Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 781Soru →

Bir taksinin ücret tarifesine göre, açılış ücreti 2020 TL olup gidilen her bir kilometre için 1010 TL yol ücreti alınmaktadır. Cebinde 150150 TL'den az parası olan bir müşterinin bu taksiyle gidebileceği mesafe kilometre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, bu müşteri en fazla kaç kilometre yol gitmiş olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Müşterinin gidebileceği en fazla mesafe 12 kilometredir.
Gidilen mesafe xx km olsun. Müşterinin ödeyeceği toplam ücret 20+10x20 + 10x TL formülü ile hesaplanır. Parası 150150 TL'den az olduğundan 20+10x<15020 + 10x < 150 eşitsizliği kurulur. Buradan 10x<13010x < 130 ve dolayısıyla x<13x < 13 bulunur. Mesafe bir tam sayı olduğuna göre, 1313'ten küçük en büyük tam sayı değeri olan 12 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Taksi ücretinin gidilen mesafeye bağlı doğrusal denklemini yazma
20+10x20 + 10x TL
xx gidilen kilometreyi göstermek üzere, sabit 2020 TL açılış ücretine her kilometre için 1010 TL eklenir.
2
Müşterinin bütçe sınırına göre eşitsizliği kurma
20+10x<15020 + 10x < 150
Cebindeki para 150150 TL'den az olduğu için toplam ücret bu değerden küçük olmalıdır.
3
Kurulan eşitsizliği çözerek x için üst sınırı bulma
x<13x < 13
Eşitsizliğin her iki tarafından 2020 çıkarılıp ardından her iki taraf 1010'a bölünür.
4
Koşulu sağlayan en büyük tam sayı değerini belirleme
1212
1313'ten küçük en büyük tam sayı 1212'dir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri

Alternatif Yöntem

Seçeneklerdeki değerler denklemde yerine yazılarak denenebilir. 13 km için 20 + 10*13 = 150 TL olur (limit dışı). 12 km için ise 20 + 10*12 = 140 TL olur (limit içi). Bu nedenle en fazla 12 km gidilebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 782Soru →

Bir kahve dükkanında müşterilere sunulan iki farklı sadakat kartı kampanyasıyla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* 1. Kart: Satın alınan her kahve için 33 puan kazandırır. Biriken her 1010 puan ile 11 bedava kahve alınabilir.
* 2. Kart: Satın alınan her kahve için 22 puan kazandırır. Biriken her 77 puan ile 11 bedava kahve alınabilir.

Her iki kampanyada da bedava alınan kahvelerden puan kazanılmamaktadır. Sadakat programına yeni başlayan Ayşe 1. Kart'ı, Barış ise 2. Kart'ı tercih etmiştir.

Belirli bir süre sonunda Ayşe ve Barış, kazandıkları tüm puanları bedava kahve almak için kullanmış ve kartlarında hiç puan kalmamıştır. Bu süre zarfında hem Ayşe hem de Barış'ın (satın aldıkları ve bedava aldıkları dahil) içtikleri toplam kahve sayıları eşit olmuştur.

Ayşe'nin parayla satın aldığı kahve sayısı, Barış'ın parayla satın aldığı kahve sayısından 44 eksik olduğuna göre; bu iki kişinin içtiği toplam kahve sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 936

Cevap

936
Ayşe'nin puan dengesinden satın aldığı kahve sayısı 10k10k, bedava kahve sayısı 3k3k ve toplam kahve sayısı 13k13k olur. Barış'ın puan dengesinden satın aldığı kahve sayısı 7m7m, bedava kahve sayısı 2m2m ve toplam kahve sayısı 9m9m olur. Toplam kahve sayıları eşit olduğundan 13k=9m13k = 9m eşitliğinden k=9nk=9n ve m=13nm=13n yazılır. Ayşe'nin satın aldığı kahve sayısı 90n90n, Barış'ınki ise 91n91n olur. Aralarındaki fark 91n−90n=n=491n - 90n = n = 4 olduğundan, her birinin içtiği kahve sayısı 13×9×4=46813 \times 9 \times 4 = 468 olur. İki kişinin içtiği toplam kahve sayısı ise 468+468=936468 + 468 = 936 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ayşe'nin satın aldığı ve bedava aldığı kahve sayıları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Ayşe'nin parayla satın aldığı kahve sayısı ApA_p ve bedava aldığı kahve sayısı AbA_b olsun. Her satın alınan kahve 33 puan kazandırdığından toplam 3Ap3A_p puan kazanılır. Her bedava kahve 1010 puan değerindedir ve hiç puan artmadığı için 3Ap=10Ab3A_p = 10A_b eşitliği elde edilir. Burada obeb(3,10)=1\text{obeb}(3,10)=1 olduğundan Ap=10kA_p = 10k ve Ab=3kA_b = 3k (kk pozitif tam sayı) yazılabilir. Ayşe'nin içtiği toplam kahve sayısı TA=Ap+Ab=13kT_A = A_p + A_b = 13k olur.
Kazanılan puanların bedava kahve puan maliyetiyle tam olarak eşleşmesi için oran kurmak gerekir.
2
Barış'ın satın aldığı ve bedava aldığı kahve sayıları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Barış'ın parayla satın aldığı kahve sayısı BpB_p ve bedava aldığı kahve sayısı BbB_b olsun. Benzer şekilde, kazanılan 2Bp2B_p puan ile 7Bb7B_b harcanan puan eşitlenir: 2Bp=7Bb2B_p = 7B_b. Buradan Bp=7mB_p = 7m ve Bb=2mB_b = 2m (mm pozitif tam sayı) bulunur. Barış'ın içtiği toplam kahve sayıs�� TB=Bp+Bb=9mT_B = B_p + B_b = 9m olur.
İkinci kartın puan sistemine göre Barış'ın kahve sayıları arasındaki oranı bulmak gerekir.
3
Toplam kahve sayılarının eşitliğini kullanarak değişkenleri ilişkilendirmek.
İki kişinin içtiği toplam kahve sayıları eşit olduğundan TA=TB  ⟹  13k=9mT_A = T_B \implies 13k = 9m olur. 1313 ve 99 aralarında asal olduğundan, en küçük ortak katları üzerinden k=9nk = 9n ve m=13nm = 13n (nn pozitif tam sayı) yazılabilir.
Soruda verilen toplam kahve sayılarının eşitliği koşulunu denkleme dökmek gerekir.
4
Satın alınan kahve sayılarının farkını kullanarak nn değerini bulmak ve toplam kahve sayısını hesaplamak.
Ayşe'nin satın aldığı kahve sayısı Ap=10k=10⋅9n=90nA_p = 10k = 10 \cdot 9n = 90n olur.
Barış'ın satın aldığı kahve sayısı Bp=7m=7⋅13n=91nB_p = 7m = 7 \cdot 13n = 91n olur.
Parayla satın alınan kahve sayılarının farkı Bp−Ap=91n−90n=nB_p - A_p = 91n - 90n = n olarak bulunur.
Soruda bu fark 44 olarak verildiğinden n=4n = 4 elde edilir.
Bu durumda bir kişinin içtiği toplam kahve sayısı: 13k=13⋅9⋅4=46813k = 13 \cdot 9 \cdot 4 = 468 olur.
İki kişinin içtiği toplam kahve sayısı ise 468+468=936468 + 468 = 936 olarak bulunur.
Verilen sayısal fark yardımıyla bilinmeyen katsayıyı bulup sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Oran-orantı prensipleri kullanılarak kurulan doğrusal sayı denklemlerinin çözümü ve en küçük ortak kat (EKOK) ilişkisi.
Soru 783Soru →

Bir okul, kütüphanesi için A ve B marka defterlerden satın almıştır. Bu defterlerin birer adetlerinin fiyatları ve bu alışverişle ilgili kampanya koşulları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Defter MarkasıBirim Fiyat (TL)Hediye Kampanyası
A40Satın alınan her 3 adet için +1 adet hediye
B60Satın alınan her 4 adet için +1 adet hediye

Bu okul, satın aldığı ve hediye edilenlerle birlikte toplam 18 adet defter teslim almış ve kırtasiyeye toplam 720 TL ödemiştir.

Buna göre, bu okula B marka defterlerden kaç adet hediye edilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Okula hediye edilen B marka defter sayısı 2'dir.
Satın alınan A marka defter sayısı xx ve B marka defter sayısı yy olmak üzere, 40x+60y=720  ⟹  2x+3y=3640x + 60y = 720 \implies 2x + 3y = 36 denkleminden x=6,y=8x=6, y=8 bulunur. Bu durumda hediye edilenlerle birlikte toplam defter sayısı 6+2+8+2=186 + 2 + 8 + 2 = 18 koşulunu tam sağlar. Satın alınan 8 adet B marka defter için her 4 adet alımda 1 adet hediye verildiğinden, toplam hediye edilen B marka defter sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve fiyat denkleminin kurulması
Satın alınan A marka defter sayısı xx, B marka defter sayısı yy olsun. Ödenen toplam ücret: 40x+60y=720  ⟹  2x+3y=3640x + 60y = 720 \implies 2x + 3y = 36 elde edilir.
Defterlerin birim fiyatları ile ödenen toplam tutar arasındaki ilişkiyi basitleştirmek için.
2
Hediye defter kurallar��na göre toplam defter sayısı denkleminin yazılması
Satın alınan her 3 adet A marka defter için 1 tane hediye edildiğinden, hediye A sayısı ⌊x/3⌋\lfloor x/3 \rfloor olur. Benzer şekilde hediye B sayısı ⌊y/4⌋\lfloor y/4 \rfloor olur. Toplam defter sayısı: x+⌊x/3⌋+y+⌊y/4⌋=18x + \lfloor x/3 \rfloor + y + \lfloor y/4 \rfloor = 18 denklemi elde edilir.
Hediye edilenlerle birlikte toplam defter miktarının 18 olduğu bilgisini kullanmak için.
3
Denklemleri sağlayan tam sayı değerlerinin bulunması
2x+3y=362x + 3y = 36 denkleminde yy çift sayı olmalıdır. yy değerlerini denediğimizde, sadece y=8y = 8 ve x=6x = 6 değerleri toplam defter denklemini sağlar: 6+⌊6/3⌋+8+⌊8/4⌋=6+2+8+2=186 + \lfloor 6/3 \rfloor + 8 + \lfloor 8/4 \rfloor = 6 + 2 + 8 + 2 = 18. Buradan hediye edilen B marka defter sayısı ⌊8/4⌋=2\lfloor 8/4 \rfloor = 2 olarak bulunur.
Defter sayıları pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan, değer deneme yöntemiyle tek çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri belirleme ve doğrusal denklem sistemlerini tam sayı kısıtları altında çözme.

Alternatif Yöntem

Ödenen toplam tutardan yola çıkarak seçenekler tek tek elenebilir. Örneğin B marka defterden 2 adet hediye alınmışsa, en az 2×4=82 \times 4 = 8 adet satın alınmış olmalıdır. 8 adet B marka defter için 8×60=4808 \times 60 = 480 TL ödenir. Geriye kalan 720−480=240720 - 480 = 240 TL ile 240/40=6240 / 40 = 6 adet A marka defter satın alınır. 6 adet A marka defter için de 6/3=26 / 3 = 2 adet hediye gelir. Toplam defter sayısı 8+2(hediye)+6+2(hediye)=188 + 2 (hediye) + 6 + 2 (hediye) = 18 olur ve koşullar tam sağlanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 784Soru →

Bir belediye, su tasarrufunu teşvik etmek amacıyla abonelerine kademeli bir su tarifesi uygulamaktadır. Bu tarifeye göre bir hanenin aylık su tüketimi için şu ücretlendirme yapılmaktadır:

* İlk 10 m310\text{ m}^3 tüketimin her bir metreküpü sabit bir birim fiyattan ücretlendirilir.
* 10 m310\text{ m}^3 üzerindeki her bir metreküp tüketim ise, ilk kademedeki birim fiyattan 88 TL daha fazla olan bir birim fiyattan ücretlendirilir.

Bu belediyenin abonesi olan iki haneden birincisi bir ayda 12 m312\text{ m}^3, ikincisi ise 8 m38\text{ m}^3 su tüketmiştir. Birinci hanenin ödediği toplam tutar, ikinci hanenin ödediği toplam tutarın 22 katından 3636 TL eksiktir.

Buna göre, bu tarifede 10 m310\text{ m}^3 üzerindeki su tüketiminin metreküp birim fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

10 metreküpün üzerindeki su tüketiminin metreküp birim fiyatı 21 TL'dir.
İlk kademenin birim fiyatı xx kabul edildiğinde, 8 m38\text{ m}^3 su tüketen hanenin faturası 8x8x TL olur. 12 m312\text{ m}^3 tüketen hanenin faturası ise ilk 10 metreküp için 10x10x TL ve kalan 2 metreküp için metreküp başına (x+8)(x+8) TL'den 10x+2(x+8)=12x+1610x + 2(x+8) = 12x + 16 TL olur. Kurulan 12x+16=2(8x)−3612x + 16 = 2(8x) - 36 denkleminin çözümünden x=13x = 13 elde edilir. Bizden istenen yüksek kademenin birim fiyatı ise 13+8=2113 + 8 = 21 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kademelere göre birim fiyatları tanımlama.
İlk 10 m310\text{ m}^3 tüketim için birim fiyat xx TL, 10 m310\text{ m}^3 üzerindeki t��ketim için birim fiyat x+8x + 8 TL olarak belirlenir.
Soruda verilen kademeli tarife artışını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Hanelerin ödediği toplam tutarları xx cinsinden yazma.
8 m38\text{ m}^3 su tüketen hanenin ödediği tutar 8x8x TL; 12 m312\text{ m}^3 su tüketen hanenin ödediği tutar ise 10x+2(x+8)=12x+1610x + 2(x + 8) = 12x + 16 TL olur.
Tüketim miktarlarını tarifedeki sınır değere (10 m310\text{ m}^3) göre paylaştırıp toplam fatura tutarlarını hesaplamak için.
3
Verilen ilişkiye göre denklemi kurma ve çözme.
12x+16=2(8x)−36  ⟹  12x+16=16x−36  ⟹  4x=52  ⟹  x=1312x + 16 = 2(8x) - 36 \implies 12x + 16 = 16x - 36 \implies 4x = 52 \implies x = 13 TL.
Birinci hanenin faturasının ikinci hanenin faturasının 2 katından 36 TL eksik olduğu bilgisini kullanarak ilk kademe fiyatını bulmak için.
4
10 m310\text{ m}^3 üzerindeki birim fiyatı hesaplama.
x+8=13+8=21x + 8 = 13 + 8 = 21 TL.
Soruda bizden istenen 10 metreküp üzerindeki suyun birim fiyatına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kademeli sayı problemleri ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine seçeneklerden giderek kontrol yapılabilir. Örneğin, ikinci kademe birim fiyatı 21 TL ise ilk kademe birim fiyatı 13 TL olur. Bu durumda 8 metreküp su tüketen hane 8×13=1048 \times 13 = 104 TL öder. 12 metreküp su tüketen hane ise (10×13)+(2×21)=130+42=172(10 \times 13) + (2 \times 21) = 130 + 42 = 172 TL öder. 172=2×104−36172 = 2 \times 104 - 36 eşitliği sağlandığı için doğru değerin 21 olduğu bu şekilde de doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 785Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan A, B ve C marka akıllı saatlerin birer adetlerinin fiyatları sırasıyla 33, 44 ve 55 sayıları ile doğru orantılıdır.

Bu mağazadan alışveriş yapan bir müşteri;
* A marka saatlerden en az 1 tane,
* B marka saatlerden en az 2 tane,
* C marka saatlerden en az 1 tane

olmak üzere toplamda 2020 adetten az saat satın almıştır.

Müşterinin satın aldığı A ve B marka saatlerin tamamı için ödediği toplam tutar, C marka saatlerin tamamı için ödediği toplam tutara eşittir.

Buna göre, bu müşterinin satın aldığı B marka saat sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Müşterinin satın aldığı B marka saat sayısı en fazla 8 olabilir.
Satın alınan A, B ve C saatlerinin adetleri sırasıyla aa, bb, cc ve birim fiyatları sırasıyla 33, 44, 55 ile orantılıdır. Toplam tutarların eşitliğinden 3a+4b=5c3a + 4b = 5c yazılır. c=3a+4b5c = \frac{3a + 4b}{5} tam sayı olmalıdır. Toplam saat sayısı a+b+c<20a + b + c < 20 olduğundan, bu ifadede cc yerine yazılırsa 8a+9b<1008a + 9b < 100 eşitsizliği ve 8a+9b8a + 9b'nin 5'in katı olması gerekliliği bulunur. En büyük bb değerini bulmak için yapılan incelemede a=1a = 1 ve b=8b = 8 için 8(1)+9(8)=80<1008(1) + 9(8) = 80 < 100 eşitsizliği sağlanır ve bu durumda c=7c = 7 olur. Toplam saat sayısı 1+8+7=16<201 + 8 + 7 = 16 < 20 şartına uygundur. Dolayısıyla B marka saat sayısı en fazla 8 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
A, B ve C marka saatlerin birim fiyatlarını belirleyip adet değişkenlerini tanımlama
Saatlerin birim fiyatları sırasıyla 3k3k, 4k4k ve 5k5k (k>0k > 0) olsun. Satın alınan adetler sırasıyla aa, bb ve cc olsun (a≥1a \ge 1, b≥2b \ge 2, c≥1c \ge 1 ve a+b+c<20a+b+c < 20).
Soruda verilen orantı ve adet kısıtlamalarını matematiksel modele dökmek için.
2
Ödenen toplam tutarların eşitliği bilgisini kullanarak denklem kurma
3k⋅a+4k⋅b=5k⋅c  ⟹  3a+4b=5c3k \cdot a + 4k \cdot b = 5k \cdot c \implies 3a + 4b = 5c denklemi elde edilir.
A ve B marka saatlerin toplam tutarının C marka saatlerin toplam tutarına eşit olduğunu denklem olarak ifade etmek için.
3
Toplam saat sayısı kısıtlamasını A ve B marka saatlerin adetleri cinsinden yazma
c=3a+4b5c = \frac{3a + 4b}{5} ifadesini toplam saat sayısı eşitsizliğinde yerine yazarsak: a+b+3a+4b5<20  ⟹  8a+9b5<20  ⟹  8a+9b<100a + b + \frac{3a + 4b}{5} < 20 \implies \frac{8a + 9b}{5} < 20 \implies 8a + 9b < 100 elde edilir.
Toplam saat sayısının 20'den az olması şartını iki değişkene indirgemek için.
4
cc değerinin tam sayı olması için gereken bölünebilme şartını belirleme
3a+4b3a + 4b ifadesi 5'in katı olmalıdır. Bu durum 8a+9b8a + 9b ifadesinin de 5'in katı olmasına denktir.
Satın alınan saat adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiği için.
5
8a+9b<1008a + 9b < 100 ve 8a+9b=5m8a + 9b = 5m şartlarını sağlayan en büyük bb değerini bulmak için analiz yapma
a=1a = 1 için b≡3(mod5)  ⟹  b=8b \equiv 3 \pmod 5 \implies b = 8 alındığında 8(1)+9(8)=80<1008(1) + 9(8) = 80 < 100 (sağlar) ve c=7c = 7 olur. Toplam saat: 1+8+7=16<201 + 8 + 7 = 16 < 20. b=9b = 9 için en küçük toplam saat sayısı a=3,c=9a=3, c=9 ile 21 olur ve 20'den az olma şartını ihlal eder.
Tüm kısıtlamalar altında B marka saat sayısını maksimum yapan tam sayı değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtlamalara uygun değer atama ve iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin tam sayı çözümlerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 786Soru →

Bir kahve dükkanında satılan A ve B marka kahvelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A marka kahveden satın alınan her 33 adet için 11 hediye kuponu verilmektedir.
* B marka kahveden satın alınan her 44 adet için 11 hediye kuponu verilmektedir.

Bu dükkandan sadece A ve B marka kahvelerden satın alan bir müşterinin aldığı A marka kahvelerin sayısı 33'ün, B marka kahvelerin sayısı ise 44'ün tam katıdır.

Müşteri toplam 3838 adet kahve satın almış ve karşılığında toplam 1111 hediye kuponu kazanmıştır.

Buna göre, müşterinin satın aldığı B marka kahve sayısı, A marka kahve sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Müşterinin satın aldığı B marka kahve sayısı A marka kahve sayısından 2 fazladır.
Denklem çözüldüğünde müşterinin 18 adet A marka kahve ve 20 adet B marka kahve satın aldığı görülür. B marka kahve sayısı, A marka kahve sayısından 2 fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
A marka kahve sayısına 3x3x, B marka kahve sayısına ise 4y4y diyelim. Burada xx ve yy sırasıyla A ve B kahvelerinden kazanılan hediye kuponu sayılarını temsil etmektedir.
Toplam kahve sayısı için 3x+4y=383x + 4y = 38 ve toplam kupon sayısı için x+y=11x + y = 11 denklemleri kurulur.
Soruda verilen toplam kahve ve kupon miktarlarını matematiksel denklemlere dönüştürmek.
2
Elde edilen x+y=11x + y = 11 denklemini 33 ile çarparak 3x+3y=333x + 3y = 33 denklemini elde edelim. Bu denklemi 3x+4y=383x + 4y = 38 denkleminden taraf tarafa çıkaralım.
(3x+4y)−(3x+3y)=38−33  ⟹  y=5(3x + 4y) - (3x + 3y) = 38 - 33 \implies y = 5 bulunur. Buradan x=11−5=6x = 11 - 5 = 6 olarak hesaplanır.
Yok etme yöntemini kullanarak hediye kuponu adetlerini bulmak.
3
Bulunan xx ve yy değerlerini kahve miktarı formüllerinde yerine yazalım ve farklarını hesaplayalım.
A marka kahve sayısı: 3×6=183 \times 6 = 18 adet, B marka kahve sayısı: 4×5=204 \times 5 = 20 adettir. Aralarındaki fark: 20−18=220 - 18 = 2 olur.
İstenen B marka kahve sayısı ile A marka kahve sayısı arasındaki farkı bulmak.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerinin çözümü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 787Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesi 1212 TL olan kalemlerden iki basamaklı ABAB tane sattığında elde ettiği toplam gelir 250250 TL'den az olmuştur.

Buna göre, bu kırtasiyecinin satabileceği en fazla kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

En fazla kalem sayısı 20'dir.
Toplam geliri veren 12×AB12 \times AB ifadesi 250250 değerinden küçük olmalıdır. Buradan elde edilen AB<20,83AB < 20,83 eşitsizliğini sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı 2020 olduğundan, doğru cevap yirmi adettir.

Adım Adım Çözüm

1
Probleme uygun eşitsizliğin kurulması.
Tanesi 1212 TL olan ABAB tane kalemin toplam geliri 12×AB12 \times AB olur. Gelir 250250 TL'den az olduğu için eşitsizlik 12×AB<25012 \times AB < 250 şeklindedir.
Kalem sayısı ile birim fiyatın çarpımı toplam geliri verir ve bu gelirin üst sınırı 250250 olarak belirtilmiştir.
2
Eşitsizliğin çözülmesi.
AB<25012AB < \frac{250}{12} sadeleştirildiğinde AB<1256AB < \frac{125}{6} yani yaklaşık olarak AB<20,83AB < 20,83 bulunur.
Bilinmeyen ABAB sayısının değer aralığını belirlemek için eşitsizliğin her iki tarafı kalemin birim fiyatına bölünür.
3
Tanım kümesine uygun en büyük değerin seçilmesi.
ABAB iki basamaklı bir doğal sayı olmak zorunda olduğundan, 20,8320,83 değerinden küçük olan en büyük iki basamaklı doğal sayı 2020'dir.
Satılan kalem adedi ancak tam sayı (doğal sayı) olabilir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem veya eşitsizlik kurma, değişkenlerin tanım kümelerine (doğal sayı, tam sayı vb.) dikkat ederek en büyük/en küçük değerleri belirleme.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 788Soru →

Bir unlu mamuller atölyesinde üretilen simitler, her birinde eşit sayıda simit olacak şekilde paketlenerek kutulara konulacaktır. Bu atölyede üretilen simitler;

* Her pakette 66 simit olacak şekilde paketlenirse elde edilen toplam paket sayısı, her pakette 88 simit olacak şekilde paketlendiğinde elde edilen toplam paket sayısından 1515 fazla olmaktadır.

Buna göre, üretilen tüm simitlerin yarısı paket başına 44 simit, diğer yarısı ise paket başına 1010 simit olacak şekilde paketlenirse toplam paket sayısı kaç olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Toplam paket sayısı 63 olur.
Toplam simit sayısı SS olarak belirlendikten sonra kurulan S6−S8=15\frac{S}{6} - \frac{S}{8} = 15 denklemi çözüldüğünde toplam simit sayısı 360360 olarak bulunur. Bu simitlerin yarısı (180180 adet) 44'erli paketlendiğinde 4545 paket, diğer yarısı (180180 adet) 1010'arlı paketlendiğinde 1818 paket elde edilir. Bu iki paket sayısının toplamı 6363 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam simit sayıs��nı bulmak için bir denklem kuralım.
Toplam simit sayısı SS olsun. 66 simitlik paketlerin sayısı S6\frac{S}{6}, 88 simitlik paketlerin sayısı S8\frac{S}{8} olur. Sözel ifadeye göre S6=S8+15\frac{S}{6} = \frac{S}{8} + 15 denklemi kurulur.
Paket sayıları arasındaki farkı kullanarak toplam simit miktarını belirlemek gerekir.
2
Kurulan denklemi çözerek toplam simit sayısını hesaplayalım.
S6−S8=15⇒4S−3S24=15⇒S24=15⇒S=360\frac{S}{6} - \frac{S}{8} = 15 \Rightarrow \frac{4S - 3S}{24} = 15 \Rightarrow \frac{S}{24} = 15 \Rightarrow S = 360 simit üretilmiştir.
Paydaları eşitleyerek bilinmeyen değeri yalnız bırakırız.
3
Yeni paketleme durumuna göre paket sayılarını ayrı ayrı bulalım.
Simitlerin yarısı yani 180180 simit 44'erli paketlenirse 1804=45\frac{180}{4} = 45 paket elde edilir. Diğer yarısı olan 180180 simit 1010'arlı paketlenirse 18010=18\frac{180}{10} = 18 paket elde edilir. Toplam paket sayısı 45+18=6345 + 18 = 63 olur.
Her iki gruptaki paket sayılarını ayrı ayrı bulup toplayarak nihai sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlere dönüştürme ve gruplandırma işlemlerini uygulama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 789Soru →

Bir lokantada yemek yiyen 6 arkadaş, hesabı eşit olarak paylaşacaktır. Ancak arkadaşlardan 2'sinin yanlarında para olmadığı için, diğer arkadaşların her biri kendi payına düşen miktardan 1515 TL daha fazla ödemiştir.

Buna göre, kişi başına düşen başlangıçtaki pay iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı olduğuna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Başlangıçtaki kişi başı payın rakamları toplamı olan 3 değeri
Başlangıçtaki kişi başı pay 3030 TL olarak bulunur. Bu değer iki basamaklı ABAB sayısı olduğundan A=3A=3 ve B=0B=0 olur. Rakamlar toplamı ise 3+0=33+0=3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kişi başına düşen başlangıçtaki paya xx diyerek toplam hesabı ve ödeme yapan kişi sayısına göre yeni durumu veren denklemi kurmak.
Toplam hesap 6x6x olur. 2 kişi ödemediği için kalan 4 kişinin her biri x+15x + 15 TL öder. Buradan toplam hesap 4(x+15)4(x + 15) olarak da ifade edilir. Kurulan denklem: 6x=4(x+15)6x = 4(x + 15) olur.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade etmek ve toplam hesabı iki farklı şekilde eşitlemek için.
2
Denklemi çözerek başlangıçtaki payı (xx) bulmak.
6x=4x+60  ⟹  2x=60  ⟹  x=306x = 4x + 60 \implies 2x = 60 \implies x = 30 TL bulunur.
Kişi başına düşen başlangıç payını sayısal olarak elde etmek için.
3
Bulunan iki basamaklı AB=30AB = 30 sayısının rakamları toplamı olan A+BA + B değerini hesaplamak.
A=3A = 3 ve B=0B = 0 olduğundan, A+B=3+0=3A + B = 3 + 0 = 3 elde edilir.
Soruda bizden istenen rakamlar toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklem kurma ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi
Soru 790Soru →

Bir geri dönüşüm merkezinde biriktirilen pet ve cam şişelerin teslimiyle ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Şi��e TürüTeslim Edilen AdetKazanılan Puan
Pet Şişe3322
Cam Şişe2233

Bu merkeze belirli sayıda pet ve cam şişe teslim eden bir çevre kulübü, toplam 210210 puan kazanmıştır. Eğer bu kulüp, teslim ettiği pet şişe sayısının yarısı kadar daha fazla pet şişe ve cam şişe sayısının üçte biri kadar daha az cam şişe teslim etseydi toplamda 240240 puan kazanacaktı.

Buna göre, çevre kulübünün başlangıçta teslim ettiği pet şişe sayısı, cam şişe sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120
Denklem sistemi çözüldüğünde başlangıçta teslim edilen pet şişe sayısı 180180, cam şişe sayısı ise 6060 olarak bulunur. Pet şişe sayısının cam şişe sayısından kaç fazla olduğu sorulduğu için 180−60=120180 - 60 = 120 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki pet şişe sayısını PP, cam şişe sayısını CC olarak belirleyip verilen puan durumuna göre ilk denklemi kuralım.
PP adet pet şişeden 23P\frac{2}{3}P puan, CC adet cam şişeden 32C\frac{3}{2}C puan elde edilir. Buradan 23P+32C=210\frac{2}{3}P + \frac{3}{2}C = 210 denklemi kurulur. Bu denklem 66 ile genişletilirse 4P+9C=12604P + 9C = 1260 elde edilir.
Verilen puanlama kuralına göre toplam kazanılan puanı veren denklemi oluşturmak.
2
İkinci durumdaki şişe sayılarını belirleyip kazanılacak puan denklemini kuralım.
Pet şişe sayısı yarısı kadar artırılırsa 1,5P1,5P olur. Cam şişe sayısı üçte biri kadar azaltılırsa 23C\frac{2}{3}C olur. Bu durumda kazanılan puan: 23(1,5P)+32(23C)=240  ⟹  P+C=240\frac{2}{3}(1,5P) + \frac{3}{2}(\frac{2}{3}C) = 240 \implies P + C = 240 elde edilir.
İkinci durumdaki puan artışına bağlı olarak şişe sayıları arasındaki ikinci ilişkiyi bulmak.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
P+C=240  ⟹  P=240−CP + C = 240 \implies P = 240 - C ifadesini ilk denklemde yerine yazalım: 4(240−C)+9C=1260  ⟹  960−4C+9C=1260  ⟹  5C=300  ⟹  C=604(240 - C) + 9C = 1260 \implies 960 - 4C + 9C = 1260 \implies 5C = 300 \implies C = 60 bulunur. Buradan P=240−60=180P = 240 - 60 = 180 elde edilir.
Başlangıçtaki pet ve cam şişe sayılarını ayrı ayrı bulmak.
4
Pet şişe sayısı ile cam şişe sayısı arasındaki farkı hesaplayalım.
P−C=180−60=120P - C = 180 - 60 = 120 olarak bulunur.
Soruda istenen 'pet şişe sayısının cam şişe sayısından kaç fazla olduğu' sorusuna cevap vermek.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 791Soru →

Bir spor salonuna üye olan Hakan, haftalık antrenman hedefi olarak belirli bir sayıda şınav çekmeyi planlamıştır. Hakan, hafta içi her gün eşit sayıda, hafta sonu ise hafta içi günlerde çektiği günlük şınav sayısının 2 katı kadar şınav çekerek haftalık hedefine tam olarak ulaşmıştır.

Hakan'ın hafta sonu iki günde çektiği toplam şınav sayısı 120120 olduğuna göre, haftalık hedefi olan toplam şınav sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 270

Cevap

Haftalık hedef olan toplam şınav sayısı 270'tir.
Hafta sonu iki günde çekilen toplam şınav sayısı 120120 olduğuna göre, hafta sonu günlük çekilen şınav sayısı 6060'tır. Hafta içi günlük şınav sayısı bunun yarısı olduğundan 3030'dur. Hafta içi 5 gün boyunca toplam 5×30=1505 \times 30 = 150 şınav çekilmiştir. Hafta sonu çekilen 120120 şınav ile hafta içi çekilen 150150 şınav toplandığında haftalık toplam hedef 270270 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hafta sonu günlük şınav sayısını ve buna bağlı olarak hafta içi günlük şınav sayısını belirlemek.
Hafta sonu günlük 120÷2=60120 \div 2 = 60 şınav çekilmiştir. Hafta içi günlük çekilen şınav sayısı ise 60÷2=3060 \div 2 = 30 şınavdır.
Hafta sonu çekilen günlük şınav sayısı hafta içi günlük şınav sayısının 2 katıdır.
2
Hafta içi 5 günde çekilen toplam şınav sayısını hesaplamak.
5×30=1505 \times 30 = 150 şınav.
Hafta içi toplam 5 gün vardır ve her gün eşit sayıda (3030 adet) şınav çekilmiştir.
3
Hafta içi ve hafta sonu çekilen şınav sayılarını toplayarak haftalık hedefi bulmak.
150+120=270150 + 120 = 270 şınav.
Haftalık toplam hedef, hafta içi ve hafta sonu çekilen tüm şınavların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri matematiksel denklemlere dökerek adım adım çözümleme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 792Soru →

Bir elektrikli ara�� şarj istasyonunda hızlı şarj ünitesi sayısı, standart şarj ünitesi sayısının 22 katıdır. Gün boyunca 1212 saatlik aktif hizmet süresince bu istasyondaki tüm üniteler kesintisiz olarak dolu kalmıştır.

İstasyondaki ünitelerin araç şarj etme süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ünite TipiBir Aracın Şarj Süresi
Standart Ünite33 saat
Hızlı Ünite4545 dakika

Bu 1212 saatlik sürede istasyondaki tüm ünitelerde toplam 7272 araç tamamen şarj edildiğine göre, istasyondaki toplam şarj ünitesi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Standart şarj ünitesi sayısına ss dersek hızlı şarj ünitesi sayısı 2s2s olur. 12 saatlik sürede bir standart ünite 123=4\frac{12}{3} = 4 araç şarj ederken, bir hızlı ünite 720 dakika45 dakika=16\frac{720 \text{ dakika}}{45 \text{ dakika}} = 16 araç şarj eder. Toplam şarj edilen araç sayısı 4⋅s+16⋅(2s)=724 \cdot s + 16 \cdot (2s) = 72 denkleminden 36s=72  ⟹  s=236s = 72 \implies s = 2 bulunur. Toplam şarj ünitesi sayısı ise s+2s=3s=3⋅2=6s + 2s = 3s = 3 \cdot 2 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart ve hızlı şarj ünitelerinin sayılarını değişkenlerle ifade edelim.
Standart şarj ünitesi sayısı ss ise hızlı şarj ünitesi sayısı 2s2s olur. Toplam şarj ünitesi sayısı s+2s=3ss + 2s = 3s olur.
Hızlı şarj ünitesi sayısının, standart şarj ünitesi sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
12 saatlik sürede tek bir standart ve tek bir hızlı ünitenin şarj edebileceği araç sayılarını hesaplayalım.
Bir standart ünite 12 saatte 12/3=412 / 3 = 4 araç şarj eder. Bir hızlı ünite ise 12 saatte (yani 720720 dakikada) 720/45=16720 / 45 = 16 araç şarj eder.
Ünitelerin 12 saat boyunca kesintisiz çalıştığı belirtildiğinden, toplam süreyi bir aracın şarj süresine bölerek ünite başına düşen araç sayısını buluruz.
3
Tüm ünitelerin 12 saatte şarj ettiği toplam araç sayısını veren denklemi kurup çözelim.
s⋅4+2s⋅16=72  ⟹  4s+32s=72  ⟹  36s=72  ⟹  s=2s \cdot 4 + 2s \cdot 16 = 72 \implies 4s + 32s = 72 \implies 36s = 72 \implies s = 2 bulunur. Toplam şarj ünitesi sayısı 3s=3⋅2=63s = 3 \cdot 2 = 6 olarak elde edilir.
Toplam şarj edilen araç sayısı 72 olarak verildiği için bu değeri denklemimize eşitleyerek standart ünite sayısını ve ardından toplam ünite sayısını buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 793Soru →

Bir çiçekçide satılan lale ve güllerden oluşan 18 adet çiçeğin bulunduğu bir buket hazırlanmıştır. Bu buketteki bir adet gülün fiyatı 20 TL, bir adet lalenin fiyatı ise 15 TL'dir. Buketteki tüm çiçeklerin toplam tutarı 310 TL olduğuna göre, bu buketteki gül sayısı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Buketteki gül sayısı 8'dir.
Gül sayısı xx olarak belirlendiğinde lale sayısı 18−x18 - x olur. Buketteki çiçeklerin toplam tutarı 20x+15(18−x)=31020x + 15(18 - x) = 310 denklemi ile modellenir. Parantez dağıtıldığında 20x+270−15x=31020x + 270 - 15x = 310 ve buradan 5x=405x = 40 elde edilir. Her iki taraf 5'e bölündüğünde gül sayısı olan xx değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve toplam tutarı veren denklemi kurma
Gül sayısı xx ise lale sayısı 18−x18 - x olur. Toplam tutar: 20x+15(18−x)=31020x + 15(18 - x) = 310 TL olarak yazılır.
Toplam çiçek sayısı ve birim fiyatlar kullanılarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilmek istenir.
2
Parantezi dağıtma ve denklemi sadeleştirme
20x+270−15x=310  ⟹  5x+270=31020x + 270 - 15x = 310 \implies 5x + 270 = 310 elde edilir.
Benzer terimler bir araya getirilerek denklem çözüme hazır hale getirilir.
3
Bilinmeyeni yalnız bırakarak denklemi çözme
5x=40  ⟹  x=85x = 40 \implies x = 8 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı sadeleştirilerek gül sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğrusal denklem kurarak sayı problemlerini modelleme ve çözme

Alternatif Yöntem

Tüm çiçeklerin lale olduğu varsayılırsa, toplam tutar 18×15=27018 \times 15 = 270 TL olurdu. Gerçek tutar olan 310 TL ile bu değer arasındaki fark 310−270=40310 - 270 = 40 TL'dir. Bir gülün fiyatı bir lalenin fiyatından 20−15=520 - 15 = 5 TL daha fazla olduğuna göre, bu 40 TL'lik farkı oluşturmak için bukette 40/5=840 / 5 = 8 adet gül bulunmalıdır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 794Soru →

Bir müzede ziyaretçiler için AA, BB ve CC olmak üzere üç farklı giriş kartı seçeneği sunulmaktadır. Bu kartların özellikleri aşağıda verilmiştir:
* AA kartı ile 33 kez,
* BB kartı ile 55 kez,
* CC kartı ile 88 kez giriş hakkı kazanılmaktadır.

Bu müzeden toplam 3030 adet kart satın alan bir grup öğrenci, satın aldıkları kartların tüm giriş haklarını kullanarak toplam 188188 kez giriş yapmıştır.

Gruptaki öğrencilerin satın aldığı AA kartı sayısı, BB kartı sayısının 22 katı olduğuna göre, satın alınan CC kartı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Satın alınan C kartı sayısı 18'dir.
Doğru yanıt 18'dir. Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde A kartından 8 adet, B kartından 4 adet ve C kartından 18 adet satın alındığı bulunur. Bu durum toplam kart sayısının 30, toplam giriş sayısının ise 188 olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve kart adetleri arasındaki ilişkinin kurulması.
BB kartı sayısı xx olsun. AA kartı sayısı BB kartı sayısının 22 katı olduğundan, A=2xA = 2x olur. Toplam 3030 kart olduğu için CC kartı sayısı 30−(2x+x)=30−3x30 - (2x + x) = 30 - 3x olarak ifade edilir.
Soru metnindeki kart adetleri arasındaki ilişkileri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
2
Toplam giriş sayısına göre denklemin kurulması.
Giriş sayıları toplamı: 3⋅(2x)+5⋅x+8⋅(30−3x)=1883 \cdot (2x) + 5 \cdot x + 8 \cdot (30 - 3x) = 188 denklemi elde edilir.
Kartların sağladığı toplam giriş hakkı sayısını kullanarak xx değişkenini bulmak için.
3
Denklemin çözülmesi ve xx de��erinin bulunması.
6x+5x+240−24x=188  ⟹  11x−24x+240=188  ⟹  −13x=−52  ⟹  x=46x + 5x + 240 - 24x = 188 \implies 11x - 24x + 240 = 188 \implies -13x = -52 \implies x = 4 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini (B kartı sayısını) elde etmek için.
4
CC kartı sayısının hesaplanması.
C=30−3xC = 30 - 3x ifadesinde x=4x = 4 yazılırsa, C=30−3(4)=30−12=18C = 30 - 3(4) = 30 - 12 = 18 bulunur.
Soruda bizden istenen C kartı sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemler yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Alternatif Yöntem

Değişken sayısını azaltmak için değer verme yöntemi veya seçeneklerden giderek deneme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, C kartı sayısı için seçenekler elendiğinde, kalan kartlar A ve B arasında 2:1 oranında paylaştırılıp toplam giriş sayısının 188 olup olmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 795Soru →

Bir kargo firmasında çalışan Ahmet ve Barış'ın gün sonunda teslim ettikleri paket sayıları ve bu paketler karşılığında alacakları net prim ödemeleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet ve Barış'ın her birine gün başında dağıtmak üzere eşit sayıda paket verilmiştir.
* Ahmet, zamanında teslim ettiği her paket için 1515 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1010 TL ceza ödemekte (bu tutar priminden düşülmekte)dir.
* Barış, zamanında teslim ettiği her paket için 2020 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1212 TL ceza ödemektedir.
* Gün sonunda her ikisi de kendilerine verilen tüm paketleri teslim etmiştir.
* İkisinin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı, zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının 33 katıdır.
* Ahmet'in gün sonunda elde ettiği net prim, Barış'ın elde ettiği net primden 9090 TL fazladır.

Buna göre, Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı 60'tır.
Zamanında teslim edilen toplam paket sayısı ile zamanında teslim edilemeyen toplam paket sayısı arasındaki orandan toplam paket sayısı olan NN ile zamanında teslim edilen paket sayıları xx ve yy arasında N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x+y) bağıntısı kurulur. Net prim farkı denklemi oluşturulup bu bağıntı yerine yazıldığında 79x−92y=27079x - 92y = 270 Diofant denklemi elde edilir. Pozitif tam sayı sınır koşullarında bu denklemi sağlayan en küçük değerler x=50x = 50 ve y=40y = 40 olup toplam paket sayısı N=60N = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet ve Barış'ın her birine verilen paket sayısını NN, Ahmet'in zamanında teslim ettiği paket sayısını xx, Barış'ın zamanında teslim ettiği paket sayısını ise yy olarak değişkenlerle ifade edelim.
Ahmet'in zamanında teslim edemediği paket sayısı N−xN - x, Barış'ın ise N−yN - y olur.
Problemdeki verileri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişkenleri tanımlamamız gerekir.
2
İki kuryenin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı (x+yx + y) ile zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının [(N−x)+(N−y)=2N−(x+y)(N - x) + (N - y) = 2N - (x + y)] oranını kullanarak bir denklem kuralım.
x+y=3⋅[2N−(x+y)]  ⟹  4(x+y)=6N  ⟹  N=23(x+y)x + y = 3 \cdot [2N - (x + y)] \implies 4(x + y) = 6N \implies N = \frac{2}{3}(x + y) elde edilir.
Zamanında teslim edilen paketlerin, teslim edilemeyenlerin 3 katı olduğu bilgisini denklemleştirmek için.
3
Ahmet ve Barış'ın aldıkları net prim miktarlarını veren denklemleri yazıp net prim farkını (9090 TL) eşitleyelim.
Ahmet'in net primi: 15x−10(N−x)=25x−10N15x - 10(N - x) = 25x - 10N ve Barış'ın net primi: 20y−12(N−y)=32y−12N20y - 12(N - y) = 32y - 12N olup, prim farkı: (25x−10N)−(32y−12N)=90  ⟹  25x−32y+2N=90(25x - 10N) - (32y - 12N) = 90 \implies 25x - 32y + 2N = 90 olur.
Prim kazançları ve aralarındaki fark bilgisini kullanarak ikinci ana denklemi oluşturmak için.
4
N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x + y) ifadesini prim farkı denkleminde yerine yazarak xx ve yy cinsinden bir Diofant denklemi elde edelim ve en küçük pozitif tam sayı çözümünü bulalım.
25x−32y+2⋅23(x+y)=90  ⟹  79x−92y=27025x - 32y + 2 \cdot \frac{2}{3}(x + y) = 90 \implies 79x - 92y = 270 denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü x=50x = 50 ve y=40y = 40 olarak bulunur. Buradan toplam paket sayısı N=23(50+40)=60N = \frac{2}{3}(50 + 40) = 60 elde edilir.
Bilinmeyenleri sınır koşullarına göre çözüp Ahmet'in aldığı toplam paket sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 796Soru →

Bir kargo firması gönderilen paketleri 'küçük boy' ve 'büyük boy' olarak iki kategoriye ayırmaktadır. Bu firmada kargo gönderim ücretleri şu şekildedir:
- Küçük boy paket: 1515 TL
- Büyük boy paket: 2525 TL

Zeynep, bu firmayla bir kısmı küçük boy, kalanı büyük boy olan toplam 1212 adet paket göndermiş ve kargo ücreti olarak toplam 220220 TL ödemiştir.

Buna göre, Zeynep'in gönderdiği paketlerden kaç tanesi küçük boy pakettir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Küçük boy paket sayısı xx olarak seçilirse büyük boy paketlerin sayısı 12−x12-x olur. Birim fiyatlarla çarpılarak elde edilen toplam ücret denklemi 15x+25(12−x)=22015x + 25(12-x) = 220 şeklindedir. Parantez dağıtılıp denklem çözüldüğünde −10x=−80-10x = -80 elde edilir ve buradan x=8x = 8 bulunur. Bu nedenle küçük boy paket sayısı sekizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenlerin tanımlanması ve denklemin kurulması
Küçük boy paket sayısı xx olsun. Toplam paket sayısı 1212 olduğundan büyük boy paket sayısı 12−x12 - x olur. Toplam ücret 15x+25(12−x)=22015x + 25(12 - x) = 220 denklemi ile gösterilir.
Problemdeki sözel verileri tek bir bilinmeyene bağlı matematiksel bir modele dönüştürmek için.
2
Denklemin çözülmesi
15x+300−25x=220  ⟹  −10x+300=220  ⟹  10x=80  ⟹  x=815x + 300 - 25x = 220 \implies -10x + 300 = 220 \implies 10x = 80 \implies x = 8 olarak bulunur.
Bilinmeyen küçük boy paket sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde, iki farklı grubun toplam sayısı biliniyorsa, grupların eleman sayıları tek bir değişken (x ve Toplam - x) cinsinden yazılarak denklem çözülür.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. Küçük boy paket sayısı sekiz olarak seçilirse büyük boy paket sayısı dört olur. Toplam maliyet 8×15+4×25=120+100=2208 \times 15 + 4 \times 25 = 120 + 100 = 220 TL olarak hesaplanır ve bu durum soruda verilen bilgileri doğrudan sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 797Soru →

Bir öğrencinin çözdüğü ve kalan soru sayılarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Çözülen soru sayısı, kalan soru sayısının 22 katından 1212 eksiktir.
* Bu testteki toplam soru sayısı, çözülen soru sayısının en az 22 katıdır.

Buna göre, bu testteki toplam soru sayısını gösteren kaç farklı iki basamaklı doğal sayı vard��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Toplam soru sayısı ile çözülen ve kalan soru sayıları arasındaki ilişkilerden hareketle kalan soru sayısı kk için 8≤k≤128 \leq k \leq 12 aralığı elde edilir. Bu aralıkta alabileceği 5 farklı tam sayı değeri vardır ve her biri için farklı bir iki basamaklı toplam soru sayısı oluşur. Dolayısıyla toplamda 5 farklı iki basamaklı doğal sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çözülen soru sayısını cc ve kalan soru sayısını kk olarak değişkenlere atayıp aralarındaki denklemi kurmak.
c=2k−12c = 2k - 12 denklemi elde edilir. ��özülen soru sayısı negatif olamayacağından c≥0  ⟹  2k−12≥0  ⟹  k≥6c \geq 0 \implies 2k - 12 \geq 0 \implies k \geq 6 elde edilir.
Soruda verilen çözülen soru sayısı ile kalan soru sayıs�� arasındaki doğrusal ilişkiyi matematiksel olarak modellemek ve değişken sınırını belirlemek için bu adım uygulanır.
2
Toplam soru sayısını (TT) bu değişkenler cinsinden yazıp iki basamaklı sayı olma kısıtını uygulamak.
T=c+k=(2k−12)+k=3k−12T = c + k = (2k - 12) + k = 3k - 12 olarak bulunur. TT iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan 10≤3k−12≤99  ⟹  22≤3k≤111  ⟹  7.33≤k≤3710 \leq 3k - 12 \leq 99 \implies 22 \leq 3k \leq 111 \implies 7.33 \leq k \leq 37 aralığı elde edilir. kk bir tam sayı olduğundan alt sınır k≥8k \geq 8 olur. Dolayısıyla 8≤k≤378 \leq k \leq 37 aralığı elde edilir.
Toplam soru sayısının iki basamaklı bir sayı olması koşulunu kullanarak kalan soru sayısı kk için bir tanım aralığı belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.
3
İkinci koşul olan 'toplam soru sayısı, çözülen soru sayısının en az 22 katıdır' kısıtını eşitsizlik olarak kurup çözmek.
T≥2c  ⟹  3k−12≥2(2k−12)  ⟹  3k−12≥4k−24  ⟹  −k≥−12  ⟹  k≤12T \geq 2c \implies 3k - 12 \geq 2(2k - 12) \implies 3k - 12 \geq 4k - 24 \implies -k \geq -12 \implies k \leq 12 elde edilir.
Toplam soru sayısı ile çözülen soru sayısı arasındaki eşitsizlik ilişkisinden kk için bir üst sınır belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.
4
Elde edilen 8≤k≤378 \leq k \leq 37 ve k≤12k \leq 12 eşitsizliklerini birleştirerek kk tam sayısının alabileceği farklı değerleri bulmak.
Ortak aralık 8≤k≤128 \leq k \leq 12 olarak bulunur. kk bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler {8,9,10,11,12}\{8, 9, 10, 11, 12\} olup toplamda 5 adettir. Bu değerler için toplam soru sayıları sırasıyla 12,15,18,21,2412, 15, 18, 21, 24 olur ve hepsi iki basamaklı sayılardır.
Her iki koşulu ve iki basamaklı sayı tanımını sağlayan tüm olası durumları belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Birinci Dereceden Eşitsizlikler
Soru 798Soru →

Bir dijital yayın platformunda Standart ve Premium olmak üzere iki farklı üyelik seçeneği sunulmaktadır. Bu üyelik paketlerinin aylık sabit ücretleri ve kiralanan film başına ödenen ek ücretler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üyelik PaketiAyl��k Sabit Ücret (TL)Film Başına Ek Ücret (TL)
Standart8015
Premium14010

Bu platforma aynı ayda üye olan Can ve Demir'den Can Standart paketi, Demir ise Premium paketi seçmiştir. Bu ayda Can ve Demir'in kiraladıkları toplam film sayısı 22'dir.

Ay sonunda Can'ın ödediği toplam tutar, Demir'in ödediği toplam tutardan en az 20 TL fazla olduğuna göre, Can bu ayda en az kaç film kiralamıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Can'ın kiraladığı en az film sayısı 12'dir.
Can'ın kiraladığı film sayısı xx olarak kabul edildiğinde, Demir'in kiraladığı film sayısı 22−x22-x olur. Can'ın Standart paket kapsamında ödediği toplam ücret 80+15x80 + 15x TL iken, Demir'in Premium paket kapsamında ödediği toplam ücret 140+10(22−x)140 + 10(22-x) TL'dir. Can'ın ödediği ücretin Demir'in ödediği ücretten en az 20 TL fazla olduğunu gösteren eşitsizlik (80+15x)−(140+10(22−x))≥20(80 + 15x) - (140 + 10(22-x)) \ge 20 şeklinde kurulur. Bu eşitsizlik düzenlendiğinde 25x−280≥20  ⟹  25x≥300  ⟹  x≥1225x - 280 \ge 20 \implies 25x \ge 300 \implies x \ge 12 elde edilir. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı değeri 12 olduğundan doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve film sayılarının harflendirilmesi.
Can'ın kiraladığı film sayısı xx olsun. Toplam film sayısı 22 olduğundan, Demir'in kiraladığı film sayısı 22−x22-x olur.
Değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.
2
Kişilerin ödediği toplam ücretlerin cebirsel olarak ifade edilmesi.
Can'ın ödediği toplam tutar: 80+15x80 + 15x TL. Demir'in ödediği toplam tutar: 140+10(22−x)=140+220−10x=360−10x140 + 10(22-x) = 140 + 220 - 10x = 360 - 10x TL.
Toplam ücret, aylık sabit ücret ile kiralanan film sayısının birim film ücretiyle çarpımının toplamına eşittir.
3
Verilen koşula uygun eşitsizliğin kurulması ve çözülmesi.
(80+15x)−(360−10x)≥20  ⟹  25x−280≥20  ⟹  25x≥300  ⟹  x≥12(80 + 15x) - (360 - 10x) \ge 20 \implies 25x - 280 \ge 20 \implies 25x \ge 300 \implies x \ge 12 bulunur. Dolayısıyla xx değerinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 12'dir.
Can'ın ödediği tutarın Demir'in ödediği tutardan en az 20 TL fazla olduğu belirtildiği için bu fark 20'den büyük veya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri

Alternatif Yöntem

Seçeneklerdeki değerler Can'ın film sayısı olarak tek tek denenip Demir'in film sayısı 22−x22-x olarak bulunarak ödenen tutarlar hesaplanabilir. Örneğin 12 değeri denendiğinde Can 80+15×12=26080 + 15 \times 12 = 260 TL öder. Demir ise 140+10×10=240140 + 10 \times 10 = 240 TL öder. Aradaki fark 260−240=20260 - 240 = 20 TL olur ve en az 20 TL fazlalık koşulunu sağlar. Daha küçük değerler denendiğinde farkın 20 TL'nin altına düştüğü görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 799Soru →

Bir kargo teslim noktasındaki akıllı dolapta, AA ve BB tipi olmak üzere iki farklı boyutta toplam 6060 adet bölme bulunmaktadır. Bu bölmelerin paket kabul kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir AA tipi bölmeye en fazla 11 adet küçük paket yerleştirilebilmektedir.
* Her bir BB tipi bölmeye ise ya 11 adet büyük paket ya da en fazla 33 adet küçük paket yerle��tirilebilmektedir.

Gün sonunda bu dolaptaki bölmelerin doluluk durumuyla ilgili şunlar gözlemlenmiştir:

* AA tipi bölmelerin üçte biri, BB tipi bölmelerin ise dörtte biri tamamen boştur.
* Dolapta boş kalan toplam bölme sayısı 1616'dır.
* Dolu olan BB tipi bölmelerin bir kısmına sadece birer adet büyük paket konulmuş, kalan BB tipi bölmeler ise üçer adet küçük paketle tamamen doldurulmuştur.
* Dolu olan AA tipi bölmelerin her birinde ise birer adet küçük paket bulunmaktadır.
* Dolaba yerleştirilen toplam küçük paket sayısı, toplam büyük paket sayısına eşittir.

Buna göre, dolu olan BB tipi bölmelerin kaç tanesinde küçük paket bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dolu olan B tipi bölmelerin 7 tanesinde küçük paket bulunmaktadır.
Dolu olan B tipi bölmelerin 7 tanesine üçer adet küçük paket yerleştirildiğinde, dolaptaki toplam küçük paket sayısı ile büyük paket sayısı eşitlenmektedir. Bu durum, kurulan denklem sisteminin tek ve tutarlı çözümüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Dolaptaki A ve B tipi bölme sayılarını belirlemek amacıyla denklem sistemi kuralım.
A+B=60A + B = 60 ve A3+B4=16\frac{A}{3} + \frac{B}{4} = 16 denklemleri elde edilir.
Toplam bölme sayısının 6060, boş bölme sayısının ise 1616 olduğu verilmiştir.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek bölme sayılarını hesaplayalım.
A=12A = 12 ve B=48B = 48 bulunur.
İkinci denklem 1212 ile genişletildiğinde 4A+3B=1924A + 3B = 192 elde edilir. Birinci denklemin 33 katı olan 3A+3B=1803A + 3B = 180 ifadesi bundan çıkarıldığında A=12A = 12 kalır.
3
Dolu olan A ve B tipi bölme sayılarını bulalım.
Dolu A tipi bölme sayısı: 12−4=812 - 4 = 8. Dolu B tipi bölme sayısı: 48−12=3648 - 12 = 36 olur.
A tipi bölmelerin üçte biri (44 tanesi), B tipi bölmelerin ise dörtte biri (1212 tanesi) boştur.
4
B tipi dolu bölmelere yerleştirilen paket sayılarını değişken kullanarak eşitleyelim.
8+3x=36−x8 + 3x = 36 - x denklemi kurulur ve buradan x=7x = 7 elde edilir.
B tipi dolu bölmelerin xx tanesine üçer küçük paket, 36−x36 - x tanesine birer büyük paket yerleştirilirse toplam küçük paket sayısı 8+3x8 + 3x, büyük paket sayısı 36−x36 - x olur. Bu iki değer birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 800Soru →

Bir gruptaki kişilerin şimdiki yaşları toplamı iki basamaklı abab sayısıdır. Bu gruptaki kişi sayısı ise bu sayının rakamları toplamı olan a+ba+b değerine eşittir.

Gruptaki herkesin 3 yıl sonraki yaşları toplamı, şimdiki yaşları toplamından 15 fazla ve şimdiki yaşları toplamı gruptaki kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğuna göre, bu grubun şimdiki yaşları toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Şimdiki yaşları toplamını gösteren değer 32'dir.
Yaşlar toplamındaki 15 artış, gruptaki kişi sayısı ile geçen 3 yılın çarpımına eşittir. Buradan kişi sayısı 15÷3=515 \div 3 = 5 bulunur. Gruptaki kişi sayısı rakamlar toplamı olan a+ba+b değerine eşit olduğundan a+b=5a+b=5 elde edilir. Şimdiki yaşlar toplamı (abab), kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğuna göre ab=6×5+2=32ab = 6 \times 5 + 2 = 32 olur. 3232 sayısının rakamları toplamı da 3+2=53+2=5 koşulunu sağladığı için şimdiki yaşlar toplamı 32'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Gruptaki kişi sayısını belirlemek amacıyla yaş artışı bilgisinden faydalanılır.
Kişi sayısı = 15÷3=515 \div 3 = 5 olarak bulunur.
Gruptaki her bir kişinin yaşı 3 yıl sonra 3 artacaktır. Yaşlar toplamındaki 15 artış, kişi sayısı ile 3'ün çarpımına eşittir.
2
Kişi sayısı bilgisiyle iki basamaklı abab sayısının rakamları toplamı denklemi kurulur.
a+b=5a + b = 5 olur.
Gruptaki kişi sayısının, şimdiki yaşlar toplamı olan abab sayısının rakamları toplamına (a+ba+b) eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Şimdiki yaşlar toplamı olan abab sayısının değeri hesaplanır.
ab=6×5+2=32ab = 6 \times 5 + 2 = 32 olarak elde edilir.
Şimdiki yaşlar toplamının, kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğu ifade edilmiştir. Bulunan kişi sayısı (5) yerine yazıldığında sonuç 32 çıkar. 3232 sayısının rakamları toplamı da 3+2=53+2=5 koşulunu doğrulamaktadır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla cebirsel denklemlere dökme ve iki basamaklı sayı basamak analizi mantığını uygulama.
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 40 / 45Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 40 | Examkin