Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 161Soru →

Bir elektrikli scooter sürücüsü, 6400 metre6400\text{ metre} uzunluğundaki bir yolun ilk 1600 metresini1600\text{ metresini} dakikada ortalama 160 metre160\text{ metre} (160 m/dk160\text{ m/dk}) hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama 14.4 km14.4\text{ km} (14.4 km/sa14.4\text{ km/sa}) sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, bu sürücünün tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12,8

Cevap

Sürücünün tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte 12,8 kilometredir.
Ortalama hız, katedilen toplam mesafenin bu mesafeyi katetmek için geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Yolun ilk bölümü 10 dakika (1/6 saat) ve kalan 4,8 km'lik ikinci bölümü ise 20 dakika (1/3 saat) sürmüştür. Toplamda 6,4 km olan bu yolculuk 30 dakika (0,5 saat) sürdüğü için ortalama hız 12,8 km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk bölümdeki yolculuk süresini dakika cinsinden bulup saate çevirelim.
İlk bölümün süresi t1=1600 m160 m/dk=10 dakika=1060 saat=16 saatt_1 = \frac{1600\text{ m}}{160\text{ m/dk}} = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60}\text{ saat} = \frac{1}{6}\text{ saat} olur.
Hız birimleri arasındaki dönüşümleri doğru yaparak toplam zamana ulaşmak gerekir.
2
İkinci bölümdeki mesafeyi ve yolculuk süresini saat cinsinden bulalım.
İkinci bölümün mesafesi 6400−1600=4800 metre=4.8 km6400 - 1600 = 4800\text{ metre} = 4.8\text{ km}'dir. Süre ise t2=4.8 km14.4 km/sa=13 saatt_2 = \frac{4.8\text{ km}}{14.4\text{ km/sa}} = \frac{1}{3}\text{ saat} (yani 20 dakika) olur.
Toplam süreyi elde etmek için ikinci kısmın süresi hesaplanmalıdır.
3
Toplam mesafeyi kilometre, toplam süreyi ise saat cinsinden toplayalım.
Toplam yol S=6.4 kmS = 6.4\text{ km}'dir. Toplam zaman t=t1+t2=16+13=36=0.5 saatt = t_1 + t_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} = 0.5\text{ saat} olur.
Ortalama hız formülü için toplam yol ve toplam zaman değerleri gereklidir.
4
Toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı saatte kilometre cinsinden hesaplayalım.
vort=6.4 km0.5 saat=12.8 km/sav_{ort} = \frac{6.4\text{ km}}{0.5\text{ saat}} = 12.8\text{ km/sa} bulunur.
Ortalama hızın temel formülü vort=Toplam YolToplam Zamanv_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} bağıntısıdır.

Anahtar Kavram

Hareket Problemleri - Ortalama Hız
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 162Soru →

Bir tarihî restorasyon projesinde görev alan Ahmet, Buse, Cihan, Deniz ve Elif adlı beş uzman; Kule, Köprü, Cami, Medrese ve Saray yapılarının restorasyonunu üstlenmiştir. Bu yapılarda kullanılan restorasyon yöntemleri ise Ahşap, Horasan, Çini, Kalem İşi ve Taş Yontu'dur. Her uzman farklı bir yapıyı restore etmekte ve her yapıda yalnızca bir yöntem kullanılmaktadır.

Bu uzmanların restore ettiği yapılar ve kullandıkları yöntemlere ilişkin bilinenler şunlardır:
* Deniz'in restore ettiği yapı Saray değildir ve bu yapıda Çini yöntemi kullanılmamıştır.
* Cihan; Kule veya Medrese'den birini restore etmektedir.
* Köprü'nün restorasyonunda Horasan yöntemi kullanılmıştır.
* Elif'in restore ettiği yapıda Ahşap yöntemi kullanılmıştır.
* Buse, Cami'yi restore etmektedir.
* Kalem İşi yöntemiyle restore edilen yapı Medrese değildir.
* Ahmet'in restore ettiği yapıda Taş Yontu yöntemi kullanılmaktadır.

Buna göre, Buse'nin restore ettiği yapıda Çini yöntemi kullanıldığı bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cihan, Kule'yi restore etmektedir.

Cevap

Cihan'ın Kule'yi restore ettiği seçeneği kesinlikle doğrudur.
Buse'nin Cami'yi Çini yöntemiyle restore ettiği bilindiğinde, uzmanlardan Deniz Köprü'yü (Horasan), Elif Ahşap yöntemini, Ahmet ise Taş Yontu yöntemini üstlenmiştir. Bu durumda geriye kalan tek yöntem olan Kalem İşi, Cihan'a kalmaktadır. Cihan Kule veya Medrese'den birini restore ettiğine ve Kalem İşi Medrese'de kullanılmadığına göre, Cihan'ın Kule'yi restore ettiği sonucu kesin olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Köprü'yü restore eden uzmanı belirleyin.
Köprü'yü Deniz restore etmektedir ve yöntemi Horasan'dır.
Köprü'nün restorasyonunda Horasan yöntemi kullanılmıştır. Buse Cami'yi, Elif Ahşap yöntemi gerektiren bir yapıyı, Ahmet ise Taş Yontu yöntemi gerektiren bir yapıyı restore etmektedir. Cihan Kule veya Medrese'yi restore ettiği için Köprü'yü restore edemez. Bu durumda Köprü'yü restore edebilecek tek uzman Deniz kalır.
2
Buse'nin yöntemi ile ilgili ek koşulu tabloya işleyin.
Buse = Cami = Çini eşleşmesi kesinleşir.
Soruda Buse'nin restore ettiği yapıda Çini yöntemi kullanıldığı koşulu verilmiştir.
3
Kalan yöntemlerden yola çıkarak Cihan'ın restorasyon yöntemini bulun.
Cihan'ın restorasyon yöntemi Kalem İşi'dir.
Yöntemlerden Horasan (Deniz) ve Çini (Buse) yerleştirilmiştir. Elif Ahşap, Ahmet ise Taş Yontu yöntemini kullandığına göre geriye kalan tek yöntem olan Kalem İşi Cihan'a aittir.
4
Cihan'ın restore ettiği yapıyı netleştirin.
Cihan Kule'yi restore etmektedir.
Cihan'ın Kule veya Medrese'yi restore ettiği bilinmektedir. Kalem İşi yöntemi Medrese'de kullanılmadığına göre, Cihan'ın restore ettiği yapı kesinlikle Kule olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birebir Eşleştirme Kurgularında Değişkenlerin Tablo Üzerinde Zincirleme Elenmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 163Soru →

(I) Tarihî yapıların restorasyonunda son yıllarda yaygınlaşan üç boyutlu lazer tarama teknolojileri, mimari mirasın milimetrik hassasiyetle dijital arşivinin oluşturulmasını sağlamaktadır. (II) Bu yöntemle, yapıların zamanla uğradığı yapısal bozulmalar ve aşınmalar en ince ayrıntısına kadar tespit edilebilmektedir. (III) Elde edilen dijital veriler, gelecekte meydana gelebilecek olası hasarların onarımında ya da yapının tamamen yok olması durumunda yeniden inşasında rehber rolü üstlenmektedir. (IV) Ancak kültürel mirasın korunması yalnızca teknolojik verilerin doğru aktarılmasıyla sınırlı olmayan, felsefi ve etik tartışmaları da beraberinde getiren çok boyutlu bir süreçtir. (V) Bir tarihî eserin restorasyonunda hangi döneme ait izlerin korunacağı veya zamanın getirdiği tahribatın ne ölçüde silineceği kararı, restoratörün estetik ve etik değerleriyle şekillenir. (VI) Bu doğrultuda yapılan müdahaleler, eserin özgünlüğünü korumak ile onu modern kullanıma adapte etmek arasındaki hassas dengede yürütülmelidir.

Bu parça iki paragrafa ayrılmak istense ikinci paragraf hangi cümleyle başlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: IV

Cevap

Paragrafın ikinci kısmı, restorasyonun felsefi ve etik boyutunu ele almaya başlayan dördüncü cümle ile başlar.
Dördüncü cümle ile birlikte restorasyonun teknolojik imkanlarından ve dijital arşivlemeden bahsedilen teknik boyut geride bırakılmış; restorasyon sürecinin felsefi, etik ve estetik boyutları tartışılmaya başlanmıştır. Bu düşünsel geçiş yeni bir paragrafın kurulmasını gerektirmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Paragraftaki cümlelerin konularını ve odak noktalarını belirleyin.
İlk üç cümle restorasyondaki dijital ve teknolojik yöntemleri (üç boyutlu lazer tarama) ele alırken, son üç cümle restorasyonun felsefi, etik ve estetik boyutlarını incelemektedir.
Paragrafı ikiye bölmek için konunun yön değiştirdiği ya da farklı bir bakış açısına geçildiği cümleyi tespit etmek gerekir.
2
Cümleler arasındaki geçiş ve bağlantı unsurlarını inceleyin.
Dördüncü cümle 'Ancak' bağlacıyla başlayarak önceki teknolojik vurgudan felsefi ve etik tartışma boyutuna geçiş yapmaktadır.
Düşüncenin akışındaki kırılmalar ve yön değişiklikleri yeni paragrafın başlangıcını işaret eder.
3
Yeni konunun devamlılığını ve kendi içindeki bütünlüğünü kontrol edin.
Beşinci ve altıncı cümleler, dördüncü cümlede açılan etik tartışma konusunu detaylandırarak sürdürmektedir.
İkinci paragrafın kendi içinde tutarlı bir anlam bütünlüğü taşıdığından emin olmak gerekir.

Anahtar Kavram

Paragrafı İkiye Bölme
Soru 164Soru →

Bir otoparktaki yan yana yer alan ve 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış ardışık park yerlerine KK, LL, MM, NN, PP ve RR marka araçlar park etmiştir. Bu araçların park yerlerine ilişkin bilgiler şu şekildedir:

* PP aracı 1.1. veya 6.6. park yerindedir.
* MM aracı, NN aracından hemen sonraki (hemen sağındaki) park yerindedir.
* KK ile LL araçları arasında tam olarak iki araç bulunmaktadır.

Buna göre, LL aracının 5.5. park yerinde olduğu biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: NN aracı 3.3. park yerindedir.

Cevap

NN aracının 3.3. park yerinde olması
LL aracı 5.5. sıradayken, KK ile LL arasında iki araç bulunması kuralından ötürü KK aracı kesinlikle 2.2. sıradadır. MM ve NN araçları yan yana (N−MN-M şeklinde) olmalıdır ve boş kalan yerlerde yan yana olan tek yerler 3.3. ve 4.4. park yerleridir. Bu durumda NN aracı kesinlikle 3.3. sıraya yerleşmek zorundadır. Bu yüzden NN aracının 3.3. park yerinde olduğu bilgisi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
LL aracının 5.5. park yerinde olduğu bilgisine dayanarak KK aracının yerini saptamak.
KK aracı kesinlikle 2.2. park yerindedir. Bu durumda taslak sıralama şu şekildedir: _−K−_−_−L−_\_ - K - \_ - \_ - L - \_
KK ile LL araçları arasında tam olarak iki araç bulunması gerektiğinden, 5.5. sıradaki LL aracından sola doğru iki boşluk (44 ve 3.3. sıralar) bırakıldığında KK aracı ancak 2.2. sıraya yerleşebilir.
2
PP aracının olası konumlarına göre durumları belirlemek.
PP aracı 1.1. veya 6.6. park yerinde olabilir. Bu da iki farklı senaryo oluşturur.
Öncüllerde PP aracının yalnızca bu iki konumdan birinde bulunabileceği verilmiştir.
3
Yan yana durması gereken MM ve NN araçlarını kalan boşluklara yerleştirmek.
Geriye kalan 1.1., 3.3., 4.4. ve 6.6. sıralar arasında yan yana olan tek yerler 3.3. ve 4.4. park yerleridir. Dolayısıyla NN aracı 3.3. sıraya, MM aracı ise 4.4. sıraya yerleşir.
MM aracı NN aracından hemen sonra geldiği için yan yana (N−MN-M) durmalıdırlar.
4
Kalan RR aracını yerleştirerek iki olası sıralamayı tamamlamak.
Sıralama P−K−N−M−L−RP-K-N-M-L-R veya R−K−N−M−L−PR-K-N-M-L-P şeklinde olur. Her iki durumda da NN aracı 3.3. sıradadır.
PP aracının 1.1. veya 6.6. sıraya yerleşmesine göre RR aracı da kalan son boşluğa yerleşir.

Anahtar Kavram

Sıralama Problemlerinde Olasılık Tablosu Oluşturma
Soru 165Soru →

Bir üniversitenin Kariyer Günleri etkinliğinde; Pazartesi, Salı ve Çarşamba günlerinde Mühendislik, İktisat ve Hukuk fakültelerinden mezun olan Aylin, Burak, Ceyda ve Demir adlı konuşmacılar sunum yapacaktır. Bu kişilerin sunum yapacağı günler ve temsil ettikleri fakültelerle ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her konuşmacı yalnızca bir gün ve bir fakülte adına sunum yapmıştır.
* Her gün en az bir sunum yapılmıştır.
* İktisat fakültesi adına yalnızca Pazartesi günü sunum yapılmıştır.
* Aylin ve Burak aynı gün sunum yapmışlardır, ancak temsil ettikleri fak��lteler farklıdır.
* Ceyda, Hukuk fakültesi adına Salı günü sunum yapmıştır.
* Mühendislik fakültesi adına sunum yapan tek kişi Demir'dir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Burak pazartesi günü sunum yapmıştır.

Cevap

Burak'ın pazartesi günü sunum yapması
Burak'ın pazartesi günü sunum yapması kesinlikle doğrudur. Aylin ve Burak aynı gün farklı fakültelerde sunum yapmıştır. Salı günü Ceyda'nın sunumuyla doludur. Çarşamba gününde ise İktisat sunumu yapılamayacağı (sadece pazartesi yapılabilir) ve Mühendislik sadece Demir'e ait olduğu için, Aylin ve Burak çarşamba günü olsalardı ikisinin de Hukuk temsilcisi olması gerekirdi. Bu durum fakültelerinin farklı olması kuralıyla çelişir. Bu nedenle Aylin ve Burak pazartesi günü sunum yapmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit Değişken Seçimi ve Tablo Tasarımı
Günler (Pazartesi, Salı, Çarşamba) tablonun sütunları olarak seçilmiştir.
Günler kronolojik ve sabit bir sıraya sahip olduğu için en uygun sabit değişkenlerdir.
2
Doğrudan Verilen Bilgilerin Yerleştirilmesi
Salı gününe Ceyda (Hukuk) yerleştirilmiştir. Mühendislik fakültesi satırına sadece Demir yazılmıştır.
Soruda Ceyda'nın salı günü hukuk adına konuştuğu ve mühendislik adına sadece Demir'in konuştuğu kesin olarak belirtilmiştir.
3
Aylin ve Burak'ın Konumunun Analiz Edilmesi
Aylin ve Burak'ın salı günü olamayacağı (günlük kontenjan ve Ceyda'nın varlığı sebebiyle) ve çarşamba günü de olamayacakları (çarşamba günü sadece bir fakülte boşta kalacağı için farklı fakültelerde olamazlar) tespit edilmiş, pazartesi gününe yerleştirilmişlerdir.
Aylin ve Burak aynı gün fakat farklı fakültelerde sunum yapmıştır. Çarşamba gününde sadece Hukuk boşta kalacağından bu kural ihlal edilirdi.
4
Demir'in Gününün Belirlenmesi ve Tablonun Tamamlanması
Demir çarşamba gününe yerleştirilmiştir. Pazartesi günü için Aylin ve Burak'tan biri İktisat, diğeri Hukuk fakültesini temsil etmektedir.
Her gün en az bir sunum yapılması gerektiğinden, boş kalan çarşamba gününe kalan tek kişi olan Demir yerleşir.

Anahtar Kavram

Sözel mantık eşleştirme sorularında, tablonun doğru kurulabilmesi için en az seçeneğe sahip ve sabit nitelikteki değişkenlerin (bu soruda günler) tablo başlığı (sütun) olarak seçilmesi gerekir.
Soru 166Soru →

Bir şifreleme sisteminde;

* PATİ
* META
* ETİK
* İPEK
* KAPA

sözcükleri, karışık olarak 2567, 4631, 5132, 6327 ve 7151 sayıları ile şifrelenmiştir.

Buna göre, TEPKİ sözc��ğünün şifresi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36572

Cevap

36572
Şifreleme kuralları analiz edildiğinde T=3, E=6, P=5, K=7, İ=2 değerleri elde edilir. Bu değerler sırasıyla birleştirildiğinde TEPKİ sözcüğünün karşılığı 36572 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sözcüklerin son harfleri ile şifrelerin son basamakları karşılaştırılır.
Sözcüklerin son harfleri incelendiğinde PATİ sözcüğü 'İ' harfi ile, META ve KAPA sözcükleri 'A' harfi ile, ETİK ve İPEK sözcükleri ise 'K' harfi ile bitmektedir. Şifre sayıları incelendiğinde son basamaklar iki adet 7 (2567, 6327), iki adet 1 (4631, 7151) ve bir adet 2 (5132) şeklindedir. Buradan sonu tek olan 'İ' harfinin şifresinin 2 olduğu ve PATİ sözcüğünün 5132 ile şifrelendiği bulunur. Bu durumda P = 5, A = 1, T = 3, İ = 2 olur.
Benzersiz son harfe sahip sözcüğü bularak başlangıç harf-sayı eşlemelerini elde etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
A = 1 eşlemesi kullanılarak sonu 'A' ile biten diğer sözcükler çözümlenir.
A = 1 olduğundan sonu 'A' ile biten KAPA ve META sözcüklerinin şifreleri sonu 1 ile biten 7151 ve 4631 olmalıdır. KAPA sözcüğünde 'A' harfi 2. ve 4. sırada yer almaktadır. 7151 sayısında da 1 rakamı 2. ve 4. sıradadır. Dolayısıyla KAPA = 7151 ve buradan K = 7, P = 5 elde edilir. Bu durumda diğer sözcük olan META = 4631 olur ve buradan M = 4, E = 6, T = 3, A = 1 elde edilir.
Elde edilen ilk eşlemeler yardımıyla diğer harflerin değerlerini belirlemek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
3
Harf değerleri bir araya getirilerek TEPKİ sözcüğünün şifresi oluşturulur.
Elde edilen harf eşlemelerine göre T = 3, E = 6, P = 5, K = 7 ve İ = 2'dir. Bu harfler sırasıyla yan yana getirildiğinde TEPKİ sözcüğünün şifresi 36572 olarak bulunur.
Soruda istenen TEPKİ sözcüğünün sayısal kodunu oluşturmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Sözcük ve sayı eşleştirmesinde harflerin pozisyonel frekans analizini kullanarak şifre çözme.
Soru 167Soru →

Yatay ve dikey doğruların kesişmesiyle oluşan bir ızgara üzerinde, 3 satır ve 4 sütun halinde dizilmiş toplam 12 nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 12 noktadan herhangi üçü olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 200'dür.
Doğru yanıt 200'dür. Toplam 12 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü nokta kombinasyonlarının sayısı 220'dir. Bu kombinasyonlardan üçgen oluşturmayan doğrusal 3'lü gruplar (12 yatay, 4 dikey, 4 köşegen olmak üzere toplam 20 grup) çıkarıldığında geriye 200 adet üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı belirlenerek oluşturulabilecek t��m 3'lü kombinasyonlar hesaplanır.
(123)=220\binom{12}{3} = 220 farklı 3'lü nokta grubu seçilebilir.
Herhangi 3 noktanın bir üçgen oluşturabilmesi için öncelikle düzlemdeki tüm 3'lü kombinasyonları bulmamız gerekir.
2
Aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) ve üçgen oluşturması mümkün olmayan 3'lü nokta grupları belirlenir.
Yatay doğrular üzerinde 3×(43)=123 \times \binom{4}{3} = 12 grup, dikey doğrular üzerinde 4×(33)=44 \times \binom{3}{3} = 4 grup ve köşegenler (çapraz doğrular) üzerinde ise 4 grup olmak üzere toplam 20 doğrusal 3'lü grup bulunur.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde üçgen değil, doğru parças�� oluşur. Bu yüzden bu gruplar toplam durumdan çıkarılmalıdır.
3
Toplam 3'lü grup sayısından doğrusal olan 3'lü grup sayısı çıkarılarak oluşturulabilecek üçgen sayısı bulunur.
220−20=200220 - 20 = 200 farklı üçgen oluşturulabilir.
Üçgen oluşturabilen durumlar, tüm durumlardan üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 168Soru →

Bir torbada üzerinde 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) tam sayıların yazılı olduğu 10 adet kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olma olayı AA, çift sayı olma olayı BB olarak tanımlanıyor. Buna göre, çekilen kartın üzerindeki sayının A∪BA \cup B olayının tümleyeni (yani (A∪B)′(A \cup B)') olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

15\frac{1}{5}
Doğru cevap olan 15\frac{1}{5} seçeneği, tümleyen kuralı kullanılarak elde edilir. Örnek uzaydaki 10 elemandan asal olanlar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} ve çift olanlar {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\}'dur. Bu iki kümenin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesi {2,3,4,5,6,7,8,10}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} elemanlarından oluşur ve eleman sayısı 8'dir. Bu kümenin tümleyeni ise örnek uzayda olup bu birleşimde yer almayan {1,9}\{1, 9\} kümesidir. Dolayısıyla istenen olasılık 210=15\frac{2}{10} = \frac{1}{5}'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayı (SS) ve eleman sayısını belirleme.
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} ve ∣S∣=10|S| = 10 olur.
Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için.
2
AA (asal sayı olma) ve BB (çift sayı olma) olaylarının kümelerini belirleme.
A={2,3,5,7}A = \{2, 3, 5, 7\} ve B={2,4,6,8,10}B = \{2, 4, 6, 8, 10\} olur.
1 sayısı asal sayı olmadığından AA kümesine dahil edilmez.
3
A∪BA \cup B olayının kümesini ve eleman sayısını bulma.
A∪B={2,3,4,5,6,7,8,10}  ⟹  ∣A∪B∣=8A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \implies |A \cup B| = 8 olur.
Asal veya çift sayı olan kartların tamamını belirlemek için.
4
A∪BA \cup B olayının tümleyeni olan (A∪B)′(A \cup B)' olayının elemanlarını ve olasılığını hesaplama.
(A∪B)′={1,9}  ⟹  ∣(A∪B)′∣=2(A \cup B)' = \{1, 9\} \implies |(A \cup B)'| = 2 olur. Olasılık ise P((A∪B)′)=210=15P((A \cup B)') = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} olarak bulunur.
Çekilen kartın üzerindeki sayının asal veya çift olmama olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Olasılıkta tümleyen kuralı ve kümelerin birleşimi özelliğinin olasılık fonksiyonuna uygulanması.
Soru 169Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı bir çift sayıdır ve bu alt kümeler en az bir tek sayı eleman içerir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Elemanları toplamı çift olan ve en az bir tek sayı içeren alt küme sayısı 56 tanedir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, elemanları toplamı çift olan tüm 64 alt kümeden, hiç tek sayı içermeyen 8 alt kümenin çıkarılmasıyla (64−8=5664 - 8 = 56) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayı elemanlarını belirleyelim.
AA kümesinde 4 adet tek sayı ({1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}) ve 3 adet çift sayı ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) bulunmaktadır.
Soruda istenen tek sayı içerme ve toplamın çift olması koşullarını uygulayabilmek için tek ve çift elemanları ayrı ayrı sınıflandırmamız gerekir.
2
Bir alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olma şartını belirleyelim.
Bir kümedeki sayıların toplamının çift olması için, o kümenin içerdiği tek sayıların adedi çift olmalıdır. Çift sayıların adedi toplamın çift veya tek olmasını etkilemez.
Tek sayıların çift adet toplamı her zaman çift sayı verir, çift sayıların toplamı ise adedine bakılmaksızın daima çifttir.
3
Elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısını hesaplayalım.
Çift sayıların kümesi {2,4,6}\{2, 4, 6\} olup bu sayılardan 23=82^3 = 8 farklı seçim yapılabilir. Tek say��lardan ise çift sayıda (0, 2 veya 4 tane) seçmeliyiz:
- 0 tek sayı seçimi için: (40)=1\binom{4}{0} = 1 durum
- 2 tek sayı seçimi için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum
- 4 tek sayı seçimi için: (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum

Tek sayıların seçim durumlarının toplamı: 1+6+1=81 + 6 + 1 = 8 olur. ��arpım kuralı gereği, elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısı: 8×23=8×8=648 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64 olarak bulunur.
Koşulsuz olarak toplamı çift olan tüm alt kümeleri bulmak için tek ve çift eleman seçimlerinin kombinasyon sayılarını çarparız.
4
Hesaplanan kümelerden 'en az bir tek sayı eleman içerme' koşuluna uymayanları çıkaralım.
Hiç tek sayı içermeyen ve elemanları toplamı çift olan alt kümeler, yalnızca çift sayılardan ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) oluşturulan alt kümelerdir. Bu alt kümelerin sayısı 23=82^3 = 8'dir. İstenen koşullara uygun alt küme sayısı: 64−8=5664 - 8 = 56 bulunur.
Bulduğumuz tüm çift toplama sahip alt kümelerden, en az bir tek sayı içermeyen (yani sadece çift sayılardan oluşan) alt kümeleri çıkararak istenen koşulu sağlayanları belirleriz.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman özelliklerine göre alt küme oluşturma ve kombinasyon ile sayma kuralları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 170Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her n≥1n \geq 1 için
f(n+1)=f(n)−1f(n)+1f(n+1) = \frac{f(n) - 1}{f(n) + 1}
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2026)f(2026) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Yarım (bir bölü iki)
Fonksiyonun ilk terimlerinden başlanarak yapılan hesaplamada f(1)=3f(1)=3, f(2)=1/2f(2)=1/2, f(3)=−1/3f(3)=-1/3, f(4)=−2f(4)=-2 ve f(5)=3f(5)=3 değerleri bulunur. Beşinci adımda ilk değere geri dönüldüğü için fonksiyon değerlerinin her 4 adımda bir kendini tekrarladığı (periyodun 4 olduğu) görülür. İstenen f(2026)f(2026) değerini bulmak amacıyla 20262026 indisi 44 periyoduna bölünür ve kalan 22 olarak elde edilir. Dolayısıyla aranan değer, ikinci terim olan yarım değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terimden başlayarak sonraki terimleri hesaplamak.
f(1)=3f(1) = 3 verilmiştir. Buradan f(2)=3−13+1=24=12f(2) = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} bulunur.
Yinelemeli fonksiyon kuralını kullanarak ardışık değerleri elde etmek gerekir.
2
Daha sonraki terimleri hesaplayarak bir örüntü aramak.
f(3)=12−112+1=−1232=−13f(3) = \frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3} ve f(4)=−13−1−13+1=−4323=−2f(4) = \frac{-\frac{1}{3}-1}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = -2 bulunur.
Fonksiyonun periyodik davranışını ortaya çıkarmak için yeterli sayıda adım hesaplanmalıdır.
3
Periyodun başlangıcını tespit etmek.
f(5)=−2−1−2+1=−3−1=3f(5) = \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 elde edilir. Görüldüğü gibi f(5)=f(1)=3f(5) = f(1) = 3 olmuştur.
İlk terime geri dönüldüğü an örüntünün periyodunun 4 olduğu anlaşılır.
4
İndisi periyoda bölerek kalana göre değeri bulmak.
20262026 sayısı 44'e bölündüğünde kalan 22 olur (2026=4×506+22026 = 4 \times 506 + 2). Bu durumda f(2026)=f(2)=12f(2026) = f(2) = \frac{1}{2} olarak elde edilir.
Periyodik dizilerde herhangi bir terimin değeri, indisin periyoda bölümünden kalan ile eşleşen temel terimin değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Yinelemeli (periyodik) fonksiyonlarda değer bulma

İpuçları

1
Fonksiyonun ardışık değerlerini (f(1)f(1), f(2)f(2), f(3)f(3)...) sırayla hesaplayarak değerlerin nasıl değiştiğini inceleyin.
2
Değerlerin belirli bir adımdan sonra kendini tekrar edip etmediğini (periyodik olup olmadığını) kontrol edin.
3
f(5)f(5) değerini hesapladığınızda elde ettiğiniz sonuç ile f(1)f(1) arasındaki ilişkiye dikkat ederek periyodu belirleyin ve 2026 indisini bu periyoda bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla f(1)=2f(1) = 2 ve f(n+1)=11−f(n)f(n+1) = \frac{1}{1-f(n)} olarak tanımlanan bir fonksiyonun f(100)f(100) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyon f(n)=cot⁡(θ)f(n) = \cot(\theta) dönüşümü ile trigonometrik olarak da incelenebilir. cot⁡(2θ)\cot(2\theta) veya benzeri formüllerle ardışık açısal değişimler gözlemlenebilir, ancak temel aritmetik adımları izlemek çok daha pratik ve hızlı bir yoldur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 171Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x tek isex2,x c¸ift isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x \text{ tek ise} \\ \frac{x}{2}, & x \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(f∘f∘f∘f)(a)=5(f \circ f \circ f \circ f)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 190

Cevap

Bileşke fonksiyonun 4 adımı tersten takip edilip teklik-çiftlik kuralları doğru uygulandığında elde edilen değerlerin toplamı 190'dır.
Dört adımlı bileşke fonksiyonu tersten incelediğimizde, her adımda elde edilen değerlerin teklik-çiftlik kurallarına uygunluğunu kontrol ederek doğru aa değerlerini buluruz. Bu değerler 11,28,34,3711, 28, 34, 37 ve 8080 olup toplamları 190190 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x1)=5f(x_1) = 5 eşitliğini sağlayan x1x_1 değerini bulmak için fonksiyonun dalları incelenir.
x1=10x_1 = 10
Eğer x1x_1 tek ise x1+3=5  ⟹  x1=2x_1 + 3 = 5 \implies x_1 = 2 olur fakat 2 çift sayı olduğu için bu koldan çözüm gelmez. Eğer x1x_1 çift ise x1/2=5  ⟹  x1=10x_1 / 2 = 5 \implies x_1 = 10 olur ve 10 çift sayı olduğu için bu koldan x1=10x_1 = 10 çözümü elde edilir.
2
f(x2)=10f(x_2) = 10 eşitliğini sağlayan x2x_2 değerleri bulunur.
x2∈{7,20}x_2 \in \{7, 20\}
Eğer x2x_2 tek ise x2+3=10  ⟹  x2=7x_2 + 3 = 10 \implies x_2 = 7 (7 tek sayıdır, geçerli). Eğer x2x_2 çift ise x2/2=10  ⟹  x2=20x_2 / 2 = 10 \implies x_2 = 20 (20 çift sayıdır, geçerli).
3
f(x3)=7f(x_3) = 7 ve f(x3)=20f(x_3) = 20 eşitliklerini sağlayan x3x_3 değerleri bulunur.
x3∈{14,17,40}x_3 \in \{14, 17, 40\}
f(x3)=7f(x_3) = 7 için: tek ise x3+3=7  ⟹  x3=4x_3 + 3 = 7 \implies x_3 = 4 (4 çift sayı, elenir); çift ise x3/2=7  ⟹  x3=14x_3 / 2 = 7 \implies x_3 = 14 (14 çift sayı, geçerli). f(x3)=20f(x_3) = 20 için: tek ise x3+3=20  ⟹  x3=17x_3 + 3 = 20 \implies x_3 = 17 (17 tek sayı, geçerli); çift ise x3/2=20  ⟹  x3=40x_3 / 2 = 20 \implies x_3 = 40 (40 çift sayı, geçerli).
4
f(a)=14f(a) = 14, f(a)=17f(a) = 17 ve f(a)=40f(a) = 40 eşitliklerini sağlayan aa değerleri bulunur.
a∈{11,28,34,37,80}a \in \{11, 28, 34, 37, 80\}
f(a)=14f(a) = 14 için a=11a = 11 (tek, geçerli) veya a=28a = 28 (çift, geçerli). f(a)=17f(a) = 17 için a=14a = 14 (çift sayı olduğundan teklik kolu şartını sağlamaz, elenir) veya a=34a = 34 (çift, geçerli). f(a)=40f(a) = 40 için a=37a = 37 (tek, geçerli) veya a=80a = 80 (çift, geçerli).
5
Elde edilen geçerli aa değerleri toplanır.
11+28+34+37+80=19011 + 28 + 34 + 37 + 80 = 190
Bileşke eşitliğini sağlayan tüm geçerli aa tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda tersten işlem yaparken parçalı fonksiyon kollarının tanım kümesi ve teklik-çiftlik koşullarının her adımda titizlikle sorgulanması.
Soru 172Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2x−3)=2x2+5x−1f(2x - 3) = 2x^2 + 5x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İstenen f(3) değerini bulmak için fonksiyonun içindeki ifade 3'e eşitlenir. Buradan x = 3 elde edilir. x = 3 değeri fonksiyonun sağ tarafındaki kuralda yerine yazıldığında sonuç 32 olarak bulunur.
Soruda f(3) değeri istendiği için fonksiyonun içerisindeki 2x - 3 ifadesi 3'e eşitlenir. Buradan 2x = 6 ve x = 3 elde edilir. Fonksiyon kuralında x yerine 3 yazıldığında 2(3)2+5(3)−12(3)^2 + 5(3) - 1 ifadesi 18+15−1=3218 + 15 - 1 = 32 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap 32'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içerisindeki ifadeyi 3'e eşitleyen x değerini bulmak için denklem kurulur.
2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3
f(3) değerini elde etmek için fonksiyondaki değişken yerine hangi sayının yazılması gerektiğini belirlemek amacıyla.
2
Bulunan x = 3 değeri fonksiyondaki kuralda yerine yazılır.
f(3)=2(3)2+5(3)−1f(3) = 2(3)^2 + 5(3) - 1
Fonksiyonun kuralını uygulayarak f(3) değerini hesaplamak amacıyla.
3
İfade işlem önceliğine dikkat edilerek çözülür.
f(3)=2(9)+15−1=18+15−1=32f(3) = 2(9) + 15 - 1 = 18 + 15 - 1 = 32
Matematiksel işlemleri tamamlayıp nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Fonksiyonda belirli bir değer için değişkenin alması gereken değeri bulup yerine yazma.

İpuçları

1
İstenen f(3) değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun parantez içindeki ifadesini 3 yapan x değerini bulmalısınız.
2
2x−3=32x - 3 = 3 eşitliğini sağlayan x değerini bulup, bu değeri fonksiyonun sağ tarafında yerine yazın.
3
x = 3 değerini 2x2+5x−12x^2 + 5x - 1 ifadesinde yerine yazarken işlem önceliğine (önce üs alma, sonra çarpma) dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla f(3x+2)=x2−4xf(3x + 2) = x^2 - 4x fonksiyonu için f(8) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyonda değişken dönüşümü yapabilirsiniz. 2x−3=u  ⟹  x=u+322x - 3 = u \implies x = \frac{u+3}{2} yazarak genel fonksiyon kuralını f(u)=2(u+32)2+5(u+32)−1f(u) = 2\left(\frac{u+3}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{u+3}{2}\right) - 1 olarak bulabilir ve ardından u=3u = 3 yazarak sonuca gidebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 173Soru →

Bir kitaplıkta yan yana dizilecek olan 4 farklı matematik ve 1 fizik kitabı bulunmaktadır. Fizik kitabının sıranın en başında veya en sonunda yer alması koşuluyla, bu 5 kitap raf üzerinde yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kitapların belirtilen koşula uygun olarak yan yana dizilme sayısı 48'dir.
Fizik kitabının yerleşebileceği en baş ve en son olmak üzere 2 farklı konum seçeneği vardır. Kalan 4 adet matematik kitabı ise geriye kalan 4 boş yere 4!=244! = 24 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu iki bağımsız durumun çarpımı veya toplamı bize 2×24=482 \times 24 = 48 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fizik kitabının bulunabileceği konumları belirleme
Fizik kitabı sıranın en başında ya da en sonunda olmak ��zere 2 farklı konumda bulunabilir.
Soruda verilen kısıta göre fizik kitabının ya en başta ya da en sonda olması gerekmektedir.
2
Geriye kalan matematik kitaplarının kendi aralarındaki sıralanışlarını hesaplama
Geriye kalan 4 farklı matematik kitabı, kalan 4 yere 4!=244! = 24 farklı şekilde dizilebilir.
Kalan nesnelerin sıraya dizilim sayısı permütasyon kuralı gereği faktöriyel ile hesaplanır.
3
Tüm durumlar için toplam dizilim sayısını bulma
Fizik kitabının başta olduğu 24 durum ile sonda olduğu 24 durum toplanır: 24+24=4824 + 24 = 48 farklı dizilim elde edilir.
Bu iki durum ayrık ve birbirini engellemeyen durumlardır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı elemanların yerleşim durumlarına göre permütasyon (sıralama) hesabı.

Alternatif Yöntem

Fizik kitabının konumu için 2 seçenek vardır (1. sıra veya 5. sıra). Geriye kalan 4 matematik kitabı ise P(4,4)=4!=24P(4,4) = 4! = 24 farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam sıralama sayısı: 2×24=482 \times 24 = 48 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 174Soru →
8x+8x+8x+8x4x+4x=64\frac{8^x + 8^x + 8^x + 8^x}{4^x + 4^x} = 64

olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen rasyonel ifadenin payı 4⋅8x4 \cdot 8^x ve paydası 2⋅4x2 \cdot 4^x şeklinde yazılır. Bu iki ifadenin oranı 4⋅8x2⋅4x=2⋅2x=2x+1\frac{4 \cdot 8^x}{2 \cdot 4^x} = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1} olur. 2x+1=642^{x+1} = 64 eşitliğinden 2x+1=262^{x+1} = 2^6 ve buradan x+1=6  ⟹  x=5x+1=6 \implies x=5 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki toplama işlemlerini çarpma biçiminde düzenleyin.
Pay kısmında 4 adet 8x8^x toplandığı için pay 4⋅8x4 \cdot 8^x olur. Payda kısmında 2 adet 4x4^x toplandığı için payda 2⋅4x2 \cdot 4^x olur. Denklem şu hali alır: 4⋅8x2⋅4x=64\frac{4 \cdot 8^x}{2 \cdot 4^x} = 64
Toplama işlemlerini üslü sayı özelliklerini kullanabilmek için çarpım durumuna getirmek gerekir.
2
Katsayıları sadeleştirin ve aynı üsse sahip ifadeleri bölün.
42⋅8x4x=2⋅(84)x=2⋅2x=2x+1\frac{4}{2} \cdot \frac{8^x}{4^x} = 2 \cdot \left(\frac{8}{4}\right)^x = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1} olur.
Tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme işlemi tabanların bölünmesiyle yapılır: ax/bx=(a/b)xa^x / b^x = (a/b)^x.
3
Elde edilen ifadeyi 6464 sayısına eşitleyip xx değerini bulun.
2x+1=64  ⟹  2x+1=26  ⟹  x+1=6  ⟹  x=52^{x+1} = 64 \implies 2^{x+1} = 2^6 \implies x+1 = 6 \implies x = 5 bulunur.
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda toplama, bölme ve taban eşitleme kuralları.
Soru 175Soru →

Analitik düzlemde, köşegenlerinin kesim noktası K(2,−1)K(2, -1) olan bir karenin bir kenarı 5x+12y−11=05x + 12y - 11 = 0 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin çevresi kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Karenin çevresi 8 birimdir.
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığı formülü kullanılarak karenin köşegenlerinin kesim noktasının karenin kenarını taşıyan doğruya olan uzaklığı 11 birim olarak bulunur. Karenin geometrik özellikleri gereği, merkez noktasının herhangi bir kenara olan dik uzaklığı kenar uzunluğunun yarısıdır. Dolayısıyla karenin bir kenar uzunluğu 22 birim olur. Çevresi ise 4×2=84 \times 2 = 8 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin köşegenlerinin kesim noktası olan K(2,−1)K(2, -1) noktasının, karenin kenarını taşıyan 5x+12y−11=05x + 12y - 11 = 0 doğrusuna olan dik uzaklığı (dd) hesaplanır.
d=∣5⋅2+12⋅(−1)−11∣52+122=∣10−12−11∣25+144=∣−13∣13=1d = \frac{|5 \cdot 2 + 12 \cdot (-1) - 11|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|10 - 12 - 11|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-13|}{13} = 1 birim.
Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı formülü yardımıyla karenin merkezinin kenara olan uzaklığı bulunur.
2
Karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerin kesim noktasından) kenarlarına olan dik uzaklık (dd), karenin bir kenar uzunluğunun yarısına (a/2a/2) eşittir. Bu ilişkiden kenar uzunluğu (aa) elde edilir.
d=a2⇒1=a2⇒a=2d = \frac{a}{2} \Rightarrow 1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2 birim.
Karenin simetri özelliğinden dolayı, ağırlık merkezinin herhangi bir kenara olan dik uzaklığı, o kenarın uzunluğunun yarısı kadardır.
3
Kenar uzunluğu a=2a = 2 birim olan karenin çevresi hesaplanır.
C¸evre=4a=4⋅2=8\text{Çevre} = 4a = 4 \cdot 2 = 8 birim.
Karenin çevre uzunluğu, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü ve karenin simetri özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 176Soru →
Analitik düzlemde,
d1:y=3x−5d_1: y = 3x - 5
d2:ax+6y−12=0d_2: ax + 6y - 12 = 0
doğruları verilmektedir.

Bu doğrular birbirine dik olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğruların birbirine dik olması için aa değeri 22 olmalıdır.
Doğruların birbirine dik olması için eğimleri çarpımının −1-1 olması gerekir. Birinci doğrunun eğimi 33, ikinci doğrunun eğimi ise −a6-\frac{a}{6}'dır. Bu iki değer çarpılıp −1-1'e eşitlendiğinde aa değeri 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci doğrunun eğimini (m1m_1) bulmak
y=3x−5y = 3x - 5 doğrusunun eğimi m1=3m_1 = 3 olarak belirlenir.
y=mx+ny = mx + n biçimindeki bir doğrunun eğimi, xx değişkeninin katsayısı olan mm değerine eşittir.
2
İkinci doğrunun eğimini (m2m_2) aa cinsinden belirlemek
ax+6y−12=0  ⟹  6y=−ax+12  ⟹  y=−a6x+2ax + 6y - 12 = 0 \implies 6y = -ax + 12 \implies y = -\frac{a}{6}x + 2 yazılır. Buradan eğim m2=−a6m_2 = -\frac{a}{6} olarak bulunur.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 biçimindeki doğruların eğimi −AB-\frac{A}{B} formülü ile hesaplanır.
3
Doğruların diklik koşulunu uygulayarak aa değerini hesaplamak
m1×m2=−1  ⟹  3×(−a6)=−1  ⟹  −a2=−1  ⟹  a=2m_1 \times m_2 = -1 \implies 3 \times \left(-\frac{a}{6}\right) = -1 \implies -\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2 elde edilir.
Analitik düzlemde birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Soru 177Soru →

Gazeteci:
(I) --------------------------------------

Bilişsel Dilbilimci:
- Dil ve düşünce arasındaki ilişki tek yönlü değildir. Bizler dünyayı sadece dilimizle sınırlandırmayız, aynı zamanda dilimizi deneyimlerimizle şekillendiririz. Örneğin, zaman kavramını yönlerle ya da uzamsal hareketlerle tanımlamamız, fiziksel dünyayı algılama biçimimizin dile yansımasıdır. Yani zihnimizdeki somut şemalar, soyut kavramları dilde inşa ederken temel dayanağımız olur.

Gazeteci:
(II) --------------------------------------

Bilişsel Dilbilimci:
- Bu durum kaçınılmaz olarak bir zenginlik doğuruyor fakat aynı zamanda çeviri süreçlerinde ciddi aşılması zor engeller yaratıyor. Bir dilde "gelecek arkamızda, geçmiş önümüzde" şeklinde kurulan bir zaman algısı, bu yönelimi tam tersi yaşayan bir toplumun diline aktarılırken sadece kelimeleri çevirmek yetmiyor; bütün bir bilişsel haritayı yeniden çizmek gerekiyor. Dolayısıyla kültürlerin dünyaya bakış açısı değiştikçe, o dillerin ürettiği edebiyat ve felsefe de kendine has bir patika izliyor.

Bu diyalogda boş bırakılan yerlere sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (I) Dilin zihinsel yapılarımızı ve dış dünyayı algılama biçimimizi tek taraflı olarak belirlediği görüşüne katılıyor musunuz?
(II) Farklı dillerdeki bu kavramsal ve bilişsel ayrışmaların, kültürlerarası aktarım ve çeviri üzerindeki etkileri nelerdir?

Cevap

(I) Dilin zihinsel yapılarımızı ve dış dünyayı algılama biçimimizi tek taraflı olarak belirlediği görüşüne katılıyor musunuz? / (II) Farklı dillerdeki bu kavramsal ve bilişsel ayrışmaların, kültürlerarası aktarım ve çeviri üzerindeki etkileri nelerdir?
Bilişsel dilbilimcinin birinci yanıtta dil ve düşünce ilişkisinin tek yönlü olmadığını belirtmesi, dilin zihinsel yapıyı tek taraflı belirlediği tezine karşı çıktığını gösterir. İkinci yanıtta ise diller arasındaki kavramsal farklılıkların çeviri süreçlerindeki zorluklarından ve kültürlerin bakış açısının edebiyat ile felsefeye yansımasından söz edilmektedir. Bu doğrultuda doğru yanıt, birinci soruda dilin zihinsel yapıyı tek taraflı belirleyip belirlemediğini, ikinci soruda ise bu farklılıkların kültürlerarası aktarım ve çeviri üzerindeki yansımalarını sorgulayan ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci yanıtın ana fikrini ve anahtar kavramlarını belirlemek.
Uzmanın birinci yanıtta 'Dil ve düşünce arasındaki ilişki tek yönlü değildir' diyerek dilin zihni tek taraflı şekillendirdiği görüşüne karşı çıktığı ve fiziksel deneyimlerin dili şekillendirdiğini savunduğu saptanır.
Gazetecinin birinci sorusunun, dilin düşünce üzerindeki tek yönlü etkisini veya belirleyiciliğini sorgulayan bir soru olması gerektiğini saptamak için.
2
İkinci yanıtın ana fikrini ve anahtar kavramlarını belirlemek.
Uzmanın ikinci yanıtta 'Bu durum... çeviri süreçlerinde ciddi aşılması zor engeller yaratıyor' diyerek diller arasındaki bilişsel harita ve zaman algısı farklılıklarının çeviri ve kültürlerarası aktarıma etkilerini tartıştığı görülür.
Gazetecinin ikinci sorusunun, bu bilişsel/kavramsal farklılıkların çeviriye ve kültürel aktarıma yansımalarını sorgulayan bir soru olması gerektiğini belirlemek için.
3
Seçenekleri analiz ederek her iki boşluğa da anlamca ve bağlamca tam uyum sağlayan seçeneği tespit etmek.
Birinci soru için dilin zihinsel yapıyı tek taraflı belirleyip belirlemediğini soran, ikinci soru için ise bu ayrışmaların kültürlerarası aktarım ve çeviri üzerindeki etkisini sorgulayan seçeneğin doğru olduğu belirlenir.
Diyalogdaki anlam akışını, kavramsal tutarlılığı ve soru-cevap dengesini eksiksiz sağlamak için.

Anahtar Kavram

Diyalog Tamamlama
Soru 178Soru →
ff ve gg fonksiyonları
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4
g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) bileşke işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Bileşke işleminin sonucu 17'dir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereğince (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesi f(g(2))f(g(2)) şeklinde yazılır. g(2)g(2) değerini bulmak için g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1 eşitliğinde parantez içi 2'ye eşitlenir: x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 bulunur. Eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazıldığında g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 elde edilir. Bu değer f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(7)=3(7)−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 17 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak istenen ifadeyi açın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2))
Bileşke fonksiyon kuralı gereği, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
g(2)g(2) değerini hesaplamak için verilen g(x−1)=2x+1g(x-1) = 2x+1 eşitliğinde uygun xx değerini bulun.
x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 olur. Bu durumda g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 bulunur.
Fonksiyonun içindeki ifadenin 2 olması için xx yerine yazılması gereken değer belirlenmelidir.
3
Bulunan g(2)=7g(2) = 7 değerini f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda yerine yazarak sonucu elde edin.
f(7)=3(7)−4=21−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17 olur.
Bileşke fonksiyonun son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyonun sonucu yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi, sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla gerçekleştirilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 179Soru →

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta bulunmaktadır.

Buna göre, bu noktaların herhangi ikisinden geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta ile en çok 15 farklı doğru çizilebilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 noktadan en çok kaç doğru geçebileceğini bulmak için bu 66 noktadan kaç farklı 22'li grup seçebileceğimizi hesaplarız. Kombinasyon formülü kullanılarak yapılan (62)=15\binom{6}{2} = 15 hesabı doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru oluşturmak için gerekli olan nokta sayısını belirleme
Bir doğrunun belirtilmesi için en az 2 farklı nokta gerekmektedir.
Geometrinin temel kabullerine göre, farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.
2
Noktalar arasından yapılacak seçimleri kombinasyon ile hesaplama
66 farklı nokta arasından seçilecek her 2 nokta bize yeni bir doğru verir. Bu seçimlerin sayısı (62)\binom{6}{2} kombinasyon formülü ile hesaplanır:
(62)=6×52×1=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
Noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığından, seçilen her 2 nokta farklı bir doğru tanımlar. Sıralama önemsiz olduğu için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan nn nokta ile en çok (n2)\binom{n}{2} farklı doğru çizilebilir.

İpuçları

1
Bir doğru çizebilmek için kaç farklı noktaya ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Herhangi iki noktadan yalnızca bir doğru geçtiğine göre, 66 nokta arasından kaç farklı 22'li nokta grubu seçebileceğinizi kombinasyon yardımıyla bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu noktaların herhangi üçü doğrusal olmasaydı ve köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen oluşturulabileceği sorulsaydı, 3'lü kombinasyon hesaplamamız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Noktalardan birini seçelim (6 seçenek). Bu noktayı birleştirebileceğimiz diğer noktaları seçelim (5 seçenek). Toplamda 6×5=306 \times 5 = 30 çizgi elde edilir gibi görünür ancak her doğruyu ikişer kez saymış oluruz (örneğin A'dan B'ye ve B'den A'ya). Çift sayımları engellemek için ikiye böleriz: 30/2=1530 / 2 = 15.
Tahmini Süre:45s
Soru 180Soru →

Bir sayı oyununda, sisteme girilen üç basamaklı bir XYZXYZ sayısı için aşağıdaki kurallara göre yeni sayılar elde edilmektedir:

* Sayının rakamları toplamı çift ise, sayının rakamları sağa doğru dairesel olarak kaydırılır (yani XYZXYZ sayısı ZXYZXY olur).
* Sayının rakamları toplamı tek ise, sayının her bir rakamı yerine o rakamın 99 sayısından farkı yazılarak yeni sayı elde edilir (yani XYZXYZ sayısı yerine (9−X)(9−Y)(9−Z)(9-X)(9-Y)(9-Z) basamaklarından oluşan sayı yazılır).

Sisteme ilk olarak 148148 sayısı girildiğinde elde edilen 5. sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

Adımlar takip edildiğinde 5. sayı 185 olarak bulunur.
Sisteme girilen 148148 sayısının rakamları toplamı 1+4+8=131+4+8=13 (tek) olduğundan birinci adımda rakamların 99'dan farkları alınarak 851851 sayısı elde edilir. 851851 sayısının rakamları toplamı 8+5+1=148+5+1=14 (çift) olduğundan ikinci adımda dairesel sağa kaydırma uygulanır ve 185185 elde edilir. Bu şekilde adımlara devam edildiğinde sırasıyla 518518, 851851 ve 5. sayı olarak da 185185 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sisteme girilen ilk sayı olan 148148 sayısının rakamları toplamını hesaplamak ve uygun kuralı belirlemek.
1+4+8=131+4+8 = 13 (tek sayı). Rakamların 99'dan farkını alma kuralı uygulanacaktır.
İlk adımda hangi işlemin yapılacağını belirlemek için kuralın koşulunu kontrol etmemiz gerekir.
2
1. sayıyı elde etmek için 148148 sayısının rakamlarının 99'dan farkını almak.
9−1=89-1=8, 9−4=59-4=5, 9−8=19-8=1 olduğundan 1. sayı 851851 olur.
Koşul tek sayı olduğu için ilgili kuralı uygulamak gerekir.
3
1. sayı olan 851851 sayısının rakamları toplamını kontrol etmek ve 2. sayıyı elde etmek.
8+5+1=148+5+1 = 14 (çift sayı). Sağa doğru dairesel kaydırma kuralı uygulanır. 851851 sayısının en sağındaki rakam (11) başa gelir ve sayı 185185 olur.
Her adımda elde edilen yeni sayının rakamları toplamına göre hangi kuralın uygulanacağı yeniden belirlenmelidir.
4
2. sayı olan 185185 sayısının rakamları toplamını kontrol etmek ve 3. sayıyı elde etmek.
1+8+5=141+8+5 = 14 (çift sayı). Sağa doğru dairesel kaydırma ile en sağdaki rakam (55) başa gelir ve 3. sayı 518518 olur.
Elde edilen yeni sayı çift toplam verdiği için sağa kaydırma kuralı uygulanmaya devam edilir.
5
3. sayı olan 518518 sayısının rakamları toplamını kontrol etmek ve 4. sayıyı elde etmek.
5+1+8=145+1+8 = 14 (çift sayı). Sağa doğru dairesel kaydırma ile en sağdaki rakam (88) başa gelir ve 4. sayı 851851 olur.
Yeni sayının rakamları toplamı çift olduğundan dairesel sağa kaydırma işlemi tekrarlanır.
6
4. sayı olan 851851 sayısının rakamları toplamını kontrol etmek ve 5. sayıyı elde etmek.
8+5+1=148+5+1 = 14 (çift sayı). Sağa doğru dairesel kaydırma ile en sağdaki rakam (11) başa gelir ve 5. sayı 185185 olur.
5. sayıya ulaşmak için 4. sayının rakamlar toplamı kontrol edilir ve çift olduğundan sağa kaydırma işlemi son kez uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu adımları takip ederek ve her adımda koşulun geçerliliğini yeniden kontrol ederek sayı dizisi oluşturma.

İpuçları

1
Her adımda elde ettiğiniz yeni sayının rakamları toplamını yeniden hesaplamayı unutmayın.
2
1. sayıyı bulduktan sonra rakamları toplamının tek mi çift mi olduğunu kontrol edip bir sonraki adıma geçin.
3
Dairesel sağa kaydırmada en sağdaki rakam en başa gelir, diğer rakamlar birer basamak sağa kayar.

Daha Fazla Pratik

Bu kurala göre sisteme girildiğinde kendisini üreten veya sabit kalan 3 basamaklı sayılar olup olmadığını araştırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerini tek tek hesaplarken bir periyot (tekrar döngüsü) oluşup oluşmadığına dikkat edebilirsiniz. Bu soruda 1. sayıdan itibaren 851→185→518851 \rightarrow 185 \rightarrow 518 şeklinde 3 adımlı bir döngü oluşmaktadır.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 9 / 129Sonraki