Ardışık Sayılar ve Toplamları Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir tiyatro salonundaki koltuklar, en önden arkaya doğru sırasıyla 1. sıra, 2. sıra, ... şeklinde sıralanmıştır. Bu salonla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 1. sıradaki koltuk sayısı $x$ 'tir.
* Arkaya doğru gidildikçe her sıradaki koltuk sayısı, bir önceki sıradaki koltuk sayısından $3$ fazladır.
* Salondaki toplam koltuk sayısı $285$ 'tir.
* En son sıradaki koltuk sayısı, ilk sıradaki koltuk sayısının $3$ katından $3$ eksiktir.

Buna göre, bu salonda toplam kaç sıra koltuk vardır?

8

10

12

15

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Tiyatro salonundaki koltuk sayıları ardışık olarak her sırada 3 artmaktadır. İlk sıradaki koltuk sayısı

x

, sıra sayısı

n

olmak üzere son sıradaki koltuk sayısı

x + 3(n-1)

olur. Bu değer

3x - 3

'e eşitlendiğinde

2x = 3n

bağıntısı bulunur. Toplam koltuk sayısı ise ilk ve son terimin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımıdır. Buradan

\frac{n(4x-3)}{2} = 285 \implies n(4x-3) = 570

elde edilir.

2x = 3n \implies 4x = 6n

dönüşümü yapıldığında

n(6n-3) = 570 \implies n(2n-1) = 190

bulunur.

190

sayısı

10 \times 19

şeklinde çarpanlarına ayrıldığından,

n = 10

pozitif tam sayı değeri denklemi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Sıralardaki koltuk sayılarını temsil eden aritmetik dizinin terimlerini yazalım.

1. sırada

x

koltuk varsa, her sıra bir öncekinden

3

fazla oldu��undan

n

. sıradaki koltuk sayısı

x + 3(n-1)

olur.

Sıralardaki koltuk sayılarının artış miktarını matematiksel olarak ifade etmek için.

2

En son sıradaki koltuk sayısı ile ilk sıradaki koltuk sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak

x

ile

n

arasında bir bağıntı elde edelim.

x + 3(n-1) = 3x - 3 \implies 3n - 3 = 2x - 3 \implies 2x = 3n

elde edilir.

Son sıradaki koltuk sayısının ilk sıradakinin 3 katından 3 eksik olduğu bilgisini kullanmak için.

3

Toplam koltuk sayısı formülünü uygulayalım.

S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = 285 \implies \frac{n \cdot (x + 3x - 3)}{2} = 285 \implies n(4x - 3) = 570

olur.

Salondaki toplam koltuk sayısının 285 olduğu bilgisini aritmetik dizi toplamı ile eşitlemek için.

4

2x = 3n

bağıntısını toplam denkleminde yerine yazalım.

2x = 3n \implies 4x = 6n

olduğundan,

n(6n - 3) = 570 \implies 3n(2n - 1) = 570 \implies n(2n - 1) = 190

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene indirgeyerek çözüme ulaşmak için.

5

n

pozitif bir tam sayı olduğundan

190

sayısının ardışık çarpanlarını inceleyelim.

190 = 10 \times 19

olduğundan

n = 10

için

2n - 1 = 19

eşitliği sağlanır. Dolayısıyla tiyatro salonunda 10 sıra koltuk vardır.

Elde edilen ikinci dereceden tam sayı denklemini çarpanlara ayırma yöntemiyle çözmek için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri kullanılarak denklem kurma ve çözme.

Soru 22Soru →

Bir sınıftaki öğrenciler beden eğitimi dersinde yan yana tek sıra hâlinde dizilmiştir. Bu sıradaki öğrenciler soldan sağa doğru 1'den başlanarak ardışık sayma sayılarıyla sırayla numaralandırılmıştır. Sıradaki tüm öğrencilerin numaralarının toplamı 120 olduğuna göre, bu sırada toplam kaç öğrenci vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Sıradaki toplam öğrenci sayısı 15'tir.

1'den n'e kadar olan ardışık sayma sayılarının toplamı n*(n+1)/2 formülüyle hesaplanır. Bu toplam 120 olarak verildiğinde, n*(n+1)/2 = 120 denkleminden n*(n+1) = 240 elde edilir. 240 sayısı ardışık iki pozitif tam sayı olan 15 ve 16'nın çarpımı olduğundan n = 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1

1'den n'e kadar olan ardışık sayma sayılarının toplam formülünü kurmak.

n*(n+1)/2 = 120

Öğrencilerin numaraları 1'den başlayıp ardı��ık olarak arttığı ve bu numaraların toplamı 120 olduğu için.

2

Denklemi düzenleyerek ardışık iki sayının çarp��mı durumuna getirmek.

n*(n+1) = 240

Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparak bölü 2 ifadesini sadeleştirmek için.

3

Çarpımları 240 olan ardışık iki pozitif tam sayıyı bulmak.

n = 15

15 ve 16 ardışık sayılar olup çarpımları 240'tır. Öğrenci sayısı negatif olamayacağından n pozitif tam sayısı 15 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı Formülü

Soru 23Soru →

$x > 1$ bir tek tam sayı olmak üzere, aşağıda tanımlanan toplam değerlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

En büyüğü

x+7

olan 4 ardışık çift tam sayının toplamı < Ortanca terimi

x+3

olan 5 ardışık tam sayının toplamı < En küçüğü

x

olan 5 ardışık tek tam sayının toplamı

Verilen tanımlara göre elde edilen cebirsel toplamlar sırasıyla

4x+16

,

5x+15

ve

5x+20

şeklindedir.

x > 1

koşulu altında bu değerler sıralandığında en küçük toplam en büyüğü

x+7

olan 4 ardışık çift tam sayının toplamı (

4x+16

), ortanca toplam ortanca terimi

x+3

olan 5 ardışık tam sayının toplamı (

5x+15

) ve en büyük toplam en küçüğü

x

olan 5 ardışık tek tam sayının toplamı (

5x+20

) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci ifadedeki sayıları belirleyip toplamı cebirsel olarak yazalım.

En büyüğü

x+7

olan ardışık 4 çift tam sayı:

x+1

,

x+3

,

x+5

ve

x+7

olup toplamları

(x+1) + (x+3) + (x+5) + (x+7) = 4x + 16

olur.

x

tek sayı olduğundan

x+7

çifttir ve ardışık çift sayılar ikişer farkla azalır.

2

İkinci ifadedeki sayıları belirleyip toplamı cebirsel olarak yazalım.

Ortanca terimi

x+3

olan ardışık 5 tam sayı:

x+1

,

x+2

,

x+3

,

x+4

ve

x+5

olup toplamları

5x + 15

olur.

Ardışık 5 tam sayının toplamı, ortanca terimin 5 katına eşittir (

5 \times (x+3)

).

3

Üçüncü ifadedeki sayıları belirleyip toplamı cebirsel olarak yazalım.

En küçüğü

x

olan ardışık 5 tek tam sayı:

x

,

x+2

,

x+4

,

x+6

ve

x+8

olup toplamları

5x + 20

olur.

x

tek sayı olduğundan ardı��ık tek sayılar ikişer ikişer artar.

4

Bulunan toplamları (

4x+16

,

5x+15

,

5x+20

)

x > 1

koşulu altında karşılaştıralım.

4x+16 < 5x+15 < 5x+20

sıralaması bulunur.

5x+15 < 5x+20

olduğu açıktır.

5x+15

ile

4x+16

karşılaştırıldığında farkları

(5x+15) - (4x+16) = x-1

olur.

x > 1

tek tam sayı olduğundan en az 3'tür ve

x-1 > 0

olacağı için ikinci toplam birinci toplamdan büyüktür.

Anahtar Kavram

Ardışık tam sayıların cebirsel gösterimi ve toplam formülleri

Soru 24Soru →

Ardışık tam sayılardan oluşan $A$ ve $B$ kümeleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ kümesi ardışık 7 tam sayıdan oluşmaktadır.
* $B$ kümesi ardışık 6 tam sayıdan oluşmaktadır.
* $A$ kümesindeki elemanların toplamı, $B$ kümesindeki elemanların toplamına eşittir.
* $A$ kümesinin en büyük elemanı, $B$ kümesinin en küçük elemanından 7 fazladır.

Buna göre, $A$ kümesinin en küçük elemanı kaçtır?

-13

-12

-6

6

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-12$

Cevap

-12

Doğru seçenekte verilen değer, kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden elde edilen

a = -12

değeridir. Bu değer

A

kümesinin en küçük elemanını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin elemanlarını en küçük elemanları cinsinden tanımlayalım.

A

kümesinin en küçük elemanı

a

olsun. Küme ardışık 7 tam sayıdan oluştuğu için elemanları:

A = \{a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6\}

olur.

B

kümesinin en küçük elemanı

b

olsun. Küme ardışık 6 tam sayıdan oluştuğu için elemanları:

B = \{b, b+1, b+2, b+3, b+4, b+5\}

olur.

Soruda verilen toplam ve eleman ilişkilerini matematiksel olarak ifade edebilmek için elemanları değişkenler cinsinden tanımlamamız gerekir.

2

Kümelerin elemanları toplamını hesaplayıp birbirine eşitleyelim.

A

kümesinin elemanları toplamı:

T_A = 7a + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7a + 21

B

kümesinin elemanları toplamı:

T_B = 6b + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6b + 15

Toplamlar eşit olduğuna göre:

7a + 21 = 6b + 15 \implies 7a - 6b = -6

Soruda her iki kümenin elemanları toplamının eşit olduğu belirtilmiştir.

3

Kümelerin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki ilişkiyi kullanarak ikinci denklemi kuralım.

A

kümesinin en büyük elemanı

a+6

ve

B

kümesinin en küçük elemanı

b

'dir.

Verilen bilgiye göre:

(a+6) - b = 7 \implies b = a - 1

A

'nın en büyük elemanının,

B

'nin en küçük elemanından 7 fazla olduğu bilgisi verilmiştir.

4

Elde ettiğimiz iki denklemi ortak çözelim.

7a - 6b = -6

denkleminde

b = a - 1

yazalım:

7a - 6(a-1) = -6

7a - 6a + 6 = -6

a + 6 = -6 \implies a = -12

Böylece

A

kümesinin en küçük elemanı

-12

olarak bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aradığımız en küçük eleman olan

a

değerini buluruz.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve ardışık terimler arasındaki fark ilişkilerini kullanarak denklem kurma ve çözme.

Alternatif Yöntem

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir.

A

kümesinin ortanca terimi

a+3

,

B

kümesinin ortanca terimi ise

b+2.5

olur. Toplamların eşitliğinden

7(a+3) = 6(b+2.5) \implies 7a + 21 = 6b + 15

denklemi pratik olarak kurulabilir.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 25Soru →

Ardışık 5 çift tam sayının toplamı $S$ 'dir. Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 36 olduğuna göre, $S$ değeri kaçtır?

18

85

90

100

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Ardışık 5 çift tam sayının toplamı 90'dır.

Ardışık 5 çift tam sayı

n, n+2, n+4, n+6, n+8

şeklinde gösterilir. En küçük terim

n

ve en büyük terim

n+8

olduğundan, toplamları

2n+8 = 36

eşitliğinden

n=14

olarak elde edilir. Bu durumda sayılar 14, 16, 18, 20, 22 olur ve bu sayıların toplamı 90 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık 5 çift tam sayıyı, en küçük sayı

n

(çift tam sayı) olmak üzere yazalım.

Sayılar sırasıyla

n

,

n+2

,

n+4

,

n+6

ve

n+8

olur.

Ardışık çift tam sayılar ikişer ikişer artar.

2

En büyük sayı (

n+8

) ile en küçük sayının (

n

) toplamını 36'ya eşitleyerek

n

değerini bulalım.

n + (n + 8) = 36 \implies 2n + 8 = 36 \implies 2n = 28 \implies n = 14

bulunur.

Soruda en büyük ve en küçük sayıların toplamının 36 olduğu verilmiştir.

3

Bulduğumuz

n=14

değerine göre tüm sayıları belirleyip toplamı hesaplayalım.

Sayılar 14, 16, 18, 20 ve 22'dir. Toplamları ise

S = 14 + 16 + 18 + 20 + 22 = 90

olur.

Bizden bu 5 sayının toplamı olan

S

değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık çift sayıların genel terim gösterimi ve terimler toplamı formülü

Alternatif Yöntem

Ardışık tek sayıda terimden oluşan bir aritmetik dizide, en küçük ve en büyük terimin toplamı ortanca terimin 2 katına eşittir. Dolayısıyla, en küçük ve en büyük terimin toplamı 36 ise, ortanca terim

36 / 2 = 18

olur. 5 terimli bu dizinin elemanları toplamı ise (Terim Sayısı)

\times

(Ortanca Terim) formülüyle

5 \times 18 = 90

olarak pratik şekilde bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 26Soru →

Ardışık $n$ tane tek pozitif tam sayının toplamı $S$ 'dir. Bu sayıların en küçüğü ile en büyüğünün toplamı $40$ 'tır.

Bu sayıların en küçüğü bir asal sayı olduğuna göre, $n$ 'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

70

72

91

110

137

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Doğru cevap 72'dir.

Dizideki sayılar tek sayı olduğundan en küçük terim tek bir asal sayı olmak zorundadır.

a+n=21

denkleminde

a

yerine yazılabilen tek asal sayılar 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 olup, buna karşılık gelen

n

değerlerinin toplamı 72'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık tek sayıların genel terim ilişkisini yazma

En küçük terim

a

ve terim sayısı

n

ise, en büyük terim

b = a + 2(n - 1)

olur.

Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar.

2

En küçük ve en büyük terim toplamını kullanarak denklem kurma

a + b = 40 \implies a + [a + 2(n - 1)] = 40 \implies 2a + 2n - 2 = 40 \implies a + n = 21

elde edilir.

En küçük ve en büyük terimlerin toplamının 40 olduğu bilgisi verilmiştir.

3

Koşulları sağlayan a asal sayılarını belirleme

Dizideki sayılar tek sayılar olduğundan en küçük terim olan

a

sayısı tek asal sayı olmalıdır.

a < 21

şartını sağlayan tek asal sayılar: 3, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19'dur.

2 asal sayısı çift olduğu için tek sayılardan oluşan bu diziye en küçük terim olarak yazılamaz.

4

a değerlerine karşılık gelen n değerlerini bulma ve toplama

a + n = 21

denklemine göre:
-

a = 3 \implies n = 18

-

a = 5 \implies n = 16

-

a = 7 \implies n = 14

-

a = 11 \implies n = 10

-

a = 13 \implies n = 8

-

a = 17 \implies n = 4

-

a = 19 \implies n = 2

Bu değerlerin toplamı:

18 + 16 + 14 + 10 + 8 + 4 + 2 = 72

bulunur.

n'nin alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık tek sayıların sonlu toplamlarında ilk ve son terim ilişkisi ile terim sayısı hesabı

Soru 27Soru →

Bir sokağın sol tarafındaki evler 1'den başlayarak ardışık tek sayılarla, sağ tarafındaki evler ise 2'den başlayarak ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır.

Sol taraftaki ev sayısı, sağ taraftaki ev sayısından 3 fazladır.

Sol taraftaki evlerin numaraları toplamı, sağ taraftaki evlerin numaraları toplamından 64 fazla olduğuna göre, bu sokaktaki toplam ev sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Sokaktaki toplam ev sayısı 25'tir.

Doğru cevap 25'tir. Sağ tarafta 11 ev, sol tarafta ise 14 ev bulunmaktadır. Sol taraftaki numaralar toplamı

14^2 = 196

, sağ taraftaki numaralar toplamı ise

11 \times 12 = 132

olup fark

196 - 132 = 64

koşulunu sağlamaktadır. Toplam ev sayısı ise

11 + 14 = 25

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Sağ ve sol taraftaki ev sayılarını değişkenler cinsinden belirleme.

Sağ taraftaki ev sayısı

x

, sol taraftaki ev sayısı

x + 3

olarak belirlenir.

Soruda sol taraftaki ev sayısının sağ taraftakinden 3 fazla olduğu belirtilmiştir.

2

Ardışık tek sayılar ve ardışık çift sayıların toplam formüllerini kullanarak her iki tarafın ev numaraları toplamını yazma.

Sol taraftaki toplam

(x+3)^2

, sağ taraftaki toplam ise

x(x+1)

olur.

1'den başlayan ardışık tek sayıların toplamı terim sayısının karesine (

n^2

), 2'den başlayan ardışık çift sayıların toplamı ise

n(n+1)

formülüne eşittir.

3

Verilen fark değerinden yararlanarak bir bilinmeyenli denklemi çözme.

(x+3)^2 - x(x+1) = 64 \implies 5x + 9 = 64 \implies x = 11

bulunur.

Sol taraftaki evlerin numaraları toplamının, sağ taraftakilerden 64 fazla olduğu bilgisi verilmiştir.

4

Bulunan

x

değerini kullanarak toplam ev sayısını hesaplama.

Toplam ev sayısı

2x + 3 = 2(11) + 3 = 25

olarak bulunur.

Sokaktaki toplam ev sayısı sağ ve sol taraftaki ev sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık tek ve çift sayıların terim toplamı formülleri ve bu formüllerin cebirsel olarak modellenmesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir torbada $1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların her birinin yazılı olduğu birer kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir kart çekildiğinde, torbada kalan kartların üzerinde yazan sayıların toplamı, çekilen kartın üzerinde yazan sayının $36$ katına eşit olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta torbadaki kart sayısı olan $n$ değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

73

109

110

146

147

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 146

Cevap

Başlangıçta torbadaki kart sayısı olan n değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 146'dır.

Sorudaki koşula göre başlangıçtaki toplamdan çekilen kart (

x

) çıkarıldığında kalan toplam

36x

olmaktadır. Buradan başlangıçtaki toplam

37x

olur. Ardışık toplam formülünden

n(n+1) = 74x

elde edilir. Çekilen kart torbadaki kart sayısını aşamayacağı için

x \le n

olmalıdır. Buradan

n+1 \le 74

eşitsizliğine ulaşılır.

74 = 2 \times 37

olduğundan

n

veya

n+1

çarpanlarından biri

37

'ye bölünmelidir. Bu koşulları sağlayan

n

değerleri

36, 37

ve

73

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı

146

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Torbadaki kartların üzerindeki sayıların toplamını ve kalan sayıların toplamını veren denklemi kurmak.

İlk durumda sayıların toplamı

S = \frac{n(n+1)}{2}

olur. Çekilen kart

x

ise, kalan sayıların toplamı

S - x = \frac{n(n+1)}{2} - x

olur.

Soruda verilen bağıntıyı matematiksel olarak ifade etmek için ba��langıçtaki toplamı ve çekilen karttan sonraki durumu tanımlamalıyız.

2

Kalan toplamın, çekilen kartın 36 katına eşit olduğunu belirten denklemi düzenlemek.

\frac{n(n+1)}{2} - x = 36x \implies \frac{n(n+1)}{2} = 37x \implies n(n+1) = 74x

elde edilir.

Çekilen kart x ile n arasındaki ilişkiyi kurmak için denklemi sadeleştiririz.

3

Elde edilen

n(n+1) = 74x

eşitliğinde,

1 \le x \le n

sınırını ve asall��k durumunu kullanarak n değerlerini belirlemek.

74 = 2 \times 37

olduğundan ve 37 asal sayı olduğundan, n veya n+1 çarpanlarından biri 37'ye tam bölünmelidir. Çekilen kart torbadaki kart sınırını aşamayacağı için

x \le n

olmalıdır. Buradan

\frac{n(n+1)}{74} \le n \implies n+1 \le 74 \implies n \le 73

bulunur. Bu sınırlar dahilinde n'nin veya n+1'in 37'nin katı olduğu durumlar incelendiğinde; n+1 = 37 için n = 36, n = 37 için n = 37 ve n+1 = 74 için n = 73 değerleri elde edilir. Değerler toplamı

36 + 37 + 73 = 146

olur.

x'in bir tam sayı olması ve torbadaki kart sınırını aşmaması gerektiği koşullarını inceleyerek olası tüm n değerlerini buluz.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülü ve temel bölünebilme kuralları.

Alternatif Yöntem

Çarpanlara ayırma ve değer verme adımında,

n(n+1) = 74x

denkleminde n yerine doğrudan 37'nin katı olan veya bir fazlası 37'nin katı olan sayıları sırayla deneyerek de

n \le 73

sınırındaki değerler tespit edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir sporcu, $12$ gün süren bir antrenman kampı boyunca her gün, bir önceki gün koştuğu tur sayısından sabit sayıda fazla tur koşmuştur. Bu sporcunun kampın ilk $6$ gününde koştuğu toplam tur sayısı, son $6$ gününde koştuğu toplam tur sayısından $108$ eksiktir. Buna göre, bu sporcu kampın son günü ilk gününe göre kaç tur fazla koşmuştur?

30

33

36

44

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Sporcu kampın son günü, ilk gününe göre 33 tur fazla koşmuştur.

Sporcunun günlük artış miktarı

d

olsun. Son 6 gündeki her gün, ilk 6 gündeki karşılık gelen günden tam olarak 6 gün sonradır. Bu yüzden son 6 gündeki her bir terim, ilk 6 gündeki eşleşen terimden

6d

fazladır. Toplamda 6 terim çifti olduğu için son 6 günün toplamı, ilk 6 günün toplamından

6 \times 6d = 36d

fazladır. Buradan

36d = 108 \implies d = 3

elde edilir. Son gün (12. gün) ile ilk gün (1. gün) arasındaki fark

11d

olduğundan, doğru cevap

11 \times 3 = 33

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sporcunun ilk gün koştuğu tur sayısını

a

ve her gün bir önceki güne göre yaptığı sabit artış miktarını

d

olarak tanımlayalım.

Günlük tur sayıları sırasıyla:

a, a+d, a+2d, \dots, a+11d

olur.

Artış miktarı sabit olduğundan tur sayıları ortak farkı

d

olan bir aritmetik dizi oluşturur.

2

İlk 6 günün ve son 6 günün toplam tur sayılarını

a

ve

d

cinsinden yazalım.

İlk 6 günün toplamı:

a + (a+d) + \dots + (a+5d) = 6a + 15d

Son 6 günün toplamı:

(a+6d) + (a+7d) + \dots + (a+11d) = 6a + 51d

olarak elde edilir.

Gruplar arasındaki farkı bulabilmek için iki dönemin toplamlarını ayrı ayrı cebirsel olarak ifade etmemiz gerekir.

3

İki toplam arasındaki farkı

108

'e eşitleyerek günlük artış miktarı

d

'yi bulalım.

(6a + 51d) - (6a + 15d) = 36d = 108 \implies d = 3

bulunur.

Soruda son 6 günün toplamının ilk 6 günün toplamından 108 fazla olduğu belirtilmiştir.

4

Son gün (12. gün) ile ilk gün (1. gün) arasındaki tur farkını hesaplayalım.

a_{12} - a_1 = (a + 11d) - a = 11d

d = 3

olduğundan

11 \times 3 = 33

bulunur.

12. gün ile 1. gün arasında 11 adet artış adımı (

11d

) bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Aritmetik artan ardışık sayı dizilerinde terimler toplamı ve terimler arası fark ilişkileri

Soru 30Soru →

Ardışık 7 tam sayının toplamı 105 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Ardışık 7 tam sayının en büyüğü 18'dir.

Ardışık 7 tam sayının toplamı 105 ise ortanca terim

105/7 = 15

olur. Bu terim 4. terimdir. Sayılar birer birer arttığından en büyük (7.) terim

15 + 3 = 18

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortanca terimin bulunması

Ortanca terim = 15

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı tek ise toplamın terim sayısına bölümü ortanca terimi (ortadaki sayıyı) verir. Buradan

105 / 7 = 15

bulunur.

2

En büyük terimin hesaplanması

En büyük sayı = 18

Ortanca terim olan 15 sayısı, 7 terimli bu dizinin tam ortasındaki yani 4. terimidir. Sayılar ardışık tam sayılar olduğu için birer birer artarak ilerler. En büyük sayı olan 7. terim, 4. terimden 3 adım ileridedir. Dolayısıyla en büyük sayı

15 + 3 = 18

olur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı ile ortanca terim ilişkisi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 31Soru →

Ardışık 4 tek doğal sayının toplamı 48'dir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

9

11

13

15

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

En büyük sayı 15'tir.

En küçük ardışık tek sayıya

x

dersek, sayılar sırasıyla

x

,

x+2

,

x+4

ve

x+6

olur. Bu sayıların toplamı

4x+12=48

eşitliğini sağlar. Buradan

x=9

elde edilir. En büyük sayı

x+6

olduğundan

9+6=15

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık tek sayıları bilinmeyen bir değişkenle ifade etme

En küçük sayı

x

olsun. Sayılar ardışık tek sayılar olduğundan ikişer ikişer artar:

x

,

x+2

,

x+4

ve

x+6

olur.

Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.

2

Sayıların toplamını veren denklemi kurma ve çözme

x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 48 \Rightarrow 4x + 12 = 48 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9

bulunur.

Sayıların toplamı 48 olarak verilmiştir.

3

En büyük sayının değerini hesaplama

En büyük sayı

x+6

ifadesi ile tanımlandığından,

9 + 6 = 15

elde edilir.

Soruda bu sayı grubunun en büyük elemanı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir. Bu sayıların toplamı cebirsel olarak ifade edilip denklemi çözülerek istenen terimler bulunur.

Soru 32Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ ardışık çift tam sayılar olmak üzere, $a < b < c$ eşitsizliği verilmektedir. Buna göre; $K$ , $L$ ve $M$ ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralaması L, K, M şeklindedir.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark ilişkileri kullanılarak

a-b = -2

,

b-a = 2

,

a-c = -4

,

c-b = 2

ve

c-a = 4

değerleri elde edilir. Bu değerler formüllerde yerine yazıldığında

L = -8

,

K = -4

ve

M = 8

sayısal değerlerine ulaşılır. Sayıların büyüklük ilişkisi

L < K < M

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık çift sayılar arasındaki farkları belirleme

a < b < c

ardışık çift sayıları için terimler arasındaki farklar

b - a = 2

,

c - b = 2

ve

c - a = 4

olur. Küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında işaret negatif olacağından

a - b = -2

ve

a - c = -4

elde edilir.

Soruda verilen değişkenli ifadelerin sayısal değerlerini hesaplamak amacıyla ardışık çift sayıların birbirlerine göre farklarını belirlememiz gerekir.

2

İfadelerin sayısal değerlerini hesaplama

K = (a-b) \cdot (c-b) = (-2) \cdot 2 = -4

,

L = (a-c) \cdot (b-a) = (-4) \cdot 2 = -8

ve

M = (c-a) \cdot (c-b) = 4 \cdot 2 = 8

bulunur.

Birinci adımda elde edilen fark değerlerini

K

,

L

ve

M

ifadelerinde yerlerine koyarak her bir ifadenin net sayısal değerini hesaplarız.

3

Sayıları karşılaştırma ve sıralama

-8 < -4 < 8

olduğundan

L < K < M

sıralaması elde edilir.

Elde edilen sayısal değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru dizeriz.

Anahtar Kavram

Ardışık çift tam sayılar arasındaki fark ilişkileri ve temel tam sayılarda dört işlem kuralları.

Soru 33Soru →

Bir sokakta yan yana bulunan 5 evin kapı numaraları soldan sağa doğru artan ardışık çift sayılardır. Bu evlerden en küçük kapı numarasına sahip olan ev ile en büyük kapı numarasına sahip olan evin kapı numaralarının toplamı 48'dir. Buna göre, bu sokaktaki 5 evin kapı numaralarının toplamı kaçtır?

96

100

110

120

130

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120

Doğru cevap olan 120 sayısı, en küçük ve en büyük evin kapı numaralarının toplamından hareketle ortanca terimin bulunması ve bu değerin ev sayısı ile çarpılmasıyla elde edilir. En küçük kapı numarası

x

ise en büyük kapı numarası

x+8

'dir. Bu iki değerin toplamı

2x + 8 = 48

denklemini verir ve buradan en küçük kapı numarası 20 olarak bulunur. Evlerin kapı numaraları sırasıyla 20, 22, 24, 26 ve 28 olup toplamları 120'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık çift sayıların genel terimlerini belirleme.

Evlerin kapı numaraları sırasıyla

x

,

x+2

,

x+4

,

x+6

ve

x+8

olarak ifade edilir.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark daima 2'dir.

2

En küçük ve en büyük kapı numaralarının toplamından en küçük terimi (

x

) bulma.

x + (x+8) = 48 \Rightarrow 2x + 8 = 48 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20

elde edilir.

Soruda en küçük ve en büyük numaraların toplamının 48 olduğu bilgisi verilmiştir.

3

Tüm evlerin kapı numaralarının toplamını hesaplama.

Toplam =

20 + 22 + 24 + 26 + 28 = 120

bulunur.

5 evin kapı numaralarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terimler toplamı ve ortanca terim ilişkisi

Alternatif Yöntem

Ardışık sayılarda terim sayısı tek ise, en küçük ve en büyük terimlerin toplamının yarısı ortanca terimi verir. Ortanca terim ile terim sayısının çarpımı ise tüm terimlerin toplamını verir. Buna göre; Ortanca Terim =

48 / 2 = 24

olur. Toplam =

24 \times 5 = 120

olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 34Soru →

Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanlarının toplamı 225'tir. Bu kümeden en küçük iki eleman ile en büyük eleman çıkarıldığında, kalan elemanların toplamı 186 olmaktadır. Buna göre, başlangıçtaki kümenin eleman sayısı kaçtır?

10

12

18

15

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Başlangıçtaki kümenin eleman sayısı 15'tir.

Doğru seçenekte belirtilen 15 sayısı, kurulan denklem sistemini tam olarak sağlamaktadır. Kümenin eleman sayısı

n = 15

olduğunda, ilk terim

a = 8

olarak bulunur. Bu durumda küme

\{8, 9, \dots, 22\}

ardışık pozitif tam sayılarından oluşur ve toplamı 225'tir. Çıkarılan elemanlar 8, 9 ve 22 olup toplamları 39'dur. Kalan elemanların toplamı ise

225 - 39 = 186

olarak doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümenin elemanlarını ve toplamını cebirsel olarak ifade etme.

Kümenin elemanları

a, a+1, \dots, a+n-1

olsun. Toplamları

S = \frac{n(2a+n-1)}{2} = 225 \implies n(2a+n-1) = 450

olur.

Ardışık sayıların toplam formülünü kullanarak terim sayısı

n

ve ilk terim

a

cinsinden bir denklem elde etmek için.

2

Çıkarılan elemanların toplamını belirleme.

En küçük iki eleman

a

ve

a+1

, en büyük eleman ise

a+n-1

'dir. Bunların toplamı

a + (a+1) + (a+n-1) = 3a+n

olur. Kalan elemanların toplamı 186 olduğundan, çıkarılan elemanların toplamı

225 - 186 = 39

olur. Buradan

3a+n = 39 \implies 2a = 26 - \frac{2n}{3}

elde edilir.

Çıkarılan elemanlar ile kalan elemanların toplamı arasındaki ilişkiden ikinci bir denklem bulmak için.

3

Elde edilen iki denklemi birleştirerek terim sayısı

n

'yi bulma.

2a

ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak:

n\left(26 - \frac{2n}{3} + n - 1\right) = 450 \implies n\left(25 + \frac{n}{3}\right) = 450 \implies n(n+75) = 1350

elde edilir.

Tek bilinmeyenli bir denklem elde edip

n

değerini çözmek için.

4

İkinci derece denklemi çözme ve kümenin eleman sayısını belirleme.

n^2 + 75n - 1350 = 0 \implies (n-15)(n+90) = 0

olur.

n

pozitif bir tam sayı (terim sayısı) olacağından

n = 15

bulunur.

Denklemin pozitif kökünü bularak başlangıçtaki kümenin eleman sayısını tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplam formülü ve terim sayısı ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 35Soru →

Bir kitap okuma kampında, bir öğrenci her gün bir ��nceki günden daha fazla sayfa okumaktadır. Bu öğrencinin günlük okuduğu sayfa sayıları ardışık çift sayılardır.

Öğrenci ilk gün $a$ sayfa okumuş ve tüm kitabı $n$ günde tamamlam��ştır. Bu süreçle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Kamp boyunca okunan toplam sayfa sayısı 190'dır.
* Son gün okunan sayfa sayısı, ilk gün okunan sayfa sayısının 3 katından 2 eksiktir.

Buna göre, bu öğrenci kitabı kaç günde tamamlamıştır?

8

9

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Kitap okuma etkinliği 10 günde tamamlamıştır.

İlk gün

a

sayfa okunduğunda

n

. gün okunan sayfa sayısı

a + 2n - 2

olur. Verilen eşitlikten

a + 2n - 2 = 3a - 2 \implies a = n

bulunur. Toplam sayfa sayısı formülü olan

n(a + n - 1) = 190

denkleminde

a

yerine

n

yazılırsa

n(2n - 1) = 190

elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Öğrencinin her gün okuduğu sayfa sayılarını veren diziyi tanımlayalım.

İlk gün okunan sayfa sayısı

a

ise, okunan sayfa sayıları ardışık çift sayılar olduğu için

n

. gün okunan sayfa sayısı

a + 2(n-1)

olur.

Ardışık çift sayılar ikişer ikişer artar.

2

Son gün okunan sayfa sayısı ile ilk gün okunan sayfa sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak

a

ile

n

arasındaki bağıntıyı bulalım.

a + 2(n-1) = 3a - 2 \implies a + 2n - 2 = 3a - 2 \implies 2n = 2a \implies a = n

elde edilir.

Soruda son gün okunan sayfa sayısının, ilk gün okunan sayfa sayısının 3 katından 2 eksik olduğu belirtilmiştir.

3

Toplam sayfa sayısı formülünü uygulayarak

n

değerini hesaplayalım.

Toplam okunan sayfa sayısı:

\frac{n \cdot (a + a + 2n - 2)}{2} = n(a + n - 1)

olur.

a = n

yazıldığında,

n(2n - 1) = 190 \implies 2n^2 - n - 190 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(2n + 19)(n - 10) = 0

olur. Buradan pozitif tam sayı olan

n = 10

bulunur.

Toplam sayfa sayısı 190 olarak verilmiştir ve gün sayısı (

n

) pozitif bir tam sayı olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Soru 36Soru →

Bir $n$ pozitif tam sayısı için üç farklı sayı grubunun terimleri ve bu terimlerin toplamları aşağıda tanımlanmıştır:

* $A$ : $2n$ sayısı ile başlayan $n$ tane ardışık pozitif çift tam sayının toplamı,
* $B$ : $2n-1$ sayısı ile başlayan $n$ tane ardışık pozitif tek tam sayının toplamı,
* $C$ : $n$ sayısı ile başlayan $2n$ tane ardışık pozitif tam sayının toplamı.

Buna göre; $A$ , $B$ ve $C$ toplamlarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B, A, C şeklindedir.

B toplamının değeri

3n^2 - 2n

, A toplamının değeri

3n^2 - n

ve C toplamının değeri

4n^2 - n

olarak bulunur. Her

n

pozitif tam sayısı için bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değerin B toplamı, ortanca değerin A toplamı ve en büyük değerin C toplamı olduğu görülür. Dolayısıyla doğru sıralama B, A, C şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

A

toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.

A = 3n^2 - n

2n

ile başlayan

n

tane ardışık çift tam sayı sırasıyla

2n, 2n+2, 2n+4, \dots, 2n+2(n-1)

şeklindedir. Son terim

4n-2

olur. Terimler toplamı formülünden:

A = \frac{2n + (4n-2)}{2} \cdot n = (3n-1)n = 3n^2-n

elde edilir.

2

B

toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.

B = 3n^2 - 2n

2n-1

ile başlayan

n

tane ardışık tek tam sayı sırasıyla

2n-1, 2n+1, 2n+3, \dots, 2n-1+2(n-1)

şeklindedir. Son terim

4n-3

olur. Terimler toplamı formülünden:

B = \frac{(2n-1) + (4n-3)}{2} \cdot n = (3n-2)n = 3n^2-2n

elde edilir.

3

C

toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.

C = 4n^2 - n

n

ile başlayan

2n

tane ardışık tam sayı sırasıyla

n, n+1, n+2, \dots, n+(2n-1)

şeklindedir. Son terim

3n-1

olur. Terimler toplamı formülünden:

C = \frac{n + (3n-1)}{2} \cdot 2n = (4n-1)n = 4n^2-n

elde edilir.

4

Elde edilen toplamları karşılaştırarak sıralayınız.

B < A < C

n

pozitif bir tam sayı olduğundan,

3n^2 - 2n < 3n^2 - n

eşitsizliği daima doğrudur (çünkü

-2n < -n

). Benzer şekilde

3n^2 - n < 4n^2 - n

eşitsizliği de daima doğrudur (çünkü

3n^2 < 4n^2

). Bu durumda sıralama

B < A < C

olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplam Formülleri ve Cebirsel Sıralama

Alternatif Yöntem

n

değişkenine somut bir değer vererek sıralama kolayca test edilebilir. Örneğin

n = 2

seçilirse: A toplamı 4 ile başlayan 2 ardışık çift sayı olan

4+6 = 10

olur. B toplamı 3 ile başlayan 2 ardışık tek sayı olan

3+5 = 8

olur. C toplamı 2 ile başlayan 4 ardışık sayı olan

2+3+4+5 = 14

olur. Buradan

8 < 10 < 14

olduğundan

B < A < C

sıralaması pratik bir şekilde doğrulanmış olur.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 37Soru →

Bir kargo firması, taşıdığı paketleri ağırlıklarına göre hafiften ağıra doğru sıralamıştır. Bu paketlerin ağırlıkları kilogram cinsinden ardışık pozitif çift tam sayılardır. En hafif paketin ağırlığının $2$ katı ile en ağır paketin ağırlığının toplamı, tüm paketlerin ağırlıklar��nın ortalamasının $3$ katından $12$ eksiktir. Buna göre, bu kargo firmasının taşıdığı toplam paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Toplam paket sayısı 13'tür.

Verilen ardışık çift tam sayılar için en hafif terim

x

ve terim sayısı

n

seçildiğinde, en ağır terim

x+2n-2

ve ortalama

x+n-1

olur. Denklem kurulup çözüldüğünde

x

değişkeni sadeleşir ve paket sayısı

n = 13

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Paketlerin ağırlıklarını temsil eden terimleri tanımlama

En hafif paket

x

, en ağır paket

x + 2(n-1)

olur.

Ağırlıklar ardışık pozitif çift tam sayılar olduğundan aralarındaki fark 2'dir.

2

Ağırlıkların aritmetik ortalamasını hesaplama

Ortalama

= x + n - 1

Ardışık sayılarda ortalama, ilk terim ile son terimin toplamının yarısına eşittir.

3

Verilen ilişkiye göre cebirsel denklemi kurma

2x + (x + 2n - 2) = 3(x + n - 1) - 12

En hafif paketin ağırlığının 2 katı ile en ağır paketin ağırlığının toplamının, ortalamanın 3 katından 12 eksik olduğu belirtilmiştir.

4

Denklemi çözerek paket sayısı olan

n

değerini bulma

n = 13

Denklemde

3x

terimleri sadeleşir ve tek bilinmeyen olan

n

değeri doğrudan bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde genel terim, terim sayısı ve aritmetik ortalama ilişkisi

Soru 38Soru →

Ardışık üç pozitif çift tam sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 4 katına eşittir.

Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

5

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En büyük sayı 10'dur.

En küçük sayı

n

olarak seçildiğinde, ardışık çift sayılar

n

,

n+2

ve

n+4

şeklinde tanımlanır. Bu üç sayının toplamı

3n+6

yapar. Bu toplamın en küçük sayının 4 katına eşit olduğu bilgisiyle

3n+6=4n

denklemi kurulur. Buradan

n=6

olarak en küçük sayı bulunur. Soru bizden en büyük sayıyı istediği için

n+4

ifadesinde

n

yerine 6 yazarak 10 sonucuna ulaşırız.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık üç çift tam sayıyı tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edelim.

En küçük sayı

n

olsun (burada

n

pozitif bir çift tam sayıdır). Sayılar ardışık çift sayılar olduğundan ikişer ikişer artar. Bu durumda sayılar sırasıyla

n

,

n+2

ve

n+4

olur.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.

2

Soruda verilen bilgiye göre sayıların toplamı ile en küçük sayının ilişkisini kuran denklemi yazalım.

n + (n+2) + (n+4) = 4n \Rightarrow 3n + 6 = 4n

Sayıların toplamının, en küçük sayının 4 katına eşit olduğu belirtilmiştir.

3

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek en küçük sayıyı bulalım.

3n + 6 = 4n \Rightarrow n = 6

Eşitliğin sol tarafındaki

3n

ifadesini sağ tarafa atarak bilinmeyeni yalnız bırakırız.

4

En büyük sayının değerini hesaplayalım.

En büyük sayı

n+4 = 6+4 = 10

olur.

En büyük sayı cebirsel olarak

n+4

şeklinde ifade edilmiştir.

Anahtar Kavram

Ardışık çift tam sayıların cebirsel olarak ifade edilmesi ve denkleştirilmesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Ardışık 9 çift tam sayının toplamı 144 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Bu sayıların en küçüğü 8'dir.

Ardışık 9 çift tam sayının toplamı 144 olduğuna göre, bu dizinin ortanca terimi

144 / 9 = 16

olur. Toplamda 9 terim olduğundan, ortanca terim 5. terimdir. Sayılar çift sayı olduğundan ikişer ikişer azalacaktır. 5. terimden 1. terime (en küçük sayıya) ulaşmak için 4 kez 2 çıkarmak gerekir. Buradan en küçük sayı

16 - 4 \times 2 = 8

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortanca terimin bulunması

Ortanca terim = 16

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı tek sayı olduğunda, terimlerin toplamı terim sayısına bölünerek tam ortadaki terim (ortanca terim) elde edilir.

2

En küçük terimin hesaplanması

En küçük terim = 8

9 terimli bir dizide ortanca terim 5. terimdir. 1. terim ile 5. terim arasında 4 adım vardır. Sayılar ardışık çift sayılar olduğu için ardışık terimler arasındaki fark 2'dir. Bu nedenle ortanca terimden

4 \times 2 = 8

çıkarılarak en küçük terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam yardımıyla ortanca terimin bulunması ve terimler arası fark ilişkisinin kullanılması.

Soru 40Soru →

Ahmet, Burak ve Cem adındaki üç öğrenci, tahtaya her birinin elemanlarının toplamı $180$ olan farklı ardışık sayı dizileri yazmışt��r:

* Ahmet, $5$ tane ardışık pozitif tam sayı yazmıştır. Bu sayıların en küçüğü $a$ 'dır.
* Burak, $6$ tane ardışık tek pozitif tam sayı yazmıştır. Bu sayıların en küçüğü $b$ 'dir.
* Cem, $5$ tane ardışık çift pozitif tam sayı yazmıştır. Bu sayıların en küçüğü $c$ 'dir.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir. Yani sırasıyla Burak'ın yazdığı sayıların en küçüğü (

b

), Cem'in yazdığı sayıların en küçüğü (

c

) ve Ahmet'in yazdığı sayıların en küçü��ü (

a

) olarak sıralanır.

Verilen bilgilere göre Ahmet'in yazdığı ardışık sayıların toplamından

a = 34

, Burak'ın yazdığı ardışık tek sayıların toplamından

b = 25

ve Cem'in yazdığı ardışık çift sayıların toplamından

c = 32

elde edilir. Bu değerler küçükten büyüğe

b < c < a

şeklinde sıralandığı için doğru sıralama Burak, Cem ve Ahmet'in sayıları şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Ahmet'in yazdığı ardışık sayıların en küçüğünü bulmak için denklem kurma

a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) = 180 \Rightarrow 5a + 10 = 180 \Rightarrow 5a = 170 \Rightarrow a = 34

Ahmet'in yazdığı sayılar ardışık pozitif tam sayılardır ve aralarındaki fark

1

'dir.

2

Burak'ın yazdığı ardışık tek sayıların en küçüğünü bulmak için denklem kurma

b + (b+2) + (b+4) + (b+6) + (b+8) + (b+10) = 180 \Rightarrow 6b + 30 = 180 \Rightarrow 6b = 150 \Rightarrow b = 25

Burak'ın yazdığı sayılar ardışık tek pozitif tam sayılardır ve aralarındaki fark

2

'dir.

3

Cem'in yazdığı ardışık çift sayıların en küçüğünü bulmak için denklem kurma

c + (c+2) + (c+4) + (c+6) + (c+8) = 180 \Rightarrow 5c + 20 = 180 \Rightarrow 5c = 160 \Rightarrow c = 32

Cem'in yazdığı sayılar ardışık çift pozitif tam sayılardır ve aralarındaki fark

2

'dir.

4

Bulunan

a

,

b

ve

c

değerlerini karşılaştırma

25 < 32 < 34

olduğundan

b < c < a

elde edilir.

Değerlerin sayısal büyüklüklerini küçükten büyüğe sıralamak.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısına bağlı olarak toplam formüllerini kullanmak veya terimleri cebirsel olarak ifade edip denklem çözmek.

Tahmini Süre:1m 30s

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm