Examkin

Sayısal Mantık

272 questions

Question 241Question →

Bir marangoz, birim küplerden oluşturduğu 5×5×55 \times 5 \times 5 boyutlarındaki masif bir ahşap bloğun tüm dış yüzeyini kırmızı boya ile boyamıştır. Boya kuruduktan sonra, bloğun üst yüzeyindeki birim karelerin oluşturduğu ızgarada, her iki köşegen üzerinde bulunan tüm birim küpleri ve bu küplerin hizasındaki (blok boyunca zemine kadar inen) dikey sütunların tamamını kesip çıkarmıştır.

Buna göre, geriye kalan cisimde yalnızca bir yüzü kırmızı boyalı olan kaç adet birim küp bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 44

Answer

Geriye kalan cisimde yalnızca bir yüzü kırmızı boyalı 44 adet birim küp vardır.
Doğru cevap 44'tür. 5×5×55 \times 5 \times 5 küpte tek yüzü boyalı küpler, her yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük (9 adet) küplerdir. Üst ve alt yüzeylerde, köşegenler boyunca yapılan kesim bu 9 küpten 5'ini (merkez ve köşelere gidenler) yok eder, geriye her birinde 4'er küp kalır (4+4=84+4=8). Dört yan yüzeyde ise, çıkarılan dikey sütunlar yüzeylerin tam ortasındaki 3×33 \times 3'lük bölgelere temas etmez (sadece köşe sütunları gider), bu yüzden yan yüzeylerdeki 9'ar küp sağlam kalır (4×9=364 \times 9 = 36). Toplam 8+36=448 + 36 = 44 küp bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tek yüzü boyalı küplerin konumunu belirle.
Bir küpte yalnızca bir yüzü boyalı olan birim küpler, her bir yüzeyin ortasındaki (kenarlara değmeyen) küplerdir. 5×55 \times 5 yüzeyde bu alan ortadaki 3×33 \times 3'lük kısımdır (9 küp). Başlangıçta 6 yüzde toplam 6×9=546 \times 9 = 54 küp vardır.
Kesim işleminden sonra hangi yüzey merkezlerinin etkilendiğini bulmak için başlangıç durumunu tespit etmek gerekir.
2
Çıkarılan sütunların 'Üst' ve 'Alt' yüzeylere etkisini hesapla.
Üst yüzeyde köşegenler boyunca (1,11,1'den 5,55,5'e ve 1,51,5'ten 5,15,1'e) kesim yapılmıştır. Bu kesim, yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alandan 5 birim küpü (köşegen parçaları ve merkez) götürür. Geriye 9−5=49 - 5 = 4 küp kalır. Aynı durum alt yüzey için de geçerlidir (44 küp).
Köşegenler merkezden geçtiği için üst ve alt yüzeylerin orta kısımlarını doğrudan etkiler.
3
Çıkarılan sütunların 'Yan' yüzeylere (Ön, Arka, Sağ, Sol) etkisini analiz et.
Çıkarılan sütunlar dikey olduğu için yan yüzeylerin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alanlara (z=2,3,4z=2,3,4 ve x,y=2,3,4x,y=2,3,4) dokunmaz. Yan yüzeylerdeki kayıplar sadece köşelerdeki dikey sütunlardadır, ancak 'tek yüzü boyalı' olan orta göbek etkilenmez. Bu nedenle 4 yan yüzeyin her birinde 9 küp korunur (4×9=364 \times 9 = 36 küp).
Dikey köşegen kesimi, küpün yan yüzeylerinin ortasındaki 'tek yüzü boyalı' küplere temas etmez.
4
Toplam sayıyı hesapla.
Üst (4) + Alt (4) + Yanlar (36) = 44.
Tüm yüzeylerden kalan sayıların toplanması.

Key Concept

3 Boyutlu Cisimlerde Kesit ve Yüzey Analizi

Hints

1
Önce, kesim yapılmamış normal bir 5×5×55 \times 5 \times 5 küpte 'yalnızca bir yüzü boyalı' küplerin nerede olduğunu düşünün. (İpucu: Yüzeylerin ortasında.)
2
Üst yüzeydeki köşegen kesimi, bu yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alandan kaç küpü götürür? Bir kağıda 3×33 \times 3 kare çizip köşegenleri işaretleyin.
3
Dikey sütunların çıkarılması üst ve alt yüzeyi aynı şekilde etkiler. Ancak yan yüzeylerin (ön, arka, sağ, sol) ortasındaki 3×33 \times 3 boyalı alan bu dikey kesimden etkilenir mi?

Practice More

Benzer bir soruyu, köşegenler yerine 'orta satır ve orta sütun' (artı şekli) çıkarılarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Toplam boyalı küp sayısından (kesim öncesi) çıkarılan boyalı küpleri düşerek de hesaplanabilir. Toplam 1 yüzü boyalı = 54. Üstten giden: 5. Alttan giden: 5. Yanlardan giden: 0 (çünkü yanların ortasına dokunulmadı). Sonuç: 54 - 10 = 44.
Estimated Time:3m 0s
Question 242Question →

Bir tekstil fabrikasında bulunan beş farklı dokuma makinesinin (K, L, M, N ve P) günlük toplam üretim miktarları sütun grafiğinde, bu üretimlerin kalite kontrol sürecinde tespit edilen hata oranları ise çizgi grafiğinde gösterilmiştir.

Buna göre, günlük üretilen hatalı kumaş miktarı (adet bazında) en fazla olan makine aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: M Makinesi

Answer

Hatalı kumaş miktarının en yüksek olduğu makine M makinesidir.
Doğru cevap, her makinenin üretim miktarı ile hata oranının çarpılması sonucunda en yüksek değerin elde edildiği seçenektir. K: 200, L: 180, M: 225, N: 150, P: 150 adet hata üretmiştir. 225 ile en yüksek değer M makinesindedir.

Step-by-Step Solution

1
Grafikten her bir makine için 'Toplam Üretim Miktarı' ve 'Hata Oranı' değerlerini oku.
K: 2000 adet, %10 | L: 1500 adet, %12 | M: 2500 adet, %9 | N: 1000 adet, %15 | P: 3000 adet, %5
Her makinenin hatalı ürün sayısını hesaplamak için temel verileri belirlemek gerekir.
2
Her makine için hatalı ürün sayısını hesapla (Toplam Üretim x Hata Oranı / 100).
K: 2000 x 0.10 = 200 adet
L: 1500 x 0.12 = 180 adet
M: 2500 x 0.09 = 225 adet
N: 1000 x 0.15 = 150 adet
P: 3000 x 0.05 = 150 adet
Oransal veriyi sayısal büyüklüğe çevirerek karşılaştırma yapılabilir hale getirmek için.
3
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak en büyük değeri tespit et.
225 (M) > 200 (K) > 180 (L) > 150 (N) = 150 (P). En büyük değer M makinesine aittir.
Soruda istenen 'en fazla' koşulunu sağlayan seçeneği bulmak için.

Key Concept

Oran Problemleri ve Grafik Yorumlama

Hints

1
Grafikteki en yüksek sütuna veya en yüksek çizgi noktasına aldanmayın; her ikisini birlikte değerlendirmelisiniz.
2
Her bir makine için: (Sütun Değeri) x (Çizgi Değeri / 100) işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir grafikte, hatalı olmayan (sağlam) ürün miktarı en az olan makinenin sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Yaklaşık değer tahmini: P çok yüksek üretim ama çok düşük oran, N çok yüksek oran ama çok düşük üretim. M ise hem üretim hem de oranda 'ortalama üstü' olduğu için çarpımlarının büyük çıkması muhtemeldir.
Estimated Time:2m 0s
Question 243Question →

Matematikte bazı işlemler alışılmışın dışında, semboller yardımıyla özel olarak tanımlanabilir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi;

a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, 3⊗23 \otimes 2 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İşlem tanımında verilen değerler yerine konulduğunda sonuç 6 olarak bulunur.
Verilen a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b tanımında aa yerine 33, bb yerine 22 yazıldığında; 4(3)−3(2)=12−6=64(3) - 3(2) = 12 - 6 = 6 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen işlem tanımında değişkenleri belirle.
a=3a = 3 ve b=2b = 2
3⊗23 \otimes 2 ifadesinde ilk sayı aa, ikinci sayı bb değişkenine karşılık gelir.
2
Değişkenleri işlem formülünde yerine yaz.
4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2
aa yerine 33, bb yerine 22 yazarak matematiksel ifadeyi oluştururuz.
3
Çarpma işlemlerini gerçekleştir.
12−612 - 6
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar yapılır.
4
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bul.
6
Elde edilen değerler arasındaki fark hesaplanır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, sembolün sağındaki ve solundaki sayıları tanımda verilen uygun değişkenlerin yerine hatasız yerleştirmektir.

Hints

1
Bu tür sorularda sembolün solundaki sayıyı formüldeki ilk harfin, sağındaki sayıyı ise ikinci harfin yerine yazmalısın.
2
Sorumuzda a=3a=3 ve b=2b=2 olarak alınmalıdır. Şimdi bu değerleri 4a−3b4a - 3b ifadesinde yerlerine koymayı dene.
3
İşlemin son hali 4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2 olacaktır. Önce çarpmaları yapıp sonra çıkarmayı tamamla.

Practice More

Değişkenlerin yerini değiştirerek 2⊗32 \otimes 3 işlemini yapıp sonucun neden farklı çıktığını inceleyebilirsin.
Estimated Time:45s
Question 244Question →

Bir kamu kurumunda görev yapan toplam personelin hizmet sınıflarına göre sayıca dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Grafikte Genel İdare Hizmetleri (GİH) sınıfını temsil eden daire diliminin merkez açısı 144∘144^\circ, Teknik Hizmetler (TH) sınıfını temsil eden daire diliminin merkez açısı ise 108∘108^\circ olarak verilmiştir.

Bu kurumdaki Yardımcı Hizmetler (YH) sınıfındaki personel sayısı, Sağlık Hizmetleri (SH) sınıfındaki personel sayısının yarısı kadardır. Ayrıca Teknik Hizmetler (TH) sınıfındaki personel sayısı, Sağlık Hizmetleri (SH) sınıfındaki personel sayısından 15 kişi fazladır.

Buna göre, bu kurumda görev yapan toplam personel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Kurumda görev yapan toplam personel sayısı 150 kişidir.
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ olduğundan, GİH ve TH sınıfları dışındaki SH ve YH sınıflarına toplam 108∘108^\circ kalır. YH, SH'nin yarısı olduğu için bu açı 72∘72^\circ (SH) ve 36∘36^\circ (YH) olarak dağılır. TH (108∘108^\circ) ile SH (72∘72^\circ) arasındaki 36∘36^\circ'lik farkın 15 kişiye denk geldiği soruda verilmiştir. 36∘36^\circ için 15 kişi ise, 360∘360^\circ için 150 kişi görev yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Grafikte verilmeyen SH ve YH sınıflarının toplam merkez açısını bulunuz.
360∘−(144∘+108∘)=360∘−252∘=108∘360^\circ - (144^\circ + 108^\circ) = 360^\circ - 252^\circ = 108^\circ
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ olduğu için bilinen açılar toplamdan çıkarılır.
2
SH ve YH sınıflarının açılarını verilen orana göre paylaştırınız.
SH için xx, YH için x/2x/2 denirse; x+0,5x=1,5x=108∘⇒x=72∘x + 0,5x = 1,5x = 108^\circ \Rightarrow x = 72^\circ. Buna göre SH=72∘SH = 72^\circ ve YH=36∘YH = 36^\circ bulunur.
Yardımcı hizmetlerin sağlık hizmetlerinin yarısı olduğu bilgisi kullanılarak toplam 108∘108^\circ paylaştırılır.
3
TH ve SH sınıfları arasındaki açı farkını hesaplayınız.
108∘(TH)−72∘(SH)=36∘108^\circ (TH) - 72^\circ (SH) = 36^\circ
Soruda verilen 15 kişilik farkın hangi açı değerine karşılık geldiğini bulmak gerekir.
4
Bulunan açı farkını personel sayısı ile orantılayarak toplamı hesaplayınız.
36∘36^\circ açıya 15 kişi düşüyorsa; 360∘360^\circ açıya (tamamı) 10 katı olan 150 kişi düşer.
Doğru orantı kurularak grafik bütünündeki toplam veri sayısına ulaşılır.

Key Concept

Daire grafiğinde merkez açılar ile temsil edilen veriler arasında doğru orantı vardır; grafiğin tamamı 360∘360^\circ üzerinden değerlendirilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 245Question →

Bir kamu kurumunda üç farklı birimde çalışan personelin eğitim düzeylerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BirimLisansLisansüstü
İdari İşler124
Teknik Hizmetler158
Eğitim Birimi1012

Buna göre, Eğitim Biriminde çalışan toplam personel sayısı, İdari İşler biriminde çalışan toplam personel sayısından kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eğitim Biriminde çalışan toplam personel sayısı, İdari İşler biriminde çalışan toplam personel sayısından 6 fazladır.
Eğitim Birimi satırındaki veriler toplandığında 10+12=2210 + 12 = 22 sonucuna ulaşılır. İdari İşler satırındaki veriler toplandığında ise 12+4=1612 + 4 = 16 sonucu bulunur. Bu iki toplam arasındaki fark 22−16=622 - 16 = 6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eğitim Birimindeki toplam personel sayısını hesaplayalım.
10+12=2210 + 12 = 22
Bir birimdeki toplam personeli bulmak için o birimdeki lisans ve lisansüstü mezunlarını toplamalıyız.
2
İdari İşler birimindeki toplam personel sayısını hesaplayalım.
12+4=1612 + 4 = 16
Karşılaştırma yapabilmek için diğer birimin de toplam çalışan sayısını bilmemiz gerekir.
3
İki birim arasındaki farkı bulalım.
22−16=622 - 16 = 6
Bir değerin diğerinden ne kadar fazla olduğunu bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Tablo verilerini kullanarak gruplandırılmış verilerin toplamını bulma ve karşılaştırma.

Hints

1
Tablodaki satırlar birimleri, sütunlar ise eğitim düzeylerini temsil etmektedir. Önce istenen birimlerin satırlarını inceleyin.
2
Eğitim Birimi ve İdari İşler birimlerinin her biri için lisans ve lisansüstü sayılarını toplayarak toplam çalışan sayılarını bulun.
3
Eğitim Birimi için 10+1210 + 12 işlemini, İdari İşler için 12+412 + 4 işlemini yapın ve çıkan sonuçları birbirinden çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruda 'Teknik Hizmetler' birimi ile diğer birimlerin toplamlarını karşılaştırarak pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 246Question →

Bir büyükşehir belediyesinin 2023 yılı bütçesinin Fen İşleri, Park ve Bahçeler ile Kültür ve Sosyal İşler daire başkanlıkları arasındaki dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Bu üç birimin bütçelerinde 2024 yılında 2023 yılına göre gerçekleşen değişim oranları ise tabloda verilmiştir.

2024 yılı bütçesi bu verilere göre oluşturulduğunda ve bu üç birim için yeni bir daire grafiği çizildiğinde, Park ve Bahçeler dairesine ait dilimin merkez açısı kaç derece olur?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

150 derecedir
2024 yılındaki bütçe dağılımını bulmak için önce birimlerin yeni değerleri hesaplanmalı, ardından bu değerlerin yeni toplama oranı bulunmalıdır. Park ve Bahçeler bütçesi 120'den 180'e çıkmış, toplam bütçe ise 360'tan 432'ye yükselmiştir. 180'in 432'ye oranı (5/12), 360 derecelik bir dairede 150 dereceye karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıç değerlerini belirle
İşlem kolaylığı için 2023 toplam bütçesine 360 birim diyelim. Derece-birim eşleşmesi: Fen İşleri=150 birim, Park ve Bahçeler=120 birim, Kültür ve Sosyal=90 birim.
Daire grafiğindeki 360 dereceyi, hesaplamaları kolaylaştırmak adına 360 birimlik bir bütçe olarak kabul etmek oranları korur.
2
Tablodaki değişim oranlarını uygula
Fen İşleri (%20 Artış): 150 + (150×0,20) = 150 + 30 = 180 birim.
Park ve Bahçeler (%50 Artış): 120 + (120×0,50) = 120 + 60 = 180 birim.
Kültür ve Sosyal (%20 Azalış): 90 - (90×0,20) = 90 - 18 = 72 birim.
Her birimin 2024 yılındaki yeni bütçe miktarını bulmak için yüzdeler uygulanır.
3
Yeni toplam bütçeyi hesapla
Toplam = 180 + 180 + 72 = 432 birim.
Yeni daire grafiğindeki açıları bulmak için yeni bütünün (paydanın) bilinmesi gerekir.
4
Park ve Bahçeler biriminin yeni merkez açısını hesapla
Oran = (Park Bütçesi / Toplam Bütçe) × 360
= (180 / 432) × 360
Sadeleştirme: 180/432 her ikisi de 36'ya bölünür -> 5/12
= (5/12) × 360 = 5 × 30 = 150 derece.
Bir parçanın bütündeki payı, merkez açı ile doğru orantılıdır.

Key Concept

Orantı ve Yüzde Değişimi

Hints

1
Daire grafiğindeki toplam açıyı (360 derece) temsili bir sayı (örneğin 360 TL) olarak kabul edip işe başlayabilirsiniz.
2
Her birimin 2024 yılındaki yeni miktarını hesaplayın ve bu miktarları toplayarak 2024 yılının 'yeni toplamını' bulun.
3
Park ve Bahçeler'in yeni miktarı 180, yeni toplam miktar ise 432'dir. Şimdi 180'in 432 içindeki payını 360 dereceye uyarlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, toplam miktar değişmediğinde açıların nasıl değiştiğini gözlemlemek için çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 247Question →

Aşağıdaki grafikte, bir kamu kurumuna ait bölgesel hidroelektrik santralinin (HES) 2019-2023 yılları arasındaki yıllık elektrik üretim miktarları (sütun grafiği) ve bu üretimi sağlamak için harcanan yıllık toplam işletme maliyetleri (çizgi grafiği) gösterilmiştir.

Buna göre, santralin verimliliği ve maliyetleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: 2022 yılında elde edilen birim elektrik üretim maliyeti (Maliyet/Üretim), incelenen tüm yıllar içindeki en düşük değerdir.

Answer

İncelenen dönemde en düşük birim elektrik üretim maliyetine 2022 yılında ulaşılmıştır.
Grafikteki veriler kullanılarak 'Birim Maliyet = Toplam Maliyet / Toplam Üretim' hesaplaması yapıldığında; 2019 yılı için 0.20, 2020 için 0.24, 2021 için yaklaşık 0.22, 2022 için yaklaşık 0.18 ve 2023 için yaklaşık 0.24 değerleri bulunur. Bu değerler arasında en düşük oran 2022 yılına aittir.

Step-by-Step Solution

1
Grafik verilerini yıllara göre tabloya dök.
2019: 40 GWh, 8 Milyon TL; 2020: 50 GWh, 12 Milyon TL; 2021: 45 GWh, 10 Milyon TL; 2022: 60 GWh, 11 Milyon TL; 2023: 55 GWh, 13 Milyon TL.
Grafik yorumlama sorularında verileri sayısal değerlere dönüştürmek hata riskini azaltır.
2
Seçeneklerdeki iddiaları tek tek kontrol et. Önce yanlış seçenekleri ele.
A seçeneği için: 2020'den 2021'e üretim düşmüş (50->45) ve maliyet düşmüştür (12->10). Ancak 2022'den 2023'e üretim düşmüş (60->55) fakat maliyet artmıştır (11->13). Bu ifade yanlıştır.
Her durumu (tüm yılları) kontrol etmek 'her yılda' ifadesini doğrulamak için gereklidir.
3
B seçeneğini kontrol et.
En yüksek maliyet 2023 yılında (13 Milyon TL), ancak en yüksek üretim 2022 yılındadır (60 GWh). Bu yıllar aynı değildir.
Maksimum ve minimum noktalarının analizi.
4
C seçeneği için her yılın birim maliyetini (Maliyet / Üretim) hesapla.
2019: 8/40 = 0.20; 2020: 12/50 = 0.24; 2021: 10/45 ≈ 0.22; 2022: 11/60 ≈ 0.183; 2023: 13/55 ≈ 0.236.
Birim maliyet analizi rasyonel karşılaştırma gerektirir.
5
Hesaplanan birim maliyetleri karşılaştır.
En düşük değer 0.183 ile 2022 yılındadır. C seçeneği kesinlikle doğrudur.
Doğru cevabın tespiti.

Key Concept

Grafik verilerini kullanarak oran (birim maliyet) hesabı yapma ve veri setleri arasındaki ilişkiyi analiz etme.

Hints

1
Her yıl için 'Maliyet / Üretim' oranını kabaca tahmin etmeye çalışın.
2
Grafikteki değerleri tabloya dökerek 2022 ve 2023 yıllarındaki değişimleri (artış/azalış yönünü) dikkatle inceleyin.

Practice More

Benzer bir grafikte 'kâr' (Gelir - Gider) miktarının en yüksek olduğu yılı soran soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Birim maliyetleri kesir olarak yazıp (8/40, 12/50, 11/60 vb.) paydaları eşitlemek yerine, her birini ondalık sayıya çevirerek daha hızlı karşılaştırma yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 248Question →

Bir mesleki eğitim merkezinde haftalık toplam 120120 saatlik ders programının branşlara göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Buna göre, bu eğitim merkezinde haftalık kaç saat Matematik dersi verilmektedir?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Matematik dersi haftalık 50 saat olarak verilmektedir.
Daire grafiğinin tamamı (360∘360^\circ) toplam 120120 saati temsil ettiğine göre, her 3∘3^\circ bir saate (360/120=3360/120=3) karşılık gelir. Matematik dersine ait merkez açı 150∘150^\circ olarak verildiğinden, 150/3=50150 / 3 = 50 saat sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Daire grafiğinin tamamının kaç dereceye ve kaç saate karşılık geldiğini belirleyin.
Grafiğin tamamı 360∘360^\circ'dir ve soruda verilen toplam 120120 saate eşittir.
Daire grafiklerinde verilerin toplamı her zaman 360360 derecelik tam açıyla temsil edilir.
2
Matematik dersine düşen saati bulmak için doğru orantı kurun.
360∘→120360^\circ \rightarrow 120 saat ise 150∘→x150^\circ \rightarrow x saattir.
Grafikteki her bir dilimin merkez açısı, o dilimin temsil ettiği miktarla doğru orantılıdır.
3
Orantıyı çözerek xx değerini hesaplayın.
x=150×120360=1503=50x = \frac{150 \times 120}{360} = \frac{150}{3} = 50 saat.
360360 ile 120120 sadeleştiğinde 33'e 11 oranı elde edilir, bu da hesaplamayı kolaylaştırır.

Key Concept

Daire grafiğinde her bir dilimin merkez açısı, temsil ettiği miktarın bütüne olan oranıyla (360∘360^\circ) belirlenir.

Hints

1
Grafiğin tamamının (360∘360^\circ) toplam 120120 saate karşılık geldiğini unutmayın.
2
360360 derece 120120 saat ise, 11 saatin kaç dereceye karşılık geldiğini bularak işleme devam edebilirsiniz.
3
360360, 120120'nin 33 katıdır. Dolayısıyla her dersin saatini bulmak için merkez açısını 33'e bölmeniz yeterlidir.

Practice More

Benzer bir soruda, saati verilip açısı sorulan bir dilimi hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Oran-orantı yerine kesir yöntemini kullanabilirsiniz: Matematik dersi tüm programın 150360\frac{150}{360}'ını oluşturur. Sadeleştirildiğinde bu oran 512\frac{5}{12} olur. Toplam süre olan 120120 saatin 512\frac{5}{12}'si hesaplanırsa: 120×512=50120 \times \frac{5}{12} = 50 saat bulunur.
Estimated Time:45s
Question 249Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x)

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3△63 \triangle 6 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İstenen işlemin sonucu 6'dır.
Verilen işlem tanımı x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x) şeklindedir. Bizden 3△63 \triangle 6 istenmektedir. Bu ifadeye AA, tersi olan 6△36 \triangle 3 ifadesine BB diyelim. Tanımı her iki durum için yazarsak:
1. Durum (x=3,y=6x=3, y=6): A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2. Durum (x=6,y=3x=6, y=3): B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A

B'nin değerini birinci denklemde yerine yazarsak:
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeye A, işlemdeki ters sıralı ifadeye B diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluştur.
3△6=A3 \triangle 6 = A ve 6△3=B6 \triangle 3 = B olsun. Verilen tanımdan iki denklem yazılır:
1) A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2) B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A
İşlem tanımı kendi tersine (y △ x) bağlı olduğu için, değeri doğrudan bulamayız; bir denklem sistemi kurmamız gerekir.
2
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (substitüsyon yöntemi) A değerini bul.
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
Bilinmeyen sayısını bire indirerek denklemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çöz.
18=4A−A18 = 4A - A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6
A değeri soruda bizden istenen 3△63 \triangle 6 ifadesidir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin sonucu kendisine veya tersine bağlı olarak verilebilir. Bu tür 'döngüsel' tanımlarda değişken değiştirme yöntemiyle denklem sistemi kurularak çözüm yapılır.

Hints

1
İşlemin sonucunu doğrudan bulamazsınız çünkü tanım içinde işlemin kendisi (ters çevrilmiş halde) tekrar geçmektedir.
2
3△63 \triangle 6 ifadesine A, 6△36 \triangle 3 ifadesine B diyerek iki ayrı denklem yazmayı deneyin.
3
Elde ettiğiniz A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini ortak çözerek A değerini bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış ancak x⋆y=1/x+1/y−(y⋆x)x \star y = 1/x + 1/y - (y \star x) gibi rasyonel ifadeler içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Taraf tarafa toplama yöntemi: Elde edilen A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini düzenleyip (A+2B=24A + 2B = 24 ve 2A+B=212A + B = 21) taraf tarafa toplayarak 3(A+B)=45⇒A+B=153(A+B)=45 \Rightarrow A+B=15 bulabilir, sonra yerine koyarak A'yı çekebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 250Question →

Aşağıdaki sayı piramidi, pozitif tam sayılar belirli bir aritmetik kurala göre dizilerek oluşturulmuştur:

Buna göre, piramidin 10. satırında bulunan sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1990

Answer

Piramidin 10. satırındaki sayıların toplamı 1990'dır.
Doğru cevap, piramit yapısındaki terim sayılarının kümülatif toplamı ve genel aritmetik dizi formülünün birlikte kullanılmasıyla bulunur. Önce 10. satıra kadar kaç sayı olduğu (45), sonra 10. satırın ilk sayısı (181) ve son olarak bu satırdaki 10 sayının toplamı (1990) hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Örüntünün genel kuralını belirle.
Sayılar 1, 5, 9, 13, 17... şeklinde 4'er artarak gitmektedir. Genel terim formülü: an=1+(n−1)4=4n−3a_n = 1 + (n-1)4 = 4n - 3.
Dizinin kuralını bulmak için ilk birkaç terim arasındaki artış miktarı incelenir.
2
10. satırdan önce kaç adet sayı kullanıldığını hesapla.
1'den 9'a kadar olan satırlardaki terim sayısı toplamı: 9⋅102=45\frac{9 \cdot 10}{2} = 45.
Hangi sırada olduğumuzu bulmak için Gauss toplam formülü kullanılır.
3
10. satırın ilk terimini bul.
10. satırın ilk sayısı, tüm dizinin 46. terimidir. a46=4(46)−3=184−3=181a_{46} = 4(46) - 3 = 184 - 3 = 181.
Dizinin genel terim formülünde sıra numarası (46) yerine konur.
4
10. satırdaki 10 sayının toplamını hesapla.
Bu satırdaki sayılar: 181, 185, 189... (10 terim). Toplam formülü: T=n2(2a1+(n−1)r)=102(2⋅181+9⋅4)=5(362+36)=5⋅398=1990T = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)r) = \frac{10}{2} (2 \cdot 181 + 9 \cdot 4) = 5 (362 + 36) = 5 \cdot 398 = 1990.
Sonlu aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.

Key Concept

Aritmetik Diziler ve Gauss Toplamı

Hints

1
Önce piramidin 1. satırından 9. satırına kadar toplam kaç adet sayı yazıldığını bulunuz.
2
Sayılar arasındaki artış miktarının 4 olduğunu fark ettiniz mi? Genel terim 4n−34n - 3 formülündedir.
3
10. satırın ilk sayısı, dizinin 46. terimidir. Bu satırda, 4'er artan 10 adet sayı vardır.

Practice More

Benzer bir piramit sorusunda çift sayıların veya kare sayıların kullanıldığı bir örüntü çözünüz.

Alternative Method

10. satırın son terimini bulup (a55=217a_{55}=217), ilk terim (a46=181a_{46}=181) ile toplayıp 2'ye bölebilir, sonra terim sayısı (10) ile çarpabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 251Question →

Bir ayrıtı 5 birim olan büyük bir küp, 125 adet özdeş birim küpten oluşmaktadır. Bu büyük küpün 8 köşesinden birer adet birim küp çıkarılıyor. Elde edilen cismin tüm dış yüzeyi kırmızıya boyanıyor.

Buna göre, boyama işlemi sonunda yalnızca 2 yüzü boyalı olan birim küp sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Yalnızca 2 yüzü boyalı olan birim küp sayısı 12'dir.
Normal bir küpte, 'ayrıt' üzerindeki (köşeler hariç) küplerin 2 yüzü boyalıdır. Bu soruda köşeler çıkarıldığı için, köşeye komşu olan ayrıt küplerinin birer yüzü daha açığa çıkar ve 3 yüzü boyalı hale gelirler. 5 birimlik bir ayrıtta, köşeler hariç 3 küp vardır. Bunlardan uçtaki ikisi etkilenir (3 yüzlü olur), sadece ortadaki 1 küp etkilenmez (2 yüzlü kalır). 12 ayrıt olduğu için toplam 12 x 1 = 12 küp vardır.

Step-by-Step Solution

1
Büyük küpün yapısını analiz et
5x5x5 boyutlarında bir küp, 12 ayrıta sahiptir. Her ayrıtta 5 adet birim küp bulunur.
Küp boyama problemlerinde boyalı yüz sayısı, kübün büyük cisim üzerindeki konumuna (köşe, ayrıt, yüzey ortası, iç) bağlıdır.
2
Köşelerin çıkarılmasının etkisini belirle
Normalde 2 yüzü boyalı olan küpler 'ayrıt' küpleridir. Her ayrıtta köşeler hariç 3 küp bulunur (5 - 2 = 3). Köşeler çıkarılınca, köşeye komşu olan ayrıt küplerinin iç kısımları açığa çıkar.
Köşedeki birim küp çıkarıldığında, ona bitişik olan ayrıt küplerinin önceden kapalı olan bir yüzü daha boyayla temas eder.
3
Ayrıt küplerinin durumunu incele
Her ayrıttaki 3 küpten uçlardaki 2 tanesi (köşeye komşu olanlar), köşe çıktığı için artık 3 yüzü boyalı hale gelir. Sadece ayrıtın tam ortasındaki 1 küp etkilenmez ve 2 yüzü boyalı kalır.
Köşe boşluğuna bakan yüzey artık 'dış yüzey' sayılır.
4
Toplam sayıyı hesapla
12 ayrıt x 1 (ayrıtın ortasındaki küp) = 12 küp.
Sadece her ayrıtın tam ortasındaki küplerin boyalı yüz sayısı değişmez.

Key Concept

Küp Boyama ve Yüzey Analizi

Hints

1
Bir ayrıt üzerindeki küpleri düşünün. Normalde köşeler hariç diğer küplerin 2 yüzü boyalıdır.
2
Köşedeki küp çıkarıldığında, hemen yanındaki (ona dokunan) küplerin boyalı yüz sayısı nasıl değişir?
3
Köşe çıkınca, komşu küplerin iç yüzeyi de açığa çıkar ve boyanır. Dolayısıyla sadece köşe boşluğuna dokunmayan, ayrıtın tam ortasındaki küpler 2 yüzlü kalır.

Practice More

Benzer bir soruyu 4x4x4 küp için çözmeyi deneyin. Sonuç neden 0 çıkar?
Estimated Time:2m 30s
Question 252Question →

Bir üretim tesisinde imal edilen A, B ve C ürünlerinin günlük üretim adetlerinin dağılımı aşağıdaki dairesel grafikte gösterilmiştir. Grafikte A ürününü temsil eden daire diliminin merkez açısı 150∘150^\circ, B ürününü temsil eden dilimin merkez açısı ise 90∘90^\circ'dir.

Üretim sonrası yapılan kalite kontrol testlerinde tespit edilen hatalı ürün oranları şu şekildedir:

* A ürünü: %20
* B ürünü: %10
* C ürünü: %5

Bu tesiste bir günde toplam 135 adet hatalı ürün tespit edilmiştir. Buna göre, o gün üretilen toplam ürün sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1080

Answer

Toplam üretim sayısı 1080 adettir.
Toplam üretim, daire dilimlerinin açılarıyla orantılıdır. Açıların katkısı ve yüzde oranları birleştirilerek kurulan denklem (1.5k=1351.5k = 135) çözüldüğünde orantı sabiti k=90k=90 bulunur. Toplam üretim (12k12k) bu sabitle hesaplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
C ürününün merkez açısını hesapla.
C açısı = 360∘−(150∘+90∘)=120∘360^\circ - (150^\circ + 90^\circ) = 120^\circ.
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ'dir.
2
Açıları sadeleştirerek üretim miktarlarını kk cinsinden ifade et.
Her tarafı 30'a bölersek: A = 5k5k, B = 3k3k, C = 4k4k. Toplam Üretim = 12k12k.
Orantı kurarak işlem kolaylığı sağlamak için en büyük ortak bölen kullanılır.
3
Her ürün için hatalı ürün sayısını kk cinsinden hesapla.
A hatası: 5k×0.20=1k5k \times 0.20 = 1k
B hatası: 3k×0.10=0.3k3k \times 0.10 = 0.3k
C hatası: 4k×0.05=0.2k4k \times 0.05 = 0.2k
Verilen yüzde oranları üretim miktarlarına uygulanır.
4
Toplam hatalı ürün denklemini kur ve kk değerini bul.
1k+0.3k+0.2k=1.5k1k + 0.3k + 0.2k = 1.5k. Denklem: 1.5k=135⇒k=901.5k = 135 \Rightarrow k = 90.
Toplam hatalı ürün sayısı 135 olarak verilmiştir.
5
Toplam üretim sayısını hesapla.
Toplam Üretim = 12k=12×90=108012k = 12 \times 90 = 1080.
Başlangıçta tanımlanan toplam üretim formülünde kk değeri yerine konur.

Key Concept

Daire Grafiği ve Yüzde Problemleri İlişkisi

Hints

1
Öncelikle C ürününe ait daire diliminin merkez açısını hesaplayınız (360∘360^\circ tamamıdır).
2
Açıları sadeleştirerek üretim miktarlarına kk cinsinden değerler veriniz (Örn: 30∘=k30^\circ = k ise 90∘=3k90^\circ = 3k). Ardından yüzde hesaplarını bu kk değerleri üzerinden yapınız.
3
Hatalı ürünlerin kk cinsinden toplamı 1.5k1.5k olacaktır. Bu değeri 135'e eşitleyerek kk'yı bulunuz.

Practice More

Benzer bir soruda, hatalı ürün sayısı yerine 'sağlam ürün' sayısı verilerek toplam üretim sorulabilir.

Alternative Method

Derece Katkı Yöntemi: Her ürünün açısını hata oranıyla çarpıp 'Hatalı Derece' puanı oluşturulabilir. A: 150×0.20=30150 \times 0.20 = 30, B: 90×0.10=990 \times 0.10 = 9, C: 120×0.05=6120 \times 0.05 = 6. Toplam: 30+9+6=4530+9+6 = 45 puan. Orantı: 45 puan 135 ürüne denk geliyorsa, tamamı olan 360 puan kaç ürüne denk gelir? (135/45=3135/45 = 3 katı, 360×3=1080360 \times 3 = 1080).
Estimated Time:2m 30s
Question 253Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy pozitif tam sayısı için aşağıdaki iki kuralı sağlamaktadır:

x△1=xx \triangle 1 = x

x△y=x⋅y+(x△(y−1))(y>1 ic¸in)x \triangle y = x \cdot y + (x \triangle (y-1)) \quad (y > 1 \text{ için})

Buna göre, 3△153 \triangle 15 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

İşlemin sonucu 360'tır.
Verilen işlem incelendiğinde, x△yx \triangle y ifadesinin x⋅y+x⋅(y−1)+⋯+x⋅1x \cdot y + x \cdot (y-1) + \dots + x \cdot 1 şeklinde açıldığı görülür. Bu ifade xx parantezine alındığında x⋅(1+2+⋯+y)x \cdot (1 + 2 + \dots + y) elde edilir. 1'den yy'ye kadar olan sayıların toplamı y(y+1)2\frac{y(y+1)}{2} formülü ile bulunur. x=3x=3 ve y=15y=15 değerleri yerine yazıldığında: 3⋅15⋅162=3⋅120=3603 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 3 \cdot 120 = 360 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen yinelemeli (rekürsif) bağıntıyı inceleyerek genel kuralı keşfet.
x △ y = x·y + x·(y-1) + ... + x·1 şeklinde açılabilir.
Tanım gereği her adımda y bir azaltılarak işlem tekrar etmektedir.
2
İfadeyi x parantezine alarak toplam formülüne dönüştür.
x △ y = x · (y + (y-1) + ... + 1)
Her terimde x çarpanı ortaktır.
3
Gauss toplam formülünü (1'den n'e kadar sayıların toplamı) uygula.
1 + 2 + ... + y = y(y+1)/2 olduğundan, Formül: x · [y(y+1)/2]
Ardışık sayıların toplamını hızlı hesaplamak için bu formül gereklidir.
4
Verilen değerleri (x=3, y=15) formülde yerine koy.
3 · [15 · 16 / 2] = 3 · [120] = 360
Sonuca ulaşmak için sayısal işlem yapılır.

Key Concept

Genelleme ve Örüntü Tanıma (Rekürsif Bağıntılar)

Hints

1
İşlemi küçük sayılarla deneyerek örüntüyü görmeye çalışın. Örneğin x△2x \triangle 2 ve x△3x \triangle 3 neye eşit olur?
2
Tanımı açtığınızda x△y=xy+x(y−1)+x(y−2)+…x \triangle y = xy + x(y-1) + x(y-2) + \dots şeklinde bir seri elde edersiniz. Ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
3
İşlem aslında xx sayısı ile 11'den yy'ye kadar olan tam sayıların toplamının çarpımıdır. n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla tanımlanan a⋆b=a+b+(a⋆(b−1))a \star b = a + b + (a \star (b-1)) işlemi için çözüm yöntemini düşünün.

Alternative Method

Formülü fark edemezseniz, işlemi gruplayarak yapabilirsiniz: 3△15=3⋅(15+14+⋯+1)3 \triangle 15 = 3 \cdot (15 + 14 + \dots + 1). Toplamı bulmak için baştaki ve sondaki sayıları toplayıp terim sayısının yarısı ile çarpabilirsiniz (Gauss yöntemi).
Estimated Time:3m 0s
Question 254Question →

Aşağıdaki tabloda sayılar, satır ve sütunlar boyunca belirli bir mantıksal kurala göre dizilmiştir:

1. Sütun2. Sütun3. Sütun4. Sütun...
1. Satır471013...
2. Satır7121722...
3. Satır10172431...
4. Satır13223140...
..................

Buna göre, bu tablonun 10. satır ve 10. sütununun kesişiminde bulunan sayı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 220

Answer

Tablonun 10. satır ve 10. sütunundaki sayı 220'dir.
Doğru cevap, tablodaki satır ve sütun ilişkilerinin analiz edilip 10. satır için geçerli kuralın bulunmasıyla elde edilir. 10. satırın ilk sayısı, 1. sütundaki örüntüden (4,7,10...4, 7, 10...) hareketle 3×10+1=313 \times 10 + 1 = 31 olarak bulunur. 10. satırdaki sayıların artış miktarı ise, satır artışları örüntüsünden (3,5,7...3, 5, 7...) hareketle 2×10+1=212 \times 10 + 1 = 21 olarak bulunur. 10. satırın 10. elemanını bulmak için başlangıç sayısına 9 defa artış miktarı eklenir: 31+9×21=31+189=22031 + 9 \times 21 = 31 + 189 = 220. Alternatif olarak köşegen formülü 2n2+2n2n^2 + 2n kullanılarak 2(100)+20=2202(100) + 20 = 220 bulunabilir.

Step-by-Step Solution

1
Satırların başlangıç değerleri ve artış miktarlarını analiz et.
i. satırın ilk terimi (1. sütun) 3i+13i + 1 formülü ile bulunur. Örneğin 1. satır 4, 2. satır 7, 10. satır 31 ile başlar.
1. sütundaki sayılar (4, 7, 10...) 3'er 3'er artmaktadır.
2
Her satırın kendi içindeki artış miktarını (ortak farkı) belirle.
i. satırın artış miktarı 2i+12i + 1 şeklindedir. Örneğin 1. satır 3'er, 2. satır 5'er, 10. satır 21'er artar.
1. satır farkı 7−4=37-4=3, 2. satır farkı 12−7=512-7=5, 3. satır farkı 17−10=717-10=7 şeklindedir.
3
10. satır ve 10. sütundaki (köşegen üzerindeki) terimi hesapla.
Başlangıç değeri 31 ve artış miktarı 21 olan dizinin 10. terimi: 31+(10−1)×21=31+189=22031 + (10-1) \times 21 = 31 + 189 = 220.
Genel terim formülü: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r.

Key Concept

İki Boyutlu Sayı Dizileri ve Genel Terim Bulma

Hints

1
Önce 1. sütundaki sayıların (4, 7, 10...) kuralını bularak 10. satırın hangi sayıyla başladığını belirleyiniz.
2
Her satırda sayıların kaçar kaçar arttığına dikkat ediniz. 1. satır 3'er, 2. satır 5'er artıyor. 10. satır kaçar artar?
3
10. satır 31 ile başlar ve 21'er artar. Bu dizinin 10. terimini bulmak için 31'e 9 tane 21 ekleyiniz.

Practice More

Benzer bir tabloda aritmetik yerine geometrik artış içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Köşegen üzerindeki sayılara dikkat ediniz: 4, 12, 24, 40... Bu sayıların genel terimi 2n2+2n2n^2 + 2n formülüne uyar. n=10n=10 için 2(100)+20=2202(100) + 20 = 220 sonucu doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 255Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde A, B ve C olmak üzere üç farklı raf bulunmaktadır. Düzenleme çalışması kapsamında bu raflar arasında sırasıyla şu işlemler yapılmıştır:

1. A rafındaki dosyaların yarısı B rafına taşınmıştır.
2. B rafında oluşan yeni dosya sayısının üçte biri C rafına taşınmıştır.
3. C rafında oluşan yeni dosya sayısının dörtte biri A rafına taşınmıştır.

Bu işlemlerin sonunda her üç rafta da 36'şar dosya bulunduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, düzenleme yapılmadan önce A rafında kaç dosya bulunmaktaydı?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Düzenleme öncesinde A rafında 48 dosya bulunmaktaydı
Problemin çözümü için son durumdan (A=36, B=36, C=36) başlayarak işlemlerin tersini uygulamamız gerekir. Son adımda C'den A'ya transfer yapılmıştır. C'nin 1/4'ü gidince geriye 3/4'ü (36) kalmıştır, yani C işlem öncesi 48'dir ve 12 dosya A'ya gitmiştir. A'ya 12 dosya gelince 36 olduğuna göre, gelmeden önce A=24'tür. İkinci adımda B'den C'ye transfer yapılmıştır. B'nin 1/3'ü gidince geriye 2/3'ü (36) kalmıştır, yani B işlem öncesi 54'tür ve 18 dosya gitmiştir. İlk adımda ise A'nın yarısı B'ye gitmiştir. A'nın yarısı gidince 24 kaldığına göre, başlangıçta A=48'dir.

Step-by-Step Solution

1
Son durumdan geriye doğru gitmek için 3. işlemi tersine çevir
C'nin 1/4'ü A'ya verilince C'de 36 kalmış (3/4⋅C=363/4 \cdot C = 36). O halde işlem öncesi C=48'dir. A'ya giden miktar 12'dir. Son durumda A=36 olduğuna göre, bu 12 gelmeden önce A=24 idi.
Sondan başa doğru giderken işlemlerin tersi (verilen geri alınır) uygulanır.
2
2. işlemi tersine çevir
B'nin 1/3'ü C'ye verilince B'de 36 kalmış (2/3⋅B=362/3 \cdot B = 36). O halde işlem öncesi B=54'tür. C'ye giden miktar 18'dir. C rafı bir önceki adımda 48 idi, bu 18 gelmeden önce C=30 idi.
B rafının işlem öncesi durumunu bulmak için kesir tersine çevrilir.
3
1. işlemi tersine çevir (Başlangıç durumu)
A'nın 1/2'si B'ye verilince A'da 24 kalmış (1/2⋅A=241/2 \cdot A = 24). O halde başlangıçta A=48'dir. B'ye giden miktar 24'tür. B rafı bir önceki adımda 54 idi, bu 24 gelmeden önce B=30 idi.
Başlangıçtaki A değerine ulaşılır.

Key Concept

Ters İşlem Problemleri (Geriye Doğru Akıl Yürütme)

Hints

1
Problemi çözmek için 'sonuçtan başa doğru' (geriye doğru işlem) yöntemini kullanın.
2
Son adımda C rafındaki dosyaların 1/4'ü gittiğinde geriye 36 dosya kalmıştır. Buna göre C'nin transfer öncesi miktarını bulup, A'nın önceki halini hesaplayın.
3
Adım 3 öncesi: C=48, A=24. Adım 2 öncesi: B=54, C=30. Adım 1 (Başlangıç): A=48.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurgulanan 'üç kişinin para alışverişi sonunda paralarının eşitlenmesi' sorularını çözünüz.

Alternative Method

Denklem kurarak çözüm: Başlangıçta A=2x olsun. B'ye x geçer. Kalan x olur. Bu x değeri son adıma kadar korunur (sadece son adımda ekleme alır). Bu yöntemle de x=24 ve 2x=48 bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 256Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=x⋅y+4x+4y+mx \triangle y = x \cdot y + 4x + 4y + m

eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin yutan elemanı olduğuna göre, 22 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -23/6

Answer

2 sayısının işlem altındaki tersi -23/6'dır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincirleme bir mantık kurulmalıdır. İlk olarak 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak işlemdeki bilinmeyen mm sayısı bulunur (y+4=0⇒y=−4y+4=0 \Rightarrow y=-4 ve 3y+m=0⇒m=123y+m=0 \Rightarrow m=12). Daha sonra işlemin 'birim elemanı' hesaplanır ((x+4)(e+3)=0⇒e=−3(x+4)(e+3)=0 \Rightarrow e=-3). Son olarak, 2 sayısının tersi tt için 2△t=e2 \triangle t = e eşitliği çözülür (6t+20=−3⇒t=−23/66t+20=-3 \Rightarrow t=-23/6).

Step-by-Step Solution

1
Yutan eleman tanımını kullanarak m sabitini bul.
m = 12 ve yutan eleman = -4
Yutan eleman y için x ∆ y = y olmalıdır. xy + 4x + 4y + m = y eşitliğinde x parantezine alırsak x(y+4) + (3y+m) = 0. Bu eşitliğin her x için sağlanması için katsayılar 0 olmalıdır: y+4=0 => y=-4 ve 3(-4)+m=0 => m=12.
2
İşlemin kuralını m değeri ile güncelle.
x ∆ y = xy + 4x + 4y + 12
Bulunan m değerini yerine yazarak işlemin tam kuralını elde ederiz.
3
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (e) bul.
e = -3
Birim eleman e için x ∆ e = x olmalıdır. xe + 4x + 4e + 12 = x => xe + 3x + 4e + 12 = 0 => x(e+3) + 4(e+3) = 0 => (x+4)(e+3) = 0. Her x için sağlanması için e+3=0 yani e=-3 olmalıdır.
4
2 sayısının tersini (t) bul.
t = -23/6
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı vermelidir. 2 ∆ t = e => 2t + 4(2) + 4t + 12 = -3 => 6t + 20 = -3 => 6t = -23 => t = -23/6.

Key Concept

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bulunması gerekir. Birim elemanın bulunabilmesi için ise (bu soruda olduğu gibi) işlemdeki bilinmeyen sabitlerin yutan eleman gibi ek bilgilerle çözülmesi gerekebilir.

Hints

1
Bir işlemde yutan eleman yy, her xx değeri için x△y=yx \triangle y = y eşitliğini sağlayan elemandır. Bu eşitliği kullanarak önce mm değerini bulmaya çalışın.
2
mm değerini bulduktan sonra işlemin birim elemanını (ee) bulmalısınız. Birim eleman, her xx için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlar.
3
x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 özdeşliğini fark ederseniz işlemleriniz kolaylaşır. Birim eleman e=−3e=-3 olacaktır. Ters eleman tanımı gereği 2△t=−32 \triangle t = -3 denklemini çözmelisiniz.

Practice More

Benzer bir işlemde yutan eleman yerine 'değişme özelliği' olduğu belirtilseydi bilinmeyen katsayıları nasıl bulurdunuz?

Alternative Method

İşlem x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Bu formda, işlemin esas kısmı (x+4)(y+4)(x+4)(y+4) çarpımıdır. Bu yapıda birim eleman, parantez içini 1 yapan değerdir (yani e+4=1⇒e=−3e+4=1 \Rightarrow e=-3). Ters eleman için ise (2+4)(t+4)=1(2+4)(t+4) = 1 olmalıdır.
Estimated Time:4m 0s
Question 257Question →

Aşağıdaki daire grafiğinde, bir şirketin yıl başında dört farklı departman (Üretim, Pazarlama, Ar-Ge, İdari İşler) için talep ettiği bütçe miktarlarının dağılımı verilmiştir. Bu taleplerin yönetim kurulu tarafından onaylanma oranları ise tabloda gösterilmiştir.

DepartmanOnaylanma Oranı
Üretim%30
Pazarlama%50
Ar-Ge%25
İdari İşler%10

Buna göre, onaylanan bütçe miktarlarına göre yeni bir daire grafiği oluşturulduğunda, Pazarlama departmanını gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

Show answer & explanation

Answer: 144°

Answer

Pazarlama departmanının yeni merkez açısı 144 derecedir.
Onaylanan bütçe miktarları hesaplandığında Pazarlama departmanı 40 birim, toplam onaylanan bütçe ise 100 birim olmaktadır. 40/100 oranı 360 dereceye uyarlandığında 144 derece elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Talep edilen bütçe miktarlarını temsili birimlere dönüştür.
Toplam bütçe talebini 360 birim kabul edelim. Grafikteki açılara göre: Üretim = 100, Pazarlama = 80, Ar-Ge = 80, İdari İşler = 100 birim.
Daire grafiğindeki açılar doğrudan miktar ile orantılı olduğu için işlem kolaylığı sağlamak adına açı değerleri birim miktar olarak kullanılabilir.
2
Her departman için onaylanan bütçe miktarını hesapla.
Üretim: 100 x %30 = 30 birim. Pazarlama: 80 x %50 = 40 birim. Ar-Ge: 80 x %25 = 20 birim. İdari İşler: 100 x %10 = 10 birim.
Tabloda verilen onaylanma oranları, talep edilen miktarlara uygulanarak gerçek onaylanan bütçe bulunur.
3
Onaylanan toplam bütçeyi bul.
Toplam Onaylanan = 30 + 40 + 20 + 10 = 100 birim.
Yeni daire grafiğinin tamamını (360 dereceyi) temsil edecek toplam değeri bulmak gerekir.
4
Pazarlama departmanının yeni grafikteki merkez açısını hesapla.
(Pazarlama Onaylanan / Toplam Onaylanan) x 360° = (40 / 100) x 360° = 144°.
Bir parçanın bütündeki payı ile 360 derece çarpılarak o parçaya düşen merkez açı bulunur.

Key Concept

Orantı Kurma ve Grafik Yorumlama
Question 258Question →

2,3,6,10,17,28,A2, 3, 6, 10, 17, 28, A

Yukarıda verilen sayı dizisi belirli bir mantıksal kurala göre oluşturulmuştur.

Buna göre, dizideki AA harfinin yerine gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 46

Answer

Dizideki özyinelemeli kurala göre A yerine gelmesi gereken sayı 46'dır.
Verilen sayı dizisi incelendiğinde, her terimin kendinden önceki iki terimin toplamının 1 fazlasına eşit olduğu görülmektedir (an=an−1+an−2+1a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + 1). Buna göre; 2+3+1=62+3+1=6, 3+6+1=103+6+1=10, 6+10+1=176+10+1=17 ve 10+17+1=2810+17+1=28 işlemleri kuralı doğrulamaktadır. Dizinin 7. terimi olan AA sayısı ise, 5. terim (17) ve 6. terimin (28) toplamının 1 fazlası olan 17+28+1=4617 + 28 + 1 = 46 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Dizideki ardışık terimler arasındaki bağıntıyı inceleyin.
3. terim: 2+3+1=62 + 3 + 1 = 6, 4. terim: 3+6+1=103 + 6 + 1 = 10, 5. terim: 6+10+1=176 + 10 + 1 = 17, 6. terim: 10+17+1=2810 + 17 + 1 = 28.
Dizinin her teriminin, kendisinden önceki iki terimin toplamının 1 fazlası olduğu görülmektedir.
2
Tespit edilen kuralı dizinin sonuna uygulayarak AA değerini bulun.
A=17+28+1=46A = 17 + 28 + 1 = 46 elde edilir.
AA sayısı 7. terim olduğundan, kural gereği 5. ve 6. terimlerin toplamına 1 eklenmelidir.

Key Concept

Özyinelemeli (Rekürsif) Sayı Dizileri

Hints

1
Terimler arasındaki farkları sırasıyla yazın: 1, 3, 4, 7, 11... Bu farklar arasında bir kural fark ettiniz mi?
2
Farklar dizisinde her sayı, kendinden önceki iki farkın toplamına eşittir (1+3=41+3=4, 3+4=73+4=7...). Bir sonraki farkı bulun.
3
Bir sonraki fark 7+11=187+11=18 olmalıdır. Son terim olan 28'e bu farkı ekleyerek AA değerine ulaşın.

Practice More

Farklar dizisinin kendi içinde özyinelemeli (Fibonacci tipi) olduğu bu tarz sorular, sayısal mantık testlerinde sıkça karşınıza çıkabilir.

Alternative Method

Dizideki terimlerin farklarını incelediğimizde: 3−2=13-2=1, 6−3=36-3=3, 10−6=410-6=4, 17−10=717-10=7, 28−17=1128-17=11 olduğu görülür. Farklar dizisi olan 1,3,4,7,111, 3, 4, 7, 11 sayıları arasında, her farkın önceki iki farkın toplamı olduğu bir kural vardır (1+3=41+3=4, 3+4=73+4=7, 4+7=114+7=11). Bu durumda bir sonraki fark 7+11=187+11=18 olmalıdır. Sonuç olarak A=28+18=46A = 28 + 18 = 46 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 259Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde A, B, C, D ve E isimli beş farklı raf bulunmaktadır. Bu raflara 10, 20, 30, 40 ve 50 adet dosya, her rafta farklı sayıda dosya olacak şekilde yerleştirilmiştir.

Raflardaki dosya sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* B ve D raflarındaki toplam dosya sayısı 90'dır.
* B rafındaki dosya sayısı, D rafındakinden fazladır.
* C rafındaki dosya sayısı, A ve E raflarındaki dosya sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir.
* A rafındaki dosya sayısı, E rafındakinden azdır.

Buna göre, E rafı ile C rafındaki toplam dosya sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

E ve C raflarındaki toplam dosya sayısı 50'dir.
Verilen kısıtlamalar adım adım uygulandığında tek bir geçerli dizilim oluşur: A=10, B=50, C=20, D=40, E=30. Soruda E ve C raflarındaki toplam dosya sayısı istendiğinden 30 + 20 = 50 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dosya sayısı kümesini ve verilen ilk kısıtlamayı analiz et.
Küme: {10, 20, 30, 40, 50}. B + D = 90 şartını sağlayan tek ikili {40, 50}'dir.
Kümedeki diğer sayıların toplamı 90 etmemektedir (Örn: 30+50=80).
2
B > D kısıtlamasına göre değerleri ata.
B = 50 ve D = 40 olarak belirlenir.
B, D'den büyük olmalıdır.
3
Kalan sayıları ve aritmetik ortalama kuralını incele.
Kalanlar: {10, 20, 30}. C = (A + E) / 2 şartını sağlayan durum C=20'dir (10 ve 30'un ortalaması).
Kalan sayılar arasında aritmetik dizi oluşturan tek üçlü 10-20-30'dur.
4
A < E kısıtlamasına göre A ve E değerlerini ata.
A = 10 ve E = 30 olur.
Ortalamayı oluşturan 10 ve 30 değerlerinden küçük olan A'dır.
5
İstenen E + C toplamını hesapla.
E (30) + C (20) = 50.
Bulunan değerler toplanır.

Key Concept

Sayısal Mantık ve Çıkarım Yapma

Hints

1
Önce toplamı 90 olan iki sayıyı {10, 20, 30, 40, 50} kümesinden bulmaya çalışın.
2
B ve D rafları 40 ve 50 değerlerini alır. Geriye kalan 10, 20 ve 30 sayıları A, C ve E raflarına dağıtılmalıdır.
3
Kalan sayılar (10, 20, 30) arasında biri diğer ikisinin ortalamasıdır. Ortadaki sayı C olacaktır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, toplamları verilen üç kutunun değerlerini bulmayı gerektiren sayı yerleştirme soruları çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 260Question →

Aşağıdaki tabloda bir kahve dükkanında günün farklı saatlerinde satılan içecek sayıları verilmiştir:

İçecek TürüSabahÖğleAkşam
Çay454560603535
Kahve303025254040
Meyve Suyu151520201010

Buna göre, bu dükkanda gün boyunca satılan toplam kahve sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9595

Answer

Gün boyunca satılan toplam kahve sayısı 9595 adettir.
Tablo okunurken 'Kahve' türünün bulunduğu satır yatay olarak takip edildiğinde Sabah 3030, Öğle 2525 ve Akşam 4040 adet satış yapıldığı görülür. Bu üç değerin toplamı olan 30+25+40=9530 + 25 + 40 = 95 gün boyunca satılan toplam kahve miktarını verir.

Step-by-Step Solution

1
Tablodan 'Kahve' satırını bulun.
Kahve satırında Sabah için 3030, Öğle için 2525 ve Akşam için 4040 değerleri görülmektedir.
Soru bizden gün boyunca satılan kahve sayısını istediği için sadece bu satırdaki verileri kullanmalıyız.
2
Kahve satırındaki tüm zaman dilimlerine ait değerleri toplayın.
30+25+40=9530 + 25 + 40 = 95
Gün boyu toplamı bulmak için sabah, öğle ve akşam verilerini birleştirmemiz gerekir.

Key Concept

Tablo verilerini satır ve sütun kesişimlerine göre doğru okuma ve temel toplama işlemi.

Hints

1
Tabloda sol taraftaki 'Kahve' yazan satırı bulun.
2
Kahve satırında karşınıza çıkan üç ayrı sayıyı (sabah, öğle, akşam) belirleyin.
3
3030, 2525 ve 4040 sayılarını birbirine ekleyerek toplam sonucu bulun.

Practice More

Benzer şekilde tablodaki 'Çay' satırı için de toplamı hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Zihinden toplama yaparken sayıları parçalayabilirsiniz: 30+20+40=9030 + 20 + 40 = 90, kalan 55 birimi eklediğinizde 9595 elde edersiniz.
Estimated Time:45s
PreviousPage 13 / 14Next
Sayısal Mantık — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 13 | Examkin