Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 23

Soru 441Soru →

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Aslı bu torbadan rastgele 4 top, Berk ise torbada kalan toplardan rastgele 3 top çekmiştir.

Aslı'nın çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı en fazla 16 olabilir.

Çekilen 7 topın toplamı, Aslı'nın ve Berk'in puanlarının toplamı olup

2 S_B + S_B = 3 S_B

ifadesine eşittir ve bu toplam 3'ün katı olmalıdır. 1'den 10'a kadar olan sayılardan seçilen en büyük 7 sayının toplamı 49 olduğundan, çekilen topların toplamı en fazla 48 olabilir. Bu durumda Berk'in toplarının toplamı en fazla

48 / 3 = 16

olur. Kalan toplar {1, 2, 4} iken Berk'in {3, 5, 8} çekmesi bu durumu sağladığından en büyük değer 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm topların toplamını hesaplama

Tüm topların toplamı 55'tir.

Çekilen ve torbada kalan topların ilişkisini kurmak için toplam puan havuzunu bilmemiz gerekir.

2

Çekilen topların toplamının matematiksel ifadesini oluşturma

Aslı ve Berk'in çektiği 7 topun toplamı

3 S_B

olmalıdır (burada

S_B

Berk'in çektiği topların toplamıdır).

Aslı'nın toplamı Berk'in toplamının 2 katı olduğuna göre, iki grubun toplamı Berk'in toplamının 3 katına eşit olmak zorundadır.

3

Çekilen 7 topun alabileceği maksimum toplamı ve 3'e bölünebilme şartını uygulama

Çekilen 7 topun maksimum toplamı 49'dur. 3'ün katı olması gerektiğinden bu toplam en fazla 48 olabilir. Buradan

S_B \le 16

elde edilir.

Berk'in puanını maksimum yapmak için çekilen topların toplamını mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. Ancak bu toplamın 3'ün katı olması şartı üst sınırı 48 ile sınırlar.

4

Elde edilen maksimum değerin (16) torbadaki sayı dağılımıyla sağlanıp sağlanamadığını kontrol etme

Torbada kalan toplar {1, 2, 4} ve çekilen toplar {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} iken Berk {3, 5, 8} (toplamı 16) ve Aslı {6, 7, 9, 10} (toplamı 32) çekerek bu durumu sağlayabilir.

Bulunan teorik en büyük değerin, torbadaki sayıların benzersizliği ve kalan topların tamsayı olma koşuluna uygun bir dağılımla gerçekten elde edilip edilemeyeceğini doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan problemlerde sınır durumları belirleme, bölünebilme kuralları ve küme bölüntüleme prensiplerini birlikte kullanma.

Soru 442Soru →

Tam dolu bataryasıyla saatte $20\text{ km}$ sabit hızla hareket eden bir elektrikli scooter, bataryası tamamen tükenene kadar $2$ saat yol alabilmektedir.

Buna göre, bu scooter tam dolu bataryasıyla saatte $8\text{ km}$ sabit hızla hareket etseydi bataryası tamamen tükenene kadar kaç saat yol alabilirdi?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Scooter saatte

8\text{ km}

hızla hareket etseydi bataryası

5

saatte tükenirdi.

Scooterın bataryasının kapasitesi sabit olduğundan gidebileceği toplam mesafe değişmez ve

20 \times 2 = 40\text{ km}

olarak bulunur. Saatte

8\text{ km}

hızla bu mesafeyi tamamlamak için geçen süre ise

40 / 8 = 5

saat olur.

Adım Adım Çözüm

1

Scooterın bataryasıyla alabileceği toplam mesafeyi hesaplama

40\text{ km}

Yol formülü olan

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

(

x = v \cdot t

) bağıntısı kullanılarak toplam menzil hesaplanır.

2

Yeni hız değeriyle bataryanın dayanma süresini hesaplama

5\text{ saat}

Zaman formülü olan

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

(

t = \frac{x}{v}

) bağıntısı kullanılarak yeni süre bulunur.

Anahtar Kavram

Hız ve zaman arasındaki ters orantı ilişkisi (

x = v \cdot t

)

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 443Soru →

Kerem, Mert ve Nihal'in bugünkü yaşlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kerem'in doğum yılı, Mert'in doğum yılından $3$ fazladır.
* Nihal'in bugünkü yaşı, Kerem ile Mert'in bugünkü yaşları farkının $5$ katıdır.
* Nihal, $4$ yıl önce doğmuş olsaydı bugünkü yaşı Kerem'in bugünkü yaşına eşit olacaktı.

Buna göre, bu üç arkadaşı bugünkü yaşlarına göre büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Mert, Kerem, Nihal sıralaması doğrudur. Mert 22, Kerem 19, Nihal ise 15 yaşındadır.

Mert'in yaşı 22, Kerem'in yaşı 19 ve Nihal'in yaşı 15 olarak bulunduğundan, en büyükten en küçüğe sıralama Mert, Kerem ve Nihal şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Kerem ve Mert'in yaş farkını belirleme

Kerem'in doğum yılı Mert'in doğum yılından

3

fazla olduğuna göre, Mert Kerem'den

3

yıl önce doğmuştur. Bu durumda Mert, Kerem'den

3

yaş büyüktür ve aralarındaki yaş farkı her zaman

3

'tür.

İki kişinin doğum yılları arasındaki fark, yaşları farkına eşittir.

2

Nihal'in bugünkü yaşını hesaplama

Kerem ile Mert'in yaş farkı

3

olduğuna göre, Nihal'in bugünkü yaşı

3 \times 5 = 15

olur.

Nihal'in yaşı, Kerem ile Mert'in yaş farkının

5

katı olarak tanımlanmıştır.

3

Kerem'in bugünkü yaşını hesaplama

Nihal

4

yıl önce doğmuş olsaydı yaşı

15 + 4 = 19

olacaktı. Bu durumda Kerem'in bugünkü yaşı

19

'dur.

Daha önce doğmuş olmak bugünkü yaşı doğum yılı farkı kadar artırır.

4

Mert'in bugünkü yaşını hesaplama

Mert, Kerem'den

3

yaş büyük olduğuna göre Mert'in bugünkü yaşı

19 + 3 = 22

olur.

İlk adımda bulduğumuz yaş farkı bağıntısını Kerem'in yaşına uygularız.

5

Yaşları büyükten küçüğe doğru sıralama

Mert (

22

) > Kerem (

19

) > Nihal (

15

)

Elde edilen yaş değerleri karşılaştırılarak sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Yaş farkının zamanla değişmemesi ve doğum yılı ile yaş arasındaki ters orantı ilişkisi.

Soru 444Soru →

Bir elektrikli otomobil sürücüsü, evinden i�� yerine gitmek için navigasyon uygulamasını açtığında uygulamanın yolu eşit uzunlukta iki bölüme ayırdığını görmüştür.

Sürücü, yolun ilk yarısını yoğun şehir içi trafiği nedeniyle saatte $v\text{ km}$ sabit hızla tamamlamış; ikinci yarısında ise otoyola çıkarak saatte $90\text{ km}$ sabit hızla hareket etmiştir.

Yolculuk sonunda otomobilin yol bilgisayarında tüm seyahat boyunca ortalama hızın saatte $60\text{ km}$ olduğu görüldüğüne göre, sürücünün yolun ilk yarısındaki hızı ( $v$ ) saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

30

35

40

45

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Sürücünün yolun ilk yarısındaki hızı saatte 45 km'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam seyahat süresine bölünmesiyle hesaplanır. Yol iki eşit parçaya bölündüğü için ortalama hız, hızların harmonik ortalaması olan

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

formülüyle bulunur. Değerler yerine yazıldığında

60 = \frac{2 \cdot v \cdot 90}{v + 90}

elde edilir. Buradan

180v = 60v + 5400 \implies 120v = 5400 \implies v = 45\text{ km/sa}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına ve harcanan sürelere bağlı olarak ortalama hız denklemini kurmak.

Yolun tamamı

2x

olsun. İlk yarıda geçen süre

t_1 = \frac{x}{v}

, ikinci yarıda geçen süre

t_2 = \frac{x}{90}

olur. Toplam süre

t_{\text{top}} = \frac{x}{v} + \frac{x}{90}

şeklinde ifade edilir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranı olarak tanımlandığı için toplam süreyi belirlemek gerekir.

2

Ortalama hız formülünü uygulayarak denklemi yazmak.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} \implies 60 = \frac{2x}{\frac{x}{v} + \frac{x}{90}} \implies 60 = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{90}}

denklemi elde edilir.

Verilen ortalama hız değerini (

60\text{ km/sa}

) yerine yazarak bilinmeyen hız parametresi

v

'yi bulmak.

3

Elde edilen rasyonel denklemi sadeleştirmek.

\frac{1}{v} + \frac{1}{90} = \frac{2}{60} \implies \frac{1}{v} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}

haline gelir.

Bilinmeyen terimi içeren ifadeyi yalnız bırakmak için sadeleştirme yapmak.

4

Payda eşitleyerek

v

bilinmeyenini hesaplamak.

\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} \implies \frac{1}{v} = \frac{3 - 1}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \implies v = 45

bulunur.

Ortak paydada buluşturup işlemi tamamlayarak ilk yarıdaki hızı elde etmek.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemlerinde Ortalama Hız

Soru 445Soru →

Yan yana duran $5$ kutunun her birine başlangıçta soldan sağa sırasıyla $0$ , $0$ , $5$ , $0$ ve $0$ adet bilye konuluyor. Bu kutulara uygulanan her bir adımda; içinde en az $2$ bilye bulunan herhangi bir kutudan $2$ bilye alınıp, bu bilyelerden biri bu kutunun hemen solundaki kutuya, diğeri ise hemen sağındaki kutuya atılıyor. Solunda veya sağında komşu kutu olmayan en soldaki ( $1.$ ) ve en sağdaki ( $5.$ ) kutulardan bu şekilde bilye alınamamaktadır.

Buna göre, hiçbir kutuda bu işlemin uygulanamayacağı duruma gelene kadar bu işlem toplam kaç kez uygulanır?

3

4

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlem toplam 5 kez uygulanır.

Kurallara uygun şekilde bilyelerin kutular arasındaki geçiş adımları tek tek yazıldığında, oyunun 5 adımda sonlandığı ve son durumda her kutuda 1 bilye kaldığı görülür. Bu nedenle doğru cevap 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç durumundaki (

0

,

0

,

5

,

0

,

0

) bilye dağılımına göre en az

2

bilyesi olan tek kutu olan

3

. kutuya işlem uygulanır.

Yeni durum (

0

,

1

,

3

,

1

,

0

) olur.

3

. kutudaki bilye sayısı

5 - 2 = 3

olurken, komşu kutuların bilye sayıları

1

artar.

2

Yeni durumda (

0

,

1

,

3

,

1

,

0

) en az

2

bilyesi olan tek kutu yine

3

. kutudur, bu yüzden

3

. kutuya tekrar işlem uygulanır.

Yeni durum (

0

,

2

,

1

,

2

,

0

) olur.

3

. kutudaki bilye sayısı

3 - 2 = 1

olurken,

2

. ve

4

. kutuların bilye sayıları

1

artarak

2

olur.

3

Yeni durumda (

0

,

2

,

1

,

2

,

0

) en az

2

bilyeye sahip iki kutu (

2

. ve

4

. kutular) vardır. Bunlardan

2

. kutu seçilip işlem uygulanır (Alternatif olarak 4. kutu seçilseydi de simetriden dolayı aynı sayıda adım oluşurdu).

Yeni durum (

1

,

0

,

2

,

2

,

0

) olur.

2

. kutudaki bilye sayısı

2 - 2 = 0

olurken, komşuları olan

1

. ve

3

. kutuların bilye sayıları

1

artar.

4

Yeni durumda (

1

,

0

,

2

,

2

,

0

) en az

2

bilyeye sahip

3

. kutu seçilerek işlem uygulanır.

Yeni durum (

1

,

1

,

0

,

3

,

0

) olur.

3

. kutudaki bilye sayısı

2 - 2 = 0

olurken, komşuları olan

2

. ve

4

. kutuların bilye sayıları

1

artar.

5

Son durumda (

1

,

1

,

0

,

3

,

0

) en az

2

bilyesi olan tek kutu

4

. kutudur. Bu kutuya işlem uygulanır.

Yeni durum (

1

,

1

,

1

,

1

,

1

) olur.

4

. kutudaki bilye sayısı

3 - 2 = 1

olurken, komşuları olan

3

. ve

5

. kutuların bilye sayıları

1

artar.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan problemlerde durum analizi, adım adım mantıksal izleme ve değişmezler (korunum yasaları) yardımıyla sistemin son durumunu belirleme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 446Soru →

Bir anne ile iki çocuğunun yaşları ve doğum yıllarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Büyük çocuğun doğum yılı, küçük çocuğun doğum yılından $6$ yıl ��ncedir.
* Annenin bugünkü yaşı, iki çocuğun yaşları farkının $5$ katına eşittir.
* Büyük çocuk, küçük çocuğun bugünkü yaşındayken annenin yaşı, küçük çocuğun bugünkü yaşının $3$ katıydı.

Buna göre, büyük çocuk doğduğunda anne kaç yaşındaydı?

12

14

16

18

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Büyük çocuk doğduğunda anne 16 yaşındaydı.

Büyük çocuğun doğum yılı küçük çocuğunkinden 6 yıl önce olduğu için aralarındaki yaş farkı 6'dır. Annenin bugünkü yaşı bu farkın 5 katı olan 30'dur. Büyük çocuk, küçük çocuğun bugünkü yaşındayken, yani 6 yıl önce, annenin yaşı 24'tür. Bu değer küçük çocuğun bugünkü yaşının 3 katı olduğundan küçük çocuğun bugünkü yaşı 8, büyük çocuğun bugünkü yaşı ise 14 olur. Büyük çocuk doğduğunda (14 yıl önce) anne 16 yaşındadır.

Adım Adım Çözüm

1

Çocukların yaş farkını belirleme

Çocukların yaş farkı 6'dır.

Büyük çocuğun doğum yılı küçük çocuğun doğum yılından 6 yıl önce olduğuna göre, büyük çocuk küçük çocuktan 6 yaş büyüktür. İki kişinin yaş farkı yıllar geçse de değişmez.

2

Annenin bugünkü yaşını bulma

Annenin bugünkü yaşı 30'dur.

Annenin bugünkü yaşı, çocukların yaş farkının 5 katı olarak verildiğinden

5 \times 6 = 30

olarak bulunur.

3

Küçük çocuğun bugünkü yaşını bulma

Küçük çocuğun bugünkü yaşı 8'dir.

Büyük çocuk küçük çocuğun bugünkü yaşındayken geçen süre, aralarındaki yaş farkı olan 6 yıldır. 6 yıl önce annenin yaşı

30 - 6 = 24

'tür. Bu yaş, küçük çocuğun bugünkü yaşının 3 katı olduğuna göre küçük çocuğun bugünkü yaşı

24 / 3 = 8

olur.

4

Büyük çocuğun bugünkü yaşını bulma

Büyük çocuğun bugünkü yaşı 14'tür.

Büyük çocuk, küçük çocuktan 6 yaş büyük olduğuna göre bugünkü yaşı

8 + 6 = 14

olur.

5

Büyük çocuk doğduğunda annenin yaşını hesaplama

Büyük çocuk doğduğunda anne 16 yaşındaydı.

Büyük çocuk bugün 14 yaşında olduğundan, o doğduğunda (yani 14 yıl önce) annenin yaşı

30 - 14 = 16

'dır.

Anahtar Kavram

İki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de değişmediği gerçeği ve zaman içindeki yaş değişimlerinin tüm bireylere eşit şekilde yansıtılması.

Soru 447Soru →

Bir kargo firması, A ve B kentleri arasındaki teslimat seferlerinde yakıt tasarrufu sağlamak amacıyla üç farklı sürüş planı denemektedir. Bu planların detayları aşağıda verilmiştir:

* 1. plan: Araç yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.
* 2. plan: Araç hareket süresinin ilk üçte birinde saatte $40\text{ km}$ sabit hızla, kalan süresinde ise saatte $70\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.
* 3. plan: Araç yolun ilk üçte birini saatte $50\text{ km}$ sabit hızla, kalan kısmını ise saatte $100\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, sol sütundaki sürüş planlarını sağ sütundaki uygun ortalama hız değerleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

1. plan saatte 72 km, 2. plan saatte 60 km ve 3. plan saatte 75 km hız değerleriyle eşleşir.

Yapılan hesaplamalarda 1. planın ortalama hızı saatte 72 km, 2. planın ortalama hızı saatte 60 km ve 3. planın ortalama hızı saatte 75 km olarak bulunmuştur. Bu değerler sol sütundaki maddelerle sağ sütundaki ilgili hız değerlerini birebir eşleştirir.

Adım Adım Çözüm

1

1. planın ortalama hızını hesaplamak için yolu iki eşit parça olarak modelleyip toplam süreyi buluruz.

Yolun tamamı

2x

olsun. İlk yarıyı

60\text{ km/sa}

hızla alan aracın süresi

t_1 = \frac{x}{60}

saat, ikinci yarıyı

90\text{ km/sa}

hızla alan aracın süresi

t_2 = \frac{x}{90}

saat olur. Toplam süre

t_{top} = \frac{x}{60} + \frac{x}{90} = \frac{3x+2x}{180} = \frac{5x}{180} = \frac{x}{36}

saattir. Buradan ortalama hız

v_{ort1} = \frac{2x}{\frac{x}{36}} = 72\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle elde edilir.

2

2. planın ortalama hızını hesaplamak için hareket süresini üç eşit parçaya bölerek toplam yolu buluruz.

Toplam süre

3t

olsun. İlk

t

sürede

40\text{ km/sa}

hızla alınan yol

x_1 = 40t

, kalan

2t

sürede

70\text{ km/sa}

hızla alınan yol

x_2 = 140t

olur. Toplam yol

x_{top} = 180t

'dir. Ortalama hız

v_{ort2} = \frac{180t}{3t} = 60\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Süreye bağlı hareket durumlarında ortalama hız, hızların zamana göre ağırlıklı ortalaması alınarak doğrudan hesaplanabilir.

3

3. planın ortalama hızını hesaplamak için yolu üç eşit parçaya bölüp her bir bölüm için süreleri hesaplarız.

Yolun tamamı

3x

olsun. Yolun ilk üçte biri olan

x

mesafesini

50\text{ km/sa}

hızla alan aracın süresi

t_1 = \frac{x}{50}

saattir. Kalan

2x

mesafesini

100\text{ km/sa}

hızla alan aracın süresi ise

t_2 = \frac{2x}{100} = \frac{x}{50}

saat olur. Toplam süre

t_{top} = \frac{2x}{50} = \frac{x}{25}

saattir. Ortalama hız

v_{ort3} = \frac{3x}{\frac{x}{25}} = 75\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Yolun iki katına çıkması ve hızın da iki katına çıkması nedeniyle her iki bölümde geçen sürenin eşit olduğunu görüp aritmetik ortalama özelliğini kullanabiliriz.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız (Toplam Yol / Toplam Zaman)

Alternatif Yöntem

Formül kullanmak yerine A ve B kentleri arasındaki mesafeye değer verilebilir. Örneğin, 1. plan için toplam yol 180 km seçilirse ilk 90 km'lik kısım 60 km/sa hızla 1.5 saatte, ikinci 90 km'lik kısım 90 km/sa hızla 1 saatte geçilir. Toplam süre 2.5 saat olur. Ortalama hız ise 180 / 2.5 = 72 km/sa olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 448Soru →

Bir kenar uzunluğu $120\text{ metre}$ olan eşkenar üçgen biçimindeki bir pistin köşelerinde bulunan araçların hareket durumları sol tarafta, bu durumların saniye cinsinden süreleri veya $\text{m/sn}$ cinsinden hız değerleri ise sağ tarafta verilmiştir.

Buna göre, sol taraftaki hareket durumlarını sağ taraftaki doğru matematiksel değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci durum 3 saniye ile, ikinci durum 24 m/sn ile, üçüncü durum ise 10 saniye ile eşleşmelidir.

Verilen hareket durumlarında temel hız-hareket formülleri (

Yol = Hız \times Zaman

) ve ortalama hız bağıntısı kullanılarak doğru süreler ve hız değerleri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci durum için iki aracın birbirlerine doğru hareket ettiği karşılaşma süresini hesaplamak.

Karşılaşma süresi

t_1 = \frac{120}{15 + 25} = 3\text{ saniye}

olarak bulunur.

Zıt yönlü harekette karşılaşma süresi, aralarındaki mesafenin hızlar toplamına bölünmesiyle elde edilir.

2

İkinci durum için iki eşit uzunluktaki yolda (

120\text{ m}

'lik iki kenar) hareket eden aracın ortalama hızını bulmak.

Ortalama hız

V_{ort} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 20}{30 + 20} = 24\text{ m/sn}

olarak bulunur.

Gidilen yolların uzunlukları eşit olduğundan, ortalama hız değerlerin harmonik ortalaması alınarak doğrudan hesaplanabilir.

3

Üçüncü durum için aynı yönde hareket eden araçların yakalama süresini hesaplamak.

Yakalama süresi

t_2 = \frac{120}{30 - 18} = 10\text{ saniye}

olarak bulunur.

Aynı yönlü harekette arkadaki aracın öndekini yakalama süresi, aralarındaki başlangıç mesafesinin hızlar farkına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişkiler ile zıt yönlü/aynı yönlü hareketlerde karşılaşma/yakalama sürelerinin ve ortalama hızın hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 449Soru →

Bir tahtada başlangıçta $1$ , $2$ , $3$ ve $4$ sayıları yazılıdır. Bu tahtadaki sayılara sırasıyla şu işlem uygulanıyor:

* Tahtadan herhangi iki sayı siliniyor.
* Silinen bu iki sayının çarpımı ile toplamı toplanarak elde edilen yeni sayı tahtaya yazılıyor.

Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar tekrarlandığına göre, tahtada kalan son sayı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 119

Cevap

Tahtada kalan son sayı 119'dur.

Soruda tanımlanan işlem sırayla uygulandığında, hangi iki sayı seçilirse seçilsin sonuç değişmez. Örneğin 1 ve 2 seçilerek 5 elde edilir, ardından 3 ve 4 seçilerek 19 elde edilir, en son 5 ve 19 işleme sokularak 119 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki sayılardan 1 ve 2'yi seçip kuralı uygulayarak tahtadan silmek ve elde edilen sonucu tahtaya yazmak.

Yeni sayı: (1 * 2) + (1 + 2) = 5 olur ve tahtadaki sayılar {3, 4, 5} haline gelir.

İşlemi adım adım uygulayarak tahtadaki sayı adedini azaltmak.

2

Kalan sayılardan 3 ve 4'ü seçip aynı kuralı uygulamak.

Yeni sayı: (3 * 4) + (3 + 4) = 19 olur ve tahtadaki sayılar {5, 19} haline gelir.

Sayı adedini bire indirmek için bir sonraki adımı gerçekle��tirmek.

3

Son kalan iki sayı olan 5 ve 19'a kuralı son kez uygulamak.

Sonuç: (5 * 19) + (5 + 19) = 119 olur.

Tahtada tek bir sayı kalana kadar işlemi tamamlamak.

Anahtar Kavram

İşlem tanımlama ve değişmez (invariant) kavramı yardımıyla rutin olmayan problemlerin çözümü

Alternatif Yöntem

Her adımda seçilen a ve b sayıları yerine ab + a + b yazılmaktadır. Bu ifade (a + 1)(b + 1) - 1 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Dolayısıyla, her sayıya 1 ekleyip çarptığımızda elde ettiğimiz değer işlem boyunca sabit kalır. Başlangıçtaki sayılerin 1 fazlasının çarpımı: (1+1)(2+1)(3+1)(4+1) = 2 * 3 * 4 * 5 = 120'dir. Son sayımız x ise, x + 1 = 120 olacağından x = 119 bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 450Soru →

Bir kurye, A kentinden B kentine teslimat yapmak üzere yola çıkmışt��r. Bu iki kent arasındaki yolun toprak olan ilk $\frac{1}{3}$ 'lük kısmını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla giden kurye, yolun asfalt olan kalan kısmını ise saatte $90\text{ km}$ sabit hızla giderek B kentine ulaşmıştır. Buna göre, kuryenin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?

45

50

54

60

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Kuryenin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 54 km'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Yolun toprak kısmındaki süresi

\frac{x}{30}

saat, asfalt kısmındaki süresi ise

\frac{x}{45}

saattir. Toplam geçen süre

\frac{x}{18}

saat olup, toplam yol olan

3x

bu süreye bölündüğünde ortalama hız saatte 54 km olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun kısımlarını ve uzunluklarını değişken cinsinden ifade etme

Toplam yol

3x

km olarak kabul edilirse, toprak yol

x

km ve asfalt yol

2x

km olur.

Yolun

\frac{1}{3}

'ünün toprak ve kalan kısmının asfalt olduğu bilgisiyle uyumlu, kolay sadeleşebilir değerler seçmek için.

2

Toprak yolda geçen süreyi hesaplama

t_1 = \frac{x}{30}

saat

Toprak yoldaki sabit hız saatte

30\text{ km}

olduğundan, geçen süre

\text{Yol} / \text{Hız}

formülüyle bulunur.

3

Asfalt yolda geçen süreyi hesaplama

t_2 = \frac{2x}{90} = \frac{x}{45}

saat

Asfalt yoldaki sabit hız saatte

90\text{ km}

olduğundan, geçen s��re

\text{Yol} / \text{Hız}

formülüyle bulunur.

4

Toplam süreyi ve ortalama hızı hesaplama

Toplam süre

t = \frac{x}{30} + \frac{x}{45} = \frac{3x + 2x}{90} = \frac{5x}{90} = \frac{x}{18}

saattir. Ortalama hız ise

V_{ort} = \frac{3x}{\frac{x}{18}} = 54\text{ km/s}

olarak bulunur.

Ortalama hızın genel tanımı olan

\text{Toplam Yol} / \text{Toplam Süre}

formülünü uygulamak için.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 451Soru →

Bir tarım kooperatifinde hasat edilen buğday ve arpa ürünlerine uygulanan işlemler ve oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ürün	Kurutma Ağırlık Kaybı	Kurutulmuş Üründen Un Elde Etme Oranı
Buğday	$\%15$	$\%80$
Arpa	$\%25$	$\%80$

Bu kooperatifte hasat edilen buğday ve arpanın toplam ağırlığı $120$ tondur.

Elde edilen toplam un miktarı $76$ ton olduğuna göre, hasat edilen buğday miktarı kaç tondur?

40

50

60

70

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Hasat edilen buğday miktarı 50 tondur.

Doğru cevap 50'dir. Başlangıçtaki buğday miktarına

x

ve arpa miktarına

y

dersek, toplam ağırlık

x + y = 120

olur. Ürünler kurutulduğunda sırasıyla

0,85x

ve

0,75y

kalır. Bunların %80'inden un elde edildiği için toplam un miktarı

0,68x + 0,60y = 76

olarak bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümünden buğday miktarı

x = 50

ton olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki buğday miktarına

x

ton, arpa miktarına

y

ton diyelim. Toplam hasat miktarını veren birinci denklemi yazalım.

x + y = 120

Buğday ve arpanın toplam hasat ağırlığı 120 tondur.

2

Kurutulmuş ürün miktarlarını ve bunlardan elde edilen un miktarlarını yüzde cinsinden ifade edelim.

Kurutulmuş buğday:

x \times (1 - 0,15) = 0,85x

ton. Buğdaydan elde edilen un:

0,85x \times 0,80 = 0,68x

ton. Kurutulmuş arpa:

y \times (1 - 0,25) = 0,75y

ton. Arpadan elde edilen un:

0,75y \times 0,80 = 0,60y

ton.

Yüzde kayıpları düşüldükten sonra kalan miktarın %80'inden un elde edilir.

3

Toplam un miktarını veren ikinci denklemi kuralım.

0,68x + 0,60y = 76

Elde edilen toplam un miktarı 76 tondur.

4

Oluşan denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim. Birinci denklemi

0,60

ile çarpıp ikinci denklemden çıkaralım.

0,60x + 0,60y = 72

elde edilir.

(0,68x + 0,60y) - (0,60x + 0,60y) = 76 - 72 \Rightarrow 0,08x = 4 \Rightarrow x = 50

ton.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek hasat edilen buğday miktarını (

x

) bulmak.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde ardışık yüzde hesaplama ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü

Soru 452Soru →

Bir yazılım projesinde çalışan Arda, Banu ve Cemil'in yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Banu'nun yaşı, Arda'nın yaşından $4$ fazladır.
* Cemil'in yaşı, Banu'nun yaşından $3$ fazladır.
* Bu üç kişinin yaşları toplamı, Arda ile Banu'nun yaşları farkının $17$ katına eşittir.

Buna göre, Cemil'in yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Cemil'in yaşı 26'dır.

Arda'nın yaşı

x

kabul edildiğinde Banu'nun yaşı

x+4

, Cemil'in yaşı

x+7

olur. Yaşlar toplamı

3x+11

, Arda ile Banu'nun yaş farkı ise

4

'tür.

3x+11 = 17 \times 4

denkleminden

x=19

bulunur. Cemil'in yaşı

19+7=26

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kişilerin yaşlarını tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

Arda'nın yaşı

x

, Banu'nun yaşı

x+4

ve Cemil'in yaşı

x+7

olur.

Yaşlar arasındaki fark ilişkilerini kullanarak denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Yaşlar toplamını ve yaş farkını belirlemek.

Yaşlar toplamı

3x + 11

ve Arda ile Banu'nun yaş farkı

4

olarak bulunur.

Soruda verilen eşitliği kurmak için gerekli matematiksel ifadeleri hazırlamak.

3

Eşitliği kullanarak Arda'nın yaş��nı hesaplamak.

3x + 11 = 17 \times 4 \Rightarrow 3x = 57 \Rightarrow x = 19

elde edilir.

Yaşlar toplamın��n, yaş farkının 17 katına eşit olduğunu veren denklemi çözmek.

4

Cemil'in yaşını bulmak.

Cemil'in yaşı

x + 7 = 19 + 7 = 26

'dır.

Bulunan

x

değerini Cemil'in yaş ifadesinde yerine koymak.

Anahtar Kavram

Yaş farkının zamana bağlı olarak değişmemesi ilkesi ve birinci dereceden denklem çözümü.

Alternatif Yöntem

Arda ile Banu'nun yaş farkı 4'tür. Soruda verilen bilgiye göre üç kişinin yaşları toplamı

17 \times 4 = 68

olmalıdır. Banu, Arda'dan 4 yaş; Cemil ise Arda'dan 7 yaş büyüktür. Eğer herkes Arda ile aynı yaşta olsaydı, yaşları toplamı

68 - 4 - 7 = 57

olurdu. Buradan Arda'nın yaşı

57 / 3 = 19

bulunur. Cemil'in yaşı ise Arda'dan 7 yaş büyük olduğu için

19 + 7 = 26

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 453Soru →

Bir antrenman parkurunun yokuş yukarı olan ilk bölümü $8\text{ km}$ , yokuş aşağı olan ikinci bölümü ise $16\text{ km}$ uzunluğundadır. Bir bisikletçi bu parkurun yokuş yukarı bölümünü saatte $v_1\text{ km}$ sabit hızla, yokuş aşağı bölümünü ise saatte $v_2\text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır.

Bisikletçinin tüm parkurdaki ortalama hızı saatte $12\text{ km}$ 'dir. Bisikletçi yokuş yukarı olan bölümü saatte $v_2\text{ km}$ sabit hızla, yokuş aşağı olan bölümü ise saatte $v_1\text{ km}$ sabit hızla tamamlasaydı tüm parkuru tamamlama süresi $1\text{ saat}$ artacaktı.

Buna göre, bisikletçinin yokuş aşağı bölümdeki hızı ( $v_2$ ) saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

16

18

20

24

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Bisikletçinin yokuş aşağı bölümdeki hızı saatte 24 km olarak bulunur.

Bisikletçinin hareket süreleri toplamından elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde, yokuş aşağı hızı saatte 24 km olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki toplam hareket süresini bulalım.

Toplam yol

8 + 16 = 24\text{ km}

'dir. Ortalama hız saatte

12\text{ km}

olduğuna göre, toplam süre

t_1 = \frac{24}{12} = 2\text{ saat}

olur.

Süre = Yol / Hız ilişkisinden yararlanarak toplam süreyi belirlemek için.

2

İlk durum için süre denklemini kuralım.

\frac{8}{v_1} + \frac{16}{v_2} = 2 \implies \frac{4}{v_1} + \frac{8}{v_2} = 1

elde edilir.

Yolun bölümlerindeki sürelerin toplamının toplam süreye eşit olmasından dolayı.

3

İkinci durumdaki toplam süreyi ve buna ait denklemi yazalım.

İkinci durumda süre 1 saat arttığı için toplam süre

t_2 = 2 + 1 = 3\text{ saat}

olur. Buradan denklemi

\frac{8}{v_2} + \frac{16}{v_1} = 3

şeklinde kurarız.

Hızlar yer değiştirdiğinde yokuş yukarı kısmın v2, yokuş aşağı kısmın ise v1 hızıyla alındığı bilgisini kullanmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.

İlk denklemden

\frac{8}{v_2} = 1 - \frac{4}{v_1}

ifadesini çekip ikinci denklemde yerine yazarsak:

\frac{16}{v_1} + \left(1 - \frac{4}{v_1}\right) = 3 \implies \frac{12}{v_1} = 2 \implies v_1 = 6\text{ km/sa}

bulunur.

Değişkenlerden birini yok ederek diğer değişkenin değerine ulaşmak için.

5

Bulunan v1 değerini kullanarak v2 değerini hesaplayalım.

\frac{4}{6} + \frac{8}{v_2} = 1 \implies \frac{8}{v_2} = \frac{1}{3} \implies v_2 = 24\text{ km/sa}

bulunur.

İstenen yokuş aşağı hıza ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki x = v * t şeklindedir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 454Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan bilgisayar, tablet ve cep telefonlarının sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 sayıları ile doğru orantılıdır. Bu mağazada satılan;

* bilgisayarların $\%10$ 'u,
* tabletlerin $\%20$ 'si,
* cep telefonlarının $\%30$ 'u

defoludur (kusurludur).

Buna göre, bu mağazadaki toplam ürünlerin yüzde kaçı sağlamdır?

23

75

77

80

83

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Mağazadaki toplam ürünlerin

\%77

'si sağlamdır.

Mağazadaki bilgisayar, tablet ve cep telefonu sayıları sırasıyla

200k

,

300k

ve

500k

kabul edildiğinde, sağlam ür��n miktarları sırasıyla

180k

,

240k

ve

350k

olur. Bu değerlerin toplamı olan

770k

sağlam ürünün, tüm ürünlerin toplamı olan

1000k

değerine oranı

\%77

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ürün sayılarını doğru orantılı oldukları sayılara göre değişken cinsinden ifade etme

Bilgisayar sayısı

200k

, tablet sayısı

300k

, cep telefonu sayısı

500k

olsun. Toplam ürün sayısı:

200k + 300k + 500k = 1000k

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için ürün sayılarına

100

katı değerler atanmıştır.

2

Her bir ürün grubundaki sağlam ürün sayısını hesaplama

Sağlam bilgisayar sayısı:

200k \times (1 - 0,10) = 200k \times 0,90 = 180k

Sağlam tablet sayısı:

300k \times (1 - 0,20) = 300k \times 0,80 = 240k

Sağlam cep telefonu sayısı:

500k \times (1 - 0,30) = 500k \times 0,70 = 350k

olarak bulunur.

Her ürün grubunun kendi içindeki sağlamlık oranıyla o gruptaki ürün miktarı çarpılarak sağlam ürün miktarları belirlenir.

3

Toplam sağlam ürün sayısını bulup toplam ürün sayısına oranlama

Toplam sağlam ürün sayısı:

180k + 240k + 350k = 770k

olur.
Toplam sağlamlık yüzdesi:

\frac{770k}{1000k} = \frac{77}{100} = \%77

olarak bulunur.

Tüm mağazadaki sağlam ürün oranını bulmak için toplam sağlam ürün sayısı, toplam ürün sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Yüzde Problemlerinde Belirli Oranlarda Dağılmış Çoklukların Yüzdesini Ağırlıklı Ortalama Yöntemiyle Hesaplama

Soru 455Soru →

Bir giyim mağazası, satmak üzere aldığı tüm montların etiket fiyatını maliyet fiyatı üzerinden $\%60$ kâr elde edecek şekilde belirlemiştir. Bu mağazada yapılan satışlarda ödeme yöntemlerine göre uygulanan fiyat politikası şu şekildedir:

* Nakit ödemelerde etiket fiyatı üzerinden $\%25$ indirim yapılmaktadır.
* Kredi kartı ile tek çekim ödemelerde etiket fiyatı üzerinden $\%15$ indirim yapılmaktadır.
* Kredi kartı ile taksitli ödemelerde etiket fiyatı üzerinden $\%10$ vade farkı (ek ücret) alınmaktadır.

Bu mağazadan aynı maliyete sahip montlardan; bir müşteri nakit, bir müşteri kredi kartı ile tek çekim ve bir müşteri de kredi kartı ile taksitli olarak birer adet mont satın almıştır.

Buna göre, mağazanın bu üç montun satışından elde ettiği toplam kâr oranı yüzde kaçtır?

38

40

44

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $44$

Cevap

Üç montun satışından elde edilen toplam kâr oranı

\%44

olmalıdır.

Montların her birinin maliyet fiyatı

100

TL olarak kabul edilirse,

\%60

kârla belirlenen etiket fiyatı

160

TL olur. Bu durumda nakit ödemeyle yapılan satıştan

120

TL, kredi kartı tek çekimle yapılan satıştan

136

TL ve taksitli satıştan

176

TL gelir elde edilir. Üç montun toplam satışı mağazaya

120 + 136 + 176 = 432

TL gelir getirir. Toplam maliyet

3 \times 100 = 300

TL olduğuna göre, net kâr

432 - 300 = 132

TL'dir. Toplam kâr oranı ise

\frac{132}{300} \times 100 = \%44

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir adet montun maliyetini ve bu maliyete göre belirlenen etiket fiyatını tanımlayın.

Bir montun maliyeti

100x

olsun. Bu durumda

\%60

kârla belirlenen etiket fiyatı:

100x + 60x = 160x

olur.
Toplam

3

mont satıldığı için toplam maliyet:

3 \times 100x = 300x

olur.

Kâr-zarar problemlerinde maliyeti

100x

olarak belirlemek, yüzde hesaplamalarını kolaylaştırır.

2

Ödeme yöntemlerine göre her bir montun satış fiyatını etiket fiyatı üzerinden hesaplayın.

Nakit satılan montun fiyatı:

160x \times (1 - 0.25) = 160x \times 0.75 = 120x

Kredi kartı tek çekimle satılan montun fiyatı:

160x \times (1 - 0.15) = 160x \times 0.85 = 136x

Kredi kartı taksitli satılan montun fiyatı (vade farkı eklenmiş hali):

160x \times (1 + 0.10) = 160x \times 1.10 = 176x

olur.

İndirimler ve vade farkı zamları, soruda belirtildiği üzere maliyet üzerinden değil, etiket fiyatı (

160x

) üzerinden uygulanır.

3

Toplam satış gelirini, elde edilen toplam kârı ve kâr oranını hesaplayın.

Toplam satış geliri:

120x + 136x + 176x = 432x

olur.
Elde edilen toplam kâr tutarı:

432x - 300x = 132x

olur.
Toplam kâr oranı ise:

\frac{132x}{300x} \times 100 = \%44

olarak bulunur.

Toplam kâr oranı, elde edilen toplam kâr tutarının toplam maliyete oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kâr-Zarar Problemlerinde Maliyet, Etiket Fiyatı ve İndirim İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 456Soru →

Hibrit (melez) motorlu bir aracın enerji tüketim özellikleri ve çalışma prensibiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Araçta hem elektrikli sürüşü sağlayan bir batarya hem de benzinle çalışan bir yakıt deposu bulunmaktadır.
* Araç, batarya doluluk oranı $\%20$ 'nin üzerindeyken yalnızca elektrik motorunu kullanmakta (Elektrikli Mod) ve bu modda kilometrede bataryasının $\%2$ 'sini tüketmektedir.
* Batarya doluluk oranı $\%20$ ve altına düştüğünde araç otomatik olarak hibrit moda (Hibrit Mod) geçmektedir.
* Hibrit Mod'da araç hem elektrik motorunu hem de benzinli motorunu birlikte kullanmaktadır. Bu modda araç, gittiği her bir kilometrede bataryasının $\%0{}5$ 'ini ve yakıt deposunun $\%0{}3$ 'ünü tüketmektedir.

Bataryası tam dolu ( $\%100$ ) ve yakıt deposunun $\%80$ 'i dolu olan bu araçla kesintisiz bir yolculuğa çıkılıyor.

Buna göre, aracın batarya doluluk oranı $\%10$ 'a d��ştüğü anda yakıt deposunun yüzde kaçı doludur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Batarya doluluk oranı

\%10

'a ulaştığında yakıt deposunun

\%74

'ü doludur.

Doğru cevaba ulaşmak için araç hareketinin iki ayrı aşaması incelenmelidir. İlk aşamada elektrikli modda

40\text{ km}

yol alınmış ve bu sırada yakıt tüketilmemiştir. İkinci aşamada hibrit modda

20\text{ km}

yol alınmış ve kilometrede

\%0{}3

olmak üzere toplam

\%6

yakıt tüketilmiştir. Başlangıçtaki

\%80

doluluk oranından bu

\%6

çıkarıldığında kalan yakıt oranı

\%74

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Elektrikli modda katedilen mesafeyi bulma

Araç bataryası

\%100

'den

\%20

'ye düşene kadar

40\text{ km}

yol alır ve yakıt tüketimi olmaz.

Batarya doluluk oranı

\%20

'nin üzerindeyken araç elektrikli modda kilometrede

\%2

batarya tüketmektedir. Tüketilen batarya miktarı

100 - 20 = 80

olup katedilen yol

80 / 2 = 40\text{ km}

olur.

2

Hibrit modda katedilen mesafeyi bulma

Araç bataryası

\%20

'den

\%10

'a düşene kadar

20\text{ km}

yol alır.

Batarya

\%20

'nin altına indiğinde hibrit modda kilometrede

\%0{}5

batarya tüketilmektedir.

\%10

batarya tüketimi için katedilen yol

10 / 0{}5 = 20\text{ km}

olur.

3

Hibrit modda tüketilen yakıt miktarını ve kalan yakıt oranını hesaplama

Toplamda yakıt deposunun

\%6

'sı tüketilir ve geriye yakıt deposunun

\%74

'ü kalır.

Hibrit modda gidilen

20\text{ km}

boyunca kilometrede

\%0{}3

yakıt tüketildiğinden, toplam yakıt kaybı

20 \times 0{}3 = 6

(deponun

\%6

'sı) olur. Başlangıçta deponun

\%80

'i dolu olduğundan kalan yakıt oranı

\%80 - \%6 = \%74

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Farklı oranlarda doğrusal azalış gösteren sistemlerin yüzde problemlerinde modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Bataryadaki toplam azalışın aşamalara göre ağırlıklı ortalaması alınarak doğrudan orantı kurulabilir, fakat adım adım çözüm karmaşıklığı azaltmak açısından daha güvenlidir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 457Soru →

Bir kargo firması; ağırlıkları $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ve $9$ kg olan 9 adet paketi üç farklı araca aşağıdaki kurallara göre dağıtacaktır:

* Her bir araçta eşit sayıda paket bulunacaktır.
* Her bir araçtaki paketlerin ağırlıkları toplamı birbirine eşit olacaktır.
* Ağırlığı $9$ kg olan paket 1. araçta, $8$ kg olan paket 2. araçta, $7$ kg olan paket ise 3. araçta yer alacaktır.
* 1. araçtaki en hafif paket $2$ kg'dır.

Buna göre, ağırlığı $5$ kg olan paket ile aynı araçta bulunan en hafif paketin ağırl��ğı kaç kg'dır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3 kg olan ağırlık değeri doğrudur.

Çözüm adımları takip edildiğinde 5 kg'lık paketin 3. araçta yer aldığı görülür. Bu araçta bulunan diğer paketler 7 kg ve 3 kg'dır. Dolayısıyla 3. araçtaki paketlerin ağırlıkları

\{3, 5, 7\}

kg olup, bu gruptaki en hafif paket 3 kg'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam ağırlığı ve her bir araca düşmesi gereken yük miktarını hesaplama.

Tüm paketlerin toplam ağırlığı

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

kg'dır. 3 araç bulunduğundan ve ağırlıklar eşit dağıtılacağından, her bir araçtaki paketlerin ağırlıkları toplamı

45 / 3 = 15

kg olmalıdır. Ayrıca toplam 9 paket 3 araca eşit sayıda dağıtılacağı için her araçta tam olarak 3 paket bulunmalıdır.

Her bir aracın taşıyacağı paket sayısını ve toplam yük miktarını belirlemek için.

2

1. araçtaki paketleri belirleme.

1. araçta

9

kg'lık paket bulunmaktadır. Bu araçtaki paketlerin toplam ağırlığının 15 kg olması için kalan iki paketin ağırlıkları toplamı

15 - 9 = 6

kg olmalıdır. Kalan paketler

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

arasından seçilmelidir. 1. araçtaki en hafif paket 2 kg olduğuna göre seçilebilecek tek ikili

\{2, 4\}

'tür. Dolayısıyla 1. araçtaki paketler

\{9, 2, 4\}

olarak kesinleşir.

1. araçtaki paketleri belirleyerek diğer araçlar için seçenekleri daraltmak için.

3

2. araçtaki paketleri belirleme.

Geriye

\{1, 3, 5, 6\}

paketleri kalmıştır. 2. araçta

8

kg'lık paket bulunmaktadır. Toplamın 15 kg olması için kalan iki paketin toplam ağırlığı

15 - 8 = 7

kg olmalıdır. Kalan paketler arasından toplamı 7 olan tek seçenek

\{1, 6\}

'dır (çünkü

\{3, 4\}

seçeneğindeki 4 kg'lık paket 1. araçta kullanılmıştır). Bu durumda 2. araçtaki paketler

\{8, 1, 6\}

olur.

2. araçtaki paketleri belirleyerek son araca kalan paketleri bulmak için.

4

3. araçtaki paketleri belirleme ve en hafif olanı bulma.

Geriye kalan

\{3, 5\}

paketleri 3. araca dağıtılır. 3. araçta zaten

7

kg'lık paket bulunduğundan bu araçtaki paketler

\{7, 3, 5\}

olur. Ağırlıklar toplamı

7 + 3 + 5 = 15

kg şartını sağlar. Dolayısıyla 5 kg'lık paket 3. araçtadır. Bu araçtaki paketlerin ağırlıkları

\{3, 5, 7\}

kg olup, içlerindeki en hafif paket

3

kg'dır.

Soruda istenen nihai cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemlerde Mantıksal Akıl Yürütme ve Kısıt Altında Dağılım Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 458Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda bulunan AC (yavaş şarj) ve DC (hızlı şarj) ünitelerinin sayıca dağılımı ile günün belirli bir saatindeki doluluk oranları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Ünite Türü	Toplam Ünite Sayısı İçindeki Payı	Doluluk Oranı
AC	$\%60$	$\%40$
DC	$\%40$	$\%75$

Bu saatte istasyondaki dolu AC şarj ünitelerinin sayısı, boş olan DC şarj ünitelerinin sayısından $28$ fazladır.

Buna göre, bu istasyonda bulunan toplam DC şarj ünitesi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İstasyondaki toplam DC şarj ünitesi sayısı 80'dir.

Toplam şarj ünitesi sayısı

100x

olsun. Bu durumda AC üniteleri

60x

, DC üniteleri ise

40x

olur. Dolu AC üniteleri

60x \times 0{}40 = 24x

adettir. DC ünitelerinin

\%75

'i dolu olduğundan geriye kalan

\%25

'i boştur. Boş DC üniteleri ise

40x \times 0{}25 = 10x

adettir. Bu iki değer arasındaki fark

24x - 10x = 14x = 28

olarak verilmiştir. Buradan

x = 2

bulunur. İstasyondaki toplam DC şarj ünitesi sayısı

40x = 40 \times 2 = 80

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam ünite sayısını

100x

kabul ederek AC ve DC şarj ünitelerinin sayılarını belirleme.

AC ünite sayısı

60x

, DC ünite sayısı

40x

olur.

Yüzde hesaplamalarını tam sayılarla kolayca yapabilmek için toplam ünite sayısı

100x

olarak se��ilmiştir.

2

Dolu AC ve boş DC şarj ünitelerinin sayılarını

x

cinsinden hesaplama.

Dolu AC ünite sayısı

24x

, boş DC ünite sayısı

10x

olur.

Dolu AC üniteleri

60x \text{'in } \%40\text{'ı} = 24x

ve boş DC üniteleri (doluluk oranı

\%75

olduğundan boşluk oranı

\%25

'tir)

40x \text{'in } \%25\text{'i} = 10x

olarak hesaplanır.

3

Dolu AC ünite sayısı ile boş DC ünite sayısı arasındaki farkı veren denklemi kurup

x

değerini bulma.

24x - 10x = 28 \implies 14x = 28 \implies x = 2

elde edilir.

Soruda dolu AC ünitelerinin sayısının boş DC ünitelerinin sayısından

28

fazla olduğu belirtilmiştir.

4

İstasyonda bulunan toplam DC şarj ünitesi sayısını hesaplama.

Toplam DC ��arj ünitesi sayısı

40x = 40 \times 2 = 80

bulunur.

İstasyondaki toplam DC ünite sayısı olan

40x

değerini bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde değişken atayarak miktar belirleme, alt gruplara ait yüzde oranlarını doğru temel değer üzerinden hesaplama ve denklem kurma.

Soru 459Soru →

Bir teknoloji mağazası, bir tablet ve bu tablete uyumlu bir klavyeyi birlikte satmaktadır. Klavyenin maliyeti, tabletin maliyetinin $\%50$ 'sidir. Mağaza, tek başına satıldığında tableti $\%40$ kârla, klavyeyi ise $\%60$ kârla satmaktadır. Bu iki ürünü birlikte paket olarak satın alan bir müşteriye, tablet ve klavyenin toplam satış fiyatı üzerinden $\%10$ indirim uygulanmaktadır. Buna göre, bu paket satışından mağazanın elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Bu paket satışından mağazanın elde ettiği kâr oranı %32'dir.

Toplam maliyet 150 birim iken indirimli paket satış fiyatı 198 birim olmaktadır. Bu durumda elde edilen net kâr 48 birimdir. 48 birimlik kâr, 150 birimlik toplam maliyetin %32'sine karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabletin maliyetini

100x

ve klavyenin maliyetini

50x

olarak belirleyerek toplam paket maliyetini yazalım.

Toplam maliyet =

150x

Klavyenin maliyeti tabletin maliyetinin %50'si olduğu için kolay işlem yapabilmek adına bu değerleri atad��k.

2

Tablet ve klavyenin tekil kârlı satış fiyatlarını ve ardından bu fiyatların toplamını bulalım.

Tablet satış fiyatı =

140x

, Klavye satış fiyatı =

80x

, Toplam satış fiyatı =

220x

Tablet %40 kârla (

100x \times 1{}4 = 140x

) ve klavye %60 kârla (

50x \times 1{}6 = 80x

) satılmaktadır.

3

Paket alımında uygulanan %10 indirimi toplam satış fiyatına uygulayarak yeni satış fiyatını belirleyelim.

İndirimli satış fiyatı =

198x

Toplam satış fiyatı olan

220x

üzerinden %10 indirim yapıldığında, ödenecek tutar bu fiyatın %90'ı olur (

220x \times 0{}90 = 198x

).

4

Elde edilen net kâr tutarını bulup, bu kârın toplam maliyete oranını yüzde olarak hesaplayalım.

Net Kâr =

48x

, Kâr Oranı = %32

Net kâr

198x - 150x = 48x

olur. Kâr oranı ise

\frac{48x}{150x} \times 100 = 32

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Maliyet, satış fiyatı, kâr ve indirim oranları arasındaki ilişkileri kurarak toplam kâr yüzdesini hesaplama.

Soru 460Soru →

Fatih ve Gökhan'ın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Fatih, Gökhan'dan büyüktür.
* Gökhan, Fatih'in bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı $52$ olacaktır.
* Fatih, Gökhan'ın bugünkü yaşındayken Gökhan $6$ yaşındaydı.

Buna göre, Fatih'in bugünkü yaşı kaçtır?

16

20

22

26

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Fatih'in bugünkü yaşı 22'dir.

Fatih ve Gökhan'ın yaşları sırasıyla

F

ve

G

, yaş farkları

d = F - G

olsun. Gökhan

F

yaşına geldiğinde aradan

d

yıl geçmiş olur ve Fatih

F+d

yaşına gelir. Yaşları toplamı

2F+d = 3F-G = 52

olur. Fatih Gökhan'ın yaşındayken, yani

d

yıl önce, Gökhan

G-d = 2G-F = 6

yaşındaydı. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

G = 14

ve

F = 22

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fatih ve Gökhan'ın bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip yaş farkını tanımlamak.

Fatih'in bugünkü yaşı

F

, Gökhan'ın bugünkü yaşı

G

ve aralarındaki yaş farkı

d = F - G

olsun (

F > G

).

Problemi cebirsel olarak ifade etmek ve yaş farkının sabitliği ilkesini kullanabilmek için değişkenleri belirlemek gerekir.

2

Gökhan'ın Fatih'in yaşına geldiği durum için denklem kurmak.

3F - G = 52

denklemi elde edilir.

Gökhan'ın Fatih'in yaşına gelmesi için

d = F - G

yıl geçmelidir. Bu sürede Gökhan

F

yaşına gelirken, Fatih

F + d

yaşında olur. İkisinin yaşları toplamı

F + (F + d) = 2F + d = 52

olur.

d

yerine

F - G

yazıldığında

3F - G = 52

bulunur.

3

Fatih'in Gökhan'ın yaşında olduğu geçmiş durum için denklem kurmak.

F = 2G - 6

denklemi elde edilir.

Fatih'in Gökhan'ın bugünkü yaşında olduğu zaman

d

yıl öncesidir. O tarihte Gökhan

G - d

yaşındadır ve bu yaş

6

olarak verilmiştir.

G - d = 6 \implies G - (F - G) = 6 \implies 2G - F = 6 \implies F = 2G - 6

elde edilir.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.

G = 14

ve

F = 22

bulunur.

F = 2G - 6

ifadesini birinci denklemde yerine yazarsak:

3(2G - 6) - G = 52 \implies 6G - 18 - G = 52 \implies 5G = 70 \implies G = 14

olur. Buradan

F = 2(14) - 6 = 22

bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkının zamanla değişmeyeceği ve geçen sürenin her birey için aynı olacağı ilkesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram