Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 14

Soru 261Soru →

Bir sinema salonundaki koltukların $\%30$ ’u doludur. Salonda $60$ dolu koltuk olduğuna göre, bu salondaki boş koltuk sayısı kaçtır?

18

42

140

200

182

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Boş koltuk sayısı 140'tır.

Toplam koltuk sayısının

\%30

’u

60

olduğuna göre, salonun tamamı

200

koltuk kapasitelidir. Bu koltukların

60

’ı dolu olduğuna göre, geriye kalan

200 - 60 = 140

koltuk boştur. Dolayısıyla doğru cevap 140'tır.

Adım Adım Çözüm

1

Salondaki toplam koltuk sayısını bulmak için dolu koltuk sayısını doluluk oranına böleriz.

Toplam koltuk sayısı:

60 \div \frac{30}{100} = 60 \times \frac{100}{30} = 200

adet koltuk.

Dolu koltuk sayısı, toplam koltuk sayısının

\%30

’una eşittir.

2

Toplam koltuk sayısından dolu koltuk sayısını çıkararak boş koltuk sayısını buluruz.

Boş koltuk sayısı:

200 - 60 = 140

adet koltuk.

Koltuklar ya doludur ya da boştur; bu nedenle toplam koltuk sayısı ile dolu koltuk sayısı arasındaki fark boş koltuk sayısını verir.

Anahtar Kavram

Bir bütünün belirli bir yüzdesi verildiğinde tamamını bulma ve kalan miktarı hesaplama.

Soru 262Soru →

Bir torbada üzerinde 1'den 7'ye kadar olan tam sayıların yazılı olduğu 7 adet kart bulunmaktadır. Aslı ve Berk bu torbadan sırayla, çekilen kartı geri bırakmamak şartıyla birer kart çekerek bir oyun oynuyorlar. Oyunun kuralları şu şekildedir:

* Oyuna Aslı başlar.
* Çektiği kartların ��zerinde yazan sayıların toplamı çift sayı olan ilk oyuncu oyunu kazanır ve oyun biter.

Buna göre, bu oyun en çok kaçıncı kartın çekilmesiyle kesinlikle son bulur?

3

4

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

En uzun süren senaryoda, oyuncuların elindeki toplamların çift olmasını engellemek amacıyla ilk iki çekilişte tek kartlar, sonraki üç çekilişte ise tüm çift kartlar çekilir. 5. çekiliş sonunda Aslı'nın elinde bir tek ve iki çift kart (toplamı tek), Berk'in elinde ise bir tek ve bir çift kart (toplamı tek) bulunur. 6. çekilişte torbada sadece tek kartlar kalmıştır ve Berk mecburen bir tek kart çekecektir. Bu durum Berk'in elindeki tek kart sayısını 2'ye çıkararak toplamını çift yapacaktır. Dolayısıyla oyun en geç 6. kartın çekilmesiyle kesinlikle son bulur.

Adım Adım Çözüm

1

Torbada bulunan tek ve çift kartları belirleme

Torbada 1, 3, 5, 7 olmak üzere 4 adet tek; 2, 4, 6 olmak üzere 3 adet çift kart vardır.

Oyunun gidişatını belirleyen temel unsur kartların teklik-çiftlik durumudur.

2

Oyunun bitmeme koşulunu ve en uzun sürecek senaryoyu kurma

Her bir oyuncunun elindeki sayıların toplamının tek kalması gerekir. Bir oyuncunun elindeki sayıların toplamının tek kalabilmesi için o oyuncunun elinde tam olarak 1 adet tek sayı ve geri kalanların çift sayı olması gerekir (çünkü tek + çift = tek, tek + tek = çift).

Oyunun en geç ne zaman biteceğini bulmak için oyuncuların çift toplama ulaşmasını olabildiğince geciktirmeliyiz.

3

Kart çekim sırasını ve oyuncuların ellerini analiz etme

1. adımda Aslı tek kart çekmelidir (örneğin 1). 2. adımda Berk tek kart çekmelidir (örneğin 3). Sonraki adımlarda oyuncular çift toplama ulaşmamak için sadece çift kart çekebilirler. 3. adımda Aslı çift kart çeker (örneğin 2, eli: {1, 2}, toplam 3 - tek). 4. adımda Berk çift kart çeker (örneğin 4, eli: {3, 4}, toplam 7 - tek). 5. adımda Aslı son kalan çift kartı çeker (6, eli: {1, 2, 6}, toplam 9 - tek).

Oyuncuların elindeki toplamların çift olmasını engellemek için çift kartları kullanırız.

4

6. adımda kalan kartları analiz etme ve sonucu belirleme

5. adımdan sonra torbada sadece iki adet tek kart (5 ve 7) kalmıştır. 6. adımda Berk kart çekmek zorundadır ve kalan kartlar tek olduğundan mecburen bir tek kart çekecektir. Berk'in elinde zaten bir tek kart (3) ve bir çift kart (4) bulunmaktadır. Berk yeni bir tek kart çektiğinde elindeki tek kart sayısı 2'ye yükselecektir. İki tek kartın toplamı çift olacağından Berk'in elindeki kartların toplamı kesinlikle çift sayıya ulaşacak ve Berk oyunu kazanacaktır. Oyun 6. kartın çekilmesiyle kesinlikle biter.

Tüm çift kartlar tükendiği için sıradaki oyuncunun çift toplama ulaşması kaçınılmaz hale gelir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama işlemlerindeki özellikleri ile en kötü durum (worst-case) analizi yöntemiyle rutin olmayan problemlerin çözümü.

Soru 263Soru →

Bir kargo firmasında çalışan üç kuryenin gidiş ve dönüş yollarındaki sabit hızları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kurye	Gidiş Hızı (km/sa)	Dönüş Hızı (km/sa)
Arda	$60$	$90$
Burak	$60$	$40$
Can	$80$	$120$

Bu kuryelerin gidiş ve dönüş rotaları aynı olduğuna göre, kuryeleri tüm yolculukları boyunca elde ettikleri ortalama hızları (km/sa) ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Arda'nın ortalama hızı

72\text{ km/sa}

, Burak'ın ortalama hızı

48\text{ km/sa}

ve Can'ın ortalama hızı

96\text{ km/sa}

olacak şekilde eşleştirilmelidir.

Her bir kuryenin gidiş ve dönüş yolları aynı uzunlukta olduğundan, toplam mesafeyi gidiş ve dönüş sürelerinin toplamına bölerek elde ettiğimiz ortalama hız formülü

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

şeklindedir. Bu formül uygulandığında Arda'nın ortalama hızı

72\text{ km/sa}

, Burak'ın ortalama hızı

48\text{ km/sa}

ve Can'ın ortalama hızı

96\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalama hız formülünü belirleme

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

Gidilen ve dönülen mesafeler eşit olduğunda, tüm yol boyunca ortalama hız gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalaması ile bulunur.

2

Arda'nın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72\text{ km/sa}

Arda'nın gidiş hızı

60\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

90\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

3

Burak'ın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

Burak'ın gidiş hızı

60\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

40\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

4

Can'ın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = \frac{19200}{200} = 96\text{ km/sa}

Can'ın gidiş hızı

80\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

120\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

Anahtar Kavram

Gidiş-dönüş mesafelerinin eşit olduğu durumlarda ortalama hız, hızların harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Soru 264Soru →

Bir boya ustası, elindeki sarı ve mavi boyaları karıştırarak yeşil boya elde etmektedir. Ustanın elinde;

* A kabında sarı boya oranı kütlece $\%30$ olan $40\text{ kg}$ yeşil boya karışımı,
* B kabında sar�� boya oranı kütlece $\%60$ olan $30\text{ kg}$ yeşil boya karışımı

bulunmaktadır.

Usta, A kabındaki karışımın yarısını ve B kabındaki karışımın tamamını boş bir C kabına boşaltıyor. Ardından, elde ettiği karışımın rengini açmak amacıyla C kabına $10\text{ kg}$ saf mavi boya ekliyor.

Buna göre, son durumda C kabında oluşan yeni karışımın sarı boya oranı kütlece yüzde kaçtır?

30

35

40

48

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Son durumda C kabında oluşan karışımın sarı boya oranı kütlece

\%40

'tır.

C kabındaki toplam karışım miktarı A'nın yarısı (

20\text{ kg}

), B'nin tamamı (

30\text{ kg}

) ve saf mavi boya (

10\text{ kg}

) toplanarak

60\text{ kg}

olarak bulunur. Bu karışımdaki toplam sarı boya miktarı ise A'dan gelen

6\text{ kg}

ile B'den gelen

18\text{ kg}

'ın toplamı olan

24\text{ kg}

'dır. Buradan sarı boya oranı

\frac{24}{60} \times 100 = \%40

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A kabından alınan boya ve içindeki sarı boya miktarı hesaplanır.

40\text{ kg}

'lık karı��ımın yarısı olan

20\text{ kg}

karışım alınır. Bu karışımda

20 \times \%30 = 6\text{ kg}

sarı boya vardır.

A kabından C kabına aktarılan sarı boya ve toplam kütle miktarını bulmak için.

2

B kabından alınan boya ve içindeki sarı boya miktarı hesaplanır.

30\text{ kg}

'lık karışımın tamamı alınır. Bu karışımda

30 \times \%60 = 18\text{ kg}

sarı boya vardır.

B kabından C kabına aktarılan sarı boya ve toplam kütle miktarını bulmak için.

3

C kabındaki toplam karışım kütlesi ve toplam sarı boya miktarı hesaplanır.

Toplam kütle:

20\text{ kg} + 30\text{ kg} + 10\text{ kg} = 60\text{ kg}

olur. Toplam sarı boya miktarı:

6\text{ kg} + 18\text{ kg} + 0\text{ kg} = 24\text{ kg}

olur (eklenen saf mavi boyada sarı boya bulunmaz).

Son karışımdaki bileşenlerin toplam miktarlarını belirlemek için.

4

Son karışımın sarı boya yüzdesi hesaplanır.

Sarı boya oranı:

\frac{24}{60} \times 100 = \%40

olarak bulunur.

Toplam sarı boya miktarının toplam kütleye oranını bulmak için.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde miktarları ve toplam kütle üzerinden kütlece yüzde oranının hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 265Soru →

Bir belediyenin bisiklet paylaşım sisteminde bulunan bisikletlerin bir kısmı elektrikli, geri kalanı ise standart bisiklettir. Bu sistemdeki bisikletlerin gün içindeki kiralama durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Elektrikli bisikletlerin $\%40$ ’ı, standart bisikletlerin ise $\%20$ ’si gün içinde en az bir kez kiralanmıştır.
* Gün içinde en az bir kez kiralanan elektrikli bisiklet sayısı, en az bir kez kiralanan standart bisiklet sayısının $3$ katıdır.

Buna göre, bu sistemdeki elektrikli bisikletlerin sayısı, tüm bisikletlerin sayısının yüzde kaçıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Elektrikli bisikletlerin sayısı, tüm bisikletlerin sayısının %60'ıdır.

Elektrikli bisikletlerin kiralama oranı %40 (

0,4E

) ve standart bisikletlerin kiralama oranı %20 (

0,2S

) olarak yazıldığında, aralarındaki 3 kat ilişkisinden

0,4E = 3 \times 0,2S \Rightarrow 2E = 3S

denklemi elde edilir. Buradan elektrikli bisikletlerin sayısı

3k

, toplam bisiklet sayısı ise

5k

bulunur. Dolayısıyla elektrikli bisikletler tüm bisikletlerin %60'ını oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Elektrikli ve standart bisiklet sayıları için değişkenler tanımlayıp kiralanan bisiklet miktarlarını yüzde cinsinden ifade etmek.

Elektrikli bisiklet sayısı

E

iken kiralanan elektrikli bisiklet sayısı

0,4E

; standart bisiklet sayısı

S

iken kiralanan standart bisiklet sayısı

0,2S

olur.

Yüzde oranlarını bisiklet sayıları cinsinden cebirsel ifadelere dönüştürmek için.

2

Kiralanan bisiklet sayıları arasındaki 3 katlık ilişkiyi kullanarak bir denklem kurmak ve değişkenler arasındaki oranı bulmak.

0,4E = 3 \times 0,2S \Rightarrow 0,4E = 0,6S \Rightarrow 2E = 3S

. Buradan

E = 3k

ve

S = 2k

oranları elde edilir.

Elektrikli bisiklet sayısının standart bisiklet sayısına oranını belirlemek için.

3

Elektrikli bisiklet sayısının toplam bisiklet sayısına oranını hesaplamak ve yüzde değerine dönüştürmek.

Toplam bisiklet sayısı

3k + 2k = 5k

olur. Elektrikli bisikletlerin oranı

\frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} = \frac{60}{100}

yani

\%60

olarak bulunur.

Soruda istenen yüzde oranını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki farklı grubun belirli yüzdeleri üzerinden kurulan oran-orantı ve yüzde problemleri çözümü.

Soru 266Soru →

Bir doğal sabun üreticisi, ürettiği sabunları paketleyerek bir e-ticaret platformu üzerinden satmaktadır. Üreticinin maliyet ve satış süreçlerine dair bilgileri aşağıda verilmiştir:

* Her bir kalıp sabunun üretim maliyeti $7$ TL'dir.
* Sabunlar, içinde $4$ adet kalıp sabun bulunan paketler hâlinde satılmaktadır ve her bir paketleme kutusunun maliyeti $2$ TL'dir.
* E-ticaret platformu, satılan her paket için satış fiyatı üzerinden $\%10$ komisyon almaktadır.
* Platform üzerinden satılan her bir paket için satıcıdan $4$ TL sabit kargo ücreti kesilmektedir.

Bu üretici, e-ticaret platformu üzerinden sattığı $1$ paket sabundan, bu pakete ait toplam maliyet (üretim, kutu, komisyon ve kargo maliyetlerinin toplamı) üzerinden $\%50$ kâr elde etmeyi hedeflemektedir.

Buna göre, üreticinin hedeflediği kârı elde edebilmesi için $1$ paket sabunun e-ticaret platformundaki satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Hedeflenen kâr��n elde edilebilmesi için 1 paket sabunun e-ticaret platformundaki satış fiyatı 60 TL olmalıdır.

Satış fiyatına

S

dersek, platform komisyonu

0{}1S

olur. Sabit maliyetler olan sabun üretimi (

4 \times 7 = 28

TL), kutu (

2

TL) ve kargo (

4

TL) toplamda

34

TL yapar. Toplam maliyet

M = 34 + 0{}1S

olur. Maliyet üzerinden

\%50

kâr elde etmek için satış fiyatı, maliyetin

1{}5

katı olmalıdır. Buradan

S = 1{}5 \times (34 + 0{}1S)

denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde

S = 60

TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bir paketin platform dışı sabit maliyetlerini hesaplayın.

4 \times 7 \text{ TL (sabunlar)} + 2 \text{ TL (kutu)} + 4 \text{ TL (kargo)} = 34 \text{ TL}

Platform komisyonu dışındaki tüm maliyet unsurlarının toplamını bulmak için.

2

Satış fiyatını

S

olarak tanımlayıp platform komisyonunu ve toplam maliyeti

S

cinsinden yazın.

Komisyon =

0{}1S

, Toplam Maliyet (

M

) =

34 + 0{}1S

Platform komisyonu satış fiyatı üzerinden kesildiği için toplam maliyeti satış fiyatına bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek gerekir.

3

Toplam maliyet üzerinden

\%50

kâr elde etme şartını bir denklemle kurun.

S = M + 0{}5M \implies S = 1{}5M \implies S = 1{}5 \times (34 + 0{}1S)

Maliyet üzerinden %50 kâr elde etmek, satış fiyatının maliyetin 1,5 katına eşit olması anlamına gelir.

4

Denklemi çözerek satış fiyatını hesaplayın.

S = 51 + 0{}15S \implies 0{}85S = 51 \implies S = \frac{51}{0{}85} = 60

Bilinmeyen satış fiyatını yalnız bırakarak hedef değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde maliyet, komisyon, kargo ve kâr yüzdesi arasındaki ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 267Soru →

Kemal, Lale ve Mine isimli üç kardeşin bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kemal'in bugünkü yaşı, Lale'nin bugünkü yaşının $2$ katından $9$ eksiktir.
* Kemal, Mine'nin bugünkü yaşındayken; Lale'nin yaşı, Mine'nin o günkü yaşının $2$ katıydı.
* Mine, Lale'nin bug��nkü yaşına geldiğinde; Kemal ile Lale'nin yaşları toplamı $54$ olacaktır.

Buna göre, Kemal'in bugünkü yaşı kaçtır?

23

26

29

31

33

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Kemal'in bugünkü yaşı 29'dur.

Kemal'in bugünkü yaşına K, Lale'nin yaşına L, Mine'nin yaşına M denildiğinde; verilen bilgiler doğrultusunda K = 2L - 9, Kemal'in Mine'nin yaşında olduğu geçmiş zamanda K + L = 3M bağıntısı ve Mine'nin Lale'nin yaşına geleceği gelecekte ise Kemal ile Lale'nin yaşları toplamı üzerinden K + 3L - 2M = 54 denklemi kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde Lale'nin yaşı 19, Mine'nin yaşı 16 ve Kemal'in yaşı 29 olarak bulunur. Bu nedenle Kemal'in bugünkü yaşı 29'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve birinci denklemin kurulması

Kemal'in bugünkü yaşı

K

, Lale'nin

L

ve Mine'nin

M

olsun. Birinci bilgiye göre:

K = 2L - 9

olur.

Kardeşlerin bugünkü yaşları arasında doğrusal bir ilişki kurarak cebirsel ifadeler elde etmek için.

2

Geçmişe gidilerek ikinci denklemin elde edilmesi

Kemal, Mine'nin bugünkü yaşındayken (

K - M

yıl önce); Lale'nin yaşı

L - (K - M) = L - K + M

ve Mine'nin yaşı

M - (K - M) = 2M - K

olur. Verilen bilgiye göre:

L - K + M = 2(2M - K) \implies L - K + M = 4M - 2K \implies K + L = 3M

bulunur.

Yaş farkının zamanla değişmediği gerçeğini kullanarak geçmişteki yaşlar arasında oran kurmak için.

3

Geleceğe gidilerek üçüncü denklemin elde edilmesi

Mine'nin Lale'nin bugünkü yaşına gelmesi için

L - M

yıl geçmelidir. Bu süre sonunda Kemal'in yaşı

K + (L - M)

, Lale'nin yaşı ise

L + (L - M) = 2L - M

olur. Bu iki yaşın toplamı 54 olduğuna göre:

(K + L - M) + (2L - M) = 54 \implies K + 3L - 2M = 54

elde edilir.

Gelecekte geçen sürenin tüm bireylerin yaşına eşit şekilde eklendiğini uygulayarak denklem oluşturmak için.

4

Denklem sisteminin çözülmesi

K + L = 3M \implies K = 3M - L

ifadesini üçüncü denklemde yerine yazalım:

(3M - L) + 3L - 2M = 54 \implies 2L + M = 54

olur. Ayrıca birinci denklem olan

K = 2L - 9

ifadesini

K + L = 3M

bağıntısında yazarsak:

(2L - 9) + L = 3M \implies 3L - 9 = 3M \implies M = L - 3

buluruz.

M = L - 3

değerini

2L + M = 54

denkleminde yerine koyduğumuzda:

2L + (L - 3) = 54 \implies 3L = 57 \implies L = 19

bulunur. Buradan

M = 19 - 3 = 16

ve Kemal'in bugünkü yaşı

K = 2(19) - 9 = 29

olarak hesaplanır.

Elde edilen tüm bilinmeyenli denklemleri ortak çözerek istenen Kemal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının aynı miktarda artması veya azalması, iki kişi arasındaki yaş farkının ise hiçbir zaman değişmemesidir.

Soru 268Soru →

Bir şirketteki A ve B projelerinde çalışan iki mühendisin yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı, B projesindeki mühendisin bugünkü yaşının $2$ katından $4$ eksiktir.
* B projesindeki mühendis, A projesindeki mühendisin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı $68$ olacaktır.

Buna göre, A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı kaçtır?

24

28

32

40

44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı 28'dir.

B projesindeki mühendisin bugünkü yaşına

x

denilirse, A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı

2x - 4

olur. B'nin A'nın yaşına gelmesi için

(2x - 4) - x = x - 4

yıl geçmelidir. Bu süre sonunda B'nin yaşı

2x - 4

, A'nın yaşı ise

(2x - 4) + (x - 4) = 3x - 8

olacaktır. Gelecekteki yaşlarının toplamı

(2x - 4) + (3x - 8) = 5x - 12

olur. Bu toplamı

68

'e eşitlediğimizde

5x - 12 = 68 \implies 5x = 80 \implies x = 16

bulunur. A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı da

2(16) - 4 = 28

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

B projesindeki mühendisin bugünkü yaşına

x

diyerek, A projesindeki mühendisin bugünkü yaşını bu değişken cinsinden ifade edelim.

B projesindeki mühendisin bugünkü yaşı

x

ise, A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı

2x - 4

olur.

Soruda verilen birinci bilgiye göre A projesindeki mühendisin yaşı, B projesindekinin 2 katından 4 eksiktir.

2

İki mühendisin yaşları arasındaki farkı bulalım ve B projesindeki mühendisin, A projesindeki mühendisin yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi belirleyelim.

Geçmesi gereken süre:

(2x - 4) - x = x - 4

yıldır.

B projesindeki mühendisin yaşı

x

iken

2x - 4

yaşına ulaşması için aradaki fark kadar yıl geçmelidir.

3

Belirlenen süre kadar yıl geçtikten sonra her iki mühendisin gelecekteki yaşlarını ifade edip toplayalım.

x - 4

yıl sonra:
* B projesindeki mühendisin yaşı:

2x - 4

* A projesindeki mühendisin yaşı:

(2x - 4) + (x - 4) = 3x - 8

Yaşlar toplamı:

(2x - 4) + (3x - 8) = 5x - 12

olur.

Zaman geçtikçe her iki kişinin de yaşı ayn�� miktarda artar.

4

Gelecekteki yaşlar toplamını verilen 68 değerine eşitleyerek

x

değerini bulalım.

5x - 12 = 68 \implies 5x = 80 \implies x = 16

bulunur.

Sorudaki ikinci bilgiye göre bu gelecekteki yaşlar toplamı 68'dir.

5

Bulunan

x

değerini kullanarak A projesindeki mühendisin bugünkü yaşını hesaplayalım.

A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı:

2(16) - 4 = 28

olarak bulunur.

A projesindeki mühendisin bugünkü yaşı için kurulan

2x - 4

ifadesinde

x = 16

yazılır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkı zamanla değişmez. Her iki kişi de geçen yıllar boyunca aynı miktarda yaşlanır.

Soru 269Soru →

Bir butik sahibi, kendi tasarladığı elbiseleri bir e-ticaret sitesi üzerinden satmaktadır. Bu elbiselerin maliyet ve satış süreçleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir elbisenin kumaş ve dikim dahil üretim maliyeti $300$ TL'dir.
* Butik sahibi, elbiselerin satış fiyatını maliyet üzerinden $\%60$ kâr ekleyerek belirlemiştir.
* E-ticaret sitesi, satılan her bir elbise için (etiket fiyatı üzerinden) $\%10$ komisyon kesmektedir. Komisyon yalnızca satışı kesinleşen ürünler için alınmakta, iade edilen ürünlerden komisyon alınmamaktadır.
* Satılan her bir ürün için elbise başına sabit $60$ TL kargo ücreti alınmakta ve bu ücret butik sahibi tarafından karşılanmaktadır.
* Bu siteden alınan elbiselerin $\%20$ 'si müşteriler tarafından iade edilmektedir. İade edilen elbiseler hasarsız olduğundan tekrar satılabilmektedir ancak bu elbiseler için gidiş ve dönüş kargo ücretlerinin tamamı (toplam $120$ TL) yine butik sahibi tarafından ödenmektedir.

Buna göre, butik sahibinin kesinleşen $1$ adet elbise satışı başına elde ettiği net kâr, elbisenin üretim maliyetinin yüzde kaçıdır?

10

14

15

24

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Butik sahibinin kesinleşen 1 adet elbise satışı başına elde ettiği net kâr, üretim maliyetinin %14'üdür.

Kesinleşen satışların toplam gelirinden komisyon, kargo maliyeti (iadeler dahil) ve üretim maliyeti çıkarıldığında net kâr 168 TL olarak hesaplanır. Bu kâr 4 adet kesinleşen satıştan elde edildiği için ürün başına düşen net kâr 42 TL'dir. 42 TL'lik net kârın 300 TL'lik maliyete oranı hesaplandığında net kâr oranının %14 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Elbisenin etiket fiyatını hesaplamak.

Maliyet 300 TL olup %60 kâr eklendiğinde etiket fiyatı:

300 \times 1.60 = 480

TL olur.

Soruda komisyon ve kâr oranlarının etiket fiyatı üzerinden uygulanacağı belirtilmiştir.

2

Hesaplama kolaylığı için 5 siparişlik bir senaryo kurgulamak.

Müşterilerin iade oranı %20 olduğundan, 5 siparişin %20'si olan 1 ürün iade edilirken, 4 ürünün satışı kesinleşir.

İade oranının ve kargo maliyetlerinin net olarak yansıtılması için sipariş adetleri üzerinden analiz yapmak işlemi kolaylaştırır.

3

Kesinleşen satışların toplam gelirini ve bu satışlardan kesilen komisyonu hesaplamak.

Gelir:

4 \times 480 = 1920

TL. Komisyon (sadece kesinleşenlerden alınır):

1920 \times 0.10 = 192

TL. Komisyon sonrası kalan gelir:

1920 - 192 = 1728

TL.

Komisyonun yalnızca kesinleşen satışlardan kesildiği bilgisi kullanılarak net gelire ulaşılması gerekir.

4

Toplam kargo maliyetini hesaplamak.

Kesinleşen 4 satış için giden kargo:

4 \times 60 = 240

TL. İade edilen 1 satış için gidiş-dönüş kargo:

1 \times 120 = 120

TL. Toplam kargo maliyeti:

240 + 120 = 360

TL.

İade edilen ürün satılmasa bile satıcıya gidiş-dönüş kargo maliyeti yüklediği hesaba katılmalıdır.

5

Toplam maliyet ve net kârı bularak maliyete oranlamak.

Üretim maliyeti (sadece kesinleşen 4 ürün için):

4 \times 300 = 1200

TL (iade edilen ürün satıcıda kaldığı için üretim maliyeti zarar yazmaz). Net kâr:

1728 - 360 - 1200 = 168

TL. Kesinleşen 1 ürün başına net kâr:

168 / 4 = 42

TL. Kâr yüzdesi:

(42 / 300) \times 100 = 14

.

Elde edilen net kârın, kesinleşen ürünlerin üretim maliyetine oranlanması ile nihai kâr yüzdesi bulunur.

Anahtar Kavram

Kâr-Zarar Problemleri

Soru 270Soru →

Bir belediye otobüsü, $A$ durağı ile $B$ durağı arasındaki $15\text{ km}$ lik mesafeyi saatte sabit $60\text{ km}$ hızla gitmeyi planlamaktadır. Ancak yol üzerindeki yoğun trafik nedeniyle otobüs, yolun ilk $6\text{ km}$ lik kısmını saatte sabit $40\text{ km}$ hızla gidebilmiştir.

**Buna göre, otobüsün planlanan sürede B durağına ulaşabilmesi için yolun kalan kısmını saatte kaç $\text{km}$ sabit hızla gitmesi gerekir?**

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Otobüsün planlanan sürede B durağına ulaşabilmesi için yolun kalan kısmında saatte 90 km sabit hızla gitmesi gerekir.

Planlanan süre 15 dakikadır. Otobüs ilk 6 km'de 9 dakika harcadığı için geriye 6 dakikalık süresi kalmıştır. Kalan 9 km'lik yolu 6 dakikada (1/10 saat) tamamlayabilmesi için hızının 90 km/saat olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Planlanan toplam seyahat süresini hesaplamak.

Planlanan süre

t_{\text{toplam}} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\text{ saat} = 15\text{ dakika}

olarak bulunur.

Otobüsün B durağına varması gereken toplam süreyi belirlemek.

2

Yolun ilk kısmında geçen süreyi ve geriye kalan yolu hesaplamak.

İlk kısım için geçen süre

t_1 = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}\text{ saat} = 9\text{ dakika}

ve kalan yol

15 - 6 = 9\text{ km}

olarak bulunur.

Kalan yol miktarını ve bu yola ayrılması gereken süreyi bulmak.

3

Kalan mesafeyi kalan sürede tamamlamak için gereken hızı hesaplamak.

Geriye kalan süre

t_2 = 15 - 9 = 6\text{ dakika} = \frac{1}{10}\text{ saat}

olduğundan, kalan yolda gidilmesi gereken hız

v_2 = \frac{9}{\frac{1}{10}} = 90\text{ km/saat}

olarak hesaplanır.

Zamanında varış sağlamak için gereken sürati belirlemek.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki (

x = v \cdot t

)

Soru 271Soru →

Bir pastanede bir günde üretilen poğaçaların $\%60$ 'ı satılmıştır. Bu pastanede o gün satılmayan poğaça sayısı $48$ olduğuna göre, üretilen toplam poğaça sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Pastanede o gün üretilen toplam poğaça sayısı 120'dir.

Satılmayan poğaçaların oranı %40'tır ve bu miktar 48 adete karşılık gelmektedir. Tamamını bulmak için kurulan orantı veya denklem yardımıyla toplam poğaça sayısı 120 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Satılmayan poğaçaların oranını belirleme

%40

Toplam poğaça miktarının tamamı %100'dür. Bu miktardan satılan %60'lık oran çıkarıldığında geriye satılmayan poğaçaların oranı kalır.

2

Toplam poğaça sayısını hesaplama

120

Toplam poğaça sayısı x ise, x'in %40'ı 48'dir. x * (40/100) = 48 denklemi çözüldüğünde x = 120 adet olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Yüzde oranı ve kalan miktar ilişkisiyle bütünün değerini hesaplama

Soru 272Soru →

Bir babanın bugünkü yaşı, oğlunun bugünkü yaşının $3$ katıdır. Oğlu babasının bugünkü yaşına geldiğinde babası $60$ yaşında olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?

30

36

40

45

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Babanın bugünkü yaşı 36'dır.

Oğulun yaşı

x

, babanın yaşı

3x

olarak alındığında, oğul babanın yaşına gelene kadar geçen süre

2x

yıldır. Bu sürede babanın yaşı da

2x

artarak

5x

olur.

5x = 60

ise

x = 12

bulunur. Babanın bugünkü yaşı

3x = 36

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Oğulun bugünkü yaşına

x

diyerek babanın bugünkü yaşını belirleyelim.

Oğul:

x

, Baba:

3x

Baba ile oğul arasındaki yaş ilişkisini cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Oğulun babasının bugünkü yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi hesaplayalım.

3x - x = 2x

yıl geçmelidir.

Gelecekteki durum için kaç yıl sonrasına gidileceğini belirlemek için.

3

Geçen

2x

yıllık süre zarfında babanın da yaşlanacağını hesaba katarak babanın gelecekteki yaşını bulalım ve verilen yaşa eşitleyelim.

3x + 2x = 5x \implies 5x = 60 \implies x = 12

Babanın gelecekteki yaşı

60

olarak verildiği için denklem kurup çözüme ulaşmak gerekir.

4

Bulunan

x

değerini kullanarak babanın bugünkü yaşını hesaplayalım.

3 \times 12 = 36

Soruda babanın bugünkü yaşı sorulduğu için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zamanla geçen sürenin her iki kişi için de aynı olması ve yaş farkının sabit kalması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 273Soru →

Bir kırtasiyeci, A ve B marka olmak üzere iki farklı tür defter satın almıştır. Bu defterlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A marka bir adet defterin alış fiyatı, B marka bir adet defterin alış fiyatının $\%80$ 'ine eşittir.
* Kırtasiyeci, satın aldığı A marka defterlerin $\%10$ 'unun, B marka defterlerin ise $\%20$ 'sinin taşıma sırasında sayfalarının yırtıldığını ve kullanılamaz hale geldiğini fark etmiştir.
* Kullanılamaz durumdaki defterleri çöpe atan kırtasiyeci; sağlam olan A marka defterlerin her birini $\%20$ kârla, sağlam olan B marka defterlerin her birini ise $\%25$ kârla satmıştır.
* Kırtasiyeci, tüm defterlerin satışından genel toplamda $\%4$ kâr elde etmiştir.

Buna göre, kırtasiyecinin satın aldığı A marka defter sayısının B marka defter sayısına oranı kaçtır?

\frac{3}{2}

\frac{5}{4}

\frac{4}{5}

\frac{5}{2}

\frac{6}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{4}$

Cevap

A marka defter sayısının B marka defter sayısına oranı 5/4'tür.

Doğru seçenekte verilen 5/4 oranı; defterlerin birim maliyetleri, sağlam kalan miktarları ve birim satış fiyatları denklemde yerine yazılarak kurulan genel kâr bağıntısının sadeleştirilmesi sonucunda elde edilen matematiksel olarak tutarlı orandır.

Adım Adım Çözüm

1

Defterlerin alış fiyatlarını ve değişkenleri belirlemek

B marka defterin birim alış fiyatı

100

TL olsun. Bu durumda A marka defterin birim alış fiyatı

80

TL olur. Satın alınan A marka defter sayısı

x

, B marka defter sayısı

y

olsun. Toplam maliyet:

80x + 100y

olur.

Yüzde hesaplamalarını doğru bir taban üzerinden başlatmak ve toplam maliyet fonksiyonunu kurmak için.

2

Sağlam kalan defter sayılarını ve bunların satış fiyatlarını hesaplamak

A marka defterlerin

\%10

'u kullanılamaz durumda olduğundan, sağlam defter miktarı

0,9x

'tir. Bir adet sağlam A'nın satış fiyatı

\%20

kârla

80 \times 1,20 = 96

TL olur. B marka defterlerin

\%20

'si kullanılamaz durumda olduğundan, sağlam defter miktarı

0,8y

'dir. Bir adet sağlam B'nin satış fiyatı

\%25

kârla

100 \times 1,25 = 125

TL olur.

Yalnızca sağlam ürünlerin satışı gerçekleşeceği için, elde edilecek gelirlerin birim ve toplam bazda hesaplanması gerekir.

3

Toplam satış gelirini ve genel kâr denklemini oluşturmak

Toplam Gelir =

0,9x \times 96 + 0,8y \times 125 = 86,4x + 100y

olur. Genel kâr

\%4

olduğuna göre toplam gelir, toplam maliyetin

1,04

katı olmalıdır:

86,4x + 100y = 1,04 \times (80x + 100y)

Elde edilen gerçek toplam gelir ile genel kâr hedefine göre olması gereken gelir arasındaki eşitliği kurmak için.

4

Denklemi çözerek x/y oranını bulmak

86,4x + 100y = 83,2x + 104y \Rightarrow 3,2x = 4y \Rightarrow 32x = 40y \Rightarrow 4x = 5y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{4}

bulunur.

A marka defter sayısının B marka defter sayısına olan oranını nihai olarak bulmak için.

Anahtar Kavram

Yüzde Problemlerinde Alış-Satış ve Fire Dengesi

Soru 274Soru →

Bir fırıncı, $4$ TL'ye mal ettiği bir ekmeği $\%50$ kârla satmaktadır. Daha sonra un fiyatlarındaki artış nedeniyle ekmeğin maliyeti $\%25$ artmıştır. Fırıncı ekmeğin satış fiyatını değiştiremediğine göre, ekmeğin satışından elde ettiği yeni kâr oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Ekmeğin satışından elde edilen yeni kâr oranı %20'dir.

Yeni maliyet 5 TL, satış fiyatı 6 TL'dir. Elde edilen kâr 1 TL olup, bu kârın yeni maliyet olan 5 TL'ye oranı 1/5 = %20'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Ekmeğin ilk satış fiyatını hesaplamak.

Satış Fiyatı = 6 TL

Maliyet 4 TL olup %50 kârla satıldığı için satış fiyatı 4 + 2 = 6 TL olur.

2

Ekmeğin artan yeni maliyetini hesaplamak.

Yeni Maliyet = 5 TL

Maliyet %25 arttığı için yeni maliyet 4 + 1 = 5 TL olur.

3

Yeni kâr miktarını ve kâr yüzdesini hesaplamak.

Yeni Kâr Oranı = %20

Yeni maliyet 5 TL ve satış fiyatı 6 TL'dir. Kâr miktarı 1 TL'dir. Kâr oranı ise 1 / 5 = %20 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar oranı, aksi belirtilmedikçe maliyet fiyatı üzerinden hesaplanır. Maliyet değiştiğinde kâr oranının yeni maliyet değerine göre güncellenmesi gerekir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 275Soru →

Bir bisiklet kulübünün antrenman programında dört bisikletçi (Deniz, Eylül, Fırat ve Gizem), uzunluğu sabit olan bir parkurda pedal çevirmiştir. Bisikletçilerin sürüş planları ve hızları ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Deniz: Parkur mesafesinin ilk yarısını $v$ sabit hızıyla, ikinci yarısını ise $2v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Eylül: Parkur mesafesinin $\frac{1}{3}$ 'ünü $v$ sabit hızıyla, kalan kısmını ise $3v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Fırat: Parkur mesafesinin $\frac{2}{5}$ 'ini $v$ sabit hızıyla, kalan kısmını ise $2v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Gizem: Parkurdaki toplam sürüş süresinin ilk yarısını $v$ sabit hızıyla, kalan yarısını ise $3v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.

Buna göre, bisikletçilerin tüm sürüşleri boyunca elde ettikleri ortalama hızları yanlarındaki matematiksel ifadelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Deniz'in ortalama hızı

\frac{4}{3}v

, Eylül'ün ortalama hızı

\frac{9}{5}v

, Fırat'ın ortalama hızı

\frac{10}{7}v

ve Gizem'in ortalama hızı

2v

ifadeleriyle eşleşir.

Ortalama hız her zaman alınan toplam yolun geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Deniz, Eylül ve Fırat yolları eşit veya belirli oranlarda böldükleri için etaplardaki süreler farklı olmuş ve ağırlıklı harmonik ortalama mantığıyla ortalama hızlar sırasıyla

\frac{4}{3}v

,

\frac{9}{5}v

ve

\frac{10}{7}v

olmuştur. Gizem ise toplam sürüş süresini iki eşit parçaya böldüğü için ortalama hızı doğrudan hızların aritmetik ortalaması olan

2v

çıkmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Deniz için ortalama hız�� hesaplama

Deniz'in ortalama hızı:

V_{\text{Deniz}} = \frac{4}{3}v

Yolun tamamına

x

diyelim. İlk yarıyı (

x/2

)

v

hızıyla

t_1 = \frac{x}{2v}

sürede, ikinci yarıyı (

x/2

)

2v

hızıyla

t_2 = \frac{x}{4v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{3x}{4v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Deniz}} = \frac{x}{3x/4v} = \frac{4}{3}v

olarak elde edilir.

2

Eylül için ortalama hızı hesaplama

Eylül'ün ortalama hızı:

V_{\text{Eylül}} = \frac{9}{5}v

Yolun tamamına

x

diyelim. Yolun

\frac{1}{3}

'ünü

v

hızıyla

t_1 = \frac{x}{3v}

sürede, kalan

\frac{2}{3}

'ünü

3v

hızıyla

t_2 = \frac{2x}{9v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{3x+2x}{9v} = \frac{5x}{9v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Eylül}} = \frac{x}{5x/9v} = \frac{9}{5}v

olarak elde edilir.

3

Fırat için ortalama hızı hesaplama

Fırat'ın ortalama hızı:

V_{\text{Fırat}} = \frac{10}{7}v

Yolun tamamına

x

diyelim. Yolun

\frac{2}{5}

'ini

v

hızıyla

t_1 = \frac{2x}{5v}

sürede, kalan

\frac{3}{5}

'ünü

2v

hızıyla

t_2 = \frac{3x}{10v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{4x+3x}{10v} = \frac{7x}{10v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Fırat}} = \frac{x}{7x/10v} = \frac{10}{7}v

olarak elde edilir.

4

Gizem için ortalama hızı hesaplama

Gizem'in ortalama hızı:

V_{\text{Gizem}} = 2v

Sürüş süresinin tamamına

t

diyelim. İlk yarısında (

t/2

)

v

hızıyla

x_1 = v \cdot \frac{t}{2}

yol alır. İkinci yarısında (

t/2

)

3v

hızıyla

x_2 = 3v \cdot \frac{t}{2}

yol alır. Toplam yol

x_{\text{toplam}} = 2v \cdot t

olur. Ortalama hız

V_{\text{Gizem}} = \frac{2vt}{t} = 2v

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

). Yolun bölündüğü durumlarda hızların basit aritmetik ortalaması alınamaz, ancak sürenin eşit bölündüğü durumlarda aritmetik ortalamaya eşit olur.

Soru 276Soru →

Bir okulda düzenlenecek tören için 1'den 9'a kadar numaralandırılmış 9 öğrenci, her sırada 3 kişi olacak biçimde 3 satır ve 3 sütundan oluşan bir kare düzende yan yana dizilecektir.

Bu dizilimde;
* Her satırdaki öğrencilerin yaka kartı numaraları soldan sağa doğru artmaktadır.
* Her sütundaki öğrencilerin yaka kartı numaraları önden arkaya (yukarıdan aşağıya) doğru artmaktadır.

Buna göre, tam ortada bulunan öğrencinin yaka kartı numarasının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

9

12

15

18

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Ortadaki öğrencinin yaka kartı numarasının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.

Ortadaki hücre olan ikinci satır ikinci sütundaki sayının, sol üstündeki en az 3 sayıdan büyük ve sağ altındaki en az 3 sayıdan küçük olması gerektiği analiz edilir. Bu durum, ortadaki sayının en az 4 ve en fazla 6 olmasını zorunlu kılar. Bu değerlerin her biri için kurallara uygun geçerli birer dizilim yapılabildiği için ortadaki sayının alabileceği değerler 4, 5 ve 6'dır. Bunların toplamı ise 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tablo hücrelerini ve kuralları matematiksel olarak modelleme.

Tablodaki hücreleri satır ve sütun sırasına göre

x_{ij}

(

i

. satır,

j

. sütun) olarak adlandıralım. Bize sorulan tam ortadaki hücre

x_{22}

'dir.

Sıralama ilişkilerini net bir şekilde görebilmek için sembolik modelleme gereklidir.

2

Ortadaki hücreden küçük olmak zorunda olan hücreleri belirleyerek alt sınırı bulma.

Kurallar gereği,

x_{11} < x_{12} < x_{22}

ve

x_{11} < x_{21} < x_{22}

eşitsizlikleri yazılır. Dolayısıyla

x_{11}

,

x_{12}

ve

x_{21}

hücrelerindeki sayıların her biri

x_{22}

'den küçüktür. Bu durumda

x_{22}

hücresindeki sayıdan küçük olan en az 3 farklı sayı bulunmalıdır. Sayılar 1'den başladığı için

x_{22} \geq 4

olmalıdır.

Sol üst bölgedeki elemanların merkezdeki elemandan küçük olma zorunluluğunu analiz etmek için.

3

Ortadaki hücreden büyük olmak zorunda olan hücreleri belirleyerek üst sınırı bulma.

Benzer şekilde,

x_{22} < x_{23} < x_{33}

ve

x_{22} < x_{32} < x_{33}

eşitsizlikleri yazılır. Dolayısıyla

x_{23}

,

x_{32}

ve

x_{33}

hücrelerindeki sayılar��n her biri

x_{22}

'den büyüktür. Bu durumda

x_{22}

hücresindeki sayıdan büyük olan en az 3 farklı sayı bulunmalıdır. En büyük sayı 9 olduğu için

x_{22} \leq 6

olmalıdır.

Sağ alt bölgedeki elemanların merkezdeki elemandan büyük olma zorunluluğunu analiz etmek için.

4

Olası değerleri doğrulama ve toplamı hesaplama.

Ortadaki hücre (

x_{22}

) için olası değerler 4, 5 ve 6'dır. Bu değerlerin her biri için kurallara uyan dizilimler oluşturulabilir. Örneğin;

x_{22} = 4

için birinci satır [1, 2, 5], ikinci satır [3, 4, 7], üçüncü satır [6, 8, 9] dizilimi geçerlidir.

x_{22}

değerlerinin toplamı: 4 + 5 + 6 = 15 olarak bulunur.

Alt ve üst sınırların doğruluğunu örnek dizilimlerle teyit edip nihai cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sıralı matrislerde (Standart Young Tablosu yapısı) elemanların konumlarına göre eşitsizlik sınırlarının belirlenmesi ve mantıksal analiz.

Alternatif Yöntem

Matris elemanlarının simetri özelliğini kullanarak, ortadaki elemanın alabileceği en küçük değer olan 4 belirlendikten sonra, en büyük değerin de 10 - 4 = 6 olacağı doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 277Soru →

Bir dairesel pist etrafında saat yönünde 1'den 12'ye kadar numaralandırılmış 12 adet kutu yer almaktadır. Başlangıçta 2 numaralı kutuda bulunan bir oyun taşı, her adımda bulunduğu kutunun numarasının asal çarpanlarının toplamı kadar saat yönünde ilerletilmektedir. Eğer kutu numarası bir asal sayı ise, taş o asal sayının değeri kadar kutu ilerlemektedir. Buna göre, 100. ad��mın sonunda bu oyun taşı kaç numaralı kutuda bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Oyun taşı 100. adımın sonunda 10 numaralı kutuda bulunur.

Taşın ilk 5 adımdaki hareket sırasıyla 2 -> 4 -> 6 -> 11 -> 10 -> 5 şeklindedir. 5 numaralı kutudan sonraki adımda 5 bir asal sayı olduğundan 5 adım ilerlenerek tekrar 10 numaralı kutuya gelinir. Bu durum, 4. adımdan itibaren taşın 10 ve 5 kutuları arasında gidip geleceğini gösterir. 4. adımdan sonraki her çift adımda taş 10 numaralı kutuda, her tek adımda ise 5 numaralı kutuda olur. 100 bir çift sayı olduğundan 100. adımın sonunda taş 10 numaralı kutuda bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Taşın 2 numaralı kutudan başlayarak ilk adımlarını hesaplamak

1. adımda 4, 2. adımda 6, 3. adımda 11 numaralı kutuya ulaşılır.

Asal sayıların kendisi kadar, diğer sayıların ise asal çarpanların��n toplamı kadar ilerleme kuralını uygulamak.

2

4. ve 5. adımları hesaplayarak dairesel hareketin modüler aritmetik karşılıklarını bulmak

4. adımda 10, 5. adımda 5 numaralı kutuya ulaşılır.

Taşın 12 kutuluk pist üzerindeki konumunu dairesel döngüye uygun şekilde mod 12 kullanarak belirlemek.

3

6. ve 7. adımları hesaplayarak periyodik döngüyü tespit etmek

6. adımda tekrar 10, 7. adımda tekrar 5 numaralı kutuya ulaşılır.

Hareketin kendini tekrar eden bir periyoda girip girmediğini kontrol etmek.

4

100. adımın döngüdeki yerini belirlemek

100. adım sonunda taş 10 numaralı kutudadır.

Döngü 4. adımdan itibaren başladığından, 4 ve sonraki tüm çift numaralı adımların sonunda konum 10, tek numaralı adımların sonunda ise konum 5 olmaktadır.

Anahtar Kavram

Periyodik durumlar ve örüntüler içeren rutin olmayan problemlerin çözümü.

Soru 278Soru →

Bir kutuda üzerinde $2$ , $3$ , $5$ , $8$ ve $12$ yazan beş kart bulunmaktadır. Aslı bu kutudan rastgele iki kart seçip üzerindeki sayıları topluyor. Can ise kutuda kalan kartlardan rastgele ikisini seçip üzerindeki sayıları çarpıyor.

Buna göre, Aslı'nın bulduğu toplam ile Can'ın bulduğu çarpımın toplamı en az kaçtır?

11

18

19

21

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

En küçük toplam değeri 19 olarak bulunur.

En küçük toplamı elde etmek amacıyla büyüme hızı yüksek olan çarpım işlemi için en küçük sayılar olan

2

ve

3

seçilerek

2 \times 3 = 6

elde edilir. En büyük sayı olan

12

kullanılmayarak dışarıda bırakılır ve kalan

5

ile

8

sayıları Aslı tarafından seçilerek

5 + 8 = 13

toplamı bulunur. Bu iki değerin toplamı

13 + 6 = 19

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Aslı'nın bulduğu toplam ile Can'ın bulduğu çarpımın toplamını en az yapmak için strateji belirlenir.

Çarpma işlemi toplama işlemine göre daha hızlı büyüdüğü için Can'ın seçeceği sayıların mümkün olduğunca küçük olması gerekir. Ayrıca en büyük sayı olan

12

işleme dahil edilmeyip dışarıda bırakılmalıdır.

Çarpım büyüme hızını azaltmak ve toplamı minimize etmek.

2

Kalan

\{2, 3, 5, 8\}

sayıları arasından Can için en küçük iki sayı seçilerek ��arpım hesaplanır.

Can'ın seçtiği kartlar

2

ve

3

olur. Çarpımları:

2 \times 3 = 6

.

Çarpım sonucunu en küçük yapmak.

3

Geriye kalan

\{5, 8\}

sayıları Aslı için seçilerek toplam hesaplanır.

Aslı'nın seçtiği kartlar

5

ve

8

olur. Toplamları:

5 + 8 = 13

.

Kalan kartları toplama işleminde kullanmak.

4

Aslı'nın toplamı ile Can'ın çarpımının değerleri toplanır.

Toplam:

13 + 6 = 19

.

İstenen en küçük toplamı elde etmek.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 279Soru →

Bir tekstil atölyesinde üretilen bir seyahat valizinin üretim maliyeti, bir sırt çantasının üretim maliyetinden $\%20$ daha fazladır. Bu atölyede üretilen seyahat valizleri $\%30$ kârla, sırt çantaları ise $\%40$ kârla satılmaktadır.

Bu atölyede bir gün boyunca üretilen seyahat valizleri ve sırt çantalarının tamamı satılmış ve bu satışlardan elde edilen toplam kâr oranı $\%36$ olmuştur.

Buna göre, bu günde satılan sırt çantası adedinin seyahat valizi adedine oranı kaçtır?

\frac{3}{2}

\frac{9}{5}

\frac{5}{4}

\frac{4}{5}

\frac{5}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{5}$

Cevap

Sırt çantası adedinin seyahat valizi adedine oranı

\frac{9}{5}

'tir.

Sırt çantasının maliyeti

100x

, seyahat valizinin maliyeti

120x

olarak seçilirse sırt çantasından elde edilen kâr

40x

, seyahat valizinden elde edilen kâr

36x

olur. Sırt çantası adedi

c

ve seyahat valizi adedi

v

için toplam kârın toplam maliyete oranı

\%36

olarak eşitlendiğinde

40c + 36v = 36c + 43{}2v

eşitliğinden

4c = 7{}2v

ve buradan da sırt çantası adedinin seyahat valizi adedine oranı

\frac{9}{5}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sırt çantası ve seyahat valizinin birer adedinin maliyetlerini belirleme.

Sırt çantasının maliyeti

100x

ise seyahat valizinin maliyeti

120x

olur.

Seyahat valizinin maliyeti sırt çantasının maliyetinden

\%20

fazla olarak verilmiştir.

2

Her bir üründen elde edilen adet başına kâr miktarını belirleme.

Bir sırt çantasından elde edilen kâr

40x

, bir seyahat valizinden elde edilen kâr

36x

olur.

Sırt çantası

\%40

kârla (

100x \times 0{}40 = 40x

), seyahat valizi ise

\%30

kârla (

120x \times 0{}30 = 36x

) satılmaktadır.

3

Satış adetlerine göre toplam maliyet ve toplam kâr denklemini kurma.

Satılan sırt çantası adedi

c

ve seyahat valizi adedi

v

olsun. Toplam maliyet

100x \cdot c + 120x \cdot v

, toplam kâr ise

40x \cdot c + 36x \cdot v

olur.

Toplam kâr ve toplam maliyet, adetler ile adet başına düşen değerlerin çarpımlarının toplamıdır.

4

Toplam kâr oranını kullanarak denklemi çözme ve oranı bulma.

Toplam kâr oranı

\%36

olduğundan

40c + 36v = 0{}36 \cdot (100c + 120v) \implies 4c = 7{}2v \implies \frac{c}{v} = 1{}8 = \frac{9}{5}

bulunur.

Toplam kâr oranı, toplam kârın toplam maliyete bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Farklı maliyet ve kâr oranlarına sahip ürünlerin toplam kâr yüzdesinin, ağırlıklı ortalama mantığıyla denkleme dökülmesi.

Soru 280Soru →

Bir sinema salonundaki koltuklar, 1. sıranın en solundaki koltuktan 1 numara ile başlayarak soldan sağa doğru sırasıyla ardışık doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Her sıradaki koltuk sayısı birbirine eşittir ve bir sıradaki koltuklar dolduğunda numaralandırma bir sonraki sıranın en solundan devam etmektedir.

Bu salonda;
* Kemal, baştan 24. koltukta oturmaktadır ve oturduğu koltuk 3. sıradadır.
* Leman, baştan 53. koltukta oturmaktadır ve oturduğu koltuk 6. sıradadır.
* Meltem ise baştan 75. koltukta oturmaktadır ve oturduğu koltuk 8. sıradadır.

Buna göre, bu sinema salonunda her sırada kaç koltuk vardır?

8

9

10

11

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Her sırada 10 koltuk vardır.

Her sırada 10 koltuk olduğunda; Kemal 3. sırada (21-30 numaralı koltuklar), Leman 6. sırada (51-60 numaralı koltuklar) ve Meltem 8. sırada (71-80 numaralı koltuklar) oturur. Bu durum soruda verilen tüm öncülleri eksiksiz sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Her sıradaki koltuk sayısını

x

olarak belirleyelim ve her bir kişinin oturduğu sıra numarasına göre eşitsizlikleri kuralım.

Kemal için

2x < 24 \le 3x

, Leman için

5x < 53 \le 6x

ve Meltem için

7x < 75 \le 8x

elde edilir.

Bir kişinin

n

. sırada oturması, kendisinden önceki

n-1

sıranın tamamen dolu olduğunu ve kendi numarasının ilk

n-1

sıranın toplam koltuk sayısından büyük, ilk

n

sıranın toplam koltuk sayısından ise küçük veya eşit olduğunu gösterir.

2

Kemal, Leman ve Meltem için kurulan eşitsizlik sistemlerini ayrı ayrı çözelim.

Kemal'den

8 \le x < 12

; Leman'dan

8,83 < x < 10,6

; Meltem'den

9,375 \le x < 10,71

elde edilir.

3x \ge 24 \implies x \ge 8

ve

2x < 24 \implies x < 12

. Benzer şekilde

6x \ge 53 \implies x \ge 8,83

ve

5x < 53 \implies x < 10,6

. Son olarak

8x \ge 75 \implies x \ge 9,375

ve

7x < 75 \implies x < 10,71

.

3

Elde edilen tüm aralıkların kesişimini alarak ortak

x

tam sayı değerini bulalım.

x = 10

olarak bulunur.

Tüm aralıkları sağlayan ortak değerler

9,375 \le x < 10,6

aralığındadır. Bu aralıktaki tek pozitif tam sayı 10'dur.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan problemlerde aralık ve eşitsizlik analizi kullanarak bilinmeyen sınır değerlerini belirleme

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm