Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 2301Soru →

Bir torbada 11'den 99'a kadar numaralandırılmış 99 kart bulunmaktadır. Kaan, Leyla ve Murat bu torbadan sırasıyla üçer kart çekmiştir. Kartların üzerindeki sayılarla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Leyla'nın çektiği kartlardaki sayıların hepsi ardışık çift say��lardır.
* Murat'ın çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir tek sayıdır.
* Kaan'ın çektiği kartlardaki sayıların toplamı bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Leyla 66 numaralı kartı çekmiştir.

Cevap

Leyla'nın 6 numaralı kartı çekmiş olması
Leyla'nın çektiği kartlar ardışık çift sayılardır. Torbadaki çift sayılar {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} olduğundan, seçilebilecek ardışık üçlü gruplar yalnızca {2,4,6}\{2, 4, 6\} ve {4,6,8}\{4, 6, 8\} olabilir. Her iki grupta da 66 sayısı ortak olarak yer aldığından, Leyla'nın 66 numaralı kartı çekmiş olduğu kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Torbadaki kartları tek ve çift olma durumlarına göre ayıralım.
11'den 99'a kadar olan sayılardan {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} kümesindeki 55 sayı tek, {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} kümesindeki 44 sayı ise çifttir.
Kartların teklik ve çiftlik özelliklerini belirleyerek oyuncuların çekebileceği olası kart gruplarını analiz etmek.
2
Murat'ın çektiği kartların türünü belirleyelim.
Murat'ın çektiği 33 kartın çarpımı tek sayı olduğuna göre, bu kartların tamamı tek sayı olmalıdır. Yani Murat 33 adet tek sayı kartı almıştır.
Çarpımın sonucunun tek sayı olması için tüm çarpanların tek sayı olması zorunludur.
3
Leyla'nın çektiği kartları inceleyelim.
Leyla'nın çektiği kartların tamamı ardışık çift sayılardır. Çift sayılar {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} olduğundan, ardışık 33 çift sayı içeren gruplar yalnızca {2,4,6}\{2, 4, 6\} veya {4,6,8}\{4, 6, 8\} olabilir. Her iki durumda da 66 numaralı kart Leyla'nın grubunda yer alır.
Mevcut çift sayılarla yazılabilecek ardışık üçlü grupların her ikisinde de ortak olan tek sayı 66'dır.
4
Kaan'ın kartlarını ve toplamını analiz ederek doğruluğunu teyit edelim.
Toplam 44 çift sayıdan 33'ünü Leyla, 55 tek sayıdan 33'ünü ise Murat almıştır. Geriye kalan 11 çift ve 22 tek sayı kartı Kaan'a kalır. Kaan'ın kartlarının toplamı (Çift + Tek + Tek = Çift) olacağından verilen kuralla tutarlıdır. Leyla'nın seçimine göre Kaan'ın elindeki çift sayı 22 veya 88 olabilir.
Tüm kartların dağıtıldığını teyit etmek ve Kaan'ın elindeki kartların toplamının çift sayı kuralını sağladığını doğrulamak.

Anahtar Kavram

Mantıksal Akıl Yürütme ve Tek-Çift Sayı Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2302Soru →

Terimleri 3'er 3'er artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin terim sayısı çifttir. Bu dizinin ilk yarısındaki terimlerin toplamı AA, ikinci yarısındaki terimlerin toplamı BB'dir.

B−A=108B - A = 108

Bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamı 119119 olduğuna göre, dizinin en küçük terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Dizinin en küçük terimi 43'tür.
Dizinin ilk yarısındaki terimler ile ikinci yarısındaki karşılık gelen terimlerin birebir farklarının toplamı 3n23n^2 formülünü verir. Buradan 3n2=108  ⟹  n=63n^2 = 108 \implies n = 6 bulunur ve toplam terim sayısı 1212'dir. En küçük terim a1a_1, en büyük terim ise a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olup, toplamları 2a1+33=119  ⟹  a1=432a_1 + 33 = 119 \implies a_1 = 43 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terim sayısını 2n2n olarak tanımlayıp iki yarıya ayırmak.
İlk yarı a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n ve ikinci yarı an+1,an+2,…,a2na_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n} şeklinde nn elemanlı iki gruba ayrılır.
Terim sayısının çift olduğu belirtildiği için iki eşit gruba ayırarak toplam farkını analiz etmek gerekir.
2
Terimler arasındaki fark ilişkisinden yararlanarak grup toplamları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
Her ii için an+i−ai=3na_{n+i} - a_i = 3n olup, toplam farkı B−A=3n2B - A = 3n^2 olarak elde edilir.
Ardışık terimlerin artış miktarı 3 olduğundan, ikinci yarıdaki her terim ilk yarıdaki simetriğinden tam olarak nn terim sonrasıdır ve aradaki fark 3n3n'dir.
3
3n2=1083n^2 = 108 denklemini çözerek terim sayısını bulmak.
n = 6, toplam terim sayısı 2n=122n = 12 olarak bulunur.
Dizinin en büyük terimine ulaşmak için toplam terim sayısının bulunması şarttır.
4
En büyük terimi en küçük terim cinsinden ifade etmek.
a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olur.
12 terimli ve artış miktarı 3 olan bir dizide son terim ile ilk terim arasında 11 adet artış adımı (11×3=3311 \times 3 = 33) vardır.
5
Verilen toplam değerini kullanarak en küçük terimi hesaplamak.
a1+(a1+33)=119  ⟹  2a1=86  ⟹  a1=43a_1 + (a_1 + 33) = 119 \implies 2a_1 = 86 \implies a_1 = 43 bulunur.
En büyük ve en küçük terimlerin toplamı 119 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Soru 2303Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1
g(x)=2x+mg(x) = 2x + m
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)
eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane xx gerçel sayısı olduğuna göre, mm kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

m değeri -1 olmalıdır.
Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.
(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
2
(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.
(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m
İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.
3
Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.
4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0
x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.
4
Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.
Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1
İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternatif Yöntem

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2304Soru →

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1 olduğu bilindiğine göre, ardışık iki tek sayı olan xx ve yy için
3x+2y=693x + 2y = 69
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu sayıların en küçük ortak katı olan EKOK(x,y)\text{EKOK}(x, y) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 195

Cevap

195
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen ardışık tek sayılar 13 ve 15'tir. Bu sayılar ortak bir asal bölene sahip olmadıkları için aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. Aralarında asal olan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların çarpımına eşit olduğundan, aranan değer 13 ile 15'in çarpımı olan 195 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık iki tek sayı olan xx ve yy arasındaki ilişkiyi yazma
y=x+2y = x + 2 veya x=y+2x = y + 2
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.
2
y=x+2y = x + 2 durumunu verilen denklemde yerine yazıp çözme
3x+2(x+2)=69  ⟹  5x+4=69  ⟹  5x=65  ⟹  x=133x + 2(x + 2) = 69 \implies 5x + 4 = 69 \implies 5x = 65 \implies x = 13. Buradan y=15y = 15 bulunur.
xx ve yy pozitif tam sayı değerlerini bulmak için denklem çözülür.
3
x=y+2x = y + 2 durumunu kontrol etme
3(y+2)+2y=69  ⟹  5y+6=69  ⟹  5y=633(y + 2) + 2y = 69 \implies 5y + 6 = 69 \implies 5y = 63. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
Olası diğer ardışıklık durumunun geçerliliği test edilir.
4
Bulunan x=13x = 13 ve y=15y = 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını denetleme
13 ve 15 sayılarının 1 dışında ortak böleni yoktur, yani EBOB(13,15)=1\text{EBOB}(13, 15) = 1 şartı sağlanır.
Soruda verilen aralarında asal olma ve EBOB koşullarının doğrulanması gerekir.
5
Sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama
EKOK(13,15)=13×15=195\text{EKOK}(13, 15) = 13 \times 15 = 195
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni 1'e, en küçük ortak katı ise bu sayıların çarpımına eşittir. Kendileri asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir.
Soru 2305Soru →

Bir gruptaki kişilerden 1818'i futbol, 1414'ü basketbol oynamaktadır. Bu grupta her iki sporu da oynayan 55 kişi olduğuna göre, futbol veya basketbol sporlarından en az birini oynayan toplam kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2727

Cevap

Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı 2727'dir.
Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı, bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B) şeklindedir. Verilen değerler formülde yerine yazıldığında 18+14−5=2718 + 14 - 5 = 27 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Futbol oynayanların kümesini FF, basketbol oynayanların kümesini BB olarak belirleyip eleman sayılarını yazalım.
s(F)=18s(F) = 18, s(B)=14s(B) = 14 ve her iki sporu oynayanlar s(F∩B)=5s(F \cap B) = 5 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel küme sembolleriyle ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
En az bir sporu oynayanların sayısını bulmak için birleşim kümesi formülünü uygulayalım: s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)
s(F∪B)=18+14−5=27s(F \cup B) = 18 + 14 - 5 = 27 olarak bulunur.
Her iki sporu da oynayan kişilerin toplam hesaplamada iki kez sayılmasını önlemek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısının hesaplanması
Soru 2306Soru →

Bir restoranda;
- 33 farklı çorba,
- 44 farklı ana yemek,
- 33 farklı tatlı
seçeneği bulunmaktadır.

Bir müşteri bu menüden en az bir, en fazla iki farklı kategoriden birer ürün seçerek bir sipariş oluşturmak istemektedir. Ancak, ana yemek seçtiği her durumda mutlaka çorba da seçmek zorundadır.

Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Müşteri siparişini 27 farklı şekilde oluşturabilir.
Müşterinin seçebileceği durumlar kategorilere göre ayrılır: Yalnızca bir kategori seçildiğinde sadece çorba (33 durum) veya sadece tatlı (33 durum) seçilebilir (toplam 66 durum). Tam iki kategori seçildiğinde ise çorba ve ana yemek (3×4=123 \times 4 = 12 durum) veya çorba ve tatlı (3×3=93 \times 3 = 9 durum) seçilebilir (toplam 2121 durum). Diğer durumlar koşullarla çelişmektedir. Toplamda 6+21=276 + 21 = 27 farklı sipariş verilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek kategori seçilen durumları hesaplayın.
Sadece çorba seçilirse 33 durum, sadece tatlı seçilirse 33 durum vardır. Sadece ana yemek seçilemez çünkü ana yemek seçildiğinde çorba da seçilmelidir. Toplam: 3+3=63 + 3 = 6 durum.
Müşteri en az bir kategori seçmek zorundadır ve ana yemek tek başına seçildiğinde çorba kuralını ihlal eder.
2
İki kategori seçilen durumları hesaplayın.
Çorba ve ana yemek seçilirse 3×4=123 \times 4 = 12 durum; çorba ve tatlı seçilirse 3×3=93 \times 3 = 9 durum vardır. Ana yemek ve tatlı seçilirse çorba da seçilmesi gerekeceğinden kategori sayısı üçe çıkar ve kural ihlal edilir. Toplam: 12+9=2112 + 9 = 21 durum.
Müşteri en fazla iki kategori seçebilir ve ana yemek seçimi her zaman çorbayı gerektirir.
3
Elde edilen tüm durumları toplayın.
6+21=276 + 21 = 27 durum.
Farklı kategori seçim adetleri ayrık durumlar oluşturduğu için toplama ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın toplama ve çarpma kurallarının koşullu durumlara uygulanması.
Soru 2307Soru →

xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,

x!3y\frac{x!}{3^y}

ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, yy nin alabileceği en büyük değer 1414 ise xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 93

Cevap

Koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı 93'tür.
Verilen ifadenin tam sayı olması ve y'nin en büyük değerinin 14 olması, x! içindeki 3 asal çarpanı sayısının tam olarak 14 olmasını gerektirir. Legendre formülü yardımıyla bu şartı sağlayan en küçük x değeri 30 olarak bulunur. Faktöriyelli ifadede 3 çarpanı sayısı ancak 33 sayısına ulaşıldığında artacağı için x değerleri 30, 31 ve 32 olabilir. Bu değerlerin toplamı da 93 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin çift tam sayı olma koşulunun analiz edilmesi.
y≤v3(x!)y \le v_3(x!) ve x≥2x \ge 2 olmalıdır.
x!3y\frac{x!}{3^y} ifadesinin tam sayı olması için payın paydadaki 3 çarpanlarını sadeleştirebilmesi gerekir. x!x! içindeki 3 çarpanı sayısı v3(x!)v_3(x!) ile gösterilirse, y≤v3(x!)y \le v_3(x!) olmalıdır. yy nin alabileceği en büyük değer 14 olduğundan v3(x!)=14v_3(x!) = 14 olmalıdır. Sonucun çift olması için de x≥2x \ge 2 olması yeterlidir.
2
Legendre formülü kullanılarak v3(x!)=14v_3(x!) = 14 denkleminin çözülmesi.
x=30x = 30 için v3(30!)=14v_3(30!) = 14 bulunur.
v3(x!)=⌊x3⌋+⌊x9⌋+⌊x27⌋+…v_3(x!) = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + \lfloor \frac{x}{9} \rfloor + \lfloor \frac{x}{27} \rfloor + \dots formülü uygulanarak sınır değer tespit edilir. x=30x = 30 için bu değer ⌊30/3⌋+⌊30/9⌋+⌊30/27⌋=10+3+1=14\lfloor 30/3 \rfloor + \lfloor 30/9 \rfloor + \lfloor 30/27 \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14 olur.
3
Koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin belirlenmesi.
x∈{30,31,32}x \in \{30, 31, 32\} olarak bulunur.
x=29x = 29 için çarpan sayısı 13'tür ve yetersizdir. x=33x = 33 için çarpan sayısı 15 olur ve koşulu aşar. Dolayısıyla xx değerleri 30, 31 ve 32 olabilir.
4
Değerlerin toplamının hesaplanması.
30+31+32=9330 + 31 + 32 = 93
xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için bu değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve Legendre formülü yardımıyla bir faktöriyelli ifadedeki asal çarpan üssünün bulunması.

İpuçları

1
Bir ifadenin çift tam sayı olması için öncelikle tam sayı olması gerekir. Paydanın payı tam bölmesi şartını düşünün.
2
x!x! sayısının içindeki 3 asal çarpanı sayısını bulmak için Legendre formülünü kullanabilirsiniz.
3
v3(x!)=14v_3(x!) = 14 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini bulduktan sonra, bu değerin ardışığı olan ve 3'ün yeni bir katı olmayan diğer sayıları da kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x!x! sayısının sonundan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 asal çarpanı sayısının Legendre formülüyle nasıl hesaplandığı sorusunu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Legendre formülünü doğrudan kullanmak yerine, 14 adet 3 çarpanının hangi faktöriyel değerlerinde biriktiğini tek tek çarpanları analiz ederek de bulabilirsiniz (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sayılarının her birinin içindeki 3 çarpanlarını toplayarak).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2308Soru →

Dik koordinat düzleminde, II. bölgede bulunan bir A(a,b)A(a, b) noktası ile IV. bölgede bulunan bir B(c,d)B(c, d) noktası veriliyor. AA ve BB noktalarının orta noktası yy-ekseninin pozitif kısmında olup orijine olan uzaklığı 22 birimdir. AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim ve bu noktaların tüm koordinatları birer tam sayı olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, A noktasının koordinatları toplamının alabileceği olası değerler olan 3 ve 1 sayılarının toplamıdır. Analitik düzlemdeki bölge koşulları ve uzaklık denklemi tam sayılar kümesinde çözüldüğünde yalnızca bu iki durumun geçerli olduğu görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Orta noktanın koordinatlarını belirleme
Orta nokta M(0,2)M(0, 2) olarak bulunur.
Orta nokta yy-ekseninin pozitif kısmında ve orijine 22 birim uzaklıkta olduğundan apsisi 00, ordinatı ise 22 olmalıdır.
2
A(a,b)A(a, b) ve B(c,d)B(c, d) koordinatları arasındaki ilişkileri yazma
c=−ac = -a ve d=4−bd = 4-b bağıntıları elde edilir.
Orta nokta formülünden, a+c2=0  ⟹  c=−a\frac{a+c}{2} = 0 \implies c = -a ve b+d2=2  ⟹  d=4−b\frac{b+d}{2} = 2 \implies d = 4-b eşitlikleri yazılır.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
a2+(b−2)2=25a^2 + (b-2)^2 = 25 denklemi elde edilir.
AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğundan AB=(c−a)2+(d−b)2=10  ⟹  (c−a)2+(d−b)2=100AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = 10 \implies (c-a)^2 + (d-b)^2 = 100 olur. c=−ac = -a ve d=4−bd = 4-b değerleri yerine yazıldığında (−2a)2+(4−2b)2=100  ⟹  4a2+4(2−b)2=100  ⟹  a2+(b−2)2=25(-2a)^2 + (4-2b)^2 = 100 \implies 4a^2 + 4(2-b)^2 = 100 \implies a^2 + (b-2)^2 = 25 elde edilir.
4
Bölge sınırlandırmalarını ve tam sayı çözümlerini analiz etme
A(−3,6)A(-3, 6) ve A(−4,5)A(-4, 5) noktaları bulunur.
A(a,b)A(a, b) II. bölgede olduğundan a<0a < 0 ve b>0b > 0 olmalıdır. B(c,d)B(c, d) IV. bölgede olduğundan c>0c > 0 ve d<0d < 0 olmalıdır. c=−ac = -a olduğundan a<0a < 0 ise c>0c > 0 şartı kendiliğinden sağlanır. d=4−b<0d = 4-b < 0 olması için b>4b > 4 şart�� sağlanmalıdır. a2+(b−2)2=25a^2 + (b-2)^2 = 25 denkleminde a<0a < 0 ve b>4b > 4 olan tam sayı çözümleri incelendiğinde:
- a=−3a = -3 için (b−2)2=16  ⟹  b−2=4  ⟹  b=6(b-2)^2 = 16 \implies b-2 = 4 \implies b = 6 (A(−3,6)A(-3, 6) ve B(3,−2)B(3, -2) noktaları oluşur, koşullara uygundur).
- a=−4a = -4 için (b−2)2=9  ⟹  b−2=3  ⟹  b=5(b-2)^2 = 9 \implies b-2 = 3 \implies b = 5 (A(−4,5)A(-4, 5) ve B(4,−1)B(4, -1) noktaları oluşur, koşullara uygundur).
- a=−5a = -5 için (b−2)2=0  ⟹  b=2(b-2)^2 = 0 \implies b = 2 olur fakat b>4b > 4 şartı sağlanmaz.
5
AA noktasının koordinatları toplamını hesaplama
Koordinat toplamlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olarak hesaplanır.
A(−3,6)A(-3, 6) noktası için koordinatlar toplamı −3+6=3-3 + 6 = 3 olur. A(−4,5)A(-4, 5) noktası için koordinatlar toplamı −4+5=1-4 + 5 = 1 olur. Bu iki değerin toplamı 3+1=43 + 1 = 4'tür.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve bölgelere göre koordinat işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 2309Soru →

AA, BB ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, aşağıdaki ç��karma işlemi verilmiştir:

AB7−2CAB5B\begin{array}{rcc} & A & B & 7 \\ - & 2 & C & A \\ \hline & B & 5 & B \end{array}

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğru cevap 14 değerine eşit olan seçenektir.
Çıkarma işleminde birler basamağından başlandığında 7−A=B7 - A = B eşitliği kurulur. Onlar basamağında küçük bir rakamdan büyük bir rakam çıkarıldığı için yüzler basamağından 1 borç alınır. Bu durumda yüzler basamağında kalan değer A−1A - 1 olur ve (A−1)−2=B⇒A−B=3(A-1) - 2 = B \Rightarrow A - B = 3 eşitliği elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde A=5A = 5 ve B=2B = 2 bulunur. Onlar basamağında ise komşudan alınan borçla birlikte 10+B−C=5⇒12−C=5⇒C=710 + B - C = 5 \Rightarrow 12 - C = 5 \Rightarrow C = 7 bulunur. Bulunan A=5A = 5, B=2B = 2 ve C=7C = 7 değerleri sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır. Buradan toplam 5+2+7=145 + 2 + 7 = 14 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birler basamağındaki çıkarma işlemini analiz etmek.
7−A=B7 - A = B veya komşu basamaktan borç alınmışsa 17−A=B17 - A = B eşitliği elde edilir.
Çıkarma işlemine her zaman en sağdaki birler basamağından başlanır.
2
Yüzler basamağındaki çıkarma işlemini inceleyerek ödünç alma durumunu belirlemek.
Yüzler basamağındaki çıkarma işlemi A−2=BA - 2 = B şeklindedir. Ancak onlar basamağındaki işlemde (B−C=5B - C = 5) sonucun elde edilebilmesi için yüzler basamağından 1 borç alınmış olması gerekir. Dolayısıyla yüzler basamağında kalan değer A−1A - 1 olur ve (A−1)−2=B⇒A−B=3(A - 1) - 2 = B \Rightarrow A - B = 3 denklemi kurulur.
Onlar basamağındaki çıkarma işleminin ger��ekleştirilebilmesi için solundaki yüzler basamağından borç alınması zorunludur.
3
Bulunan denklemleri ortak çözerek AA ve BB rakamların�� bulmak.
A−B=3A - B = 3 ve birler basamağından borç alınmadığı varsayımıyla kurulan A+B=7A + B = 7 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 2A=10⇒A=52A = 10 \Rightarrow A = 5 ve B=2B = 2 bulunur.
Elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin çözümü basamak değerlerini verir.
4
Onlar basamağındaki i��lem yardımıyla CC rakamını hesaplamak.
Onlar basamağında yüzler basamağından 1 borç alınmıştı, dolayısıyla buradaki değer 10+B=1210 + B = 12 olur. 12−C=512 - C = 5 eşitliğinden C=7C = 7 olarak bulunur. Tüm bulunan değerler (A=5,B=2,C=7A = 5, B = 2, C = 7) sıfırdan ve birbirinden farklı olma koşulunu sağlar.
Çıkarma işleminin onlar basamağındaki adımını tamamlayarak eksik kalan rakamı bulmak gerekir.
5
İstenen toplamı hesaplamak.
A+B+C=5+2+7=14A + B + C = 5 + 2 + 7 = 14 elde edilir.
Bulunan tüm rakamların toplamını bularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Harf-Rakam Aritmetiği ve Basamaklar Arası Ödünç Alma İlişkileri

İpuçları

1
Çıkarma işleminde birler basamağından başlayarak 7−A=B7 - A = B eşitliğini yazın. Yüzler basamağındaki çıkarma işleminin sonucunun BB olabilmesi için onlar basamağında bir borç alışverişi olup olmadığını düşünün.
2
Onlar basamağındaki B−CB - C işleminin sonucu 5 olduğuna göre, BB değerinden CC çıkarılırken yüzler basamağından 1 borç alınmalıdır. Bu durumda yüzler basamağında A−1A - 1 kalır. Buradan A−1−2=B⇒A−B=3A - 1 - 2 = B \Rightarrow A - B = 3 denklemini elde edersiniz.
3
Elde ettiğiniz A−B=3A - B = 3 ve A+B=7A + B = 7 denklemlerini ortak çözerek A=5A = 5 ve B=2B = 2 değerlerine ulaşın. Onlar basamağında ise komşudan alınan borçla birlikte 12−C=512 - C = 5 işlemini yaparak CC rakamını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan üç basamaklı toplama işleminde verilmeyen harfleri bulma sorularını çözerek basamaklar arası elde taşıma pratiklerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çıkarma işlemini çözümleme yöntemiyle toplama işlemine dönüştürerek de çözebilirsiniz. 2CA+B5B=AB72CA + B5B = AB7 eşitliğini yazarak basamak çözümlemesi yapalım:
(200+10C+A)+(100B+50+B)=100A+10B+7(200 + 10C + A) + (100B + 50 + B) = 100A + 10B + 7
250+10C+A+101B=100A+10B+7250 + 10C + A + 101B = 100A + 10B + 7
243+10C+91B=99A243 + 10C + 91B = 99A
Bu eşitlikte birler basamağını incelediğimizde sol tarafın birler basamağının 3+B3 + B (çünkü 10C10C sıfırla biter) olduğunu görürüz. Sağ tarafın birler basamağı ise 9A9A ile belirlenir. Rakamları yerine koyarak deneme yaptığımızda A=5,B=2A = 5, B = 2 ve C=7C = 7 değerleri eşitliği sağlar (243+70+182=495243 + 70 + 182 = 495 ve 99×5=49599 \times 5 = 495).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2310Soru →
Birbirinden farklı aa, bb ve cc negatif tam sayıları için
a+b⋅c=24a + b \cdot c = 24
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -19

Cevap

Toplamın alabileceği en büyük değer -19'dur.
Doğru cevaba ulaşmak için b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a eşitliğinde a,b,ca, b, c negatif tam sayıları seçilirken toplamı en büyük yapmak amacıyla mutlak değerce en küçük sayılar seçilmelidir. a=−6a = -6 seçildiğinde b⋅c=30b \cdot c = 30 olur ve buradan birbirinden farklı negatif tam sayılar olarak b=−3b = -3, c=−10c = -10 elde edilir. Bu durumda a+b+c=−6+(−3)+(−10)=−19a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19 bulunur ve bu koşulları sağlayan en büyük toplam değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği düzenleyerek çarpım durumundaki ifadeleri yalnız bırakın.
b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a elde edilir.
Değişkenlerin alabileceği değerleri analiz etmeyi kolaylaştırmak amacıyla b⋅cb \cdot c ifadesi yalnız bırakılır.
2
a,ba, b ve cc negatif tam sayılar olduğu için b⋅cb \cdot c çarpımının işaretini belirleyin.
b<0b < 0 ve c<0c < 0 olduğundan b⋅c>0b \cdot c > 0 olmalıdır. Buradan 24−a>024 - a > 0 ve dolayısıyla 24+∣a∣>2424 + |a| > 24 elde edilir.
Negatif iki sayının çarpımı pozitif olduğu için b⋅cb \cdot c çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır.
3
a+b+ca + b + c toplamının en büyük (yani mutlak değerce en küçük) değerini bulmak için uygun tam sayı değerlerini deneyin.
a=−6a = -6 seçildiğinde b⋅c=30b \cdot c = 30 olur. Çarpımları 30 olan ve birbirinden farklı negatif tam sayılar b=−3b = -3 ve c=−10c = -10 olarak seçilebilir. Bu durumda toplam a+b+c=−6+(−3)+(−10)=−19a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19 olur. Daha küçük mutlak değerli diğer seçenekler (örneğin a=−2a = -2 için b⋅c=26  ⟹  b=−1,c=−26  ⟹  b \cdot c = 26 \implies b=-1, c=-26 \implies toplam −29-29 veya a=−4a = -4 i��in b⋅c=28  ⟹  b=−2,c=−14  ⟹  b \cdot c = 28 \implies b=-2, c=-14 \implies toplam −20-20) incelendiğinde en büyük değerin −19-19 olduğu görülür.
Tanım kümesindeki 'birbirinden farklı negatif tam sayılar' koşulunu sağlayan en büyük toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Negatif tam sayılarda dört işlem kuralları ve değer verme yöntemleri

İpuçları

1
Negatif iki sayının çarpımının pozitif bir sayı olacağını unutmayın.
2
b⋅c=24−ab \cdot c = 24 - a eşitliğini elde ettikten sonra, aa negatif olduğu için b⋅c>24b \cdot c > 24 olmalıdır.
3
b⋅cb \cdot c çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır. Toplamı en büyük yapmak için a,b,ca, b, c sayılarını mutlak değerce olabildiğince küçük seçmeye çalışın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, pozitif tam sayılar için çarpımın en küçük değerini veya rasyonel sayı kümelerini içeren dört işlem sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşitliği sağlayan değerleri denerken, b⋅cb \cdot c çarpımının 24'ten büyük değerlerini (25, 26, 27, 28, 29, 30...) sırayla çarpanlarına ayırarak a,b,ca, b, c tam sayılarının birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2311Soru →

Analitik düzlemde A(−3,2)A(-3, 2) ve B(5,−6)B(5, -6) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣CA∣∣CB∣=35\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{3}{5} oranında bölen CC noktası ile [AB][AB] doğru parçasını içten ∣DA∣∣DB∣=13\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3} oranında bölen DD noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14214\sqrt{2}

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 14214\sqrt{2} birimdir.
Doğru cevap olan 14214\sqrt{2} ifadesi, dıştan bölen CC noktasının koordinatlarının C(−15,14)C(-15, 14) ve içten bölen DD noktasının koordinatlarının D(−1,0)D(-1, 0) olarak doğru bir şekilde tespit edilip, iki nokta arasındaki uzaklık formülü olan (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} bağıntısının hatasız uygulanması sonucu elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
C noktasının konumunu ve koordinat değişim oranını belirlemek.
∣CA∣/∣CB∣=3/5<1|CA| / |CB| = 3/5 < 1 olduğundan CC noktası [AB][AB] doğru parçasının dışındadır ve AA noktasına daha yakındır. Bu durumda noktalar doğrusal olarak CC - AA - BB sırasında yer alır. ∣CA∣=3k|CA| = 3k ve ∣CB∣=5k|CB| = 5k dersek, ∣AB∣=5k−3k=2k|AB| = 5k - 3k = 2k olur.
Dıştan bölme oranını kullanarak doğru üzerindeki parçaların birbirine olan oranını belirlemek.
2
C noktasının koordinatlarını hesaplamak.
A(−3,2)A(-3, 2) ve B(5,−6)B(5, -6) noktaları arasındaki değişim: xx koordinatı için 5−(−3)=85 - (-3) = 8 artış (2k=8  ⟹  k=42k = 8 \implies k = 4), yy koordinatı için −6−2=−8-6 - 2 = -8 azalış (2k=−8  ⟹  k=−42k = -8 \implies k = -4) olmaktadır. CC noktası, AA'dan 3k3k kadar geride olduğundan koordinatları; xC=−3−3(4)=−15x_C = -3 - 3(4) = -15 ve yC=2−3(−4)=14y_C = 2 - 3(-4) = 14 olarak bulunur. Yani C(−15,14)C(-15, 14) noktası elde edilir.
Artış ve azalış oranlarını kullanarak bilinmeyen dış noktanın koordinatlarına ulaşmak.
3
D noktasının koordinatlarını hesaplamak.
DD noktası [AB][AB] doğru parçasını içten ∣DA∣∣DB∣=13\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3} oranında böldüğü için DD noktası AA ile BB arasındadır. ∣DA∣=m|DA| = m ve ∣DB∣=3m|DB| = 3m dersek, ∣AB∣=4m|AB| = 4m olur. xx koordinatındaki 88 birimlik artış 4m4m'ye karşılık gelirse m=2m = 2 olur. yy koordinatındaki −8-8 birimlik azalış 4m4m'ye karşılık gelirse m=−2m = -2 olur. AA noktasından DD noktasına giderken xx koordinatı 22 artar, yy koordinatı 22 azalır: D(−3+2,2−2)=D(−1,0)D(-3 + 2, 2 - 2) = D(-1, 0) bulunur.
İçten bölen noktanın koordinatlarını oran yöntemiyle hesaplamak.
4
C ve D noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak.
∣CD∣=(−1−(−15))2+(0−14)2=142+(−14)2=196+196=142|CD| = \sqrt{(-1 - (-15))^2 + (0 - 14)^2} = \sqrt{14^2 + (-14)^2} = \sqrt{196 + 196} = 14\sqrt{2} birim olarak hesaplanır.
Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının doğrusal artış/azalış miktarları ile bulunması.
Soru 2312Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x+2)=x⋅f(x)+3f(x + 2) = x \cdot f(x) + 3
eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Fonksiyonun verilen kuralları adım adım uygulandığında f(6)f(6) değeri 55 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon tanımında adım adım değerler yerine koyularak f(4)=13f(4) = 13 ve buradan da f(6)=55f(6) = 55 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk adımda, verilen f(2)f(2) değerini kullanarak f(4)f(4) değerine ulaşmak amacıyla f(x+2)=x⋅f(x)+3f(x+2) = x \cdot f(x) + 3 denkleminde xx yerine 22 yazılır.
f(4)=2⋅f(2)+3f(4) = 2 \cdot f(2) + 3 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) değeri bilindiği için fonksiyonda bir sonraki adım olan f(4)f(4) değerini bulmak gerekir.
2
Elde edilen denklemde f(2)=5f(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama yapılır.
f(4)=2⋅5+3=13f(4) = 2 \cdot 5 + 3 = 13 bulunur.
f(4)f(4) değerini sayısal olarak elde etmek.
3
Bulunan f(4)f(4) değerini kullanarak hedeflenen f(6)f(6) değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde xx yerine 44 yazılır.
f(6)=4⋅f(4)+3f(6) = 4 \cdot f(4) + 3 denklemi elde edilir.
Fonksiyonun kuralına göre f(6)f(6) değerini f(4)f(4) cinsinden ifade etmek.
4
Elde edilen denklemde f(4)=13f(4) = 13 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f(6)=4⋅13+3=52+3=55f(6) = 4 \cdot 13 + 3 = 52 + 3 = 55 bulunur.
f(6)f(6) değerini nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kuralı verildiğinde, girdi değerlerinin uygun şekilde seçilerek adım adım istenen çıktı değerlerinin elde edilmesi.
Soru 2313Soru →

Ortak bir OO başlangıç noktasına sahip OAOA, OBOB, OCOC, ODOD ve OEOE ışınları saat yönünde sırasıyla sıralanarak komşu AOB^\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC}, COD^\widehat{COD}, DOE^\widehat{DOE} ve EOA^\widehat{EOA} açılarını oluşturmaktadır. Bu açılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* AOB^\widehat{AOB} ve BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılardır.
* COD^\widehat{COD} ve DOE^\widehat{DOE} komşu bütünler açılardır.
* COD^\widehat{COD} bir geniş açıdır.
* AOB^\widehat{AOB} aç��sının açıortayı ile COD^\widehat{COD} açısının açıortayı arasında kalan dar açının ölçüsü 155∘155^\circ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, DOE^\widehat{DOE} açısının derece cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Doğru yanıt 50 değerini içeren seçenektir.
Doğru cevap olan 5050 seçeneği, DOE^\widehat{DOE} açısının alabileceği sınırların 0∘<m(DOE^)<50∘0^\circ < m(\widehat{DOE}) < 50^\circ olarak tespit edilmesinden sonra en küçük tam sayı değeri olan 1∘1^\circ ve en büyük tam sayı değeri olan 49∘49^\circ değerlerinin toplanmasıyla (1+49=501 + 49 = 50) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ölçülerini harflendirip temel bağıntıları yazalım.
m(AOB^)=x1m(\widehat{AOB}) = x_1, m(BOC^)=x2m(\widehat{BOC}) = x_2, m(COD^)=x3m(\widehat{COD}) = x_3, m(DOE^)=x4m(\widehat{DOE}) = x_4 ve m(EOA^)=x5m(\widehat{EOA}) = x_5 olsun. AOB^\widehat{AOB} ile BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılar olduğundan x1+x2=90∘x_1 + x_2 = 90^\circ olur. Bu durumda OCOC ışını OAOA ışını ile 90∘90^\circ'lik açı yapar.
Komşu tümler açıların toplamı 90∘90^\circ'dir.
2
Açıortayların konumlarını belirleyip aralarındaki açıyı veren denklemi kuralım.
AOB^\widehat{AOB} açısının açıortayı x1/2x_1 / 2 konumundadır. COD^\widehat{COD} açısının açıortayı ise 90∘90^\circ çizgisinin üzerine x3/2x_3 / 2 eklenerek bulunur, yani 90∘+x3/290^\circ + x_3 / 2 konumundadır. İki açıortay arasındaki açı: (90∘+x3/2)−x1/2=90∘+x3−x12=155∘(90^\circ + x_3 / 2) - x_1 / 2 = 90^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ olarak verilir.
Başlangıç ışınına göre açıortayların açısal konumlarını bulmak aralarındaki farkı hesaplamamızı sağlar.
3
Kurulan denklemi çözerek x3x_3 ile x1x_1 arasındaki ilişkiyi bulalım.
90∘+x3−x12=155∘  ⟹  x3−x12=65∘  ⟹  x3−x1=130∘  ⟹  x3=130∘+x190^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ \implies \frac{x_3 - x_1}{2} = 65^\circ \implies x_3 - x_1 = 130^\circ \implies x_3 = 130^\circ + x_1 elde edilir.
x3x_3 ile x1x_1 açıları arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak sınır değerlerini belirlemede yardımcı olur.
4
Geniş açı tanımını ve geometrik sınırlılıkları kullanarak aralıkları bulalım.
COD^\widehat{COD} (x3x_3) bir geniş açı olduğundan 90∘<x3<180∘90^\circ < x_3 < 180^\circ olmalıdır. x3=130∘+x1x_3 = 130^\circ + x_1 yazarsak: 90∘<130∘+x1<180∘  ⟹  −40∘<x1<50∘90^\circ < 130^\circ + x_1 < 180^\circ \implies -40^\circ < x_1 < 50^\circ olur. Geometrik bir açı ölçüsü pozitif olmak zorunda olduğundan 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ aralığı elde edilir.
Geniş açıların ölçüsü 90∘90^\circ ile 180∘180^\circ arasında olmak zorundadır ve geometrik açılar sıfırdan büyüktür.
5
DOE^\widehat{DOE} (x4x_4) açısının sınırlarını belirleyip en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.
x3x_3 ve x4x_4 komşu bütünler açılar olduğundan x3+x4=180∘x_3 + x_4 = 180^\circ'dir. Buradan x4=180∘−x3=180∘−(130∘+x1)=50∘−x1x_4 = 180^\circ - x_3 = 180^\circ - (130^\circ + x_1) = 50^\circ - x_1 bulunur. 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ olduğundan 0∘<50∘−x1<50∘  ⟹  0∘<x4<50∘0^\circ < 50^\circ - x_1 < 50^\circ \implies 0^\circ < x_4 < 50^\circ elde edilir. Bu aralıkta x4x_4 açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 1∘1^\circ, en büyük tam sayı değeri ise 49∘49^\circ olur. Toplamları: 1+49=501 + 49 = 50 olarak bulunur.
Açının değer aralığındaki en uç tam sayı sınırlarını bularak soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümler ve bütünler açı kavramları ile açıortay bağıntılarının eşitsizlikler yardımıyla analiz edilmesi.
Soru 2314Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
B={2,3,4,5,6,7}B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}
C={4,5,6,7,8,9}C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Sorulan kümenin eleman sayısı 20'dir.
Dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) sadeleştirmesi yapılır. A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 ve BB ile CC kümelerinin kesişimi olan B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} kümesinin eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını ve kesişim kümelerini belirleyin.
s(A)=5s(A) = 5, s(B)=6s(B) = 6, s(C)=6s(C) = 6 ve B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} olduğundan s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak sorulan ifadeyi sadeleştirin.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir.
Dağılma özelliği sayesinde iki ayrı kartezyen çarpım yerine tek bir kartezyen çarpım üzerinden hesaplama kolayca yapılabilir.
3
Elde edilen yeni kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2315Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan 55 farklı marka akıllı telefon ve 33 farklı marka akıllı saat bulunmaktadır. Bir müşteri, bu mağazadan bir akıllı telefon ve bir akıllı saat seçmek istemektedir. Buna göre, bu müşteri kaç farklı telefon ve saat ikilisi seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Müşteri, telefon ve saat ikilisini 15 farklı şekilde seçebilir.
Seçilmesi istenen telefon ve saat ikilisi için sırasıyla 5 ve 3 farklı seçenek bulunmaktadır. Saymanın çarpma kuralı gereğince, bu iki seçim birlikte yapılacağından toplam farklı seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı olan 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Telefon seçimi için olası durum sayısını belirleme.
5 farklı telefon markası olduğundan telefon seçimi için 5 farklı durum vardır.
Soruda 5 farklı marka akıllı telefon olduğu belirtilmiştir.
2
Saat seçimi için olası durum sayısını belirleme.
3 farklı saat markası olduğundan saat seçimi için 3 farklı durum vardır.
Soruda 3 farklı marka akıllı saat olduğu belirtilmiştir.
3
Çarpma kuralını uygulayarak toplam seçim sayısını hesaplama.
5×3=155 \times 3 = 15 farklı seçim yapılabilir.
Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı, her bir seçimin durum sayılarının çarpımı ile bulunur (Saymanın Çarpma Kuralı).

Anahtar Kavram

Saymanın Çarpma Kuralı
Soru 2316Soru →

Aşağıdaki matriste satırlardaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir:

I. SütunII. SütunIII. Sütun
3516
4733
59xx

Buna göre, matristeki örüntü takip edildiğinde xx yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5656

Cevap

5656 sayısı doğru cevaptır.
Doğru seçenekteki 5656 değeri, her satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamının, ilk sütundaki sayının bir eksiğiyle çarpılması sonucu elde edilir. Üçüncü satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamı 5+9=145 + 9 = 14'tür. Bu toplam, ilk sütundaki 55 sayısının bir eksiği olan 44 ile çarpıldığında 14×4=5614 \times 4 = 56 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisin ilk satırındaki sayılar arasındaki ilişkiyi incelemek.
33 ve 55 sayılarından 1616 elde edilmiştir. Bu ilişki (3+5)×2=16(3 + 5) \times 2 = 16 veya genel haliyle (I. Su¨tun+II. Su¨tun)×(I. Su¨tun−1)=III. Su¨tun(\text{I. Sütun} + \text{II. Sütun}) \times (\text{I. Sütun} - 1) = \text{III. Sütun} olarak kurulabilir.
Örüntünün temel kuralını bulmak için ilk satırı analiz etmek gerekir.
2
Bulunan kuralı ikinci satırda test etmek.
44 ve 77 sayılarından 3333 elde edilmiştir. Kural uygulandığında: (4+7)×(4−1)=11×3=33(4 + 7) \times (4 - 1) = 11 \times 3 = 33 olur ve kural doğrulanır.
Bulunan kuralın tüm satırlar için geçerli olup olmadığını teyit etmek gerekir. Bu adımda çarpanın ilk sütundaki sayının 11 eksiği olduğu kesinleşir.
3
Aynı kuralı üçüncü satıra uygulayarak xx değerini hesaplamak.
55 ve 99 sayılarından xx elde edilecektir. Kurala göre: x=(5+9)×(5−1)=14×4=56x = (5 + 9) \times (5 - 1) = 14 \times 4 = 56 bulunur.
Örüntü kuralını son satıra uygulayarak bilinmeyen xx değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Matris Örüntülerinde Satır ve Sütun İlişkileri
Soru 2317Soru →

Analitik düzlemde A(−3,5)A(-3, 5) ve B(5,−3)B(5, -3) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranında içten bölen nokta CC, ABAB doğrusunu ∣AD∣∣BD∣=3\frac{|AD|}{|BD|} = 3 oranında d��ştan bölen nokta DD olduğuna göre, CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929\sqrt{2}

Cevap

C ve D noktaları arasındaki uzaklık 929\sqrt{2} birimdir.
Doğru olan 929\sqrt{2} seçeneği, içten bölme kurallarına göre doğru tespit edilen C(0,2)C(0, 2) noktası ile dıştan bölme kurallarına göre doğru tespit edilen D(9,−7)D(9, -7) noktası arasındaki geometrik mesafeyi vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
C noktasının koordinatlarını bulmak için içten bölme oranını uygulayalım.
C(0,2)C(0, 2)
CC noktası [AB][AB] üzerinde olup oranı ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}'tir. AA ile BB arasındaki mesafe 8k8k parça kabul edilirse; xx koordinatındaki toplam değişim 5−(−3)=85 - (-3) = 8 birim artış yönündedir (8k=8  ⟹  k=18k = 8 \implies k = 1). CC noktası AA'dan 3k3k uzaklıkta olduğundan xC=−3+3(1)=0x_C = -3 + 3(1) = 0 olur. yy koordinatındaki toplam değişim −3−5=−8-3 - 5 = -8 birim azalış yönündedir (8k=−8  ⟹  k=−18k = -8 \implies k = -1). CC noktası AA'dan 3k3k uzaklıkta olduğundan yC=5+3(−1)=2y_C = 5 + 3(-1) = 2 olur.
2
D noktasının koordinatlarını bulmak için dıştan bölme oranını uygulayalım.
D(9,−7)D(9, -7)
DD noktası ABAB doğrusu üzerinde ve dışında olup oranı ∣AD∣∣BD∣=3\frac{|AD|}{|BD|} = 3'tür. ∣AD∣=3∣BD∣|AD| = 3|BD| olduğundan DD noktası BB tarafına daha yakındır (A−B−DA - B - D sırası). ∣BD∣=p|BD| = p dersek, ∣AD∣=3p|AD| = 3p ve ∣AB∣=2p|AB| = 2p olur. 2p2p uzunluktaki [AB][AB] üzerinde xx koordinatı 5−(−3)=85 - (-3) = 8 artmıştır (2p=8  ⟹  p=42p = 8 \implies p = 4 artış). BB'den DD'ye pp kadar gidildiğinde xD=5+4=9x_D = 5 + 4 = 9 olur. 2p2p üzerinde yy koordinatı −3−5=−8-3 - 5 = -8 azalmıştır (2p=−8  ⟹  p=−42p = -8 \implies p = -4 azalış). BB'den DD'ye gidildiğinde yD=−3−4=−7y_D = -3 - 4 = -7 olur.
3
Bulunan C ve D noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülüyle hesaplayalım.
∣CD∣=92|CD| = 9\sqrt{2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ∣CD∣=(xD−xC)2+(yD−yC)2|CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak: ∣CD∣=(9−0)2+(−7−2)2=92+(−9)2=81+81=162=92|CD| = \sqrt{(9 - 0)^2 + (-7 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} birim olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının hesaplanması.

İpuçları

1
C noktasının koordinatlarını bulmak için x ve y koordinatlarındaki değişim miktarlarını [AB] üzerindeki 3:5 oranına göre paylaştırın.
2
D noktası dıştan bölen bir nokta olduğu için A-B-D sıralamasını kullanarak, [AB] üzerindeki değişim hızını B ile D arasına taşıyın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde koordinatları bilinen bir üçgende köşe koordinatları ve kenarortay oranlarını kullanarak ağırlık merkezi bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Vektörel yöntemle veya koordinat artış/azalış miktarlarını doğrudan doğrusal oran kurarak (örneğin x koordinatı için: 8 birimlik mesafede 8 artış varsa, 3 birimde 3 artış olur mantığıyla) formülsüz şekilde çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2318Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xyf(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Doğru cevap 15'tir.
Fonksiyon kuralında x=1,y=1x = 1, y = 1 yazıldığında f(2)=7f(2) = 7 bulunur. Ardından x=2,y=1x = 2, y = 1 yazılarak f(3)=f(2)+f(1)+6f(3) = f(2) + f(1) + 6 bağıntısından 7+2+6=157 + 2 + 6 = 15 sonucuna doğru şekilde ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon kuralında x=1x = 1 ve y=1y = 1 yazılır.
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerini bulmak için geçiş basamağı olan f(2)f(2) değerinin hesaplanması gerekir.
2
Verilen f(1)=2f(1) = 2 değeri denklemde yerine yazılır.
f(2)=2+2+3=7f(2) = 2 + 2 + 3 = 7 olarak bulunur.
Hesaplanan bu ara değer bir sonraki adımda kullanılacaktır.
3
Fonksiyon kuralında x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazılır.
f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak için uygun değerler seçilmiştir.
4
f(2)=7f(2) = 7 ve f(1)=2f(1) = 2 değerleri yerine konularak işlem tamamlanır.
f(3)=7+2+6=15f(3) = 7 + 2 + 6 = 15 bulunur.
Dört işlem kuralları doğru uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri çözme

İpuçları

1
İstenen f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak yerine öncelikle geçiş basamağı olarak f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini elde etmek için fonksiyon eşitliğinde xx ve yy değişkenlerinin her ikisine de 11 değerini verin.
3
f(2)=7f(2) = 7 bulduktan sonra, f(3)f(3) değerine ulaşmak için eşitlikte x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazarak çözüme gidin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle f(x⋅y)=f(x)+f(y)f(x \cdot y) = f(x) + f(y) şeklindeki logaritmik özellik gösteren fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun genel kuralı f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx formundadır. f(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)=ax2+bx+ay2+by+2axyf(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + bx + ay^2 + by + 2axy olduğundan, 2a=3  ⟹  a=3/22a = 3 \implies a = 3/2 olur. f(1)=a+b=2  ⟹  3/2+b=2  ⟹  b=1/2f(1) = a + b = 2 \implies 3/2 + b = 2 \implies b = 1/2 bulunur. Buradan genel kural f(x)=32x2+12xf(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x olarak elde edilir. x=3x=3 için f(3)=272+32=15f(3) = \frac{27}{2} + \frac{3}{2} = 15 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2319Soru →

Bir spor kulübündeki basketbol ve voleybol branşlarındaki sporcuların lisans durumlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

BranşLisanslı Sporcu SayısıLisanssız Sporcu Sayısı
Basketbol3322
Voleybol4411

Bu kulüpten rastgele seçilen iki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiğine göre, ikisinin de lisanslı sporcu olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 920\frac{9}{20}

Cevap

dokuz bölü yirmi
Doğru cevap dokuz bölü yirmi ifadesidir. Koşul olarak iki sporcunun aynı branştan olduğu belirtilmiştir. Bu durum, her iki sporcunun basketbolcu olması (10 durum) veya her iki sporcunun voleybolcu olması (10 durum) ile gerçekleşebilir ve toplamda örnek uzayımızı 20 duruma sınırlar. İstenen durum ise bu sporcuların hem aynı branştan hem de lisanslı olmasıdır. Bu durum ise 3 lisanslı basketbolcudan 2'sinin seçilmesi (3 durum) ya da 4 lisanslı voleybolcudan 2'sinin seçilmesi (6 durum) ile mümkündür ve toplamda 9 durum oluşturur. Buradan koşullu olasılık dokuz bölü yirmi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul durumuna göre örnek uzayın eleman sayısını belirlemek
Basketbol branşından 2 sporcu seçimi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, voleybol branşından 2 sporcu seçimi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yapılabilir. Toplam koşul durum sayısı 10+10=2010 + 10 = 20 olur.
İki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiği için örnek uzay sadece aynı branştan seçilebilecek ikili grupları kapsar.
2
İstenen olayın (ikisinin de lisanslı ve aynı branştan olması) eleman sayısını hesaplamak
Lisanslı basketbolcular arasından 2 kişi seçimi (32)=3\binom{3}{2} = 3 farklı şekilde, lisanslı voleybolcular arasından 2 kişi se��imi (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı şekilde yapılabilir. Toplam istenen durum sayısı 3+6=93 + 6 = 9 olur.
Koşullu olasılık tanımına göre istenen olay, hem koşulu (aynı branş) hem de ana isteği (lisanslı olma) aynı anda sağlayan durumları kapsamalıdır.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplamak
Olasılık değeri P=920P = \frac{9}{20} olarak hesaplanır.
Koşullu olasılık formülü gereği istenen durumların sayısı örnek uzay durumlarının sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2320Soru →
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{ x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3 \}
B={y∈Z:∣y+1∣≤2}B = \{ y \in \mathbb{Z} : |y + 1| \leq 2 \}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinden kaç tanesi x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru seçenekte belirtilen değer, A ve B kümelerinin elemanları listelenip x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikilileri tek tek gruplandırıldığında elde edilen 10 değeridir. y=1y = 1 için x∈{2,3,4,5}x \in \{2, 3, 4, 5\} (4 adet), y=0y = 0 için x∈{3,4,5}x \in \{3, 4, 5\} (3 adet), y=−1y = -1 için x∈{4,5}x \in \{4, 5\} (2 adet), y=−2y = -2 için x∈{5}x \in \{5\} (1 adet) ve y=−3y = -3 için koşulu sağlayan eleman bulunmamaktadır. Toplamda 4+3+2+1=104+3+2+1=10 adet sıralı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣x−2∣≤3|x - 2| \leq 3 eşitsizliğini çözün.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Mutlak değer özelliğinden −3≤x−2≤3-3 \leq x - 2 \leq 3 yazılır. Her tarafa 2 eklendiğinde −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 elde edilir.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözün.
B={−3,−2,−1,0,1}B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}
Mutlak değer özelliğinden −2≤y+1≤2-2 \leq y + 1 \leq 2 yazılır. Her taraftan 1 çıkarıldığında −3≤y≤1-3 \leq y \leq 1 elde edilir.
3
B kümesindeki her bir yy değeri için x+y>2  ⟹  x>2−yx + y > 2 \implies x > 2 - y koşulunu sağlayan x∈Ax \in A de��erlerini bulun.
y = 1 için 4, y = 0 için 3, y = -1 için 2, y = -2 için 1, y = -3 için 0 değer bulunur.
y = 1 ise x > 1 olmalıdır. A kümesinden {2, 3, 4, 5} olmak üzere 4 eleman vardır. y = 0 ise x > 2 olmalıdır. A kümesinden {3, 4, 5} olmak üzere 3 eleman vardır. y = -1 ise x > 3 olmalıdır. A kümesinden {4, 5} olmak üzere 2 eleman vardır. y = -2 ise x > 4 olmalıdır. A kümesinden {5} olmak üzere 1 eleman vardır. y = -3 ise x > 5 olmalıdır. A kümesinden bu koşulu sağlayan eleman yoktur.
4
Her durum için bulunan eleman sayılarını toplayın.
4+3+2+1+0=104 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10
Toplam sağlayan durumların sayısı aranan sıralı ikililerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların belirli bir koşula göre sayılması

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları olan tam sayıları mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek ayrı ayrı listeleyin.
2
Kartezyen çarpımın elemanları (x,y)(x, y) şeklindedir, burada x∈Ax \in A ve y∈By \in B'dir. Koşulumuz olan x+y>2x + y > 2 ifadesini x>2−yx > 2 - y şeklinde yazarak inceleyebilirsiniz.
3
B kümesindeki her bir yy elemanı için (yani 1,0,−1,−2,−31, 0, -1, -2, -3 için) x>2−yx > 2 - y eşitsizliğini sağlayan kaç tane x∈Ax \in A elemanı olduğunu tek tek belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, x⋅y<0x \cdot y < 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumların sayısından (yani s(A×B)=7×5=35s(A \times B) = 7 \times 5 = 35), x+y≤2x + y \leq 2 koşulunu sağlayan durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 116 / 129Sonraki
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin