Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 61Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(π−x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin(\pi - x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

Doğru cevap −1-1 değerine sahip seçenektir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde pay sin⁡x\sin x değerine, payda ise −sin⁡x-\sin x değerine eşit olur. Bu iki değerin birbirine oranı ise −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesinin indirgemesini yapın.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) olup, yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun adı değişmez.
2
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgemesini yapın.
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x
π2+x\frac{\pi}{2} + x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (-) olup, düşey eksen (π2\frac{\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyon adı sinüse dönüşür.
3
Elde edilen değerleri kesirde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirin.
sin⁡x−sin⁡x=−1\frac{\sin x}{-\sin x} = -1
Bulunan indirgenmiş ifadeler oranlandığında ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve sonuç −1-1 olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların dar açı cinsinden bölgelere göre indirgenmesi
Tahmini Süre:45s
Soru 62Soru →

π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere;

a=sin⁡(3π2+x)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)
b=cos⁡(π2−x)b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
c=tan⁡(3π2−x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)
d=cot⁡(π−x)d = \cot\left(\pi - x\right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması d < b < a < c şeklindedir.
İndirgenen değerler sırasıyla incelendiğinde; dd ifadesi −1-1'den küçük, bb ifadesi −1-1 ile 00 arasında (negatif), aa ifadesi 00 ile 11 arasında (pozitif) ve cc ifadesi 11'den büyüktür. Bu aralıklar birbirini kesmediğinden sıralama kesin olarak en küçükten en büyüğe doğru d<b<a<cd < b < a < c biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
a=−cos⁡(x)a = -\cos(x), b=sin⁡(x)b = \sin(x), c=cot⁡(x)c = \cot(x) ve d=−cot⁡(x)d = -\cot(x) olarak bulunur.
Değerlerin karşılaştırılabilmesi için tüm ifadelerin aynı açı (xx) cinsinden yazılması gerekir.
2
Açının bulunduğu (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların alabileceği değer sınırlarını belirleyin.
Üçüncü bölgedeki bu aralıkta sin⁡(x)∈(−22,0)\sin(x) \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right), cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve cot⁡(x)∈(1,∞)\cot(x) \in (1, \infty) olur.
Bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ve birim çember üzerindeki sınır değerleri sıralamanın temelini oluşturur.
3
Elde edilen sınırları indirgenmiş ifadelere uygulayarak a,b,c,da, b, c, d değerlerini kıyaslayın.
d<−1d < -1, −0.707<b<0-0.707 < b < 0, 0.707<a<10.707 < a < 1 ve c>1c > 1 eşitsizlikleri elde edilir. Buradan d<b<a<cd < b < a < c sıralamasına ulaşılır.
Aralıkların hiçbir ortak elemanı olmadığı için sıralama kesin ve benzersizdir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birim çember üzerinde değer aralıklarının belirlenerek sıralanması
Soru 63Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerindeki bir PP noktası, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan θ\theta yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi

olmak üzere, PP noktasından xx eksenine indirilen dikmenin ayağı HH noktasıdır.

Buna göre, OHOH uzunluğunun θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −cos⁡θ-\cos\theta

Cevap

−cos⁡θ-\cos\theta ifadesi doğru cevaptır.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) şeklindedir. Bu noktanın xx ekseni üzerindeki dik izdüşümü H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0) olup, orijine olan uzaklığı ∣cos⁡θ∣|\cos\theta| değerine eşittir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan, bu uzunluk dışarıya önüne eksi alarak −cos⁡θ-\cos\theta olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının birim çember üzerindeki koordinatlarını tanımlayın.
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)
Birim çember ��zerindeki herhangi bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen açının kosinüs ve sinüs değerlerine eşittir.
2
H noktasının koordinatlarını belirleyin.
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
H noktası, P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümüdür.
3
OH segmentinin uzunluğunu mutlak değer cinsinden yazın.
OH=∣cos⁡θ∣OH = |\cos\theta|
Bir noktanın orijine olan uzaklığı koordinatının mutlak değerine eşittir ve uzunluk her zaman pozitif olmalıdır.
4
Açının bulunduğu bölgeye göre kosinüs fonksiyonunun işaretini inceleyin.
İkinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olur.
İkinci bölgede birim çember üzerindeki noktaların apsisleri negatiftir.
5
Mutlak değer ifadesini dışarı çıkararak uzunluğu elde edin.
OH=∣cos⁡θ∣=−cos⁡θOH = |\cos\theta| = -\cos\theta
İçerisi negatif olan bir mutlak değer ifadesi, dışarıya önüne eksi işareti alarak çıkar.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların koordinat karşılıkları ve bölgelere göre işaretleri
Soru 64Soru →

Tanımlı olduğu aralıktaki xx gerçel sayıları için,

cos⁡(5π2−x)−sin⁡(3π+x)sin⁡(11π2−x)+cos⁡(7π+x)\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \sin(3\pi + x)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(7\pi + x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −tan⁡(x)-\tan(x)

Cevap

−tan⁡(x)-\tan(x)
İfadedeki tüm trigonometrik terimlerin esas ölçüleri ve bulundukları bölgeler tespit edildikten sonra indirgeme formülleri uygulanmıştır. Pay kısmından 2sin⁡(x)2\sin(x), payda kısmından ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) elde edilmiştir. Bu iki değerin birbirine oranı −tan⁡(x)-\tan(x) sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

Buradan pay ifadesi:
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) olarak bulunur.
Payı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
2
Payda kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
sin⁡(11π2−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)
cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)

Buradan payda ifadesi:
(−cos⁡(x))+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)(-\cos(x)) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
Paydayı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
3
Bulunan pay ve payda değerleri birbirine oranlanarak ifade sadeleştirilir.
2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)
İfadenin en sade şeklini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve açıların bölgelerine göre işaret/fonksiyon değişimi kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 65Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
sin⁡(3π2−x)+cos⁡(π+x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2cot⁡x2\cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli 2cot⁡x2\cot x olur.
Verilen rasyonel ifadedeki terimler tek tek indirgendiğinde; pay kısmında sin⁡(3π2−x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x ve cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x elde edilir, böylece pay −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ise −sin⁡x-\sin x olarak indirgenir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡(3π2−x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse döner.
2
Pay kısmındaki cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π\pi kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgenmesi
−sin⁡x-\sin x
Açı 2. bölgededir. 2. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse döner.
4
Elde edilen ifadelerin ana kesirde yerine yazılarak sadeleştirilmesi
2cot⁡x2\cot x
Pay kısmı −cos⁡x+(−cos⁡x)=−2cos⁡x-\cos x + (-\cos x) = -2\cos x olur. Payda ise −sin⁡x-\sin x olduğundan, ifadenin oranı −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesinde işaret tayini ve isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 66Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a<c<ba < c < b
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölge analizleri yapıldığında; bb değeri birinci bölgede pozitif bir sinüs değerine (b=sin⁡(20∘)>0b = \sin(20^\circ) > 0), aa ve cc değerleri ise sırasıyla ikinci ve dördüncü bölgelerde negatif değerlere (a=−cos⁡(20∘)<0a = -\cos(20^\circ) < 0 ve c=−tan⁡(20∘)<0c = -\tan(20^\circ) < 0) eşittir. Negatif değerler karşılaştırılırken, 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) eşitsizliği geçerlidir. Negatif işaretli hallerinde ise eşitsizlik yön değiştirerek −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c olur. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulma
1240∘1240^\circ açısın��n esas ölçüsü 160∘160^\circ, −340∘-340^\circ açısının esas ölçüsü 20∘20^\circ ve 700∘700^\circ açısının esas ölçüsü 340∘340^\circ olarak bulunur.
Bölgelere göre indirgeme ve karşılaştırma yapabilmek için öncelikle açıların [0,360∘)[0, 360^\circ) aralığındaki esas ölçülerinin bulunması gerekir.
2
Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre işaretlerini belirleme ve dar açı cinsinden yazma
a=cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)a = \cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) (negatif), b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) (pozitif) ve c=tan⁡(340∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(340^\circ) = -\tan(20^\circ) (negatif) olarak belirlenir.
İfadelerin hangi bölgede yer aldığını saptayarak işaretlerini ve birinci bölgedeki karşılıklarını belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
3
Bulunan değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırma
bb pozitif olduğu için en büyüktür. aa ve cc negatif değerlerdir. 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarptığımızda −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.
Birinci bölgedeki dar açılı trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini kullanarak nihai sıralamaya ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 67Soru →

Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan 240∘240^\circ lik yönlü açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olarak bulunur.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak tanımlanır. 240∘240^\circ lik açı üçüncü bölgede yer alır. Bu bölgede hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir. cos⁡(240∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olduğundan, aranan nokta (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının hangi bölgede olduğunu belirleyin.
240∘240^\circ lik açı, 180∘180^\circ ile 270∘270^\circ arasında olduğundan koordinat sisteminin üçüncü bölgesindedir.
Trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için açının bulunduğu bölgeyi bilmemiz gerekir.
2
Birim çember üzerindeki noktanın genel koordinat formülünü uygulayın.
Birim çember üzerinde bitim kenarı θ\theta olan açının kesim noktası (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) koordinatlarına sahiptir. Burada θ=240∘\theta = 240^\circ olduğundan koordinatlar (cos⁡(240∘),sin⁡(240∘))(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) olur.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
3
Açının kosinüs ve sinüs değerlerini hesaplayın.
Üçüncü bölgede kosinüs ve sinüs negatiftir. İndirgeme formülleri kullanılarak; cos⁡(240∘)=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=sin⁡(180∘+60∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Açıyı birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade ederek değerleri hesaplamak kolaylık sağlar.
4
Elde edilen değerleri koordinat ikilisi olarak yazın.
Noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) şeklinde elde edilir.
Apsis ve ordinat değerleri bir araya getirilerek nihai nokta oluşturulur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının kosinüs ve sinüs fonksiyonları cinsinden tanımlanması ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 68Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktası ikinci bölgededir. PP noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında kesmektedir. Birim çembere C(0,1)C(0,1) noktasında teğet olan y=1y = 1 doğrusu ise PP noktasındaki teğet doğrusu ile DD noktasında kesişmektedir. Buna göre, OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: csc⁡θ−1\csc\theta - 1

Cevap

Doğru cevap cosec(theta) - 1 ifadesidir.
Doğru cevap, OCD üçgeninin alanının OAP üçgeninin alanına oranının cosec(theta) - 1 olduğunu gösteren ifadedir. İkinci bölgedeki işaretler dikkate alınarak yapılan alan hesaplamaları bu sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Teğet doğrusunun denklemi (cos⁡θ)x+(sin⁡θ)y=1(\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 şeklindedir.
Birim çember üzerindeki bir (x0,y0)(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülü ile belirlenir.
2
AA ve DD noktalarının koordinatlarını bulalım.
AA noktası teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği yerdir (y=0y=0). Buradan xA=1cos⁡θ=sec⁡θx_A = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta olup A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) olur. DD noktası ise teğet doğrusu ile y=1y=1 doğrusunun kesişim noktasıdır. Denklemde y=1y=1 yazılırsa (cos⁡θ)x+sin⁡θ=1  ⟹  xD=1−sin⁡θcos⁡θ(\cos\theta)x + \sin\theta = 1 \implies x_D = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} olup D(1−sin⁡θcos⁡θ,1)D\left(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, 1\right) elde edilir.
Eksenleri kestikleri veya kesiştikleri noktaları bulmak için denklem sistemleri çözülür.
3
θ\theta açısı ikinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) olduğundan trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyip OAOA ve CDCD uzunluklarını pozitif olarak ifade edelim.
İkinci bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan: OA=∣sec⁡θ∣=−sec⁡θ=−1cos⁡θOA = |\sec\theta| = -\sec\theta = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. CDCD uzunluğu için C(0,1)C(0,1) ve D(xD,1)D(x_D, 1) noktaları arasındaki mesafe ∣xD∣=∣1−sin⁡θcos⁡θ∣|x_D| = \left|\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right| şeklindedir. İkinci bölgede sin⁡θ<1  ⟹  1−sin⁡θ>0\sin\theta < 1 \implies 1-\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} birim olarak bulunur.
Geometrik uzunluk değerleri her zaman pozitif olmalıdır. Bölgelere göre işaret tespiti bu yüzden önemlidir.
4
OAPOAP ve OCDOCD üçgenlerinin alanlarını hesaplayalım.
OAPOAP üçgeninin yüksekliği PP noktasının yy koordinatı olan sin⁡θ\sin\theta (pozitif) ve tabanı OA=−1cos⁡θOA = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OAP)=12⋅OA⋅yP=−sin⁡θ2cos⁡θ\text{Alan}(OAP) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = -\frac{\sin\theta}{2\cos\theta} olur. OCDOCD dik üçgeninin dik kenarları ise OC=1OC = 1 ve CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OCD)=12⋅OC⋅CD=sin⁡θ−12cos⁡θ\text{Alan}(OCD) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot CD = \frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta} elde edilir.
Üçgenin alan formülü Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} kullanılarak alanlar ifade edilir.
5
OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranını bulup sadeleştirelim.
Oran=Alan(OCD)Alan(OAP)=sin⁡θ−12cos⁡θ−sin⁡θ2cos⁡θ=sin⁡θ−1−sin⁡θ=1−sin⁡θsin⁡θ=1sin⁡θ−1=csc⁡θ−1\text{Oran} = \frac{\text{Alan}(OCD)}{\text{Alan}(OAP)} = \frac{\frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta}}{-\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}} = \frac{\sin\theta-1}{-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} - 1 = \csc\theta - 1 elde edilir.
İki alan ifadesi birbirine oranlanarak sadeleştirme işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların geometrik temsili ve bölgelere göre işaret analizi.
Soru 69Soru →
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,
x=cos⁡(θ−7π2)x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right)
y=tan⁡(θ−3π)y = \tan\left(\theta - 3\pi\right)
z=sin⁡(9π2+θ)z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta\right)

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadeler indirgendiğinde ve aralık analizi yapıldığında doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen açılar esas ölçülerine getirilip indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde x=−sin⁡θx = -\sin\theta, y=tan⁡θy = \tan\theta ve z=cos⁡θz = \cos\theta elde edilir. θ\theta açısı ikinci bölgede olduğundan bu üç değer de negatiftir. θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümüyle dar açıya geçildiğinde x=−sin⁡αx = -\sin\alpha, y=−tan⁡αy = -\tan\alpha ve z=−cos⁡αz = -\cos\alpha olur. 0<α<30∘0 < \alpha < 30^\circ aralığında mutlak değerce en büyük olan cos⁡α\cos\alpha, en küçük olan ise sin⁡α\sin\alpha olduğundan, negatif işaretliler sıralandığında en küçük değer z, en büyük değer ise x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z ifadelerine indirgeme formüllerini uygulayarak en sade trigonometrik biçimlerini bulalım.
x=cos⁡(θ−7π2+4π)=cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θx = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2} + 4\pi\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

y=tan⁡(θ−3π)=tan⁡θy = \tan\left(\theta - 3\pi\right) = \tan\theta (tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi olduğundan)

z=sin⁡(9π2+θ−4π)=sin⁡(π2+θ)=cos⁡θz = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta - 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta
Bölgelere göre indirgeme kurallarını ve esas ölçü kavramını uygulamak için.
2
Açı aralığını ve bu aralıktaki işaretleri belirleyelim.
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir (150° ile 180° arası). İkinci bölgede:
- sin⁡θ>0⇒x=−sin⁡θ<0\sin\theta > 0 \Rightarrow x = -\sin\theta < 0
- tan⁡θ<0⇒y=tan⁡θ<0\tan\theta < 0 \Rightarrow y = \tan\theta < 0
- cos⁡θ<0⇒z=cos⁡θ<0\cos\theta < 0 \Rightarrow z = \cos\theta < 0
Her üç değer de negatiftir.
Değerlerin hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaret analizi yapmak için.
3
İfadeleri kıyaslamak için dar açı cinsinden yazalım.
θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümü yapalım. Buradan α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olur (yani 0° ile 30° arası). Bu durumda:
- x=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αx = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha
- y=tan⁡(π−α)=−tan⁡αy = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha
- z=cos⁡(π−α)=−cos⁡αz = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha
Dar açılarda büyüklük kıyaslaması daha kolay yapıldığı için.
4
Dar açı aralığı olan (0, 30°) için fonksiyonların mutlak büyüklüklerini kıyaslayalım.
α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) için:
- 0<sin⁡α<tan⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha her zaman doğrudur çünkü bu aralıkta cos⁡α<1\cos\alpha < 1 olduğundan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha olur.
- α<30∘\alpha < 30^\circ iken tan⁡α<tan⁡(30∘)=33≈0.577\tan\alpha < \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 ve cos⁡α>cos⁡(30∘)=32≈0.866\cos\alpha > \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 olduğundan tan⁡α<cos⁡α\tan\alpha < \cos\alpha olur.
- Buradan 0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha elde edilir.
Fonksiyonların dar açı değer aralıklarını netleştirerek kıyaslamak için.
5
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak x, y ve z değerlerini sıralayalım.
0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha eşitsizliği −1-1 ile çarpılırsa yön değiştirir:

−cos⁡α<−tan⁡α<−sin⁡α-\cos\alpha < -\tan\alpha < -\sin\alpha

Bu da bizi doğrudan z<y<xz < y < x sıralamasına götürür.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olması kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi ve Sıralanması
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 70Soru →
x,y∈(0,π2)x, y \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve x>yx > y olmak üzere,
sin⁡(x−3π)⋅cos⁡(y−7π2)−cos⁡(5π−x)⋅sin⁡(9π2+y)=32\sin(x - 3\pi) \cdot \cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) - \cos(5\pi - x) \cdot \sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(11π2−(x+y))=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
Verilen iki trigonometrik denklem indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde, x−y=π6x - y = \frac{\pi}{6} ve x+y=π3x + y = \frac{\pi}{3} doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=π4x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} değerlerine ulaşılır. Bu değerler sorulan cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right) ifadesinde yerine yazıldığında, açı 2π−29π4=−21π42\pi - \frac{29\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4} olur. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı bu ifade cos⁡(21π4)\cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) değerine eşittir. Bu açının esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} olup, üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan sonuç −cos⁡(π4)=−22-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde verilen trigonometrik ifadeleri bölgelere göre indirgeyerek sadeleştirin.
sin⁡(x−3π)=−sin⁡(3π−x)=−sin⁡(π−x)=−sin⁡(x)\sin(x - 3\pi) = -\sin(3\pi - x) = -\sin(\pi - x) = -\sin(x)

cos⁡(y−7π2)=cos⁡(7π2−y)=−sin⁡(y)\cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - y\right) = -\sin(y)

cos⁡(5π−x)=cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)

sin⁡(9π2+y)=sin⁡(π2+y)=cos⁡(y)\sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = \cos(y)

Bu değerler denklemde yerine yazıldığında:

(−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(y))−(−cos⁡(x))⋅cos⁡(y)=sin⁡(x)sin⁡(y)+cos⁡(x)cos⁡(y)=cos⁡(x−y)=32(-\sin(x)) \cdot (-\sin(y)) - (-\cos(x)) \cdot \cos(y) = \sin(x)\sin(y) + \cos(x)\cos(y) = \cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Negatif ve büyük açıları indirgeme formülleriyle basitleştirip toplam-fark formülüne ulaştırmak için.
2
İkinci denklemdeki tanjant ifadesini indirgeme formülüyle sadeleştirin.
tan⁡(11π2−(x+y))=tan⁡(3π2−(x+y))=cot⁡(x+y)=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - (x + y)\right) = \cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
Açıyı 3π2\frac{3\pi}{2} katı cinsinden yazarak fonksiyon adını değiştirmek ve sade bir ifadeye ulaşmak için.
3
xx ve yy değerlerinin dar açı olması ve x>yx > y koşulunu kullanarak elde edilen doğrusal denklem sistemini çözün.
cos⁡(x−y)=32  ⟹  x−y=π6\cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x - y = \frac{\pi}{6}

cot⁡(x+y)=33  ⟹  x+y=π3\cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x + y = \frac{\pi}{3}

Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2x=π2  ⟹  x=π42x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} bulunur.
xx ve yy bilinmeyenlerini tek tek bularak hedef ifadede yerine koyabilmek için.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef kosinüs ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
5x+9y=5(π4)+9(π12)=5π4+3π4=2π5x + 9y = 5\left(\frac{\pi}{4}\right) + 9\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi

Buradan hedef ifade:

cos⁡(2π−29π4)=cos⁡(−21π4)=cos⁡(21π4)\cos\left(2\pi - \frac{29\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right)

Esas ölçü alındığında:

21π4=4π+5π4  ⟹  cos⁡(21π4)=cos⁡(5π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡(π4)=−22\frac{21\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} \implies \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} bulunur.
Bulunan açıları yerine koyup esas ölçü ve bölge indirgeme kuralları ile nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 71Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

olduğuna göre,

sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{3}{4}

Cevap

Üç bölü dört
İfade indirgeme formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde birinci ve ikinci terim birbirini götürür. Üçüncü terim ise kotanjant fonksiyonuna dönüşür. Başlangıçta verilen eşitlikten açının kosinüs değeri negatif olarak elde edilir. Açının üçüncü bölgede olduğu bilgisi kullanılarak hesaplanan kotanjant değeri pozitif olup üç bölü dört sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} ifadesini indirgeme formülü kullanarak sadeleştirip cos⁡(x)\cos(x) değerini bulunuz.
sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡(x)=35  ⟹  cos⁡(x)=−35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) = \frac{3}{5} \implies \cos(x) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.
Açının esas bölgesindeki trigonometrik değerini belirlemek ve diğer trigonometrik oranları hesaplayabilmek için.
2
Açının üçüncü bölgede (x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) olduğunu dikkate alarak sin⁡(x)\sin(x) ve cot⁡(x)\cot(x) değerlerini hesaplayınız.
Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan sin⁡(x)=−1−cos⁡2(x)=−45\sin(x) = -\sqrt{1 - \cos^2(x)} = -\frac{4}{5} olur. Cotangent ise pozitif olup cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)=−3/5−4/5=34\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} olarak bulunur.
İstenen ifadedeki terimleri sayısal olarak hesaplamak için gerekli olan temel trigonometrik değerleri elde etmek amacıyla.
3
İstenen sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) ifadesindeki her bir terimi indirgeme formülleriyle sadeleştiriniz.
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

−tan⁡(x−7π2)=−tan⁡(x+π2)=−(−cot⁡(x))=cot⁡(x)-\tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = -\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -(-\cot(x)) = \cot(x) elde edilir.
İfadeyi en sade haline getirerek hesaplamayı kolaylaştırmak için.
4
Sadeleştirilmiş terimleri toplayıp elde edilen sonucu hesaplayınız.
A=−sin⁡(x)+sin⁡(x)+cot⁡(x)=cot⁡(x)=34A = -\sin(x) + \sin(x) + \cot(x) = \cot(x) = \frac{3}{4} bulunur.
İfadenin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra eksenlere göre indirgenmesi ve bölgelerine göre işaret analizi yapılması.

Alternatif Yöntem

İndirgeme formüllerini uygulamak yerine birim çember üzerinde açıların bitim kenarlarının koordinat eksenlerindeki izdüşümleri düşünülerek de bölgelere göre işaret ve isim değişiklikleri belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 72Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(310∘)a = \cos(310^\circ)
b=sin⁡(200∘)b = \sin(200^\circ)
c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyü��e doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde b=−sin⁡(20∘)<0b = -\sin(20^\circ) < 0 en küçük değer olur. Pozitif olan a=sin⁡(40∘)a = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerinden ise tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğu için a<ca < c sıralaması elde edilir. Böylelikle doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açıların hangi bölgede olduğunu belirleyip trigonometrik değerleri dar açı cinsinden yazınız.
a=cos⁡(310∘)=cos⁡(360∘−50∘)=cos⁡(50∘)>0a = \cos(310^\circ) = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ) > 0
b=sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)<0b = \sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) < 0
c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)>0c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) > 0
Trigonometrik fonksiyonların büyüklüklerini karşılaştırabilmek için değerleri birinci bölgedeki dar açılara indirgemek ve işaretlerini belirlemek gerekir.
2
Negatif olan değeri en küçük değer olarak belirleyiniz.
b<0b < 0 ve a,c>0a, c > 0 olduğundan en küçük değer bb olarak bulunur.
Negatif reel sayılar daima pozitif reel sayılardan küçüktür.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini karşılaştırınız.
a=cos⁡(50∘)=sin⁡(40∘)a = \cos(50^\circ) = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerleri karşılaştırıldığında, birinci bölgedeki her θ∈(0,90∘)\theta \in (0, 90^\circ) açısı için tan⁡θ>sin⁡θ\tan\theta > \sin\theta eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla tan⁡(40∘)>sin⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) olduğundan c>ac > a olur.
Birinci bölgedeki bir dar açının tanjantı, aynı açının sinüs değerinden büyüktür.
4
Tüm adımlardaki sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayınız.
b<a<cb < a < c
bb negatif, aa ve cc pozitif olup cc değeri aa'dan büyük olduğu için küçükten büyüğe sıralama bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 73Soru →

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde yer alan bir noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve dördüncü bölgede yer alan noktanın ordinatı −08-0{}8 olarak bulunur.
Birim çemberin x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 bağıntısından ve noktanın dördüncü bölgede bulunmasından dolayı ordinat değeri negatif olmalıdır. Apsis 060{}6 iken (06)2+y2=1(0{}6)^2 + y^2 = 1 eşitliğinden y2=064y^2 = 0{}64 ve dördüncü bölgede y<0y < 0 olduğundan y=−08y = -0{}8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çemberin temel denklemini yazma
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
2
Verilen apsis değerini yerine yazarak ordinatın mutlak değerini bulma
y2=064  ⟹  ∣y∣=08y^2 = 0{}64 \implies |y| = 0{}8
x=06x = 0{}6 değeri denklemde yerine yazılır: (06)2+y2=1  ⟹  036+y2=1  ⟹  y2=064(0{}6)^2 + y^2 = 1 \implies 0{}36 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0{}64 olur.
3
Bölge bilgisini kullanarak ordinatın işaretini belirleme ve sonucu bulma
y=−08y = -0{}8
Koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde apsis (xx) pozitif, ordinat (yy) negatiftir. Bu nedenle yy değeri negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlar ve bölgelere göre koordinat işaretleri değişir.
Tahmini Süre:45s
Soru 74Soru →

Analitik düzlemde başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan ve pozitif yönde saniyede 13π18\frac{13\pi}{18} radyanlık sabit hızla dönen bir ibre, başlangıçta I. bölgedeki açıortay doğrusu üzerinde bulunmaktadır.

Buna göre, 'Bu ibre 15 saniye boyunca döndükten sonra durduğunda, ibrenin son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olur.' ifadesi doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İbre 15 saniye döndükten sonra son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ��lçüsü 195∘195^\circ olur ifadesi doğrudur.
İbre pozitif yönde döndüğü için başlangıç açısına geçen süredeki dönme açısı eklenir. Yapılan hesaplamalar sonucunda son konumdaki açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç konumundaki açıyı radyan cinsinden belirleyin.
Başlangıç açısı θ0=45∘=π4\theta_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} radyan.
I. bölgenin açıortay doğrusu (y=xy = x, x>0x > 0), başlangıç kenarı olan pozitif xx ekseniyle 45∘45^\circ lik açı yapar.
2
15 saniyede taranan toplam açıyı hesaplayın.
θtarama=15×13π18=5×13π6=65π6\theta_{tarama} = 15 \times \frac{13\pi}{18} = \frac{5 \times 13\pi}{6} = \frac{65\pi}{6} radyan.
Sabit açısal hız ile geçen sürenin çarpımı toplam taranan yönlü açıyı verir.
3
Son konumdaki toplam açıyı bulun.
θson=θ0+θtarama=π4+65π6=3π+130π12=133π12\theta_{son} = \theta_0 + \theta_{tarama} = \frac{\pi}{4} + \frac{65\pi}{6} = \frac{3\pi + 130\pi}{12} = \frac{133\pi}{12} radyan.
İbre pozitif yönde döndüğü için taranan açı başlangıç açısına eklenir.
4
Son konumdaki açının esas ölçüsünü radyan cinsinden hesaplayın.
Esas ölçü =13π12= \frac{13\pi}{12} radyan.
133π12\frac{133\pi}{12} ifadesinde pay olan 133133, paydanın iki katı olan 2424'e bölünür. 133=5×24+13133 = 5 \times 24 + 13 olduğundan kalan 1313 tür. Dolayısıyla esas ölçü 13π12\frac{13\pi}{12} radyandır.
5
Bulunan radyan değerini dereceye çevirin.
13π12 radyan=13×180∘12=13×15∘=195∘\frac{13\pi}{12} \text{ radyan} = \frac{13 \times 180^\circ}{12} = 13 \times 15^\circ = 195^\circ.
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için π\pi yerine 180∘180^\circ yazılır.

Anahtar Kavram

Yönlü açılar, derece-radyan dönüşümü ve radyan cinsinden esas ölçü bulma işlemleri.

Alternatif Yöntem

Açıları en baştan dereceye çevirerek işlem yapabilirsiniz. Başlangıç açısı 45∘45^\circ, saniyedeki dönme hızı 13×180∘18=130∘\frac{13 \times 180^\circ}{18} = 130^\circ olur. 15 saniyede taranan açı 15×130∘=1950∘15 \times 130^\circ = 1950^\circ dir. Son konumdaki açı 45∘+1950∘=1995∘45^\circ + 1950^\circ = 1995^\circ olur. 19951995 sayısının 360360'a bölümünden kalan 195195 olduğu için esas ölçü 195∘195^\circ olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)
b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir. İkinci bölgedeki θ\theta açısı için tanjant değeri negatif olduğundan c=tan⁡θc = \tan\theta en küçük değerdir. Pozitif olan a=sin⁡θa = \sin\theta ve b=−cos⁡θb = -\cos\theta değerleri karşılaştırıldığında, θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡θ>−cos⁡θ\sin\theta > -\cos\theta olduğu görülür, bu nedenle en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulup indirgeme formüllerini uygulayarak aa, bb ve cc ifadelerini θ\theta cinsinden yazalım.
a=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θa = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta, b=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θb = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta ve c=cot⁡(π2−θ)=tan⁡θc = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta elde edilir.
İfadeleri tek bir açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak amacıyla indirgeme kuralları uygulanır.
2
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre (yani 90∘<θ<135∘90^\circ < \theta < 135^\circ aralığı) elde ettiğimiz trigonometrik değerlerin işaretlerini inceleyelim.
a=sin⁡θ>0a = \sin\theta > 0, b=−cos⁡θ>0b = -\cos\theta > 0 ve c=tan⁡θ<0c = \tan\theta < 0 olur.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatif ve tanjant negatif olduğu için işaret analiziyle negatif olan cc değerinin en küçük olduğu belirlenir.
3
Pozitif olan aa ve bb değerlerini karşılaştıralım. θ=90∘+x\theta = 90^\circ + x (burada 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ) dönüşümü yapalım.
a=sin⁡(90∘+x)=cos⁡xa = \sin(90^\circ + x) = \cos x ve b=−cos⁡(90∘+x)=sin⁡xb = -\cos(90^\circ + x) = \sin x olur. 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan a>ba > b sonucuna ulaşılır.
Aynı bölgede yer alan pozitif değerli trigonometrik büyüklükleri birbirleriyle kıyaslamak için dar açı dönüşümünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki karşılıklarının bulunması ve belirli bir aralıkta işaret/büyüklük analizi yapılarak sıralanması.
Soru 76Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde aa pozitif çıkarken, bb ve cc negatif çıkmaktadır. Negatif değerler karşılaştırıldığında, dar açılarda tanjant değeri sinüsten büyük olduğu için negatifleri alındığında tanjantlı terim en küçük olur. Bu da c<b<ac < b < a sıralamasını verir.

Adım Adım Çözüm

1
a=sin⁡(160∘)a = \sin(160^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
a=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) (Pozitif)
160∘160^\circ açısı ikinci bölgede olup sinüs fonksiyonu bu bölgede artı işaretlidir.
2
b=cos⁡(250∘)b = \cos(250^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
b=cos⁡(180∘+70∘)=−cos⁡(70∘)=−sin⁡(20∘)b = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\sin(20^\circ) (Negatif)
250∘250^\circ açısı üçüncü bölgede olup kosin��s fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
3
c=tan⁡(340∘)c = \tan(340^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
c=tan⁡(360∘−20∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(360^\circ - 20^\circ) = -\tan(20^\circ) (Negatif)
340∘340^\circ açısı dördüncü bölgede olup tanjant fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
4
Elde edilen değerleri işaret ve büyüklüklerine göre sıralama.
c<b<ac < b < a
aa değeri pozitif olduğundan en büyüktür. Negatif olan bb ve cc değerleri için, 20∘20^\circ dar açısında tan⁡(20∘)>sin⁡(20∘)\tan(20^\circ) > \sin(20^\circ) olduğu bilindiğinden, negatif işaretle çarpıldığında −tan⁡(20∘)<−sin⁡(20∘)-\tan(20^\circ) < -\sin(20^\circ) olur. Bu durumda c<bc < b elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden yazılması (indirgeme formülleri).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 77Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, birinci bölgedeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 çemberine çizilen teğet doğrusu, koordinat eksenlerini AA ve BB noktalarında kesmektedir. PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH noktası olup ABAB doğru parçasının orta noktası CC olarak belirleniyor.

OHCOHC üçgeninin alanı 0,1250,125 birimkare olduğuna göre, sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İstenen sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri 0,80,8 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis ilişkileri kullanılarak CC orta noktasının koordinatları belirlenir. Tabanı OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve yüksekliği yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} olan OHCOHC üçgeninin alanı cot⁡θ4\frac{\cot\theta}{4} olarak elde edilir. Alanın 0,1250,125 birimkareye eşitlenmesiyle cot⁡θ=0,5\cot\theta = 0,5 bulunur. Buradan sin⁡(2θ)=0,8\sin(2\theta) = 0,8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin yazılmas��
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği AA ve BB noktalarının koordinatlarının belirlenmesi
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Teğet denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 verilerek eksen kesim noktaları bulunur.
3
ABAB doğru parçasının orta noktası olan CC'nin koordinatlarının bulunması
C(sec⁡θ2,csc⁡θ2)C\left(\frac{\sec\theta}{2}, \frac{\csc\theta}{2}\right)
AA ve BB noktalarının aritmetik ortalaması alınarak orta nokta koordinatları bulunur.
4
PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktasının koordinatlarının belirlenmesi
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasının ordinatının sıfırlanmasıyla xx-eksenindeki izdüşüm noktası bulunur.
5
OHCOHC üçgeninin alanının θ\theta cinsinden formüle edilmesi
Alan(OHC)=cot⁡θ4\text{Alan}(OHC) = \frac{\cot\theta}{4}
Taban OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve bu tabana ait yükseklik yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} alınarak Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} formülü uygulanır.
6
Verilen alan değeri kullanılarak cot⁡θ\cot\theta değerinin hesaplanması
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2}
cot⁡θ4=0,125=18\frac{\cot\theta}{4} = 0,125 = \frac{1}{8} eşitliği çözülerek cot⁡θ\cot\theta değerine ulaşılır.
7
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2} bilgisinden yararlanılarak sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerinin bulunması
0,80,8
tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olup, yarım açı formülü sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} kullanılarak değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim çemberde teğet doğrusu özellikleri, koordinat eksenlerinin kesim noktaları, orta nokta koordinatları ve trigonometrik alan uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 78Soru →

Dik koordinat düzleminde, bitiş kenarı birim çemberi üçüncü bölgede yer alan K(k,−1213)K\left(k, -\frac{12}{13}\right) noktasında kesen yönlü açının kosinüs değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −513-\frac{5}{13}

Cevap

−513-\frac{5}{13}
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 kullanılarak k2+(−12/13)2=1k^2 + (-12/13)^2 = 1 eşitliğinden k2=25/169k^2 = 25/169 bulunur. Nokta üçüncü bölgede yer aldığı için apsis (xx) değeri negatif olmalıdır. Buradan k=−5/13k = -5/13 elde edilir. Yönlü açının kosinüs değeri kestiği noktanın apsis değerine eşit olduğundan cevap negatif beş bölü on üç olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki her P(x,y)P(x, y) noktası için x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinin sağlandığını belirlemek.
k2+(−1213)2=1k^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 denklemi elde edilir.
Birim çemberin genel denklemi x2+y2=1x^2 + y^2 = 1'dir ve çember üzerindeki her nokta bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Elde edilen denklemde bilinmeyen kk değerinin karesini yalnız bırakmak.
k2+144169=1⇒k2=1−144169=25169k^2 + \frac{144}{169} = 1 \Rightarrow k^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} bulunur.
kk değerinin büyüklüğünü hesaplamak için kare değerini bulmamız gerekir.
3
Noktanın bulunduğu bölgeye göre kk değerinin işaretini belirlemek.
Üçüncü bölgede apsis (xx) değeri negatif olduğundan k=−513k = -\frac{5}{13} olur.
Üçüncü bölgede hem xx hem de yy koordinatları negatiftir.
4
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisinin, bu noktayı belirleyen yönlü açının kosinüs değerine eşit olduğunu kullanmak.
Açının kosinüs değeri cos⁡θ=k=−513\cos\theta = k = -\frac{5}{13} olarak bulunur.
Birim çember üzerinde tanımlanan bir açının bitiş kenarının çemberi kestiği noktanın xx koordinatı kosinüs değerini verir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.
Soru 79Soru →

Dik koordinat düzlemindeki birim çember üzerinde, üçüncü bölgede bulunan bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere çizilen teğet doğrusu; x=−1x = -1 doğrusunu KK noktasında, y=−1y = -1 doğrusunu ise LL noktasında kesmektedir.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)

Cevap

−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
Doğru yanıt olan −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta) ifadesi, üçüncü bölgedeki sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta değerlerinin negatif işaretleri ve bu işaretlerin toplamının −1-1'den küçük olması dolayısıyla mutlak değer dışına çıkarma kurallarının eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xx0+yy0=1x x_0 + y y_0 = 1 formülü ile bulunur.
2
KK noktasının koordinatlar��nı bulma
K(−1,1+cos⁡θsin⁡θ)K\left(-1, \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)
Teğet doğrusu ile x=−1x = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=−1x = -1 yazılır.
3
LL noktasının koordinatlarını bulma
L(1+sin⁡θcos⁡θ,−1)L\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}, -1\right)
Teğet doğrusu ile y=−1y = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=−1y = -1 yazılır.
4
KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın karesini hesaplama
KL2=(1+sin⁡θ+cos⁡θ)2sin⁡2θcos⁡2θKL^2 = \frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta\cos^2\theta}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d2=(xK−xL)2+(yK−yL)2d^2 = (x_K - x_L)^2 + (y_K - y_L)^2 uygulanarak ortak payda parantezine alınır.
5
Mutlak değer dışına çıkarma ve sadeleştirme
KL=−1+sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)KL = -\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = -(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
θ\theta üçüncü bölgede olduğundan sin⁡θ<0\sin\theta < 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<−1\sin\theta + \cos\theta < -1 olur. Dolayısıyla 1+sin⁡θ+cos⁡θ<01+\sin\theta+\cos\theta < 0 ve sin⁡θcos⁡θ>0\sin\theta\cos\theta > 0 olduğu için mutlak değer dışına çıkarırken işaret değişimi yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenlerine paralel doğrularla kesişim noktaları ve bu noktaların trigonometrik ifadelerle bölgelere göre analizi.
Soru 80Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
\frac{\cos(x - 5\pi) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \sin(3\pi + x) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) \cdot \cot(11\pi + x)} + \cos^2\left\(\frac{13\pi}{2} - x\right) + \cos^2(x - 7\pi)

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin en sade şekli 2'dir.
İfade adım adım indirgendiğinde rasyonel kısmın payı cos^2(x) + sin^2(x) = 1, paydası tan(x) * cot(x) = 1 olarak bulunur. Böylece rasyonel kısım 1 değerine eşit olur. Yan taraftaki kareli terimlerin toplamı da sin^2(x) + cos^2(x) = 1 olduğundan, tüm ifadenin en sade şekli 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin payındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cos⁡(x−5π)=cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 5\pi) = \cos(5\pi - x) = -\cos(x)
sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
Çarpımları: (−cos⁡(x))⋅(−cos⁡(x))=cos⁡2(x)(-\cos(x)) \cdot (-\cos(x)) = \cos^2(x)

sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)
cos⁡(5π2+x)=cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)
Çarpımları: (−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(x))=sin⁡2(x)(-\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) = \sin^2(x)

Payın toplamı: cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 olur.
Pay kısmındaki her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaretlerini ve isim değiştirip değiştirmeyeceklerini saptamak için.
2
Rasyonel ifadenin paydasındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cot⁡(9π2−x)=cot⁡(π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
cot⁡(11π+x)=cot⁡(π+x)=cot⁡(x)\cot(11\pi + x) = \cot(\pi + x) = \cot(x)
Çarpımları: tan⁡(x)⋅cot⁡(x)=1\tan(x) \cdot \cot(x) = 1 olur.

Böylece rasyonel ifade: 11=1\frac{1}{1} = 1 bulunur.
Payda kısmındaki trigonometrik çarpımın sade halini bulmak ve rasyonel ifadenin değerini belirlemek için.
3
Rasyonel ifadenin sağında bulunan kareli terimleri indirgeyip toplam ifadenin sonucunu hesaplayalım.
cos⁡(13π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)  ⟹  cos⁡2(13π2−x)=sin⁡2(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \implies \cos^2\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin^2(x)
cos⁡(x−7π)=cos⁡(7π−x)=−cos⁡(x)  ⟹  cos⁡2(x−7π)=(−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)\cos(x - 7\pi) = \cos(7\pi - x) = -\cos(x) \implies \cos^2(x - 7\pi) = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)
Kareleri toplamı: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olur.

Tüm ifadenin değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olarak bulunur.
Kalan terimlerin değerlerini esas ölçü ve trigonometrik kimlikler yardımıyla bulup rasyonel ifadenin sonucuna eklemek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 4 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin