Layer 1

Soru 221Soru →

Şekildeki O merkezli çemberde, P, A ve O noktaları doğrusaldır. [PT] ışını, çembere T noktasında teğettir. $|PA| = |AO|$ ve $|PT| = 6\sqrt{3}$ cm olduğuna göre, [PT] doğru parçası, [PA] doğru parçası ve TA yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

18\sqrt{3} - 6\pi

18\sqrt{3} - 3\pi

36\sqrt{3} - 6\pi

12\sqrt{3} - 4\pi

18\sqrt{3} - 9\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18\sqrt{3} - 6\pi$

Cevap

Taralı alan

18\sqrt{3} - 6\pi

cm² olarak bulunur.

Taralı bölge, OTP dik üçgeninin alanından OTA daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

|PO|=2|OT|

ilişkisinden üçgenin 30-60-90 üçgeni olduğu ve merkez açının 60° olduğu görülür. Yarıçap 6 cm bulunduğunda, üçgen alanı

18\sqrt{3}

, daire dilimi alanı

6\pi

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen uzunluk ilişkilerini belirle.

Çemberin yarıçapına

r

diyelim.

|AO| = r

olduğundan ve

|PA| = |AO|

verildiğinden,

|PA| = r

ve

|PO| = 2r

olur.

Soruda verilen eşitlikten hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişkiyi kurmak için.

2

OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula ve yarıçapı bul.

Teğet yarıçapa diktir (

OT \perp PT

).

r^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2r)^2 \Rightarrow r^2 + 108 = 4r^2 \Rightarrow 3r^2 = 108 \Rightarrow r = 6

cm.

Bilinmeyen yarıçap değerini bulmak için.

3

Merkez açıyı (

\angle TOP

) belirle.

OTP dik üçgeninde hipotenüs (

2r=12

) dik kenarın (

r=6

) iki katı olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. O açısı

60^\circ

'dir.

Daire diliminin alanını hesaplayabilmek için merkez açıya ihtiyaç vardır.

4

Üçgenin ve daire diliminin alanlarını hesapla.

Alan(OTP) =

\frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}

cm². Alan(Dilim) =

\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi

cm².

Taralı alan, üçgen alanından daire dilimi alanının çıkarılmasıyla bulunur.

5

Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.

Taralı Alan =

18\sqrt{3} - 6\pi

.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir dış noktadan çizilen teğet ile yarıçapın oluşturduğu dik üçgen ve daire dilimi alanı hesabı.

İpuçları

1

Teğet noktası ile merkezi birleştiren doğru parçası (yarıçap), teğet doğrusuna diktir. Bu dik üçgeni kullanın.

2

Soruda verilen

|PA|=|AO|

eşitliği, hipotenüsün (

|PO|

) dik kenarın (

|OT|

) iki katı olduğunu gösterir. Bu hangi özel üçgendir?

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak:

\tan(O) = PT/OT

yerine

\sin(P) = OT/PO = 1/2

yazarak

\angle P = 30^\circ

ve

\angle O = 60^\circ

olduğu doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 222Soru →

ABC bir üçgen olmak üzere, $[AH] \perp [BC]$ olacak şekilde $[BC]$ kenarı üzerinde bir H noktası alınıyor.

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{ABC})

Verilen şekilde $|BH| = 4$ cm ve $|HC| = 9$ cm olduğuna göre, $|AH|$ uzunluğu kaç santimetredir?

5

6

6,5

13

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 santimetredir

Soruda verilen açı eşitliği (

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{B})

), AHC dik üçgenindeki tümler açı ilişkisiyle birleştiğinde

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

olduğunu ispatlar. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (AH) için Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) geçerlidir. Buna göre

|AH|^2 = 4 \cdot 9 = 36

olup,

|AH| = 6

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açı ilişkilerini analiz et.

Üçgenin A köşesinin 90 derece olduğunu belirle.

m(\widehat{ABC}) = \alpha

denirse, verilen eşitlikten

m(\widehat{HAC}) = \alpha

olur. AHC dik üçgeninde

m(\widehat{C}) = 90^\circ - \alpha

dır. O halde büyük üçgende B ve C açılarının toplamı

\alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ

olur. Bu durumda

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

dir.

2

Uygun geometrik teoremi seç.

Öklid Yükseklik Bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

)

Tepe açısı 90 derece olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koy ve hesapla.

|AH| = 6

cm

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \Rightarrow h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6

cm.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları ve Dik Üçgen Özellikleri

İpuçları

1

AHC üçgeninde iç açılar toplamını düşünün.

\widehat{HAC}

açısı ile

\widehat{C}

açısının toplamı kaç derecedir?

2

\widehat{HAC}

yerine soruda verilen eşiti olan

\widehat{B}

açısını yazın. Büyük ABC üçgeninde B ve C açılarının toplamını bulursanız, A açısının ölçüsünü de bulabilirsiniz.

3

A açısının 90 derece olduğunu bulduktan sonra, dikten dik inildiği durumlar için geçerli olan

h^2 = p \cdot k

(Öklid) bağıntısını kullanın.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir:

\triangle ABH \sim \triangle CAH

. Buradan

\frac{|BH|}{|AH|} = \frac{|AH|}{|HC|}

oranı kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 223Soru →

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç $\pi$ cm³ tür?

1200

1500

1600

2000

3600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Oluşan cismin hacmi 1200

\pi

cm³ tür.

Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, yarıçapı hipotenüse ait yükseklik (

h=12

) ve toplam yüksekliği hipotenüs (

25

) olan iki koni oluşur. Hacim formülü

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam}

kullanılarak

1200\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.

15-20-25

özel üçgeni (3-4-5'in 5 katı) olduğundan hipotenüs = 25 cm.

Dönme ekseni hipotenüs olduğu için cismin toplam yüksekliği bu uzunluk olacaktır.

2

Oluşan cismin şeklini ve boyutlarını belirle.

Hipotenüs etrafında dönme sonucu, tabanları çakışık iki koni oluşur. Ortak taban yarıçapı (

r

), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.

Dönel cisimlerin hacmi için yarıçapın doğru belirlenmesi gerekir.

3

Üçgenin alan bağıntısından yarıçapı (

r

) bul.

Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12

cm.

Dik kenarlar çarpımı ile hipotenüs ve yüksekliğin çarpımı birbirine eşittir.

4

Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} = \frac{1}{3} \pi (12^2) \cdot 25 = \frac{1}{3} \pi (144) \cdot 25 = 48\pi \cdot 25 = 1200\pi

.

Tabanları aynı olan iki koninin hacimleri toplamı, taban alanı ile toplam yüksekliğin çarpımının 1/3'üdür.

Anahtar Kavram

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur.

İpuçları

1

Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde oluşan şekli hayal edin: Tabanları birbirine yapışık iki koni oluşur.

2

Oluşan konilerin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse inilen yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülünden bu yüksekliği (

h

) bulun.

3

15-20-25 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik

h = (15 \cdot 20)/25 = 12

cm'dir. Toplam hacim için

V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (hipotenüs)

formülünü kullanın.

Alternatif Yöntem

İki ayrı koni gibi düşünülerek: Üstteki koninin yüksekliği

h_1 = 9

, alttaki koninin yüksekliği

h_2 = 16

cm'dir (Öklid'den).

V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi (12^2)(9) + \frac{1}{3}\pi (12^2)(16) = 432\pi + 768\pi = 1200\pi

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 224Soru →

Aşağıdaki $ABC$ eşkenar üçgeninde $[BC]$ kenarı $C$ köşesi yönünde $D$ noktasına kadar uzatılmıştır. $|AC| = |CD|$ olduğuna göre, $m(\widehat{CAD})$ kaç derecedir?

15

30

45

60

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Eşkenar üçgenin dış açısı ve ikizkenar üçgenin taban açıları özelliği kullanılarak sonuç

30^\circ

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

30^\circ

değeri,

ABC

eşkenar üçgeninin bir dış açısının

120^\circ

olması ve bu açının

|AC| = |CD|

eşitliğiyle kurulan

ACD

ikizkenar üçgeninin tepe açısı olmasından kaynaklanır. İkizkenar üçgenin taban açıları

(180 - 120) / 2

işlemiyle

30^\circ

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

eşkenar üçgeninin iç açılarını belirleyin.

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB}) = 60^\circ

Eşkenar üçgenin tüm iç açıları birbirine eşittir ve

60^\circ

derecedir.

2

ACD

üçgeninin

C

köşesindeki dış açısını hesaplayın.

m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

B, C, D

noktaları doğrusal olduğu için

ACB

ve

ACD

açıları birbirini

180^\circ

dereceye tamamlar.

3

ACD

üçgeninin ikizkenar olma özelliğini kullanarak taban açılarını bulun.

m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ

|AC| = |CD|

verildiğinden

ACD

bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgenin bir iç açısının

60^\circ

olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının birbirine eşit olması.

İpuçları

1

Eşkenar üçgenin her bir iç açısının

60^\circ

olduğunu ve bu bilgiyi kullanarak komşu dış açıyı bulabileceğinizi unutmayın.

2

|AC| = |CD|

bilgisi bize

ACD

üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu söyler. Bu üçgenin tepe açısı, eşkenar üçgenin dış açısına eşittir.

3

Dış açıyı

120^\circ

olarak bulduktan sonra,

ACD

ikizkenar üçgeninde taban açılarının toplamının

60^\circ

olması gerektiğini (

180 - 120

) ve bu değerin ikiye bölünmesi gerektiğini görün.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende tepe açısından indirilen dikmenin tabanı iki eş parçaya böldüğü sorularla pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralı kullanılabilir.

m(\widehat{ACD}) = 120^\circ

ise ve bu üçgen ikizkenar ise

m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA}) = 120^\circ

değil, iç açılar toplamından gidilerek aynı sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 225Soru →

$ABCD$ bir dik yamuktur. $[AB] \parallel [DC]$ ve $[AD] \perp [AB]$ olduğu bilinmektedir. Şekilde verilen $m(\widehat{ABC}) = 125^\circ$ olduğuna göre, $BCD$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{C})$ ) kaç derecedir?

45

55

65

125

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

İstenen açının ölçüsü

55

derecedir.

Doğru cevap olan 55, yamuğun temel bir özelliği olan paralel kollar arasındaki açıların toplamının

180^\circ

olması kuralından gelir.

AB

ve

DC

paralel olduğu için

B

açısı ile

C

açısının toplamı

180^\circ

olmalıdır (

125 + 55 = 180

).

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin iç açıları toplamı kuralını hatırla.

Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

derecedir.

Dörtgenlerin temel geometrik özelliğidir.

2

Dik yamuktaki bilinen açıları topla.

m(\widehat{A}) = 90^\circ

,

m(\widehat{D}) = 90^\circ

ve

m(\widehat{B}) = 125^\circ

olduğuna göre toplam

90 + 90 + 125 = 305^\circ

olur.

Verilen diklik sembolleri ve ölçüler kullanılarak toplam bulunur.

3

Bilinmeyen açıyı bulmak için toplamdan çıkar.

360 - 305 = 55^\circ

bulunur.

Dörtgenin iç açıları toplamını tamamlamak için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dik yamukta paralel olan kenarlar (üst ve alt taban) arasındaki karşı durumlu açıların toplamı

180^\circ

derecedir.

İpuçları

1

Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

derecedir. Şekildeki tüm açıları bu toplama eşitlemeyi deneyin.

2

Dik yamukta

A

ve

D

köşeleri

90^\circ

'dir. Bu durumda

B

ve

C

açılarının toplamı

180^\circ

olmalıdır.

3

180^\circ

toplamından verilen

125^\circ

'lik açıyı çıkardığınızda aradığınız sonuca ulaşırsınız.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar yamukta taban açılarının birbirine eşit olması durumunu inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamukta

[AB]

ve

[DC]

kenarları paralel olduğu için,

B

köşesinden geçen ve

AD

'ye paralel bir dikme indirerek şekli bir dikdörtgen ve bir dik üçgene ayırıp üçgenin iç açılarından da sonuca gidebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 226Soru →

Taban yarıçapı $r = 4$ cm ve yüksekliği $h = 6\pi$ cm olan şekildeki dik dairesel silindirin taban dairesi üzerindeki A noktasında bulunan bir hareketli, silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak, A noktasının düşey doğrultusunda ve üst taban kenarı üzerinde bulunan B noktasına gitmek istemektedir. Buna göre, bu hareketlinin gidebileceği en kısa yol kaç cm'dir?

8\pi

10\pi

12\pi

14\pi

20\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10\pi$

Cevap

Hareketlinin alacağı en kısa yol 10\pi cm'dir.

Hareketlinin silindir yüzeyinde bir tam tur atarak A'dan B'ye gitmesi, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin bir köşesinden karşı köşesine gitmesi demektir. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (

6\pi

), diğer kenarı ise taban çevresidir (

2\pi r = 8\pi

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

6\pi-8\pi-10\pi

üçgeni) uygulanarak hipotenüs uzunluğu

10\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin yan yüzeyini düzlemsel bir şekil (dikdörtgen) olarak düşün.

Yan yüzey açıldığında, bir kenarı silindirin yüksekliği (

h

), diğer kenarı ise taban çevresi (

Ç

) olan bir dikdörtgen elde edilir.

Silindir üzerindeki en kısa yol (geodezik eğri), yüzey açıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasına (hipotenüse) karşılık gelir.

2

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını hesapla.

Yükseklik

h = 6\pi

cm. Taban Çevresi

Ç = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi

cm.

Yolun yatay bileşeni silindirin taban çevresine eşittir.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.

En kısa yol (

x

) için:

x^2 = (6\pi)^2 + (8\pi)^2 = 36\pi^2 + 64\pi^2 = 100\pi^2

. Buradan

x = \sqrt{100\pi^2} = 10\pi

.

Dikdörtgenin köşegeni, gidilecek en kısa mesafeyi verir (6-8-10 özel üçgeninin

\pi

katı).

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik) problemleri, cismin yüzey açılımı yapılarak düzlemsel dik üçgen problemine dönüştürülerek çözülür.

İpuçları

1

Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip açtığınızı düşünün. Ortaya nasıl bir şekil çıkar?

2

Yan yüzey açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. A ve B noktaları bu dikdörtgenin karşı köşeleri olur.

3

Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik (

6\pi

), diğer kenarı taban çevresidir (

2\pi r

). Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı silindirde hareketli tam tur atmadan, sadece yarım tur atarak (silindirin arka yüzüne) gitseydi en kısa yol kaç olurdu?

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri hatırlayın: Kenarları

3k

ve

4k

olan bir dik üçgenin hipotenüsü

5k

'dır. Burada

k=2\pi

alınırsa

6\pi

ve

8\pi

kenarları için hipotenüs

10\pi

olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 227Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortaylar, $[DC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktasında kesişmektedir.

$|AE| = 12$ cm ve $|BE| = 16$ cm olduğuna göre, $ABCD$ paralelkenarının çevresi kaç cm'dir?

48

60

64

72

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Paralelkenarın çevresi 60 cm'dir.

Paralelkenarda ardışık köşelerden gelen açıortaylar birbirini dik keser, bu nedenle AEB üçgeni 12-16-20 dik üçgenidir ve |AB|=20 cm olur. Ayrıca paralellikten dolayı Z kuralı uygulandığında ADE ve BCE üçgenleri ikizkenar çıkar (|AD|=|DE| ve |BC|=|EC|). E noktası [DC] üzerinde olduğu için |DC| = |DE|+|EC| = |AD|+|BC| olur. Karşılıklı kenarlar eşit olduğundan (|AD|=|BC|), 2|AD| = 20 cm ve buradan |AD|=10 cm bulunur. Çevre = 2(20+10) = 60 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortayların kesişim özelliğini belirle

Paralelkenarda ardışık iki açının toplamı 180° olduğundan, açıortayları arasındaki açı 90°'dir. Yani m(AEB) = 90° olur.

2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° kuralı.

2

Pisagor bağıntısı ile [AB] kenarını bul

ABE dik üçgeninde 12-16-20 özel üçgeni (3-4-5'in 4 katı) oluşur. |AB| = 20 cm.

Dik üçgen özelliği: 12² + 16² = AB².

3

Z kuralı ile ikizkenar üçgenleri tespit et

[AB] // [DC] olduğundan Z kuralı gereği m(EAB) = m(AED) ve m(EBA) = m(BEC). Bu durumda ADE ve BCE üçgenleri ikizkenardır.

İç ters açılar eşittir.

4

Yan kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla

|AD| = |DE| ve |BC| = |EC| olur. E noktası [DC] üzerinde olduğundan |DC| = |DE| + |EC| = |AD| + |BC| = 2|AD|. |DC| = |AB| = 20 olduğundan, 2|AD| = 20 ⇒ |AD| = 10 cm. Çevre = 2(20 + 10) = 60 cm.

Paralelkenar çevre formülü: 2(a + b).

Anahtar Kavram

Paralelkenarda açıortaylar ve Z kuralı

Soru 228Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[AC]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[BC]$ kenarı üzerinde yer almaktadır. Üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasında;

* $|AB| = |AD|$
* $|BE| = |ED| = |DC|$
* $m(\widehat{BAC}) = 84^\circ$

eşitlikleri sağlandığına göre, $m(\widehat{ACB})$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

12

16

18

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 derecedir.

Verilen kenar eşitlikleri takip edildiğinde, sırasıyla

EDC

,

BED

ve

ABD

üçgenlerinin ikizkenar olduğu görülür. Açıları zincirleme olarak taşıdığımızda

m(\widehat{ADB}) = 3\alpha

değerine ulaşılır.

ABD

üçgeninde tepe açısı

84^\circ

olduğu için taban açılarının toplamı

96^\circ

olmalıdır. Buradan

6\alpha = 96

denklemi ile aranan açının 16 derece olduğu kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1

m(\widehat{ACB}) = \alpha

olarak belirlensin.

m(\widehat{ACB}) = \alpha

Bilinmeyen açıyı değişken ile temsil etmek.

2

|ED| = |DC|

olduğu için

EDC

ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.

m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha

İkizkenar üçgen özelliği.

3

EDC

üçgeninin

D

köşesindeki dış açısını (

m(\widehat{BDE})

) hesaplayalım.

m(\widehat{BDE}) = \alpha + \alpha = 2\alpha

Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

4

|BE| = |ED|

olduğu için

BED

ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.

m(\widehat{EBD}) = m(\widehat{EDB}) = 2\alpha

İkizkenar üçgen özelliği.

5

BDC

üçgeninde

D

köşesindeki dış açıyı (

m(\widehat{ADB})

) hesaplayalım.

m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) = 2\alpha + \alpha = 3\alpha

Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

6

|AB| = |AD|

olduğu için

ABD

ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.

m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 3\alpha

İkizkenar üçgen özelliği.

7

ABD

üçgeninin iç açılar toplamını

180^\circ

'ye eşitleyelim.

84 + 3\alpha + 3\alpha = 180 \Rightarrow 6\alpha = 96 \Rightarrow \alpha = 16

Üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgen özellikleri ve dış açı teoreminin ardışık kullanımı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 229Soru →

Dik koordinat düzleminde köşe noktaları $A(-2, 4)$ , $B(4, 2)$ ve $C(7, 9)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin ağırlık merkezinden geçen ve $4x + 3y - 12 = 0$ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

4x + 3y - 27 = 0

3x - 4y + 11 = 0

4x - 3y + 3 = 0

4x + 3y - 4 = 0

4x + 3y - 3 = 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4x + 3y - 27 = 0$

Cevap

Denklemi

4x + 3y - 27 = 0

olan doğrudur.

Üçgenin ağırlık merkezi olan

G(3, 5)

noktası doğru denklemini sağlamalıdır. Ayrıca istenen doğru, eğimi

-\frac{4}{3}

olan doğruya paralel olduğu için aynı eğime sahip olmalıdır. Bu iki şartı sağlayan tek denklem

4x + 3y - 27 = 0

ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin ağırlık merkezi

G(x_0, y_0)

koordinatlarını hesaplayalım.

x_0 = \frac{-2 + 4 + 7}{3} = 3

ve

y_0 = \frac{4 + 2 + 9}{3} = 5

olduğundan

G(3, 5)

noktasıdır.

Bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşe noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

2

4x + 3y - 12 = 0

doğrusunun eğimini bulalım.

3y = -4x + 12 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 4

olup eğim

m = -\frac{4}{3}

'tür.

ax + by + c = 0

biçimindeki bir doğrunun eğimi

-\frac{a}{b}

formülüyle bulunur.

3

G(3, 5)

noktasından geçen ve eğimi

m = -\frac{4}{3}

olan doğrunun denklemini yazalım.

y - 5 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 3y - 15 = -4x + 12 \Rightarrow 4x + 3y - 27 = 0

elde edilir.

Geçtiği noktası

(x_1, y_1)

ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülü ile kurulur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi koordinatları ve paralel doğruların eğimlerinin eşitliği prensibi.

İpuçları

1

Önce üçgenin ağırlık merkezinin

(x, y)

koordinatlarını köşe noktalarının ortalamasını alarak bulmalısın.

2

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Verilen

4x + 3y - 12 = 0

doğrusunun eğimini

y

'yi yalnız bırakarak bulabilirsin.

3

Eğimi

-\frac{4}{3}

olan ve

(3, 5)

noktasından geçen doğru denklemini

y - 5 = m(x - 3)

kalıbını kullanarak oluşturabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, aynı noktadan geçen ancak verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Paralel doğruların denklemleri

4x + 3y + k = 0

formundadır. Ağırlık merkezi olan

G(3, 5)

noktasını bu denklemde yerine yazarak

4(3) + 3(5) + k = 0 \Rightarrow 12 + 15 + k = 0 \Rightarrow k = -27

sonucuna doğrudan ulaşabilirsin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 230Soru →

Taban ayrıtının uzunluğu $10$ birim ve yüksekliği $12$ birim olan kare dik piramit biçimindeki bir anıtın tüm dış yüzeyi (taban dahil) boyanacaktır. Buna göre, boyanacak toplam alan kaç birimkaredir?

260

340

360

400

440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $360$

Cevap

Anıtın boyanacak toplam alanı

360

birimkaredir.

Doğru sonuç, taban ayrıtı

10

ve dik yüksekliği

12

olan piramitte yan yüz yüksekliğinin Pisagor bağıntısıyla

13

bulunması ve ardından dört yan yüzün alanı (

260

) ile taban alanının (

100

) toplanmasıyla elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Yan yüz yüksekliğini (

h_y

) hesaplayın.

h_y = 13

birim

Piramidin yan yüz alanı hesaplanırken üçgenlerin yüksekliği kullanılır. Dik yükseklik (

12

), taban yarı ayrıtı (

5

) ve yan yüz yüksekliği (

h_y

) bir dik üçgen oluşturur:

5^2 + 12^2 = h_y^2 \Rightarrow h_y = 13

.

2

Yanal alanı (dört adet eş üçgenin alanı) hesaplayın.

260

birimkare

Yanal Alan =

4 \times \left( \frac{\text{Taban Ayrıtı} \times h_y}{2} \right) = 4 \times \left( \frac{10 \times 13}{2} \right) = 260

.

3

Taban alanını hesaplayın.

100

birimkare

Taban kare olduğu için:

10 \times 10 = 100

.

4

Toplam alanı bulun.

360

birimkare

Toplam Alan = Yanal Alan + Taban Alanı =

260 + 100 = 360

.

Anahtar Kavram

Kare dik piramidin yüzey alanı, taban alanı ile dört eş ikizkenar üçgenden oluşan yanal alanın toplamıdır. Yan yüz yüksekliğini bulmak için piramit yüksekliği ve taban ayrıtının yarısı ile Pisagor bağıntısı uygulanır.

İpuçları

1

Piramidin yan yüzleri üçgenlerden oluşur. Bu üçgenlerin alanını bulmak için yan yüz yüksekliğini bilmeniz gerekir.

2

Piramidin tepesinden taban merkezine inen dikme (

12

), taban merkezinden kenara olan uzaklık (

5

) ve yan yüz yüksekliği bir dik üçgen oluşturur.

3

5-12-13 özel dik üçgenini kullanarak yan yüz yüksekliğini

13

bulun, ardından taban alanı ile yanal alanı toplayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı taban şekillerine sahip (eşkenar üçgen veya düzgün altıgen) piramitlerin yanal alan hesaplamalarını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 231Soru →

Kenar sayıları birbirinden farklı olan iki düzgün çokgen tanımlanmıştır. Birinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, ikinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 7 katıdır. İkinci düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise birinci düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünün 4 katıdır.

Buna göre, kenar sayısı daha fazla olan çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

27

90

135

170

252

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

135

Soruda verilen açı ilişkileri kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurulur. Birinci çokgenin dış açısı

x

, ikincisinin

y

alındığında;

180-x=7y

ve

180-y=4x

eşitlikleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

x=40^{\circ}

ve

y=20^{\circ}

bulunur. Dış açısı küçük olanın kenar sayısı daha fazladır (

360/20=18

kenarlı). 18 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı

\frac{18 \cdot 15}{2} = 135

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.

Birinci çokgenin dış açısı

x

, ikinci çokgenin dış açısı

y

olsun. İç açılar sırasıyla

180-x

ve

180-y

olur. Verilenlerden: 1)

180-x = 7y

ve 2)

180-y = 4x

denklemleri elde edilir.

Düzgün çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180 derecedir.

2

Denklem sistemini çöz.

İkinci denklemden

y = 180 - 4x

bulunur. Birinci denklemde yerine yazılırsa:

180 - x = 7(180 - 4x) \Rightarrow 180 - x = 1260 - 28x \Rightarrow 27x = 1080 \Rightarrow x = 40^{\circ}

. Buradan

y = 180 - 4(40) = 20^{\circ}

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dış açıları bulmak gerekir.

3

Kenar sayılarını bul.

Birinci çokgenin kenar sayısı

n_1 = 360/40 = 9

. İkinci çokgenin kenar sayısı

n_2 = 360/20 = 18

.

Düzgün çokgenin kenar sayısı

n = 360 / \text{dış açı}

formülü ile bulunur.

4

Kenar sayısı fazla olanın (18) köşegen sayısını hesapla.

Köşegen sayısı =

\frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135

.

Bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1

Düzgün çokgenin bir dış açısına değişken vererek (örneğin x), iç açısını bu değişken cinsinden (180-x) ifade etmeyi deneyin.

2

İki farklı çokgen olduğu için iki farklı değişken kullanın: Birinin dış açısı x, diğerinin y olsun. Verilen kat ilişkilerini kullanarak iki denklem oluşturun.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, dış açıların tam sayı olması gerektiğini düşünerek şıklardan gitmek yerine; 180'in bölenleri olan ve birbirinin 4 veya 7 katı ilişkisine uyan açıları tahmin etmeye çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 232Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ olduğu verilmiştir. $|AB| = 9$ cm ve $|BC| = 12$ cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası olduğuna göre, $GBC$ üçgensel bölgesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

9

18

27

36

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

GBC

üçgensel bölgesinin alanı 18

\text{cm}^2

olarak bulunur.

Dik üçgenin alanı hesaplandığında 54

\text{cm}^2

bulunur. Ağırlık merkezi (

G

), üçgenin köşeleriyle birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (

GAB, GBC, GAC

) alanları birbirine eşit ve toplam alanın üçte biridir. Bu nedenle 54 sayısının üçe bölünmesiyle elde edilen 18 sonucu doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninin toplam alanını hesapla.

Alan

(ABC) = \frac{9 \times 12}{2} = 54 \text{ cm}^2

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

2

Ağırlık merkezi (

G

) ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.

Alan

(GAB) = \text{Alan}(GBC) = \text{Alan}(GAC) = \frac{\text{Alan}(ABC)}{3}

Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşelerle birleştirildiğinde üçgeni alanları eşit üç bölgeye ayırır.

3

GBC

bölgesinin alanını hesapla.

Alan

(GBC) = \frac{54}{3} = 18 \text{ cm}^2

Toplam alanın üçte biri alınarak istenen bölgenin alanına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan ve Ağırlık Merkezi İlişkisi

İpuçları

1

Önce

ABC

dik üçgeninin toplam alanını bulmayı deneyin.

2

Bir üçgende ağırlık merkezinin, alanı nasıl paylaştırdığını hatırlayın; köşelere çekilen doğrular alanı kaç parçaya böler?

3

G

noktası ağırlık merkezi ise Alan

(GBC) = \frac{1}{3} \text{Alan}(ABC)

eşitliğini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ağırlık merkezi yerine iç teğet çemberin merkezini kullanarak alan parçalama özelliklerini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ağırlık merkezinin tabana olan uzaklığı, o tabana ait yüksekliğin üçte biridir.

BC

tabanına ait yükseklik

|AB|=9

cm olduğundan,

G

noktasının

BC

kenarına uzaklığı (yüksekliği)

9/3 = 3

cm olur. Buradan Alan

(GBC) = (12 \times 3) / 2 = 18 \text{ cm}^2

bulunur.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 233Soru →

Bir reklam tabelası tasarımında, $ABC$ üçgeni şeklindeki bir yüzey üzerine $D$ ve $E$ noktalarından geçen bir destek çıtası yerleştirilmiştir. $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ olmak üzere; $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ , $|AD| = 6 \text{ cm}$ , $|AE| = 4 \text{ cm}$ ve $|EC| = 8 \text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

6

8

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Benzerlik oranına göre

|DB|

uzunluğu 2 cm olarak bulunur.

Verilen açı eşitlikleri doğrultusunda

\triangle ADE \sim \triangle ACB

benzerliği kurulur. Bu benzerlikte

AD

kenarı ile

AC

kenarı orantılıdır.

\frac{6}{12} = \frac{4}{|AB|}

denkleminden

|AB| = 8

cm bulunur.

|DB| = |AB| - |AD|

işlemiyle sonuç 2 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak açıyı ve benzerlik kuralını belirleme

\\widehat{A}

açısı hem

\\triangle ADE

hem de

\\triangle ACB

için ortaktır.

İki üçgenin birer köşesi çakışıktır.

2

Açı-Açı (A.A.) benzerliğini kurma

m(\\widehat{ADE}) = m(\\widehat{ACB})

verildiğinden,

\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB

benzerliği kurulur.

İkişer açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir.

3

Benzerlik oranını yazma

\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AE|}{|AB|}

Eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

4

Sayısal değerleri yerine koyma ve

|AB|

'yi bulma

\\frac{6}{4+8} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{6}{12} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{1}{2} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = 8 \\text{ cm}

|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 8 = 12

cm olduğu için.

5

|DB|

uzunluğunu hesaplama

|DB| = |AB| - |AD| = 8 - 6 = 2 \\text{ cm}

İstenen parça, toplam kenar uzunluğundan verilen parçanın çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Açı-Açı (A.A.) Benzerliği ve Kenar Orantısı

Alternatif Yöntem

Alanlar oranından gidilebilir ancak kenar uzunlukları verildiği için doğrudan kenar orantısı kurmak en hızlı yöntemdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 234Soru →

Verilen bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 50^\circ$ ve $B$ köşesine ait dış açının ölçüsü $120^\circ$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan $|AB|$ , $|AC|$ ve $|BC|$ arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

|AB| > |AC| > |BC|

|BC| > |AC| > |AB|

|AC| > |AB| > |BC|

|AB| > |BC| > |AC|

|BC| > |AB| > |AC|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|AB| > |AC| > |BC|$

Cevap

Üçgenin kenarları arasındaki doğru sıralama

|AB| > |AC| > |BC|

şeklindedir.

Üçgenin iç açıları hesaplandığında

m(\widehat{A})=50^\circ

,

m(\widehat{B})=60^\circ

ve

m(\widehat{C})=70^\circ

olduğu görülür. Açı-kenar bağıntılarına göre, en büyük açı olan

70^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı en uzun, en küçük açı olan

50^\circ

'nin karşısındaki

|BC|

kenarı ise en kısadır. Bu durumda sıralama

|AB| > |AC| > |BC|

olur.

Adım Adım Çözüm

1

B

köşesindeki iç açıyı bulalım.

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

(doğru açı) eder.

2

C

köşesindeki iç açıyı bulalım.

m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

3

Açıları büyükten küçüğe sıralayalım ve karşılarındaki kenarları belirleyelim.

70^\circ (\widehat{C}) > 60^\circ (\widehat{B}) > 50^\circ (\widehat{A}) \Rightarrow |AB| > |AC| > |BC|

Bir üçgende büyük açının karşısında her zaman daha uzun bir kenar bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri doğru orantılıdır; yani büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

İpuçları

1

Bir üçgende iç açıların toplamının

180^\circ

olduğunu ve bir iç açı ile dış açının toplamının da

180^\circ

olduğunu hatırlayın.

2

B

köşesindeki dış açı

120^\circ

ise iç açı

180 - 120 = 60^\circ

'dir. Şimdi üçgenin verilmeyen üçüncü açısını (

C

açısını) hesaplayın.

3

Açıları

50^\circ, 60^\circ

ve

70^\circ

olarak bulduktan sonra, en büyük açının karşısındaki kenarın en uzun olduğunu unutmayın.

C

açısı (

70^\circ

)

|AB|

kenarına bakar.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, iki dış açı verildiğinde iç açıları bularak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 235Soru →

Dik koordinat düzleminde, denklemi $x - 2y + 6 = 0$ olan $d_1$ doğrusunun, denklemi $x + y - 3 = 0$ olan $d_2$ doğrusuna göre simetriği $d_3$ doğrusudur. Buna göre, $d_3$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan kapalı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{9}{8}

\frac{9}{4}

3

\frac{9}{2}

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{4}$

Cevap

Üçgensel bölgenin alanı

\frac{9}{4}

birimkaredir.

Doğru cevap,

d_3

doğrusunun denkleminin

y=2x+3

olarak bulunması ve eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanının

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4}

hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

d_1

ve

d_2

doğrularının kesişim noktasını (

K

) bulun.

x - 2y = -6

ve

x + y = 3

denklemleri ortak çözülürse

y=3, x=0

bulunur. Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriği, bu iki doğrunun kesişim noktasından geçer.

2

d_1

doğrusu üzerinde işlem kolaylığı sağlayacak bir nokta (

A

) seçin.

y=0

için

x=-6

bulunur.

A(-6, 0)

noktası seçilir.

Simetrik doğruyu bulmak için kesişim noktası dışında ikinci bir referans noktasına ihtiyaç vardır.

3

A(-6, 0)

noktasının

d_2: x + y - 3 = 0

doğrusuna göre simetriğini (

A'

) hesaplayın.

AA'

doğrusunun eğimi

1

'dir (

d_2

'nin eğimi

-1

olduğundan). Simetri işlemi sonucunda

A'(3, 9)

bulunur.

Simetri dönüşümünde noktalar, simetri eksenine eşit uzaklıkta ve dik konumda taşınır.

4

K(0,3)

ve

A'(3,9)

noktalarından geçen

d_3

doğrusunun denklemini yazın.

Eğim

m = \frac{9-3}{3-0} = 2

. Denklem

y - 3 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 3

.

İki noktası bilinen doğrunun denklemi elde edilir.

5

d_3

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları ve üçgenin alanını hesaplayın.

x=0

için

y=3

;

y=0

için

x=-\frac{3}{2}

. Alan =

\frac{1}{2} \cdot |-\frac{3}{2}| \cdot 3 = \frac{9}{4}

.

Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir Doğrunun Başka Bir Doğruya Göre Simetriği

İpuçları

1

Simetrisi alınan doğru ile simetri ekseni olan doğru kesişiyorsa, elde edilecek simetrik doğru da bu kesişim noktasından geçer.

2

d_1

doğrusu üzerinde rastgele bir nokta (örneğin eksenleri kestiği nokta) seçip, bu noktanın

d_2

doğrusuna göre simetriğini bulun.

3

Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

A(-6,0)

noktasının

x+y-3=0

doğrusuna göre simetriği

A'(3,9)

noktasıdır.

K

ve

A'

noktalarından geçen doğrunun eksenlerle oluşturduğu alanı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinin, o doğru üzerinde oluşturduğu en kısa mesafe problemleri incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Eğim açısı yöntemi:

d_2

doğrusu açıortaydır.

d_1

ve

d_2

arasındaki açının tanjantını bularak, aynı açıyı

d_2

ile

d_3

arasına uygulayıp

m_3

eğimi hesaplanabilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 236Soru →

Kısa kenarı $|AB| = 12$ cm, uzun kenarı $|BC| = 18$ cm olan $ABCD$ dikdörtgeni biçimindeki bir kağıt, $[AC]$ köşegeni boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda $D$ köşesi $D'$ noktasına gelmekte ve $[AD']$ kenarı ile $[BC]$ kenarı $K$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre, oluşan $AKC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

54

72

78

90

108

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

Oluşan AKC üçgeninin alanı 78 cm²'dir.

Katlama işlemi açıortay oluşturur ve dikdörtgenin paralelliği ile birleşince

AKC

üçgeninin ikizkenar (

|AK|=|KC|

) olduğu görülür. Pisagor bağıntısı ile ikizkenar üçgenin eş kenarlarının uzunluğu 13 cm bulunur. Tabanı 13 cm ve yüksekliği 12 cm olan üçgenin alanı 78 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Katlama özelliğini ve açıları analiz et

Katlama nedeniyle

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{D'AC})

olur. Ayrıca dikdörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğundan (

AD // BC

), iç ters açılardan (Z kuralı)

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACB})

olur. Dolayısıyla

m(\widehat{KAC}) = m(\widehat{KCA})

olur.

Katlama simetrisi ve paralellik özelliklerini kullanarak üçgenin türünü belirlemek için.

2

Oluşan üçgenin ikizkenar olduğunu belirle ve bilinmeyenleri tanımla

Açıların eşitliği nedeniyle

AKC

üçgeni ikizkenardır, yani

|AK| = |KC| = x

diyelim.

K

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan,

|BK| = 18 - x

olur.

Uzunlukları bulmak için denklemi kurmaya hazırlık.

3

ABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula

ABK

dik üçgeninde (

|AB|=12

):

12^2 + (18-x)^2 = x^2

denklemi kurulur.

144 + 324 - 36x + x^2 = x^2 \Rightarrow 468 = 36x \Rightarrow x = 13

cm bulunur.

AKC

üçgeninin taban uzunluğunu (

|KC|

) bulmak için.

4

AKC üçgeninin alanını hesapla

Alan formülü:

\frac{Taban \times Yükseklik}{2}

. Taban

|KC| = 13

cm, bu tabana ait yükseklik dikdörtgenin kısa kenarı olan

|AB| = 12

cm'dir. Alan =

\frac{13 \times 12}{2} = 13 \times 6 = 78

\text{cm}^2

.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Katlama sorularında açıortay ve paralellik (Z kuralı) birleşerek daima ikizkenar üçgen oluşturur.

İpuçları

1

Dikdörtgeni köşegeni boyunca katladığınızda, kat izi bir açıortay oluşturur. Z kuralını kullanarak iç ters açıları bulun.

2

Oluşan

AKC

üçgeninin taban açılarının eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin bir ikizkenar üçgen (

|AK| = |KC|

) olduğunu fark edin.

3

|KC| = x

diyerek

|BK| = 18-x

yazın ve

ABK

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını (

12^2 + (18-x)^2 = x^2

) kullanarak x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kare şeklindeki bir kağıdın köşegeni boyunca değil, bir kenarının orta noktasına gelecek şekilde katlandığı soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir:

ABK

üçgeni ile

CD'K

üçgeni eştir (Açı-Kenar-Açı). Buradan da kenar eşitlikleri görülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 237Soru →

Analitik düzlemde bir karenin bir köşesi $A(2, -3)$ noktasıdır. Bu karenin bir köşegeni $3x - 4y - 8 = 0$ doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin alanı kaç birimkaredir?

4

8

16

32

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Karenin alanı 8 birimkaredir.

Verilen nokta doğru üzerinde olmadığından, bu doğru karenin A noktasından geçmeyen diğer köşegenini taşımaktadır. A noktasının bu doğruya olan uzaklığı (2 birim), karenin köşegenlerinin kesişim noktasına olan uzaklığıdır; yani köşegenin yarısıdır. Köşegen uzunluğu 4 birim olur. Alan formülü (Köşegen² / 2) kullanılarak 8 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A noktasının verilen doğruya olan uzaklığını hesapla.

d = \frac{|3(2) - 4(-3) - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 - 8|}{5} = \frac{10}{5} = 2

birim.

Karenin bir köşegeni doğru üzerindedir, A noktası ise bu doğru üzerinde değildir. Bu durumda A noktasının doğruya uzaklığı, karenin yarım köşegen uzunluğuna eşittir.

2

Karenin köşegen uzunluğunu bul.

Yarım köşegen (

d

) 2 birim olduğuna göre, tam köşegen uzunluğu (

D

)

2 \times 2 = 4

birimdir.

Karede köşegenler birbirini dik ortalar.

3

Karenin alanını köşegen uzunluğunu kullanarak hesapla.

Alan =

\frac{D^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8

birimkare.

Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Noktanın doğruya olan uzaklığı ve karede köşegen-alan ilişkisi.

İpuçları

1

Öncelikle A noktasının verilen doğru üzerinde olup olmadığını kontrol edin. Değilse, noktanın doğruya olan uzaklığını hesaplayın.

2

Karede köşegenler birbirini dik ortalar. Bulduğunuz uzaklık, karenin merkezi ile bir köşesi arasındaki mesafedir.

3

Noktanın doğruya uzaklığı (d) yarım köşegendir. Tam köşegen (D) 2d olur. Karenin alanı D²/2 formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Bulunan yarım köşegen uzunluğu

h=2

ise, Pisagor bağıntısından karenin bir kenarı

a

için

(a/2)^2 + (a/2)^2

değil, merkezdeki dik üçgenler kullanılır:

2^2 + 2^2 = a^2 \Rightarrow a^2 = 8

. Doğrudan

a^2

zaten alandır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 238Soru →

Taban yarıçapı $r = 2$ cm ve ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğu $l = 6$ cm olan dik dairesel koninin taban çevresi üzerindeki bir A noktasından harekete başlayan bir karınca, koninin yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak tekrar A noktasına gelecektir.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

6

4\pi

6\sqrt{2}

6\sqrt{3}

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6\sqrt{3}$

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol

6\sqrt{3}

cm'dir.

Dik dairesel koni üzerinde en kısa yol sorularında şekil düzleme açılır. Koninin yanal yüzeyi açıldığında, yarıçapı ana doğru uzunluğu (

l=6

) olan bir daire dilimi elde edilir. Bu dilimin merkez açısı

\alpha = 360^\circ \cdot (r/l) = 120^\circ

olarak bulunur. Başlangıç ve bitiş noktaları bu dilimin iki uç yarıçapı üzerindedir. En kısa yol, bu iki ucu birleştiren doğru parçasıdır. Kenarları 6 cm ve arasındaki açı

120^\circ

olan ikizkenar üçgende, karşı kenar uzunluğu kenarların

\sqrt{3}

katıdır (veya kosinüs teoreminden hesaplanır). Sonuç

6\sqrt{3}

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin yanal yüzeyinin açık halini (açınımını) düşünün. Bu şekil bir daire dilimidir.

Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna eşittir (

R = l = 6

cm).

En kısa yol sorularında 3 boyutlu şekil düzleme açılarak iki nokta arasındaki doğru parçası bulunur.

2

Daire diliminin merkez açısını (

\alpha

) hesaplayın.

\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{2}{6} = 120^\circ

.

Açınım açısı formülü

\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}

şeklindedir.

3

Açınım üzerinde başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki en kısa mesafeyi (kiriş uzunluğunu) hesaplayın.

Oluşan üçgen, tepe açısı

120^\circ

ve eşit kenarları

6

cm olan bir ikizkenar üçgendir.

Karınca tam tur atıp aynı noktaya geldiği için, açınımda dilimin iki ucunu birleştiren doğruyu arıyoruz.

4

Kenarları

6, 6

ve aradaki açısı

120^\circ

olan üçgenin karşı kenarını bulun.

x = 6\sqrt{3}

cm.

120^\circ-30^\circ-30^\circ

özel üçgeninde hipotenüs benzeri uzun kenar, eşit kenarların

\sqrt{3}

katıdır.

Anahtar Kavram

Koninin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa mesafe (jeodezik eğri) hesabı.

İpuçları

1

Katı cisimler üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismin yüzeyini düz bir kağıt gibi açarak düşünmelisiniz.

2

Koninin yanal yüzeyi açıldığında bir daire dilimi oluşur. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu (

l

), yay uzunluğu ise koninin taban çevresidir.

3

Daire diliminin merkez açısını

\alpha = 360 \cdot (r/l)

formülüyle bulun. Sonra oluşan ikizkenar üçgende kosinüs teoremini veya özel üçgen kurallarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, karıncanın koni etrafında iki tam tur atması durumunda merkez açının iki katını alarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi Kullanımı:

x^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \Rightarrow x^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-1/2) \Rightarrow x^2 = 72 + 36 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 239Soru →

Kenar uzunlukları eşit olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $|PC|=5$ birim, $|PB|=12$ birim ve $|PA|=13$ birim olduğuna göre, $m(\widehat{BPC})$ kaç derecedir?

90

120

135

150

165

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150

Verilen uzunluklar (

5, 12, 13

) Pisagor üçlüsünü çağrıştırsa da, bu üçgen doğrudan

P

noktasında oluşmaz. Çözüm için

BPC

üçgeni

B

köşesi etrafında

60^\circ

döndürülür. Bu işlem sonucunda bir kenarı 12 olan eşkenar üçgen ve kenarları 5-12-13 olan bir dik üçgen yan yana gelir. Sorulan açı, eşkenar üçgenin

60^\circ

'lik açısı ile dik üçgenin

90^\circ

'lik açısının toplamı olan

150^\circ

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Döndürme işlemi uygulayın

BPC

üçgenini

B

köşesi etrafında saat yönünde

60^\circ

döndürerek

BP'A

üçgenini oluşturun.

Eşkenar üçgen sorularında, kenar uzunlukları verildiğinde

60^\circ

döndürme yaparak yeni bir eşkenar üçgen ve bilinen bir üçgen elde etmek standart bir çözüm yöntemidir.

2

Eşkenar üçgeni tespit edin

|BP|=12

ve döndürme açısı

60^\circ

olduğu için

BPP'

üçgeni eşkenar üçgendir. Dolayısıyla

|PP'|=12

birim ve

m(\widehat{BP'P})=60^\circ

olur.

Tepe açısı

60^\circ

olan ikizkenar üçgen eşkenardır.

3

Oluşan diğer üçgenin kenarlarını inceleyin

Döndürme sonucunda

|P'A|=|PC|=5

birim olur.

APP'

üçgeninin kenarları

5

,

12

(

PP'

) ve

13

(

AP

) birimdir.

Döndürme işlemi uzunlukları korur.

4

Dik açıyı bulun ve toplam açıyı hesaplayın

5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2

olduğundan,

APP'

üçgeni bir dik üçgendir ve hipotenüsü gören açı

m(\widehat{AP'P})=90^\circ

'dir. İstenen açı

m(\widehat{BPC}) = m(\widehat{BP'A}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ

bulunur.

Pisagor teoreminin tersi gereği kenarları 5-12-13 olan üçgen dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgen içindeki nokta problemlerinde döndürme (rotasyon) yöntemi

İpuçları

1

Bu tür sorularda, üçgenin içinde eşkenar üçgen oluşturacak şekilde bir döndürme (rotasyon) işlemi uygulamayı deneyin.

2

BPC

üçgenini

B

köşesi etrafında,

BC

kenarı

BA

kenarı üzerine gelecek şekilde

60^\circ

döndürün.

3

Döndürme sonrası oluşan yeni

P'

noktası için

BPP'

üçgeninin eşkenar,

APP'

üçgeninin ise kenarlarını kontrol ederek (5-12-13) dik üçgen olduğunu görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içinde (90 derece döndürme) deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak çok daha karmaşık işlem gerektirir (

P

etrafındaki açılar toplamı

360^\circ

olacak şekilde 3 denklem kurulur).

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 240Soru →

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan $ABC$ eşkenar üçgeni, $[AB]$ kenarı üzerindeki bir $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üzerindeki bir $E$ noktası boyunca katlanıyor. Bu katlama işlemi sonucunda $A$ köşesi, $[BC]$ kenarı üzerindeki $A'$ noktası ile çakışmaktadır.

$|BA'| = 1$ birim olduğuna göre, $|BD|$ uzunluğu kaç birimdir?

\frac{3}{2}

\frac{8}{5}

\frac{5}{3}

\frac{7}{4}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{5}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{8}{5}

birimdir.

Sorunun çözümü, katlama sonucu oluşan açı ilişkilerini fark etmeye dayanır.

A

köşesi

60^\circ

olduğu için katlanan

A'

köşesindeki açı da

60^\circ

olur. Bu durum,

BC

kenarı üzerindeki

A'

noktasının sağında ve solunda kalan üçgenlerin açılarının birbirini tamamlamasını sağlar.

\triangle BDA'

ve

\triangle CA'E

üçgenleri arasında kurulan benzerlik (

60^\circ

'lerin karşısı değil,

120^\circ-\alpha

ve

\alpha

açılarının karşısı) ve kenar uzunlukları denklemi (

xy=2

ve

3y-xy=3-y

) çözüldüğünde

|BD|=8/5

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar üçgen ve katlama özelliklerini belirle

\triangle ABC

eşkenar olduğu için

m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ

. Katlama nedeniyle

\triangle ADE \cong \triangle A'DE

, yani

|AD| = |A'D|

ve

m(\widehat{DA'E}) = m(\widehat{A}) = 60^\circ

.

Geometrik şeklin temel açı özelliklerini ve katlamanın koruduğu uzunluk/açıları kullanmak için.

2

Oluşan alt üçgenler arasındaki benzerliği kur

BC

doğrusu üzerinde

180^\circ

tamamlamadan:

m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{CA'E}) = 180^\circ

. Ayrıca

\triangle BDA'

iç açılarından

m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{BDA'}) = 180^\circ

. Buradan

m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{CA'E})

bulunur. Açı-Açı benzerliği ile

\triangle BDA' \sim \triangle CA'E

.

Bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranlarını yazmak şarttır.

3

Verilen uzunlukları ve değişkenleri yerleştirip denklemi kur

|BA'|=1

ise

|A'C|=3-1=2

.

|BD|=x

ve

|CE|=y

diyelim. Benzerlik oranı:

\frac{|BD|}{|CA'|} = \frac{|BA'|}{|CE|} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{y} \Rightarrow xy = 2

.

Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

4

Diğer benzerlik oranını kullanarak sistemi çöz

Diğer oran:

\frac{|DA'|}{|A'E|} = \frac{|BA'|}{|CE|}

.

|DA'|=|AD|=3-x

ve

|A'E|=|AE|=3-y

olduğundan,

\frac{3-x}{3-y} = \frac{1}{y}

. İçler dışlar çarpımı:

3y - xy = 3 - y

.

xy=2

olduğu için

3y - 2 = 3 - y \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = 5/4

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek istenen uzunluğa ulaşmak.

5

Sonucu hesapla

xy = 2

ve

y = 5/4

ise,

x = 2 / (5/4) = 8/5

.

|BD|

uzunluğu

x

olarak tanımlanmıştı.

Anahtar Kavram

Katlama sorularında, katlanan bölgenin eşliği (açı ve kenar korunumu) ile oluşan yeni üçgenler arasındaki Açı-Açı benzerliği birlikte kullanılır.

İpuçları

1

Katlama sorularında, katlanan üçgen ile açılan üçgenin eş olduğunu (

|AD|=|A'D|

ve açıların aynen taşındığını) unutmayınız.

2

A'

noktası

BC

üzerinde olduğunda, doğru açı

180^\circ

'dir.

m(\widehat{DA'E})=60^\circ

bilgisini kullanarak sol ve sağdaki üçgenlerin açıları arasında bir ilişki kurunuz.

3

Soldaki

\triangle BDA'

ile sağdaki

\triangle CA'E

benzerdir. Kenarlara

x

ve

y

diyerek benzerlik oranlarını yazınız:

|BD|/|CA'| = |BA'|/|CE|

.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunu kare veya dikdörtgen üzerinde deneyerek açı taşıma pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak benzerlik yöntemi çok daha kısa sürer.

Tahmini Süre:4m 0s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap