Examkin

Cebir

424 soru

Soru 141Soru →
(−4)3⋅(−2)4(−8)2⋅(−2)\frac{(-4)^3 \cdot (-2)^4}{(-8)^2 \cdot (-2)}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İşlemin sonucu 8'dir.
İşlem adımları takip edildiğinde; pay kısmı −210-2^{10}, payda kısmı ise −27-2^7 olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü (−210)/(−27)=210−7=23=8(-2^{10}) / (-2^7) = 2^{10-7} = 2^3 = 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir üslü ifadenin işaretini belirle ve tabanları 2'nin kuvveti şeklinde yaz.
(−4)3(-4)^3 negatiftir (tek kuvvet), (−2)4(-2)^4 pozitiftir (çift kuvvet), (−8)2(-8)^2 pozitiftir (çift kuvvet).
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. İşlem kolaylığı için en küçük asal taban (2) kullanılır.
2
Pay kısmındaki ifadeleri düzenle.
(−4)3=−(22)3=−26(-4)^3 = -(2^2)^3 = -2^6 ve (−2)4=24(-2)^4 = 2^4. Çarpım: (−26)⋅24=−210(-2^6) \cdot 2^4 = -2^{10}.
Tabanlar aynıyken çarpma işleminde üsler toplanır: 6+4=106+4=10. Sonuç negatiftir.
3
Payda kısmındaki ifadeleri düzenle.
(−8)2=(23)2=26(-8)^2 = (2^3)^2 = 2^6. Yanındaki çarpan −2=−21-2 = -2^1. Çarpım: 26⋅(−21)=−272^6 \cdot (-2^1) = -2^{7}.
Tabanlar aynıyken üsler toplanır: 6+1=76+1=7. Pozitif ile negatifin çarpımı negatiftir.
4
Payı paydaya böl.
−210−27=+210−7=23=8\frac{-2^{10}}{-2^7} = +2^{10-7} = 2^3 = 8.
Negatifin negatife bölümü pozitiftir. Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü sayılarda parantez ve kuvvet ilişkisi (Tek/Çift kuvvet kuralı) ve üslü sayılarda dört işlem.
Soru 142Soru →
a,ba, b ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
a+b+c=12a + b + c = 12
ab+ac+bc=31ab + ac + bc = 31
olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 82

Cevap

İstenen kareler toplamının değeri 82'dir.
Verilen a+b+c=12a+b+c=12 ifadesinin her iki yanının karesi alındığında a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=144a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 144 elde edilir. Soruda verilen ab+ac+bc=31ab+ac+bc=31 değeri yerine yazıldığında a2+b2+c2+62=144a^2+b^2+c^2+62=144 denklemi kurulur. Buradan a2+b2+c2=144−62=82a^2+b^2+c^2 = 144-62=82 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üç terimli toplamın karesi özdeşliğini yazma
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
Verilen toplam ve ikili çarpım değerlerini kullanarak kareler toplamına ulaşmak için bu temel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyma
122=a2+b2+c2+2(31)12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(31)
a+b+c=12a+b+c = 12 ve ab+ac+bc=31ab+ac+bc = 31 değerleri formüle yerleştirilir.
3
Karesel ve çarpımsal işlemleri tamamlama
144=a2+b2+c2+62144 = a^2 + b^2 + c^2 + 62
122=14412^2 = 144 ve 2×31=622 \times 31 = 62 hesaplamaları yapılır.
4
İstenen ifadeyi yalnız bırakma
a2+b2+c2=144−62=82a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 62 = 82
6262 sayısı eşitliğin sol tarafına çıkarma işlemi olarak geçirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç Terimli Toplamın Karesi Özdeşliği

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi bu tarz sorularda bazen işe yarasa da, gerçel sayı şartı olduğu için tam sayı değerleri bulmak zor olabilir. En güvenli ve hızlı yol özdeşlik formülünü uygulamaktır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 143Soru →

Bir kamu kurumunda dağıtılacak olan performans ikramiyesi; çalışanların kıdem yılları olan 33, 44 ve 66 ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır. Eğer bu ikramiye tutarı, aynı sayılarla doğru orantılı olarak paylaştırılsaydı; 66 yıl kıdemi olan çalışanın alacağı pay 28.00028.000 TL daha fazla olacaktı. Buna göre, dağıtılan toplam ikramiye tutarı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 117.000

Cevap

Toplam ikramiye tutarı 117.000 TL'dir.
Toplam paraya XX diyelim. 6 yıllık çalışanın payı; ters orantıda 2/9X2/9 X, doğru orantıda ise 6/13X6/13 X olur. Bu iki değerin farkı olan 28X/11728X/117, soruda verilen 28.00028.000 TL'ye eşitlendiğinde X=117.000X = 117.000 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantılı dağıtım senaryosunu analiz et.
Paylar: 1/3, 1/4, 1/6. Payda eşitle (12'de): 4k, 3k, 2k. Toplam pay: 9k. 6 yıllık çalışanın payı (2k): Toplamın 2/9'u.
Ters orantı problemleri çözülürken katsayılar kesirli hale (1/x) getirilir ve tamsayı oranlarına dönüştürülür.
2
Doğru orantılı dağıtım senaryosunu analiz et.
Paylar: 3m, 4m, 6m. Toplam pay: 13m. 6 yıllık çalışanın payı (6m): Toplamın 6/13'ü.
Doğru orantıda paylar doğrudan verilen sayılarla orantılıdır.
3
İki durum arasındaki fark denklemini kur ve çöz.
(6/13)X - (2/9)X = 28.000 denklemi kurulur. Paydalar 117'de eşitlenir: (54X - 26X)/117 = 28.000 => 28X/117 = 28.000 => X = 117.000 TL.
Soruda verilen fark miktarı, iki senaryodaki payların farkına eşitlenerek toplam miktar bulunur.

Anahtar Kavram

Bir bütünün doğru ve ters orantılı parçalara ayrılması arasındaki cebirsel ilişki.

İpuçları

1
Toplam ikramiye tutarına XX diyerek, her iki durumda da 6 yıllık çalışanın alacağı payı XX cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Ters orantıda paylar 1/3,1/4,1/61/3, 1/4, 1/6 ile orantılıdır. Bunları tamsayı yapmak için 12 ile genişletirseniz paylar sırasıyla 4, 3 ve 2 birim olur.
3
6 yıllık çalışanın payı; ters orantıda toplamın 2/92/9'u, doğru orantıda ise toplamın 6/136/13'üdür. Bu iki kesrin farkı 28.00028.000 TL'ye eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar yerine kişi başı düşen payın verildiği bir kurguyla tekrar çözünüz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Doğru cevap hem 9'a hem de 13'e tam bölünebilen bir sayı olmalıdır (117'nin katı). Şıklarda 117.000 bu kurala uyan en güçlü adaydır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 144Soru →

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için aşağıdakiler bilinmektedir:

∣x∣>x |x| > x
x2⋅y>x2 x^2 \cdot y > x^2
Buna göre,
∣x−y∣+∣1−y∣−x2 |x - y| + |1 - y| - \sqrt{x^2}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2y - 1

Cevap

İfadenin en sade hali 2y−12y - 1 dir.
Verilen koşullardan xx'in negatif, yy'nin ise 1'den büyük olduğu anlaşılır. Bu bilgilerle mutlak değerlerin içi analiz edildiğinde; ∣x−y∣|x-y| negatiftir ve −x+y-x+y olarak çıkar, ∣1−y∣|1-y| negatiftir ve y−1y-1 olarak çıkar. x2\sqrt{x^2} ifadesi ∣x∣|x| yani −x-x tir. İşlemler yapıldığında sonuç 2y−12y-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x değişkeninin işaretini belirle
x < 0
∣x∣>x|x| > x eşitsizliği, bir sayının mutlak değerinin kendisinden büyük olduğunu belirtir. Bu durum sadece negatif sayılar için geçerlidir. Dolayısıyla xx negatiftir.
2
y değişkeninin aralığını belirle
y > 1
x2⋅y>x2x^2 \cdot y > x^2 eşitsizliğinde, xx sıfırdan farklı olduğu için x2x^2 pozitif bir sayıdır. Eşitsizliğin her iki tarafı x2x^2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez ve y>1y > 1 elde edilir.
3
|x - y| ifadesini mutlak değer dışına çıkar
-x + y
x<0x < 0 ve y>1y > 1 (dolayısıyla yy pozitif) olduğu için, küçük sayıdan büyük sayı çıkarılmaktadır (x−y<0x - y < 0). İfade eksi ile çarpılarak çıkar: −(x−y)=−x+y-(x - y) = -x + y.
4
|1 - y| ifadesini mutlak değer dışına çıkar
y - 1
y>1y > 1 olduğu için 1−y1 - y negatiftir. İfade eksi ile çarpılarak çıkar: −(1−y)=y−1-(1 - y) = y - 1.
5
sqrt(x^2) ifadesini sadeleştir
-x
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralı gereği, x<0x < 0 olduğu için bu ifade −x-x olarak çıkar.
6
Tüm terimleri birleştir ve sonucu bul
2y - 1
İfadeyi toparlayalım: (−x+y)+(y−1)−(−x)=−x+y+y−1+x=2y−1(-x + y) + (y - 1) - (-x) = -x + y + y - 1 + x = 2y - 1.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerde, mutlak değerin içi negatifse ifade eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen dışarı çıkarılır. x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| eşitliği unutulmamalıdır.
Soru 145Soru →

a<b<0a < b < 0 olmak üzere,

∣b2−a2∣∣a+b∣+∣a−b∣ \frac{|b^2 - a^2|}{|a+b|} + |a - b|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2b - 2a

Cevap

2b−2a2b - 2a ifadesidir.
Verilen a<b<0a < b < 0 koşuluna göre işaret analizi doğru yapıldığında; kesirli ifadenin payı a2−b2a^2 - b^2, paydası −(a+b)-(a+b) olarak çıkar. Sadeleştirme sonucu b−ab-a elde edilir. İkinci terim olan ∣a−b∣|a-b| de b−ab-a olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2b−2a2b - 2a sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
a<b<0a < b < 0 olduğundan:
1. a+ba+b negatiftir (a+b<0a+b < 0).
2. a<b<0a < b < 0 sıralamasında mutlak değerce büyük olan aa'dır (∣a∣>∣b∣|a| > |b|), dolayısıyla a2>b2a^2 > b^2 olur. Bu durumda b2−a2b^2 - a^2 negatiftir (b2−a2<0b^2 - a^2 < 0).
3. a<ba < b olduğundan a−ba - b negatiftir (a−b<0a - b < 0).
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulamak için içerideki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğu tespit edilmelidir.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkar.
∣a+b∣=−(a+b)|a+b| = -(a+b)
∣b2−a2∣=−(b2−a2)=a2−b2|b^2 - a^2| = -(b^2 - a^2) = a^2 - b^2
∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a - b| = -(a - b) = b - a
Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alır (- ile çarpılır).
3
Elde edilen ifadeleri yerine yaz ve sadeleştir.
a2−b2−(a+b)+(b−a)\frac{a^2 - b^2}{-(a+b)} + (b - a)
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)):
=(a−b)(a+b)−(a+b)+b−a= \frac{(a-b)(a+b)}{-(a+b)} + b - a
(a+b)(a+b) ifadeleri sadeleşir ve paydadaki eksi işareti kalır:
=−(a−b)+b−a= -(a - b) + b - a
=−a+b+b−a= -a + b + b - a
=2b−2a= 2b - 2a
Cebirsel ifadelerde gerekli dört işlem ve sadeleştirmeler yapılarak en yalın hal bulunur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içindeki ifade negatif ise dışarıya -1 ile çarpılarak (işaret değiştirerek) çıkar. Negatif sayıların karesi alındığında sıralama ters döner (a<b<0  ⟹  a2>b2a < b < 0 \implies a^2 > b^2).

İpuçları

1
Değişkenlerin işaretini ve büyüklüğünü anlamak için örnek değerler veriniz (örneğin a=−3,b=−2a = -3, b = -2). Bu değerleri kullanarak mutlak değer içlerinin pozitif mi negatif mi olduğuna karar veriniz.
2
Negatif sayılarda sıralama a<ba < b ise kareleri arasında a2>b2a^2 > b^2 ilişkisi vardır. Buna göre b2−a2b^2 - a^2 ifadesinin negatif olduğuna dikkat ediniz.
3
Kesirli ifadenin payını (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) veya (b−a)(b+a)(b-a)(b+a) şeklinde çarpanlarına ayırarak payda ile sadeleştiriniz. Paydadaki ∣a+b∣|a+b| ifadesinin −(a+b)-(a+b) olarak çıkacağını unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde benzer işaret analizlerini içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: a=−2a=-2 ve b=−1b=-1 seçilirse ifade ∣1−4∣∣−3∣+∣−2−(−1)∣=33+∣−1∣=1+1=2\frac{|1 - 4|}{|-3|} + |-2 - (-1)| = \frac{3}{3} + |-1| = 1 + 1 = 2 olur. Seçeneklerde a=−2,b=−1a=-2, b=-1 yazıldığında sonucu 2 olan tek seçenek 2b−2a2b - 2a (2(-1) - 2(-2) = -2 + 4 = 2) seçeneğidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 146Soru →

Bir Kalkınma Ajansı, altyapı destek programı kapsamında ayırdığı toplam fonu, üç farklı ilçeye (K, L ve M) bu ilçelerin nüfus yoğunlukları olan 33, 44 ve 66 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırmayı planlamıştır. Ancak strateji kurulunda alınan yeni bir kararla, fonun dağıtım şekli değiştirilmiş ve aynı toplam fon, bu sayılarla doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır.

Bu değişiklik sonucunda, K ilçesine düşen fon miktarının ilk plana göre 50.00050.000 TL azaldığı belirlenmiştir. Buna göre, yeni dağıtım planında M ilçesine düşen fon miktarı, ilk plana göre kaç TL artmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56.000

Cevap

M ilçesinin payı 56.000 TL artmıştır.
Sorunun çözümü için iki farklı dağıtım senaryosunu (ters ve doğru orantı) ortak bir toplam parada eşitlemek gerekir. 3, 4 ve 6 ile ters orantılı dağılım 4, 3, 2 birimlik paylar (Toplam 9 birim) verir. Aynı sayılarla doğru orantılı dağılım ise 3, 4, 6 birimlik paylar (Toplam 13 birim) verir. Toplam parayı 9 ve 13'ün katı olan 117x olarak belirlediğimizde, K ilçesinin payı 52x'ten 27x'e düşmüştür. Aradaki 25x'lik fark 50.000 TL ise x=2.000 TL'dir. M ilçesinin payı ise 26x'ten 54x'e çıkarak 28x artmıştır. Bu da 56.000 TL'ye karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durum (Ters Orantı) için payları birim cinsinden hesapla.
3, 4, 6 ile ters orantı kuralı gereği (EKOK=12); K=4k, L=3k, M=2k olur. Toplam pay: 9k.
Ters orantı problemlerinde paylar, sayıların çarpımsal tersleriyle veya EKOK üzerinden katsayılarla ifade edilir.
2
İkinci durum (Doğru Orantı) için payları birim cinsinden hesapla.
3, 4, 6 ile doğru orantı kuralı gereği; K=3d, L=4d, M=6d olur. Toplam pay: 13d.
Doğru orantıda paylar verilen sayılarla direkt katsayılıdır.
3
Toplam para değişmediği için iki durumdaki toplam birimleri eşitle.
Toplam Para = 9k = 13d. Eşitliği sağlamak için k=13x ve d=9x diyelim. Toplam Para = 117x olur.
Aynı toplam parayı farklı oranlarla dağıttığımız için ortak bir kat (EKOK) bulmak işlemleri kolaylaştırır.
4
K ilçesi için verilen fark bilgisini kullanarak x değerini bul.
K (ilk) = 4k = 4(13x) = 52x. K (son) = 3d = 3(9x) = 27x. Fark: 52x - 27x = 25x = 50.000 TL. Buradan x = 2.000 TL bulunur.
Soruda verilen sayısal değer (50.000 TL azalma), bilinmeyen x biriminin TL karşılığını bulmamızı sağlar.
5
M ilçesindeki değişimi hesapla.
M (ilk) = 2k = 2(13x) = 26x. M (son) = 6d = 6(9x) = 54x. Artış = 54x - 26x = 28x. Değer: 28 * 2.000 = 56.000 TL.
x değerini yerine koyarak istenen ilçenin değişim miktarını buluruz.

Anahtar Kavram

Hem ters orantı hem de doğru orantı içeren problemlerde, toplam miktarın sabitliği üzerinden ortak kat (EKOK) yöntemiyle birim eşitleme yapılması.

İpuçları

1
Önce 3, 4 ve 6 ile ters orantılı sayıları (payları) bulun. Bunun için 3, 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) kullanabilirsiniz.
2
Ters orantıda paylar 4k, 3k, 2k (Toplam 9k); doğru orantıda paylar 3d, 4d, 6d (Toplam 13d) olur. Para değişmediği için 9k = 13d eşitliğini sağlayacak ortak bir kat seçin.
3
Toplam paraya 117x derseniz işlem kolaylaşır. K'nın ilk payı ile son payı arasındaki farkı 50.000'e eşitleyerek x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar yerine kişi başı düşen payın değişmediği bir senaryo ile (örneğin L ilçesinin payı değişmeseydi oranlar ne olmalıydı?) kurgulayarak çözün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 147Soru →

Bir İl Özel İdaresi, köy yolları bakım projesi kapsamında üç farklı şantiyeye (A, B ve C) mıcır malzemesi sevk edecektir. Sevk edilecek malzeme miktarları; A ve B şantiyeleri için sırasıyla 3 ve 5 sayıları ile doğru, C şantiyesi için ise 2 sayısı ile ters orantılıdır. En fazla malzeme alan şantiye, en az malzeme alan şantiyeden 270 ton daha fazla malzeme almıştır. Buna göre, toplam sevk edilen malzeme miktarı kaç tondur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 510

Cevap

Toplam sevk edilen malzeme miktarı 510 tondur.
Verilen orantı kurallarına göre A=3k, B=5k ve C=k/2 yazılır. Kesirden kurtulmak için k=2x dönüşümü yapılırsa paylar A=6x, B=10x, C=x olur. En büyük pay (10x) ile en küçük pay (x) arasındaki fark 9x'tir. 9x=270 denkleminden x=30 bulunur. Toplam malzeme 17x olduğundan, 17*30=510 sonucu doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Orantı türlerine göre her bir şantiyenin alacağı miktarı matematiksel olarak ifade et.
A=3kA = 3k, B=5kB = 5k, C=k2C = \frac{k}{2}
Doğru orantıda çarpım, ters orantıda bölüm sabitine eşitlenir.
2
Kesirli ifadelerden kurtulmak için tüm ifadeleri paydadaki sayının (2) katı cinsinden yaz (Genişletme).
k=2xk = 2x dönüşümü yapılırsa: A=6xA = 6x, B=10xB = 10x, C=xC = x olur.
Tam sayılarla işlem yapmak hata riskini azaltır ve karşılaştırmayı kolaylaştırır.
3
En fazla ve en az malzeme alan şantiyeleri belirle ve verilen fark bilgisini kullanarak denklemi kur.
En fazla: B(10x)B (10x), En az: C(x)C (x). Denklem: 10x−x=270⇒9x=27010x - x = 270 \Rightarrow 9x = 270.
Soruda verilen fark bilgisi bilinmeyeni bulmak için gereklidir.
4
Bilinmeyen x değerini bul ve toplam malzeme miktarını hesapla.
x=30x = 30. Toplam = 6x+10x+x=17x6x + 10x + x = 17x. Sonuç: 17×30=51017 \times 30 = 510.
Bulunan birim değer, toplam pay denkleminde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Hem doğru hem ters orantı içeren problemlerde, ters orantılı ifade kesirli (k/ak/a) yazılır. İşlem kolaylığı için tüm ifadeler kesrin paydası ile genişletilerek tam sayılı orantı (xx cinsinden) kurulur.

İpuçları

1
Ters orantılı çoklukları ifade ederken kk sabitini sayıya bölmeniz gerekir (k/2k/2 gibi).
2
Kesirli ifadelerle uğraşmamak için C=k/2C = k/2 ifadesini tam sayı yapacak yeni bir değişken (k=2xk=2x) tanımlayarak tüm payları genişletin.
3
Genişletme sonrası şantiyelerin payları: A için 3×2=63 \times 2 = 6 kat, B için 5×2=105 \times 2 = 10 kat, C için 11 kat olur. Farkları olan 99 kat 270270'e eşittir.

Alternatif Yöntem

EKOK Yöntemi: 2 (ters orantıdaki sayı) ile orantılı bir bütün seçmek yerine, ters orantıyı C⋅2=kC \cdot 2 = k olarak düşünüp, doğru orantıları A/3=B/5=kA/3 = B/5 = k şeklinde yazabiliriz. Buradan C=k/2C=k/2 gelir. Yine aynı kapıya çıkar ancak başlangıçta kk yerine doğrudan 2x2x diyerek başlamak daha hızlıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 148Soru →
nn bir tam sayı olmak üzere,
(−1)2n+(−1)4n+1−(−1)2n−1(−1)2n+1 \frac{ (-1)^{2n} + (-1)^{4n+1} - (-1)^{2n-1} }{ (-1)^{2n+1} }
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Verilen ifadede nn bir tam sayı olduğundan, kuvvetlerin tek veya çift olma durumları incelenir. (−1)2n(-1)^{2n} çift kuvvet olduğu için +1+1, (−1)4n+1(-1)^{4n+1} ve (−1)2n−1(-1)^{2n-1} tek kuvvet oldukları için −1-1 değerini alır. Paydaki işlem 1+(−1)−(−1)=11 + (-1) - (-1) = 1 olur. Payda ise (−1)2n+1(-1)^{2n+1} tek kuvvet olduğu için −1-1 olur. Sonuç 1/(−1)=−11 / (-1) = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kuvvetlerin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirle.
nn tam sayı olduğu için;
2n2n çifttir,
4n+14n+1 tektir,
2n−12n-1 tektir,
2n+12n+1 tektir.
Negatif tabanlı üslü sayılarda, kuvvetin tek veya çift olması sonucun işaretini doğrudan etkiler.
2
Pay kısmındaki her bir terimin değerini hesapla.
1. Terim: (−1)c¸ift=+1(-1)^{\text{çift}} = +1
2. Terim: (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
3. Terim: (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
3
Paydaki işlemleri yerine koy ve sonucu bul.
Pay = (+1)+(−1)−(−1)=1−1+1=1(+1) + (-1) - (-1) = 1 - 1 + 1 = 1
İşaretler dikkate alınarak toplama ve çıkarma işlemi yapılır.
4
Paydadaki ifadeyi hesapla.
Payda = (−1)tek=−1(-1)^{\text{tek}} = -1
Negatif sayının tek kuvveti negatiftir.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
1−1=−1\frac{1}{-1} = -1
Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü negatiftir.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü sayılarda, parantez dışındaki kuvvet çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir ((−1)2n=1(-1)^{2n}=1, (−1)2n+1=−1(-1)^{2n+1}=-1).
Soru 149Soru →

Sayı doğrusu üzerinde 12\sqrt{12} noktasına olan uzaklığı 27\sqrt{27} birim olan gerçel sayıların çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15
Sayı doğrusunda 12\sqrt{12} (232\sqrt{3}) noktasına 27\sqrt{27} (333\sqrt{3}) uzaklıktaki noktalar, merkezin sağında ve solunda yer alır. Sağdaki nokta 23+33=532\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}, soldaki nokta 23−33=−32\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}'tür. Bu iki değerin çarpımı (53)(−3)=−5(3)=−15(5\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -5(3) = -15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadeleri aba\sqrt{b} biçiminde en sade hale getir.
12=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} ve 27=9⋅3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}
İşlemleri daha kolay yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir.
2
Uzaklık kavramını mutlak değer denklemi olarak ifade et.
∣x−23∣=33|x - 2\sqrt{3}| = 3\sqrt{3}
Sayı doğrusunda aa noktasına uzaklığı dd olan noktalar ∣x−a∣=d|x - a| = d denklemi ile bulunur.
3
Mutlak değer denklemini iki durum için çöz.
Durum 1: x−23=33⇒x1=53x - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow x_1 = 5\sqrt{3}
Durum 2: x−23=−33⇒x2=−3x - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \Rightarrow x_2 = -\sqrt{3}
Mutlak değer içi pozitif veya negatif olabilir.
4
Bulunan değerleri çarp.
(53)⋅(−3)=−5⋅(3⋅3)=−5⋅3=−15(5\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = -5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -5 \cdot 3 = -15
Soruda bu değerlerin çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda uzaklık kavramı mutlak değerle ifade edilir: ∣x−a∣=d|x - a| = d. Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması gerekir.

İpuçları

1
Köklü ifadeleri aba\sqrt{b} formuna getirerek işlem yapmayı dene. (12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3})
2
Bir AA noktasına uzaklığı dd olan noktalar A+dA+d ve A−dA-d olarak bulunur.
3
Bulacağın noktalar 23+332\sqrt{3} + 3\sqrt{3} ve 23−332\sqrt{3} - 3\sqrt{3} olacaktır. Bu iki değeri çarparken işaretlere dikkat et.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 150Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
∣2x−1∣≤9 |2x - 1| \le 9
∣x+1∣≥3 |x + 1| \ge 3
eşitsizlik sistemini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan değerlerin toplamı 10'dur.
Doğru çözüm için her iki mutlak değer eşitsizliği ayrı ayrı çözülmeli ve bulunan çözüm kümelerinin kesişimi alınmalıdır. Birinci eşitsizlikten [−4,5][-4, 5] aralığı, ikinci eşitsizlikten ise (−∞,−4]∪[2,∞)(-\infty, -4] \cup [2, \infty) kümesi elde edilir. Bu iki kümenin kesişimindeki tam sayılar -4, 2, 3, 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 10 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği çözerek x'in alabileceği aralığı belirle.
−9≤2x−1≤9  ⟹  −8≤2x≤10  ⟹  −4≤x≤5 -9 \le 2x - 1 \le 9 \implies -8 \le 2x \le 10 \implies -4 \le x \le 5
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan küçük veya eşitse (∣A∣≤k|A| \le k), ifade −k-k ile kk arasında yer alır.
2
İkinci eşitsizliği çözerek kısıtlamaları belirle.
x+1≥3  ⟹  x≥2 x + 1 \ge 3 \implies x \ge 2 VEYA x+1≤−3  ⟹  x≤−4 x + 1 \le -3 \implies x \le -4
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan büyük veya eşitse (∣A∣≥k|A| \ge k), ifade ya kk'dan büyük eşittir ya da −k-k'dan küçük eşittir.
3
Her iki adımı sağlayan ortak tam sayıları (kesişim kümesini) bul.
Birinci aralık: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}. İkinci koşul: x≤−4x \le -4 veya x≥2x \ge 2. Kesişim: {−4,2,3,4,5}\{-4, 2, 3, 4, 5\}.
Sistemin çözümü için her iki eşitsizliğin aynı anda sağlanması gerekir.
4
Bulunan değerleri topla.
(−4)+2+3+4+5=10 (-4) + 2 + 3 + 4 + 5 = 10
Soruda x değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
Her iki eşitsizliği ayrı ayrı çözün ve sayı doğrusu üzerinde gösterin.
2
∣A∣≤k|A| \le k ifadesi −k≤A≤k-k \le A \le k anlamına gelirken; ∣A∣≥k|A| \ge k ifadesi A≥kA \ge k veya A≤−kA \le -k anlamına gelir.
3
Birinci eşitsizlikten xx, -4 ile 5 arasındadır (sınırlar dahil). İkinci eşitsizlikten xx, 2'den büyük eşit veya -4'ten küçük eşittir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için ∣x−a∣<b|x-a| < b ve ∣x−c∣>d|x-c| > d formundaki farklı eşitsizlik sistemlerini sayı doğrusu üzerinde çizerek çözün.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 151Soru →
x=3m x = 3^m ve y=2m y = 2^m eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, (0,375)m (0,375)^m ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: xy3 \frac{x}{y^3}

Cevap

xy3 \frac{x}{y^3} ifadesi doğru cevaptır.
Verilen ondalık sayı 0,375 0,375 önce kesre çevrilip sadeleştirildiğinde 38 \frac{3}{8} elde edilir. Bu ifade 3⋅2−3 3 \cdot 2^{-3} şeklinde yazılabilir. İfadenin m. m. kuvveti alındığında 3m⋅2−3m 3^m \cdot 2^{-3m} bulunur. 3m=x 3^m = x ve 2m=y 2^m = y olduğu için, ifade x⋅y−3 x \cdot y^{-3} yani xy3 \frac{x}{y^3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevir ve sadeleştir.
0,375=3751000=38 0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}
Tabanı asal çarpanlarına ayırabilmek için kesirli ifadeye dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen kesri asal çarpanların kuvveti şeklinde yaz.
38=3123=3⋅2−3 \frac{3}{8} = \frac{3^1}{2^3} = 3 \cdot 2^{-3}
Soruda verilen 3m 3^m ve 2m 2^m tabanlarına benzetmek için.
3
İfadenin m. m. kuvvetini al ve dağıt.
(3⋅2−3)m=3m⋅(2−3)m=3m⋅(2m)−3 (3 \cdot 2^{-3})^m = 3^m \cdot (2^{-3})^m = 3^m \cdot (2^m)^{-3}
Üslü ifadelerde üssün üssü ve çarpımın üssü kuralları uygulanır.
4
x x ve y y değerlerini yerine yaz.
x⋅y−3=x⋅1y3=xy3 x \cdot y^{-3} = x \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x}{y^3}
Sonucu x x ve y y cinsinden ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda taban dönüşümü ve negatif üs kuralı.

İpuçları

1
0,375 0,375 ondalık sayısını kesirli olarak yazıp en sade halini bulun.
2
Elde ettiğiniz kesrin paydasındaki sayıyı 2'nin kuvveti olarak ifade edin.
3
323=3⋅2−3 \frac{3}{2^3} = 3 \cdot 2^{-3} eşitliğini kullanarak ifadeyi m. m. kuvvet parantezine alın.

Daha Fazla Pratik

0,125 0,125 veya 0,625 0,625 gibi farklı ondalık tabanlarla benzer dönüşümler içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Doğrudan x x ve y y değerlerine sayı vererek (örneğin m=1 m=1 için x=3,y=2 x=3, y=2 ) şıklarda sağlama yapılabilir. (0,375)1=3/8 (0,375)^1 = 3/8 sonucunu veren şık aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 152Soru →

xx ve yy sıfırdan ve birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3−xy2−x2+y2x2−2x+1⋅x−1x2+xy \frac{x^3 - xy^2 - x^2 + y^2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^2 + xy}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−yx\frac{x-y}{x}

Cevap

Verilen cebirsel ifadenin en sade hali x−yx\frac{x-y}{x} olarak bulunur.
Verilen ifade çarpanlarına ayrıldığında pay kısmında (x−1)(x-1), (x−y)(x-y) ve (x+y)(x+y) çarpanları oluşur. Payda kısmında ise (x−1)2(x-1)^2 ve x(x+y)x(x+y) çarpanları bulunur. Aynı olan (x−1)(x-1) ve (x+y)(x+y) terimleri sadeleştiğinde geriye sadece payda (x−y)(x-y) ve paydada xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payını gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x3−xy2−x2+y2=x(x2−y2)−(x2−y2)=(x−1)(x2−y2)=(x−1)(x−y)(x+y)x^3 - xy^2 - x^2 + y^2 = x(x^2 - y^2) - (x^2 - y^2) = (x-1)(x^2 - y^2) = (x-1)(x-y)(x+y)
Dört terimli ifadelerde ikişerli gruplandırma yapılarak ortak çarpan aranır.
2
İlk kesrin paydasını tam kare özdeşliği kullanarak düzenleyin.
x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 özdeşliği uygulanır.
3
İkinci kesrin paydasını ortak çarpan parantezine alın.
x2+xy=x(x+y)x^2 + xy = x(x+y)
Terimlerdeki ortak olan xx çarpanı dışarı çıkarılır.
4
Tüm çarpanları yerine yazarak sadeleştirme yapın.
(x−1)(x−y)(x+y)(x−1)2⋅x−1x(x+y)=x−yx\frac{(x-1)(x-y)(x+y)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x}
(x−1)(x-1), (x−1)(x-1) ve (x−1)2(x-1)^2 birbirini yok eder; (x+y)(x+y) çarpanları da sadeleşir.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

İpuçları

1
İfadenin ilk kısmındaki payı x2x^2 ve −1-1 parantezine alarak gruplandırmayı deneyin.
2
x2−2x+1x^2 - 2x + 1 ifadesinin (x−1)(x-1)'in karesi olduğunu hatırlayın.
3
Pay ve paydadaki tüm ortak çarpanları (x−1,x+y)(x-1, x+y) tek tek belirleyip birbirini yok ettiklerinden emin olun.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin bir arada kullanıldığı karmaşık sadeleştirme sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x=2x=2 ve y=3y=3 gibi basit değerler vererek ifadenin sayısal değerini hesaplayabilir, ardından seçeneklerde aynı değerleri yerine koyarak doğru şıkkı bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 153Soru →
10−15+52−3+5−20−45−2 \frac{\sqrt{10} - \sqrt{15} + 5}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{20} - 4}{\sqrt{5} - 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−2 \sqrt{5} - 2

Cevap

5−2 \sqrt{5} - 2
Verilen işlemde her iki kesir de rasyonel yapma (eşlenik alma) yöntemi yerine, pay kısımlarının çarpanlara ayrılmasıyla çok daha hızlı çözülebilir. İlk kesirde pay 5\sqrt{5} parantezine alındığında payda ile aynı ifade elde edilir ve sonuç 5\sqrt{5} olur. İkinci kesirde pay 2 parantezine alındığında payda ile sadeleşir ve sonuç 2 olur. İşlem 5−2\sqrt{5} - 2 olarak sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesrin payındaki ifadeyi 5\sqrt{5} parantezine al.
10−15+5=5(2−3+5) \sqrt{10} - \sqrt{15} + 5 = \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanır.
2
Birinci kesri sadeleştir.
5(2−3+5)2−3+5=5 \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \sqrt{5}
Parantez içindeki ifadeler aynı olduğu için birbirini götürür.
3
İkinci kesrin payındaki ifadeyi düzenle ve sadeleştir.
20−45−2=25−45−2=2(5−2)5−2=2 \frac{\sqrt{20} - 4}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{5} - 2} = 2
20=25 \sqrt{20} = 2\sqrt{5} olduğu için ifade 2 parantezine alınarak payda ile sadeleştirilebilir.
4
Elde edilen sonuçları birbirinden çıkar.
5−2 \sqrt{5} - 2
Soruda istenen ana işlem çıkarma işlemidir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerde Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

İpuçları

1
Kesirlerin paydalarını eşlenikle çarpmadan önce, pay kısımlarını çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
Birinci kesrin payında 10,15 \sqrt{10}, \sqrt{15} ve 5 5 sayıları var. Bunların hepsinin ortak bir köklü çarpanı var mı?

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 6−3+152−1+5 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}-1+\sqrt{5}} ifadesini sadeleştiriniz.

Alternatif Yöntem

Eğer çarpanlara ayırma görülmezse, ikinci ifade için 5−2\sqrt{5}-2 ile genişletme yapılabilir ancak birinci ifade için bu yöntem çok zaman alır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 154Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
(2x+y)2(2x + y)^2
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2

Cevap

Verilen (2x+y)2(2x + y)^2 ifadesinin özdeşi 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2 olur.
Tam kare özdeşliği kuralına göre (a+b)2(a+b)^2 ifadesi a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 şeklinde açılır. Soruda a=2xa=2x ve b=yb=y olduğu için (2x)2+2(2x)(y)+y2(2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 işleminin sonucu olan 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirleyelim.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesini açmak için standart cebirsel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen ifadedeki terimleri formüldeki değişkenlerle eşleştirelim.
a=2xa = 2x ve b=yb = y
Parantez içindeki ilk terim 2x2x, ikinci terim ise yy değeridir.
3
Terimleri formülde yerine koyalım.
(2x)2+2⋅(2x)⋅(y)+(y)2(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (y) + (y)^2
Özdeşlik kuralına göre: (birincinin karesi) + 2 ⋅\cdot (birinci ⋅\cdot ikinci) + (ikincinin karesi).
4
Matematiksel işlemleri tamamlayalım.
4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2
(2x)2(2x)^2 hesaplanırken hem 2'nin hem de xx'in karesi alınır; orta terimdeki katsayılar (2⋅22 \cdot 2) çarpılır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği: İki terimin toplamının karesi alınırken terimlerin kareleri toplamına, terimlerin çarpımının iki katı eklenir.

İpuçları

1
(a+b)2(a+b)^2 açılımını yaparken 'birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesi' tekerlemesini hatırlayın.
2
Burada birinci terim 2x2x, ikinci terim yy değeridir. (2x)2(2x)^2 ifadesinin sonucuna dikkat edin.
3
(2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2 ve orta terim olan 2⋅(2x)⋅y=4xy2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy değerlerini birleştirerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için (3x−2)2(3x - 2)^2 ifadesinin açılımını yapmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 155Soru →
x3+1x2−x+1−x \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} - x

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin en sade hali 1'dir.
Doğru cevap 1'dir çünkü x3+1x^3+1 ifadesi iki küp toplamı özdeşliği ile açıldığında, paydadaki ifade ile sadeleşerek geriye x+1x+1 kalır. Sonrasında xx çıkarıldığında sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin payındaki ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) şeklinde açılır.
İki küp toplamı özdeşliği: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
2
Kesirli ifadeyi sadeleştirin.
(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1 elde edilir.
Pay ve paydadaki (x2−x+1)(x^2 - x + 1) çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan işlemden son terimi çıkarın.
(x+1)−x=1(x + 1) - x = 1
Sadeleşen ifadeden sorudaki çıkarma işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

İki küp toplamı özdeşliği kullanılarak rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
a3+b3a^3 + b^3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış halini hatırlayın.
2
x3+1x^3 + 1 ifadesini (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2 - x + 1) şeklinde yazarak paydadaki terimle sadeleştirin.
3
Sadeleştirme sonucunda elde ettiğiniz (x+1)(x+1) ifadesinden, sorunun sonundaki xx'i çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İki küp farkı (x3−y3x^3 - y^3) içeren benzer bir sadeleştirme sorusu çözün.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: x=2x=2 gibi basit bir değer vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. (8+1)/(4−2+1)−2=9/3−2=3−2=1(8+1)/(4-2+1) - 2 = 9/3 - 2 = 3 - 2 = 1.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 156Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
a⊕b=2a+3b−1a \oplus b = 2a + 3b - 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4⊕34 \oplus 3 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İşlem tanımında değişkenler yerine koyulduğunda sonuç 16 olarak bulunur.
Verilen işlem tanımında aa yerine 4, bb yerine 3 yazıldığında 2×4+3×3−12 \times 4 + 3 \times 3 - 1 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin sonucu 8+9−1=168 + 9 - 1 = 16 olduğundan doğru yanıt on altı değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin belirlenmesi
a=4a = 4 ve b=3b = 3
a⊕ba \oplus b ifadesinde ilk sayı aa, ikinci sayı bb değerini temsil eder.
2
Değerlerin formülde yerine yazılması
2(4)+3(3)−12(4) + 3(3) - 1
İşlem kuralı olan 2a+3b−12a + 3b - 1 ifadesindeki harfler yerine sayısal değerleri yerleştirilir.
3
Çarpma işlemlerinin yapılması
8+9−18 + 9 - 1
İşlem önceliğine göre önce çarpma işlemleri gerçekleştirilir.
4
Toplama ve çıkarma işlemlerinin tamamlanması
17−1=1617 - 1 = 16
Sırasıyla toplama ve çıkarma yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İşlem (Tanımlı Operatörler)

İpuçları

1
İşlem sembolünün solundaki sayıyı aa, sağındaki sayıyı bb yerine yazarak başlayın.
2
2a2a ifadesi '2 çarpı aa' anlamına gelir. Önce çarpma işlemlerini yapmayı unutmayın.
3
2×42 \times 4 ve 3×33 \times 3 sonuçlarını bulup toplayın, ardından bulduğunuz sayıdan 1 çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İşlem tanımında rasyonel sayılar veya parantezli işlemler içeren sorularla pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 157Soru →
12−85−24+143+23+1 \frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{5 - \sqrt{24}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23+1\sqrt[3]{2} + 1

Cevap

İşlemin sonucu küp kök 2 artı 1'dir.
Verilen soruda birinci terim sadeleştirildiğinde rasyonel bir sayı olan 2 elde edilir. İkinci terim ise küp farkı özdeşliği yardımıyla rasyonel hale getirildiğinde küp kök 2 eksi 1 sonucuna ulaşılır. Bu iki ifadenin toplamı olan küp kök 2 artı 1, ifadenin en sade halidir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimi sadeleştirmek için iç içe kök kuralını uygulayın.
5−24=5−26\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} ifadesinde çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar 3 ve 2'dir. Dolayısıyla 5−26=3−2\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} olur.
İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formu, çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirilebilir.
2
Birinci terimin pay ve paydasını düzenleyerek bölme işlemini yapın.
12−83−2=23−223−2=2(3−2)3−2=2\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2
Pay kısmındaki ifadeler ortak paranteze alınarak payda ile sadeleştirilir.
3
İkinci terimin paydasını rasyonel yapmak için küp farkı özdeşliğini kullanın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) özdeşliğinde a=23a = \sqrt[3]{2} ve b=1b = 1 alınırsa, ifadeyi (23−1)(\sqrt[3]{2} - 1) ile genişletiriz: 23−1(23)3−13=23−12−1=23−1\frac{\sqrt[3]{2} - 1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{2} - 1
Küp köklü ifadelerde payda rasyonel yapılırken uygun küp özdeşliği seçilmelidir.
4
İki terimin sonuçlarını toplayın.
2+(23−1)=23+12 + (\sqrt[3]{2} - 1) = \sqrt[3]{2} + 1
Sadeleştirilmiş rasyonel ve köklü ifadeler toplanarak en sade hale getirilir.

Anahtar Kavram

İç içe köklerin sadeleştirilmesi ve küp köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması.

Alternatif Yöntem

İkinci terimde paydanın rasyonelleştirilmesi yerine, ifadenin genel yapısı incelendiğinde terimlerin yaklaşık değerleri üzerinden seçenek eleme yöntemi de kullanılabilir, ancak bu yöntem kesin sonuç için güvenli değildir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 158Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

f(x)={2x+5,x<3x2−1,x≥3 f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \\ x^2 - 1, & x \geq 3 \end{cases}
g(x)=3x−6 g(x) = 3x - 6

Buna göre, (f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Doğru cevap 15'tir.
İstenen (f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) değeri için önce gg fonksiyonunun sonucunu 6 yapan xx değeri bulunur (x=4x=4). Daha sonra bu değer ff fonksiyonunda yerine yazılır. 4≥34 \geq 3 olduğu için x2−1x^2-1 kuralı uygulanır ve 16−1=1516-1=15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi açık hale getir.
(f∘g−1)(6)=f(g−1(6))(f \circ g^{-1})(6) = f(g^{-1}(6)) demektir. Öncelikle içteki g−1(6)g^{-1}(6) değerini bulmalıyız.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği işlem sırası sağdan sola doğrudur.
2
g−1(6)g^{-1}(6) değerini hesapla.
g(x)=6g(x) = 6 denklemini çözeriz.
3x−6=63x - 6 = 6
3x=123x = 12
x=4x = 4
Böylece g−1(6)=4g^{-1}(6) = 4 bulunur.
Bir fonksiyonun tersinde 6 görüntüsünü veren giriş değerini bulmak için fonksiyon 6'ya eşitlenir.
3
Bulunan değeri ff fonksiyonunda yerine yaz.
Şimdi f(4)f(4) değerini bulmalıyız. x=4x = 4 değeri için 4≥34 \geq 3 koşulu sağlandığından alttaki parçayı kullanırız:
f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1
f(4)=42−1=16−1=15f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15
Parçalı fonksiyonda x değerinin hangi aralıkta olduğu kontrol edilerek uygun kural seçilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Parçalı Fonksiyon Değeri Hesaplama

İpuçları

1
(f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) ifadesi, f(g−1(6))f(g^{-1}(6)) anlamına gelir. İşleme içteki parantezden başlamalısın.
2
g−1(6)g^{-1}(6) değerini bulmak için, g(x)g(x) fonksiyonunu 6'ya eşitleyip x değerini bulmalısın (3x−6=63x - 6 = 6).
3
Bulduğun x değerini f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazarken, bu değerin 3'ten büyük mü küçük mü olduğuna dikkat ederek doğru denklemi seçmelisin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (g∘f)(2)(g \circ f)(2) değerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 159Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−6x−2=0 x^2 - 6x - 2 = 0
eșitliği veriliyor. Buna göre,
(x−1)(x−2)(x−4)(x−5) (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)
çarpımının sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

İfadenin değeri 70'tir.
Verilen denklemden elde edilen x2−6x=2x^2 - 6x = 2 eşitliği, sorulan ifadedeki çarpanların uygun şekilde gruplandırılmasıyla ((x−1)(x−5)(x-1)(x-5) ve (x−2)(x−4)(x-2)(x-4)) doğrudan yerine konulabilir. Bu sayede karmaşık 4. dereceden denklem çözmek yerine basit bir aritmetik işlemle sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−6x−2=0x^2 - 6x - 2 = 0 denkleminden x2−6xx^2 - 6x ifadesinin değeri çekilir.
x2−6x=2x^2 - 6x = 2
Sorulan çarpım ifadesinde x2−6xx^2 - 6x kalıbını yakalamak için hazırlık yapılır.
2
Sorulan ifadede katsayılar toplamı birbirine eşit olan çarpanlar ikili olarak gruplandırılır. (−1)+(−5)=−6(-1) + (-5) = -6 ve (−2)+(−4)=−6(-2) + (-4) = -6 olduğundan (x−1)(x-1) ile (x−5)(x-5) ve (x−2)(x-2) ile (x−4)(x-4) gruplanır.
[(x−1)(x−5)]⋅[(x−2)(x−4)][(x-1)(x-5)] \cdot [(x-2)(x-4)]
Bu gruplama sayesinde her iki parçada da ortak olan x2−6xx^2 - 6x terimi elde edilir.
3
Gruplandırılan ifadeler çarpılarak açılır.
[x2−6x+5]⋅[x2−6x+8][x^2 - 6x + 5] \cdot [x^2 - 6x + 8]
Ortak terimi görünür hale getirmek için.
4
Elde edilen ifadede x2−6xx^2 - 6x yerine 1. adımda bulunan 22 değeri yazılır.
[2+5]⋅[2+8]=7⋅10[2 + 5] \cdot [2 + 8] = 7 \cdot 10
Değişkenlerden kurtulup sayısal sonuca ulaşmak için.
5
Son çarpma işlemi yapılır.
70
Nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme ve Gruplandırma Yöntemi

İpuçları

1
Çarpanları teker teker çarpmak yerine, ortak bir ifade yakalayacak şekilde ikili gruplar halinde çarpmayı dene.
2
Sabit sayıların toplamı eşit olan parantezleri eşleştir: (−1)+(−5)(-1)+(-5) ve (−2)+(−4)(-2)+(-4) toplamları aynıdır.
3
(x−1)(x−5)(x-1)(x-5) ve (x−2)(x−4)(x-2)(x-4) çarpımlarını yapıp, ortaya çıkan x2−6xx^2-6x ifadesi yerine verilen denklemden 22 değerini yaz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) çarpımının x2+5xx^2+5x dönüşümü ile çözüldüğü soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi veya değişken değiştirme (t=x−3t = x-3) yöntemiyle de çözülebilir ancak gruplandırma en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 160Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
olduğuna göre, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Verilen ifadenin her iki yanının karesi alındığında ve tam kare özdeşliği uygulandığında sonuç 18 olarak bulunur.
Verilen x−1/x=4x - 1/x = 4 denkleminde her iki tarafın karesi alındığında, tam kare özdeşliği gereği x2−2(x)(1/x)+(1/x)2=16x^2 - 2(x)(1/x) + (1/x)^2 = 16 elde edilir. Buradaki −2-2 terimi eşitliğin sağ tarafına +2+2 olarak aktarıldığında 16+2=1816 + 2 = 18 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 eşitliğinin her iki yanının karesini alalım.
(x−1x)2=42\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2
İstenen x2x^2 ve 1x2\frac{1}{x^2} terimlerine ulaşmak için değişkenlerin karesine ihtiyaç vardır.
2
Tam kare özdeşliğini (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 uygulayalım.
x2−2⋅x⋅1x+1x2=16x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16
Parantez dışındaki karenin terimlere nasıl dağıldığını gösteren temel özdeşlik kuralıdır.
3
Ortadaki x⋅1xx \cdot \frac{1}{x} terimini sadeleştirelim.
x2−2+1x2=16x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16
Bir sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımı 1'e eşittir.
4
−2-2 ifadesini eşitliğin karşı tarafına atarak istenen ifadeyi yalnız bırakalım.
x2+1x2=16+2=18x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18
Eşitliğin bir tarafındaki negatif terim diğer tarafa pozitif olarak geçer.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

İpuçları

1
İstenen terimler kareli olduğu için verilen eşitliğin her iki yanının karesini alarak başlayın.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanırken ortadaki çarpım terimine dikkat edin.
3
xx ile 1/x1/x çarpıldığında birbirini sadeleştirerek sadece −2-2 sabit sayısını bırakacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde x+1/x=6x + 1/x = 6 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 değerini hesaplayarak tam kare farkı ve toplamı arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özdeşliklerdeki dönüşüm formüllerinden biri olan a2+b2=(a−b)2+2aba^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab formülü doğrudan uygulanabilir. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınırsa x2+(1/x)2=(x−1/x)2+2(x)(1/x)x^2 + (1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 2(x)(1/x) olur. Verilenleri yerine koyduğumuzda 42+2=184^2 + 2 = 18 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 8 / 22Sonraki
Cebir Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 8 | Examkin