Examkin

Cebir

424 soru

Soru 61Soru →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−6x+2=0 x^2 - 6x + 2 = 0
eşitliği veriliyor.
Buna göre, x2+4x2 x^2 + \frac{4}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İfadenin değeri 32'dir.
Verilen ikinci dereceden denklem xx'e bölünerek x+2/x=6x + 2/x = 6 elde edilir. Bu ifadenin karesi alındığında, ortadan gelen 2⋅x⋅(2/x)=42 \cdot x \cdot (2/x) = 4 terimi eşitliğin diğer tarafındaki 36'dan çıkarılır ve sonuç 32 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−6x+2=0x^2 - 6x + 2 = 0 eşitliğinin her iki tarafını xx'e bölün.
x−6+2x=0x - 6 + \frac{2}{x} = 0 elde edilir.
İstenen ifadede xx ve 1/x1/x terimleri olduğu için, bu forma ulaşmak adına denklemi xx'e bölmek standart bir yöntemdir.
2
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak x+2xx + \frac{2}{x} ifadesini yalnız bırakın.
x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 olur.
Kare alma işlemine hazırlık yapmak için.
3
Elde edilen x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 eşitliğinin her iki tarafının karesini alın.
(x+2x)2=62⇒x2+2⋅x⋅2x+4x2=36\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = 6^2 \Rightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 36
Tam kare özdeşliği (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kullanılarak istenen kareli terimler elde edilir.
4
Ortadaki sabit terimi hesaplayıp karşı tarafa atın.
x2+4+4x2=36⇒x2+4x2=36−4=32x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 36 \Rightarrow x^2 + \frac{4}{x^2} = 36 - 4 = 32
2⋅x⋅2x2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} işleminde xx'ler sadeleşir ve geriye sadece 44 kalır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

İpuçları

1
Verilen ifadede x2x^2 ve 1/x21/x^2 terimleri var. Bu terimleri elde etmek için xx ve 1/x1/x içeren bir ifadenin karesini almanız gerekebilir.
2
Soruda verilen x2−6x+2=0x^2 - 6x + 2 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x+2xx + \frac{2}{x} ifadesinin değerini bulun.
3
x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 eşitliğini bulduktan sonra, her iki tarafın parantez karesini alıp ortadaki terimi karşıya atın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 ise x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} kaçtır? sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 62Soru →
x≠−y+5x \neq -y + 5 olmak üzere,
x2−y2−4x+6y−5x+y−5 \frac{x^2 - y^2 - 4x + 6y - 5}{x + y - 5}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−y+1x - y + 1

Cevap

İşlemin sonucu x−y+1x - y + 1 ifadesidir.
Verilen cebirsel ifadede, pay kısmındaki -5 sabit sayısı +4 ve -9 olarak ayrıldığında ifade (x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - (y-3)^2 şeklinde iki tam karenin farkına dönüşür. Bu aşamadan sonra iki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlar (x−y+1)(x-y+1) ve (x+y−5)(x+y-5) olarak bulunur. Paydadaki (x+y−5)(x+y-5) ile sadeleştirme yapıldığında geriye x−y+1x-y+1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi tam kareye tamamlamak için sabit terimi uygun şekilde parçala.
x2−4xx^2 - 4x terimi için +4+4, −y2+6y-y^2 + 6y terimi için −9-9 gereklidir. İfadedeki −5-5 sayısı 4−94 - 9 şeklinde düşünülür.
Gruplandırma yöntemiyle ifadeyi özdeşliklere benzetmek.
2
Terimleri gruplandırarak tam kare ifadeleri oluştur.
(x2−4x+4)−(y2−6y+9)(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9)
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 ve −(y2−6y+9)=−(y−3)2-(y^2 - 6y + 9) = -(y-3)^2 dönüşümlerini hazırlamak.
3
Elde edilen tam kareleri yerine yaz.
(x−2)2−(y−3)2(x - 2)^2 - (y - 3)^2
İfadeyi iki kare farkı formatına getirmek (a2−b2a^2 - b^2).
4
İki kare farkı özdeşliğini uygula.
((x−2)−(y−3))⋅((x−2)+(y−3))((x - 2) - (y - 3)) \cdot ((x - 2) + (y - 3))
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralını uygulamak.
5
Parantez içindeki işlemleri düzenle.
(x−y+1)⋅(x+y−5)(x - y + 1) \cdot (x + y - 5)
Çarpanları en sade hale getirmek.
6
Paydayı da dikkate alarak sadeleştirme yap.
(x−y+1)(x+y−5)x+y−5=x−y+1\frac{(x - y + 1)(x + y - 5)}{x + y - 5} = x - y + 1
Ortak çarpanları sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve Gruplandırma

İpuçları

1
Pay kısmındaki x2−4xx^2 - 4x ve −y2+6y-y^2 + 6y terimlerini inceleyin. Bu terimleri tam kare ifadelere dönüştürmek için hangi sabit sayılara ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Elinizdeki -5 sabit sayısını, ihtiyacınız olan +4 ve -9 sayılarını elde edecek şekilde parçalayın: −5=4−9-5 = 4 - 9.
3
İfadeyi (x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - (y-3)^2 formatına getirdikten sonra a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.

Daha Fazla Pratik

Terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma yöntemini pekiştirmek için x4+4x^4 + 4 veya x2−6x−y2+9x^2 - 6x - y^2 + 9 gibi ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 63Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı A={x∈Z∣−3≤x<4}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112

Cevap

112
Soruda 'en az bir negatif tam sayı bulunur' ifadesi geçtiğinde, doğrudan hesaplama yapmak yerine tümleyen mantığını kullanmak daha pratiktir. Öncelikle kümenin tüm elemanları A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olarak belirlenir. Toplam 7 eleman vardır, dolayısıyla toplam alt küme sayısı 27=1282^7 = 128'dir. İstenmeyen durum, alt kümede hiç negatif sayı bulunmamasıdır. Bu da alt kümenin sadece {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} elemanlarından (4 eleman) oluşması demektir. Bu elemanlarla yazılabilecek alt küme sayısı 24=162^4 = 16'dır. Sonuç olarak, tüm durumlardan istenmeyen durum çıkarılır: 128−16=112128 - 16 = 112.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazma
A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}
Aralıktaki tam sayıları belirleyerek kümenin toplam eleman sayısını bulmak gerekir.
2
Kümenin toplam eleman sayısını ve negatif olmayan elemanları belirleme
Toplam eleman sayısı s(A)=7s(A) = 7. Negatif olmayan elemanlar: {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} (4 eleman).
Tüm alt kümelerden istenmeyen durumu çıkarmak için bu gruplandırma gereklidir.
3
Tüm alt kümelerin sayısını hesaplama
27=1282^7 = 128
n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
4
İçinde hiç negatif sayı bulunmayan (sadece negatif olmayanlardan oluşan) alt küme sayısını hesaplama
24=162^4 = 16
Negatif olmayan 4 elemanın oluşturabileceği alt kümeler, soruda istenmeyen durumlardır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma
128−16=112128 - 16 = 112
Tüm alt kümelerden, hiç negatif sayı içermeyenleri çıkarırsak, geriye kalanların hepsinde en az bir negatif sayı bulunur.

Anahtar Kavram

Tümleyenden Gitme Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını açıkça yazarak kaç elemanlı olduğunu bulun.
2
'En az bir negatif sayı' bulunanları tek tek saymak zordur. Bunun yerine, 'hiç negatif sayı bulunmayan' durumları bulup tüm durumlardan çıkarmayı deneyin.
3
Kümedeki negatif olmayan elemanlar {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} tür. Sadece bu elemanlar kullanılarak oluşturulan alt kümelerin içinde negatif sayı olmaz. Toplam alt küme sayısından (272^7) bu sayıyı (242^4) çıkarın.

Alternatif Yöntem

Kombinasyon yöntemiyle: 3 negatif elemandan 1 tane seçilip yanına diğerlerinden seçilenler eklenebilir, ancak bu yöntem 'en az bir' sorularında çok daha uzun sürer. Tümleyen yöntemi en verimlisidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 64Soru →

3a⋅5b=753^a \cdot 5^b = 75 ve 3b⋅5a=453^b \cdot 5^a = 45 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a+ba+b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin doğru değeri 3'tür.
Verilen iki denklem taraf tarafa çarpıldığında 3a+b⋅5a+b=33753^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375 elde edilir. Bu ifade (3⋅5)a+b=153(3 \cdot 5)^{a+b} = 15^3 şeklinde düzenlendiğinde a+b=3a+b=3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpınız.
(3a⋅5b)⋅(3b⋅5a)=75⋅45(3^a \cdot 5^b) \cdot (3^b \cdot 5^a) = 75 \cdot 45
a+ba+b toplamına ulaşmak için tabanları aynı olan ifadeleri bir araya getirmek gerekir.
2
Aynı tabana sahip üslü ifadeleri gruplayarak düzenleyiniz.
3a+b⋅5a+b=33753^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375
Çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır: xm⋅xn=xm+nx^m \cdot x^n = x^{m+n}.
3
Üsleri ortak paranteze alarak tabanları çarpınız.
(3⋅5)a+b=3375⇒15a+b=3375(3 \cdot 5)^{a+b} = 3375 \Rightarrow 15^{a+b} = 3375
Üsler aynı ise tabanlar çarpılır: xn⋅yn=(x⋅y)nx^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı 15 tabanında yazarak sonucu bulunuz.
15a+b=153⇒a+b=315^{a+b} = 15^3 \Rightarrow a+b = 3
3375=15⋅15⋅15=1533375 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 15^3 olduğundan üsler birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taraf tarafa çarpma ve üslerin eşitliği ilkesi.

İpuçları

1
Değişkenleri (aa ve bb) ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, iki eşitliği birbiriyle etkileşime sokmayı deneyin.
2
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarparsanız, aynı tabana sahip sayıların üslerini toplayabilirsiniz.
3
Taraf tarafa çarpma işlemi size 15a+b15^{a+b} ifadesini verecektir. 3375 sayısının 15'in kaçıncı kuvveti olduğunu bulun.

Alternatif Yöntem

Eşitliklerden logaritma alarak lineer denklem sistemi kurmak: aln⁡3+bln⁡5=ln⁡75a \ln 3 + b \ln 5 = \ln 75 ve bln⁡3+aln⁡5=ln⁡45b \ln 3 + a \ln 5 = \ln 45. Bu denklemler toplanarak (a+b)(ln⁡3+ln⁡5)=ln⁡(75⋅45)(a+b)(\ln 3 + \ln 5) = \ln(75 \cdot 45) elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 65Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x−2∣+∣x+4∣=10 |x - 2| + |x + 4| = 10
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitliği sağlayan x değerlerinin toplamı -2'dir.
Verilen denklemde xx için kritik noktalar −4-4 ve 22'dir. x<−4x < -4 için çözüm x=−6x = -6 ve x>2x > 2 için çözüm x=4x = 4 olarak bulunur. Orta aralıkta (−4-4 ile 22 arası) toplam sabit olup 66'dır ve 1010'a eşit olamaz. Bulunan değerlerin toplamı −6+4=−2-6 + 4 = -2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaların belirlenmesi
x=2x = 2 ve x=−4x = -4
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan noktalar, ifadenin davranışının değiştiği yerlerdir.
2
x<−4x < -4 durumu için denklemin çözülmesi
−(x−2)−(x+4)=10⇒−2x−2=10⇒x=−6-(x-2) - (x+4) = 10 \Rightarrow -2x - 2 = 10 \Rightarrow x = -6
x<−4x < -4 iken her iki mutlak değer içi de negatiftir ve işaret değiştirerek çıkar.
3
−4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 durumu için denklemin çözülmesi
−(x−2)+(x+4)=10⇒6=10-(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 6 = 10
Bu aralıkta ilk ifade negatif, ikinci ifade pozitif çıkar. Elde edilen eşitlik yanlıştır, bu aralıkta kök yoktur.
4
x>2x > 2 durumu için denklemin çözülmesi
(x−2)+(x+4)=10⇒2x+2=10⇒x=4(x-2) + (x+4) = 10 \Rightarrow 2x + 2 = 10 \Rightarrow x = 4
x>2x > 2 iken her iki mutlak değer içi de pozitiftir ve aynen çıkar.
5
Bulunan değerlerin toplanması
−6+4=−2-6 + 4 = -2
Denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması.

İpuçları

1
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bulmayı deneyin.
2
Sayı doğrusunu kritik noktalara göre üç bölgeye ayırın ve her bölge için x'in değerini kontrol edin.
3
∣x−a∣+∣x−b∣=k|x-a| + |x-b| = k tipindeki sorularda x'in bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamının k olduğu unutulmamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla ∣x−1∣+∣x−5∣=4|x - 1| + |x - 5| = 4 denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Geometrik yorum: ∣x−2∣|x - 2| ifadesi x'in 2 noktasına uzaklığı, ∣x+4∣|x + 4| ifadesi ise x'in -4 noktasına uzaklığıdır. Bu iki uzaklığın toplamı 10 olmalıdır. -4 ve 2 arasındaki mesafe 6'dır. x bu aralığın dışındaysa, örneğin 2'den d birim sağdaysa, toplam mesafe d+(6+d)=10⇒2d=4⇒d=2d + (6+d) = 10 \Rightarrow 2d = 4 \Rightarrow d = 2 olur. Yani x=2+2=4x = 2 + 2 = 4. Benzer şekilde sol tarafta x=−4−2=−6x = -4 - 2 = -6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 66Soru →

A={x∣10<x≤30, x=3k, k∈Z}A = \{x \mid 10 < x \leq 30, \text{ } x = 3k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣15≤x<40, x=2k, k∈Z}B = \{x \mid 15 \leq x < 40, \text{ } x = 2k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}
kümeleri veriliyor. Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortak elemanlar 18, 24 ve 30 olduğundan eleman sayısı 3'tür.
Kesişim kümesi, her iki kümenin de eleman özelliklerini aynı anda taşıyan sayılardan oluşur. xx hem 3'ün hem de 2'nin katı olmalıdır (EKOK(2,3)=6EKOK(2,3) = 6). Ayrıca xx hem (10,30](10, 30] hem de [15,40)[15, 40) aralığında olmalıdır, yani 15≤x≤3015 \leq x \leq 30 şartını sağlamalıdır. Bu aralıktaki 6'nın katları 18, 24 ve 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyelim.
A={12,15,18,21,24,27,30}A = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}
10 ile 30 arasındaki (30 dahil) 3'ün katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.
2
BB kümesinin elemanlarını listeleyelim.
B={16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38}B = \{16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\}
15 ile 40 arasındaki (15 dahil, 40 hariç) 2'nin katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.
3
A∩BA \cap B (kesişim) kümesinin elemanlarını belirleyelim.
A∩B={18,24,30}A \cap B = \{18, 24, 30\}
Her iki listede de ortak olan sayıları seçmelisiniz. Bu sayılar aynı zamanda 2 ve 3'ün en küçük ortak katı olan 6'nın katlarıdır.
4
Eleman sayısını sayalım.
s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3
Kümede 3 adet eleman bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerde kesişim işlemi, her iki kümenin de şartlarını sağlayan elemanların bulunmasını gerektirir.

İpuçları

1
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.
2
Her iki kümede de ortak olan elemanlar hem 2'nin hem de 3'ün katı (yani 6'nın katı) olmalıdır.
3
xx sayısının hem 10<x≤3010 < x \leq 30 hem de 15≤x<4015 \leq x < 40 aralıklarını sağlaması gerekir. Yani xx, 15 ile 30 (dahil) arasında olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin birleşim kümesinin eleman sayısını s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü ile hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Aralıkları birleştirerek ortak bir aralık bulun: max⁡(10,15)≤x≤min⁡(30,39)⇒15≤x≤30\max(10, 15) \leq x \leq \min(30, 39) \Rightarrow 15 \leq x \leq 30. Hem 2 hem 3'e bölünen sayılar 6'nın katıdır. 15 ile 30 arasındaki 6'nın katları: 18,24,3018, 24, 30.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 67Soru →
x=113+2x = \sqrt[3]{11} + 2 olduğuna göre,
x3−6x2+12x x^3 - 6x^2 + 12x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

İfadenin değeri 19'dur.
Verilen ifade (x−2)3(x-2)^3 açılımına tamamlanarak çözülmelidir. (x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 olduğundan, sorulan ifade (x−2)3+8(x-2)^3 + 8 şeklindedir. x−2=113x-2 = \sqrt[3]{11} yerine konulduğunda sonuç 11+8=1911+8=19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi (x−a)3(x-a)^3 özdeşliğine benzetmek için inceleriz.
(x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 özdeşliği hatırlanır.
Sorulan x3−6x2+12xx^3 - 6x^2 + 12x ifadesi, (x−2)3(x-2)^3 açılımının ilk üç terimidir.
2
Sorulan ifadeyi tam küp cinsinden yazarız.
x3−6x2+12x=(x−2)3+8x^3 - 6x^2 + 12x = (x-2)^3 + 8
Eşitliğin bozulmaması için çıkardığımız 8'i geri ekleriz.
3
Verilen xx değerini yerine yazarız.
x=113+2  ⟹  x−2=113x = \sqrt[3]{11} + 2 \implies x - 2 = \sqrt[3]{11}
xx değerini doğrudan yerine yazmak yerine, x−2x-2 değerini kullanmak işlemi kolaylaştırır.
4
Sonucu hesaplarız.
(113)3+8=11+8=19(\sqrt[3]{11})^3 + 8 = 11 + 8 = 19
Küp kök ile küp alma işlemi birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Tam Küp Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

İpuçları

1
İfadeyi (x−a)3(x-a)^3 şeklindeki bir tam küp açılımına benzetmeye çalışın.
2
Pascal üçgenindeki 1, 3, 3, 1 katsayılarını düşünerek ifadeyi (x−2)3(x-2)^3 ile ilişkilendirin.
3
(x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 özdeşliğini kullanın ve elinizdeki ifadeyi elde etmek için ne eklemeniz gerektiğini bulun.

Daha Fazla Pratik

x=53−1x = \sqrt[3]{5} - 1 ise x3+3x2+3xx^3 + 3x^2 + 3x ifadesinin değeri kaçtır?
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 68Soru →

x=73−1x = \sqrt[3]{7} - 1 olmak üzere,

x3+3x2+3x+10x^3 + 3x^2 + 3x + 10

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin doğru değeri 16'dır.
Verilen ifade, (x+1)3(x+1)^3 özdeşliğinin açılımına çok benzemektedir. İfadeyi (x3+3x2+3x+1)+9(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9 şeklinde ayırdığımızda, ilk kısım tam olarak (x+1)3(x+1)^3 olur. xx değeri yerine yazıldığında parantez içi sadece 73\sqrt[3]{7} kalır ve küpü alındığında 7 elde edilir. Sonuç olarak 7+9=167 + 9 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam küp açılımına benzetmek için düzenle.
x3+3x2+3x+10=(x3+3x2+3x+1)+9x^3 + 3x^2 + 3x + 10 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9
(x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 özdeşliğini kullanmak işlemi kolaylaştırır.
2
Özdeşliği kapalı forma getir.
(x+1)3+9(x+1)^3 + 9
Bu form, verilen xx değerini yerine koymak için çok daha uygundur.
3
xx değerini yerine yaz.
x=73−1x = \sqrt[3]{7} - 1 ise, x+1=73x+1 = \sqrt[3]{7} olur. İfade (73)3+9(\sqrt[3]{7})^3 + 9 haline gelir.
−1-1 ve +1+1 birbirini götürür, geriye sadece köklü ifade kalır.
4
Sonucu hesapla.
7+9=167 + 9 = 16
Küp kök ve küp birbirini götürür, kalan sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

İki Terim Toplamının Küpü Özdeşliği: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

İpuçları

1
İfadeyi (x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 açılımına benzetmeye çalışın.
2
Verilen ifadeyi (x3+3x2+3x+1)+sabit sayı(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + \text{sabit sayı} şeklinde yazın.
3
İfade (x+1)3+9(x+1)^3 + 9 şeklindedir. Şimdi xx yerine 73−1\sqrt[3]{7}-1 yazarak parantez içini sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

(x−2)3(x-2)^3 açılımını içeren benzer bir soru çözerek negatif işaretli özdeşlikleri pekiştirin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 69Soru →

Bir baba, cebindeki bir miktar parayı yaşları 2, 3 ve 4 olan üç çocuğuna yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırıyor. Eğer bu parayı çocuklarına yaşları ile doğru orantılı olarak paylaştırsaydı, en büyük çocuk ilk duruma göre 100 TL daha fazla para alacaktı.

Buna göre, babanın paylaştırdığı toplam para kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 468

Cevap

Babanın paylaştırdığı toplam para 468 TL'dir.
Toplam para miktarı sabit olduğundan, ters orantıdaki toplam pay (13 birim) ile doğru orantıdaki toplam payın (9 birim) en küçük ortak katı olan 117 üzerinden gidilir. En büyük çocuk ters orantıda paranın 3/13'ünü (27m27m), doğru orantıda ise 4/9'unu (52m52m) alır. Aradaki fark olan 25m=10025m = 100 TL eşitliğinden toplam para 468 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantılı paylaşım durumunu (1. Durum) matematiksel olarak modelle.
Çocukların payları yaşlarının tersiyle orantılıdır: k/2,k/3,k/4k/2, k/3, k/4. Paydaları eşitlemek için (EKOK 12) paylar sırasıyla 6x,4x,3x6x, 4x, 3x olur. Toplam pay 13x13x olur.
Ters orantıda A⋅2=B⋅3=C⋅4=kA \cdot 2 = B \cdot 3 = C \cdot 4 = k eşitliği kullanılır.
2
Doğru orantılı paylaşım durumunu (2. Durum) matematiksel olarak modelle.
Çocukların payları yaşlarıyla doğru orantılıdır: 2y,3y,4y2y, 3y, 4y. Toplam pay 9y9y olur.
Doğru orantıda A/2=B/3=C/4=yA/2 = B/3 = C/4 = y eşitliği kullanılır.
3
Her iki durumda dağıtılan toplam paranın aynı olduğunu kullanarak ortak bir kat belirle.
Toplam para hem 13x13x hem de 9y9y'ye eşit olmalıdır. EKOK(13, 9) = 117 olduğundan, Toplam Para = 117m117m diyelim.
Para miktarı değişmemiştir, sadece dağıtım şekli değişmiştir. Bu nedenle toplam miktar her iki orantı toplamının katı olmalıdır.
4
En büyük çocuğun (4 yaşında) her iki durumda alacağı payı hesapla ve denklemi kur.
1. Durumda (Ters): En büyük çocuğun payı 3/133/13 oranındadır. 117m⋅(3/13)=27m117m \cdot (3/13) = 27m.
2. Durumda (Doğru): En büyük çocuğun payı 4/94/9 oranındadır. 117m⋅(4/9)=52m117m \cdot (4/9) = 52m.
Fark: 52m−27m=25m=10052m - 27m = 25m = 100.
Soruda verilen '100 TL daha fazla' bilgisi bu iki değer arasındaki farktır.
5
Bilinmeyeni bul ve toplam parayı hesapla.
25m=10025m = 100 ise m=4m = 4 bulunur. Toplam Para = 117m=117⋅4=468117m = 117 \cdot 4 = 468 TL.
Bulunan birim değeri toplam para ifadesinde yerine koyarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hem doğru hem ters orantı içeren problemlerde, toplam miktarın sabitliği üzerinden giderek ortak kat (EKOK) kullanmak çözümü kolaylaştırır.

İpuçları

1
Her iki durumda da dağıtılan toplam paranın değişmediğine dikkat ediniz.
2
Yaşları 2, 3 ve 4 olan çocuklar için ters orantılı payları k/2, k/3, k/4; doğru orantılı payları ise 2m, 3m, 4m şeklinde yazabilirsiniz.
3
Kesirlerle uğraşmamak için toplam parayı, paydaların ve katsayıların toplamının ortak katı olan 117'nin katı (117x) olarak seçmeyi deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'işçi problemleri' kapsamında, çalışma hızları ile iş bitirme sürelerinin ters orantılı olduğu sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplam paraya P diyelim. En büyük çocuğun ilk payı P * (1/4) / (1/2+1/3+1/4) = P * 3/13'tür. İkinci payı P * 4 / (2+3+4) = P * 4/9'dur. Denklem: P(4/9 - 3/13) = 100.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 70Soru →
10−615−3 \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}

ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63\frac{\sqrt{6}}{3}

Cevap

I˙s\cleminsonucu63bulunur.İşlemin sonucu \frac{\sqrt{6}}{3} bulunur.
Verilen ifadede pay ve payda ayrı ayrı ortak çarpan parantezine alındığında, sadeleşen bir terim ortaya çıkar. Pay 2\sqrt{2}, payda ise 3\sqrt{3} parantezine alındığında (5−3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) çarpanı ortak olur ve sadeleşir. Geriye kalan 23\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ifadesi de paydası rasyonel yapılarak 63\frac{\sqrt{6}}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine almak için köklü sayıları çarpanlarına ayırırız.
Pay: 10−6=2⋅5−2⋅3=2(5−3)\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})
Her iki terimde de 2\sqrt{2} çarpanı ortaktır.
2
Paydadaki ifadeyi de benzer şekilde ortak çarpan parantezine alırız. Burada 3 sayısını 9\sqrt{9} yani 3⋅3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} olarak düşünmeliyiz.
Payda: 15−3=3⋅5−3⋅3=3(5−3)\sqrt{15} - 3 = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})
Her iki terimde de 3\sqrt{3} çarpanı ortaktır.
3
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yazar ve sadeleştirme yaparız.
2(5−3)3(5−3)=23 \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
(5−3)(\sqrt{5} - \sqrt{3}) çarpanları birbirini götürür.
4
Sonucu şıklardaki formata getirmek için paydayı rasyonel yaparız (eşlenik ile çarparız).
23⋅33=63 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Kesrin payı ve paydası 3\sqrt{3} ile genişletilir.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve paydayı rasyonel yapma.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan çıkarmaya çalışmak yerine, sayıları çarpanlarına ayırarak ortak bir kök bulmaya çalışın.
2
10=2⋅5\sqrt{10} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} ve 15=3⋅5\sqrt{15} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} eşitliklerini kullanın. Ayrıca 3 sayısını da köklü olarak (9\sqrt{9}) düşünebilirsiniz.
3
Payı 2\sqrt{2} parantezine, paydayı ise 3\sqrt{3} parantezine alın. Ortak parantezlerin içi aynı olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 21−76−2\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İçler dışlar çarpımı veya değişken değiştirme yöntemine gerek yoktur, ancak şıklardan giderek yaklaşık değer tahmini (10≈3.16\sqrt{10} \approx 3.16, 6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45 vb.) ile de sağlama yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 71Soru →

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen aa ve bb tam sayıları için ∣a∣=7|a| = 7 ve ∣b∣=3|b| = 3 olduğu bilinmektedir. Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −10-10

Cevap

İşlemin alabileceği en küçük değer −10-10 olarak bulunur.
Mutlak değeri 77 olan sayı −7-7 veya 77; mutlak değeri 33 olan sayı ise −3-3 veya 33 olabilir. Toplamın alabileceği en küçük değer için her iki sayının da alabileceği en küçük ihtimaller olan −7-7 ve −3-3 toplanmalıdır. Bu durumda (−7)+(−3)=−10(-7) + (-3) = -10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarının mutlak değer eşitliklerini çözün.
aa sayısı 77 veya −7-7; bb sayısı ise 33 veya −3-3 değerlerini alabilir.
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve uzaklığı belirli bir birim olan iki farklı nokta bulunur.
2
Toplamın en küçük olması için uygun değerleri seçin.
a=−7a = -7 ve b=−3b = -3 seçilmelidir.
İki sayının toplamının en küçük (en negatif) olması için sayı doğrusunda sıfırın en solundaki ihtimalleri kullanmalıyız.
3
Seçilen değerlerle toplama işlemini gerçekleştirin.
(−7)+(−3)=−10(-7) + (-3) = -10
Aynı işaretli iki negatif sayı toplandığında sonuç daha küçük bir negatif sayı olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer, bir sayının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder ve ∣x∣=k|x| = k eşitliğinde xx, hem kk hem de −k-k değerini alabilir.

İpuçları

1
Mutlak değeri 77 olan bir sayı, sayı doğrusunda sıfıra 77 birim uzaklıktadır. Bu sayı hangi iki değerden biri olabilir?
2
Toplamın en küçük olması için sayı doğrusunun mümkün olduğunca solundaki (en negatif) sayıları seçmelisiniz.
3
aa yerine −7-7 ve bb yerine −3-3 yazdığınızda bulduğunuz sonuç en küçük toplamı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren denklemlerde iki farklı durumu (pozitif ve negatif çıkma) incelemeyi alışkanlık haline getirin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde 00 noktasından önce sola doğru 77 birim, sonra tekrar sola doğru 33 birim giderek varılan nokta toplamın en küçük değerini verir.
Tahmini Süre:45s
Soru 72Soru →

xx ve yy gerçel sayıları için x−2y=7x - 2y = 7 eşitliği veriliyor.

x+2y≠6x + 2y \neq 6 olmak üzere,
x2−4y2−8x+8y+12x+2y−6 \frac{x^2 - 4y^2 - 8x + 8y + 12}{x + 2y - 6}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali ve verilen değerin yerine yazılmasıyla elde edilen sonuç 5'tir.
İfade (x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - (2y-2)^2 şeklindeki iki kare farkı özdeşliğine dönüştürülüp çarpanlarına ayrıldığında, paydadaki (x+2y−6)(x+2y-6) çarpanı ile sadeleşir. Geriye kalan (x−2y−2)(x-2y-2) ifadesinde verilen değer yerine yazıldığında doğru sonuç 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi xx ve yy değişkenlerine göre gruplandırarak tam kareye tamamlama yöntemini uygula.
x2−8xx^2 - 8x ifadesi (x−4)2−16(x-4)^2 - 16 ve −4y2+8y-4y^2 + 8y ifadesi −(2y−2)2+4-(2y-2)^2 + 4 şeklinde yazılır.
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırabilmek için tam kare özdeşliklerinden yararlanılır.
2
Elde edilen terimleri ve sabit sayıyı ana ifadede birleştir.
(x−4)2−16−(2y−2)2+4+12=(x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - 16 - (2y-2)^2 + 4 + 12 = (x-4)^2 - (2y-2)^2
Sabit terimler (-16 + 4 + 12 = 0) birbirini götürür ve ifade iki kare farkı formatına gelir.
3
İki kare farkı özdeşliğini uygula: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
((x−4)−(2y−2))⋅((x−4)+(2y−2))=(x−2y−2)(x+2y−6)((x-4) - (2y-2)) \cdot ((x-4) + (2y-2)) = (x - 2y - 2)(x + 2y - 6)
Pay kısmını sadeleşebilir çarpanlara ayırmak için gereklidir.
4
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştir.
(x−2y−2)(x+2y−6)x+2y−6=x−2y−2 \frac{(x - 2y - 2)(x + 2y - 6)}{x + 2y - 6} = x - 2y - 2
Kesirli ifadeyi en sade haline getirmek için ortak çarpanlar yok edilir.
5
Soru kökünde verilen x−2y=7x - 2y = 7 değerini yerine yaz.
7−2=57 - 2 = 5
İstenen sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve terim ekleyip çıkarma (tam kareye tamamlama) yöntemi ile rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
Paydaki ifadede xx'li ve yy'li terimleri kendi aralarında gruplandırmayı deneyin.
2
x2−8xx^2 - 8x ve −4y2+8y-4y^2 + 8y ifadelerini tam kareye tamamlayarak sabit terimi (+12+12) nasıl paylaştırabileceğinize bakın.
3
İfade (x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - (2y-2)^2 şeklinde iki kare farkına dönüştürülebilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x2−y2+4x−2y+3x^2 - y^2 + 4x - 2y + 3 gibi ifadelerin çarpanlarına ayrılması soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yaparak da sonuca ulaşılabilir, ancak bu soruda tam kareye tamamlama daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 73Soru →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
∣x−2∣<3|x - 2| < 3
∣3y+1∣≤7|3y + 1| \le 7
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, 2x−3y2x - 3y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İfadenin alabileceği 25 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru cevap 25'tir. Soruda değişkenlerin 'gerçel sayı' olduğu belirtildiği için işlemler aralık (eşitsizlik) mantığıyla yapılmalıdır. xx ve yy için ayrı ayrı aralıklar bulunduktan sonra, hedef ifade (2x−3y2x-3y) için uygun aralıklar taraf tarafa toplanır. Sonuç aralığı (−8,18)(-8, 18) bulunur ve bu aralıktaki tam sayılar sayılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin aralığını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözme
−3<x−2<3  ⟹  −1<x<5-3 < x - 2 < 3 \implies -1 < x < 5
Mutlak değer eşitsizliği ∣u∣<a|u| < a ise −a<u<a-a < u < a şeklinde açılır.
2
2x2x ifadesinin aralığını elde etme
Eşitsizliği 2 ile çarparız: −2<2x<10-2 < 2x < 10
Hedef ifadeyi oluşturmak için xx aralığını katsayı ile genişletmemiz gerekir.
3
yy değişkeninin aralığını bulmak için ikinci eşitsizliği çözme
−7≤3y+1≤7  ⟹  −8≤3y≤6-7 \le 3y + 1 \le 7 \implies -8 \le 3y \le 6
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılarak 3y3y yalnız bırakılır.
4
−3y-3y ifadesinin aralığını elde etme
Eşitsizliği -1 ile çarparız (yön değiştirir): −6≤−3y≤8-6 \le -3y \le 8
Negatif sayı ile çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirir veya sınırlar yer değiştirir.
5
2x−3y2x - 3y ifadesinin çözüm aralığını bulmak için taraf tarafa toplama
Alt sınır: −2+(−6)=−8-2 + (-6) = -8
Üst sınır: 10+8=1810 + 8 = 18
Eşitsizlik türü: Biri açık, biri kapalı ise sonuç açık olur.
Sonuç: −8<2x−3y<18-8 < 2x - 3y < 18
Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yapılırken, en az bir sınır 'açık' (<<) ise toplamın sınırı da 'açık' olur.
6
Aralıktaki tam sayı adedini hesaplama
Değerler: {−7,−6,…,17}\{-7, -6, \dots, 17\}
Adet = (Son Terim - İlk Terim) + 1 = 17−(−7)+1=2517 - (-7) + 1 = 25
Açık aralık (−8,18)(-8, 18) arasındaki en küçük tam sayı -7, en büyük tam sayı 17'dir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Reel Sayı Aralıkları

İpuçları

1
Soruda 'gerçel sayılar' ifadesi geçtiği için, xx ve yy'ye doğrudan sayı değeri vermeyin. Eşitsizlik aralıklarını genişletmeniz gerekir.
2
∣x−2∣<3|x-2| < 3 ifadesini −3<x−2<3-3 < x-2 < 3 olarak açın ve 2x2x ifadesinin aralığını bulun. Benzer işlemi yy için de yapın.
3
−3y-3y ifadesini oluştururken eşitsizliği negatif sayıyla çarptığınız için yön değiştirmeyi veya sınırları yer değiştirmeyi unutmayın. Sonra taraf tarafa toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 74Soru →

2x=32^x = 3 ve 2y=812^y = 81 eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, (4)x+y2x(4)^{\frac{x+y}{2x}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Doğru cevap 32'dir.
Verilen eşitliklerde 2x=32^x=3 ve 2y=812^y=81 ilişkisinden yola çıkılarak, 81=3481=3^4 olduğu görülür. 2y=(3)4=(2x)4=24x2^y = (3)^4 = (2^x)^4 = 2^{4x} olduğundan y=4xy=4x eşitliği bulunur. Bu eşitlik sorulan ifadede yerine konulduğunda üs 52\frac{5}{2} çıkar. 45/2=324^{5/2} = 32 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci eşitlikteki 81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi belirleyin.
2y=81=342^y = 81 = 3^4 olduğu için, 2x=32^x = 3 bilgisini kullanarak 2y=(2x)4=24x2^y = (2^x)^4 = 2^{4x} elde edilir. Buradan y=4xy = 4x bulunur.
Değişkenler arasında bağlantı kurmak için tabanların eşitlenmesi gerekir.
2
Bulunan y=4xy = 4x eşitliğini sorulan ifadede yerine yazın.
İfade x+y2x\frac{x+y}{2x} olduğundan, x+4x2x=5x2x=52\frac{x+4x}{2x} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} bulunur.
İstenen üslü ifadenin kuvvetini sadeleştirmek için.
3
Tabanı düzenleyerek sonucu hesaplayın.
(4)52=(22)52=22⋅52=25=32(4)^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32.
Üssün üssü kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda taban değiştirme ve üssün üssü kuralı kullanılarak değişkenler arası ilişkilerin çözülmesi.

İpuçları

1
81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulun.
2
81=3481 = 3^4 olduğuna göre, 2y=(2x)42^y = (2^x)^4 eşitliğini kullanarak yy'nin xx cinsinden değerini belirleyin.
3
y=4xy = 4x eşitliğini sorudaki kesirde yerine koyun ve 44 tabanını 222^2 olarak düşünün.

Alternatif Yöntem

Logaritma kullanarak da çözülebilir: x=log⁡23x = \log_2 3 ve y=log⁡281=4log⁡23=4xy = \log_2 81 = 4 \log_2 3 = 4x. Buradan doğrudan oranlama yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:

a2<aa^2 < a
a⋅c>ca \cdot c > c
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
b>cb > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a - b) \cdot (b - c) > 0

Cevap

Verilen koşullar altında sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklindedir; bu durumda (a−b)(b−c)>0(a-b)(b-c) > 0 ifadesi daima doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 olarak bulunmuştur. Doğru seçenek (a−b)⋅(b−c)>0(a - b) \cdot (b - c) > 0 ifadesidir. Çünkü:
1. aa pozitif, bb negatiftir. a−b=a+∣b∣a - b = a + |b| olacağından bu ifade pozitiftir.
2. b>cb > c olduğu verilmiştir, dolayısıyla b−c>0b - c > 0 yani bu ifade de pozitiftir.
3. İki pozitif sayının çarpımı (+⋅++\cdot+) sıfırdan büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği analiz etme (a2<aa^2 < a)
0<a<10 < a < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.
2
İkinci eşitsizliği kullanarak cc'nin işaretini bulma (a⋅c>ca \cdot c > c)
c(a−1)>0⇒c<0c(a - 1) > 0 \Rightarrow c < 0
0<a<10 < a < 1 olduğu için (a−1)(a-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için cc de negatif olmalıdır.
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak bb'nin işaretini bulma (a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0)
a(+)⋅b(?)⋅c(−)>0⇒−b>0⇒b<0a(+) \cdot b(?) \cdot c(-) > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0
Pozitif (aa) ve negatif (cc) sayıların çarpımı negatiftir. Sonucun pozitif olması için bb negatif olmalıdır.
4
Sayılar arasındaki genel sıralamayı oluşturma (b>cb > c)
c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1
bb ve cc negatif olup b>cb > c verildiğinden sıralama bu şekilde oluşur.
5
Seçenekleri bu sıralamaya göre test etme
(a−b)(a-b) pozitiftir (pozitif - negatif). (b−c)(b-c) pozitiftir (büyük - küçük). Çarpımları pozitiftir.
Doğru seçeneği belirlemek için işaret analizi yapılır.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
a2<aa^2 < a eşitsizliği, aa sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
a⋅c>ca \cdot c > c eşitsizliğini c(a−1)>0c(a - 1) > 0 şeklinde düzenleyerek cc'nin işaretini belirleyin.
3
İşaretleri belirledikten sonra sayıları c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklinde sayı doğrusuna yerleştirip seçenekleri test edin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5, b=−2b = -2, c=−4c = -4 seçerek koşulların sağlandığını (b>cb > c ve işaretler) doğrulayın ve seçeneklerde yerine koyun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 76Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından yürütülen bir proje kapsamında; K, L ve M tarım havzalarına sulama suyu tahsis edilecektir. Havzalara verilecek su miktarları, havzaların ekili alan büyüklüğü ile doğru, bölgeye düşen yıllık ortalama yağış miktarı ile ters orantılı olacak şekilde belirlenmiştir.

Havzalara ait veriler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

HavzaEkili Alan (Bin Dönüm)Yıllık Yağış (mm)
K6060400400
L9090300300
M100100500500

L havzasına tahsis edilen su miktarı, K havzasına tahsis edilen su miktarından 240240 bin m3m^3 daha fazladır.

Buna göre, üç havzaya tahsis edilen toplam su miktarı kaç bin m3m^3'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1040

Cevap

Toplam su miktarı 1040 bin m3m^3'tür.
Soruda verilen bileşik orantı kuralına göre, her bir havzaya düşen pay Ekili AlanYıllık Yag˘ıs¸\frac{\text{Ekili Alan}}{\text{Yıllık Yağış}} oranı ile belirlenir.

K∝60400=320K \propto \frac{60}{400} = \frac{3}{20}
L∝90300=310=620L \propto \frac{90}{300} = \frac{3}{10} = \frac{6}{20}
M∝100500=15=420M \propto \frac{100}{500} = \frac{1}{5} = \frac{4}{20}

Paydaları 20'de eşitlediğimizde, paylar sırasıyla 33, 66 ve 44 ile orantılıdır. Buna göre:
K=3kK = 3k
L=6kL = 6k
M=4kM = 4k
diyebiliriz.

Soruda LL havzasının KK'den 240240 bin m3m^3 fazla aldığı belirtilmiştir:
6k−3k=240⇒3k=240⇒k=806k - 3k = 240 \Rightarrow 3k = 240 \Rightarrow k = 80.

Toplam su miktarı:
3k+6k+4k=13k3k + 6k + 4k = 13k
13×80=104013 \times 80 = 1040 bin m3m^3.

Adım Adım Çözüm

1
Her havza için orantı katsayısını belirle
Miktar = k · (Ekili Alan / Yıllık Yağış)
Problemde miktarın ekili alanla doğru, yağışla ters orantılı olduğu belirtilmiştir.
2
Verilen değerleri formüle yerleştirip oranları bul
K: 60/400 = 3/20, L: 90/300 = 3/10, M: 100/500 = 1/5
Her havzanın payını oran cinsinden ifade etmek için.
3
Kesirli ifadeleri tam sayıya çevirmek için genişlet (Payda eşitle)
Ortak payda 20'dir. K -> 3/20, L -> 6/20, M -> 4/20. Oranlar: 3 : 6 : 4
İşlem kolaylığı için oranları en sade tam sayılarla (3k, 6k, 4k) ifade etmek gerekir.
4
Verilen fark bilgisini kullanarak k orantı sabitini bul
L - K = 6k - 3k = 3k = 240 ise k = 80
L ve K havzaları arasındaki farkın 240 olduğu verilmiştir.
5
Toplam su miktarını hesapla
Toplam Pay = 3k + 6k + 4k = 13k. Toplam Miktar = 13 · 80 = 1040
Tüm havzaların toplam payı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı

İpuçları

1
Bir büyüklük A ile doğru, B ile ters orantılı ise; bu büyüklük AB\frac{A}{B} kesri ile orantılıdır.
2
Her havza için Ekili AlanYıllık Yag˘ıs¸\frac{\text{Ekili Alan}}{\text{Yıllık Yağış}} değerini hesaplayıp sadeleştirin. Çıkan kesirleri tam sayı oranlarına dönüştürmek için paydaları eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla; işçi sayısı ile doğru, işin bitme süresi ile ters orantılı ücret dağılımı problemlerini inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 77Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her x,yx, y gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y+xy+2x \Delta y = 2x + 2y + xy + 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemin etkisiz (birim) elemanı ile 3 sayısının Δ\Delta işlemine göre tersinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −145-\frac{14}{5}

Cevap

İşlemin etkisiz elemanı e=−1e = -1 ve 3'ün tersi t=−9/5t = -9/5 olduğundan toplam −14/5-14/5'tir.
İşlem sorularında önce genel etkisiz eleman (ee) bulunmalıdır. xΔe=xx \Delta e = x eşitliğinden 2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x yazılır ve düzenlenirse x(e+1)+2(e+1)=0x(e+1) + 2(e+1) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her xx için sağlanması için e=−1e = -1 olmalıdır. Daha sonra 3'ün tersi (tt) için 3Δt=−13 \Delta t = -1 eşitliği çözülür: 2(3)+2t+3t+2=−1⇒5t=−9⇒t=−9/52(3) + 2t + 3t + 2 = -1 \Rightarrow 5t = -9 \Rightarrow t = -9/5. İstenen toplam: −1+(−9/5)=−14/5-1 + (-9/5) = -14/5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin etkisiz elemanını (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullan.
2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x
Etkisiz eleman tanımı gereği, işleme giren elemanı değiştirmemelidir.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek ee değerini çöz.
x(e+1)+2(e+1)=0⇒(x+2)(e+1)=0x(e+1) + 2(e+1) = 0 \Rightarrow (x+2)(e+1) = 0. Her xx için sağlanması gerektiğinden e+1=0⇒e=−1e+1=0 \Rightarrow e = -1.
Eşitliğin her xx değeri için sağlanması ancak katsayıların sıfırlanmasıyla mümkündür.
3
3'ün tersini (tt) bulmak için 3Δt=e3 \Delta t = e eşitliğini kur.
2(3)+2t+3t+2=−12(3) + 2t + 3t + 2 = -1
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu etkisiz eleman elde edilmelidir.
4
Denklemi çözerek tt değerini bul ve ee ile topla.
6+5t+2=−1⇒5t=−9⇒t=−956 + 5t + 2 = -1 \Rightarrow 5t = -9 \Rightarrow t = -\frac{9}{5}. Toplam: −1+(−95)=−145-1 + (-\frac{9}{5}) = -\frac{14}{5}.
Sonuç için bulunan iki değerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

İşlem konusunda etkisiz eleman ve ters eleman bulma yöntemleri.

İpuçları

1
Önce işlemin etkisiz elemanını (ee) bulmalısın. Bunun için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullan.
2
2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x denklemini xx'e bağlı gruplandırarak ee'yi bul. Sonra ters eleman için 3Δt=e3 \Delta t = e denklemini çöz.
3
e=−1e = -1 olmalıdır. 3'ün tersi tt için 2(3)+2t+3t+2=−12(3) + 2t + 3t + 2 = -1 denklemini çöz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 78Soru →
x−32−x−43=1\frac{x-3}{2} - \frac{x-4}{3} = 1

Yukarıda verilen denklemi sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Verilen rasyonel denklemde paydalar 6'da eşitlenip düzenlendiğinde x−1=6x-1=6 elde edilir, buradan da x=7x=7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek için denklemin her iki tarafını veya kesirleri uygun sayılarla genişletin.
Paydalar 6'da eşitlenir: 3(x−3)6−2(x−4)6=6⋅16\frac{3(x-3)}{6} - \frac{2(x-4)}{6} = \frac{6 \cdot 1}{6}
Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir. 2 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.
2
Paydaları atıp pay kısımlarını düzenleyin ve parantezleri dağıtın.
3(x−3)−2(x−4)=6⇒3x−9−2x+8=63(x-3) - 2(x-4) = 6 \Rightarrow 3x - 9 - 2x + 8 = 6
Eşitliğin her iki tarafındaki paydalar aynı olduğu için sadeleşir. Eksi işareti parantez içine dağıtılırken dikkat edilmelidir (−2⋅−4=+8-2 \cdot -4 = +8).
3
Benzer terimleri toplayarak xx'i yalnız bırakın.
(3x−2x)+(−9+8)=6⇒x−1=6(3x - 2x) + (-9 + 8) = 6 \Rightarrow x - 1 = 6
Bilinmeyenler ve sabit sayılar kendi aralarında işleme alınır.
4
Sabit sayıyı karşıya atarak sonucu bulun.
x=6+1⇒x=7x = 6 + 1 \Rightarrow x = 7
Eşitliğin bir tarafındaki −1-1, diğer tarafa +1+1 olarak geçer.

Anahtar Kavram

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerin çözümünde payda eşitleme ve işaret dağılımı.
Soru 79Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 16'dır.
Verilen x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi parabolik bir ifadedir ve tepe noktası x=3x=3 apsisindedir. Verilen −2<x<5-2 < x < 5 aralığı bu tepe noktasını kapsadığı için, ifadenin alabileceği en küçük değer tepe noktasında oluşur. Tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 elde edilir. Aralık (−5,2)(-5, 2)'ye dönüşür ve karesi alındığında [0,25)[0, 25) aralığı bulunur. Sonuçta ifade [−4,21)[-4, 21) aralığındadır. Buradan en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 20 bulunur ve toplamları 16 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.
x2−6x+5=(x−3)2−9+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4
İkinci dereceden ifadenin aralığını bulmak için tam kare formu, değişkenin tek bir yerde olmasını sağlar ve hata yapmayı engeller.
2
xx için verilen aralığı (x−3)(x-3) ifadesine dönüştür.
−2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğinin her yanından 3 çıkarılırsa: −5<x−3<2-5 < x-3 < 2 elde edilir.
Tam kare içindeki ifadenin aralığını belirlemek gereklidir.
3
(x−3)2(x-3)^2 ifadesinin aralığını bul.
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığı 0'ı içerdiğinden, karenin en küçük değeri 0'dır. En büyük değer ise sınırların karelerinin büyüğü olan (−5)2=25(-5)^2 = 25'tir (dahil değil). Yani: 0≤(x−3)2<250 \le (x-3)^2 < 25.
Bir aralık negatiften pozitife geçiyorsa, karesinin alt sınırı daima 0 olur. Bu, sorunun en kritik noktasıdır.
4
Elde edilen eşitsizlikten 4 çıkararak sonuç aralığını bul.
0−4≤(x−3)2−4<25−4  ⟹  −4≤x2−6x+5<210 - 4 \le (x-3)^2 - 4 < 25 - 4 \implies -4 \le x^2 - 6x + 5 < 21.
İfadenin orijinal haline ulaşmak için son işlem yapılır.
5
Tam sayı değerlerini belirle ve topla.
En küçük tam sayı değeri: −4-4 (eşitlik var). En büyük tam sayı değeri: 2020 (21'den küçük). Toplam: 20+(−4)=1620 + (-4) = 16.
Soruda istenen değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir eşitsizlik aralığının karesi alınırken, eğer aralık negatif ve pozitif sayıları içeriyorsa (örneğin −a<x<b-a < x < b), karenin alt sınırı daima 0 olur (0≤x20 \le x^2).

İpuçları

1
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği değerleri bulurken, ifadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamak işinizi kolaylaştırır.
2
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesini (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 olarak yazın. Şimdi −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğini kullanarak (x−3)(x-3)'ün aralığını bulun.
3
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığının karesini alırken dikkat edin! Aralık negatiften pozitife geçtiği için (0'ı içerdiği için), karenin en küçük değeri daima 0 olur.

Alternatif Yöntem

Türev veya Parabol Bilgisi ile: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun tepe noktası r=−b/2a=6/2=3r = -b/2a = 6/2 = 3'tür. x=3x=3 değeri verilen (−2,5)(-2, 5) aralığında olduğu için minimum değer f(3)=9−18+5=−4f(3) = 9 - 18 + 5 = -4'tür. Maksimum değer için sınırlara bakılır: f(−2)=21f(-2) = 21 ve f(5)=0f(5) = 0. Değer kümesi [−4,21)[-4, 21) olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 80Soru →

x=7+43x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} ve y=23−1y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} sayıları veriliyor.

Buna göre, y−xy - x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
İşlem önceliğine uyularak önce iç içe kök dışarı çıkarılır (x=2+3x=2+\sqrt{3}), ardından kesirli ifade eşlenik ile genişletilerek düzenlenir (y=3+1y=\sqrt{3}+1). Son olarak y−xy-x işlemi yapıldığında sonuç -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısındaki iç içe kök ifadesini düzenle.
x=7+2⋅23=7+212x = \sqrt{7 + 2\cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}. Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar 4 ve 3'tür. O halde x=4+3=2+3x = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} olur.
A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralını uygulamak için kök içindeki ifadeyi standart forma getirmek gerekir.
2
y sayısının paydasını rasyonel yap.
y=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1y = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1 olur.
Köklü ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için eşlenik ile çarpma işlemi yapılır.
3
y - x farkını hesapla.
y−x=(3+1)−(2+3)=3+1−2−3=1−2=−1y - x = (\sqrt{3} + 1) - (2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1 - 2 - \sqrt{3} = 1 - 2 = -1.
Bulunan sadeleşmiş değerler yerine yazılarak çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda eşlenik kavramı ve iç içe köklerin ( a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} ) dışarı çıkarılması.
ÖncekiSayfa 4 / 22Sonraki
Cebir Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4 | Examkin