Examkin

Geometri

436 soru

Soru 61Soru →

Şekildeki ABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(ADC^)=110∘m(\widehat{ADC}) = 110^\circ
m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})

Bu verilere göre, m(ABC^)−m(DAC^)m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{DAC}) farkı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İstenen açı farkı 40 derecedir.
Verilen eşit açılara α\alpha denildiğinde, üçgende dış açı kuralı gereği B açısı 110−α110 - \alpha, üçgen iç açılar toplamı gereği DAC açısı 70−α70 - \alpha bulunur. Bu iki ifadenin farkı alındığında α\alpha'lar sadeleşir ve sonuç 40 derece olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit verilen açılara bir değişken ata.
m(BAD^)=m(ACB^)=αm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = \alpha olsun.
Bilinmeyen açıları cebirsel olarak ifade ederek aralarındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
ABD üçgeni için veya D köşesindeki dış açı özelliğini kullanarak m(B^)m(\widehat{B}) açısını α\alpha cinsinden ifade et.
Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: m(ADC^)=m(B^)+m(BAD^)⇒110∘=m(B^)+α⇒m(B^)=110∘−αm(\widehat{ADC}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{BAD}) \Rightarrow 110^\circ = m(\widehat{B}) + \alpha \Rightarrow m(\widehat{B}) = 110^\circ - \alpha
ABC açısını (B açısını) denklemde kullanmak için.
3
ADC üçgeninin iç açılar toplamını kullanarak m(DAC^)m(\widehat{DAC}) açısını α\alpha cinsinden ifade et.
m(DAC^)+m(C^)+m(ADC^)=180∘⇒m(DAC^)+α+110∘=180∘⇒m(DAC^)=70∘−αm(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{DAC}) + \alpha + 110^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{DAC}) = 70^\circ - \alpha
İstenen fark işlemindeki diğer terimi bulmak için.
4
İstenen farkı hesapla.
m(ABC^)−m(DAC^)=(110∘−α)−(70∘−α)=110−70=40∘m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{DAC}) = (110^\circ - \alpha) - (70^\circ - \alpha) = 110 - 70 = 40^\circ
α\alpha değerleri birbirini götürür ve sonuç sabit bir sayı çıkar.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı Özellikleri (Dış Açı Kuralı)

İpuçları

1
Eşit verilen açılara bir isim (örneğin xx veya α\alpha) vererek başlayın.
2
ABD üçgeninde D köşesindeki dış açıyı (110∘110^\circ), B ve A açılarının toplamı şeklinde yazın.
3
m(B^)=110−αm(\widehat{B}) = 110 - \alpha ve m(DAC^)=70−αm(\widehat{DAC}) = 70 - \alpha ifadelerini birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenlerin gizlendiği ve benzer şekilde değişkenlerin sadeleştiği sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: m(BAD^)=m(ACB^)=10∘m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = 10^\circ olsun. Bu durumda dış açı kuralından m(B^)=100∘m(\widehat{B}) = 100^\circ olur. ADC üçgeninde iç açılar toplamından (180−110−10180 - 110 - 10) m(DAC^)=60∘m(\widehat{DAC}) = 60^\circ olur. Fark: 100−60=40∘100 - 60 = 40^\circ.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olmak üzere oluşturulan bölgelerin alanları incelenmiştir.

ADEADE üçgeninin alanı 4 cm24 \text{ cm}^2 ve EFCEFC üçgeninin alanı 9 cm29 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin toplam alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

ABC üçgeninin alanı 25 cm² dir.
Verilen şekilde DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olduğundan BDEFBDEF bir paralelkenardır. ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir, aynı şekilde EFCEFC üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan(ADE)Alan(ABC)+Alan(EFC)Alan(ABC)=1\sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} + \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}} = 1 eşitliği bu özel formül için geçerlidir. 2S+3S=1\frac{2}{\sqrt{S}} + \frac{3}{\sqrt{S}} = 1 denkleminden S=5\sqrt{S} = 5 ve S=25S = 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranlarını alanlar yardımıyla ifade et.
ADE ~ ABC ve EFC ~ ABC dir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k² = AlanOranı).
Paralellikten dolayı (DE//BC ve EF//AB) oluşan küçük üçgenler büyük üçgen ile benzerdir.
2
ADE ve EFC üçgenlerinin ABC üçgenine olan benzerlik oranlarını (k1 ve k2) hesapla.
k1 = √(Alan(ADE)/Alan(ABC)) = 2/√S ve k2 = √(Alan(EFC)/Alan(ABC)) = 3/√S.
Alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan kenar oranlarına geçilir.
3
Paralelkenar özelliğini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
|BC| = |BF| + |FC|. |BF| = |DE| olduğu için (BDEF paralelkenar), |BC| = |DE| + |FC|.
Taban kenarı parçaların toplamına eşittir ve paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir.
4
Oranları toplayarak eşitliği çöz.
1 = k1 + k2 => 1 = 2/√S + 3/√S => 1 = 5/√S => √S = 5 => S = 25.
Kenar oranlarının toplamı bütünü (1) vermelidir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralelliklerden dolayı ADEADE ve EFCEFC üçgenlerinin her ikisi de büyük ABCABC üçgenine benzerdir.
2
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir (k=Alan1/Alan2k = \sqrt{Alan_1/Alan_2}). BDEFBDEF dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu unutmayın.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} pratik kuralını kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekil üzerinde alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Bu tip (paralelkenar ile ayrılmış) sorularda toplam alanın karekökü, parçaların alanlarının karekökleri toplamına eşittir. S=4+9=2+3=5\sqrt{S} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5, buradan S=25S=25.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 63Soru →

Bir belediyenin park düzenleme çalışmaları kapsamında, merkezine dairesel bir çiçek tarhı yapılması planlanmaktadır. Bu çiçek tarhının yarıçapı r=6r = 6 metre olarak belirlenmiştir. Buna göre, yapılacak olan bu çiçek tarhının toplam alanı kaç metrekaredir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dairesel çiçek tarhının alanı 108 metrekaredir.
Dairenin alanı hesaplanırken πr2\pi r^2 formülü kullanılır. Soruda verilen yarıçap r=6r = 6 ve π=3\pi = 3 değerleri yerine konulduğunda; 3×(62)=3×36=1083 \times (6^2) = 3 \times 36 = 108 sonucuna ulaşılır. Bu nedenle 108 metrekare olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Dairenin alan formülünü hatırlayalım.
Alan = π×r2\pi \times r^2
Bir dairenin düzlemde kapladığı bölgenin büyüklüğü yarıçapın karesi ile sabit bir sayı olan pi sayısının çarpımına eşittir.
2
Soruda verilen yarıçap (r=6r = 6) ve π=3\pi = 3 değerlerini formülde yerine yazalım.
Alan = 3×623 \times 6^2
Problemi çözmek için verilen sayısal verileri standart formüle yerleştirmemiz gerekir.
3
İşlem önceliğine uyarak önce yarıçapın karesini hesaplayalım.
62=366^2 = 36
Matematiksel işlemlerde üslü ifadeler, çarpma işleminden önce gerçekleştirilir.
4
Elde edilen kare sonucunu π\pi değeri ile çarparak nihai alanı bulalım.
3×36=1083 \times 36 = 108
Formülün son aşaması olan çarpma işlemi ile çiçek tarhının toplam alanına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Alanı

İpuçları

1
Bir dairenin iç bölgesinin büyüklüğünü bulmak için alan formülünü kullanmalısınız.
2
Alan formülü π×r2\pi \times r^2 şeklindedir. Burada rr yarıçapı temsil eder.
3
Önce 626^2 işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu soruda verilen π=3\pi = 3 değeriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen başka bir dairenin çevresini hesaplayarak çevre ve alan formülleri arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 64Soru →

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360∘360^{\circ} döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi kaç π cm3\pi \text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Döndürme işlemi sonucunda oluşan çift koninin hacmi 1200 π\pi cm3cm^3 tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, tabanları ortak iki adet koni oluşur. Öncelikle 15-20-25 özel üçgeninden hipotenüs 25 cm bulunur. Dönme yarıçapı (rr), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Alandan gidilerek 15⋅20=25⋅h15 \cdot 20 = 25 \cdot h eşitliğinden h=r=12h=r=12 cm bulunur. Oluşan cismin hacmi V=13πr2(htoplam)V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_{toplam}) formülüyle V=13⋅π⋅122⋅25=1200πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = 1200\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hipotenüs uzunluğunu hesapla.
Pisagor bağıntısından (15−20−2515-20-25 üçgeni); Hipotenüs = 25 cm.
Dönme ekseninin uzunluğunu belirlemek için gereklidir.
2
Dönme yarıçapını (rr) bulmak için üçgenin alan formülünü veya Öklid bağıntısını kullan.
Alan = 15⋅202=25⋅r2⇒300=25r⇒r=12\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12 cm.
Oluşan cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur; bu konilerin yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
3
Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.
V=13πr2h1+13πr2h2=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2). Burada h1+h2=25h_1 + h_2 = 25 (hipotenüs) ve r=12r=12.
İki koninin yükseklikleri toplamı hipotenüs uzunluğuna eşittir.
4
Değerleri formülde yerine koy.
V=13π(122)(25)=13π(144)(25)=48⋅25⋅π=1200πV = \frac{1}{3} \pi (12^2) (25) = \frac{1}{3} \pi (144) (25) = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi.
Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

İpuçları

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürürseniz, tabanları birbirine yapışık iki adet koni elde edersiniz.
2
Oluşan konilerin taban yarıçapı (rr), dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülü ile bu yüksekliği bulabilirsiniz.
3
Hipotenüs uzunluğu 25 cm, hipotenüse ait yükseklik (rr) 12 cm'dir. Toplam hacim formülünde yükseklikler toplamı olarak hipotenüsü (25) kullanabilirsiniz: V=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1+h_2).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 65Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, köşeleri karşı kenarların orta noktalarıyla birleştiren doğru parçalarının (kenarortayların) tamamı üçgenin içinde bir noktada kesişir.

Buna göre, kenarortayların kesiştiği bu nokta aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ağırlık Merkezi

Cevap

Kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.
Üçgende köşeleri karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğrular kenarortaydır. Tanım gereği, bir üçgendeki tüm kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı elemanın tanımını yapın.
Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
Soruda bahsedilen doğru parçalarının ne olduğunu tanımlamak için.
2
Kesişim noktasının ismini belirleyin.
Bir üçgende üç kenarortay tek bir noktada kesişir ve bu noktaya ağırlık merkezi (GG) adı verilir.
Geometrik tanım gereği kenarortayların buluştuğu nokta ağırlık merkezidir.

Anahtar Kavram

Üçgende kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.

İpuçları

1
Köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren çizginin adına odaklanın.
2
Bu çizgi kenarı ikiye böldüğü için 'kenar-ortay' olarak isimlendirilir.
3
Kenarortayların kesiştiği nokta, üçgenin denge noktası olan ağırlık merkezidir.

Daha Fazla Pratik

Ağırlık merkezinin kenarortayı 1'e 2 oranında (1k1k ve 2k2k) böldüğü özelliğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:30s
Soru 66Soru →

Bir düzgün çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, bir dış açısının ölçüsünün 6060 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 54'tür.
Soruda verilen oran kullanılarak çokgenin 12 kenarlı bir düzgün çokgen (onikigen) olduğu tespit edilir. n=12n=12 için köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} uygulandığında sonuç 54 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyelim. İç açılar toplamı ve bir dış açı formüllerini yazalım.
İç Açılar Toplamı = (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ}, Bir Dış Açı = 360∘n\frac{360^{\circ}}{n}
Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel çokgen formülleri gereklidir.
2
Soruda verilen "iç açılar toplamı, dış açının 60 katıdır" ilişkisini denklem olarak kuralım.
(n−2)⋅180=60⋅360n(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \frac{360}{n}
Sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirerek nn değerini bulmak amaçlanır.
3
Denklemi sadeleştirerek nn değerini bulalım.
(n−2)⋅180=21600n⇒n(n−2)=21600180⇒n(n−2)=120(n-2) \cdot 180 = \frac{21600}{n} \Rightarrow n(n-2) = \frac{21600}{180} \Rightarrow n(n-2) = 120. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı n=12n=12'dir.
Çokgenin kenar sayısı (nn) bulunduğunda, köşegen sayısı hesaplanabilir.
4
Bulunan n=12n=12 değeri için toplam köşegen sayısını hesaplayalım.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2=12(12−3)2=12⋅92=54\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54
Sonuç olarak istenen değer toplam köşegen sayısıdır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı bağıntıları ve köşegen sayısı formülü arasındaki cebirsel ilişki.

İpuçları

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyerek, iç açılar toplamı formülü ile bir dış açı formülünü yazınız.
2
Sorudaki ilişkiyi denklem olarak yazın: (n−2)⋅180=60⋅(360n)(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \left(\frac{360}{n}\right).

Daha Fazla Pratik

İç açılar toplamı yerine bir iç açısının ölçüsü ile dış açısının ölçüsü oranı verilen soruları çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gidilerek her bir şıkkın köşegen sayısı formülüne göre nn değeri bulunup, bu nn değerinin verilen oranı sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (Örneğin şık 54 ise n(n−3)2=54⇒n=12\frac{n(n-3)}{2}=54 \Rightarrow n=12. Kontrol: 10⋅180/(360/12)=1800/30=6010 \cdot 180 / (360/12) = 1800 / 30 = 60. Doğru).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 67Soru →

Kenar uzunlukları ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣AC∣=12|AC| = 12 cm olan ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen kenarortay uzunluğu ∣AD∣=x|AD| = x cm'dir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Kenarortay uzunluğunun alabileceği değerler toplamı 25'tir.
Doğru cevap, hem temel üçgen eşitsizliğini (2<x<102 < x < 10) hem de geniş açı kısıtlamasını (x2<52x^2 < 52) sağlayan tam sayıların (3, 4, 5, 6, 7) toplamıdır. Geniş açı şartı, kenarortayın uzunluğunu sınırlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğunu analiz etmek için üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemini uygula.
ADAD kenarortayını kendi uzunluğu kadar (xx) uzatıp EE noktası elde edilir. ABECABEC bir paralelkenar olur.
Bu yöntem, kenarortay uzunluğunu (xx) bir üçgenin kenarı haline getirerek (2x2x) hesaplamayı kolaylaştırır.
2
Oluşan ACEACE üçgeninde kenar uzunluklarını ve üçgen eşitsizliğini belirle.
ACEACE üçgeninin kenarları 1212, 88 ve 2x2x olur. Üçgen eşitsizliğinden: 12−8<2x<12+8⇒4<2x<20⇒2<x<1012-8 < 2x < 12+8 \Rightarrow 4 < 2x < 20 \Rightarrow 2 < x < 10.
Üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntıları sağlanmalıdır.
3
Açı koşulunun (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) kenarortay üzerindeki etkisini hesapla.
Paralelkenar özelliğinden, 2(AB2+AC2)=BC2+(2x)22(AB^2 + AC^2) = BC^2 + (2x)^2. AA açısı geniş olduğu için BC2>AB2+AC2BC^2 > AB^2 + AC^2 olur. Bu durumda kenarortay kısalır: x2<82+1224=2084=52x^2 < \frac{8^2 + 12^2}{4} = \frac{208}{4} = 52.
Geniş açı karşısındaki kenar uzarken, diğer köşegen (kenarortayın iki katı) kısalır.
4
Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve uygun tam sayıları topla.
x>2x > 2 ve x2<52x^2 < 52 (yani x≈7,2x \approx 7,2). Ortak çözüm: 2<x<522 < x < \sqrt{52}. Tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7. Toplam: 3+4+5+6+7=253+4+5+6+7 = 25.
Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açı genişledikçe karşısındaki kenar büyürken, o açıdan inen kenarortay kısalır. Kenarortay (VaV_a) ile kenarlar (b,cb, c) arasındaki ilişki: m(A^)>90∘⇒Va<b2+c22m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}.

İpuçları

1
ADAD kenarortayını, kendi uzunluğu kadar dışarıya doğru uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.
2
Oluşturduğunuz paralelkenarda kenarlar 8 ve 12 olacaktır. Köşegenin yarısı olan xx için üçgen eşitsizliğini yazın.
3
AA açısı 90∘90^\circ olsaydı x2=82+1224−a24x^2 = \frac{8^2 + 12^2}{4} - \frac{a^2}{4} formülü yerine, doğrudan 2x=b2+c22x = \sqrt{b^2+c^2} sınırını düşünün. Geniş açı olduğunda xx, 52\sqrt{52}'den küçük olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dar açı kısıtlaması ile çözerek farkı gözlemleyin.

Alternatif Yöntem

Kenarortay teoremi formülü üzerinden: 2x2+a22=b2+c22x^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2. Açı geniş olduğundan a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 olur. Bu eşitsizliği formülde yerine koyarak xx için üst sınırı bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 68Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, D∈[BC]D \in [BC] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretleniyor. Üçgenin kenarları üzerinde,

∣BD∣=3∣DC∣|BD| = 3|DC|
∣AE∣=2∣EC∣|AE| = 2|EC|

eşitlikleri sağlanmaktadır. [AD][AD] ve [BE][BE] doğru parçaları bir FF noktasında kesişmektedir.

AFEAFE üçgeninin alanı 8 cm28 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

ABC üçgeninin alanı 66 cm²'dir.
Menelaus teoremi kullanılarak EF/FBEF/FB oranı 2/92/9 olarak bulunur. AFEAFE üçgeninin alanı 8 ise, aynı yüksekliğe sahip ABFABF üçgeninin alanı taban oranıyla orantılı olarak 36 bulunur. Böylece ABEABE üçgeninin toplam alanı 44 olur. Son olarak, ABEABE ve ABCABC üçgenlerinin yükseklikleri ortaktır ve tabanları oranı 2/32/3'tür. Buradan tüm alan 66 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Menelaus teoremini uygulamak için uygun üçgeni ve kesen doğruyu belirle.
ADC üçgeni ve B-F-E kesen doğrusu (uzantısı ile) seçilir. Ancak E noktası AC üzerindedir, B noktası DC uzantısındadır. Daha pratik yol: CBE üçgeni ve A-F-D keseni (Menelaus'un dış hali) veya doğrudan alan oranlarını kullanmak.
Kenar oranlarından parça oranlarına (EF/FB) geçmek için Menelaus teoremi gereklidir.
2
CBE üçgeninde A-F-D doğrusu için Menelaus teoremini yaz.
CAAE⋅EFFB⋅BDDC=1\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1 formülü kullanılır.
Bu teorem sayesinde F noktasının BE üzerindeki oranı bulunur.
3
Verilen oranları yerine koyarak EF/FB oranını hesapla.
Verilenler: ∣AE∣=2k,∣EC∣=k⇒∣AC∣=3k|AE|=2k, |EC|=k \Rightarrow |AC|=3k. ∣BD∣=3m,∣DC∣=m|BD|=3m, |DC|=m. Denklem: 3k2k⋅EFFB⋅3m1m=1⇒32⋅EFFB⋅3=1⇒EFFB=29\frac{3k}{2k} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{3m}{1m} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot 3 = 1 \Rightarrow \frac{EF}{FB} = \frac{2}{9}.
Oranların sadeleştirilmesi sonucu bilinmeyen kenar oranı bulunur.
4
Alanlar oranı ile tabanlar oranı ilişkisini kur.
Alan(AFE)Alan(ABF)=EFFB=29\frac{Alan(AFE)}{Alan(ABF)} = \frac{EF}{FB} = \frac{2}{9}. Alan(AFE)=8Alan(AFE)=8 ise Alan(ABF)=92⋅8=36Alan(ABF) = \frac{9}{2} \cdot 8 = 36. Toplam Alan(ABE)=8+36=44Alan(ABE) = 8 + 36 = 44.
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.
5
Tüm üçgenin alanına geçiş yap.
Alan(ABE)Alan(ABC)=AEAC=2k3k=23\frac{Alan(ABE)}{Alan(ABC)} = \frac{AE}{AC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}. 44=23⋅Alan(ABC)⇒Alan(ABC)=44⋅32=6644 = \frac{2}{3} \cdot Alan(ABC) \Rightarrow Alan(ABC) = \frac{44 \cdot 3}{2} = 66.
Son adımda yine taban-alan ilişkisi kullanılarak genel alana ulaşılır.

Anahtar Kavram

Menelaus Teoremi ve Alan Paylaşımı

İpuçları

1
İç içe geçmiş üçgenlerde alan oranlarını bulmak için kenar üzerindeki parça oranlarını bilmelisiniz. Menelaus teoremini hatırlayın.
2
CBE üçgenini temel alarak A-F-D doğrusu boyunca Menelaus teoremi uygulayın: CAAE⋅EFFB⋅BDDC=1\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1.
3
EF/FBEF/FB oranını bulduktan sonra, önce ABFABF alanını, oradan ABEABE toplam alanını bulun. Son olarak AEAE ve ACAC tabanlarını kıyaslayarak tüm alana geçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ağırlık merkezi (kenarortayların kesişimi) özellikleri ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

D noktasından AC kenarına paralel bir doğru çizerek (Tales teoremi ile) F noktasındaki oranı benzerlik yoluyla da bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 69Soru →

ABCABC bir üçgen, D∈[BC]D \in [BC] ve E∈[AB]E \in [AB] noktaları işaretlenmiştir. ∣AC∣=∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AC| = |AD| = |DE| = |EB| ve m(ABC^)=25∘m(\widehat{ABC}) = 25^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Verilen ikizkenar üçgen zinciri ve dış açı kuralları uygulandığında m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 80 değeri; önce ∣EB∣=∣DE∣|EB|=|DE| ikizkenarlığından hareketle dış açı kuralını kullanarak m(AED^)=50∘m(\widehat{AED})=50^\circ bulunması, ardından ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE| ikizkenarlığından m(DAE^)=50∘m(\widehat{DAE})=50^\circ elde edilmesi ve son olarak ∣AC∣=∣AD∣|AC|=|AD| ikizkenarlığından m(CAD^)=30∘m(\widehat{CAD})=30^\circ bulunarak bu iki değerin toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
∣EB∣=∣DE∣|EB| = |DE| eşitliğini kullanarak △EBD\triangle EBD üçgenini inceleyiniz.
m(EDB^)=m(EBD^)=25∘m(\widehat{EDB}) = m(\widehat{EBD}) = 25^\circ bulunur.
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
2
△EBD\triangle EBD üçgeninde EE köşesine ait dış açıyı hesaplayınız.
m(AED^)=25∘+25∘=50∘m(\widehat{AED}) = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ olur.
Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3
∣AD∣=∣DE∣|AD| = |DE| eşitliğini kullanarak △ADE\triangle ADE üçgenini inceleyiniz.
m(DAE^)=m(AED^)=50∘m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{AED}) = 50^\circ bulunur.
İkizkenar üçgen özelliği gereği taban açıları eşittir.
4
△ABD\triangle ABD üçgeninin DD köşesindeki dış açısını (m(ADC^)m(\widehat{ADC})) hesaplayınız.
m(ADC^)=m(DAB^)+m(DBA^)=50∘+25∘=75∘m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{DBA}) = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ olur.
Dış açı kuralı tüm üçgenler için geçerlidir.
5
∣AC∣=∣AD∣|AC| = |AD| eşitliğini kullanarak △ACD\triangle ACD üçgenini inceleyiniz.
m(ACD^)=m(ADC^)=75∘m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADC}) = 75^\circ ve m(CAD^)=180∘−(75∘+75∘)=30∘m(\widehat{CAD}) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ olur.
İkizkenar üçgen taban açıları eşitliği ve iç açılar toplamı (180∘180^\circ) kuralı uygulanır.
6
m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının tamamını hesaplayınız.
m(BAC^)=m(CAD^)+m(DAB^)=30∘+50∘=80∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{DAB}) = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ bulunur.
AA açısı, CADCAD ve DABDAB açılarının toplamından oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgen özellikleri ve üçgende dış açı kuralı.

İpuçları

1
İşe BB köşesindeki 25 derecelik açıyı kullanarak ∣EB∣=∣DE∣|EB|=|DE| ikizkenar üçgeninden başlayın.
2
Bir üçgende iki iç açının toplamının kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğunu hatırlayın; bu kuralı kullanarak adım adım AA köşesine ilerleyin.
3
m(DAB^)=50∘m(\widehat{DAB}) = 50^\circ ve m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ bulduğunuzda, bu ikisini toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda kenar eşitliklerini farklı sıralarla vererek (örneğin ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| gibi) iç ve dış açılar arasındaki ilişkiyi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 70Soru →

Analitik düzlemde A(3,−4)A(3, -4) noktası verilmiştir. Buna göre, AA noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Noktanın koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı 7 birimdir.
Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere olan uzaklığı, o noktanın ilgili eksene dik izdüşümünün uzunluğudur. A(3,−4)A(3, -4) noktası için x eksenine uzaklık ∣−4∣=4|-4| = 4 birim ve y eksenine uzaklık ∣3∣=3|3| = 3 birimdir. Bu değerlerin toplamı 4+3=74 + 3 = 7 birim yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın x eksenine olan uzaklığını belirle.
∣−4∣=4|-4| = 4 birim
Bir noktanın x eksenine olan uzaklığı, o noktanın y-koordinatının mutlak değerine eşittir.
2
Noktanın y eksenine olan uzaklığını belirle.
∣3∣=3|3| = 3 birim
Bir noktanın y eksenine olan uzaklığı, o noktanın x-koordinatının mutlak değerine eşittir.
3
Bulunan uzaklıkları topla.
4+3=74 + 3 = 7 birim
Soruda her iki eksene olan uzaklıkların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bir P(x,y)P(x, y) noktasının xx eksenine uzaklığı ∣y∣|y|, yy eksenine uzaklığı ∣x∣|x| birimdir.

İpuçları

1
Bir noktanın bir eksene olan uzaklığı, o eksene çizilen dikmenin uzunluğudur.
2
Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir, bu yüzden koordinatların mutlak değerlerini kullanmalısın.
3
A(x,y)A(x, y) noktasının x eksenine uzaklığı ∣y∣|y|, y eksenine uzaklığı ∣x∣|x| birimdir. Bu iki değeri topla.

Daha Fazla Pratik

Noktanın dördüncü bölgede olduğunu fark ettin mi? Bölge değişse bile uzaklık hesaplama mantığı aynı kalır.
Tahmini Süre:45s
Soru 71Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=6|AB| = 6 cm ve ∣AC∣=10|AC| = 10 cm olarak verilmiştir. m(A^)<m(B^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) olduğu bilindiğine göre, BCBC kenarının santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen koşulları sağlayan en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Üçgen eşitsizliğine göre kenar uzunluğu 4 ile 16 arasında olmalıdır. Ayrıca m(A^)<m(B^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) şartı gereği BCBC kenarı ACAC kenarından (10 cm) kısa olmalıdır. Bu durumda kenar uzunluğu 4 ile 10 arasında değer alabilir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliğini uygulayın.
∣10−6∣<∣BC∣<10+6⇒4<∣BC∣<16|10 - 6| < |BC| < 10 + 6 \Rightarrow 4 < |BC| < 16
Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Açı-kenar bağıntısını uygulayın.
m(A^)<m(B^)⇒∣BC∣<∣AC∣⇒∣BC∣<10m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| < |AC| \Rightarrow |BC| < 10
Bir üçgende küçük açının karşısında daha kısa kenar bulunur.
3
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirin.
4<∣BC∣<104 < |BC| < 10
Kenar uzunluğu her iki matematiksel koşulu da aynı anda sağlamalıdır.
4
Aralıktaki en küçük tam sayıyı belirleyin.
∣BC∣=5|BC| = 5
4'ten büyük olan en küçük tam sayı 5'tir.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ve açı-kenar arasındaki doğru orantı ilişkisi.

İpuçları

1
Bir üçgenin bir kenarı her zaman diğer iki kenarın farkı ile toplamı arasındadır.
2
Açıların ölçüleri arasındaki sıralama, karşılarındaki kenarların uzunlukları için de geçerlidir. m(A^)<m(B^)m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) ise ∣BC∣<∣AC∣|BC| < |AC| olur.
3
Önce üçgen eşitsizliğinden ∣BC∣|BC| için bir aralık bulun, sonra açı şartını kullanarak bu aralığı daraltın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en büyük tam sayı değeri' için çözerek sınırları pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 72Soru →

ABCDABCD bir yamuk olmak üzere [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. Köşegenlerin kesim noktası KK olarak belirlenmiştir. ABAB kenarı üzerinde alınan bir LL noktası için [KL]∥[BC][KL] \parallel [BC] olduğu bilinmektedir.

3∣DC∣=2∣AB∣3|DC| = 2|AB|

Verilenlere göre, Alan(KBC)=60 cm2Alan(KBC) = 60 \text{ cm}^2 ise Alan(AKL)Alan(AKL) kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

54
Verilen oranlar kullanılarak yamuğun alt parçasındaki üçgenin (ABK) alanı 90 cm² bulunur. Toplam ABC alanı 150 cm² olur. KL, BC'ye paralel olduğu için oluşan AKL üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı 3/5 olduğundan, alanlar oranı 9/25 olur ve sonuç 54 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yamukta kelebek benzerliğini kullanarak oranları belirle.
3∣DC∣=2∣AB∣⇒∣DC∣∣AB∣=233|DC| = 2|AB| \Rightarrow \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{2}{3}. △DKC∼△BKA\triangle DKC \sim \triangle BKA benzerlik oranı k=23k = \frac{2}{3}'tür.
Yamukta alt ve üst tabanların oranı, köşegenlerin ayırdığı parçaların oranına eşittir.
2
Yamukta alan özelliklerini kullanarak Alan(ABK)Alan(ABK) değerini hesapla.
Yamukta Alan(AKD)=Alan(KBC)=60Alan(AKD) = Alan(KBC) = 60. Ayrıca Alan(DKC)⋅Alan(ABK)=(Alan(KBC))2Alan(DKC) \cdot Alan(ABK) = (Alan(KBC))^2 kuralından ziyade alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: Alan(DKC)Alan(ABK)=(23)2=49\frac{Alan(DKC)}{Alan(ABK)} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}. Ancak pratik yol: ∣KC∣∣KA∣=23\frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3} olduğundan, △KBC\triangle KBC ve △ABK\triangle ABK yükseklikleri ortaktır (B köşesinden inen dikme değil, AC tabanına göre düşünülürse alanlar tabanlarla orantılıdır). Alan(KBC)Alan(ABK)=∣KC∣∣KA∣=23⇒60Alan(ABK)=23⇒Alan(ABK)=90\frac{Alan(KBC)}{Alan(ABK)} = \frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{60}{Alan(ABK)} = \frac{2}{3} \Rightarrow Alan(ABK) = 90.
Tepe noktaları ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır.
3
Toplam Alan(ABC)Alan(ABC)'yi bul.
Alan(ABC)=Alan(ABK)+Alan(KBC)=90+60=150 cm2Alan(ABC) = Alan(ABK) + Alan(KBC) = 90 + 60 = 150 \text{ cm}^2.
Hedef üçgenimiz olan AKL, ABC üçgeninin içinde yer alır ve benzerdir.
4
[KL]∥[BC][KL] \parallel [BC] olduğu için temel benzerlik teoremini uygula ve Alan(AKL)Alan(AKL)'yi hesapla.
△AKL∼△ACB\triangle AKL \sim \triangle ACB (Paralellikten). Benzerlik oranı: ∣AK∣∣AC∣=∣AK∣∣AK∣+∣KC∣\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{|AK|}{|AK| + |KC|}. Oran ∣AK∣∣KC∣=32\frac{|AK|}{|KC|} = \frac{3}{2} idi. O halde ∣AK∣∣AC∣=33+2=35\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: Alan(AKL)Alan(ABC)=(35)2=925\frac{Alan(AKL)}{Alan(ABC)} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}. Alan(AKL)=150⋅925=6⋅9=54Alan(AKL) = 150 \cdot \frac{9}{25} = 6 \cdot 9 = 54.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Özellikleri ve Üçgende Benzerlik
Soru 73Soru →

ABCDABCD bir dik yamuk ([AB]⊥[AD][AB] \perp [AD] ve [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]) olmak üzere, EE noktası [AD][AD] kenarı üzerinde yer almaktadır.

[BE]⊥[CE][BE] \perp [CE] dikliği verilmiştir.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm, ∣DC∣=4|DC| = 4 cm ve ∣AE∣=2|AE| = 2 cm olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm² dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 208 cm² dir.
Soruda verilen dik yamuk ve dik kesişen doğrular, △ABE\triangle ABE ve △DEC\triangle DEC üçgenleri arasında Açı-Açı benzerliği kurmamızı sağlar. Bu benzerlikten ∣DE∣|DE| uzunluğu 24 cm olarak bulunur. Yamuğun toplam yüksekliği olan ∣AD∣|AD|, ∣AE∣|AE| ve ∣DE∣|DE| toplamına eşit olduğundan 2626 cm'dir. Yamuk alan formülü uygulandığında sonuç 208 cm² çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Açıları isimlendirerek benzer üçgenleri belirle.
m(ABE^)=αm(\widehat{ABE}) = \alpha olsun. △ABE\triangle ABE dik üçgeninde m(AEB^)=90∘−αm(\widehat{AEB}) = 90^\circ - \alpha olur. EE noktasındaki doğru açı 180∘180^\circ olduğundan ve m(BEC^)=90∘m(\widehat{BEC})=90^\circ verildiğinden, m(DEC^)=αm(\widehat{DEC}) = \alpha bulunur. Buradan △ABE∼△DEC\triangle ABE \sim \triangle DEC (Açı-Açı Benzerliği) elde edilir.
Yamuk içerisindeki dik kesişimler genellikle benzer üçgenler oluşturur.
2
Benzerlik oranını kurarak ∣DE∣|DE| uzunluğunu hesapla.
∣AB∣∣DE∣=∣AE∣∣DC∣  ⟹  12∣DE∣=24\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|} \implies \frac{12}{|DE|} = \frac{2}{4}. İçler dışlar çarpımı ile 2∣DE∣=48  ⟹  ∣DE∣=242|DE| = 48 \implies |DE| = 24 cm bulunur.
Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Yamuğun toplam yüksekliğini (∣AD∣|AD|) bul.
∣AD∣=∣AE∣+∣DE∣=2+24=26|AD| = |AE| + |DE| = 2 + 24 = 26 cm.
Yamuğun alanı için alt taban, üst taban ve toplam yüksekliğe ihtiyaç vardır.
4
Yamuğun alanını hesapla.
Alan = ∣AB∣+∣DC∣2⋅∣AD∣=12+42⋅26=8⋅26=208\frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot |AD| = \frac{12 + 4}{2} \cdot 26 = 8 \cdot 26 = 208 cm².
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}.

Anahtar Kavram

Dik Yamukta Benzerlik ve Alan

İpuçları

1
Dik üçgenlerdeki açıları isimlendirmeyi deneyin (α,β\alpha, \beta gibi). EE noktasındaki açının 90∘90^\circ olması size üçgenler arasında nasıl bir ilişki verir?
2
△ABE\triangle ABE ve △DEC\triangle DEC üçgenlerinin açılarının eşit olduğunu görebilirsiniz. Bu durumda kenarlar arasında bir orantı kurabilirsiniz.
3
△ABE∼△DEC\triangle ABE \sim \triangle DEC benzerliğini kullanın. ∣AB∣∣DE∣=∣AE∣∣DC∣\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|} orantısından ∣DE∣|DE| uzunluğunu bulun ve bunu toplam yüksekliğe ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu, EE noktası orta nokta olduğunda alanın nasıl değiştiğini inceleyerek pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Analitik geometri yöntemi: DD noktasını (0,0)(0,0) orijin kabul ederseniz, C(4,0)C(4,0), A(0,h)A(0,h) ve B(12,h)B(12,h) olur. EE noktası (0,k)(0, k) olsun. Vektörlerin dikliği (iç çarpım =0= 0) kullanılarak da çözülebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 74Soru →

Dik koordinat sisteminde, denklemi 2x−y−6=02x - y - 6 = 0 olan d1d_1 doğrusu ile bu doğrunun y=xy = x doğrusuna göre simetriği olan d2d_2 doğrusu veriliyor. Buna göre; d1d_1 doğrusu, d2d_2 doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Doğruların oluşturduğu üçgenin alanı 27 birimkaredir.
İstenen alan, tabanı xx-ekseni üzerinde olan bir üçgendir. d1d_1 doğrusu xx-eksenini (3,0)(3,0) noktasında, d2d_2 doğrusu (simetrik olan) xx-eksenini (−6,0)(-6,0) noktasında keser. Bu iki doğrunun kesişim noktası ise y=xy=x üzerindeki (6,6)(6,6) noktasıdır. Tabanı 99 birim (33 ile −6-6 arası mesafe), yüksekliği 66 birim olan üçgenin alanı 9×62=27\frac{9 \times 6}{2} = 27 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
d2d_2 doğrusunun denklemini bul
x−2y−6=0x - 2y - 6 = 0
y=xy=x doğrusuna göre simetri alırken xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir: 2(y)−(x)−6=0⇒x−2y−6=02(y) - (x) - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y - 6 = 0.
2
İki doğrunun kesişim noktasını (KK) bul
K(6,6)K(6, 6)
d1:y=2x−6d_1: y = 2x - 6 ve d2:x=2y−6d_2: x = 2y - 6 denklemleri ortak çözülür. x=2(2x−6)−6⇒x=4x−12−6⇒3x=18⇒x=6x = 2(2x-6) - 6 \Rightarrow x = 4x - 12 - 6 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6. Yerine yazılırsa y=6y=6.
3
Doğruların xx-eksenini kestiği noktaları bul
A(3,0)A(3, 0) ve B(−6,0)B(-6, 0)
xx-ekseni için y=0y=0 verilir. d1d_1 için: 2x−6=0⇒x=32x - 6 = 0 \Rightarrow x=3. d2d_2 için: x−0−6=0⇒x=6x - 0 - 6 = 0 \Rightarrow x=6 (Düzeltme: d2d_2 denkleminde y=0y=0 için x−6=0⇒x=6x-6=0 \Rightarrow x=6? Hayır, d2:x−2y+6=0d_2: x - 2y + 6 = 0 olmalıydı. Tekrar kontrol: 2x−y−6=0→x↔y2y−x−6=0⇒x−2y+6=02x - y - 6 = 0 \xrightarrow{x \leftrightarrow y} 2y - x - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y + 6 = 0. Adım 1'deki denklemde işaret hatası düzeltilmeli: 2y−x−6=0⇒−x+2y−6=02y - x - 6 = 0 \Rightarrow -x + 2y - 6 = 0. xx-keseni: y=0y=0 için −x−6=0⇒x=−6-x - 6 = 0 \Rightarrow x = -6. Doğru.
4
Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyerek alanı hesapla
Alan = 27 birimkare
Taban (ABAB uzunluğu): ∣3−(−6)∣=9|3 - (-6)| = 9 birim. Yükseklik (KK noktasının ordinatı): 66 birim. Alan =9×62=27= \frac{9 \times 6}{2} = 27.

Anahtar Kavram

Bir noktanın veya doğrunun y=xy=x doğrusuna göre simetriği alındığında apsis ve ordinat yer değiştirir (x,y)→(y,x)(x, y) \rightarrow (y, x).
Soru 75Soru →

Kenar uzunlukları 44 metre ve 66 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir yapının AA köşesine, uzunluğu 1212 metre olan bir ip ile bir cisim bağlanmıştır. Cisim, yapının içine girmeden ve ip gergin olacak şekilde yapının etrafında hareket ettirilmektedir.

Buna göre, bu cismin tarayabileceği bölgenin alanı en çok kaç π\pi metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 134

Cevap

Cismin taradığı toplam alan 134π134\pi metrekaredir.
İp AA köşesine bağlıdır ve dikdörtgenin çevresine sarıldıkça hareket yarıçapı azalır. Toplam alan 4 parçadan oluşur:
1. AA merkezli, 1212 br yarıçaplı, 270∘270^\circ lik dilim: 34π(122)=108π\frac{3}{4}\pi(12^2) = 108\pi
2. BB merkezli, (12−6)=6(12-6)=6 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(62)=9π\frac{1}{4}\pi(6^2) = 9\pi
3. DD merkezli, (12−4)=8(12-4)=8 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(82)=16π\frac{1}{4}\pi(8^2) = 16\pi
4. CC merkezli, (12−10)=2(12-10)=2 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(22)=1π\frac{1}{4}\pi(2^2) = 1\pi
Toplam: 134π134\pi.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi parçalara ayır
İpin hareketi, engellere takıldıkça yarıçapı değişen daire dilimleri oluşturur. Alan 4 ana bölgeye ayrılır.
İp her köşeyi döndüğünde dönme merkezi değişir ve yarıçap o kenar uzunluğu kadar kısalır.
2
Ana daire diliminin alanını hesapla (Merkez A)
Alan = 270360⋅π⋅122=34⋅144π=108π\frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{3}{4} \cdot 144\pi = 108\pi
Dikdörtgenin iç açısı 90∘90^\circ olduğundan, ipin dışarıda taradığı açı 360∘−90∘=270∘360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur.
3
İkinci daire diliminin alanını hesapla (Merkez B, Kenar 6m tarafı)
Yarıçap r2=12−6=6r_2 = 12 - 6 = 6 m. Alan = 90360⋅π⋅62=14⋅36π=9π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi
İp B köşesini döndüğünde yarıçap 6 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
4
Üçüncü daire diliminin alanını hesapla (Merkez D, Kenar 4m tarafı)
Yarıçap r3=12−4=8r_3 = 12 - 4 = 8 m. Alan = 90360⋅π⋅82=14⋅64π=16π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi
İp D köşesini döndüğünde yarıçap 4 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
5
Son köşe C'deki küçük daire dilimini hesapla
Yarıçap r4=12−(6+4)=2r_4 = 12 - (6+4) = 2 m. Alan = 90360⋅π⋅22=14⋅4π=1π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = 1\pi
İp her iki taraftan da C köşesine ulaştığında elinde 22 metre pay kalır (12>6+412 > 6+4). Bu kısım C köşesinde 90∘90^\circ lik son bir alan tarar.
6
Tüm alanları topla
Toplam Alan = 108π+9π+16π+1π=134π108\pi + 9\pi + 16\pi + 1\pi = 134\pi
Ayrık bölgelerin alanları toplanarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Dairede Alan ve Yay Uzunluğu (İpin sarılması problemi)

İpuçları

1
İp dikdörtgenin köşelerine takıldıkça, dönme merkezi o köşe olur ve hareketin yarıçapı kısalır.
2
Toplam alan 4 farklı daire diliminden oluşur: A merkezli büyük dilim, B ve D merkezli orta dilimler ve C merkezli en küçük dilim.
3
C köşesindeki en küçük daire diliminin yarıçapını bulmak için ipin toplam uzunluğundan (12), kenar uzunluklarının toplamını (6+4) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İpin uzunluğu dikdörtgenin çevresine eşit olsaydı taralı alan nasıl değişirdi?
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 76Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣BC∣=12|BC| = 12 cm, ∣AB∣=x|AB| = x cm ve ∣AC∣=(x+4)|AC| = (x + 4) cm olarak verilmiştir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu ve xx'in bir tam sayı olduğu bilindiğine göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

x'in alabileceği değerler toplamı 11'dir.
Doğru cevap, hem üçgenin var olabilmesi için gereken temel eşitsizliği (x>4x > 4) hem de A açısının geniş olması şartını (x2+4x−64<0x^2 + 4x - 64 < 0) sağlayan tam sayıların toplamıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar sadece 5 ve 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliği kuralını uygula (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c).
∣(x+4)−x∣<12<(x+4)+x⇒4<12<2x+4|(x+4)-x| < 12 < (x+4)+x \Rightarrow 4 < 12 < 2x+4. Buradan 2x>8⇒x>42x > 8 \Rightarrow x > 4 bulunur.
Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Geniş açı şartını (m(A^)>90∘⇒a2>b2+c2m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2) uygula.
122>x2+(x+4)2⇒144>x2+x2+8x+1612^2 > x^2 + (x+4)^2 \Rightarrow 144 > x^2 + x^2 + 8x + 16.
A açısı 90∘90^\circ'den büyükse, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır.
3
Elde edilen ikinci derece eşitsizliği düzenle ve köklerini bul.
128>2x2+8x⇒64>x2+4x⇒x2+4x−64<0128 > 2x^2 + 8x \Rightarrow 64 > x^2 + 4x \Rightarrow x^2 + 4x - 64 < 0. Kökler: x≈6,25x \approx 6,25 ve x≈−10,25x \approx -10,25.
Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
4
Her iki koşulu sağlayan tam sayıları belirle ve topla.
Üçgen eşitsizliğinden x>4x > 4, geniş açı şartından x<6,25x < 6,25. Ortak aralık: 4<x<6,254 < x < 6,25. Bu aralıktaki tam sayılar {5,6}\{5, 6\}'dır. Toplam: 5+6=115 + 6 = 11.
x değeri hem üçgen oluşma şartını hem de geniş açı şartını aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

İpuçları

1
Bir üçgenin çizilebilmesi için her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
2
A açısı 90∘90^\circ'den büyükse, Pisagor teoremi (a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2) eşitsizliğe dönüşür: a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2.
3
122>x2+(x+4)212^2 > x^2 + (x+4)^2 eşitsizliğini çözerek x'in üst sınırını bulun ve bunu üçgen eşitsizliğinden gelen alt sınır (x>4x>4) ile birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, açının 90∘90^\circ'den küçük (dar açı) olduğu durum için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin x=7 için kenarlar 7, 11, 12 olur. 122=14412^2 = 144, 72+112=49+121=1707^2+11^2 = 49+121 = 170. 144>170144 > 170 olmadığı için (Geniş açı şartı sağlanmaz) x=7 olamaz. x=4 için kenarlar 4, 8, 12 olur; 4+8=124+8=12 olduğu için üçgen oluşmaz (çizgi olur).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 77Soru →

∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir ABCABC üçgeninde, bu iki kenarın uzunlukları toplamı 15 cm'dir.

Üçgenin iç açıları arasında m(B^)>m(C^)>m(A^)m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) sıralaması olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kenar uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5 farklı değer
Verilen m(B^)>m(C^)>m(A^)m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) şartı, kenarlar arasında ∣AC∣>∣AB∣>∣BC∣|AC| > |AB| > |BC| (yani b>c>ab > c > a) sıralamasını gerektirir. b+c=15b+c=15 eşitliğini sağlayan ve b>cb>c olan tam sayı ikilileri incelendiğinde, sadece (8,7)(8,7) ve (9,6)(9,6) çiftleri için geçerli bir aa tam sayısı bulunabilir. (8,7)(8,7) çifti için a∈{2,3,4,5,6}a \in \{2,3,4,5,6\} ve (9,6)(9,6) çifti için a∈{4,5}a \in \{4,5\} değerleri elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi {2,3,4,5,6}\{2,3,4,5,6\} olup toplam 5 farklı değer vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştür.
m(B^)>m(C^)>m(A^)⇒b>c>am(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow b > c > a
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır. Burada ∣AC∣=b|AC|=b, ∣AB∣=c|AB|=c, ∣BC∣=a|BC|=a olarak adlandırılmıştır.
2
Verilen toplam (b+c=15b+c=15) ve sıralama (b>cb>c) şartını sağlayan tam sayı ikililerini listele.
Olası (b,c)(b, c) ikilileri: (8,7),(9,6),(10,5),(11,4),(12,3),(13,2),(14,1)(8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1)
bb ve cc tam sayı olmalı ve toplamları 15 etmelidir. Ayrıca b>cb > c şartı sağlanmalıdır.
3
Her ikili için üçgen eşitsizliği (b−c<a<b+cb-c < a < b+c) ve kenar sıralaması (a<ca < c) şartlarını kontrol et.
Şart: b−c<a<cb-c < a < c olmalıdır.
1. Durum (8, 7): 1<a<7⇒a∈{2,3,4,5,6}1 < a < 7 \Rightarrow a \in \{2, 3, 4, 5, 6\} (5 değer)
2. Durum (9, 6): 3<a<6⇒a∈{4,5}3 < a < 6 \Rightarrow a \in \{4, 5\} (2 değer)
3. Durum (10, 5): 5<a<55 < a < 5 (Çözüm yok)
Diğer durumlarda b−c≥cb-c \ge c olduğu için çözüm yoktur.
Üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca sorudaki açı sıralaması gereği aa en kısa kenar olmalıdır.
4
Bulunan değerlerin birleşim kümesini oluştur ve eleman sayısını bul.
Küme 1: {2,3,4,5,6}\{2, 3, 4, 5, 6\}
Küme 2: {4,5}\{4, 5\}
Birleşim: {2,3,4,5,6}\{2, 3, 4, 5, 6\}
Eleman Sayısı: 5
Aynı değerler tekrar sayılmaz, farklı tam sayı değerleri sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ilkesi ve üçgen eşitsizliğinin ortak çözümü.

İpuçları

1
Açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştürün: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
2
∣AC∣=b|AC|=b, ∣AB∣=c|AB|=c ve ∣BC∣=a|BC|=a olsun. b>c>ab > c > a sıralamasını ve b+c=15b+c=15 şartını sağlayan (b,c)(b,c) tam sayı çiftlerini deneyin.
3
Her (b,c)(b,c) çifti için üçgen eşitsizliği ∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c ile sorudaki a<ca < c şartını kesiştirerek aa'nın alabileceği değerleri bulun.

Daha Fazla Pratik

Toplamları sabit olan iki kenarın farkının mutlak değeri arttıkça, üçüncü kenarın alabileceği değer aralığının nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 78Soru →

Yarıçapı 1212 cm olan OO merkezli dairesel bir kağıt, bir kiriş boyunca katlanıyor. Katlama sonucunda, kağıdın katlanan yayı dairenin merkezi olan OO noktasından geçmektedir.

Buna göre, katlanan bu daire kesmesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}

Cevap

Katlanan daire kesmesinin alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2'dir.
Katlanan yayın merkeze değmesi, katlama kirişinin merkeze uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Bu durumda oluşan merkez açı 120∘120^\circ olur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından, ilgili ikizkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yay OO noktasından geçtiğine göre, katlama çizgisi (kiriş) ile yay arasındaki en uzak mesafe yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Kirişin merkeze uzaklığı h=r/2=6h = r/2 = 6 cm olur.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktası merkeze değiyorsa, kiriş bu mesafeyi ortalar.
2
Merkez açıyı hesapla
Oluşan dik üçgende hipotenüs r=12r=12, dik kenar 66 olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açının yarısı 60∘60^\circ, tamamı α=120∘\alpha = 120^\circ olur.
cos⁡(θ)=612=12  ⟹  θ=60∘\cos(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ. Merkez açı 2θ=120∘2\theta = 120^\circ.
3
Daire diliminin alanını bul
Alan dilim=πr2⋅120360=π(144)⋅13=48π_{dilim} = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = \pi (144) \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm2\text{cm}^2.
Daire alanı formülü πr2\pi r^2 ve açı oranı kullanılır.
4
Üçgenin alanını hesapla
Alan u¨c\cgen=12r2sin⁡(120∘)=12⋅144⋅32=363_{üçgen} = \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
İkizkenar üçgenin alan formülü: 12absin⁡(α)\frac{1}{2} a b \sin(\alpha).
5
Daire kesmesinin alanını bul
Alan kesme=Alandilim−Alanu¨c\cgen=48π−363_{kesme} = \text{Alan}_{dilim} - \text{Alan}_{üçgen} = 48\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Katlanan parça (daire kesmesi), daire diliminden üçgenin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Kesmesinin Alanı ve Katlama Problemleri
Soru 79Soru →

Kenar uzunlukları 66 cm, 88 cm ve 1010 cm olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi (O1O_1 merkezli) çiziliyor. Daha sonra, üçgenin dik köşesi ile bu iç teğet çember arasına; hem dik kenarlara hem de iç teğet çembere teğet olacak şekilde O2O_2 merkezli daha küçük bir çember yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen bu küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6−426 - 4\sqrt{2}

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 6−426 - 4\sqrt{2} cm'dir.
Büyük çemberin yarıçapı 2 cm olarak bulunur. Köşedeki küçük çember ile büyük çember arasındaki teğetlik ilişkisi ve köşeye olan uzaklıklar kullanılarak denklem kurulduğunda yarıçap 6−426 - 4\sqrt{2} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) hesapla.
r1=6+8−102=2r_1 = \frac{6+8-10}{2} = 2 cm.
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} formülüyle veya Alan = u⋅ru \cdot r bağıntısıyla bulunur.
2
Çember merkezlerinin dik köşeye olan uzaklıklarını ifade et.
∣BO1∣=r12=22|B O_1| = r_1\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ve ∣BO2∣=r22|B O_2| = r_2\sqrt{2}.
Çemberler eksenlere teğet olduğunda merkezler açıortay (45°) üzerindedir ve köşeye uzaklık r2r\sqrt{2} olur.
3
Merkezler arası uzaklık bağıntısını kur ve denklemi oluştur.
∣BO1∣=∣BO2∣+∣O2O1∣⇒22=r22+(2+r2)|B O_1| = |B O_2| + |O_2 O_1| \Rightarrow 2\sqrt{2} = r_2\sqrt{2} + (2 + r_2).
Çemberler birbirine dıştan teğet olduğundan merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına (r1+r2r_1 + r_2) eşittir.
4
Oluşan denklemden r2r_2 değerini çöz.
22−2=r2(2+1)⇒r2=2(2−1)2+12\sqrt{2} - 2 = r_2(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}.
r2r_2 parantezine alıp yalnız bırakma işlemi.
5
Paydayı rasyonel yaparak sonucu sadeleştir.
r2=2(2−1)22−1=2(3−22)=6−42r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}.
Köklü ifadelerde paydayı eşlenik ile çarparak sadeleştirme.

Anahtar Kavram

İç Teğet Çember ve Teğet Çemberler Geometrisi

İpuçları

1
Önce 6-8-10 üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) bulunuz. Dik üçgenler için r=(a+b−c)/2r = (a+b-c)/2 formülünü hatırlayın.
2
Çemberlerin merkezleri ile üçgenin dik köşesi aynı doğru üzerindedir (açıortay). Bu doğru üzerinde uzaklıkları yazarak bir eşitlik kurmayı deneyin.
3
Dik köşeye BB dersek, ∣BO1∣=∣BO2∣+∣O1O2∣|BO_1| = |BO_2| + |O_1O_2| olmalıdır. ∣BO∣=r2|BO| = r\sqrt{2} ve ∣O1O2∣=r1+r2|O_1O_2| = r_1 + r_2 bağıntılarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içine yerleştirilen sonsuz çember serisi için çalışarak geometrik dizi toplamlarını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir. Köşeye olan uzaklıkların oranı yarıçapların oranına eşittir: r2r1=r22r12\frac{r_2}{r_1} = \frac{r_2\sqrt{2}}{r_1\sqrt{2}}. Bu yöntem daha karmaşık olabilir, uzaklık denklemi daha doğrudandır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 80Soru →

Dik koordinat düzleminde 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 doğrusu üzerinde bulunan bir PP noktası, koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır.

PP noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğuna göre, bu noktanın orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 423\frac{4\sqrt{2}}{3}

Cevap

İkinci bölgedeki ve eksenlere eşit uzaklıktaki noktanın orijine uzaklığı 423\frac{4\sqrt{2}}{3} birimdir.
İkinci bölgede bulunan ve eksenlere eşit uzaklıkta olan her nokta y=−xy = -x doğrusu üzerindedir. Bu ilişkiyi verilen 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 denkleminde yerine yazdığımızda 2x−(−x)+4=02x - (-x) + 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan 3x=−43x = -4 ve x=−4/3x = -4/3 bulunur. Noktanın koordinatları P(−4/3,4/3)P(-4/3, 4/3) olur. Orijine uzaklık hesaplandığında 16/9+16/9=42/3\sqrt{16/9 + 16/9} = 4\sqrt{2}/3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın genel formunu belirle.
P(x,y)P(x, y) noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta ise ∣x∣=∣y∣|x| = |y| olur.
Bir noktanın eksenlere uzaklığı, koordinatlarının mutlak değerine eşittir.
2
Bölge şartını uygula.
İkinci bölgede x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için y=−xy = -x ilişkisi vardır.
İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir; mutlak değerce eşitlik için y=−xy = -x olmalıdır.
3
Noktayı doğru denkleminde yerine yaz.
2x−(−x)+4=0⇒3x+4=0⇒x=−432x - (-x) + 4 = 0 \Rightarrow 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}
Nokta doğrunun üzerinde olduğu için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Ordinatı ve orijine uzaklığı hesapla.
y=−(−43)=43y = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} ve uzaklık d=(−43)2+(43)2=329=423d = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}
Orijine olan uzaklık, koordinatların kareleri toplamının kareköküdür.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar y=xy = x veya y=−xy = -x doğruları üzerindedir.

İpuçları

1
Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların koordinatlarının mutlak değerleri birbirine eşittir.
2
İkinci bölgede xx negatif, yy pozitif olduğundan y=−xy = -x denklemini kullanmalısın.
3
Bulduğun xx ve yy değerlerini orijine uzaklık formülünde (karekök içinde kareler toplamı) yerine koy.

Daha Fazla Pratik

Aynı doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 4 / 22Sonraki
Geometri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4 | Examkin