Üçgenler Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Dar açılı bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC|$ 'dir. $B$ köşesinden $AC$ kenarına çizilen dikme ile $C$ köşesinden $AB$ kenarına çizilen dikme $K$ noktasında kesişmektedir. $K$ noktasının $AB$ kenarına olan en kısa uzaklığı $3\text{ cm}$ ve $|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin çevresi kaç $\text{cm}$ 'dir?

20 + 4\sqrt{5}

4 + 4\sqrt{5}

30 + 4\sqrt{5}

4\sqrt{10} + 4\sqrt{5}

32 + 4\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20 + 4\sqrt{5}$

Cevap

20 + 4\sqrt{5}\text{ cm}

olan çevre uzunluğu

ABC

ikizkenar üçgeninin simetrik yapısı sayesinde diklik merkezi olan noktanın köşelere olan uzaklıkları eşit olup 5 cm bulunur. Buradan dik üçgenlerdeki Pisagor bağıntıları sırasıyla uygulanarak eşit kenar uzunlukları 10 cm elde edilir. Çevre bu iki eşit kenar ile 4\sqrt{5} cm tabanının toplamıyla 20 + 4\sqrt{5} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

K

noktasının

AB

doğrusuna olan en kısa uzaklığı belirlenir.

|KE| = 3\text{ cm}

C

köşesinden

AB

'ye çizilen dikme

CE

olduğundan ve

K

bu dikme üzerinde bulunduğundan,

K

'nin

AB

'ye en kısa uzaklığı

|KE|

uzunluğuna eşittir.

2

ABC

ikizkenar üçgeninde diklik merkezinin simetri özelliği kullanılır.

|KB| = |KC| = x

|AB| = |AC|

ikizkenarlık durumunda, köşelerden çizilen yüksekliklerin kesişim noktası olan diklik merkezinin köşelere olan uzaklıkları simetriktir.

3

KBE

dik üçgeninde Pisagor bağınt��sı uygulanır.

|BE|^2 = x^2 - 9

m(\widehat{KEB}) = 90^\circ

olduğundan

|BE|^2 + |KE|^2 = |KB|^2

eşitliği sağlanır.

4

BEC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kurularak

x

değeri çözülür.

x^2 + 3x - 40 = 0

denklemi elde edilerek

x = 5\text{ cm}

bulunur.

|CE| = x + 3

ve

|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm}

değerleri ile

|BE|^2 + |CE|^2 = |BC|^2

Pisagor bağıntısı çözülür.

5

|BE|

ve

|CE|

uzunlukları hesaplanır.

|BE| = 4\text{ cm}

ve

|CE| = 8\text{ cm}

x = 5

değeri yerine yazılarak

|BE| = \sqrt{5^2 - 9} = 4

ve

|CE| = 5 + 3 = 8

olarak bulunur.

6

AEC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak

|AB|

kenar uzunluğu aranır.

|AB| = |AC| = 10\text{ cm}

|AE| = y

ve

|AC| = y + 4

için

y^2 + 8^2 = (y+4)^2

denklemi çözülerek

y = 6

ve buradan

|AB| = 10

bulunur.

7

ABC

üçgeninin çevre uzunluğu toplanır.

20 + 4\sqrt{5}\text{ cm}

Çevre

= |AB| + |AC| + |BC| = 10 + 10 + 4\sqrt{5}

toplamıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende simetrik yükseklik özellikleri ve diklik merkezinin kenarlara olan uzaklık ilişkileri yardımıyla Pisagor bağıntısı uygulamaları

Soru 2Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$|AD| = 10$ cm, $|AC| = 17$ cm ve $|BD| = 6$ cm olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

7

9

11

15

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9 cm

Doğru cevap,

9

cm uzunluğudur.

[AB] \perp [BC]

olduğu için

\triangle ABD

ve

\triangle ABC

üçgenlerinin her ikisi de

B

köşesinde dik açıya sahip birer dik ü��gendir. Öncelikle

\triangle ABD

dik üçgeninde

|AB|

kenarının uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla

|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB| = 8

cm olarak bulunur. Daha sonra büyük dik üçgen olan

\triangle ABC

'de Pisagor bağıntısı uygulanır:

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15

cm bulunur.

[BC]

kenarı üzerindeki

D

noktası için

|BC| = |BD| + |DC|

eşitliği geçerli olduğundan

|DC| = 15 - 6 = 9

cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak AB kenarının uzunluğunu bulmak.

|AB| = 8

cm

[AB] \perp [BC]

olduğundan ABD bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB|^2 + 36 = 100 \implies |AB|^2 = 64 \implies |AB| = 8

cm.

2

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak BC kenarının uzunluğunu bulmak.

|BC| = 15

cm

[AB] \perp [BC]

olduğundan büyük ABC üçgeni de bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre,

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15

cm.

3

BC uzunluğundan BD uzunluğunu çıkararak istenen DC uzunluğunu hesaplamak.

|DC| = 9

cm

D

noktası

[BC]

kenarı üzerinde olduğundan

|BC| = |BD| + |DC|

'dir. Buradan

|DC| = |BC| - |BD| \implies |DC| = 15 - 6 = 9

cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) ve özel dik üçgenler (6-8-10 ve 8-15-17 üçgenleri).

İpuçları

1

Soruda verilen

[AB] \perp [BC]

dikliği yardımıyla iki farklı dik üçgen elde edebilirsiniz: küçük olan

\triangle ABD

ve büyük olan

\triangle ABC

.

2

Önce

\triangle ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak

|AB|

dik kenarını bulun. Bu kenar aynı zamanda büyük

\triangle ABC

dik üçgeninin de bir kenarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki dik üçgenin hipotenüslerinin ortak olduğu veya dik kenarlarının ortak olduğu diğer özel üçgen kombinasyonlarını (örneğin 5-12-13 ve 9-12-15 gibi) kullanarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel dik üçgenleri (kenarlarına göre özel üçgenler) hatırlamak çözümü hızlandıracaktır.

\triangle ABD

üçgeninde hipotenüs

10

ve bir dik kenar

6

olduğundan, bu üçgen

3-4-5

üçgeninin

2

katı olan

6-8-10

özel üçgenidir. Buradan

|AB| = 8

cm bulunur.

\triangle ABC

üçgeninde ise dik kenarlardan biri

8

ve hipotenüs

17

olduğundan, bu üçgen

8-15-17

özel dik üçgenidir. Buradan doğrudan

|BC| = 15

cm bulunur. Sonuç olarak

|DC| = 15 - 6 = 9

cm elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir $ABCD$ dörtgeninde $[AD] \perp [AB]$ ve $[BC] \perp [CD]$ 'dir.

$|AD| = 15$ cm, $|AB| = 20$ cm ve $|BC| = 7$ cm olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

15

18

20

24

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24

ABD

dik üçgeninde

|AD| = 15

cm ve

|AB| = 20

cm verilmiştir. Bu üçgen

3-4-5

üçgeninin

5

katı olan

15-20-25

özel üçgenidir ve hipotenüs

|BD| = 25

cm olur.

BCD

dik üçgeninde ise

[BC] \perp [CD]

olduğundan

BD

hipotenüstür.

|BC| = 7

cm ve

|BD| = 25

cm olduğuna göre,

7-24-25

özel dik üçgeninden veya Pisagor bağıntısından

|CD|^2 = 25^2 - 7^2 = 576 \implies |CD| = 24

cm olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap 24 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

BD

köşegenini çizerek dörtgeni iki dik üçgene ayırın.

Dörtgen, hipotenüsleri ortak olan

ABD

ve

BCD

dik üçgenlerine bölünür.

Her iki üçgende de Pisagor bağıntısını uygulayabilmek için ortak bir kenar (hipotenüs) elde etmek gerekir.

2

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|BD|

uzunluğunu bulun.

|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 \implies |BD|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \implies |BD| = 25

cm.

ABD

üçgeninin dik kenarları bilindiği için hipotenüs uzunluğu hesaplanır. Bu üçgen aynı zamanda

3-4-5

özel üçgeninin

5

katı olan

15-20-25

üçgenidir.

3

BCD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|CD|

uzunluğunu bulun.

|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2 \implies 25^2 = 7^2 + |CD|^2 \implies 625 = 49 + |CD|^2 \implies |CD|^2 = 576 \implies |CD| = 24

cm.

BCD

dik üçgeninde hipotenüs (

|BD| = 25

cm) ve bir dik kenar (

|BC| = 7

cm) bilindiğinden, diğer dik kenar hesaplanır. Bu üçgen

7-24-25

özel dik üçgenidir.

Anahtar Kavram

Ortak hipotenüse sahip iki dik üçgende Pisagor bağıntısı ve özel dik üçgenlerin (15-20-25 ve 7-24-25) kullanımı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6\text{ cm}$ ve $|AC| = 9\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, $BC$ kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç santimetredir?

15

14

13

8

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

BC kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 14 santimetredir.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende bilinmeyen kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Burada

|BC| < 6 + 9 = 15

olmalıdır. Dolayısıyla,

BC

kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını yazın.

|AB - AC| < |BC| < |AB| + |AC|

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak sınırları hesaplayın.

|6 - 9| < |BC| < 6 + 9 \Rightarrow 3 < |BC| < 15

elde edilir.

|AB| = 6\text{ cm}

ve

|AC| = 9\text{ cm}

değerlerini kullanarak

BC

kenarının sınırlarını bulmak için.

3

Elde edilen aralıktaki en büyük tam sayı değerini belirleyin.

|BC|

en fazla 14 olabilir.

15'ten küçük en büyük tam sayı 14 olduğundan.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği

Soru 5Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$|AD| = 13$ cm, $|DC| = 11$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

9

12

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

Doğru cevap 12'dir.

ABD

dik üçgeninde

|AB|^2 + |BD|^2 = 13^2

ve

ABC

dik üçgeninde

|AB|^2 + (|BD| + 11)^2 = 20^2

denklemleri kurulur. İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında

22|BD| + 121 = 231 \implies |BD| = 5

cm bulunur.

ABD

üçgeni bir dik üçgen olup kenarları

5 - 12 - 13

özel üçgenini oluşturduğundan

|AB| = 12

cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyen kenarları isimlendirelim.

|AB| = x

ve

|BD| = y

olsun. Bu durumda taban

|BC| = y + 11

olur.

Ortak olan dik kenar yardımıyla iki ayrı Pisagor denklemi kurabilmek için.

2

ABD

ve

ABC

dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısını yazalım.

ABD

için:

x^2 + y^2 = 13^2 = 169

(1. denklem).

ABC

için:

x^2 + (y + 11)^2 = 20^2 = 400

(2. denklem).

Her iki dik üçgende dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki matematiksel ilişkiyi tanımlamak için.

3

İkinci denklemdeki parantezi açarak denklemleri ortak çözelim.

x^2 + y^2 + 22y + 121 = 400

ifadesinde birinci denklemi (

x^2 + y^2 = 169

) yerine koyalım:

169 + 22y + 121 = 400 \implies 22y + 290 = 400 \implies 22y = 110 \implies y = 5

cm elde edilir.

Ortak terimleri sadeleştirip bilinmeyen

y

değerini bulmak için.

4

Bulunan

y = 5

değerini birinci denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım.

x^2 + 5^2 = 169 \implies x^2 + 25 = 169 \implies x^2 = 144 \implies x = 12

cm olarak bulunur.

İstenen

|AB| = x

uzunluğunu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Dik üçgenlerde ortak kenar yardımıyla Pisagor bağıntılarının ortak çözümü ve özel üçgenlerin kullanılması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Dik üçgen biçimindeki bir oyun parkının dik kenarlarından birinin uzunluğu $8$ metre, hipotenüsünün uzunluğu ise $17$ metredir. Buna göre, bu parkın diğer dik kenarının uzunluğu kaç metredir?

9

13

15

25

\sqrt{353}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Diğer dik kenarın uzunluğu 15 metredir.

Soruda dik üçgenin bir dik kenarı 8 metre ve hipotenüsü 17 metre olarak verilmiştir. Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) uygulandığında

8^2 + b^2 = 17^2

eşitliğinden

64 + b^2 = 289

elde edilir. Buradan

b^2 = 225

ve

b = 15

metre bulunur. Bu durum aynı zamanda

8-15-17

özel dik üçgeninin bir uygulamasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kenar uzunluklarını belirlemek ve Pisagor bağıntısı formülünü yazmak.

Dik kenar

a = 8

m, hipotenüs

c = 17

m ve bilinmeyen dik kenar

b

olsun. Pisagor bağıntısı formülü:

a^2 + b^2 = c^2

şeklindedir.

Dik üçgende kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmak için Pisagor bağıntısı kullanılır.

2

Değerleri formülde yerine yazarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak.

8^2 + b^2 = 17^2 \Rightarrow 64 + b^2 = 289 \Rightarrow b^2 = 225 \Rightarrow b = 15

m olarak bulunur. Bu üçgen

8-15-17

özel dik ��çgenidir.

Bilinmeyen dik kenarın uzunluğunu bulmak için elde edilen denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler

Soru 7Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC| = 35\text{ cm}$ ve $|BC| = 42\text{ cm}$ 'dir. $A$ açısının iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $[AC]$ kenarı üzerinde $|AE| = 14\text{ cm}$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $[AD]$ ve $[BE]$ doğruları $P$ noktasında kesiştiğine göre, $|AP|$ uzunluğu kaç cm'dir?

16

12

8

32

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 cm

İkizkenar üçgende tabana inen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir. Buradan taban ikiye bölünerek dik üçgen elde edilir ve Pisagor bağıntısıyla açıortay uzunluğu 28 cm olarak bulunur. D noktasından BE doğrusuna paralel çizilen yardımcı doğru yardımıyla Thales teoremi iki kez uygulanır; önce F noktasının orta nokta olduğu bulunarak EF uzunluğu 10,5 cm tespit edilir, ardından AP/PD oranının 4/3 olduğu belirlenir. Bu oran kullanılarak AP uzunluğu 16 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu belirleyip açıortay doğrusunun kenarortay ve yükseklik olma özelliğini kullanmak.

BD = DC = 21 cm ve AD doğrusu BC kenarına diktir.

İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı tabanı iki eşit parçaya böler ve tabana diktir.

2

ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak AD açıortayının uzunluğunu bulmak.

AD uzunluğu 28 cm olarak bulunur.

35-21-28 üçgeni, 3-4-5 özel üçgeninin 7 katıdır.

3

D noktasından BE doğrusuna paralel bir DF doğrusu çizerek AC kenarını F noktasında kestirmek.

DF doğrusu BE doğrusuna paralel olur.

Menelaus teoremi kullanmadan benzerlik yardımıyla oranı hesaplayabilmek için yardımcı çizgi oluşturulur.

4

CBE üçgeninde Thales teoremini uygulayarak EF uzunluğunu hesaplamak.

EF uzunluğu 10,5 cm olarak bulunur.

DF ile BE paralel olduğundan EF/FC = BD/DC = 21/21 = 1 olur, bu da F noktasının EC'nin orta noktası olduğunu gösterir.

5

ADF üçgeninde Thales teoremini uygulayarak AP ve PD arasındaki oranı bulmak.

AP/PD oranı 4/3 olarak bulunur.

PE ile DF paralel olduğundan AP/PD = AE/EF = 14/10,5 = 4/3 olur.

6

Toplam uzunluğu 28 cm olan AD doğrusunda AP parçasının uzunluğunu hesaplamak.

AP uzunluğu 16 cm olarak elde edilir.

AP/PD = 4/3 olduğundan AP = (4/7) * AD = (4/7) * 28 = 16 cm olur.

Anahtar Kavram

Üçgende Açıortay, İkizkenar Üçgen Özellikleri ve Benzerlik

Alternatif Yöntem

Menelaus Teoremi kullanılarak da çözüm yapılabilir. ADC üçgeninde B-P-E doğrusu kesen olarak alındığında Menelaus Teoremi'ne göre: (AP/PD) * (DB/BC) * (CE/EA) = 1 olur. Değerler yerine yazıldığında: (AP/PD) * (21/42) * (21/14) = 1 => (AP/PD) * (1/2) * (3/2) = 1 => AP/PD = 4/3 bulunur. Buradan AP = (4/7) * 28 = 16 cm elde edilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8Soru →

Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğu $8\text{ cm}$ , hipotenüsünün uzunluğu ise $17\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu dik üçgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

36

40

60

68

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60

Doğru yanıt olan 60, Pisagor bağıntısı yardımıyla diğer dik kenarın 15 cm olarak bulunması ve ardından dik kenarların çarpımının yarısı alınarak (8 * 15 / 2 = 60) hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Pisagor bağıntısını kullanarak bilinmeyen dik kenarın uzunluğunu bulun.

|BC| = 15\text{ cm}

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

8^2 + |BC|^2 = 17^2 \Rightarrow 64 + |BC|^2 = 289 \Rightarrow |BC|^2 = 225 \Rightarrow |BC| = 15\text{ cm}

bulunur.

2

Dik üçgenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.

60\text{ cm}^2

Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir:

\text{Alan} = \frac{8 \times 15}{2} = 60\text{ cm}^2

.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı ve dik üçgenin alan formülü

Soru 9Soru →

$KLM$ dik üçgeninde, $[KL] \perp [LM]$ ve $[LH] \perp [KM]$ 'dir. $|KH| = 9\text{ cm}$ ve $[LH]$ yüksekliğinin uzunluğu $|LH| = 12\text{ cm}$ olduğuna göre, $|LM|$ uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

LM uzunluğu 20 cm'dir.

KLM dik üçgeninde L açısı diktir ve [LH] hipotenüse indirilen yüksekliktir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre

|LH|^2 = |KH| \cdot |HM|

'dir. Verilen değerler yerine yazıldığında

12^2 = 9 \cdot |HM| \implies 144 = 9 \cdot |HM| \implies |HM| = 16\text{ cm}

bulunur. LHM dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (

|LM|^2 = |LH|^2 + |HM|^2

) veya Öklid'in kenar bağıntısı (

|LM|^2 = |HM| \cdot |KM|

) kullanılarak

|LM| = 20\text{ cm}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak HM uzunluğunu bulun.

|HM| = 16\text{ cm}

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir (

|LH|^2 = |KH| \cdot |HM|

).

2

HM uzunluğu yardımıyla hipotenüsün (KM) tamamının uzunluğunu bulun.

|KM| = 25\text{ cm}

|KM| = |KH| + |HM| = 9 + 16 = 25\text{ cm}

'dir.

3

Öklid'in kenar bağıntısını kullanarak LM uzunluğunu hesaplayın.

|LM| = 20\text{ cm}

Dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (

|LM|^2 = |HM| \cdot |KM| \implies |LM|^2 = 16 \cdot 25 = 400 \implies |LM| = 20\text{ cm}

).

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları

Alternatif Yöntem

LHM dik üçgeninde kenar uzunlukları 12 ve 16 olan dik kenarlar, 3-4-5 özel üçgeninin 4 katı (12-16-20) olduğundan, hipotenüs olan

|LM|

doğrudan 20 cm olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $[AD]$ doğrusu $A$ açısının iç açıortay doğrusudur. $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $ABC$ üçgeninin çevresi $45\text{ cm}$ , $|BD| = 6\text{ cm}$ ve $|DC| = 9\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç $\text{ cm}$ 'dir?

10

12

15

14

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

Üçgende iç açıortay teoremi gereğince, açıortayın karşı kenarda böldüğü parçaların oranı, bu parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir. Soruda verilen

|BC| = 6 + 9 = 15\text{ cm}

değeri toplam çevreden çıkarıldığında geriye kalan iki kenarın toplamı

|AB| + |AC| = 30\text{ cm}

olur. Açıortay teoreminden

|AB| / |AC| = 6/9 = 2/3

oranı elde edilir. Dolayısıyla

|AB| = 2k

ve

|AC| = 3k

yazıldığında

5k = 30

ve buradan

k = 6\text{ cm}

bulunur. İstenen

|AB| = 2k = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 12 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

BC kenarının toplam uzunluğunu hesaplayın.

|BC| = |BD| + |DC| = 6 + 9 = 15\text{ cm}

D noktası [BC] kenarı üzerinde olduğundan, parçaların toplamı tüm kenarı verir.

2

Diğer iki kenarın toplam uzunluğunu bulun.

|AB| + |AC| = 45 - 15 = 30\text{ cm}

Üçgenin çevresi 45 cm olup, çevre tüm kenarların toplamına eşittir.

3

İç açıortay teoremini uygulayarak kenarlar arasındaki oranı kurun.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Bir üçgende iç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

4

Orantı sabitini kullanarak kenarları harflendirin ve bilinmeyeni çözün.

|AB| = 2k

ve

|AC| = 3k \implies 2k + 3k = 30 \implies 5k = 30 \implies k = 6

Kenarların oranından yola çıkarak toplam denkleminde yerine yazıp orantı sabitini buluruz.

5

İstenen AB kenarının uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = 2k = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

AB kenarı orantıya göre 2k değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende İç Açıortay Teoremi

Soru 11Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenar�� üzerinde, bu kenarın uç noktalarından farklı bir noktadır. $|AB| = 9\text{ cm}$ , $|AD| = 7\text{ cm}$ ve $|AC| = 12\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, $BC$ kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaç santimetredir?

34

35

36

37

38

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Doğru cevap 36 santimetredir.

Doğru olan 36 değerine ulaşmak için,

[AD]

keseninin

7\text{ cm}

olmasının

BC

kenarını alttan sınırladığı görülmelidir.

AD

kenarı

[BC]

kenarına dik olduğunda

BC

en küçük değerini alır ve bu değer

\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm}

'dir. Buradan en küçük tam sayı değeri 16 olur. Üçgen eşitsizliğine göre en büyük değer ise 21'den küçük olmalıdır, yani en büyük tam sayı değeri 20'dir. Bu iki değerin toplamı 36 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Açı-kenar bağıntılarını kullanarak

D

noktasının konumuna göre

[BC]

üzerindeki doğru parçalarının sınırlarını belirlemek.

D

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan

m(\widehat{ADB}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ

olur. Bu açılardan en az biri

90^\circ

veya daha büyüktür.

Doğrusal bir doğru parçası üzerindeki bir noktada oluşan komşu iki açının toplamı

180^\circ

olmalıdır.

2

Dar/geniş açı bağıntılarını kullanarak en küçük sınır durumunu (yüksekliğin

AD

olduğu durum) hesaplamak.

AD \perp BC

olduğunda

BC

en küçük değerini alır. Bu durumda

BD = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{32} \approx 5,66\text{ cm}

ve

CD = \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{95} \approx 9,75\text{ cm}

olur. Buradan

BC

en az

\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm}

olmalıdır.

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesi dikme (yükseklik) olduğundan, yükseklik en fazla

AD = 7\text{ cm}

olabilir. Bu da tabanın minimum s��nırını belirler.

3

ABC

üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanarak en büyük sınır değerini bulmak.

|BC| < |AB| + |AC| \Rightarrow |BC| < 9 + 12 = 21\text{ cm}

olmalıdır.

Üçgen oluşturabilme kuralı gereğince bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük olmalıdır.

4

Elde edilen aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.

15,41 \leq |BC| < 21

aralığında en küçük tam sayı değeri 16, en büyük tam sayı değeri 20'dir. Toplamları

16 + 20 = 36

'dır.

Sınır değerleri arasındaki en küçük ve en büyük tam sayılar belirlenerek soru çözülür.

Anahtar Kavram

Üçgende yardımcı elemanlar ile kenar uzunlukları arasındaki açı-kenar ilişkileri ve yükseklik sınırı.

İpuçları

1

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası, o köşeden indirilen yükseklikten daha kısa olamaz. Bu kuralı kullanarak en küçük sınır değerini bulmaya çalışın.

2

AD

uzunluğu en küçük değerini

AD \perp BC

olduğunda alır. Bu durumda oluşacak iki dik üçgende Pisagor teoremini uygulayarak

BD

ve

CD

uzunluklarının alt sınırlarını bulun.

3

BC

uzunluğunun en küçük değeri için

BC = \sqrt{9^2 - 7^2} + \sqrt{12^2 - 7^2}

toplamını hesaplayın. En büyük değer için ise

ABC

üçgenindeki genel üçgen eşitsizliğini (

BC < AB + AC

) göz önünde bulundurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, geniş açılı bir üçgende çizilen iç kesenlerin sınır değerlerini bulmaya yönelik soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Stewart Teoremi kullanılarak

AD^2 = \frac{AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD}{BC} - BD \cdot CD

bağıntısı yardımıyla,

BD = x

ve

CD = y

değişkenleri için

x+y

toplamının minimum değeri türev veya eşitsizlik analizleri ile de bulunabilir. Ancak yükseklik sınırını kullanmak çok daha hızlı ve pratiktir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 12Soru →

Düşey bir duvara yaslanmış olan bir merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı $7$ birim, üst ucunun yerden yüksekliği ise $24$ birimdir. Bu merdivenin üst ucu aşağıya doğru $9$ birim kaydırıldığında, merdivenin alt ucu kaç birim sağa doğru kayar?

9

11

13

15

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13$

Cevap

Merdivenin alt ucu sağa doğru

13

birim kayar.

Doğru seçenekte belirtilen değer, merdivenin boyunun

7

-

24

-

25

özel üçgeni yardımıyla

25

birim olarak bulunması ve ikinci durumda yüksekliğin

15

birim olmasıyla oluşan

15

-

20

-

25

(

3

-

4

-

5

üçgeninin

5

katı) üçgeni kullanılarak yeni taban uzaklığının

20

birim olarak hesaplanmasıyla elde edilir. Son konum ile ilk konum arasındaki fark (

20 - 7

) alındığında kayma miktarı

13

birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Merdivenin boyunu (hipotenüs) hesaplamak için ilk durumdaki dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

L^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625

buradan merdivenin boyu

L = 25

birim bulunur.

Merdiven kaydığında boyu değişmeyeceğinden, ikinci durumdaki dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmak için bu değer gereklidir.

2

Merdivenin üst ucu

9

birim aşağ�� kaydığında oluşan yeni yüksekliği belirleyin.

Yeni yükseklik

24 - 9 = 15

birim olur.

İkinci durumdaki dik üçgenin dikey kenar uzunluğunu elde etmek için.

3

İkinci durumdaki dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak merdivenin alt ucunun duvara olan yeni uzaklığını bulun.

x_{yeni}^2 + 15^2 = 25^2 \implies x_{yeni}^2 + 225 = 625 \implies x_{yeni}^2 = 400 \implies x_{yeni} = 20

birim.

Merdivenin alt ucunun ulaştığı son noktayı belirlemek için.

4

Merdivenin alt ucunun ilk konumu ile son konumu arasındaki farkı hesaplayarak kayma miktarını bulun.

20 - 7 = 13

birim.

Soruda istenen kayma miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyen Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) ve özel dik üçgenler (

7

-

24

-

25

ve

15

-

20

-

25

üçgenleri).

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir düzlemde, $A$ noktasından harekete başlayan bir karınca önce $5$ cm güneye, ardından $12$ cm doğuya ilerleyerek $B$ noktasına ulaşmıştır. Buna göre, $A$ ile $B$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç santimetredir?

7

17

13

15

\sqrt{119}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

En kısa uzaklık 13 santimetredir.

Karıncanın güneye ve doğuya doğru yaptığı hareketler birbirine dik olduğundan bir dik üçgen oluşur. Bu dik üçgenin dik kenarları 5 cm ve 12 cm'dir. En kısa uzaklık bu dik üçgenin hipotenüsü olan [AB] uzunluğudur. Pisagor bağıntısı (

5^2 + 12^2 = x^2

) uygulandığında

x^2 = 169

ve

x = 13

cm bulunur. Bu durum aynı zamanda 5-12-13 özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Karıncanın hareketini geometrik olarak modelleyin.

Güneye doğru 5 cm ve doğuya doğru 12 cm olan hareketler, birbirine dik iki doğru parçası oluşturur. Başlangıç noktası A, yön değiştirme noktası C ve varış noktası B olsun. [AC] ve [CB] doğru parçaları C noktasında dik kesişir.

Yönler (kuzey/güney ve doğu/batı) birbirine diktir, bu nedenle hareket bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur.

2

En kısa uzaklığı bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2

bağıntısından

|AB|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

bulunur.

İki nokta arasındaki en kısa uzaklık, onları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur ve bu uzunluk dik üçgende hipotenüse karşılık gelir.

3

Hipotenüs uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = \sqrt{169} = 13

cm elde edilir.

Karesi 169 olan pozitif sayı 13'tür (bu üçgen 5-12-13 özel dik üçgenidir).

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanılır.

Soru 14Soru →

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor.

Bu üçgenin bir kenar uzunluğu $8\text{ cm}$ ve $AD = 7\text{ cm}$ olduğuna göre, $BD$ ve $CD$ do��ru parçalarının uzunluklarının çarpımı kaç $\text{cm}^2$ dir?

10

12

14

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Eşkenar üçgende yükseklik çizilerek veya Stewart teoremi kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda

BD

ve

CD

uzunluklarının çarpımı

15

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

15

seçeneği, eşkenar üçgende

A

köşesinden indirilen yüksekliğin tabanı iki eşit parçaya (

4\text{ cm}

ve

4\text{ cm}

) bölmesi ve yükseklik uzunluğunun

4\sqrt{3}\text{ cm}

bulunması esasına dayanır. Ardından

ADH

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak

D

noktasının yüksekliğin ayağına olan mesafesi

1\text{ cm}

bulunur. Buradan tabanda ayrılan parçalar

3\text{ cm}

ve

5\text{ cm}

olarak elde edilir, çarpımları ise

15

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

eşkenar üçgeninde

A

köşesinden

[BC]

kenarına

AH

yüksekliği indirilir.

BH = HC = 4\text{ cm}

olur.

Eşkenar üçgende indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel dik üçgeni özellikleri kullanılarak

AH

yüksekliğinin uzunluğu hesaplanır.

AH = 4\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısının

\sqrt{3}

katıdır.

3

ADH

dik ü��geninde Pisagor bağıntısı uygulanır.

AD^2 = AH^2 + DH^2 \Rightarrow 7^2 = (4\sqrt{3})^2 + DH^2 \Rightarrow 49 = 48 + DH^2 \Rightarrow DH^2 = 1 \Rightarrow DH = 1\text{ cm}

bulunur.

Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

4

BD

ve

CD

doğru parçalarının uzunlukları hesaplanır.

BD = BH - DH = 4 - 1 = 3\text{ cm}

ve

CD = CH + DH = 4 + 1 = 5\text{ cm}

(veya tam tersi) elde edilir.

D

noktasının

[BC]

üzerindeki konumuna göre parçaların uzunlukları belirlenir.

5

Elde edilen uzunluklar çarpılır.

BD \cdot CD = 3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2

bulunur.

Soruda bizden istenen çarpım değerine ulaşmak içindir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende yükseklik çizerek dik üçgen elde etme ve Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar parçalarını bulma.

İpuçları

1

Eşkenar üçgenin

A

köşesinden tabana bir yükseklik indirmeyi deneyin. Bu yükseklik tabanı iki eşit parçaya bölecektir.

2

İndirdiğiniz yüksekliğin uzunluğunu

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni özelliklerinden bulun ve yüksekliğin tabana değdiği nokta olan

H

ile

D

arasındaki mesafeyi bulmak için oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

3

AD^2 = AH^2 + DH^2

bağıntısından

DH

uzunluğunu bulun. Buradan

BD

ve

CD

uzunluklarını ayrı ayrı hesaplayıp çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantık kullanarak, eşkenar üçgenin dış bölgesinde alınan bir noktanın köşelere olan uzaklık ilişkilerini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşkenar üçgenlerde Stewart Teoremi doğrudan uygulanabilir. Bir kenarı

a

olan eşkenar üçgende taban üzerindeki bir noktanın köşeye uzaklığı

d

, tabanda ayırdığı parçalar

x

ve

y

ise, Stewart teoremine göre

d^2 = a^2 - x \cdot y

bağıntısı geçerlidir. Buradan

7^2 = 8^2 - BD \cdot CD \Rightarrow 49 = 64 - BD \cdot CD \Rightarrow BD \cdot CD = 15

pratik bir şekilde hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $[BC]$ hipotenüsü üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları işaretleniyor.

$|AD| = |AE| = 5$ birim, $|BD| = 3$ birim ve $|EC| = 5$ birim olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç birimdir?

2

3

4

1

\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen |DE| uzunluğu 2 birimdir.

Çözümde elde edilen x = 1 değeri |DE| = 2x ilişkisinde yerine konulduğunda, aranan uzunluğun 2 birim olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

A köşesinden BC hipotenüsüne AH dikmesi indirin.

AH yükseklik doğrusu elde edilir.

Pisagor bağıntısını uygulayabileceğimiz dik üçgenler oluşturmak için.

2

|AD| = |AE| = 5 birim olduğundan, ADE ikizkenar üçgendir. Dolayısıyla, AH yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. |DH| = |HE| = x diyelim.

|DE| = 2x birim olur.

İkizkenar üçgende tabana inen yüksekliğin kenarortay olması özelliğini kullanmak için.

3

|BD| = 3 ve |EC| = 5 verildiğinden, |BH| ve |HC| uzunluklarını x cinsinden yazın.

|BH| = 3 + x ve |HC| = x + 5 olur.

Oluşan daha büyük dik üçgenlerin kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.

4

ADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı yazarak |AH|^2 ifadesini bulun.

|AH|^2 = 25 - x^2 elde edilir.

Yüksekliğin karesini x cinsinden ifade edip diğer Pisagor bağıntılarında yerine koyabilmek için.

5

ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AB|^2 ve |AC|^2 ifadelerini x cinsinden bulun.

|AB|^2 = 34 + 6x ve |AC|^2 = 50 + 10x elde edilir.

ABC büyük dik üçgeninin dik kenarlarının karelerini x cinsinden elde etmek için.

6

ABC dik üçgeninde |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 bağıntısını kurun.

(34 + 6x) + (50 + 10x) = (2x + 8)^2 denkleminden x^2 + 4x - 5 = 0 elde edilir.

Büyük üçgenin dik üçgen olmasından dolayı Pisagor bağıntısını tamamlamak için.

7

Elde edilen denklemi çözün ve |DE| uzunluğunu hesaplayın.

x = 1 (x > 0 olmalıdır) ve buradan |DE| = 2x = 2 birim bulunur.

Denklemin pozitif kökünü bulup istenen uzunluğa ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkizkenar ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntılarının ortak çözümü

Soru 16Soru →

Bir

ABC

dik üçgeninde

[AB] \perp [AC]

ve

[AH] \perp [BC]

'dir. Üçgenin dik kenar uzunlukları olan

|AB| = c

ve

|AC| = b

birer pozitif tam sayıdır. Bu üçgende dik kenar uzunlukları ile hipotenüse ait yükseklik arasında

\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{144}

bağıntısı bulunduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu olan

|BC|

kaç

\text{cm}

'dir?

13

15

20

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Hipotenüsün uzunluğu 25 cm'dir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, dik kenar uzunlukları pozitif tam sayı olan ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Öklid bağıntısından elde edilen

b^2 c^2 - 144b^2 - 144c^2 = 0

denklemini sağlayan tam kare değerler araştırıldığında, dik kenarların

15\text{ cm}

ve

20\text{ cm}

olduğu benzersiz şekilde belirlenir. Buradan Pisagor bağıntısı ile hipotenüs

25\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Öklid bağıntılarından biri olan

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}

formülünü kullanarak

[BC]

hipotenüsüne ait yüksekliği (

h = |AH|

) bulalım.

h = 12\text{ cm}

Verilen denklemde

\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{144}

olduğuna göre,

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{144} \implies h^2 = 144 \implies h = 12

bulunur.

2

Dik üçgende alan veya Öklid bağıntısı gereği, dik kenarların çarpımının hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu yazalım (

b \cdot c = a \cdot h

, burada

a = |BC|

'dir).

b \cdot c = 12a

h = 12

değerini yerine koyarak dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi kurarız.

3

Pisagor teoremine göre

a^2 = b^2 + c^2

eşitliğini kullanalım ve ikinci adımda elde ettiğimiz ifadenin karesini alarak yerine yazalım.

b^2 c^2 = 144(b^2 + c^2)

(b \cdot c)^2 = 144 a^2

eşitliğinde

a^2

yerine

b^2 + c^2

yazarız.

4

Elde edilen

b^2 c^2 - 144b^2 - 144c^2 = 0

denklemini çarpanlarına ayıralım.

(b^2 - 144)(c^2 - 144) = 20736

Denklemin her iki tarafına

144^2 = 20736

ekleyerek ifadeyi

(b^2 - 144)(c^2 - 144)

şeklinde gruplandırabiliriz.

5

b

ve

c

pozitif tam sayılar olduğundan,

b^2 - 144

ve

c^2 - 144

çarpanlarının

20736

'nın tam kare veren bölenleri olması şartını inceleyelim.

\{b, c\} = \{15, 20\}

b^2

ve

c^2

değerlerinin tam kare olmasını sağlayan tek pozitif tam sayı çifti

15^2 - 144 = 81

ve

20^2 - 144 = 256

olup

81 \cdot 256 = 20736

eşitliğini doğrular.

6

Bulunan dik kenar uzunlukları ile hipotenüs uzunluğunu hesaplayalım.

a = |BC| = 25\text{ cm}

Pisagor bağıntısından

a = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25

elde edilir.

Anahtar Kavram

Öklid bağıntısı yardımıyla yükseklik ve dik kenarlar arasındaki

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}

ilişkisinin kurulması ve bunun tam sayı çözümlere (Diophant denklemi) uygulanması.

İpuçları

1

Öklid bağıntılarından

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}

formülünü kullanarak hipotenüse ait

h

yüksekliğini bulunuz.

2

Alanın korunumu ilkesinden

b \cdot c = a \cdot h

olduğunu ve Pisagor teoreminden

a^2 = b^2 + c^2

olduğunu kullanarak

b^2 c^2 = 144(b^2 + c^2)

denklemini elde ediniz.

3

Elde ettiğiniz denklemi

(b^2 - 144)(c^2 - 144) = 20736

şeklinde çarpanlarına ayırın ve

b^2

ile

c^2

ifadelerinin tam kare olmasını sağlayacak bölenleri belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde yüksekliği

h = 24\text{ cm}

olan ve dik kenarları tam sayı olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

b \cdot c = 12a

eşitliğinde

a

hipotenüsünün tam sayı olması gerektiği düşünülebilir.

12a

ifadesinin tam kare çarpanlarına ayrılmasıyla

b = 15

ve

c = 20

için

a = 25

tam sayı çözümü doğrudan deneme-yanılma yoluyla da doğrulanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 17Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $G$ noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

$|AB| = 12\text{ cm}$ ve $|AC| = 16\text{ cm}$ olduğuna göre, $G$ noktasının $[BC]$ kenarına olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

1,6

2,4

3,2

4,8

9,6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,2$

Cevap

Ağırlık merkezinin

[BC]

kenarına olan en kısa uzaklığı

3,2\text{ cm}

'dir.

Üçgenin alanı yardımıyla hipotenüse ait yükseklik

9,6\text{ cm}

olarak hesaplanır. Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı

2:1

oranında böldüğü için bu noktanın

[BC]

kenarına olan dik uzaklığı da yüksekliğin üçte birine eşit olur. Buradan

9,6 / 3 = 3,2\text{ cm}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak hipotenüs uzunluğu bulunur.

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \implies |BC|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \implies |BC| = 20\text{ cm}

Yüksekliği ve ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için öncelikle hipotenüs uzunluğuna ihtiyaç duyulmaktadır.

2

Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak

[BC]

kenarına ait yükseklik (

h_a

) elde edilir.

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \times |AC|}{2} = \frac{12 \times 16}{2} = 96\text{ cm}^2

ve aynı zamanda

\text{Alan}(ABC) = \frac{|BC| \times h_a}{2} \implies 96 = \frac{20 \times h_a}{2} \implies h_a = 9,6\text{ cm}

Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığı, köşeden kenara inen yüksekliğin belirli bir oranıdır.

3

Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı kullanılarak en kısa uzaklık hesaplanır.

Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı

2:1

oranında böldüğü için kenara olan uzaklık yüksekliğin üçte biridir. Buradan

h_G = \frac{h_a}{3} = \frac{9,6}{3} = 3,2\text{ cm}

olarak bulunur.

Ağırlık merkezinin kenara olan en kısa uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende Ağırlık Merkezi ve Yükseklik İlişkisi

Alternatif Yöntem

Ağırlık merkezinden köşelere çizilen doğrularla oluşan

GBC

üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının üçte biridir.

\text{Alan}(GBC) = \frac{96}{3} = 32\text{ cm}^2

bulunur.

GBC

üçgeninde taban

|BC| = 20\text{ cm}

olduğundan, tabana ait yükseklik

h_G

ise

\frac{20 \times h_G}{2} = 32 \implies h_G = 3,2\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC| = 13\text{ cm}$ ve $|BC| = 10\text{ cm}$ 'dir. $[BC]$ kenarının $C$ köşesi yönündeki uzantısı üzerinde bir $D$ noktası $|CD| = 11\text{ cm}$ olacak şekilde işaretleniyor.

Buna göre, $A$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|AD|$ ) kaç cm'dir?

6\sqrt{5}

28

20

3\sqrt{65}

15\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı ortalar. 5-12-13 özel üçgeninden yükseklik 12 cm bulunur. Uzantı ile birlikte oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 12 cm ve 16 cm olduğundan, hipotenüs (12-16-20 özel üçgeni gereği) 20 cm olarak hesaplanır.

İkizkenar üçgenin tepe noktasından tabana çizilen dikmenin tabanı iki eş parçaya bölmesi kuralından |HC| = 5 cm bulunur. 5-12-13 özel üçgeninden yükseklik |AH| = 12 cm olarak elde edilir. D noktası uzantıda olduğundan |HD| = 5 + 11 = 16 cm olur. Son olarak AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak |AD| = 20 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A köşesinden BC tabanına AH yüksekliği indirilir.

|BH| = |HC| = 5 cm

İkizkenar üçgende tabana çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

2

AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.

|AH| = 12 cm

5-12-13 özel dik üçgeni bağıntısından veya |AH|^2 + 5^2 = 13^2 denkleminden yükseklik bulunur.

3

H, C ve D doğrusal noktaları arasındaki toplam uzaklık (HD) hesaplanır.

|HD| = 16 cm

D noktası uzantı üzerinde olduğundan |HD| = |HC| + |CD| = 5 + 11 = 16 cm olur.

4

AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak AD uzunluğu bulunur.

|AD| = 20 cm

Kenarları 12 cm ve 16 cm olan dik üçgende hipotenüs 3-4-5 üçgeninin 4 katı olan 12-16-20 özel üçgeninden 20 cm olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana çizilen yüksekliğin tabanı iki eşit parçaya bölmesi özelliği ve dik üçgende Pisagor bağıntısının uygulanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ kenarortaydır. $|AB| = 8\text{ cm}$ , $|AC| = 12\text{ cm}$ ve $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|AD| = x$ 'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

17

25

28

33

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Farklı tam sayı değerlerinin toplamı 25 santimetredir.

Kenarortayı uzatarak oluşturulan paralelkenarda, geniş açı kısıtlaması ardışık olan açıyı dar açı yapar. Dar açının karşısındaki kenar olan

2x

için

(2x)^2 < 8^2 + 12^2

bağıntısı kurulur. Buradan

x < \sqrt{52}

elde edilir. Üçgen eşitsizliğinden gelen

x > 2

sınırı ile birleştirildiğinde

2 < x < 7,21

aralığındaki tam sayıların toplamı 25 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu için üçgen eşitsizliği sınırlarını belirlemek amacıyla üçgeni bir paralelkenara tamamlayalım.

[AD]

kenarortayını kendi uzunluğu kadar uzatarak bir

E

noktası alalım ve

ABEC

paralelkenarını oluşturalım. Bu durumda, diagonal

AE = 2x

ve karşı kenar

BE = |AC| = 12\text{ cm}

olur.

ABE

üçgeninde üçgen eşitsizliği uygulanırsa:

|12 - 8| < 2x < 12 + 8 \implies 4 < 2x < 20 \implies 2 < x < 10

elde edilir.

Açı kısıtlamasından bağımsız olarak kenarortay uzunluğunun alabileceği genel değer aralığını belirlemek için.

2

Geniş açı kısıtlamasını (

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

) kullanmak için paralelkenarın açı özelliklerini uygulayalım.

Paralelkenarda ardışık açıların toplamı

180^\circ

olduğundan,

m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABE}) = 180^\circ

olur. Dolayısıyla

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

ise

m(\widehat{ABE}) < 90^\circ

(dar açı) olmalıdır.

Açı kısıtlamasını kenar uzunlukları arasındaki bir eşitsizliğe dönüştürmek için.

3

ABE

üçgeninde

\widehat{ABE}

açısının dar açı olması durumuna göre eşitsizlik kuralını uygulayalım.

Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır:

AE^2 < AB^2 + BE^2 \implies (2x)^2 < 8^2 + 12^2 \implies 4x^2 < 64 + 144 \implies 4x^2 < 208 \implies x^2 < 52

elde edilir. Buradan

x < \sqrt{52}

(yaklaşık

7,21

) bulunur.

Dar açı kuralından gelen üst sınırı belirlemek için.

4

Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek

x

için ortak aralığı bulalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.

2 < x < \sqrt{52}

aralığında

x

'in alabileceği tam sayı değerleri

3, 4, 5, 6, 7

olur. Bu değerlerin toplamı:

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

santimetredir.

Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemi ve açı-kenar bağıntıları (dar/geniş açı sınırları) kullanılarak sınırlandırılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

Boyu $20$ metre olan yere dik konumdaki bir direk, rüzgarın etkisiyle yerden belirli bir yükseklikten kırılmıştır. Kırılan üst kısım, direğin tabanından $12$ metre uzaklıkta bulunan ve yüksekliği $4$ metre olan yere dik bir duvarın üst köşesine yaslanmıştır. Buna göre, direğin kırılma noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?

5

6

6,4

7,5

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,5

Cevap

Direğin kırılma noktasının yerden yüksekliği 7,5 metredir.

Doğru cevap 7,5 metredir. Kırılma noktasının yerden yüksekliğine

x

dersek, kırılan ve duvara yaslanan üst kısmın uzunluğu

20 - x

metre olur. Duvarın yüksekliği

4

metre olduğundan, kırılma noktasından duvara çizilen yatay doğru parçası ile oluşturulan dik üçgenin dik kenarlarından biri

12

metre, diğeri ise

x - 4

metre olur. Bu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında:

12^2 + (x - 4)^2 = (20 - x)^2 \Rightarrow 144 + x^2 - 8x + 16 = 400 - 40x + x^2 \Rightarrow 32x = 240 \Rightarrow x = 7,5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kırılma noktasının yerden yüksekliğini

x

değişkeni ile ifade edin.

Kırılma noktasının yerden yüksekliği

x

metre, kırılan üst parçanın uzunluğu ise

20 - x

metre olur.

Problemi cebirsel olarak modellemek için bilinmeyen yüksekliği tanımlamamız gerekir.

2

Duvarın yüksekliğini kullanarak dik üçgenin dikey kenar uzunluğunu belirleyin.

Dikey kenar uzunluğu

x - 4

metre, yatay kenar uzunluğu ise

12

metredir.

Kırılma noktasından duvarın üst ucuna çizilen dikey mesafe, kırılma noktasının yüksekliği ile duvarın yüksekliği arasındaki fark kadardır.

3

Pisagor bağıntısını kurun ve

x

değerini bulun.

12^2 + (x - 4)^2 = (20 - x)^2

denklemi çözüldüğünde

32x = 240 \Rightarrow x = 7,5

bulunur.

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün (k��rılan parçanın) karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı ve cebirsel modelleme

Üçgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap