Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir okul gezisindeki tüm öğrenciler, gezi için kiralanan iki farklı otobüs firmasından birinin araçlarına yerleştirilecektir. Bu yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Tüm öğrenciler sadece A firmasının otobüslerine yerleştirilirse otobüslerdeki $5$ sıra tamamen boş kalmakta ve diğer tüm sıralar $3$ 'er kişiyle tamamen dolmaktadır.
* T��m öğrenciler sadece B firmasının otobüslerine yerleştirilirse hiçbir sıra boş kalmamakta ancak son sırada sadece $2$ öğrenci oturmakta, diğer tüm sıralar ise $4$ 'er kişiyle tamamen dolmaktadır.

A firmasının otobüslerindeki toplam sıra sayısı, B firmasının otobüslerindeki toplam sıra sayısından $8$ fazla olduğuna göre, geziye katılan toplam öğrenci sayısı kaçtır?

30

36

42

44

102

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Geziye katılan toplam öğrenci sayısı 42'dir.

Geziye katılan toplam öğrenci sayısının 42 olduğu durum doğrudur. B firmasının toplam sıra sayısına

x

denilirse, A firmasının toplam sıra sayısı

x+8

olur. A firmasında

5

sıra boş kaldığından dolu sıra sayısı

x+3

olup toplam öğrenci sayısı

3(x+3) = 3x+9

olur. B firmasında ise tüm sıralar dolup son sırada

2

kişi oturduğu için toplam öğrenci sayısı

4(x-1)+2 = 4x-2

olur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde

3x+9 = 4x-2

denkleminden

x=11

bulunur. Buradan toplam öğrenci sayısı

4(11-1)+2 = 42

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

B firmasının otobüslerindeki toplam sıra sayısına

x

diyelim. A firmasının otobüslerindeki toplam sıra sayısı B firmasınınkinden

8

fazla olduğu için A firmasının toplam sıra sayısı

x+8

olur.

Sıra sayıları: B firması için

x

, A firması için

x+8

olarak belirlendi.

Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.

2

Her iki durum i��in geziye katılan öğrenci sayısını veren denklemleri kuralım. A firmasında

5

sıra boş kaldığından dolan sıra sayısı

(x+8)-5 = x+3

olur ve her sıraya

3

kişi oturduğundan öğrenci sayısı

3(x+3)

olur. B firmasında ise tüm sıralar dolmuş ancak son sırada

2

kişi oturmuştur. Yani

x-1

sırada

4

kişi,

1

sırada ise

2

kişi oturmaktadır. Buradan öğrenci sayısı

4(x-1)+2

olur.

Öğrenci sayısı denklemleri: A firması için

3x+9

, B firması için

4x-2

olarak elde edildi.

Toplam öğrenci sayısını veren iki farklı cebirsel ifadeyi oluşturmak için.

3

Geziye katılan öğrenci sayısı sabit olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek

x

değerini bulalım:

3x+9 = 4x-2

denklemini çözelim.

Denklem çözüldüğünde

x = 11

bulunur.

B firmasının otobüslerindeki toplam sıra sayısını belirlemek için.

4

Bulduğumuz

x

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak toplam öğrenci sayısını hesaplayalım:

4(11-1)+2

veya

3(11+3)

işlemini yapalım.

Toplam öğrenci sayısı

42

olarak bulunur.

Soruda istenen geziye katılan toplam öğrenci sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla sayı problemlerini modelleme ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir tekstil atölyesinde üretilen 504 adet tişört, her bir kolide eşit sayıda tişört olacak şekilde iki basamaklı $ab$ tane koliye yerleştirilmek isteniyor.

Ancak daha sonra bu karardan vazgeçilerek tişörtler, her bir kolide yine eşit sayıda tişört olacak şekilde iki basamaklı $ba$ tane koliye yerleştiriliyor. Bu durumda, koli başına düşen tişört sayısı ilk duruma göre 6 azalıyor.

Buna göre, son durumda kullanılan koli sayısı ( $ba$ ) kaçtır?

36

42

54

63

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Son durumda kullanılan koli sayısı 63'tür.

Tişörtlerin koli sayılarına göre dağılımını gösteren fark denklemi kurularak sadeleştirildiğinde

756(b-a) = ab \cdot ba

eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek rakam çifti

a=3

ve

b=6

olup, iki basamaklı sayılarımız 36 ve 63'tür. Soruda son durumdaki koli sayısı olan

ba

sorulduğu için doğru cevap 63 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koli başına düşen tişört sayısı için gerekli bağıntıları yazalım.

Başlangıçta koli başına düşen tişört sayısı

\frac{504}{ab}

iken, son durumda koli başına düşen tişört sayısı

\frac{504}{ba}

olur.

Soruda verilen toplam tişört ve koli sayılarını kullanarak her bir durumdaki koli başına düşen payı matematiksel olarak modellemek gerekir.

2

İki durum arasındaki farkı veren denklemi kuralım ve sadeleştirelim.

\frac{504}{ab} - \frac{504}{ba} = 6 \implies \frac{84}{ab} - \frac{84}{ba} = 1

Koli başına düşen tişört sayısındaki 6 adetlik azalma bilgisini kullanarak iki durum arasındaki cebirsel ilişkiyi kurup sadeleştiririz.

3

Denklemde payda eşitleyerek basamak çözümlemesi uygulayalım.

84 \cdot (ba - ab) = ab \cdot ba \implies 84 \cdot 9(b - a) = (10a + b)(10b + a) \implies 756(b - a) = (10a + b)(10b + a)

ab

ve

ba

sayılarının iki basamaklı sayı olduğunu dikkate alarak basamak çözümlemesi yaparız ve farklarını

9(b-a)

şeklinde yazarız.

4

Elde edilen eşitliği sağlayan rakamları belirleyelim.

b - a = 3

için sol taraf

756 \cdot 3 = 2268

olur. Sağ taraf ise

36 \cdot 63 = 2268

olarak bu eşitliği sağlar. Buradan

a = 3

ve

b = 6

bulunur.

Çarpımın sonucuna ve rakam kısıtlarına göre (

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlardır) uygun basamak değerlerini tespit ederiz.

5

Son durumda kullanılan koli sayısını bulalım.

ba = 63

olur.

Bizden istenen son durumdaki koli sayısı olan iki basamaklı

ba

sayısıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Basamak Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 23Soru →

Bir tarım kooperatifinde üretilen 84 ton buğday, her birinde eşit miktarda buğday olacak şekilde iki basamaklı $ab$ adet siloya doldurulacaktır. Görevli, silo sayısını sisteme girerken yanlışlıkla onlar ve birler basamağının yerini değiştirerek $ba$ olarak yazmış ve silo başına düşen buğday miktarını olması gerekenden 3 ton daha az hesaplamıştır.

Buna göre, buğdaylar��n doldurulacağı gerçek silo sayısı kaçtır?

14

28

12

21

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Gerçek silo sayısı 12'dir.

Soruda verilen bilgiler doğrultusunda kurulan rasyonel denklem çözüldüğünde,

ab

iki basamaklı sayısının 12 olduğu ve bu değerin tüm koşulları (bölüm farkının 3 olması ve basamak çözümleme kuralları) sağladığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Gerçek ve hatalı silo sayılarını tanımlayarak silo başına düşen buğday miktarlarını belirten denklemi kurma.

Gerçek silo sayısı

ab = 10a + b

iken silo başına düşen gerçek miktar

\frac{84}{ab}

ton olur. Hatalı silo sayısı

ba = 10b + a

iken hesaplanan miktar

\frac{84}{ba}

ton olur. Denklem:

\frac{84}{ba} = \frac{84}{ab} - 3

şeklindedir.

Silo sayısı değiştikçe birim silo başına düşen miktar ters orantıl�� olarak değişir ve aradaki fark 3 tondur.

2

Denklemi sadeleştirme ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesini kullanma.

\frac{84}{ab} - \frac{84}{ba} = 3 \implies 84 \cdot \left(\frac{1}{ab} - \frac{1}{ba}\right) = 3 \implies \frac{1}{ab} - \frac{1}{ba} = \frac{1}{28}

elde edilir. Buradan

\frac{ba - ab}{ab \cdot ba} = \frac{1}{28}

olur. Basamak çözümlemesi yapıldığında

ba - ab = 9(b-a)

olduğundan

\frac{9(b-a)}{ab \cdot ba} = \frac{1}{28} \implies ab \cdot ba = 252(b-a)

denklemine ulaşılır.

İki basamaklı sayıların farkı basamak çözümlemesiyle daha basit bir biçimde ifade edilebilir.

3

Rakam değerlerini yerine koyarak denklemi sağlayan değerleri bulma.

b - a = 1

varsayımı altında

ab \cdot ba = 252

olur.

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

olup

ba = ab + 9

yazılabilir. Buradan

ab \cdot (ab + 9) = 252 \implies ab^2 + 9ab - 252 = 0

elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(ab - 12)(ab + 21) = 0

olur. Pozitif tam sayı çözümü

ab = 12

olarak bulunur.

b - a = 2 - 1 = 1

koşulu da sağlanmaktadır.

Koşulları sağlayan tek haneli

a

ve

b

rakamlarını ve dolayısıyla gerçek silo sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yoluyla, 84'ün iki basamaklı bölenleri (12, 14, 21, 28, 42, 84) incelenebilir. Bu bölenlerden tersi alındığında da makul bir bölme işlemi veren ve farkı 3 olan çift 12 ve 21'dir. Gerçekten de

84/12 = 7

ve

84/21 = 4

olup fark

7 - 4 = 3

olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 24Soru →

Bir grup arkadaş, ortaklaşa kiraladıkları bir yazlığın toplam giderlerini eşit olarak paylaşacaktır. Bu paylaşım süreciyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gruptan $3$ kişi hiçbir ödeme yapamayacağını belirttiğinde, diğer kişilerin her birinin payına düşen ücret ilk duruma göre $150$ TL artmaktadır.
* Daha sonra, ödeme yapacak olan kişilerden $2$ kişi daha kendi paylarına düşen ücretin yalnızca yarısını ödeyebilmiştir.
* Son durumda kalan ücret, kalan grup üyeleri tarafından eşit olarak paylaşılmış ve bu kişilerin her biri ilk duruma göre toplam $250$ TL fazla ödemiştir.

Buna göre, bu gruptaki toplam arkadaş sayısı kaçtır?

8

9

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Gruptaki toplam arkadaş sayısı 10'dur.

Gruptaki kişi sayısı ve toplam masraf belirlenip adımlar takip edildiğinde, birinci durumdaki artıştan toplam masraf ile kişi sayısı arasındaki bağıntı elde edilir. İkinci durumdaki toplam artış denkleminde bu bağıntı yerine yazılarak sadeleştirme yapıldığında gruptaki arkadaş sayısı 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Gruptaki kişi sayısına

N

ve yazlığın toplam masrafına

X

diyelim. Başlangıçta kişi başına düşen payı belirleyelim.

Başlangıçta kişi başı düşen pay

\frac{X}{N}

TL olur.

Toplam masraf gruptaki kişi sayısına eşit olarak bölüştürülür.

2

3 kişi ödeme yapmadığında kalan

N-3

kişinin yeni payını bulalım ve 150 TL'lik artış denklemini kuralım.

Yeni pay

\frac{X}{N-3}

TL olur. Denklem:

\frac{X}{N-3} - \frac{X}{N} = 150 \implies \frac{3X}{N(N-3)} = 150 \implies X = 50N(N-3)

3 kişinin eksilmesiyle kişi başına düşen miktarın artışını masraf cinsinden ifade etmek için.

3

Ödeme yapacak

N-3

kişiden 2'si yarım ödediğinde eksik kalan tutarın, diğer kalan

N-5

kişiye yansımasını hesaplayalım.

Yarım ödeyen 2 kişinin eksik bıraktığı toplam tutar:

2 \times \frac{X}{2(N-3)} = \frac{X}{N-3}

TL. Bu eksik tutar kalan

N-5

kişiye paylaştırıldığında kişi başı eklenen ücret

\frac{X}{(N-3)(N-5)}

TL olur. Son durumda ödenen ücret ise

\frac{X(N-4)}{(N-3)(N-5)}

TL olarak bulunur.

Eksik ödemelerin kalan grup üyelerine eşit olarak yansıtılması gerekir.

4

Son payın başlangıç payından 250 TL fazla olduğunu belirten denklemi kurup çözelim.

\frac{X(N-4)}{(N-3)(N-5)} - \frac{X}{N} = 250

denkleminde

X = 50N(N-3)

yazılırsa:

50 \cdot \left(\frac{N(N-4)}{N-5} - (N-3)\right) = 250 \implies \frac{4N-15}{N-5} = 5 \implies 4N-15 = 5N-25 \implies N = 10

elde edilir.

Toplam kişi sayısı olan

N

değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve rasyonel ifadelerle işlem yapma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir lojistik firmasında paketler, ağırlıklarına göre 'Standart' ve 'Ağır' olmak üzere iki gruba ayrılmıştır. Bu paketlerin ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Türü	Bir Adedinin Ağırlığı
Standart	$5\text{ kg}$
Ağır	$12\text{ kg}$

Bu firmadaki standart ve ağır paketlerin toplam sayısı $18$ ve tüm paketlerin toplam ağırlığı $118\text{ kg}$ 'dır.
Bu paketlerin tamamı, tek seferde en fazla $24\text{ kg}$ yük taşıyabilen bir el arabasıyla taşınacaktır.
Buna göre, tüm paketlerin taşınması için el arabasıyla en az kaç sefer yapılmalıdır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Doğru yanıt olan 6 sefer, paket adetlerinin (14 standart, 4 ağır) denklem sistemiyle çözülmesinden sonra, el arabasının 24 kg'lık kapasitesine uygun olarak en verimli şekilde gruplandırılmasıyla elde edilir. Yapılan analizde 5 seferin matematiksel olarak imkansız olduğu, en az 6 seferle tüm paketlerin güvenle taşınabileceği kanıtlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Standart ve ağır paketlerin sayılarını bulmak için denklem sistemini kurup çözelim.

Standart paket sayısı

x

, ağır paket sayısı

y

olsun.

x + y = 18

ve

5x + 12y = 118

denklemleri elde edilir. Birinci denklemi

5

ile çarpıp ikinci denklemden çıkardığımızda

7y = 28

yani

y = 4

ağır paket ve

x = 14

standart paket bulunur.

Her bir paket türünden kaçar adet olduğunu belirlemek, taşıma analizini yapabilmek için gereklidir.

2

El arabasının taşıma kapasitesine göre bir seferdeki paket kombinasyonlarını analiz edelim.

Taşıma kapasitesi en fazla

24\text{ kg}

'dır. Ağır paketler (

12\text{ kg}

) en fazla ikişerli taşınabilir (

12 + 12 = 24\text{ kg}

). Bir ağır paketin yanına en fazla iki adet standart paket (

12 + 5 + 5 = 22\text{ kg}

) konabilir; çünkü üç standart paket eklenirse ağırlık

12 + 15 = 27\text{ kg}

olur ve kapasite aşılır. Sadece standart paket taşınan bir seferde ise en fazla dört standart paket (

4 \times 5 = 20\text{ kg}

) taşınabilir.

Maksimum kapasite sınırını aşmadan her seferde en fazla kaç paket taşınabileceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.

3

5 seferin neden yetersiz olduğunu ve en az 6 sefer gerektiğini matematiksel olarak kanıtlayalım.

4 ağır paketi taşımak için iki durum vardır:
Durum 1: Ağır paketlerin her biri farklı bir seferde taşınırsa (4 sefer). Bu seferlerin her birinde en fazla 2 standart paket taşınabileceğinden, toplamda en fazla

4 \times 2 = 8

standart paket taşınır. Kalan

14 - 8 = 6

standart paketi taşımak için ağır paket içermeyen en az 2 sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı

4 + 2 = 6

olur.
Durum 2: Ağır paketlerin ikisi aynı seferde taşınırsa (1 sefer,

24\text{ kg}

). Kalan 2 ağır paket diğer seferlerde taşınır (en fazla 2 sefer). Bu seferlerde en fazla

2 \times 2 = 4

standart paket taşınır. Kalan

14 - 4 = 10

standart paketi taşımak için en az

\lceil 10/4 \rceil = 3

sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı

1 + 2 + 3 = 6

olur.

Paketlerin bölünemez yapısı nedeniyle matematiksel olarak 5 seferin imkansız olduğunu gösterip en az 6 sefer yapılması gerektiğini kanıtlamak için bu adım gereklidir.

4

6 seferlik örnek bir dağılım planı hazırlayalım.

- 1. Sefer: 2 ağır paket (

24\text{ kg}

)
- 2. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (

22\text{ kg}

)
- 3. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (

22\text{ kg}

)
- 4. Sefer: 4 standart paket (

20\text{ kg}

)
- 5. Sefer: 3 standart paket (

15\text{ kg}

)
- 6. Sefer: 3 standart paket (

15\text{ kg}

)
Toplamda 4 ağır ve 14 standart paket taşınır.

Bulunan sonucun geçerliliğini ve uygulanabilirliğini göstermek için somut bir dağılım planı sunulur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Bölünebilirlik/Gruplama

Soru 26Soru →

Bir kuru yemiş paketleme tesisinde hazırlanan karışık meyve paketinde sadece kuru incir ve kuru kayısı bulunmaktadır. Başlangıçta bu paketteki meyvelerin toplam ağırlığının $\%40$ 'ını kuru incir oluşturmaktadır. Bu pakete $120\text{ gram}$ kuru incir eklenip paketten $80\text{ gram}$ kuru kayısı çıkarıldığında, paketteki kuru incirlerin ağırlığı tüm paketin ağırlığının $\%60$ 'ı olmuştur. Buna göre, başlangıçtaki karışık meyve paketinin toplam ağırlığı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480

Cevap

Başlangıçtaki karışık meyve paketinin toplam ağırlığı 480 gramdır.

Başlangıçtaki toplam ağırlık olan 480 gramın %40'ı 192 gram incir ve %60'ı 288 gram kayısıdır. 120 gram incir eklenip 80 gram kayısı çıkarıldığında yeni incir miktarı 312 gram, yeni toplam ağırlık 520 gram olur. 312 gram, 520 gramın %60'ı olduğundan bu cevap doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki meyve miktarlarını değişkenler yardımıyla ifade etme

Toplam ağırlık

10x

gram alındığında, kuru incir ağırlığı

4x

gram ve kuru kayısı ağırlığı

6x

gram olur.

Yüzde hesabı yaparken kesirli işlemlerle uğraşmamak amacıyla başlangıçtaki toplam ağırlık

10x

seçilmiştir.

2

Ekleme ve çıkarma işlemlerinden sonraki yeni durum miktarlarını belirleme

Yeni kuru incir miktarı

4x + 120

gram, yeni toplam paket ağırlığı ise

10x + 40

gram olur.

Eklenen incir miktarı hem incirlerin ağırlığını hem de toplam ağırlığı artırırken, çıkarılan kayısı miktarı toplam ağırlığı azaltır.

3

Son durumdaki yüzde oranını kullanarak denklem kurma ve çözme

\frac{4x + 120}{10x + 40} = \frac{60}{100} \Rightarrow 10x = 480

elde edilir.

Yeni durumdaki incir oranını veren denklemi çözerek başlangıçta kabul ettiğimiz toplam ağırlık olan

10x

değerini bulmak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Değişkenler yardımıyla yüzde oranlarını modelleme ve denklem kurma.

Soru 27Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesini $40$ TL'den aldığı kurşun kalemlerin her biri için $10$ TL paketleme masrafı yapmaktadır. Kırtasiyeci, bu kalemleri $3$ 'erli paketler halinde satacaktır. Bir paket kalemin etiket fiyatı, o paketteki $3$ kalemin toplam maliyeti üzerinden $\%60$ kâr elde edilecek şekilde belirlenmiştir. Bu kalemlerin satışı yavaş gidince kırtasiyeci, etiket fiyatı üzerinden $\%25$ indirim uygulamıştır. Buna göre, indirimli olarak satılan bir paket kalemin satışından elde edilen kâr kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İndirimli olarak satılan bir paket kalemin satışından elde edilen kâr 30 TL'dir.

Bir adet kalemin maliyeti

40 + 10 = 50

TL'dir. Paket 3'lü olduğundan, bir paketin toplam maliyeti

50 \times 3 = 150

TL'dir. %60 kâr eklenerek belirlenen etiket fiyatı

150 \times 1,60 = 240

TL olur. Bu fiyat üzerinden %25 indirim yapıldığında indirimli satış fiyatı

240 \times 0,75 = 180

TL olarak bulunur. Sonuç olarak, bu satıştan elde edilen net kâr

180 - 150 = 30

TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir adet kalemin toplam maliyetini bulma

50

TL

Kalemin alış fiyatına bir adet kalem için yapılan paketleme masrafı eklenmelidir.

2

Bir paketin (3 adet kalemin) toplam maliyetini bulma

150

TL

Satış 3'lü paketler halinde yapılacağı için tek kalem maliyeti 3 ile çarpılır.

3

Paketin kârlı etiket fiyatını belirleme

240

TL

Maliyet fiyatı olan

150

TL üzerinden %60 kâr eklenerek etiket fiyatı oluşturulur.

4

İndirimli satış fiyatını hesaplama

180

TL

Etiket fiyatı olan

240

TL üzerinden %25 indirim uygulanarak yeni satış fiyatı bulunur.

5

Elde edilen net kârı bulma

30

TL

İndirimli satış fiyatından toplam paket maliyeti çıkarılarak kâr miktarı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Maliyet fiyatı ile ek masrafların ilişkisi, kâr oranı ekleme ve etiket fiyatından indirim hesaplama işlemleri.

Soru 28Soru →

Bir rüzgar sörfü sporcusu, antrenmanında deniz üzerindeki A noktasından B noktasına doğru rüzgara karşı saatte $v\text{ km}$ sabit hızla hareket etmiştir. Sporcu, dönüşte rüzgarı arkasına alarak hızını saatte $10\text{ km}$ artırmış ve aynı rota üzerinden A noktasına geri dönmüştür.

Sporcunun tüm gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı saatte $24\text{ km}$ olduğuna göre, $v$ kaçtır?

15

18

19

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Rüzgar sörfü sporcusunun gidiş hızı olan

v

değeri

20\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit olduğunda, gidiş-dönüş boyunca ortalama hız formülü kullanılarak

v

hızı

20\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve d��nüş yollarının eşit olduğunu belirleyerek süreleri

v

cinsinden ifade edin.

A ile B noktaları arasındaki mesafe

x

olsun. Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{v}

ve dönüş hızı

v + 10

olduğundan dönüş süresi

t_2 = \frac{x}{v+10}

olur.

Ortalama hız formülü toplam yolun toplam süreye oranına dayandığından, toplam süreyi elde etmek gerekir.

2

Ortalama hız formülünü oluşturun ve verilen ortalama hız değerine eşitleyin.

v_{ort} = \frac{2x}{t_1 + t_2} = \frac{2x}{\frac{x}{v} + \frac{x}{v+10}} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v+10}} = \frac{2v(v+10)}{2v+10} = \frac{v(v+10)}{v+5} = 24

denklemi elde edilir.

Gidiş-dönüş yolları eşit olduğundan ortalama hız, hızların harmonik ortalamasına eşittir.

3

Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirin.

v(v+10) = 24(v+5) \implies v^2 + 10v = 24v + 120 \implies v^2 - 14v - 120 = 0

denklemi elde edilir.

Bilinmeyen

v

değerini bulabilmek için denklemi standart biçime dönüştürmek gerekir.

4

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif kökü bulun.

(v-20)(v+6) = 0

ifadesinden

v = 20

veya

v = -6

bulunur. Hız negatif olamayacağından

v = 20

olarak belirlenir.

Hız fiziksel olarak pozitif bir büyüklük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Gidiş-dönüş problemlerinde ortalama hız, geçen toplam sürelere göre belirlenir ve yollar eşit olduğunda hızların harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir tiyatro festivalinde satılan biletlerin $\%60$ 'ı tam bilet, geri kalanı ise öğrenci biletidir. Bu biletlerin satışı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Tam biletlerin $\%30$ 'u internet üzerinden, kalanı ise gişeden satılmıştır.
* Öğrenci biletlerinin $\%70$ 'i internet üzerinden, kalanı ise gişeden satılmıştır.

Gişeden satılan toplam bilet sayısı $540$ olduğuna göre, bu festival için internet üzerinden satılan toplam bilet sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 460

Cevap

İnternet üzerinden satılan toplam bilet sayısı 460'tır.

Gişeden satılan toplam bilet sayısı (

54x

), 540'a eşitlendiğinde

x=10

bulunur. Buradan internetten satılan toplam bilet sayısı olan

46x

ifadesi 460 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam bilet sayısına

100x

diyerek biletlerin tam ve öğrenci olarak dağılımını belirlemek.

Tam bilet sayısı

60x

, öğrenci bilet sayısı ise

40x

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç değerini

100x

seçmek kolaylık sağlar.

2

Tam ve öğrenci biletlerinin gişeden satılan miktarlarını bulmak.

Gişeden satılan tam bilet sayısı:

60x \times \%70 = 42x

. Gişeden satılan öğrenci bilet sayısı:

40x \times \%30 = 12x

.

Tam biletlerin %30'u internetten satıldıysa geriye kalan %70'i gişeden satılmıştır. Benzer şekilde, öğrenci biletlerinin %70'i internetten satıldıysa %30'u gişeden satılmıştır.

3

Gişeden satılan toplam bilet sayısını verilen sayıya eşitleyerek

x

değerini bulmak.

42x + 12x = 54x

olur.

54x = 540 \implies x = 10

bulunur.

Soruda gişeden satılan toplam bilet sayısının 540 olduğu belirtilmiştir.

4

İnternet üzerinden satılan toplam bilet sayısını hesaplamak.

İnternet üzerinden satılan tam biletler

60x - 42x = 18x

, öğrenci biletleri

40x - 12x = 28x

'dir. Toplam internet satışı:

18x + 28x = 46x

olur.

x = 10

için

46 \times 10 = 460

bilet bulunur.

İnternet üzerinden satılan toplam bilet sayısı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir bütünün alt gruplarının yüzdelerini hesaplama ve denklem kurma.

Soru 30Soru →

Bir kafede bir bardak çay $8\text{ TL}$ , bir bardak kahve ise $15\text{ TL}$ 'dir. Bu kafede bir gün boyunca toplam $30$ bardak çay ve kahve içilmiştir.

Çay ve kahveler için ödenen toplam tutar $310\text{ TL}$ olduğuna göre, bu kafede kaç bardak çay içilmiştir?

10

15

18

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İçilen çay bardağı sayısı 20'dir.

İçilen çay bardağı sayısına

x

dersek, kahve sayısı

30 - x

olur. Toplam ödenen ücret

8x + 15(30 - x) = 310

denklemi ile hesaplanır. Parantez dağıtıldığında

8x + 450 - 15x = 310 \Rightarrow -7x = -140 \Rightarrow x = 20

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap, çay bardağı sayısının 20 olduğunu gösteren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve toplam bardak sayısına göre denklemin kurulması

İçilen çay bardağı sayısına

x

diyelim. Toplam

30

bardak içecek tüketildiğine göre, içilen kahve bardağı sayısı

30 - x

olur.

Çay ve kahve adetlerini tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.

2

Toplam ücrete bağlı denklemin kurulması

Çayın bardağı

8\text{ TL}

ve kahvenin bardağı

15\text{ TL}

olduğundan, toplam tutar:

8 \times x + 15 \times (30 - x) = 310

olarak yazılır.

Toplam harcama miktarını matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek için.

3

Kurulan denklemin çözülmesi

8x + 450 - 15x = 310 \Rightarrow -7x + 450 = 310 \Rightarrow -7x = -140 \Rightarrow x = 20

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini (çay adedini) yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir boyacı, elindeki beyaz boyanın önce $\frac{1}{3}$ 'ünü kırmızı boya ile karıştırarak pembe boya elde ediyor. Daha sonra kalan beyaz boyanın $\frac{3}{8}$ 'ini mavi boya ile karıştırarak açık mavi boya elde ediyor. Son durumda elinde kalan beyaz boya miktarı, pembe boya elde etmek için kullandığı beyaz boya miktarından $12\text{ kg}$ fazladır.

Buna göre, boyacının başlangıçtaki beyaz boya miktarı kaç kilogramdır?

48

72

96

144

288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Boyacının başlangıçtaki beyaz boya miktarı 144 kilogramdır.

Başlangıçtaki beyaz boya miktarı

12x

olarak seçilirse, pembe boya için

4x

kg kullanılır ve geriye

8x

kg kalır. Kalan boyanın

\frac{3}{8}

'i olan

3x

kg açık mavi boya için kullanılınca son durumda geriye

5x

kg beyaz boya kalır. Kalan beyaz boya (

5x

kg) ile pembe boya için kullanılan beyaz boya (

4x

kg) arasındaki fark

x = 12

kg olarak verilir. Buradan başlangıçtaki toplam boya miktarı

12 \times 12 = 144

kg bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki beyaz boya miktarı için paydalara göre uygun bir değişken belirleme.

Başlangıçtaki beyaz boya miktarına

12x

diyelim.

3

ve

8

paydalarının ortak katı üzerinden kalan miktar hesaplamalarının kolay olması için.

2

Birinci adımda pembe boya için kullanılan ve geriye kalan beyaz boya miktarlarını hesaplama.

Pembe boya i��in kullanılan miktar:

12x \times \frac{1}{3} = 4x

kg. Kalan beyaz boya:

12x - 4x = 8x

kg.

İkinci adımdaki kesir kalan beyaz boyaya uygulanacağı için.

3

İkinci adımda açık mavi boya için kullanılan ve son durumda kalan beyaz boya miktarlarını hesaplama.

Açık mavi boya için kullanılan miktar:

8x \times \frac{3}{8} = 3x

kg. Son durumda kalan beyaz boya:

8x - 3x = 5x

kg.

Son durumdaki beyaz boya miktarını bulmak i��in.

4

Son durumdaki beyaz boya miktarı ile pembe boya için kullanılan miktar arasındaki farkı 12 kg'a eşitleme.

5x - 4x = 12 \implies x = 12

kg.

Soruda verilen fark bilgisinden bilinmeyen

x

değerini çekmek için.

5

Bulunan

x

değerini başlangıçtaki beyaz boya miktarında yerine yazma.

12 \times 12 = 144

kg.

Başlangıçtaki toplam beyaz boya miktarı istendiği için.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde kalan miktar üzerinden işlem yapma ve paydaların ortak katını kullanarak değişken tanımlama.

Soru 32Soru →

Bir mağaza, maliyeti $150$ TL olan bir ceketi $\%40$ kârla satmaktadır. Sezon sonunda bu ceketin satış fiyatı üzerinden $\%20$ indirim yapılmıştır. Buna göre, ceketin indirimli satış fiyatı kaç TL'dir?

120

156

168

180

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $168$

Cevap

Ceketin indirimli satış fiyatı

168

TL'dir.

Ceketin maliyeti olan

150

TL'ye

\%40

kâr eklendiğinde etiket fiyatı

150 + (150 \times 0{}40) = 210

TL olur. Bu etiket fiyatı üzerinden

\%20

indirim uygulandığında indirim miktarı

210 \times 0{}20 = 42

TL olur ve satış fiyatı

210 - 42 = 168

TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ceketin

\%40

kârla belirlenen ilk satış (etiket) fiyatını hesaplayınız.

150 + (150 \times 0{}40) = 210

TL

İndirim etiket fiyatı üzerinden yapılacağı için öncelikle bu fiyatın bulunması gerekir.

2

Etiket fiyatı olan

210

TL üzerinden

\%20

indirim miktarını hesaplayınız.

210 \times 0{}20 = 42

TL

İndirimli fiyatı bulmak için yapılacak indirim miktarının belirlenmesi gerekir.

3

İndirim miktarını etiket fiyatından çıkararak son satış fiyatını bulunuz.

210 - 42 = 168

TL

İndirimli satış fiyatına ulaşmak için indirim miktarı etiket fiyatından düşülür.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde kâr ve indirim oranlarının doğru matraha uygulanması

Alternatif Yöntem

Ceketin maliyetini doğrudan çarpanlar kullanarak da hesaplayabiliriz: Maliyet fiyatını sırasıyla

1{}40

(kârlı fiyat oranı) ve

0{}80

(indirimli fiyat oranı) ile çarparak doğrudan indirimli fiyata ulaşırız:

150 \times 1{}40 \times 0{}80 = 168

TL.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 33Soru →

Bir şirketin teknoloji departmanında çalışanların $\%40$ 'ı kadın yazılımcılardan oluşmaktadır. Bu departmandaki erkek yazılımcıların sayısı 90 olduğuna göre, departmandaki kadın yazılımcıların sayısı kaçtır?

36

54

60

135

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kadın yazılımcıların sayısı 60'tır.

Toplam çalışanların

\%40

'ı kadın ise

\%60

'ı erkektir. Erkek çalışan sayısı 90 olarak verildiğine göre, toplam çalışan sayısının

\%60

'ı 90'dır. Buradan toplam çalışan sayısı 150 olarak bulunur. Kadın çalışan sayısı ise toplamın

\%40

'ı olduğundan

150 \times 0,40 = 60

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Erkek çalışanların yüzdelik oranını bulma.

Departmandaki çalışanların tamamı

\%100

kabul edilirse, kadın çalışanlar

\%40

olduğundan erkek çalışanların oranı

\%100 - \%40 = \%60

olur.

Erkek çalışanların sayısı bilindiği için bu sayının tüm departmanın yüzde kaçına denk geldiğini belirlemek gerekir.

2

Toplam çalışan sayısını bulma.

Toplam çalışan sayısı

x

olsun.

x \times \frac{60}{100} = 90

denkleminden

x = 150

olarak bulunur.

Kadın çalışan sayısını hesaplayabilmek için öncelikle departmandaki toplam çalışan sayısına ulaşılması gerekir.

3

Kadın çalışan sayısını bulma.

Toplam çalışan sayısı 150 olduğuna göre, kadın çalışanların sayısı

150 \times \frac{40}{100} = 60

olarak bulunur.

Toplam çalışan sayısının

\%40

'ı kadın çalışanların sayısını verir.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde temel miktar (bütün) üzerinden oran kurma ve bilinmeyeni bulma.

Soru 34Soru →

Bir kolonya üreticisi, alkol oranı $\%30$ olan $40$ litre alkol-su karışımı ile alkol oran�� $\%70$ olan $60$ litre alkol-su karışımını karıştırıyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karışımdan $50$ litre dökülüyor ve yerine dökülen miktar kadar saf alkol ekleniyor. Buna göre, son durumda elde edilen yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?

54

73

75

77

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $77$

Cevap

Son durumda elde edilen yeni karışımın alkol oranı yüzde 77'dir.

İlk karışım yapıldığında toplam hacim

100\text{ litre}

ve toplam alkol miktarı

54\text{ litre}

olur. Bu durumda alkol oranı

\%54

'tür. Karışımdan

50\text{ litre}

döküldüğünde oran değişmez, ancak kalan karışımın hacmi

50\text{ litre}

ye, içindeki alkol miktarı da

27\text{ litre}

ye düşer. Üzerine eklenen

50\text{ litre}

saf alkolün tamamı alkol olduğu için son durumdaki toplam alkol miktarı

27 + 50 = 77\text{ litre}

olur. Toplam hacim tekrar

100\text{ litre}

ye ulaştığından, yeni karışımın alkol oranı

\%77

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk iki karışım karıştırıldığında elde edilen yeni karışımın toplam kütlesi ve içindeki alkol miktarı hesaplanır.

Toplam kütle:

40 + 60 = 100\text{ litre}

. Toplam alkol miktarı:

40 \times \frac{30}{100} + 60 \times \frac{70}{100} = 12 + 42 = 54\text{ litre}

.

İki farklı karışımın birleşmesiyle oluşan yeni karışımın alkol oranını bulmak için toplam hacim ve toplam alkol miktarı belirlenmelidir.

2

Karışımdan

50\text{ litre}

döküldükten sonra kalan karışımdaki alkol miktarı hesaplanır.

Kalan karışım miktarı:

100 - 50 = 50\text{ litre}

. Homojen karışımlarda oran değişmeyeceğinden, kalan karışımın alkol oranı da

\%54

olur. Kalan alkol miktarı:

50 \times \frac{54}{100} = 27\text{ litre}

.

Dökülen kısım sonrasında kapta kalan karışım miktarını ve bu karışımdaki saf alkol miktarını bulmak gerekir.

3

Kalan karışıma dökülen miktar kadar (

50\text{ litre}

) saf alkol eklenerek son durumdaki alkol oranı hesaplanır.

Yeni toplam hacim:

50 + 50 = 100\text{ litre}

. Yeni toplam alkol miktarı:

27 + 50 = 77\text{ litre}

. Alkol yüzdesi:

\frac{77}{100} = \%77

.

Saf alkol eklenmesiyle değişen toplam hacim ve toplam alkol miktarını oranlayarak son karışım yüzdesini bulmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde ekleme, çıkarma ve karıştırma işlemlerinde toplam kütle ile saf madde miktarının korunumu ilkesi kullanılır.

Soru 35Soru →

Ali, Burak, Cem ve Deniz adındaki dört arkadaşın yaşları ve doğum yıllarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ali, Burak'ın bugünkü yaşına geldiğinde yıl $2032$ olacaktır.
* Cem, Deniz'den yaşça büyük olup bu ikisinin yaşları farkı, Burak ile Ali'nin yaşları farkının yarısı kadardır.
* Deniz doğduğunda Ali $2$ yaşındaydı.

Bugünün tarihi $13$ Temmuz $2026$ olduğuna göre; Ali, Burak, Cem ve Deniz'in doğum yıllarını en erken olandan en geç olana doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğum yıllarının en erken olandan en geç olana doğru doğru sıralaması Burak, Cem, Ali ve Deniz şeklindedir.

Deniz'in yaşı

D

kabul edildiğinde Ali

D+2

, Cem

D+3

ve Burak

D+8

yaşındadır. Yaş sıralaması büyükten küçüğe Burak, Cem, Ali ve Deniz şeklinde olduğundan doğum yılları en erken olandan en geç olana doğru sırasıyla Burak, Cem, Ali ve Deniz olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ali ile Burak arasındaki yaş farkını belirleme

Burak, Ali'den

6

yaş büyüktür (

B - A = 6

).

Bugünün yılı

2026

olarak verilmiştir. Ali'nin Burak'ın yaşına gelmesi için

B - A

yıl geçmesi gerekir. Bu durumda

2026 + (B - A) = 2032

denkleminden yaş farkı

B - A = 6

olarak bulunur.

2

Cem ile Deniz arasındaki yaş farkını belirleme

Cem, Deniz'den

3

yaş büyüktür (

C - D = 3

).

Cem ile Deniz'in yaşları farkı, Burak ile Ali'nin yaşları farkının yarısı kadardır.

6 / 2 = 3

olduğundan ve Cem Deniz'den büyük olduğundan

C = D + 3

yazılır.

3

Ali ile Deniz arasındaki yaş ilişkisini belirleme

Ali, Deniz'den

2

yaş büyüktür (

A - D = 2

).

Deniz doğduğunda (yani

0

yaşındayken) Ali

2

yaşında olduğuna göre Ali, Deniz'den

2

yaş büyüktür. Buradan

A = D + 2

elde edilir.

4

Tüm yaşları tek bir değişken cinsinden ifade edip sıralama

Yaşların büyükten küçüğe sıralaması

Burak > Cem > Ali > Deniz

şeklindedir.

Deniz'in bugünkü yaşına

D

dersek; Ali'nin yaşı

D + 2

, Cem'in yaşı

D + 3

, Burak'ın yaşı ise

A + 6 = (D + 2) + 6 = D + 8

olur. Yaşı en büyük olan en erken doğmuştur, dolayısıyla doğum yılları en erken olandan en geç olana doğru Burak, Cem, Ali, Deniz olarak sıralanır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde yaş farkının sabitliği ve zamanla değişmemesi ilkesi ile doğum yılı-yaş ilişkisi.

Soru 36Soru →

Bir boya fabrikasında bulunan $A$ , $B$ ve $C$ tanklarındaki boya miktarları ve bu tankların kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Tankların kapasiteleri sırasıyla $V_A$ , $V_B$ ve $V_C$ litredir.
* $A$ tankındaki boyanın $\frac{1}{3}$ 'ü $B$ tankına aktarıldığında $B$ tankı tamamen dolmaktadır.
* Daha sonra, son durumdaki $B$ tankında bulunan boyanın $\frac{1}{3}$ 'ü $C$ tankına aktarıldığında $C$ tankı tamamen dolmaktadır.
* Son olarak, son durumdaki $C$ tankında bulunan boyanın $\frac{1}{4}$ 'ü $A$ tankına aktarılmaktadır.
* Bu son aktarım işleminden sonra $A$ tankındaki boya miktarının, $A$ 'nın başlangıçtaki boya miktarına oranı $\frac{11}{12}$ olmuştur.

Başlangıçta $C$ tankında bulunan boya miktarı, $C$ tankının kapasitesinin yarısına eşit olduğuna göre; başlangıçta $B$ tankında bulunan boya miktarının, $B$ tankının kapasitesine oranı kaçtır?

\frac{8}{9}

\frac{7}{9}

\frac{5}{6}

\frac{9}{11}

\frac{19}{21}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{9}$

Cevap

Başlangıçta B tankındaki boya miktarının B tankının kapasitesine oranı 7/9'dur.

Denklemleri sırasıyla kurduğumuzda: Birinci aktarımdan sonra B dolduğu için

V_B = b + a/3

ve A'da kalan

2a/3

olur. İkinci aktarımdan sonra C dolduğu için

V_C = c + V_B/3

olur. Üçüncü aktarımdan sonra A'daki son miktar

2a/3 + V_C/4 = 11a/12

olur. Buradan

V_C = a

elde edilir. Başlangıçta

c = V_C/2 = a/2

olduğu için

a = a/2 + V_B/3 \implies V_B = 3a/2

bulunur.

V_B = b + a/3

denkleminde yerine konulduğunda

3a/2 = b + a/3 \implies b = 7a/6

elde edilir. Dolayısıyla başlangıçtaki boya miktarının kapasiteye oranı

b / V_B = (7a/6) / (3a/2) = 7/9

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanklardaki başlangıç boya miktarlarını

a

,

b

,

c

ve kapasiteleri

V_A

,

V_B

,

V_C

olarak tanımlayıp birinci aktarım denklemini yazalım.

A

'dan

B

'ye

\frac{a}{3}

boya aktarıldığında

B

dolmaktadır. Bu durumda

B

'nin son durumdaki boya miktarı kapasitesine eşit olur:

V_B = b + \frac{a}{3}

.

A

'da kalan boya miktarı ise

\frac{2}{3}a

olur.

Aktarım sonrasında B tankının tamamen dolduğu belirtilmiştir.

2

İkinci aktarım denklemini yazalım.

Tamamen dolu olan

B

tankındaki (

V_B

) boyanın

\frac{1}{3}

'ü

C

'ye aktarıldığında

C

dolmaktadır. Bu durumda

C

'nin son boya miktarı kapasitesine eşit olur:

V_C = c + \frac{V_B}{3}

.

B

'de kalan boya miktarı

\frac{2}{3}V_B

olur.

B tankındaki boyanın üçte birinin aktarılmasıyla C tankının tamamen dolduğu belirtilmiştir.

3

Üçüncü aktarım denklemini ve son durumdaki

A

tankının oranını kullanarak

V_C

ile

a

arasındaki ilişkiyi bulalım.

Tamamen dolu olan

C

tankındaki (

V_C

) boyanın

\frac{1}{4}

'ü

A

'ya aktarılıyor.

A

'daki son boya miktarı:

\frac{2}{3}a + \frac{V_C}{4}

olur. Bu miktar başlangıçtaki

a

miktarının

\frac{11}{12}

'sine eşittir:

\frac{2}{3}a + \frac{V_C}{4} = \frac{11}{12}a \implies \frac{V_C}{4} = \frac{11}{12}a - \frac{8}{12}a = \frac{3}{12}a = \frac{1}{4}a \implies V_C = a

.

Son durumdaki A tankındaki boya miktarının başlangıca oranı 11/12 olarak verilmiştir.

4

Başlangıçtaki

c

boya miktarını

a

cinsinden bulalım ve

V_B

'yi hesaplayalım.

Başlangıçta

c = \frac{1}{2}V_C

olarak verilmiştir.

V_C = a

olduğundan

c = \frac{1}{2}a

olur. İkinci adımdaki denklemde yerine yazarsak:

a = \frac{1}{2}a + \frac{V_B}{3} \implies \frac{1}{2}a = \frac{V_B}{3} \implies V_B = \frac{3}{2}a

.

C tankındaki başlangıç boyasının kapasitesinin yarısı olduğu bilgisi kullanılmıştır.

5

Başlangıçtaki

b

boya miktarını

a

cinsinden bulalım ve istenen oranı hesaplayalım.

Birinci adımdaki denklemde

V_B = \frac{3}{2}a

yazarsak:

\frac{3}{2}a = b + \frac{a}{3} \implies b = \frac{3}{2}a - \frac{a}{3} = \frac{7}{6}a

bulunur. İstenen oran:

\frac{b}{V_B} = \frac{\frac{7}{6}a}{\frac{3}{2}a} = \frac{7}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{9}

olur.

Başlangıçtaki b miktarının B tankının kapasitesi olan V_B'ye oranı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Çok adımlı kesir problemlerinde transfer edilen miktarların hangi referans değer (kapasite, başlangıç miktarı, kalan miktar) üzerinden hesaplanacağını doğru belirlemek ve adımları tersten veya değişkenler arası oran kurarak takip etmek.

Alternatif Yöntem

Değişkenler arasında kolayca işlem yapabilmek için A tankındaki başlangıç boya miktarına

a = 12x

diyelim. Birinci transferden sonra A tankında

8x

boya kalır. Son durumda A tankında

11x

boya olduğuna göre, son transferle C tankından A'ya

3x

boya gelmiştir. Bu miktar C'nin kapasitesinin

\frac{1}{4}

'ü olduğuna göre C tankının kapasitesi

V_C = 12x

olur. C'nin başlangıçtaki miktarı

c = V_C/2 = 6x

olur. C tankına B'den gelen boya miktarı

12x - 6x = 6x

'dir. Bu gelen miktar B'nin kapasitesinin

\frac{1}{3}

'ü olduğuna göre B'nin kapasitesi

V_B = 18x

olur. B tankına A'dan gelen boya miktarı

12x/3 = 4x

'tir. B tankının dolması için

4x

gerektiğine göre başlangıçtaki boya miktarı

b = 18x - 4x = 14x

olur. İstenen oran ise

b/V_B = 14x/18x = 7/9

olarak çok daha hızlı bir şekilde bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 37Soru →

Aslı ile Hakan'ın bugünkü yaşları farkı $10$ 'dur. Aslı, Hakan'dan büyüktür. $4$ yıl önce ikisinin yaşları toplamı $24$ olduğuna göre, Aslı'nın bugünkü yaşı kaçtır?

17

19

21

23

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21

İki kişinin yaşları farkı sabittir ve zamanla değişmez. Dolayısıyla Aslı ile Hakan'ın

4

yıl önce de yaşları farkı

10

'dur.

4

yıl önceki yaşları toplamı

24

olduğuna göre, bu dönemde büyük olan Aslı'nın yaşı

\frac{24 + 10}{2} = 17

olur. Aslı'nın bugünkü yaşını bulmak için bu değere

4

ekleriz:

17 + 4 = 21

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kişilerin bugünkü yaşlarını bilinmeyenler cinsinden belirleme.

Hakan'ın bugünkü yaşı

x

olsun. Aslı, Hakan'dan büyük ve yaş farkı

10

olduğu için Aslı'nın bugünkü yaşı

x + 10

olur.

Verilen yaş farkı ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

4 yıl önceki yaşlar�� bulma ve toplamlarını veren denklemi kurma.

4

yıl önce Hakan

x - 4

yaşında, Aslı ise

(x + 10) - 4 = x + 6

yaşındadır. Bu yaşların toplamı:

(x - 4) + (x + 6) = 24

olur.

Geçmişteki yaşları bulmak için her iki kişinin yaşından da geçen yıl sayısı kadar eksiltme yapılır.

3

Denklemi çözerek bilinmeyeni ve Aslı'nın bugünkü yaşını bulma.

2x + 2 = 24 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11

(Hakan'ın bugünkü yaşı). Aslı'nın bugünkü yaşı:

x + 10 = 11 + 10 = 21

olarak bulunur.

Elde edilen birinci dereceden denklemin çözülmesiyle hedeflenen yaş değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki kişinin yaşları farkı yıllar geçse de değişmez. Geçen süre, gruptaki her bireyin yaşına aynı miktarda eklenir veya eksiltilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir fabrikada üretilen belirli miktardaki zeytinyağı; A, B ve C tipi tenekelere doldurulacaktır. Bu tenekelerin her birinin hacmi litre cinsinden birer pozitif tam sayıdır. Tenekelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A tipi tenekenin hacmi B tipininkinden $3$ litre fazla, C tipininkinden ise $2$ litre azdır.
* Sadece A tipi tenekeler kullanılıp zeytinyağının tamamı doldurulduğunda, kullanılan son tenekede $3$ litrelik boşluk kalmaktadır.
* Sadece B tipi tenekeler kullanıldığında, kullanılan teneke sayısı A tipi tenekelerin kullanıldığı durumdan $5$ fazla olmakta ve tüm tenekeler tamamen dolmaktadır.
* Sadece C tipi tenekeler kullanılıp zeytinyağının tamamı doldurulduğunda, kullanılan teneke sayısı A tipi tenekelerin kullanıldığı durumdan $2$ eksik olmakta ve kullanılan son tenekede $3$ litrelik boşluk kalmaktadır.

Buna göre, doldurulacak toplam zeytinyağı miktarı kaç litredir?

84

96

108

120

171

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Toplam zeytinyağı miktarı 96 litredir.

Doğru cevap olan 96 değeri, B tipi teneke hacminin 6 litre, A tipi teneke sayısının 11 adet ve toplam teneke hacimlerinin sistem eşitliklerinden doğru çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve teneke hacimlerinin belirlenmesi

B tipi tenekenin hacmi

x

litre olsun. Bu durumda A tipi tenekenin hacmi

x+3

litre, C tipi tenekenin hacmi ise

(x+3)+2 = x+5

litre olur.

Teneke hacimleri arasındaki ilişkileri tek bir değişken cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

A tipi teneke sayıs��na bağlı olarak zeytinyağı miktarını veren denklemlerin kurulması

A tipi teneke sayısı

n

olsun. Toplam zeytinyağı miktarı

W

olmak üzere:
1) A tipi tenekeler için:

W = n(x+3) - 3

2) B tipi tenekeler için:

W = (n+5)x

3) C tipi tenekeler için:

W = (n-2)(x+5) - 3

Her üç durum için toplam zeytinyağı miktarının sabit olmasından yararlanarak denklemleri eşitleriz.

3

Denklem sisteminin çözülerek

x

ve

n

değerlerinin bulunması

1. ve 2. denklemlerin eşitliğinden:

n(x+3) - 3 = (n+5)x \Rightarrow nx + 3n - 3 = nx + 5x \Rightarrow 3n - 5x = 3

elde edilir.
2. ve 3. denklemlerin eşitliğinden:

(n+5)x = (n-2)(x+5) - 3 \Rightarrow nx + 5x = nx + 5n - 2x - 10 - 3 \Rightarrow 5n - 7x = 13

elde edilir.
Bu iki denklem ortak çözüldüğünde:

3n - 5x = 3 \Rightarrow n = \frac{5x+3}{3}

5\left(\frac{5x+3}{3}\right) - 7x = 13 \Rightarrow 25x + 15 - 21x = 39 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6

bulunur.

x = 6

için

n = \frac{5(6)+3}{3} = 11

olur.

İki bilinmeyenli iki denklem sistemi çözülerek teneke kapasitesi (

x

) ve A tipi teneke sayısı (

n

) bulunur.

4

Toplam zeytinyağı miktarının hesaplanması

W = (n+5)x = (11+5) \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96

litredir.

Bulunan

x

ve

n

değerleri zeytinyağı miktarı formülünde yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Değişkenler yardımıyla sözel durumları denklem sistemine dönüştürme ve çözme

Soru 39Soru →

Bir memur, aylık maaşının $\frac{1}{4}$ 'ünü ev kirasına harcıyor. Daha sonra kalan maaşının $\frac{1}{3}$ 'ünü faturalara harcıyor.

Bu memurun geriye $4500\text{ TL}$ 'si kaldığına göre, aylık maaşı kaç TL'dir?

6000

8000

9000

10800

18000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9000

Cevap

Memurun aylık maaşı 9000 TL'dir.

Aylık maaşın tamamına

x

denilirse, kiraya giden miktar

\frac{x}{4}

olur ve geriye kalan miktar

\frac{3x}{4}

olur. Faturalara giden miktar bu kalan kısmın

\frac{1}{3}

'ü olduğuna göre

\frac{3x}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{x}{4}

olur. Geriye kalan son para

\frac{3x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{x}{2}

olur. Bu değer

4500\text{ TL}

'ye eşitlendiğinde toplam maaş

9000\text{ TL}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aylık maa��ın tamamını

x

olarak belirleyip ev kirasına harcanan kısmı bulma

Ev kirasına harcanan miktar:

\frac{x}{4}

Maaşın

\frac{1}{4}

'ü kiraya gittiği için.

2

Kira ödendikten sonra kalan maaşı hesaplama

Kalan maaş:

x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}

Sonraki harcamanın kalan miktar üzerinden yapılacağı belirtildiği için.

3

Kalan maaşın

\frac{1}{3}

'ü ile faturalara harcanan kısmı bulma

Faturalara harcanan miktar:

\frac{3x}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{x}{4}

Kalan paranın

\frac{1}{3}

'ü faturalara gittiği için.

4

Faturalar da ödendikten sonra geriye kalan son miktarı bulma

Son kalan miktar:

\frac{3x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}

Kalan paradan fatura harcamasını çıkararak son cebinde kalan miktarı belirlemek için.

5

Son kalan miktarı

4500\text{ TL}

'ye eşitleyip toplam maaşı bulma

\frac{x}{2} = 4500 \implies x = 9000

Cepte kalan gerçek para miktarı ile cebte kalan pay ifadesini eşitleyerek bilinmeyen maaşı çözmek için.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde kalan miktar üzerinden işlem yaparken her adımda yeni bütünü doğru belirlemek

Soru 40Soru →

Bir akıllı telefonun hafızasının kullanım durumuyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Telefonda yalnızca fotoğraflar, videolar ve boş alan bulunmaktadır.
* Telefonun boş alanı, toplam hafızasının $\frac{1}{5}$ 'ine eşittir.
* Fotoğrafların telefonda kapladığı alan, videoların kapladığı alanın $\frac{3}{5}$ 'idir.

Bu telefondaki videoların kapladığı alan $45$ GB olduğuna göre, bu telefonun toplam hafızası kaç GB'tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Telefonun toplam hafızası

90

GB'tır.

Videoların kapladığı alan olan

45

GB'ın

\frac{3}{5}

'i hesaplandığında fotoğrafların kapladığı alan

27

GB olarak bulunur. Dolu olan toplam alan

45 + 27 = 72

GB olur. Boş alan tüm hafızanın

\frac{1}{5}

'i olduğuna göre, dolu alan tüm hafızanın

\frac{4}{5}

'idir. Buradan toplam hafıza

72 \times \frac{5}{4} = 90

GB olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fotoğrafların kapladığı alanı hesaplama

Fotoğrafların kapladığı alan

27

GB'tır.

Soruda fotoğrafların kapladığı alanın, videoların kapladığı alanın

\frac{3}{5}

'i olduğu belirtilmiştir. Videoların alanı

45

GB olarak verildiği için

45 \times \frac{3}{5} = 27

GB bulunur.

2

Fotoğraflar ve videoların kapladığı toplam alanı bulma

Dolu olan toplam alan

72

GB'tır.

Telefonda boş alan dışında sadece fotoğraflar ve videolar bulunduğu için bu iki alanın toplamı dolu alanı verir:

45 + 27 = 72

GB.

3

Boş alan oranını kullanarak dolu alan oranını belirleme

Fotoğraflar ve videolar toplam hafızanın

\frac{4}{5}

'ini kaplar.

Hafızanın boş kısmı toplam hafızanın

\frac{1}{5}

'i olduğuna göre, dolu kısmı tüm hafızanın

1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

'idir.

4

Toplam hafızayı denklem kurarak hesaplama

Toplam hafıza

90

GB'tır.

Toplam hafızaya

T

dersek,

\frac{4}{5} \cdot T = 72

denklemi kurulur. Buradan

T = 72 \times \frac{5}{4} = 90

GB elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesir Problemlerinde bütünden parçaya veya parçadan bütüne geçiş yaparken oranların doğru belirlenmesi ve denklem kurulması.

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar