Examkin

Cebir

424 soru

Soru 81Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

İfadenin değeri 19'dur.
Verilen denklem xx'e bölünerek x+3/x=5x + 3/x = 5 bulunur. Bu ifadenin karesi alındığında x2+2(x)(3/x)+9/x2=25x^2 + 2(x)(3/x) + 9/x^2 = 25 elde edilir. Ortadaki 2(x)(3/x)2(x)(3/x) terimi sadeleşerek 6 olur. 6 sayısı eşitliğin diğer tarafına eksi olarak geçtiğinde sonuç 25−6=1925 - 6 = 19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denklemini, istenen ifadeye benzetmek için düzenle.
Eşitliğin her iki tarafı xx'e bölünür: x−5+3x=0x - 5 + \frac{3}{x} = 0. Buradan x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 elde edilir.
x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesine ulaşmak için x+3xx + \frac{3}{x} ifadesinin karesini almak gerekir.
2
Elde edilen eşitliğin her iki tarafının karesini al.
(x+3x)2=52\left(x + \frac{3}{x}\right)^2 = 5^2
Tam kare özdeşliğini (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kullanarak açılım yapmak için.
3
Parantez karesini aç ve düzenle.
x2+2⋅x⋅3x+(3x)2=25x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 25 x2+6+9x2=25x^2 + 6 + \frac{9}{x^2} = 25
Orta terimde xx'ler sadeleşir ve geriye sadece sayısal değer kalır.
4
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak sonucu bul.
x2+9x2=25−6=19x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 - 6 = 19
İstenen ifadeyi yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği

İpuçları

1
Sorudaki ifadede x=0x=0 olamayacağından, verilen denklemin her iki tarafını xx'e bölmeyi deneyin.
2
x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 eşitliğini elde ettikten sonra, istenen ifadeye ulaşmak için her iki tarafın karesini alın.
3
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=3xb=\frac{3}{x}'tir. 2ab2ab teriminin sayısal bir değer olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 ise x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} kaçtır? sorusunu çözerek eksili durumlardaki işaret değişimini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer x2=5x−3x^2 = 5x - 3 yazıp istenen ifadede yerine koyarsanız işlem çok uzayabilir ancak yine de sonuca ulaşılabilir. Özdeşlik kullanmak en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 82Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x<x2<∣x∣ x < x^2 < |x|
y>y2 y > y^2
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: xy<x\frac{x}{y} < x

Cevap

Negatif bir sayının (0, 1) aralığındaki bir sayıya bölümü kendisinden daha küçüktür (x/y < x).
Verilen eşitsizliklerden xx'in (−1,0)(-1, 0) ve yy'nin (0,1)(0, 1) aralığında olduğu sonucuna varılır. 0<y<10 < y < 1 durumu 1y>1\frac{1}{y} > 1 anlamına gelir. Bu eşitsizlik negatif bir sayı olan xx ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirerek xy<x\frac{x}{y} < x halini alır. Bu ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x<x2<∣x∣x < x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
−1<x<0-1 < x < 0
xx pozitif olsaydı x<x2x < x^2 durumu x>1x > 1 gerektirirdi ancak bu durumda x2<xx^2 < x olamazdı. xx negatif olduğunda x2<−xx^2 < -x ifadesi x>−1x > -1 sonucunu verir.
2
y>y2y > y^2 eşitsizliğini analiz et.
0<y<10 < y < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 aralığındaki bir pozitif basit kesirdir.
3
xy\frac{x}{y} ve xx ifadelerini karşılaştır.
xy<x\frac{x}{y} < x
0<y<10 < y < 1 olduğundan 1y>1\frac{1}{y} > 1 olur. Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan xx sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: x⋅1y<x⋅1x \cdot \frac{1}{y} < x \cdot 1.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sayıların kuvvetlerine göre aralık tayini.

İpuçları

1
xx ve yy sayıları için belirlenen aralıkların işaretlerini kontrol edin.
2
x<x2<∣x∣x < x^2 < |x| olması xx'in −1-1 ile 00 arasında bir değer alması gerektiğini gösterir.
3
Negatif bir sayıyı 00 ile 11 arasındaki bir sayıya böldüğünüzde sayının mutlak değeri büyür, ancak işareti negatif olduğu için değeri küçülür.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer ve eşitsizliklerin bir arada kullanıldığı karmaşık soru tiplerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 83Soru →
20263+120262−2025 \frac{2026^3 + 1}{2026^2 - 2025}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2027

Cevap

İşlemin sonucu 2027'dir.
Verilen ifade, iki küp toplamı özdeşliğinin sayısal bir uygulamasıdır. 20262026 sayısına xx denildiğinde, pay x3+1x^3+1, payda ise x2−(x−1)=x2−x+1x^2-(x-1) = x^2-x+1 olur. İki küp toplamı formülü (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1) şeklinde açıldığında, paydadaki ifade ile sadeleşir ve geriye sadece x+1x+1 kalır. 2026+1=20272026+1 = 2027 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayısal ifadeyi cebirsel bir yapıya dönüştürmek için x=2026x = 2026 değişken ataması yapılır.
x3+1x2−(x−1) \frac{x^3 + 1}{x^2 - (x - 1)}
Büyük sayılarla doğrudan işlem yapmak yerine özdeşliklerden yararlanmak için değişken kullanmak kolaylık sağlar. Paydadaki 20252025 sayısı, 2026−12026 - 1 yani x−1x - 1 olarak ifade edilir.
2
Paydadaki parantez açılır ve ifade düzenlenir.
x2−x+1 x^2 - x + 1
x2−(x−1)=x2−x+1x^2 - (x - 1) = x^2 - x + 1 olur.
3
Pay kısmındaki iki küp toplamı özdeşliği (a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)) uygulanır.
x3+1=(x+1)(x2−x+1) x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Burada 11 sayısı 131^3 olarak düşünülür.
4
Elde edilen ifadeler kesirde yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.
(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1 \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1
Pay ve paydadaki (x2−x+1)(x^2 - x + 1) çarpanları birbirini götürür.
5
Sonuçta xx değeri yerine yazılır.
2026+1=20272026 + 1 = 2027
Değişken geriye dönüştürülerek sayısal sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Küp Toplamı Özdeşliği

İpuçları

1
Büyük sayıların kuvvetlerini hesaplamaya çalışmak yerine, 20262026 sayısına bir değişken (örneğin xx) atamayı deneyin.
2
Paydadaki 20252025 sayısını, xx türünden (x−1x-1) olarak yazın ve paydayı düzenleyin.
3
Pay kısmında x3+1=x3+13x^3 + 1 = x^3 + 1^3 eşitliğini kullanarak iki küp toplamı özdeşliğini uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x3−1x^3 - 1 özdeşliğini kullanan sorular çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemi ile x3+1x^3+1 ifadesi x2−x+1x^2-x+1 ifadesine bölünerek bölümün x+1x+1 olduğu da görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 84Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her (x,y)(x, y) ve (a,b)(a, b) ikilisi için
(x,y)Δ(a,b)=(x⋅a,  y+b+3)(x, y) \Delta (a, b) = (x \cdot a, \; y + b + 3)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işleme göre tersi (14,−5)\left(\frac{1}{4}, -5\right) olan eleman aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (4,−1)(4, -1)

Cevap

İşleme göre tersi verilen eleman (4,−1)(4, -1) ikilisidir.
Verilen işlemde öncelikle birim eleman bulunur. (x,y)Δ(e1,e2)=(x,y)(x, y) \Delta (e_1, e_2) = (x, y) eşitliğinden birim eleman e=(1,−3)e=(1, -3) olarak elde edilir. Tersi (1/4,−5)(1/4, -5) olan elemana (k,m)(k, m) dersek, bu iki elemanın işlemi birim elemanı vermelidir. Kurulan (k,m)Δ(1/4,−5)=(1,−3)(k, m) \Delta (1/4, -5) = (1, -3) denkleminden k=4k=4 ve m=−1m=-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin Birim (Etkisiz) Elemanını (e1,e2)(e_1, e_2) bulalım.
e=(1,−3)e = (1, -3)
Birim eleman tanımı gereği (x,y)Δ(e1,e2)=(x,y)(x, y) \Delta (e_1, e_2) = (x, y) olmalıdır.
1. Bileşen: x⋅e1=x⇒e1=1x \cdot e_1 = x \Rightarrow e_1 = 1.
2. Bileşen: y+e2+3=y⇒e2+3=0⇒e2=−3y + e_2 + 3 = y \Rightarrow e_2 + 3 = 0 \Rightarrow e_2 = -3.
2
Aranan elemana (k,m)(k, m) diyerek, ters eleman tanımını uygulayalım.
Denklem: (k,m)Δ(1/4,−5)=(1,−3)(k, m) \Delta (1/4, -5) = (1, -3)
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir. Aranan eleman (k,m)(k, m) ve tersi (1/4,−5)(1/4, -5) ise, bu ikisinin işlemi (1,−3)(1, -3) olmalıdır.
3
Birinci ve ikinci bileşenler için denklemleri çözelim.
k=4k=4 ve m=−1m=-1
1. Bileşen: k⋅14=1⇒k=4k \cdot \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow k = 4.
2. Bileşen: m+(−5)+3=−3⇒m−2=−3⇒m=−1m + (-5) + 3 = -3 \Rightarrow m - 2 = -3 \Rightarrow m = -1.
Sonuç: (4,−1)(4, -1).

Anahtar Kavram

İşlem konusunda birim eleman ve ters eleman bulma yöntemi.

İpuçları

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee için (x,y)Δe=(x,y)(x, y) \Delta e = (x, y) olmalıdır.
2
Birim elemanı (e1,e2)(e_1, e_2) olarak düşünürsen: x⋅e1=xx \cdot e_1 = x ve y+e2+3=yy + e_2 + 3 = y denklemlerini çözmelisin.
3
Birim eleman (1,−3)(1, -3) tür. Şimdi aradığın eleman (k,m)(k, m) ile verilen ters elemanı (1/4,−5)(1/4, -5) işleme sokup sonucu (1,−3)(1, -3)'e eşitle.

Daha Fazla Pratik

Değişme özelliği olmayan bir işlemde soldan ve sağdan ters eleman kavramlarını inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 85Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=xy+2x+2y+2x \Delta y = xy + 2x + 2y + 2
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, bu işleme göre 3 sayısının tersi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −95-\frac{9}{5}

Cevap

İşlemdeki 3 sayısının tersi -9/5'tir.
Verilen işlemde bir elemanın tersini bulmak için iki aşamalı bir yol izlenmelidir. İlk olarak işlemin etkisiz elemanı (ee) bulunur (xΔe=xx \Delta e = x kuralından e=−1e=-1). Daha sonra 3'ün tersi olan sayıya kk denilerek, 3Δk=e3 \Delta k = e denklemi çözülür. Bu denklem sonucunda 5k=−95k = -9 bulunarak doğru cevap olan −95-\frac{9}{5} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Etkisiz elemanı (e) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kur.
x⋅e+2x+2e+2=xx \cdot e + 2x + 2e + 2 = x
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce işlemin birim (etkisiz) elemanının bilinmesi gerekir.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek e değerini bul.
x(e+1)+2(e+1)=0⇒(x+2)(e+1)=0x(e+1) + 2(e+1) = 0 \Rightarrow (x+2)(e+1) = 0. Her xx için sağlanması gerektiğinden e+1=0e+1=0 olup e=−1e = -1 bulunur.
Etkisiz eleman, işleme girdiği her elemanı kendisine eşitleyen elemandır.
3
3 sayısının tersine kk diyerek, ters eleman tanımı olan 3Δk=e3 \Delta k = e eşitliğini kur.
3⋅k+2(3)+2k+2=−13 \cdot k + 2(3) + 2k + 2 = -1
Bir sayının işleme göre tersi ile işleme girmesi sonucu etkisiz elemanı vermelidir.
4
Oluşan denklemi kk için çöz.
3k+6+2k+2=−1⇒5k+8=−1⇒5k=−9⇒k=−953k + 6 + 2k + 2 = -1 \Rightarrow 5k + 8 = -1 \Rightarrow 5k = -9 \Rightarrow k = -\frac{9}{5}
Bilinmeyen ters elemanı yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İşlemde Ters Eleman
Soru 86Soru →
x<0x < 0 olmak üzere,
∣5x∣−3xx2 \frac{|5x| - 3x}{\sqrt{x^2}}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İşlemin sonucu 8'dir.
Verilen x<0x < 0 koşuluna göre mutlak değerlerin işaretleri belirlenir. ∣5x∣|5x| ifadesinde içerisi negatif olduğundan dışarı −5x-5x olarak çıkar. x2\sqrt{x^2} ifadesi ∣x∣|x|'e eşittir ve xx negatif olduğu için dışarı −x-x olarak çıkar. İfade −5x−3x−x\frac{-5x - 3x}{-x} haline gelir. Bu da −8x−x\frac{-8x}{-x} demektir. xx'ler sadeleşince sonuç 88 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen koşulu analiz et.
x < 0 olduğu için x negatif bir sayıdır.
Mutlak değer ve kök dışına çıkarma işlemleri için işaret tespiti gereklidir.
2
Mutlak değerli ifadeleri işaretten kurtar.
|5x| ifadesinde 5x negatiftir, bu yüzden dışarı -5x olarak çıkar.
Negatif sayıların mutlak değeri, sayının -1 ile çarpılmasına eşittir.
3
Köklü ifadeyi mutlak değere çevirip çıkar.
sqrt(x^2) = |x| demektir. x negatif olduğu için |x| = -x olarak çıkar.
Çift dereceli kökler dışarı mutlak değer içinde çıkar.
4
Bulunan değerleri kesirde yerine koy ve sadeleştir.
(-5x - 3x) / (-x) = (-8x) / (-x) = 8
Pay ve paydadaki x değişkenleri sadeleşir ve işaretler düzenlenir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değer ve Köklü Sayı İlişkisi

İpuçları

1
Önce xx değişkeninin işaretini (+,−+,-) belirleyin ve mutlak değer içindeki ifadelerin işaretine karar verin.
2
x2\sqrt{x^2} ifadesinin her zaman ∣x∣|x|'e eşit olduğunu unutmayın.
3
x<0x < 0 olduğu için ∣5x∣=−5x|5x| = -5x ve ∣x∣=−x|x| = -x olacaktır. Şimdi yerlerine yazıp sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, a<b<0a < b < 0 koşulu altında ∣a+b∣−a2|a+b| - \sqrt{a^2} işlemini inceleyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 87Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
aΔb=a2+b2−aba \Delta b = a^2 + b^2 - ab
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4Δ34 \Delta 3 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İşlem tanımına göre 4Δ34 \Delta 3 ifadesinin değeri 13 olarak bulunur.
İşlem kuralında aa yerine 4, bb yerine 3 yazıldığında 42=164^2 = 16, 32=93^2 = 9 ve 4×3=124 \times 3 = 12 değerleri elde edilir. Bu değerler kurala göre 16+9−1216 + 9 - 12 şeklinde işleme alındığında 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri eşleştirin.
a=4a = 4 ve b=3b = 3
İşlem tanımındaki ilk sayı aa, ikinci sayı bb yerine yazılmalıdır.
2
Sayıları işlem formülünde yerine koyun.
42+32−(4×3)4^2 + 3^2 - (4 \times 3)
Tanımlanan kuralı uygulamak için her değişkenin sayısal değeri yerleştirilir.
3
Üslü ifadeleri ve çarpma işlemini hesaplayın.
16+9−1216 + 9 - 12
İşlem önceliğine göre önce kuvvetler ve çarpma yapılır.
4
Toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
25−12=1325 - 12 = 13
Sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
Bu soruda Δ\Delta sembolü size özel bir kural tarif ediyor. Sembolün solundaki sayı aa, sağındaki sayı ise bb yerine geçecektir.
2
Eşitliğin sağ tarafında aa gördüğünüz her yere 4, bb gördüğünüz her yere 3 yazarak yeni bir matematiksel ifade oluşturun.
3
Oluşturduğunuz 42+32−4×34^2 + 3^2 - 4 \times 3 ifadesinde önce kareleri alıp sonra çarpmayı yapın, en son toplama ve çıkarmayı bitirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda negatif sayılar kullanarak işaret kurallarını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 88Soru →

Bir kamu laboratuvarında hazırlanan bir dezenfektan karışımında bulunan AA, BB ve CC maddelerinin miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA maddesinin miktarının BB maddesinin miktarına oranı 35\frac{3}{5}'tir.
* BB maddesinin miktarının CC maddesinin miktarına oranı 23\frac{2}{3}'tür.

Bu karışımın toplam ağırlığı 620620 gram olduğuna göre, karışımda bulunan CC maddesi kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Karışımda bulunan C maddesi 300 gramdır.
Verilen iki farklı orantıdaki ortak terim olan B maddesi, miktar olarak eşitlendiğinde (10 birim) A maddesi 6 birim, C maddesi ise 15 birim olur. Toplam 31 birimlik karışım 620 grama eşit olduğunda her bir birim (k) 20 grama karşılık gelir. Buradan hareketle 15 birim olan C maddesinin ağırlığı 300 gram olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olan maddeyi (B) her iki oranda da aynı katsayı ile ifade etmek için oranları genişletin.
AB=35\frac{A}{B} = \frac{3}{5} (2 ile genişletilirse: 610\frac{6}{10}) ve BC=23\frac{B}{C} = \frac{2}{3} (5 ile genişletilirse: 1015\frac{10}{15})
Her iki orantıda da yer alan B maddesinin miktarını ortak bir paydada (EKOK(5, 2) = 10) eşitleyerek tüm maddeler arasında tek bir orantı kurmak gerekir.
2
Maddeleri ortak bir orantı sabiti (kk) cinsinden tanımlayın.
A=6k,B=10k,C=15kA = 6k, B = 10k, C = 15k
Maddelerin miktarları artık birbiriyle tutarlı bir oranda ifade edilmiştir.
3
Toplam ağırlığı kullanarak orantı sabitini (kk) hesaplayın.
6k+10k+15k=620⇒31k=620⇒k=206k + 10k + 15k = 620 \Rightarrow 31k = 620 \Rightarrow k = 20
Karışımın toplam ağırlığı, bileşenlerinin toplamına eşittir.
4
CC maddesinin miktarını bulun.
C=15k=15×20=300C = 15k = 15 \times 20 = 300 gram
C maddesi orantıda 15 paya sahiptir.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı (Ortak terimler üzerinden oranları eşitleme)

İpuçları

1
Her iki oranda da ortak olan madde hangisidir ve miktarları aynı mıdır?
2
B maddesini temsil eden sayıları (5 ve 2) en küçük ortak katları olan 10 sayısında eşitlemeyi deneyin.
3
Oranları eşitledikten sonra A=6k, B=10k ve C=15k olarak alıp toplamı 620'ye eşitleyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, oranlardan birinin ters orantı olarak verildiği durumlar için çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 89Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
3x−6=9 3x - 6 = 9
denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 5 olarak bulunur.
Verilen denklemde öncelikle −6-6 sayısı eşitliğin sağına +6+6 olarak geçirilir. Bu durumda 3x=9+63x = 9 + 6 yani 3x=153x = 15 elde edilir. Son olarak xx'i yalnız bırakmak için her iki taraf 33'e bölündüğünde x=5x = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki sabit terimi karşıya atın.
3x=9+63x = 9 + 6
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için yanındaki sabit sayıları eşitliğin diğer tarafına işaretlerini değiştirerek geçiririz.
2
Sağ taraftaki toplama işlemini gerçekleştirin.
3x=153x = 15
Eşitliğin sağ tarafındaki sayısal değerleri tek bir toplam haline getiririz.
3
Eşitliğin her iki tarafını bilinmeyenin katsayısına bölün.
x=153⇒x=5x = \frac{15}{3} \Rightarrow x = 5
xx değerini tam olarak bulmak için her iki tarafı xx'in önündeki çarpım durumunda olan 3 sayısına böleriz.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

İpuçları

1
Denklemi çözerken amacımız xx harfini tek başına bırakmaktır.
2
Eşitliğin solundaki −6-6 sayısını karşıya geçirirken işaretini ++ yapmayı unutmayın.
3
3x=153x = 15 aşamasına geldiğinizde, xx'i bulmak için 15'i 3'e bölmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Değişkenin önündeki katsayının negatif olduğu (örneğin −2x+4=10-2x + 4 = 10) benzer bir denklem çözerek işaret kurallarını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 90Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
∣5x∣−2x∣x∣+∣3y∣+4y∣y∣=6 \frac{|5x| - 2x}{|x|} + \frac{|3y| + 4y}{|y|} = 6
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+y<0x + y < 0

Cevap

xx ve yy sayılarının her ikisinin de negatif olduğunu gösteren seçenek
Verilen eşitliği sağlamak için mutlak değerlerin işaret durumlarını incelememiz gerekir. Birinci ifade x>0x>0 için 3, x<0x<0 için 7 değerini alır. İkinci ifade y>0y>0 için 7, y<0y<0 için -1 değerini alır. Toplamın 6 olması için tek geçerli durum birinci ifadenin 7 (x<0x<0) ve ikinci ifadenin -1 (y<0y<0) olmasıdır. Her iki sayı da negatif olduğunda toplamları kesinlikle negatiftir (x+y<0x+y < 0).

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimi (xx'li ifade) xx'in işaret durumlarına göre incele.
x>0x > 0 ise 5x−2xx=3\frac{5x - 2x}{x} = 3; x<0x < 0 ise −5x−2x−x=7\frac{-5x - 2x}{-x} = 7.
Mutlak değerin tanımı gereği ∣x∣|x|, x>0x>0 iken xx, x<0x<0 iken −x-x olarak çıkar.
2
İkinci terimi (yy'li ifade) yy'nin işaret durumlarına göre incele.
y>0y > 0 ise 3y+4yy=7\frac{3y + 4y}{y} = 7; y<0y < 0 ise −3y+4y−y=−1\frac{-3y + 4y}{-y} = -1.
Benzer şekilde ∣y∣|y|, yy'nin işaretine göre dışarı çıkarılır ve sadeleştirme yapılır.
3
Elde edilen değerlerin toplamının 6 olduğu durumu bul.
Olası toplamlar: (3+7=10)(3+7=10), (3−1=2)(3-1=2), (7+7=14)(7+7=14), (7−1=6)(7-1=6). Sadece son durum (x<0x<0 ve y<0y<0) eşitliği sağlar.
Denklemin çözüm kümesini belirlemek için tüm olasılıklar kontrol edilmelidir.
4
Bulunan x<0x<0 ve y<0y<0 sonucuna göre seçenekleri değerlendir.
İki negatif sayının toplamı daima negatiftir (x+y<0x+y < 0).
Sonuç çıkarımı.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerin Tanımı ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Mutlak değer içeren kesirli ifadelerde, ∣x∣|x| ifadesini x>0x>0 ve x<0x<0 durumlarına göre ayrı ayrı dışarı çıkarıp sadeleştirin.
2
Birinci kesir için: xx pozitifse sonuç 33, negatifse 77 olur. İkinci kesir için benzer değerleri bulun.
3
Elde ettiğiniz olası değerlerden (3, 7) ve (7, -1) hangi ikilinin toplamının 6 ettiğini kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

İç içe mutlak değerlerin olduğu ve xx aralığının sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yapılabilir (örn. x=−1,y=−1x=-1, y=-1). Ancak genel çözüm işaret incelemesiyle yapılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 91Soru →

Bir İl Halk Kütüphanesi Kitap Alım Komisyonu, yeni dönem bütçesini 'Tarih', 'Bilim' ve 'Edebiyat' kategorilerindeki kitap eksikliklerini gidermek için kullanacaktır. Bütçe dağılımı belirlenirken;

* Kategorilere ayrılacak paylar, o kategorideki kitapların ödünç verilme sayıları ile doğru orantılı,
* Kitapların piyasadaki ortalama birim fiyatları ile ters orantılı

olacak şekilde planlanmıştır.

Kategorilere ait veriler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

KategoriÖdünç Verilme Sayısı (Bin)Ortalama Birim Fiyat (TL)
Tarih840
Bilim960
Edebiyat1230

Planlama sonucunda Edebiyat kategorisine ayrılan bütçe, Bilim kategorisine ayrılan bütçeden 15.000 TL fazla olduğuna göre; komisyonun dağıttığı toplam bütçe kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45.000

Cevap

Toplam bütçe 45.000 TL'dir.
Soruda bileşik orantı kurgusu verilmiştir. Bir büyüklük (bütçe payı), ödünç sayısı ile çarpım durumunda (doğru orantı) değil, bölüm durumundadır; fiyat ile ise çarpım durumundadır (ters orantı). Matematiksel olarak Pay = k⋅O¨du¨nc¸Fiyatk \cdot \frac{\text{Ödünç}}{\text{Fiyat}} şeklinde modellenir. Tarih için k⋅840=k5k \cdot \frac{8}{40} = \frac{k}{5}, Bilim için k⋅960=3k20k \cdot \frac{9}{60} = \frac{3k}{20}, Edebiyat için k⋅1230=2k5k \cdot \frac{12}{30} = \frac{2k}{5} bulunur. Paydalar 20'de eşitlendiğinde paylar sırasıyla 4k,3k,8k4k, 3k, 8k olur. Edebiyat ve Bilim farkı (8k−3k=5k8k-3k=5k) 15.000 TL'ye eşitlenerek k=3.000k=3.000 bulunur. Toplam bütçe 15k=45.00015k = 45.000 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Her kategori için orantı katsayısını belirle
Puan = (Ödünç Sayısı) / (Birim Fiyat). Tarih: 8/40, Bilim: 9/60, Edebiyat: 12/30.
Pay, ödünç sayısıyla doğru, fiyatla ters orantılı olduğu için (A/B)·k formülü kullanılır.
2
Kesirleri sadeleştir ve ortak paydada eşitle
Tarih: 1/5 = 4/20. Bilim: 3/20. Edebiyat: 2/5 = 8/20.
Kıyaslama yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir (OKEK(5, 20) = 20).
3
Payları orantı sabiti (k) cinsinden ifade et
Tarih payı: 4k, Bilim payı: 3k, Edebiyat payı: 8k.
Bütçe payları sadeleşmiş kesirlerin payları ile doğru orantılıdır.
4
Verilen fark bilgisini kullanarak k değerini bul
Edebiyat - Bilim = 8k - 3k = 5k. 5k = 15.000 TL ise k = 3.000 TL.
Soruda verilen '15.000 TL fazla' bilgisi denkleme dökülür.
5
Toplam bütçeyi hesapla
Toplam = 4k + 3k + 8k = 15k. 15 * 3.000 = 45.000 TL.
Tüm kategorilerin payları toplanarak bütçe bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı (Doğru ve Ters Orantının Birlikte Kullanımı)

İpuçları

1
Bir çokluk x ile doğru, y ile ters orantılı ise, bu çokluk k⋅xyk \cdot \frac{x}{y} ifadesi ile orantılıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 92Soru →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
−5<x≤3 -5 < x \leq 3
−3≤y<2 -3 \leq y < 2
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−4yx^2 - 4y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 29'dur.
İfadeyi maksimize ve minimize etmek için aralık aritmetiği kullanılmalıdır. xx aralığı negatifi de kapsadığı için karesinin minimum değeri 0'dır (0≤x2<250 \leq x^2 < 25). −4y-4y için eşitsizlik yön değiştirir (−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12). Taraf tarafa toplandığında (−8,37)(-8, 37) aralığı elde edilir. Buradan en büyük tam sayı 36, en küçük tam sayı -7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x2x^2 ifadesinin aralığını bulma
0≤x2<250 \leq x^2 < 25
xx aralığı (−5,3](-5, 3] şeklindedir. Bu aralık 00 noktasını içerdiği için, x2x^2 ifadesinin alabileceği en küçük değer 00'dır. Üst sınır ise mutlak değerce en büyük uç noktanın karesidir (∣−5∣=5→52=25|-5|=5 \to 5^2=25). 25 açık aralıktır çünkü -5 dahil değildir.
2
−4y-4y ifadesinin aralığını bulma
−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12
yy aralığı [−3,2)[-3, 2) şeklindedir. Eşitsizlik −4-4 (negatif sayı) ile çarpıldığında yön değiştirir:
(−4)⋅2<−4y≤(−4)⋅(−3)⇒−8<−4y≤12(-4) \cdot 2 < -4y \leq (-4) \cdot (-3) \Rightarrow -8 < -4y \leq 12.
3
İki aralığı taraf tarafa toplama
−8<x2−4y<37-8 < x^2 - 4y < 37
Alt sınırlar: 0+(−8)=−80 + (-8) = -8 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Üst sınırlar: 25+12=3725 + 12 = 37 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Elde edilen aralık: (−8,37)(-8, 37).
4
En büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplama
36+(−7)=2936 + (-7) = 29
Bu aralıktaki en büyük tam sayı 3636, en küçük tam sayı ise −7-7'dir. Toplamları: 36+(−7)=2936 + (-7) = 29.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken, çift kuvvet alındığında aralığın 0'ı kapsayıp kapsamadığına dikkat edilmelidir. Negatif sayıyla çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirmelidir.
Soru 93Soru →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 119

Cevap

İfadenin doğru değeri 119'dur.
Soruda verilen x−1/xx - 1/x ifadesinden x4+1/x4x^4 + 1/x^4 ifadesine ulaşmak için zincirleme olarak iki kez tam kare alma işlemi uygulanmalıdır. İlk kare almada (a−b)2(a-b)^2 özdeşliğinden gelen -2 terimi karşıya +2 olarak geçer ve ara toplam 11 bulunur. İkinci kare almada (a+b)2(a+b)^2 özdeşliğinden gelen +2 terimi karşıya -2 olarak geçer ve sonuç 119 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesini al.
(x−1x)2=32⇒x2−2⋅x⋅1x+1x2=9\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 \Rightarrow x^2 - 2\cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9
x4x^4 terimine ulaşmak için önce x2x^2 terimini içeren ifadeyi bulmak gerekir.
2
Elde edilen ifadede sabit terimi karşıya atarak x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bul.
x2−2+1x2=9⇒x2+1x2=11x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 11
Tam kare açılımından gelen −2-2 sayısı eşitliğin diğer tarafına +2+2 olarak geçer.
3
Bulunan x2+1x2=11x^2 + \frac{1}{x^2} = 11 eşitliğinin tekrar her iki tarafının karesini al.
(x2+1x2)2=112⇒x4+2⋅x2⋅1x2+1x4=121\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 11^2 \Rightarrow x^4 + 2\cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 121
x4x^4 terimine ulaşmak için ikinci kez kare alma işlemi uygulanır.
4
Sabit terimi karşıya atarak sonuca ulaş.
x4+2+1x4=121⇒x4+1x4=121−2=119x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 121 \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = 121 - 2 = 119
Bu adımda tam kare açılımından gelen +2+2 sayısı eşitliğin diğer tarafına −2-2 olarak geçer.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri

İpuçları

1
İstenen ifade x4x^4 kuvvetini içerdiğine göre, verilen ifadenin karesini alarak işe başlamayı deneyin.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanarak önce x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bulun.
3
Bulduğunuz x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin tekrar karesini alın. Bu sefer (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanmanız gerekecek.

Daha Fazla Pratik

x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 verildiğinde x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} değerinin sorulduğu küp açılımı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom özdeşlikleri yerine, x4+1/x4=(x2+1/x2)2−2x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 ve x2+1/x2=(x−1/x)2+2x^2 + 1/x^2 = (x-1/x)^2 + 2 formülleri doğrudan iç içe kullanılarak da hesaplanabilir: ((3)2+2)2−2((3)^2 + 2)^2 - 2.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 94Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi,
xΔy=4x−3y+2x \Delta y = 4x - 3y + 2
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 5Δ45 \Delta 4 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlem sonucu 10 olarak bulunur.
Verilen kuralda xx yerine 5, yy yerine 4 yazılarak işlem önceliğine uygun şekilde 20−12+220 - 12 + 2 hesaplaması yapıldığında sonuç 10 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin değerlerini belirleyin.
x=5x = 5 ve y=4y = 4
Soruda verilen 5Δ45 \Delta 4 ifadesinde ilk sayı xx, ikinci sayı yy değerini temsil eder.
2
Değerleri kuralda yerine yazın.
4⋅5−3⋅4+24 \cdot 5 - 3 \cdot 4 + 2
İşlem kuralı olan 4x−3y+24x - 3y + 2 ifadesinde harfler yerine sayıları yerleştirdik.
3
Çarpma işlemlerini gerçekleştirin.
20−12+220 - 12 + 2
Matematikte işlem önceliğine göre toplama ve çıkarmadan önce çarpma işlemleri yapılır.
4
Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru tamamlayın.
8+2=108 + 2 = 10
20−12=820 - 12 = 8 ve 8+2=108 + 2 = 10 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

İşlem kuralında değişkenlerin (x ve y) yerine verilen sayıları yazarak doğru işlem önceliğiyle sonucu bulma.

İpuçları

1
İşlem sorularında sembolün solundaki sayıyı kuraldaki ilk değişken (xx), sağındaki sayıyı ise ikinci değişken (yy) yerine yazmalısınız.
2
xx yerine 5 ve yy yerine 4 yazarak ifadeyi yeniden yazın: 4⋅5−3⋅4+24 \cdot 5 - 3 \cdot 4 + 2.
3
Önce çarpmaları yapın (2020 ve 1212), sonra çıkarma ve toplama işlemlerini sırasıyla uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yer değiştirdiği veya parantezli işlemlerin olduğu soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 95Soru →

Aşağıda xx değişkenine bağlı birinci dereceden bir denklem verilmiştir:

3x−14−2x−33=112 \frac{3x - 1}{4} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{1}{12}

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri -8'dir.
Verilen rasyonel denklemde öncelikle paydalar 12'de eşitlenir. Paylar 3 ve 4 ile genişletilirken, kesir önündeki eksi işaretinin ikinci kesrin payındaki tüm terimlere etki ettiği unutulmamalıdır. İşlemler doğru yapıldığında x+9=1x+9=1 eşitliği elde edilir ve buradan x=−8x=-8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek için denklemin her iki tarafı 12 ile genişletilir (EKOK(4, 3, 12) = 12).
3(3x−1)−4(2x−3)=1 3(3x - 1) - 4(2x - 3) = 1
Rasyonel ifadelerden kurtulmak ve işlemi tam sayılarla sürdürmek için.
2
Parantez önündeki katsayılar içeri dağıtılır. İkinci terimdeki -4 katsayısının işaretine dikkat edilir.
9x−3−8x+12=1 9x - 3 - 8x + 12 = 1
−4×(2x)=−8x-4 \times (2x) = -8x ve −4×(−3)=+12-4 \times (-3) = +12 işlemleri yapılır.
3
Benzer terimler kendi aralarında toplanır.
(9x−8x)+(−3+12)=1  ⟹  x+9=1 (9x - 8x) + (-3 + 12) = 1 \implies x + 9 = 1
Denklemi en sade haline getirmek için.
4
Bilinen sayı eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek atılır.
x=1−9  ⟹  x=−8 x = 1 - 9 \implies x = -8
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerin çözümünde payda eşitleme ve negatif işaretin paranteze dağıtılması.
Soru 96Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−5)2(x - 5)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2−10x+25x^2 - 10x + 25

Cevap

İfadenin özdeşi olan açılım x2−10x+25x^2 - 10x + 25 şeklindedir.
İki terimin farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi (x2x^2), birinci ile ikinci terimin çarpımının iki katı (−10x-10x) ve ikinci terimin karesi (+25+25) toplanır. Bu kural uygulandığında sonucun x2−10x+25x^2 - 10x + 25 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare farkı özdeşliği formülünü hatırla.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Bir farkın karesini açmak için standart matematiksel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen ifadede terimleri formüle yerleştir.
a=xa = x ve b=5b = 5
İfadedeki değişkenleri ve sabitleri özdeşlikteki karşılıklarıyla eşleştirerek işlem kolaylığı sağlanır.
3
Her bir terimin karesini ve çarpımlarının iki katını hesapla.
Birincinin karesi: x2x^2, Çarpımlarının iki katı: −2⋅x⋅5=−10x-2 \cdot x \cdot 5 = -10x, İkincinin karesi: 52=255^2 = 25
Özdeşliğin üç temel bileşeni ayrı ayrı hesaplanarak hata payı düşürülür.
4
Hesaplanan terimleri bir araya getirerek sonucu oluştur.
x2−10x+25x^2 - 10x + 25
Tüm bileşenlerin toplamı ifadenin en sade ve doğru açılımını verir.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği (İki Terimin Farkının Karesi)

İpuçları

1
İki terimin farkının karesi alınırken (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliği kullanılır.
2
İfadedeki birinci terim xx, ikinci terim ise 55'dir. Açılımda orta terimi bulmak için bu ikisini çarpıp 22 ile çarpmayı deneyin.
3
Birincinin karesi x2x^2, ikincinin karesi (−5)2=25(-5)^2 = 25 ve çarpımlarının iki katı −2⋅5⋅x=−10x-2 \cdot 5 \cdot x = -10x olur. Bu parçaları birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x+3)2(2x + 3)^2 ifadesinin açılımını yaparak tam kare özdeşliği pratiğinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özdeşlik formülünü hatırlayamıyorsanız, (x−5)2(x-5)^2 ifadesini (x−5)⋅(x−5)(x-5) \cdot (x-5) şeklinde yazıp terimleri birbiriyle dağıtarak (çarpma işleminin dağılma özelliği) sonucu bulabilirsiniz: x⋅x+x⋅(−5)+(−5)⋅x+(−5)⋅(−5)=x2−5x−5x+25=x2−10x+25x \cdot x + x \cdot (-5) + (-5) \cdot x + (-5) \cdot (-5) = x^2 - 5x - 5x + 25 = x^2 - 10x + 25.
Tahmini Süre:45s
Soru 97Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
∣x−2∣<3|x - 2| < 3
∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2
eșitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, 3x−2y3x - 2y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İfadenin alabileceği 25 farklı tam sayı değeri vardır.
Mutlak değerli ifadeler açılarak xx ve yy'nin gerçel sayı aralıkları bulunur (−1<x<5 -1 < x < 5 ve −3≤y≤1 -3 \leq y \leq 1 ). İstenen 3x−2y3x - 2y ifadesi için bu aralıklar uygun katsayılarla genişletilip toplanır (−5<3x−2y<21 -5 < 3x - 2y < 21 ). Bu açık aralıktaki tam sayılar -4'ten 20'ye kadardır ve toplam 25 adettir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−2∣<3|x - 2| < 3 eşitsizliğini çözerek xx'in aralığını bulun.
−3<x−2<3⇒−1<x<5-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5
Mutlak değerli eşitsizlik açılırken sayı, negatif ve pozitif değerleri arasına yazılır.
2
∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözerek yy'nin aralığını bulun.
−2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1-2 \leq y + 1 \leq 2 \Rightarrow -3 \leq y \leq 1
Benzer şekilde mutlak değer dışına çıkarma işlemi uygulanır.
3
Sorulan 3x−2y3x - 2y ifadesini elde etmek için aralıkları genişletin.
xx aralığını 3 ile çarpın: −3<3x<15-3 < 3x < 15
yy aralığını -2 ile çarpın (eşitsizlik yön değiştirir): 2×(−3)≥−2y≥(−2)×1⇒−2≤−2y≤62 \times (-3) \geq -2y \geq (-2) \times 1 \Rightarrow -2 \leq -2y \leq 6
Negatif bir sayıyla çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirir.
4
Elde edilen iki eşitsizliği taraf tarafa toplayarak sonuç aralığını bulun.
(−3)+(−2)<3x−2y<15+6⇒−5<3x−2y<21(-3) + (-2) < 3x - 2y < 15 + 6 \Rightarrow -5 < 3x - 2y < 21
Biri dahil (≤\leq), biri hariç (<<) olan eşitsizliklerin toplamı hariç (<<) olur.
5
Bu aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
Aralık (−5,21)(-5, 21) şeklindedir. Tam sayılar: −4,−3,…,20-4, -3, \dots, 20. Terim sayısı: 20−(−4)+1=2520 - (-4) + 1 = 25.
Sonuç kümesindeki eleman sayısı (Son Terim - İlk Terim) + 1 formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Aralığı

İpuçları

1
Önce mutlak değerleri kaldırarak xx ve yy'nin hangi aralıklarda olduğunu belirleyin.
2
3x−2y3x - 2y ifadesini oluşturmak için yy eşitsizliğini −2-2 ile çarpın. Negatif sayıyla çarparken eşitsizlik yönünün değişeceğini unutmayın.
3
Aralıkları toplarken, biri dahil (≤\leq) diğeri hariç (<<) ise, toplamın işareti hariç (<<) olur. Sonuç aralığınız (−5,21)(-5, 21) olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 98Soru →
64+36−64+36 \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{64 + 36}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlemin doğru sonucu 4'tür.
Doğru yanıt 4'tür. 64 \sqrt{64} ifadesi 8, 36 \sqrt{36} ifadesi 6 olarak dışarı çıkar. 64+36 \sqrt{64+36} ifadesinde ise önce içerideki toplama yapılarak 100 \sqrt{100} elde edilir ve bu da 10 olarak dışarı çıkar. İşlem 8+6−10=4 8 + 6 - 10 = 4 şeklinde sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsız köklü ifadelerin değerlerini belirleyin.
64=8 \sqrt{64} = 8 ve 36=6 \sqrt{36} = 6
8'in karesi 64 ve 6'nın karesi 36 olduğu için bu sayılar kök dışına tam sayı olarak çıkar.
2
Kök içindeki toplama işlemini gerçekleştirin.
64+36=100 \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}
Kök içindeki ifade tek bir terim haline getirilmeden kök dışına çıkarılamaz.
3
Son elde edilen köklü ifadenin değerini bulun.
100=10 \sqrt{100} = 10
10'un karesi 100 olduğu için ifade kök dışına 10 olarak çıkar.
4
Bulunan değerleri ana işlemde yerine koyarak sonucu hesaplayın.
8+6−10=14−10=4 8 + 6 - 10 = 14 - 10 = 4
İşlem önceliğine göre toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru tamamlanır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde toplama işlemi yapılmadan önce sayılar kök dışına çıkarılmalıdır; kök içindeki ifadeler ise önce toplanıp sonra dışarı çıkarılmalıdır.

İpuçları

1
Her bir tam kare sayıyı (64, 36 ve 100) kök dışına çıkarmayı deneyin.
2
Kök içinde bir toplama varsa (64+36 gibi), önce o toplamayı yapıp sonra kök dışına çıkarmalısınız.
3
64=8 \sqrt{64}=8 , 36=6 \sqrt{36}=6 ve 100=10 \sqrt{100}=10 değerlerini işlemde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 144−25+144 \sqrt{144} - \sqrt{25 + 144} işlemini çözerek kök içi işlem önceliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tam kare sayıları ezbere biliyorsanız, işlemi zihinden 8+6−10 8 + 6 - 10 şeklinde hızlıca yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 99Soru →

x=−6x = -6 ve y=4y = 4 olduğuna göre,

∣x∣−∣y∣+∣x+y∣ |x| - |y| + |x + y|

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlemin sonucu 4'tür.
Verilen değerler mutlak değer tanımına göre dışarı çıkarıldığında ∣−6∣=6|-6| = 6, ∣4∣=4|4| = 4 ve ∣−6+4∣=∣−2∣=2|-6 + 4| = |-2| = 2 olur. Bu değerler 6−4+26 - 4 + 2 şeklinde işleme alındığında sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
∣x∣|x| ve ∣y∣|y| değerlerini hesaplayalım.
∣x∣=∣−6∣=6|x| = |-6| = 6 ve ∣y∣=∣4∣=4|y| = |4| = 4
Mutlak değer, bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığıdır ve negatif olamaz.
2
∣x+y∣|x + y| ifadesinin değerini bulalım.
∣x+y∣=∣−6+4∣=∣−2∣=2|x + y| = |-6 + 4| = |-2| = 2
Önce mutlak değer içindeki toplama işlemi yapılır, ardından sonucun mutlak değeri alınır.
3
Bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine koyalım.
6−4+2=2+2=46 - 4 + 2 = 2 + 2 = 4
Toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru takip edilerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer, bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığıdır ve ∣a∣≥0|a| \geq 0 koşulunu sağlar.

İpuçları

1
Mutlak değer içindeki sayı ne olursa olsun, dışarıya asla negatif çıkmaz.
2
Önce parantez içi gibi düşünüp ∣x+y∣|x+y| ifadesinin içindeki işlemi yapmalısın.
3
∣−6∣=6|-6|=6, ∣4∣=4|4|=4 ve ∣−2∣=2|-2|=2 değerlerini kullanarak 6−4+26 - 4 + 2 işlemini çözebilirsin.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerin toplama işlemi üzerindeki etkisini daha iyi anlamak için ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣|a| + |b| \geq |a+b| (Üçgen Eşitsizliği) özelliğini inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; -6'nın 0'a uzaklığı 6 birim, 4'ün 0'a uzaklığı 4 birimdir. x+y olan -2'nin 0'a uzaklığı ise 2 birimdir. Bu birimleri (6 - 4 + 2) şeklinde işleme sokabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 100Soru →
xx değişkenine bağlı
4(ax−1)+7=12x−b+5 4(ax - 1) + 7 = 12x - b + 5
denkleminin çözüm kümesi gerçek sayılar kümesi (R\mathbb{R}) olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
Denklemin çözüm kümesinin tüm gerçek sayılar olması (sonsuz çözüm), eşitliğin her iki tarafının birbirinin aynısı olması (özdeşlik) demektir. Sol taraf düzenlendiğinde 4ax+34ax + 3 elde edilir. Sağ taraf 12x+(5−b)12x + (5-b)'dir. xx'in katsayıları eşitlenirse 4a=12→a=34a=12 \rightarrow a=3. Sabitler eşitlenirse 3=5−b→b=23 = 5-b \rightarrow b=2. Çarpımları 3×2=63 \times 2 = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantez dağıtılır ve sabitler düzenlenir.
4ax−4+7=4ax+34ax - 4 + 7 = 4ax + 3
Denklemi Ax+B=Cx+DAx + B = Cx + D formatına getirerek katsayıları karşılaştırmak için.
2
Düzenlenmiş denklem yazılır ve xx'in katsayıları ile sabit terimler karşılıklı eşitlenir.
4ax+3=12x+(5−b)4ax + 3 = 12x + (5 - b)
Çözüm kümesinin tüm gerçek sayılar olması için xx'li terimlerin katsayıları birbirine, sabit sayılar da birbirine eşit olmalıdır (0x=00x = 0 durumu).
3
xx'in katsayıları eşitlenerek aa bulunur.
4a=12  ⟹  a=34a = 12 \implies a = 3
Değişkenin katsayıları eşit olmalıdır.
4
Sabit terimler eşitlenerek bb bulunur.
3=5−b  ⟹  b=23 = 5 - b \implies b = 2
Sabit terimler eşit olmalıdır.
5
aa ve bb değerleri çarpılır.
a⋅b=3⋅2=6a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6
Soruda istenen sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir denklemin çözüm kümesinin tüm gerçek sayılar olması için, düzenlenmiş denklemde xx'in katsayıları eşit ve sabit terimler eşit olmalıdır (0x=00x=0 özdeşliği).

İpuçları

1
Denklemin çözüm kümesinin gerçek sayılar (R\mathbb{R}) olması, eşitliğin her xx değeri için sağlanması yani 0=00=0 gibi bir özdeşlik elde edilmesi demektir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 5 / 22Sonraki
Cebir Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 5 | Examkin