Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 1Soru →

Bir spor salonundaki üyelerin 49\frac{4}{9}'ü kadındır. Bu spor salonuna 10 kadın üye daha katıldığında salondaki kadın üyelerin sayısı, erkek üyelerin sayısına eşit olmaktadır. Buna göre, başlangıçta bu spor salonunda toplam kaç üye vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Başlangıçtaki toplam üye sayısı 90'dır.
Başlangıçtaki üye sayısı 9x9x olarak seçilirse, kadın üye sayısı 4x4x, erkek üye sayısı 5x5x olur. 10 kadın üye katıldığında kadın sayısı 4x+104x+10 olur ve erkek sayısı olan 5x5x'e eşitlenir. Buradan x=10x=10 bulunur. Başlangıçtaki toplam üye sayısı 9x=909x = 90 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Spor salonundaki toplam üye sayısına bir değişken atayarak kadın ve erkek üye sayılarını belirleme.
Toplam üye sayısı 9x9x olsun. Bu durumda kadın üye sayısı 4x4x, erkek üye sayısı ise 9x−4x=5x9x - 4x = 5x olur.
Kesirli ifadelerle işlem yapmayı kolaylaştırmak için paydanın katı olan bir değişken seçilmiştir.
2
Soruda verilen yeni duruma göre denklemi kurma ve bilinmeyeni bulma.
Salona 10 kadın üye katıldığında kadın sayısı 4x+104x + 10 olur. Bu sayı erkek üye sayısına eşitlendiğinde 4x+10=5x  ⟹  x=104x + 10 = 5x \implies x = 10 bulunur.
Kadın ve erkek üye sayılarının eşitlenmesi koşulunu kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak gerekir.
3
Bulunan bilinmeyen yardımıyla başlangıçtaki toplam üye sayısını hesaplama.
Başlangıçtaki toplam üye sayısı 9x=9×10=909x = 9 \times 10 = 90 olarak elde edilir.
Soruda bizden başlangıçtaki toplam üye sayısı istendiği için 9x9x ifadesinde xx yerine 10 yazılır.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde bütünü temsil etmek için paydanın katı olan bir değişken seçilerek denklem kurulması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2Soru →

Bir butik sahibi, satmak amacıyla her birinin maliyet bedeli aynı olan belirli sayıda elbiseyi satın almıştır. Butik sahibi, bu elbiselerin etiket fiyatını maliyet üzerinden %40\%40 kârla belirlemiştir.

Elbiselerin yarısını bu etiket fiyatından satan butik sahibi, kalan elbiselerin tamamını ise etiket fiyatı üzerinden belirli bir oranda indirim uygulayarak satmıştır.

Bu satışlar sonucunda butik sahibinin tüm elbiselerden elde ettiği toplam kâr oranı %26\%26 olduğuna göre, indirimli satışlarda etiket fiyatı üzerinden yüzde kaç indirim uygulanmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İndirimli satışlarda etiket fiyatı üzerinden %20 indirim uygulanmıştır.
İndirimli satış fiyatı 112112 TL olarak bulunur. Başlangıçtaki etiket fiyatı 140140 TL olduğundan, yapılan indirim tutarı 140−112=28140 - 112 = 28 TL'dir. Bu indirim tutarının etiket fiyatına oranı 28140=15=%20\frac{28}{140} = \frac{1}{5} = \%20 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri belirleme ve toplam maliyet ile etiket fiyatını hesaplama.
Bir elbisenin maliyeti 100100 TL, toplam elbise adedi 22 olsun. Toplam maliyet =200= 200 TL. Etiket fiyatı =140= 140 TL.
Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla yüzdelik dilimlere uygun değerler seçilmiştir.
2
Tüm satıştan elde edilmesi gereken toplam geliri hesaplama.
Toplam gelir =200×1,26=252= 200 \times 1,26 = 252 TL.
Toplam kâr oranının %26\%26 olduğu belirtildiği için toplam gelir maliyetin %126\%126'sı olmalıdır.
3
İkinci grup elbiselerin satışından elde edilen geliri bulma.
İndirimli satılan elbisenin satış fiyatı =252−140=112= 252 - 140 = 112 TL.
İlk grup elbiselerin satışından 140140 TL kazanıldığı için toplam gelire ulaşmak için gereken kalan miktar hesaplanmıştır.
4
Yapılan indirim miktarını ve indirim oranını hesaplama.
İndirim miktarı =140−112=28= 140 - 112 = 28 TL. İndirim oranı =28140×100=20= \frac{28}{140} \times 100 = 20.
Etiket fiyatı üzerinden yapılan indirimin yüzdesi, indirim miktarının etiket fiyatına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar ve indirim problemlerinde yüzde hesaplamaları yapılırken referans değerinin (maliyet veya etiket fiyatı) doğru seçilmesi gerekir.
Soru 3Soru →

Bir yayınevi, basacağı yeni bir kitap için A ve B matbaalarından fiyat teklifi almıştır. Bu tekliflerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A matbaası, kitabın basımı için belirlediği standart toplam ücret üzerinden %15 indirim uygulamaktadır.
* B matbaası, indirim uygulamamakta fakat basım için A matbaasının indirim uygulanmamış standart toplam ücretinden %10 daha az bir ücret talep etmektedir.

Yayınevi, kitabı A matbaasında bastırdığında B matbaasına göre 450 TL daha az ödeme yapacağını hesaplamıştır.

Buna göre, yayınevinin bu kitabı A matbaasına bastırması durumunda ödeyeceği indirimli toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7650

Cevap

Yayınevinin kitabı A matbaasında bastırdığında ödeyeceği indirimli toplam tutar 7650 TL'dir.
A matbaasının standart ücreti 100x100x alındığında, uygulanan %15 indirimle ücret 85x85x olur. B matbaasının ücreti ise bu standart ücretin %10 eksiği, yani 90x90x olarak hesaplanır. İki ücret arasındaki fark 90x−85x=5x90x - 85x = 5x olup bu fark 450 TL'ye eşittir. Buradan x=90x = 90 bulunur. A matbaasının indirimli fiyatı olan 85x85x ifadesinde xx yerine 90 yazıldığında 85×90=765085 \times 90 = 7650 TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A matbaasının standart ücretini değişken cinsinden belirleme
A'nın standart ücreti = 100x100x ise indirimli ücreti = 85x85x
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç değerine 100x100x denir ve %15 indirim uygulanır.
2
B matbaasının ücretini belirleme
B'nin ücreti = 90x90x
B matbaasının ücreti A'nın standart ücretinden %10 eksik olarak tanımlanmıştır.
3
Matbaalar arasındaki farkı kurma ve bilinmeyeni bulma
90x−85x=5x  ⟹  5x=450  ⟹  x=9090x - 85x = 5x \implies 5x = 450 \implies x = 90
A matbaasının B'ye göre 450 TL daha ucuz olduğu belirtildiğinden fark denklemi kurularak xx bulunur.
4
A matbaasının indirimli ücretini hesaplama
85×90=765085 \times 90 = 7650 TL
Yayınevinin A matbaasına ödeyeceği indirimli tutar 85x85x olduğundan, bulunan xx değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde doğru referans (matris/taban) belirleyerek değişken atamak ve verilen oranlar üzerinden denklem kurup çözmek.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda hızlı ve standart olmak üzere iki farklı tipte şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin şarj etme hızlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Hızlı şarj ünitesi, bir aracın bataryasın�� her 10 dakikada %16\%16 oranında doldurmaktadır.
* Standart şarj ünitesi, bir aracın bataryasını her 15 dakikada %8\%8 oranında doldurmaktadır.

Başlangıçta batarya doluluk oranları %20\%20 olan iki özdeş araçtan biri hızlı şarj ünitesine, diğeri ise standart şarj ünitesine aynı anda bağlanarak şarj edilmeye başlanıyor.

Hızlı şarj ünitesine bağlanan araç, bataryası tamamen (%100)(\%100) dolduğu anda şarjdan çıkarılıyor. Standart şarj ünitesine bağlanan araç ise hızlı şarj ünitesindeki araçtan 40 dakika sonra şarjdan çıkarılıyor.

Buna göre, araçların şarjdan çıkarıldıkları andaki batarya doluluk oranlarının yüzdesel değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 168

Cevap

Araçların şarjdan çıkarıldıkları andaki batarya doluluk oranlarının yüzdesel değerlerinin toplamı 168'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan 168, hızlı ünitedeki aracın eksik olan %80\%80'lik kısmını doldurması için geçen 50 dakikaya, standart ünitedeki aracın ekstra 40 dakikasının eklenmesiyle elde edilen 90 dakikalık sürede bataryasına %48\%48 ekleyerek ulaştığı %68\%68 doluluk oranı ile hızlı ünitedeki aracın %100\%100 doluluk oranının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hızlı şarj ünitesindeki aracın tamamen dolması için gereken şarj miktarını ve süresini hesaplamak.
Araç başlangıçta %20\%20 doludur, tamamen dolması için %80\%80 daha şarj edilmelidir. Hızlı şarj ünitesi 10 dakikada %16\%16 şarj ettiğine göre, %80\%80 şarj için gereken süre: 8016×10=50\frac{80}{16} \times 10 = 50 dakikadır.
Hızlı ünitedeki aracın şarj süresini bulmak, diğer aracın toplam şarj süresini belirlemek için gereklidir.
2
Standart şarj ünitesindeki aracın toplam şarj süresini bulmak.
Standart şarj ünitesindeki araç, hızlı ünitedeki araçtan 40 dakika daha uzun süre şarjda kalmıştır. Dolayısıyla şarj süresi: 50+40=9050 + 40 = 90 dakikadır.
Standart şarj ünitesinde geçen toplam süreyi belirlemek, bu süredeki doluluk artışını hesaplamak için gereklidir.
3
Standart şarj ünitesindeki aracın 90 dakikada aldığı şarj miktarını ve nihai doluluk oranını hesaplamak.
Standart şarj ünitesi 15 dakikada %8\%8 şarj etmektedir. 90 dakikada bataryayı 9015×8=48\frac{90}{15} \times 8 = 48 oranında doldurur. Başlangıçta %20\%20 doluluk oranı olduğu için nihai doluluk oranı: %20+%48=%68\%20 + \%48 = \%68 olur.
Standart ünitedeki aracın şarjdan çıkarıldığı andaki doluluk oranını bulmak gerekir.
4
İki aracın şarjdan çıkarıldıkları andaki doluluk oranlarının yüzdesel değerlerini toplamak.
Hızlı ünitedeki aracın nihai doluluk oranı %100\%100, standart ünitedeki aracın ise %68\%68'dir. Değerlerin toplamı: 100+68=168100 + 68 = 168 olur.
Soruda istenen toplam değeri bulmak için son adımdır.

Anahtar Kavram

Oran-orantı prensipleri kullanılarak zaman ve miktar ilişkilerini modelleme ve başlangıç koşullarına bağlı sayı problemlerini çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Bir şirketteki çalışanlar AA, BB ve CC projelerinde görev almaktadır. Bu çalışanların projelerdeki görev dağılımıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her çalışan en az bir, en fazla iki projede görev almaktadır.
* AA projesinde görev alan çalışan sayısı, BB projesinde görev alan çalışan sayısının 22 katıdır.
* Yalnızca CC projesinde görev alan çalışan sayısı, yalnızca AA projesinde görev alan çalışan sayısından 1010 fazladır.
* Projelerdeki toplam görev sayısı (birden fazla projede görev yapan çalışanların her görevi ayrı ayrı sayılmak üzere) 140140'tır.
* İki projede birden görev alan toplam çalışan sayısı, yalnızca bir projede görev alan toplam çalışan sayısının yarısıdır.

Buna göre, BB projesinde görev alan çalışan sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Blokzincir (B) projesinde görev alan çalışan sayısı en az 22'dir.
Blokzincir (B) projesinde görev alan en az çalışan sayısı, tek ve çift projelerde çalışanların sayısal sınırları analiz edildiğinde ve doğrusal denklem sistemleri kurulduğunda 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çalışanları görev aldıkları proje sayılarına göre sınıflandıralım.
Yalnızca bir projede görev alan çalışan sayısı x1x_1, iki projede birden görev alan çalışan sayısı x2x_2 olsun. Toplam görev sayısı x1+2x2=140x_1 + 2x_2 = 140 olur. Sorudaki orana göre x2=x12  ⟹  x1=2x2x_2 = \frac{x_1}{2} \implies x_1 = 2x_2 yazılır. Buradan 2x2+2x2=140  ⟹  x2=352x_2 + 2x_2 = 140 \implies x_2 = 35 ve x1=70x_1 = 70 bulunur.
Toplam çalışan ve görev dağılımını belirlemek için temel oran denklemini çözmemiz gerekir.
2
Küme eleman sayılarını ve aralarındaki ilişkileri tanımlayalım.
Yalnızca AA, BB ve CC'de görev alanların sayıları sırasıyla aa, bb, cc olsun. a+b+c=70a + b + c = 70 olur. İkişerli kesişimlerde görev alanların sayıları abab, bcbc, caca olsun. ab+bc+ca=35ab + bc + ca = 35 olur. c=a+10c = a + 10 verildiğinden, a+b+a+10=70  ⟹  2a+b=60  ⟹  b=60−2aa + b + a + 10 = 70 \implies 2a + b = 60 \implies b = 60 - 2a elde edilir. Burada b≥0b \ge 0 olduğundan a≤30a \le 30 olmalıdır.
Projelerin kendi içlerindeki dağılımı analiz etmek ve sınır koşullarını belirlemek için değişkenleri sadeleştiriyoruz.
3
Projelerdeki çalışan sayıları arasındaki kat ilişkisini kuralım.
∣A∣=a+ab+ca|A| = a + ab + ca ve ∣B∣=b+ab+bc|B| = b + ab + bc ifadelerini kullanalım. ∣A∣=2∣B∣  ⟹  a+ab+ca=2b+2ab+2bc|A| = 2|B| \implies a + ab + ca = 2b + 2ab + 2bc olur. Burada b=60−2ab = 60 - 2a ve ca=35−ab−bcca = 35 - ab - bc eşitliklerini yerine koyarsak: a+35−bc=120−4a+2ab+2bc  ⟹  5a−2ab−3bc=85a + 35 - bc = 120 - 4a + 2ab + 2bc \implies 5a - 2ab - 3bc = 85 elde edilir.
A ve B projelerindeki çalışan sayıları arasındaki oranı kullanarak değişkenler arasında yeni bir denklem türetiyoruz.
4
B projesindeki çalışan sayısını en az yapacak şekilde optimizasyon yapalım.
∣B∣=b+ab+bc=60−2a+S|B| = b + ab + bc = 60 - 2a + S (Burada S=ab+bcS = ab + bc olsun). Adım 3'teki denklemden 2(ab+bc)+bc=5a−85  ⟹  2S+bc=5a−852(ab + bc) + bc = 5a - 85 \implies 2S + bc = 5a - 85 yazılır. bc≥0bc \ge 0 ve ab≥0ab \ge 0 sınırlarından 5a−853≤S≤2.5a−42.5\frac{5a - 85}{3} \le S \le 2.5a - 42.5 eşitsizliği bulunur. Buradan ∣B∣≥60−2a+5a−853=95−a3|B| \ge 60 - 2a + \frac{5a - 85}{3} = \frac{95 - a}{3} elde edilir. aa değerini en çok 3030 seçebileceğimiz için ∣B∣≥95−303=653≈21.67|B| \ge \frac{95 - 30}{3} = \frac{65}{3} \approx 21.67 olur. En az tam sayı değeri 2222 olarak bulunur.
Eşitsizlik sınırları altında B projesinde görev alan çalışan sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerini belirlemek için optimizasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma, küme sistemleri modelleme ve eşitsizlikler yardımıyla optimizasyon yapma.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →

Bir tiyatro salonunda sahnelenen bir oyun için satılan biletlerin türlerine göre fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bilet TürüBilet Fiyatı (TL)
Tam120
Öğrenci80

Bu oyun için toplam 150150 adet bilet satılmış ve bilet satışından elde edilen toplam gelir 15.00015.000 TL'den fazla olmuştur.

Buna göre, satılan öğrenci bileti sayısı en fazla ka�� olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Öğrenci bileti sayısı en fazla 74 olabilir.
Toplam geliri veren 80x+120(150−x)>15.00080x + 120(150 - x) > 15.000 eşitsizliği sadeleştirildiğinde 40x<3.00040x < 3.000 ve buradan x<75x < 75 elde edilir. Bilet adedi bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, 75'ten küçük en büyük tam sayı değeri olan 74 doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Satılan öğrenci biletlerinin sayısına xx diyelim. Toplam 150150 adet bilet satıldığı için satılan tam biletlerin sayısı 150−x150 - x şeklinde ifade edilir.
Öğrenci bileti sayısı xx, tam bilet sayısı 150−x150 - x olarak belirlendi.
Bilet sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Biletlerin birim fiyatları ile satılan bilet adetleri çarpılarak toplam gelir ifadesi oluşturulur: 80⋅x+120⋅(150−x)80 \cdot x + 120 \cdot (150 - x) ifadesi düzenlenir.
Toplam Gelir = 18.000−40x18.000 - 40x TL olarak bulundu.
Elde edilen toplam geliri bilet sayısına bağlı olarak modellemek için bu adım uygulanır.
3
Toplam gelirin 15.00015.000 TL'den fazla olduğu belirtildiğinden 18.000−40x>15.00018.000 - 40x > 15.000 eşitsizliği kurularak çözülür.
−40x>−3.000  ⟹  40x<3.000  ⟹  x<75-40x > -3.000 \implies 40x < 3.000 \implies x < 75 elde edilir.
Öğrenci bileti sayısının alabileceği değer aralığını belirlemek amacıyla bu eşitsizlik çözülür.
4
x<75x < 75 koşulunu sağlayan en büyük xx tam sayısı belirlenir.
x=74x = 74 bulunur.
Bilet sayısı adet belirttiği için bir tam sayı olmalıdır; dolayısıyla 75'ten küçük en büyük tam sayı seçilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 7Soru →

Bir kargo firmasının teslimat merkezinde bulunan akıllı kargo dolabında küçük, orta ve büyük boy olmak üzere üç farklı boyutta göz bulunmaktadır. Bu dolaptaki gözlerin sayıları ve doluluk durumları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Küçük boy gözlerin sayısı, orta boy gözlerin sayısının 22 katıdır.
* Başlangıçta tüm gözler tamamen boştur.
* Gün içinde dolaba bırakılan kargolardan küçük boy gözlerin yarısına birer adet küçük kargo paketi, kalan yarısına ise ikişer adet zarf yerleştirilmiştir.
* Orta boy gözlerin 13\frac{1}{3}'üne birer adet orta kargo paketi yerleştirilmiş, diğer orta boy gözler ise boş bırakılmıştır.
* Büyük boy gözlerin her birine üçer adet büyük kargo paketi yerleştirilmiştir.

Son durumda dolapta toplam 220220 adet kargo (paket veya zarf) bulunduğu ve boş kalan toplam göz sayısının 3232 olduğu bilindiğine göre, dolapta bulunan toplam kargo paketi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

Dolapta bulunan toplam kargo paketi sayısı 124'tür.
Toplam paket sayısı 124 olarak bulunur. Boş göz sayısının 32 olmasından yola çıkılarak orta boy göz sayısının 48 olduğu bulunur. Buradan küçük boy göz sayısı 96 olarak elde edilir. Küçük boy gözlerin yarısında (48 adedinde) ikişer zarf bulunduğundan toplam zarf sayısı 96'dır. Dolaptaki toplam 220 kargodan 96 zarf çıkarıldığında geriye kalan 124 adet kargonun tamamı pakettir.

Adım Adım Çözüm

1
Boş kalan göz sayısını kullanarak orta boy göz sayısını belirleme.
Orta boy göz sayısı xx olsun. Küçük boy göz sayısı 2x2x olur. Küçük ve büyük boy gözlerin tamamında en az bir kargo bulunduğu için boş kalan gözler sadece orta boy gözlerdir. Orta boy gözlerin 13\frac{1}{3}'ü dolu olduğuna göre 23\frac{2}{3}'ü boştur. Buradan 2x3=32⇒2x=96⇒x=48\frac{2x}{3} = 32 \Rightarrow 2x = 96 \Rightarrow x = 48 bulunur. Dolayısıyla dolapta 48 orta boy ve 96 küçük boy göz vardır.
Soruda boş kalan göz sayısının sadece orta boy gözlerden kaynaklandığını tespit edip toplam göz sayılarını bulmak için bu adım gereklidir.
2
Küçük boy gözlerdeki toplam zarf sayısını hesaplama.
Küçük boy gözlerin sayısı 96'dır. Yarısında (4848 göz) birer paket, diğer yarısında (4848 göz) ise ikişer zarf bulunmaktadır. Dolayısıyla küçük boy gözlerdeki toplam zarf sayısı 48×2=9648 \times 2 = 96 adet olur.
Toplam kargo sayısından zarfları çıkartarak paket sayısına ulaşmak amacıyla zarf sayısının netleştirilmesi gerekir.
3
Toplam kargo sayısından zarfları çıkararak paket sayısını bulma.
Dolaptaki kargolar sadece zarflardan ve paketlerden oluşmaktadır. Toplam kargo sayısı 220 olduğuna göre, paket sayısı = Toplam kargo sayısı - Zarf sayısı formülüyle; 220−96=124220 - 96 = 124 paket olarak bulunur.
Büyük boy göz sayısını ayrı ayrı bulmaya gerek kalmadan, tüm dolaptaki zarf dışı kargoların paket olduğu bilgisini kullanarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Denklem kurma ve sayısal verileri gruplandırarak analiz etme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Bir araç kiralama firması günlük kiralamalarda müşterilerine iki farklı ücretlendirme seçeneği sunmaktadır:

* A seçeneği: Günlük sabit 300 TL300\text{ TL} ve katedilen her kilometre için 1,5 TL1,5\text{ TL} ücret.
* B seçeneği: Günlük sabit ücret yok ve katedilen her kilometre için 2,5 TL2,5\text{ TL} ücret.

Buna göre, bir gün için araç kiralayan bir müşterinin A seçeneğini tercih etmesinin daha ekonomik olması için gitmesi gereken yolun kilometre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 301

Cevap

301
A seçeneğinin daha ekonomik olması için toplam ücretinin B seçeneğinden az olması gerekir. Bu durum 300+1,5x<2,5x300 + 1,5x < 2,5x eşitsizliğiyle ifade edilir. Eşitsizlik çözüldüğünde x>300x > 300 bulunur. 300'den büyük en küçük tam sayı 301 olduğundan, gidilmesi gereken en az mesafe 301 kilometredir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerin ücret formüllerini yazma
Gidilen mesafe xx kilometre olmak üzere; A seçeneğinin toplam ücreti 300+1,5x300 + 1,5x TL, B seçeneğinin toplam ücreti ise 2,5x2,5x TL olur.
Katedilen yola bağlı olarak ödenecek toplam ücretleri karşılaştırabilmek için matematiksel ifadeler oluşturulmalıdır.
2
Ekonomik olma durumuna göre eşitsizlik kurma ve çözme
300+1,5x<2,5x  ⟹  300<2,5x−1,5x  ⟹  300<1x  ⟹  x>300300 + 1,5x < 2,5x \implies 300 < 2,5x - 1,5x \implies 300 < 1x \implies x > 300 elde edilir.
A seçeneğinin daha ekonomik olması, toplam ücretinin B seçeneğinden daha az olması gerektiği anlamına gelir.
3
Koşulu sağlayan en küçük tam sayı değerini bulma
x>300x > 300 koşulunu sağlayan en küçük tam sayı 301301 olarak belirlenir.
Müşterinin gitmesi gereken mesafenin kilometre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri aranmaktadır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal ilişki modelleri kullanarak birinci dereceden eşitsizlik kurma ve çözme.

Alternatif Yöntem

Grafiksel olarak düşünülürse, iki seçeneğin maliyet doğrularının kesişim noktası x=300x = 300 olur. Bu değerden sonra B seçeneğinin birim ücreti daha yüksek olduğu için grafiği daha hızlı yükselir, yani A seçeneği daha ucuz kalır. Bu nedenle x>300x > 300 olmalıdır.
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →

Bir zeytinyağı üretim tesisinde elde edilen sızma zeytinyağının tamamı, belirli bir sayıdaki şişelere doldurulacaktır. Bu tesisteki şişelerin;
* 38\frac{3}{8}'i 11 litrelik,
* kalan şişelerin 25\frac{2}{5}'i 22 litrelik,
* geriye kalan şişeler ise 55 litreliktir.

11 litrelik şişelerin tamamı doldurulduğunda kullanılan toplam zeytinyağı miktarı, 55 litrelik şişelerin tamamı doldurulduğunda kullanılan toplam zeytinyağı miktarından 120120 litre daha azdır.

Buna göre, tüm şişelerin doldurulması için kullanılan toplam şişe sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Toplam şişe sayısı 80'dir.
Toplam şişe sayısı xx olarak alındığında, 11 litrelik şişe sayısı 38x\frac{3}{8}x ve 55 litrelik şişe sayısı 38x\frac{3}{8}x olur. Bunların içerdikleri yağ miktarları sırasıyla 38x\frac{3}{8}x litre ve 158x\frac{15}{8}x litredir. İki miktar arasındaki fark olan 128x=120\frac{12}{8}x = 120 denklemi çözüldüğünde toplam şişe sayısı 8080 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam şişe sayısına bir değişken atanması ve şişe türlerinin bu değişken cinsinden belirlenmesi.
Toplam şişe sayısı xx olsun. 11 litrelik şişe sayısı 38x\frac{3}{8}x olur. Kalan şişe sayısı x−38x=58xx - \frac{3}{8}x = \frac{5}{8}x olur. 22 litrelik şişe sayısı 58x×25=28x=14x\frac{5}{8}x \times \frac{2}{5} = \frac{2}{8}x = \frac{1}{4}x olur. Geriye kalan 55 litrelik şişe sayısı ise 58x−28x=38x\frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{3}{8}x olarak bulunur.
Şişe sayılarını rasyonel ifadelerle modelleyerek denklem kurmayı kolaylaştırmak için.
2
Şişe türlerinin toplam hacimlerini belirleyerek zeytinyağı miktarları arasındaki farkın denklemini kurmak.
11 litrelik şişelerdeki toplam yağ miktarı: 1×38x=38x1 \times \frac{3}{8}x = \frac{3}{8}x litredir. 55 litrelik şişelerdeki toplam yağ miktarı: 5×38x=158x5 \times \frac{3}{8}x = \frac{15}{8}x litredir. İki miktar arasındaki fark 120120 litre olduğuna göre denklem: 158x−38x=120\frac{15}{8}x - \frac{3}{8}x = 120 şeklinde kurulur.
Soruda verilen hacim farkı bilgisini matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek için.
3
Kurulan denklemi çözerek toplam şişe sayısını bulmak.
128x=120  ⟹  32x=120  ⟹  3x=240  ⟹  x=80\frac{12}{8}x = 120 \implies \frac{3}{2}x = 120 \implies 3x = 240 \implies x = 80 elde edilir.
Bilinmeyen toplam şişe sayısını yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde kalan miktar üzerinden işlem yapılması ve kesirli ifadelerle doğrusal denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →

Bir kargo firmasına ait bir dolapta yan yana dizilmiş AA ve BB tipinde toplam 7070 adet boş bölme bulunmaktadır. AA tipi bölmelerin her birine en fazla 22 paket, BB tipi bölmelerin her birine ise en fazla 55 paket konulabilmektedir. Bu dolaptaki tüm bölmeler tamamen doldurulduğunda dolaba toplam 260260 paket sığmaktadır. Dolabın bir kısmı doldurulurken AA tipi bölmelerin yarısı ikişer paketle doldurulmuş, BB tipi bölmelerin ise bir kısmı be��er paketle doldurulmuş ve diğer bölmeler boş bırakılmıştır. Son durumda dolu olan BB tipi bölmelerin sayısı, boş olan AA tipi bölmelerin sayısından 88 fazladır. Buna göre, son durumda dolapta boş bırakılan toplam bölme sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3232

Cevap

Dolapta boş bırakılan toplam bölme sayısı 3232'dir.
Dolaptaki AA ve BB tipi bölme sayıları sırasıyla aa ve bb olmak üzere, a+b=70a + b = 70 ve 2a+5b=2602a + 5b = 260 denklem sistemi çözüldüğünde a=30a = 30 ve b=40b = 40 bulunur. AA tipi bölmelerin yarısı doldurulduğunda boş kalan AA tipi bölme sayısı 1515 olur. Dolu BB tipi bölme sayısı boş AA tipi bölme sayısından 88 fazla olduğundan dolu BB sayısı 15+8=2315 + 8 = 23 olur. Bu durumda boş kalan BB tipi bölme sayısı 40−23=1740 - 23 = 17 bulunur. Sonuç olarak boş kalan toplam bölme sayısı 15+17=3215 + 17 = 32 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dolaptaki AA ve BB tipi bölme sayılarını bulmak için denklem sistemini kurup çözmek.
AA tipi bölme sayısı a=30a = 30, BB tipi bölme sayısı b=40b = 40 olarak bulunur.
Toplam bölme sayısı 7070 ve tam doluluktaki toplam paket kapasitesi 260260 olduğundan a+b=70a+b=70 ve 2a+5b=2602a+5b=260 denklemleri elde edilir. İlk denklem 22 ile çarpılıp ikincisinden çıkarılırsa 3b=120  ⟹  b=403b = 120 \implies b = 40 ve a=30a = 30 bulunur.
2
Doldurulan ve boş kalan AA tipi bölme sayılarını hesaplamak.
Dolu AA tipi bölme sayısı 1515, boş AA tipi bölme sayısı 1515 olur.
AA tipi bölmelerin yarısı (30/2=1530 / 2 = 15) doldurulduğuna göre diğer yarısı boş kalmıştır.
3
Doldurulan ve boş kalan BB tipi bölme sayılarını bulmak.
Dolu BB tipi bölme sayısı 2323, boş BB tipi bölme sayısı 1717 olur.
Dolu BB sayısı, boş AA sayısından (1515) 88 fazla olduğuna göre dolu BB sayısı 15+8=2315 + 8 = 23 olur. Toplam 4040 adet BB tipi bölme olduğundan boş BB sayısı 40−23=1740 - 23 = 17 olur.
4
Dolapta boş bırakılan toplam bölme sayısını hesaplamak.
Boş bölme sayısı 3232 olarak bulunur.
Boş olan AA tipi bölme sayısı (1515) ile boş olan BB tipi bölme sayısı (1717) toplanır: 15+17=3215 + 17 = 32.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler kullanarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürme ve çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

Bir kargo firmasında çalışan bir görevli, paketlerin ağırlıklarını kilogram cinsinden ölçmektedir. Bu firmadaki hassas bir terazi, ağırlığı kilogram cinsinden iki basamaklı bir abab doğal sayısı olan bir paketin ağırlığını, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek iki basamaklı bir baba doğal sayısı olarak hatalı tartmıştır.

Ölçülen hatalı ağırlık gerçek ağırlıktan daha az olup gerçek ağırlık ile hatalı ağırlık arasındaki fark, aa ve bb rakamlarının toplamının 3 katına eşittir.

Buna göre, bu paketin gerçek ağırlığının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

En büyük gerçek ağırlık ile en küçük gerçek ağırlığın toplamı 105 kilogramdır.
Gerçek ağırlık ile hatalı ağırlık arasındaki fark 9(a−b)9(a - b)'dir. Bu fark rakamlar toplamının 3 katına eşitlendiğinde 3(a−b)=a+b  ⟹  a=2b3(a - b) = a + b \implies a = 2b eşitliği elde edilir. aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olduğundan abab sayısı sırasıyla 21, 42, 63 ve 84 değerlerini alabilir. En büyük değer 84 ve en küçük değer 21 olup, bu iki değerin toplamı 105'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Paketlerin gerçek ağırlığı olan abab ve hatalı ağırlığı olan baba iki basamaklı sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle yazıp farkını oluşturalım.
Gerçek ağırlık: 10a+b10a + b, Hatalı ağırlık: 10b+a10b + a olur. İki ağırlık arasındaki fark: (10a+b)−(10b+a)=9(a−b)(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) olarak bulunur.
Gerçek ağırlık ile hatalı tartılan ağırlık arasındaki farkı rakamlar cinsinden ifade etmek için çözümleme yapılır.
2
Elde edilen farkı, rakamlar toplamının 3 katına eşitleyen denklemi kuralım ve sadeleştirelim.
9(a−b)=3(a+b)  ⟹  3(a−b)=a+b  ⟹  3a−3b=a+b  ⟹  2a=4b  ⟹  a=2b9(a - b) = 3(a + b) \implies 3(a - b) = a + b \implies 3a - 3b = a + b \implies 2a = 4b \implies a = 2b elde edilir.
Soruda verilen 'fark, rakamlar toplamının 3 katına eşittir' ifadesini matematiksel eşitliğe dönüştürüp değişkenler arasındaki oranı bulmak için.
3
abab ve baba sayılarının iki basamaklı doğal sayılar olma koşulunu göz önünde bulundurarak aa ve bb rakamlarının alabileceği değerleri belirleyelim.
bb sıfırdan farklı bir rakam olmalıdır. b=1b = 1 için a=2  ⟹  ab=21a = 2 \implies ab = 21. b=2b = 2 için a=4  ⟹  ab=42a = 4 \implies ab = 42. b=3b = 3 için a=6  ⟹  ab=63a = 6 \implies ab = 63. b=4b = 4 için a=8  ⟹  ab=84a = 8 \implies ab = 84. b=5b = 5 için a=10a = 10 olur ki 10 bir rakam değildir. Dolayısıyla abab sayısının alabileceği değerler {21,42,63,84}\{21, 42, 63, 84\} kümesidir.
Basamak tanımından ötürü aa ve bb ifadelerinin birer rakam ve sıfırdan farklı olması gerektiği sınırını uygulamak için.
4
Bu değerler arasından en büyük ve en küçük olanları belirleyip toplayalım.
En küçük değer 21, en büyük değer 84'tür. Toplamları: 21+84=10521 + 84 = 105 bulunur.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerine göre denklem kurularak rakam kısıtlamaları altında çözülmesi
Soru 12Soru →

Bir sinema salonunda satılan tam biletin fiyatı, öğrenci biletinin fiyatının 22 katıdır. Bu salondan bilet alan ve almayan kişilerden oluşan 4040 kişilik bir gruptaki her bir kişi en fazla bir bilet satın almıştır.

Gruptaki kişilerden öğrenci bileti alanların sayısı, bilet almayanların sayısının 33 katıdır.

Bu gruba satılan tüm biletlerden elde edilen toplam gelir, gruptaki herkes tam bilet alsaydı elde edilecek toplam gelirin yarısına eşittir.

Buna göre, bu grupta öğrenci bileti alan kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Bu grupta öğrenci bileti alan 24 kişi vardır.
Doğru seçenekte belirtilen değer, kurulan denklem sisteminin çözümünden elde edilen öğrenci biletli kişi sayısıdır. Denklem sisteminde gruptaki kişi sayısı T+O+N=40T + O + N = 40, bilet oranları O=3NO = 3N ve bilet gelirlerinin oranından elde edilen 2T+O=402T + O = 40 bağıntıları ortak çözüldüğünde öğrenci bileti alanların sayısı 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri belirleyelim.
Öğrenci biletinin fiyatı xx TL ise tam biletin fiyatı 2x2x TL olur. Gruptaki kişilerden tam bilet alanların sayısına TT, öğrenci bileti alanların sayısına OO, bilet almayanların sayısına NN diyelim.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için değişkenleri tanımlamamız gerekir.
2
Grup mevcudu ve bilet alanlar arasındaki ilişkiyi kullanarak ilk denklemleri yazalım.
Grupta toplam 40 kişi olduğundan T+O+N=40T + O + N = 40 olur. Öğrenci bileti alanlar, bilet almayanların 3 katı olduğundan O=3NO = 3N yani N=O3N = \frac{O}{3} elde edilir. Bu ifadeyi grup mevcudu denkleminde yerine yazarsak: T+O+O3=40⇒3T+4O=120T + O + \frac{O}{3} = 40 \Rightarrow 3T + 4O = 120 olur.
Kişi sayısı ve verilen oranlar arasında tek bir değişkenli (TT ve OO cinsinden) bir denklem elde etmek.
3
Gelir ilişkisini kullanarak ikinci denklemi yazalım.
Elde edilen toplam gelir: T⋅(2x)+O⋅x=(2T+O)xT \cdot (2x) + O \cdot x = (2T + O)x olur. Herkes tam bilet alsaydı elde edilecek toplam gelir: 40⋅(2x)=80x40 \cdot (2x) = 80x olur. Elde edilen gelir bu miktarın yarısı olduğuna göre: (2T+O)x=80x2⇒2T+O=40(2T + O)x = \frac{80x}{2} \Rightarrow 2T + O = 40 elde edilir.
Bilet fiyatları ve gelirler arasındaki bağıntıyı kullanarak ikinci bir denklem bulmak.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
2T+O=40⇒O=40−2T2T + O = 40 \Rightarrow O = 40 - 2T olur. Bu değeri 3T+4O=1203T + 4O = 120 denkleminde yerine yazarsak: 3T+4(40−2T)=120⇒3T+160−8T=120⇒−5T=−40⇒T=83T + 4(40 - 2T) = 120 \Rightarrow 3T + 160 - 8T = 120 \Rightarrow -5T = -40 \Rightarrow T = 8 bulunur. Buradan öğrenci bilet sayısı O=40−2(8)=24O = 40 - 2(8) = 24 olarak elde edilir.
Tanımlanan değişkenlerin değerlerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri değişkenler yardımıyla doğrusal denklem sistemine dönüştürme ve çözme.
Soru 13Soru →

Bir okulda düzenlenen iki aşamalı bir bilgi yarışmasında puanlama sistemi şu şekildedir:

* 1515 sorudan oluşan ilk aşamada; her doğru cevap i��in 1010 puan verilmekte, her yanlış cevap için ise 44 puan silinmektedir.
* 1010 sorudan oluşan ikinci aşamada; her doğru cevap için 1515 puan verilmekte, her yanlış cevap için ise 66 puan silinmektedir.

Yarışmadaki tüm soruları cevaplayan Ece ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ece bu yarışmadan toplam 118118 puan almıştır.
* Ece'nin ikinci aşamada doğru cevapladığı soru sayısı, ilk aşamada yanlış cevapladığı soru sayısına eşittir.

Buna göre, Ece yarışmanın ilk aşamasında kaç soruyu doğru cevaplamıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Ece yarışmanın ilk aşamasında 11 soruyu doğru cevaplamıştır.
Değişkenler doğru tanımlanıp denklem kurulduğunda ilk aşamada doğru cevaplanan soru sayısı 11 olarak elde edilir. Bu değer tüm koşulları (toplam puanın 118 olması ve ikinci aşamadaki doğru cevap sayısının ilk aşamadaki yanlış cevap sayısına eşit olması) tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk aşamadaki doğru cevap sayısına x1x_1, yanlış cevap sayısına y1y_1 diyelim. İkinci aşamadaki doğru cevap sayısına x2x_2, yanlış cevap sayısına y2y_2 diyelim. Her iki aşamadaki toplam soru sayılarını denklem olarak yazalım.
İlk aşama için x1+y1=15x_1 + y_1 = 15 ve ikinci aşama için x2+y2=10x_2 + y_2 = 10 denklemleri elde edilir. Buradan y1=15−x1y_1 = 15 - x_1 ve y2=10−x2y_2 = 10 - x_2 olur.
Toplam soru sayıları üzerinden doğru ve yanlış sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Ece'nin ikinci aşamadaki doğru cevap sayısının ilk aşamadaki yanlış cevap sayısına eşit olduğunu kullanalım (x2=y1x_2 = y_1).
x2=15−x1x_2 = 15 - x_1 elde edilir. Bu durumda x1+x2=15x_1 + x_2 = 15 olur.
İki aşama arasındaki değişken sayısını azaltmak ve ortak bir denklem elde etmek için.
3
Ece'nin aldığı toplam puanı veren denklemi yazıp düzenleyelim.
Toplam puan: 10x1−4y1+15x2−6y2=11810x_1 - 4y_1 + 15x_2 - 6y_2 = 118 olarak verilir. Değerleri yerine koyduğumuzda 10x1−4(15−x1)+15x2−6(10−x2)=118  ⟹  14x1+21x2−120=118  ⟹  14x1+21x2=23810x_1 - 4(15 - x_1) + 15x_2 - 6(10 - x_2) = 118 \implies 14x_1 + 21x_2 - 120 = 118 \implies 14x_1 + 21x_2 = 238 bulunur.
Soruda verilen toplam puan bilgisini matematiksel olarak ifade etmek için.
4
x2=15−x1x_2 = 15 - x_1 eşitliğini son bulduğumuz denklemde yerine yazıp x1x_1 değerini bulalım.
14x1+21(15−x1)=238  ⟹  14x1+315−21x1=238  ⟹  315−7x1=238  ⟹  7x1=77  ⟹  x1=1114x_1 + 21(15 - x_1) = 238 \implies 14x_1 + 315 - 21x_1 = 238 \implies 315 - 7x_1 = 238 \implies 7x_1 = 77 \implies x_1 = 11 bulunur.
İlk aşamadaki doğru cevap sayısını (x1x_1) doğrudan çözmek için.

Anahtar Kavram

Sayı ve Denklem Kurma Problemleri
Soru 14Soru →

Bir kargo firması, gönderilerin toplam ağırlığına (boş kutu ağırlığı + kutunun içindeki eşya ağırlığı) göre taşıma ücreti almaktadır. Bu firmada kullanılan kutuların özellikleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Kutu TürüBoş AğırlıkTaşıma KapasitesiSabit Kutu Ücreti
Küçük300300 gram12001200 gram55 TL
Büyük800800 gram30003000 gram1212 TL

Gönderi ücreti, her bir paketin toplam ağırlığının her 100100 gramı için 22 TL olarak hesaplanmaktadır.
Bir müşteri, toplam net ağırlığı 54005400 gram olan eşyalarını bu kutulara, her bir kutudaki eşya ağırlığı gram cinsinden 100100’ün tam katı olacak şekilde paylaştırarak göndermek istiyor.

Buna göre, bu müşterinin ödeyeceği toplam ücret (kutu ücreti + taşıma ücreti) en az kaç TL olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 158

Cevap

En az 158 TL
Toplam maliyet denklemi 108+11x+28y108 + 11x + 28y olarak kurulur. 2x+5y≥92x + 5y \geq 9 eşitsizliğini sağlayan en ekonomik tam sayı çifti x=2x=2 ve y=1y=1 olup toplam maliyeti 158158 TL yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuların taşıma ve kargo maliyet denklemlerini oluşturmak.
Küçük kutuya wsw_s gram eşya konulduğunda toplam kargo maliyeti: 2100(ws+300)+5=2ws100+11\frac{2}{100}(w_s + 300) + 5 = 2\frac{w_s}{100} + 11 TL olur. Büyük kutuya wlw_l gram eşya konulduğunda toplam kargo maliyeti: 2100(wl+800)+12=2wl100+28\frac{2}{100}(w_l + 800) + 12 = 2\frac{w_l}{100} + 28 TL olur.
Her bir kutu türü için toplam paket ağırlığına ve sabit ücrete bağlı maliyet ifadesini elde etmek.
2
Toplam maliyet denklemini sadeleştirerek kutu sayılarına (xx ve yy) bağlı hale getirmek.
xx tane küçük ve yy tane büyük kutu kullanıldığında toplam maliyet: ∑(2ws,i100+11)+∑(2wl,j100+28)=2100∑(ws,i+wl,j)+11x+28y\sum (2\frac{w_{s,i}}{100} + 11) + \sum (2\frac{w_{l,j}}{100} + 28) = \frac{2}{100}\sum (w_{s,i} + w_{l,j}) + 11x + 28y olur. Toplam eşya ağırlığı 54005400 gram olduğundan toplam maliyet: 108+11x+28y108 + 11x + 28y TL olarak bulunur.
Toplam eşya ağırlığının sabit olmasından yararlanarak değişken sayısını azaltmak.
3
Kapasite sınırlarına göre kutu sayıları arasındaki eşitsizliği kurmak ve çözmek.
1200x+3000y≥54001200x + 3000y \geq 5400 eşitsizliği her iki taraf 600600'e bölünerek 2x+5y≥92x + 5y \geq 9 şeklinde sadeleştirilir.
Eşyaların tamamının kutulara sığabilmesi için gerekli minimum kutu sayılarını belirlemek.
4
Eşitsizliği sağlayan negatif olmayan tam sayı çiftleri için maliyetleri karşılaştırıp en küçük değeri bulmak.
y=0  ⟹  x=5y=0 \implies x=5 için maliyet 108+55=163108 + 55 = 163 TL; y=1  ⟹  x=2y=1 \implies x=2 için maliyet 108+22+28=158108 + 22 + 28 = 158 TL; y=2  ⟹  x=0y=2 \implies x=0 için maliyet 108+56=164108 + 56 = 164 TL olur. En küçük maliyet 158158 TL'dir.
Maliyeti minimize eden optimum kutu dağılımını seçmek.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve en küçük değer (optimizasyon) hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Bir belediyenin çevre projesi kapsamında kurduğu akıllı geri dönüşüm makinesi, atılan her plastik şişe için 1515 puan, her cam şişe için ise 2525 puan vermektedir. Bu makineye toplam 4040 adet şişe atan bir kişinin kazandığı toplam puan; plastik şişelerin tamamını cam, cam şişelerin tamamını plastik şişe olarak atsaydı kazanacağı toplam puandan 100100 puan daha az olacaktı.

Buna göre, bu kişi makineye kaç adet plastik şişe atmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2525

Cevap

Plastik şişe sayısı 25'tir.
Plastik şişelere pp, cam şişelere cc dersek, toplam şişe sayısı p+c=40p+c=40'tır. Puanlar yer değiştirdiğinde fark 10(p−c)=10010(p-c)=100 yani p−c=10p-c=10 olur. Buradan p=25p=25 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Plastik şişe sayısına pp, cam şişe sayısına cc diyerek toplam şişe sayısı denklemini yazınız.
p+c=40p + c = 40
Toplam 40 adet şişe atıldığı belirtilmiştir.
2
İlk durumdaki puan ile şişelerin türleri yer değiştirdiğindeki puan arasındaki fark denklemini kurunuz.
(25p+15c)−(15p+25c)=100  ⟹  10(p−c)=100  ⟹  p−c=10(25p + 15c) - (15p + 25c) = 100 \implies 10(p - c) = 100 \implies p - c = 10
İlk durumdaki puanın, yer değiştirme durumuna göre 100 puan daha az olduğu verilmiştir.
3
Elde edilen p+c=40p + c = 40 ve p−c=10p - c = 10 denklemlerini taraf tarafa toplayarak pp değerini hesaplayınız.
2p=50  ⟹  p=252p = 50 \implies p = 25
Plastik şişelerin sayısını bulmak için elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözülür.

Anahtar Kavram

Değişken tanımlama ve iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi kurup çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Bir okul kütüphanesindeki kitaplar, her birinde eşit sayıda kitap olacak şekilde 12 koliye yerleştirilmek isteniyor. Ancak kolilerin bir kısmı taşıma sırasında hasar gördüğü i��in kullanılamıyor.

Kalan kolilerin her birine, başlangıçta planlanandan 5 kitap daha fazla konulduğunda kütüphanedeki tüm kitaplar yerleştirilebiliyor.

Eğer hasar görmeyen bu kolilerin her birine, başlangıçta planlanandan 10 kitap daha fazla konsaydı, kitapların tamamı yerleştirildikten sonra bu kolilerden 2 tanesi tamamen boş kalacaktı.

Hasar gören koli sayısı, hasar görmeyen koli sayısından az olduğuna göre, kütüphanedeki toplam kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Kütüphanedeki toplam kitap sayısı 120'dir.
Toplam kitap sayısı 120'dir. Başlangıçta koli başına 10 kitap planlanmıştır ve hasar görmeyen koli sayısı 8'dir. Bu durumda hasar gören koli sayısı 4 olup hasar görmeyen koli sayısından (8) daha azdır. Eşitlikler kurulduğunda 8×15=1208 \times 15 = 120 ve 6×20=1206 \times 20 = 120 değerleri elde edilir ve tüm koşullar sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenlerin tanımlanması ve ilk denklemin kurulması
Toplam kitap sayısı BB, başlangıçta planlanan koli başına kitap sayısı xx ve hasar görmeyen koli sayısı NN olsun. Bu durumda toplam kitap sayısı B=12xB = 12x şeklinde ifade edilir.
Kütüphanedeki tüm kitapların başlangıçta 12 koliye eşit şekilde paylaştırılabildiği belirtildiği için.
2
Kalan koliler üzerinden durumların denklemleştirilmesi
Birinci duruma göre B=N(x+5)B = N(x+5) olur. İkinci duruma göre 2 koli boş kaldığı için B=(N−2)(x+10)B = (N-2)(x+10) olur.
Soruda verilen iki farklı yerleşim durumunu matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
3
Denklem sisteminin çözülmesi
N(x+5)=(N−2)(x+10)  ⟹  Nx+5N=Nx+10N−2x−20  ⟹  5N−2x=20N(x+5) = (N-2)(x+10) \implies Nx + 5N = Nx + 10N - 2x - 20 \implies 5N - 2x = 20 elde edilir. 12x=N(x+5)12x = N(x+5) eşitliğinden N=12xx+5N = \frac{12x}{x+5} ifadesini bu denklemde yerine yazarsak: 5⋅12xx+5−2x=20  ⟹  60xx+5=2x+20  ⟹  60x=(2x+20)(x+5)  ⟹  60x=2x2+30x+100  ⟹  2x2−30x+100=0  ⟹  x2−15x+50=05 \cdot \frac{12x}{x+5} - 2x = 20 \implies \frac{60x}{x+5} = 2x + 20 \implies 60x = (2x+20)(x+5) \implies 60x = 2x^2 + 30x + 100 \implies 2x^2 - 30x + 100 = 0 \implies x^2 - 15x + 50 = 0 bulunur. Bu denklem (x−10)(x−5)=0(x-10)(x-5) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan x=10x = 10 veya x=5x = 5 değerleri elde edilir.
Ortak bilinmeyenleri bulmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapmak için.
4
Kısıtlayıcı koşulun kontrolü ve sonucun belirlenmesi
Eğer x=5x = 5 ise N=6N = 6 olur. Bu durumda hasar gören koli sayısı 12−6=612 - 6 = 6 olur. Hasar gören koli sayısı (6), hasar görmeyen koli sayısından (6) az olmadığı için bu durum elenir. Eğer x=10x = 10 ise N=8N = 8 olur. Hasar gören koli sayısı 12−8=412 - 8 = 4 olup hasar görmeyen koli sayısından (8) azdır ve koşul sağlanır. Toplam kitap sayısı B=12×10=120B = 12 \times 10 = 120 olarak bulunur.
Soruda verilen 'hasar gören koli sayısının hasar görmeyenden az olması' şartına uygun olan doğru kökü seçmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve sınır şartlarının analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

Bir kargo firması, müşterilerine ait kargo paketlerini teslim etmek amacıyla akıllı kargo dolapları kullanmaktadır. Bu kargo dolabında küçük, orta ve büyük boy olmak üzere üç farklı ebatta bölme bulunmaktadır. Bölmelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Küçük boy b��lmelerin sayısı, orta boy bölmelerin sayısının 22 katıdır.
* Büyük boy bölmelerin sayısı, orta boy bölmelerin sayısının yarısından 44 fazladır.

Başlangıçta tamamen boş olan bu kargo dolabına gelen 5252 adet kargo paketinin tamamı, her bir bölmeye en fazla bir paket gelecek şekilde yerleştirildiğinde; dolaptaki tüm küçük boy bölmelerin dolduğu, büyük boy bölmelerin 66 tanesinin boş kaldığı ve orta boy bölmelerin ise yarısının boş kaldığı görülmüştür.

Buna göre, bu kargo dolabında toplam kaç adet bölme vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Kargo dolabındaki toplam bölme sayısı 67'dir.
Orta boy bölme sayısı 2x2x kabul edildiğinde, küçük boy bölme sayısı 4x4x, büyük boy bölme sayısı ise x+4x+4 olur. Dolu bölmeler; küçük boyların tamamı (4x4x), orta boyların yarısı (xx) ve büyük boyların 6 eksiğidir (x−2x-2). Toplam dolu bölme sayısı 4x+x+x−2=6x−24x + x + x - 2 = 6x - 2 olup bu değer 52 pakete eşittir. Buradan 6x=546x = 54 ve x=9x = 9 bulunur. Dolapta toplam 4x+2x+x+4=7x+44x + 2x + x + 4 = 7x + 4 bölme vardır. x=9x = 9 yazıldığında toplam bölme sayısı 7×9+4=677 \times 9 + 4 = 67 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orta boy bölme sayısına 2x2x diyerek diğer bölme sayılarını bu değişken cinsinden ifade edelim.
Orta boy bölme sayısı 2x2x ise, küçük boy bölme sayısı 2×2x=4x2 \times 2x = 4x ve büyük boy bölme sayısı 2x2+4=x+4\frac{2x}{2} + 4 = x + 4 olur.
Soruda verilen oranları tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp denklem kurmayı kolaylaştırmak için.
2
Dolu olan bölme sayılarını ve dolayısıyla yerleştirilen toplam paket sayısını xx cinsinden yazıp 5252'ye eşitleyelim.
Küçük boy bölmelerin tamamı dolduğuna göre dolu küçük bölme sayısı 4x4x olur. Orta boy bölmelerin yarısı boş kaldığına göre dolu orta bölme sayısı 2x2=x\frac{2x}{2} = x olur. Büyük boy bölmelerin 66 tanesi boş kaldığına göre dolu büyük bölme sayısı (x+4)−6=x−2(x + 4) - 6 = x - 2 olur. Toplam dolu bölme sayısı: 4x+x+(x−2)=6x−2=524x + x + (x - 2) = 6x - 2 = 52 elde edilir.
Dolaba yerleştirilen toplam paket sayısı dolu bölme sayısına eşit olduğundan denklem kurmak için.
3
Elde edilen 6x−2=526x - 2 = 52 denklemini çözerek xx değerini bulalım.
6x=54⇒x=96x = 54 \Rightarrow x = 9 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini bularak her bir bölme boyutunun gerçek sayısına ulaşmak için.
4
Bulunan xx değerini kullanarak toplam bölme sayısını hesaplayalım.
Küçük boy bölme sayısı: 4×9=364 \times 9 = 36, Orta boy bölme sayısı: 2×9=182 \times 9 = 18, Büyük boy bölme sayısı: 9+4=139 + 4 = 13 olur. Toplam bölme sayısı: 36+18+13=6736 + 18 + 13 = 67 olarak bulunur.
Kargo dolabındaki toplam bölme sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve denklem çözme becerisi.

Alternatif Yöntem

Bilinmeyen yerine doğrudan seçeneklerden giderek deneme yapılabilir. Örneğin, toplam bölme sayısının 67 olduğu varsayılırsa, bölme oranları ve kargo doluluk koşulları kontrol edilerek 52 paket sayısına ulaşılıp ulaşılamayacağı test edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 18Soru →

Bir okulun mezuniyet töreninde öğrenciler ve veliler için ayrılan sandalyelerle ilgili aşağıdaki düzenlemeler yapılmıştır:

* Tören alanındaki sandalyelerin bir kısmı 44'lü, kalan kısmı ise 66'lı gruplar halinde birleştirilerek sıralar oluşturulmuştur.
* Başlangıçta 44'lü grupların sayısı, 66'lı grupların sayısının 22 katıdır.
* Daha sonra, 66'lı gruplardan 88 tanesi bozularak bu gruplardaki sandalyelerin tamamı, bazı 44'lü gruplara 22'şer sandalye eklenip onları 66'lı gruplara dönüştürmek için kullanılmıştır.

Son durumda tören alanında toplam 6060 tane 66'lı grup olduğuna göre, başlangıçta tören alanında toplam kaç sandalye vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 616

Cevap

Başlangıçtaki toplam sandalye sayısı 616'dır.
Başlangıçtaki 6'lı grup sayısına xx dediğimizde 4'lü grup sayısı 2x2x olur. Bozulan 8 adet 6'lı gruptan açığa çıkan 48 sandalye, 4'lü gruplara 2'şer adet dağıtılarak 24 adet yeni 6'lı grup oluşturur. Son durumdaki 6'lı grup sayısı olan 60; başlangıçtaki xx gruptan bozulan 8 tanesinin çıkarılması ve yeni eklenen 24 grubun eklenmesiyle elde edilir. Buradan x−8+24=60  ⟹  x=44x - 8 + 24 = 60 \implies x = 44 bulunur. Başlangıçtaki toplam sandalye sayısı ise 6x+8x=14x6x + 8x = 14x olduğundan, 14×44=61614 \times 44 = 616 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki grup sayıları için değişken tanımlanması
Başlangıçtaki 6'lı grup sayısı xx olsun. Bu durumda 4'lü grup sayısı 2x2x olur.
Gruplar arasındaki oran 2 kat olarak verildiği için denklem kurmayı kolayla��tırmak adına değişken atanır.
2
Bozulan gruplardan elde edilen sandalyelerin ve dönüştürülen grup sayısının bulunması
Bozulan 8 adet 6'lı gruptan 8×6=488 \times 6 = 48 sandalye elde edilir. Her bir 4'lü gruba 2'şer sandalye eklenerek 6'lı gruba dönüştürüldüğüne göre, dönüştürülen grup sayısı 482=24\frac{48}{2} = 24 olur.
Ende edilen toplam sandalye kaynağının kaç adet grubu 6'lı gruba dönüştüreceğini belirlemek için.
3
Son durumdaki 6'lı grup sayısı denkleminin kurularak çözülmesi
Son durumdaki 6'lı grup sayısı: (x−8)+24=60  ⟹  x+16=60  ⟹  x=44(x - 8) + 24 = 60 \implies x + 16 = 60 \implies x = 44 olarak bulunur.
Son durumdaki toplam 6'lı grup sayısı verildiği için başlangıçtaki grup sayısını belirleyen değişkene ulaşmak amacıyla denklem çözülür.
4
Başlangıçtaki toplam sandalye sayısının hesaplanması
Toplam sandalye sayısı: 6×x+4×(2x)=14x6 \times x + 4 \times (2x) = 14x olduğuna göre, 14×44=61614 \times 44 = 616 sandalye vardır.
Bulunan xx değeri başlangıçtaki sandalye sayısı ifadesinde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden denklemlere dönüştürme ve denklem çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →

Bir spor salonunda A ve B olmak üzere iki farklı üyelik modeli sunulmaktadır. Bu üyelik modellerinin ücretlendirme koşulları aşağıda verilmiştir:

* A modelinde; aylık sabit bir ücret ödenmekte ve spor salonuna gelinen her seans için ayrıca seans başına sabit bir ücret alınmaktadır.
* B modelinde; aylık sabit ücret, A modelindeki aylık sabit ücretin 2 katıdır. Seans başına alınan ücret ise A modelindeki seans başına alınan ücretten 55 TL daha azdır.

Bu spor salonuna üye olan Hakan, bir ayda 12 seansa katılırsa A modeline göre ödeyeceği toplam tutarın, B modeline göre ödeyeceği toplam tutardan 1010 TL daha fazla olacağını hesaplıyor.

Buna göre, Hakan bir ayda 6 seansa katılsaydı B modeline göre ödeyeceği toplam tutar, A modeline göre ödeyeceği toplam tutardan kaç TL fazla olurdu?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

6 seans için B modelinin toplam tutarı, A modelinin toplam tutarından 20 TL fazla olur.
A modelinin sabit ücreti aa, seans ücreti xx iken B'nin sabit ücreti 2a2a, seans ücreti x−5x-5'tir. 12 seanslık durumda A'nın tutarından B'ninki çıkarıldığında xx değişkeni sadeleşir ve −a+60=10-a + 60 = 10 eşitliğinden a=50a = 50 TL elde edilir. Buradan 6 seanslık durumda B ile A arasındaki fark hesaplandığında (100+6(x−5))−(50+6x)=20(100 + 6(x-5)) - (50 + 6x) = 20 TL bulunur. Dolayısıyla B modelinin toplam tutarı, A modelinin toplam tutarından 20 TL fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
A modelinin aylık sabit ücretini aa TL, seans başına ücretini ise xx TL olarak belirleyelim.
B modelinin aylık sabit ücreti 2a2a TL ve seans başına ücreti x−5x - 5 TL olur.
Soruda verilen üyelik modelleri arasındaki ilişkileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
2
12 seans için A ve B modellerine ait toplam ücret denklemlerini yazıp aralarındaki farkı 10 TL'ye eşitleyelim: (a+12x)−[2a+12(x−5)]=10(a + 12x) - [2a + 12(x - 5)] = 10.
a+12x−2a−12x+60=10⇒−a+60=10⇒a=50a + 12x - 2a - 12x + 60 = 10 \Rightarrow -a + 60 = 10 \Rightarrow a = 50 TL bulunur.
12 seans durumunda A modelinin B modelinden 10 TL fazla olduğu bilgisi yardımıyla A'nın sabit ücretini bulmak için.
3
Bulduğumuz a=50a = 50 değerini kullanarak 6 seans için her iki modelin ücretlerini yazalım ve B modelinin A modelinden ne kadar fazla olduğunu bulalım.
A modelinin tutarı: 50+6x50 + 6x TL. B modelinin tutarı: 2(50)+6(x−5)=100+6x−30=70+6x2(50) + 6(x-5) = 100 + 6x - 30 = 70 + 6x TL. Aralarındaki fark: (70+6x)−(50+6x)=20(70 + 6x) - (50 + 6x) = 20 TL olarak bulunur.
6 seans durumunda B modelinin A modelinden kaç TL fazla olduğunu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde değişken belirleme ve birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde sadeleştirme yapma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Bir kargo firmasına ait akıllı teslimat dolabında AA, BB ve CC boyutlarında olmak üzere üç farklı tipte toplam 4040 adet boş bölme bulunmaktadır.

* AA tipi bölmelerin her birine en fazla 22 koli,
* BB tipi bölmelerin her birine en fazla 44 koli,
* CC tipi bölmelerin her birine en fazla 66 koli

yerleştirilebilmektedir.

Bu dolaptaki tüm bölmeler tam kapasiteyle doldurulduğunda dolaba toplam 200200 koli yerleştirilebildiği ve dolaptaki BB tipi bölme sayısının AA tipi bölme sayısının 22 katı olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu dolaptaki CC tipi bölme sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Dolaptaki C tipi bölme sayısı 25'tir.
Bölme sayıları A=xA = x, B=2xB = 2x ve C=40−3xC = 40 - 3x olarak belirlenir. Toplam koli kapasitesini veren denklem 2x+8x+6(40−3x)=2002x + 8x + 6(40 - 3x) = 200 olarak kurulur ve çözüldüğünde x=5x = 5 bulunur. Buradan C tipi bölme sayısı 40−3(5)=2540 - 3(5) = 25 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölme sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak değişkenleri tanımlama
A tipi bölme sayısı xx olarak alınırsa, B tipi bölme sayısı 2x2x olur. Toplam bölme sayısı 40 olduğundan, C tipi bölme sayısı 40−(x+2x)=40−3x40 - (x + 2x) = 40 - 3x olarak ifade edilir.
Değişken sayısını azaltarak tek bilinmeyenli bir denklem kurmak.
2
Toplam koli kapasitesi denklemini kurma ve çözme
Toplam kapasite denklemi: 2⋅x+4⋅(2x)+6⋅(40−3x)=2002 \cdot x + 4 \cdot (2x) + 6 \cdot (40 - 3x) = 200 şeklindedir. Düzenlendiğinde, 2x+8x+240−18x=200⇒−8x+240=200⇒8x=40⇒x=52x + 8x + 240 - 18x = 200 \Rightarrow -8x + 240 = 200 \Rightarrow 8x = 40 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Her bölme tipinin kapasitesi ile o tipteki bölme sayısının çarpımlarının toplamını toplam koli sayısına eşitlemek.
3
C tipi bölme sayısını hesaplama
C=40−3x=40−3(5)=25C = 40 - 3x = 40 - 3(5) = 25 adet C tipi bölme vardır.
Bulunan xx değerini C tipi bölme sayısını veren cebirsel ifadede yerine koymak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve sayı problemleri çözümü.
Sayfa 1 / 45Sonraki