Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 13

Bir elektrikli otomobilin batarya tasarruf modu ve performans modu olmak üzere iki farklı sürüş modu vardır.

Bu araçla A şehrinden B şehrine doğru yola çıkan Selim, yolculuğuyla ilgili şunları planlamıştır:
- Yolun ilk üçte birini batarya tasarrufu sağlamak amacıyla tasarruf modunda saatte $30\text{ km}$ sabit hızla gidecektir.
- Yolun kalan kısmını ise performans modunda saatte $90\text{ km}$ sabit hızla tamamlayacaktır.

Selim planladığı şekilde yolculuğunu tamamladığına göre, aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

36

45

54

60

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $54$

Cevap

Ortalama hızı saatte 54 km olarak belirten seçenek doğrudur.

Toplam yol

3x

kabul edildiğinde,

30\text{ km/s}

hızla gidilen

x

km'lik ilk kısım

\frac{x}{30}

saat sürer.

90\text{ km/s}

hızla gidilen

2x

km'lik ikinci kısım ise

\frac{2x}{90} = \frac{x}{45}

saat sürer. Toplam süre bu iki sürenin toplamı olan

\frac{x}{18}

saattir. Toplam yol olan

3x

değeri, toplam süreye bölündüğünde ortalama hız saatte

54\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamı için değişken tanımlanması

Yolun tamamı

3x

km olsun. Bu durumda ilk üçte birlik kısım

x

km, kalan kısım ise

2x

km olur.

Yol oranlarının kolayca bölünebilmesi ve işlemlerin rasyonel yürütülebilmesi için toplam yol

3x

olarak seçilmiştir.

2

Yolun her bir bölümü için geçen sürelerin belirlenmesi

Tasarruf modunda geçen süre

t_1 = \frac{x}{30}

saat, performans modunda geçen süre

t_2 = \frac{2x}{90} = \frac{x}{45}

saat olur.

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle (t = x/V) hesaplanır.

3

Yolculuk boyunca geçen toplam sürenin hesaplanması

Toplam süre

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{30} + \frac{x}{45} = \frac{3x + 2x}{90} = \frac{5x}{90} = \frac{x}{18}

saat olarak bulunur.

Farklı hızlarla alınan yollardaki sürelerin toplanarak toplam hareket süresinin elde edilmesi gerekir.

4

Ortalama hız formülünün uygulanması

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{3x}{\frac{x}{18}} = 3x \cdot \frac{18}{x} = 54\text{ km/s}

bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması değil, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranıdır.

Tahmini Süre:1m 50s

Soru 242Soru →

Bir bilgisayar programında sisteme girilen her $x$ pozitif tam sayısına sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanarak yeni sayılar elde edilmektedir:

* $x$ çift ise sayı 2'ye bölünür.
* $x$ tek ise sayıya 7 eklenir.

Sisteme başlangıçta bir $A$ pozitif tam sayısı giriliyor ve elde edilen her sayıya aynı kurallar uygulanarak bir sayı dizisi oluşturuluyor. Bu işlem ardışık olarak uygulanarak 5. adımın sonunda elde edilen sayı başlangıçtaki $A$ sayısına eşit oluyor.

Buna göre, bu koşulu sağlayan $A$ sayılarının toplamı kaçtır?

8

21

28

36

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Koşulu sağlayan sayıların toplamı 36'dır.

Doğru cevap 36'dır. Sisteme girilen sayı çift ise yarıya indirilir, tek ise 7 eklenir. 5 adımda başlangıç değerine geri dönen tek döngü {3, 10, 5, 12, 6} kümesidir. Bu döngüdeki herhangi bir sayı başlangıç değeri olarak seçildiğinde 5 adım sonra yine kendisine ulaşılmaktadır. Bu sayıların toplamı 3 + 5 + 6 + 10 + 12 = 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek ve çift sayılara uygulanan kuralları analiz edelim.

Bir tek sayıya uygulanan işlem (7 ekleme) sonucunda elde edilen sayı her zaman çifttir. Dolayısıyla, bir tek sayıdan hemen sonraki adım kesinlikle bölme işlemidir. Bu durum, döngü içerisinde ardışık iki kez ekleme işlemi yap��lamayacağını gösterir.

Döngüdeki işlem kalıplarının sınırlarını belirlemek için.

2

5 adımlı döngünün işlem dizisini belirleyelim.

Ardışık iki ekleme olamayacağından, 5 adımda en fazla 2 ekleme (E) ve en az 3 bölme (B) yapılabilir. Döngüsel kaymalar hariç bu durumdaki tek işlem kalıbı E, B, E, B, B şeklindedir.

Sayıyı başlangıç değerine götürecek cebirsel denklemi kurmak için.

3

E, B, E, B, B işlem dizisi için denklemi kuralım ve çözelim.

(((x+7)/2 + 7)/2)/2 = x \implies (x+21)/8 = x \implies 7x = 21 \implies x = 3

bulunur.

Döngüyü oluşturan elemanlardan birini tespit etmek için.

4

Başlangıç değeri 3 olan döngünün tüm elemanlarını listeleyelim.

3 \to 10 \to 5 \to 12 \to 6 \to 3

dizisi elde edilir. Bu döngüdeki 5 elemanın (3, 5, 6, 10, 12) her biri başlangıç değeri olarak seçildiğinde 5 adım sonra yine kendisine ulaşılır.

Koşulu sağlayan tüm olası başlangıç değerlerini bulmak için.

5

Bulunan tüm değerleri toplayalım.

3 + 5 + 6 + 10 + 12 = 36

bulunur.

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler ve Döngü Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 243Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan Aras, Bilge ve Cemil adındaki üç mühendisin yaşları ile ilgili aşa��ıdakiler bilinmektedir:
* Aras, Bilge'nin bugünkü yaşına geldiğinde; Cemil'in yaşı, Aras'ın bugünkü yaşının $2$ katından $3$ eksik olacaktır.
* Cemil, Bilge'nin bugünkü yaşındayken; Aras $15$ yaşındaydı.
* Bilge ile Cemil'in bugünkü yaşları toplamı $54$ 'tür.

Buna göre, Aras'ın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Aras'ın bugünkü yaşı 19'dur.

Aras'ın bugünkü yaşına

A

, Bilge'ninkine

B

ve Cemil'inkine

C

diyerek yaş farkları

d_1

ve

d_2

üzerinden kurulan denklemler çözüldüğünde Aras'ın yaşı 19 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Mühendislerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip yaş farklarını tanımlamak.

Aras'ın yaşı

A

, Bilge'nin yaşı

B

, Cemil'in yaşı

C

olsun. Yaşlar arasındaki farklar sabit olduğundan

B - A = d_1

ve

C - B = d_2

diyelim. Buradan

B = A + d_1

ve

C = B + d_2 = A + d_1 + d_2

olur.

Zaman içindeki yaş değişimlerini bu farklar cinsinden kolayca ifade edebilmek için.

2

Birinci öncüldeki bilgiyi cebirsel denklem olarak yazmak.

Aras'ın Bilge'nin yaşına gelmesi için geçen süre

B - A = d_1

yıldır.

d_1

yıl sonra Cemil'in yaşı

C + d_1

olacaktır. Öncüle göre bu yaş, Aras'ın bugünkü yaşının (

A

)

2

katından

3

eksiktir:

C + d_1 = 2A - 3

C = A + d_1 + d_2

yazılırsa:

A + 2d_1 + d_2 = 2A - 3 \implies 2d_1 + d_2 = A - 3

elde edilir.

Birinci koşuldaki zaman ilerlemesini modellemek için.

3

İkinci öncüldeki bilgiyi denklem olarak yazmak ve

d_1

değerini çözmek.

Cemil'in Bilge'nin bugünkü yaşındaykenki zamanı

C - B = d_2

yıl öncedir.

d_2

yıl önce Aras'ın yaşı

A - d_2

olur. Öncüle göre:

A - d_2 = 15 \implies d_2 = A - 15

Bu

d_2

değerini ikinci adımda elde ettiğimiz

2d_1 + d_2 = A - 3

denkleminde yerine yazarsak:

2d_1 + (A - 15) = A - 3 \implies 2d_1 = 12 \implies d_1 = 6

bulunur.

İkinci koşulu kullanarak yaş farklarından birini (

d_1

) bulmak için.

4

Üçüncü öncüldeki bilgiyi kullanarak

A

(Aras'ın bugünkü yaşı) değerini bulmak.

d_1 = 6

olduğundan Bilge'nin yaşı

B = A + 6

olur.

d_2 = A - 15

olduğundan Cemil'in yaşı

C = B + d_2 = (A + 6) + (A - 15) = 2A - 9

olur.
Bilge ile Cemil'in bugünkü yaşları toplamı

54

olduğuna göre:

B + C = 54 \implies (A + 6) + (2A - 9) = 54

3A - 3 = 54 \implies 3A = 57 \implies A = 19

bulunur.

Elde edilen yaş ifadelerini toplam yaş denklemine yerleştirip bilinmeyeni çözmek için.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri

Soru 244Soru →

Bir kuyumcu atölyesindeki usta, elinde bulunan kütlece $\%75$ 'i saf altın olan ( $18$ ayar) bir miktar altın ile tamamı saf altın olan ( $24$ ayar) belirli bir miktar altını eritip karıştırarak $22$ ayar yeni bir alaşım elde etmek istiyor. Usta, bu işlem sırasında yanlışlıkla saf altın miktarını planladığından $20$ gram daha az ekliyor ve elde ettiği alaşım $21$ ayar oluyor. Buna göre, ustanın başlangıçta hazırlamayı planladığı alaşımın toplam kütlesi kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Ustanın başlangıçta hazırlamayı planladığı alaşımın toplam kütlesi 60 gramdır.

Denklemler çözüldüğünde başlangıçtaki 18 ayar altın miktarı 20 gram, planlanan 24 ayar saf altın miktarı ise 40 gram olarak bulunur. Dolayısıyla planlanan toplam kütle 60 gramdır.

Adım Adım Çözüm

1

Planlanan durumdaki altın miktarlarını değişkenlerle ifade edip ilk ayar denklemini kurmak.

y = 2x

bağıntısı elde edilir.

18 ayar (

x

gram) ve 24 ayar (

y

gram) altın karıştırıldığında 22 ayar alaşım elde edilmek istendiği için toplam altın ayar dengesi kurulmalıdır.

2

Hatalı durumdaki (20 gram eksik saf altın eklenen) yeni karışımın ayar denklemini kurmak.

18x + 24(y - 20) = 21(x + y - 20)

denklemi elde edilir.

Hatalı karışımın toplam ağırlığı 20 gram azalmış ve ayarı 21 olmuştur.

3

y = 2x

eşitliğini kullanarak denklemi çözüp

x

ve

y

değerlerini bulmak.

x = 20

ve

y = 40

olarak bulunur.

Değişken sayısını teke düşürerek bilinmeyen miktarları hesaplamak için.

4

Planlanan toplam kütleyi (

x + y

) hesaplamak.

20 + 40 = 60

gram olarak bulunur.

Soruda bizden başlangıçta planlanan toplam kütle istendiği için.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde miktarı ve yüzde/ayar dengesi kurma.

Soru 245Soru →

Bir internet satıcısı, tanesini $40$ TL'ye satın alacağı telefon kılıflarından belirli bir sayıda sipariş vermek istiyor. Sipariş vereceği kargo firmasının kampanyasına göre; satıcının satın aldığı her $10$ adet kılıf için satıcıya $1$ adet kılıf hediye edilmekte ve tüm sipariş için tek seferlik sabit $600$ TL kargo ücreti alınmaktadır.

Satıcı, hediye gelen kılıflar da dahil olmak üzere elindeki tüm kılıfların tamamını tanesini $75$ TL'den satmış ve tüm bu süreçteki toplam maliyeti üzerinden $\%50$ kâr elde etmiştir.

Buna göre, satıcının sattığı toplam kılıf sayısı kaçtır?

33

40

44

60

66

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Satıcının sattığı toplam kılıf say��sı 44'tür.

Satıcının satın aldığı kılıf sayısına 10x dersek, hediye kılıf sayısı x ve satılan toplam kılıf sayısı 11x olur. Toplam maliyet 400x + 600 TL, toplam satış geliri ise 11x * 75 = 825x TL'dir. %50 kâr elde edildiğine göre satış geliri, toplam maliyetin %150'sine eşittir. Buradan 825x = 1.5 * (400x + 600) denklemi çözüldüğünde x = 4 bulunur. Toplam satılan kılıf sayısı 11x = 44 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Satıcının satın aldığı kılıf sayısına

10x

diyerek kampanya şartlarına göre hediye gelen ve satılan toplam kılıf sayısını belirleyelim.

Satın alınan kılıf sayısı

10x

ise, her 10 kılıfa 1 kılıf hediye edildiğinden hediye kılıf sayısı

x

olur. Satıcının elindeki toplam kılıf sayısı ise

10x + x = 11x

olur.

Kampanya koşullarına göre hediye kılıf oranını ve toplam ürün miktarını değişken cinsinden ifade etmek için.

2

Satıcının toplam maliyetini ve toplam satış gelirini

x

cinsinden hesaplayalım.

Toplam Maliyet =

10x \times 40 + 600 = 400x + 600

TL. Toplam Satış Geliri =

11x \times 75 = 825x

TL.

Kâr oranını uygulayabilmek için maliyet ve gelir denklemlerini oluşturmak amacıyla.

3

\%50

kâr elde edildiği bilgisini kullanarak denklemi kuralım ve

x

değerini bulalım.

Satış Geliri = Maliyet

\times 1.5

olduğundan,

825x = (400x + 600) \times 1.5 \Rightarrow 825x = 600x + 900 \Rightarrow 225x = 900 \Rightarrow x = 4

bulunur.

Satış gelirinin, maliyetin %150'sine eşit olduğunu gösteren denklemi çözerek bilinmeyeni bulmak için.

4

Satıcının sattığı toplam kılıf sayısını bulalım.

Toplam satılan kılıf sayısı

11x = 11 \times 4 = 44

adet olarak bulunur.

Soru kökündeki satıcının sattığı toplam kılıf sayısı hedefini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde maliyet, satış fiyatı, kampanya (hediye/fire) ve kargo gibi ek giderlerin doğru ilişkilendirilmesi.

Soru 246Soru →

Bir sayı oyunu oynayan Mert, bir tahtaya sırasıyla sayılar yazmaktadır. Mert tahtaya yazdığı her bir sayıya sırasıyla şu iki kuralı uygulamaktadır:

* Sayı tek ise sayının $3$ katının $1$ fazlasını yazıyor.
* Sayı çift ise sayının yarısını yazıyor.

Mert tahtaya ilk sayı olarak $6$ yazmıştır.

Buna göre, Mert en az kaç işlem sonunda tahtaya $5$ sayısını yazar?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

3

değeri doğrudur çünkü başlangıçtaki

6

sayısı çift olduğundan ilk işlemde yarısı olan

3

sayısı yazılır. İkinci işlemde

3

tek sayı olduğundan

3

katının

1

fazlası olan

10

sayısı yazılır. Üçüncü işlemde

10

çift sayı olduğundan yarısı olan

5

sayısı yazılır. Böylece

3

işlem sonunda

5

sayısına ulaşılmış olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ba��langıç sayısı olan

6

'ya çift sayı kuralını uygulamak.

6

çift sayı olduğundan yarısı alınır:

6 / 2 = 3

elde edilir.

Kurallara göre çift sayılar

2

'ye bölünmelidir.

2

Elde edilen

3

sayısına tek sayı kuralını uygulamak.

3

tek sayı olduğundan

3

katının

1

fazlası alınır:

3 \cdot 3 + 1 = 10

elde edilir.

Kurallara göre tek sayıların

3

katının

1

fazlası alınmalıdır.

3

Elde edilen

10

sayısına çift sayı kuralını uygulamak.

10

çift sayı olduğundan yarısı alınır:

10 / 2 = 5

elde edilir. Hedeflenen

5

sayısına ulaşılmıştır.

Kurallara göre çift sayılar

2

'ye bölünmelidir.

Anahtar Kavram

Belirli kurallarla tanımlanmış sayı dizilerinde adım takibi ve mantıksal akıl yürütme

Tahmini Süre:45s

Soru 247Soru →

Bir şehirdeki elektrikli scooter kiralama sisteminde, scooter'ın hızı düz yolda saatte $20\text{ km}$ , yokuş yukarı yolda saatte $12\text{ km}$ , yokuş aşağı yolda ise saatte $30\text{ km}$ olarak sabitlenmiştir.

Bu şehirde A noktası ile B noktası arasındaki yolun bir kısmı düz, kalan kısmı ise yokuş yukarıdır. A noktasından B noktasına scooter ile giden bir kişi, B noktasına 45 dakikada ulaşmıştır. Bu kişi, hiç beklemeden aynı yoldan B noktasından A noktasına dönerken gidişte yokuş yukarı olan kısmın dönüşte yokuş aşağı olduğunu fark etmiştir.

Kişinin dönüş yolculuğu 36 dakika sürdüğüne göre, A ile B noktaları arasındaki yolun düz olan kısmının uzunluğu kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

A ile B noktaları arasındaki yolun düz olan kısmının uzunluğu 10 kilometredir.

Gidiş ve dönüş süreleri için kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden düz yolun uzunluğu (

x

) 10 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Düz yolun uzunluğuna

x

km, yokuş yukarı yolun uzunluğuna

y

km diyelim. Gidiş süresini saat cinsinden ifade eden denklemi kuralım.

\frac{x}{20} + \frac{y}{12} = \frac{3}{4}

Gidiş hızı düz yolda saatte

20\text{ km}

, yokuş yukarı yolda ise saatte

12\text{ km}

'dir. 45 dakika

\frac{45}{60} = \frac{3}{4}

saattir.

2

Dönüş yolculuğunda gidişte yokuş yukarı olan kısmın yokuş aşağı olacağını dikkate alarak dönüş süresini saat cinsinden ifade eden denklemi kuralım.

\frac{x}{20} + \frac{y}{30} = \frac{3}{5}

Dönüşte düz yol hızı yine saatte

20\text{ km}

'dir. Dönüşte yokuş aşağı olan kısmın hızı saatte

30\text{ km}

'dir. 36 dakika

\frac{36}{60} = \frac{3}{5}

saattir.

3

Kurulan iki denklemi taraf tarafa çıkararak

y

değerini bulalım.

y = 3

(\frac{x}{20} + \frac{y}{12}) - (\frac{x}{20} + \frac{y}{30}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{5} \implies \frac{y}{12} - \frac{y}{30} = \frac{3}{20} \implies \frac{3y}{60} = \frac{3}{20} \implies \frac{y}{20} = \frac{3}{20} \implies y = 3\text{ km}

4

Bulunan

y = 3

değerini ikinci denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım.

x = 10

\frac{x}{20} + \frac{3}{30} = \frac{3}{5} \implies \frac{x}{20} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} \implies \frac{x}{20} = \frac{5}{10} \implies x = 10

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki olan

Yol = Hız \times Zaman

formülünün farklı yol bölümleri için uygulanması ve denklem sistemi çözümü.

Soru 248Soru →

Bir mobilya üreticisi, ahşap masa üretimi için ham kereste satın almaktadır. Bu üreticinin yaptığı üretim süreci ve maliyetleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Satın alınan ham kerestenin metreküp ( $m^3$ ) fiyatı $1200$ TL'dir.
* Satın alınan ham kereste işlenirken $\%25$ oranında fire vermekte (hacim kaybetmekte) ve kalan kısım masanın yapımında kullanılmaktadır.
* Bir adet masanın tamamlanması için $0,15\ m^3$ işlenmiş kereste gerekmektedir.
* Masa üretimi için kereste dışındaki diğer giderler (işçilik, cila, montaj malzemeleri vb.) masa başına sabit $160$ TL'dir.

Üretici, bir adet masanın satış fiyatını, toplam maliyet üzerinden $\%60$ kâr elde edecek şekilde belirlemiştir. Daha sonra, satışları artırmak amacıyla belirlenen bu satış fiyatı üzerinden $\%x$ oranında bir indirim uygulamıştır.

İndirimli satış sonrasında üreticinin bir masadan elde ettiği kâr oranı toplam maliyet üzerinden $\%28$ olduğuna göre, $x$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İndirimli satış fiyatı üzerindeki indirim oranı %20 olup, x değeri 20'dir.

Toplam maliyeti 400 TL olan bir masanın %60 kârlı satış fiyatı 640 TL'dir. Masanın %28 kârlı indirimli satış fiyatı ise 512 TL'dir. 640 TL'den 512 TL'ye yapılan 128 TL'lik indirim, ilk satış fiyatının %20'sine karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir masanın yapımı için gereken ham kereste hacmini hesaplamak.

0,2\ m^3

Ham kereste işlenirken

\%25

oranında fire verdiğinden, geriye kalan

\%75

'lik kısım masa yapımında kullanılır. Buradan

V_h \times 0,75 = 0,15 \implies V_h = 0,2\ m^3

bulunur.

2

Bir masanın toplam üretim maliyetini bulmak.

400

TL

Gereken ham kerestenin maliyeti

0,2 \times 1200 = 240

TL'dir. Buna

160

TL'lik diğer giderler eklendiğinde toplam maliyet

240 + 160 = 400

TL olur.

3

İlk belirlenen satış fiyatını ve indirimli satış fiyatını bulmak.

İlk satış fiyatı

640

TL, indirimli satış fiyatı

512

TL'dir.

Toplam maliyet (

400

TL) üzerinden

\%60

kâr ile ilk satış fiyatı

400 \times 1,60 = 640

TL olur.

\%28

kârlı indirimli satış fiyatı ise

400 \times 1,28 = 512

TL'dir.

4

İndirim oranını (

x

) hesaplamak.

x = 20

Yapılan indirim tutarı

640 - 512 = 128

TL'dir. Bu indirim tutarının ilk satış fiyatına oranı indirim yüzdesini verir:

\frac{128}{640} = \%20

, dolayısıyla

x = 20

bulunur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde maliyet, fire oranı, kâr oranı ve etiket fiyatı üzerinden indirim hesaplamaları.

Soru 249Soru →

Bir dijital yayın platformu, aylık abonelik paketlerini "Standart" ve "Premium" olmak üzere iki gruba ayırmaktadır. Bu platformun toplam abonelerinin $\%80$ 'i Standart paket, geri kalanı ise Premium paket kullanmaktadır.

Platform yönetimi; Standart paket ücretine $\%20$ , Premium paket ücretine ise $\%50$ zam yapmıştır. Zam sonrasında platformun tüm abonelerden elde ettiği toplam aylık gelir $\%25$ artmıştır.

Buna göre, zam yapılmadan önce Premium paket ücreti, Standart paket ücretinin yüzde kaçıdır?

20

40

60

80

125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Premium paket ücreti, Standart paket ücretinin %80'idir.

Standart paket ve Premium paket kullanan abonelerin sayıları sırasıyla

\%80

ve

\%20

olarak oranlanmıştır. Zam öncesi Standart paket fiyatı

S

, Premium fiyatı

P

kabul edilerek kurulan toplam gelir denklemi zam sonrasındaki

\%25

artışla eşitlendiğinde

5P = 4S

bağıntısına ulaşılır. Buradan Premium paket fiyatının Standart paket fiyatının

\%80

'ine eşit olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Platformun toplam abone sayısını ve paket dağılımını belirlemek için değişken tan��mlayalım.

Toplam abone sayısı

100k

olsun. Bu durumda Standart paket abonesi

80k

, Premium paket abonesi

20k

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplam abone sayısını 100 ve katları olarak seçmek işlem kolaylığı sağlar.

2

Zam öncesi paket ücretlerini tanımlayarak toplam geliri bulalım.

Standart paket ücreti

S

TL, Premium paket ücreti

P

TL olsun. Zam öncesi toplam aylık gelir:

R_{ilk} = 80k \cdot S + 20k \cdot P

olur.

Zam sonrasındaki gelir artışını kıyaslayabilmek için başlangıçtaki toplam gelir ifadesini oluşturmamız gerekir.

3

Zam sonrası paket ücretlerini ve yeni toplam geliri bulalım.

Standart pakete

\%20

zam ile yeni fiyat

1,2S

TL, Premium pakete

\%50

zam ile yeni fiyat

1,5P

TL olur. Zam sonrası toplam aylık gelir:

R_{son} = 80k \cdot 1,2S + 20k \cdot 1,5P = 96k \cdot S + 30k \cdot P

olur.

Yeni fiyatlar üzerinden zam sonrasındaki toplam aylık geliri ifade etmek için.

4

Toplam gelirin

\%25

arttığı bilgisini kullanarak denklemi kuralım ve çözelim.

R_{son} = 1,25 \cdot R_{ilk}

eşitliğinden;

96k \cdot S + 30k \cdot P = 1,25 \cdot (80k \cdot S + 20k \cdot P)

elde edilir.

k

harflerini sadeleştirip denklemi açarsak:

96S + 30P = 100S + 25P \implies 5P = 4S \implies P = 0,8S

bulunur.

Zam öncesi Premium paket ücreti ile Standart paket ücreti arasındaki ilişkiyi bulmak için.

5

Bulunan oran doğrultusunda Premium paket ücretinin Standart paket ücretinin yüzde kaçı olduğunu hesaplayalım.

P = 0,8S = \frac{80}{100}S

olduğundan, Premium paket ücreti Standart paket ücretinin

\%80

'idir.

Soruda istenen yüzde oranına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yüzde Problemlerinde Ağırlıklı Ortalama Mantığıyla Denklem Kurma

Soru 250Soru →

Asit oranı hacimce $\%10$ olan $180\text{ mL}$ sirkeli su karışımına, asit oranını $\%6$ 'ya düşürmek için kaç $\text{mL}$ saf su eklenmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Asit oranını %6'ya düşürmek için eklenmesi gereken saf su miktarı 120 mL'dir.

Başlangıçtaki

180\text{ mL}

karışımın

\%10

'u olan

18\text{ mL}

asit miktarı, su eklendiğinde değişmez. Yeni karışımın hacmi

180 + x

olacağına göre, asit oranını

\%6

yapan su miktarı

\frac{18}{180 + x} = 0{}06

denkleminden

x = 120\text{ mL}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki karışımda bulunan saf asit miktarını belirlemek

180 \times 0{}10 = 18\text{ mL}

saf asit

Yüzde oranı ve toplam hacim kullanılarak karışımın içindeki etken madde miktarı bulunur.

2

Eklenecek su miktarı

x

cinsinden yeni karışımın toplam hacmini ifade etmek

180 + x\text{ mL}

Karışıma saf su eklendiğinde toplam hacim eklenen su miktarı kadar artar.

3

Asit miktarının sabit kalmasından hareketle yeni asit oranını veren denklemi kurup çözmek

x = 120\text{ mL}

Saf asit miktarının yeni toplam hacme oranı

\%6

'ya eşit olmalıdır:

\frac{18}{180 + x} = \frac{6}{100}

.

Anahtar Kavram

Bir karışıma sadece çözücü (saf su) eklendiğinde çözünen madde (saf asit) miktarının değişmemesi ilkesi.

Alternatif Yöntem

Karışımdaki saf asit miktarı sabit kaldığı için karışımın yüzde oranı ile toplam hacmi ters orantılıdır. İlk durumdaki yüzde ile hacmin çarpımı, son durumdaki yüzde ile hacmin çarpımına eşit olmalıdır:

10 \times 180 = 6 \times V_{\text{son}} \implies V_{\text{son}} = 300\text{ mL}

. Eklenen su miktarı ise son hacim ile ilk hacim arasındaki farktır:

300 - 180 = 120\text{ mL}

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 251Soru →

Bir anne (Bahar), kızı (Ceren) ve anneannesi (Nermin) arasındaki yaş ilişkileriyle ilgili şunlar bilinmektedir:

* Ceren doğduğunda Bahar $28$ yaşındaydı.
* Nermin'in yaşı, Bahar ile Ceren'in yaşları farkının $3$ katına eşit olduğunda Ceren $8$ yaşındaydı.
* Bugün bu üç kişinin yaşları toplamı $137$ 'dir.

Buna göre, Ceren, Bahar'ın bugünkü yaşına geldiğinde Nermin kaç yaşında olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 115

Cevap

Ceren, Bahar'ın bugünkü yaşına geldiğinde Nermin 115 yaşında olur.

Bahar ile Ceren arasındaki yaş farkı

28

'dir. Ceren

8

yaşındayken Nermin'in yaşı bu farkın

3

katı yani

84

'tür. Buradan Nermin ile Ceren arasındaki yaş farkı

84 - 8 = 76

olarak bulunur. Bugün yaşları toplamı

137

olduğuna göre Ceren'in bugünkü yaşına

x

dersek;

x + (x + 28) + (x + 76) = 137

denkleminden

x = 11

bulunur. Dolayısıyla Ceren bugün

11

, Bahar

39

, Nermin ise

87

yaşındadır. Ceren, Bahar'ın bugünkü yaşına yani

39

yaşına geldiğinde aradan

28

yıl geçer. Bu durumda Nermin'in yaşı

87 + 28 = 115

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ceren ile Bahar arasındaki yaş farkını belirleme

Bahar ile Ceren arasındaki yaş farkı sabit ve

28

'dir.

Ceren doğduğunda Bahar

28

yaşında olduğu için aralarındaki yaş farkı her zaman

28

olacaktır.

2

Nermin ile Ceren arasındaki yaş farkını belirleme

Nermin ile Ceren arasındaki yaş farkı sabit ve

76

'dır.

Ceren

8

yaşındayken Nermin'in yaşı Bahar ve Ceren'in yaşları farkının (

28

)

3

katına yani

84

'e e��ittir. Bu durumda Nermin ile Ceren'in yaşları farkı

84 - 8 = 76

olur.

3

Kişilerin bugünkü yaşlarını ve yaşları toplamı denklemini kurma

Ceren'in bugünkü yaşı

11

, Bahar'ın bugünkü yaşı

39

ve Nermin'in bugünkü yaşı

87

'dir.

Ceren'in bugünkü yaşına

x

dersek; Bahar'ın yaşı

x + 28

, Nermin'in yaşı

x + 76

olur. Yaşları toplamı

x + (x + 28) + (x + 76) = 137

ise

3x + 104 = 137

buradan

x = 11

bulunur.

4

Gelecekteki yaş durumunu hesaplama

Nermin'in yaşı

115

olur.

Bahar'ın bugünkü yaşı

39

'dur. Ceren

39

yaşına geldiğinde, Nermin Ceren'den

76

yaş büyük olduğu için Nermin'in yaşı

39 + 76 = 115

olacaktır.

Anahtar Kavram

Yaş problemleri çözülürken iki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de değişmeyeceği ilkesi kullanılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 252Soru →

Maliyeti $150$ TL olan bir termos, $\%40$ kârla satılmak ��zere etiketlenmiştir. Bu termostan $1$ adet satın alan bir müşteriye etiket fiyatı üzerinden indirim yapılmış ve termos $168$ TL'ye satılmıştır.

Buna göre, bu müşteriye etiket fiyatı üzerinden yapılan indirim oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Müşteriye etiket fiyatı üzerinden yapılan indirim oranı %20'dir.

Termosun

\%40

kârla belirlenen etiket fiyatı

210

TL'dir.

168

TL'ye satıldığı için yapılan indirim miktarı

42

TL'dir. Bu indirim etiket fiyatı (

210

TL) üzerinden yapıldığından indirim oranı \frac{42}{210} = \frac{1}{5} = \%20$ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Termosun etiket fiyatını bulmak

Etiket fiyatı

210

TL'dir.

Ürünün maliyetine

\%40

kâr eklenerek etiket fiyatı belirlenmiştir.

150 \times 1{}4 = 210

TL olarak hesaplanır.

2

Yapılan indirim miktarını hesaplamak

İndirim miktarı

42

TL'dir.

Etiket fiyatından satış fiyatı çıkarılarak indirim miktarı bulunur:

210 - 168 = 42

TL.

3

İndirim oranını belirlemek

İndirim oranı

\%20

'dir.

İndirim miktarı, etiket fiyatına bölünerek indirim oranı bulunur: \frac{42}{210} = \frac{1}{5} = 0{}20

yani

\%20$.

Anahtar Kavram

Etiket fiyatı üzerinden yapılan indirim oranının hesaplanması.

Soru 253Soru →

Bir şehirdeki elektrikli araç şarj istasyonunda başlangıçta sadece hızlı ve yavaş olmak üzere iki tür şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu istasyondaki şarj ünitelerinin $\%60$ ’ı yavaş, geri kalanı ise hızlı şarj ünitesidir.

Bu istasyonda hizmet kalitesini artırmak amacıyla aşağıdaki adımlar uygulanmıştır:
- Yavaş şarj ünitelerinin bir kısmı hızlı şarj ünitesine dönüştürülmüştür.
- İstasyona, başlangıçtaki toplam ünite sayısının $\%30$ ’u kadar yeni şarj ünitesi eklenmiştir. Eklenen bu yeni ünitelerin tamamı hızlı şarj ünitesidir.

Son durumda istasyondaki hızlı şarj ünitesi sayısı, başlangıçtaki hızlı şarj ünitesi sayısına göre $\%150$ arttığına göre, başlangıçtaki yavaş şarj ünitelerinin yüzde kaçı hızlı şarj ünitesine dönüştürülmüştür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Başlangıçtaki yavaş şarj ünitelerinin

\%50

'si hızlı şarj ünitesine dönüştürülmüştür.

Doğru cevap olan 50 değeri, başlangıçtaki

60x

yavaş ünitenin

30x

tanesinin hızlı üniteye dönüştürülmesiyle elde edilen

\frac{30x}{60x} = \%50

oranından kaynaklanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki ünite sayılarını değişkenler cinsinden belirleme

Toplam ünite sayısı

100x

, yavaş şarj ünitesi sayısı

60x

, hızlı şarj ünitesi sayısı

40x

olarak bulunur.

Yüzde hesaplamalarını tam sayılarla kolayca yürütebilmek amacıyla başlangıçtaki toplam ünite sayısını

100x

kabul ederiz.

2

Eklenen yeni hızlı şarj ünitesi sayısını hesaplama

Eklenen yeni ünite sayısı

30x

olur.

İstasyona başlangıçtaki toplam ünite sayısının (

100x

)

\%30

'u kadar yeni ünite eklenmiştir ve bunların hepsi hızlı şarj ünitesidir.

3

Hızlı şarj ünitelerindeki toplam artış miktarını hesaplama

Toplam artış miktarı

60x

olarak hesaplanır.

Hızlı şarj ünitesi sayısı başlangıçtaki hızlı şarj ünitesi sayısına (

40x

) göre

\%150

artmıştır. Dolayısıyla artış

40x \times 1{}50 = 60x

olur.

4

Yavaş üniteden hızlı üniteye dönüştürülen ünite sayısını belirleme

Dönüştürülen ünite sayısı

30x

olarak bulunur.

Hızlı şarj ünitelerindeki toplam

60x

artışın

30x

kadarı yeni eklenen ünitelerden sağlandığına göre, kalan

60x - 30x = 30x

ünite yavaş ünitelerin hızlıya dönüştürülmesiyle elde edilmiştir.

5

Dönüştürülen ünitelerin başlangıçtaki yavaş ünitelere oranını bulma

Dönüşüm oranı

\%50

olarak bulunur.

Başlangıçta

60x

yavaş ünite mevcuttur. Bunlardan

30x

tanesi dönüştürüldüğünden oran

\frac{30x}{60x} = \frac{1}{2}

yani

\%50

olur.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde başlangıç miktarlarını doğru temellendirip, yüzdesel artış ve azalış adımlarını doğru referans noktalarına göre uygulamak.

Alternatif Yöntem

Başlangıçtaki toplam ünite sayısını

100

adet kabul edelim. Bu durumda

60

yavaş ve

40

hızlı şarj ünitesi vardır. İstasyona toplam ünite sayısının

\%30

'u kadar, yani

30

yeni hızlı şarj ünitesi eklenmiştir. Hızlı şarj ünitesi sayısı başlangıca göre

\%150

artarak

40 + 40 \times 1{}5 = 100

olmuştur. Son durumdaki

100

hızlı ünitenin

40

'ı başlangıçtan gelen hızlı üniteler,

30

'u ise yeni eklenenlerdir. Geriye kalan

100 - 40 - 30 = 30

hızlı ünite, yavaş ünitelerin dönüştürülmesiyle elde edilmiştir. Başlangıçta

60

yavaş ünite olduğuna göre, dönüştürülenlerin oranı

\frac{30}{60} = \%50

olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 254Soru →

Bir sporcu, antrenman yapmak amacıyla evinden çıkıp koşu parkurunun sonuna kadar saatte $12\text{ km}$ sabit hızla koşmuş ve hiç durmadan aynı parkur üzerinden eve doğru saatte $8\text{ km}$ sabit hızla yürüyerek geri dönmüştür.

Buna göre, bu sporcunun tüm antrenman boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

10

9

4,8

9,6

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9,6$

Cevap

Ortalama hız saatte

9,6\text{ km}

olarak bulunur.

Ortalama hız, sporcunun tüm hareket süresince aldığı toplam yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Parkur uzunluğu

x

olduğunda gidiş-dönüş toplam yol

2x

, geçen toplam süre ise

\frac{5x}{24}

saattir. Bu iki değer oranlandığında ortalama hız saatte

9,6\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşu parkurunun uzunluğuna

x\text{ km}

diyelim ve sporcunun gidiş ile dönüş sürelerini belirleyelim.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{12}

saat, dönüş süresi ise

t_2 = \frac{x}{8}

saat olur.

Zaman, alınan yolun hıza oranı (

t = \frac{x}{V}

) ile bulunur.

2

Toplam alınan yolu ve toplam geçen süreyi hesaplayalım.

Toplam yol

2x\text{ km}

'dir. Toplam geçen süre ise

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{12} + \frac{x}{8} = \frac{2x + 3x}{24} = \frac{5x}{24}

saat olur.

Ortalama hız hesabı için toplam yol ve toplam süre değerlerine ihtiyaç duyulur.

3

Toplam yolu toplam süreye bölerek ortalama hızı hesaplayalım.

V_{\text{ort}} = \frac{2x}{\frac{5x}{24}} = 2x \cdot \frac{24}{5x} = \frac{48}{5} = 9,6\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Ortalama hız formülü

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 255Soru →

Bir tarım işletmesinde damlama sulama sistemi için hazırlanan gübreli su tankındaki azot oranı kütlece $\%12$ olarak belirlenmiştir. Bu tanktaki karışımın $\frac{1}{3}$ 'ü sulama için kullanıldıktan sonra, kalan karışımın azot oranını artırmak amacıyla tanka kütlece $\%24$ azot içeren sıvı gübreden tanktaki kalan karışımın yar��sı ağırlığında eklenmiş ve ardından tanktaki suyun bir kısmı buharlaştırılmıştır.

Son durumda tanktaki karışımın azot oranı kütlece $\%20$ olduğuna göre, buharlaştırılan su miktarının tanktaki ilk gübreli su miktarına oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Buharlaştırılan su miktarının tanktaki ilk gübreli su miktarına oranı %20'dir.

Kalan

200x

gramlık karışımın üzerine

100x

gramlık gübre eklendiğinde tankta

300x

gram karışım ve

48x

gram azot bulunur. Son durumdaki azot oranı

\%20

(

1/5

) olduğuna göre, son karışım miktarı

240x

gram olmalıdır. Dolayısıyla buharlaşan su miktarı

300x - 240x = 60x

gramdır. Bu miktarın başlangıçtaki

300x

gramlık gübreli suya oranı ise

60x/300x = 1/5 = \%20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki karışım miktarını

300x

kabul ederek ilk azot miktarını belirleme.

Karışım

300x

gram, azot

36x

gram.

Yüzde ve kesir işlemlerini kolaylaştırmak için

300x

seçilmiştir.

2

Üçte biri kullanıldıktan sonra geriye kalan karışım ve azot miktarını hesaplama.

Kalan karışım

200x

gram, azot

24x

gram.

Homojen karışımlardan bir kısım döküldüğünde veya kullanıldığında kalan kısmın yüzdesi değişmez.

3

Kalan miktarın yarısı kadar

\%24

azotlu gübre ekleme.

Eklenen karışım

100x

gram, eklenen azot

24x

gram. Toplam karışım

300x

gram, toplam azot

48x

gram.

Yeni eklenen maddenin kütlesi ve azot katkısı toplam kütlelere yansıtılır.

4

Buharlaşan su miktarını (

y

) bulmak için son oran denkliğini kullanma.

y = 60x

gram.

Buharlaşma sadece su kütlesini azaltır, azot miktarı sabit kalır.

5

Buharlaşan suyun başlangıçtaki karışıma oranını hesaplama.

60x / 300x = 1/5 = \%20

.

İstenen oran, buharlaşan suyun tanktaki ilk karışıma oranıdır.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde miktar azalmasının oranı etkilememesi, saf su buharlaşmasında çözünen madde miktarının sabit kalması ve son durumdaki oran denkleminin kurulması.

Soru 256Soru →

Hibrit bir aracın yakıt tasarrufu testinde, araç uzunluğu eşit üç etaptan oluşan bir parkuru tamamlamıştır. Araç:

* Birinci etabı elektrikli modda saatte $30\text{ km}$ sabit hızla,
* İkinci etabı hibrit modda saatte $v\text{ km}$ sabit hızla,
* Üçüncü etabı benzinli modda saatte $90\text{ km}$ sabit hızla

tamamlamıştır.

Aracın tüm test sürüşü boyunca ortalama hızı, hibrit moddaki sabit hızı olan saatte $v\text{ km}$ değerine eşit olduğuna göre, $v$ kaçtır?

40

45

50

55

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

İkinci etaptaki hız değeri olan 45

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Eşit uzunluktaki etaplar için kurulan zaman denklemlerinden hareketle ortalama hız formülü yazılıp

v

'ye eşitlendiğinde, cebirsel işlemler sonucu aranan hız değeri 45 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parkurdaki her bir etabın uzunluğuna

x

km diyelim. Toplam yol

3x

km olur. Her etapta geçen süreleri (

t_1, t_2, t_3

) hız formülü olan

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

bağıntısını kullanarak yazalım.

Birinci etap süresi:

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci etap süresi:

t_2 = \frac{x}{v}

saat, üçüncü etap süresi:

t_3 = \frac{x}{90}

saat olarak bulunur.

Geçen toplam süreyi bulmak için her etaptaki sürelerin ifadesini oluşturmamız gerekir.

2

Tüm test sürüşü boyunca geçen toplam süreyi (

t_{\text{toplam}}

) bulmak için her etaptaki süreleri toplayalım.

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{30} + \frac{x}{v} + \frac{x}{90}

saat elde edilir.

Ortalama hız formülünde payda kısmında kullanacağımız toplam süreyi belirlemek için.

3

Ortalama hız formülünü (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

) yazalım ve bu h��zı soruda belirtildiği üzere

v

'ye eşitleyelim.

v = \frac{3x}{\frac{x}{30} + \frac{x}{v} + \frac{x}{90}}

denklemi elde edilir.

Soruda ortalama hızın, ikinci etaptaki sabit hıza eşit olduğu ifade edilmiştir.

4

Elde edilen denklemdeki pay ve paydada yer alan

x

terimlerini sadeleştirip denklemi

v

için çözelim.

v = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{v} + \frac{1}{90}} \Rightarrow v = \frac{3}{\frac{2}{45} + \frac{1}{v}} \Rightarrow v = \frac{3}{\frac{2v + 45}{45v}} \Rightarrow v = \frac{135v}{2v + 45}

elde edilir.

v \neq 0

olduğu için eşitliğin her iki tarafı

v

'ye bölündüğünde:

1 = \frac{135}{2v + 45} \Rightarrow 2v + 45 = 135 \Rightarrow 2v = 90 \Rightarrow v = 45

bulunur.

Bilinmeyen

v

hız değerine ulaşmak için cebirsel işlemleri tamamlamak gerekir.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemlerinde Ortalama Hız Hesaplama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 257Soru →

Bir hedef tahtasında içten dışa doğru kırmızı, mavi ve yeşil renkli üç bölge bulunmaktadır. Bu hedef tahtasına yapılan başarılı atışlarda kırmızı bölge $5$ puan, mavi bölge $3$ puan, yeşil bölge ise $2$ puan kazandırmaktadır. Hedef tahtasına yapılan her başarısız atı��ta ise oyuncunun toplam puanından $1$ puan düşülmektedir. Bu hedef tahtasına toplam $6$ atış yapan ve bu atışların en az birinde başarısız olan bir oyuncunun elde edebileceği en yüksek toplam puan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Oyuncunun elde edebileceği en yüksek toplam puan 24'tür.

Toplam puanın en yüksek olması için en yüksek puan getiren kırmızı bölge (

5

puan) hedeflenmeli ve en az bir atışın başarısız olması şartı nedeniyle başarısız atış sayısı minimumda tutularak

1

olarak seçilmelidir. Bu durumda

5

başarılı atış kırmızı bölgeye yapıldığında

25

puan kazanılır,

1

başarısız atıştan

1

puan kaybedilir ve toplam en yüksek puan

24

olur.

Adım Adım Çözüm

1

En yüksek puanı veren bölgeyi belirleme ve başarısız atış sayısını en aza indirme.

En yüksek puanı veren kırmızı bölge (

5

puan) tercih edilmeli ve 'en az bir başarısız atış' koşulu nedeniyle başarısız atış sayısı tam olarak

1

alınmalıdır.

Toplam puanı en üst seviyeye çıkarmak için en yüksek puanlı bölgeye maksimum sayıda başarılı atış yapılmalıdır.

2

Başarılı ve başarısız atış sayılarını belirleme.

Başarılı atış sayısı

5

, başarısız atış sayısı

1

olmalıdır.

Toplam

6

atış yapılmıştır ve en az birinin başarısız olması koşulu vardır.

3

Toplam puanı hesaplama.

5 \times 5 - 1 \times 1 = 24

puan elde edilir.

Her başarılı kırmızı atış

5

puan kazandırırken her başarısız atış

1

puan kaybettirir.

Anahtar Kavram

Koşullu maksimum değer bulma ve basit doğrusal modelleme

Soru 258Soru →

Burcu ile kuzeni Pelin'in bugünkü yaşları toplamı 34'tür. Pelin, Burcu'nun bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 46 olacaktır. Buna göre, Burcu'nun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Burcu'nun bugünkü yaşı 20'dir.

Burcu'nun yaşı

B

ve Pelin'in yaşı

P

olsun.

B + P = 34

'tür. Pelin'in Burcu'nun yaşına gelmesi için geçen

B-P

yılda Burcu da yaşlanarak

2B-P

yaşına gelir. Gelecekteki yaşları toplamı

(2B-P) + B = 3B-P = 46

olur. Bu iki denklemin taraf tarafa toplanmasıyla

4B = 80

ve buradan Burcu'nun bugünkü yaşı

B=20

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kişilerin yaşları için değişkenler tanımlayarak yaşlar toplamı denklemini oluşturmak

B + P = 34

Burcu ve Pelin'in bugünkü yaşlarının toplamının 34 olduğu belirtilmiştir.

2

Pelin'in Burcu'nun yaşına gelmesi için geçecek süreyi ve bu süredeki yaşları ifade etmek

Geçen süre

B - P

yıl, Burcu'nun gelecekteki yaşı

2B - P

Pelin'in Burcu'nun yaşına ulaşması için aralarındaki yaş farkı kadar zaman geçmesi gerekir.

3

Gelecekteki yaşlar toplamı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem kurmak

3B - P = 46

Gelecekte Pelin Burcu'nun yaşına (

B

) geldiğinde yaşları toplamı 46 olacaktır.

4

Denklem sistemini çözerek Burcu'nun yaşını elde etmek

B = 20

İki denklem taraf tarafa toplandığında

P

bilinmeyeni elenir ve Burcu'nun yaşı bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde geçen sürenin her birey için aynı olduğunu ve iki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de değişmeyeceğini bilmek.

Soru 259Soru →

Bir alışveriş merkezinde yan yana bulunan ve sabit hızlarla hareket eden üç yürüyen merdivenle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Merdivenlerin her birinin boyu eşittir.
* Birinci merdiven yukarı doğru sabit $v_1$ hızıyla hareket etmektedir.
* İkinci merdiven yukarı doğru sabit $v_2$ hızıyla hareket etmektedir.
* Üçüncü merdiven aşa��ı doğru sabit $v_3$ hızıyla hareket etmektedir.

Can'ın bu merdivenlerdeki yürüyüşlerine dair durumlar şöyledir:

* I. Durum: Can, yukarı hareket eden birinci merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $12$ saniyede ulaşıyor. Birinci merdiven duruyor olsaydı, Can aynı hızla yürüyerek üst uca $30$ saniyede ulaşacaktı.
* II. Durum: Can, yukarı hareket eden ikinci merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $10$ saniyede ulaşıyor ( $v_k > v_2$ ).
* III. Durum: Can, aşağı hareket eden üçüncü merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $4v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $15$ saniyede ulaşıyor. Üçüncü merdiven duruyor olsaydı, Can merdivene göre yukarı doğru $v_k$ hızıyla yürüyerek üst uca $45$ saniyede ulaşacaktı.

Buna göre, sol sütunda verilen durumların sonuçlarını sağ sütundaki doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

I. Durumda oran 1,5; II. Durumda süre 30 saniye; III. Durumda süre 22,5 saniyedir.

I. Durumda merdiven boyu denklemlerinin eşitliğinden

v_1 = 1,5v_k

oranı; II. Durumda yukarı doğru net hızın

v_k

olmasıyla 30 saniye süre; III. Durumda ise aşağı doğru net hızın

2v_k

olmasıyla 22,5 saniye süre doğru olarak eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1

I. Durum için merdiven boyu denklemlerini yazıp birinci merdivenin hızını bulunuz.

v_1 = 1,5v_k

Merdivenin boyu

L = (v_1 + v_k) \cdot 12

ve merdiven dururken

L = v_k \cdot 30

olduğundan bu iki ifade birbirine eşitlenerek

v_1

hızı

v_k

cinsinden bulunur.

2

II. Durum için ikinci merdivenin hızını bulup Can ters yönde yürürken merdivenin üst ucuna ulaşma süresini hesaplayınız.

t_x = 30

saniye

L = (v_2 + v_k) \cdot 10 = v_k \cdot 30

eşitliğinden

v_2 = 2v_k

bulunur. Can aşağı doğru yürümeye çalışırken net hızı yukarı doğru

2v_k - v_k = v_k

olur. Bu durumda üst uca ulaşma süresi

L / v_k = 30

saniye olarak elde edilir.

3

III. Durum için üçüncü merdivenin hızını bulup Can merdivenle aynı yönde aşağı inerken süreyi hesaplayınız.

22,5

saniye

L = (4v_k - v_3) \cdot 15 = v_k \cdot 45

eşitliğinden

v_3 = v_k

bulunur. Can aşağı doğru inerken net hızı aşağı doğru

v_3 + v_k = 2v_k

olur. Alt uca ulaşma süresi

L / (2v_k) = 45 / 2 = 22,5

saniye olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağıl hareket prensibiyle hareket doğrultusu ve yönüne göre hızların toplanması veya çıkarılması.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla, Can'ın hızı

v_k = 1

birim kabul edilerek merdivenin boyu

L = 30

birim alınır. Buradan tüm merdiven hızları ve süreler doğrudan sayılarla hesaplanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 260Soru →

Bir sınıfta bulunan $X$ , $Y$ ve $Z$ kutularında başlangıçta belirli sayıda bilye bulunmaktadır. Bu kutulardaki bilyelerle ilgili olarak sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanıyor:
- 1. adımda: $X$ kutusundan diğer iki kutunun her birine, o kutuda o anda bulunan bilye sayısı kadar bilye aktarılıyor.
- 2. adımda: $Y$ kutusundan diğer iki kutunun her birine, o kutuda o anda bulunan bilye sayısı kadar bilye aktarılıyor.
- 3. adımda: $Z$ kutusundan diğer iki kutunun her birine, o kutuda o anda bulunan bilye sayısı kadar bilye aktarılıyor.
Bu üç adımın sonunda her kutuda tam olarak $16$ bilye bulunduğu görülüyor.

Buna göre, kutulardaki başlangıç bilye sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıldır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Başlangıçtaki bilye sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralaması Z, Y, X şeklindedir.

Bilye paylaşımı oyununda geriye doğru gidildiğinde kutuların bilye sayıları sırasıyla; son durumda

16, 16, 16

, üçüncü adım öncesinde

8, 8, 32

, ikinci adım öncesinde

4, 28, 16

ve başlangıçta

26, 14, 8

olarak bulunur. Bu durumda başlangıçta en az bilye Z kutusunda (8 adet), sonra Y kutusunda (14 adet) ve en fazla bilye X kutusunda (26 adet) yer almaktadır. Doğru sıralama küçükten büyüğe Z, Y, X şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Son durumdaki toplam bilye sayısı ve adımlardaki korunum belirlenir.

Son durumda her kutuda 16 bilye olduğundan toplam bilye sayısı

16 \times 3 = 48

'dir. Kutular arasındaki bilye alışverişi toplam bilye sayısını değiştirmez.

Geriye doğru hesaplama yaparken toplam bilye miktarının sabit kalması her adımda dağıtıcı kutunun bilye sayısını bulmayı kolaylaştırır.

2

3. adımdan önceki (2. adım sonrasındaki) durum belirlenir.

3. adımda Z kutusu diğer kutuları iki katına çıkardığına göre, bu adım öncesinde X ve Y kutularında

16 / 2 = 8

'er bilye vardır. Z kutusundaki bilye sayısı ise

48 - (8 + 8) = 32

adettir.

3. adımdaki dağıtım işlemi tersine çevrilerek dağıtımdan hemen önceki durum elde edilir.

3

2. adımdan ��nceki (1. adım sonrasındaki) durum belirlenir.

2. adımda Y kutusu diğer kutuları iki katına çıkardığına göre, bu adım öncesinde X kutusunda

8 / 2 = 4

bilye, Z kutusunda ise

32 / 2 = 16

bilye vardır. Y kutusundaki bilye sayısı ise

48 - (4 + 16) = 28

adettir.

Bir önceki adımdaki dağıtım kuralı geriye doğru işletilir.

4

1. adımdan önceki (başlangıçtaki) durum belirlenir.

1. adımda X kutusu diğer kutuları iki katına çıkardığına göre, başlangıçta Y kutusunda

28 / 2 = 14

bilye, Z kutusunda ise

16 / 2 = 8

bilye vardır. X kutusundaki başlangıç bilye sayısı ise

48 - (14 + 8) = 26

adettir.

İlk adımın da tersi alınarak başlangıç durumuna ulaşılır.

5

Bulunan başlangıç değerleri küçükten büyüğe sıralanır.

Kutulardaki bilye sayıları

Z = 8

,

Y = 14

ve

X = 26

şeklindedir. Sıralama

8 < 14 < 26

olduğuna göre küçükten büyüğe sıralanış Z, Y, X şeklindedir.

Soruda istenen küçükten büyüğe sıralama kriteri uygulanır.

Anahtar Kavram

Geriye doğru çalışma stratejisi ve toplam korunum analizi

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem