(11\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olup, açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılarak payın sade hali elde edilir.
cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
İlk iki adımda elde edilen indirgenmiş ifadeler pay kısmındaki yerlerine yazılarak işlem yürütülür.
4
tan⁡(7π2+x)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
tan⁡(7π2+x)=tan⁡(3π2+x)=−cot⁡x\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cot x
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. Dördüncü bölgede tanjant negatif olup, açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kotanjanta dönüşür.
5
Pay ve payda ifadeleri oranlanarak en sade biçim elde edilir.
2cos⁡x−cot⁡x=2cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2cos⁡x⋅(−sin⁡xcos⁡x)=−2sin⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} = \frac{2\cos x}{-\frac{\cos x}{\sin x}} = 2\cos x \cdot \left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) = -2\sin x
Kotanjant fonksiyonu cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x} şeklinde yazılıp payda ters çevrilerek pay ile çarpılır ve ortak olan kosinüs terimleri sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 47Soru →

5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

A=1+sin⁡(π+2x)sin⁡(7π2+x)+cos⁡(5π2−x)−1−sin⁡(π+2x)cos⁡(7π2−x)−sin⁡(5π2+x)A = \frac{\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)}}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)} - \frac{\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)}}{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}

ifadesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşa��ıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2 değeri doğrudur.
Doğru cevap −2-2 değeridir. İfadeler indirgendiğinde birinci kesir cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1 ve ikinci kesir −(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1 eşitliklerini sağlar. Bu iki değerin farkı alındığında sonuç −2-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri indirgeme ve tam kare biçiminde yazma
sin⁡(π+2x)=−sin⁡(2x)\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x) olduğundan,
1+sin⁡(π+2x)=1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
ve benzer şekilde
1−sin⁡(π+2x)=1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Köklü ifadeleri mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare özdeşliğini kullanmak gerekir.
2
Verilen bölgeye göre mutlak değerlerin işaretini belirleme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı III. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan:
1) sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x−cos⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x olarak çıkar.
2) Hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x+cos⁡x∣=−(sin⁡x+cos⁡x)|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x) olarak çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işleminde ifadenin pozitif veya negatif olma durumu incelenmelidir.
3
Paydadaki ifadelerin indirgeme formüllerini uygulama
1) sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
2) cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
Böylece birinci payda: sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur.

3) cos⁡(7π2−x)=cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x
4) sin⁡(5π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
Böylece ikinci payda: −sin⁡x−cos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)-\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x) olur.
Payda kısmındaki yüksek açılı ifadeleri indirgeme formülleriyle sadeleştirmek gerekir.
4
Pay ve payda oranlarını hesaplayarak ana işlemi tamamlama
Birinci terim:
cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1
İkinci terim:
−(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1
Ana ifade:
A=−1−(1)=−2A = -1 - (1) = -2 olarak bulunur.
Sadeleştirilmiş parçaları ana denklemde yerine koyup çıkarma işlemini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve mutlak değer dışına çıkarma
Soru 48Soru →

x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(π+x)sin⁡(π2+x)\frac{\cos(\pi + x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali −1-1 değerine eşittir.
Doğru cevap −1-1 değeridir. Pay kısmındaki cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesi 3. bölgede kosinüs negatif olduğundan −cos⁡x-\cos x değerine eşittir. Payda kısmındaki sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesi ise 2. bölgede sinüs pozitif olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} açısı nedeniyle isim değiştiğinden cos⁡x\cos x değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x
π+x\pi + x açısı koordinat düzleminde 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (−-) olduğundan ve π\pi açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişmediğinden sonuç −cos⁡x-\cos x olur.
2
Payda kısmında yer alan sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.
sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
π2+x\frac{\pi}{2} + x açısı koordinat düzleminde 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (++) olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişerek kosinüs (cos⁡\cos) olduğundan sonuç cos⁡x\cos x olur.
3
Bulunan değerleri orijinal kesir ifadesinde yerine yazarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirelim.
−cos⁡xcos⁡x=−1\frac{-\cos x}{\cos x} = -1
Pay ve paydadaki ortak cos⁡x\cos x terimleri sadeleştiğinde kesrin değeri −1-1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi
Soru 49Soru →

θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

sin⁡(9π−θ)⋅cos⁡(7π2+θ)−cot⁡(11π2−θ)⋅tan⁡(5π+θ)\sin(9\pi - \theta) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) - \cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) \cdot \tan(5\pi + \theta)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −81400-\frac{81}{400}

Cevap

İndirgeme formülleri uygulandıktan sonra elde edilen sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta ifadesinin sayısal değeri −81400-\frac{81}{400} olur.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliği cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ=35\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta = \frac{3}{5} şeklinde indirgenir. Buradan sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} elde edilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede olduğundan cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4} bulunur. İkinci adımda sorulan ifadedeki terimlerin esas ölçüleri alınarak indirgendiğinde ifade sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta şeklini alır. Bu ifadede bulunan değerler yerine yazıldığında 925−916=−81400\frac{9}{25} - \frac{9}{16} = -\frac{81}{400} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliğindeki açıyı indirgeme formülü yard��mıyla sadeleştirmek.
cos⁡(θ−3π2)=cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta olduğundan −sin⁡θ=35  ⟹  sin⁡θ=−35-\sin\theta = \frac{3}{5} \implies \sin\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan içindeki ifadenin işareti değiştirilebilir. Üçüncü bölgedeki 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısının kosinüsü −sin⁡θ-\sin\theta değerine eşittir.
2
θ\theta açısının üçüncü bölgede (θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) yer almasını dikkate alarak cos⁡θ\cos\theta ve tan⁡θ\tan\theta değerlerini bulmak.
cos⁡θ=−1−sin⁡2θ=−1−925=−45\cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3/5−4/5=34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} elde edilir.
Üçüncü bölgede kosinüs değeri negatif, tanjant değeri ise pozitiftir.
3
Sorulan ifadedeki dört ayrı trigonometrik terimi indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(9π−θ)=sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(9\pi - \theta) = \sin(\pi - \theta) = \sin\theta
cos⁡(7π2+θ)=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θ\cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta
cot⁡(11π2−θ)=cot⁡(3π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
tan⁡(5π+θ)=tan⁡θ\tan(5\pi + \theta) = \tan\theta
Esas ölçüler alınarak ve bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ile isim değişimleri (düşey eksende isim değişir, yatay eksende değişmez) kontrol edilerek terimler indirgenir.
4
İndirgenen terimleri yerlerine yazıp sayısal hesaplamayı tamamlamak.
İfade (sin⁡θ)⋅(sin⁡θ)−(tan⁡θ)⋅(tan⁡θ)=sin⁡2θ−tan⁡2θ(\sin\theta) \cdot (\sin\theta) - (\tan\theta) \cdot (\tan\theta) = \sin^2\theta - \tan^2\theta haline gelir. Değerler yerine yazıldığında:
(−35)2−(34)2=925−916=144−225400=−81400\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{9}{16} = \frac{144 - 225}{400} = -\frac{81}{400} elde edilir.
Elde edilen temel trigonometrik değerler sadeleştirilmiş cebirsel ifadede yerine konularak rasyonel sayılarda çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgeme formüllerinde işaret analizi ile isim değiştirme kurallarının doğru uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 50Soru →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama w<x<y<zw < x < y < z şeklindedir.
Verilen ifadeler indirgendiğinde w=−tan⁡(40∘)w = -\tan(40^\circ), x=−sin⁡(10∘)x = -\sin(10^\circ), y=sin⁡(20∘)y = \sin(20^\circ) ve z=tan⁡(40∘)z = \tan(40^\circ) elde edilir. Negatif değerler kendi arasında kıyaslandığında w<xw < x, pozitif değerler kendi arasında kıyaslandığında ise y<zy < z olduğu görülür. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bölgelerini belirleyip işaret tespiti yapınız.
190∘190^\circ III. bölgededir (sinüs negatif), 220∘220^\circ III. bölgededir (tanjant pozitif), 290∘290^\circ IV. bölgededir (kosinüs pozitif), 310∘310^\circ IV. bölgededir (kotanjant negatif). Bu durumda w<0w < 0, x<0x < 0 ve y>0y > 0, z>0z > 0 olur.
Sıralama yaparken ilk adım sayıların işaretlerini belirleyerek pozitif ve negatif gruplara ayırmaktır.
2
Açıları indirgeme formüllerini kullanarak I. bölgedeki dar açılara dönüştürünüz.
x=−sin⁡(10∘)x = -\sin(10^\circ), y=cos⁡(70∘)=sin⁡(20∘)y = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ), z=tan⁡(40∘)z = \tan(40^\circ), w=−cot⁡(50∘)=−tan⁡(40∘)w = -\cot(50^\circ) = -\tan(40^\circ) elde edilir.
Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri kıyaslayabilmek için hepsini I. bölgedeki eşdeğer ifadelerine dönüştürmek gerekir.
3
Eşdeğer ifadeleri büyüklüklerine göre karşılaştırıp nihai sıralamayı oluşturunuz.
10∘<40∘10^\circ < 40^\circ olduğundan sin⁡(10∘)<tan⁡(40∘)\sin(10^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan negatif değerler için −tan⁡(40∘)<−sin⁡(10∘)-\tan(40^\circ) < -\sin(10^\circ) yani w<xw < x elde edilir. Pozitif değerler için ise sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ) olduğundan y<zy < z olur. Sonuç olarak w<x<y<zw < x < y < z sıralaması bulunur.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe sinüs ve tanjant fonksiyonlarının değerleri artar; ayrıca aynı açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Bölgelere Göre İndirgenmesi ve İşaret Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 51Soru →

π<x<7π6\pi < x < \frac{7\pi}{6} olmak üzere, aşağıda verilen AA, BB ve CC değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B < C < A şeklindedir.
Verilen x açısı üçüncü bölgede yer almaktadır. İndirgeme bağıntıları uygulandığında A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir. Bu aralıkta A, B ve C değerlerinin tümü pozitif olup sayısal sınırları sırasıyla A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 şeklindedir. C = B/A bağıntısında A < 1 olduğundan C > B elde edilir. Aynı zamanda C < A olduğundan doğru sıralama B < C < A olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A, B ve C ifadelerindeki açıları esas ölçülerini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir.
Trigonometrik değerleri karşılaştırabilmek için öncelikle ifadeleri en sade ve bilinen formlarına dönüştürmek gerekir.
2
x açısının yer aldığı (\pi, 7\pi/6) aralığına göre sin x ve cos x değerlerinin sınırlarını belirleyin.
-1 < \cos x < -\sqrt{3}/2 ve -1/2 < \sin x < 0 sınırları elde edilir.
Üçüncü bölgedeki bu özel dar aralıkta trigonometrik fonksiyonların alabileceği değerlerin sınırlarını bilmek büyüklük karşılaştırması yapabilmemizi sağlar.
3
Elde edilen sınır değerleri kullanarak A, B ve C ifadelerinin pozitiflik durumlarını ve sayısal aralıklarını analiz edin.
A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 (tüm terimler pozitif) olduğu tespit edilir.
Her bir terimin pozitif olduğunu belirledikten sonra sayısal aralıklarını kıyaslayarak sıralamayı gerçekleştirmek gerekir.
4
A, B ve C arasındaki ilişkileri (özellikle C = B/A bağıntısını) kullanarak sıralamayı kesinleştirin.
B < C < A sıralaması elde edilir.
A < 1 olduğundan C = B/A > B olur. A > 0.866 ve C < 0.577 olduğundan da C < A olur. Bu iki durum birleştirildiğinde B < C < A sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve trigonometrik değerlerin sıralanması.
Soru 52Soru →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(π+x)a = \sin(\pi + x)
b=cos⁡(π−x)b = \cos(\pi - x)
c=tan⁡(3π2+x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c < b < a
Verilen açılar dar açı cinsine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x değerleri elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x\sin x < \cos x < 1 < \cot x olduğundan, negatif işaretli halleri sıralandığında c<b<ac < b < a sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirmek.
a=−sin⁡xa = -\sin x, b=−cos⁡xb = -\cos x ve c=−cot⁡xc = -\cot x
π+x\pi + x açısı 3. bölgede olduğundan sinüs negatiftir. π−x\pi - x açısı 2. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede olduğundan tanjant negatiftir ve 3π2\frac{3\pi}{2} açısı kullanıldığından fonksiyon eş fonksiyonu olan kotanjanta dönüşür.
2
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x ve cot⁡x\cot x fonksiyonlarının değer aralıklarını kıyaslamak.
0<sin⁡x<cos⁡x<1<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < 1 < \cot x
00 ile π4\frac{\pi}{4} (45∘45^\circ) arasındaki açılar için sinüs değeri kosinüs değerinden küçüktür ve her ikisi de 00 ile 11 arasındadır. Kotanjant ise bu aralıkta 11'den büyüktür.
3
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak sıralamayı belirlemek.
c<b<ac < b < a
0<sin⁡x<cos⁡x<cot⁡x0 < \sin x < \cos x < \cot x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve −cot⁡x<−cos⁡x<−sin⁡x-\cot x < -\cos x < -\sin x olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılı bölgelerde kıyaslanması.
Soru 53Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadelerin değerleri sırasıyla a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik oranlar bölgelerine göre indirgendiğinde elde edilen değerler a=12a = \frac{1}{2}, b=−12b = -\frac{1}{2} ve c=−1c = -1 şeklindedir. Bu sayısal değerler karşılaştırıldığında −1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a=sin⁡(150∘)a = \sin(150^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
a=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12a = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
150∘150^\circ açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
2
b=cos⁡(240∘)b = \cos(240^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
b=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12b = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
240∘240^\circ açısı 3. bölgededir ve 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3
c=tan⁡(315∘)c = \tan(315^\circ) ifadesinin değerini bulunuz.
c=tan⁡(360∘−45∘)=−tan⁡(45∘)=−1c = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1
315∘315^\circ açısı 4. bölgededir ve 4. bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.
4
Bulunan değerleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
−1<−12<12-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} olduğundan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Sayı doğrusundaki konumlarına göre en soldaki (en küçük) sayı −1-1, ardından −12-\frac{1}{2} ve en sağdaki (en büyük) sayı ise 12\frac{1}{2}'dir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret tayini ve indirgeme kuralları yardımıyla değerlerinin hesaplanması.
Soru 54Soru →

Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,

x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2}

olduğuna göre,

3cos⁡(x−3π)⋅tan⁡(y−5π2)+3sin⁡(7π2+x)sin⁡(5π−y)−cos⁡(5π2−x)\frac{3\cos(x - 3\pi) \cdot \tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\sin(5\pi - y) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadeler doğru şekilde indirgendiğinde pay paydanın 3 katı olmakta ve oran 3 olarak bulunmaktadır.
Verilen x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2} bağıntısı kullanılarak tüm trigonometrik terimler yy açısı cinsinden indirgendiğinde, pay ifadesi 3(sin⁡y−cos⁡y)3(\sin y - \cos y) ve payda ifadesi sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y olarak elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında sadeleşerek 3 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki değişken arasındaki ilişkiyi esas ölçü cinsinden yazmak.
x=y+4π+π2x = y + 4\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan, xx açısının esas ölçüsü y+π2y + \frac{\pi}{2} olur. Buradan sin⁡x=sin⁡(y+π2)=cos⁡y\sin x = \sin\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos y ve cos⁡x=cos⁡(y+π2)=−sin⁡y\cos x = \cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin y eşitlikleri elde edilir.
İfadedeki farkl�� değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için.
2
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
cos⁡(x−3π)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\cos(x - 3\pi) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. tan⁡(y−5π2)=tan⁡(y−π2)=−cot⁡y\tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot y olur. Bu iki ifadenin çarpımı 3⋅sin⁡y⋅(−cot⁡y)=−3cos⁡y3 \cdot \sin y \cdot (-\cot y) = -3\cos y olarak bulunur. Diğer terim ise sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. Böylece pay kısmı −3cos⁡y+3sin⁡y=3(sin⁡y−cos⁡y)-3\cos y + 3\sin y = 3(\sin y - \cos y) halini alır.
Pay kısmındaki karmaşık ifadeleri sadeleştirip ortak bir çarpan parantezine alabilmek için.
3
Payda kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
sin⁡(5π−y)=sin⁡(π−y)=sin⁡y\sin(5\pi - y) = \sin(\pi - y) = \sin y olur. cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur. Birinci adımda elde ettiğimiz sin⁡x=cos⁡y\sin x = \cos y eşitliği yerine yazıldığında bu ifade cos⁡y\cos y değerine eşit olur. Dolayısıyla payda kısmı sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y haline gelir.
Payda kısmını pay kısmı ile sadeleşebilir hale getirmek için.
4
Elde edilen pay ve payda ifadelerini oranlamak.
A=3(sin⁡y−cos⁡y)sin⁡y−cos⁡y=3A = \frac{3(\sin y - \cos y)}{\sin y - \cos y} = 3 bulunur.
Sadeleşen terimleri eleyerek nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve iki değişken arasındaki doğrusal ilişki yardımıyla dönüşüm yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 55Soru →

Dar açılı bir ABCABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri AA, BB ve CC radyandır.

Buna göre, tanımlı olduğu değerler için

sin⁡(A+B)−cos⁡(3π2−C)sin⁡(5π2+C)−cos⁡(π−C) \frac{\sin(A+B) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) - \cos(\pi - C)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡C\tan C

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali tanjant C olarak bulunur.
Dar açılı bir üçgende A+B+C=πA + B + C = \pi olduğundan A+B=π−CA + B = \pi - C olur ve sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir. Diğer ifadeler indirgendiğinde, cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C, sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C bulunur. Bu değerler verilen kesirde yerine yazıldığında pay 2sin⁡C2\sin C, payda 2cos⁡C2\cos C olur. Bölümün sonucu ise tanjant C olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kullanarak A+BA+B açısını CC cinsinden yazıp sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesini indirgeyin.
A+B+C=π  ⟹  A+B=π−CA+B+C = \pi \implies A+B = \pi - C olur. Buradan sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir.
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı π\pi radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(\pi-C) = \sin C olur.
2
Paydaki cos⁡(3π2−C)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) ifadesini indirgeyip payı düzenleyin.
cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C olur. Pay kısmı ise sin⁡C−(−sin⁡C)=2sin⁡C\sin C - (-\sin C) = 2\sin C haline gelir.
Açı üçüncü bölgededir. Üçüncü b��lgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir ve düşey eksende (270∘270^\circ) isim değiştirerek sinüse dönüşür.
3
Paydadaki sin⁡(5π2+C)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) ve cos⁡(π−C)\cos(\pi - C) ifadelerini indirgeyin.
sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C olur. Payda kısmı ise cos⁡C−(−cos⁡C)=2cos⁡C\cos C - (-\cos C) = 2\cos C haline gelir.
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve isim değiştirerek kosinüse dönüşür. π−C\pi - C açısı ikinci bölgededir, bu bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
4
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşın.
2sin⁡C2cos⁡C=sin⁡Ccos⁡C=tan⁡C\frac{2\sin C}{2\cos C} = \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C elde edilir.
Aynı açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranı tanjant fonksiyonunu verir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 56Soru →

θ=20∘\theta = 20^\circ olmak üzere,

A=cos⁡(1240∘)⋅sin⁡(−430∘)sin⁡(200∘)⋅cos⁡(340∘)A = \frac{\cos(1240^\circ) \cdot \sin(-430^\circ)}{\sin(200^\circ) \cdot \cos(340^\circ)}
B=cos⁡(13π2−θ)sin⁡(5π+θ)⋅cot⁡(12π−θ)tan⁡(7π2+θ)B = \frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right)}{\sin(5\pi + \theta)} \cdot \frac{\cot(12\pi - \theta)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot⁡(20∘)\cot(20^\circ)

Cevap

İfadelerin doğru şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilen A⋅BA \cdot B çarpımı cot⁡(20∘)\cot(20^\circ) değerine eşittir.
İndirgemeler doğru yapıldığında, birinci ifadeden eksi işaretli kotanjant yirmi derece, ikinci ifadeden ise eksi bir değeri elde edilir. Bu iki ifadenin çarpımı pozitif işaretli kotanjant yirmi dereceye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ifadesindeki her bir trigonometrik fonksiyonu 20∘20^\circ cinsinden dar açıya indirgeyiniz.
A=(−cos⁡(20∘))⋅(−cos⁡(20∘))(−sin⁡(20∘))⋅cos⁡(20∘)=−cot⁡(20∘)A = \frac{(-\cos(20^\circ)) \cdot (-\cos(20^\circ))}{(-\sin(20^\circ)) \cdot \cos(20^\circ)} = -\cot(20^\circ) elde edilir.
1240∘=3⋅360∘+160∘1240^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 160^\circ olup 2. bölgededir. cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)\cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. −430∘=−430∘+720∘=290∘-430^\circ = -430^\circ + 720^\circ = 290^\circ olup 4. bölgededir. sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)\sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. 200∘200^\circ açısı 3. bölgededir. sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)\sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) olur. 340∘340^\circ açısı 4. bölgededir. cos⁡(340∘)=cos⁡(360∘−20∘)=cos⁡(20∘)\cos(340^\circ) = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos(20^\circ) olur.
2
BB ifadesindeki radyan cinsinden verilen açıları θ=20∘\theta = 20^\circ için indirgeyiniz.
B=sin⁡(20∘)−sin⁡(20∘)⋅−cot⁡(20∘)−cot⁡(20∘)=(−1)⋅1=−1B = \frac{\sin(20^\circ)}{-\sin(20^\circ)} \cdot \frac{-\cot(20^\circ)}{-\cot(20^\circ)} = (-1) \cdot 1 = -1 elde edilir.
cos⁡(13π2−θ)=cos⁡(6π+π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡(θ)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta) (1. bölge). sin⁡(5π+θ)=sin⁡(π+θ)=−sin⁡(θ)\sin(5\pi + \theta) = \sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta) (3. bölge). cot⁡(12π−θ)=cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(12\pi - \theta) = \cot(-\theta) = -\cot(\theta). tan⁡(7π2+θ)=tan⁡(2π+3π2+θ)=tan⁡(3π2+θ)=−cot⁡(θ)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cot(\theta) (4. bölge).
3
Elde edilen AA ve BB değerlerini çarparak sonuca ulaşınız.
A⋅B=(−cot⁡(20∘))⋅(−1)=cot⁡(20∘)A \cdot B = (-\cot(20^\circ)) \cdot (-1) = \cot(20^\circ) bulunur.
AA ifadesinin sadeleşmiş hali olan −cot⁡(20∘)-\cot(20^\circ) ile BB ifadesinin sadeleşmiş hali olan −1-1 çarpılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki yönlü açılarda, 90∘90^\circ (π/2\pi/2) ve 270∘270^\circ (3π/23\pi/2) katları kullanıldığında fonksiyon isim değiştirirken (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot), 180∘180^\circ (π\pi) ve 360∘360^\circ (2π2\pi) katlarında isim değişmez. İşaret belirlemede her zaman orijinal fonksiyonun o bölgedeki işareti dikkate alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

İfadelerin her birinde yer alan büyük veya negatif açıları, birim çember üzerinde esas ölçülerini bularak pozitif yönlü dar açılara dönüştürmek işlem karmaşasını azaltır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 57Soru →

α∈(π,5π4)\alpha \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(7π−α)a = \sin(7\pi - \alpha)
b=cos⁡(5π−α)b = \cos(5\pi - \alpha)
c=tan⁡(7π2−α)c = \tan \left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)
d=cot⁡(α−13π2)d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2} \right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
Verilen açının üçüncü bölgedeki konumu dikkate alınarak tüm ifadeler birinci bölgedeki dar açı cinsinden yazıldığında, negatif olanlar kendi aralarında (tanjantın sinüsten büyük olması nedeniyle -tan < -sin), pozitif olanlar kendi aralarında (kosinüsün 1'den küçük, kotanjantın ise 1'den büyük olması nedeniyle cos < cot) sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının aralığını belirleme ve kolaylık sağlamak için yardımcı bir dar açı tanımlama.
α=π+θ\alpha = \pi + \theta tanımlanır, burada θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığ��nda bir dar açıdır.
Bölgelere göre indirgeme yaparken dar açılar üzerinden kıyaslama yapmak kolaylık sağlar.
2
Verilen dört trigonometrik ifadeyi indirgeme formülleriyle θ\theta cinsinden yazma.
a=−sin⁡θa = -\sin\theta, b=cos⁡θb = \cos\theta, c=cot⁡θc = \cot\theta, d=−tan⁡θd = -\tan\theta elde edilir.
Her ifadenin esas ölçü ve bölge dönüşümlerini yaparak karşılaştırılabilir ortak bir değişken elde etmek için.
3
Elde edilen ifadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etme.
dd ve aa negatif; bb ve cc pozitif değerlerdir. 0<sin⁡θ<tan⁡θ<10 < \sin\theta < \tan\theta < 1 olduğundan −tan⁡θ<−sin⁡θ-\tan\theta < -\sin\theta, yani d<ad < a olur. Ayrıca cos⁡θ<1<cot⁡θ\cos\theta < 1 < \cot\theta olduğundan b<cb < c olur.
Trigonometrik fonksiyonların birinci bölgedeki büyüklük ilişkilerini kullanarak kesin sıralamayı oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve dar açı dönüşümleri kullanılarak sıralanması.

Alternatif Yöntem

Aralığa uygun olacak şekilde α=210∘\alpha = 210^\circ değeri seçilebilir. Bu durumda a=sin⁡(150∘)=0.5a = \sin(150^\circ) = 0.5 gibi görünse de esas formüllerden indirgeme yapıldığında değerler doğrudan hesaplanıp kıyaslanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 58Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerinde başlangıç noktaları sırasıyla P0(1,0)P_0(1, 0) ve Q0(0,1)Q_0(0, 1) olan iki hareketli bulunmaktadır. Pozitif yönlü hareket eden PP hareketlisi, saniyede 13π30\frac{13\pi}{30} radyanlık sabit açısal hızla; negatif yönlü hareket eden QQ hareketlisi ise saniyede 54∘54^\circ lik sabit açısal hızla dönmektedir. Bu iki hareketli aynı anda harekete başladıktan 35 saniye sonra durmaktadır. Buna göre, hareketlilerin durdukları andaki konumlarıyla ilgili;

I. PP noktasının konumuna karşılık gelen açının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır.
II. QQ noktasının konumu koordinat düzleminin IV. bölgesindedir.
III. PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunun ölçüsü 150∘150^\circ dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.
Pozitif yönlü hareket eden birinci noktanın taradığı açının esas ölçüsü yedi pi bölü altı radyan olarak doğru bulunmuştur. Negatif yönlü hareket eden ikinci noktanın ulaştığı son nokta olan bir sıfır noktası koordinat ekseni üzerinde olduğundan dördüncü bölgede yer almaz. İki nokta arasındaki en kısa çember yayı uzunluğu ise yüz elli derecedir. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
PP hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı radyan cinsinden bulalım.
θP=35×13π30=7×13π6=91π6\theta_P = 35 \times \frac{13\pi}{30} = \frac{7 \times 13\pi}{6} = \frac{91\pi}{6} radyan.
Geçen süre ile saniyedeki açısal hızı çarparak toplam dönme miktarını elde etmek için.
2
PP noktasının son konumunun esas ölçüsünü hesaplayalım.
91π6\frac{91\pi}{6} ifadesinde payı (9191), paydanın iki katı olan 1212'ye böleriz. Kalan 77 olduğundan, esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Açının içindeki 2π2\pi tam turlarını çıkararak esas yönlü açıyı belirlemek için.
3
QQ hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı ve ulaştığı konumu derece cinsinden bulalım.
QQ hareketlisi negatif yönde (saat yönünde) hareket ettiğinden, taradığı açı −35×54∘=−1890∘-35 \times 54^\circ = -1890^\circ olur. Başlangıç noktası Q0(0,1)Q_0(0,1) noktası standart pozisyonda 90∘90^\circ'ye karşılık geldiğinden, son konumu 90∘−1890∘=−1800∘90^\circ - 1890^\circ = -1800^\circ olur.
Başlangıç açısına negatif yöndeki tarama miktarını ekleyerek yönlü açının son değerini bulmak için.
4
QQ noktasının son konumunun esas ölçüsünü bulalım ve koordinat bölgesini inceleyelim.
−1800∘-1800^\circ açısına 360∘360^\circ'nin katı olan 1800∘1800^\circ eklenirse esas ölçü 0∘0^\circ bulunur. Bu konum (1,0)(1,0) noktası olup, eksen üzerindedir ve herhangi bir bölgeye ait değildir. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Eksen üzerindeki sınır noktalarının koordinat bölgelerine (bölge I, II, III veya IV) dahil edilmeyeceğini görmek için.
5
PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunu hesaplayalım.
PP noktası 210∘210^\circ (7π6\frac{7\pi}{6} radyan) konumunda, QQ noktası ise 0∘0^\circ konumundadır. İki nokta arasındaki açısal fark 210∘−0∘=210∘210^\circ - 0^\circ = 210^\circ dir. En kısa yay ise saat yönünde ölçülen 360∘−210∘=150∘360^\circ - 210^\circ = 150^\circ lik yaydır. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.
Çember üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin her zaman en kısa yolla ölçüleceğini göz önüne almak için.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri
Soru 59Soru →

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü açının esas ölçüsü 200∘200^\circ dir.
−1600∘-1600^\circ açısının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ nin katları eklenerek [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) aralığında bir değer elde edilmelidir. En küçük pozitif açıyı elde etmek için açının üzerine 5×360∘=1800∘5 \times 360^\circ = 1800^\circ eklenir: −1600∘+1800∘=200∘-1600^\circ + 1800^\circ = 200^\circ bulunur. Bu değer aralık şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının mutlak değerini 360∘360^\circ ye bölerek kalan açıyı bulun.
1600=4×360+1601600 = 4 \times 360 + 160 olduğundan kalan 160∘160^\circ dir. Açı negatif yönlü olduğu için bu değer −160∘-160^\circ olarak ifade edilir.
Yönlü açılarda esas ölçü bulunurken açının 360∘360^\circ ye bölümünden kalan incelenir.
2
Elde edilen negatif açıyı pozitif esas ölçü aralığı olan [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) içerisine taşımak için üzerine 360∘360^\circ ekleyin.
−160∘+360∘=200∘-160^\circ + 360^\circ = 200^\circ bulunur.
Esas ölçü negatif bir değer olamayacağından negatif yönlü açının kalanı 360∘360^\circ ile toplanarak pozitif değere dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü
Soru 60Soru →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı x<y<zx < y < z şeklindedir.
Verilen açı aralığında indirgenmiş ifadelerin değer aralıkları hesaplandığında x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ve z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olarak bulunur. Bu aralıkların kesişimi olmadığı için kesin bir şekilde x<y<zx < y < z sıralaması geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesini indirgeyiniz.
x=−cos⁡θx = -\cos\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede sinüsün işareti negatiftir.
2
yy ifadesini indirgeyiniz.
y=sin⁡θy = \sin\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2+θ\frac{3\pi}{2} + \theta açısı dördüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede kosinüsün işareti pozitiftir.
3
zz ifadesini indirgeyiniz.
z=−tan⁡θz = -\tan\theta
π\pi açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirmez. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede tanjantın işareti negatiftir.
4
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen değerlerin büyüklük sıralamasını yapınız.
x<y<zx < y < z
Verilen aralıkta cos⁡θ∈(−22,0)\cos\theta \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olur. Aynı aralıkta sin⁡θ∈(22,1)\sin\theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olur. tan⁡θ∈(−∞,−1)\tan\theta \in (-\infty, -1) olduğundan z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olur. Bu durumda sıralama x<y<zx < y < z olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
ÖncekiSayfa 3 / 21Sonraki